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CONCEPTOSDE MATEMATICA
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La enseñanza de la flmatemática moderna 1
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Educación matemática en los3Carta al lectorniveles preelemental y pri-
4Fotografía de Félix Klein mario (F. Colmcz)La matemática en la escuela Aspectos simplificatorios de la
enseñanza de la matemáticasecundaria (W. W. Sacoyer) 5(A. Kirsch)La enseñanza de la matemática
Bibliografíamoderna (J. E. Bosch) 15
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DE MATEMATICA AÑO XIII — Julio Agosto Setiembre 1979 — N° 51„„hiirará un libro con las conferencias, debates y bibliografía correspondientes al CICLO DE CONFERENCIAS que organl- zado juntamente con el INSTITUTO GOETHE se ha llevado a elbo desde el 7 de mayo al 11 de jumo de 1979 de acuerdo con
el siguiente temario:
PUBLICACION TRIMENSUAL
CARTA AL LECTOR* Confiamos en que el N° 51 de CONCEPTOS DE MATEMATICA, que hoy enviamos a nuestros lectores, ha de resultar muy provechoso para los mismos dada la calidad del material que hemos logrado reunir.* Concluido el ciclo de conferencia que juntamente con el “Instituto Goethe" realizáramos en el auditorio de dicha institución, nos sentimos halagados por el éxito obtenido, por lo que queremos expresar nuestro agradecimiento a los centenares de docentes y público en general que ocuparon masivamente todos los lugares disponibles y siguieron atentamente a los disertantes, sea directamente en el salón central o indirectamente en los lugares adyacentes al mismo mediante un circuito de televisión. En ocasiones debimos clausurar la puerta de acceso lo que lamentamos por las personas que quisieron escuchar las conferencias y por esa causa no pudieron hacerlo.* Muchos docentes que acudieron desde lugares alejados y otros del interior del país nos dijeron del interés que existía por escuchar la palabra de los conferenciantes y la imposibilidad de poder llegar a Buenos Aires por razones de tiempo y de dinero. Ello nos movió a aceptar algunas invitaciones, y asi hemos podido realizar pequeños ciclos de fines de semana en Junín, Olavarrla y Santiago del Esteroáde los cuales participaron los profesores Luis A. San taló, César A. Trejo, Jorge Bosch, Heraclio A. Ruival y el que suscribe, los que culminaron con el mayor de los éxitos y la adhesión entusiasta de los docentes de esas ciudades y de otras localidades aledañas, que prodigaron a los visitantes el más caluroso de los recibimientos.* ¿caso podamos realizar algunas visitas más con
• esos u otros profesores antes de fin de año, pero el año próximo organizaremos las cosas, con más tiempo de modo de poder cumplir con mayor cantidad de requerimientos.* Continuamos ocupándonos de las tareas previas a la publicación del libro de las conferencias.* Los saluda cordialmente
Redacción y Administración: Paraguay 1949, Piso 6o Depto. A. 1121 Buenos Aires.
Director - Editor JOSE BANFI
Los conjuntos y sus aplicaciones al estudio de la realidad.
La lógica y la matemática en la filosofía y la cultura.
Aprendizaje de la matemática en la escuela primaria.
Problemas de la enseñanza de la matemática.
Experiencias en la enseñanza de la matemática moderna en la República Federal de Alemania.
Jorge E. BOSCH
Tomás M. SIMSON
Suscripción Anual: Argentina S 20.000. Exterior 15
dólares o el equivalente en moneda de cada país. Los giros postales o bancarios sobre Bs. As. deben ser extendidos a nombre de
■ CONCEPTOS DEMATE- MATICA.
Lucrecia IGLESIAS
César A. TREJO
:Franz J. MEHR
Carlos A. BURUNDARENA La enseñanza de la matemática en la escuela técnica.
La matemática en la enseñanza de la física.Ejemplar suelto: S 6.000
.Ejemplar atrasado: $ 6.500 Exterior: $ 6 dólares.Para colaboraciones, núme
ros atrasados, suscripciones y avisos, dirigirse directamente al editor.
Heraclio A. RUIVAL
Panorama general de la enseñanza de la matemática.
Luis. A. SANTALO
El precio de un ejemplar del libro será aproximadamente de
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ocDToo^cSx?AhTÍ?^c-?,li0cer en su medio esta nueva realización de “CON- utp i Ub DE MATEMATICA” que deseamos pueda llegar también a quienes aun no son nuestros suscriptores.Encontrarán toda la información sobre la aparición del libro en
CONCEPTOS DE MATEMATICAParaguay 1949 • 6° A, 1121, Buenos Aires, República Argentina
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FRANQUEO PAGADO Concesión N° 2687
EL DIRECTOR
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GRANDES DOCENTES
La matemática en ¡a
escuela secundariaW.W. SAWYER
(Canadá)
1. Los profesores de matemática están haciendo hoy lo que recomiendan los filósofos: preguntar qué hacemos, por qué y cómo lo hacemos. En la era de las máquinas de calcular, ¿necesitan los niños conocer las tablas de multiplicar? ¿Debemos enseñar manipulaciones algebraicas? De ser así ¿cuántas? ¿Son anticuados los logaritmos? ¿Debemos enseñar algo de trigonometría? De ser así, ¿cuál? ¿Qué partes de la matemática reciente deben incorporarse al plan escolar? ¿Cómo haremos para dar lugar a los nuevos tópicos? Y más fundamental: ¿cómo elegiremos el plan de estudios?
2. Tales cuestiones se refieren a qué se enseña. Acaso sea más importante cómo lo enseñemos. ¿Debe la matemática unirse a la ciencia y al estudio del medio ambiente o se la debe enseñar tan abstractamente como sea posible? ¿Debe ser formal o informal, rigurosa o intuitiva? ¿En qué proporciones deben mezclarse el descubrimiento y lo que se le “dice” al alumno?
3. Un tercer tipo de cuestión se refiere a cómo alcanzaremos nuestros objetivos. Es fácil pronunciar un discurso muy inspirado acerca de la escuela ideal sin explicar cómo obtenerla. Para evitar cualquier sensación ilusoria comenzaré con algunas notas sobre el progreso educativo.
4. Supongo que si Ud. lleva a reparar un reloj y se lo devuelven con la cuerda rota, no importa cuáles sean las mejoras que el relojero pueda haber hecho en el mecanismo de los engranajes, Ud. pensará que ha hecho una mala tarea.- Pero eso es, con demasiada frecuencia, lo que ocurre en la educación matemática. La mayoría de los adultos después
de haber abandonado la escuela no sólo conoce muy poca matemática sino que son incapaces de pensar sobre ella y siente temor ante ella. La profesora Edith Biggs ha asegurado que eso no ocurre con los niños pequeños; ellos se interesan por la matemática y les gusta pensar sobre ella. Consecuentemente, incluso para un niño de inteligencia más bien escasa, la principal dificultad en matemática no reside ni en la naturaleza del tema ni en las limitaciones del alumno sino más bien en la actitud de los adultos que lo rodean.
5. A menudo se piensa que la solución reside en los institutos de formación de profesores. Pero esto es algo ingenuo. Si un estudiante llega a uno de esos institutos con una actitud crítica de su propia educación, el instituto posiblemente pueda ayudarle. Pero a los dieciocho años muchos estudiantes tienen una ¡dea firme acerca de lo que es la educación: es lo que ellos sufrieron cuando eran alumnos. Retornarán a la escuela y enseñarán lo que se les enseñó a ellos.
6. Uno de los hechos más obvios, y menos reconocidos, es el engranaje de todo el sistema educativo. Cuando las universidades critican a las escuelas secundarias parecería que sólo conocen parcialmente la inmensa responsabilidad de las universidades por el estado de la educación secundaria. Cuando los profesores de escuela secundaria critican a las escuelas elementales no siempre dan importancia al hecho de que los maestros elementales son productos de la escuela secundaria.
7. La matemática es una actividad que depende mucho de la actitud del alumno. Las actitudes se forman en la
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de trabajo que debía ser abarcado por todos los niños de cierto tipo de'clase (por ejemplo, académica, técnica), un esquema formulado por la autoridad educativa y a menudo hecho cumplir por los inspectores. El maestro actuaba bajo la presión de ‘'cumplir el programa" sin preocuparse por el hecho de que los alumnos lentos permanecían aturullados y los rápidos aburridos. Una buena enseñanza de la matemática en tales circunstancias es casi imposible. Un maestro verdadero se convertiría en un trabajador atormentado.
medio ambiente. (4) De esta manera habrá adquirido tanto conocimiento como sea posible de aritmética, álgebra, geometría (y acaso otros temas matemáticos).
11 La aplicación de esta idea variará naturalmente de país en país y de lugar en lugar. Si las escuelas elementales ya están produciendo matemáticos entusiastas y activos, la escuela secundaria deberá asegurar esto y no deteriorar lo conseguido; fácil le resultará construir más. Si los alumnos ingresan a la escuela secundaria sintiendo aversión por la matemática, habrá que recurrir a algún procedimiento de rehabilitación verdaderamente radical.
12. Algunos profesores secúndanos enfocan muy formalmente la matemática y serían incapaces de llevar hasta el fin un programa semejante. El trabajo deberá hacerse donde haya profesores capaces, y las autoridades deberán señalar que se trata de una tarea de pnme- rísima importancia y la llave de todo el avance nacional en educación matemática.
de deberían concentrarse los buenos maestros. Los años 0 a 8 son por supuesto muy importantes. Pero aquí estoy discutiendo la función de los mejores profesores secundarios, los que tienen buen conocimiento de la matemática y habilidad para presentar sus cuestiones con simplicidad. No creo que puedan hacer mucho con niños de menos de 9 años. Los comienzos de la aritmética se realizan muy lentamente. También el trabajo es simple; los maestros de escuela elemental pueden cumplirlo una vez que estén persuadidos que la aritmética es algo que se puede experimentar y pensar en lugar de aprenderla puramente de memoria. Por otra parte, si los niños de 9 a 13 años son adecuadamente proyectados, muchos de ellos calarán hondamente en una matemática bastante técnica. Gran parte de la tarea la pueden leer y hacer por sí mismos, pero de tiempo en tiempo necesitarán ser aconsejados y esto, en nuestro mundo actual, no podrá ser hecho por la mayoría de los maestros elementales. El contacto ocasional con los mejores maestros secundarios les permitirá avanzar a los alumnos más capacitados. En el futuro, algunos de ellos se convertirán en maestros y entonces considerarán normal cubrir una parte sustancial del presente curriculum secundario (de muchos países) en la escuela elemental. De esta manera se establecerá y desarrollará gradualmente un plan de estudios más rico.
19. Incidentalmente, estas ideas no han sido adelantadas como teoría pura. Mi libro Visión de la escuela elemental se basó en experiencias con niños de 9 a 13 años. En mis viajes he encontrado abundante evidencia de niños que eran capaces de contender con una dieta mucho más rica que la que se les estaba ofreciendo. Para la cuestión de la colaboración entre maestros secundarios y primarios, Barrie, Ontario, seria un ejemplo de lo que se ha estado haciendo durante algunos años.
Manipulación, logaritmos, trigonometría
20. En una época de máquinas de calcular la cuestión surge en todos los niveles, desde la aritmética al cálculo infinitesimal. ¿Hasta dónde debemos enseñar sólo comprensión básica y hasta dónde debemos preocuparnos por la habilidad en la manipulación?
juventud. La mayor influencia sobre el futuro maestro es la de la escuela elemental y a ella le sigue la de la escuela secundaria.
8 Una de las formas en que la educación elemental afecta a la escuela secundaria reside en que. en la mayoría de los países, hay un movimiento hacia abajo de los tópicos matemáticos. Los profesores secundarios se quejan de no tener tiempo para tratar todos los tópicos que la universidad le exige. La razón principal reside muchas veces en el vacío matemático de la escuela elemental. A. P. Rollet, en un artículo sobre las escuelas inglesas, señala que niños de los más capaces no comienzan a atacar intensamente el álgebra y la geometría hasta los 11 años de edad; afirma que sufren de “estancamiento matemático". En América del Norte, en donde una exposición mucho más moderada de la matemática comienza a los 14 años de edad, esos niños habrían sido descritos como furiosamente “acelerados". Sería muy deseable que un contenido mucho más rico pudiera sej aprovechado por los niños de 9 a 13 años, no sólo para aliviar el plan de estudios secundario sino porque los alumnos están en la edad en que el estímulo de las nuevas ideas crea con mayor facilidad intereses intelectuales permanentes. Los profesores de escuela secundaria deberían pues ser preparados para uña transferencia constante de álgebra y geometría seria a las escuelas elementales.
9. Los profesores secundarios objetarán que los maestros elementales no pueden manejar adecuadamente esos tópicos. Pero esto equivale a ignorar que los futuros maestros elementales se están sentando hoy en las escuelas secundarias. Sugeriría como programa mínimo de la matemática secundaria que todo alumno abandone la escuela con el equipaje de un buen maestro de matemática de escuela elemental.
16. La uniformidad está particularmente fuera de lugar cuando se intenta cambiar o ampliar el plan de estudios. Inevitablemente, sólo puede haber un pequeño numero de escuelas en las cuales los profesores sean capaces de presentar el nuevo material efectiva e inspiradamente. Pero no debe esperarse que toda la ciudad, la provincia o el país estén en condiciones para ello; eso nunca ocurrirá más bien, los centros más eficaces deben ir a la cabeza y la influencia que logren desarrollará gradualmente a los demás.
17. En un periodo de transición pueden necesitarse toda clase de medidas informales. Una escuela secundaria podría —como se lo ha intentado en algunos lugares— ofrecer un club matemático por ejemplo una vez cada dos semanas a los alumnos más capaces e interesados de las escuelas elementales más cercanas a ella. Los alumnos de la escuela secundaria pueden encontrar dos o tres niños de la escuela elemental y ayudarlos en álgebra y geometría; de esta manera se puede reconocer el talento para la enseñanza y proporcionar un adiestramiento excelente al futuro maestro. Los niños más capaces de la escuela elemental serán alentados para actuar por si mismos. Se estudiarían los libros que en realidad los niños pueden leer provechosamente. Por analogía con los profesores de música, un buen maestro de matemática podría recorrer cierto número de escuelas elementales dando en cada una de ellas una lección semanal para promover interés por el tema.
18. Aquí he empleado cierto tiempo en la discusión de las edades 9 a 13 porque estoy cada vez más convencido de que es el área estratégica vital en don-
13. La matemática implica inteligencia general. Los éxitos individuales de los niños varían naturalmente. Exito completo significa que un niño muestra el mismo nivel de interés, confianza, iniciativa, originalidad e ingenuidad para enfrentar problemas científicos y matemáticos que en cualquier otro departamento de trabajo o juego. El éxito se juzgará no mediante tests de elección múltiple sino por la observación del niño en una situación real.
14. Por supuesto, los niños deberían trabajar a su propio ritmo. Cierta vez, hice funcionar un club matemático en Nueva Zelandia en el cual los niños podían aprobar pequeños tests. Muchos de ellos se referían a la comprensión básica- de una idea, por ejemplo, "comprender el uso de la x". En algunas escuelas americanas cada niño tiene una libreta que registra su progreso en la lectura. Lo mismo se puede hacer en matemática. Esta idea se elaboró algo en un informe de Ontario sobre geometría.
15. Esto me lleva a la siguiente cuestión. Cuando arribé a América del Norte vi algo que nunca había visto antes, un libro de texto intitulado “Matemática para el 9o grado”, que era un esquema
10. Esto apunta a los siguientes objetivos en el siguiente orden de importancia: (1) El alumno debe disfrutar de la matemática y no tener miedo de pensar sobre ella. (2) Debe ser capaz de entender los resultados matemáticos: informalmente, pictóricamente o mediante una situación concreta. (3) Debería haber trabajado con la matemática en relación con leyes científicas simples y con el
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dones, f(A + B) no está del todo simplemente relacionada con f(A) y f(B). Las matrices nos dan una manera de ver por qué existen tales fórmulas. Con el cálculo se puede volver plausible la conexión del seno y el coseno con e¡* y reducir de ese modo al álgebra todas las identidades trigonométricas.
te con pajillas verticales sobre un tablero perforado o, en un marco agricultura!, con varillas introducidas en un barroso trozo de terreno. Las coordenadas tridimensionales son un efectivo recurso para el dibujo de cualquier objeto sólido complicado —un avión, un edificio, una pieza trabajada en metal. En nivel más avanzado, las coordenadas nos proveen de un armazón para la mayoría de los problemas físicos y también constituyen una manera de representar ideas puramente matemáticas, como los vectores, espacio de Hil- bert, etc.“Nueva” matemática: errores y posibilidades.
34. No acepto ningún otro significado de “matemática nueva” o ‘‘matemática moderna” que el determinado por los progresos en las investigaciones desde 1900.
Comúnmente se hace mal uso de estos términos con el fin de dar prestigio a cualquier innovación en la enseñanza, buena, mala o indiferente. En los Estados Unidos se emplea ‘‘tradicional para describir su tradición de enseñanza muy mala, memorística y por esa razón (en sentido figurado) para estropear cualquier tópico previamente enseñado. Es necesario, pues, discutir individualmente cualquier innovación y evaluarla como buena o mala.
35. Ontario, ubicada demasiado cerca de los Estados Unidos, ha sufrido por ese motivo la aceptación poco escrupulosa de las ideas americanas. Un curriculum ofical introducido hace pocos años organizó el trabajo de cada año alrededor de tópicos tales como el conjunto de los números naturales, el conjunto de los enteros, el conjunto de los nacionales, y así sucesivamente. Esto constituye una base totalmente incorrecta sobre la cual construir porque refleja el procedimiento de la escuela de graduados antes que las necesidades del niño. En el tipo de enfoque concretado por la profesora Edith Biggs (cuyo prestigio, me agrada decirlo, está creciendo constantemente en Ontario), un muchachito se puede encontrar con números enteros o fraccionarios desde sus primeros encuentros con las mediciones. El enfoque abstracto ha alejado a la matemática escolar de la ciencia escolar —lo opuesto es lo necesario tanto desde el punto de vista educativo
26 Una máquina de calcular dará la respuesta a un problema específico pero no nos ayuda a observar una ley. Nos dará el cuadrado de un número determinado o encontrará un producto particular pero, cuando se le presente una colección de cifras, no responderá. ‘‘Por
todos cuadrados” o ‘‘Esta es la
21. La respuesta está ciertamente entré las dos posiciones extremas.
22. En primer término deberíamos desembarazarnos de la idea de que el uso de todo artefacto que nos ayude es un fraude. Cuando veo sobre las hojas que se emplean para los exámenes expresiones como ‘‘No se permite usar reglas de cálculo” me pregunto si en la linea siguiente no se leerá: “Todos los cálculos se harán con números romanos .
23. En general, deberíamos estar preparados para usar, cuando convenga, ábacos, reglas de cálculo, tablas de integrales, gráficos y artefactos mecánicos que podamos comprar o construir.
24. Algunos exámenes británicos acostumbran incluir integrales muy complicadas. Me parece un asunto menor. Un curso de cálculo debería cubrir los procesos estandardizados y los resultados más simples de la integración. Debería señalarse que ciertas expresiones como V1-x4 y e-x2 no tienen integrales elementales y tratar entonces las cuatro clases principales fáciles de manejar, a saber, funciones racionales, funciones racionales de sen x y eos x, etc. Debería explicarse la construcción de tablas de integrales.
25. Ahora bien, me referiré a la necesidad de cierta destreza para la manipulación. Un concepto nuevo a menudo se introduce mejor mediante algún ejemplo simple que implique cierta cantidad de cálculo. En los Estados Unidos, donde incluso los profesores de las escuelas secundarias son bastante inseguros para la manipulación algebraica, algunas veces traté de introducir el cálculo diferencial o las matrices mediante un poco de álgebra. Ocurrió a menudo que la energía mental de los profesores era completamente absorbida por la comprensión del álgebra y qn* no lograban ninguna compresión aei nuevo concepto. Se trataba de una situación claramente indeseable. Lo mismo puede ocurrir en un nivel más bajo. La misma álgebra se puede introducir estudiando algunas “coincidencias” en aritmética o mediante alguna ley científica simple. Se espera que los alumnos decubran la regularidad existente. Este útil método de trabajo se debe excluir totalmente si la aritmética de los niños es demasiado débil.
tabla de multiplicar por 7”. Los alumnos necesitan familiarizarse suficientemente con las tablas de multiplicar, las fórmulas algebraicas, etc., para poder reconocer situaciones en donde son pertinentes. El reconocimiento de estructuras afortunadamente es una actividad que agrada a los niños y les ayuda a fijar en su memoria los hechos individuales.
31. Existe la mayor diversidad de puntos de vista sobre el “status” de la trigonometría. Algunos topólogos, que nunca la usan, la consideran como una pérdida de tiempo. En el otro extremo, las personas más prácticas todavía tienen que tratar con objetos sólidos que tienen formas y tamaños definidos. En su forma tradicional, la trigonometría todavía es pertinente para un arquitecto o un astrónomo. Las funciones trigonométricas son pertinentes para las oscilaciones mecánicas y eléctricas, la variable compleja y las series de Fourier.
32. Creo que en general se concuerda en que debe desterrarse drásticamente toda la tarea referente a la solución de triángulos, particularmente el trabajo numérico con logaritmos y las fórmulas correspondientes. Como método de cálculo los logaritmos casi han caído en desuso (Todavía se los puede usar para hallar an cuando n es grande). La escala logarítmica es todavía útil y se la introduce ventajosamente junto a la regla de cálculo. Digamos, incidentalmente que el enfoque del siglo XVII de los logaritmos era mucho más simple que el moderno puesto que los logaritmos precedieron a los índices fraccionarios más o menos en medio siglo. Es muy ventajosa para la enseñanza definir primero los logaritmos, y luego definir xk, para cualquier valor de k, como el número que se presenta k veces más adelante en la regla de cálculo que x. Los niños están deseando aceptar que tal número existe en tanto que pueden tener serias dudas acerca de si 100-301 tiene algún significado.
33. Me inclino a considerar al álgebra, la geometría analítica de 2 y 3 dimensiones y la trigonometría como un todo indisoluble. La trigonometría ingresa naturalmente como el medio por el cual una distancia r y un ángulo O se interpretan en un sistema de coordenadas. La geometría analítica tridimensional suena como muy tremenda, pero en realidad se le puede enseñar a los muchachos jóvenes si se la presenta concretamen-
27. Incluso para la resolución de problemas pueden ser útiles ciertas ayudas materiales. Por ejemplo, para atacar un problema de geometría tradicional un enfoque sistemático resultará ayudado por un diagrama que muestre los principales teoremas de Euclides. En general, los alumnos deberían ser estimulados a redactar, y usar cuadros sinópticos de la información de que disponen. (Incluso deberían hacerlo muchos estudiantes universitarios).
28. Un enfoque que evita pérdidas de tiempo y crea interés es demostrar como ejercicios los futuros teoremas. (En general, los teoremas deberían presentarse como problemas y no ser considerados como una categoría especial). Por ejemplo, en el cálculo infinitesimal, evaluar
Jcxn ex dx para n = 0, 1,2,... es un ejercicio razonable. Pero esta integral carecería de sentido cuando n es una fracción y nos permite definir n! para el fraccionario n.
29. En trigonometría, la derivación de las fórmulas de sen 2A y eos 2A puede ser presentada como un problema de geometría analítica; si (c, s) es'el punto de la circunferencia unitaria de ángulo A, ¿cuáles son las coordenadas del punto de ángulo 2A?
30. Inversamente, ciertos tópicos más avanzados son una buena excusa para ver ciertas cuestiones de otra manera y para tratarlas más eficientemente. Es realmente destacable que existan fórmulas simples para el seno y el coseno de una suma; para muchas fun-
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complejas de toda clase, sean números racionales, irracionales o magnitudes espaciales, entonces los doctos brahmanes indostánicos son los inventoresreales del álgebra» .
Los indios, incidentalmente, eran matemáticos aplicados. Necesitaban de la matemática para hacer astronomía y, como los descubridores del cálculo infinitesimal en el siglo XVII, no tenían las inhibiciones de los griegos que no trataban de ir a ninguna parte.
37. La buena matemática requiere un equilibrio entre los enfoques de los griegos y de los indios. La buena enseñanza seleccionan de ellos los que resultan más apropiados para ser enseñados a los alumnos.
38. Ahora bien, los profesores de las universidades americanas que pusieron de moda el conjunto de números irracionales tienen, por supuesto, una base lógica perfectamente justa. Si, por ejemplo, determinamos, x = cos 72° resolviendo la ecuación de quinto grado que expresa eos 5A = 1, estamos admitiendo que los procedimientos algebraicos usuales se pueden aplicar al número irracional x. No cabe ninguna duda, en determinado momento, que las implicaciones de esto deben ser analizadas y justificadas tanto como sea posible. Lo que se pasa por alto es lo siguiente. Para un maestro que está cerca de un muchacho tumultuoso, lo primero que debe tener en cuenta no es la precisión lógica de sus lecciones,'es, más bien, el impacto dramático, cuanto avanzará con sus lecciones y si comprende que está aprendiendo algo exitante y valioso. Si un curso es duro, no importa cuán bueno sea en otros aspectos, los alumnos no le prestarán mucha atención. Al planificar un curso se debe cuidar mucho este aspecto. Con cierta frecuencia debería aclarársele al alumno que el último capítulo le ha permitido diseñar, o hacer, o comprender o construir algo que no había hecho antes. Lo primero que el maestro debe probar a su clase es que el curso no es un pérdida de tiempo y la prueba debe provocar una reacción espontánea en sus corazones y no ser un argumento aceptado a regañadientes por sus cabezas.
39. Una observación al pasar. Creo que una excelente forma para formar maestros es concurrir con ellos a una
calle o parque donde haya niños sobre los cuales Ud. tenga poderes disciplinarios y comenzar a hacer algo para ver cuántos niños le rodean, cuánto tiempo se quedan y qué preguntas formulan.
40. Retornemos a la cuestión de la lógica; en matemática es perfectamente justificable un enfoque “previo”, esto es, primero desarrollar un tema informalmente de manera de lograr el asentimiento intuitivo del aprendiz y mostrarle qué se puede hacer de manera; en una etapa posterior se debe intentar un análisis de los fundamentos lógicos. Esto se reconoce en general (en el Reino Unido) en la enseñanza del cálculo infinitesimal; un tratamiento intuitivo debería preceder a un curso de análisis. De la misma manera, yo explicaría como llegó Euler a la relación entre la trigonometría y antes de discutir el diagrama de Argand o la explicación de ¡os números complejos. En primer término muestro que esto conduce a resultados interesantes; ellos ayudan al tratamiento lógico. Pero si no llevan a ninguna parte ¿por qué ha de gastar su tiempo el aprendiz? Por supuesto, es bueno preparar el campo para los desarrollos posteriores indicando que el uso de series infinitas puede conducir a falacias, que el marco puede engañar, y así sucesivamente. Cuánto de esto se haga dependerá de la estimación del maestro sobre la clase a la que se está enseñando.
41. En años recientes hemos oído hablar mucho de las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva (C.A.D.) Parecería natural preguntarse cuál es el papel de estos conceptos en matemática. ¿Cómo llegó la gente a pensar sobre ellos? Estos términos aparecieron por primera vez en el período de 1800 a 1840, poco después de que Gauss, Argand y Wessel dieran una interpretación geométrica de V-1. El ente ¡ siempre'ha tenido algo de misterioso; no es un número pero algebraicamente parece comportarse como un número. Cuando se definieron geométricamente la adición y la multiplicación de números complejos, la cuestión se presentó naturalmente; ¿Cuáles son las propiedades de estas operaciones que se pueden establecer para probar que el álgebra ordinaria funciona para ellas?/se vio que la mayoría de las cosas que se hacen en álgebra eran consecuencias lógicas de las propiedades C.A.D.; cual
quier sistema con estas propiedades se puede manejar como si estuviera constituido por números,.Hamilton, al tratar de generalizar los números complejos, encontró los cuaterniones que gozan de las propiedades A. y D. pero no de la C. Las matrices vinieron poco después.
42. Se produce una gran mistificación si se les dice a los maestros que algún concepto es importante pero que no presenta ninguna aplicación significativa. Ello ocurrió ciertamente en los Estados Unidos donde términos tales como conjunto y conmutativa son objeto de algún tipo de veneración casi religiosa. Distinguiré, pues, entre la simple mención de una idea ( que es una excelente manera de preparar a los alumnos para el trabajo futuro) y recalcarla, lo que indica que Ud. está por usarla para deducir teoremas de alguna importancia.
43. Los americanos creían bastante correctamente, así lo creo, que desde las primeras lecciones de aritmética debemos preparar a los alumnos para que algún día hagan álgebra. La rápida mención de las propiedades C.A.D. es una orden. Procediendo así no solo enseñaríamos hechos particulares como 2 + 3= 5 sino que plantearíamos cuestiones de valor más general tales como; “Cuando se suman números, ¿importa el orden con que se lo haga?” “Y para la multiplicación ¿importa cual es la manera más astuta del resolver 58x3 + 58x 7?” Cualquier buen alumno de una clase tradicional de aritmética comprende todas esas cosas; no obstante es bueno asegurarse que han llamado la atención de todos los alumnos. Las ideas allí contenidas son evidentemente útiles en aritmética y en los comienzos del álgebra.
44. Las propiedades C.A.D. se pueden usar para introducir los números negativos tal como se hace en el libro de Du- rell, Palmer y Wright de 1920 o en los esquemas de S.M.S.G. (School Mathema* tics Study Group) aunque creo que no sería un buen método didáctico confiar sólo en ese enfoque. Las propiedades formales son singularmente irreales para muchos niños y, en verdad, no aclaran todas las cuestiones lógicas implicadas. También se deberían usar los argumentos pictóricos e inductivos para que los alumnos confíen en el uso de los números negativos.
45. Las propiedades C.A.D. se con
como del punto de vista tecnológico. Los efectos han sido muy desastrosos para los niños menos académicos pero más activos y prácticamente más dispuestos. En un curso para tales alum-
(de 15 años de edad) se asignaba gran importancia al “conjunto de los números irracionales '. Un maestro demasiado celoso debió ser reprimido para que no asignara el siguiente tema de examen: “Probar que el conjunto de los números irracionales no es cerrado con respecto a la adición”. No puedo imaginar cómo un maestro podría esperar mantener interesados a los estudiantes técnicos con un tópico que esta totalmente fuera de lugar con respecto a sus objetivos e intereses. Lo que vuelve más trágicas a tales órdenes es que toda la información pertinente sobre los irracionales aparece natural e inciden- talmente como un comentario al pasar del teorema de Pitágoras que interesa real e inmediatamente a las clases técnicas.
La diagonal de un cuadro implica \/2. El maestro puede señalar que las tablas dan valores aproximados de V2, pero Ud. no obtiene 2 si eleva al cuadrado esos valores, dado que en verdad no hay una fracción p/q cuyo cuadrado sea exactamente 2. Debería indicarse la razón: elevar al cuadrado provoca que cada factor primo se presente un número par de veces, no puede obtenerse un solo factor 2.
36. El análisis lógico excesivo puede inhibir el pensamiento matemático. Esto quedó demostrado hace mucho tiempo en la mayor escala posible, la de la historia del mundo. El siguiente pasaje pertenece a Cajón, Historia de la matemática; la sentencia final que cita Cajo- r¡ pertenece al matemático Hankel.
“Los hindúes nunca percibieron la línea divisoria entre los números y las magnitudes exaltada por los griegos, los cuales, bien que como producto de un espíritu científico, retardaron grandemente el progreso de la matemática. Ellos pasaron de las magnitudes a los números y de los números a las magnitudes sin darse cuenta del resquicio que para una mente agudamente discri- minadora existe entre lo continuo y lo discontinuo. Pero al hacer eso los indios ayudaron mucho al progreso total de la matemática. «En verdad, si se entiende como álgebra la aplicación de operaciones aritméticas a magnitudes
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dos circuitos alrededor del Podemos afirmar que hay dos
está creando la demanda óe ciertas otras habilidades en tal o cuál cantidad.
car hombres en la luna. No existe ninguna duda de que en el 2008 ocurrirán otras cosas igualmente inesperadas. No se crea que mi propósito es proveer a los maestros de una bola de cristal para ver el futuro, simplemente trato de proveerlos de ojos para ver lo que está ocurriendo ahora de modo que puedan conjeturar inteligentemente lo que ocurrirá mañana y sepan corregir sus hipótesis en la primera oportunidad. Innecesario es decirlo.; las escuelas no deberían tratar de enseñar los detalles e la tecnología actual (que pronto estará en desuso) sino principios generales que acaso perduren. Por otra parte, los ejemplos actuales, si los usamos adecuadamente, dan realidad e interés a las lecciones.
54. Desde 1945 a 1947, el Instituto de Tecnología de Leicester recogió ejemplos del uso de la matemática en la ciudad. Por supuesto, desde entonces las computadoras y el automatismo han experimentado grandes cambios, pero con todo todavía surge una conclusión: el uso más amplio de la matemática no es el de la resolución de problemas, sino que es el de un lenguaje mediante el cual se aprende la ciencia y la tecnología. Más recientemente, redacté una pequeña muestra de libros sobre varios temas para ver la clase de matemática que se emplea, los noros ño son siempre buenos indicadores de las nuevas ideas (puesto que autores y lectores desconocen usualmente la nueva matemática), pero dan alguna indicación sobre los tópicos tradicionales que mantienen su vitalidad. El álgebra elemental es ciertamente uno de ellos. Es difícil ver como cualquier desarrollo de matemática superior puede reemplazar- ai álgebra para el establecimiento de leyes científicas simples y hacer deducciones mediante la combinación de tales juicios. La fluidez en la lectura del álgebra, la habilidad para apreciar el significado de una ecuación o de un gráfico o para asociarlo con sus aplicaciones es y será una ventaja muy valiosa para todo, desde la electrónica a la ecología.
55. En los países agrícolas, el interés puede ubicarse en las ciencias relacionadas con la biología; allí (como en muchas cuestiones industriales) la estadística desempeña un gran papel. Concordantemente, parece que para
cual hace origen. I ceros de f(z) en C*
vierten en los protagonistas en el molos alumnos conocen y
emplean sistemas que no son numéricos (especialemente las matrices y lo números complejos) y e^uen ra nuevas características tales como las matrices cuadráticas con infinitas so u- ciones. Entonces se presenta muy natu- raímente la cuestión de los procesos al-
S^*JS£7lñ3SSS&del álgebra mediante las propiedades C.A.D. parece sensata a los aprendices.
46. Siempre he pensado que “la regla en cualquier orden” del par de propiedades conmutativa y asociativa, es un asunto algo sútil y se debe pensar un poco sobre la mejor forma de hacerlo en ese momento. Las calificaciones de los maestros son pertinentes. En algunos lugares, los maestros están haciendo en este momento juicios incorrectos sobre los conjuntos mientras antes solo hacían juicios incorrectos sobre números.
La matemática moderna más apropiada.
47. Parece razonable suponer que, con el andar del tiempo, algunos de los resultados matemáticos de este siglo hallen su lugar en las escuelas. Es difícil determinar cuales podrían ser. En la matemática clásica, tenemos clara idea de cómo se relaciona cada tópico y esto con las aplicaciones. La matemática reciente se ha repartido entre tantas especialidades y se la ha presentado tan abstractamente que a menudo es difícil reconocer las interrelaciones o reconocer que un artículo es adecuado para un problema que se desea resolver. Las asociaciones e institutos deberían alentar a los matemáticos y a todos los que emplean matemática a escribir informes comprensibles sobre los orígenes y aplicaciones de la matemática reciente. Eso ya está haciéndose eñ cierta medida.
48. Un ejemplo particular, tomado de la tecnología quizás ilustre lo que quiero decir. Es una generalización en variable compleja de un resultado clásico. Tengamos un polinomio f(z) y nos interesa saber cuantas soluciones tiene f(z) = 0 dentro de una curva C. Un interesante teoría nos da la respuesta. Supongamos que, cuando z recorre la curva C, el punto f(z) recorre una curva K la
mentó en que51. Es necesario que nuestra mente se
conserve a la vez abierta y escéptica. Un sistema educativo es como un ejército; lleva tiempo ir de un lugar a otro y todavía más si debemos retornar porque nuestra primera desición era errónea. Siempre me ha impresionado el tiempo que se pierde en la educación de muchas personas, los matemáticos incluidos. Alguien dirá que un tópico es importante cuando todo lo que realmente sabe es que lo usa mucho en su propia investigación (no aplicable). Otro propone incluir un tópico en el plan escolar de estudios porque se lo usa en los cálculos electrónicos, pero omite mencionar si se lo hace en la investigación, la fabricación, el mantenimiento o la programación de las computadoras. Un matemático que ama su especialidad puede sostener que es práctico porque se lo ha usado en un escrito científico particular.
52. Mis otras actividades prestan bastante atención al examen de los empleos de la matemática. En verdad, un tratamiento adecuado requiere mucho más que lo que puede hacer un solo individuo. En varias ocasiones he sugerido que los que emplean la matemática debieran redactar un informe periódico del que pudieran disponer los maestros sobre las tendencias de las aplicaciones de la matemática. Incluso podría ser útil una pequeña revista que incluya lo más importante de la información publicada. Los informes deberían aclarar si los desarrollos afectan a los países industriales o agrícolas, a muchos o pocos trabajadores, científicos o técnicos, desarrollados o no. Deberían prohibirse los juicios generales vagos y darse ejemplos concretos de los problemas que interesan. Un informe periódico tal sería muy valioso para muchas personas además de los maestros.
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49 Ahora bien, los números complejos son un sistema extraordinario y único. Nuestro teorema parece un caso muy especial y limitado, pero en verdad, escogiendo sus bases esenciales, puede ser muy general. Supongamos que consideramos no sólo el contorno C sino que imaginamos una membrana que cubre su interior. Esta membrana se convertirá en una membrana de límite K y de ella habrá dos capas sobre el origen. Si en lugar de exigir que f sea un polinomio requerimos simplemente que f sea continua, la membrana transformada puede tener pliegues, pero todavía podemos asegurar que por lo menos habrá dos hojas de la membrana sobre el cero y, por tanto, 2 ceros de f en C. Este teorema se generaliza para más dimensiones y da una manera útil para determinar las soluciones de un complicado sistema de ecuaciones. Incidental- mente, este método concuerda con el criterio dado por el profesor A. J. M. Spencer en su articulo Educación de los matemáticos para la industria (Mathematical Gazette. Octubre de 1967); nos permite encontrar soluciones aproximadas de problemas reales en lugar de soluciones puras y exactas de problemas irreales.
Matemática y utilidad.50. ¿Qué matemática usa realmente
la gente durante su vida? En principio, la respuesta a esta pregunta debería ser muy fácil pues, a diferencia de la mayoría de las cuestiones educativas, no compromete la naturaleza de la mente humana sobre la cual no sabemos casi nada. Es relativamente fácil evaluar cuántas personas cumplen una tarea particular y que matemática es, pudo o debería usarse en tal trabajo. Existe por supuesto, la dificultad de preveer los desarrollos futuros. Pero, por lo menos podemos establecer tendencias a corto plazo — el automatismo está borrando la demanda de cierta habilidad para tantos miles de ocupaciones por año y
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53. No puedo, por supuesto predecir mucho el futuro. Hace unos cuarenta años (cuando estaban comenzando su carrera los maestros aue ahora se retiran) nos habríamos burlado de quién hubiera pronosticado que en 1978 la desocupación habría de ser mitigada porque muchas personas se emplearían ventajosamente en la tarea de tratar de colo-
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fundirá las capas polares y elevará en 180 pies el nivel del mar; el envenenamiento de animales y seres humanos por el uso indiscriminado de pesticidas; toda la gama de efectos inesperados e indeseables de las sustancias que se venden en las droguerías químicas, y, por supuesto, la fusión nuclear. No todos los temores serán justificados, pero el hecho de que realmente se planteen esas cuestiones es un síntoma del enorme crecimiento del poder del hombre para inteferir a la naturaleza. Estamos en la posición del aprendiz de brujo: tenemos mucho más poder que juicio.
57. Se puede pensar que la mayoría de las personas es incapaz de apreciar los hechos que afectan nuestras vidas. En realidad, no creo que la humanidad sea mucho más inteligente que hace medio millón de años. Pero comprender no es un asunto puramente individual. La capacidad para leer y escribir significó alguna vez habilidad para una manera de manejar algunos millares de caracteres chinos; hoy significa habilidad para aprender 26 letras y para contender con ciertas rarezas, mientras que en Ghana significa simplemente potencia para manejar un alfabeto totalmente fonético. Un griego antiguo necesitaba cierto talento para reconocer que la tierra era redonda; actualemente, un niño, demasiado pequeño para ir a la escuela, puede ver por televisión una fotografía de la tierra tomada desde el espacio y creer sin ningún asomo de duda que la tierra es redonda. Siempre existe alguna manera de aclarar las ideas; nuestra tarea es encontrarla. Generaciones más primitivas pudieron asombrarse ante la idea de que todo niño aprendiera a leer. Puede ser que no se necesite tanto tiempo para lograr que todo niño aprenda matemática.
los biólogos y para otros que no desean conocer mucho de matemática, debería intentarse darle cierta familiaridad con los coeficientes binómicos y su función en la probabilidad. Para la curva del error normal y para la distribución de Poisson (ambas de significación biológica) parece indicado el cálculo necesario para comprender ex. Tratar algebraicamente ex es aterrador. Pero más indeseable es tener personas trabajando con un símbolo como e sin tener ninguna ¡dea de su significado u origen. En su Calculus Made Easy, Sylva- nus P. Thompson obtiene e muy pronta y fácilmente. Seria una cosa buena que algún tratamiento tan simple de una parte limitada del cálculo infinitesimal pudiera enseñarse tan pronto como el alumno conociera las ideas básicas del álgebra; el cálculo se podría usar entonces correctamente en la escuela secundaria, por ejemplo, cuando se debe interpretar un gráfico. Sus ¡deas se volverían entonces muy familiares.
56. La necesidad de conocer algo de ciencia es asunto de todos los ciudadanos, no solo de algunos empleados. Hace algún tiempo hubo un sobresalto por los posibles efectos perjudiciales de la radiación emanada de los aparatos de televisión en color. He aquí una cuestión cotidiana que contiene dos profundos tópicos científicos, la radiación y la genética mendeliana (otra vez la probabilidad y los coeficientes binómicos) En la prensa hubo discusiones sobre el número de partes de bióxido sulfúrico por millón de partes de aire a que la industria puede someter sin peligros a los habitantes de las ciudades y sobre si el desarrollo de la industria reducirá el contenido de oxigeno del aire por debajo del mínimo necesario para la vida o, más conservadoramente, si el aumento de bióxido de carbono de la atmósfera
La enseñanza de la
matemática moderna*Jorge E. BOSCH
(Argentina)Sr
. demonimación de “moderna” no implica un concepto distinto ni opuesto al de matemática “tradicional” La disciplina es la misma, bien que actualizada por su trayectoria histórica.
1. Moderno-tradicional: falsa antinomia
Como toda ciencia, la matemática evoluciona y progresa a lo largo de la historia. La llamada “matemática derna” es simplemente el estado actual de la matemática: lejos de haber una ruptura entre este estado y los anteriores, se observa una clara continuidad histórica. En consecuencia, la separación entre “matemática moderna” y “matemática tradicional” como si se trataran de dos disciplinas distintas u opuestas en algún sentido, constituye un grave error de concepto. Tal vez la frase “enseñar matemática moderna en las escuelas" no sea del todo feliz; lo que se quiere decir con esta expresión es que conviene enseñar matemática aprovechando los progresos recientes de esta disciplina, en tanto y en cuanto ello sea posible desde el punto de vista Dsicopedagógico. Por otra parte, la enseñanza de una matemática actualizada no debe en modo alguno interpretarse como adhesión a la novedad por la novedad misma: este comportamiento frívolo no es digno de una ciencia ni de la actividad docente.2. El problema ontológico
Suele decirse que la matemática es una ciencia que estudia ciertos entes peculiares, tales como números, figuras, estructuras, etc. Con respecto a estas entidades caben diversas posiciones filosóficas, que de hecho son sostenidas por distintos matemáticos o filósofos de la matemática; me interesa destacar dos de esas corrientes: el rea
lismo y e\ nominalismo. La primera de ellas sostiene que los entes matemáticos son entes reales, existentes en el mundo; para el nominalismo, en cambio, no existen tales entes: lo que ocurre es que usamos palabras, nombres, que permiten construir un discurso coherente y útil, pero esas palabras son meros nombres que no se refieren a ninguna entidad real. La polémica entre realismo y nominalismo tiene una tradición secular, y apasionó a algunos de los más destacados pensadores de la Edad Media, que discutieron el famoso problema de los universales: los nombres universales, que se refieren a géneros o especies, tales como “hombre”, “perro”, “gato”, ¿son meros nombres o designan algo existente en la realidad? ¿Existe el ente universal perro, así como existe cada uno de los perros particulares? Estas preguntas se inscriben en el marco oel problema ontológico, que consiste en establecer cuáles son los entes que constituyen el ser, la realidad.
Y bien; es importante destacar dos incontrovertibles verdades de hecho: en primer lugar, que el discurso matemático en sí mismo —“tradicional” o “moderno”— no es realista ni nominalista; es neutral con respecto a este problema; en segundo lugar —y esto es lo más importante— todos los que ense-
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* Por gentileza del prestigioso matutino porteño •‘La Nación" publicamos este articulo que viera la luz en la sección literaria de la edición del domin-» go 2(J oe julio de 1979.
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mente impensable fuera del ámbito conjuntista; como ejemplo del segundo aspecto —calificación y ampliación de conceptos tradicionales— puede citarse la teoría de probabilidades, que encontró en su formulación conjuntista la vía para superar antiguos malentendidos así como para extender de manera impresionante su campo de investigación; en cuanto al tercer aspecto —unificación de la ciencia matemática— cabe advertir que la tradicional separación entre aritmética, álgebra, geometría y análisis ha sido superada gracias precisamente a la intervención de la teoría de conjuntos.5. Las estructuras y el ordenamiento subyacente
Hasta hace relativamente poco tiempo (unos sesenta años, aproximadamente) podía decirse con propiedad que la matemática es el estudio de los números, las figuras y las funciones. Pero a partir de la tercera década de nuestro siglo comenzó a tomar vigencia la ¡dea de que lo esencial de aquella disciplina son las estructuras: la estructura de grupo, la de anillo, la de espacio topológico, la de variedad diferenciadle, etc. Esta tendencia estructura- lista marca un nuevo rumbo de la matemática. que no podía dejar de ejercer influencia en el ámbito pedagógico. Las estructuras de la matemática actual tienen un poder sistematizador y unifi- cador cuyo menosprecio constituiría una insensatez. Pero también es una insensatez —de signo opuesto— hacer de estas estructuras abstractas la sustancia de la enseñanza de la matemática en los niveles primario y secundario. Todavía no se ha comprendido bien que aquellas estructuras deben estar en el espíritu de los programas y en la mente de los docentes, pero no deben constituirse en temas específicos de enseñanza. Las estructuras matemáticas deben ser tenidas en cuenta, con sabiduría y con mesura, para establecer el ordenamiento subyacente de los planes de estudio. Esto implica un compromiso intelectual que —a mi juicio— aún no ha sido comprendido en toda su extensión. El concepto mismo de ordena- ■ miento subyacente es de fundamental importancia, y todavía no ha recibido la atención que merece.
6. La axiomáticaOtro de los grandes malentendidos
SSESIiHSla ingeniería y en la economía, se defi nía tradicionalmente cono correspondencia pero sin aclarar a su vez el status ontológico de tal correspondencia. La adopción del punto de vista conjuntista permite, en cambio, definir con precisión, claridad una función como conjunto de pares ordenados; esto da a la básica noción de función un sentido objetivo y realista que antes no poseía.
La teoría de conjuntos iniciada por Georg Cantor a fines del siglo XIX, fue en el contexto histórico de la obra de
matemático, un triunfo del
que se han creado alrededor de la matemática y su enseñanza tiene su fuente en el método axiomático-deductivo. No cabe ninguna duda de que este es el método por excelencia de la matemática actual; también es cierto que este método está penetrando cada vez más en la física teórica y ya se ve que está encaminado a despejar muchas de las “paradojas conceptuales” de la teoría de la relatividad y de la mecánica cuántica. Pero hay dos aspectos histórico- filosóficos que han dado lugar a serias confusiones, a saber: 1 °) La creencia de que el método axiomático-deductivo es radicalmente “moderno”, y 2o) La creencia de que ese método consiste en elegir arbitrariamente —como en un juego— un sistema de axiomas, para divertirse a continuación extrayendo consecuencias lógicas. La primera creencia es obviamente falsa: hace más de dos mil años que Euclides brindó con sus “Elementos” el primer ejemplo masivo de construcción axiomática de la geometría, coherentemente con el pensamiento aristotélico acerca de la organización de la ciencia.
Por cierto que —como sucede con las grandes ¡deas científicas— el concepto mismo de axiomatización fue evolucionando con el curso de la historia: la idea filosófica que se tiene actualmente acerca del método axiomático-deductivo no coincide totalmente con la de Euclides, aunque ésta constituya su innegable raíz histórica. Esto nos conduce a examinar la segunda fuente de confusión señalada más arriba: la creencia de que el método axiomático-aeductivo —tal como se lo entiende en la actualidad— consiste en elegir arbitrariamente un sistema de axiomas para dedicarse en seguida al juego de extraer consecuencias lógicas. El método axiomático sería —según esta concepción— un pasatiempo frívolo que podría conducir a un voluntarismo ideológico y una desconexión total con la realidad. Pero he aquí que esa concepción del método axiomático- deductivo es característica de aficionados que sólo tienen un contacto superficial y de segunda mano con la tarea científica propiamente dicha. Todos los matemáticos serios sienten un visceral desprecio por los “axiomatizadores” que se dedican a ese juego, más cercano a la ciencia-ficción que al espíritu científico. Lo que se espera de las
matemática adoptan, en forma consciente o inconsciente, una posición realista. Todos los docentes, tradicionales” o “modernistas , están de acuerdo en que introducir dudas filosóficas acerca de la existencia de los entes matemáticos puede tener efectos perturbadores en la manera de la enseñanza: esta afirmación tiene validez general, pero posee una particular vigencia en los niveles primario y secundario.3. Los conjuntos
Suele decirse equivocadamente que los partidarios de la matemática moderna introducen la teoría de conjuntos en las enseñanzas primaria y secundaria. Esto sólo puede aceptarse como abreviatura: nadie enseña teoría de conjuntos en los niveles primario y secundario; lo que se hace es introducir nociones conjuntistas y adoptar el punto de vista conjuntista. La teoría de conjuntos propiamente dicha es un cuerpo de doctrina sumamente abstracto y complejo cuya enseñanza sistemática corresponde netamente al nivel universitario. Lo único que resta por discutir, entonces, es la conveniencia de adoptar el punto de vista conjuntista en la enseñanza de la matemática. En este sentido cabe afirmar que la forma en que se introducen las nociones conjuntistas en la enseñanza no universitaria refuerza de manera notable la posición realista mencionada en el párrafo 2. En efecto: todos los docentes presentan los conjuntos como entes reales, existentes, y de ninguna manera perturban al alumno introduciendo normas nominalistas acerca de la existencia de esas entidades. Esto puede comprobarse simplemente examinando cualquier libro serio dedicado a la enseñanza de los conjuntos en los niveles primario y secundario.
Este punto de partida permite a su vez dar un contenido objetivo y realista a gran parte de los conceptos fundamentales de la matemática “tradicional”, siempre desde el punto de vista de la enseñanza. Los ejemplos que pueden aducirse al respecto penetran todos los sectores del pensamiento matemático: aritmética, geometría, análisis, álgebra, topología, etc. Para evitar tediosas enumeraciones técnicas citaré solamente uno de los conceptos más importantes de la matemática pura y aplicada: el de función. Esta idea, que
ñan
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este granpensamiento esencialista, como lo fue también la obra de su ilustre contemporáneo Gottlob Frege, cuyas ¡deas sirvieron de base a la fundamentación lógica de la matemática que llevaron a cabo a partir de 1910, Bertrand Rusell y Alf’red North Whitehead. Se equivoca radicalmente, pues, quienes creen ver en la teoría de conjuntos no sé que brumosa amenaza a la tradición filosófica de Occidente: desde el punto de vista de la enseñanza, no hay duda de que las ideas conjuntistas contribuyen poderosamente —quizá como ninguna otra idea matemática— a la consolidación de un pensamiento ontológi- camente realista, claro, preciso e integrados
Quedan disipadas así las aprensiones filosóficas suscitadas en torno de la matemática “moderna” por gna interpretación alarmista que no toma en cuenta las condiciones reales y efectivas de la enseñanza en los nivejes primario y secundario.4. La fecundidad del pensamiento conjuntista
Pero la excelencia del punto de vista conjuntista no se agota en su firmeza ontológica. Toda la matemática contemporánea —salvo raras excepciones, como algunos capítulos de la teoría de números— es una emanación de la teoría de conjuntos. La fecundidad de esta teoría se manifiesta en un triple aspecto: en la generación de nuevos e importantes conceptos tradicionales y en la unificación de toda la ciencia matemática. Como ejemplo ilustre del primer aspecto —generación de nuevos e importantes conceptos— puede citarse la integral de Lebesgue, pilar de la matemática del siglo XX, que es sencilla-
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la vigencia del realismo en la enseñanza. Corresponde ahora hablar del realismo en sentido pragmático: vinculación entre las nociones teóricas y la realidad práctica. Esta no es una cuestión que tenga que ver con una supuesta polémica entre lo antiguo y lo moderno. Pasaré por alto el fascinante problema filosófico que plantea aquella vinculación entre matemática teórica y realidad. Vayamos al grano: que la matemática que se enseña resulta “mera especulación vacía” o “pensamiento teórico útil para la comprensión de la realidad” depende exclusivamente de la sensatez de quienes conducen la enseñanza, y no de que se usen conjuntos, vectores y transformaciones. Se puede ser especulativo y escolástico enseñando la matemática más antigua —lo cual ha ocurrido y continúa ocurriendo— o enseñando la matemática más moderna y actualizada —lo cual también ha ocurrido y continúa ocurriendo—. Lo que deseo recalcar con el mayor énfasis es que la matemática estudiada de acuerdo con un buen ordenamiento subyacente, y enriquecida con los conceptos de conjunto, función, vector y transformación geométrica, es suceptible de un intenso aprovechamiento práctico, que engloba y supera a las aplicaciones tradicionales. El éxito de esta empresa depende de la inteligencia y la sensatez de quienes conducen la enseñanza. Los problemas de fondo son: la confección de programas, la producción de material didáctico adecuado, la actualización de los docentes y la integración de las diversas disciplinas. La solución de estos problemas no es cuestión de un día ni de un año: se trata de una vasta y compleja tarea, cuyos enemigos principales son la ligereza y la improvisación.
9. Las dos deformaciones Lo más lamentable de la polémica de
satada acerca de la enseñanza de la matemática es que ella gira en torno de dos deformaciones pedagógicas: el teo- ricismo y el practicismo. Ambas son tan viejas como la enseñanza misma y aparecen en escena regularmente, cualquiera sea el programa —“modernista” o “clasicista”— que se adopte. En relación con los contenidos llamados tradicionales, la deformación teoricista se manifestó repetidamente a través de la insistencia en el recitado de las propiedades formales de las operaciones (ique todavía continúa!), en el estudio
minucioso de los puntos notables el triángulo, en la hipertrofia de la trigonometría y de la geometría del espacio. En relación con los contenidos “modernizantes”, esta deformación se manifiesta a través de la insistencia en las definiciones conjuntistas de los números enteros, racionales y reales, en la for- malización prematura e infecunda de las estructuras algebraicas, en la subordinación de las intuiciones geométricas a una axiomatización estéril, en la introducción de los conceptos fundamentales del análisis matemático sin la apoyatura de la “intuición infinitesimal”, que pese a su naturaleza metafísica (o quizás en virtud de ella) puede constu tuirse en una guía pedagógica de primer orden. Estos delirios teorizantes referidos a la matemática moderna tuvieron su culminación en Francia: se pusieron en manos de los adolescentes libros que añadían a su frialdad formalista y aterradora una insufrible pedantería. No es extraño que matemáticos ilustres como Jean Leray y René Thom —que figuran entre los creadores más refinados y sútiles de la matemática contemporánea— hayan reaccionado enérgicamente contra esos desmanes. Puede tomarse como símbolo la tan mentada y discutida definición de recta afín que se ha pretendido asestar a los niños franceses de^ trece o catorce años: delirios como éste, que equivale a enseñar el monólogo de Hamlet en el jardín de infantes, se prestan a producir reacciones violentas en sentido contrario y dañan severamente la causa de una enseñanza actualizada de la matemática.
En el polo opuesto están los practi- cistas de ayer y de hoy: desdeñan toda elaboración teórica elevada, toda enseñanza sistemática basada en un ordenamiento subyacente bien meditado, y se avalanzan sobre las mentes juveniles en un aquelarre de cuentas de almacén, pagarés, pintura de edificios, trenes que van y vienen, producción fabril y alambrados de campos. Nada de esto es nuevo, por cierto —aunque se pretenda presentarlo como la última palabra de no sé qué activismo pedagógico—, pues hace siglos que se fatiga a los niños de la escuela primaria con el aburrido cuento del comerciante que compra cinco docenas de botellas de aceite y quiere ganar el diez por ciento vendiéndolas al detalle. El practicismo es una deformación típica de la mente
as del dibujo. Cambian las longitudes y las áreas: un metro de la realidad se transforma” en un centímetro del plano; pero hay propiedades que permanecen invariables a través de esta transformación, a saber: las proporciones, los ángulos, la forma.
Y estas propiedades invariables constituyen, precisamente, el aspecto esencial de la técnica de los planos. Esto no es más que un ejemplo sencillo y más bien tosco; toda la geometría desde la más elemental hasta la de mas alto nivel, puede estudiarse mediante transformaciones que asumen muy diversas y elaboradas formas. La geometría, considerada desde el punto de vista transformacional, es el estudio de las propiedades que permanecen invariables a través de ciertas transformaciones. Esta concepción, que se fue gestando oscuramente durante los siglos XVII y XVIII y emergió con claridad durante el siglo XIX, obtuvo su formulación clásica en el célebre programa de Erlangen de Félix Klein (1872), y ha continuado desarrollándose con extraordinaria fecundidad hasta nuestros días. A sus excelencias científicas se agrega la indiscutible ventaja pedagógica de que se promueve la actividad constructiva del educando: haciendo dibujos y realizando operaciones gráficas el alumno aprende geometría.
Ahora bien: la geometría transformacional, que desde los puntos de vista científico y pedagógico es muy superior a la penosa y aburrida metodología ad- hoc que aún puede advertirse en algunos manuales desactualizados, halla su expresión más ágil y gráfica mediante el uso de vectores. No eslará de más recordar que el uso sistemático del método vectorial data del siglo XIX, y que sus éxitos más rotundos de aquella época corresponden al dominio de la física: mecánica, electricidad, magnetismo, etc. Ya en nuestro siglo, la teoría general de la relatividad —una de las grandes conquistas del espíritu humano- fue posible gracias a la utilización masiva del cálculo tensorial, que es la generalización de una reelaboración de los métodos vectoriales.8. Vinculación con la realidad
En los párrafos 2 y 3 he hablado de realismo en sentido filosófico, y he pretendido demostrar que la llamada “matemática moderna” promueve y acentúa
buenas axiomatizaciones es que clarifiquen un problema importante o que pongan orden donde se advierten síntomas de caos. Lejos de ser una “piedra libre” abierta a los voluntarismos y a las arbitrariedades, el método axiomático- deductivo (entendido seriamente) es un instrumento del orden y de la razón; pero no de la razón parcializadora y auto- suficiente, sino de esa razón unitiva que reclama José Isaacson en el prólogo a su bello “Cuaderno Spinoza”.
Se ve ahora que el problema pedagógico planteado por el método axio- mático-deductivo es arduo y complejo: no admite soluciones simplificadoras ni posturas extremas. Por una parte es obvio que este método por excelencia de la matemática (desde Euclides hasta la actualidad) debe estar presente de algún modo en la enseñanza; pero por otra parte enfrentamos un dilema de hierro: si se lo expone en forma superficial se cae en la frivolidad, la arbitrariedad y el voluntarismo; si se lo expone en forma seria y profunda se cae en una construcción engorrosa totalmente inaccesible para niños y adolescentes. ¿Cuál es la solución? Y bien; la solución es la misma que la propuesta en el párrafo anterior en relación con las estructuras: el ordenamiento subyacente. Son los maestros y los autores de programas los que deben tener una idea clara acerca del método axiomático, así como del sistema axiomático más apropiado desde el punto de vista científico y pedagógico. Una vez asumido en forma consciente y fundamentada este ordenamiento axiomático subyacente, lo que ha de entregarse al alumno no es precisamente el desarrollo minucioso y abstracto de este sistema, sino un cuerpo de conocimientos ágiles, accesibles, fuertemente conectados a la intuición y a la capacidad operativa del educando.7. Vectores y transformaciones geométricas
Ningún matemático de la actualidad negaría la importancia fundamental que poseen las transformaciones en el estudio de la geometría. Para ilustrar el punto de vista transformacional mediante un ejemplo sencillo y elocuente, consideremos el plano de un edificio: el dibujante que confecciona el plano está aplicando una transformación geométrica; los puntos y las líneas de la realidad se transforman en puntos y líne-
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1819
ria que ya ha sido excesivamente zarandeada, precisaré el concepto al que ahora hago referencia: llamo ideologis-
- la actitud por la cual se subordi- la objetividad y la investigación de
una materia cualquiera a los intereses de un sistema de ideas —político o filosófico— previamente adoptado. La lógica del ideologismo no se inspira en la realidad ni en la razón, sino en el deseo. Resulta natural, entonces, que los argumentos utilizados por los ideologistas estén más dirigidos a impresionar la emotividad que a poner en movimiento los mecanismos de la reflexión.
adulta que trata de imponer su descolorida visión del mundo del espíritu de los jóvenes, con total ignorancia de las auténticas motivaciones psicológicas de la niñez y la adolescencia. No hace falta investigar mucho al respecto, pues la experiencia ya se ha hecho masivamente y las pruebas están ahí, al alcance de cualquiera: todos los profesores de matemática saben, por ejemplo, que la llamada “matemática financiera” es uno de los temas que más aburren a los alumnos y maestros, pese a ser uno de los más “prácticos” que puedan imaginarse; en cambio, es sabido que ciertos juegos de ingenio o problemas puramente lógicos, como el “cuento de las tres cruces” o las paradojas de Zenón, llegan a apasionar el espíritu de los jóvenes. No se atribuya, pues, ninguna virtud pedagógica a la obsoleta ideología del practicismo.
El problema consiste en superar de manera racional e inteligente estas dos deformaciones, pero ese resultado no ha de conseguirse buscando un punto equidistante entre ellas. Jamás la sabiduría surgió como transacción entre dos estupideces; la razón y la prudencia no se obtienen como promedio aritmético de las diversas formas de la insensatez. Por cierto que deseamos enseñar una matemática ágil, formativa, interesante y útil; por cierto que deseamos proveer a nuestros alumnos de elementos intelectuales que le sirvan para interpretar la realidad. Pero lo que debe entenderse de una vez por todas es que el logro de esos objetivos no es tarea sencilla, y depende de la sabiduría con que se ordene y se implemente el material teórico disponible. A menudo se consigue una mayor potencia aplicativa por el camino indirecto de una abstracción previa que por la vía trivial del practicismo inmediato.Colofón antiideológico
Para evitar confusiones en una mate-
iducación matemática en los
niveles pre-elemental y primario*mo anan
F. COLMEZ (Francia)
Con la lógica superficial e insana del ideologismo es fácil detectar la presencia de demonios en las más ¡nocentes criaturas: ella puede demostrar, según convenga, que la matemática moderna es un arma secreta del imperialismo capitalista o la punta de lanza de la subversión de izquierda. De hecho, ambas “demostraciones” han sido ya realizadas y publicadas por los respectivos grupos ideológicos; y en los dos casos se recurrió a slogans alarmistas, expresamente diseñados para presionar a las autoridades por una vía totalmente ajena a la razón.
INTRODUCCION
En este artículo, intentaremos destacar las principales tendencias de la educación mática de los niños, desde el comienzo de su escolaridad hasta la edad de 10 a 12 años. En muchos países, esta edad ya no constituye el final de la escolaridad obligatoria, pero sigue siendo a menudo el momento de un cambio en el régimen educativo; a esta edad ponde, según Piaget, el fin de la etapa de las operaciones concretas.
En todo caso, los años de la enseñanza elemental son aquéllos en que los niños tienen su primer contacto con la actividad matemática y de allí su importancia primordial para su futuro, en particular para la actitud que adoptarán frente al saber. Por otra parte, es el lugar en donde los diferentes problemas suscitados por la enseñanza de la matemática más fáciles de plantear y observar.
La evolución actual tiene por motores dos deseos complementarios, pero de naturaleza diferente, a saber: (1) enriquecer el contenido de la enseñanza, valorando la potencia unificados y simplificados del pensamiento matemático, de modo de elevar el nivel de comprensión de cada individuo y el dominio del mundo exterior que la matemática favorece; (2) mejorar el proceso de aprendizaje de cada niño e introducir, en el momento oportuno, el estudio de las ideas matemáticas.
Durante los años 60 fue principalmente la primera ¡dea la que motivó el deseo de reforma en todos los niveles de la enseñanza. Se trataba de cerrar la grieta entre la matemática que se enseñaba y la que estaban desarrollando los matemáticos. Desde entonces, se ha intentado trasladar las ideas generales y unifi- cadoras a niveles cada vez más elementales.
En el transcurso de los años 70, el paso del estado de ensayos reducidos al de una genera
lización, en marcha o en preparación, condujo a dar más importancia al segundo aspecto citado y, por consiguiente, a precisar y tratar de modificar los proyectos anteriores, tanto desde el punto de vista de los objetivos y de los contenidos como de los métodos de enseñanza, preocupándose más por la formación de los docentes y de todos los que comparten la responsabilidad de este sector de la enseñanza elemental, los cuales en general no son especialistas en matemática.
Las consecuencias de este cambio de prioridad, constituyen el telón de fondo de las nuevas tendencias que intentaremos analizar.
1. Metas
1.1. ¿Matemática o aritmética?
En muchos países se ha introducido al nivel de la enseñanza elemental, la palabra “matemática". El prestigio de esta palabra y el temor que inspira a un público mal informado, han conducido con frecuencia que la aritmética (llamada también cálculo) que antes se enseñaba, estaba en oposición con la nueva matemática, introducida y que
mate-
corres-
S¡ se previenen las irrupciones delirantes del ideologismo, si se superan las deformaciones del teoricismo y del practicismo, si se decide —en fin— encarar el problema de la enseñanza de la matemática con la seriedad científica y la serena objetividad que el tema requiere, se podrá rescatar de la llamada “matemática moderna” la claridad conceptual y la potencia unificadora que, incorporadas racionalmente a un proceso pedagógico basado en las características reales de la niñez y la adoles: cencía, contribuirán sin ninguna duda a hacer que nuestro país recupere el puesto de avanzada que alguna vez le correspondió en materia educativa.
son
a pensar
*
* . Este articulo fue redactado por el autor de acuerdo con su disertación sobre el tema en el Tercer Congreso Internacional sobre Educación Matemática realizado en Karlsruhe, Alemania Federal, 1976 y teniendo en cuenta las observaciones de un panel compuesto por Guy Brousseau (Francia), J. Cort Jensen (Dinamarca), R. Disechbourg (Luxemburgo), J.F. Le B/anc (Estados Unidos de América), G. Matthcws (Reino Unido), Z. Semadeni (Polonia). L. Streef/and (Países Bajos), Bakary Traore (Malí), Tamas Varga (Hungría), Grace Williams (Nigeria), H. Winter (Alemania Federal) y otras de H. Besuden (Alemania Federal), J. S. Conroy (Reino Unido), E. G/enadine Gibb (Estados Unidos de América) y Ta- dasu Rawagachi (Japón).
2021
Con este objetivo se proponen a los alumnos situaciones para cuya solución existen varios caminos, en niveles distintos de mientos y de formalización, teniendo cuidado de no desilusionar ciertas tentativas, ni de fa-
otras en detrimento de las primeras. Cada alumno aportara alguna contribución al problema, y, eventualmente, podrá pasar de un nivel de solución a otro, estimulado por las discusiones en el aula.
Este objetivo supone un cambio considerable en el concepto de enseñanza. Anteriormente, el aprendizaje de técnicas de solución de problemas bien clasificados, cuyo enunciado contiene ciertas palabras clave que permiten descubrir al alumno el mecanismo que debe aplicar, reduce al alumno al papel de un ordenador que debe aprender ciertos programas. Este concepto, lamentablemente, no ha desaparecido todavía; se sabe que a menudo duce al bloqueo del alumno por miedo saber qué hacer, y que le deja desarmado el día que se encuentra frente a un problema no programado. Por lo contrario, el objetivo de desarrollar la actitud de investigación tiene los siguientes fundamentos:
a) socialmente: la diversidad de cuestiones en que interviene la matemática es demasiado grande para que pueda darse al niño una gama de programas lo suficientemente extensa que le permita atacar todos los problemas con que se pueda encontrar durante su vida, los cuales, por otra parte, actualmente nos son desconocidos.
1.4 Intelectualización de la enseñanza elemental
Como complemento del objetivo señalado en 1.3, existe la tendencia, menos generalizada y menos claramente expuesta en los textos oficiales, de la intelectualización de la enseñanza elemental. Entendemos por esto la introducción de conceptos matemáticos más precisos, una globalización y una organización más estructurada del saber. Esta estructuración se hace integrando progresivamente nuevos dominios, mediante marchas dialécticas entre los diferentes niveles de acciones y pensamientos.
Por ejemplo, en un trabajo sobre la medida de magnitudes aparecen manipulaciones de distintos tipos, realizadas en diferentes oportunidades, que permiten precisar sucesivamente el criterio según el cual se pueden comparar los objetos, destacar el concepto de medida, truir instrumentos de medida, perfeccionar estos instrumentos, construir objetos de medida dada, precisar el concepto de magnitud, relacionar entre si las diferentes clases de magnitud y construir fórmulas para áreas y volúmenes de objetos geométricos simples.
Por intelectualización entendemos también la investigación de regularidades, es decir, la búsqueda de semejanzas entre situaciones distintas, y de modelos comunes, esto es, la puesta en práctica de la unidad y de la economía de pensamiento, que son las bases de la utilidad de la matemática.
Este objetivo es muy ambicioso y los medios para alcanzarlo plenamente están todavía en estudio, pero hay en marcha muchas investigaciones al respecto.
Lo que parece comprobado es que los niños son capaces desde muy pequeños de crear, manipular correctamente y modificar según sus necesidades el lenguaje matemático simple necesario para la descripción y estudio de situaciones bien elegidas, respetando los criterios principales sobre los cuales se basa la eficacia de este método de investigación y comunicación, a saber: comprensión, concisión, precisión, oportunidad y naturalidad.
En particular, el uso adecuado de símbolos para indicar objetos, constantes, incógnitas y variables, les permite construir un instrumento eficaz para la solución de problemas. Al mismo tiempo, los niños son capaces de dominar el aspecto dinámico de la matemática (descubrimiento, construcción, reorganización) y en sus estrategias para La solución de problemas se pueden distinguir momentos de pensamien-
vos en sí mismos, y no como un medio para lograr, entre otras cosas, una mejor comprensión de los números. Queda menos tiempo para el cálculo y, como la enseñanza del mis-
ha sido mejorada, el resultado es una disminución en el dominio del cálculo por los alumnos. Este género de errores se va corrigiendo poco a poco, pero ha dado lugar a una polémica entre los partidarios del regreso a los objetivos anteriores y a "los métodos que han sido probados" y las personas que aceptan la disminución de la importancia dada al cálculo numérico y la justifican sosteniendo que puesto que la enseñanza elemental tiene menos responsabilidad en la orientación de los alum-
debe preocuparse menos del medio para esta orientación, que es el cálculo.
Ambas posiciones son estériles y la solución consiste más bien en reconsiderar completamente el problema de la adquisición de conocimientos, colocándolo en un contexto más amplio del proceso de aprendizaje, en el cual intervienen a la vez habilidades, aptitudes y conocimientos.
La tendencia que se destaca actualmente puede enunciarse de la siguiente manera: no solamente mantener una buena adquisición de habilidades y conocimientos de aritmética, sino ampliar este objetivo a otros dominios y crear en los alumnos aptitudes nuevas y, sobre todo, desarrollar las posibilidades de adaptación a situaciones ulteriores.
1.3 Desarrollo de la actitud de investigaciónLo que precede se refiere a la materia
enseñada; los objetivos que vamos a tratar ahora de poner de manifiesto se refieren al niño que hace matemática. En esta dirección, las tendencias más interesantes se basan sobre la idea de que no hay diferencia esencial entre la manera cómo un niño adquiere un saber y la manera cómo un matemático ha creado ese saber y que, por tanto, la enseñanza de la matemática debe en gran parte ser concebida como un redescubrimiento. Sin. embargo, de hecho, se comprueba que las tendencias que vamos a exponer sólo se van imponiendo muy lentamente.
En primer lugar, vamos a considerar un objetivo que, sin ser completamente nuevo (pues se lo menciona en los textos oficiales desde hace mucho tiempo), se encuentra actualmente muy apoyado y existe gran preocupación para encontrar medios eficaces de conseguirlo; se trata del desarrollo en los alumnos de la actitud de investigación.
desde ahora ésta se enseñaría en detrimento o en lugar de la aritmética. Esta ¡dea es errónea
evitar el error, en algunos países se haconoci-
y parapreferido hablar de prematemática o de aritmética matemática.
Esta discusión es de hecho un reflejo de las diferentes tendencias actuales en la enseñanza elemental, tanto desde el punto de vista de los objetivos cuanto del de los contenidos y métodos.
vorecer amo no
Aunque la gama de objetivos asignados a la enseñanza elemental de la matemática varíe mucho de un lugar a otro, la tendencia universal es la de ampliar estos objetivos. La formación matemática básica del ciudadano medio no está asegurada en muchos países por la sola escuela elemental. Las exigencias de la vida activa y profesional evolucionan en el sentido de una mayor complejidad. Consecuencia de ello es que el objetivo fundamental de la escuela elemental ya no es suministrar a los niños técnicas para la solución de problemas bien clasificados de un dominio restringido, sino intentar asegurarles un tratamiento correcto y una comprensión real de las nociones matemáticas unidas a estas técnicas, junto con una sólida formación para su educación futura.
nos,
cons-con-a no
1.2 Valor de las adquisiciones
En muchos países, el papel de selección y de orientación de la enseñanza elemental es actualmente menos importante. De manera oficial dicho papel ha desaparecido con frecuencia, aunque en los hechos subsista de manera menos explícita.
Esto está vinculado estrechamente al importante hecho que caracteriza el período actual en muchos países industrializados, a saber, las metas educativas de la escuela elemental, debido a su rápida evolución, no son percibidas claramente por los principales interesados : padres, alumnos y maestros. Estas metas ya no pueden reducirse a la adquisición de conocimientos en un dominio limitado (esencialmente las cuatro operaciones), lo que hace que la evaluación de los conocimientos de los alumnos entre, para muchos, en un mar de confusiones, a menudo observadas, entre objetivos y métodos. Ocurre, por ejemplo, que la información insuficiente del público y la deficiente preparación de los maestros han conducido, en algunos lugares, al siguiente contrasentido sobre la interpretación de los contenidos: se dedica mucho tiempo al estudio de conjuntos, relaciones..., considerados como objeti-
b) psicológicamente: el aprendizaje de la matemática no se realiza contemplando el edificio de la matemática ya terminado, sino mediante una construcción dialéctica que el maestro tiene la misión de fomentar.
Este objetivo puede precisarse brevemente de la siguiente manera:
i) Favorecer la curiosidad natural de los niños y su voluntad de comprender, proponiéndoles situaciones en las cuales la acción a realizar se apoye en un modelo matemático a su alcance;
ií) Dejar que los niños desarrollen sus propias estrategias de investigación;
iii) Permitir que cada alumno tenga éxito en algunas soluciones, para animarle a investigaciones posteriores;
iv) Incitar a los alumnos a movilizar todos sus conocimientos y sus habilidades para explotar nuevas situaciones;
v) Estimular a los niños a proponerse por sí mismos temas de investigación.
A
2322
das sobre muchas de ¡as ideas comúnmente admitidas al respecto.
El gran público y muchos docentes piensan todavía que para cada operación aritmética no hay más que una sola técnica operatoria, aquélla que les es familiar. Por otra parte, es costumbre separar completamente la técnica operatoria del significado de la operación. Por esta última expresión se entiende, además de la definición matemática, el reconocimiento de las situaciones en que tal operación permite encontrar la solución de un problema. Esto permite dividir las actividades en dos partes: el aprendizaje del significado y el aprendizaje de la técnica operatoria. A su vez, el aprendizaje de la técnica comprende dos partes: por un lado, el repertorio que hay que memorizar (tablas de las operaciones) y por otro lado, el programa de cálculo, que descompuesto en una sucesión de subprogramas se va enseñando progresivamente, empezando por casos particulares en que los alogoritmos son simples (por ejemplo las adiciones sin traslado de cifras o las multiplicaciones por números de una sola cifra).
mucho de un lugar a otro. En muchos lugares esta enseñanza no existe o bien, si existe, no tiene como objetivo prioritario la adquisición de conocimientos. Suele estar a cargo de personas que han recibido una preparación diferente de la de los maestros de escuela primaria : en general se presta más atención a los problemas afectivos de los niños que a los congnoscitivos. Por estas razones los cambios deben ser siempre muy lentos y la investigación en este campo no es fácil de realizar.
Sin embargo, no faltan razones para emprenderla. Los psicólogos han demostrado que la madurez intelectual del niño depende en alto grado de las actividades que tiene oportunidad de practicar. No se excluye la hipótesis de que la falta o el retraso en la práctica de ciertas actividades, pueda crear en el niño impedimentos insuperables. Por tanto, un objetivo de la escuela pre-elemental debería ser proponer a los niños actividades que no encuentran necesariamente en el hogar y explotarlas para ayudarle a reconocer los objetos del pensamiento y construir sus propios esquemas y estructuras.
Fuera de las actividades de clase comunes, hay muchas actividades de los niños que se vinculan con la matemática en los dominios del tiempo, movimiento, ritmo, representaciones espaciales, medidas, figuras geométricas, simbolismo, relaciones de todas clases, conceptos cuantitativos, etcétera.
Algunos de estos dominios se han incluido de manera consciente en la enseñanza pre-elemental de algunos países; sin embargo, no se puede señalar todavía^en la mayoría de ellos, una tendencia clara hacia la intelectualización de esta enseñanza, a pesar de la creciente importancia social de la misma.
Las investigaciones actuales tienden a recomendar un aprendizaje global y progresivo, haciendo intervenir a la vez el significado, el repertorio y el algoritmo. El campo de significación de una operación, al principio limitado, se va extendiendo progresivamente por composición de ciertos resultados, es decir, por la construcción de un primer algoritmo que utiliza una parte del campo de significación como repertorio. La evolución simultánea del repertorio y del algoritmo bajo el efecto de nuevas situaciones, permite extender y reforzar el sentido de la operación.
La evolución del repertorio se consigue mediante la memorización de nuevos resultados que resulte más cómoda, y abandonando otros menos utilizados. Al mismo tiempo, la estructuración del repertorio se hace en función del algoritmo, lo cual a su vez permite simplificar este último. En cada etapa se establece un equilibrio y la evolución está conducida por razones de economía.
Los algoritmos utilizados no son necesariamente los mismos para los cálculos mentales que para los escritos. El cálculo mental desempeña un papel importante para ayudar a la memorización y simplicar los siguientes.
En resumen, se puede decir que, lejos de abandonar el aprendizaje del cálculo, la enseñanza elemntal tiende a obtener una mayor comprensión de las operaciones y un mayor dominio de las técnicas operatorias por medio de métodos nuevos, que permitan reducir el tiempo destinado a este aprendizaje y eviten repeticiones fastidiosas.
to intuitivo y también de pensamiento analítico.
Este objetivo es, ciertamente, uno de los más importantes para el futuro. Al igual que el objeto señalado en 1.3, está inspirado por la preocupación profunda de respetar la inteligencia y la personalidad del niño. Por otra parte, es fundamental si se quiere reducir la diferencia que existe en las sociedades industriales, entn quienes poseen algunos conocimientos bien estructurados. t
i1.5 La matemática como creación colectiva
En la enseñanza de la matemática a nivel elemental, se está prestando cada vez más atención al aspecto de la creación colectiva.
La matemática no es la única actividad en que el trabajo en común y la comunicación son componentes importantes, pero, sobre todo al comienzo de su enseñanza, todos los conceptos y todas las ¡deas pueden ser construidos por los mismos alumnos a partir de actividades que se les pueden proponer.
El concepto de la enseñanza desde este punto de vista, hace que los niños tengan ocasión de apreciar la vanidad de poseer un saber no compartido y también la necesidad de comprender que si su interlocutor posee su mismo modelo, puede entrar en comunicación con él y ayudarle o pedirle ayuda para construirlo.
Este objetivo es muy difícil de alcanzar y necesita métodos didácticos variados y adaptados a cada situación o intención pedagógica. Impone que el maestro desaparezca como portador del saber, pero en cambio que esté mucho más presente y atento como organizador y animador, lo que exige mucha habilidad y aptitud. Además, el número de alumnos de la clase debe ser el apropiado, ni chico ni grande, posiblemente entre 20 y 24 alumnos.
Por estas razones, en el estado actual de la enseñanza, este objetivo puede parecer una utopía, pero constituye un argumento suplementario para reforzar las investigaciones acerca de las condiciones indispensables para su realización.
De hecho, cada técnica operatoria es el resultado de un equilibrio entre el algoritmo utilizado y el repertorio conocido. Si el repertorio conocido es restringido, el algoritmo necesario es largo (sumar con los dedos equivale a utilizar solamente la tabla de suma del uno). Al contrario, un repertorio extenso, permite reducir el algoritmo. En cada país, tradicionalmente, la elección simultánea de un algoritmo y de un repertorio es el resultado histórico de una optimización global del esfuerzo de memorización y del costo, en tiempo, de cada cálculo.
Sería interesante, con el fin de demitificar la cuestión para los adultos, disponer de una recopilación de las diferentes técnicas usadas en los distintos países. Esta recopilación podría ser útil para la formación de maestros.
Un papel análogo puede ser cumplido por los sistemas de numeración de distintas bases. Pero la ¡dea de mejorar los algoritmos usados por los niños modificando la base de numeración, no ha dado resultados satisfactorios, debido entre otras razones a que, para disponer del repertorio necesario para cada base, el niño debe o bien memorizar la tabla de cada base o bien saber pasar de una base a otra. Como, por otra parte, la construcción del algoritmo cambia poco, al final la tarea del alumno resulta aumentada.
2.2 Los números naturales
La introducción de los conjuntos en la escuela elemental es uno de los hechos que ha provocado más críticas, algunas de las cuales fueron, y siguen siéndolo, fundadas. De ellas vamos a ocuparnos a continuación.
La palabra "conjunto" había sido introducida con sentido ingenuo por ciertos promotores de la reforma con el fin de poder hablar más cómodamente y de manera uniforme de las colecciones de objetos cuya comparación conduce al concepto de número. Pero, por un lado, esta palabra hizo estremecer a ciertos espíritus finos, pero exagerados, que quisieron tomarla en el sentido fuerte de la teoría de conjuntos, mientras que por otra parte los maestros quisieron "concretizar", particularizando las representaciones de los conjuntos con cuerdas o dibujos esteriotipados, llamados
*2. Contenidos
La gente ha creído a menudo que los contenidos de la enseñanza elemental ha cambiado mucho en los últimos años. En realidad las modificaciones han sido modestas y la aritmética sigue siendo el tema central de la matemática a nivel elemental.
íI
1.6 Enseñanza pre-elemental
Desde hace algunos años ha nacido la idea de introducir jlgunas actividades con componente matemática en las escuelas maternales o jardines de infantes.
Hay que observar, en primer término, que el estado de la enseñanza pre-elemental, difiere
I 2.1 Técnicas operatorias
La puesta en marcha de la reforma de la enseñanza de la matemática a nivel elemental, ha dado lugar a investigaciones sobre los problemas vinculados con la adquisición de técnicas operatorias, las cuales han provocado du-
2425
cual no quiere decir que dichas actividades no interesantes, sino más bien que su interés es
de otro orden.Por ejemplo, con la esperanza de facilitar la
construcción de (Z, +), se introduce el estudio de algunos grupos finitos (principalmente 4 o 6 elementos), cuyos elementos son las biyeccio- nes de un conjunto en sí mismo y la ley de grupo de composición de aplicaciones. Eí carácter dinámico de las biyecciones se pone en evidencia mediante representaciones con flecha o máquinas. De la misma manera se introducen los operadores de suma o resta como funciones en N. Pero para la composición de operadores la analogía ya no vale más; por ejemplo, la composición de los operadores restar 3 y añadir 2, no es la función sustraer 1 (el dominio de definición no es el mismo). Aunque los cálculos son claros a nivel de los números, su trascripción a nivel de las funciones es ambigua. Para vencer esta dificultad hay que crear todo un juego de escrituras que no corresponden a conceptos precisos, mientras que los niños siguen haciendo sus cálculos a nivel de números. En las clases en que el método parece tener éxito, en realidad lo que ocurre es que los niños han extendido el campo de los números con los negativos, apoyándose en otras situaciones, como los desplazamientos sobre cuadriculados, pero la explicación por operadores no corresponde al proceso seguido implícitamente. Estas dificultades motivan un retroceso en la enseñanza de las estructuras algebraicas como tales, en beneficio del estudio de ciertas propiedades algebraicas de las que son componentes, como las relaciones entre números (en particular las congruencias), propiedades de las operaciones, por ejemplo, la distrubutividad de la multiplicación respecto a la adición, las funciones, especialmente las funciones afines que intervienen en numerosos problemas y cuyas distintas representaciones (corno cuadros, gráficos, etc.) incitan a los alumnos a numerosas investigaciones.
En el mismo orden de ideas, existen numerosas actividades, reunidas con la denominación de combinatoria, que pueden proponerse con provecho a los niños. Permiten al maestro proponer situaciones abiertas adaptadas a las posibilidades de la investigación de los niños y a éstos organizar su trabajo y descubrir mediante investigaciones sistemáticas propiedades interesantes de los números y, en muchos casos, realizar verdaderas demostraciones. Si bien muchos maestros restringen estas posibilidades a la construcción sistemática de árboles, creando
diagramas de Venn en muchos manuales, creando de esta manera cierto automatismo en los niños.
En esta presentación estereotipada, la correspondencia uno a uno para comparar conjuntos se hace siempre mediante flechas o trazos que unen los objetos dibujados en el interior de dos cercos, lo cual para conjuntos pequeños es inútil,pues la comparación se puede hacer con sólo mirar, o contando mentalmente (de manera que el dibujo pasa a ser un fin en sí, en lugar de un medio), y para conjuntos un poco grandes el dibujo resulta inextricable. Análogamente, la suma de dos números se explica dibujando tres cercos, de los cuales dos están en el interior del tercero,
con ello ciertos automatismos en los alumnos, generalmente la habilidades adquiridas por los alumnos a través de ejercicios de carácter combinatorio les permiten comprender mejor sus cálculos.
El contenido principal de la enseñanza elemental de todos los países, sigue siendo la introducción de los números naturales y el estudio de algunas de sus propiedades. En algunos países, los enteros negativos se introducen desde muy temprano, mientras que en otros ello se deja para la enseñanza secundaria.
Parece que en algunos países el estudio de los racionales (casi siempre los racionales positivos) se hace con menor intensidad que antes, derivando el esfuerzo hacia los números decimales, que tienen mucha más importancia en la ciencia y en la vida y, además, permiten un mejor tratamiento de R. Es probable que la generalización del uso de las computadoras favorezca dicha tendencia.
poliedro, polígono, convexidad, etc. Ciertos problemas acerca de la "reproducción del objeto" ponen de manifiesto propiedades de simetría y propiedades de ciertas transformaciones planas, a la vez que permiten la introducción de los polígonos y los poliedros regulares. La utilización del papel cuadriculado permite simplificar algunas construcciones, facilita la introducción de coordenadas y suscita investigaciones aritméticas. La utilización de conjuntos de cubos permite plantear y resolver problemas relativos a proyecciones, sombras y representaciones. Pueden plantearse otras muchas actividades sugeridas por el ambiente.
La tendencia estructural se aplicó primero y la segunda apareció eri muchos países como reacción, esgrimiendo el argumento de que la tendencia estructural es una concepción demasiado algebraica de la geometría y no se preocupa demasiado por el conocimiento del espacio ambiental, que es uno de los fines de la geometría. En realidad, las dos tendencias no son incompatibles y algunas actividades, como por ejemplo, las que se hacen con un geoplano, participan de ambas.
En cuanto a la medición, una tendencia muy difundida propone llevar a cabo actividades a partir de la idea de que la medida es un número que, mediante un instrumento adecuado, puede asociarse a cada objeto (con o sin aproximación). Se analiza luego lo que pasa si se cambia el instrumento de medida y se tratan algunas propiedades fundamentales, por ejemplo: a la unión de objetos de cierta manera, corresponde la suma de las medidas. El tratamiento afín de las medidas y la utilización del sistema métrico decimal, se relaciona con el estudio de los números decimales.
2.5 Probabilidades y estadísticaEntre los nuevos tópicos que comienzan a intro
ducirse en la enseñanza elemental, uno de los más importantes es el de las probabilidades y la estadística. Sin embargo, a pesar de que el deseo de hacerlo es casi general, la introducción efectiva de estos temas está limitada por ahora a algunos cursos experimentales, sobre todo en los referente a la probabilidad a nivel elemental:
(1) Introducir a los niños en las experiencias del azar, presentando situaciones en que no sirven los modelos deterministas. Por ejemplo, efectuar apuestas convenientes o predicciones correctas, incluso fuera de todo análisis (las palabras "convenientes" y "correctas" se refieren a que tienen este sentido para el niño, de
sean
1
etc.Este procedimiento no permite distinguir los
diferentes niveles de abstracción, como ser: las colecciones de objetosyla representación de los conjuntos, las clases de conjuntos, los números, la escritura de números. Los niños que no han captado el proceso de abstración, pierden pie a nivel de la escritura de los números, que les parecen desprovistos de significado. Para salvar esta dificultad se desciende la escalera de los
2.4 La geometría
En la enseñanza de la geometría ha habido grandes cambios. Hasta hace algunos años, esta enseñanza era generalmente normativa (casi siempre se reducía a algunas definiciones descriptivas de figuras) y formal (muchos problemas de cálculos de áreas y volúmenes). Actualmente tiene lugar una nueva enseñanza que integra las habilidades de la anterior. Se pueden distinguir dos tendencias, a saber:
a) Por un lado una tendencia estructural en la cual se estudia un modelo simplificado de la geometría afín del plano a partir de la noción de paralelismo, utilizando traslaciones y cuadriculados. Se estudian las relaciones de incidencia, ue paralelismo y algunas transformaciones simples (traslaciones, movimientos, homote- cias). La definición de los puntos por pares de números permite enriquecer en seguida este modelo con una geometría analítica sobre 0“ y una introducción en R2. Se introduce una "distancia", a veces llamada "distancia del taxímetro", que permite tratar problemas del siguiente tipo: menor distancia de un punto a un conjunto de puntos, mediatriz de un segmento, etc., cuya solución necesita investigaciones numéricas. Con el mismo espíritu se pueden plantear otras muchas actividades.
b) Por otra parte, existe una tendencia exploratoria,, centrada sobre la acción. Se dan a los alumnos objetos o figuras planas para clasificar y se estudian criterios de clasificación que permiten identificar ciertos conceptos, como
niveles de abstracción, concretizando la escritura con ayuda de objetos, como los bloques multibase.
Se observa cierta tendencia a corregir este error mediante la construcciónde los números naturales por etapas, cada una con sus métodos particulares, al debido nivel de abstracción. Por ejempló, comparación uno a uno y numeración de los números hasta 15 o 20, comparación por agrupaciones y escritura de los números hasta 40 o 50, agrupaciones sistemáticas y numeración más allá de 60. Cada nueva herramienta introducida con motivo de una extensión, puede aplicarse igualmente a los dominios explorados precedentemente. Se consigue así una construcción coherente, en la que son tenidos en cuenta todos los aspectos de los números y en la que se evitan las confusiones entre niveles. c
2.3 El cálculo y las extensiones del concepto de,' número
En la enseñanza del cálculo, ha habido tendencia que se prodría calificar de estrjctura- lista, que pone el acento en las estructuras matemáticas, con el objeto de modificar la enseñanza de la aritmética con ayuda de Is nociones generales de transformaciones, relaciones, etc. Actualmente no parece que las actividades propuestas a los alumnos según esta ¡dea, permitan alcanzar los objetivos deseados, lo
una
I
26 27
I
taciones. Es decir, tales términos no tienen función matemática, sino más bien una función metamatemática o perimatemática. Veamos un ejemplo:
Existen tres nombres, por añadidura propios, Venn, Euler y Caroll, para indicar tres representaciones ligeramente diferentes del mismo ente matemático (la partición de un conjunto definida por dos de sus partes). De la partición en si misma no se habla, de manera que hace falta hacer una verdadera acción de matematización para reconocer esta partición en los tres casos. Ocurre como si se quisiera esconder a los niños aquello de lo que se quiere hablar.
lo que cada uno entiende muy bien en su lenguaje materno en una jerga pseudomatemáti- ca que conserva únicamente la parte más ambi- gua, esto es, las relaciones lógicas. Uno de los medios propuestos consiste en la elección de situaciones apropiadas (adivinanzas, por ejemplo) que se presten a una doble descripción, en el lenguaje materno por un lado, y con ayuda del aparato matemático (símbolos, esquemas, tablas), por el otro, y que permitan la comprensión de ciertos razonamientos por los niños. Pero todavía tiene fuerza la tentación de hacer de la lógica un dominio separado de las restantes actividades.
hace unos años. No se trata de enseñar nuevos tópicos, sino de aprovechar ciertos métodos de análisis y de presentación pare adaptarlos a las necesidades de la enseñanza elemental.
Una primera tendencia, muy difundida, es la de utilizar flechas, recuadros, etc. que permiten reflejar mejor el aspecto dinámico del pensamiento matemático que la escritura aritmética clásica. Por ejemplo, la escritura
acuerdo con su experiencia estadística que es indispensable desarrollar).
(2) Introducir un vocabulario útil y preciso que permita a los niños lograr resultados experimentales y, por tanto, identificar sucesos a sus medidas. Si se quiere facilitar la comprensión de la idea de modelo, es importante tener dos lenguajes, uno para las medidas a posteriori (estadística) y otro para las medidas a priori (probabilidad).
(3) Construir modelos probabiUstas, es decir, poner de relieve relaciones entre objetos conocidos como pertinentes a experiencias estadísticas, que permitan hacer predicciones y verificaciones experimentales de estas predicciones. Es aquí donde se produce el uso de ciertas herramientas matemáticas, como las razones y la combinatoria.
(4) Empezar un estudio sistemático, organizando las ideas de manera que se puedan describir y resolver ciertos tipos de problemas, enriqueciendo los instrumentos de análisis con algunos conceptos, como los de seceso y medida.
Hay que advertir que estos diferentes objetivos están colocados a niveles de abstracción
(X3+2 1553
es simple y comprensible. La escritura clásica (3+2) X3= 15 no pertenece al mismo nivel de abstracción, puesto que hace intervenir nociones suplementarias. Estas nociones pueden investigarse de acuerdo con el diagrama.
3. Métodos y medios de enseñanza
La enseñanza de la matemática en la escuela elemental presenta actualmente una diversidad creciente de actividades para los alumnos, tanto en contenido como en forma, que los maestros tratan de adaptar lo mejor posible a cada secuencia didáctica.
3.1 Elección de situaciones y de materiales
La variedad de situaciones matemáticas presentadas a los alumnos, permite mostrarles los diferentes aspectos de esta actividad. En los dos extremos de la gama de estas actividades se encuentran, por un lado, las que ponen de relieve el papel de la matemática en la vida (aplicaciones de la matemática) y, por otro las que se preocupan por la naturaleza de la matemática (creación de redescubrimiento matemático). Desde luego, hay muchas situaciones en que estos dos aspectos se combinan. Actualmente se está tratando de encontrar un equilibrio, pero es difícil que aparezca de inmediato.
Al principio de la reforma se prestó mucho más atención a la naturaleza de la matemática, de acuerdo con la preocupación principal en aquel momento de introducir los fundamentos de la matemática en la enseñanza. En este sentido se han cometido algunos excesos, los que han motivado que se reprochara a los innovadores el no quererse ocupar de la matemática útil a los alumnos. Pero conviene aclarar las cosas. Antes de la reforma, las actividades propuestas a los alumnos se reducían casi siempre a la práctica de técnicas operatorias y a su utilización en problemas que pretendían ser sacados de la vida real, pero que en realidad ya estaban medio matematizados y, por tanto, estereotipados. Posteriormente, el abanico se ha abierto ampliamente, no sólo del lado de la creación de conceptos matemáticos, sino también del de las aplicaciones de la matemática.
Esta tendencia es general y no nueva; siempre ha habido en el vocabulario escolar más maneras de designar o calificar los significantes (las representaciones) que los significados (los conceptos), aunque sea cierto que muchos conceptos no pueden ser ti atados en las exposiciones dei maestro en la clase más que a través de una representación, de una "concretización", la cual, como toda representación, lleva consigo muchas otras cosas más que el concepto mismo.
Para evitar que en una concretización los alumnos dejen de lado lo esencial (el concepto perseguido) se suele preceder con concretiza- dones múltiples, lo que a menudo lleva como consecuencia la introducción de tantos vocabularios como situaciones y la necesidad de la traducción de una situación por otra.
Posiblemente no hay ningún país que haya podido escapar a esta "perversión del lenguaje", la cual, por otra parte, no es peor de la que ha existido siempre. Uno de los objetivos de los reformadores ha sido y sigue siendo la eliminación de esta perversión, lo cual está lejos de haberse conseguido y todavía hacen falta muchos esfuerzos para lograrlo, pues el problema es en gran parte una cuestión vinculada a la formación de los maestros y a las aptitudes, a la vez matemáticas y didácticas, de los autores de manuales.
Una segunda tendencia consiste en usar diagramas del tipo precedente para resolver y presentar la solución de ciertos problemas y después generalizarlo a una categoría de problemas cuyos datos son de la misma naturaleza, pero con valores diferentes. Los ordinogramas, con o sin bucles, son utilizados con el mismo objeto y también para descubrir algoritmos.
Una tercera tendencia consiste en utilizar la ficción. Aun si no es posible el acceso a un ordenador, los niños pueden escribir un programa para un autómata ficticio, que por convención solo puede realizar cálculos elementales y al que deben darse instrucciones precisas para que pueda funcionar. La construcción y el control de un prog’ama tal obliga a los niños a ser rigurosos en la escritura de la órdenes y a poner de relieve las propiedades que utilizan para elegir las instrucciones elementales.
muy diferentes. Teniendo en cuenta esta clasificación, se pueden distinguir dos tendencias principales en la enseñanza de las probabilidades.
Una primera tendencia, bastante difundida, se limita a la enseñanza de la estadística. Esta enseñanza se sitúa esencialmente en los dos primeros niveles y no se refiere más que parcialmente a los dos primeros objetivos. La enseñanza se apoya a la vez sobre los datos suministrados por el ambiente y sobre experiencias concebidas y realizadas en clase.
La segunda tendencia, todavía en estado experimental, tiene en cuenta más o menos los cuatro objetivos señalados. Se corre el peligro de poner demasiado pronto énfasis eri el tercer objetivo y reducir la enseñanza de las probabilidades a la utilización de técnicas aritméticas y combinatorias, haciendo simulaciones sin que los alumnos hayan realmente construido los modelos que las justifiquen.
Se ha elaborado ya mucho material y muchas situaciones didácticas que pueden ser utilizadas tanto para una tendencia corno para la otra.
Y ya en el dominio de la lógica, que también preocupa en la enseñanza elemental, se han podido observar prácticas resultantes de una misma voluntad de concretización. Por ejemplo, la creación de un lenguaje artificial, que no es ni el materno ni el matemático y conduce a frases como "el conjunto de las niñas que llevan no basta" (para indicar aquéllas que llevan faldas o pantalones).
Actualmente la tendencia es intentar evitar esta plaga del lenguaje artificial que transforma
2.7 Lenguaje y lógica
Muchas veces se ha reprochado a los partida- drios de la reforma el cambiar y aumentar el vocabulario utilizado en clase. Veamos que hay de cierto.
El problema real en muchos países no es el de la cantidad de vocabulario, sino el de la función del vocabulario introducido. La mayoría de los términos no sirven para nombrar nociones matemáticas, sino representaciones de las mismas o tan sólo para describir esas represen-
2.6 Influencia de la informática
Se nota cierta influencia de la manera de pensar informática en la enseñanza elemental, aunque actualmente no sea tan fuerte como
2928
■
En efecto, las actividades dirigidas en este sentido, están ancladas en la realidad, mucho más que antes mediante encuestas y observaciones del medio ambiente. Ellas obligan a los alumnos a recoger por sf mismos datos para problemas, lo que requiere antes del tratamiento matemático, una matematización basada sobro un estudio multidisciplinario de la situación. Una vez bien precisado el problema, si los datos son muy complicados, los alumnos pueden ser inducidos a construir una situación simulada o a buscar resultados aproximados.
En el otro extremo de la escala están los juegos matemáticos y el material estructurado. Ellos permiten crear situaciones artificiales que a menudo dependen de cierto número de parámetros en los cuales el maestro puede intervenir para adaptar la actividad a la reacción de los niños.
3.4 Cambio de método desdo el punto de vista de los alumnos.
En algunos lugares, está cambiando de aspecto la educación matemática de la escuela primaria, El niño no es más considerado como un receptáculo de conocimientos, sino que se exige más de su inteligencia. Las clases son más motivadas, alentándose el deseo de comprender y el placer del descubrimiento. La matemática se coloca bajo el signo de la diversidad: i) diversidad de situaciones que porporcionan al niño ocasión de ejercitar su inteligencia y sus conocimientos en dominios que le interesan; i¡) diversidad de métodos de trabajo, que le permiten trabajar a su propio ritmo, formar parte de un grupo en cuyo seno se reparten las actividades y se discuten los descubrimientos^ representarlo en las discusiones colectivas, en las cuales debe presentar y defender sus resultados no solamente frente al maestro, sino frente a sus compañeros; iii) diversidad de actividades vinculadas con la matemática (dibujos, manipulaciones, construcción de materiales, encuestas, recolección de datos del ambiente, etc.).
Lamentablemente existen todavía muchas clases en que el trabajo no se organiza de esta manera y se sigue con el estilo clásico, con un método de trabajo que no deja iniciativa para los alumnos y consiste esencialmente en la repetición de ejercicios del mismo tipo.
En casos extremos, los cambios de contenidos sin cambio de métodos llevan a la degradación de la enseñanza. Así,por ejemplo, si bien la recitación repetida de las tablas operatorias era un procedimiento poco eficaz de memorización, tendía sin embargo a un saber útil aceptado como tal por los niños, mientras que la recitación de la definición de intersección de conjuntos no tiene ningún interés desde el punto de vista del saber y traumatiza a los alumnos que no alcanzan a comprender qué se espera de ellos.
3.5 Cambios de métodos desde el punto de vista de los maestros.
Los métodos de enseñanza tradicionales se fundaban en la división de cada aprendizaje en una serie de dificultades elementales, que se enseñaban una después de otra y se iban controlando mediante ejercicios de aplicación. El método se basaba en la idea fundamental de que existe un saber constituido que hay que transmitir. Si bien esta ¡dea puede acomodarse también a métodos activos, éstos quedan siempre forzosamente limitados y la frase "creatividad del niño" no tiene mucho sentido dentro de tal
nos: la presentación es más atractiva, el contenido más diversificado, la separación entre la lección y los ejercicios va desapareciendo;’ contienen situaciones abiertas que cubren varios dominios, se apoyan en fotografías, dibujos, croquis, gráficos, etc. Los alumnos pueden organizar su trabajo cada vez más siguiendo su libro. Algunos autores Van todavía más lejos en esta dirección de individualización y proponen, en lugar del manual, conjuntos de fichas, organizando una especie de enseñanza programada. Estos conjuntos van acompañados por un folleto con indicaciones para los maestros. Estos instrumentos son únicamente muy eficaces si el maestro interviene en su utilización, distribuyendo el trabajo, organizándolo individualmente o por grupos y, sobre todo, dirigiendo algunos momentos de síntesis colectiva, añadiendo si hace falta algunas fichas que tengan en cuenta las reacciones de los niños. Lejos de reducir el papel del maestro, estos nuevos materiales exigen, al contrario, una mayor presencia y una mayor competencia para poderlos utilizar crite- riosamente.
Otro tipo de fichas contienen ejercicios de control que permiten a cada alumno,, con ayuda del maestro, tomar conciencia de sus insuficiencias y de sus incomprensiones o confusiones, favoreciendo así la individualización de la enseñanza y su adaptación a los distintos alumnos. En estas fichas abundan los "ejercicios con blancos", en los que el alumno debe completar frases, diagramas, esquemas, etc., lo cual facilita la labor de corrección,pero no deja de tener sus peligros, pues: i) su abuso en matemática y en otras materias reduce considerablemente la experiencia de los alumnos en la presentación y organización de temas escritos; i) estando muchas veces fundados sobre la elección múltiple, tienen el inconveniente de posibilitar una respuesta correcta por razones completamente ajenas a la cuestión: ii) en un mismo ejercicio, los blancos pueden reemplazar a diferentes funciones lo que es muchas veces ambiguo, y esta ambigüedad no favorece la creación de los conceptos de nuevas nociones, como incógnita, variables, etc.
Señalemos finalmente otro tipo de publicaciones, no muy difundido, del tipo de los "clubes de matemática". Se trata de colecciones de problemas o situaciones abiertas preparadas por los mismos alumnos que trabajan en ello fuera de clase, sin que signifique que intervengan todos los alumnos, vale decir, no es una actividad colectiva de toda la clase.
Estos materiales, a menudo costosos, han sido presentados como indispensables para la renovación de la enseñanza y son una fuente de ganancias para muchos. Otros materiales preparados en la misma clase, menos sofisticados y adaptados a las necesidades de cada momento, serían más útiles en muchos casos. Ciertos países utilizan también otros medios (televisión, películas, fotografías) para presentar las actividades a los niños e incluso, algunas veces, para mitigar en parte la carencia de maestros calificados. Pero estos medios son más bien utilizados en la formación de maestros.
Si, como hay que suponer, las pequeñas máquinas computadoras continúan multiplicándose y abaratándose, no se podrán ignorar en la enseñanza elemental; habrá que integrarlas en los procesos de aprendizaje de las técnicas operatorias y en la resolución de problemas. Permitirán explorar con mayor intensidad ciertos dominios en que los cálculos numéricos demasiado largos restringen actualmente las posibilidades (por ejemplo, en estadística). Sin embargo, es necesario investigar en este campo, pues no hay que confiar demasiado en los fabricantes de estas máquinas.
3.3 Libros y publicaciones escolaresUna cuestión muy importante es la referente
a los manuales escolares y a las distintas publicaciones destinadas a los alumnos, pues, en gran parte, a través de estos materiales se lleva a la práctica la renovación escolar. A pesar de que la cuestión parece presentarse de manera muy diferente de un lugar a otro, puesto que el espectro de posibilidades va desde un material oficial único a una libertad total de publicación por los editores y de elección por los maestros, pasando por una elección restringida entre posibilidades preestablecidas, en realidad las diferencias encontradas y las tendencias actuales son bastante uniformes en los distintos países.
Tradicionalmente, un manual escolar tiene dos objetivos diferentes. Por un lado,proporciona a los maestros un panorama de las lecciones, que éstos utilizan agregando ejemplos, ejercicios, motivaciones, anécdotas, etc. Para el alumno, el manual es fuente de resúmenes, ayuda memorias y lecturas sobre los distintos temas, si bien los manuales en general no se dirigen a los alumnos más que a través de los maestros, que los interpretan e indican la manera de utilizarlos. Por otra parte, los manuales suelen traer colecciones de ejercicios de aplicación.
Se observa el deseo general de los autores de manuales de dirigirse cada vez más a los alum-
sus
]
Uno de los objetivos de algunas investigaciones actuales es el de caracterizar con precisión las situaciones que pueden describirse en términos de estrategia del maestro, respondiendo a la evolución de la estrategia de investigación de los alumnos. Dentro de esta perspectiva se han empleado muchos materiales estructurados, los cuales constituyen un estímulo eficaz para la construcción de nociones matemáticas si se los usa para la matematización. Existe el peligro de que, al contrario, se conviertan en un freno de la misma si son utilizados como concretización, es decir, para simular situaciones sin que el modelo esté claro para los niños.
Señalemos, además, la tendencia que se nota en todas las situaciones de variar mucho los medios de representación, utilizando papel cuadriculado, ábaco, croquis, etc. tanto para comunicar, como para ayudar a buscar conjeturas e investigaciones.
3.2 Los medios tecnológicosDurante los últimos años se ha extendido
considerablemente en la escuela elemental el uso de medios tecnológicos de comunicación escrita o gráfica (tizas de colores, transparencias, retroproyectores, etc.). Facilitan el trabajo en equipo dedicado a la preparación de documentos visuales y proporcionan a toda la clase una visión agradable.
Junto con la reforma, aparecieron también grandes cantidades de materiales estructurados, entre los cuales hay algunos que son la materialización de técnicas calculatorias, sucesores de los clásicos ábacos (bloques multibase, contadores, minicomputadoras) y otros son instrumentos de investigación (por ejemplo, el geoplano).
3130
adapta a la modalidad actual de la enseñanza, pues la evaluación debe abarcar otros tipos de habilidad que son más difíciles de precisar en términos de conquistas logradas.
La situación actual muestra una especie de desorientación de todo el mundo frente al problema de la evaluación. Sin embargo, se puede señalar una tendencia que consiste en acompañar cada actividad con ciertos ejercicios que permitan evaluar al maestro la eficacia de su enseñanza para poder ajustar la misma en las etapas siguientes. Estos ejercicios forman paite integral de la actividad y consisten en general en tareas obligatorias para los niños durante dicha actividad, sin que aparezcan como motivo de control para los alumnos. Por otra parte, ciertos controles individuales de los progresos de cada alumno , siguen realizándose regularmente. Frecuentemente, el diagnóstico de los fracasos es más difícil de hacer en la actualidad que antes, pues faltan criterios bien establecidos para ello.
cuadro. El maestro interpreta las reacciones de los niños y valora o no lo que ellos hacen en función de su modelo del saber, creando de esta manera una confusión entre la necesidad lógica (una afirmación es verdadera o falsa según que resista o no a los argumentos que se le oponen y que los argumentos presentados en su defensa convenzan o no a los compañeros) y la necesidad de autoridad (la aprobación del maestro).
Al contrario, una enseñanza basada sobre la ¡dea de que la matemática es una creación de la clase debe utilizar métodos más diferenciados, combinando para cada tema momentos de acción, enunciado de descubrimientos o conjeturas y convalidación de éstas. En la tercera fase el papel del maestro es particularmente delicado; debe mantenerse neutral y conducir la discusión sin que se noten sus sentimientos o sus ideas. Estos métodos son más exigentes para el maestro y también para los alumnos, que deben vivir momentos de frustración y de inseguridad cuando fracasan sus primeras ¡deas; es en este momento cuando el maestro debe ver la manera de ayudarles.
Estos métodos están lejos de aplicarse de manera general y presentan todavía puntos que requieren uña mayor investigación didáctica. Exigen del maestio aptitudes especiales. Para muchos, son considerados muy costosos en tiempo y en energía. No pueden ser eficaces más que si son utilizados de manera continua, pero los resultados obtenidos, bien merecen que se les preste mucha atención.
La mayoría de los maestros intentan, de buena o mala gana, cambiar sus métodos. Dentro de un cuadro que ellos mismos delimitan y con los conocimientos y técnicas que transmiten a los niños, dejan a éstos mayor iniciativa, tratando de evitar los dos escollos opuestos que son el dogmatismo y la indiferencia.
De todas maneras sería un error creer que los cambios de contenidos matemáticos determinan automáticamente un cambio de actitud frente al saber y un cambio de métodos en la enseñanza.
manipulación con conjuntos y sus representaciones para el aprendizaje del lenguaje por los sordomudos).
Sería deseable intensificar las investigaciones en estos dominios, pues aparte de su aspecto humanitario, podrían revelar muchas cosas acerca del proceso general del aprendizaje.
fuerzo de la mayoría, reticencia o rechazo de otros. En lo que sigue vamos a analizar estas reacciones.
4.1 La libertad de ios maestros en la enseñanzaHay que recordar que la organización admi
nistrativa y pedagógica de la enseñanza elemental varía mucho según el país, yendo desde una organización muy centralizada en la que los maestros reciben directivas estrictas hasta una organización descentralizada en la que los maestros adhieren a un proyecto educativo local, en cu/a redacción muchas veces ellos mismos han colaborado.
La reforma de la enseñanza de la matemática ha tenido generalmente el efecto, en todos los casos, de aumentar ¡a diversidad de métodos de enseñanza y también de aumentar la libertad de los maestros. Esta libertad presenta varios aspectos; en primer lugar, un aspecto técnico, pues la participación mayor de los alumnos exige de los maestros una estrategia, que no puede definirse de antemano, para adaptarse a las reacciones de los alumnos. Por otra parte, presenta también un aspecto sociológico, pues no se puede tratar de imponer un cambio, en muchos países, debido a los insuficientes medios de información de los maestros. La reforma da ocasión a los maestros más entusiastas y mejor preparados para enseñar cómo deseen, mientras que para los demás esta libertad se transforma en incertidumbre, pues inclusive están dispuestos a modificar su enseñanza, no saben cómo hacerlo. Para ellos es fundamental disponer de publicaciones adecuadas, pero la multiplicidad de puntos de vista expresados en ellas acerca de contenidos, métodos y objetivos, conduce muchas veces a confusión más que a ayuda efectiva. Las reacciones producidas son variadas, desde la adaptación progresiva, al rechazo de las reformas.
3.8 La matemática y el lenguaje
Anteriormente el cálculo dependía mucho del dominio de la lengua escrita, pues los enunciados se daban por escrito y la solución tenía como parte importante la redacción. Actualmente, muy a menudo el aprendizaje de la lengua escrita es más lento, lo cual favorece la aparición en el primer grado de un lenguaje matemático escrito que se necesita para las actividades. Por otra parte, los métodos de clasificación, organización de la información y de sustitución que se desarrollan en matemática facilitan el aprendizaje de la lengua escrita, tanto en ortografía como en sintaxis. Aparece, por tanto, una inversión de la influencia entre la matemática y la lengua escrita.
Los diferentes niveles del lenguaje oral se aplican ahora más que antes en matemática. El mismo lenguaje familiar y los mismos gestos son utilizados para explicar una situación: las expresiones de los niños son aceptadas tales como son, mientras se las comprenda. Para no romper el ritmo de la discusión si es necesario, el maestro exige del alumno una expresión más clara y le ayuda a hacerlo, pero puede decirse que hay cierta tendencia a minimizar la inferioridad que un deficiente dominio del idioma puede significar para los niños de una procedencia socio-cultural poco favorecida.
En ciertos países en donde las actividades matemáticas tiene lugar en un idioma que no es el materno, aparecen problemas particulares todavía no muy bien estudiados, existiendo al respecto investigaciones en curso.
!
3.7 Niños lentos y disminuidosLos niños lentos han sido siempre la desespe
ración de los maestros que no conseguían mantenerlos en el mismo nivel que el resto de !a clase. Actualmente, parece que los nuevos métodos de aprendizaje de los algoritmos de cálculo,, la mayor variedad de actividades, el ritmo de éstas mejor adaptado y la ayuda de sus compañeros, permiten a muchos niños lentos no ser bloqueados en su progreso.
Queda todavía mucho por hacer en este dominio en el cual las cuestiones afectivas tienen papel fundamental. Sin embargo, los resultados ya obtenidos permiten pensar que es preferible no separar a los niños lentos de los demás (ni tampoco separar a los más rápidos). Las consecuencias de una separación tal son en general catastróficas desde el punto de vista psicológico y, además, poco favorables a la creación colectiva. En efecto, para que una creación tal tenga lugar, no es necesario que sea hecha por cada individuo, sino más bien por algunos más capaces, si los demás puedan comprenderla, aceptarla y divulgarla por su cuenta.
Los niños disminuidos física o intelectual- mente son, en general, alumnos de instituciones especiales, cuyos educadores tienen escasa preparación matemática. Algunas experiencias hechas para ensayar las nuevas ¡deas de la aritmética, parecen ser prometedoras (por ejemplo, el uso de esquemas con flechas y de las minicomputadoras para algunos débiles mentales, o la
I
4,2 Los maestros en actividades
La mayoría de los maestros son conscientes de la necesidad de cambiar su método de enseñar. Muchos están asustados por la amplitud de los cambios necesarios. Otros no conciben otra manera de enseñar que la tradicional y su interpretación de las innovaciones desemboca en una caricatura de la reforma. La experiencia muestra que un maestro no puede modificar realmente su enseñanza si no ha tenido ocasión de experimentar por si mismo los nuevos métodos y de observar las reacciones de los alumnos ante los mismos. Las condiciones para estas
4. Los maestrosEn la enseñanza elemental, más que en los
otros niveles, el papel del maestro es fundamental. Una reforma/cualquiera sea, no puede tener éxito más que si los maestros comprenden sus objetivos, dominan los nuevos contenidos y son capaces de modificar sus métodos de enseñanza de acuerdo con ella. Naturalmente, no se puede esperar que todos los maestros cambíenle un día a otro, su comportamiento en el sentido señalado. Sus reacciones son muy variadas: entusiasmo de algunos, buena voluntad y es-
3.6 Evaluación
La evaluación del trabajo de los alumnos es uno de los puntos más difíciles surgidos en la reforma. Anteriormente se consideraba suficiente controlar si existía en ciertos temas una habilidad precisa (técnicas operatorias y ciertos tipos de problemas) y, aunque esta evaluación era un poco arbitraria, se la consideraba satisfactoria. Pero este tipo de control ya no seI32 . 33
reducido de personas, y algunas investigaciones entonces en marcha sobre la enseñanza de la matemática a nivel elemental sirvieron base de trabajo para las comisiones
4.4 Formación de maestrosLa mayor parte de los maestros tienen una
formación inicial cuyo nivel matemático no es demasiado elevado. En muchos casos, no solamente los maestros sino también los formadores de maestros han tenido que seguir cursos de actualización acerca de los nuevos contenidos, lo cual ha contribuido a ocuparse más de ia reforma de los contenidos (principalmente desde un punto de vista estructural) que de los métodos.
Las tendencias actuales son las de dar prioridad a la formación teórica, respecto de los contenidos^ a la práctica profesional, ligándose ambos objetivos mediante un análisis epistemológico y didáctico. Esta tendencia se va llevando a la práctica lentamente, pues las instituciones formadoras de maestros se preocupan poco por los cambios y, por otra parte, sus tareas se han visto aumentadas por la necesidad de organizar cursos para los maestros en actividad, sin aumentar sus posibilidades, lo que hace que los formadores de maestros no tengan tiempo para reflexionar suficientemente sobre su misión. Generalmente los educadores del nivel pre-elemen- tal no tienen formación matemática especial y no creen que ella sea necesaria para su enseñanza, aunque algunos desean estar informados de la evolución de la enseñanza elemental.5. Las componentes sociológicas
Cuando, hace unos quince años, la reforma de la enseñanza de la matemática a nivel elemental fue tema de discusión en todas partes, el público y los maestros de primera enseñanza no se sintieron demasiado aludidos. Las escuelas primarias formaban un coto cerrado, cuyos responsables no eran en general especialistas en matemática y cuyas reformas estaban guadas principalmente por las ciencias sociales, en especial las ciencias de la educación, que tenían poco que ver con la enseñanza de la aritmética. Esto hizo que las innovaciones no fueran comprendidas y el choque producido por los arrolladores cambios que se produjeron, explica el carácter apasionado de muchas reacciones.
5.1 Los proyectosLa primera innovación fue la entrada de
matemáticos profesionales y especialistas en matemática en el coto cerrado de la enseñanza elemental, con motivo del trabajo en común en comisiones oficiales, para elaborar proyectos de investigación y de formación de maestros.
La puesta en marcha de la reforma fue sugerida por las ¡deas de un número bastante
experiencias cambiar mucho de un país a otro.Es importante que exista una estructura
alentadora, en la cual cada maestro pueda expresar sus ¡deas o proponer sus problemas, aun suponiendo que no recibirán respuesta satisfactoria inmediata pues el hecho de saber que no está solo ante situaciones difíciles, es a la vez un confortante moral y un aliciente para buscar la solución.
Las publicaciones periódicas pueden ayudar, pero no son suficientes. No son el instrumento ideal para juzgar los materiales o los manuales, pues lo importante no son los materiales en sí mismo, sino la manera de utilizarlos. Lo deseable es una reflexión colectiva.
Otro freno frecuente para el cambio de actitud del maestro es la sensación que él mismo tiene, a veces justificadamente, de no estar preparado por desconocimiento de lo que debe enseñar. Tiene miedo de no saber seleccionar las ¡deas fructíferas de los alumnos y de dejarlos librados a sí mismos sin intervenir de manera adecuada, motivando una pérdida de tiempo y un desaliento de parte de ios alumnos. Finalmente, es frecuente el caso de maestros que temen no tener jas aptitudes necesarias, lo que los coloca en posición moral incómoda, a veces agravada por las reacciones malevolentes del público o de la prensa.
mo las destinadas a los alumnos o a los maestros. La mayoría de los maestros se informan sobre lo que deben enseñar a través de los manuales de los alumnos y de los folletos dedicados a ellos mismos. Los primeros manuales, hechos a menudo con prisa y sin el apoyo de la experiencia vivida por el autor, han contribuido a acentuar la divergencia entre los proyectos iniciales y su puesta en aplicación. En los países en que los promotores de la reforma han producido ellos mismos el material destinado a los maestros, los resultados han sido mejores, pero no perfectos, pues el material en general ha parecido a los maestros demasiado alejado de su manera de pensar para que los utilizaran correctamente y han sido mejores, pero no perfectos, pues el material en general ha parecido a los maestros demasiado alejado de su maner de pensar para que los utilizaran correctamente y han preferido otros manuales más tradicionales. En todos los casos, se exige de los maestros un gran esfuerzo de adaptación, sin mayor recompensa.
Las reacciones de los padres han evolucionado desde el interés y la curiosidad inicial, hasta una inquietud y una oposición considerable ante las primeras realizaciones. Actualmente, las pasiones levantadas parecen haberse calmado. ¿Qué parte de resignación está oculta detrás de este aparente desinterés?
5.3 Dificultades
Una de las razones de las divergencias observadas entre los primeros ensayos y su generalización es sin duda,la frecuente justificación de los cambios de métodos por consideraciones pedagógicas generales más que por necesidades específicas de la matemática. Se observa así cierta discrepancia entre los deseos pedagógicos de los maestros que desean transmitir un saber, corregir a través de su enseñanza la disparidad socio-cultural y permitir el desarrollo de los niños, y sus prácticas diarias en las que, concentrando sus esfuerzos sobre el saber técnico, reducen el papel cultural de la matemática.
Desde luego, estas cuestiones preocupan también a los padres, que tienen en general tendencia a desconfiar del aspecto cultural y preferirían que el aprendizaje se limitara a las técnicas básicas. Esta oposición entre el saber técnico y la cultura matemática, manifestada por mucha gente, es una ¡dea falsa; numerosas experiencias demuestran que el aprendizaje de lo primero resulta muy facilitado por la posesión de lo segundo.
Una mejora de la situación provendrá de un
como que se
crearon en muchos países, sin que se hicieran simultáneamente experiencias originales. Se pudo tener la ilusión de un gran consenso internacional, mientras que en realidad se trataba de un fenómeno de resonancia alrededor de gama de proposiciones bastante reducida. D^sde entonces, los puntos de vista se han diversificado y actualmente se pueden distinguir las siguientes tendencias:
a) Una tendencia estructuai (fuerte al principio) que subraya la importancia de la enseñanza de estructuras matemáticas, con el objeto de tratar los temas tradicionales bajo puntos de vista
unai
ínuevos.
b) Una tendencia aritmética, caracterizad? por la introducción^desde el comienzo de la escolaridad, del lenguaje conjuntista y por un tratamiento de la aritmética que hacen de ella un saber autónomo, más que una herramienta al servicio del estudio cuantitativo del ambiente
c) Una tendencia empírica, en la cual la enseñanza de la matemática se hace a través de actividades diversas en los dominios de las mediciones, geometría, funciones, etc. prestando más atención a la parte didáctica que a una planificación vertical ordenada lógicamente
5.2 Los cambios
Para crear el ambiente necesario para la puesta en marcha de la reforma los cambios de contenidos son más importantes, por su aspecto espectacular, que los cambios de métodos. Es significativo, por ejemplo, que los artículos de los grandes diarios se refieren casi exclusivamente a los contenidos y hablan de la "enseñanza de la matemática modena" en vez de la "nueva enseñanza de la matemática".
El cambio de métodos necesita una larga preparación, a la vez psicológica y técnica, de los maestros. Pero para hacer esta preparación hacen falta medios, que los iniciadores de la reforma han reclamado en vano desde hace tiempo. Las autoridades responsables comprenden mejor la necesidad de proveer a los maestros de una buena formación sobre los contenidos que sobre los métodos. En muchos países ha sido necesario poner en marcha simultáneamente la enseñanza de los nuevos contenidos, la información al público y la formación de maestros. La importancia de las publicaciones es en este caso considerable, tanto las destinadas al público (muchas veces de calidad dudosa), co-
4.3 Polivalencia de ios maestros
La mayoría de las veces, los maestros de escuela primaria deben enseñar todas las materias. No son especialistas en matemática, lo que quiere decir que sus conocimientos en esta disciplina no son muchos y que frecuentemente prefieren dedicar más tiempo y esfuerzo a otras materias.
En muchos países, la reforma de la enseñanza de la matemática se ha hecho junto con la reforma de la enseñanza de las otras materias. En este caso, si bien las diferentes reformas se apoyan entre sí pues los objetivos educativos son comunes, el resultado es un aumento de trabajo de los maestros y una dispersión de sus esfuerzos, lo que retrasa evidentemente la evolución de la matemática.
Algunos países tienen maestros especializados en la escuela elemental y otros tienen el problema en estudio, pero actualmente, no es posible señalar una tendencia definida al respecto. Tal vez la solución esté dada por una especialización parcial y progresiva con la edad de los alumnos.
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3534
dónales del niño y del esfuerzo de reorganiza- don de la matemática en grandes estructuras, ha dado lugar a la creación de una nueva didáctica de la aritmética elemental, fundada sobre el aprendizaje de las estructuras e integrándose en la corriente de la unificación del pensamiento científico.
La investigación se inició en este sentido y los resultados obtenidos alentaron la puesta en marcha de la reforma. La difusión de la reforma se ha hecho, la mayoría de las veces, según el principio de condicionamiento aplicado a los maestros.
cambio de actitud frente a la matemática. Mientras los maestros no tengan, durante su formación, la posibilidad de practicar ellos mismos la matemática de manera constructiva y observar la misma actitud de redescubrimiento que se preconiza para los niños, seguirán tentados de ver a la matemática como un edificio hermoso, del cual hay que hacer que los alumnos suban los escalones, uno a uno. A fuerza de distinguir entre e¡ aspecto saber y el aspecto lenguaje de la matemática, se ha difundido la idea de que los cambios se reducían a una manera de hablar. En muchos libros de texto para los maestros, es común encontrar frases como "antes'se decía . ..,ahora se dice". Los planes de asistencia a los maestros en la clase, propuestos por las comisiones encargadas de la reforma que debían acompañar a las nuevas directivas, no han sido muchas veces llevados a la práctica.
El uso de la televisión como medio de formación continua de los maestros, no da resultado si no va acompañado de una estructura que permita a los maestros trabajar en equipo sobre los contenidos de las emisiones y mantener correspondencia con los realizadores.
Sin embargo, la insuficiencia de medios no lo explica todo; están por conocerse las condiciones precisas para una formación eficaz de los maestros, pues a menudo los programas propuestos han estado demasido influidos por la dirección estructural y han debido ser modificados. En esta dirección se están haciendo algunas investigaciones.
En los últimos años se han creado ciertas estructuras de estudio y análisis, agrupando personas de formación muy diferente, pero en muchos países se duda de su éxito.
! LO DIDACTICO
lar\
5la matemáticaenseñanza de
Arnold KIRSCH (Alemania FederaI)
rría dejar esto al juicio del maestro, pero éste a menudo encuentra que algo es difícil sólo porque es nuevo para él. ¿Qué pasa con el alumno? Pero, ¿quién es él para juzgar si lo que se le ha enseñado es el verdadero asunto —si algo esencial no ha sido "quitado de su camino" y, por consiguiente, se lo ha privado de ello?
Estas cuestiones ilustran las dificultades metodológicas para desarrollar conceptos generales y suficientemente precisos en una ciencia de educación matemática. No trataré de dar una teoría general de simplificación que intente ser ampliamente aceptable. Usaré la simplificación en el sentido de tornar accesible, como una guía mediante la cual organizar algunos desarrollos didácticos y para formular algunas sugestiones. Para hacerlo, clasificaré cier- tos aspectos especialmente matemáticos para tornar accesible. Acaso se los pueda ver como parte de cuestiones más generales en la teoría del aprendizaje, pero no creo que se las pueda inferir de la última.
El primer aspecto es
0. Introducción. Simplificación como medio de tomar accesible
En la discusión sobre el curriculum, el principal problema es el de elegir y justificar el contenido que se debe enseñar. También de importancia, y extrechamente ligado a él, está la cuestión de vestir el contenido. Todos esperan que el maestro "sintetice" y "elemental i- ce". En lo que sigue consideraré a la simplificación como proceso de tornar accesible. No hablaré de simplificación en el sentido de "podar" o "descender a un nivel más bajo".
La simplificación en el sentido arriba citado se ha discutido ampliamente en la literatura psicopedagógica, por ejemplo, como reestructuración (Umstrukturieren). No obstante, en la práctica se realiza sin concederle mucha atención. G. Becker ha hecho un estudio de "ele- mentalización" en un contexto específicamente elemental [l ] que deseo usar como punto de partida.
El término simplificación es un lugar común; esto no debe llevarnos a creer que en una situación concreta hay necesariamente acuerdo acerca de si la materia entre manos debe ser simplificada o no. Un matemático habla de "simplificar" una prueba si puede eliminar conceptos y desarrollos extraños, lo que a menudo significa que los argumentos se hacen refinados y menos obvios y, por tanto, más difíciles para el estudiante. O bien, el didáctico trata de construir ecuaciones "más fáciles" de comprender, explicando los conceptos término, variable, expresión que el maestro del aula puede ver como complicando el asunto. El autor de un "best seller" pedagógico "simplificó" recientemente el concepto de serie nula de números positivos definiéndola como
serie monótona decreciente ("cada núme- menor que el que le precede"), lo cual
es simplemente falso.¿Quién debe decidir si algo se ha hecho
realmente más fácil de comprender? Uno que-
6.11nvestigaciones en marcha
La generalización de la reforma ha dado por resultado la multiplicación y la diversificación de investigaciones, generalmente con un prurito acentuado de rigor científico, a veces de manera empírica y raramente en el cuadro de una teoría (embrionaria). Podemos mencionar:
a) Encuestas y evaluaciones concebidas al estilo de las ciencias experimentales, que han exigido medios importantes, pero cuyos resultados deben muchas veces tomarse con cuidado, pues si bien el plan y el tratamiento de los datos suelen estar hechos científicamente, la elección de los datos y su recolección no se ha hecho muchas veces de manera satisfactoria (muchas de estas investigaciones no han tenido en cuenta la opinión de ningún matemático).
b) Con el fin de ayudar a los maestros a resolver los problemas prácticos de la enseñanza, han aparecido múltiples estudios detallistas y muchos documentos adaptados a pequeñas secuencias de la enseñanza, lo que ha reforzado el aprendizaje condicionado.
c) Un gran número de investigaciones referentes a dominios matemáticos restringidos, en los cuales la puesta en evidencia, la descripción y la comunicación de los métodos didácticos parece más fácil. Se llega así a una división del saber, opuesta a ia unidad deseada. Estas investigaciones se basan sobre la idea de que, para los alumnos, el saber se reorganizará más tarde en el cuadro de las grandes estructuras y que tal reorganización no es interesante más que si abarca suficiente número de cosas y se hace a nivel suficientemente elevado.
Actualmente se están haciendo tentativas para corfstruir la didáctica de la matemática
ciencia fundamental autónoma, que debe crear simultáneamente sus objetos de estu-
(Cont en pág. 45)
1. Tornar accesible por medio de la concentración en el núcleo matemático del tema
Este aspecto corresponde al punto de vista de que la matemática en su forma más natural, esto es, la matemática en el más estricto sentido de la palabra, despojada de todos los elementos genéticos y relaciones con la realidad, es la matemática más simple. Trabajar con los conceptos centrales, generalizar y enfatizar las estructuras fundamentales es una manera de tornar más accesible a la matemática.
Esto corresponde sin duda a ciertos enfoques de la teoría del aprendizaje. En su "prin-
6. Investigaciones y problemas
Una de las principales dificultades que aparecen al hablar de la reforma de la enseñanza de la matemática en todos los niveles y posiblemente todavía más a nivel elemental, es la ausencia de un sistema de pensamientos que pueda servir de referencia. Las ideas más difundidas acerca de la enseñanza elemental de la matemática, en la mayoría de los países, están fundadas sobre el aprendizaje condicionado (objetivismo y neo-objetivismo) y, precisamente, la reforma ha sido introduada para luchar contra este modo de aprendizaje, que parecía particularmente unido al aprendizaje de la aritmética.
La convergencia de los conocimientos aportados por los psicólogos sobre estados opera-
unaro es
como1 Becker, G.: Móglichkeiten und Probleme des Ele- mentarisierens in mathematischen Unterricht, 1974.
36 37
'
.
sino la definición que usualmente dan los matemáticos con el fin de simplificar las deducciones que la siguen.
Aquí se ve que tornar accesible no es lo mismo que simplificar la estructura deductiva. En la matemática escolar, que es a lo que deseo restringirme aquí, lo que cuenta es la comprensión del significado de conceptos importantes y la habilidad para manejarlos con sentido. Pero esto no basta para establecer inter- relaciones deductivas. No hay duda que una elección adecuada de las definiciones y axiomas torna mucho más accesible un área de la matemática, pero el único criterio de elección no puede ser aquí la simplificación de la estructura deductiva. Por encima y más allá de las consideraciones matemáticas internas, el d¡- dacta maestro debe mostrar imaginación y tomar en cuenta el conocimiento interior de los alumnos. Debe ser sensible a las alternativas justamente donde no existe diferencia para un matemático (por ejemplo, los vectores como clases de flechas son, o no, "lo mismo que las traslaciones").
Los ejemplos siguientes ilustran lo que llamaría una simplificación (estructural) equivaldría a poner el carro delante del caballo6 y que sólo sirve para tornar más difícil el acceso:
"la definición" del producto de números naturales por el camino del producto cartesiano de conjuntos;
cipio de diferenciación progresiva" D.P. Ausu- bei" . giere que primero se deberían presentar las ideas generales, inclusivas, de una disciplina, como él las denomina. Esto permitiría acceder a problemas especiales más fáciles.
Aquí también se puede pensar en el bien conocido principio de profundidad de Z.P. Dienes.
Como primer ejemplo de ésto tomemos el enfoque de problemas con palabras en la escuela primaria que emplea las letras como variables antes del cálculo numérico-H. Freuden- tal3 informó recientemente sobre las sugestiones y experiencias de V.V. Davydow y su escuela de la URSS en esa dirección. Se supone que la abstracción y la generalidad se alcanzarán directamente más bien número de casos especiales y para acceder más fácilmente a problemas concretos.
Por otra parte, es posible tornar más difícil un concepto si se rehúsa tomar un punto de vista suficientemente general. Tuve oportunidad de observar esto recientemente en una clase de alumnos de 15 años. Se empleó toda una hora para explicar la invariancia del paralelismo mediante correspondencias; la prueba fue dividida en muchos casos que requirieron argumentos geométricos especiales que incluso se prolongaron en la tarea para el hogar. Si aquí se hubiera pensado en retornar al núcleo del asunto -que una cosa tal es una permutación del plano (que conserva las rectas) tonces la cuestión se aclararía de inmediato.
Y nadie negaría que el pequeño teorema de Fermat sólo puede ser realmente comprendido y apreciado en su forma teórica de grupo abstracto. Pero la siguiente observación nos hace detenernos y pensar. Los repetidos esfuerzos para inducir en los estudiantes de profesorado el concepto de grupo por el camino de los grupos permutativos4 encontró poca resonancia; se objetaba que era mucho más fácil comenzar directamente con los "verdaderos grupos".
potencias. En lugar de atacar directamente el centro del asunto (multiplicación iterativa), algunos maestros de metodología tratan de hacer el concepto más fácil hablando de iterar "atados" de objetos reales, relacionándolo así con los contornos de la matemática.
Un ejemplo particularmente importante donde se han explotado los orígenes de una ¡dea es el tratamiento de los grupos por Dienes. El fue capaz de hacer el concepto de grupo accesible aun para los alumnos más jóvenes mediante la distinción entre "estados" y "operadores" y particularmente empleando los gráficos de Cayley (volviendo de esta manera a la prehistoria de la teoría de los grupos).9
Lo que yace detrás de ésto, desde el punto de vista del matemático, es una "duplicación" de la estructura de grupo, en el sentido expresado en el teorema de Cayley. En este nivel, un grupo es un grupo agudamente transitivo de operadores que actúan sobre un conjunto de estados. Esto evita muchas dificultades: los
"la definición" de la suma de fracciones co
mo: JL + <L = ad +bc b d bd
"la definición" de un cuadrado como un cuadrilátero con cuatro ejes de simetría;"la definición" de una rotación como productos de reflexiones;"la definición" de un espacio tridimensional mediante una ecuación lineal;"la definición" de una función convexa por medio de la derivada primera y aun de la segunda;"la definición" del área de un trapezoide de lados curvos empleando una integral (definida por las funciones primitivas);"la definición" del logaritmo como la integral de 1/x;"la definición" del seno y del coseno como
• soluciones de un sistema de ecuaciones funcionales:
que por un gran
Aquí y en muchas situaciones similares se emplean propiedades como definiciones que pueden y deben ser explicadas si se desea aclarar la esencia del concepto.8 Desde el punto de vista científico esto es, por cierto, legíti-
deseo hacer un juicio de valor sino
operadores aparecen como objetos concretos, y se "conoce" un operador tan pronto como
un estado inicial y el correspon-se conocendiente estado objetivo. Pero justamente aquí surge el peligro de que los alumnos (y los maestros) no alcancen la madurez matemática.
Esta duplicación de la estructura de grupo yace también en la base de la tradicional aritmética de fracciones. A diferencia de la teor.ía de grupos, éste es un tema sustancialmente significativo para la mayoría de los alumnos. Al tratar el grupo multiplicativo Q , se diferencia entre los números "concretos" y los números "puros", o, en la terminología corriente, cantidades y operadores. Un análisis exhaustivo, especialmente el Vealizado por H. Griesel, ha aclarado esta área y ha justificado con éxito varios métodos tradicionales de presentación. También se ha reconocido la importancia del concepto de "dominio de cantidades" para la enseñanza orientada hacia un desarrollo genéti-
que
mo; nosólo señalar la posible complicación en el pro
de aprendizaje. Naturalmente, puede sercesodifícil definir cuál es la esencia de un concepto. Pero, por cierto, no es meramente, una cuestión de gusto.
Por ello, el fenómeno de "poner el carro delante del caballo" ¡lustra un problema específicamente matemático al tratar de tornar accesible alguna cosa: la simplificación estructural puede tornar más difícil el acceso.
El próximo aspecto es, en cierto sentido, complementario del anterior.
—, en-
2 Ausubel, D.P./Robinson, F.G.: School Learning New York, 1969.
3 Investigación soviética en la enseñanza del álgebra en los primeros grados de la escuela elemental, Edu- cational Studies ¡n Math., 1974, pgs. 391-412.
2. Tomar accesible mediante la inclusión de los "contornos" de la matemática4 Con los grupos permutativos, lo natural es conside
rar primero la inversión de las permutaciones y luego buscar el elemento idéntico para poder componer las permutaciones; con los grupos abstractos, primero se debe introducir la identidad y luego los elementos inversos.
Siempre se ha tratado de hacer la matemática más accesible para los alumnos introduciendo entes matemáticos de la manera menos abrupta y tomando "una visión más amplia de la matemática, lo que incluye el origen de los
relación con la realidad. Este
co y hacia las aplicaciones.En la geometría vectorial de las escuelas
aún se encuentran las expresiones fósiles "coli- neal" y "coplanar" cuya introducción muchas dificultades especialmente con el vector cero. Estas ¡deas se tornan mucho más accesibles si se introduce de inmediato "la dependencia lineal", que es lo que se está buscando. Una definición conveniente podría ser: "Los vectores son linealmente dependientes si por lo menos uno de ellos puede escribirse como combinación lineal de los otros"5 Lo difícil para los alumnos no es la noción misma
7 Interprete las fracciones como longitudes. La ecuación dada surge entonces de las propiedades de un , dominio de cantidades.
8 Esto es cierto para muchos axiomas que se han sugerido por razones didácticas.
9 Naturalmente, es posible que lo que le interese a Dienes no sea tornar más accesible el concepto de grupo,-sino más bien el objetivo más general de estimular el desarrollo cognoscitivo de los alumnos más jóvenes.
crea
5 Al principio es natural no explicar la dependencia lineal para un vector. Esto se presenta más tarde como una extensión (no una revisión) de la definición dada.
Esto es cierto para muchos axiomas que se han sugerido por razones didácticas.
‘6 Esto se relaciona con lo que H. Frendenthal, en su libro Mathematics as an Educational Task, denomina "inversión antididáctica".
conceptos y su enfoque también es apoyado por argumentos de la teoría del aprendizaje, en particular, por aquéllos que se refieren al problema de la motivación. También es apoyado por la experiencia metodológica.
Un ejemplo controvertido de la matemática de la escuela primaria es la introducción de
3938
va abstracción. Esta es también una observación específicamente matemática sobre la sim-' plificación que probablemente no se pueda deducir de ia teoría general del aprendizaje.
El aspecto discutido se puede intitular enriquecimiento. La siguiente, por otra parte, es una forma de reducir ei contenido. No obstante, lo que me concierne aquí no es una teoría sistemática, sino más bien ciertos aspectos que considero especialmente importantes en el estado actual de la enseñanza matemática. El siguiente aspecto se formula deliberadamente de manera positiva (no como una reducción).
Como resultado, se ha continuado desarrollando el método del operador en la aritmética de las fracciones originalmente publicado por P. Braunfeld y G. Pickert, y hoy se lo emplea ampliamente. Se asigna aquí creciente peso a las fracciones decimales y di hecho de que éstas, consideradas como rperadores, puedan ob tenerse directamente con ias calculadoras de bolsillo.
Los críticos de la enseñanza matemática corriente ven una innecesaria complicación en la distinción entre estados y operadores. Es verdad, por cierto, que se ha "destacado demasiado" la distinción. El problema principal ha resultado ser que el análisis básico destinado al maestro ha sido confundido con material propuesto para la clase. Aquí hay un ejemplo de este "hacer explícito el contenido implícito" que critica R. Thom. De paso, obsérvese que muchos matemáticos introducen la misma complicación (duplicación de la estructura básica de grupo) en un nivel más alto cuanto tratan espacios afines paralelos a espacios vectoriales -a pesar de la categórica condena de J. Dieudonné a tales concesiones a los aspectos genéticos.
El conjunto de los estados de un gráfico de Cayley, de los dominios de cantidades y de los espacios afines, son objetos exteriores en relación con los conceptos centrales de la matemática. Se agregan a la matemática (en sentido estricto) para tornarla más accesible. Otro ejemplo de esto, que a mi juicio tipifica los esfuerzos de la didáctica de la matemática en Alemania para tomar en cuenta los "contornos" de la matemática, es el uso de metacon- ceptos al introducir el lenguaje del álgebra, es decir, al enseñar cómo manejar las variables.
Después de que este enfoque fuera esclarecido 9 primeramente por H.G. Steiner y R. Wáshe, siguió un período en que fue enseñado con exagerado perfeccionismo que condujo a complejidades desoladoras. Se está comenzando ahora a encontrar un medio y a cosechar los frutos de la experiencia. No cabe duda de que esta área se está volviendo más accesible gracias a que ha sido demitificada. Ha sido reducido el número de alumnos cuya inhibición frente a "aseveraciones" como a = b les impedía su progreso matemático. En cambio, se debe aceptar cierta complejidad provocada por el uso de tales metaconceptos.
¿Cómo se compagina esto con nuestro primer aspecto? Toda la experiencia indica que cierta complejidad usualmente no molesta ni a alumnos ni a maestros tanto como una excesi-
fluo y ciertamente peligroso definir una "palabra" con la que los niños ya están familiarizados, como una correspondencia por ejemplo, un concepto que en las primeras etapas todavía no está disponible. Esto no significa que nosotros estemos en favor de un retorno al lenguaje desorientador de la combinatoria tal cual se la enseñó tradicionalmente. Simplemente, estamos arguyendo por el reconocimiento de lo que los alumnos ya han aprendido donde se lo puede usar.
En el aula, esto requiere que el maestro juzgue sobre qué conocimientos de los alumnos debe construir. Es exagerado aguardar un consenso general sobre esto. De ninguna manera deseamos excluir que este conocimiento ya existente sea cuestionado o profundizado más adelante. En realidad, más adelante se debe bucear en él y dispensar de él, paso a paso. Pero no debe ser arrojado por la borda inmediatamente. Debe recordarse esto, especialmente en los próximos ejemplos.
Los alumnos tienen considerable experiencia que se puede usar en la geometría elemental.10 Pienso, en particular, en su familiaridad con la existencia y propiedades de las mediciones elementales de longitud, ángulo y área. Esta familiaridad viene desde fuera de la clase de matemática, incluso desde fuera de la escuela, lo cual podemos considerarlo como una situación particularmente afortunada.
En el aula de hoy, no se insiste en un desarrollo completamente riguroso de la geometría elemental y usualmente se hace uso de estas mediciones sin decir nada. Pero incluso en un nivel más exigente, el uso de estas mediciones como conceptos indefinidos básicos puede llevar a una deseable simplificación. Esto fue originalmente expuesto en el libro de Birkhoff y Beatley. En años recientes, se lo ha desarrollado más y se lo ha puesto exitosamente en práctica en algunos cursos.
De paso, se lleva aún más lejos el reconocimiento del conocimiento que existe si se basa la geometría elemental en los espacios vectoriales como lo hace J. Dieudonné. Porque esto significa que, de facto, se supone un conocimiento previo de los teoremas de la semejanza. Esto no parece justificado ni en la enseñanza en el aula ni en la instrucción de los alumnos de profesorado.
de la figura corresponde a un período del desarrollo decimal. Esta visión sólo se obnubilará si tratamos de explicar el algoritmo o de traducir todo en lenguaje matemático. Verá de inmediato que se cumplen las desigualdades de la derecha. Pero no comprendería una prueba formal de ello empleando el teorema de la división con resto.
También debería aceptarse que la noción común de fracción decimal como serie de dígitos es una base perfectamente buena para introducir los números reales. No se debe comenzar con una precisa definición de una se-
3. Tornar accesible pur el reconocimiento y la activación de! conocimiento preexistente
Al subrayar este aspecto, nos estamos ubicando en contra de la tendencia ampliamente difundida de desarrollar matemática "ab ovo" o de retroceder hasta el comienzo y comenzar sin admitir nada. Esta tendencia se puede encontrar no solo en los matemáticos sistematizadores (cuando, por ejemplo, ellos dicen a los estudiantes que olviden le que han aprendido en la escuela) , sino también en didactas orientados genéticamente, como A.l. Witenberg, e incluso en el metodólogo de la escuela primeria cuando ignora las experiencias previas de los niños con números.
Nosotros queremos, por otra parte, ver a los alumnos animados a hacer uso del conocimiento preexistente, incluso desde fuera de la matemática. Este enfoque toma en cuenta realidades como la calle Sesame, y ahorra tiempo y esfuerzo de parte del maestro. Sobre todo queremos eliminar la frustración que se puede causar despreciando lo que los alumnos ya saben.
rie.También en análisis, esta idea ingenua de
serie es suficiente durante mucho tiempo. Definir las series demasiado rápidamente como correspondencias en el dominio N inhibe el desarrollo de una comprensión creadora de lo que es una serie y vuelve imposible operar libremente con subseries. Afortunadamente se
olvida" rápidamente esta definición, por ejemplo, cuando se explica la monotonía (ya definida para funciones) en la forma a, < a2 ^a 2 • .
La experiencia de los alumnos con la representación decimal de los números naturales hace posible una prueba de la insolubilidad de la ecuación (m/n)2 = 2 (m,n e N), experiencia, que muestra serles particularmente accesible:
i i
La teoría del aprendizaje también estimula cierta conexión con el conocimiento existente. En particular, pertenece,según D.P. Ausubel, a las condiciones para el "conocimiento significativo". Al mismo tiempo está de acuerdo los principios didácticos, como el principio de integración de E. Wittman o, con más generalidad, con el principio genético.
He aquí un ejemplo: se debe reconocer y utilizar el conocimiento de los alumnos del algoritmo de la división cuando se explica la periodicidad en las fracciones decimales o cuando se introducen intervalos incluidos. Debido a su experiencia con este algoritmo, el alumno verá que la repetición en el cálculo en la parte sombreada
se comparan simplemente los últimos dígitos en los desarrollos de m2 y 2n2. El conocimiento infantil de las series finitas como "palabras", puede también construirse mediante la combinatoria elemental. Ya se puede explicar a los jóvenes alumnos qué es una palabra con s letras en un alfabeto de n letras. Lo que han aprendido al deletrear, los capacita para
cuando dos palabras son lo mismo y
con
reconocercuando son diferentes. De esta manera, comprenden inmediatamente que hay precisamente ns de tales palabras. Y pueden aplicar esto en situaciones reales usando las palabras como
10 Entendemos, con J. Dieudonné. a la geometría elemental, como “un tipo de física del espacio", aunque no como una disciplina puramente experimental como él sostiene.
"palabras-código" (para describir rutas de escape, por ejemplo). Para tales fines, es super-
4041
fl
damento del concepto de integral. Esto es útil para los alumnos de los cursos con un mínimo de matemática que en lo actual tienden a no tratar para nada las integrales. Simplemente definimos la integral de una función (siguiendo a E. Artin) como el área bajo su gráfica (tomada positivamente por encima del eje de las x y negativamente por debajo). Entonces podemos dedicarnos directamente al problema fundamental de calcular integrales.
De esta manera evitamos los asuntos de la definición y de las pruebas de existencia que provocan dificultades de relieve a los alumnos más flojos y que, de todas maneras, luego olvidan totalmente. Con esta definición geométrica se puede también -probar el teorema fundamental del cálculo; no es necesario degradarlo a una definición como en el enfoque mediante las funciones primitivas.
En la prueba de que todas las funciones primitivas (de una función definida sobre un intervalo) difieren entre sí por una constante, se debe aceptar que los alumnos conocen por su experiencia que f'= 0 implica que f es constante. Con cierta imaginación, ese conocimiento se puede adquirir observando un velocímetro. Lo importante, ante todo, pueden dar el pasito de este juicio al que se refiere a todas las funciones primitivas y comprender su significado. Sólo entonces se justifica didácticamente y es deseable examinar su plausibilidad y proporcionar una prueba.
En relación con esto, formulemos un principio general para organizar cursos: Se deben organizar de manera tal que las cosas con las
Lo que nos preocupa se aclara particularmente si se piensa en cómo se introducen a veces las funciones trigonométricas: es una pérdida de tiempo, y sólo frustra a los alumnos, pasar por alto sus conocimientos ya existentes de ángulo o de longitud de arco. Es perfectamente posible construir sobre este conocimiento aun en los programas de profesorado Un desarrollo independiente de las funcionas trigonométricas es, en conjunto, sólo nece- ■>di¡o como conocimiento básico para la ense- n.in/.i .-n los últimos años de la escuela, y aquí /*.% necesario.
Ue la misma manera, es legítimo en la matemática escolar emplear la fórmula del área de un sector (en función de la longitud de arco) para probar que. lim sen x
x+o xComparando las áreas correspondientes se de
duce luego la desigualdad básicax < tan x (o < x < fí)
4. Tornar accesible mediante el cambio de la forma de representación
Siempre se ha tratado de tornar más accesibles los conceptos matemáticos mediante la ilustración, más generalmente cambiando la forma de representación. Según J. S. Bruner, actualmente se diferencia entre representación activa, representación iconográfica y representación por medios simbólicos (por medio del lenguaje así como de símbolos en el sentido menos amplio). En los principios didácticos, como el "principio de la prefiguración", se estimula el uso de formas presimbólicas.
No podemos desarrollar aquí una teoría, ni siquiera la fenomenología, de las maneras de representar las ¡deas matemáticas. Este es un problema que el psicólogo no está en condiciones de resolver y que no interesa al matemático. Recae entonces en el especialista en didáctica. El esquema E - I - S de Bruner debe ser modificado, o refinado, antes de ser aplicado a la matemática. Simplemente no se puede coordinar las maneras .usuales de representar conceptos matemáticos con este esquema. (Por ejemplo, ¿cómo se categoriza la representación de los conceptos algebraicos estructurales mediante modelos en la matemática? ).
En lo que‘sigue, sólo recordaré cómo se pueden representar las ideas matemáticas activa o iconográficamente para tornarlas más accesibles.
Ante todo daré un ejemplo de representa: ción activa: explicamos la regla de la divisibilidad por 9 eñ un ábaco primitivo. Sea el número dado n representado por n cuentas en la columna de los unos. Realizamos la acción siguiente tan a menudo como sea posible: "Tomar 10 cuentas, colocar 1 en la columna de la izquierda y colocar las otras 9 aparte".
Las cuentas que quedan en el ábaco dan la representación decimal del número n. El número de cuentas que quedan es la suma de los dígitos en la representación decimal. Ahora hemos separado grupos de 9 cuentas cada vez; entonces el número n es "tan" divisible por 9 como lo es la suma de sus dígitos.
No hay duda que aquí se ha presentado adecuadamente el punto esencial y que se ha tornado accesible para alumnos para los cuales de otra manera la regla podría ser sólo una
todo inaccesibles para la matemática escolar, pueden tornarse accesibles reconociendo los conocimientos ya existentes y, por cierto, cultivándolos. Un ejemplo impresionante de esto es el teorema fundamental del álgebra. En un análisis didáctico, H.G. Steiner mostró como tornar accesible para la clase la bien conocida prueba topológíca. Precisar los elementos to- pológicos de la prueba, de ninguna manera daría la más simple prueba del teorema. La simplificación surge aquí porque se puede aislarlos de la manera explicada anteriormente.
?
! ¿Cómo se compagina este aspecto de reconocimiento del conocimiento preexistente con la tendencia, ampliamente difundida hoy, de introducir los conceptos axiomáticamente cuando resulta demasiado laborioso definirlos o construirlos rigurosamente? Sólo se necesita pensar en las definiciones axiomáticas de área, de números reales, o de la función exponencial. Esto no es "exactamente lo que queremos significar". Aquí también debemos desarrollar cierta sensibilidad a la diferencia aun cuando a simple vista las dos sean lo mismo. Por ejemplo, el reconocimiento preexistente de las propiedades de orden en la geometría no significa que se expl¡citen axiomas de ellas, sino más bien que ni siquiera se habla de ellas.
En general desearía destacar lo siguiente: si la introducción axiomática de un concepto simplemente formula en forma explícita lo que razonablemente se puede suponer que co-
los alumnos entonces ella corresponde a lo que pensamos. (Para ser más preciso, la formulación axiomática es una forma más elevada de lo que pensamos). Pero si es un caso de "poner el carro delante del caballo", si los axiomas "vienen de las nubes", entonces no es lo que intentamos.
1
2
es que
Por olí «i mulé, no se justifica obtener la desigualdad simplemente comparando el arco con el segmento tangente sin ninguna argumentación, como se hace comúnmente sin ninguna argumentación. Aquí reside la línea divisoria entre la simplificación legítima y una simplificación que no convence a los alumnos críticos.
El área de las figuras planas es un concepto en el cual la intuición es particularmente confiable. Raramente conduce a conclusiones falsas (a diferencia de la ¡dea intuitiva de longitud de arco, en donde las líneas en zigzag pueden causar dificultades). La demostración de que hay figuras inconmensurables en el plano es algo refinado y no constructivo. Imagínese lo que significa para un alumno que se cuestione su noción de área: la fórmula del área de un triángulo no aparece más como teorema que se puede probar, sino, más bien, como definición (otro ejemplo de poner el carro delante del caballo). Y el descubrimiento de Hipócrates sobre las "pequeñas lunas" queda degradado a un juicio hipotético. Las ¡deas intuitivas de área aún pueden emplearse como fun-
nocenque se supone que los alumnos están familiarizado puedan aislarse y examinarse más tarde
mayor atención o eliminarse del todo, sin que se derrumbe toda la estructura. Este principio es un ejemplo de cómo aislar dificultades con sentido común y concuerda también el principio de la espiral, de J. S. Bruner.
Una ilustración de esto se presenta en lo que en Alemania se llama "geometría de correspondencia" [Abbildungs geometrie). El análisis muestra que "las pruebas de correspondencia", cuando se las desarrolla en detalle, son usualmente más difíciles que las pruebas tradicionales
con
con ¡
Si vemos el reconocimiento del cono-una reducción en
reducción relati-cimiento preexistente como el contenido, entonces es una
ligera. Se están evitando explicaciones que de todas maneras no se necesitan. A menudo, un maestro debe llevar a cabo reducciones mucho más extensas, incluso para admitir resultados que de ninguna manera conocen sus
Pero no deseo discutir aquí este problema. En cambio, quisiera dedicarme aspecto que acaso pueda verse como una for-
de reducción, aunque esto no signifique necesariamente sacrificar ninguna esencia ma-
vamente
que emplean los teoremas de congruencia. Pero no se desmoronan si parte de la prueba que los alumnos
se elimina o reemplaza por lo conocen sobre congruencia
-conocimiento que en realidad proviene de fuera de sus clases de matemática, de riencia diaria sobre los cuerpos rígidos.
Algunos tópicos que hasta ahora
ialumnos.a un
11 Es común en todas las ciencias admitir resultados de esta manera, especialmente de otras disciplinas. También en matemática ocurre lo mismo.
su expe- ma
temática.eran del4342
t
En esta forma -y mediante el uso de formas tanto activas como iconográficas— se realiza una importante ayuda en matemática práctica comprensible por todos los alumnos. Hay profesores que me aseguraron que eso es "demasiado fácil" para los alumnos adelantados. No obstante, la mayoría de los alumnos de hoy no conoce el papel gráfico logarítmico ni siquiera adquiere capacidad para aprender sobre él por sus propios medios. No puedo dedicarme aquí a cuestiones de representación simbólica en el sentido más restringido. Permítaseme decir tan sólo que la matemática se puede tornar accesible usando diferentes formas de representación. Aquí "todo va bien", sea "abuso de lenguaje" o chistes como los que emplea P. Braunfeld.
He experimentado cómo Braunfeld tuvo que defenderse contra la acusación de que eso no era matemática. No obstante, "no está justificado", como dice R. Fischer, "no llamar a algo matemática simplemente porque se lo comunica con una jerga diferente". No hay duda que muchas ¡deas matemáticas simples permanecen inaccesibles en la actualidad para nuestros alumnos sólo porque se las presenta mediante una formulación o simbolismo que provoca dificultades que nada tienen que ver con la esencia matemática.
Para subrayar la validez de las formas de representación más "primitivas” parecemos despreciar la cuestión de la transferencia intermodal: H. Bauersfeld, particularmente ha seña-
abrir puertas a nuestros alumnos sin desorientarlos y sin falsificar nada. Quizás una formulación mejor de nuestro cuarto aspecto sería la siguiente: Tornar accesible comenzando al nivel apropiado de representación.
los alumnos podían dar buenas razones por las cuales así ocurría. Entonces, trabajaron creativamente en el nivel más bajo de representación. Esto es sin duda mejor que permanecer largamente pasivos a un nivel más alto.
Lo mismo ocurre con las muchas gradaciones posibles en las representaciones verbales y simbólicas. Por ejemplo, cuando se puede ver, al enseñar proporciones, cómo una explicación verbal adecuada de la igualdad básica capacita a los alumnos para todos los niveles de trabajo con ellas por sí mismos, en tanto que las formulaciones simbólicas se pierden en gran parte.
Hay nuevos resultados en esta dirección en la ecuación funcional de Ia función exponencial. A. Engel informa: cuando discuten procesos reales de crecimiento, los alumnos sugieren formulaciones como "iguales lapsos de tiempo siempre dan el mismo factor de crecimiento". Esta forma de la ecuación se puede usar para deducir consecuencias y aplicaciones no triviales que de esta manera se tornan accesibles a amplios grupos de alumncs.
Un ejemplo: Sigamos un proceso de crecimiento sobre la escala de una regla de cálculo. Factores iguales significa mover longitudes iguales en la escala. De ese modo, a lapsos iguales de tiempo corresponden pasos de igual longitud sobre la escala. En otros términos, nos movemos con velocidad constante a través de la escala. Ahora los alumnos pueden hacer por sí mismos gráficos de papel logarítmico, marcando simplemente escalas de la regla de cálculo, a la izquierda y a la derecha del papel, y uniendo los puntos correspondientes.
De modo que cualquiera que dibuje "alguna vez un gráfico de horarios" verá lo siguiente: el crecimiento exponencial aparece sobre el papel logarítmico como una línea recta (ver gráfico).
receta. Traducir el argumento de una forma más sofisticada resulta, por comparación, de importancia secundaria.
Debe ser parte de la habilidad profesional del maestro el conocer tales posibilidades para representar ideas y cómo emplearlas en forma fructífera. Esto no siempre es fácil: la transición al nivel activo tiene sus bemoles. Como bien se sabe, representar las permutaciones por "juegos" con objetos reales puede llevar a complicaciones considerables.
Quisiera ahora hacer dos observaciones sobre las representaciones iconográficas. La primera se refiere a los diagramas de flecha, que adquirieron amplia difusión gracias a los esfuerzos de G. Papy. Aparentemente, algunos alumnos sólo pueden comprender conceptos como "inyectivo", "suryectivo" (independientemente de si uno emplea o no estos términos) mediante los diagramas de flecha, en otras palabras, con la forma "dos o más flechas no terminan en un punto" o "por lo menos termina una flecha en cada punto". Nos preguntamos si es adecuado o no comprender conceptos de esa manera. La respuesta es "sí" si luego se argumenta con ellos en este nivel de manera sensata.
Este es el caso^ por ejemplo, cuando se prueba, empleando diagramas de flechas, que si la correspondencia <7 o f es inyectiva entonces también lo es f, o sí g o f es suryectiva entonces también lo es g.
La siguiente observación se refiere a la representación de un sistema algebraico finito mediante las tablas de composición. El hecho de que estas representaciones sean tridimensionales es, definitivamente, una característica iconográfica. La experiencia en el aula muestra lo s'guiente: conceptos como la regularidad de una composición (regla de cancelación) o deducciones tales como "la regularidad implica que toda ^ecuación ax = b es resoluble en el caso finito sólo se tornan accesibles alumnos cuando se interpretan en una tabla imaginada, esto es, "en cada hilera y en cada columna cada elemento aparece sólo una vez; entonces, debe aparecer por lo menos vez".
5. Observaciones finales
Debo terminar aquí. Indudablemente, he dejado afuera importantes aspectos de tornar accesible a la matemática, tales como mediante ejemplos iluminadores. En verdad, estos son de qran importancia para aprender matemáti- ~~13 Pero, de todas manera, no he tratado de agotar la cuestión.
Deseo destacar especialmente lo siguiente: todas las ideas aquí bosquejadas son sólo ayudas para facilitar el acceso al aprendiz. No pueden ahorrarle el acto básico de Ia comprensión. No todos los alumnos logran esto en todos los casos.
Mi larga experiencia me sugiere que en este sentido la inducción matemática es un "contraejemplo". Ha estimulado a los. maestros a realizar notables esfuerzos y ha alentado una impresionante creatividad didáctica comenzando en el "nivel activo" con dominios. Pero hasta ahora no parece haberse obtenido un amplio éxito enseñando a usarla.
Al terminar deseo agregar alguna palabra sobre el método. Los aspectos bosquejados están dirigidos principalmente a ser medios para organizar alguna experiencia y algunos pensamientos para la enseñanza de la matemática, más bien que objetos por derecho propio para estudios teóricos. Sin embargo, quizás puedan servir para organizar, implantar normas para, estimular, investigaciones didácticas.
ica.
I
lado su importancia.Naturalmente, debemos ejercitar a los
alumnos en las diversas formas y especialmente en los diversos niveles de lenguaje. H. Freudenthal ha ¡lustrado esto con un ejemplo particularmente impresionante. Sin embargo, podemos hacer matemática perfectamente bue-
el nivel más elemental, y podemos
13 H. Griesel ha mostrado cuán importante es proveer continuamente ejemplos, particularmente en la escuela primaria.na ya en
más importantes y más generales mencionaremos: 1. Investigaciones sobre las situaciones favorables para los procesos de aprendizaje fundamental (aritmética y otros temas); estudio de las condiciones para la reproductividad (en particular, en el transcurso de una secuencia didáctica, ¿cuáles son las elecciones que corresponden al maestro y cuáles a Jos alumnos? ¿Pueden establecerse criterios de elección que permitan al maestro construir su propia estrategia? ).2. Investigación de las condiciones de funcionamiento de la comunicación, para evitar que el saber se transforme en una teoría sin co-
(Cont en pág. 46)
(Viene de pág. 36)dio y sus métodos, los cuales no deben ser losx mismos de las ciencias experimentales, muchas
aptos para esos fines. Es muy proba-
a muchos rveces noble que su dominio comprenda principalmente la enseñanza elemental de la matemática, pues en ella los conocimientos (psicológicos y otros) son más numerosos y los problemas, más simples y fundamentales. Por otra parte,
aquí donde es más imperiosa la ne-
una
En una de mis clases, los alumnos fueron inducidos (independientemente) mediante su trabajo con las tablas a hacer la siguiente conjetura: "Cada subgrupo propio de un grupo finito G.,tiene a lo sumo la mitad de los elementos GÍ2".
(No conocían el teorema de Lagrange) Y
acaso sea cesidad de progreso.
6.2 Algunos problemas En los últimos años han aparecido y se han
formulado numerosos problemas. Entre los
JU'C,° y su aplicación empleando la tabla es pQS ero ya Para (finitos) grupoides en lugar de gru-
44 45
BIBLIOGRAFIA COSTAL: VEINTE ANOS DE
3CPERIENCIA COOPERATIVAelaboración de material didáctico. Se trata de originales creaciones, con las cuales los niños aprenden los elementos de la matemática como jugando”.
Dice Oscar Varsavsky: ‘‘La Licenciada Nogués, apoyada en un conocimiento de la matemática de nivel superior, ha logrado crear instrumentos pedagógicos refrescantes y promisorios para las estapas más difíciles de la enseñanza: las primeras”.
Agrega también Oscar Varsavsky: “He leído con gran satisfacción los trabajos sobre Cuadrados Mágicos, Dominó y Tablas Numéricas preparados por la Licenciada en Matemática Pastora Nogués Acuña.
“Comparada con el desorden, la falta de sentido común y la irresponsabilidad con que se manejan los conceptos matemáticos elementales en textos y clases de primaria y secundaria, la obra que ha comenzado a realizar la Licenciada Nogués es sobresaliente y merece toda clase de apoyo; en especial, la oportunidad de ser aplicada en amplia escala”.
Aun cuando los conceptos expresados sobre la tarea de los docentes primarios y secundarios sean muy discutibles y no los compartamos, creemos que los textos son interesantes y que pueden ser leídos con provecho.
NOGUES, Pastora Sofía, Tablas numéricas en la escuela, 57 pág.; El dominó en la escuela y el dominó en la casa, 78 pág.; Cuadrados mágicos en la escuela, 48 pág. EDICIONES DIAL, Buenos Aires, 1973.
\
• ♦
Hemos recibido estos tres cuadernillos pertenecientes a la serie “Cartillas para el maestro”, serie matemática, cuyos asesores científicos fueron el Dr. Mischa Cotlar en matemática y el ingeniero José Babini en historia de la ciencia.
Creemos conveniente hacer conocer la opinión que sobre los mismos han vertido destacados matemáticos de nuestro país.
Dice José Babini: “El empleo de los breves textos destinados a los maestros y del material didáctico que la Licenciada Nogués ha pensado especialmente para la enseñanza individual cambiaría favorablemente la “atmósfera matemática de nuestras aulas primarias”.
Dice Mischa Cotlar: “La Licenciada Nogués ha ideado una serie de textos valiosos y originales, acompañados de material didáctico concreto, cuyo empleo recomiendo muy calurosamente”.
Dice Alberto González Domínguez: “En los últimos tiempos la Licenciada Nogués ha volcado su entusiasmo en la
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(Viene de pág. 45) 3. Investigación del papel de la analogía en el aprendizaje de la matemática. La analogía ¿es un método para el descubrimiento de las estructuras, o es ya un saber reconocido como tal para quién aprende? (Investigación no solamente sobre la habilidad del alumno para expresarse en términos matemáticos, sino también sobre su habilidad para teorizar).
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nexión con los problemas que le han dado origen (tanto a nivel de la clase como a nivel de la formación de maestros). En otras palabras, investigación de las maneras funcionales y no estructurales de comunicar los conocimientos matemáticos o didácticos.
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