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Dep. Matemática Escola Superior de Tecnologia de Viseu

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Conceitos básicos

Carla Henriques e Manuel Reis Probabilidades e Estatística – Engenharia do Ambiente

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Conceitos básicos: Variável Aleatória

Variável aleatória (v.a.) valor numérico que é resultado de uma experiência

aleatória.

Podemos ter variáveis aleatórias contínuas ou discretas.

Exemplo 1: Suponha que lança duas moedas e regista a face voltada para

cima. Esta experiência aleatória tem 4 resultados possíveis:

Cara-Cara; Cara-Coroa; Coroa-Cara e Coroa-Coroa.

Seja X a variável aleatória que representa o número de caras obtidas.

Esta variável pode tomar os valores 0, 1, ou 2; é uma variável aleatória discreta.




2

Exemplo 2: O Departamento de Recursos Humanos de uma determinada

empresa está a fazer um estudo no qual interessa analisar o rendimento mensal

per capita do agregado familiar dos seus empregados.

O rendimento mensal per capita do agregado familiar de um empregado

escolhido ao acaso, X, é uma v.a. contínua.

Outros exemplos:

peso de um indivíduo, em kg v.a. contínua.

nº de vezes que um indivíduo vai ao cinema mensalmente v.a. discreta




3

Distribuição de Frequências vs. Distribuição de Probabilidades

Distribuição de Frequências

No contexto do Exemplo 1, suponha que se lançaram 100 vezes as duas

moedas, tendo-se obtido os seguintes resultados:

Número de caras

Frequência absoluta

Frequência relativa

Freq. relativa

acumulada 0 26 0.26 0.26

1 50 0.50 0.76

2 24 0.24 1

A tabela anterior descreve a distribuição de frequências do nº de caras obtidas

por cada lançamento de duas moedas, em 100 lançamentos.




4

Podemos calcular a média, x , e a variância, s2, do nº de caras obtidas por

lançamento:

98.0224.015.0026.0x =×+×+×=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−= ∑

=

2n

1i

2ii

2 xnxn1n

1s ( ) 505.098.0100224150026991 2222 =×−×+×+×=

Considere-se agora o Exemplo 2 e suponhamos que foram seleccionados ao

acaso 100 empregados que constituem a amostra em estudo. Os dados

recolhidos relativamente ao rendimento mensal per capita do agregado familiar

desses 100 empregados estão sumariados na tabela seguinte.




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Rendimento (em Euros)

Frequência absoluta

Frequência relativa

Freq. relativa

acumulada [100, 300[ 15 0.15 0.15

[300, 600[ 40 0.4 0.55

[600, 900[ 32 0.32 0.87

[900, 2000[ 13 0.13 1

A tabela anterior descreve a distribuição de frequências do rendimento mensal

per capita do agregado familiar dos 100 empregados.

Calcule-se a média e o desvio padrão desta amostra:

5.638100

131450327504045015200x =×+×+×+×

=

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −∑

−=

=

2n

1i

2ii xnxn

1n1s ( ) 04.3665.63810013145015200

991 222 =×−×++×= L




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Distribuição de Probabilidades

Nos exemplos anteriores, foram registadas as frequências observadas num

estudo onde a v.a. em causa é observada um nº finito, n, de vezes (no caso

n=100).

A distribuição de probabilidades da v.a. X descreve o que se esperaria

encontrar se fosse possível observar a v.a. um nº infinito de vezes.




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Distribuição de probabilidades discreta

Relacionando cada valor da variável aleatória discreta X com a probabilidade de

ocorrência desse valor, estamos a descrever a distribuição de probabilidades da

v.a. discreta X. A função de probabilidade de X é uma função Xf que associa a

cada valor possível x de X a sua probabilidade: )()( xXPxf X == . Tem-se que

1)( =∑ix

iX xf .




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Exemplo 1: Distribuição de probabilidades da v.a. nº de caras obtidas no

lançamento de duas moedas

Númerode caras

xi

ProbabilidadeP(X=xi)

0 0.25

1 0.50

2 0.25




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Neste caso, a média e a variância são usualmente representados por µ e σ2 e

são calculados usando as probabilidades, da seguinte maneira:

1225.015.0025.0)()( =×+×+×=== ∑ iXi

i xfxXEµ

=2σ 5.01225.0150.0025.0))(()())(()( 2222222 =−×+×+×=−=−= XEXEXEXVar Xµ

A distribuição de probabilidades pode ainda ser descrita através da chamada

função de distribuição cumulativa F(x), que, para cada x, nos dá a

probabilidade da v.a. assumir um valor inferior ou igual a x:

F(x)=P(X≤x) probabilidade acumulada até x




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Para a v.a. do Exemplo 1, podemos completar a tabela introduzindo os valores

das probabilidades acumuladas até 0, 1 e 2, isto é, apresentando os valores de

F(x1), F(x2) e F(x3).

Númerode caras

xi

Probabilidade P(X=xi)

F(xi)

0 0.25 0.25

1 0.50 0.75

2 0.25 1




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Para outros valores de x ∈ R:

Se x<0, tem-se ( ) 0)( =≤= xXPxFX ;

Se 0≤x<1, tem-se ( ) ( ) 25.0)0(0)( ====≤= XX fXPxXPxF ;

Se 1≤x<2, tem-se ( ) ( ) 75.05.025.0)1()0()1(0)( =+=+==+==≤= XXX ffXPXPxXPxF ;

Se x≥2, ( ) ( ) 125.05.025.0)2()1()0()2()1(0)( =++=++==+=+==≤= XXXX fffXPXPXPxXPxF .




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Resumindo,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥<≤<≤

<

=

2 x12x1 0.751x0 25.0

0x0

)(

sesesese

xFX .

Na figura seguinte representa-se XF graficamente.

0

0,25

0,5

0,75

1

-1 0 1 2 3

Funç

ão d

e D

istr

ibui

ção




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Distribuição de probabilidades contínua

A probabilidade de uma variável aleatória continua tomar um valor particular é

zero (recorde que teoricamente uma v.a. contínua pode tomar um nº infinito de valores

num intervalo de nº reais, logo, é evidente que a probabilidade de ela assumir um valor

particular entre um nº infinito será zero).

Consequentemente, uma variável aleatória contínua não pode ser expressa na

forma tabular; usa-se então uma função para a exprimir.

Uma função muito usada para descrever a distribuição de probabilidades é a

função densidade de probabilidade (representada por )(xf X ), abreviadamente fdp.




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Também podemos descrever a distribuição de probabilidades através da função

de distribuição cumulativa dttfxXPxFx

X )()()( ∫∞−

=≤= donde )()(' xfxF XX =




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Vamos recorrer ao Exemplo 2 para ilustrar a utilidade destas funções.

Exemplo 2:

Suponhamos que a função densidade de probabilidade da v.a. X - rendimento

mensal per capita do agregado familiar de um empregado escolhido ao acaso – é

representada graficamente da seguinte maneira:




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A probabilidade do rendimento familiar per capita de um empregado

(escolhido ao acaso) ser inferior ou igual a a corresponde à área limitada

(superiormente) pela função densidade, (inferiormente) pelo eixo das abcissas e

por a (à direita) [área sombreada].

[área sombreada]=P(X≤a)=F(a)




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A probabilidade do rendimento familiar per capita de um empregado

(escolhido ao acaso) estar compreendido entre dois valores, a e b, corresponde à

área limitada (superiormente) pela função densidade, (inferiormente) pelo eixo

das abcissas, (à esquerda) por a e (à direita) por b [área sombreada].

[área sombreada]=P(a<X<b)=F(b)-F(a)




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Obviamente, a área limitada superiormente pela função densidade e

inferiormente pelo eixo das abcissas é igual a 1, pois corresponde à probabilidade

de se observar qualquer valor para o rendimento familiar per capita de um

empregado (escolhido ao acaso).




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Exemplo 3 :

O director de compras da empresa “Baratinho” pretende definir uma política de

aquisição de matéria-prima para o próximo ano. As necessidades de matéria-

prima por dia (em toneladas) são uma variável contínua com função densidade

de probabilidade:

⎩⎨⎧ ≤≤−

= valores,0

20,2/1)(

outrosxx

xf X

[ ]326/2/2/)2/1()()( 2

032

2

0

22

0

=−=−=−=====

+∞

∞−∫∫ ∫

xxX xxdxxxdxxxdxxxfXEµ




20

[ ]92

328/3/

32)2/1(

32)(

))(()())(()(2

20

432

0

22

22

2222

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=

=−=−==

==

∞+

∞−∫ ∫

xxX

X

xxdxxxdxxfx

XEXEXEXVar µσ

Função de distribuição cumulativa de X: Se x<0, vem:

0dt0dt)t(f)xX(P)x(Fxx

XX ===≤= ∫∫∞−∞−




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Se 0≤x<2, vem:

∫∫∫ +==≤=∞−∞−

x

0X

0

X

x

XX dt)t(fdt)t(fdt)t(f)xX(P)x(F

440

210

2

0

2

0

0 xxttdttdtxx

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= ∫∫

∞−

Se x≥2 vem:

∫∫∫∫ ++==∞−∞−

x

XXX

x

XX dttfdttfdttfdttfxF2

2

0

0

)()()()()(

1042200

210

2

2

2

0

0

=+−+=+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= ∫∫∫

∞−

x

dtdtxdt




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Resumindo,

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

<≤−

<

=

2 x1

2x0 4

0x0

)(2

se

sexxxFX

Na figura seguinte representa-se XF graficamente.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

-1 0 1 2 3

FX




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Em estudos de inferência estatística, em geral, estuda-se uma característica

numa dada população, que é representada por uma v.a., digamos X. Contudo, é

através de uma amostra que esta característica é estudada (recorde o Exemplo

2).

A distribuição de probabilidades de X é usualmente designada por distribuição

populacional. A média e variância desta variável aleatória, µ e σ2, dizem-se

parâmetros populacionais, pois são os valores que se encontrariam se fosse

possível observar todos os elementos da população.

Ao observar uma amostra, temos acesso apenas a uma distribuição de

frequências, e à média e variância amostrais, que nos dão uma ideia,

respectivamente, da distribuição populacional e da média e variância

populacional.




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Propriedades da Esperança e da Variância: Sejam X e Y variáveis aleatórias e a, b e c constantes reais. Então:

• E(c)=c

• E(cX)=cE(X)

• E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)

• Var(c)=0

• Var(aX+b)=a2Var(X)

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