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VIII CONGRESO
IBEROAMERICANO DE
EDUCACIÓN MATEMÁTICA
LIBRO DE ACTAS
Editado por:
Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas
C/ H. Carvajal, 5. 23740 Andújar (Jaén) España
www.fespm.es
ISBN: 978-84-945722-3-4
La Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas no se hace responsable de los trabajos publicados en estas actas. Los autores son responsables de que las citas en sus trabajos están adecuadamente indicadas con referencias apropiadas en el texto, así como de no haber utilizado fuentes distintas de las indicadas en la bibliografía, asumiendo las consecuencias de un posible plagio.
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COMUNICACIONES BREVES 201-300
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CB-203
ALUNOS COM PARALISIA CEREBRAL PODEM APRENDER MATEMÁTICA: UMA
REFLEXÃO QUE DESMISTIFICA O PARALISADO CEREBRAL COMO
DEFICIENTE INTELECTUAL.
Dilson Ferreira Ribeiro
Colégio Municipal Pelotense – Brasil
Tema: Aspectos socioculturales de la Educación Matemática.
Modalidad: CB
Nivel educativo: Medio e Secundário (12 a 15 años)
Palabras clave: Ensino de Matemática, Metodologia de Ensino, Paralisia Cerebral.
Resumo
Nesta comunicação será feito uma abordagem sobre a necessidade de alunos com paralisia
cerebral (PC) aprender matemática num recorte dirigido a alunos sem deficiência intelectual. Um
texto que busca despertar no professor uma reflexão sobre sua capacidade de desconstrução e o
quão importante é investir em sua formação continuada. Não é a intenção desta comunicação
desenvolver técnicas ou receitas de como dar aula para alunos com PC, mas sim, deixar com que
o professor se permita à reinvenção, ao novo, mostrando o quanto todos temos a capacidade de
criar e inovar mesmo que, em alguns momentos, estejam imersos em uma infraestrutura de
trabalho ruída e sem perspectiva de crescimento. No desenvolvimento desta reflexão, autores
como Nóvoa & Hameline (1995), D’Ambrosio (2012) e Tardif (2002) nos ajudam a entender o
processo de formação continuada dos professores, bem como Freire (1996) e Imbernón (2011 &
2016). Para termos mais técnicos, Satow (2000), Franco (2009) e Hoffmann (2012) estão
presentes, numa abordagem que leva em conta as Leis de Diretrizes e Bases da Educação
Nacional e os Parêmetros Curriculares Nacionais.
Apresentação:
Em se tratando na busca pelo aperfeiçoamento, penso que a qualidade de um professor está na sua
intenção em aprender consigo mesmo, ou como cita Francisco Imbernón, “não é um bom professor
aquele que não aprende ensinando” (Imbernón, 2016, p.40). Para esta abordagem, recordo de um
aluno portador de Paralisia Cerebral (PC) que, certa vez, me disse como era difícil marcar um
ponto no plano cartesiano de maneira precisa, já que se errasse a posição exata dada pela
coordenada, sua professora dava a questão como errada. Assim me pergunto: Como um aluno com
PC, cuja dificuldade maior está em assegurar um lápis, pode marcar com precisão um ponto num
plano cartesiano, utilizando uma folha pautada? É claro que essa é apenas uma pergunta norteadora
que cada leitor deste relato deve responder ou refletir, no entanto, a intenção aqui está em buscar
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destacar a importância do trabalho feito por professores de matemática do ensino médio com
alunos que são portadores de PC, destacando a necessidade de professores que já atuam em sala
de aula em desenvolver formação continuada para que consigam adaptar suas metodologias de
ensino e avaliação no tratamento desses alunos, numa caminhada reflexiva que busca interferir em
suas concepções de ensino e criar uma metodologia apropriada no ensino da matemática a esse
público inserido em classes regulares.
Para apoiar este texto, levo em consideração autores que destacam a coletividade na construção de
novas propostas como Nóvoa & Hameline (1995), D’Ambrosio (2012) e Tardif (2002) que
trabalham a construção do professor em seu processo de formação e a necessidade destes em
desprender-se de conceitos arraigados em sua formação inicial e que, nos dias atuais, diante de
tamanha heterogeneidade, tem a necessidade de serem rompidos. Também estão presentes Freire
(1996) e Imbernón (2011 & 2016) no toque mais que necessário ao exporem o quão é conveniente
o professor estar em contínuo processo de formação, bem como outros autores que podem elucidar
a proposta no campo da paralisia cerebral, os quais cito alguns como Hoffmann (2012), Franco
(2009), Satow (2000) e documentos como as Organizações Curriculares nacionais (PCN) e a Lei
de Diretrizes e Bases da educação nacional (LDB).
O coadjuvante.
Na obra de Suely Harumi Satow (2000, p.25) é dito que um dos principais preconceitos que o
Paralisado Cerebral sofre é o ser confundido com portador de deficiência mental, por ter
dificuldade de comunicação, descoordenação motora, movimentos involuntários, imagem bizarra
pelo tônus muscular anormal, entre outras, conforme a região do cérebro afetada. Nesta seção, o
espaço é destinado aos alunos com PC que serão considerados os coadjuvantes desta reflexão. O
recorte que faço aqui é trabalhar com PC que não demonstrem problema de déficit de atenção,
problemas de cognição ou mental, mas sim, pessoas que apresentam problema motor. Para
Hoffmann (2012) os portadores de PC podem ser com comprometimento leve cujo desempenho
intelectual favorece a aprendizagem acadêmica; no quadro moderado apresentam dificuldades de
locomoção com motricidade limitada e em alguns casos, aspectos cognitivos limitados e, por fim,
pessoas paralíticas cerebrais com dependência total cuja linguagem, fala e capacidades intelectuais
são comprometidas. No entanto, cabe salientar que não existe relação direta em “quanto maior o
transtorno motor, maior o déficit mental, principalmente porque não é previsto no quadro da
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Paralisia Cerebral, o déficit mental. Se houver, ele terá patogenias associadas” (Hoffmann, 2012,
p. 3-4).
Desta forma, há a necessidade de desconstruir o estigma da piedade e entender que ser portador de
PC requer uma atenção às limitações físicas e motoras, sem deixar de oferecer instrução
compatível à sua capacidade cognitiva que, na grande maioria, são iguais aos demais colegas de
sua idade. Isso vai ao encontro das palavras de Suely Harumi Satow (2000) quando cita sobre os
preconceitos sofridos por pessoas com PC cujo problema está na parte física e motora que, em
muitos casos, não é intelectual.
Ainda seguindo essa ideia de respeitar as limitações dos alunos com PC sem fazer com que estes
sejam tratados como pessoas cujo problema está na parte cognitiva, Rosa (2003) nos faz refletir
sobre a necessidade em se elaborar uma metodologia apropriada aos alunos com PC e da
responsabilidade que os educadores devem ter em se aperfeiçoar, para que as limitações não sejam
o empecilho encontrado por portadores de PC pelas quais não tenham as mesmas oportunidades
ou os mesmos critérios de avaliação dos demais alunos e que, num futuro não muito distante, sejam
excluídos pela sociedade por não conseguirem ter o mesmo potencial competitivo dos demais.
Assim, tratar o PC como o incapaz em aprender os mesmos conteúdos é uma forma de preconceito,
um preconceito que “faz com que seja negado ao portador de paralisia cerebral o direito de
aprender como todo e qualquer aluno. Fingir que aprova, dispensando preocupação como ato de
ensinar, é enganar o aluno (...)” (Rosa, 2003, p.66).
A personagem principal.
Começo esta seção refletindo sobre a necessidade dos professores utilizarem as dificuldades ou
novas situações que surgem no dia a dia de sua sala de aula, como propósito para dar continuidade
em sua formação fazendo assim com que deixem a passividade que serve apenas para engessar
suas concepções, muitas vezes obsoletas, e tornem-se agentes que reformulam suas práticas,
tornando-se protagonistas da mudança. O professor de escola pública que encontramos nos dias
de hoje, protagonista desta reflexão, deve estar em constante processo de formação, corroborando
com as palavras de Pedro Demo, o qual menciona: “Os novos tempos acarretam novos reptos,
entre eles saber desconstruir-se de maneira permanente, para ressuscitar todos os dias. Professor
acabado é algo fútil. Manter-se aprendendo sempre é sua glória, mais que sua sina” (Demo, 2011,
p.26). Não em sua totalidade, mas em grande parte, os professores de escola pública de hoje
desempenham uma jornada de trabalho de quarenta ou até sessenta horas. Um trabalho exaustivo
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que conta com sua atuação em mais de uma instituição de ensino, até podendo ocorrer em três
escolas diferentes. Com tantos compromissos e heterogeneidade em sala de aula, não há de sobrar
tempo para um momento de leitura, aperfeiçoamento ou busca por uma capacitação que
proporcione a esse professor uma melhora no seu desempenho em sala de aula. Por essa razão, não
podemos esquecer que “mais do que cobrar, é preciso oferecer oportunidade aos professores de se
tornarem protagonistas ao invés de ouvintes passivos e/ou cumpridores das decisões” (Hoffmann,
2015, p.138).
Esse é um discurso comumente ouvido pelos educadores e constatado num estudo de caso que fiz
durante a construção de minha dissertação de mestrado intitulada: Inovação e Resistência: Uma
análise do ensino da Matemática em uma escola pública que investigava o porquê da resistência
de professores em inovar nas suas práticas metodológicas ou avaliativas. Mas não podemos ignorar
o fato de encontrarmos educadores que, mesmo diante da sobrecarga de trabalho, arrumam tempo
para buscar novas instruções e adequar-se às situações inusitadas que surgem em sua sala de aula,
aqui lembrando a possibilidade de ter que trabalhar com PC sem nunca ter sido orientado em sua
formação para isso, imerso em uma proposta pedagógica muitas vezes trabalhada num coletivo
distante das competências individuais.
Como nos diz Paulo Freire: “Entre nós, mulheres e homens, a inconclusão se sabe como tal. Muitas
ainda, a inconclusão que se reconhece a si mesma, implica necessariamente a inserção do sujeito
inacabado num permanente processo social de busca” (Freire, 1996, p. 19). Essa ideia remete ao
fato da busca incessante pela informação e do desejo de aprender sempre mais, tornando o trabalho
do professor o material indispensável em seu processo de formação continuada que pode surgir
quando um professor que antes jamais havia lecionado para um aluno com PC, agora tenha que
desenvolver metodologias apropriadas às limitações físicas deste aluno sem que o mesmo seja
considerado apenas um aluno incluso. Aqui é percebida a confusão, muitas vezes feita pelos
educadores, com relação entre a inclusão e a integração. Apenas integrar um aluno com uma
especialidade a uma turma comum, com alunos de sua faixa etária, é a forma mais fácil de tentar
socializar, no entanto incluir vai mais além. “Para lidar com a inclusão escolar, o educador não
deve apenas contar com uma estrutura material para sua prática como também com conhecimentos
que possam orientar a elaboração dessa prática” (Franco, 2009, p. 119).
A própria Lei de Diretrizes e Bases da Educação (LDB) em seu artigo 59, no parágrafo terceiro
destaca a importância na formação de professores “com especialização adequada em nível médio
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ou superior, para atendimento especializado, bem como professores do ensino regular capacitados
para a integração desses educandos nas classes comuns” (Brasil, 2015, p.34). Mas será que é tão
fácil falar assim de inclusão?
Para aproveitar o depoimento de professores da rede pública que se manifestaram durante a
construção de minha dissertação de mestrado, a fala de uma professora que trabalhava com alunos
surdos, chamada Esmeralda exemplifica como “trabalhar com uma determinada especialidade faz
com que a metodologia e o processo avaliativo se tornem responsáveis pelo professor sair de sua
zona de conforto” (Ribeiro, p.78). Essa zona de conforto a qual me refiro deve ser entendida como
uma prática individual, contrária a uma zona de risco que pretende desenvolver um movimento em
busca de novos conhecimentos e entender que “o trabalho individual estimula a estagnação. É o
pensar e agir coletivo que poderão impulsionar e manter o professor numa zona de risco de forma
que ele possa usufruir o seu potencial de desenvolvimento” (Borba & Penteado, 2007, p.70).
No discurso dirigido ao professor, se faz necessário oferecer uma reflexão que faça com que suas
práticas saiam da estabilidade e que este perceba o quão necessário é investir na formação
continuada, o mesmo, segundo Imbernón (2011) deve refletir sobre sua prática e entender, junto
com a instituição escola, que esta deve aprender a modificar sua própria realidade cultural quando
o tema é a abordagem de alunos especiais, mais precisamente aqui tratados os que são portadores
de PC. Nesse processo de reflexão, a coletividade deve estar presente e as dificuldades surgidas
devem ser resolvidas pelo grupo de educadores, fazendo com que os “(...) professores não se
limitem a imitar outros professores, mas que se comprometam (e reflitam) na educação das
crianças numa nova sociedade (...)” (Nóvoa & Hameline, 1995).
Penso que o contexto o qual está inserido este professor, composta por multiculturalismo
reconhecido aqui como uma sociedade plural (Imbernón, 2016) faz dele “(...) um ator social, tem
emoções, um corpo, poderes, uma personalidade, uma cultura, ou mesmo culturas, e seu
pensamento e ações carregam as marcas dos contextos nos quais se inserem” (Tardif, 2002, p.265).
Por essa maneira, intitulo o professor como o protagonista desta reflexão numa busca por uma
desconstrução de concepções metodológicas e avaliativas, rompendo assim alguns paradigmas
construídos com muita solidez no processo de sua formação inicial, ou como diz Ubiratan
D’Ambrosio: "todo professor, ao iniciar sua carreira, vai fazer na sala de aula, basicamente, o que
ele viu alguém, que o impressionou, fazendo. E vai deixar de fazer algo que viu e não aprovou
(...)" (2012, p.83).
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Existe uma receita a seguir?
Dizer ou pensar que há uma receita ou um esquema a ser seguido quando trabalha-se com alunos
especiais é um erro, afinal, cada aluno possui sua particularidade e esta reflexão nos leva a crer
que não seria por esta ou aquela especialidade que diríamos como agir. Quando busca-se um
entendimento sobre as práticas a serem desenvolvidas com alunos especiais, encontra-se os
Parâmetros Curriculares Nacionais que mostram a necessidade de aperfeiçoar as práticas dos
professores às especialidades dos alunos da seguinte forma: “ (...) no tocante à diversidade é
necessário buscar o constante aperfeiçoamento no sentido de incorporar práticas pedagógicas
inclusivas aos portadores de necessidades especiais” (Brasil, 2002, p.128).
Devido às políticas de inclusão de alunos especiais no nível fundamental, sua presença é cada vez
mais presente no Ensino Médio. Sendo assim, vejo como objetivo contribuir à formação
continuada dos professores, proporcionando-lhes momentos de reflexão sobre suas práticas que
poderão ser compartilhados com seus pares numa ocasião futura. Como citam os Parâmetros
Curriculares Nacionais (PCN), “as diferenças não são obstáculos para o cumprimento da ação
educativa; podem e devem, portanto, ser fator de enriquecimento” (Brasil, 1997, p.63).
É claro que fazer uma lista de conteúdos e técnicas de como desenvolver o trabalho com alunos
portadores de PC não serão apresentados, afinal, isso caracterizaria uma receita a ser seguida. O
que ocorre é fazer com que o leitor pare e reflita sobre suas práticas, podendo assim, desconstruir
sua metodologia e sair da zona de conforto, arriscando-se e investindo em ideias inovadoras que
proporcionem uma melhora no aprendizado desses alunos.
Mas em meio a essa reflexão, o que pode ser destacado é o fato de recorrer a estudos referentes à
resolução de problemas com as etapas que, segundo Polya (1995) e Dante (2009) estão
subdivididas em: “compreensão, elaboração de um plano, execução do plano e retrospectiva, para
verificar se é uma boa solução” (Dante, 2009, p.23) ou propostas cuja base está formada na
utilização de recursos tecnológicos como o software livre Geogebra e outros recursos que vem
somar na construção dessa nova metodologia.
Essas práticas, muito apropriada para desenvolver o raciocínio de qualquer aluno, auxiliam alunos
com PC pelo fato deste expressarem melhor sua capacidade de cognição ao falar o caminho de
resolução de um determinado algoritmo, ao invés de desenvolver numa folha de papel. Isto, cito
por experiência quando uma aluna desenvolvia a aplicação de propriedades logarítmicas oralmente
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já que sua coordenação motora era comprometida, impedindo-a de escrever como os demais
colegas.
Neste final, não poderia deixar de fora o quesito avaliação, aproveitando o momento para quebrar
uma concepção de que a prova é o único instrumento eficaz e capaz de avaliar a aprendizagem do
aluno. Essa afirmação referente à prova é uma hipótese surgida em uma de minhas investigações
em que os professores abordados definem a prova como um “[...] instrumento de avaliação que
serve tanto para saber se o aluno é capaz de avançar em seus estudos ou se o trabalho desenvolvido
pelo professor foi satisfatório” (Ribeiro, 2016, p.82). Assim, o objetivo de trazer este
questionamento é entender se o fato de um aluno portador de PC, incapaz de realizar uma prova
igual aos demais alunos da classe pelo fato de sua incapacidade motora o proibir de desenvolver
algoritmos extensos para a resolução de determinadas questões é, a partir disso, considerado um
aluno incapaz de aprender os mesmos conteúdos dos demais ou, de outra forma, apenas integrado
a uma classe sem que haja uma preocupação do professor em ensinar já que o mesmo não terá
condições, segundo a visão de alguns professores, em resolver questões dessa natureza.
Com isso, a contribuição deste texto está em desacomodar conceitos já construídos por professores
ao longo de sua formação e fazer com que estes percebam a necessidade de mudar determinados
paradigmas. Pode-se ensinar matemática fazendo com que alunos desenvolvam técnicas ou passos
estratégicos sem que ao menos elaborem um desenvolvimento escrito ou, num viés mais delicado,
é possível avaliar um aluno diante de sua capacidade de oralidade mostrando sua rapidez ou
eficiência em organização de pensamento e explicação de algoritmos. Existem outras formas de
ensinar ou avaliar, cabe ao professor, diante de situações contrárias a de sua rotina, saber lidar e se
permitir mudar.
Referências Bibliográficas
Borba, M. de C. & Penteado, M. G. (2007). Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte:
Autêntica.
Brasil.(Ed 11). (2015). Lei de diretrizes e bases da educação nacional. Brasília: Edições Câmara.
Brasil. (2002). PCN + Ensino médio: orientações educacionais complementares aos Parâmetros
Curriculares Nacionais – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília:
MEC/Semtec.
10
Brasil. (1997). Parâmetros curriculares nacionais : introdução aos parâmetros curriculares
nacionais. Brasília : MEC/SEF.
D’Ambrosio, U. (Ed 23). (2012). Educação Matemática: da teoria à prática. Campinas: Papirus.
Dante, L. R. (2009). Formulação e resolução de problemas de matemática: teoria e prática. São
Paulo: Ática.
Demo, P. (2011). Aprendizagens e novas tecnologias. En Roteiro, 36, 9-32.
Franco, M. A. M. (2009). Paralisia cerebral e práticas pedagógicas: (in)apropriações do discurso
médico. http://www.bibliotecadigital.ufmg.br/dspace/bitstream/handle/1843/ECJS-
7WYEZC/marco_ant_nio_melo_franco.pdf?sequence=1/ Consultado 05/07/2016.
Freire, P. (1986). Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. São Paulo:
Paz e terra.
Hoffmann, J. (2015). (Ed 6). Avaliar para promover: Compromisso deste século. En: Demo, P. &
Taille, Y. & Hoffmann, J. Grandes Pensadores em Educação: O desafio da aprendizagem, da
formação moral e da avaliação. (pp. 117-142). Porto Alegre: Mediação.
Hoffmann, R. A. (2012). Paralisia cerebral e aprendizagem: um estudo de caso inserido no ensino
regular. http://www.posuniasselvi.com.br/artigos/rev02-12.pdf/ Consultado 05/06/2016.
Imbernón, F. (2011). Formação docente e profissional: formar-se para a mudança e a incerteza.
São Paulo: Cortez.
Imbernón, F. (2016). Qualidade do ensino e formação do professorado: Uma mudança necessária.
São Paulo: Cortez.
Nóvoa, A. & Hameline, D. (et. al.) (1995). Profissão professor. Porto: Porto Editora,
Polya, G. (1995). A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. Rio de
Janeiro: Interciência.
Ribeiro, D. F. (2016). A fala de professores de Matemática em relação à inovação do ensino:
momentos de reflexões sobre suas práticas. En: Loreto, A.B. & Fonseca, M. S. & Gil, R. L. (org.)
Escritas de Professores: Experiências de Formação. (pp.75-94). Pelotas: Ed. UFPEL.
Rosa, S. P. S. (2003). Fundamentos teóricos e Metodológicos da inclusão. Curitiba: IESDE Brasil
S.A.
Satow, S. H. (2000). Paralisado Cerebral: Construção da Identidade na Exclusão.Cabral Editora.
Tardif, M. (2002). Saberes docentes e formação profissional. Petrópolis: Vozes.
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CB-207
UM MAPEAMENTO DE TRABALHOS QUE UTILIZAM O ESTUDO DE
AULA (LESSON STUDY) NO BRASIL E EM PORTUGAL
Grace Zaggia Utimura - Edda Curi
[email protected] - [email protected]
Universidade Cruzeiro do Sul, Brasil
Resumo
Esta comunicação é parte de uma tese em andamento, no Brasil. Apresenta um panorama dos
trabalhos que vêm sendo desenvolvidos no Brasil e em Portugal no que se refere ao Estudo de
Aula no período de 2006 a 2016. Tem como objetivo mapear e analisar estes trabalhos,
disponibilizados no banco de dissertações e teses da CAPES, na Biblioteca Digital Brasileira, no
Grupo CCPPM, no google acadêmico e no Repositório Científico de Acesso Aberto de Portugal.
O Estudo de Aula é um processo de formação de professores que tem como característica a
constituição de um grupo colaborativo, composto por professores e pesquisadores em prol das
aprendizagens dos alunos. Em conjunto, a aula é planejada, protagonizada por um professor,
observada por membros do grupo, refletida e pode ser replanejada. Encontramos 19 trabalhos (4
dissertações, 11 artigos, 1 livro e 3 teses em andamento). Destacamos alguns resultados: os
sujeitos mais investigados são alunos e professores do Ensino Fundamental; o Estudo de Aula
possibilita aprendizagens dos alunos e melhoria nas práticas dos professores. Evidenciou que há
um aumento ao longo dos últimos anos de dissertações defendidas e teses em andamento em
Educação Matemática que utilizam este processo nas pesquisas.
Palavras-chave: Estudo de Aula (Lesson Study); Mapeamento; Formação de Professores.
Abstract
This communication is part of an ongoing thesis in Brazil. It presents an overview of the papers
that have been developed in Brazil and in Portugal in relation to the Lesson Study from 2006 to
2016. Its objective is to map and analyze these papers, available in the dissertations and thesis
data base of CAPES, in the Brazilian Digital Library, in the CCPPM Group, in google scholar
and in the Scientific Repository of Open Access of Portugal. The Lesson Study is a teacher training
process that has as a characteristic the constitution of a collaborative group composed by teachers
and researchers in favor of the students' learning. Together, the lesson is planned, carried out by
a teacher, observed by group members, reflected and can be re-planned. We found 19 papers (4
dissertations, 11 papers, 1 book and 3 ongoing theses). We highlighted some results: the most
investigated subjects are students and teachers of Elementary School; The Lesson Study enables
the students’ learning and improves the teachers practice. It was evidenced that there is an
increase over the last few years of defended dissertations and ongoing theses in Mathematics
Education that use this process in its researches.
Keywords: Lesson Study; Maping; Teachers Training.
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Introdução
A nossa investigação sobre o processo de formação de professores Estudo de Aula Murata (2011),
iniciou em 2013, para a dissertação de Mestrado Profissional em Ensino de Ciências e Matemática,
defendida por Utimura, em 2015, na Universidade Cruzeiro do Sul, São Paulo-Brasil. Como
decidimos continuar trabalhando na pesquisa1 em andamento em nível de doutorado em Educação
Matemática na respectiva Instituição de Ensino Superior, acreditamos ser relevante ampliar nossa
investigação e aprofundamento, pois na atual pesquisa há um trabalho com formação continuada
de professores por meio de um curso de extensão, abordando os números racionais não negativos.
Nesse sentido optamos para o levantamento bibliográfico, buscas disponíveis no banco de
dissertações e teses da CAPES, no Repositório de Acesso Aberto de Portugal, na Biblioteca Digital
Brasileira, artigos no google acadêmico e no Grupo de Pesquisa da Universidade Cruzeiro do Sul,
intitulado Conhecimentos, Crenças e Práticas de Professores que ensinam Matemática (CCPPM),
constituído, em 2006 e coordenado pela profa. Dra. Edda Curi. Com isso, esta comunicação tem
como objetivo mapear e analisar os trabalhos do Brasil e de Portugal que utilizam o Estudo de
Aula para identificar conhecimentos, contribuições, focos, Linhas de Pesquisa e aprofundamentos
sobre o tema.
Estudo de Aula (Lesson Study)
Segundo Murata (2011) este processo constituído no Japão tem características de natureza
reflexiva e colaborativa. Assim, o Estudo de Aula (termo japonês – jugyokenkyu) e em inglês
Lesson Study, foi baseado na preocupação em melhorar as aulas para consequentemente surtir
efeitos nos resultados matemáticos apresentados pelos alunos. Parcerias foram realizadas para que
fosse disseminado para vários países do mundo como o Brasil, Camboya, Canadá, Chile, Egito, El
Savador, Estados Unidos, Filipinas, Guana, Guatemala, Honduras, Indonésia, Inglaterra, Kenia,
Nicaragua, Portugal, República Dominicana, Sul da África e Tailândia (Isoda, Arcavi, & Lorca,
2012).
Em nossas pesquisas optamos por utilizar a tradução assumida por Portugal – Estudo de Aula
(Ponte, Baptista, Velez, & Costa, 2012, 2014). De acordo com estes autores o trabalho é em grupo
e permite acompanhar o que está sendo desenvolvido nas escolas. Ao longo de algumas sessões
1 Pesquisa financiada pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior
(CAPES).
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de estudo, o processo interativo acontece desde o planejamento, passando pela observação até a
revisão da aula, visando a melhoria das aprendizagens dos alunos. Trabalhos utilizando o Estudo
de Aula vêm sendo desenvolvidos pelo Grupo de Pesquisa CCPPM, em escolas próximas umas
das outras, o que possibilita aos professores assumirem um papel de protagonistas na própria
comunidade em que trabalham, socializando entre si os resultados que vão sendo encontrados. Este
processo possibilita uma investigação sobre a própria prática, realizada em um contexto
colaborativo. Os estudos indicam que seu uso permite avanços consideráveis na formação de
professores.
Em geral, segundo Utimura y Curi (2016) em todos os países predominam três etapas que
são adaptadas de acordo com a realidade de cada país. A primeira etapa refere-se ao planejamento
da aula, realizado no grupo colaborativo formado por professores e pesquisadores, a partir de um
determinado tema ou conteúdo decidido pelo grupo. A segunda foca na observação da atividade
planejada, protagonizada por um professor, com a presença de pelo menos um pesquisador e de
outros professores quando possível e que fazem parte do grupo. A aula pode ser filmada e gravada
para ser analisada e refletida na terceira etapa. Nesta etapa, professores e pesquisadores analisam
trechos de filmagens, falas dos envolvidos, protocolos dos alunos, intervenções do professor e do
aluno, possíveis reformulações e quais aprendizagens surgiram. Nesta abordagem, o aluno
participa durante as aulas e os professores se expressam nos momentos de discussões coletivas.
Procedimentos para o mapeamento dos trabalhos
Partimos para a busca de trabalhos que utilizam o Estudo de Aula por meio eletrônico, inserindo
as expressões “Lesson Study” + “Metodologia Lesson Study” + “Estudo de Aula”. No Banco de
dissertações e teses da CAPES contabilizamos 4 pesquisas de dissertação. Na Biblioteca Digital
Brasileira de teses e dissertações, com essas expressões não encontramos nenhum trabalho. Com
a expressão “Lesson Study” encontramos três. Verificamos pelos títulos, anos de publicações,
autores e resumos que dois relacionavam-se ao Estudo de Aula, porém já tinham sido encontrados
na busca anterior. Decidimos ampliar nossa busca a nível internacional, dando prioridade ao
idioma “português”. Nosso intuito foi investigar o que o professor Dr. João Pedro Mendes da Ponte
e os pesquisadores que realizam estudos com ele sobre o Estudo de Aula, estão desenvolvendo no
Instituto de Educação da Universidade de Lisboa, em Portugal, pois sabíamos que artigos são
socializados por meio eletrônico. Encontramos 67 documentos, todos encontrados no Repositório
Científico de Acesso Aberto de Portugal, com as mesmas expressões (sem as aspas), sendo
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somente um referente ao nosso tema de pesquisa, que já havíamos encontrado nos procedimentos
anteriores. Ainda em busca de mais trabalhos, ampliamos nossa busca para artigos
disponibilizados no google acadêmico. Foi possível encontrar 11 artigos relacionados a nossa
pesquisa quando inserimos as expressões “Lesson Study” + “Estudo de Aula”. Um livro foi
publicado por (Utimura & Curi, 2016) contendo dados da pesquisa de Mestrado de Utimura. As 3
teses em andamento são brasileiras, os doutorandos fazem parte do Grupo de Pesquisa CCPPM e
são formadores de professores.
Dados obtidos após trabalhos selecionados
A Tabela 1 mostra a organização dos trabalhos encontrados no período proposto.
Tabela 1: Trabalhos que utilizam o Estudo de Aula no período de 2006 a 2016.
Foco
Número
de
trabalho
Linha de Pesquisa
Autor
Tipo de
trabalho
Aprendizagens matemáticas de
alunos e de professoras dos anos
iniciais do Ensino Fundamental
3
Formação continuada
de professores
Utimura (2015)
Dissertação
Utimura (2015) Tese em
andamento
Utimura e Curi
(2016)
Livro
Aprendizagens matemáticas de
alunos e de professores dos anos
finais do Ensino Fundamental
1
Formação continuada
de professores
Borelli (2015)
Tese em
andamento
Aprendizagens profissionais de
Matemática no Ensino
Fundamental
9
Formação continuada
de professores
Baptista et al (2012)
Artigo
Baptista et al (2012)
Ponte et al (2012)
Baptista et al (2014)
Ponte et al (2014)
Quaresma et al
(2014)
Quaresma e Ponte
(2015)
Merichelli e Curi
(2016)
Ponte et al (2016)
Tensão, dificuldades e facilidades
no uso de material didático
institucional
1
Formação continuada
de professores
Merichelli (2015)
Tese em
andamento
15
Tarefas para propor aos alunos para
o desenvolvimento do raciocínio
matemático
1
Formação continuada
de professores
Ponte et al (2015)
Artigo
Aprendizagens profissionais de
futuros professores de Matemática
e de Física e Química
2
Formação inicial de
professores
Coelho (2014)
Dissertação
Conceição et al
(2016)
Artigo
Prática docente 2 Investigação da
própria prática
Felix (2010)
Neto (2013)
Dissertação
Total: 19
Fonte: Dados da pesquisa.
Descrição e análises dos trabalhos selecionados
A seguir passamos a descrever e avaliar os 19 trabalhos selecionados. Constatamos que 18 são da
área de Educação Matemática e 1 envolve as áreas de Física e Química. Utimura (2015) e Utimura
& Curi, 2016) apresentam os resultados de uma pesquisa de Mestrado envolvendo as
aprendizagens de alunos e professoras de duas turmas de 5º. anos do Ensino Fundamental em
relação às figuras geométricas espaciais por meio de um Projeto da Prefeitura de São Paulo,
denominado Docência Compartilhada na perspectiva do Estudo de Aula. Os dados foram
coletados por meio da pesquisa documental, da participação da pesquisadora em todas as etapas,
diário de bordo, gravações em áudio, protocolos dos alunos, vídeo filmagens, imagens
fotográficas, questionário, entrevistas e avaliações. Segundo as autoras, os alunos foram evoluindo
em relação às aprendizagens das características das figuras geométricas espaciais; desenvolveram
autonomia; habilidade de comunicação oral e escrita e percebem a importância das medidas nas
construções geométricas de prismas. As professoras avançaram nos conhecimentos matemáticos e
didáticos dos conteúdos e ao longo do tempo se sentiram mais seguras para planejar e desenvolver
as aulas. Em sua tese em andamento Utimura (2015) é formadora de professores e faz parte do
Grupo CCPPM. A pesquisa utiliza o Estudo de Aula com alunos e professoras de sete turmas de
4º. anos do Ensino Fundamental numa parceria com a Diretoria Leste 1 da Rede Estadual de São
Paulo e a Universidade já citada por meio de um curso de extensão em que foi formadora. O tema
escolhido coletivamente refere-se aos números racionais não negativos. Borelli (2015) é professora
formadora e também faz parte do Grupo CCPPM. Na sua tese em andamento o Estudo de Aula é
utilizado para trabalhar o tema números inteiros, envolvendo aprendizagens de alunos e
16
professores de duas turmas de 7º. anos do Ensino Fundamental de uma escola privada da cidade
de São Paulo.
Os pesquisadores brasileiros e portugueses (Baptista, Ponte, Costa, Velez, & Belchior,
2012), (Baptista, Ponte, Velez, Belchior, & Costa, 2012), (Ponte et al., 2012), (Baptista, Ponte,
Velez, & Costa, 2014), (Ponte et al., 2014), Quaresma, Ponte, Baptista, & Mata-Pereira, 2014),
Quaresma y Ponte (2015), Merichelli y Curi (2016) e (Ponte, Quaresma, Mata-Pereira, & Baptista,
2016) em seus artigos, identificaram aprendizagens profissionais a partir do trabalho com
conteúdos matemáticos de anos iniciais e finais do Ensino Fundamental como os números naturais,
os números racionais e o conceito de ângulo. Os dados foram coletados principalmente por meio
de notas de observação participante, gravação e filmagem da aula, diário de bordo, escritas dos
alunos e reflexões escritas das professoras participantes. As experiências foram positivas em
relação aos conceitos trabalhados, nas conduções das aulas, nos estímulos dados às atitudes de
reflexão na prática docente, na consciência das professoras em dar importância de valorizar o
raciocínio matemático desenvolvido pelos alunos e as contribuições geradas por meio do trabalho
colaborativo. Merichelli (2015) em sua tese em andamento pretende identificar os aspectos de
tensão, dificuldades e facilidades de professoras de 3º. anos do Ensino Fundamental de escolas
públicas da Rede Estadual de São Paulo ao utilizar um material didático institucional de
Matemática num curso de extensão em que foi formador e também é integrante do Grupo CCPPM.
Os dados da pesquisa serão analisados por meio das filmagens das aulas, do diário de bordo do
pesquisador, da observação participante, atividades de alunos e das falas das professoras ao longo
dos encontros. No artigo de (Ponte, Quaresma, Mata-Pereira, & Baptista, 2015) foi apresentado
análises de tarefas com cinco professoras do 2º. ciclo do ensino básico quando participaram de um
Estudo de Aula sobre propostas em relação aos números racionais, discutindo inclusive as
diferenças existentes entre exercícios, problemas e explorações. Os dados foram recolhidos por
observação participante, documentos dos alunos, diário de bordo, gravação em áudio das 12
sessões de trabalho e a filmagem da aula investigada. Alguns dos resultados apresentados pelos
autores retratam que as professoras aceitaram as distinções entre os três termos e valorizaram as
atividades exploradas apresentando tarefas com níveis de desafio e identificaram generalizações e
justificações nas escritas dos alunos.
Coelho (2014) apresenta em sua dissertação, uma experiência realizada com licenciandos
em Matemática, na disciplina “Didática Especial de Matemática II”, no Instituto de Matemática
17
da Universidade do Rio de Janeiro. O objetivo é identificar as contribuições que o Estudo de Aula
pode oferecer à formação inicial de professores de Matemática. Segundo o autor, verificou-se que
a experiência possibilitou que os futuros professores participassem efetivamente do processo de
formação de saberes docentes, sendo agentes centrais no processo de revisão de conteúdos,
escolhas de métodos, plano de aula e o exercício da crítica. Destaca que a análise foi por meio de
um vídeo de uma aula fruto do Estudo de Aula. No artigo (Conceição, Baptista, & Ponte, 2016)
apresentam um Estudo de Aula com três futuros professores de Física e Química, pesquisadores,
uma investigadora e uma professora cooperante (que lecionou a aula). Os dados foram analisados
diante da observação participante, do diário de bordo, dos vídeos das sessões, entrevistas
individuais realizadas no final do Estudo de Aula e reflexões escritas individualmente e em grupo
pelos licenciandos. Exploraram o conteúdo velocidade do som. Os resultados apresentados pelos
autores mostram que estes aprendem a elaborar tarefas mais desafiantes, valorizam contextos do
cotidiano dos alunos, identificam as dificuldades dos mesmos em sala de aula e a proposta com o
uso do Estudo de Aula contribuiu para o desenvolvimento profissional dos futuros professores.
Felix (2010) e Neto (2013) em suas dissertações de Mestrado, se basearam no currículo do Estado
de São Paulo, envolvendo os seguintes conteúdos: multiplicação, divisão, máximo divisor comum,
representações decimais e geometria. Ambos analisaram suas próprias práticas com suas turmas
de alunos dos anos finais do Ensino Fundamental. Os dados foram recolhidos por meio de
gravações, filmagens, imagens e protocolos dos alunos. De acordo com os resultados apresentados
pelos autores foi possível um novo olhar deles ao analisarem as atividades feitas pelos alunos e na
reflexão pós-aula, houve discussões sobre a construção dos conhecimentos dos alunos ao
participarem durante as aulas.
Conclusões
O Estudo de Aula engloba um trabalho colaborativo na formação de professores para qualquer
área da Educação e nível de ensino, visando as aprendizagens dos alunos e possibilitando o
desenvolvimento profissional. Sabemos que outros trabalhos podem ser encontrados via internet,
mas para o levantamento de dados para a respectiva proposta, ao mapearmos e analisarmos os
trabalhos de ensino e aprendizagem que vêm utilizando o Estudo de Aula, constatamos que os
pesquisadores portugueses utilizam há mais tempo que os brasileiros, produzindo artigos para
socializar os resultados realizados em parceria com escolas públicas e privadas de Portugal. No
Brasil vem aumentado ao longo dos últimos sete anos a produção de pesquisas que utilizam o
18
Estudo de Aula em Programas de Pós-Graduação em Mestrado e Doutorado, mas ainda é pequeno
comparado com os artigos publicados. Dos 19 trabalhos encontrados, verificamos que a produção
em Educação Matemática e a Linha de Pesquisa em formação continuada corresponde a quase
80%. Nenhum estudo abordou conteúdos da Educação Infantil e Ensino Médio e para a recolha de
dados predominam as filmagens e as gravações das aulas. É nítido que a presença do pesquisador
em todas as etapas do Estudo de Aula e a colaboração dos envolvidos proporcionam aprendizagens
dos alunos de forma individual e em pequenos grupos e avanços na prática profissional como nos
conhecimentos didáticos e aprofundamentos dos conteúdos matemáticos. Diante do panorama
acreditamos ser importante expandir a nossa investigação utilizando o idioma “inglês” para
ampliar os estudos com pesquisadores que são referências no tema.
Referências
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de professores do 1º ciclo do ensino básico. Instituto de Educação da Universidade de Lisboa,
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Baptista, M., Ponte, J. P., Velez, I., Belchior, M., & Costa, E. (2012). O Lesson study como
estratégia de formação de professores a partir da prática profissional. Instituto de Educação da
Universidade de Lisboa,493-504. http://repositorio.ul.pt/handle/10451/7070. Recuperado 20̸ 3/
2017.
Baptista, M., Ponte, J. P., Velez, I., & Costa, E. (2014). Aprendizagens profissionais de
professores dos primeiros anos participantes num estudo de aula. Educar em Revista, 30(4), 61-
79.
Coelho, F. G. (2014). A metodologia da lesson study na formação de professores: uma experiência
com licenciados de matemática (59 f). Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática)–
Universidade Federal do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro.
Conceição, T., Baptista, M., & Ponte, J. P. (2016). Aprendizagens profissionais de futuros
professores de física e química num estudo de aula. Indagatio Didactica, 8(1), 468-485.
Felix, T. F. (2010). Pesquisando a melhoria de aulas de matemática seguindo a proposta
curricular do estado de São Paulo, com a metodologia da pesquisa de aulas (lesson study) (137
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São Carlos.
Isoda, M., Arcavi, A., LORCA, A. M. (2012). El Estudio de Clases Japonés em Matemáticas: Su
importância para el mejoramiento de los aprendizajes em el escenario global. Chile: Valparaíso.
19
Merichelli, M. A. J., Curi, E. (2016). Estudos de Aula (“Lesson Study”) como metodologia de
formação de professores. Revista de Ensino de Ciências e Matemática, 7(4), 15-27. http://
revistapos.cruzeirodosul.edu.br/index.php/rencima/article/view/1202. Recuperado 20̸ 3/ 2017.
Murata, A. (2011). Introduction. Conceptual overview of lesson study. In: L Hart, A. Alston, &
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em matemática no 6° ano segundo o currículo do estado de São Paulo (165 f) Dissertação
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Utimura, G. Z., & Curi, E. (2016). Figuras geométricas espaciais: alunos de quinto ano e suas
professoras aprendendo juntos. Brasil, Curitiba: Appris.
20
CB-209
EL PROCESO DE TRANSNUMERACIÓN CON PROFESORES DE MATEMÁTICA EN
EL ANÁLISIS DE DATOS
Solangela Natividad López Huayhualla, Katia Vigo Ingar
[email protected], [email protected]
José Faustino Sánchez Carrión, Pontificia Universidad Católica del Perú (PUCP)
Núcleo temático: Investigación en Educación Matemática
Modalidad: CB
Nivel educativo: Formación y Actualización Docente
Palabras clave: Pensamiento estadístico, Estudio de caso, Registros de Representación
Semiótica, Formación Docente.
Resumen Debido a las dificultades identificadas en la enseñanza de la estadística en la Educación Básica
Regular (EBR), nuestra investigación tiene como objetivo analizar los procesos de
transnumeración en profesores de matemática durante el análisis de datos, como parte del
Pensamiento Estadístico de Wild y Pfannkuch (1999). La metodología de nuestra investigación
fue de tipo cualitativa, específicamente un Estudio de Caso. Este trabajo es parte de una tesis de
Maestría, en la cual se implementaron cuatro actividades y participaron 14 profesores de
matemática de la EBR del nivel de secundaria. Aquí presentamos el análisis de una de las
actividades realizada con los profesores. En la implementación resaltamos el hecho de que el
dejar que los grupos analicen los datos por sí mismos, generó que los profesores transnumeren,
organizando los datos y estableciendo diferentes variables estadísticas así como categorías para
presentar la información que abarcaba el conjunto de datos. De esta manera, los profesores
construyeron diferentes representaciones sin forzar la construcción de gráficos establecidos o ya
conocidos. Observamos que los profesores comprendieron que hay diferentes formas de
representar un conjunto de datos y que al organizarlos según una variable y/o categorías, lleva a
una mayor comprensión del conjunto de datos.
Palabras claves: Pensamiento estadístico, Estudio de caso, Registros de Representación
Semiótica, Formación Docente
Introducción
Diversos estudios afirman que los profesores deben ser formados en la enseñanza de la estadística
desde una perspectiva didáctica y sugieren que en el proceso de enseñanza se debe enfatizar la
comprensión y percepción de qué es y de qué trata la variación. (Cooper y Shore, 2010; Ortiz,
2011). La enseñanza de la estadística no debe limitarse a que el estudiante realice solamente la
elaboración de tablas, su respectivo gráfico y el cálculo de medidas de resumen sin comprender la
21
relación que hay entre estas representaciones de los conceptos estadísticos y por qué pasar de una
representación a otra. Debido a las dificultades identificadas en los estudiantes sobre la
comprensión de las medidas de la variación y la interpretación de sus significados, decidimos
investigar sobre ello, por lo que esta investigación tiene como objetivo analizar los procesos de
transnumeración realizados por profesores de matemática en el análisis de datos.
Marco Teórico
La investigación analiza los procesos de transnumeración realizado por profesores de matemática
en el proceso de análisis de datos, al organizar y construir diferentes representaciones que lo lleven
a reconocer y comprender la información que brinda el conjunto de datos. Para ello, el estudio se
centra en los fundamentos teóricos Wild y Pfannkuch (1999), quienes definen la transnumeración
como “un proceso dinámico para cambiar representaciones que engendren comprensión” (p.6). La
transnumeración implica la organización y el resumen de los datos, trata de reconocer que muchas
representaciones son necesarias para la comprensión de una situación real y la detección de nueva
información. Por lo que, en esa búsqueda de información se pueden llevar a cabo muchos procesos
de transnumeración, entendiendo que el producto de ello es una forma de representar algo de esa
base de datos.
Por ejemplo, ordenar los datos, hacer un recuento, realizar tabla de frecuencias simples, trazar
gráficos de dispersión, calcular los coeficientes de correlación, determinar valores de las medidas
de los datos, medidas de dispersión, centralización o de posición, es decir, comprimir los datos
originales mediante un valor único, así como agrupar y crear nuevas variables o nuevas categorías,
valores que representen elementos significativos de todo el conjunto de datos, del sistema real.
Asimismo, estas representaciones se pueden generar al final para explicar los resultados de haber
analizado los datos, esto es mediante una tabla u otra organización visual, como también se puede
generar al realizar el análisis o exploración de los datos, por ejemplo utilizando medidas que
representen todo el conjunto.
Además de ello, los investigadores explican que la capacidad para llevar a cabo la transnumeración
se verá limitado por las herramientas estadísticas que cada uno posea, es decir, mientras más
herramientas se tenga al alcance, se podrá aplicar más técnicas en la búsqueda de información de
los datos. Por ejemplo, si el estudiante posee conocimientos de cómo construir una tabla, calcular
y comprender las medidas de tendencia central, las medidas de variación, un gráfico de puntos,
22
calcular las medidas de posición, entre otros, tendrá mayor capacidad para realizar más procesos
de transnumeración.
Entonces, aunque no se sabe de antemano qué herramientas estadísticas serán más útiles en el
análisis de los datos, el uso de estas herramientas o técnicas transnumerativas (Chick, 2004) podrá
ser guiado por la pregunta que se desea responder y el tipo de datos que se tiene. Por esta razón,
es importante la pregunta que se plantee en una situación, porque a partir de ella se considerará
qué herramientas estadísticas serán necesarias para explorar el conjunto de datos, entender la
información que encierra y responder finalmente al objetivo planteado.
Metodología de Investigación y Sujetos de la Investigación
La investigación se desarrolla bajo un enfoque cualitativo, específicamente el estudio de caso. El
estudio se desarrolla con un grupo de profesores de matemática, cuyo foco de atención es
responder, guiados por nuestro marco teórico, el cómo se presentan los procesos de
transnumeración en el estudio de la variación. Lo cual, hemos ido registrando en el desarrollo de
las actividades empleando ficha de observación, ficha de respuestas, fotografías, audios y videos.
De esta manera, las unidades de análisis establecidas han sido las acciones de los profesores,
aquellas acciones correspondientes a los procesos de transnumeración en el estudio de la
variación. Y las sub unidades de análisis, las acciones de los profesores seleccionados del total de
profesores participantes. Asimismo, realizamos el análisis de los datos en contraste con las
proposiciones hechas sobre la transnumeración, así como el contraste de los resultados con la
misma teoría.
En referencia a ello, nuestro caso, la variación, se caracteriza como descriptivo, y más aún por
tratarse de la implementación de actividades sobre variación, tiene carácter exploratorio. Así, en
referencia al análisis e interpretación de nuestros resultados, nos enfocamos en validar que los
resultados obtenidos realmente revelen las acciones que llevaron a cabo los profesores de
matemática, específicamente el cómo se presentó la transnumeración en el estudio de la variación,
respondiendo a una validación conceptual e interna. (Ponte, 2006)
Específicamente, el estudio se llevó cabo con 14 profesores de matemática de educación
secundaria, estando conformado por 4 mujeres y 10 varones, con nociones del contenido específico
de estadística, quienes se dedican a enseñar sólo a estudiantes de educación secundaria, cuyas
edades fluctúan entre los 12 y 16 años. Así, los profesores formaron grupos de dos integrantes,
23
logrando establecerse siete grupos en total, sin embargo, de los siete grupos conformados se
analizaron los trabajos de dos de ellos por participar en todas las actividades programadas y haber
desarrollado todos los ítems establecidos en cada una, denominándolos Grupo 1 y Grupo 2.
Análisis de la Actividad N° 01
La actividad consistió en el análisis de un grupo de datos expresados en 21 imágenes sobre
diversas actividades realizadas por varias personas de diferentes edades. En objetivo de la
actividad era que los profesores transnumeren para identificar y comprender la información que
encierra el conjunto de datos a partir de su representación construida. Siendo el ítem presentado a
continuación:
Análisis de datos y resultados
Los grupos realizaron diferentes procedimientos que los llevaron a construir diferentes
representaciones. Como se observa, el Grupo 1 revisó qué actividades realizaban las personas e
hizo el conteo de cuántas personas realizaban cada actividad en común, tal como se muestra en la
figura 1:
Figura 11. Representación construida por el Grupo1 realizando el conteo de actividades.
En la figura 1, observamos el procedimiento que permitió al Grupo 1 obtener información e idea
sobre la variable estadística que podrían elegir para su representación de los datos. Por otro lado,
en la figura 2, se observa que el Grupo 2 también separó aquellas imágenes que presentaban la
misma actividad, contándolas y realizando un esquema como se muestra a continuación:
a) Realice una representación sobre las actividades de las personas utilizando las
figuras, ¿qué información identifica a partir de esta representación?
24
Figura 2. Representación construida por el Grupo 2 mediante un esquema.
Así en la figura 2, se observa que el Grupo 2 realizó una organización estableciendo como
categorías el estudio, el deporte y el entretenimiento. Al respecto, el Grupo 1, a partir de sus
primeras representaciones, construyó una tabla, tal como se muestra en la figura 3:
Figura 32. Representación construida por el Grupo 1 mediante una tabla.
Como se observa en la figura 3, para construir esta representación, el Grupo 1 organizó los datos
presentados en las imágenes considerando la separación entre niños y adultos. Esta organización
otorgó mayor información al grupo, sobre cuántos niños y adultos realizaban cada actividad.
Además de ello, ayudó al grupo a determinar y explicar la variable que habían presentado; y así al
realizar su representación con las imágenes se tenía una idea de lo que presentarían y la
información que brindaba su representación.
25
En relación a ello, en la siguiente figura 4, se observa una representación construida por el Grupo
1, con las imágenes, en la cual, se establecen las categorías de deporte, recreación y lectura, tal
como se muestra:
Figura 4. Representación construida por el Grupo 1 con las imágenes, sobre las actividades de las
personas.
En la explicación del Grupo 1 sobre la información de la representación, identificaron que cada
imagen en las columnas representaba a una cantidad, en este caso una persona. En referencia a
ello, también el grupo explicó que esta representación construida permitía saber qué actividades
realizaban específicamente los niños y adultos, así como saber cuántos de ellos realizaban cada
actividad. Estos diferentes procesos llevaron a comprender quiénes eran parte de la muestra, qué
actividades realizaban y cuántos realizaban cada actividad.
Así el Grupo 2, realizó una organización estableciendo como categorías el estudio, el deporte y el
entretenimiento. Luego reorganizaron los datos y establecieron los deportes como actividad
individual y grupal; y respecto a la actividad entretenimiento, el grupo reorganizó como actividad
de entretenimiento diversión y actividad de entretenimiento descanso, tal como se muestra a
continuación en la figura 5:
26
Figura 5. Representación construida por el Grupo 2 con las imágenes, sobre las actividades de los
personas.
De esta manera, en la figura 5 se observa que el Grupo 2 organizó los datos según el número de
participantes en cada actividad, a diferencia del grupo anterior, empezando desde la parte superior
hacia la parte inferior; y presentó como categorías: el estudio, el deporte individual, el deporte
grupal, la diversión y el descanso. Asimismo, esta representación permitió saber al grupo qué
actividades realizaban y la frecuencia. Aunque el grupo no mencionó que se trataba de una variable
cualitativa el grupo y tampoco indicó qué actividad era realizada con más frecuencia, sin embargo,
sí reconoció que cada imagen representaba una persona respecto a la actividad que realizaba.
En suma, las acciones del Grupo1 y Grupo 2 muestran que construyeron diferentes
representaciones después de realizar un proceso de organizar y reorganizar los datos presentados
mediante las imágenes. Cada grupo construyó una diferente representación, un pictograma, cada
representación presentaba una información que se complementaba con la otra representación,
permitiendo la comprensión de lo que revelaba el conjunto de datos, en el sentido de Wild y
Pfannkuch (1999). A partir de los resultados, podemos afirmar que dejar que los grupos organicen
y analicen los datos libremente, promovió el surgimiento de una transnumeración muy natural, sin
forzar la construcción de gráficos establecidos o ya conocidos.
Consideraciones Finales
Según los resultados obtenidos pudimos verificar el logro del objetivo propuesto, por lo que
podemos afirmar que los profesores realizaron la construcción de diferentes representaciones del
conjunto de datos, por ejemplo, construyeron tablas, diagrama de barras, pictogramas y esquemas.
Asimismo, logramos percibir los elementos de construcción del pensamiento estadístico en los
profesores, mediante la utilización de las diferentes representaciones, es decir, mediante el
pensamiento transnumerativo.
27
En esta actividad, los profesores realizaron una transnumeración natural, ya que se dejó libremente
la reorganización de los datos plasmados en las imágenes, ante lo cual, se observó varias
representaciones del mismo conjunto de datos, pero que cada vez daban mayor información, una
información más detallada, que efectivamente generó mayor comprensión, ya que la forma cómo
los habían organizado y las categorías que se habían creado lo permitió, lo cual, concuerda con lo
afirmado por Wild y Pfannkuch.
También observamos que la transnumeración es practicada por los profesores, ellos
constantemente transnumeran, es decir, construyen diferentes representaciones de un conjunto de
datos, porque tienen la noción de ello, por ejemplo construyen tablas, diagrama de barras,
pictogramas y medidas de resumen. Sin embargo, se observó que este proceso de transnumerar no
es reflexivo, es decir, se llevan a cabo dichos cambios de representación, pero todas estas
representaciones del mismo conjunto de datos, no se analizan, no se contrastan, ni se conciben
como un todo, dejando de lado la interpretación del significado de cada representación según el
contexto dado.
De esta manera, aseveramos que este proceso reflexivo del cambio de representaciones, es decir
transnumerar, debe ser generado con los estudiantes, pero incidimos que debe ser de forma
reflexiva, no mecánica, ni repetitiva; se trata de comprender que representar un conjunto de datos
no es el fin del estudio de la estadística, sino que es una herramienta que sirve para el análisis de
los datos.
REFERENCIAS
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Mathematics education for the third millennium: Towards 2010, 167-174. Recuperado de
https://www.merga.net.au/documents/RR_chick.pdf
Cooper, L. y Shore, F. The effects of data and graph type on concepts and visualizations of
variability. Journal of Statistics Education. v. 18, n. 2, 2010. Recuperado de
http://www.amstat.org/publications/jse/v18n2/cooper.pdf>.
Ortiz, J. (Ed.) (2011). Investigaciones Actuales en Educación Estadística y Formación de
Profesores. Granada: Departamento de Didáctica de la Matemática. Recuperado de
http://www.ugr.es/~batanero/pages/ARTICULOS/LIBRO.pdf
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Ponte, J. (2006). Estudos de Caso em Educação Matemática. Boletim de Educação Matemática,
19(25).
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Statistical Review. 67, (223 – 265). [Traducido al castellano de inglés]
29
CB-210
CRITERIOS DE IDONEIDAD COGNITIVA PARA EL ESTUDIO DE LA GEOMETRÍA
ESPACIAL EN EDUCACIÓN PRIMARIA
Andrea Cruz - María Magdalena Gea - Belén Giacomone - Juan D. Godino [email protected] - [email protected] - [email protected] - [email protected]
Universidad de Granada, España
Núcleo temático: Investigación en Educación Matemática
Modalidad: CB
Nivel educativo: Primario
Palabras clave: Geometría espacial; idoneidad didáctica; faceta cognitiva
Resumen En este artículo se identifican diversos conocimientos didáctico-matemáticos sobre el estudio de
la geometría espacial en los primeros niveles educativos. Se trata de una investigación cualitativa,
de tipo documental, basada en la enseñanza y aprendizaje de la geometría, específicamente sobre
la visualización espacial de figuras de tres dimensiones. Se comienza estudiando los aportes de
Piaget e Inhelder (1967), quienes presentan un modelo de desarrollo del conocimiento espacial
que fundamenta la planificación de la enseñanza de la geometría, que se complementa con otras
investigaciones como la clase de procesos cognitivos involucrados en el aprendizaje de la
geometría propuestos por Duval (2001) y los niveles de desarrollo espacial de Van Hiele, entre
otros. Se hace uso de la Teoría de Idoneidad Didáctica (Godino, 2013), como sistema teórico y
metodológico de apoyo al profesor en la reflexión sobre su práctica docente, como ayuda para el
diseño y mejora de la intervención educativa y a la vez, como fundamento para la formación del
profesorado. Los resultados de este estudio aportan criterios o indicadores específicos, relativos
a la faceta cognitiva del conocimiento geométrico, que será de utilidad para la labor docente
sobre el tema.
1. Introducción
Existe abundante investigación referente a los procesos de enseñanza y aprendizaje de la
geometría, cuyos resultados pueden orientar a los docentes; sin embargo, puede provocar una
dificultad para la reflexión y la toma de decisiones en el diseño y mejora de las intervenciones
educativas dada la diversidad de enfoques teóricos que las fundamentan o propósitos que abordan.
En este trabajo se presenta el proceso de elaboración de indicadores que faciliten la labor docente
en este sentido. Nos centramos en el tema de visualización espacial de figuras de tres dimensiones,
en los primeros niveles de educación primaria y se aportan criterios específicos atendiendo al grado
en que los contenidos son adecuados y se encuentran en la zona de desarrollo potencial de los
estudiantes. A continuación, se describe el marco teórico, se sintetizan las investigaciones
30
relevantes en el área, se muestra la construcción de los indicadores específicos. Finalmente, se
incluyen las reflexiones finales y la implicación de este trabajo para la educación matemática.
2. Marco teórico y método
La Teoría de la Idoneidad Didáctica (TID) (Godino, 2013; Godino, Bencomo, Font y Wilhelmi,
2006) dispone de una Guía de Valoración de Idoneidad Didáctica (GVID) compuesta de seis
facetas con criterios que ayudan a describir, explicar y valorar diversos aspectos clave de un
proceso de estudio, cuya aplicación y discusión es relevante por parte de los formadores de
profesores, los propios profesores e investigadores, pues “permitirán su progresiva mejora y
enriquecimiento” (Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009, p. 60). En esta investigación se
pretende refinar esta herramienta a través de un análisis de contenido de investigaciones y
publicaciones relevantes en el tema, orientadas al aprendizaje del estudiante, siendo una
investigación cualitativa de tipo descriptiva. Con la información obtenida se formulan criterios
específicos relativos a la idoneidad cognitiva sobre la visualización espacial de figuras de tres
dimensiones en educación primaria, cuya aplicación podría ayudar a alcanzar niveles altos de
idoneidad de los procesos instruccionales.
3. Investigaciones relevantes y resultados
3.1. Desarrollo del conocimiento espacial de Piaget
Piaget y colaboradores (Piaget e Inhelder, 1967; Piaget, Inhelder y Szeminska, 1960) proponen
una teoría del desarrollo de conceptos espaciales en el niño que distingue entre percepción y
representación (o imagen mental). El conocimiento espacial provendrá de la práctica sensorio
motriz, lo que posteriormente permitirá coordinar las imágenes mentales para concretarlas en
operaciones en un nivel representativo. Estas prácticas en el espacio reflejan propiedades del
pensamiento lógico-operacional y son construidas a través de la organización y coordinación
progresiva de las acciones motoras e interiorizadas del niño (Gonzato, 2013, p. 73). De esto se
desprende el siguiente indicador de idoneidad cognitiva:
- Interiorizar las representaciones de manera gradual, desde la construcción del espacio perceptual a un
nivel práctico, pasando por la representación de conexiones y relaciones espaciales entre objetos, favorece
la adquisición de representaciones mentales que se reflejan en propiedades de pensamiento lógico-
operacional.
Piaget destaca tres tipos de relaciones espaciales que distinguen los niños. En primer lugar, las
topológicas que son globales, independiente de la forma o el tamaño como la cercanía
31
(proximidad), la separación, la ordenación, el cerramiento y la continuidad. El segundo grupo son
las que denomina proyectivas, que suponen la capacidad del niño para predecir qué aspecto
presentará un objeto al ser visto desde diversos ángulos. El tercer grupo de propiedades
geométricas son las euclídeas, que son las relativas a tamaños, distancias y direcciones, que
conducen por lo tanto a la medición de longitudes, ángulos, áreas, entre otras. Con este análisis se
puede establecer el siguiente indicador de idoneidad:
- Avanzar progresivamente con el fin de capacitar al alumno en la organización espacial, desde las
propiedades topológicas, como elementales entre los objetos (vecindad, separación, orden, sucesión,
continuidad); las proyectivas, que se fundan en la topológicas y responden a la necesidad de situar en
función de la perspectiva, un objeto o elementos de un mismo objeto en relación con los demás; hasta las
euclídeas, relaciones que demuestran la capacidad de coordinar los objetos entre sí en relación con unas
coordenadas de referencia (supone la utilización de medidas de longitud, capacidad, superficie, etc.).
3.2. Niveles de desarrollo del pensamiento geométrico espacial de Van Hiele
Van Hiele (2002) se enfrenta más concretamente al pensamiento geométrico y lo desarrolla en
diferentes niveles de sofisticación. Cada uno de estos niveles describen los tipos de razonamiento
geométrico, que parte del intuitivo de los niños de preescolar hasta el formal de los estudiantes de
niveles superiores. En esta teoría se explicita que, para pasar a los niveles superiores es necesario
un desarrollo mental a través de la transformación de su estructura en forma gradual o de su
sustitución por otra (reestructuración) nueva o más compleja. Por lo que, en los primeros niveles
es importante desarrollar el razonamiento intuitivo en que los estudiantes visualicen diferentes
estructuras, lo que permitirá construir conceptos más complejos y adecuados a criterios
matemáticos establecidos. El salto de un nivel a otro también dependerá de la planificación
didáctica que se realice a través de una secuencia de procesos de instrucción.
Tres son los niveles que se consideran para ser desarrollados en los primeros cuatro cursos de
educación primaria (Jaime y Gutiérrez, 1990) y que describen particularmente los tipos de
razonamiento geométrico desde el intuitivo hasta el informal. En primer lugar, el Nivel 0 referido
al reconocimiento de figuras, en que los objetos de pensamiento son formas y se conciben según
su apariencia; en segundo lugar, el Nivel 1 referido al descubrimiento de propiedades, en que los
objetos de pensamiento son clases de formas, en lugar de formas individuales; por último, el Nivel
2 referido a la deducción informal, en que se realiza la clasificación de las figuras y sus
propiedades. Por lo que se desprende el siguiente indicador referente al componente de
aprendizaje:
32
- Los niños comienzan por el reconocimiento de un objeto físico en el espacio sin identificar sus partes y
razonan en base a sus experiencias y transformaciones visuales. Luego, pasan del razonamiento
experimental en que identifican propiedades a través de la observación y la experimentación, hacia un
razonamiento lógico con definiciones y argumentos informales de justificación para la definición de un
concepto y clasificación de una figura.
En este sentido, es necesario tratar el conocimiento previo para el estudio del tema:
- Conocer el nivel de razonamiento geométrico permitirá la realización de una planificación adaptada al
nivel de desarrollo mental de los estudiantes para una adecuada transformación de su estructura en forma
gradual, a través de diferentes procesos de instrucción en situaciones didácticas.
Se puede, por tanto, extraer indicadores esenciales referentes al componente de enseñanza, que
coinciden en gran medida con los que Pérez (2013) propone para determinar la ubicación de un
alumno en un nivel de este modelo. Estos son:
- La realización de desarrollos espontáneos y su construcción en los primeros años que, de manera lógica
y a través de su experimentación y observación, lograrán la identificación de las propiedades necesarias
para una idónea visualización y construcción de los objetos.
- El manejo de objetos reales del entorno en forma global y unitaria; y la identificación de figuras en
dibujos con orientaciones variadas para su descripción física y diferenciación de sus semejanzas y
diferencias.
- La utilización de vocabulario geométrico acompañado de términos de uso común para describir las
figuras geométricas y argumentar, que además muestra la apropiación y comprensión conceptual que
sobre ellas se posee, en términos de sus propiedades.
- Relacionar elementos y componentes permitirá la clasificación lógica de los objetos y el descubrimiento
de nuevas propiedades por medio del razonamiento informal.
- La formulación de generalizaciones acerca de las propiedades de figuras mediante las comprobaciones
de una o pocas clases de figuras geométricas y su uso en contexto.
- Utilizar el dibujo de figuras geométricas que contenga información específica para justificar las
conclusiones con relaciones lógicas y argumentos informales.
3.3. Procesos cognitivos de Duval
Según Duval (2001), la geometría involucra tres clases de procesos cognitivos que cumplen
funciones epistemológicas específicas: visualización, construcción y razonamiento. Para el autor
la visualización es un recurso intuitivo y no depende de la construcción, pero la construcción puede
guiar a la visualización dependiendo de las conexiones entre las propiedades matemáticas y las
herramientas usadas; y que puede ser necesario para encontrar una demostración. El razonamiento,
33
en cualquier caso, nos permite desprender una nueva información de otras informaciones dadas
que se organizan a través del lenguaje y pueden ser de tres formas: inducción, abducción o
inferencia. Estas tres clases de procesos cognitivos están conectadas y su sinergia es
cognitivamente necesaria para la competencia en geometría. De lo que se puede extraer el siguiente
indicador de idoneidad:
- La visualización, la construcción y el razonamiento son procesos cognitivos siendo los efectos de sus
acciones necesarios para la competencia geométrica. No dependen entre sí, pero se encuentran
necesariamente conectados.
Los procesos cognitivos involucrados en la resolución de un problema o el desarrollo de una
demostración son tres: aprehensión perceptiva, que es la identificación simple de una
configuración; aprehensión operativa, la cual se produce cuando se modifica una configuración
inicial; y aprehensión discursiva, que produce una asociación entre una configuración y
afirmaciones matemáticas. Por tanto, se establece el siguiente indicador:
- Es importante que en los primeros niveles de enseñanza se propongan situaciones-problema naturales,
que promuevan la aprehensión perceptiva, cuya solución implique procesos de aprehensión operativa y
discursiva a través de la descripción, explicación y argumentación. Poco a poco, y de modo gradual, se
reforzarán estos procesos y se dará paso a aprendizajes teóricos.
3.4. Ejemplos prototípicos de figuras
Scaglia y Moriena (2005) mencionan que el prototipo de una figura es la imagen mental que un
alumno posee de ella y que se ha formado a partir del encuentro reiterado con representaciones
gráficas de determinadas características (conceptuales o propias del dibujo). Estas imágenes
mentales prototípicas poseen, según Hershkowitz (1989), atributos propios que hacen referencia
específica a aspectos conceptuales y a la posición particular de la representación gráfica del
concepto geométrico utilizado, pero como Rey (2004) menciona, su uso puede traer consecuencias
no deseables en la construcción de conceptos. El autor propone recurrir no sólo a ejemplos visuales
sino también a las definiciones explicadas en forma verbal y al análisis de los ejemplos tomados.
En este sentido, Pérez (2013) también hace referencia a las dificultades que los estudiantes pueden
presentar en la representación de figuras cuando tiene que ver con la comprensión de sus
características o con estrategias propias de construcción. Dado este análisis es importante
considerar los siguientes indicadores:
- La utilización de variadas representaciones gráficas, no prototípicas, con el fin de no generalizar con un
solo ejemplo las definiciones de un concepto geométrico.
34
- Como refuerzo y anticipación a los posibles problemas que se pueden presentar en la visualización y
caracterización de los objetos, se sugiere reforzar la comprensión de los conceptos y técnicas con
diferentes métodos de representación.
4. Guía completa de Valoración de la Idoneidad Cognitiva
En lo que sigue, se resumen los indicadores específicos basados en las investigaciones descritas.
Se incluyen además los indicadores generales descritos en la GVID de Godino (2013).
Tabla 1.
Componentes e indicadores de idoneidad cognitiva
COMPONENTES INDICADORES
Conocimientos
previos.
Criterios generales:
- Los alumnos tienen los conocimientos previos necesarios para el estudio del tema (bien
se han estudiado anteriormente o el profesor planifica su estudio).
- Los contenidos pretendidos se pueden alcanzar en sus diversas componentes (tienen
una dificultad manejable).
Criterios específicos:
- Se hace necesario conocer previamente el nivel de razonamiento geométrico de los
estudiantes para la realización de una planificación adaptada al nivel de desarrollo
mental y de una adecuada transformación de su estructura en forma gradual, a través
de procesos de instrucción en situaciones didácticas.
- Se tiene en cuenta las dificultades, sesgos y limitaciones del pensamiento geométrico
de los estudiantes en el proceso de estudio.
Adaptaciones
curriculares a las
diferencias
individuales.
Criterios generales:
- Se incluyen actividades de ampliación y de refuerzo.
- Se promueve el acceso y el logro de todos los estudiantes.
Criterios específicos:
- Se sugiere el desarrollo gradual e inclusivo de la competencia geométrica,
considerando los niveles de visualización, construcción y razonamiento.
- Se avanza en forma progresiva desde las propiedades topológicas y proyectivas hasta
las euclídeas.
- Se sugiere reforzar los métodos de representación conceptual a través de técnicas para
comprender las características del objeto y desarrollar diferentes estrategias de dibujo
o construcción.
Aprendizaje
(Se tienen en
cuenta: los tipos
de problemas,
lenguajes,
conceptos,
procedimientos,
proposiciones,
argumentos y
relaciones entre
los mismos).
Criterios generales:
Los diversos modos de evaluación indican que los alumnos logran la apropiación de los
conocimientos pretendidos (incluyendo comprensión y competencia):
- Comprensión conceptual y proposicional; competencia comunicativa y argumentativa;
fluencia procedimental; competencia metacognitiva (planificación, control,
evaluación, análisis-síntesis).
- La evaluación tiene en cuenta distintos niveles de comprensión y competencia.
- Los resultados de las evaluaciones se difunden y usan para tomar decisiones.
Criterios específicos:
- Se involucra la visualización, construcción y el razonamiento en situaciones-problema
con procesos de aprehensión perceptiva que deriven en procesos de aprehensión
operativa y discursiva, a través de la descripción, explicación y argumentación para
dar paso a aprendizajes teóricos.
- Se utiliza un vocabulario geométrico acompañado de términos de uso común para la
descripción de figuras geométricas y argumentación de la apropiación y comprensión
conceptual que se tiene sobre ellas en términos de sus propiedades.
- Se interiorizan las representaciones mentales desde el espacio perceptual, a un nivel
35
práctico y en forma gradual, pasando por la representación de conexiones y relaciones
espaciales entre objetos para contribuir en la adquisición de propiedades de
pensamiento lógico-operacional.
- Se utilizan variadas representaciones gráficas no prototípicas, lo que permitirá obtener
un aprendizaje significativo, adecuado a las definiciones de un concepto.
- Se utiliza el dibujo con información específica para la justificación de conclusiones
con relaciones lógicas y argumentos informales.
- Se promueve el manejo de objetos reales del entorno en forma global y unitaria; y la
identificación de figuras en dibujos con orientaciones variadas para su descripción
física y diferenciación de sus semejanzas y diferencias.
- Se sugiere realizar desarrollos y construcción espontáneos que comiencen por el
reconocimiento de un objeto en el espacio; para que a través de la experimentación y
la observación se realicen transformaciones visuales y se logre identificar las
propiedades para la visualización y construcción de dicho objeto.
- Se considera el nivel de reconocimiento y el razonamiento de un objeto físico en el
espacio, para reconocer la comprensión que se tiene sobre ellos con argumentos
informales en su definición y clasificación.
- Se relacionan los elementos y componentes para la clasificación lógica de los objetos
y el descubrimiento de nuevas propiedades por medio del razonamiento informal.
- Se formulan generalizaciones acerca de las propiedades de figuras mediante
comprobaciones en una o pocas clases de figuras geométricas y su uso en contexto.
Reflexiones finales
En este trabajo se elabora una guía de indicadores de idoneidad cognitiva, centrada en la
adecuación del contenido matemático de la visualización espacial tridimensional a nivel elemental.
Para ello se tuvieron en cuenta como componentes los conocimientos previos, adaptaciones
curriculares a las diferencias individuales y al aprendizaje en sus diferentes componentes
(situaciones problema, lenguajes, conceptos, procedimientos, proposiciones, argumentos y
relaciones entre los mismos).
El fin educativo que se persigue es aportar consideraciones que contribuyan al desarrollo del
conocimiento geométrico al docente, en cuanto al grado en que los contenidos son adecuados y se
encuentran en la zona de desarrollo potencial de los estudiantes. El uso competente de la
herramienta utilizada puede servir de instrumento de reflexión tanto para el investigador en
educación matemática como para el profesor (Godino, Giacomone, Batanero y Font, en prensa),
sobre los diversos factores que afectan los procesos de estudio, en este caso, de la geometría. Por
ejemplo, Beltrán (2016) elabora una guía de indicadores específicos de idoneidad didáctica para
el estudio de la probabilidad; luego utiliza la guía para valorar una unidad didáctica de azar y
probabilidad en la educación secundaria y propone mejoras para su futura implementación. El
sistema de indicadores específicos de idoneidad cognitiva elaborado en este trabajo no se considera
definitivo (Godino, Font, Wilhelmi y Castro, 2009) aunque, los aportes presentados abren sin duda
36
un amplio panorama a la aplicación, no sólo en la enseñanza y aprendizaje del tema sino en el
campo de la formación docente, como así también al continuo desarrollo de la TID.
Reconocimiento
Trabajo realizado en el marco de los proyectos de investigación EDU2012-31869, EDU2016-
74848-P (FEDER, AEI) y CONICYT del Ministerio de Educación de Chile.
Referencias bibliográficas
Beltrán-Pellicer, P. (2016). Evaluación de la idoneidad didáctica de una experiencia de enseñanza
del azar y probabilidad en tercer curso ESO (trabajo fin de máster). Universidad de Granada,
España.
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Godino, J. D. (2013). Indicadores de la idoneidad didáctica de procesos de enseñanza y aprendizaje
de las matemáticas. Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática,11,
111-132.
Godino, J. D., Font, V., Wilhelmi, M. R. y Castro, C. (2009). Aproximación a la dimensión
normativa en Didáctica de la Matemática desde un enfoque ontosemiótico. Enseñanza de las
Ciencias, 27(1), 59-76.
Godino, J. D., Giacomone, B., Batanero, C. y Font, V. (en prensa). Enfoque ontosemiótico de los
conocimientos y competencias del profesor de matemáticas. Bolema, (aceptado).
Gonzato, M. (2013). Evaluación de conocimientos de futuros profesores de educación primaria
para la enseñanza de la visualización espacial (tesis doctoral). Universidad de Granada,
España.
Hershkowitz, R. (1989). Visualization in geometry. Two sides of the coin. Focus on Learning
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Jaime, A. y Gutiérrez, A. (1990). Una propuesta de fundamentación para la enseñanza de la
geometría: El modelo de Van Hiele. En S. Llinares y M. V. Sánchez (Eds.), Teoría y práctica
en educación matemática (p.p. 295-384). Sevilla, España: Alfar.
Pérez, J. (2003). Análisis de los contenidos geométricos de los libros de texto de Matemática de
educación básica a la luz de los planteamientos teóricos del modelo de Van Hiele (tesis de
maestría). Instituto Pedagógico de Barquisimeto, Venezuela.
Piaget, J. e Inhelder, B. (1967). The child’s conception of space. New York, NY: W. W.: Norton
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Piaget, J., Inhelder, B. y Szeminska, A. (1960). The child’s conception of geometry. London:
Routledge and Kegan Paul.
Rey, J. L. (2004). Dificultades conceptuales generadas por los prototipos geométricos o cuando
los modelos ayudan, pero no tanto. Revista Premisa, Sociedad Argentina de Educación
Matemática, 22, 3-12.
Scaglia, S. y Moriena, S. (2005). Prototipos y estereotipos en geometría. Educación Matemática,
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37
Van Hiele, P. M. (2002). Similarities and differences between the theory of learning and teaching
of Skemp and the Van Hiele levels of thinking. En D. Tall y M. Thomas (Eds.), Intelligence,
learning and understanding in mathematics. Flaxton, Australia: Post Pressed.
38
CB-212
RELATEMÁTICOS.
CUENTOS PARA DISFRUTAR CON LAS MATEMÁTICAS
Margarita Marín Rodríguez
Profesora jubilada de la Universidad de Castilla-La Mancha, España
Núcleo temático: V. Recursos para el aprendizaje y la enseñanza de las matemáticas
Modalidad: Comunicación Breve
Nivel educativo: Primaria
Palabras clave: competencia matemática, cuentos matemáticos, resolución de problemas,
aprendizaje significativo.
Resumen Los recursos literarios constituyen un poderoso aliado de los docentes para motivar y fomentar el
desarrollo de la competencia matemática. En cuentos, novelas y poesías con temática científica,
los contenidos matemáticos se presentan en un contexto y con una razón de ser, arropados por la
trama. Esta situación facilita su comprensión y aprendizaje significativo. Además, el empleo de
estos contenidos por parte del o los protagonistas para resolver sus conflictos genera en el
aprendiz una actitud positiva hacia la materia, a la vez que comienza a valorarla en su vida
cotidiana.
Por estas razones, se presenta un conjunto de veinte cuentos escritos exprofeso para disfrutar con
la geometría, la aritmética y la estadística, que se estudian en los últimos cursos de Primaria del
currículo escolar español. Están dirigidos a aprendices de ocho a doce años, fundamentalmente,
y a cualquier persona que desee deleitarse con las matemáticas a través de un relato que las
incorpora en su trama.
Algunos de estos relatos han sido evaluados en dos clases de quinto de Primaria y se recogen las
opiniones de los escolares al respecto, dadas a través de un cuestionario.
Introducción
Disfrutar haciendo matemáticas es un placer que, en principio, parece reservado a mentes brillantes
en el campo científico. Sin embargo, cualquier maestro debe ser capaz de enseñar matemáticas
fomentando la inclinación y querencia por las mismas. Con ello conseguirá que sus alumnos sean
realmente competentes en matemáticas.
A priori, matemáticas y disfrute, matemáticas y emociones, parecen muy alejadas, aunque
cualquier persona recuerda que en sus años de escolarización mantenía una relación de amor y
odio con las matemáticas. Con el paso del tiempo, lo lógico es aumentar el primero y disminuir el
segundo, pero lo lógico no siempre es lo real. Además, esta situación de amor odio, o actitud
positiva o negativa hacia las matemáticas escolares, está en correlación con las notas conseguidas
39
como demuestran diversas investigaciones (Auzmendi, 1992; Cornell, 1999; Marín-Rodriguez et
al., 2006) lo que agrava o mejora la situación. Como bien dicen Hersh y John-Steiner (2012: 313)
las personas no nacen con una aversión por las matemáticas, sino que aprenden a cogerles manía
en el colegio.
Por esta razón, los maestros deben de recibir una formación matemática inicial esmerada y
profunda que les permita dominar los contenidos, ser capaces de diseñar actividades ricas en
matemáticas y ser expertos en el conocimiento y empleo de recursos varios, para fomentar el
desarrollo de la competencia matemática en su alumnado de Primaria.
Por su parte, los recursos y materiales didácticos son herramientas fundamentales en el proceso de
enseñanza del docente y en el proceso de aprendizaje de los alumnos, procesos que todo maestro
debe dominar. Ahora bien, su valor didáctico depende tanto de la concepción del propio recurso
y/o material como del buen uso que se haga de ellos dentro de los objetivos marcados y las
estrategias didácticas diseñadas.
Entre los muchos recursos y materiales con los que cuenta un docente destacan los recursos
literarios: cuentos, canciones, relatos, poesías que «tocan» directamente los sentimientos de los
niños facilitando el aprendizaje de los conceptos que vehiculan.
Debido a estas razones, esta comunicación describe una serie de cuentos, escritos ex profeso, para
enseñar y aprender matemáticas en las aulas del último ciclo de Educación Primaria —niños y
niñas de 8/9 años a 11/12 años— del actual sistema educativo español, así como su evaluación por
los escolares de quinto de Primaria.
Se ha estructurado la comunicación en tres epígrafes: a) qué supone ser competente en
matemáticas, b) qué nos ofrecen los textos literarios y cómo los segundos contribuyen al desarrollo
de la primera y c) Relatemáticos y su evaluación.
Competencia matemática
La alfabetización o competencia matemática, necesaria en la formación de los ciudadanos, es un
objetivo que debe preocupar tanto a docentes en las aulas como a gestores y directores del actual
Sistema Educativo en nuestro país. Todos somos conscientes de que nuestros trabajadores serán
competentes en la Europa del libre mercado laboral si tienen la formación matemática necesaria
para la Sociedad en la que vivimos.
Pero esta formación matemática adecuada se conseguirá si somos consecuentes con dos hechos
significativos:
40
1º «‘Saber’ matemáticas es ‘usar’ las matemáticas» (NCTM, 1991:7).
2º La docencia de la asignatura debe poner su acento en el desarrollo de competencias y no en la
transmisión de los conocimientos matemáticos que conforman el currículo escolar.
De hecho, países como Holanda fundamentan la enseñanza/aprendizaje de las matemáticas en lo
que se denomina educación matemática realista de la que puede decirse, a nivel global, que solo
los contenidos matemáticos que puedan conectarse con el mundo real serán útiles como punto de
partida para la educación matemática (Goffree, 2000). Igualmente, países de lengua inglesa como
Reino Unido y Estados Unidos llevan insistiendo en las conexiones matemáticas con la realidad
como base fundamental para la enseñanza y el aprendizaje de la misma (Cockcroft, 1985; NCTM,
1991, 2004).
Así mismo, en nuestro país, la LOGSE en primer lugar y las sucesivas leyes en Educación en
segundo término han insistido en la necesidad de incorporar al currículo escolar la resolución de
problemas de la vida cotidiana.
Luego, esta alfabetización o competencia matemática consiste no sólo en saber los contenidos
matemáticos sino, fundamentalmente, en saber usarlos en el mundo real, como ya al principio de
la década de los noventa reclamaba el National Council of Teachers of Mathematics (NCTM, op.
cit.), es decir, ser capaces de matematizar, verbo que indica el proceso de hacer matemáticas y que
consta de dos pasos fundamentales:
a) el proceso de matematización horizontal que implica traducir los problemas desde el
mundo real al matemático,
b) el proceso de matematización vertical que implica la resolución del problema traducido
mediante la utilización de sus conceptos y destrezas matemáticos.
Igualmente, según la OCDE (2004), la competencia matemática supone el dominio de las
capacidades individuales del aprendiz para analizar, razonar y comunicar eficazmente en la
formulación y resolución de problemas matemáticos en una variedad de contextos y situaciones.
Por tanto, la consecución de esta competencia matemática por el aprendiz será posible siempre que
la enseñanza ponga el acento en el propio aprendiz y la construcción de sus aprendizajes, en vez
de en la mera transmisión de los contenidos curriculares. Y en este proceso de adquisición
intervienen cuatro variables fundamentales: a) el papel del profesor; b) la actitud del aprendiz; c)
las estrategias de aula elegidas; y d) los recursos empleados y las actividades a desarrollar con y a
partir de los mismos.
41
Recursos literarios y competencia matemática
¿Quién no se ha sentido atrapado en un relato, inmerso en la magia de su trama, disfrutando con
su lectura que nos aísla y envuelve como un manto protector? Leer para disfrutar es el comienzo;
después el aprendiz empieza a leer para aprender, reflexionando sobre la lectura realizada.
La atracción provocada por un relato, una novela, se convierte en una poderosa motivación que
incita a sumergirse en las páginas del libro para averiguar más sobre las vivencias de los
protagonistas. Y si este relato en su trama incorporase contenidos matemáticos, el lector se
interesaría por ellos debido a esta motivación originada. Sirva como ejemplo el siguiente pasaje
de la novela El planeta de los simios:
«...Como permanecía desconcertada, retomé la libreta con autoridad y me la cedió, esta vez sin
protestar. ¿Cómo no había utilizado antes aquel sencillo recurso? Reuniendo mis recuerdos
escolares, tracé la figura geométrica que ilustra el teorema de Pitágoras...el efecto que produjeron
en Zira fue extraordinario. Su hocico se volvió púrpura y lanzó una violenta exclamación... Entre
Zira y yo se acababa de establecer una comunicación espiritual por medio de la geometría».
(Boulle, 2001: 135-141)
En este texto se aprecia la universalidad del lenguaje matemático al usar el protagonista el teorema
de Pitágoras como medio de comunicación con la doctora simia y así hacerle comprender su
racionalidad. Porque el lenguaje matemático es el lenguaje científico por excelencia entre
civilizaciones técnicas por muy diferentes que sean. Pero ¿cuál es esa figura geométrica del
teorema de Pitágoras que tanto impacto causó a la doctora simia? Es el momento de actuar el
profesor y enseñar el teorema. Los aprendices ya están motivados y a la espera del conocimiento.
Por mi experiencia de aula y la reflexión realizada sobre la utilización de los recursos literarios en
la enseñanza de las matemáticas, se puede concluir que estos nos ofrecen aspectos metodológicos
importantes en el proceso de enseñanza/aprendizaje, como son:
- Motivar a la lectura y al aprendizaje.
- Contextualizar los contenidos matemáticos.
- Hacer múltiples conexiones matemáticas.
- Valorar la utilización de las matemáticas en la vida cotidiana.
- Fomentar la actitud positiva hacia las matemáticas.
- Ser un elemento aglutinador de contenidos de diversas disciplinas.
Y se propone su utilización en el aula para:
42
- Aprender mejor, significativamente, con comprensión.
- Aprender a matematizar, reflexionando cómo lo hacen otros.
Es decir, se propone utilizar los recursos literarios para desarrollar la competencia matemática,
descrita en el epígrafe superior, mediante un adecuado método de trabajo en el aula basado en los
siguientes aspectos:
- estrategias de aula de tipo heurístico,
- unas actividades bien pensadas y estimulantes a partir de la lectura del texto elegido.
Para ello, en primer lugar, se leerá el libro para disfrutar; disfrutar de su trama, de su estilo, de sus
personajes. Es decir, se debe leer, comprender y recrear el relato, hasta que texto e ilustraciones
cobren vida ante los ojos y la mente de los lectores. Con ello se contribuye al desarrollo de su
competencia lectora.
A continuación, y durante el tiempo que sea necesario, se mantendrá un diálogo interactivo con
los escolares para analizar los conceptos matemáticos emergentes a lo largo del relato y así
fomentar el razonamiento y comunicación matemáticos. Por último, se realizarán actividades en
pequeño y gran grupo, que estén en consonancia con el texto, lo que facilita un aprendizaje
cooperativo y colaborativo.
En artículos de la autora (Marín-Rodríguez, 2006, 2009), se recogen algunos títulos de novelitas
para Primaria, clasificados por ciclos, que presentan contenidos matemáticos idóneos para ser
explotados en el aula. Lo importante es aprender a leer cualquier texto con ojos matemáticos.
Relatemáticos
Si apasionante es la aventura de leer con ojos matemáticos, mucho más es la de escribir relatos
con contenido matemático. Cualquier docente con un poco de imaginación lo habrá comprobado
por sí mismo. Y la ventaja de escribir nuestros propios relatos es evidente: se acomodan
perfectamente a nuestras necesidades didácticas.
Por esta y las razones expuestas en los epígrafes superiores, comencé a escribir cuentos
matemáticos para escolares de los últimos cursos de Primaria del actual sistema educativo español.
Los primeros han sido cuentos con y sobre contenidos geométricos, propios de esos cursos, por
dos motivos: 1) son los de temática más escasa en el mercado editorial, y 2) el entorno que nos
rodea es geométrico y el aprendiz debe aprender a observarlo, analizarlo y valorarlo. Estos cuentos
están publicados con el título de Relatemáticos. Cuentos para disfrutar con la geometría (Marín-
Rodríguez, 2016).
43
En el siguiente libro, Relatemáticos II. Cuentos para disfrutar con la aritmética y la Estadística
(Marín-Rodríguez, 2017), los relatos se centraron en los contenidos aritméticos y estadísticos de
los mismos cursos. Lo que iguala a ambos libros es su estructura y el número total de cuentos en
cada uno: 10.
Estos dos libros de relatos matemáticos tienen las siguientes características que los diferencian de
otras obras de temática similar:
1. Se dirigen directamente a niños y niñas de 8 a 12 años, con ganas de aprender por su
cuenta y empezar a mirar el mundo con ojos matemáticos. Para ello, se ha cuidado mucho
el lenguaje con el fin de que sea accesible a los pequeños.
2. Cada cuento está acompañado de una pequeña descripción del contenido matemático en
el que se centra y de unas propuestas para observar y razonar matemáticamente. Estas
propuestas se ofrecen a dos niveles: para principiantes y para expertos. Es decir, lees,
comprendes, aprendes y practicas lo aprendido.
3. Puede ser utilizado por padres bien para disfrutar con sus hijos de relatos de contenido
matemático específico, bien para estimularlos en el aprendizaje matemático y la
observación del mundo aplicando estos conocimientos.
4. Puede ser utilizado por cualquier docente en su clase para motivar, contextualizar,
estimular y repasar el estudio de las matemáticas.
5. Incorporan los apartados de «Soluciones» y «Glosario de términos matemáticos».
Al estar diseñados ambos libros con el objetivo inicial de ser obras de lectura autónoma por los
aprendices matemáticos en la edad reseñada, en la introducción se les aconseja que empiecen por
leer y saborear los cuentos, dejándose cautivar por ellos. Al finalizar, deben preguntarse qué le
pasaba al protagonista y cómo lo solucionó.
En una segunda lectura, ya estarán preparados para realizar las propuestas para observar y razonar
matemáticamente en situaciones que se plantean en la vida cotidiana. Solo deben mirar el apartado
«Soluciones» una vez que ellos ya las hayan obtenido y así puedan comprobar la bondad de sus
razonamientos.
Si el lector es un adulto, primero leerá los relatos para disfrutar con ellos y, posteriormente, para
intentar rememorar sus aprendizajes matemáticos escolares con las propuestas. Si en algún
momento la memoria le fallase, puede recurrir al «Glosario de términos matemáticos» que contiene
el libro.
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En cualquier caso, lo importante es que el futuro lector sepa que tiene en sus manos un libro atípico
sobre contenidos matemáticos, escrito para disfrutar y jugar con las matemáticas y aplicarlas en el
mundo real.
Como muestra de estos relatos matemáticos, en el Anexo I se ofrece el cuento «Los juegos de
Gonzalo y Pitufo» escrito con el objetivo de ilustrar el aprendizaje de los cuerpos de revolución.
Opiniones de alumnos de quinto de Primaria sobre Relatemáticos
A lo largo del curso 2014/2015, el profesor Javier Tamayo (colegio Santa María del Pilar de
Madrid) me abrió las puertas de la clase de 5º A de la que era profesor de Matemáticas.
Esta clase estaba formada por 30 escolares que se entusiasmaron con la idea de ayudarme a mejorar
los relatos, para que fuesen lo más comprensible y aprovechables a nivel matemático por ellos, sin
perder su magia textual. Por tanto, se entregaron con pasión a la lectura y posterior evaluación de
los cuentos mediante un cuestionario.
Solo leyeron los cuentos cuyo contenido geométrico estaba en consonancia con el curso que
realizaban, bien para repasar los contenidos ya abordados, bien para motivar los nuevos
aprendizajes.
Después de la lectura y debate sobre un cuento concreto, se les pasaba el cuestionario de nueve
preguntas recogido en el Anexo II. Del diálogo mantenido después de la lectura de cada cuento, se
deduce que el desarrollo de la competencia lectora personal influye poderosamente en la
adquisición del contenido matemático vehiculado por el texto. Igualmente, trabajar las
Matemáticas mediante un recurso literario es reconfortante para los aprendices con algún problema
en la asignatura, pues consideran que «no están haciendo matemáticas». Esta creencia les libera
de su actitud negativa y les facilita el aprendizaje.
Para finalizar, unas breves pinceladas sobre los resultados arrojados por el cuestionario pasado
sobre el cuento «Los juegos de Gonzalo y Pitufo».
El 82,14 % de la clase «se pone contento» leyendo un cuento que trata sobre matemáticas. Y el
85,71 % leería «a veces» más cuentos de temática matemática. Lo que mejor han entendido a
través del cuento es la esfera y otros cuerpos geométricos (el 85,71 %). Lo que peor han entendido
es «ninguno» elegido por el 78,57 %. El 17,85 % señala que lo que más les ha gustado es que
«tenga un gato»; y lo que menos se expresa en respuestas de tipo emocional dadas por el 100 %
de la clase, de las que sobresale «nada» por el 57,14 %.
45
En resumen, un cuento es capaz de aunar aspectos cognitivos y afectivos, lo que permite utilizarlos
como herramienta poderosa de aprendizaje matemático. Los contenidos tienen una razón de ser y
una utilidad inmediata, por lo que es lógico comprenderlos y aprenderlos, emulando con ello al
protagonista que resolvió el conflicto a partir de este dominio conceptual.
Como bien decía Borges: «Los libros son las alfombras mágicas de la imaginación», ¡usémoslos
para imaginar matemáticas!
Referencias bibliográficas
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Universitarias. Bilbao: Editorial Mensajero.
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una perspectiva internacional, Capítulo 9, pp. 151-167. Barcelona: Graó.
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Editorial Crítica.
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Marín-Rodríguez, M. (2009). Matemáticas y Literatura, un binomio perfecto. UNO, Revista de
Didáctica de las Matemáticas, 50, 47-63
Marín-Rodríguez, M. (2016). Relatemáticos. Cuentos para disfrutar con la Geometría. Madrid:
Editorial Verbum.
Marín-Rodríguez, M. (2017). Relatemáticos II. Cuentos para disfrutar con la aritmética y la
estadística. Madrid: Editorial Verbum.
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Investigación matemático-literaria en el aula de Primaria. Madrid: MEC-CIDE.
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NCTM (2004). Principios y Estándares para la Educación Matemática. Sevilla: S.A.E.M.
THALES.
OCDE (2004). Learning for tomorrow’s World: First results from PISA 2003. Paris: OCDE
46
Anexo I
Los juegos de Gonzalo y Pitufo
(Marín-Rodríguez, M., 2016: 49-54)
¿Alguno de vosotros tiene una mascota? Sí, ¡me alegro! Educadla bien, no os vaya a ocurrir lo
que le pasó al pobre Gonzalo con la suya. Os lo cuento.
Gonzalo es un chaval atlético que estudia 5º de Primaria y le encantan los deportes, sobre todo los
que emplean un balón. Hace un par de años, por Navidad, sus tíos le regalaron una mascota: un
precioso gato de angora, peludo y suavecito, que se hacía un ovillo en el regazo de Gonzalo. Como
os podéis imaginar, Gonzalo estaba encantado con su mascota y decidió llamarle Pitufo.
Al pasar el tiempo, el gato fue creciendo y convirtiéndose en el compañero inseparable del chico,
sobre todo para hacer travesuras, como decía mamá. A Pitufo también le volvían loco los cuerpos
redondos: pelotas, balones, ovillos... Todos les servían a la pareja para jugar.
—¡Venga, Pitufo! Vamos al parque a marcar unos goles. Tú vas a ser el portero y yo el que tira —
decía con entusiasmo Gonzalo a la vuelta del cole.
Lo que él desconocía eran los pensamientos del gato. Fijaos en qué cavilaba Pitufo:
«Este Gonzalo se cree que a mí me gusta el fútbol. ¡Qué va! Lo que a mí me encanta es observar
cómo rueda la pelota y contemplar la trayectoria seguida, pues según la impulse así se dirige a un
lado u otro, aunque a veces me llevo sorpresas cuando jugamos en un terreno pedregoso. Me echo
carreras con ella, intento cogerla y se escapa. Hay que ser muy hábil para vencer a un cuerpo
redondo».
Un día Gonzalo llegó todo emocionado del colegio y entró en casa llamando a voces a su gato:
—¡Pitufo, ven!, ¿dónde estás? ¡Tengo que enseñarte lo que he aprendido hoy! —gritaba contento.
El gato apareció estirándose, no le gustaba nada que le sacaran de su siesta vespertina, y se dirigió
hacia Gonzalo ocupado en sacar unos curiosos palitos de su cartera.
—Pitufo, te voy a explicar por qué los cuerpos redondos se llaman también cuerpos de revolución
—y poniendo cara de profe continuó diciendo—: ves este palo, fíjate: a lo largo de la parte superior
he pegado medio círculo, por lo que ahora ese trozo de palo es el diámetro del círculo; entonces
giro el palo muy, pero que muy deprisa… ¿qué ves? ¡Una esfera! —explicaba el chiquillo con toda
ilusión.
47
Como en casa mamá había prohibido los balones, Pitufo se las apañaba haciendo rodar los
esqueletos del papel higiénico y el de cocina cuando se acababan. Este esqueleto es un útil cilindro
de cartón que entretenía mucho a nuestro gato, pero un día descubrió los ovillos de lana de la labor
de mamá.
Un ovillo de lana es un cuerpo esférico más blandito y suave al tacto que una pelota. «¡Qué
maravilla!», pensó Pitufo el día que los encontró, «con estas bolas sí que voy a jugar bien y además
en casa, sin pasar frío en el parque».
Pronto Gonzalo se unió al juego con los ovillos: le lanzaba uno y el gato saltaba elegantemente a
por él. Casi nunca fallaba y cada vez el niño tiraba más alto y a sitios más complicados. Podéis
imaginaros que, aparte de cómo quedaba de maltrecho el pobre ovillo, la pareja empezó a romper
varios adornos de la casa. Esto disgustó mucho a mamá y le costó a Gonzalo quedarse más de un
día sin postre.
—¡No es justo, mamá! Si yo me quedo sin postre por haber roto la figura de porcelana, Pitufo
también debe quedarse sin algo de comida, pues jugábamos los dos y además fue él quien empujó
la pieza al suelo al saltar por encima de ella.
—¡Bien pensado! —dijo la madre—. Esta noche Pitufo cenará su leche en un plato liso.
¡Pobre gato! Acostumbrado a su cuenco que tenía forma de tronco de cono con bastante capacidad,
la cena de esa noche le resultó excesivamente escasa. Tanto que sobre las tres de la mañana se
puso bajo la ventana a maullar a la luna, otro de sus cuerpos esféricos favoritos, para cantarle su
hambre gatuna.
Todos los habitantes de la casa, excepto Gonzalo, decidieron no volver a reducir la cena del gato
hiciera lo que hiciera, sino convencer al niño para que no jugaran dentro de casa con esferas o de
lo contrario… regalarían el gato.
Y así, este esférico cuento a su fin ha llegado.
Anexo II
48
Cuestionario sobre el valor del cuento para aprender Matemáticas
Nombre y apellidos: ..........................................................................................................
Colegio: ............................................................................................................................
Fecha: ...............................................................................................................................
Título del cuento leído: …………………………………………………………………
Queremos ayudarte a mejorar tus aprendizajes matemáticos y para ello necesitamos SABER TU
OPINIÓN SOBRE EL VALOR DEL CUENTO COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA. Te
rogamos que seas totalmente sincero o sincera en tus contestaciones.
1.- El cuento me ha parecido (elige todas aquellas respuestas que mejor expresen tu opinión):
. divertido . difícil . un rollo
. ameno . fácil . interesante
2.- Que el cuento trate sobre matemáticas me pone (elige todas aquellas respuestas que mejor
expresen tu opinión):
. triste . contento/a . indiferente
. nervioso/a . aburrido/a . preocupado/a
3.- A mi entender, los contenidos matemáticos que trata el cuento son:
4.- Lo que más me ha gustado del cuento ha sido:
5.- Lo que menos me ha gustado del cuento ha sido:
6.- El concepto matemático que mejor he entendido después de leerlo ha sido:
7.- El concepto matemático que peor he entendido después de leerlo ha sido:
8.- Me gustaría leer más cuentos sobre matemáticas:
. Siempre . a veces . nunca
9.- Escribe cualquier otra opinión sobre el cuento o las matemáticas que desees decirnos.
49
CB-214
INTERPRETACIÓN CRÍTICA DE LA ALFABETIZACIÓN ESTADISTICA EN
FUTUROS PROFESORES A PARTIR DE GRÁFICOS ESTADÍSTICOS
ELEMENTALES José Miguel Contreras García, Elena Molina Portillo, Juan Díaz Godino y Pedro Arteaga Cezón
[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
Universidad de Granada, España
Núcleo temático: VII. Investigación en Educación Matemática.
Modalidad: CB
Nivel educativo: primaria, secundaria, bachillerato y universitario.
Palabras clave: cultura estadística, statistical literacy, formación de profesores, gráficos
Resumen La formación de profesores para enseñar estadística en educación primaria debe estar orientada
a capacitarlos para que desarrollen la cultura estadística en los alumnos de los primeros niveles
educativos.
La interpretación de gráficos estadísticos forma parte de la “cultura estadística” (statistical
literacy) que cualquier ciudadano debe tener para poder desenvolverse plenamente en la actual
sociedad de la información. El logro de este objetivo implica que los profesores de matemáticas
deben tener dicha cultura y, además, estar capacitados para desarrollarla en sus alumnos. Esto
requiere que los programas de formación de maestros contemplen de manera adecuada, tanto el
desarrollo de los conocimientos, destrezas y disposiciones que caracterizan la cultura estadística
como los conocimientos y competencias didácticas para diseñar procesos de educación estadística
idóneos.
En este trabajo evaluamos aspectos importantes de la cultura estadística en futuros profesores de
educación primaria, como es la interpretación crítica de las informaciones estadísticas dadas en
los medios de comunicación mediante gráficos estadísticos elementales. Su aplicación al comienzo
de su formación, ha permitido obtener información valiosa para los formadores al revelar el
estado inicial de desarrollo de la mencionada cultura estadística, y servir de base para centrar la
atención en puntos críticos del aprendizaje.
1. Introducción
Los gráficos son un elemento de gran importancia en la cultura o alfabetización estadística, al ser
el tipo de resumen de la información más utilizado, ya que permite interpretar y evaluar
críticamente la información estadística de forma visual. Por tanto, es necesario un conocimiento
profundo de su problemática educativa, ya que un gráfico sesgado o mal construido provocará que
la información no llegue de forma correcta al ciudadano que debe interpretar los datos estadísticos.
Los gráficos de los medios de comunicación, por lo general, utilizan terminología técnica
adecuada, pero también pueden contener elementos estadísticos ambiguos o erróneos, empleando
50
convenciones de comunicación de los resultados estadísticos que pueden llevar a una mala
interpretación. Por tanto, se plantea la necesidad de que los profesores entiendan que la
información estadística que aparece en los medios de comunicación puede estar sesgada, ya sea
porque la validez de los mensajes, su naturaleza, la credibilidad de la información o las
conclusiones que presentan no sean correctas, y que se debe promover acciones para facilitar la
interpretación gráfica.
En este trabajo evaluamos aspectos importantes de la cultura estadística de futuros profesores de
educación primaria, como es la interpretación crítica de las informaciones estadísticas dadas en los
medios de comunicación mediante gráficos estadísticos elementales. La aplicación de un
cuestionario a una muestra de estudiantes, al comienzo de su formación, nos ha permitido obtener
información valiosa para los formadores al revelar el estado inicial de desarrollo de la mencionada
cultura estadística, y servir de base para centrar la atención en puntos críticos del aprendizaje.
2. Marco teórico
Diversos autores han descrito los aspectos que se deben incluir en la noción de “cultura estadística”
o “alfabetización estadística” (Wallman, 1993, Batanero, 2002). Para nuestro trabajo adoptaremos
la descripción desarrollada por Gal (2002), con algunas adaptaciones, referida a los conocimientos
estadísticos y disposiciones hacia el uso de la estadística que se espera tengan los adultos que viven
en las sociedades industrializadas. En una primera aproximación Gal (2002) distingue dos
componentes interrelacionados:
“(a) la habilidad de las personas para interpretar y evaluar críticamente la información estadística,
los argumentos basados en datos, o los fenómenos estocásticos, que pueden encontrar en diversos
contextos, y cuando sea relevante (b) su habilidad para discutir o comunicar sus reacciones a la
información estadística, tales como su comprensión del significado de la información, sus
opiniones sobre las implicaciones de esta información, o sus preocupaciones relativas a la
aceptabilidad de las conclusiones dadas” (Gal, 2002, pp. 2-3).
Estas capacidades y conductas están fundadas en varias bases de conocimientos relacionados entre
sí y disposiciones que se resumen en la Tabla 1. En dicha tabla sintetizamos la propuesta de Gal
(2002), aunque también la interpretamos y completamos en algunos aspectos. Para el componente
del contexto nos parece útil tener en cuenta la clasificación usada en los informes PISA, donde se
distinguen los contextos, personal, profesional, social y científico; y para los elementos de
51
disposición y evaluación crítica de las informaciones estadísticas los incluimos como parte de la
dimensión afectiva. En la dimensión afectiva, de acuerdo al modelo tetraédrico que proponen
DeBelis y Goldin (2006) distinguimos cuatro tipos de entidades afectivas: actitudes, emociones,
creencias y valores (p. 135), descritas según se indica en la Tabla 1.
Tabla 1. Componentes de la cultura estadística (síntesis de Gal, 2002, con adaptaciones)
DIMENSIÓN COGNITIVA DIMENSIÓN AFECTIVA
Lengua natural (literacy skills): Destrezas sobre la
lengua natural, procesamiento textual, tabular y
gráfico
Actitudes: Orientaciones o predisposiciones hacia ciertos
patrones de conducta. (Adoptar una posición de
cuestionamiento hacia mensajes cuantitativos que pueden
inducir a error, ser sesgados o incompletos; evaluación
crítica de gráficos)
Estadística:
1. Conocer por qué se necesitan los datos y cómo se
obtienen
2. Familiaridad con los términos e ideas básicas
sobre la estadística descriptiva;
3. Familiaridad con las visualizaciones gráficas,
tabulares y su interpretación (competencia
gráfica).
4. Comprensión de nociones básicas de probabilidad
5. 5) Conocer cómo se obtienen las conclusiones e
inferencias estadísticas
Emociones: Estados rápidamente cambiantes de
sentimientos experimentados de manera consciente o que
ocurren de manera preconsciente o inconsciente ante
determinadas situaciones.
Matemáticas:
1. Números y operaciones
2. Proporcionalidad
3. Geometría
4. Álgebra
5. Funciones
Valores:
Se refieren a ‘verdades personales’ o compromisos
profundamente apreciados por los individuos, incluyendo
componentes éticos y morales.
Ayudan a motivar elecciones a largo plazo o a establecer
prioridades a corto plazo.
Contextos:
1) Personal
2) Profesional
3) Social
4) Científico
Creencias:
Ideas u opiniones individuales sobre un tema, o dominio,
sobre uno mismo, o un contexto social; implican la
atribución de algún tipo de verdad o validez externa al
sistema de proposiciones u otras configuraciones
cognitivas.
El problema que se aborda en esta investigación consiste en describir el estado inicial de un aspecto
importante de la “cultura estadística” de los estudiantes que inician los estudios de magisterio,
como es la capacidad de interpretación crítica de gráficos estadísticos elementales usados en los
medios de comunicación. Usaremos el modelo de cultura estadística de la Tabla 1 como guía para
la selección y análisis de las tareas que incluimos en el cuestionario.
3. Antecedentes
Las escasas investigaciones centradas en la comprensión gráfica de los profesores se resumen en
su mayoría en González, Espinel y Ainley (2011) y Arteaga, Batanero, Contreras y Cañadas
52
(2012). Entre ellos destacamos el de Bruno y Espinel (2005) que analizan la construcción de
gráficos por futuros profesores a partir de una lista de datos. Los errores cometidos incluyen
intervalos mal representados, omisión de intervalos de frecuencia nula, o uso de rectángulos no
adosados en variables continuas. En el polígono de frecuencias, no unen las marcas de clase,
omiten el intervalo de frecuencia nula o confunden la frecuencia y el valor de la variable. Espinel
(2007) evalúa la interpretación de gráficos en futuros profesores, comparando los resultados con
los de estudiantes universitarios americanos con un mismo cuestionario, convenientemente
traducido. Encontró mayor dificultad en los futuros profesores, sobre todo al predecir la forma de
un gráfico a partir de la descripción verbal de variables conocidas o al leer los histogramas. Todos
estos errores se reproducen en los estudios de Arteaga y Batanero (2010) y Arteaga, Batanero,
Contreras y Cañadas (2016).
Monteiro y Ainley (2007) estudian la competencia de futuros profesores en la lectura de gráficos
tomados de la prensa diaria, encontrando que muchos no tenían conocimientos matemáticos
suficientes para llevar a cabo dicha lectura. Indican que la dificultad es debida a que la
interpretación de gráficos moviliza conocimientos y sentimientos que inciden en su comprensión.
4. Metodología
El instrumento para la recogida de datos está constituido por un conjunto de 8 tareas, cada una de
las cuales está formada por ítems que evalúan aspectos de la cultura estadística relacionada con la
interpretación de gráficos estadísticos elementales (diagramas de barras, líneas y de sectores). Un
ejemplo de tarea relativa al gráfico de líneas se muestra en la Figura 1, junto con las consignas de
interpretación requeridas.
Los apartados 1, 6, 7 y 8 ponen en juego conocimientos estadísticos básicos sobre gráficos
estadísticos; el apartado 2 evalúa el conocimiento del contexto y la competencia de expresión
verbal; los apartados 3, 4 y 5 el nivel alcanzado en la lectura crítica de los gráficos de acuerdo a
Curcio (1989) Friel, Curcio y Bright (2001) y conocimientos estadísticos básicos. En concreto las
preguntas 4 y 5 requieren el nivel de lectura detrás de los datos y el resto de las preguntas al menos
el nivel de leer dentro de los datos.
Cada tarea hace referencia a un tipo de gráfico simple creado de forma incorrecta por algún medio
de comunicación. Se incluye un gráfico de dos barras adosadas, un gráfico, dos gráficos de líneas,
dos diagramas de barras simple, un gráfico de áreas y un pictograma. En el conjunto de tareas se
consideran un total de 56 ítems.
53
Fig. 1. Ejemplo de tarea
Se han definido seis subescalas, sumando para las ocho tareas la puntuación en cada uno de los
ítems considerados en las mismas:
1. Resumen (Ítem 1 de cada tarea): El alumno ha de resumir la noticia indicando los datos
representados en los ejes y las relaciones que se establecen entre los mismos. Esta subescala se
obtiene sumando las puntuaciones en todas las tareas en la primera pregunta.
2. Interés (Suma de las respuestas el Ítem 2 en cada tarea): El alumno ha de explicar el uso, interés
e intencionalidad que puede tener la información mostrada en el gráfico.
3. Tendencia (Suma de las respuestas el Ítem 3 en cada tarea): El alumno ha de justificar si observa
alguna tendencia en la serie de datos.
4. Procedencia (Suma de las respuestas el Ítem 4 en cada tarea): El alumno ha de indicar cuál es
la fuente de procedencia de los datos, cómo se han recogido y si considera que la información
es fiable.
5. Gráfico correcto (Suma de las respuestas el Ítem 5 en cada tarea): El alumno ha de indicar si es
un gráfico correcto para explicar la información justificando su decisión.
6. Tabla (Suma de las respuestas el Ítem 6 en cada tarea): El alumno ha de representar la
información usando una tabla.
7. Otro gráfico (Suma de las respuestas el Ítem 7 en cada tarea): El alumno ha de representar la
información usando otra gráfica.
54
8. Otra forma (Suma de las respuestas el Ítem 8 en cada tarea): El alumno ha de indicar de qué
otra manera y cómo se podrían analizar los datos para interpretar la información y obtener
conclusiones.
La población de interés en esta investigación son futuros profesores españoles del Grado en
Maestro en Educación Primaria. El cuestionario ha sido aplicado en forma piloto a un grupo de 45
estudiantes de la asignatura “Diseño y desarrollo del currículo de matemáticas en educación
primaria”, que se imparte en el tercer curso del Grado de Primaria de la universidad de Granada.
Estos estudiantes han cursado dos asignaturas previas relacionadas con la matemática y su
didáctica, en las cuáles han estudiado los gráficos estadísticos considerados en el trabajo, aunque
el tiempo dedicado a ello ha sido una o dos semanas por curso.
5. Resultados
Se ha realizado un estudio descriptivo de las respuestas de los alumnos para los diferentes ítems,
clasificado los resultados en función de si la respuesta es correcta, parcialmente correcta o
incorrecta (Tabla 2).
Tabla 2. Frecuencias y porcentajes de tipos de respuestas a los ítems
ITEM Incorrecto Par. correcto Correcto ITEM Incorrecto Par. correcto Correcto
1.1 5 (11,1) 7 (15,6) 33 (73,3) 5.1 37 (82,2) 3 (6,7) 5 (11,1)
1.2 5 (11,1) 25 (55,6) 15 (33,3) 5.2 42 (93,3) 2 (4,4) 1 (2,2)
1.3 13 (28,9) 18 (40,0) 14 (31,1) 5.3 40 (88,9) 2 (4,4) 3 (6,7)
1.4 5 (11,1) 14 (31,1) 26 (57,8) 5.4 41 (91,1) 3 (6,7) 1 (2,2)
1.5 3 (6,7) 38 (84,4) 4 (8,9) 5.5 40 (88,9) 1 (2,2) 4 (8,9)
1.6 1 (2,2) 0 (0) 44 (97,8) 5.6 44 (97,8) 0 (0) 1 (2,2)
1.7 13 (28,9) 12 (26,7) 20 (44,4) 5.7 37 (82,2) 3 (6,7) 5 (11,1)
1.8 17 (37,8) 12 (26,7) 16 (35,6)
2.1 24 (53,3) 12 (26,7) 9 (20,0) 6.1 6 (13,3) 1 (16) 23 (51,1)
2.2 20 (44,4) 18 (40,0) 7 (15,6) 6.2 9 (20,0) 20 (44,4) 16 (35,6)
2.3 28 (62,2) 12 (26,7) 5 (11,1) 6.3 14 (31,1) 22 (48,9) 9 (20,0)
2.4 9 (20,0) 24 (53,3) 12 (26,7) 6.4 9 (20,0) 31 (68,9) 5 (11,1)
2.5 4 (8,9) 35 (77,8) 6 (13,3) 6.5 4 (8,9) 3 (6,7) 38 (84,4)
2.6 5 (11,1) 4 (8,9) 36 (80,0) 6.6 15 (33,3) 13 (28,9) 17 (37,8)
2.7 10 (22,2) 4 (8,9) 31 (68,9)
2.8 29 (64,4) 5 (11,1) 11 (24,4)
3.1 21 (46,7) 10 (22,2) 14 (31,1) 7.1 6 (13,3) 1 (16) 23 (51,1)
3.2 21 (46,7) 11 (24,4) 13 (28,9) 7.2 9 (20,0) 20 (44,4) 16 (35,6)
3.3 27 (60,0) 9 (20,0) 9 (20,0) 7.3 14 (31,1) 22 (48,9) 9 (20,0)
3.4 23 (51,1) 10 (22,2) 12 (26,7) 7.4 9 (20,0) 31 (68,9) 5 (11,1)
3.5 26 (57,8) 17 (37,8) 2 (4,4) 7.5 4 (8,9) 3 (6,7) 38 (84,4)
3.6 24 (53,3) 4 (8,9) 17 (37,8) 7.6 15 (33,3) 13 (28,9) 17 (37,8)
3.7 36 (80,0) 2 (4,4) 7 (15,6)
55
Como se observa en la Tabla 2, los resultados indican la problemática que representa los gráficos
simples en los futuros profesores. Entre ellos destacan los gráficos 3 (Diagrama de líneas), 4
(Diagrama de barras) y 5 (Diagrama de líneas) donde los porcentajes de ítem correctos no llegan
al 30% (excepto en el ítem 3.1 y 3.6 que apenas lo superan). De las categorías, los resultados
muestran que los futuros profesores no saben resumir correctamente los gráficos (solo cuatro de
los ocho, pero con porcentajes muy bajos de respuestas correctas, excepto el 1.1 que fue resuelto
correctamente por el 73,3%). Destacan los resultados sobre tendencia, procedencia e interés, cuyos
valores indican la poca actitud crítica, e interpretación del contexto, de los futuros profesores. Los
mejores resultados se alcanzan en los ítems relacionados con la transnumeración, paso de gráfico
a tabla y a otro gráfico, aunque mayoritariamente el gráfico usado era otro gráfico simple.
6. Interpretación
Aunque los resultados son provisionales, al tratarse de una muestra piloto, son descorazonadores
al mostrar la escasa comprensión gráfica de los estudiantes participantes en el estudio. En nuestro
caso, como en el estudio de Monteiro y Ainley (2007) se pide a los profesores interpretar gráficos
tomados de la prensa diaria. Al igual que dichos autores, nuestros resultados apuntan a que los
participantes no alcanzan suficiente conocimiento matemático o competencia gráfica para llevar a
cabo dicha lectura.
Son un poco mejores los resultados de traducir el gráfico a una tabla o a otro gráfico, en particular
en aquellos estudiantes que son capaces de hacer un resumen del gráfico y de describir su utilidad.
Estos dos puntos no han sido tenidos en cuenta en la investigación previa, pero pensamos que son
parte de la cultura estadística (Gal, 2002) que debe tener todo futuro profesor. Sería necesario
4.1 29 (64,4) 10 (22,2) 6 (13,3) 8.1 10 (22,2) 9 (20,0) 26 (57,8)
4.2 30 (66,7) 9 (20,0) 6 (13,3) 8.2 12 (26,7) 14 (31,1) 19 (42,2)
4.3 33 (73,3) 10 (22,2) 2 (4,4) 8.3 12 (26,7) 23 (51,1) 10 (22,2)
4.4 33 (73,3) 12 (26,7) 0 (0) 8.4 15 (33,3) 13 (28,9) 17 (37,8)
4.5 33 (73,3) 2 (4,4) 10 (22,2) 8.5 29 (64,4) 9 (20,0) 7 (15,6)
4.6 35 (77,8) 2 (4,4) 8 (17,8)
56
realizar este tipo de actividades en la formación de profesores, que pensamos, tienen para ello
interés, al tratarse de la interpretación de información tomada de los medios de comunicación.
Estos resultados proporcionan información para los formadores de profesores sobre la necesidad
de plantear intervenciones sistemáticas orientadas a mejorar la educación estadística de los futuros
maestros.
Reconocimiento: Trabajo realizado en el marco del Proyecto EDU2016-74848-P (MEC), FCT-
16-10974, FECYT – MINECO y Grupo FQM126 (Junta de Andalucía).
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58
CB-215
MODELACIÓN MATEMÁTICA DE LA FÍSICA MODERNA APLICADA EN LA
TECNOLOGÍA DEL QUIMICO FARMACOBIOLOGO EN LA UNIVERSIDAD
MICHOACANA.
Jorge Chávez Carbajal
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, México
Núcleo temático: VI
Modalidad: CB
Nivel educativo: Formación y actualización docente
Palabras clave: Pensamiento Variacional, Función, Modelación Matemática, Física
Resumen El aprendizaje de la física moderna, en estudiantes universitarios de reciente ingreso en la carrera
de Químico Farmacobiólogo, con perfil experimental, antecedentes matemáticos de bachiller e
infraestructura no diseñada para esta área de la Física, es una tarea laboriosa. Lo anterior ha
propiciado el diseño de una estrategia en base a Modelación Matemática de los fenómenos en un
entorno de simulación computacional de la tecnología de desempeño profesional. Como una
forma de llevar las Ciencias Físicas a través de la tecnología de contexto, es necesario reconocerla
en su arquitectura, funcionamiento y aplicación, para ubicar los momentos en que se presentan
estos fenómenos físicos, no sin antes abordar de la misma manera la experimentación original de
dichos fenómenos. La Modelación Matemática se apoya en el reconocimiento de las variables y
parámetros que intervienen en un fenómeno para su posterior asociación con una matemática de
dos variables. Se ha creado para el alumno un manual de apoyo en la materia con la matemática
más elemental posible basada en la función matemática y pensamiento variacional.
INTRODUCCION. La enseñanza de la física moderna, en una escuela de nivel superior que no es
de ciencias físicas o ingenierías, presenta dificultades por los antecedentes matemáticos del
alumno; por cuestión curricular estos antecedentes son insuficientes para poder abordar muchos
de los temas de la mecánica cuántica. El perfil de ingreso, muchas de las veces difiere de las
expectativas del mismo alumno puesto que sus inclinaciones hacia las matemáticas no son muy
sólidas. El contenido programático de la materia no tiene contemplado un espacio experimental y
sí únicamente el trabajo teórico diario en el aula tradicional. Al no contar con los antecedentes
cognitivos es inoperante llevarlos a una matemática como la matricial, pese a algunos temas en
donde es necesario abordar la matemática exigida. En contraparte, el perfil del alumno de QFB
59
tiene un porcentaje muy alto de carga curricular en diversos laboratorios, por lo que puede ser
calificado como “de perfil experimental”, lo cual se considera como su principal fortaleza. El perfil
de egreso le exige establecer el vínculo que demanda el médico y el paciente, a través de la
actividad clínica, esto siempre con el uso de la tecnología ya diseñada para ello, tecnología propia
del contexto.
MODELACIÓN MATEMÁTICA. La Física es la disciplina que mantiene una relación estrecha
con la Matemática (ya por varios siglos) remontándose hasta la visión de Copérnico, el trabajo de
Kepler y la metodología de Galileo. En esta asociación, la matemática ha facilitado el tratamiento
de los fenómenos físicos, siendo vigente, hoy por hoy, un andar paralelo entre ambas. Los
conceptos de la Física vienen siendo representados por modelos conceptuales “como una
representación precisa, completa y consistente de los fenómenos de interés de la Física” (Moreira,
M., 1997), siendo las instituciones, revistas o información que emane de congresos el concepto
aceptado. Esto hace que la Física sea un área del conocimiento basado en conceptos, cuya actividad
fundamental es representarlos mediante modelos matemáticos. Dichos modelos, la mayoría de las
veces son construidos a partir de resultados experimentales, es decir de reproducciones controladas
de la realidad; otras veces son producto del tratamiento matemático de los propios conceptos. El
modelo matemático es tan solo un eslabón de un proceso más complejo llamado MODELACIÓN
(modelización). Una definición de modelación “como el producto de la actividad de establecer
una relación semántica entre un grupo de teorías y un fenómeno” (Greca, I., 1998). Esta relación
semántica se establece de manera dinámica desde las premisas que dispone el fenómeno y los
modelos mentales que el alumno establece de manera muy personal, tornándose como un
aprendizaje significativo en la medida que establezca un proceso evolutivo hacia el modelo
conceptual; se trata de un proceso iterativo “Comprenden las premisas y extraen de ellas una
conclusión semánticamente informativa, y entonces se aseguran de que la inferencia es válida
realizando una prueba semántica directa de su validez mediante la búsqueda de contraejemplos...”
(Johnson-Laird, P., 1998), en donde a través de los ciclos alcanza una representación mental más
cercana al modelo conceptual.
El hecho de ofrecer un curso de Física a través de la Modelación Matemática tiene ganancias
implícitas, pues trae consigo: el aprendizaje de modelación per se y la cobertura de contenidos
matemáticos (Biembenguth, M. & Bassanezi, R., 1997). Además está permitiéndose extender su
60
conocimiento a otras áreas extra-matemáticas, como es el caso de la Física. El proceso de
Modelación, “cuyo producto es un modelo matemático, generado de establecer una relación entre
alguna idea matemática y una situación real” (Blomhoj, M., 2004). Su estudio demanda pasar por
varias etapas: Formulación del Problema, Sistematización, Traducción a Lenguaje Matemático,
Uso de Métodos Matemáticos para concluir en un Modelo, Interpretación de los resultados y la
Evaluación de la Validez del Modelo. No se trata de un protocolo lineal, por el contrario puede
haber subrutinas que definan etapas cíclicas. Al respecto de estas etapas (Dillwyn, E., 2001)
sugiere una etapa última en donde se extienda un reporte de la investigación.
La primera etapa, Formulación del Problema, es muy importante pues se tiene que reconocer las
características del fenómeno y tomarlas como una realidad, que sería su realidad percibida. Esta
etapa puede mostrase por el profesor como una descripción textual o una simulación por
computadora del fenómeno. Suele tener estrecha relación con la siguiente etapa, de
Sistematización, dado que las principales características del fenómeno pasan a ser objetos
relevantes asignándoles una variable matemática y no se descarta regresar, una y otra vez, a la
formulación del problema para tener claridad del fenómeno que se pretende modelar.
Dentro de la etapa de Sistematización se establecen relaciones entre las variables seleccionadas y
se definen qué teorías extra-matemáticas exige el fenómeno de estudio. Una vez que se tiene el
problema sistematizado, en una siguiente etapa, todas las variables, teorías y principios integrados,
así como los parámetros y las constantes, son transformados a Lenguaje Matemático mediante
funciones de dos variables y objetos matemáticos. La etapa central, de Modelación (en este
contexto del QFB no es necesario aplicar métodos matemáticos como Elemento Finito,
Montecarlo, etc.) se logra aplicando inferencias o deducciones, cumplimiento de teorías
mecánicas, etc., por lo que se busca reinventar modelos matemáticos establecidos en algún periodo
61
de la física o en su caso asociar el fenómeno con un modelo ya existente y habrá que regresar a la
etapa de traducción a lenguaje matemático y hacer las inspecciones necesarias. El conocimiento
adquirido por la experiencia del fenómeno en la experimentación o simulación, otorga elementos
que pueden ser comparados con el modelo obtenido. Por último, con la Interpretación del Modelo
habrá que relacionarlo con los datos arrojados en el Planteamiento del Problema y de esta manera
Evaluar el Modelo; además el Modelo debe funcionar con variantes del fenómeno y en contextos
que se pudieran considerar predictivos o de interpolación o extrapolación, no solamente en el
contexto descriptivo del fenómeno.
METODOLOGÍA. De acuerdo a este panorama, se establece una propuesta para el abordaje de la
materia. Por principio ha sido diseñado un Manual de Trabajo Conceptual de la materia, el cual es
utilizado como bibliografía principal. El abordaje está basado en tres aspectos, las cuales pudieran
parecer etapas de un protocolo:
Proyección de una simulación representativa del fenómeno físico que se desea estudiar. En
alguno de los casos se pudiera proyecta un video real de una actividad experimental
ejecutada para tal situación.
Modelación matemática del fenómeno físico, por parte del alumno, buscando redescubrir
el conocimiento científico.
Validación del modelo mediante problemas que se le propongan al alumno y que sean
propios del contexto.
Estas tres etapas, son una agrupación de las propuestas por Blomhoj, centradas en la modelación.
Se sugiere se cubran en una sola sesión de dos o tres horas. El objetivo principal es la
conceptualización de la Física Moderna en un entorno experimental de simulación tecnológica con
el apoyo de la Modelación Matemática. Hoy en día se busca que lo experimental y teórico
coincidan. En la Física Moderna los contenidos matemáticos son en su mayoría de alto nivel y su
experimentación es también muy particular, está basada en observaciones indirectas, es decir no
ligadas directamente a los sentidos; en bastantes ocasiones es necesario apoyarse en matemáticas
complejas para poder acceder al conocimiento, situación que se convierte en un problema medular.
La alta carga de trabajo experimental del alumno en áreas como Biología, Química,
Instrumentación, etc. exige y define su perfil. Esto los habitúa a manejar instrumentación, tener
control de variables, relacionar resultados o parámetros. Contemplando este potencial
62
experimental, se suplen los equipos por la simulación computacional, en sus dos momentos:
Primero, la experimentación ejecutada originalmente en la vivencia del fenómeno, buscando sea
semejante a como se ejecutó, tal como una cámara de niebla, tubo de rayos catódicos, etc. Segundo,
dado que estos mismos fenómenos están implícitos en la tecnología de su desempeño, se les
presenta una simulación por computadora (o en su caso un equipo real como el espectrofotómetro),
que muestre la arquitectura y funcionamiento de la tecnología. Así que, los fenómenos de la física
se estudian a través de la tecnología original y de la tecnología de aplicación en el área de
desempeño del estudiante.
En la primera parte, de la simulación experimental, el alumno hace uso de su perfil para detectar
las variables y parámetros experimentales que intervienen en el fenómeno, tales como: masa de
una partícula, energía de un fotón, velocidad, etc. Con ello se busca, por ejemplo, que establezca
asociaciones, ecuaciones de equilibrio, para redescubrir un modelo matemático. (Gaisman, M.,
2009) dice que las actividades de modelación “exigen poner atención en patrones de
comportamiento, en relaciones entre variables”. En la segunda parte de la simulación, deberán
poder describir la arquitectura de la tecnología de que se trate, el funcionamiento de la misma,
haciendo hincapié en los momentos que se vinculan con los fenómenos de la física contemplados
en los momentos adecuados de la tecnología de contexto.
La formación bajo el concepto causa-efecto en un fenómeno real, permite identificar las variables
involucradas y todos los parámetros de un fenómeno; de todo ello se definen las variables ligadas
para que, en una matemática de dos variables, se establezca una relación de dependencia. De ser
el caso, la Variable Independiente será aquella que el usuario pueda manipular experimentalmente,
o el tiempo o una Variable Observable. El proceso de Modelación Matemática, le permitiría
formalizar las características del fenómeno a través de la imagen mental del alumno, permitiéndole
que describa verbalmente el desarrollo del fenómeno. Podráe apoyarse en matemáticas de dos
variables. Deberá ser capaz de representar este modelo en un registro gráfico, y con ello tener tres
registros diferentes del fenómeno: verbal, analítico y gráfico, además de interactuar entre los
mismos, (Duval, R., 1993). Con el modelo matemático, tomado así como una herramienta, podrá
pasar a su última etapa, a través de la cual pueda extrapolar las consecuencias de un cambio de
condiciones en el fenómeno. El alumno puede establecer grupos de trabajo de dos o tres elementos
y trabajar en colaboración a lo largo de todo el proceso, en consideración de los aprendizajes
Socioepistemológicos.
63
Un ejemplo de Modelación se presenta con el Fenómeno de “Producción y Aniquilación de Pares
de Partículas”. Formulación e Identificación del Problema. El profesor debe proponer el fenómeno
de estudio, describiendo históricamente su desarrollo, esto apoyándose en una simulación del
suceso experimental. El Fenómeno de Producción de Pares de Partículas se refiere a que, a partir
de un fotón gamma de alta energía, se genere un electrón y un positrón, cuando este interactúe con
el campo en las proximidades de un núcleo pesado. El positrón es una partícula que fue prevista
en un trabajo teórico de P. Dirac cuando analizaba la ecuación de energía de A. Einstein en 1928
y no fue hasta 1933 cuando C. Anderson la descubre accidentalmente en un experimento dentro
de una cámara de niebla, cuando investigaba los rayos cósmicos que se proyectaban sobre una
placa de plomo dentro de la cámara (Eisberg & Resnik; pg 68). Una simulación de este fenómeno
estará permitiendo que el alumno reviva lo que en su momento el hombre experimentó, dándole
de esta manera la oportunidad de hacer sus propias conjeturas y trazar sus propias premisas que le
permitan sistematizar el entorno del fenómeno. Esta partícula tiene vida media muy corta porque
rápidamente interactúa con un electrón desapareciendo ambas como materia y dándole lugar a un
par de fotones gamma (Feyman & Leighton, pg 18-8). Por mucho tiempo no se le dio al positrón
un uso cotidiano hasta la aparición de la tecnología PET (Positron Emission Tomography) que hoy
en día es tecnología de punta en la detección de órganos y células con alto metabolismo. Un video
y una simulación computarizada podría mostrar la arquitectura de esta tecnología, su
funcionamiento y relación que tiene con algunos fenómenos de la física; en la ocasión tendría que
dársele seguimiento al proceso que vive el positrón dentro del sistema PET y antes de, cuando es
preparado en núcleo radiactivo (F18) en un ciclotrón para posteriormente anidarlo en moléculas
de glucosa a través de un proceso químico hasta obtener el radiofármaco F18 Desoxiglucosa que
es introducido al torrente sanguíneo y llevado al órgano o células cancerígenas que exigen gran
demanda de glucosa. Una vez ahí, el átomo F18 emite un positrón de baja velocidad,
desacelerándose hasta formar una pareja de baja velocidad con un electrón; ambos se desintegran
y en su lugar se emite un par de fotones gamma sobre una misma línea pero en sentidos opuestos.
La Tecnología y Software adicional del PET se encargarán de detectar a estos fotones y valerse de
ellos para ubicar el lugar preciso en donde fueron generados estos fotones. Por ello esta tecnología
es utilizada como medio para precisar el lugar en donde se encuentra una comunidad de células
cancerígenas.
64
Con todo esto, el alumno puede tener los elementos necesarios para identificar el problema que se
le está planteando que sería suficiente para desarrollar el modelo matemático que rige la
producción de un par de partículas. Preguntas como ¿Qué elementos intervienen en la interacción
inicial? ¿Qué elementos hay después de la interacción? Indicaciones como ¡La Energía, la carga y
la materia se conservan! El alumno podrá asignarle variables a las características que poseen los
elementos que intervienen en la interacción y utilizar las leyes y principios de la física clásica,
como la conservación de la energía por ejemplo, y con ello hacer la construcción del modelo
matemático que rige al fenómeno, redescubriendo el concepto físico. El alumno podrá ver que
antes de la interacción solo existe el fotón gamma, un núcleo de plomo y después de la interacción
continúa el núcleo sin cambio alguno y el electrón más el positrón describiendo una traza
semejante a una V. El balance de energía, es clave para la modelación, pues se conserva para la
interacción:
De acuerdo a la mecánica cuántica y la mecánica relativista, la energía de estas partículas antes y
después de la interacción es descrita por la relación de conservación de la energía: ℎ𝜈+𝑀0𝑐2 =
(𝑚0𝑐2 + 𝐾𝑒) + (𝑚0𝑐2 + 𝐾𝑝)+𝑀0𝑐2
La energía del núcleo se mantiene invariable y la energía cinética del par de partículas es muy
similar entre sí; la energía del fotón se utiliza en crear las partículas e imprimirles una energía
cinética: ℎ𝜈 = (2𝑚0𝑐2 + 2𝐾𝑒)
En la etapa final del protocolo, este modelo puede revisarse y validarse a través de particularidades
del fenómeno, como ¿qué sucede si la energía cinética es próxima a cero? ¿Cuál debe ser la
longitud de onda mínima para que se produzca un par de partículas?
El fenómeno de aniquilación de estos pares de partículas es también una forma de validar el modelo
obtenido, determinando que la energía de los fotones gamma producidos en la aniquilación es igual
a la energía del fotón que formó al par de partículas electrón-positrón.
CONCLUSIONES. El presente artículo muestra una manera de cómo se estudian los fenómenos
físicos, la cual tiene las siguientes características: Se parte del apoyo de un manual conceptual; la
proyección de dos simulaciones por computadora en donde la primera es el experimento original
del fenómeno y la segunda de una tecnología de contexto en donde interviene el fenómeno de
estudio; en grupos de trabajo se induce a hacer la modelación matemática, no sin antes permitir
que el alumno construya una descripción textual del experimento; por ultimo debe validar sus
resultados con las características del fenómeno y con variantes o consecuencias del mismo.
65
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66
CB-216
A FORMAÇÃO DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA: UM RETRATO DA REGIÃO
DO MÉDIO ARAGUAIA MATO-GROSSENSE
Eliete Grasiela Both – Bruna Camila Both – Amanda Fariasde Souza – Beatriz da Silva Almeida
– Letícia da Silva Sousa
[email protected] –[email protected] – [email protected] –
[email protected] – [email protected]
Instituto Federal de Mato Grosso – Brasil
Núcleo temático: VIII. Historia social de la Educación Matemática en Iberoamérica.Modalidad:
Comunicación Breve (CB)
Nivel educativo: 7 – No específico
Palabras clave: Barra do Garças, História da formação docente, História Oral.
Resumo Este trabalho é um recorte de uma pesquisa desenvolvida, pelas autoras, no Instituto Federal de
Mato Grosso (IFMT), campus Barra do Garças, pesquisa esta que teve como objetivo a
investigação do processo de formação dos docentes de Matemática nesta região, no período que
circunda a implementação de um curso superior, em tal área, no município (o que se deu em
meados da década de 1980), pela Universidade Federal de Mato Grosso (UFMT). Então, neste
artigo, intencionamos apresentar alguns resultados que alcançamos. A pesquisa que deu origem
a esta produção se trata de uma pesquisa qualitativa, na qual utilizamos a metodologia da
História Oral, que consiste em cotejar fontes orais, por nós produzidas, com fontes escritas
disponíveis, para, assim, construir uma narrativa histórica acerca desse aspecto da Educação
Matemática na região de Barra do Garças. A UFMT, Instituto Universitário do Araguaia (Barra
do Garças e Pontal do Araguaia), foi e ainda é um importante (ou o mais importante) meio de
formação de professores na região, tendo sido a primeira instituição de nível superior a se instalar
nesse local.
Formação de professores de matemática na região do Médio Araguaia
Em Mato Grosso a formação de professores teve início bastante tarde, em comparação com outros estados
brasileiros, uma vez que a Escola Normal e a Campanha de Aperfeiçoamento e Difusão do Ensino Secundário (Cades)
eram as únicas responsáveis por ela, até 1966 (Both, 2014). Desse modo, aqueles que pretendessem uma formação
em nível universitário necessitavam ir a outras partes do Brasil para obtê-la. Também em Barra do Garças, antes da
instalação da Universidade Federal, conforme depoentes da pesquisa que coordenamos2 (a qual deu origem a este
2Projeto de pesquisa em nível de Iniciação Científica, aprovado no Edital 046/2015 da Pró Reitoria
de Pesquisa – Propes – do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso –
IFMT, e registrado sob o número 15046332-02, no mesmo departamento.
67
artigo), a formação docente ficava a cargo da Escola Normal,curso, em nível de magistério,que era ministrado pelas
freiras da congregação Salesiana, cujas aulas aconteciam no Instituto Madre Marta Cerutti, escola existente no
município até os dias de hoje.
Ainda conforme Both (2014), em julho de 1966, instalou-se na capital do estado, o Instituto
de Ciências e Letras de Cuiabá (ICLC), agregando a Faculdade de Ciências Econômicas, que havia
sido criada em 1965, e a Faculdade de Filosofia Ciências e Letras, fundada no início daquele
mesmo ano. O ICLC iniciou com a oferta de quatro cursos, todos voltados à formação de
professores: Matemática, Letras, História Natural e Geografia. Sendo, portanto, esta a primeira
instituição no estado a oferecer formação docente em Matemática em nível superior.
Em 10 de dezembro de 1970 foi fundada, em Cuiabá, a UFMT, a qual integrou a Faculdade de Direito e o
ICLC, que eram as duas únicas instituições a oferecer cursos superiores naquele município. Em relação à licenciatura
em Matemática, conforme dados da própria Universidade, UFMT (1974; 1985), esta iniciou em 1972, como
Licenciatura Plena, funcionando neste formato até 1974, tendo sido, nesse momento, transformada em Licenciatura
Curta em Ciências3, por meio da Resolução 82/74, do Conselho Diretor da UFMT (baseada, entre outros documentos,
na Resolução 30/744), com habilitações em Matemática, Biologia, Química e Física. Este modelo de licenciatura
permaneceu até 1985, tendo voltado, nesse ano, a ser uma Licenciatura Plena.
Durante o período de vigência das Licenciaturas Curtas, começou o movimento de
interiorização da Universidade Federal, cujo objetivo era expandir a formação docente, para que
tais professores pudessem atuar no cenário educacional mato-grossense, pois o estado possuía,
nessa época, grande carência de educadores com formações em áreas específicas de atuação. O
movimento ocorreu com a fundação de campi em cidades específicas, que possuíam destaque por
algum fator, no interior de Mato Grosso.
Um dos locais escolhidos foi o município de Barra do Garças, em que foi instituído, no ano
de 1981, um centro educacional, o qual, a priori, denominava-se Centro Pedagógico de Barra do
Garças, sendo depois chamado Centro de Ensino Superior do Médio Araguaia (Cesma),
3As Licenciaturas Curtas, durante seu período de vigência, eram cursos voltados à docência apenas
para o Ensino Fundamental II, na época Primeiro Grau, e duravam em torno de dois anos. Aos
professores que pretendessem lecionar no Ensino Médio, Segundo Grau no período, era exigida
uma das habilitações citadas anteriormente, as quais também duravam cerca de dois anos (UFMT,
1974). 4BRASIL (1974).
68
posteriormente Instituto de Ciências e Letras do Médio Araguaia (ICLMA) e atualmente Instituto
Universitário do Araguaia (UFMT, 2015).
Esse Centro Pedagógico teve início com uma sala de administração, que funcionava na
Câmara Municipal, e dois cursos noturnos, cujas aulas aconteciam na Escola Estadual Gaspar
Dutra. Depois, devido ao número de turmas aumentar, passou para uma escola maior, no bairro
Jardim Amazônia (popularmente conhecido como BNH), e utilizava a sede da Associação de
Bairros para administração, biblioteca e setores de gestão. Em tal período a Universidade chegou
a construir algumas salas na escola.
Posteriormente, a UFMT transferiu o setor administrativo para um mercado que se
encontrava desativado, naquele período, no município (cujo prédio a prefeitura havia recebido em
troca de impostos devidos).Em relação às aulas, estas passaram a ocorrer no espaço da Escola
Estadual João Batista, local onde a Universidade funcionou até a transferência para seu campus
definitivo, em 1989. Este foi construído no município de Torixoréu, porque a Universidade exigia
uma área de sessenta hectares, para a construção do campus e, naquele momento, a prefeitura de
Barra do Garças, que seria o polo escolhido pela UFMT, não conseguiu dispor de alguma área em
tal tamanho, que fosse próxima à sede do município.Os responsáveis locais pela Universidade
entraram, então, em contato com o município vizinho, Torixoréu, e o prefeito da época, Valdemar
Nogueira, dispôs a área para doação à UFMT, tal área era próxima à sede do município de Barra
do Garças,correspondia ao vilarejo de Pontal do Araguaia, atualmente emancipado, e conurbado à
Barra do Garças.
Quando o campus foi inaugurado contava com um número suficiente de salas de aulas e
laboratórios, para os cursos que estavam em exercício, além de ter salas específicas para os setores
administrativos e de gestão.
A criação do Centro Pedagógico de Barra do Garças foi regulamentada pela Resolução 13/81, do Conselho
Diretor da UFMT, sendo inicialmente instituídos, pelo artigo 4º da mesma resolução, três cursos: Licenciatura Curta
em Ciências, Licenciatura Plena em Letras, com habilitação em Língua Portuguesa, e Educação Física. No entanto, o
último não chegou a ser oferecido na época (UFMT, 1981), isto, conforme entrevistados da pesquisa que
coordenamos5, aconteceu pelo fato de não haver demanda suficiente para justificar o funcionamento do curso.
Conforme Both e Both (2016), as primeiras turmas de Licenciatura Curta em Ciências e Licenciatura Plena em Letras
iniciaram, de fato, em 1982.
5Idem nota de rodapé número 4.
69
O curso de Licenciatura Curta em Ciências teve ingressos, no polo de Barra do Garças, até
1987, momento em que foi convertido em duas Licenciaturas Plenas, uma em Matemática e outra
em Biologia (UFMT, 2015), tal conversão foi regulamentada pela Resolução 09/87 do Conselho
Diretor da UFMT. Desde então, foram realizados vestibulares para o curso de Matemática(UFMT,
1987). Cabe destacar que durante o movimento de transição entre as Licenciaturas Curta e Plena
(tanto na capital quanto no polo de Barra do Garças) os dois cursos existiam paralelamente, para
que os educandos que iniciaram o curso de Ciências tivessem a oportunidade de concluí-lo.Como
alternativa, àqueles alunos que estavam cursando Ciências e quisessem migrar para um dos dois
novos cursos, foi permitido fazê-lo sem precisar passar pelo processo de vestibular.
Quanto ao período de funcionamento do curso ser noturno, nossa pesquisa, Both et. al.
(2015), apurou que era devido a dois fatores preponderantes: a necessidade que os discentes tinham
de trabalhar durante o dia, portanto, sendo noturno havia demanda suficiente para o funcionamento
dos cursos, mas, também, pelo espaço físico disponível, inicialmente, ser de escolas que
funcionavam regularmente durante o dia e cediam seus espaços para as aulas da Universidade à
noite.
Quando a Licenciatura Plena em Matemática foi implantada no campus de Barra do Garças,
a matriz do curso precisou receber adaptações, porque o currículo da Licenciatura em Ciências não
satisfazia o novo curso. A nova matriz curricular foi implantada no ano de 1988, e era uma
adaptação das matrizes vigentes nos campi da UFMT de Rondonópolis e de Cuiabá, locais em que
o curso de Matemática já existia há mais tempo. O currículo passou por outras modificações,
infligidas pelos professores que atuavam no curso em Barra do Garças, ao final de 1990 e começo
de 1991, quando foram trocadas algumas disciplinas que vigoravam na grade por outras que não
eram contempladas.
Um professor da época, senhor Admur Severino Pamplona, destacou que o novo curso
(Licenciatura Plena em Matemática) precisava ensinar muitos conteúdos matemáticos, no entanto,
os professores sentiam necessidade de disciplinas voltadas à formação pedagógica em si, ou seja,
os discentes tinham acesso a muitos conhecimentos na área da Matemática Pura, sendo o curso
praticamente um bacharelado, porém, não recebiam, durante o curso, formação em questões
relativas ao exercício da docência, não aprendiam maneiras de ensinar os conteúdos matemáticos,
ou outras questões concernentes ao trabalho cotidiano de um professor. Assim, uma vez que as
disciplinas da área da Matemática não deveriam ser diminuídas, e os professores do curso sentiam
70
necessidade de uma formação mais pedagógica do futuro docente, foram extintas algumas
disciplinas de formação geral, tais como: Língua Portuguesa e Educação Física (que faziam parte
do currículo no período inicial do curso), priorizando-se disciplinas de cunho mais educacional.
Os docentes do curso de Matemática, da fase inicial, eram, predominantemente, de estados
mais avançados em caráter universitário, na época, como São Paulo, Goiás, Minas Gerais, entre
outros, ou de cidades maiores do próprio estado de Mato Grosso, como: Rondonópolis e Cuiabá,
pois naquela época, Barra do Garças não possuía um número suficiente de professores com
formação específica. Boa parte dos primeiros docentes veio trabalhar no curso assim que terminou
a graduação, alguns deles não eram matemáticos, mas sim engenheiros ou físicos. Houve, até
mesmo, nessa fase inicial, um discente do curso de Matemática que, por ser engenheiro formado,
foi convidado a ministrar algumas disciplinas no curso enquanto era aluno em outras.
Com relação ao período de criação dos primeiros cursos em nível superior, na região, cabe
ainda comentar sobre a procedência dos primeiros alunos, da Licenciatura em Matemática, e
destacar que, como ocorre até hoje nos cursos de licenciaturas, em geral, a grande maioria dos
discentes vinha da própria região, principalmente de Barra do Garças, Pontal do Araguaia,
municípios mato-grossenses, e Aragarças, em Goiás, que são cidades contíguas, às margens dos
rios Garças e Araguaia.
Devido à instalação definitiva da Universidade, em Barra do Garças, a formação de
professores de Matemática se estendeu a outras cidades da região, aprovando-se, pela Resolução
04/93, do Conselho de Ensino e Pesquisa – Consepe – da UFMT, o Projeto do Curso de
Licenciatura Plena em Matemática – modalidade Parcelada, no município de Água Boa (Figura
2). Tal curso ofertou cinquenta vagas, destinadas, exclusivamente, a profissionais engajados na
rede pública de ensino e ficou sob a responsabilidade do Instituto de Ciências e Letras do Médio
Araguaia (UFMT, 1993).
Figura 2. Municípios destaque na pesquisa proposta.
71
Fonte: Prandi(2013)6.
Ainda, em junho de 1994,houve outra alteração no currículo do curso de Matemática, o
qual passou do regime de créditos para o regime anual tendo ainda uma redução na carga horária,
de duas mil setecentas e doze horas para duas mil duzentas e oitenta e oito horas. No entanto, em
1996 o curso retomou a carga horária de duas mil setecentas e doze horas (UFMT, 1994; 1996).
Em 2003, o Conselho de Ensino e Pesquisa (Consepe - UFMT) aprovou a criação de uma
turma especial do curso de Licenciatura em Matemática, novamente no município de Água Boa,
tal curso contou com um currículo de três mil cento e sessenta horas e o ingresso dos alunos se deu
via vestibular, com oferta de 40 vagas, cujo único pré-requisito era ter o Ensino Médio concluído.
A carga horária foi dividida em semanas, ou seja, o curso obedecia ao formato modular (UFMT,
2003). Os alunos dessa turma foram, em sua grande maioria, pessoas de cidades do entorno do
município de Água Boa, entre os quais vinte e quatro se formaram, ao final do curso.
Portanto, na pesquisa que coordenamos, em nível de iniciação científica, nos voltamos a
estudar a formação de professores de Matemática na região de Barra do Garças, no período de
entorno da instalação de um campus da Universidade Federal, no local, o que aconteceu em 1981.
A partir desse estudo foi possível observar muitos pontos interessantes com relação à formação de
professores na localidade abordada, entre eles, quea UFMT foi pioneira em ofertar ensino superior
na região, iniciando com duas Licenciaturas, Plena em Letras e Curta em Ciências. Universidade
esta que foi, e ainda é, um importante meio de formação docente em uma região extremamente
carente disto, já realizando esse protagonismo há mais de 30 anos.
6Observação: Foram feitas pequenas alterações no mapa, no qual destacamos os municípios de
Cuiabá, Barra do Garças, Pontal do Araguaia e Água Boa e acrescentamos a legenda.
72
Referências bibliográficas
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Implantação da UFMT. Projeto de pesquisa aprovado no Edital 046/2015 (Pró Reitoria de
Pesquisa – Propes – do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Mato Grosso –
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73
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histórico. Recuperado em 12 abril, 2015, de http://araguaia.ufmt.br/?pg=historico.
74
CB-219
LITERACIA FINANCEIRA: CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO MATEMÁTICO
UMA EXPERIÊNCIA DE ENSINO COM ALUNOS DO 12º ANO DE ESCOLARIDADE
Alexandra Sofia Rodrigues1 – Corália Pimenta2
[email protected] – [email protected]
1. Instituto de Gouveia – Escola Profissional; UIED. Portugal
2. Instituto Educativo de Lordemão. Portugal
Núcleo temático: VI - As matemáticas e a sua integração com outras áreas
Modalidade: Comunicação Breve (CB)
Nível educativo: Terciário (16 a 18 anos)
Palavras chave: Educação Financeira, tarefa exploratória, construção do conhecimento.
Resumo A sociedade contemporânea tornou-se de tal forma exigente que um jovem que pretenda construir
uma vida social e profissional equilibrada tem que dominar um conjunto de conceitos e
procedimentos que lhe permita tomar decisões assertivas. Estes jovens, enquanto seres humanos
socialmente saudáveis, são também consumidores e, como tal, terão que estar preparados para
tomar decisões refletidas sobre as suas finanças pessoais. Como sabemos, com o desenvolvimento
tecnológico e com a oferta diversificada de produtos, incluindo os que nos chegam dos mercados
externos e que poderão ser adquiridos de formas distintas, aumentou a complexidade e a
abrangência dos conceitos e procedimentos a eles associados. Sendo a oferta comercial elevada
e o endividamento uma preocupação dos nossos tempos há que dotar os mais jovens de
conhecimentos de natureza económica que os preparem para avaliar a relação qualidade/preço
e os consciencialize da existência de formas de pagamento mais vantajosas e de riscos e
oportunidades financeiras (Ministério da Educação e Ciência, 2013).
1. Introdução
Atividades matemáticas enriquecedoras e motivantes para os alunos serão, naturalmente, as que se
encontram ajustadas à sua realidade económica, social e cultural e que proporcionam melhor
compreensão e aprendizagem da matemática (Gerdes, 2007). Esta perspetiva foi tida em
consideração para efetuar o estudo subjacente ao presente artigo, tendo-se aplicado três tarefas de
natureza exploratória ajustadas aos interesses e conhecimentos dos alunos. Com o estudo efetuado
pretendeu-se dar resposta à seguinte questão de investigação: Que conceitos, conhecimentos e
habilidades, referentes à Educação Financeira, são reconhecidas e mobilizadas pelos alunos para
construírem novo conhecimento matemático que contribua para o desenvolvimento da literacia
financeira? Realça-se a impossibilidade de apresentar neste artigo as três tarefas, face à limitação
75
do número de páginas definidas, e a opção de apresentar apenas alguns resultados referentes à
primeira, que julgamos serem suficientes para que o leitor adquira uma compreensão global dos
objetivos definidos e das conclusões registadas.
As tarefas foram aplicadas a dois grupos de alunos do 12.º ano de escolaridade, um do ensino
profissional e outro do ensino regular, no ano letivo 2016/2017. A sua implementação foi dirigida
pelas professoras, também investigadoras neste estudo, nas respetivas turmas, em contexto de sala
de aula. Na análise dos resultados usou-se o modelo teórico AiC, Abstract in Context, que adota a
ideia da matematização vertical e da interligação de ações epistémicas no desenvolvimento do
processo de abstração e na construção do novo conhecimento matemático (Dreyfus, 2012).
2. Revisão de Literatura
A crescente complexidade dos termos financeiros com que somos confrontados no nosso
quotidiano, muitas vezes associados a crises financeiras e económicas, acrescidas das
responsabilidades que nos são incumbidas, obrigam-nos a um entendimento dos significados que
lhes são atribuídos. Estes conceitos, que antes só faziam parte do léxico de especialistas, são
presença diária nos noticiários e ditam decisões políticas que conduzem a nossa vida. Constatando-
se a necessidade de munir o cidadão comum de conhecimento que lhe permita gerir o próprio
orçamento (Pinto & Domingos, 2015), entende-se necessário promover a literacia financeira dos
mais jovens. Em Portugal, o Referencial para a Educação Financeira foi aprovado em 2013 e
destina-se à formação básica (Educação Pré-Escolar e Ensino Básico), secundária (Ensino
Secundário) e à Educação e Formação de Adultos. A sua aplicação visa desenvolver a educação
financeira no âmbito: (1) da dimensão transversal da educação para a cidadania; (2) na gestão de
projetos e iniciativas que contribuam para a formação pessoal e social dos alunos.
O modelo teórico RBC (Dreyfus et al., 2001), que adota o conceito de abstração no sentido de
Davydov – de ascensão do abstrato ao concreto – e de organização vertical, permite analisar de
que forma os alunos constroem novos conhecimentos matemáticos e, neste caso particular,
averiguar que habilidades desenvolvem ao realizarem tarefas exploratórias que estimulem a
utilização de conceitos de natureza financeira. Ao referido modelo estão subjacentes as ações
epistémicas Recognizing, Building-with, Constructing e Consolidation que, interligadas,
contribuem para a construção do novo conhecimento. Recognizing refere-se à percepção que o
aluno deverá ter quanto à necessidade de adquirir conhecimentos prévios que lhe facultem a
76
resolução de novas situações problemáticas, ocorrendo quando ele reconhece que uma construção
específica do conhecimento anterior é relevante para o problema que está a resolver. Building-with
retrata a necessidade do aluno atingir determinado objetivo, selecionando estratégias, justificando
e apresentando soluções para o problema. Compreende a integração e combinação de construções
reconhecidas, a fim de se alcançar determinado objetivo e engloba a utilização de procedimentos
matemáticos que o aluno tenha reconhecido num contexto anterior. Construction é considerada a
ação central da abstração matemática que consiste na combinação e reorganização de construções
para produzir uma nova construção. Consolidation torna-se visível quando o aluno aplica uma
construção adquirida recentemente para alcançar uma nova construção.
3. Intervenção educativa e design de investigação
O estudo assumiu uma abordagem qualitativa e interpretativa (Bogdan & Biklen, 1994), atendendo
à natureza dos dados e ao significado das ações. Pretendia-se compreender como os alunos
constroem um novo conhecimento matemático, desenvolvendo a literacia financeira. Para a análise
dos dados utilizou-se o modelo RBC (Dreyfus et. al, 2001), procurando-se observar e descrever o
processo de abstração dos alunos durante a resolução das tarefas. As investigadoras conduziram o
estudo, descrevendo o desempenho dos alunos e a sua própria intervenção, interpretando os
resultados recolhidos de acordo com a sua experiência profissional, conhecimento e convicções.
3.1. Enquadramento e objetivos das tarefas
Todas as tarefas desenvolvidas pelas investigadoras com base no manual editado no Brasil
Educação Financeira nas escolas (CONEF, 2013) e aplicadas em contexto sala de aula
enquadram-se nas temáticas propostas no Referencial de Educação Financeira (2013). Através da
primeira tarefa – Viagem de finalistas – são trabalhadas as temáticas planeamento e gestão do
orçamento e poupança, para conduzir os alunos a: i) relacionar despesas e rendimentos, ii)
compreender a relevância do planeamento a médio e longo prazo e iii) compreender o significado
e a essência do conceito de poupança (Anexo I). A segunda tarefa – O emprego – pretendia que
os alunos analisassem três propostas de emprego em diferentes locais do país e que mobilizassem
conhecimentos com o objetivo de i) relacionar despesas e rendimentos, ii) evidenciar a relevância
do planeamento a médio e longo prazo e iii) saber que existem direitos e deveres relativamente às
questões financeiras (Anexo II). A terceira tarefa – Compra de carro – tinha como objetivos i)
relacionar despesas e rendimentos, ii) evidenciar a relevância do planeamento a médio e a longo
77
prazo, iii) caracterizar empréstimos, iv) caracterizar seguros, v) caracterizar necessidades e
capacidades financeiras, vi) entender as responsabilidades decorrentes do recurso ao crédito e vii)
saber que existem direitos e deveres relativamente às questões financeiras (Anexo III).
As tarefas foram aplicadas a alunos do décimo segundo ano, de duas escolas diferentes: a escola
A, correspondente ao ensino regular situada na periferia da cidade de Coimbra e a escola B, que
ministra o ensino profissional, designadamente o Curso Técnico de Restauração – variante
restaurante bar, localizada no interior centro do país. Na turma do ensino regular, constituída por
vinte alunos com idades compreendidas entre os 17 e os 19 anos, colaboraram 10 alunos. Na turma
do ensino profissional, constituída por vinte alunos com idades compreendidas entre os 16 e os 22
anos, colaboraram 8 alunos. Os alunos empenharam-se nas tarefas propostas, desenvolvendo o seu
trabalho em pares ou grupos de trabalho constituídos por três elementos.
No início da aula, as tarefas foram apresentadas oralmente, para cada uma das turmas, procedendo-
se ao esclarecimento de dúvidas de interpretação que pudessem colocar em causa o desempenho
dos alunos. Depois de apresentadas foram distribuídas em suporte papel, tendo-se dado a
possibilidade aos alunos de as resolverem no suporte apresentado ou através de editores de texto
e/ou cálculo. A calculadora foi igualmente permitida. Durante a resolução das tarefas privilegiou-
se a partilha e discussão nos grupos de trabalho, visando as características atribuídas ao trabalho
exploratório, sendo que a apresentação dos resultados obtidos com a resolução da primeira tarefa
– Viagem de finalistas – foram alargados a toda a turma, contribuído para diversificar e consolidar
novos conceitos e procedimentos matemáticos. No que respeita ao papel reservado às professoras
durante a resolução das tarefas, realçam-se os associados à motivação e ao esclarecimento de
dúvidas.
3.2. Apresentação da tarefa Viagem de finalistas e recolha de dados
Os alunos são incentivados a orçamentar uma viagem de finalistas, solicitando-se que cumpram
os seguintes objetivos: 1) apresentar o destino escolhido e a duração da viagem; 2) definir as datas
da estadia, tendo em consideração as despesas associadas; 3) elaborar um orçamento tomando
como referência a participação de 10 alunos e tendo em consideração todos os custos associados e
eventuais imprevistos; 4) definir estratégias para angariar dinheiro e 5) conjeturar qual o valor de
poupança mensal que cada um dos alunos deverá fazer.
78
Para a recolha e análise de dados recorreu-se a uma observação direta e participante das autoras
deste artigo. Esta concretizou-se através da observação e do diálogo mantido com os alunos no seu
ambiente natural – observação participante – tendo-se procurado registar nos diários de bordo das
investigadoras aspetos relacionados com o comportamento, postura e desempenho dos alunos e
das professoras durante a resolução e discussão das tarefas. Os registos escritos dos alunos foram
recolhidos e analisados.
4. Resultados
Os resultados surgem da análise dos registos escritos dos alunos e do desempenho por eles
evidenciado. Destaca-se que a ideia concebida inicialmente pela globalidade dos alunos, de que o
desafio lançado pelas professoras seria fácil e rapidamente resolvido, esta dissipou-se quando esses
se depararam com a necessidade de desenvolverem um orçamento exequível com as suas
possibilidades económicas. A seleção prematura do destino da viagem foi, por esse motivo,
abandonada por alguns dos grupos. Como tal, opções relacionadas com países ou cidades com
elevado custo de vida, hotéis e bens de luxo, foram sendo gradualmente substituídas por outras
portuguesas ou de países vizinhos. Alguns grupos decidiram-se pela estadia em Portugal, em
parques de campismo e em apartamentos alugados, pensando em economizar, sobretudo no
alojamento, nas deslocações e na alimentação. Outros optaram por visitas culturais, selecionando
Paris, Marselha, Madrid, Barcelona e Amesterdão tendo em consideração as promoções que
surgiam no momento das suas pesquisas.
As tabelas seguintes apresentam sucintamente as escolhas dos alunos das duas escolas:
Tabela 4.1. – Opções dos alunos da Escola A
Escola A
Grupos MP JE GGM NPJ
Destino da Viagem Barcelona Madrid Amesterdão Algarve
Duração da Viagem 6 dias 4 dias 8 dias 8 dias
Calendarização 29/3 a 3/4 27/2 a 2/3 23/7 a 29/7 23/7 a 29/7
Tipologia do Alojamento Apartamento Aparthotel Aparthotel Apartamento
Tabela 4.2. – Opções dos alunos da Escola B
Escola B
79
Grupos LM SL JD M
Destino da Viagem Barcelona Paris Marselha Amesterdão
Duração da Viagem 4 dias 4 dias 8 dias 4 dias
Calendarização 18/4 a 21/4 27/2 a 2/3 23/7 a 29/7 31/3 a 03/4
Tipologia do Alojamento Residência Aparthotel Aparthotel Hotel
Os dados apresentados nas tabelas anteriores deixam transparecer algumas semelhanças nas
opções tomadas pelos alunos. Apesar das diferenças socioeconómicas, menos favoráveis para os
alunos da escola B, a globalidade mostrou interesse em visitar capitais europeias, parecendo
também pesar nas suas escolhas a vertente cultural. Pela natureza das opções selecionadas pelos
grupos MP, da escola A, e LM, da escola B, bem como pelos resultados por eles apresentados e,
tendo em consideração a limitação associada a este artigo, serão apenas apresentados resultados
respeitantes a estes dois grupos.
Ambos os grupos recorreram a sítios na internet (booking, e-dreams, agências de viagens, entre
outros) mas mostraram ter dificuldade em recolher a informação que precisavam, sendo necessária
a intervenção das professoras. Relativamente às opções tomadas pelos alunos quanto a
calendarização da viagem há a realçar que, depois de analisadas várias situações, o grupo MP da
escola A concluiu que tendo em consideração a época de exames, o interesse em usufruir de uma
temperatura amena e da época baixa de preços, deveriam viajar entre 29 de março e 3 de abril.
Para o grupo LM, a escolha da data entre 18 e 24 de abril foi feita por forma a antecipar o início
da Formação em Contexto de Trabalho. O enquadramento da viagem nos calendários das turmas
e a flexibilidade evidenciada pelos dois grupos para minimizar os cursos da viagem evidencia o
reconhecimento dos constrangimentos a que estavam sujeitos (Reconizing). Nesta situação, os
alunos evidenciaram conseguir aplicar os dados recolhidos para maximizar o tempo da viagem,
tendo em consideração o menor custo possível, começando a dar resposta ao pedido de elaboração
de orçamento (Building with). Os resultados apresentados revelam progressiva compreensão do
conceito de poupança, para além de projetarem a relação que os alunos vão conseguindo fazer
entre a quantia que possuem e as escolhas que podem fazer.
O par MP, da Escola A, apresentou um orçamento de 3.785,00€, recorrendo a uma folha de cálculo
no Excel, englobando de forma detalhada os custos de transporte, refeições, alojamento e visitas a
espaços culturais (Fundação Miró e Sagrada Família). Por sua vez, o grupo LM, da Escola B,
utilizou o processador de texto, apresentando o orçamento de 2.339,59€ destinados a transporte,
80
alojamento, alimentação e destinando 810,00€ para atividades que incluem a visita à Sagrada
Família, Casa Batló, Parque Guell e Povo Espanhol.
Uma parte crucial da atividade foi a análise das estratégias dos alunos para a angariação de fundos
suficientes para custear a viagem de finalistas (Bulding-with). O grupo da escola A (MP)
sistematizou a poupança na tabela que se segue, onde está refletida uma maior quantia de poupança
no mês de dezembro, que foi pelos alunos associada às ofertas que recebem na época natalícia.
Tabela 4.3. – Angariação de fundos para a viagem (Escola A)
Recorrendo à calculadora do telemóvel, o grupo da escola B (LM) optou por apresentar um
orçamento de recolha de fundos, com as estratégias encontradas para custear a viagem, onde está
presente a ação epistémica Bulding-with, revelando por parte dos alunos habilidades para
relacionarem custos e fundos e gestão de bens de acordo com as suas possibilidades.
Figura 4.1. – Recolha de fundos (Escola B)
Setembro Outubro Novembro Dezembro Janeiro Fevereiro Total
Rifas Individual 20 20 20 20 20 20 120
Grupo 200 200 200 200 200 200 1200
Vendas Grupo 200 200 200 200 200 200 1200
Ofertas Individual 100 50
Grupo 1000 1000
Quantia angariada pelo grupo de 10 alunos: 3400
81
A construção (Construction) terá apenas ocorrido quando os alunos da escola A apresentaram o
orçamento completo, no valor de 378,50€, custo individual, e 3.785,00€, custo grupo. Porém,
realça-se o facto de a despesa apresentada ser superior à receita obtida, pelo que se entende que a
construção foi parcialmente alcançada. Quando confrontados com essa diferença, os alunos
referiram que o valor em falta seria suportado por cada aluno, individualmente, opção que não se
pretendia ser tomada na elaboração deste orçamento.
Considerações finais
Os resultados registados revelam a mobilização de conhecimentos adquiridos anteriormente na
aula de Matemática e em contextos não formais para a resolução e interpretação de problemas
financeiros. As atividades aplicadas proporcionaram momentos em que os alunos assumiram um
papel ativo no seu próprio processo de aprendizagem, nomeadamente no âmbito da discussão de
pontos de vista em grande grupo e na percepção que existe mais do que uma resposta para o mesmo
problema, valorizando-se a importância da tomada de decisões assertivas e justificadas.
Os resultados obtidos sugerem que os alunos revelam interesse pela resolução de tarefas associadas
a esta temática, revelando, porém, desconhecimento acerca de conceitos e procedimentos
utilizados no planeamento e gestão de recursos financeiros. Mostram muito interesse por
desenvolver competências que os preparem melhor para compreender o seu quotidiano.
Referências bibliográficas
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Gerdes, P. (2007). Etnomatemática – Reflexões sobre a Matemática e a Diversidade Cultural.
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In Atas do 2º Seminário de Investigação em Educação Financeira Escolar e Educação Matemática,
pp. 121. Lisboa: Universidade Nova de Lisboa, Faculdade de Ciências e Tecnologia; Unidade de
Investigação e Desenvolvimento.
82
Anexo I
Tarefa – Viagem de Finalistas Temas
Planeamento e gestão do orçamento Poupança
Objetivos Relacionar despesas e rendimentos Evidenciar a relevância do planeamento a médio e longo prazo Saber o que é a poupança e quais os seus objetivos
Estás no último ano do ensino secundário. No próximo ano poderás optar por integrar o mercado de trabalho ou prosseguir estudos no ensino superior. Habitualmente, os alunos do 12.º ano costumam planear uma viagem de finalistas.
Propomos-te que, em grupo de dois ou três elementos, planifiques uma viagem de finalistas fictícia. Para tal, procura dar resposta à seguinte sequência:
1) Decidir para onde ir;
2) Selecionar a duração da viagem e as datas;
3) Definir um programa para as datas da estadia, visando orçamentar cuidadosamente as despesas.
4) Elaborar um orçamento (supõe que participarão na viagem 10 alunos).
Será necessário determinar as despesas da viagem, fazendo uma estimativa de quanto se gasta, quando, em que produto, e eventualmente onde.
Será importante contemplar algum dinheiro para despesas imprevistas (poderá ser necessário apanhar um táxi, ir a uma consulta médica, etc).
Nota: Um orçamento pessoal ou familiar é uma tabela em que de um lado estão as despesas (“gastos”) e do outro lado as receitas (“ganhos”).
5) Definir estratégias para angariar dinheiro para a viagem de finalistas.
6) Conjeturar qual o valor da poupança mensal que cada um dos alunos terá que fazer.
Bom trabalho!
Alexandra Rodrigues & Corália Pimenta
83
Anexo II
Tarefa – O emprego Temas
Planeamento e gestão do orçamento Direitos e deveres
Objetivos Relacionar despesas e rendimentos Evidenciar a relevância do planeamento a médio e a longo prazo Saber que existem direitos e deveres relativamente às questões financeiras
Supõe que após terminares o ensino secundário surgem-te, na mesma semana, três propostas de emprego, as quais passamos a apresentar:
1) Emprego na área de residência
Horário Salário base Subsídio Natal Subsídio Férias Subsídio
Refeição (dia) Bónus Salário ilíquido
40 horas (turnos)
530,00€ 44,17€ 44,17€ 4,27€ --- 712,28€
Recebe duodécimos por inteiro. Mês de 22 dias.
2) Emprego em Leiria (centro da cidade)
Horário Salário base Subsídio Natal Subsídio Férias Subsídio
Refeição (dia) Bónus (hora) Salário ilíquido
40 horas (11h30 – 15h00 19h00 – 23h30)
749,00€ 44,17€ 44,17€ Em género 3€ 793,17€
Recebe mensalmente 50% dos duodécimos. Mês de 22 dias. Horário noturno (entre 23h00 e 02h00), valor indicado em bónus.
3) Emprego em Lisboa (na zona do Saldanha)
Horário Salário base Subsídio Natal Subsídio Férias Subsídio
Refeição (dia) Bónus Salário ilíquido
40 horas (06h00 – 14h00)
1000,00€ 83,33€ 83,33€ 4,27€ --- 1083,33€
Recebe mensalmente 50% dos duodécimos. Mês de 22 dias.
Procura dar resposta à seguinte questão:
Qual é o emprego que melhor se ajusta à minha situação pessoal? Nota: procura seguir as orientações que se encontram no verso desta página.
Bom trabalho!
Alexandra Rodrigues & Corália Pimenta
84
Anexo III
Tarefa – Compra de automóvel Temas
Planeamento e gestão do orçamento. Sistema e produtos financeiros. Crédito. Direitos e deveres.
Objetivos Relacionar despesas e rendimentos Evidenciar a relevância do planeamento a médio e a longo prazo. Caracterizar empréstimos. Caracterizar seguros. Caracterizar necessidades e capacidades financeiras. Entender as responsabilidades decorrentes do recurso ao crédito. Saber que existem direitos e deveres relativamente às questões financeiras
Partindo do pressuposto que podes optar por entrar no mercado de trabalho ou enveredar por prosseguir estudos no ensino superior. No teu futuro próximo poderás necessitar de adquirir uma viatura para as deslocações necessárias no teu quotidiano.
Propomos-te que simules a compra de um automóvel novo ou usado, de acordo com a tua disponibilidade financeira.
1) Escolhe o automóvel e verifica qual o preço. Podes usar um site de uma marca automóvel ou um site de venda de usados, como o stand virtual.
2) Vê qual a melhor estratégia para a compra da viatura: crédito automóvel, leasing, ALD ou a pronto pagamento. Consulta sites de entidades bancárias para simulares a renda/prestação mensal.
3) Indica um orçamento mensal, do teu rendimento, que te permitisse adquiri o automóvel. 4) Escolhe o seguro num simulador. Vê o valor do seguro anual. Vais optar por um seguro de danos
próprios ou de um seguro contra terceiros? Conheces as diferenças entre os dois?
Qual é o automóvel que se ajusta melhor à minha situação pessoal?
Nota: consulta a informação de tipos de créditos no verso desta página.
Bom trabalho!
Alexandra Rodrigues & Corália Pimenta
85
CB-223
OPTIMIZACIONES EN UNA EMPRESA JUSTIFICADAS POR EL ANÁLISIS
MARGINAL
Rodríguez, María Rosa(1) - Franco, Sandra Noemí(1) - Gustavo Ariel Sota(1)
[email protected] – [email protected] - , [email protected] (1)Facultad de Ciencias Económicas – Universidad Nacional de Tucumán – Argentina
Núcleo Temático: VI. Matemáticas y su Integración con otras Áreas
Nivel: No Específico (Universitario)
Modalidad: Comunicación Breve (CB)
Palabras Claves: Modelos Matemáticos, Beneficios, Análisis Marginal, Mark up
Resumen En un fenómeno económico es imprescindible definir las relaciones entre las variables
involucradas, formulando modelos matemáticos que describen con precisión una realidad social.
La modelización matemática explica estos sucesos económicos y aporta la estructura necesaria
para obtener predicciones válidas. El Análisis Marginal, teoría basada en modelos matemáticos,
es una herramienta útil para tomar decisiones vinculadas con la formación de costos y precios,
conceptos fundamentales para optimizar el beneficio de una empresa.
El objetivo de este trabajo es mostrar la importancia del Análisis Marginal en la optimización del
beneficio de una empresa frente a cambios en los costos variables unitarios, o en el incremento
de las ventas debido a la disminución de los márgenes de marcación o Mark Up. En el primer
caso el aumento en los costos variables unitarios puede deberse a incrementos en los incentivos a
la producción y en el segundo, la empresa lograría aumentar sus ventas si aplica rebajas
sistemáticas de precios. Este análisis fue verificado en situaciones reales, solicitadas por dos
empresas de la provincia de Tucumán, Argentina. Esta ponencia proporciona a los docentes del
área Economía una modelización accesible aportando valiosa información y promoviendo
importantes decisiones, de manera rápida y precisa.
1.- Introducción
La Matemática es una herramienta fundamental en las Ciencias Económicas porque necesita
definir las variables de interés en cada problema; establecer las hipótesis sobre sus
comportamientos y determinar las relaciones entre ellas. El lenguaje matemático explica los
fenómenos económicos y formula modelos que interpretan la realidad social. Estos modelos
aportan la estructura conceptual necesaria para obtener predicciones válidas. Cuanto más precisas
sean las posibilidades de medir las variables de interés mayor será su contenido matemático. Todo
quehacer económico requiere el uso de algoritmos, procesos lógicos, estimación de resultados,
construcción de modelos matemáticos y utilización de procedimientos del cálculo.
86
El Análisis Marginal, teoría basada en modelos matemáticos, es una herramienta fundamental para
optimizar el beneficio de una empresa vinculado con la toma de decisiones en la formación de
costos y precios. Estudia la generación de utilidades en una empresa, en función de los aportes
individuales de cada producto tangible o intangible (servicio) elaborado y vendido. Además,
modela situaciones sobre los diferentes niveles de producción que persigue el empresario a fin de
lograr mayor rentabilidad en función del capital invertido. Dichas decisiones serán racionales y
convenientes sólo si el beneficio excede el costo adicional de hacerlo.
El objetivo de este trabajo es mostrar la importancia del Análisis Marginal en la optimización del
beneficio de una empresa, frente a cambios en los costos variables unitarios o en el incremento de
las ventas debido a la disminución de los márgenes de marcación o Mark Up.
Con este trabajo se procura dar sentido y contextualizar los conceptos, a través de modelos
matemáticos que aportan valiosa información y conducen de manera rápida y precisa a importantes
decisiones e interpretaciones económicas.
2.- Conceptos Económicos Elementales
Toda empresa tendrá una serie de costos fijos y de costos variables. Incluso algunos costos que
son fijos para una, pueden ser variables para otra y viceversa.
1. Costos Fijos, Constantes o Estructurales: son los costos totales que se mantienen cuasi
constantes ante cambios en el nivel de actividad. No dependen del nivel de producción y/o ventas
de la empresa y son independientes del volumen del negocio.
2. Costos Variables: son los que aumentan o disminuyen frente a cambios en el nivel de
actividad. Dependen del volumen de producción y/o ventas de la compañía. Si la producción fuera
nula, estos costos serían prácticamente cero.
Esta clasificación de los costos no es absoluta. Algunos se mantienen constantes y otros
experimentan modificaciones al pasar de un nivel de producción a otro.
El costo total es la suma del costo fijo total más el costo variable total y se expresa:
CT = CF + cv . Q donde el costo variable total es el producto entre el costo variable unitario
(cv) y la cantidad producida (Q).
Los empresarios adoptan las decisiones más ventajosas para lograr mayor beneficio, utilidad o
renta. El costo-beneficio es una técnica importante dentro de la teoría de decisión, basada en el
principio de obtener los mejores resultados al menor esfuerzo invertido. Si los beneficios superan
el costo son exitosos, caso contrario fracasan. Además, es útil en el análisis de las ventajas de un
87
proyecto de inversión. El proyecto puede consistir en el desarrollo de nuevos productos o cambios en los
niveles de producción de un negocio.
El beneficio o utilidad es: B = I – CT donde el ingreso I es la cantidad que recibe por venta
de productos o servicios. Si pv es el precio de venta unitario:
B = pv . Q – (CF + cv . Q) B = (pv – cv) . Q - CF
Se recurre al Análisis Marginal cuando se presentan modificaciones en los costos fijos, en los
costos variables unitarios o en los precios de venta. O sea, cuando cambia alguno de los términos
del beneficio y la nueva utilidad supere el costo añadido.
El factor cm = pv – cv recibe el nombre de contribución marginal unitaria de un producto y
muestra el modo en que contribuyen los precios de los productos o servicios para cubrir los costos
fijos y generar utilidad.
El producto de la contribución marginal unitaria por el número de unidades producidas o vendidas
da la contribución marginal total (CM) del producto. Como B = cm . Q – CF entonces B = CM
– CF y se pueden dar las siguientes alternativas:
1. Si la contribución marginal total absorbe el costo fijo, deja un "margen" para la utilidad o
beneficio. CM > CF B > 0
2. Cuando la contribución marginal total es igual al costo fijo, no deja ganancia y la empresa está
en su punto de equilibrio. CM = CF B = 0
3. Cuando la contribución marginal total no alcanza a cubrir los costos fijos, la empresa puede
seguir trabajando a corto plazo ya que la contribución marginal absorbe parte de los costos fijos.
CM<CF Hay Pérdida
4. La situación más crítica se da cuando la contribución marginal unitaria es negativa. En este caso
extremo, se debe tomar la decisión de no continuar con la elaboración de un producto o servicio.
cm < 0 o sea pv < cv
El concepto de contribución marginal es muy importante en las decisiones de mantener, retirar o
incorporar nuevos productos de una empresa, por la incidencia que tienen en la absorción de los
costos fijos y la capacidad de generar utilidades. Es importante relacionar la contribución marginal
unitaria de cada artículo con las cantidades vendidas porque una empresa puede tener productos
de alta rotación con baja contribución marginal, pero la ganancia total que genera supera
ampliamente la de otros artículos que tienen mayor contribución marginal unitaria pero menor
venta y menor ganancia total.
88
Si no se modifican los costos fijos, pueden sufrir cambio alguno de los otros parámetros. Estos
cambios se producirían en los costos variables unitarios o en los precios de venta unitarios y el
estudio se reduce a las modificaciones en la contribución marginal unitaria. La disminución de cm
surge cuando aumentan los costos variables unitarios o reducen los precios de venta, que afectan
a toda la actividad o por tramos.
El aumento en los costos variables unitarios puede deberse a incrementos en el costo de incentivos
a la producción. Una disminución de los precios de venta puede deberse a ofertas justificadas por
rebajas sistemáticas o a compras en grandes cantidades. Existen diversos argumentos que originan
una disminución en la contribución marginal unitaria.
Las modificaciones pueden afectar a toda la actividad con la misma magnitud o bien afectar a
distintos tramos de la actividad con magnitudes diferentes para cada tramo.
3.- Aplicaciones
Como parte de la investigación, se realizó una consulta entre varias empresas de Tucumán,
interesadas en realizar cambios en la estructura de sus productos. En este trabajo se consideraron
dos situaciones distintas. En el primer caso el aumento en los costos variables unitarios se debe a
incrementos en los incentivos a la producción y en el segundo, el aumento de sus ventas se debe a
las rebajas sistemáticas de precios. Estos análisis fueron aplicados en dos empresas de la provincia
de Tucumán, Argentina.
3. 1.- Decisiones en una Fábrica de Cosméticos
Una fábrica de cosméticos de la provincia de Tucumán nos consultó sobre la toma de decisiones
en la producción de una máscara de pestañas cuando varía el costo variable unitario debido a
diversos incentivos a sus operarios, manteniéndose fijo el precio de venta. En este caso las
contribuciones marginales decrecen.
Según la información aportada por sus directivos, los costos fijos son de $70.000 mensuales y el
precio de venta de su producción es de $250 cada unidad. El costo variable unitario se compone
de $100 de materia prima más un incentivo a la producción cuyo valor por unidad producida
aumenta de a $20 cada vez que son superadas las 400, 700 y las 1000 unidades.
Cuadro Nº1 – Comportamiento de los Parámetros frente a Cambios en la Contribución
Marginal
Tramos Unidades Costos Variables
89
Desde Hasta Materia
Prima Incentivo
Total
(cv)
Precio de
Venta (pv)
Contribució
n marginal
(cm)
1 1 400 100 20 120 250 130
2 401 700 100 40 140 250 110
3 701 1000 100 60 160 250 90
Como el pv no experimenta cambios y los cv aumentan entonces las cm decrecen.
El concepto económico que prima es el de Punto de Equilibrio (o punto muerto o punto de ruptura)
que es el nivel de actividad en el cual la empresa no tiene beneficios ni pérdidas.
Para determinar si se puede lograr beneficio en cada tramo, se calculan los Puntos de Equilibrio
en cada uno:
1
Q 539130
70000 2Q 636
110
70000
3Q 778
90
70000
El Punto de Equilibrio del primer tramo corresponde a 539 unidades, esto no es posible porque la
cm ya no es de $130 sino sólo de $110. En el segundo tramo es de 636 unidades que corresponde
a la cm de $110; por lo tanto este Punto de Equilibrio existe en la realidad de la empresa. En el
último tramo, el Punto de Equilibrio es de 778 unidades y también es un dato real porque la cm es
realmente de $90. Por lo tanto, la empresa no puede operar en el primer tramo porque sólo
obtendría quebrantos, mientras que en los siguientes tramos el beneficio sí es posible.
En el segundo tramo el máximo nivel es de 700 unidades con una contribución marginal unitaria
de $110 por lo tanto su beneficio es: B2 = 700 * 110 – 70000 = $7000
Para conocer el beneficio de la empresa en el tercer tramo se recurre a la expresión cm
CFBQ
donde varía la contribución marginal unitaria sin modificarse el costo fijo. Por lo tanto
3
2
cm
CFBQ
3n
856
90
700007000
Convendrá aumentar la actividad para pasar al tercer tramo si se pueden superar las 856 unidades
de máscara de pestañas.
3. 2.- Rebaja del Precio de Venta por Margen de Marcación (Mark up)
Margen o Márgenes son palabras relacionadas con el concepto de ganancia en la venta de
productos. El más sencillo es el margen de marcación o Mark Up, que es una estrategia de fijación
y ajuste de precios.
90
Un negocio de marroquinería que vende carteras para damas analiza la posibilidad de generar más
ventas con mayor rentabilidad. Piensa que lo lograría si aplica rebajas sistemáticas de sus precios,
resultando un caso de contribuciones marginales decrecientes por tramos.
Sus dueños nos informaron que actualmente sus costos fijos mensuales son de $200.000. Su
margen de marcación sobre los costos de adquisición es del 100% y su venta total mensual asciende
a $500.000. Algunos estudios de mercado le permitieron estimar las siguientes posibilidades: si se
disminuye el margen al 90% podría aumentar sus ventas a $ 600.000; si disminuye al 80%, podría
aumentar a $700.000. Nos solicitaron asesoramiento sobre la política más conveniente.
Cuadro Nº2 – Comportamiento de las Ventas frente a Cambios en los Mark Up
Tramos Ventas en Términos Monetarios ($)
Mark Up (%) Desde Hasta
1 1 500.000 1.00
2 500.001 600.000 0.90
3 600.001 700.000 0.80
Para obtener el precio de venta, al costo se le agrega el margen pv = cv (1 + m) donde m=
margen de marcación. Luego m1cv
pv (1)
Es importante considerar el Punto de Equilibrio, para determinar la cantidad de productos o
servicios que se deben comercializar para cubrir o igualar a los costos fijos. Se los calcula
considerando los mark up y los costos de adquisición.
B = cm . Q – CF con B = 0 entonces CF = cm . Q
Se sabe que cm = pv – cv entonces (1) )m1(cmcmcv
pv
Luego pv )m1(cm)cv
cvpv(
y pv )m1(cm)1
cv
pv(
Así pv . m = cm (m + 1) luego cm.m
1mpv
Multiplicando por la cantidad Q, resulta Q.cm.m
1mQ.pv
91
Por lo tanto el ingreso I que recibe una empresa por venta de productos o servicios se expresa por
I = m
1mCF que es el Punto de Equilibrio en términos monetarios con margen de marcación,
donde I: Ventas, CF: Costos Fijos y m: margen de marcación o mark up.
El Punto de Equilibrio en el primer tramo es 1
2.200000I1 = 400.000
El Beneficio Máximo del primer tramo: m1
m.TramoimerPrMáxVentasB1
- CF
Y resulta 2
1.500000B1 - 200000 = 50.000
Otro concepto necesario es el de Punto de Resultado Indiferente que son las ventas necesarias en
el tramo siguiente que representa el nivel de actividad que arroja un beneficio igual al que se
consigue usando al máximo la capacidad de la estructura anterior.
El Punto de Resultado Indiferente se calcula usando la fórmula del Punto de Equilibrio, donde se
suma a los Costos Fijos el Beneficio Máximo del tramo anterior:
El Punto de Resultado Indiferente del segundo tramo es m
)m1()BCF(I 1
2
Y resulta 90.0
90.1)50000200000(I2
= 527.778
El Beneficio máximo en el segundo tramo: 90.1
90.0.600000B2 - 200000 = 84.211
El Punto de Res. Indiferente en el tercer tramo: 80.0
80.1)84211200000(I3
= 639.474
El Beneficio máximo en el tercer tramo: 80.1
80.0.700000B3 - 200000 = 111.111
Puede operar con beneficios a partir de $400.000 de ventas, situación que es posible dentro del
primer tramo.
Si el estudio de mercado es acertado, la alternativa de vender rebajando el margen al 90% en el
segundo tramo, es conveniente superar los $527.778 de ventas. Pues, a menores niveles el
beneficio es menor que el que se obtiene operando al máximo en el tramo anterior. Análogamente,
para que sea conveniente disminuir el margen al 80% se debe conseguir un nivel de ventas que
supere $639.474.
4.- Conclusiones
92
Cuando varía la contribución marginal unitaria en la empresa de cosméticos, se calculan los puntos
de equilibrio y el posible beneficio en cada tramo para examinar la conveniencia del aumento de
la actividad. En el primer tramo la empresa tiene pérdidas y no le conviene operar; mientras que,
en los dos siguientes sí logra beneficios que son considerados para decidir la producción que se
necesita para alcanzar la máxima utilidad.
El Mark Up es un caso de contribuciones marginales decrecientes por tramos porque la empresa
hace un estudio de mercado que le permite estimar cuánto podrían aumentar sus ventas si aplica
rebajas sistemáticas de precios.
Estos modelos con formulaciones algebraicas aportan una valiosa información, que lleva a
importantes decisiones e interpretaciones económicas. También, muestran la significación y
utilidad para el empresario, permitiéndole evaluar el impacto económico de sus decisiones, de
manera rápida y precisa. El objetivo fundamental de todo empresario es lograr mayor rentabilidad
en función del capital invertido.
El Análisis Marginal es una herramienta muy útil para la toma de decisiones en el ámbito
empresarial, tanto en el caso de producción simple como de producción múltiple. También estudia
los casos de modificaciones en la contribución marginal unitaria (creciente o decreciente) debido
a cambios en los precios de venta. No obstante, este análisis es eficiente para los casos en que
sufren modificaciones varios parámetros simultáneamente.
Esta propuesta proporciona a los docentes una modelización accesible que promueve un
pensamiento no lineal y una cierta intuición racional.
Referencias Bibliográficas
Camacho Peñalosa, E. et al. (2006). Fundamentos de Cálculo para Economía y Empresa. 1ra
Edición. Madrid: Delta Publicaciones.
Horngren, C.; Foster, G y Datar, S. (2007). Contabilidad de Costos, Un Enfoque Gerencial.
Décimo Segunda Edición México: Pearson, Prentice Hall.
Sydsaeter, K. y Hammond, P. (2006). Matemáticas para el Análisis Económico. Madrid: Pearson
Educación.
Yardín, A.; Rodríguez Jáuregui, H. y Bottaro, O. (2004). El Comportamiento de los Costos y la
Gestión de la Empresa. Buenos Aires: La Ley
Yardín, A. (2010). El Análisis Marginal, la Mejor Herramienta para Tomar Decisiones sobre
Costos y Precios. Buenos Aires: Osmar Buyatti.
93
ANEXO
Tramos I m CM CF RESULT
1
0 1,00 0 200.000 -200.000
20.000 1,00 10.000 200.000 -190.000
40.000 1,00 20.000 200.000 -180.000
60.000 1,00 30.000 200.000 -170.000
80.000 1,00 40.000 200.000 -160.000
100.000 1,00 50.000 200.000 -150.000
120.000 1,00 60.000 200.000 -140.000
140.000 1,00 70.000 200.000 -130.000
160.000 1,00 80.000 200.000 -120.000
180.000 1,00 90.000 200.000 -110.000
200.000 1,00 100.000 200.000 -100.000
220.000 1,00 110.000 200.000 -90.000
240.000 1,00 120.000 200.000 -80.000
260.000 1,00 130.000 200.000 -70.000
280.000 1,00 140.000 200.000 -60.000
300.000 1,00 150.000 200.000 -50.000
320.000 1,00 160.000 200.000 -40.000
340.000 1,00 170.000 200.000 -30.000
360.000 1,00 180.000 200.000 -20.000
380.000 1,00 190.000 200.000 -10.000
400.000 1,00 200.000 200.000 0 P.E.=400.000
420.000 1,00 210.000 200.000 10.000 440.000 1,00 220.000 200.000 20.000
460.000 1,00 230.000 200.000 30.000
480.000 1,00 240.000 200.000 40.000
500.000 1,00 250.000 200.000 50.000
2
510.000 0,90 241.579 200.000 41.579
520.000 0,90 246.316 200.000 46.316
530.000 0,90 251.053 200.000 51.053
540.000 0,90 255.789 200.000 55.789
550.000 0,90 260.526 200.000 60.526
560.000 0,90 265.263 200.000 65.263
570.000 0,90 270.000 200.000 70.000
580.000 0,90 274.737 200.000 74.737
590.000 0,90 279.474 200.000 79.474
600.000 0,90 284.211 200.000 84.211
3
610.000 0,80 271.111 200.000 71.111
620.000 0,80 275.556 200.000 75.556
630.000 0,80 280.000 200.000 80.000
640.000 0,80 284.444 200.000 84.444
650.000 0,80 288.889 200.000 88.889
660.000 0,90 312.632 200.000 112.632
670.000 0,90 317.368 200.000 117.368
680.000 0,80 302.222 200.000 102.222
690.000 0,80 306.667 200.000 106.667
(1) P.R.I.=50.000
(2) P.R.I.=84.211
Beneficio Máximo
Tramo 2
Beneficio Máximo
Tramo 1
Beneficio Máximo
Tramo 3
94
700.000 0,80 311.111 200.000 111.111
(1) PRI = Punto Res. Indiferente; Ingresos o Ventas = 527.778 y Beneficio = 50.000
(2) PRI = Punto Res. Indiferente; Ingresos o Ventas = 639.474 y Beneficio = 84.211
95
CB-224
EXPERIENCIA PARA REFLEXIONAR LA PRÁCTICA DOCENTE SOBRE LA
ENSEÑANZA DE LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS
Rodríguez, María Rosa(1) - Franco, Sandra Noemí(1)
[email protected] – [email protected] (1)Facultad de Ciencias Económicas – Universidad Nacional de Tucumán – Argentina
Núcleo temático: Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y
niveles educativos.
Modalidad: CB
Nivel educativo: Formación y actualización docente
Palabras clave: Docentes, Autoevaluación, Reflexión, Enseñanza
Resumen Se sabe que uno de los pilares en la formación académica de los estudiantes es la Geometría, que
consta de tres procesos cognitivos: visualización, construcción y razonamiento, donde se
desarrollan las capacidades de pensamiento abstracto y formal para generalizar, elaborar
hipótesis y operar con símbolos.
En esta ponencia se muestra el desarrollo de una experiencia didáctica destinada a docentes del
nivel medio sobre el tema “Cuerpos Geométricos”, donde se indagan sus elementos, propiedades
y clasificación con el propósito de recapacitar respecto al aprendizaje de sus alumnos. Los temas
fueron abordados con metodología activa, apoyada en la resolución de problemas y se propuso a
los docentes la resolución y discusión de una actividad práctica que culmina en una
autoevaluación. A partir de sus respuestas, los docentes pudieron identificar sus fortalezas y
debilidades permitiéndoles reflexionar sobre los cambios necesarios y pertinentes para optimizar
la enseñanza.
Esta estrategia pedagógica tuvo como finalidad la reflexión de los docentes referida a la
enseñanza del tema, a fin de lograr un análisis introspectivo del proceso educativo.
La experiencia fue un aporte para los docentes con el fin de que sus alumnos generen actitudes de
investigación y trabajo grupal, estimulando continuamente el pensamiento creativo.
1.- Introducción
Es destacable la importancia de la Geometría en la formación académica de los estudiantes de
carreras científicas porque fomenta la creación del razonamiento lógico, desarrolla las capacidades
de pensamiento abstracto y formal para generalizar, elaborar hipótesis y operar con símbolos.
También, se argumentan y demuestran propiedades y teoremas por medio de la deducción,
recurriendo a tres procesos cognitivos: de visualización, de construcción y de razonamiento.
Interesadas en el “saber hacer” de los docentes formadores del nivel secundario se recurrió a una
estrategia pedagógica que además de abordar contenidos de Geometría dirige sus acciones hacia
96
su práctica. La metodología de trabajo es el Taller que se caracteriza por la investigación, el
aprendizaje a través del descubrimiento y el trabajo en equipo.
Para la enseñanza de la Geometría, el docente debe:
a) Tener un nivel de competencia suficiente para llevar a cabo la práctica formal, operativa y
discursiva, en el nivel donde imparte.
b) Poder analizar y valorar la actividad de los alumnos en la identificación de objetos y sus
significados, con el fin de mejorar su aprendizaje e incrementar su desempeño.
Este análisis permite al docente prever conflictos de significados y establecer distintas
posibilidades de adquisición de los conocimientos implicados. (Godino J., 2009).
En este trabajo se muestra el desarrollo de un Taller destinado a docentes del Nivel Medio de la
Provincia de Tucumán, interesados en capacitaciones de temas de Geometría, donde se
consideraron las competencias que adquiere el alumno.
La competencia matemática consiste en la habilidad para utilizar y relacionar los números, sus
operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático, tanto
para producir e interpretar distintos tipos de información, como para ampliar el conocimiento sobre
aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, y para resolver problemas relacionados con la
vida cotidiana y con el mundo laboral. (Gutiérrez Ocerín L. et al, 2008)
Las competencias en Geometría son las habilidades de visualización, de comunicación y de dibujo,
que suelen darse en forma conjunta. Es una disciplina eminentemente sensorial y sus conceptos
son reconocidos y comprendidos a través de la visualización. Está muy relacionada con la
imaginación espacial porque la visualización puede ser mental. La habilidad de comunicación es
la capacidad de interpretar, entender y comunicar información; en forma oral, escrita o gráfica,
usando símbolos y vocabulario propios de la Geometría. La de dibujo está relacionada con las
reproducciones o construcciones gráficas de los objetos geométricos. (Gaona Vargas, G., 2012)
Para favorecer el aprendizaje de la Geometría, el docente propone el uso de diversas
representaciones, visualizaciones, diagramas y materiales manipulativos, con la presunción de que
ellas constituyen modelos de los conceptos geométricos y de las estructuras en las cuales se
organizan. El uso de representaciones es necesario no solo para comunicar las ideas geométricas,
sino también para su propia construcción.
En el taller se trató el tema “Cuerpos Geométricos” con el propósito de que sus alumnos
reconozcan los elementos, las propiedades y la clasificación. Utilicen correctamente las fórmulas
97
en los problemas propuestos, descubran relaciones y propiedades de los cuerpos a partir de su
desarrollo plano, calculen correctamente área lateral, total y volumen y adquieran destreza en el
planteo y resolución de situaciones problemáticas.
Los objetivos generales que se persiguieron en esta propuesta fue que los docentes participantes
logren que sus alumnos adquieran conceptos para explicar un procedimiento y destreza en los
distintos caminos de solución; desarrollen habilidades de medir, trazar, imaginar relaciones
geométricas planas y espaciales y generen actitudes de investigación y trabajo grupal.
Como reflexión sobre la enseñanza de la Geometría se propuso a los docentes la resolución y
discusión de un trabajo práctico que cubrió todos los conceptos adquiridos y la realización de una
autoevaluación relacionada con la planificación de la actividad docente y la propia práctica
docente en el aula. Con respecto al estudiante, se sugirió al docente que le permita reflexionar a
través de un autointerrogatorio durante la resolución de un problema, reconociendo sus
debilidades y fortalezas en la solución.
Pensamos que ambas tareas cooperan en el crecimiento y el análisis introspectivo del proceso
educativo favoreciendo el desempeño de sus alumnos.
2.- Desarrollo de la Experiencia
Consistió en el desarrollo de un Taller destinado a 60 docentes del nivel medio de la provincia de
Tucumán, interesados en el tema “Cuerpos Geométricos”. Los contenidos didáctico – geométricos
implicados fueron la conceptualización y el uso de diagramas y recursos manipulativos, que
impliquen procesos de visualización y de razonamiento.
Para optimizar del desarrollo de esta modalidad se propuso la siguiente Estrategia:
1) Reconocimiento de los diferentes cuerpos geométricos y sus elementos.
2) Planteo y discusión sobre la clasificación de los cuerpos según sus características.
3) Constitución de equipos de trabajo para la discusión y exposición sobre el planteo y resolución
de problemas, distinguiendo los lenguajes visual, gráfico y analítico.
4) Presentaciones grupales y discusiones sobre el desarrollo de sus prácticas en el aula.
5) Reflexiones sobre las prácticas docentes a través de una autoevaluación individual.
6) Respuestas del alumno a preguntas en planteo, solución y verificación de problemas.
2. 1.- Definiciones Elementales
98
Se denominan cuerpos geométricos a aquellos entes reales o ideales, que existen en la realidad o
pueden concebirse mentalmente, que ocupen un volumen en el espacio. Requieren tres
dimensiones alto, ancho y largo y lo componen figuras geométricas.
Se recordaron las definiciones de caras, aristas y vértices del cuerpo. También, se reconocieron los
cuerpos convexos y cóncavos.
2. 2.- Clasificaciones de los cuerpos geométricos
Fig. 1 Elementos principales de un poliedro
2.- Se recordó que un poliedro es convexo si se puede apoyar en todas sus caras; en caso contrario
es cóncavo.
3.- Poliedro regular es aquel cuyas caras conforman polígonos regulares iguales, y todos sus
ángulos diedros y poliedros también iguales. Estas condiciones se cumplen en el poliedro convexo,
porque en los cóncavos los ángulos diedros no son todos iguales.
Fig. 2 Clasificación de los cuerpos geométricos
Existen nueve poliedros regulares, que se dividen en dos grupos: cinco son convexos y
corresponden a los sólidos perfectos o platónicos (tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo y
1.- Los cuerpos geométricos se
clasifican principalmente en dos tipos
dependiendo de que sus caras sean
planas o superficies curvas: Poliedros
y Redondos o No Poliedros.
99
dodecaedro) los cuatro restantes son cóncavos (pequeño dodecaedro estrellado, el gran dodecaedro
estrellado, el gran dodecaedro y el gran icosaedro).
Los poliedros regulares convexos son los únicos poliedros puramente regulares.
Pequeño dodecaedro estrellado Gran dodecaedro estrellado Gran dodecaedro
Fig. 3 Poliedros Cóncavos Regulares.
Un poliedro es Irregular si tiene caras o ángulos desiguales. Entre ellos, prismas, pirámides y
arquimedianos. Los prismas y las pirámides pueden ser rectos u oblicuos. Si la altura pasa por el
centro de la base, es recto y en caso contrario oblicuo.
Los poliedros Arquimedianos son convexos, cuyas caras son polígonos regulares (no
necesariamente el mismo polígono) y sus vértices uniformes (en todos los vértices del poliedro
convergen el mismo número de caras y en el mismo orden). Fueron ampliamente estudiados por
Arquímedes y sólo hay 13 poliedros arquimedianos: el Tetraedro truncado, el Cuboctaedro, el
Cubo truncado, el Octaedro truncado, el Rombicuboctaedro, el Cuboctaedro truncado, el Cubo
romo, el Icosidodecaedro, el Dodecaedro truncado, el Icosaedro truncado, el
Rombicosidodecaedro, el Dodecaedro rombo y el Icosidodecaedro truncado. De los cuales once
se obtienen truncando los poliedros regulares o platónicos.
Tetraedro truncado
Cubo truncado
Cuboctaedro
Fig. 4 Algunos de los trece Poliedros Arquimedianos.
El Deltaedro es un poliedro cuyas caras son triángulos equiláteros iguales. El nombre tiene su
origen en la letra delta. Existen 12 Deltaedros regulares, tres convexos y nueve cóncavos. Los
convexos son los sólidos platónicos: tetraedro, octaedro e icosaedro.
Dos poliedros son Duales si el número de vértices del primero coincide con el número de caras
del segundo y viceversa. Ambos deben tener el mismo número de aristas. Se construye uno a partir
del otro uniendo con segmentos los centros de dos caras contiguas del primero. Una propiedad de
los sólidos platónicos es que están relacionados entre sí por la dualidad. Por ejemplo, el dual del
tetraedro es el propio tetraedro, el dual del cubo es el octaedro y el dual del icosaedro, el
dodecaedro
100
Fig. 5 Poliedros Duales.
3.- Propiedades de los Poliedros
3. 1.- Fórmula de Euler Descubierta en 1752 por el matemático suizo Leonhard Euler V +
C – A = 2 donde V: N° de vértices C: N° de caras y A: N° de aristas
Este resultado es útil para optimizar la capacidad visual y los procesos aritméticos en los
estudiantes usando la estrategia didáctica de la construcción y posterior corte de un poliedro para
que el estudiante verifique con algunos ejemplos la validez de la fórmula.
3. 2.- Prismas rectangulares El volumen de un prisma rectangular es la raíz cuadrada del producto
de las áreas de las tres caras distintas. A1 = a b , A2 = a h y A3 = b h
Donde a: largo de la base b: ancho de la base y h: altura del prisma
A1 A2 A3 = a b a h b h = a2 b2 h2 = V2 A A AV 321
4.- Justificaciones Empíricas
4. 1.-Área de la Esfera El área total de los cuerpos se obtiene realizando sus desarrollos planos,
pero en la esfera surge que no puede desarrollarse sobre un plano.
Arquímedes demostró que el área de una esfera es igual al área lateral de un cilindro que tenga el
mismo radio y cuya altura sea el diámetro de la esfera.
Se considera una esfera envuelta por un cilindro que se ajusta por completo a ella, un cilindro de
radio r y altura 2 r. Entonces el área de la esfera es igual al área lateral del cilindro: A Esfera
= A Lat. Cilindro = 4 π r2
4. 2.- Relaciones entre los Volúmenes de algunos Cuerpos
1) Si se llena una pirámide con arena y se vierte todo el contenido en un prisma de bases y alturas
congruentes, es necesario llenar otras dos pirámides para completar el volumen del prisma.
Vol. Pirámide = 1/3 Vol. Prisma
2) Se considera un cono y un cilindro con bases y alturas congruentes. Se necesitan tres conos para
llenar el cilindro. Vol. Cono = 1/3 Vol. Cilindro
3) Se considera un cilindro y un cono de radio r y altura 2 r cada uno y una esfera de radio r.
Se llena el cilindro con el agua de la esfera y el cono.
Vol. Cono = 1/3 Vol. Cilindro y Vol. Esfera = 2/3 Vol. Cilindro = 4/3 π r3
5.- Discusión de resultados
101
Como se sabe, las competencias enfatizan el saber hacer, el saber convivir, el saber ser y el saber
conocer; integran la teoría con la práctica; relacionan los conocimientos, habilidades y actitudes y
promueven la autorrealización humana.
La metodología de enseñanza basada en competencias supone:
1º Que el profesor modifique su papel en el proceso enseñanza-aprendizaje y se concentre en las
tareas de organización, seguimiento y evaluación del aprendizaje.
2º Que a los estudiantes se les exija dedicación constante y sistemática al aprendizaje y que
reflexionen en la planificación y aplicación de los conocimientos adquiridos.
En el Taller se desarrolló un trabajo práctico a través de exposiciones grupales que condujeron a
valiosas discusiones, logrando monitorear (supervisar, analizar, revisar, modificar) y controlar
(dirigir) sus prácticas docentes. También, se propuso a los docentes una autoevaluación individual
que permitió reflexionar sobre sus habilidades.
La autoevaluación del docente estuvo orientada a reconsiderar los siguientes ítems:
A. Definiciones de las habilidades de visualización, de comunicación y de dibujo.
B. Las principales dificultades técnicas que presentan los estudiantes para abordar un problema
geométrico.
C. Los conceptos geométricos que sus alumnos no comprenden con facilidad.
D. ¿Se detectan y se registran las dificultades que presenta el alumnado en relación con
aprendizajes básicos no adquiridos?
E. ¿Cómo distingue que un alumno ha adquirido habilidades y las emplea con fluidez?
F. ¿Se planifican explícitamente y llevan a cabo actividades en el aula en las que se desarrollan las
competencias básicas?
G. ¿La corrección de las actividades que se realizan contribuyen al conocimiento y reflexión del
alumno sobre su propio aprendizaje?
Para un aprendizaje significativo, no basta la aplicación reiterada de un procedimiento para
resolver un problema, sino la reflexión de los recursos aplicados en su resolución. Para ello, el
docente propone al alumno un autointerrogatorio donde se formule las siguientes preguntas para
la realización de una tarea, tales como:
a) Al inicio: ¿Qué conozco acerca del problema propuesto? ¿Cuáles conceptos aplico para
resolverlo? ¿Cómo puedo aplicarlo?;
102
b) Durante la resolución: ¿Qué, para qué y cómo lo estoy resolviendo? ¿Hacia dónde me conduce
este procedimiento?;
c) Al final: ¿Hay coherencia entre las respuestas y las preguntas? ¿Hay otro camino para
resolverlo? ¿Es general el método que apliqué? ¿Es posible el resultado encontrado? ¿Cumple las
condiciones iniciales del problema?.
Este autointerrogatorio incrementa la destreza del alumno en resolución de problemas,
reconociendo sus debilidades y fortalezas.
Estos recursos didácticos, extensibles a otros aprendizajes, favorecen la enseñanza y el aprendizaje
de la Geometría.
Conclusiones
Consideramos que el profesor de Geometría debe tener conocimiento, comprensión y competencia
para discriminar los distintos tipos de objetos, sistemas de representación y sus relaciones
sinérgicas en la práctica para, a posteriori, diseñar y gestionar los procesos de particularización y
de generalización.
La autoevaluación de la práctica docente parte de una actitud favorable a un cambio y centra la
mejora del proceso en el aula. Esto abarca los procesos de planificación y evaluación de los
resultados porque ambos son partes inseparables de la práctica docente. Pensamos que las
respuestas obtenidas permiten identificar las fortalezas y las debilidades en la enseñanza de la
Geometría, realizando los cambios necesarios y pertinentes para optimizar el proceso. Esta
estrategia tiene un sentido instrumental y se convierte en un factor decisivo para el cambio y la
innovación, favoreciendo los procesos de reflexión personal y colectiva; siempre que su desarrollo
sea continuo.
La resolución de problemas se complementa con el análisis epistémico – cognitivo provocada por
las consignas: ¿Qué geometría se necesita en la resolución de un problema? ¿Qué conceptos usa
el alumno? Las respuestas al interrogatorio propuesto al alumno optimizan su aprendizaje
reconociendo que puede existir más de un método de resolución, o que no hay ningún método
disponible o que no es aplicable o que resulta inadecuado para el problema propuesto. También,
identifica los aspectos positivos y negativos de la estrategia usada, estableciendo condiciones para
su aplicabilidad y creando bases para su generalización y transferencia.
103
Estas técnicas permiten reconocer la complejidad de los objetos y significados puestos en juego
en las actividades matemáticas, prever potenciales conflictos, adaptarlas a las capacidades de sus
estudiantes y a los objetivos del aprendizaje.
La importancia de la manipulación de los cuerpos geométricos se manifiesta en la combinación de
poliedros regulares en diseño industrial, en mallas espaciales, en cúpulas geodésicas y también
aparecen en la naturaleza, en la estructura de diversos minerales y en elementos estructurales de
seres vivos.
Referencias Bibliográficas
Gaona Vargas, G. (2012). Desarrollo de Competencias en Geometría en Guía de Unidad de
Aprendizaje Disciplinar 3. Guanajuato, México: Universidad Pedagógica Nacional.
Godino J. D. (2009). Categorías de análisis de los conocimientos del profesor de matemáticas.
Unión: Revista Iberoamericana de Educación Matemática, 20, 13-31.
Gutiérrez Ocerín L., Martínez Rosales E. y Nebreda Saiz T. (2008). Cuadernos de Educación.
N°5. Las competencias básicas en las áreas de Matemática. España: Consejería de Educación
Cantabria.
Pimienta Prieto, J. (2012). Estrategias de Enseñanza-Aprendizaje. Docencia Universitaria Basada
en Competencias. México: Pearson Educación.
104
CB-226
PLANILHAS ELETRÔNICAS E UM PROJETO PIBIDIANO VOLTADO PARA UM
PÚBLICO DIVERSIFICADO: ALUNOS E PROFESSOR EM FORMAÇÃO INICIAL E
CONTINUADA.
Dilson Ferreira Ribeiro
Cinthia Barreto Casagrande
Claudia Costa Caldeira
Márcio dos Santos Nizolli
Amanda Paracy Ribas
Felipe da Silva Morales
Instituto Federal Sul-rio-grandense & Colégio Municipal Pelotense – Brasil
Tema: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
Modalidad: CB
Nivel educativo: Médio o secundário
Palabras clave: Tecnologia no ensino, Formação Continuada, Metodologia de Ensino.
Resumo:
Este é um breve relato, cuja intenção está em mostrar a experiência vivida por alunos do Curso
de Licenciatura em Computação do Instituto Federal Sul Rio Grandense (IFSul) e professores e
alunos do Colégio Municipal Pelotense. O texto mostra, no transcorrer de sua escrita, detalhes
sobre o projeto extraclasse que inseriu a ferramenta de planilhas eletrônicas na metodologia de
ensino da matemática para alunos do primeiro ano do ensino médio, com o intuito de
complementar suas atividades desenvolvidas em sala de aula, no que tange a conteúdos como:
porcentagem, estatística básica, cálculos aritméticos, etc. Em um segundo momento, a narração
é voltada para a necessidade de sua utilização nas atividades diárias dos professores da educação
básica, cujo instrumento serve como facilitador para a organização de notas e/ou rendimentos
dos alunos. Sendo assim, este é um projeto que contribuiu para a formação inicial dos oficineiros,
para a formação continuada dos professores da comunidade escolar e para o processo de
aprendizagem dos alunos envolvidos. Utiliza como suporte teórico, Pierre Lévy (1993), que nos
fala sobre o pensamento na era da informática, Ole Skovsmose (2014) com a matemática crítica
e Pedro Demo (2015) no desafio da reconstrução das concepções dos professores.
Introdução
105
Este projeto teve como objetivo inicial contribuir para o aprendizado da matemática de alunos da
escola básica, no entanto, após sua primeira edição, despertou a curiosidade de professores de
diversas áreas do conhecimento, fazendo-se presente no espaço destinado à formação continuada.
Os propositores deste projeto, alunos do curso de Licenciatura em Computação do Instituto Federal
Sul-Rio-Grandense (IFSul) são os oficineiros que desenvolveram as atividades entre 2015 e 2016
para alunos e professores. Isso corrobora com as palavras de Francisco Imbernón, o qual diz: “Não
é um bom professor aquele que não aprende ensinando” (2016, p.40), numa reflexão ao fato de
desenvolvermos nossas práticas e aperfeiçoarmos a atuação de professor em uma aliança entre o
estudo da teoria e o desenvolvimento da prática.
O público alvo deste projeto é composto por duas categorias: a primeira é formada por alunos da
educação básica, mais precisamente matriculados no primeiro ano do ensino médio regular, cujo
objetivo está associado à continuidade do aprendizado de matemática ofertado em sala de aula
com a utilização do recurso das planilhas eletrônicas; a segunda categoria são professores de
educação básica de diversas áreas do conhecimento como Física, Geografia, Matemática,
Espanhol, Artes e Língua Portuguesa, cujo interesse está em trabalhar com as planilhas eletrônicas
na facilitação de sua organização diária.
Durante a apresentação deste texto, podemos ver solidamente a contribuição que o Programa
Institucional de bolsas de Iniciação à Docência (PIBID) faz no processo de formação inicial dos
licenciandos, bem como sua consequência positiva quanto à contribuição da aprendizagem dos
alunos fora do ambiente tradicional da sala de aula ou no processo de formação continuada de
professores que perceberam, na proposta deste projeto, uma forma de facilitar suas atividades
diárias em se tratando da organização de notas e conceitos de seus alunos. Em nossos referenciais,
foram utilizados autores de diferentes campos do saber, dentre esses, alguns serão citados: Pierre
Lévy (1993), que nos fala sobre o pensamento na era da informática, Ole Skovsmose (2014) com
seus pensamentos sobre a matemática crítica e Pedro Demo (2015) no desafio da reconstrução das
concepções dos professores.
As planilhas eletrônicas e sua contribuição na informatização do processo de ensino.
No começo desta seção, nada mais conveniente do que lembrar as palavras de Pierre Lévy, quando
cita: “(...) não há informática em geral, nem essência congelada do computador, mas sim um campo
de novas tecnologias intelectuais, aberto, conflituoso e parcialmente indeterminado” (1993, p.9),
106
numa reflexão que nos permite entender o quão perceptivo é o crescimento da área da informática
e a necessidade em se adequar as práticas à utilização dessas ferramentas, aqui, mais precisamente
destacada, as planilhas eletrônicas.
O surgimento das planilhas eletrônicas é datado de 1979, com a planilha Visicalc (Lévy, 1993),
cujo programa de simulação e de tratamento integrado de dados contábeis e financeiros
revolucionou a forma de utilizar os recursos de informática. Mesmo essa revolução ocorrida há
quase quatro décadas, ainda é possível encontrar adolescentes e jovens que desconhecem o
funcionamento de ferramentas básicas, tais como: editores de texto ou operadores matemáticos
existentes em planilhas eletrônicas. Foi a partir desta análise que surgiu a idéia de criar oficinas
que proporcionassem ao público jovem o entendimento do funcionamento de comandos que
pudessem auxiliar o aprendizado de conteúdos matemáticos, que, depois de uma primeira edição,
acabou despertando a curiosidade e o interesse em aprender o funcionamento deste recurso por
parte de professores, os quais desejaram buscar, por meio da tecnologia, a qual está à sua
disposição dentro e fora da escola, uma forma de facilitar a organização didático-pedagógica,
contribuindo para o desenvolvimento de suas tarefas.
Uma das oficineiras deste projeto diz: “adquirimos o crescimento pessoal e profissional, porque
ao inserirmo-nos na realidade da escola, apreendemos enquanto estamos ensinando”. Ao atuar
nas escolas públicas, neste caso, no município de Pelotas, como é o caso do PIBID da Licenciatura
em Computação desenvolvido no Colégio Municipal Pelotense, analisa-se e discute-se a prática
das escolas com a teoria das aulas na Universidade, resultando em uma reflexão sobre o trabalho
docente, que, certamente, agrega valor à formação de professores para a educação básica. Essa
preparação que fala do começo da experiência, passando por aquilo que pode ser chamado de
revisão, no que tange ao planejamento e à instrumentação é em que Francisco Imbernón (2011)
baseia-se ao falar de uma reflexão deliberativa ou de uma pesquisa-ação, em se tratando do fato
de o professor elaborar suas próprias soluções em relação aos problemas práticos.
As propostas do projeto voltadas para os alunos do ensino médio.
Como principal objetivo deste projeto está a incorporação das planilhas eletrônicas como auxílio
aos conteúdos das disciplinas de exatas, propondo ao aluno uma melhora no processo de
aprendizagem, com a utilização de recursos tecnológicos. Especificamente neste projeto, as
planilhas eletrônicas se fazem presentes no auxílio do entendimento de conceitos de estatística
107
básica como Medidas de Tendência central: Moda, Mediana e Média e Medidas de Dispersão:
Variância e Desvio Padrão. Também são úteis na revisão de conceitos básicos como a aritmética,
álgebra, numa abordagem que trabalha com porcentagem, regra de três e criação de fórmulas
aliadas à lógica matemática, permitindo ao aluno vislumbrar a matemática voltada à sua aplicação
prática, que vai além de simples cálculos, utilizando análises de informações, como é o exemplo
de banco de dados, os quais possibilitam o raciocínio lógico diretamente relacionado à estatística
e paralelamente associado à revisão de fórmulas matemáticas.
A apresentação piloto para a comunidade escolar foi ministrada num evento pedagógico chamado
Sábado em Foco da Matemática e contou com um resumo sobre o funcionamento das planilhas e
a importância desta ferramenta no aprendizado da matemática. Ferramenta, no sentindo de
instrumento que permite o acesso, a modificação e a criação de informações por meio de recursos
informatizados, os quais carecem da matemática como suporte para utilização destes tipos de
programas: planilhas eletrônicas. Serviu, também, para a evolução dos oficineiros que, depois de
uma primeira apresentação, sentiram mais confiança em sua atuação como professores. As
atividades regulares da primeira edição ocorreram no ano letivo de 2015, com duração de dez
encontros semanais, totalizando vinte horas de atividades. Em 2016, as oficinas para os alunos
tiveram um formato mais compacto, sendo ministradas em cinco encontros consecutivos, com um
total de dez horas de atividades. O objetivo de tal modificação foi dar mais dinamismo às oficinas
e reduzir a evasão que foi perto de 40% na primeira edição e de quase zero na segunda.
Em seu desenvolvimento, três momentos foram muito significativos: num primeiro momento, foi
apresentado o conceito de planilhas eletrônicas; em seguida, os educandos tomam conhecimento
da utilização das diversas ferramentas oferecidas pelo programa de planilhas eletrônicas
(Microsoft Excel, Calc/Libre Office) e, no momento final, foram elaborados gráficos e tabelas,
juntando os conhecimentos adquiridos e as possíveis situações que ocorrem no dia a dia,
envolvendo várias áreas do conhecimento, principalmente aquelas relacionadas à estatística,
fazendo com que os temas surgissem durante a oficina, impondo ao professor sair de sua zona de
conforto, de algo pré-programado e engessado e tornando seu planejamento mais vivo, ou seja,
composto por “(...) projetos ou da pesquisa reflexiva, partindo de suas situações problemáticas
contextuais (...)” (Imbernón, 2016, p.145).
As atividades desenvolvidas abordam conhecimentos que trabalham a relação entre linhas e
colunas, as condições de construir fórmulas matemáticas que facilitem a organização de dados, a
108
importância de trabalhar com números decimais e as condições oferecidas pelos recursos em
mostrar dados com arredondamento e/ou em forma de percentuais. Destaca-se, ainda, a abordagem
de temas técnicos como os operadores matemáticos, entre as funções: maior, menor, máximo,
mínimo, data e ordem. Também são abordadas as funções lógicas: “e”, “ou” e “se e”, bem como
gráficos, no que engloba sua construção, classificação e filtros, ocasionando sua plotagem a partir
dos dados digitados, explorada de forma completa, considerando recursos como: legenda, inserção
de títulos, descrição de eixos, condições de impressão, etc.
Após o conhecimento técnico ter sido trabalhado pelos alunos, os oficineiros decidiram avaliar
toda a caminhada desenvolvida durante os encontros. Nesse momento, foram escolhidas questões
comuns, de concursos e determinadas apostilas de informática como forma de fixação do
conhecimento. Quebra-se, então, um modelo entre as famosas listas de exercícios e a zona de
conforto do professor. Uma gama de sentidos é aberta quando há uma aproximação entre a
proposta do professor e a intencionalidade do aprendiz. “Não há fórmulas nem roteiros para uma
educação significativa, nem para se prever as intencionalidades dos alunos” (Skovsmose, 2014,
p.44).
A extensão do projeto de planilhas para professores da educação básica.
Entre a edição de 2015 e a edição de 2016 oferecida aos alunos, percebeu-se o interesse dos
professores, que trabalham na escola onde foram desenvolvidas as oficinas, em aprender o
funcionamento de planilhas eletrônicas como facilitadoras de suas atividades diárias na escola. Os
professores, vendo a repercussão da primeira edição da oficina dos alunos e tendo contato com os
resultados alcançados durante o ano letivo de 2015, demonstraram interesse em participar para que
pudessem estar aptos a lidar com uma ferramenta que há muito tinham à disposição em seus
computadores, mas nunca ninguém havia parado para lhes explicar seu fácil funcionamento. Com
isso, percebemos: “(...) o conhecimento que inova é o mesmo que envelhece, donde segue a
necessidade de renovação constante; na vida é mister desconstruir práticas e teorias, para se
continuar vivendo” (Demo, 2015, p.23).
Assim, montou-se uma oficina que, devido à organização da escola, ocorreu durante o horário de
reunião que a escola tem nas terças feiras no turno intermediário, entre o diurno e o noturno. A
oficina oferecida teve duração de pouco mais de uma hora, podendo assim ser considerada uma
oficina compacta. Os oficineiros, ao montar a proposta para os professores, buscaram atender seus
109
anseios e falar de forma clara e simplificada como este recurso poderia mudar sua organização
diária.
O objetivo principal está em tornar professores, antes excluídos de recursos informacionais, aptos
a inserir a informática na sua rotina de trabalho. Como objetivos específicos estão a habilidade em
reconhecer linhas e colunas, alguns operadores matemáticos e o processo de construção de
fórmulas. Para ambientar esse processo, a metodologia perpassa por uma planilha cujo protótipo
organiza listagens de alunos e suas respectivas notas. As linhas e colunas são capazes de oferecer
uma organização em que o professor possa simplesmente digitar a nota e, com o advento do recurso
das planilhas eletrônicas, obterem a nota referente a cada trimestre e, também, a nota final que
seria a maior nota entre a média inicial e a nota dos estudos de recuperação. Também são
apresentados recursos de formatação condicional e a forma apropriada para imprimir, caso sintam
necessidade. Como a escola conta com aproximadamente 300 professores, o público atingido em
uma oficina é um percentual muito baixo. No entanto, esses educadores podem ser multiplicadores
dessa idéia e, em um momento futuro, é possível que o PIBID possa ter, sim, uma segunda edição
para professores. A oficina oferecida, devido à estrutura física, alcança, em cada edição, trabalhar
com um máximo de vinte professores. Os professores, ao serem consultados sobre a extensão do
projeto, disseram: “É de suma importância ter alguém qualificado para nos ensinar a utilizar esses
recursos. Ninguém nunca me ensinou a trabalhar com planilhas e já está mais que na hora de me
aperfeiçoar e buscar novas ferramentas para organizar minhas notas; estou passando trabalho à
toa”.
Esses professores demonstraram um sentimento de continuidade, colocando em prática a idéia de
que, muito embora eles tenham seu processo de formação concluído, a formação continuada está
sempre presente, entendendo que, em seu meio de trabalho, possa estar o aperfeiçoamento naquilo
que desempenham diariamente, deixando de lado, conforme cita Elli Benincá (2004), a idéia de
seres prontos e acabados, ou em outras palavras, uma visão escolástica, conservadora,
transformando o sujeito da prática e a prática pedagógica.
Os professores que realizaram a oficina demonstraram entusiasmo e destacaram a satisfação
naquele momento. Uma das professoras disse: “Achei a oficina muito boa, com linguagem simples
e ao alcance de todos. Fiquei super entusiasmada por perceber que é bem simples mexer no Excel,
não tem mistério. Gostei muito e gostaria muito que tivesse outra oficina para que possamos
aprofundar nossos conhecimentos”. Além dessa observação, manifestações no dia seguinte foram
110
inevitáveis, tal como a professora que disse solucionar todos os seus problemas com planilhas em
apenas um clique, reafirmando o quanto gostou da didática apresentada e o quanto vai se dedicar
para aprender mais, depois dos conhecimentos básicos que lhe foram transmitidos.
Os resultados alcançados e algumas considerações.
Quando Ole Skosmose (2014) propõe suas idéias sobre a matemática crítica, numa relação com as
palavras de Paulo Freire (1986) ao falar da literácia como algo além da capacidade de apenas ler e
escrever, mas, sim, da capacidade de interpretar palavras, entra em cena o conceito da matemácia,
considerada como o modo de ler o mundo por meio de números e gráficos e de escrevê-lo ao estar
aberto às mudanças. Acreditamos que esse foi o principal objetivo alcançado por este projeto
realizado com alunos da educação básica, cujas atividades tiveram uma relação estreita com fatos
do cotidiano e com os conceitos formais da matemática.
Quando nossas considerações finais são voltadas aos professores que pediram a extensão desta
oficina, é percebida a importância do PIBID que, além de levar uma proposta que objetiva uma
maior solidez na formação acadêmica de futuros professores, mostra sua eficácia no que tange à
comunidade docente, muitas vezes envolvida com a falta de infraestrutura de trabalho, escassez de
tempo com horas de sala de aula em várias instituições de ensino e, até mesmo, desânimo para
buscar um aperfeiçoamento que encontra argumentos numa desmotivação ocasionada, muitas
vezes, pelas péssimas condições de trabalho. Percebemos, aqui, a culminância do projeto e a
importância em valorizar programas dessa natureza que, em hipótese alguma, devem acabar. Um
programa que fez professores utilizarem uma ferramenta disponível – a qual, por haver pouca
exploração, deixava de contribuir em sua organização diária – em suas casas, fazendo com que
esses educadores imprimissem mais qualidade ao seu trabalho.
Nesta temática, deparamo-nos com um método de formação de professores que se preocupa
diretamente com os processos de mudança, que implica desprendimento de conceitos tradicionais
de ensino, “(...) inércias e ideologias impostas, formar o professor na mudança e para a mudança
por meio de desenvolvimento de capacidades reflexivas em grupo, e abrir caminho para uma
verdadeira autonomia profissional” (Imbernón, 2011, p.15).
Esse processo de mudança não está explícito somente pelo fato de o curso ser de formação de
professores em licenciatura em computação, está também arraigado ao fato do direcionamento
dado a esse caminho de formação que busca professores, cuja capacidade está em interagir ou
111
percorrer qualquer área do conhecimento, utilizando os recursos de informática como
complemento de associação, por parte de seus educandos, entre seus conceitos e a relação destes
com o cotidiano. Uma proposta que pode se estender não somente para a área das ciências exatas,
mas também para a área de humanas, por exemplo, tornando esse processo de formação mais
significante, cuja proposta é voltada para a tríade: “aprender sobre”, “aprender por meio de” e
“ensinar usando” (Almeida et. al., 2013, p.24).
Com isso, destaca-se o quanto o processo de formação de professores pretende obter um
profissional agente da mudança, proporcionando aos docentes conhecimentos, habilidades e
atitudes para criar profissionais reflexivos e/ou investigadores, os quais tenham, como meta ou
proposta, o objetivo de despertar em seus educandos a prática pelo aprimoramento de seu
conhecimento, mais do que, simplesmente, aprender por intermédio de repetições e decorebas
desassociadas de alguma prática pertinente ou pontual em seu cotidiano ou no meio em que vive.
Referencias Bibliográficas
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112
CB-227
EL PROFESOR ANTE LA INCORPORACIÓN DE LA MATEMÁTICA NO
INSTITUCIONALIZADA EN SITUACIONES DE APRENDIZAJE
Hugo Parra Sandoval
U.E. Colegio Gonzaga-Universidad del Zulia –Venezuela
Núcleo temático: Formación del profesorado en Matemática
Modalidad: CB
Nivel: Formación y actualización docente
Palabras claves: Conocimiento profesional Matemáticas no institucionalizadas
RESUMEN
A la institución escolar se le pide desarrollar en los estudiantes competencias matemáticas que
les permitan hacer un uso adecuado de las matemáticas en diferentes situaciones de vida (OCDE,
2013; Araújo, 2009). Esto será posible en la medida en que el profesor identifique, valore e
incorpore a las situaciones de aprendizaje modos de proceder matemáticos cotidianos y laborales
(Gravemeijer, Stephan, Julie, Lin & Ohtani, 2017). Muchos de estos modos de proceder no han
sido incorporados a la dinámica escolar (Parra-Sandoval, 2017). En tal sentido, se presenta el
avance de una investigación en curso que plantea describir y analizar la actitud de un educador
ante la solicitud de incorporar a las situaciones de aprendizaje modos de proceder matemáticos
no institucionalizados por la escuela. Para ello, se realiza entrevista a un maestro donde se le
presenta una situación en la que se describe un modo de proceder matemático no
institucionalizado por la cultura escolar y luego se le solicita su valoración y posibilidad de
incorporarla a situaciones de aprendizaje. Con el estudio se busca analizar la actitud del
educador ante la necesidad de problematizar una situación del contexto y ver si considera o no
aquellos contingencias que, en situaciones reales, puedan surgir.
.
Incorporar estrategias para que las matemáticas escolares trasciendan los enfoques centrados en
los contenidos y promuevan por parte de los estudiantes conocimientos propios de la sociedad y
la cultura, es una demanda que se le hace a la institución escolar desde diferentes ámbitos de la
sociedad (Gravemeijer, Stephan, Julie, Lin & Ohtani, 2017; Cantoral, Reyes-Gasperini & Montiel,
2014; Araújo, 2009; National Council of Teachers of Mathematics, 2000). Sin embargo, cuando
se revisa la literatura sobre el conocimiento profesional del profesor, los modelos que intentan
representarlo parecieran no darle importancia. Así, por ejemplo, el modelo del Pensamiento del
Profesor propuestos por Ball, Thames y Phelps (2008), o el modelo del Conocimiento
Especializado del Profesor de matemática expuesto por Rojas, Flores y Carrillo (2015), si bien
hacen mención al tema de las conexiones de las matemáticas, cuando hacen referencia al
Conocimiento en el Horizonte Matemático (Ball et al., 2008) o al Conocimiento de los Temas
(Rojas et al., 2015), dejan de lado las conexiones de las matemáticas escolares con el conocimiento
matemático que se desarrolla fuera del ámbito escolar, como son los casos de situaciones
cotidianas y laborales (Parra-Sandoval & Villa-Ochoa, 2017).
Unido a esta escasa valoración en la literatura sobre el conocimiento del profesor, está el hecho de
que tal conexión no ha resultado fácil. El establecimiento de una relación de las matemáticas
113
escolares con la realidad no surge de manera automática, ni ha sido fácil su implementación. Al
respecto Niss (2001) indica que vincular las matemáticas con la realidad exige de parte del profesor
unas competencias particulares que no siempre se han desarrollado, y en muchas ocasiones se
plantean a los estudiantes situaciones estereotipadas que en nada vinculan las matemáticas con la
realidad (Villa-Ochoa, 2015).
Modos de proceder matemáticos presentes en situaciones reales
Incorporar contextos reales a las situaciones de aprendizaje matemáticas no es tarea fácil, porque
en las situaciones reales los modos de proceder matemáticos se desarrollan de manera diferente al
de la institución escolar. La dificultad radica en el hecho de que en las situaciones reales entran en
juego situaciones no matemáticas, que repercuten en los procedimientos matemáticos formales,
haciendo que estos se modifiquen. Masingila, Davidenko y Prus-Wisniowska (1996) ya lo
reportaron hace más de dos décadas, cuando describieron diferencias entre los modos de proceder
de un cocinero y las de un grupo de estudiantes a quienes se les pidió que a partir de una receta de
ensalada de frutas para seis personas, dijeran cómo harían para que sirviese a veinte personas. Los
procedimientos del cocinero respecto a los estudiantes fueron totalmente diferentes; el cocinero
consideró aspectos que los estudiantes ni se las plantearon, como por ejemplo, el hecho de que
muchos ingredientes vienen en cantidades diferentes a las que en determinado momento se
necesitan, como es el caso de una barra de mantequilla. Situación similar le sucedió a Berrío
(2011) quien presentó un problema de cultivo de café a unos estudiantes de una escuela rural. En
el problema se planteaba sembrar plantas de café en un terreno. Los estudiantes realizaron cálculos
en el que solo consideraron un criterio: a mayor área, mayor cantidad de matas de café a sembrar.
Este modo de proceder difería de la lógica de los cultivadores de la región, quienes – situados en
una región montañosa como lo son las zonas cafetaleras - consideraron la inclinación del terreno.
La inclinación del terreno repercute en la cantidad de matas de café a cultivar, ya que dependiendo
de ésta, se podría sembrar un mayor o menor número de matas de café en una misma área. De estas
experiencias podemos extraer dos valiosas conclusiones. En primer lugar se hace evidente que
estos estudiantes al carecer de los conocimientos que le aporta el saber profesional práctico de este
cocinero o de los cafetaleros, dejan de lado factores no matemáticos que de alguna manera,
repercuten en los cálculos matemáticos y en segundo lugar, los procedimientos utilizados por los
estudiantes buscan obtener cálculos exactos y de proporcionalidad directa, mientras que los
cafetaleros y el cocinero buscan la eficiencia en los resultados que se esperan obtener.
Problematización de una situación real La problematización la consideramos como pieza clave de este proceso de conectar las
matemáticas escolares con la realidad. El tema no es nuevo. Ya Freire (1970) introdujo el tema en
Latinoamérica cuando planteó que si se quiere desarrollar una pedagogía que empodere a los
sujetos que aprenden, esta debe problematizar la realidad como paso previo a su comprensión y
transformación. Más reciente ahora, y desde la socioepistemología Reyes-Gasperini y Cantoral
(2016) hablan de empoderar al docente de matemáticas mediante la problematización del saber
matemático escolar, entendiéndose por este saber como aquel conocimiento matemático del que
se hace uso en contextos escolares y que es fundamental, dependiendo del nivel educativo. Esta
problematización del saber escolar se hace desde la mirada de los estudiantes y de los usos que
este conocimiento posee en la cotidianidad del mundo escolarizado.
En nuestro caso, problematizar una situación real traspasa el mundo escolar. Problematizar “es
fundamental por cuanto se trata de definir qué interesa indagar, y para ello no basta con saber en
114
líneas generales el tema,…sino de ir más allá definiendo en concreto qué queremos saber y
transformar y por qué.” (Parra-Sandoval, 2016, p. 129).
El planteamiento
Ante una demanda más creciente por parte de la sociedad para que las matemáticas escolares se
vinculen a la realidad y ante la evidencia de las dificultades existentes en la institución escolar por
satisfacerla, indagamos acerca de los modos de proceder de un maestro en ejercicio cuando se le
plantea una situación real donde las matemáticas están presentes. A partir de esa situación se le
solicita al maestro problematizar la situación para así convertirla en una situación de aprendizaje
y resolverla. Se busca analizar la actitud del educador ante la necesidad de problematizar una
situación del contexto y ver si considera o no aquellos contingencias que, en situaciones reales,
puedan surgir.
Modos de acercarnos al objeto de estudio
Presentamos los resultados de una entrevista realizada a un maestro en ejercicio a objeto de
determinar si identificaba en ella potenciales situaciones de aprendizaje a través de su
problematización. La situación que se les presentó fue una receta de cocina. Se escogió una receta
de cocina no sólo porque se adaptaba al nivel de educación primaria, sino también por su
familiaridad entre los docentes, ya que en oportunidades los textos escolares presentan situaciones
de este tipo. Se le solicitó al maestro que la leyera y pensara si esa información pudiese serle útil
para presentársela a sus estudiantes. Luego se le solicitó que describiera cómo esta receta podría
replantearse a sus estudiantes en forma problemática.
Para el análisis de las respuestas se estableció un cuadro de correlación de objetivos, categorías,
propiedades e ítems de las entrevistas. (Ver cuadro 1). Para el caso que aquí presentamos el cuadro
quedó establecido de la siguiente manera:
PROPÓSITO CATEGORÍA PROPIEDADES PREGUNTAS Y CONSIGNAS
Describir la
actitud de un
educador ante
la solicitud de
problematizar
una situación,
Valoración
matemática de
una situación
real
Problematiza-
ción de una
situación real
Identificación de
procedimientos
matemáticos en una
situación real
Pertinencia de la
situación para ser
considerada en una
situación de
aprendizaje
Reformulación de
una situación real
en un problema
matemático
Identificación de
contingencias en el
procedimiento de
¿Podrías utilizar la situación
planteada para plantear un
problema a tus estudiantes?
Señala al menos una situación
problema adaptada a tus
estudiantes
¿Consideraste la posibilidad
de que las cantidades
utilizadas pudieran no
conseguirse en el mercado?
115
resolución de un
problema
Consideración de la
matemática no
institucionalizada
en el proceso de
problematización
Consideraste que en la
situación planteada las
personas que cocinan trabajan
con medidas como
“cucharada”, “cucharaditas”,
diferentes a las planteadas en
la escuela
Cuadro 1. Correlación de objetivo, categorías de análisis y propiedades
Discusión de los resultados
De la entrevista que analizamos abordamos como primera categoría de análisis, la valoración
matemática de una situación real. Nos interesaba observar si el docente entrevistado podría
identificar procedimientos matemáticos en ella y evaluar si pudiese responder a los intereses y
necesidades de sus estudiantes. Para ello se le presentó la siguiente receta de cocina tradicional de
la región en donde las medidas eran explícitas.
RECETA DEL DULCE DE HUEVOS CHIMBOS Dulce de “Huevos Chimbos” para 20 a 25 unidades aproximadamente Ingredientes 12 yemas o amarillos de huevo a temperatura ambiente Mantequilla para engrasar los moldes Ingredientes para un almíbar liviano 3 tazas de agua 2 tazas de azúcar 1/4 de cucharadita de esencia de vainilla 3 cucharadas de ron blanco
El maestro ante la situación planteada respondió que sí podía ser presentada a sus estudiantes y
trabajar con ella las medidas de peso y los números fraccionarios; sin embargo advirtió: “siempre
y cuando los estudiantes hubiesen trabajado antes lo que es ½, ¼, ¾.” De la respuesta del maestro
se evidencia en primer lugar que sólo toma en consideración el conocimiento escolar, dejando de
lado los modos de trabajar las matemáticas en un contexto diferente al escolar. En segundo lugar,
la advertencia del maestro nos indica que considera las situaciones reales como factible de
incorporar a situaciones de aprendizaje, siempre y cuando sirva para evidenciar en el estudiante la
aplicabilidad de la teoría enseñada. Esta valoración de la realidad como espacio privilegiado de
verificación de la teoría, responde a una visión platónica de los procesos de enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas, visión ya reseñada por autores como Ernest (2000) y Gascón
(2007).
Una segunda categoría trabajada fue la problematización, nos interesó conocer cómo el maestro
reformularía la situación planteada y la problematizaría. Los registros muestran un maestro más
inseguro en sus respuestas. Los niveles de dificultad surgieron cuando en sus pensamientos
manifestaba a viva voz, que podría ser de peso y capacidad, aunque en la receta se hablaba de
“tazas”, “cucharadas” y “cucharaditas”. Intentaba establecer una equivalencia entre esas medidas
y las unidades de peso y no lograba establecerla. Preguntaba al entrevistador la equivalencia en
116
peso de una taza de azúcar. Igual dificultad presentó con la indicación de la receta que señalaba
que era para unas 20 a 25 porciones aproximadamente; esta expresión se le hacía difícil y lo
confundía ante la demanda de redactar un problema. Finalmente optó por descartar las medidas no
tradicionales “cucharadas” y “cucharaditas” y seleccionar “la taza”, pero convirtiéndola a medida
de peso. Decidió establecer que “una taza vale como 1/4 de kilo, ½ kilo serán dos tazas”. Además
optó por plantear como interrogante cuánto serían las medidas para una sola porción y descartó
todos los ingredientes quedándose sólo con el azúcar. Unido a esto, simplificó la información de
las porciones a una sola cantidad: 25 porciones, descartando lo planteado por la receta: “20 a 25
porciones aproximadamente”. Al requerírsele la razón de la interrogante que planteó, manifestó
que de esa manera podrían saberse las medidas para cualquier cantidad de porciones, que en este
caso sería de 25. En cuanto a descartar medidas no convencionales como “cucharadas” o
“cucharaditas”, manifestó no considerarlas porque de acuerdo a su criterio, no eran de utilidad para
el tema de las unidades de peso.
Dos aspectos resaltan de sus respuestas, primero la simplificación de la situación real a un
problema particular. No se planteó nunca la posibilidad de ver en el campo de las recetas más de
una situación potencialmente útil para trabajar no sólo las medidas de peso, sino las de capacidad
y la proporcionalidad. Además, el maestro tampoco vio la posibilidad de conocer acerca del
proceso de la elaboración de la receta con la finalidad de identificar procesos matemáticos no
convencionales que pudieran actuar en el pensamiento matemático de las personas cuando cocinan.
El segundo aspecto resaltante fue el descarte de las medidas no convencionales. De estos dos
aspectos se hacen evidentes las falencias del maestro para problematizar situaciones reales.
Conclusiones
En los resultados registrados advertimos en primer lugar un maestro cuya valoración de la realidad
se restringe a considerarla como un espacio para demostrar que los conocimientos teóricos han
sido aprendidos, lo que caracteriza en él un arraigado pensamiento platónico. En segundo lugar
está clara la intención del maestro entrevistado de simplificar la situación real con el fin de
adecuarla a los contenidos programáticos, lo que indica que el foco de atención para organizar los
procesos de enseñanza son los contenidos y no el contexto o situaciones de vida externas al ámbito
escolar.
Estos resultados están lejos de la idea de empoderar al maestro (Gasperini & Cantoral, 2016), en
tanto que él se haga de un conocimiento profesional que le permita gestionar adecuadamente su
actuación como profesor de matemáticas, tal y como lo señalan los diferentes modelos de
representación del conocimiento profesional del profesor de matemáticas (Ball et al., 2008;
Carrillo et al., 2013; Pino-Fan & Godino, 2015). Pero más alejado aún están estos resultados de
la idea de un maestro que no sólo identifique y promueva la aplicación de procedimientos formales
matemáticos en las situaciones reales, sino que además identifique y valore aquellos conocimientos
matemáticos no formales que también hacen vida en otros ámbitos diferente al de la institución
escolar y que deberían ser incorporados a las diferentes situaciones de aprendizaje.
Para incorporar estos conocimientos matemáticos no formales a las situaciones de aprendizaje,
hace falta replantearse nuevas metas en los procesos de formación de los docentes. Una de estas
metas es la de desarrollar en el maestro o profesor las competencias profesionales necesarias para
problematizar la realidad; una realidad que no es cualquiera, sino una realidad contextualizada,
que responda a los intereses y necesidades de sus estudiantes. Esto plantea en el docente nuevas
tareas, como es la de conocer el entorno donde sus estudiantes hacen vida, adentrarse en su realidad
y descubrir tanto su cotidianidad como las expectativas que a futuro tienen. Este conocer el mundo
117
de vida del estudiante permitiría identificar aquellas situaciones reales que podrían ser
problematizadas matemáticamente, reconociendo en ellas no sólo las matemáticas
institucionalizadas que la escuela deberá promover, sino también, reconocer en estas situaciones
reales aquellos conocimientos y sus procedimientos matemáticos no institucionalizados, pero que
hacen vida en esos entornos y serán necesarios para formar a sus estudiantes en y para la vida.
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119
CB-230
Tensão entre discreto e contínuo na perspectiva da filosofia da
diferença
Alexandrina Monteiro [email protected]
FE-UNICAMP-BR
Núcleo temático:
Modalidade: CB
Nível educativo: I. Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y
niveles educativos.
Palavra chaves: discreto-contínuo, Ensino de Cálculo, Filosofia da Diferença
Resumo O trabalho aqui apresentado é parte de uma pesquisa intitulada Práticas escolares
(in)disciplinares: tensão entre discreto e contínuo na perspectiva da filosofia da diferença
financiada pela FAPESP- Brasil, cujo objetivo é analisar como Deleuze mobiliza alguns saberes
matemáticos – em especial relacionados ao cálculo – e, com isso buscar compreender se tal
mobilização pode funcionar como um processo potencializador para se pensar a matemática e as
práticas pedagógicas escolares de modo outro. Esse modo relacionado às praticas pedagógicas
está se desdobrando em propostas que apostam em atividades que visam proporcionar
experiências de pensamento sobre temas presentes na disciplina de cálculo na perspectiva de uma
educação menor. Nesta apresentação, tomamos como recorte princípios propostos por Leibniz e
mobilizados por Deleuze que entendemos serem potencializadores de conexões que reflitam não
sobre o campo do entendimento de modelos e técnicas, mas, sobre o campo da experiência – uma
experiência para se pensar a matemática e não pensar sobre o pensamento matemático. Espera-
se com isso contribuir para os debates sobre o tema do infinito e continuidade em diversos níveis
de ensino, mas em especial para cursos de cálculo voltados à formação de professores
Introdução
As dificuldades enfrentadas pela maioria dos alunos nos cursos de cálculo ainda continuam sedo
um grande desafio para o ensino superior em especial para as áreas das ciências exatas. Barufi
(1999), aponta que o índice de não-aprovação em cursos de Cálculo Diferencial e Integral dos
alunos da Escola Politécnica da USP, no período de 1990 a 1995, é em média de 45%, sendo que
em algumas turmas pode-se chegar a 75%. Rezende (2003) mostra que a faixa de reprovação na
Universidade Federal Fluminense varia de 45% a 95%. Garzella (2013), numa pesquisa realizada
na Unicamp aponta que no período de 1997 a 2009 a taxa média de reprovação em Cálculo I foi
em torno de 75% aqui incluindo reprovação e evasão.
120
Esses dados alarmantes nos convocam a pensar com muito cuidado sobre o que vem acontecendo
com essa disciplina nas universidades. De um modo geral, os discursos que buscam explicar os
altos índices de reprovação vão desde a falta de base dos alunos ao adentrarem na universidade,
passando pelo impacto que ela causa por tratar de assuntos muito distantes dos conteúdos do ensino
médio, pelas metodologias de ensino, abordagem pedagógica dos docentes, entre outras.
Cabe aqui ressaltar que esses problemas também estão presentes nos países chamados
“desenvolvidos”, basta analisar as pesquisas e artigos internacionais nesse campo. Por exemplo os
trabalhos de David, Vinner (1976) ou ainda o movimento deflagrado pelo documento de Peter Lax
na década de 1980, o qual criticava severamente os cursos de cálculo da época e que ficou
conhecido por “Calculus Reform” (Cálculo Reformado). Esse movimento defendeu fortemente o
uso da tecnologia como calculadoras gráficas para o ensino de cálculo além de proporem que todos
os conteúdos de cálculo deveriam ser tratados numa perspectiva numérica, algébrica e gráfica e
com um forte compromisso de aplicabilidade com exemplos próximos da realidade. No Brasil o
material traduzido que talvez mais reflita esse movimento é um livro organizado por uma equipe
apoiada pela National Science Foundation que se baseou numa experiência de Havard cujo
objetivo foi o de apresentar um material para revitalizar o ensino e o currículo de Cálculo. Apesar
de não ser um dos livros mais usados no Brasil esse material foi traduzido pela professora Elza
Gomide e publicado pela editora Edgard Blucher em 1999. Nesse modelo, há um acento nas
resoluções gráficas em detrimento das abordagens algébricas.
Porém, apesar de tantos movimentos e propostas o fato é que ainda nos encontramos diante de
grandes dificuldades com essa disciplina e, diante disso, optamos por fazer um desvio, ou seja,
optamos por sair dessa lógica em que ora o problema está na estrutura da disciplina, ora na
metodologia, ora das dificuldades conceituais prévias dos alunos ou talvez nas possíveis
combinações desses fatores, bem como da relação causa-efeito.
Sob uma outra perspectiva, nos interessa aqui apostar na possibilidade de outras formas de
pensarmos o pensado cálculo. Ou seja, problematizar alguns dos temas que povoam o campo do
cálculo a partir de conexões com a filosofia.
Não se espera com isso apresentar novas propostas de ensino e muito menos realizar qualquer tipo
de caça as bruxas do ensino de cálculo, mas simplesmente cogitar a possiblidade de criarmos
espaços-experiências que nos ajudem a pensar sobre temas explorados na disciplina de cálculo,
121
talvez pensar num cálculo outro, pautado por sua menoridade no sentido do termo expresso por
Deleuze e Gattari. Mas, por onde começar a cogitar essa possibilidade de experiencias pensantes?
Nossa exploração emerge das conexões já propostas por Deleuze em algumas de suas obras7, nas quais esse autor
produz conexões com a matemática, usando em especial os trabalhos de Leibniz e Rimamm. Mas aqui nos
limitaremos a traçar um possível caminho considerando-se as conexões produzidas por ele a partir de Leibniz. Assim,
o que aqui pretendemos desenvolver, é a tese de que esse movimento que conecta pensamentos, que os
problematiza no lugar de defini-los, é potente para proporcionando sentidos outros, formas outras de pensar.
O que nos mobiliza aqui é o convite que Deleuze e Gattari (1992) nos fazem sobre as possibilidades
do pensar. De um pensar menor, criador, um movimento que ousa pensar para além do já pensado.
Para tanto, neste texto pretendemos explorar as aproximações-conectivas entre os conceitos de
Leibniz, filosofia e o Barroco discutidos no Livro A Dobra: Leibniz e o Barroco e pretendemos
com isso apontar cenários outros que possibilite exercícios de pensamentos que movem em fluxos
por meio de inflexões, de dobras e redobras. Talvez... criar cenários de inflexão que permitam
pensar o cálculo por outras perspectivas.
Deleuze (2012) explora as noções de ponto de inflexão, deslocando essa discussão de uma explicação meramente
técnica da não existência do limite. Para ele, quando há uma inflexão uma dobra é produzida, concavidades outras
emergem das curvas. Esse espaço outro que se cria, introduz o sujeito numa outra perspectiva, possibilita um outro
ponto de vista. Não exatamente um ponto de vista, mas um lugar, uma posição, um foco linear que representa uma
variação produzida pela inflexão. Essas diferentes possibilidades de perspectivas8 pertencem ao próprio mundo. Seu
ponto de vista é móvel, depende das oscilações das dobras desse espaço.
O perspectivismo assim apresentado não significa uma dependência do sujeito que se define
previamente. O ponto de vista (perspectivo) não varia com o sujeito, ao contrário ele é a condição
sob a qual o sujeito capta eventuais variações em função do lugar que ocupa. Segundo Deleuze
(2012) o perspectivismo deve ser entendido como verdade da relatividade e não relatividade da
verdade. Porque o ponto de vista é a variação em cada fonte de domínio que ordena o caos, a
condição da manifestação da verdade (p.17-33).
7 Diferença e Repetição, A lógica do Sentido, A Dobra: Leibniz e o Barroco e O que é a
filosofia? Este último escrito em parceria com Gattari 8 Essa noção é muito distinta da ideia de que a verdade depende de um ponto de vista fixo que
pertenceria a um sujeito externa à realidade ou confrontado por ela (relativismo).
122
Assim, o que se busca nesse estudo é pensar em possibilidades outras não numa perspectiva
relativista, mas apostando na verdade relativa, nas verdades que emergem do plano de imanência
que se dobram e redobram. Deste modo, existe sempre um ponto de inflexão que transforma a
variação numa dobra (cfr. 27-29). O objeto seria uma superfície de curvatura contínua, em que as
inflexões contínuas produzem dobras. Já não é uma essência, mas uma flutuação contínua da
norma (a qual controla cada dobra). Ou seja, apostamos que sempre há uma possibilidade outra de
pensamento, de entendimento. Mesmo num campo tão estruturado e fechado como tenta ser o
campo da matemática.
O Leibniz de Deleuze
Deleuze em sua obra intitulada a Dobra: Leibniz e o Barroco discute temas relacionadas a arte
barroca bem como de conceitos introduzidos por Leibniz em suas discussões filosóficas e
matemáticas. Talvez coubesse aqui uma primeira conexão a ser ressaltada, visto que em seu texto
esse filósofo apresenta o pensamento de Leibniz sem qualquer demarcação disciplinar, ou seja, ele
não diferencia o pensamento desse autor entre aspectos matemáticos e filosóficos, além de articulá-
los à arte barroca.
Mas, por uma questão de espaço, neste texto destaco apenas alguns dos princípios discutidos por Leibniz que
movem Deleuze a construir seus conceitos em especial: a dobra infinita, a dobra da alma, a extensão, entre outros.
Dentre os princípios apresentados por Deleuze no livro a Dobra, destaco os de: reciprocidade, inclusão, princípio da
razão suficiente, percepção, ponto de vista, compossibilidade e mônada. Traçando um caminho apresentado por
Deleuze (2006)9 em sua aula de 15 de abril de 1980, nos deparamos inicialmente com algumas considerações que
este autor faz sobre Leibniz dentre elas ele afirma que:
Leibniz é um dos filósofos que melhor faz compreender uma resposta possível a
esta questão: o que é a filosofia? O que é que faz um filósofo? Ele se ocupa de
quê? (p.18) E, um pouco mais a frente Deleuze completa (...) Mas há algo de
espantoso em Leibniz. (Ele) É o filósofo da ordem; ainda mais, da ordem e da
polícia, em todos os sentidos da palavra polícia. Sobretudo, no primeiro sentido
da palavra polícia, a saber, a organização ordenada da cidade. Ele só pensa em
termos de ordem. Nesse sentido, ele é extremamente reacionário, é o amigo da
ordem. Mas, muito estranhamente, no seu gosto da ordem e para fundar essa
ordem, ele se engaja na mais demente criação de conceitos à qual tínhamos
podido presenciar na filosofia. Os conceitos desgrenhados, os conceitos mais
exuberantes, os mais desordenados, os mais complexos para justificar aquilo que
9 Deleuze (2006), é uma publicação das transcrições de Les Cours de Gilles Deleuze à
Vincennes, disponibilizadas em original francês publicamente no site www.webdeleuze.com
123
é. É preciso que cada coisa tenha uma razão.
Assim, após pontuar algumas questões sobre Leibniz e sua importância para a filosofia, Deleuze
inicia sua discussão sobre um importante princípio, o da reciprocidade. Nesse princípio dizemos
que A=A, ou seja, a identidade A=A significa que o sujeito “A” está em relação com o predicado
“A” e, deste modo, o predicado “A” encontra-se também em relação de identidade com o sujeito
“A”. Por isso uma identidade recíproca. Assim, sujeito e predicado se co-determinam. Por
exemplo, segue Deleuze, o azul é azul, o triângulo é triângulo. Porém, nem toda relação de
identidade é reciproca. Em alguns casos outro princípio é necessário – como o da inclusão.
Para discutir o princípio da inclusão usaremos aqui também outro exemplo apresentado por
Deleuze (2006) citando Leibniz na qual ele afirma que dizer que um triângulo tem três lados não
é o mesmo que dizer que um triângulo tem três ângulos (p.23). Mas por que não? É que afirmar
que o triângulo tem três ângulos é uma afirmação idêntica e recíproca. Já afirmar que o triângulo
tem três lados não há reciprocidade. Pois dizer três lados não é o mesmo que dizer três ângulos,
pois não podemos conceber três ângulos formando uma mesma figura sem que ela tenha três lados.
Assim, ter três lados tem uma relação de inclusão com a afirmação ter três ângulos. Ter três lados
inclui ter três ângulos.
Outro importante conceito destacado por Deleuze é o princípio da razão suficiente. Leibniz (2009)
em Discurso sobre a Metafísica (§ 8,31) e em Monadologia (§ 27-39) afirma que o princípio da
razão suficiente é o princípio segundo o qual nada existe que não tenha uma razão de ser. A razão
não é, então, outra coisa que a série infinita dos requisitos dos fatos, que envolve o universo em
sua integralidade (passado, presente e futuro), como os decretos de Deus relativos à existência do
mundo.
Isso nos remete a outro importante princípio, que é o Ponto de Vista. Ou seja, a noção de
perspectivismo apontada por Leibniz e já pontuada no início deste texto. O ponto de vista é
aproximação do corpo ao mundo. Ver o mundo é uma ação intimamente ligada ao nosso corpo,
uma vez que é ele que ou por meio dele que o percebemos. Essa é uma das noções muito cara à
filosofia de Deleuze.
Outro importante princípio é o da percepção. Para Leibniz há dois tipos de percepção, a percepção
consciente e a inconsciente. De uma maneira bastante sintética, podemos afirmar que as
percepções inconscientes são da ordem do infinito, podem ser pensadas como elementos
124
infinitesimais, seriam aquelas percepções sobre as quais não refletimos, mas estão presentes. Por
exemplo o som do ar condicionado. Ele está presente, mas, em geral o ignoramos.
As percepções conscientes, por sua vez são aquelas que demandam nossa atenção, estão integradas
ao nosso ambiente, mas numa relação consciente, elas nos limitam, delimitam e definem e ao
mesmo tempo modificam nosso ponto de vista pois, segundo Leibniz (2009) cada noção individual
expressa a totalidade do mundo, mas, sempre de um determinado ponto de vista. E é desse ponto
de vista que nosso corpo passa a se relacionar com o entorno. É a partir dele que podemos observar
a perspectiva das verdades que nos cerca. Assim, as verdades são constituídas tanto de essência
quanto de existência.
As essências constituintes das verdades são aquelas que podem ser comprovadas analiticamente
com um número finito de passo, ou seja, são as verdades passíveis de provas analíticas finitas. As
existências estão relacionadas às experiencias, ao sujeito e ao mundo de tal forma que a prova da
afirmação dessa existência exigiria um número infinito de passos. As verdades de existência
devem obedecer ao critério de continuidade, pois, incluem o mundo, suas infinitas possibilidades,
no processo de suas provas, o que implica num tipo de prova infinita. Segundo Leibniz tal
empreitada só é possível por uma ação divina.
Essa discussão apresentada por Leibniz nos introduz a outro conceito importante de sua filosofia
que é o conceito de compossibilidade. Para ele, compossibilidade é uma esfera lógica mais restrita
que aquela da possibilidade lógica. É o espaço no qual para que algo exista não é suficiente que
seja possível; é necessário que esse algo seja compossível com outras que constituem o mundo
real. Assim, dentro do conjunto de mundo possíveis, ou seja, de todos aqueles em que não há
contradição lógica das verdades de essência, temos subconjuntos compossíveis, que são espaços
em que não há contradição nem de essência nem de existência. Para Leibniz, o melhor dos mundos
possíveis é aquele que conserva a maior continuidade entre os sujeitos.
Mas, para essa aproximação, outro conceito se faz necessário, que é o conceito de mônada. De
modo muito breve podemos dizer que a mônada obedece ao princípio de inclusão e mantém uma
implícita ordem hierárquica. Em Monadologia Leibniz afirma que:
Uma mônada (do grego monas, unidade) é uma unidade por si mesma, analisável
em princípio ativo denominado alma, forma substancial ou enteléquia e em um
princípio passivo dito massa ou matéria primeira. A mônada encerra um tipo de
percepção e de apetição. É uma substância simples, sem partes. Toda mônada é
125
um espelho vivo do universo, a partir de seu ponto de vista. Já que tudo que existe
é uma mônada, um composto de mônadas, estas são átomos substanciais. [M. 1-
21]
Ao afirmar que a constituição das verdades na existência requer um critério que é anterior e
implícito – que é o critério de continuidade e o conceito de mônadas, Leibniz apresenta uma
estreita relação com as formulações que propõe no campo da matemática, em especial com os
conceitos que desenvolve sobre o cálculo diferencial. E, essa proximidade é bastante explorada
por Deleuze.
Apesar da breve a discussão apresentada até aqui, entendemos que a mesma pode nos indicar a
pontencialidade da discussão elaborada por Deleuze para de um modo outro, explorar as noções
de série infinitas, de curvatura, ponto de inflexão e diferenciação. Assim, não se trata de uma
discussão da filosofia do cálculo, mas de filosofar sobre noções que emergem no campo das
discussões, por exemplo dos paradoxos, do infinito, entre outras.
A aposta aqui é que nessa inflexão possamos, talvez problematizar, por exemplo, o círculo vicioso
presente na significação de número real realizada por grande parte de nossos alunos, ou seja, a de
que o número irracional é definido como sendo o número real que não é racional, mas, por outro
lado, o conjunto dos números reais é obtido pela reunião dos conjuntos dos números racionais e
irracionais restringindo o domínio numérico no campo dos racionais porque, como diria Caraça
(1984), não pensam sob o ponto de vista da continuidade de seu processo de construção. Nesse
sentido a inflexão relacionada às praticas pedagógicas desdobra-se em propostas que apostam em
atividades que visam proporcionar experiências de pensamento sobre temas presentes na disciplina
de cálculo na perspectiva de uma educação menor no sentido apresentado por Gallo(2003).
Do mesmo modo, podemos problematizar o conceito de derivada, o qual se procura re-conhecer
ora por seus aspectos formais a partir da teoria dos limites ora por seus aspectos geométricos, ou
seja, como cálculo do coeficiente angular da reta tangente, ou ainda sobre a interpretação em
termos de taxa de variação instantânea. Pensar a derivada limitando-se ao re-conhecimento desses
modelos, oculta todo um processo histórico das lutas de forças que acompanharam a construção
desse saber, além de proporcionar apenas um modelo já pensado, impedindo o pensar sobre as
variações, sobre os infinitésimos e por fim um pensar sobre a continuidade.
Ressalto que pensar sobre a continuidade não é o mesmo que entender a continuidade já pensada.
Assim, essas possibilidades de conexões que aqui apostamos não está no campo do entendimento,
126
mas, no campo da experiência, na experiência do pensamento. Nesse sentido é que apostamos nas
inflexões, em outras dobras, que possibilitem experiências de pensamentos outros sobre temas
relacionados ao cálculo como um importante componente curricular para a formação dos futuros
professores de matemática.
Referencias bibliográficas
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inicial de Cálculo Diferencial e Integral. Tese de doutorado. Usp.
CARAÇA, Bento Jesus. (1984) Conceitos fundamentais da Matemática. Lisboa:Livraria Sá da
Costa Ed.
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DELEUZE, Gilles. (2012) A dobra: Leibniz e o Barroco. Campinas. Ed. Papirus. ______________
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GALLO, Silvio. (2003) Deleuze e Educação. Belo Horizonte: Autêntica.
GARZELLA, Fabiana Aurora Colombo. (2013) A disciplina de cálculo I: análise das relações
entre as práticas pedagógicas do professor e seus impactos nos alunos. Tese de doutorado.
Unicamp.
https://www.fe.unicamp.br/alle/teses_dissert_tcc/arquivos/tesefabianacolombo.pdf
LEIBNIZ, G.W. (2009) G.W. Leibniz, Discurso de Metafísica. São Paulo. Ed. Martin Claret.
LEIBNIZ, G.W. (2016) Princípios da filosofia ou a monadologia in Leibniz Brasil. Site
http://www.leibnizbrasil.pro.br/leibniz-traducoes/monadologia.htm. Acesso 17/04/2017
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Eléia. Revista Fermentário. Instituto de Educación, Facultad de Humanidades y Ciencias de la
Educación, Universidad República. Uruguai. y Centre d’Études sur l'Actuel et le Quotidien,
Sorbonne (online) vol 2. N.9. REZENDE, Wanderley Moura. (2003) O ensino de cálculo: dificuldades de natureza
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http://www.teses.usp.br/teses/disponiveis/48/48134/tde-27022014-121106/pt-br.ph
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Particular Reference to Limits and Continuity. Educational Studies in Mathematics, 12, p. 151-
169.
www.teses.usp.br/teses/disponiveis/48/48133/tde-06022004-105356/.../Tese.pdf
127
CB-232
DISEÑO Y DESARROLLO ONLINE DE EJERCICIOS INTERACTIVOS DE
MATEMÁTICAS CON ESTRATEGIA DE TUTORIZACIÓN AUTOMÁTICA
Elena Álvarez Sáiz – Mª Reyes Ruiz Cobo
[email protected] – [email protected]
Universidad de Cantabria. España
Núcleo temático: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
Modalidad: CB
Nivel educativo: No específico
Palabras clave: Evaluación formativa, Evaluación automática, Matemáticas, TIC en la educación
Resumo Teniendo en cuenta la incidencia de la evaluación en la enseñanza y el aprendizaje, se presenta
un sistema de evaluación mediado por ordenador centrado en el proceso y no únicamente en el
resultado. La estrategia adoptada promueve la autorregulación a través de actividades de
autoevaluación online, planteando conflictos cognitivos basados especialmente en la gestión de
errores. Se ha desarrollado para ello una herramienta que explota la posibilidad de intercambio
de información entre dos programas muy utilizados en el ámbito de las matemáticas: DescartesJS
y Geogebra. Esta ventaja ha facilitado la generación de actividades de evaluación multimedia que
incorporan, entre otros elementos, videos interactivos, animaciones, representaciones gráficas,
controles numéricos y gráficos así como evaluación de resultados por un CAS. A modo de ejemplo
de su potencial, se presenta una muestra de los objetos de aprendizaje desarrollados.
La creación de la herramienta y su experimentación en el aula forman parte de los objetivos de
un Proyecto aprobado en la III Convocatoria de Proyectos de Innovación Docente de la
Universidad de Cantabria que se está desarrollando este curso académico en cuatro de los Grados
que se imparten en la E.T.S.I. Industriales y de Telecomunicación.
1. Introducción
La evaluación adquiere un papel relevante en la enseñanza y en el aprendizaje debido, entre otras
razones, a que facilita información trascendental para los estudiantes y para el propio docente.
Bajo la concepción de la evaluación formativa, Black y William (1998) detallan un amplio estudio
de estrategias exponiendo sus ventajas en el aprendizaje del estudiante. Sin embargo, este tipo de
evaluación presenta obstáculos de aplicación en el caso de grandes grupos de estudiantes, siendo
sus principales barreras las limitaciones de tiempo y de contexto y las dificultades para desarrollar
actividades adecuadas (Hyunju Lee et al, 2012).
Por otro lado, las posibilidades que brindan actualmente las tecnologías favorecen la aplicación de
iniciativas que promuevan el aprendizaje a través de la evaluación facilitando la retroalimentación
128
en los casos en que el número de estudiantes es elevado (Barbera, 2016). Así, la tecnología web,
los gestores de contenidos o las plataformas de formación de aprendizaje como Blackboard o
Moodle, proporcionan un retorno al estudiante de forma inmediata y personalizada siendo
ampliamente utilizados como apoyo en la formación (Wang, 2007). Otros sistemas de evaluación
automática en el ámbito de las matemáticas son: WebPa de la Universidad de Loughborough, el
proyecto CAS-CAT de Alberta o WebAssign de la Universidad de Georgia (Pacheco et al., 2012).
Entre las carencias que presentan estos sistemas se puede destacar que el tipo de matemáticas a
evaluar es limitado, que se orientan fundamentalmente al resultado y que no permiten introducir
fácilmente nuevos ejercicios y soluciones.
Al mismo tiempo, la posibilidad de utilizar sistemas de álgebra computacional (CAS) en cursos de
matemáticas de nivel superior, ha posibilitado la exploración interactiva y la simulación como
apoyo al aprendizaje de las matemáticas (Marshall et al, 2012). Este hecho ha motivado la
utilización de estos sistemas como herramientas aplicables en la evaluación basándose en la idea
de que las respuestas que pueda dar el estudiante sean evaluadas automáticamente por el CAS.
Algunos ejemplos de sistemas que incorporan esta posibilidad son: STACK, que funciona dentro
de un módulo Moodle, Mathletics, el sistema comercial Maple T. A., Wiris Quizzes o el entorno
Digital Mathematics Environment (Sangwin, 2013).
Con objeto de ampliar las ventajas de estos sistemas integrándolos en actividades interactivas
multimedia, se presenta en esta comunicación una herramienta de evaluación automática
desarrollada como parte de un Proyecto de Innovación Docente en la III Convocatoria de la
Universidad de Cantabria. Su utilización en la docencia de las asignaturas de Cálculo en varios
Grados de Ingeniería que se imparten en la E.T.S.I. Industriales y Telecomunicación, está
permitiendo explorar sus posibilidades.
El artículo se estructura de la siguiente forma. En primer lugar se analiza las características de la
herramienta desarrollada para posteriormente describir la metodología seguida para la creación y
posterior aplicación en el aula. Seguidamente se muestra un ejemplo de las actividades
desarrolladas. Para terminar se resumen las principales ideas expuestas y se presentan algunas de
las líneas de trabajo futuras.
2. Sistema de evaluación formativa con tutorización automática
129
Dado que en la actualidad los ordenadores constituyen herramientas cotidianas en el aprendizaje
y la enseñanza, se debe potenciar también su integración en la evaluación teniendo en cuenta no
solo los beneficios que proporcionan sino también algunas de sus limitaciones (Lawson, 2012). Es
importante tener en cuenta que esta integración conlleva realizar una planificación completa de
todo el proceso ya que los resultados de aprendizaje no podrán ser los mismos y, en consecuencia,
tampoco podrá serlo su evaluación.
Según diferentes estudios (Barberá, 2016), la introducción de las tecnologías en el proceso de
formación ha producido principalmente tres estrategias en las actividades de evaluación:
Evaluación automática, principalmente mediante pruebas tipo test que utilizan bases de
datos y ofrecen a los estudiantes una evaluación inmediata.
Desarrollo de trabajos de investigación o de búsqueda de información gracias a las
posibilidades que ofrece internet como fuente de información.
Evaluación colaborativa a través de debates virtuales, foros de conversación y grupos de
trabajo.
En este artículo se presenta una herramienta de evaluación automática basada en la posibilidad de
comunicación de dos programas muy utilizados en el ámbito de las matemáticas: Descartes, que
cuenta con un intérprete javascript llamado DescartesJS (http://descartes.matem.unam.mx/), y
Geogebra (https://www.geogebra.org/cms). Descartes, nace a finales del siglo XX como una
herramienta de autor para la creación de unidades didácticas interactivas que genera archivos html
para ser visualizados en una página web. Permite incluir distintos espacios, elementos gráficos
bidimensionales y tridimensionales y distintos tipos de controles: numéricos, de texto, de audio y
de video. Geogebra es un software de matemáticas dinámicas para todos los niveles educativos
que reúne geometría, álgebra, hoja de cálculo, gráficos, estadística y cálculos numéricos y
simbólicos. Su desarrollo comenzó en el año 2001 y sus construcciones son fácilmente exportables
a páginas web. Ambas herramientas comparten que son software gratuito, que permiten generar
contenido para dispositivos móviles y que cuentan con una gran comunidad de usuarios que
produce contenidos trabajando de forma colaborativa.
La posibilidad de comunicación de Descartes con html, permite integrar construcciones Geogebra
en Descartes de manera que se comparte bidireccionalmente la información que se genera en
ambos entornos. El nivel de diálogo que se puede conseguir entre Descartes y Geogebra facilita
130
lograr objetos educativos con un alto nivel de interactividad, siendo el procedimiento totalmente
transparente para el estudiante que lo utilice.
Para interactuar con aplicaciones Geogebra desde Descartes se aprovecha la posibilidad de
comunicación javascript con los objetos Geogebra y la capacidad de incorporar espacios
htmlframe en escenas Descartes. Esta comunicación se realiza en tres pasos:
1. Enviar comandos desde Descartes a una página html que contiene el objeto Geogebra.
2. Enviar este comando de la página html al applet Geogebra y obtener a través de la página
html su resultado.
3. Enviar el resultado desde la página html a la escena Descartes.
Para el paso 1 y 3 se requiere que la escena “madre” incluya un espacio HTMLIframe que permita
embeber la página html contenedora del objeto Geogebra. Para el paso 3 se utiliza el método
evalCommandCAS(string) que envía el comando a ejecutar por el CAS de Geogebra en una cadena
de caracteres y devuelve su resultado también en una cadena de caracteres.
3. Metodología
La creación de esta herramienta y las actividades generadas con ella utilizadas en el aula han
formado parte del desarrollo del proyecto: Giematic UC: Diseño y desarrollo online de ejercicios
interactivos de matemáticas con estrategias de tutorización automática dentro de la III
Convocatoria de Innovación Docente de la Universidad de Cantabria. En este momento se ha
finalizado la experimentación en la asignatura básica de primer curso Cálculo I, que se imparte en
el primer cuatrimestre en los Grados de Ingeniería Mecánica, Ingeniería de Tecnologías
Industriales, Ingeniería Química e Ingeniería de Tecnologías de Telecomunicación de la E.T.S.I.
Industriales y Telecomunicación.
La estrategia evaluativa para la asignatura Cálculo I se ha diseñado considerando los siguientes
aspectos:
Los contenidos a abordar en las actividades evaluables. Esta decisión se tomó teniendo en
cuenta por un lado el tiempo de desarrollo de la herramienta y, por otro, la idoneidad de
los temas para aportar más valor al tratar aspectos con mayor dificultad de compresión para
el estudiante.
La concreción de los contenidos principales a trabajar, priorizando las acciones en función
de los objetivos a alcanzar.
131
Los distintos niveles de complejidad de cada contenido asumiendo la siguiente
clasificación: el nivel 1 para ejercicios que involucren recordar conceptos e identificar
elementos, el nivel 2 para comprender relaciones simples y el nivel 3 para resolver
problemas que exijan establecer relaciones e implicaciones.
La formulación de una tabla de especificaciones en las que, en función de los objetivos de
aprendizaje planteados, se explicitó el nivel de complejidad. Esta tabla ha facilitado
elaborar posteriormente el banco de ítems con sus características (métricas y de contenido).
Se han creado pruebas de respuesta cerrada con ítems de respuesta múltiple para dos temas de la
asignatura Cálculo I. En total se han preparado 60 ítems con sus métricas y su retroalimentación.
Las actividades se presentan mediante una plantilla creada con la herramienta Descartes lo que ha
permitido incorporar texto, imágenes fijas, animaciones, vídeo y sonido generando así escenas
interactivas que se han utilizado en la retroalimentación a las respuestas que da el estudiante (en
total 240 páginas html). Se ha generado también el modelo que permite incluir ítems de respuesta
abierta para su corrección de forma automática. Esta plantilla genera la explicación a la respuesta
dada por el estudiante de forma también automática utilizando distintos parámetros y cálculos
matemáticos.
4. Materiales
Para el diseño y creación de las actividades de evaluación se ha adoptado como estrategia plantear
conflictos cognitivos, reconociendo contradicciones, con el objetivo de intentar promover
actividades de autoevaluación basadas especialmente en la gestión de errores. La experiencia
docente del profesorado que participa en este Proyecto y los datos recabados en proyectos
desarrollados con anterioridad, ha permitido contar con amplia información de errores habituales
en la comprensión de conceptos y resolución de ejercicios de los temas seleccionados.
Como muestra de las actividades creadas, se describe brevemente uno de los ítems de evaluación
de respuesta múltiple desarrollado en el que se puede apreciar el detalle de retroalimentación que
se facilita al estudiante cuando su respuesta no es correcta.
Esta retroalimentación se ha diseñado en etapas o pasos. En la Figura 1 aparece el primero de la
resolución de la actividad dando distintas posibilidades de elección que se muestran al estudiante
de forma aleatoria. En caso de que se seleccione la opción correcta se avanzará al siguiente paso y
132
en caso contrario, se solicitará de nuevo que haga una nueva elección tras una justificación de la
razón por la cual la respuesta elegida no es correcta (ver imagen de la derecha de la figura 1).
En el segundo paso, el ejercicio plantea al estudiante la descripción de un dominio regular en
coordenadas polares facilitándole una herramienta multimedia interactiva de ayuda para que pueda
explorar si lo considera conveniente. Una vez planteada la integral a realizar en el tercer paso, se
finaliza resolviendo la integral. En este último paso se facilita también una nueva herramienta para
la realización del cálculo. A la derecha de la figura 2 se muestran estas dos herramientas
proporcionadas en el proceso.
Elegida una opción:
Figura 1.Ejercicio de autoevaluación: retroalimentación guiada por pasos
Herramienta descripción dominio
Herramienta de cálculo integral
133
Figura 2.Ejercicio de autoevaluación: herramientas interactivas
5. Evaluación
En este momento, se ha concluido la primera experimentación planificada en el Proyecto
permitiendo analizar inicialmente la experiencia realizada. El Proyecto continúa desarrollándose
en la asignatura Cálculo II que se imparte en el segundo cuatrimestre en las titulaciones
anteriormente citadas, por esta razón, una vez finalizado el curso se podrá realizar un análisis más
completo.
El número de estudiantes que han participado voluntariamente en esta primera experiencia ha sido
alto, un 72% de los 340 alumnos matriculados en las asignaturas implicadas. Finalizado el primer
cuatrimestre se pasó una encuesta a los participantes para conocer la valoración sobre su
satisfacción general con la experiencia, la facilidad de uso del material así como la utilidad, la
claridad y la calidad del contenido. La figura 3 resume los resultados considerando una escala
Likert de 1 a 5 (1 totalmente en desacuerdo - 5 totalmente de acuerdo).
Figura 3. Satisfacción de los estudiantes
1 2 3 4 5
Facilidad uso 0% 0% 13% 48% 40%
Utilidad 0% 2% 15% 54% 29%
Claridad 0% 0% 25% 48% 27%
Calidad 0% 0% 19% 56% 25%
Satisfacción global 0% 0% 17% 54% 29%
0%10%20%30%40%50%60%
Encuesta de opinión
134
De esta consulta se ha obtenido también información muy valiosa a partir de las sugerencias que
han transmitido los estudiantes para la mejora tanto de los contenidos como de la organización de
la experiencia. Entre ellas, sugieren incluir explicaciones más detalladas de algunos aspectos,
incorporar más elementos visuales, mejorar la navegación de la herramienta y ampliar la
experiencia a otros temas de la asignatura.
6. Conclusiones y trabajo futuro
La utilización de actividades de evaluación formativa constituye una interesante herramienta de
información que promueven el aprendizaje y favorecen el desarrollo de conocimiento y
habilidades. La incorporación de retroalimentación y el análisis de errores constituyen un pilar
fundamental en la concepción de la evaluación continua como formativa.
En este artículo se ha presentado un ejemplo de actividad diseñada a partir de plantillas
configurables que facilitan la evaluación formativa gracias a la posibilidad de comunicación de las
herramientas de autor DesartesJS y Geogebra. Entre las ventajas de este tipo de evaluación se
pueden destacar la mejora del aprendizaje, un trabajo más autónomo del estudiante y un cambio
de actitud del alumnado respecto a la evaluación.
Estas actividades se han integrado dentro del proceso de aprendizaje y se han diseñado a partir de
la información recabada en proyectos anteriores desarrollados por el grupo de profesores que
imparten docencia en las asignaturas de Cálculo en los Grados de la E.T.S.I. Industriales y
Telecomunicación de la Universidad de Cantabria. Si bien el Proyecto no está concluido, se quiere
destacar la valoración positiva de los estudiantes a esta iniciativa y sus aportaciones para la mejora
de los materiales.
En el futuro se pretende explorar la inclusión de nuevas tecnologías en el desarrollo de actividades
y facilitar la creación de actividades innovadoras mejorando las interfaces para el profesorado
proporcionando también rúbricas que faciliten el automatismo en el registro de resultados.
7. Referencias bibliográficas
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Wang, T. H. (2007). What strategies are effective for formative assessment in an e‐learning environment?. Journal of
Computer Assisted Learning, 23(3), 171-186
136
CB-234
UMA AVALIAÇÃO DO PROCESSO DE VISUALIZAÇÃO NA APRENDIZAGEM DE
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
William Vieira – Vera Helena Giusti de Souza – Roberto Seidi Imafuku
[email protected] – [email protected] – [email protected]
Instituto Federal de São Paulo/Brasil – Universidade de São Paulo/Brasil – Instituto Federal de
São Paulo/Brasil
Núcleo temático: Ensino e aprendizagem da matemática em diferentes modalidades e níveis
educacionais.
Modalidade: CB
Nível educativo: Formação e atualização de ensino
Palavras chave: Sequências numéricas, aspectos intuitivos, aspectos formais, visualização.
Resumo
Apresenta-se, neste trabalho, a análise de uma questão sobre a classificação de gráficos de
sequências numéricas, aplicada para estudantes de um curso de Licenciatura em Matemática de
oito semestres, após terem cursado a disciplina Cálculo IV (6º semestre), que trata deste tema.
Busca-se, com isso, observar como os participantes interpretam visualmente propriedades de
sequências – ser crescente, monótona, limitada, ter limite, ser convergente – e como as relacionam
nas classificações realizadas. A interação de aspectos algorítmicos, intuitivos e formais colocada
por Fischbein e o processo de visualização, relativo ao desenvolvimento do Pensamento
Matemático Avançado, destacado por Dreyfus, são as ideias teóricas que sustentam as análises
dos protocolos, que revelam dificuldades dos participantes da pesquisa em estabelecer relação
visual entre uma sequência ser convergente e ter limite; uma sequência constante com a existência
do limite; e os conceitos de sequência limitada e de convergência de sequência.
Apresentamos a análise de uma questão sobre a classificação de gráficos de sequências numéricas,
que foi aplicada para 17 estudantes de um curso de Licenciatura em Matemática, ao final da
disciplina Cálculo IV e do 6º semestre letivo (Vieira, 2016). O objetivo de nossa investigação foi
observar como os participantes interpretam visualmente conceitos e propriedades de sequências,
como ser crescente, decrescente, monótona, limitada, possuir limite e ser convergente, e como os
relacionam em suas classificações.
Fundamentação Teórica
Fischbein (1994) coloca em discussão a necessidade de interagir aspectos formais, algorítmicos e
intuitivos nos processos de criação e de aprendizagem de Matemática. Destaca ainda que, ao
considerar essa interação, estamos olhando a Matemática como um processo criativo e não como
137
um corpo de conhecimentos estruturado e já estabelecido, o que envolve momentos de “(...)
iluminação, hesitação, aceitação e refutação” (Fischbein, 1994, p. 242).
Segundo Fischbein (1994), o aspecto formal refere-se aos axiomas, definições, teoremas e
demonstrações, que compõem o núcleo das ciências matemáticas e precisam ser considerados
quando analisamos ou observamos o processo de criação em Matemática.
O aspecto algorítmico corresponde às técnicas e procedimentos de resolução, que também tem um
caráter fundamental nos processos de entendimento e de criação em Matemática, uma vez que
apenas o conhecimento das estruturas formais (axiomas, definições, teoremas) não é suficiente
para conferir habilidade para resolver problemas.
O aspecto intuitivo diz respeito a uma intuição cognitiva, um entendimento intuitivo, uma solução
intuitiva que, pela sua natureza, exercem papel coercitivo no raciocínio, definindo caminhos e
estratégias para a resolução de problemas. Por vezes, isso pode se tornar um facilitador do processo
de conhecimento, se estiver de acordo com verdades logicamente justificáveis; em outros casos,
um caminho para contradições e equívocos, como aceitar, por exemplo, que “a parte é menor que
o todo”, “uma série infinita tende ao infinito, pois somamos valores indefinidamente” ou
“multiplicar sempre aumenta”. Esses exemplos caracterizam situações que um sujeito pode
considerar auto-evidentes, não vê necessidade de justificativa ou se ancora em conhecimentos mal
estruturados.
Dreyfus (1991) entende o Pensamento Matemático Avançado como uma inter-relação de
processos cognitivos como representação, visualização, classificação, justificação, generalização,
síntese e abstração.
O processo de representação desempenha papel central no desenvolvimento de Matemática, pois
só temos acesso aos conceitos e objetos por meio de suas representações. Ao discutir um conceito,
procedimento ou noção matemática, cada um de nós o relaciona com algo que vem à mente. Essa
é a representação mental que temos de tal conceito.
A visualização é um dos processos pelo qual as representações mentais podem passar a existir.
Dreyfus (1991) aponta que a geração de representações mentais depende de sistemas de
representação, de produções externas, concretas, que podem ser percebidas pelo sujeito. No caso
das sequências numéricas, gráficos, fórmulas algébricas, tabelas e representações numéricas
materializam o conceito de sequência, pois são produções, artefatos externos dessa ideia.
138
A seguir, apresentamos a questão aplicada para os participantes, os resultados obtidos nos
protocolos e uma discussão sobre eles.
Análise da questão proposta
Questão 1 Os gráficos a seguir representam sequências numéricas. Admitindo que os
comportamentos indicados nos gráficos persistam, classifique essas sequências em convergente,
divergente, crescente, decrescente, limitada, sem limite, limite infinito, possui limite,
constante, monótona. Em cada caso, apresente todas as classificações possíveis.
Na Figura 1, apresentamos as classificações consideradas corretas para cada uma das sequências
da Questão 1 e a porcentagem de estudantes que marcou cada opção. Por exemplo, no caso do
gráfico A, 47% dos estudantes assinalou corretamente o termo ‘convergente’, portanto 53% não
registrou essa classificação e não considerou a sequência ‘convergente’.
139
Figura 1 – gráficos ap
resentados na Questão 1
A partir da análise dos protocolos e das estatísticas indicadas na Figura 1, identificamos as classes
de erros (Cury, 2007) destacadas no Quadro 1, no qual apresentamos as frequências e os
percentuais de ocorrência de cada tipo de erro.
Quadro 1 - Erros identificados na Questão 1
Descrição do Erro Freq %
A1 - Não relacionar convergência e sequência limitada 7 41%
B1 - Não relacionar possuir limite com sequência limitada 9 53%
C1 - Não relacionar sequência constante e convergência 9 53%
D1 - Não relacionar convergência com possuir limite 6 35%
140
E1 - Aplicar parcialmente ou de maneira equivocada o conceito de sequência limitada
9 53%
Os erros tipo A1 e B1 concentram os participantes que não foram capazes de identificar que a
sequência é limitada quando a classificaram como ‘convergente’ ou ‘possui limite’. De maneira
geral, houve um bom índice de acertos na identificação de sequências convergentes e que possuem
limite, conforme indicam as estatísticas apresentadas na Figura 1, apesar dos índices desses
conceitos nos gráficos A e C terem ficado em torno de 50%. Por outro lado, o conceito de sequência
limitada parece não estar claro para a maioria dos participantes; os índices de 41% de estudantes
que cometeram o erro tipo A1 e o de 53% do erro B1 corroboram as dificuldades dos participantes
na identificação/uso deste conceito.
A estudante Bia10, por exemplo, classificou apenas a sequência do gráfico E como limitada, conforme destacado na
Figura 2. Em entrevista, ao ser convidada a explicar porque classificou o gráfico D como convergente, possui limite
e crescente e não como limitado, disse “Pra ser limitada tem que ser dos dois lados, não sei se eu posso dizer isso, né?
Como aqui (gráfico E), vem em cima e embaixo, aqui (gráfico D) não, ela vem lá do infinito, do menos infinito. Ela
não é limitada aqui (aponta o início do gráfico D)”.
Essa colocação evidencia que, além da dificuldade com o conceito de sequência limitada, a
estudante também não tem clareza da definição de sequência numérica, situação que fica marcada
pela colocação “ela vem lá do infinito, do menos infinito”.
Figura 2 – Respostas da estudante Bia
10 Os nomes apresentados neste artigo são fictícios.
141
Não relacionar sequências constantes com a ideia de convergência, erro tipo C1, foi cometido por
53% dos participantes da pesquisa. As respostas de Maria (Fig. 3) exemplificam esse tipo de erro
que, entendemos, estão relacionados a incompreensões de aspectos formais da definição de
convergência, uma vez que 6 dos 9 participantes (35% do total) que cometeram o erro tipo C1
classificaram a sequência do gráfico C como constante
Figura 3 – Respostas da estudante Maria
Dificuldades em relacionar convergência e sequências constantes foram identificadas por outros
autores, e explicadas como relacionar convergência com monotonicidade e movimento
(Sierpinska, 1985) e “limite ... atinge ou não?” (Cornu, 1983). Os dados de nossa investigação
corroboram esses resultados e indicam uma realidade bastante dura do ensino de Matemática no
nível superior, uma vez que, apesar dessas dificuldades já terem sido identificadas há alguns anos,
os professores de Matemática brasileiros ainda não foram capazes de criar estratégias que ajudem
os estudantes a superá-las.
As estatísticas apresentadas na Figura 1 mostram que houve um bom desempenho dos estudantes
em classificar as sequências em ‘convergente’ e ‘possui limite’; entretanto, como também mostram
142
essas estatísticas, a associação entre estes conceitos nem sempre ocorreu de maneira satisfatória,
o que nos levou a identificar o erro tipo D1, não relacionar convergência com possuir limite, para
35% dos participantes. As respostas da estudante Geane (Fig. 4) são exemplos desse tipo de erro.
Figura 4 – Respostas da estudante Geane
O erro tipo E1, aplicar parcialmente ou de maneira equivocada o conceito de sequência limitada,
cometido por 53% dos participantes, reitera as confusões conceituais sobre sequência limitada e
que foram identificadas nos protocolos. O estudante Camilo, por exemplo, aplicou corretamente
este conceito para as sequências dos gráficos C, D, E e F, mas não repetiu essa classificação para
os gráficos A e B, conforme destacado na Figura 5.
Figura 5 – Respostas do estudante Camilo
Em entrevista, questionado sobre não ter classificado os gráficos A e B como limitados, Camilo disse “Porque eu acho
que eu pensei na ideia da... de uma função ser limitada mesmo. (...) No caso, eu tava confundindo limitada e tem limite
ainda”. Em seguida, interpelado sobre o que é uma função limitada, explicou que “Eu penso... eu tenho a ideia de
143
função limitada as do tipo sanduíche11, né, quando o limite deles vão pra um mesmo número (faz um gesto em que as
palmas das mãos se aproximam)”, colocação que indica a confusão do estudante entre os conceitos de sequência
limitada e limite de sequências.
Em seguida, perguntamos porque ele classificou a sequência do gráfico C como limitada, mas não
como constante (Fig. 5) e Camilo respondeu “Por que que eu não coloquei que era constante? Não
sei também... Porque independentemente de qual seja meu termo, eu vou ter o mesmo número na
sequência. É constante”. E, ao justificar a classificação de limitada para o gráfico C, mostrou-se
indeciso sobre sua escolha e disse “É, mas não sei se... Eu acho que foi a mesma coisa que eu
pensei aqui (aponta gráficos A e B). Coloquei limitada porque tinha um limite e daqui (gráficos A
e B) eu tirei e daqui (gráfico C) não”. Perguntado se voltaria atrás na classificação do gráfico C,
disse que “Tiraria o limitada”.
As considerações de Camilo indicam confusões sobre aspectos formais de sequências e funções.
De fato, as explicações de Camilo para função limitada indicam que não compreende que dizer
que uma sequência é limitada significa que existe um intervalo numérico que contém a imagem
dessa sequência. Além disso, o argumento de Camilo revela aspectos intuitivos confusos e que não
estão inter-relacionados com aspectos algorítmicos e formais dos conceitos que utiliza. De fato, ao
revelar que confundia limitada com tem limite e que voltaria atrás na classificação da sequência
constante representada pelo gráfico C, este estudante coloca em xeque as outras classificações
acertadas que realizou, uma vez que dá mostras de que o conceito de função limitada não está
claramente estabelecido para ele.
Considerações Finais
A análise da Questão 1 mostra que, de fato, muitos dos participantes da pesquisa têm dificuldades
em estabelecer a relação entre sequência convergente e seu limite, como mostram as estatísticas
associadas ao erro tipo D1, e em relacionar sequência constante com a existência do limite (erro
tipo C1). Além disso, dificuldades com o conceito de sequência limitada (erro tipo E1) e em
relacioná-lo aos conceitos de convergência e ao limite de uma sequência (erros tipo A1 e B1)
também ficaram evidentes nas análises dos protocolos.
Num panorama geral, essas dificuldades encontram explicação num ensino marcado pelo
privilégio de aspectos algorítmicos e intuitivos, que não estão amparados nas justificativas formais
11 O estudante se refere ao Teorema do Confronto.
144
de conceitos e resultados, situação que corrobora a posição colocada por Fischbein (1994), com a
qual concordamos, de que apenas o conhecimento de técnicas e ideias intuitivas não são suficientes
para conferir a um sujeito habilidade em resolver problemas.
Além disso, entendemos que as dificuldades apresentadas por estes participantes na interpretação
dos gráficos estão ligadas à pouca exploração de diferentes representações de conceitos
relacionados às sequências numéricas e à não interação entre aspectos intuitivos e formais
associados a essas ideias, perspectiva que não lhes conferiu familiaridade, nem habilidade, na
análise de gráficos de sequências e comprometeu o desenvolvimento do processo de visualização.
Referências bibliográficas
Cornu, B. (1983). Apprentissage de la notion de limite: conceptions et obstacles. Tese
de Doutorado. França: Universidade de Grenoble.
Cury, H. N. (2007). Análise de erros: o que podemos aprender com as respostas dos alunos. Belo
Horizonte: Autêntica.
Dreyfus, T. (1991). Advanced Mathematical Thinking Processes. In David Tall (Org.), Advanced
Mathematical Thinking, pp. 25-41. Londres: Kluwer Academic Publisher.
Fischbein, E. (1994). The interaction between the formal, the algorithmic, and the intuitive
components in a mathematical activity. In Rolf Biehler et al. (Org.), Didactics of Mathematics as
a Scientific Discipline, pp. 328-375. Dordrecht: Kluwer Academic Publisher.
Sierpinska, A. (1985). Obstacles épistémologiques relatifs à la notion de limite. Recherches en
Didactique des Mathématiques, v. 6, pp. 5-67.
Vieira, W. (2016). Do Cálculo à Análise Real: um diagnóstico dos processos de ensino e de
aprendizagem de sequências numéricas. Tese de Doutorado. São Paulo: Universidade Anhanguera
de São Paulo.
145
CB-236
ESTUDO DE PERIODICIDADE:
FATORES DETERMINANTES EM UMA TRAJETÓRIA DE APRENDIZAGEM
Sonner Arfux de Figueiredo1 – Nielce Meneguelo Lobo da Costa 2
[email protected] – [email protected]
Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul- UEMS/Brasil - Universidade Anhanguera de São
Paulo – UNIAN/Brasil
Núcleo temático: Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y
niveles educativos.
Nivel educativo: Formación y actualización docente
Modalidad: CB
Palabras clave: funções trigonométricas; taxonomia; aprendizagem conceitual.
Resumo O objetivo deste estudo foi identificar características da construção do significado de
periodicidade de funções trigonométricas por estudantes de um curso de Licenciatura em
Matemática. Se desenhou um experimento de ensino que contempla a caracterização do
mecanismo cognitivo centrado na relação atividade efeitos em uma Trajetória Hipotética de
Aprendizagem - THA (hypothetical learning trajectory-HLT), segundo Simon, Tzur, Heinz, Kinzel
(2004), com uma taxonomia sobre os processos de generalização a partir da ideia de abstração
reflexiva de Piaget (1977), para identificar fatores que configuram a trajetória de aprendizagem.
Os resultados indicaram uma trajetória determinada pela coordenação em gerar um conjunto de
registros sobre a relação entre a ação de modificar parâmetros relativos às funções
trigonométricas e estender a relação ao período de uma função dada para expressar
analiticamente e geometricamente para casos gerais.
Introdução
Pesquisas educacionais recentes sobre aprendizagem têm se baseado em teorias cognitivas, muitas
das quais com foco neopiagetiano. Teorias dessa natureza têm fornecido subsídios significantes e
promissores para o desenvolvimento de metodologias, na busca por avanços na compreensão sobre
a evolução do conhecimento humano. Essas teorias e pesquisas podem embasar tomadas de
decisão no dia-a-dia da sala de aula.
Em particular, em relação aos conhecimentos trigonométricos, são vários os conceitos a serem
construídos que devem anteceder a abordagem das funções seno, cosseno e tangente; Por exemplo:
priorizar o ensino das relações métricas no triângulo retângulo e das leis do seno e do cosseno por
146
serem ferramentas essenciais a serem apropriadas previamente pelos alunos para melhor
compreensão das funções.
Neste artigo, a partir da ideia de caracterização do significado de periodicidade de funções
trigonométricas, investigamos em um experimento de ensino, como os alunos de Licenciatura em
Matemática constroem e consolidam o conceito de periodicidade.
O Desenho do Experimento
A investigação desenvolveu-se em um processo de formação inicial no qual se aplicou um
experimento de ensino sobre funções trigonométricas usando o Software GeoGebra em uma
relação entre a atividade efeito com o uso de lápis e papel em um entorno tecnológico, cujo objetivo
foi compreender a caracterização do conceito de periodicidade em funções trigonométricas. O
processo formativo foi desenvolvido na Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul-UEMS, no
Curso de Licenciatura em Matemática, da Unidade Universitária de Nova Andradina. Dezesseis
acadêmicos de ingressantes no Curso participaram do experimento de ensino sobre funções
trigonométricas, que teve duração de 12 seções de 50 minutos divididos em quatro módulos cada
um.
A pesquisa foi qualitativa, de natureza descritiva e interpretativa, com características da pesquisa-
ação e elementos do Design-Based Research (DBR) proposta por Coob, Confrey, Disessa, Lehrer
e Schauble (2003). Esse tipo de investigação (DBR) permite ajustes tanto no processo formativo
quanto no investigativo e os experimentos de ensino são desenhados de modo a se adequarem ao
grupo pesquisado, o que atendeu aos interesses desta pesquisa. Durante as seções do experimento
de ensino foram capturadas as telas com as tarefas realizadas pelos acadêmicos, assim como
diálogos e produções escritas, com o programa Gadwin Print Screen.
Para a construção e consolidação dos conceitos o experimento de ensino foi organizado
considerando uma THA com tarefas envolvendo elementos algébricos das representações
analíticas dos conjuntos estruturais e recursos tecnológicos. As tarefas dos módulos se articularam
a partir dos seguintes pontos:
Conceito de função trigonométrica e sua relação com o ciclo trigonométrico (tarefa I);
Exploração e conjecturas na validação entre o argumento de função trigonométrica e sua
definição com o uso da tecnologia (tarefa II);
Exploração gráfica com o Software GeoGebra e ampliação das definições e propriedades de
função periódica às funções trigonométricas (tarefa III).
147
Taxonomia para a Generalização
A primeira dimensão do modelo de análise foi suportada pela taxonomia SOLO (Structure of the
Observed Learning Outcomes), Estrutura dos Resultados de Aprendizagem Observados, que surge
como base do enquadramento conceitual permitindo explorar o crescimento cognitivo dos alunos.
Para Biggs e Collis (1982), a ideia de abstração reflexiva de Piaget (1977) e alguns dos atributos
da teoria dos estágios de desenvolvimento foram considerados como pressupostos tais como: (i) a
existência de uma sequência de desenvolvimento cognitivo; (ii) a compreensão em níveis
particulares de desenvolvimento; (iii) padrões de desenvolvimento e (iv) graus de proficiência na
assimilação de certo tipo de experiências.
Aqui a qualidade da aprendizagem não é vista apenas como a classificação qualitativa que um
aluno obtém quando responde a uma questão, mas também como o processo qualitativo de
produção dessa resposta (raciocínio matemático) utilizando fatos, conceitos e capacidades.
Esta taxonomia SOLO, desenvolvida por Biggs e Collis (1982), estabelece cinco estágios de
compreensão classificados por ordem crescente de complexidade: (i) Pré-estrutural; (ii) Uni-estrutural;
(iii) Multi estrutural; (iv) Relacional e (v) Abstrato. Estes modos de pensamento são importantes, mas
não fornecem informação suficiente para explicar como a complexidade do pensamento matemático
ocorre em cada modo ou o que é necessário acontecer de forma que as ideias matemáticas progridam
para modos mais elevados observando as diferenças existentes entre experiências de aprendizagem e
experiências de repetição.
A Trajetória Hipotética de Aprendizagem e a Construção do Conceito de Periodicidade
Nossa hipótese é que os estudantes, depois de tratarem e compreenderem as indicações e questões
das tarefas, se familiarizem com o applet e realizem ações experimentais de forma geométrica e
analítica (ver Quadro 1). Estas ações deverão ajudar a relacionar o efeito sobre a expressão
analítica ao modificar as representações geométricas e vice-versa. Na sequência os estudantes, ao
modificarem os períodos e domínios das funções, novamente podem observar o efeito dessas
modificações na representação geométrica e vice-versa. Além disso, podem buscar outros
exemplos para comparar hipóteses e conjecturar propriedades.
Esperamos que, a partir destas ações, os alunos infiram as propriedades do tipo analítico e
geométrico, coordenando as duas linguagens. Neste sentido, entendemos que os processos de
reflexão sobre as ações com o estudo da periodicidade de diferentes funções podem auxiliar os
148
estudantes a estenderem as definições e propriedades de função periódica (já conhecidas) às
funções trigonométricas.
No quadro abaixo explicitamos e relacionamos as linguagens geométrica e algébrica selecionadas
no experimento de ensino.
Quadro 1: Relação entre as linguagens algébrica e geométrica nas tarefas propostas
Atividades Geométrico Algébrica Ações
Tarefa 1:
Caracterização
da aplicação
Representação Geométrica da
função seno e cosseno.
A projeção de dois ângulos, por
exemplo, α∈1ºQ e β∈2ºQ, tal
que β = π – α
Representação
algébrica de f(x)=sin x
e g(x)= cos α = y/r, no
círculo trigonométrico
(raio 1).
Digitar no
software
GeoGebra as
funções seno e
cosseno
Tarefa 2:
Definição da
função seno x
para círculo de
raio 1
Projeção para o estudo da
variação f(x) = y = sin 𝑥
g(x) = y = cos 𝑥, para
0≤x≤2 𝜋.
A periodicidade é
válida em funções
trigonométricas, e
como definir suas
inversas
Conjecturar e
validar as
propriedades no
ciclo
trigonométrico
Tarefa 3:
Determinação
do argumento
de funções
trigonométricas
Representação Geométrica de
uma função f: R→ R periódica
de período T (Ou seja, de uma
função tal que f(𝑥 + 𝑡) = 𝑓(𝑥)
para todo 𝑥𝜖𝑅.
Se T é um período para uma
função f, então 2T também é
período pois 𝑓(𝑥 + 2𝑇) = 𝑓(𝑥 + 𝑡) = 𝑓(𝑥).
Mostrar que a função é
periódica se existir um
número real p, p>0, tal
que 𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥),
para todo x de seu
domínio.
Movimentar um
ponto P sobre a
circunferência no
sentido anti-
horário até
completar a tabela
e o gráfico
Fonte: Acervo dos autores
Os estudantes também podem estender algumas definições como o conceito de periodicidade para
0≤x≤2 𝜋 em qualquer função trigonométrica. Neste sentido mostramos cada uma das tarefas e o
que esperamos em consonância da taxonomia de SOLO.
Tarefa 1. Caracterização da função trigonométrica
Esta tarefa objetiva gerar um conjunto de registros sobre a relação entre a ação de modificar
parâmetros relativos às funções seno e cosseno e o efeito produzido.
Consideremos a função seno do ângulo α, definida por sin α = y/r, num círculo trigonométrico de
raio r=1. Então, temos sin α = y.
Tarefa 2. Periodicidade e uma função
O objetivo da tarefa 2 é associar o conceito de periodicidade de uma função trigonométrica
conjecturando suas propriedades. Além disso, observar que as respectivas inversas não são
149
injetivas quando se toma o domínio R das funções trigonométricas – ou seja, para um determinado
argumento das funções trigonométricas inversas, estas devolvem como solução uma infinidade de
ângulos possíveis, separados de um número inteiro de períodos da função trigonométrica original
(2π no caso do seno, cosseno, secante e cossecante, e π no caso da tangente e cotangente). Desse
modo, é necessário restringir o domínio da função trigonométrica para então definir a sua inversa.
Por exemplo, deve-se escolher uma restrição do domínio da função seno tal que os seus elementos
representem todos os valores possíveis da imagem da função seno.
Tarefa 3: Estender o conceito de periodicidade.
O objetivo da tarefa 3 é levar os alunos a estender e fazer inferências. A partir do estudo do período
das funções seno ou cosseno levar os alunos a concluírem que a periodicidade pode ser estendida
às demais funções trigonométricas, generalizando as suas propriedades, sejam ela algébricas ou
geométricas.
Na figura 2, apresentamos um dos applets utilizados na tarefa 3. Suponhamos que P=A e, P se
movimenta sobre a circunferência no sentido anti-horário até completar uma volta completa no
ciclo, enquanto isso o gráfico da função seno é traçado.
Figura 3: Imagem do applet funções trigonométricas para o estudo de periodicidade
Fonte: Figueiredo, 2015, pág.231.
Na mesma atividade os alunos exploraram outro applet disponibilizado com um recurso a mais,
de forma a caracterizar e generalizar suas conjecturas e afirmações sobre o conceito abordado (Ver
figura 3)
150
Figura 4: Applet para estudo e conjectura das definições e propriedades trigonométricas
Fonte: Figueiredo, 2015, pág.151.
Com este applet, os alunos puderam conjecturar e validar a definição de função periódica, ou seja,
a função f(x) é periódica se existir um número real p, p>0, tal que 𝑓(𝑥 + 𝑝) = 𝑓(𝑥), para todo x
de seu domínio. O menor número positivo p que satisfaz essa condição é denominado período da
função. Assim, podem estender o conceito de função periódica no caso de uma função que é
trigonométrica, o que significa dizer que, no caso de uma função como f(x)=sin x, a curva obtida
no intervalo [0,2π] vai se repetir a cada intervalo 2π. Neste outro applet o aluno poderia
conjecturar, entre outros, também sobre o comportamento de uma função trigonométrica modular
e seu período. Em geral, o aluno verifica que kT é um período, onde k é um número inteiro.
Destacamos, no quadro 2, os tipos de generalizações esperadas.
Quadro 2: Tipos de generalizações esperadas na tarefa de periodicidade
Tipos de
generalizações
Tarefa: periodicidade
Relacionar O pensamento geométrico sintetizando e utilizando a linguagem de
figuras geométricas com suas representações gráficas e analíticas,
ou seja, objetos geométricos que expressam analiticamente a
representação geométrica e vice-versa.
Estender A partir de casos particulares, estender ao caso geral. A relação entre
o período de uma função seno (expressado analiticamente e
geometricamente)
Definir Conjecturar e definir as propriedades (algébricas ou geométricas).
Afirmar Afirmar identificando as propriedades além dos casos particulares
tais como, estender definições como o conceito de periodicidade
para 0≤x≤2 𝜋 em qualquer função trigonométrica.
Fonte: Acervo dos autores
Análise e Discussão dos Dados
151
Os dados foram transcritos a partir das comunicações orais das seções que foram ilustradas com a
captura das telas dos computadores dos alunos, em seguida as indicações das ações realizadas em
cada cena com o software e applets.
Para análise, cada uma das seções com os alunos foi considerada uma unidade de análise. A cada
uma delas foi associado um tipo de ação, segundo a taxonomia de SOLO, seja de generalização ou
o produto da generalização.
Para analisar as respostas de alunos às tarefas 1, 2 e 3, no tocante à periodicidade, utilizamos a
Taxonomia SOLO para identificar o tipo de pensamento exibido pelas respostas de estudantes,
submetidos às tarefas sobre periodicidade em funções trigonométricas. Nesse artigo relacionamos
os Quadro I e II para análise da Tarefa 3.
Por fim, apresentamos a categorização em cada um dos itens da Taxonomia de SOLO.
A modelação das ações dos estudantes
Investigamos nas respostas dos alunos se nos diálogos havia referência e se compreendiam o
conceito de periodicidade de uma função trigonométrica com um indicador completo de
informações generalizadas sobre o processo de construção. O excerto da fala de um dos alunos, ao
explorar o primeiro applet, nos permite observar quando tenta entender e interiorizar o conceito.
Aluno: Seremos capazes de encontrar a forma algébrica disto?
<referindo-se ao gráfico plotado e a expressão algébrica anotada em seu caderno>
Aluno: Se eu movimentar esse ponto P no ciclo aqui vejo o comportamento do gráfico ao lado. Seria
isto mesmo? O Período é o intervalo da função aqui! Que na circunferência é 2π, e no gráfico está em
“x”. E aqui vejo que a hora que o ponto P chega em 2π no ciclo o período também se completa.
O discurso de generalização do aluno, coloca em um momento particular e geral para o conceito.
Sua estratégia que usa as anotações para criar o contexto no applet ao qual pode conjecturar as
observações geométricas no gráfico observando o ciclo. Podemos interpretar que o aluno
interioriza o conceito de periodicidade, e segundo a taxonomia SOLO, ele relaciona e identifica
informações relevantes para que os conhecimentos envolvidos de forma a relacionar os
conhecimentos entre si.
No segundo applet descrevemos a generalização realizada pelo mesmo aluno:
Aluno: bom agora este ao habilitar as funções vejo que posso modificar tanto o período como a
amplitude. A única dúvida é como vou transportar as definições aqui?
Se referindo às definições.
Quando movimento “ não altera em nada o período só sobe e desce.
< Se referindo ao deslocamento vertical do gráfico em relação ao eixo y>
Aluno: E quando movimento o “d” também não altera, mas tem um deslocamento no eixo x somente.
152
As observações do aluno foram capazes de adiantar-se aos resultados nos casos possíveis da função
seno.
Aluno: agora sim, quando dizemos que 2π é o período da função f(x)=sin x, estamos falando do período
“fundamental” que diz aqui no caderno.
<se referindo a teoria e definição registrado em seu caderno >
Aluno: Mas, para um ângulo α + 2π, a função toma o mesmo valor que para o ângulo α, e também está em crescimento12. O mesmo se passa para outro ângulo β + 2π, relativamente a 2π. Ou seja, ao fim de uma volta completa os valores de seno repetem-se. < se referindo a teoria e definição registrados e anotados em seu caderno>
O mesmo se passa para a função cosseno, como se poderá facilmente verificar.
Observamos que nos diálogos acima os estudantes foram capazes de manifestar adiantando os
resultados e associar o conceito de periodicidade em uma função trigonométrica. O processo de
construção no primeiro diálogo o estudante realizou o processo pré-analítico a partir das figuras
geométricas plotadas no gráfico, realizando verbalizações e interações para resolver a tarefa. No
segundo diálogo se tratou em caracterizar a participação do aluno no contexto da manipulação do
Ponto P do gráfico e conjecturar (validar as propriedades).
Na terceira etapa e última se tratou de estabelecer se os estudantes utilizaram corretamente as
definições algébricas para validar e conjecturar o conceito de periodicidade em uma função
trigonométrica.
A análise permitiu constatar que a atividade dos alunos em contexto tecnológico, integrando
diferentes representações inter-relacionadas, ajudou os alunos a avançarem na construção do
conceito de periodicidade em funções trigonométricas, de forma que a interação e o dinamismo
das ações de relacionar, buscar e estender facilitaram a coordenação interna entre as representações
analíticas e geométricas. Neste sentido a investigação confirma que o uso simultâneo de
representações geométricas e algébricas dinâmicas em atividades interativas podem auxiliar a
avançar na compreensão e na construção de conceitos matemáticos
Agradecimentos
Agradecemos à Fundação de Apoio ao Desenvolvimento do Ensino, Ciência e Tecnologia do
Estado de Mato Grosso do SUL (FUNDECT) pelo subsídio ao Projeto nº59/300.304/2016 e
CIAFEM 26150, ao qual se refere este artigo.
Referências Bibliográficas
Biggs, J., Collis, K. (1982). Evaluating the quality of learning: the SOLO taxonomy. New York:
Academic Press.
12 Observe: α + 2π corresponde a uma volta completa, mais um arco α, ou seja, coincide com a
posição do arco α no ciclo.
153
Coob, P., Confrey, J., Disessa, A., Lehrer, R., Schauble, L. (2003).Design experiments in
education research. Educational Researcher, v.32, n.1, p. 9-13.
Figueiredo, S. A de. (2015). Formação Inicial de Professores e a Integração da Prática Como
Componente Curricular na Disciplina de Matemática Elementar. Tese de Doutorado em Educação
Matemática. Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Anhanguera
de São Paulo.
Simon, M. A., Tzur, R., Heinz, K. And Kinzel, M. (2004). Explicating a mechanism for conceptual
learning: elaborating the construct of reflective Abstraction. Journal for Research in Mathematics
Education, 35(5), 305-329. Piaget, J. (1977). Studies in Reflecting Abstraction. Sussex: Psychology Press.
154
CB-237
PACTO NACIONAL PELA ALFABETIZAÇÃO NA IDADE CERTA: REFLEXÕES
SOBRE LIMITES E POSSIBILIDADES DE UMA POLÍTICA PÚBLICA DE
FORMAÇÃO DE PROFESSORES QUE ENSINAM MATEMÁTICA NO BRASIL
Emerson Rolkouski
Universidade Federal do Paraná - Brasil
Núcleo temático: Formación del profesorado en Matemáticas
Modalidad: CB
Nivel educativo: Nivel educativo primario (6 a 11 años)
Palabras clave: educación matemática, políticas públicas, formación del profesorado,
alfabetización matemática.
Resumo A partir de uma experiência anterior de formação de professores em larga escala denominada de
Pró-Letramento, a Secretaria de Educação Básica do Ministério de Educação do Brasil lança o
programa Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa com a adesão da quase totalidade dos
municípios brasileiros. O objetivo de tal programa é garantir a alfabetização plena de todas as
crianças brasileiras até os oito anos de idade. Um dos eixos de tal programa é a formação
continuada de professores alfabetizadores, sendo que em 2013 a ênfase de tal formação foi em
Linguagem, em 2014, em Alfabetização Matemática e nos anos de 2015 e 2016, teve caráter
interdisciplinar. Com vistas a atender a todos os professores alfabetizadores da rede pública de
ensino brasileira, mais de trinta universidades públicas produziram materiais de formação e
constituiram equipes de formação de orientadores de estudo que, por sua vez, eram responsáveis
pela formação de mais de trezentos mil professores. O objetivo desse trabalho é trazer reflexões
sobre os limites e possibilidades de tal modelo de formação, em particular no que diz respeito à
formação em educação matemática de professores alfabetizadores, discutindo aspectos
operacionais e pedagógicos.
1. Introdução
Esse texto trata de discutir limites e possibilidades de uma política pública de formação de
professores em larga escala que se iniciou em 2012 no Brasil, o Pacto Nacional pela
Alfabetização na Idade Certa13 – PNAIC. Caberá a próxima seção apresentar adequadamente o
13 É importante esclarecer que o termo “na Idade Certa”, nunca foi aceito pela comunidade
acadêmica. Trata-se da necessidade que o governo federal teve de fazer alguma referência a um outro programa exitoso denominado de PAIC – Programa de Alfabetização na Idade Certa, que ocorreu em outro
155
PNAIC, trataremos nessa introdução de delimitar nosso entendimento sobre o objeto: uma
política pública de formação de professores em larga escala, pois a circunscrição de que tal ação
é “uma política pública” e “de formação de professores” e ainda “em larga escala” remete à
necessidade de que qualquer pesquisador ao analisar concepções, eficácia, impacto etc, de
programas de tais naturezas, compreenda esse contexto.
Inicia-se com uma definição de política pública:
‘Políticas públicas’ são diretrizes, princípios norteadores de ação do poder público; regras
e procedimentos para as relações entre poder público e sociedade, mediações entre atores
da sociedade e do Estado. São, nesse caso, políticas explicitadas, sistematizadas ou
formuladas em documentos (leis, programas, linhas de financiamentos) que orientam
ações que normalmente envolvem aplicações de recursos públicos. (TEIXEIRA, 2002, p.
2)
Políticas públicas são, então, ações do poder público e não do privado, e são explicitadas em
documentos oficiais. Excluem-se, portanto, diversas formas de ações que, por não partirem do
poder público, não se consideram, então, políticas públicas. Em se tratando, particularmente de
formação de professores, não se consideram políticas públicas, as ações que partem de grupos de
pesquisadores. Tal constatação, não implica, obviamente, que haja um juízo de valor em relação a
tais ações, mas que, de fato, são de natureza diferente, ainda que possam possuir o mesmo objeto,
a formação de professores, e objetivos similares, a melhoria da educação, por exemplo.
Este texto se remete a políticas públicas de formação continuada de professores, e, portanto,
seguindo o mesmo modus operandis poderia me ater a explicitar o que entendo por formação de
professores ou formação continuada de professores. Tendo em vista a amplitude do tema e a
quantidade de pesquisas faço apenas um breve diálogo com Larrosa (2004), para dar movimento
ao texto:
A experiência é um passo, uma passagem. Contém o ‘ex’ do exterior, do exílio, do
estranho, do êxtase. Contém o ‘per’ de percurso, do ‘passar através’, da viagem, de uma
viagem na qual o sujeito da experiência se prova e se ensaia a si mesmo. E não sem risco:
no experiri está o periri, o periculum, o perigo. Por isso a trama do relato de formação é
uma aventura que não está normatizada por nenhum objetivo predeterminado, por
nenhuma meta. E o grande inventor-experimentador de si mesmo é o sujeito sem
identidade real nem ideal, o sujeito capaz de assumir a irrealidade de sua própria
representação e de submetê-la a um movimento incessante ao mesmo tempo destrutivo e
construtivo. [...] um sujeito que já não se concebe como uma substância dada, mas como
uma forma a compor, como uma permanente transformação de si, como o que está sempre
estado brasileiro, o Ceará. A comunidade de educadores brasileiros entende que tal termo desmerece o esforço da Educação de Jovens e Adultos, além de considerar a alfabetização um processo finito e localizado, o que pode gerar interpretações reducionistas do que se entende por alfabetização.
156
por vir. (p.67)
Abusando do entendimento das ideias de Larossa, concebo que formação é um movimento
incessante de destruição e construção contínuo, de um indivíduo que concebe-se sempre como um
por vir, em permanente transformação. Esta transformação se dá pela experiência. Prover
experiências é, portanto, um meio de auxiliar um indivíduo a se transformar, a destruir-se e
construir-se, a formar-se. Digo auxiliar, pois jamais pode-se prescindir da vontade do indivíduo de
querer experienciar.
Das palavras de Larrosa, percebe-se também, que falar de formação continuada ou contínua é, em
si, uma redundância, pois, o indivíduo é sempre um por vir. Por outro lado, o adjetivo “continuada”
é pertinente quando queremos diferenciá-la da “inicial” que ocorre, no caso dos professores,
preponderantemente nos cursos de Licenciatura, Pedagogia, Normal Superior, dentre outros, que
visam a habilitar o profissional para o exercício do magistério. Este texto trata, portanto, das ações
públicas que visam à formação de professores que já estão atuando.
Finalmente, faz-se necessário discutir a abrangência de tal política, ou seja, sua escala. No caso do
PNAIC trata-se de um programa de larga escala. Há políticas públicas no Brasil que fornecem
bolsas para pesquisadores, mas para uma pequena porcentagem, baseada em uma meritocracia, há
políticas que fornecem bolsas aos melhores alunos de matemática, sendo, portanto, uma política
seletiva. O PNAIC, é uma política pública que atinge mais de 300 mil professores alfabetizadores
da rede pública e é universal para esse segmento, essa é a escala do PNAIC, que será apresentado
a seguir.
2. PNAIC - Pacto Nacional de Alfabetização na Idade Certa
Seria uma política pública ineficiente em sua essência? Minha resposta a esta questão é afirmativa.
Não tenho dúvida que há políticas públicas que são ineficientes e ingênuas. Infelizmente não nos
faltam exemplos em todas as esferas: municipal, estadual ou federal.
De modo geral, são ações que desconhecem toda uma gama de resultados de pesquisas acadêmicas
da área. São, portanto, elaboradas por gestores públicos sem o devido diálogo com pesquisadores
em educação. Trata-se de programas que apresentam lógicas simplistas. Para citar apenas um
exemplo utilizado em alguns estados no Brasil: o pagamento de bônus a escolas que atingirem
metas em indicadores. Política ingênua, pois, considera que apenas o esforço de dirigentes e
professores pode reverter, em curto espaço de tempo, o histórico das péssimas condições de
157
desenvolvimento humano das comunidades em que determinadas escolas estão inseridas, para
tecer comentários somente sobre um aspecto que interfere no rendimento escolar.
Por outro lado, façamos a pergunta oposta: seria uma política pública essencialmente eficaz?
Minha resposta é negativa, não se pode inferir a eficácia de algo que depende da implementação.
Por outro lado, é sim, possível afirmar que uma política pública é em essência inteligente.
De modo geral, são elaboradas por gestores que dialogam com pesquisadores, que respeitam
resultados de pesquisas da área de educação e, muitas vezes, são pautadas em projetos pilotos
exitosos, como é o caso do PNAIC que será apresentado na sequência.
O PNAIC é um programa que tem o seu início em 2012. Seu histórico é marcado pela experiência
de um outro programa, denominado de Pró-Letramento que teve seu início em 2005 e pela
constituição em 2004 de uma rede de Universidades Públicas, a RENAFOR - Rede Nacional de
Formação de Professores, que fomentou a criação de centros de referência em formação de
professores e hoje agrega 18 Instituições de Ensino Superior. Além desses fatores, é marcado pela
instituição da obrigatoriedade do ensino de 9 anos, o que implicou na consolidação do que
entendemos como Ciclo de Alfabetização (período relativo aos três primeiros anos de escolaridade
que se inicia aos 6 anos e finaliza aos 8 anos). De acordo com o livreto explicativo:
O Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa é um compromisso formal assumido
pelos governos federal, do Distrito Federal, dos estados e municípios de assegurar que
todas as crianças estejam alfabetizadas até os oito anos de idade, ao final do 3º ano do
ensino fundamental (BRASIL, 2013, p. 13).
Destaco como pontos positivos a referência em um projeto realizado em escala menor (PAIC-CE),
o diálogo com as IES (RENAFOR) e o embasamento em um programa já existente (Pró-
Letramento).
As ações do Pacto são realizadas em 4 eixos: Formação Continuada de Professores
Alfabetizadores, Materiais Didáticos e Pedagógicos, Avaliações e Gestão, Controle e Mobilidade
Social.
O Pacto é portanto, uma política pública complexa de formação continuada, abrangendo diferentes
eixos e robusta do ponto de vista do investimento, pois todos os atores recebem bolsa. O Professor
Alfabetizador, recebe R$ 200,00, o Orientador de Estudo e Coordenadores Locais e Estaduais, R$
765,00, enquanto que os Formadores recebem R$ 1100,0014.
14 Para se ter uma ideia da representatividade desses valores, o dólar médio do período
equivale a R$ 3,10, enquanto o salário mínimo 300 dólares.
158
2.1 A perspectiva de alfabetização matemática no PNAIC
A alfabetização que buscamos é uma alfabetização em um sentido amplo e fortemente atrelada às
práticas sociais. De acordo com Fonseca (2014, p. 29) essa alfabetização envolve "a apropriação
de práticas sociais de uma sociedade em que a escrita tem um papel tão decisivo - a ponto de se
dizer que a sociedade é grafocêntrica e de se reconhecer as marcas e os valores da cultura escrita
nas mais diversas atividades desenvolvidas pelas pessoas nessa sociedade".
Nessa direção é importante pensar que o ensino da matemática no Ciclo de Alfabetização somente
possui sentido se for ao encontro do entendimento das diversas práticas sociais que estamos
inseridos, incluídas aí, as informações veiculadas em todos os textos com que convivemos.
Assim, a compreensão dos textos que lemos e a eficiência dos textos que escrevemos
dependem também dos conhecimentos que vamos desenvolvendo sobre os processos, os
recursos, as representações e os critérios adotados para quantificar e operar com
quantidades, para medir e ordenar, para orientar-se no espaço e organizá-lo, para apreciar,
classificar, combinar e utilizar as formas. Esse processo ocorre porque os textos refletem
a maneira como aqueles que os escrevem se relacionam com o mundo, um modo
decisivamente marcado por esses processos, recursos, representações e critérios que se
relacionam ao que chamamos de “Matemática”. (FONSECA, 2014, p. 29)
A alfabetização matemática que preconizamos é aquela que nos permite essa leitura com
eficiência. Tal leitura, exige conhecimentos para além dos números e as quatro operações,
percorrendo conceitos de outros eixos da matemática escolar, como a geometria, estatística e as
grandezas e medidas.
Para alcançar tal alfabetização o material de formação do PNAIC – 201415, com ênfase em Matemática foi
estruturado em 10 cadernos, a saber: Organização do trabalho pedagógico; Quantificação, registros e
agrupamentos; Construção do sistema de numeração decimal; Operações na resolução de problemas;
Geometria; Grandezas e medidas; Educação Estatística; Saberes matemáticos e outros campos do saber;
Educação Matemática Inclusiva; Educação Matemática no Campo. Além desses, há um caderno de Jogos
na alfabetização matemática. Tais materiais foram desenvolvidos por professores de mais de dez
Universidades brasileiras, pesquisadores em Educação Matemática.
Nas reuniões realizadas para a elaboração do material, uma discussão que sempre vinha à tona era
sobre o nível de prescrição do conteúdo a ser disponibilizado. Nesse sentido, a equipe entendia
que o material não deveria ser prescritivo a ponto de fornecer um passo a passo do que deveria ser
15 O material é gratuito e está disponível de forma on-line em http://pacto.mec.gov.br/2012-09-
19-19-09-11, acesso em 24 de abril de 2017.
159
realizado, mas que deveria disparar reflexões a partir da leitura de relatos de experiência escritos
por professores e comentados por especialistas. Nesse sentido, os cadernos contam com uma
grande diversidade de relatos de professores alfabetizadores sobre suas práticas em todas as regiões
do Brasil.
Tal abordagem tem seus limites, mas também suas possibilidades. Possibilidades de ampliar
auxiliar a promover uma formação que parte do chão da sala de aula e convida o professor a refletir
sobre sua própria prática e limites, pois exige certa habilidade do formador para dialogar, inclusive,
com professores recém ingressos no sistema escolar.
Nessa seção, o PNAIC foi apresentado, desde sua definição formal, até a perspectiva de
alfabetização matemática e de formação de professores adotada. Na sequência é apresentada uma
problematização sobre a escala e a implementação do PNAIC no Brasil, destacando seus limites e
suas possibilidades.
3. Escala e Implementação
O gestor brasileiro não pode pensar em pequena escala. A pequena escala no Brasil é quase nada.
Somos aproximadamente 200 milhões de habitantes distribuídos em mais de 8,5 milhões de
quilômetros. Isto sempre deve ser levado em conta na elaboração de políticas públicas que
pretendem fazer alguma diferença.
O Pacto é provavelmente o maior programa de formação continuada do Brasil e pela dimensão do
Brasil, um dos maiores do mundo, senão o maior. Tem como público alvo professores do ciclo I e
é universal para este segmento. Ou seja, todos os professores deste segmento são contemplados
com todas as ações, se o município aderir, ou parte das ações, caso esta adesão não seja efetivada.
A adesão ao Pacto é de mais de 90% dos municípios brasileiros, o que já indica a aceitação de sua
concepção. Mais de 300 mil professores alfabetizadores receberam uma formação de 240 horas,
120 horas em Alfabetização em Linguagem no ano de 2013 e 120 horas em Alfabetização
Matemática em 2014.
Tendo em vista que o modelo adotado é presencial há a necessidade de um contingente enorme de
professores que auxiliem na formação de outros professores. A estrutura, portanto, não poderia ser
outra que não a formação de uma rede.
Um Formador, selecionado pela IES trabalha com 25 Orientadores de Estudo, selecionados pelos
municípios, estes por sua vez trabalham com 25 Professores Alfabetizadores (o público alvo do
160
projeto). Vê-se que uma estrutura como esta permite que se atinja uma quantidade enorme de
pessoas.
É positivo imaginarmos que, sendo este Orientador de Estudo, um profissional do município, este
conheça a realidade local. É razoável imaginarmos que este Orientador seja selecionado
adequadamente. No entanto, há vários indícios de que isto nem sempre ocorre. Questões que são
totalmente alheias ao pedagógico, determinam muitas destas escolhas, o que compromete a
qualidade da implantação do programa em várias localidades. Pelo sistema adotado no Brasil, o
município é autônomo nesta seleção, o MEC não tem como determinar escolhas, ainda que sugira
o que entende ser mais adequado pedagogicamente.
Ao determinar a escala de amplitude de uma ação pública, determina-se formas de implementação.
Em educação, isto implica em decisões que, de forma geral, passam por recursos humanos versus
modalidade. Radicalizando o pensamento, podemos contar com teleaulas ofertadas pela referência
mundial de Educação Matemática para todos os professores do Brasil, ou podemos, a partir deste
único formador, presencialmente, formar 30 professores, que formarão 30 professores, e assim por
diante, até atingirmos a totalidade de professores. Entre um extremo e outro, o que se procura é o
razoável, para de fato, fazer o programa chegar em todas as escolas, desde as do centro de São
Paulo, a maior cidade brasileira, até escolas itinerante do Movimento Sem Terra, para citar apenas
algumas das diversidades escolares brasileiras.
O discurso da qualidade de uma ação de formação, deve sempre vir acompanhado de impacto. E
este impacto não pode ser a longo prazo. O Brasil carece de ações continuas de médio prazo, como
as que vem se apresentando nos últimos anos. Poderia fazer a opção de investir os milhões que
tem destinado a estas políticas públicas a fomentar grupos de pesquisadores, isoladamente para
que atuem de forma presencial junto aos professores da rede pública, no entanto, pelas dimensões
do Brasil, não há recurso humano suficiente e pulverizado em todas as realidades brasileiras que
possa atingir a todos.
Como efeito colateral desejado, essas políticas têm gerado uma grande quantidade de trabalhos
acadêmicos, de forma que não caberia nesse artigo relatar qualquer parte significativa. Há aquelas
que apontam incrementos em indicadores, ao mesmo tempo em que há aquelas que apontam
estagnação nestes índices. Há as que apontam melhorias significativas e há aquelas que apontam
resultados mais modestos. Certamente isto depende do contexto, do estágio em que se encontra a
educação na região considerada, dentre outros fatores, como em qualquer ação, seja ela pública ou
161
não, seja ela de larga escala ou não. É, no entanto, pertinente, trazer um dado recente a respeito do
IDEB – Indicador de Desenvolvimento da Educação Brasileira de 2015, publicado em 2016. O
único segmento que atingiu a meta proposta para o ano foi o primeiro segmento do Ensino
Fundamental, justamente aonde se situa as ações do PNAIC e dos outros programas precursores,
sendo, de fato, o único que recebeu investimentos em ações dessa natureza.
4. Considerações Finais
Do ponto de vista da pesquisa acadêmica, ressalto que há muito a ser feito. Particularmente no que
tange a realização de compilações de pesquisas já realizadas para que se possa fazer alguma
inferência de maior magnitude. Além disso, há a necessidade de se realizar pesquisas com mesma
metodologia, mas em locais distintos, ao mesmo tempo em que se deve diversificar metodologias
e aplicá-las em contextos similares. Estudos mais amplos desta natureza servirão ao salutar
redirecionamento das políticas públicas.
Vejo urgente a necessidade de um fórum específico sobre políticas públicas no âmbito de nossa
sociedade que possa servir de suporte aos gestores públicos para a elaboração de ações de formação
de professores. Meu desejo é que as discussões deste fórum possam ir muito além da qualidade
versus quantidade que somente nos tem feito perder espaços e oportunidades para implementar a
experiência acumulada que a área possui.
5. Referências
BRASIL (2013). Pacto Nacional de Alfabetização na Idade Certa, Ministério da Educação, 2013.
FONSECA, Maria da Conceição Ferreira Reis (2014). Alfabetização Matemática. En Emerson
Rolkouski y Carlos Roberto Vianna (Eds.), Pacto Nacional pela Alfabetização na Idade Certa –
Cadernos de Formação PNAIC – Educação Matemática. Caderno de Apresentação. Brasília:
MEC/SEB.
LARROSA, Jorge. Nietzsche & a Educação. Trad. Semíramis Gorini da Veiga. 2. ed. Belo
Horizonte: Autêntica, 2004.
TEIXEIRA, Elenaldo Celso (2012). O Papel das Políticas Públicas no Desenvolvimento Local e
na Transformação da Realidade, Salvador: Bahia.
162
CB-239
A ESPIRAL REFLEXIVA AMPLIADA COMO CAMINHAR METODOLÓGICO NA
FORMAÇÃO CONTINUADA DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA
Nickson Moretti Jorge – Patrícia Sandalo Pereira
[email protected] – [email protected]
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul – UFMS - Brasil
Núcleo temático: IV – Formação de Professores de Matemáticas
Modalidade: CB
Nivel educativo: 5
Palavras chave: Educação Matemática, Formação de Professores, Reflexão, Pesquisa Colaborativa
Resumo Este artigo tem como objetivo apresentar alguns resultados da dissertação de mestrado intitulada
"Reflexões sobre a prática docente de um professor de matemática a partir da pesquisa
colaborativa", desenvolvida no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática, na
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul (UFMS), a partir da metodologia de pesquisa
colaborativa (Ibiapina, 2008) e do caminhar metodológico da espiral reflexiva ampliada (Jorge,
2015). Esta pesquisa estava vinculada ao Núcleo UFMS no projeto em rede Observatório da
Educação e ao grupo de pesquisa Formação e Educação Matemática – FORMEM. Com vistas à
formação continuada do professor de Matemática para a Educação Básica, esta pesquisa buscou
compreender o processo reflexivo de um professor de Matemática sobre a sua prática docente no
âmbito de sala de aula a partir da pesquisa colaborativa, que busca fortalecer o diálogo entre a
universidade e a escola, possibilitando aos professores da Educação Básica repensar as suas
práticas pedagógicas nas aulas de Matemática. Dessa forma, concluímos que a espiral reflexiva
ampliada criou oportunidades de reflexão em um processo formativo por meio das significações
e ressignificações mediadas pela construção da prática docente dos professores, sendo, portanto,
uma contribuição para o que denominamos de formação continuada reflexiva de professores.
Introdução
Este artigo nasce da dissertação de mestrado intitulada "Reflexões sobre a prática docente de um
professor de matemática a partir da pesquisa colaborativa”, que faz parte do projeto em rede
intitulado “Trabalho colaborativo com professores que ensinam Matemática na Educação Básica
em escolas públicas das regiões Nordeste e Centro-Oeste”, vinculado ao Programa Observatório
da Educação - OBEDUC, financiado pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível
Superior (CAPES), que teve como objetivo propiciar por meio de práticas colaborativas, a reflexão
163
dos professores sobre o trabalho didático/pedagógico e desencadear ações educativas voltadas para
a sala de aula. O projeto em rede teve a Universidade Federal de Mato Grosso do Sul como
instituição sede e contou com a participação da Universidade Estadual da Paraíba (UEPB) e a
Universidade Federal de Alagoas (UFAL). Teve como integrantes os professores da Educação
Básica da rede pública de ensino, acadêmicos do curso de Licenciatura em Matemática e
Pedagogia, mestrandos e doutorandos e as coordenadoras institucionais.
A Formação Continuada e a Reflexão
No processo reflexivo, compreendemos que o professor reflete, quando faz uma indagação sobre
as suas práticas docentes, de modo a transformá-las. Sendo assim, a reflexão envolve mais do que
resolver problemas e dilemas, mais que apenas pensar sobre determinado assunto, pois temos que
considerar o professor como um ser histórico (Ibiapina, 2008), que possui objetivos e limites, que
desenvolve ações pela sua constituição como pessoa, como docente, e, por esse motivo, não
podemos compreender a reflexão como passos a serem realizados que levam à reflexão. Dessa
forma, temos que condicionar a reflexividade do professor perante os seus diversos e complexos
afazeres, pois ele possui múltiplas atividades quanto ao seu trabalho docente.
No entanto, conhecendo esse movimento do trabalho docente, é necessário entendermos que a
reflexão, tão pretendida para os professores, pode ser classificada, de acordo com Liberali (1999),
em três modos: técnica, prática e crítica, conforme a Tabela 1.
Tabela 1
Os diferentes tipos de reflexão TIPOS DE REFLEXÃO CARACTERÍSTICAS
REFLEXÃO TÉCNICA
- Relacionada ao conhecimento técnico.
- Pela necessidade das pessoas em obter o controle sobre o mundo.
- Preocupada na eficiência e na eficácia para atingir determinados fins.
- Fechados a críticas ou mudanças.
REFLEXÃO PRÁTICA
- Referente ao entendimento interpessoal e à interpretação de práticas
sociais.
- Relacionada aos problemas da ação.
- Interesse pelo conhecimento que facilita o entendimento e o alcance
do entendimento com outros.
REFLEXÃO CRÍTICA
- Engloba as duas ênfases anteriores, valorizando critérios morais.
- Localiza as análises das ações pessoais em contexto histórico-social.
- Pensada para resolver as contradições da reflexão técnica e prática em
direção a uma maior autonomia e emancipação para os praticantes
Fonte: Recuperado de “O diário com ferramenta para a reflexão crítica” de F. C. Liberali, 1999, pp. 11 -15.
164
Ao olharmos para a formação continuada, entendemos que a reflexão crítica seja a base para o
desenvolvimento profissional, o qual buscamos nesta pesquisa, ou como nos aponta Liberali
(2004), seja a base para a construção de uma identidade profissional transformadora. Logo, em
nosso entendimento, a reflexão crítica está imbuída em relacionar a teoria e a prática, calcada pela
autocrítica, autoavaliação, em um movimento de transformação da realidade em busca da
autonomia e da emancipação.
Nesse movimento crítico que ocorre sobre a ação, desenvolvemos a possível reflexão antes,
durante e após a realização da ação da prática docente de sala de aula.
Referencial Metodológico
Como o olhar para a formação continuada de professores, a metodologia de pesquisa colaborativa
é um meio para desenvolver a reflexão, haja vista que ela promove rupturas com as práticas
tradicionais de investigação, tendo os professores como participantes desse processo, de modo que
eles não são co-pesquisadores, mas tomam as decisões e as responsabilidades pelas ações que o
grupo desenvolve em conjunto, objetivando transformar uma realidade.
A autora em que nos atemos define a pesquisa colaborativa como:
[...] uma atividade de co-produção desenvolvida por pesquisadores e professores, com
objetivo de transformar uma determinada realidade educativa, levando tempo para ser
concretizada, pelas suas ações serem realizadas em ações formativas, buscando a
valorização do pensamento do próximo na construção dos diálogos de autonomia e respeito
mútuo (Ibiapina, 2008, p. 31).
Esse tipo de pesquisa tem visto o professor não como um objeto a ser estudado, mas como um
agente ativo na pesquisa, que possui a possibilidade de refletir e mudar a sua prática, por meio dos
significados e ressignificados que atribui a sua prática durante as atividades de co-produção. Em
nossa pesquisa partirmos das necessidades do professor, para desenvolvermos as atividades em
co-produção, por meio do diálogo e do trabalho colaborativo.
Trabalho colaborativo este que compreendemos como sendo realizado na busca por criar as
condições, para que as atividades sejam organizadas por meio do diálogo, das negociações e da
reflexão, bem como do comprometimento, considerando a opinião de todos os participantes
(Ibiapina, 2008).
165
A colaboração pode estabelecer-se entre a universidade e a escola, sendo realizada por agentes de
ambas as instituições, no intuito da formação continuada dos professores. Sendo que nessa
colaboração, há tensões e contradições das quais emanam conflitos, mas que por meio das
negociações permitem o desenvolvimento do trabalho colaborativo e o desenvolvimento do grupo.
Em consonância com essa ideia, a reflexão ocorre por meio do diálogo de forma colaborativa, o
que possibilita o desenvolvimento, o crescimento pessoal e profissional de todos os membros do
grupo. Em nossa pesquisa, o grupo foi formado por mim, enquanto pesquisador e pelos integrantes
do projeto OBEDUC - Núcleo UFMS, dentre eles, a coordenadora institucional, um professor da
Educação Básica e uma acadêmica do curso de Licenciatura em Matemática.
Como caminhar metodológico, guiados pela espiral reflexiva proposta por Ibiapina (2008),
iniciamos o desenvolvimento da pesquisa. A espiral reflexiva perpassa as seguintes etapas:
Planejamento, Aplicação da Aula, Entrevista e Sessão Reflexiva.
Em nossa pesquisa, a etapa do planejamento foi desenvolvida a partir de um conjunto de
movimentos realizados pelos participantes do grupo, em que foi estudado o conteúdo matemático,
de modo a elaborar e encaminhar as ações. O conteúdo matemático em nossa pesquisa foi à função
logarítmica, que foi definido a partir da necessidade do professor. A etapa da aplicação da aula foi
o momento, em que o professor da Educação Básica ministrou (colocou em ação) a aula, que foi
elaborada pelo grupo, durante a etapa do planejamento.
Tivemos o cuidado em realizar a etapa da entrevista no máximo um dia após a etapa da aplicação
da aula, ou seja, após a prática desenvolvida em sala de aula, para que não perdêssemos os fatos
que ocorreram na aula, de modo que a narrativa do professor fosse a mais fiel aos acontecimentos.
A etapa da sessão reflexiva foi o momento no qual, em conjunto, dialogamos pontos que
consideramos relevantes na etapa da aplicação da aula. Durante essas reuniões, o grupo trabalhou
dialogando e trazendo apontamentos que pensávamos ser pertinentes ao conteúdo matemático -
função logarítmica. Nesse momento, houve a possibilidade da reflexão do professor, visto que ele
observou sua ação quando assistia às suas próprias aulas.
Porém, no decorrer desse caminho, necessitamos de algo que nos permitisse compreender os
indícios de reflexão do professor com mais aprofundamento, por este motivo ampliamos a espiral
reflexiva, criando a espiral reflexiva ampliada (Jorge, 2015). Essa nova espiral, agora ampliada,
passa a ter as seguintes etapas: Planejamento, Aplicação da Aula, Entrevista, Sessão Reflexiva,
Novo Planejamento, Nova Aplicação, Nova Entrevista e Nova Sessão Reflexiva.
166
Após a etapa da sessão reflexiva, realizamos a etapa do novo planejamento, envolvendo o mesmo
conteúdo matemático – função logarítmica, porém agora levando em consideração as dificuldades
que os alunos apresentaram em compreender o que era base de um logaritmo e, a partir daí, novas
atividades foram elaboradas pelo grupo. Dentre essas atividades, o grupo decidiu elaborar um jogo
de cartas envolvendo o conteúdo matemático. Assim, durante a etapa da nova aplicação, o
professor da Educação Básica desenvolveu as atividades com os alunos, que foram planejadas em
conjunto pelo grupo durante a etapa do novo planejamento.
Após a etapa da nova aplicação, desenvolvemos a etapa da nova entrevista, da mesma forma que
foi realizada a etapa da entrevista anteriormente. Porém, a partir de um novo olhar sobre a aula
desenvolvida.
Finalizando, temos a etapa da nova sessão reflexiva, que possibilitou ao professor se ver durante a
sua atuação em sala de aula, a partir das etapas do novo planejamento e da nova aplicação e refletir
novamente sobre essa nova ação, propiciando ao mesmo, novos olhares sobre a sua prática
docente.
Alguns resultados a partir da análise dos dados
Neste artigo, trazemos alguns fragmentos retirados durante a realização das etapas da espiral
reflexiva ampliada, em relação ao conteúdo matemático – função logarítmica que foi sugerido pelo
professor. Os processos de reflexões foram compreendidos por meio das ações, em uma espiral
sistemática de reflexão.
Dialogamos como forma de compreender e permitir ao professor tomar conhecimento de sua
prática docente, com o intuito da reflexão sobre a ação durante as etapas do planejamento e do
novo planejamento. Os fragmentos que apresentamos mostram momentos em que o professor
reconhece pontos positivos e negativos entre as etapas da aplicação e da nova aplicação.
N: Que diferença você pontua entre a primeira e a segunda aula?
P: Então, na segunda aula, eu já previa os possíveis erros. Eu já fui mais preparado para o
jogo. Já havia percebido o erro dos alunos em colocar as cartas nos quatro lados. Já sabia
o que podia e o que não podia. Então, já elaboramos melhor para explicar para eles a
pontuação. Essa foi a parte bacana. Nós estudamos, vimos a parte errada e como fazer para
eles não errarem. Então, eu fui mais preparado.
167
N: Você verificou esse fato pelo relato dos alunos?
P: Sim, dessa vez, a grande maioria dos grupos conseguiram terminar o jogo. Escreveram
que gostaram. Eu também olhava e estavam certas as cartas. Então, conclui que houve
aprendizagem, porque senão eles não fariam. Consegui perceber que tiveram uma
aprendizagem maior.
[...]
P: Eu gostei tanto, que eu não vi falhas gritantes.
(Fragmentos retirados da etapa da Nova Entrevista, realizada em 09/10/2014).
Podemos perceber pelos fragmentos apresentados que o professor afirma que a etapa da nova
aplicação foi mais significativa em relação à aprendizagem dos alunos, pois ele entende que estava
mais preparado para os questionamentos e também por observar que houve uma maior
compreensão dos alunos durante o desenvolvimento do jogo. Como afirma Monteiro (2002), a
prática do professor estaria sendo constantemente reelaborada pela "reflexão sobre a ação", isto é,
pela reflexão empreendida antes, durante e depois da ação, tendo em vista a superação das
dificuldades experienciais no cotidiano escolar. Pudemos observar isso, durante o
desenvolvimento da espiral reflexiva ampliada, em suas etapas - novo planejamento, nova
aplicação e nova entrevista -, que permitiram ao professor compreender as suas ações,
possibilitando-lhe, por meio da reflexão crítica, a transformação de suas práticas docentes.
Podemos observar nos próximos fragmentos, retirados da etapa da nova entrevista, que o professor
reconhece que o relato que ele solicitou aos alunos após a etapa da nova aplicação da aula,
contribuiu para que os alunos pudessem se expressar e trazer os significados para eles dessa aula.
Dessa forma, o professor pode observar a aprendizagem dos alunos.
N: Durante as etapas do planejamento, aplicação da aula, novo planejamento e nova
aplicação, o que você observou de diferente?
P: Na primeira aula, faltou a previsão dos erros, ou seja, não saber como é um jogo
teoricamente. Então, na primeira aula, faltou a previsão das falhas do jogo e de como jogar.
Na segunda aula, já sabíamos os erros que eles estavam cometendo. Sendo essa a diferença
da segunda aula. Mas, para mim, ficou claro a possibilidade de uma prática diferenciada e
com uma abordagem significativa para os alunos.
(Fragmentos retirados da etapa da Nova Entrevista, realizada em 09/10/2014).
168
Portanto, podemos concluir que a partir dessa etapa da nova entrevista, o professor P já admite a
possibilidade de trabalhar de maneira diferenciada em sala de aula. E, porque não dizer, até de uma
avaliação da aprendizagem por meio de um relato dos alunos sobre a aula desenvolvida.
Considerações Finais
Compreendemos pelo processo da pesquisa colaborativa por meio da espiral reflexiva ampliada,
que essa metodologia é um caminho para desenvolvermos reflexões, que na formação continuada
de professores são desenvolvidas pelos significados e ressignificados sobre a prática docente de
professores, possibilitando mudanças dessas práticas.
No aspecto da formação continuada, esse processo reflexivo demanda tempo. Mas, mais que
tempo, no âmbito das políticas públicas, necessita de investimentos, podendo não ter respostas
imediatas. Porém, perpassa por diferentes conhecimentos, que, por vezes, seria necessário haver
vários cursos formativos.
Assim, é pertinente apresentarmos os conhecimentos que a espiral reflexiva ampliada permitiu-
nos trabalhar e criar questões, que, em conjunto com o roteiro de questões proposto por Ibiapina
(2008), desenvolvemos as reflexões. As questões que foram formuladas com seus respectivos
conhecimentos foram as seguintes:
Se fosse elaborar um currículo nacional, quais conteúdos matemáticos seriam contemplados?
(Currículo e Aprendizagem);
O que motivou os alunos a fazerem ou não as atividades? (Motivação dos alunos);
Acredita que o professor tem que realizar intervenções para que ocorra a aprendizagem dos alunos?
(Professor Mediador/Transmissor);
Qual a sua compreensão quanto a ser transmissor ou mediador? (Professor Mediador/Transmissor);
O que você observou de diferente nas ações de planejamento do grupo? (Planejamento e Ações do
grupo);
Algum período de sua profissão docente você teve tempo para planejar "adequadamente" as aulas?
(Planejamento);
Qual a sua análise sobre a sua prática docente? (Prática Docente);
O que faz para alcançar essas mudanças em sua prática docente? (Prática Docente);
Como analisa/avalia a possibilidade de mudanças quanto à sua prática docente? (Prática Docente);
A que você atribui a aprendizagem da sua prática docente? (Prática Docente);
169
O que faz para motivar os alunos durante a aula? (Prática Docente);
Acredita que os diálogos no grupo propiciam uma formação continuada? (Ações do grupo e Formação
Continuada);
Qual relação você faz entre o seu trabalho atual e o realizado antes de fazer parte do grupo? (Ações do
grupo e Formação Continuada);
Para constituir-se professor, você acredita que temos que refletir sobre a sua própria prática doente?
(Formação Continuada);
As atividades que elaboramos no grupo possibilitaram a participação dos alunos? (Aprendizagem e
Ações do grupo)
Você propõe alguma modificação para a próxima aula? (Autonomia).
Dessa forma, concluímos que a espiral reflexiva ampliada criou oportunidades de reflexão em um
processo formativo por meio das significações e ressignificações mediadas pela construção da
prática docente dos professores, sendo, portanto, uma contribuição para o que denominamos de
formação continuada reflexiva de professores.
Referências
Ibiapina, I. M. L. M. (2008). Pesquisa colaborativa: investigação, formação e produção de
conhecimentos. Brasília, DF: Líber Livro Editora.
Jorge, N. M. (2015). Reflexões sobre a prática docente de um professor de Matemática a partir
da pesquisa colaborativa. (Dissertação de Mestrado) - Universidade Federal de Mato Grosso do
Sul.
Liberali, F. C. (1999). O diário com ferramenta para a reflexão crítica. (Tese de Doutorado) -
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo.
Liberali, F. C. (2004). A constituição da identidade do professor de inglês na avaliação de sua aula.
Rev. Brasileira de Lingüística Aplicada, 4, 45-56.
Monteiro, S. (2002). Epistemologia da prática: o professor reflexivo e a pesquisa colaborativa. In:
S. G. Pimenta e E. Ghedin (org). Professor reflexivo no Brasil – gênese e crítica e um conceito,
Capítulo 5, pp. 111-128. São Paulo: Cortez.
170
CB-242
LA FORMACIÓN DE PROFESORES DE MATEMÁTICA Y LA MATEMÁTICA
EDUCATIVA
Cecilia Crespo Crespo – Patricia Lestón – Christiane Ponteville
[email protected] - [email protected] – [email protected]
Instituto Superior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González” - Argentina
Núcleo temático: Formación del Profesorado en Matemática
Modalidad: Comunicación breve
Nivel educativo: Formación y actualización docente
Palabras clave: investigación educativa – el aula de matemática
Resumen La matemática educativa ha tenido un amplio desarrollo en las últimas décadas, preocupándose
por los procesos puestos en juego en la construcción del conocimiento matemático a través del
desarrollo de distintos marcos teóricos. El aula de matemática debe ser su destinataria. Su
presencia y repercusión en el aula de formación docente posee características muy especiales que
deben ser tenidas en cuenta y que muestran que no siempre la matemática educativa es vista por
los profesores de la misma manera que por los investigadores de esta disciplina. En este trabajo
se presentan resultados de investigaciones, observaciones y reflexiones realizadas en cursos de
formación de grado para profesores de matemática que llevan a repensar a quienes trabajando
en docencia e investigación en este nivel educativo acerca de cómo lograr un mayor impacto de
los trabajos realizados en las aulas de los institutos de formación docente y en las aulas de los
egresados, una vez que estén insertos en el sistema escolar.
La formación docente en Argentina
La formación de profesores es variada en los diversos ámbitos de los diferentes países. Así como
la universidad se ha constituido como el centro de la formación de la mayoría de los profesionales
otorgando la mayoría de los títulos de grado, en el caso de los profesores de las diversas asignaturas
existen diversos espacios de formación, inclusive dentro del mismo sistema educativo de un país.
Debido a eso, es necesario describir cómo está organizada la formación docente en nuestro país y,
dentro de ella, cuáles son las características del instituto de formación docente en el cual
trabajamos.
En la Argentina, la formación del Profesorado está en manos de instituciones de nivel superior,
tanto universitarias como no universitarias. En el sistema universitario, que se vincula con el
Ministerio de Educación y Deportes de la Nación a través de la Secretaría de Políticas
Universitarias, se pueden encontrar licenciaturas de alguna disciplina, tomemos el caso de
171
matemática, que han desarrollado una opción a Profesor Universitario de Matemática, al acreditar
determinados espacios disciplinares y algunos espacios curriculares enmarcados en las ciencias de
la educación. En otros centros universitarios, las carreras de formación docente dependen de la
Facultad de Humanidades, en cuyas opciones de carreras aparecen las formaciones docentes en
disciplinas específicas. Estas carreras son todas universitarias y les permiten a sus egresados dar
clase tanto en nivel medio, entre 13 y 18 años, como en nivel superior.
También existe otro tipo de institución que se dedica a la formación docente, también de nivel
superior, que no dependen del sistema universitario. Estas instituciones son conocidas como
Institutos Superiores de Profesorado, o más comúnmente Profesorados. Estas instituciones
dependen desde lo administrativo y lo curricular de los Ministerios de Educación de las
jurisdicciones donde se encuentren, desde la implementación de la Ley Federal de Educación en
1993. Además, la Ley Nacional de Educación promulgada en 2006, incluye la creación de un
Instituto Nacional de Formación Docente para la concertación técnica de las políticas de formación
docente, acordadas en el Consejo Federal de Educación. Suelen en estas instituciones dictarse
carreras de Profesorado en diversas disciplinas, con una duración de entre 4 y 5 años, que habilitan
al igual que los títulos universitarios, para el nivel medio y superior según el título otorgado.
El caso del Instituto Suprior del Profesorado “Dr. Joaquín V. González”
En este escrito en particular vamos a reflexionar sobre uno de estos Profesorados, dado que
representa el espacio laboral que las autoras compartimos. El Instituto Superior del Profesorado
“Dr. Joaquín V. González”, a partir de aquí el Joaquín, fue fundado en el año 1904 por el entonces
presidente Quintana, quién lo encargara al Dr. Joaquín V. González. Recorrer la historia de esta
institución hace que uno vea en su espíritu la necesidad de educar a una Nación por entonces muy
joven con una población tan heterogénea como pudiera pensarse. La idea de dar elementos de
formación pedagógica a los profesionales ya graduados para que pudieran ocuparse de la escuela
media fue el germen fundacional de esta institución. Desde ese momento hasta ahora muchas cosas
han cambiado, más de un siglo de Historia Argentina dan cuenta de los procesos que se han llevado
a cabo en la educación, y esos cambios también han modificado al Joaquín. Revisar esa historia
resulta sumamente interesante, y conlleva además la necesidad de replantearse el presente de este
Instituto y su futuro. (Souto, Mastache y Mazz, 2004)
Actualmente, el profesorado cuenta con varias carreras de grado dirigidas a formar docentes de
nivel medio y superior y postítulos. Quien llega al Joaquín llega porque tiene interés en dedicarse
172
a la docencia. A veces como primera opción, a veces, habiendo pasado a otras instituciones. Es en
este escenario en el cual nos hacemos algunas preguntas asociadas al rol de la matemática
educativa en esta institución.
Desde hace más de diez años, los diseños curriculares de nuestra carrera reconocen tres campos
que hacen a la formación de docentes: el campo de formación general, el campo de formación
específica y el campo de formación en la práctica profesional. Este último es, aparentemente, el
que más cercano está a la matemática educativa. Sin embargo, lo que nos cuestionamos en este
momento tiene relación con la presencia (o ausencia) de la matemática educativa en el campo de
la formación específica. ¿Cómo se visualiza la matemática educativa en las materias de
matemática? ¿Cómo hacemos para que los futuros docentes vean y se involucren con los
conocimientos de la matemática educativa al tiempo que construyen conocimientos específicos de
matemática?
La investigación en el contexto del Profesorado
Las características de la institución hacen que no espacios de investigación como los que existen
en las universidades. Los profesores no tenemos cargos sino horas cátedra asignadas siempre frente
a curso, con lo cual la investigación que se produce, poca en relación a la cantidad de profesionales,
se hace de manera informal, por grupos autogestionados y sin recursos. Sí existe en el marco
institucional la Unidad Interdepartamental de Investigación, que se ocupa de convocar, evaluar y
otorgar recursos a grupos que proponen anualmente proyectos de investigación, pero su
funcionamiento está reducido y no genera, investigaciones a gran escala.
Lo que encontramos en relación a la investigación, entonces, tiene más que ver con las necesidades
de algunos docentes en términos de estas producciones que se publican o comunican
mayoritariamente en espacios extra institucionales, con poca repercusión al seno de la institución.
Para la mayoría de los alumnos del Profesorado, el mundo de la investigación está fuera de su
realidad. En general, no sólo no están involucrados en la producción de investigaciones sino que
muchas veces no se enteran de que sus profesores hacen investigación al momento de pensar sus
clases, sus evaluaciones, sus secuencias y sus decisiones. Entendemos que en la medida en que no
pongamos de manifiesto los resultados y el uso de la investigación en el escenario del profesorado
seguirán siendo pocos los egresados que sientan la necesidad de adentrarse en ese mundo; con los
conocimientos necesarios para ponerla en práctica.
El aula del Campo de la Práctica de la Formación Docente
173
En el campo de formación en la práctica docente, de manera casi natural aparecen los resultados
de algunas investigaciones, como elementos de trabajo dentro de las discusiones didácticas. Los
profesores proponen lectura de escritos en relación a obstáculos, diseños, dificultades, propuestas,
sobre distintos temas de la escuela media.
En algunos espacios realizan los estudiantes algunas investigaciones relacionadas con las
problemáticas que observan en las aulas cuando realizan sus primeras incursiones a la escuela
como futuros docentes (Lestón, 2014). Este tipo de investigación, construida en base a las
dificultades que otros docentes enfrentan, los obliga a tomar una postura de críticos externos, y la
investigación queda reducida a la búsqueda de elementos que podría darles a esos profesores como
estrategias para enfrentar sus clases.
Las investigaciones que leen resultan ser insumos a la hora de proyectar sus clases de práctica
profesional, o preparen sus exámenes. Sin embargo, la investigación no es parte de lo que se hace
en el aula, ellos no participan de la construcción de esas investigaciones. Se limitan a consumir
producciones de otros, y en sentido estricto, sólo porque sus profesores lo indican. Existen algunas
evidencias que muestran que ese tipo de práctica no redunda de forma efectiva en la toma de
decisiones de los alumnos frente a la práctica (Homilka, Crespo Crespo, Lezama y Lestón, 2008)
y entendemos en parte que el rol de “espectador” en que los alumnos son colocados no los moviliza
a modificar su futura práctica: les da más seguridad volver a lo conocido, recurrir a sus
experiencias escolares y hacer uso de prácticas tradicionales, que son las que a ellos les permitieron
aprender. Evidentemente no alcanza con lo que se les muestra de la investigación. Es más fuerte
la experiencia personal que la reflexión de otros.
El aula disciplinar de la formación docente
Comentamos previamente que los alumnos se forman en tres campos, uno de ellos que es el que
nos ocupa en este momento es el de la formación específica. En este campo los alumnos se
encuentran con cursos de álgebra, análisis matemático, geometría, probabilidades y estadística,
física, computación, historia de la matemática, fundamentos de la matemática, entre otros. Estas
son las materias “matemáticas”; las que los alumnos más esperan cuando se inscriben en el
Profesorado de Matemática, es lo que ellos perciben como el centro de su formación. Y es en ese
contexto que nos preguntamos cómo la investigación aparece en esos espacios.
A pesar de los cambios en los planes de estudio, los espacios específicos en su mayoría siguen
siendo bastante clásicos. Los cursos de matemática que se ven en nuestra formación docente siguen
174
teniendo un perfil tradicional, donde el centro de la discusión son los objetos matemáticos que
aparecen descriptos en los diseños curriculares, sin que nada se cuestione en relación al por qué de
esos objetos. No se observan grandes cambios en las tradiciones escolares de nuestras aulas.
Sin embargo, en algunos espacios curriculares, sí pueden encontrarse algunos cambios. Pueden
encontrarse diferencias en las decisiones que se toman, en las actividades y evaluaciones que se
proponen, en los mecanismos de construcción que se llevan al aula. Cuando miramos con mayor
atención esas aulas, vemos que están gestionadas por un docente que hace investigación en
matemática educativa. Entendemos que existe una fuerte relación en la mirada de un docente
investigador sobre su clase y, por ende, en las decisiones que toma. Hay ideas que se ponen de
manifiesto en estas acciones no tradicionales que surgen de marcos teóricos a los cuales la
investigación los acerca.
La usanza del conocimiento teórico tiene como significación las costumbres de uso de
cierto marco teórico para hacer cierto tipo de investigación. Las costumbres las
establecen los grupos de investigación, según su experiencia y visión de la disciplina
(Cordero y Silva, 2012, p. 297).
En particular, vamos a revisar algunas ideas de la socioepistemología para poder entender cómo
esas ideas se ponen en acción dentro de las aulas del profesorado.
La socioepistemología: elementos de la teoría y algunas aulas del profesorado
En este apartado retomaremos algunas de las nociones teóricas que entendemos han afectado
nuestra manera de modificar nuestra práctica profesional. La teoría, sea cual fuere, cuando se
entiende como parte de la mirada, como lo que permite enfocar esa mirada, hace que uno revise
su aula con una concepción nueva y distinta, que tal vez permita llevar a las aulas una forma
diferente de hacer las cosas. En nuestro caso, como ya mencionamos, la socioepistemología ha
impactado en nuestra forma de hacer las cosas. Y pretendemos explicar y explicitar esos cambios
en base a algunos de los elementos teóricos de la matemática educativa:
interpreta y estudia fenómenos vinculados a la construcción social del saber
matemático, con la clara intención de lograr equidad en la construcción de este
conocimiento en los diferentes planos de la sociedad, tales como el escolar y la
cotidianidad, con la expectativa de que este conocimiento transforme la vida de los
ciudadanos (Cordero y Silva, 2012, p. 299).
175
En asignaturas como Historia de la matemática, se incorporan con más presencia estudios desde
la visión socioepistemológica, que permite a los docentes, situarse en una visión no ingenua y
comprender el proceso de construcción del conocimiento matemático a lo largo del desarrollo de
la matemática en los diferentes pueblos y épocas. Esto se traduce en sus propias prácticas en el
aula, permitiendo adoptar como principio la reflexión constante de su quehacer.
Rediseño del discurso matemático escolar
el rediseño afecta el qué, el cómo, el cuándo y el porqué aprender, superando
ampliamente la consigna genérica de “aprender a aprender”. En nuestra opinión, el
Rediseño del discurso Matemático Escolar es el reto mayor del cambio educativo,
¿cómo organizar el conocimiento escolar con base en la realidad de quien aprende sin
abandonar al contenido de las Matemáticas?, ¿cómo esta organización puede ser parte
de la profesionalización docente?, y ¿qué papel juega la vida cotidiana en estos
procesos? (Cantoral, Montiel y Reyes, 2015, p. 7).
Pensando en estas ideas en un curso de álgebra, podemos caracterizar los cambios que se han
propuesto pensando no sólo en los conceptos y contenidos que se espera que los alumnos aprendan,
sino en la búsqueda de la reflexión en relación a los motivos por los cuales esos conocimientos
son necesarios en su formación y serán necesarios en su desempeño profesional posterior.
Confrontarlos con el origen y la epistemología de los conocimientos que deben construir, al tiempo
que se los piensa desde la educación superior y desde la escuela media; provoca en los alumnos
que sientan que es parte de su tarea cuestionar el conocimiento, cuestionar sus tiempos asignados
y momentos institucionales, y las prácticas que los llevan a la construcción de conocimientos.
De esta manera el conocimiento en uso cobra importancia:
La mayor producción de investigaciones […] permitió pasar del examen de la
aprensión del objeto en sí (el conocimiento matemático en situación áulica) al análisis
en profundidad del uso social de dicho objeto (el saber situado en escenarios
socioculturales), esto es el estudio del objeto para sí. Este hecho precisó de mayor
detalle y nuevos encuadres metodológicos para el examen de las prácticas normadas y
contextuales, fortaleciéndose con ello la aparición de nociones como discurso, uso,
actividad, práctica (profesional, matemática y social), comunidad, conocimiento, saber
y contexto, abriendo con ello mayores posibilidades al anhelado concepto de “cambio
educativo” (Cantoral, Montiel y Reyes, 2015, p. 8).
176
En las áreas de Probabilidades y Estadística, el conocimiento en uso se puede centrar en adoptar
como centro de trabajo, las necesidades en la resolución de situaciones de prácticas profesionales
y no en tareas meramente teóricas que restan significado a las prácticas de referencia utilizadas.
Un buen ejemplo de esto puede ser el uso de las prácticas asociadas a las variables aleatorias como
elementos que permitan organizar un modelo matemático sin necesidad de abordar definiciones
matemáticas teóricas.
Este conocimiento en uso exige una mirada sistémica:
el método socioepistemológico es de naturaleza sistémica, pues permite tratar los
fenómenos de producción y de difusión del conocimiento desde una perspectiva
múltiple, al estudiar la interacción entre epistemología, dimensión sociocultural,
procesos cognitivos asociados y mecanismos de institucionalización vía la enseñanza.
Plantea el estudio del conocimiento, social, histórica y culturalmente situado
(Cantoral, Montiel y Reyes, 2015, p. 9).
La clase de álgebra no inicia con la definición de un concepto que es el centro de esa unidad. Se
plantea el origen de ese conocimiento, la lectura de algún texto en relación a su epistemología, a
la necesidad que hubo de ese significado a las dificultades propias de esa construcción y los
procesos involucrados, así como en la “vida escolar” de ese conocimiento. La búsqueda de
significados y contextos de uso, son parte de la tarea del aula y permiten que los estudiantes se
involucren en esa construcción.
la Teoría Socioepistemológica descansa en cuatro principios fundamentales […]
sostiene que las prácticas sociales son los cimientos de la construcción del
conocimiento (principio de normatividad de las prácticas sociales), y que el contexto
determinará el tipo de racionalidad con la cual un individuo o grupo […] construye
conocimiento en tanto lo signifique y ponga en uso (principio de racionalidad
contextualizada). Una vez que este conocimiento es puesto en uso, […] su validez será
relativa al individuo o al grupo, ya que de ellos emergió su construcción y sus
respectivas argumentaciones, lo cual dota a ese saber de un relativismo epistemológico
(principio). Así, a causa de la propia evolución de la vida del individuo o grupo y su
interacción con los diversos contextos, se resignificarán esos saberes enriqueciéndolos
de nuevos significados hasta el momento construidos (principio de resignificación
progresiva) (Cantoral, Montiel y Reyes, 2015, p. 16).
177
La necesidad de establecer conexiones entre estos cuatro principios fundamentales se evidencia en
los cursos de Fundamentos de la Matemática, cuyo eje central es la revisión y análisis de conceptos
y metodologías utilizados a lo largo de las asignaturas anteriores de la carrera. Esta visión sistémica
permite replantearse, por ejemplo, el concepto de función teniendo en cuenta elementos cognitivos,
didácticos y epistemológicos.
Modelos de aulas de egresados
Luego de haber compartido algunos cambios que creemos que redundan en la mejora de la
formación de estos futuros docentes, nos queda aún una pregunta. ¿Por qué los egresados no logran
salir del aula tradicional cuando ellos están puestos en el centro de las decisiones del aula? Y es
aquí donde volvemos a pensar en la investigación. Los cambios que contamos están sostenidos por
un marco teórico, al que hemos accedido desde la investigación. Hay reflexión atrás de ellos, hay
análisis en base a un conocimiento adquirido a través de la investigación. Lo que no hay sin
embargo es transparencia de ese proceso. ¿Saben los alumnos qué cuestiones han hecho que
modificáramos nuestras prácticas escolares? Y es acá donde está el desafío que hoy nos
encontramos, ¿cómo hacemos para transparentar en estos espacios curriculares el lugar de la
investigación? Realmente no resulta sencillo pensar en la inclusión de estas discusiones, hacerlos
partícipes de estos procesos que ellos ven acabados cuando en el aula se enfrentan a estas
“diferencias” con respecto a otras aulas. Estamos pensando en que tal vez sea necesario poner en
acción estos procesos con los estudiantes en alguna de las unidades del diseño, hacerlos parte de
la lectura y de las decisiones, pensar con ellos el lugar de estos conceptos que antes recuperamos,
para que entiendan que lo que se hace en el aula es la profesión en acción.
Referencias bibliográficas
Cantoral, R., Montiel, G. y Reyes, D. (2015). El programa socioepistemológico de investigación.
Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa 18 (1), 5-17
Cordero, F. y Silva, H. (2012). Matemática educativa, identidad y latinoamérica: el quehacer y la
usanza del conocimiento disciplinar. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática
Educativa 15 (3), 295-318.
Homilka, L., Crespo Crespo, C., Lezama, J. y Lestón, P. (2008). Las primeras prácticas docentes
de los estudiantes del Profesorado de Matemática. En I. Zapico y S. Tajeyán (Eds.), Acta de la VII
Conferencia Argentina de Educación Matemática, 91-97. Buenos Aires: Sociedad Argentina de
Educación Matemática.
178
Lestón, P. (2014). El rol de las publicaciones en la construcción de la profesionalización docente.
En P. Lestón (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 27, 2043-2052. México:
Comité Latinoamericano de Matemática Educativa.
Souto, M., Mastache, A. y Mazz, D. (2004). La identidad institucional a través de la historia: el
Instituto Superior del Profesorado Dr. Joaquín V. González. Buenos Aires: Instituto Superior del
Profesorado Dr. Joaquín V. González.
179
CB-246
POLIGONANDO: INTERDISCIPLINARIDADE NA CONSTRUÇÃO DE CONCEITOS
MATEMÁTICOS, ARTÍSTICOS E CIENTÍFICOS NO ENSINO FUNDAMENTAL
Márcia Friedrich – Débora Mirtes dos Santos Ravagnani Dias – Leandra Valéria da Silva
Negretto, Silvia Denise Carneiro Santos
[email protected] – [email protected] - [email protected] -
Faculdade Padrão – Universidade Federal de Goiás – Pequeno Grupo de Pesquisa Santa Helena –
Goiânia – Goiás – Brasil.
Núcleo temático: As matemáticas e a sua integração com outras áreas
Modalidad: CB
Nivel educativo: (6 a 11 anos)
Palabras clave: Educação Matemática. Conceitos geométricos. Interdisciplinaridade.
Resumo O Projeto “Poligonando” emerge a partir de uma sequência didática pensada para trabalhar os
conceitos fundamentais da Geometria, por meio do aplicativo Stellarium e Sky Map que
proporcionou a utilização do celular e, consequentemente da tecnologia, pelos alunos e
professores, além da utilização do computador e projetor multimídia para que todos tivessem
acesso. O propósito foi desenvolver os conceitos de ponto, reta e plano, utilizando como plano de
fundo, o Universo. A sequência foi aplicada em uma escola da Rede Municipal de Educação de
Goiânia, Goiás, Brasil, de agosto a novembro de 2016. O projeto se encorpou e ampliou ao se
associar à Arte e a Educação Ambiental no projeto, quando alunos e professores reuniram-se
para tratar de conceitos das áreas envolvidas, entre eles os conceitos geométricos elementares
até chegar aos polígonos. Estes, que posteriormente foram utilizados e construídos com materiais
reutilizáveis para uma intervenção e instalação artística, que é uma forma de arte contemporânea
e efêmera. Esta foi realizada para estimular o fazer artístico dos alunos em um espaço comum da
escola que se transformou em um espaço de apreciação das criações baseadas nos conceitos de
polígonos apreendidos por meio Matemática.
A INTRODUÇÃO
O caráter formativo na constituição do ser como participante ativo na sociedade, no
verdadeiro sentido de cidadania e humanização, perpassa necessariamente os espaços sociais em
que o mesmo encontra-se inserido. Neste caso, o espaço se constitui no campo da Escola Municipal
Santa Helena, pertencente a Rede Municipal de Goiânia. Objetiva-se ampliar a visão de Ciência e
Matemática por meio da utilização da tecnologia em sala de aula como recurso pedagógico, no
aprofundamento dos conceitos geocientíficos e matemáticos fundamentais.
180
A caracterização do campo de ação pedagógica acontece também por meio da inserção
dos alunos estagiários do curso de Licenciatura em Física do Instituto de Física da Universidade
Federal de Goiás (IF/UFG), no intuito de dialogar com campos de diferentes concepções, escola e
universidade. O espaço social funda-se no campo escolar e mais especificamente no campo da
escola, que é definido por Genovez (2008, p. 171), “[...] um campo de forças relativamente
autônomo, dotado de uma estrutura estruturante e estruturada pela distribuição e hierarquização
das escolas e dos professores segundo sua autonomia em relação às forças externas oriundas do
campo econômico, político, religioso (...)”.
O projeto envolve conceitos primitivos de geometria tendo como plano de fundo o
Universo. Com o uso dos aplicativos “Stellarium” e “Sky Map”, utilizados em sala de aula com os
celulares dos alunos, e projetor multimídia, foram trabalhados conteúdos básicos de Ciências
(Universo com os planetas, estrelas, luas, Via-Láctea) e de Matemática, tais como: ponto, reta,
plano, polígonos e não polígonos.
Ainda com este entendimento buscou-se na essência e na extensão desenvolver
práticas na Matemática que empoderassem os alunos de novos e mais conceitos que isolados ou
combinados pudesse vir a ser mais um elemento a complementar a estrutura do pensamento e da
ação. Assim toda a experiência foi construída com material reaproveitado. Esse elemento é a
Sustentabilidade, conceito que parte de três bases fundamentais que se estende a grandes outras
que são formadas pelo triple: Ambienta, Social e Econômico (SACHS, 2008).
A Ciência (Física) e a Matemática estão presentes em praticamente todas as ações
cotidianas realizadas pelos seres humanos. A ação se justifica pelo aparato digital e a geração de
nativos digitais que chegam à escola hoje. Agrega-se, portanto, ao Projeto de Investigação Coletivo
(PIC) “Alfabetização Científica e Matemática: pesquisa, formação de professores e produção de
conhecimento no ensino fundamental” do Pequeno Grupo de Pesquisa Santa Helena (PGP/PIBID
SANTA HELENA) inserido na Escola Municipal Santa Helena como ação pedagógica habitual
da escola.
FUNDAMENTAÇÃO DOS CONCEITOS CIENTÍFICOS E MATEMÁTICOS
A alfabetização Matemática e Científica aqui é um caminho que tem como horizonte
alguns parâmetros que visam fornecer subsídios para que todo o cidadão que adentra o campo da
181
escola, seja ele, educando, profissional da educação, estagiários, pesquisadores-professores, pais
ou responsáveis (comunidade escolar), tornem-se capazes de dialogar com o mundo científico e
tecnológico que os cercam. Para tanto, faz-se necessário que os professores-pesquisadores imersos
nesse campo de ação sejam os construtores e mediadores do conhecimento e, por isso, é pertinente
que essa ação seja pautada em fundamentação teórico-prática.
A história da matemática, desde a antiguidade, aponta para a necessidade do cálculo e
do conhecimento geométrico espacial por onde o mesmo circula. Naquela ocasião, eram utilizadas
variadas ferramentas para relacionar as quantidades: desenhos, pedrinhas, pedaços de madeira, um
objeto trocado por outro, entre outras. No Egito antigo havia o interesse pela astronomia, que
segundo registros, era observado nas inundações do Rio Nilo. Naquele momento da história surgia
o calendário solar, com doze meses, cada um com trinta dias. Também nascem as noções
geométricas e as medidas da necessidade de demarcar as terras para a produção de alimentos. Ficou
caracterizado aí o inicio das operações, que na época, enfatizava a adição. Os algoritmos que fazem
parte do cotidiano hoje tiveram forte influência dos povos da Mesopotâmia (D’AMBRÓSIO,
1996).
Segundo D’Ambrósio (1996), a Matemática não era reconhecida como ciência e isso
levou a um atraso muito grande no seu desenvolvimento. Demorou muito para a mesma ser
considerada uma matéria de fundamental importância para o desenvolvimento de crianças
principalmente nos anos inicias. O movimento da “Matemática Moderna” influenciou de maneira
significativa os líderes da Educação Matemática e aproximou educadores e pesquisadores,
entretanto, não conseguiu desmistificar algumas práticas tradicionais e algorítmicas já recorrentes
no meio dos pesquisadores. O resultado foram algumas mudanças nas aulas e nas provas e emersão
da linguagem moderna de conjuntos com alguns exageros, mas com reflexos positivos.
A Matemática é fundamental para o desenvolvimento do educando e para a sua
inserção como cidadão na sociedade atual. Este conhecimento faz parte do cotidiano e está presente
em todos os currículos desde a Educação Infantil. Sendo considerado um componente curricular
básico e indispensável, atrai a atenção de profissionais das mais diversas áreas do conhecimento,
entretanto, o que está sendo ensinado nas escolas nem sempre contempla as reais necessidades dos
alunos de uma determinada sociedade. É importante mostrar aos alunos a ligação com a sala de
aula e o campo e entre o conhecimento na teoria e prática, para melhor compreensão dos conteúdos
e formação do aluno. “O ideal é o aprender com prazer ou o prazer de aprender e isso se relaciona
182
com a postura filosófica do professor, sua maneira de ver o conhecimento, e do aluno-aluno
também tem filosofia de vida. Essa é a essência da filosofia da educação” (D’AMBRÓSIO, 1996,
p. 84).
As Diretrizes Curriculares da Rede Municipal de Educação de Goiânia trazem a
seguinte concepção:
Nesse sentido, no processo de aprendizagem não se dissociam o pensar e o agir. Do ponto
de vista da teoria histórico-cultural, as aprendizagens que o educando realiza em seu
cotidiano antecipam-se ao seu desenvolvimento, desafiando-o a novas aprendizagens e à
construção de novos conhecimentos. Por meio da intervenção e da colaboração de
pessoas mais experientes estabelece-se um processo de mediação que, no caso da escola,
envolve todo coletivo enquanto educadores e os educandos (GOIÂNIA, 2009, p. 62).
Para ensinar Matemática, além de ter um ambiente de aprendizagem que possibilite ao
aluno participar do processo, é necessário que ele seja o agente e interaja de maneira fluida e
natural com a Matemática. Neste momento, é importante também que o aluno consiga entender a
resolução de problemas exercitando o raciocínio, a oralidade e a construção do conhecimento
numa relação de proximidade com o professor para que sejam trabalhadas as dificuldades, pois,
assim ele consegue percebê-las, oportunizando a autorreflexão e o aprendizado também com o erro
(SKOVSMOSE, 2006).
Dessa forma, os recursos tecnológicos são imperativos muito importantes para a
dinâmica da sala de aula e o despertar de interesse dos alunos para o conteúdo que está sendo
proposto. Na reflexão sobre os ambientes de aprendizagem agrega-se o aparato tecnológico como
um suporte na mediação do conhecimento. Além do que, vai ao encontro de algo interessante para
o aluno que lhe é tolhido a todo o momento que é o seu celular. Quando este é colocado a seu
serviço torna-se um elemento motivador e instigador da sua curiosidade.
A alfabetização científica e matemática, associada à formação dos profissionais
envolvidos no projeto, são a maior parte da expectativa e dos desafios do trabalho realizado nas
escolas (FRIEDRICH, et al, 2015). Demanda que vem ao encontro de anos de trabalho em escolas
públicas de Ensino Fundamental, onde se percebe segmentos separados e conteúdos
“engavetados”. Por isso, a necessidade da interconexão entre os profissionais e consequentemente
a interdisciplinaridade são fundamentais para a formação do cidadão e de um currículo aberto e
que estabeleça intra e interconexões entre as áreas do conhecimento que não são contempladas nos
Projetos Políticos Pedagógicos fragmentados.
183
O PERCURSO...
Esta é uma atividade que emerge do Pequeno Grupo de Pesquisa Santa Helena
(PGP/PIBID SANTA HELENA) em atividade desde 2011 na Escola Municipal Santa Helena. O
PGP visa trabalhar os conceitos científicos e matemáticos em uma perspectiva crítica e de
participação dos agentes do campo da escola.
A sequência didática foi montada para contemplar os elementos primitivos da
Geometria (ponto, reta, plano, polígonos e não polígonos) por meio da observação do Universo
(planetas, estrelas, constelações). O uso dos recursos tecnológicos “Stellarium” e “Sky Map”
foram fundamentais para a realização desta ação pedagógica.
Os alunos foram contatados via WhatsApp e solicitados a “baixar” em seus celulares o aplicativo
“Stellarium” ou “Sky Map”. Na sala também foi projetado no quadro branco o universo, a partir
do céu de Goiânia, via aplicativo.
A aprendizagem também perpassa pela forma particular de cada um elaborar os novos
conhecimentos e em aceitar a opinião do outro. O “aluno que aprende tem que processar sistemas
de dados matemáticos já existentes” (HUETE e BRAVO, 2006, p. 56). Isto também interfere na
argumentação particular deste ou aquele aluno e sua maneira de socializar seu conhecimento
auxiliando os colegas do grupo.
Neste momento do trabalho, os alunos não haviam diferenciado ainda, polígonos e não
polígonos. Foram trabalhados os elementos fundamentais dos polígonos e partiu-se para outra
configuração do aplicativo em que se diferenciou reta, semirreta, segmento de reta, linhas
poligonais abertas e fechadas, e o registro foi realizado pelos alunos com livre escolha dos mesmos.
Após esta etapa foi solicitado que registrassem por meio de um mosaico, apenas os polígonos, pois
já haviam contatado com a definição e condição de existência dos mesmos.
Segue-se ainda outra linha de investigação onde sobressai a pesquisa e produção do
conhecimento científico que deságua no sujeito principal do processo que é o educando. Ressalta-
se ainda que este trabalho adentra na área de Educação Ambiental, incorporando na expressão de
arte a concepção de sustentabilidade e uso adequado dos materiais.
Buscamos desenvolver com os alunos o pensamento crítico e criativo, a imaginação
relacionando a arte e a matemática. Partimos da premissa que quando a Arte faz parte
integralmente da educação, o aluno a apreende pela observação de todas as coisas existentes,
184
inclusive a beleza implícita em um cálculo matemático. Interrelacionar ciência humana e ciência
exata implica em oportunizar os alunos a descobertas, a criação, a sensibilidade. A sensibilidade
nasce de um novo olhar, relacionado às experiências estéticas.
A experiência estética nasce do primordial, do olhar intenso e poético da articulação
entre a intenção, as formas, as texturas, as cores, são intercâmbio que motivam e mobilizam o
processo de criação do fazer artístico. A escolha e o caminho a ser percorrido com os alunos do
sexto ano não se preocupou com uma produção de artisticidade, mas sim de uma experiência
estética onde os conhecimentos “poligonais” da matemática estariam implícitos, assim a princípios
pensamos em sistematizar em uma instalação. Segundo Rancière (2014, p.28) que parafraseia em
Platão, “ [...] a arte não existe , apenas existem artes, maneiras de fazer.”
Assim, a experiência com a Arte desses alunos inicia com o conceito de instalação e o
vídeo da artística plástica Chiharu Shiota com a obra “Fios que tecem memórias”. Buscamos
relacionar os conceitos matemáticos para o fazer artístico a partir do trabalho da artista citada. O
percurso da criação não foi tão simples e rápido, foi um ir e vir, até que o grupo de alunos chegou
à ideia de criar molduras de quadros com diferentes formas poligonais, molduras vazadas onde
cada um é o retrato do que criou, eu me vejo no contorno do que faço.
Visto que a escola não teria grandes recursos com a aquisição de matérias para este
trabalho formos buscar formas alternativas para mais este processo de criação. Assim, a professora
Leandra Negretto mestre em educação ambiental traz a suas contribuições para esta proposta de
instalação. A proposta que se faz aos alunos é que eles observem ao seu redor quais objetos e
materiais podem ser utilizados para este trabalho e como cada um irá construir a sua moldura
retrato.
O estreitamento entre as disciplinas humanas e
exatas possibilitando o pensar no todo em não por meio da
fragmentação que desde a Idade Média faz parte do nosso
ensino. Olhar, ver e sentir, ver com cuidado, com detalhes.
A prática estética se construiu com as diversas
formas de se ver o que estava à volta é tornar o invisível em
visível, polígonos enquanto forma de moldura. Para
Rancière (2014, p. 17), “As práticas artísticas são “maneiras Figura 5: Confecção dos Polígonos
com material reaproveitado. Fonte: Arquivo pessoal
185
de fazer” que intervêm na distribuição geral das maneiras de fazer e nas relações com as maneiras
de ser e formas de visibilidade”.
Os profissionais da educação, que já estão na profissão, buscam formar-se e
constituírem-se crítico-reflexivos da sua própria prática. A abrangência do trabalho reflete
igualmente na formação de cidadãos críticos, capazes de tomar decisões sobre as suas escolhas.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
O trabalho apresentado é um recorte da intervenção do PGP/PIBID SANTA HELENA
na Escola Municipal Santa Helena. O mesmo já se apresenta relevante pelo fato de se tratar do
ensino de Física para o Ensino Fundamental primeira fase, agregando os conceitos fundamentais
geométricos e, por conseguinte, a caracterização da arte e Educação Ambiental, que está em fase
de intervenção na Escola Municipal Santa Helena.
Prima-se pela formação dos agentes desse percurso. Os mesmos deverão compreender
que a alfabetização científica e matemática faz parte do cotidiano. Para tanto, a concepção dos
fenômenos físicos são os embasamentos fundamentais do trabalho. O envolvimento dos temas
demonstra a importância da desfragmentação e interdisciplinaridade dos objetivos previstos nos
documentos oficiais que orientam o trabalho pedagógico, como por exemplo, as Diretrizes
Curriculares Nacionais e da Rede Municipal de Goiânia.
Portanto, acredita-se que a contribuição do trabalho será intensa de surpresas
relevantes para o futuro dos alunos dos anos iniciais, da educação e da formação permanente do
professor-pesquisador no campo da escola. Da mesma forma, a interação de Pedagogos,
Matemáticos e Físicos proporciona momentos de formação de áreas específicas e tidas como
antagônicas pela comunidade científica. Com certeza, a experiência já em andamento na escola
demonstra que muito ainda pode ser realizado e muitas contribuições ainda juntar-se-ão à bagagem
cultural escolar, acadêmica e científica nas áreas envolvidas.
Para os alunos a realização da ação pedagógica foi muito importante, pois os mesmos
estão, a partir dos recursos tecnológicos fornecidos, criando seus conceitos e aplicando os mesmos
na confecção da instalação (obra de arte) que foi construida juntamente com o grupo.
Referências bibliográficas
186
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Continuada, Alfabetização, Diversidade e Inclusão. Conselho Nacional da Educação. Diretrizes
Curriculares Nacionais Gerais da Educação Básica/ Ministério da Educação. Secretária de
Educação Básica. Diretoria de Currículos e Educação Integral. – Brasília: MEC, SEB, DICEI,
2013.
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1996.
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Professores, Estágio e Estagiários: Reflexões Sobre e Formação Inicial e Continuada. In:
JARDIM, Jean. J. Goiânia, GO: Instituto Tueri, v. 5, 2015. p. 15-27.
GENOVEZ, L. G. Homo magister: conhecimento e reconhecimento de uma professora de
ciências pelo campo escolar. 2008. 228 f. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências) Faculdade de
Ciências, UNESP, Bauru, 2008.
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NACARATO, Adair Mandes, MENGALI, Brenda leme da Silva, PASSOS, Cármen Lúcia
Brancaglion. A matemática nos anos iniciais do Ensino Fundamental: Tecendo fios do ensinar e
do aprender. Belo Horizonte: Autêntica Editora, 2009.
PIRES, C. M. Carolino. Currículos de matemática: da organização linear á ideia de rede. São
Paulo: FTD, 2000.
RANCIÈRE, Jacques. A partilha do sensível: estética e política. 2.ed.(2009) São Paulo:
EXO experimental org; Editora 34, 2 reimpressão 2014.
SACHS, Ignacy. Caminhos para o Desenvolvimento Sustentável. 3ª edição. Rio de Janeiro: Ed.
Garamond, 2008
SKOVSMOSE, O. Diálogo e Aprendizagem em Educação Matemática. Belo Hocontinuación el
desarrollo del trabajo. Interlineado 1,5. Extensión máxima, incluyendo referencias bibliográficas,
de 8 carillas (en caso de ser necesario incluir hasta 4 páginas de Anexos después de las
Referencias). Texto justificado, sin sangrías.
Gráficas o ilustraciones: insertadas en el cuerpo del trabajo en el lugar que corresponda.
Los subtítulos deben ponerse en minúscula y en negrita.
187
CB-249
MATEMAGIANDO, Una Experiencia con el Profesor Toleinstein
Ing. Marcelo Alejandro Toledo
Colegio Nacional de Monserrat – Universidad Nacional de Córdoba - Argentina
Núcleo temático: Comunicación y divulgación matemática.
Modalidad: CB
Nivel educativo: 7
Palabras claves: Divulgación, Matemática, sociedad
Resumen La palabra divulgar deriva del latín “divulgare” que quiere decir “poner al alcance de la gente
común”
La divulgación científica hace más accesibles los conocimientos que en principio están reservados
a ámbitos especializados.
Matemagiando presenta en forma amena diversos juegos de magia con base matemática, que
permiten sorprender a todo tipo de espectador, como lo hacen Juan Tamariz, Fernando Blasco,
Diego Golembek, entre otros.
¿Tienen relación la matemática y la magia? Sí, en la matemática se cuenta con una gran cantidad
de tópicos que, si otra persona no lo sabe, se sorprenderá.
En la magia, presentar un truco y decir cómo funciona es quitarle el encanto.
Pero, en matemagiando, el objetivo es distinto, es acercar la matemática a la gente y no tiene
nada de malo explicar algún desafío.
En la actualidad Matemagiando está dentro de dos programas de divulgación, “Científicos Con
Vos y Voz” del Dirección de Divulgación y Enseñanza de las Ciencias del Ministerio Ciencia y
Tecnología de la provincia de Córdoba y “Ciencia para Armar” de la Universidad Nacional de
Córdoba, visitando numerosos colegios de la provincia, como así también el hospital de Niños,
colegios en Contextos de Encierro y Noches de los Museos.
Introducción
Si decimos “magia” pensamos en algún mago famoso, pero con la palabra matemática, nos
imaginamos de un truco aburrido, a veces difícil de entender.
Nada más alejado de la realidad.
El trabajo que realiza la divulgación científica tiene una
relevancia sustancial, porque hace más accesibles los
conocimientos a temas, que en principio están
reservados a los ámbitos especializados.
188
Utiliza por caso un lenguaje menos técnico y más coloquial, que el público en general pueda
comprender de manera sencilla, aun a los que no disponga de preparación o de conocimientos
previos.
Este proyecto nace con la idea de acercar la matemática a alumnos de cualquier nivel, pre-escolar,
primaria y media y luego se amplió a público en general.
Surgió de la inquietud docente de hacer del aprendizaje de la matemática en una actividad
placentera y divertida.
Por otro lado, creo, que este proyecto puede convertirse en
el marco perfecto para que el docente desarrolle nuevos
planteamientos y aplique una metodología más atractiva e
innovadora, de cara a solucionar el distanciamiento
detectado del estudio de la Matemática.
En la actualidad, Matemagiando se dirige a un público lo
más amplio posible y pretende introducir la belleza y
aplicaciones prácticas de la matemática.
Sabiendo que los medios de comunicación masiva son importantes para divulgar la ciencia, la
tecnología y la innovación, existen, sin embargo, otros mecanismos de educación no formal que a
través de la experiencia, el contacto y la aventura contribuyen a despertar el interés por temas
relacionados con las ciencias.
Desarrollo:
Matemática y magia y han sido compañeros de viaje durante mucho tiempo. Tanto los magos como
los matemáticos están motivados por el sentido de
sorpresa que representa el misterio esencial del
mundo.
Los magos muestran tales hechos sorprendentes
mientras que los matemáticos tratan de explicarlos, es
decir “la ilusión de la ciencia versus la ciencia de la
ilusión”.
Presentar un truco y decir cómo funciona a veces es
quitarle el encanto, hay que dejar que la magia viva por sí sola, a veces de acuerdo, al público hay
189
que explicar un truco después de presentarlo, pero no todos, es importante dejarlo planteado para
que lo investiguen.
Matemagiando está dentro de un proyecto de divulgación que se denomina “Cienciamagiando”,
donde dan respuesta a interrogantes o problemas planteados explícitamente en dicha actividad.
Tiene como inquietud de transmitir conocimientos, siguiendo los ejemplos de Juan Tamariz,
Fernando Blasco, Diego Golembek, entre otros, como una forma distinta de divulgar; ya que mi
forma de enseñar matemática y física, en general la
ciencia, es usar la indagación empírica como
metodología.
Presentando en forma atractiva diversas situaciones
mágicas y descubrir que su explicación está en la
matemática, hace que el público investigue y enseñar
a realizar algunos desafíos permitirá a estos que puedan sorprender a los demás.
En Matemagiando, las actividades se centran en juegos con cartas, sogas, papel, calculadoras, etc.
usando conceptos de combinaciones, ecuaciones y muchos otros principios matemáticos.
En la actualidad Matemagiando está dentro de dos programas de
divulgación, “Científicos Con Vos y Voz” de la Dirección de
Divulgación y Enseñanza de las Ciencias del Ministerio Ciencia y
Tecnología de la provincia de Córdoba y “Ciencia para Armar”
de la Universidad Nacional de Córdoba, donde he visitado distintos
colegios de la provincia de Córdoba, participando en Ferias zonales
de Ciencias, PITi- Centro Educativo Complejo Esperanza, Colegio
de Aplicación, dependiente de la Universidad Federal de Río
Grande do Sul, de la Ciudad de Porto Alegre, Brasil, Noche de los Museos, Museo Provincial de Ciencias Naturales
entre otras actividades.
190
Algunas fantasías
Agua y Aceite:
De una baraja francesa se separa un grupo par de cartas, de modo que tengan sus colores alternados,
roja-negra, roja-negra etc. y se entregan a un espectador. Se le pide que realice las siguientes
operaciones:
1 Voltear una cantidad par de cartas superiores del paquete.
2 Cortar el paquete por cualquier lugar.
3 Repetir los pasos 1 y 2 cuantas veces desee.
De este modo habrá en el paquete algunas cartas
cara arriba y otras cartas cara abajo pero
aparentemente no hay ningún control sobre el
número ni la posición de las cartas cara arriba. El
espectador entrega entonces el paquete al mago.
Este debe separar el paquete en dos montones
sobre la mesa: deja la primera carta a la izquierda,
la segunda a la derecha, la tercera sobre la primera, la cuarta sobre la segunda, y así sucesivamente,
las pares en un montón y las impares en el otro. Por último reúne ambos montones pero después
de dar una vuelta completa a uno de ellos.
Pues bien, a pesar del aparente desorden de las
cartas, en este momento habrá tantas cartas cara
arriba como cartas cara abajo. Además, en una
dirección estarán todas las cartas negras y en la
otra todas las cartas rojas.
Notas: Se podría realizar también, usando los
palos de las cartas españolas (oro, copa, espada,
bastos).
Juego del 31:
Cada jugador nombra por turnos un número del 1 al 6. Cada número nombrado se suma al resultado
anterior. Gana el primero que llegue exactamente a 31.
191
Explicación:
Ganará siempre quien logre nombrar el número 24, pues el oponente no podrá nombrar el 31 pero
tendrá que decir un número cuya distancia a 31 sea menor que 7. Por la misma regla, quien nombre
los números 17, 10 ó 3 será el ganador del juego.
Una variante del juego consiste en dejar sobre la mesa cuatro montones de cartas: el primero
formado por los cuatro ases (o unos), el segundo por los cuatro doses, y así sucesivamente, el
último formado por los cuatro seises de la baraja. Cada jugador retira una carta cualquiera, por
turnos, y se van sumando los valores de las cartas retiradas. Gana quien retire la carta que suma 31
u obligue al oponente a retirar una carta de modo que la suma exceda de 31.
La diferencia estriba en que sólo puede nombrarse cada número un máximo de cuatro veces.
Así, quien empiece el juego con el tres perderá con la siguiente secuencia de números:
3 - 4 - 3 - 4 - 3 -4 -3 - 4
cuya suma es 28 pero impide nombrar el tres, al haberse agotado estas cartas. Puede ser interesante
mezclar ambas variantes para ganar a algún jugador avispado.
El truco de cartas de Einstein
Busca una baraja y sigue las instrucciones que se enumeran a continuación.
1. Deja la baraja sobre la mesa y divídela en cuatro montones más o menos iguales.
2. Elige uno cualquiera de dichos
montones (los demás ya no se usarán),
recógelo y mira la carta inferior.
Volverás a verla después de un viaje por el
espacio-tiempo.
3. Para hacer el viaje por el espacio,
aplicaremos la famosa fórmula E = m c2,
donde E no significa "energía" sino
"Einstein". Para ello, con el montón
elegido caras abajo, deletrea la palabra E-I-N-
S-T-E-I-N pasando por cada letra una carta
de arriba abajo.
4. Repite de nuevo el paso anterior: como el símbolo c no significa "velocidad de la luz"
sino "cartas", al estar elevadas al cuadrado en la fórmula, vuelve a deletrear la palabra E-
I-N-S-T-E-I-N pasando por cada letra una carta de arriba abajo.
192
5. Vamos ahora a viajar por el tiempo para encontrar tu carta: deja sobre la mesa la carta
superior, pasa de arriba abajo la carta que está ahora encima, deja sobre la mesa la nueva
carta superior, pasa de arriba abajo la primera carta, y así sucesivamente.
6. El viaje termina cuando tengas en la mano una sola carta. Mírala y comprueba que la
fórmula es correcta pues se trata de la carta elegida.
Explicación:
Para que el juego funcione, el montón de cartas utilizado debe tener entre 8 y 16 cartas (lo que se
consigue fácilmente si dividimos la baraja en cuatro montones más o menos iguales).
Para la primera parte, se debe deletrear dos veces cualquier palabra de ocho letras. La tabla
siguiente muestra la posición final de las cartas en cada caso y, concretamente, la posición final de
la última carta, que es la elegida:
Número de cartas Posición final Lugar que ocupa la última carta
n = 16
n = 15
n = 14
n = 13
n = 12
n = 11
n = 10
n = 9
n = 8
a1, a2, ..., a16
a2, a3, ..., a15, a1
a3, a4, ..., a14, a1, a2
a4, a5, ..., a13, a1, a2, a3
a5, a6, ..., a12, a1, ..., a4
a6, a7, ..., a11, a1, ..., a5
a7, a8, ..., a10, a1, ..., a6
a8, a9, a1, ..., a7
a1, a2, ..., a8
16
14
12
10
8
6
4
2
8
De esta forma, la carta elegida está en la posición correcta para que sea la última que quede después
de una mezcla australiana.
193
Referencias bibliográficas
Libros
Furman, M y de Podesta, M.. (2010). La aventura de enseñar Ciencias Naturales. Buenos Aires:
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Gellon, G, {y otros}. (2011). La ciencia en el aula, Lo que nos dice la ciencia sobre cómo
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Espinoza, A. Casamajor, A. Pitton, E. (2009). Enseñar a leer textos de ciencias. Paidos
Meinardi, E. {y otros}. (2010). Educar en Ciencias. Paidos
Osborne, R. Freyberg, P. (1998) .El aprendizaje de las ciencias. Narceas
Información extraída de una página web
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http://www.matematicalia.net/index.php?option=com_content&task=view&id=60&Itemid=65
Magia y matemáticas. Todo sobre la Magia y las Matemáticas. Agua y Aceite... y Matemáticas.
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31. http://unoparatodo.com.ar/?s=juego+del+31. Consultado 20/03/2017.
Magia por principios.blogspot.com.ar. Alegría Pedro (2010) El truco de cartas de Einstein.
http://magiaporprincipios.blogspot.com.ar/2010/04/el-truco-de-cartas-de-Einstein.html.
Consultado 15/03/2017
194
CB-250
ABORDAGEM DE OBJETOS MATEMÁTICOS EM AMBIENTE COMPUTACIONAL
Cristiana Fusco - Marcos Paranhos - Renata Rossini
[email protected], [email protected], [email protected]
Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, Brasil
Núcleo temático: Recursos para o ensino e aprendizagem da Matemática
Modalidade: CB
Nível educativo: terceiro ou bacharelado (superior)
Palavras –chave: aprendizagem significativa - modelação matemática – ambiente computacional
– bacharelado
Resumo
O trabalho apresenta um estudo de caso realizado com dois alunos de um bacharelado em Ciência
da Computação. Foram aplicadas atividades de modelação elaboradas com o objetivo de
investigar como tais atividades em ambiente computacional podem contribuir para a articulação
da aprendizagem significativa de conteúdos matemáticos de Geometria Analítica e Álgebra Linear
como, por exemplo, transformações no Espaço Bidimensional utilizando coordenadas polares e
equações paramétricas no Espaço Tridimensional de modo a obter uma superfície paraboloide
elíptica. O software escolhido foi o Winplot, pois se trata de um software concebido para traçar e
trabalhar com curvas e superfícies em ambientes com duas ou com três dimensões. O referencial
teórico baseia-se na aprendizagem significativa de David Ausubel (1980) que acredita que para
ocorrer uma aprendizagem é necessário partir daquilo que o aluno já sabe. O trabalho também
apresenta fundamentos sobre modelação matemática apoiados em Baggio (2008), Bassanezi
(1999), Burak (1992) e Biembengut (2003).
Introdução
Pesquisadores em Educação Matemática tem se preocupado em pesquisar novas metodologias de
ensino. Professores universitários da área de Matemática estão buscando formas de facilitar a
aprendizagem de determinados conteúdos. As disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral,
Geometria Analítica e Álgebra Linear são, tradicionalmente, oferecidas em cursos da área de
exatas. Paranhos (2015) elaborou atividades de Modelação Matemática em ambiente
computacional para a sistematização, articulação e aplicação de objetos matemáticos estudados
nas disciplinas mencionadas acima.
Neste trabalho vamos apresentar um estudo de caso realizado com dois alunos de um curso de
Ciência da Computação. Aplicamos atividades de modelação elaboradas por Paranhos (2015) com
o objetivo de investigar como atividades de modelação em ambiente computacional podem
195
contribuir para a articulação da aprendizagem significativa de conteúdos matemáticos de
Geometria Analítica e Álgebra Linear.
Modelagem Matemática
A Modelagem na escola diferencia-se da Modelagem Experimental das Ciências Naturais e da
Matemática Aplicada, uma vez que na escola é utilizada primordialmente como forma de ensino e
aprendizagem da Matemática.
Para Baggio (2008), a Modelagem Matemática é um método de pesquisa utilizado no ensino e
aprendizagem da Matemática, que analisando situações e fenômenos da vida real, tem como
objetivo construir um modelo que represente a situação estudada. O método é bastante utilizado e
estudado no campo da Educação Matemática, uma vez que o processo que se desenvolve para se
chegar ao modelo estudado contribui para o aprendizado do aluno, que tem a oportunidade de
aprender conceitos matemáticos e aplicá-los em algum contexto.
Estudiosos apresentam suas percepções sobre o tema:
A Modelagem Matemática utilizada como estratégia de ensino-aprendizagem é um dos
caminhos a ser seguido para tornar um curso de matemática, em qualquer nível, mais
atraente e agradável. Tal processo, que consiste na arte de transformar problemas da
realidade em problemas matemáticos, resolvê-los e, então, interpretar suas soluções na
linguagem do mundo real, é um processo dinâmico e atraente. (BASSANEZI, 1999,
p.15).
Nesse processo o aluno aprende matemática de forma contextualizada, integrada e relacionada
com conhecimentos cotidianos. O aluno é quem procura compreender o mundo em que vive, por
meio da interação com a realidade. O professor fica encarregado de mediar, auxiliar e orientar as
ações do aluno, fazendo com que haja reflexão sobre o que se vai aprender.
Essas percepções convergem em alguns aspectos: “a Modelagem Matemática constitui-se em um
conjunto de procedimentos cujo objetivo é construir um paralelo para tentar explicar
matematicamente, os fenômenos presentes no cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer
predições e a tomar decisões” (BURAK, 1992, p.62).
Porém, ao utilizar a Modelagem Matemática os professores encontram algumas dificuldades,
Biembengut (2003) apresenta e trata de uma dessas dificuldades. O professor não sabe que
caminhos o modelo tomará e muitas vezes esse modelo apresenta dificuldades de adequação ao
currículo disponível. Diante disso, Biembengut propõe uma adaptação da Modelagem Matemática
para Modelação Matemática, onde o professor pode optar por determinados modelos direcionados
a um determinado currículo, de acordo com o nível dos alunos.
196
A Modelação Matemática baseia-se no conteúdo programático, partindo de modelos matemáticos
que possam ser aplicados nas diversas áreas do conhecimento. Proporciona ao aluno compreensão
dos conceitos matemáticos, capacidade de interpretar, formular e resolver problemas, além de
despertar o senso crítico e criativo. Na Modelação Matemática, o professor atua de duas formas,
uma voltada ao ensino do conteúdo programático e outra voltada ao ensino da Modelação
Matemática.
É importante ressaltar que a concepção e terminologia Modelação Matemática é a que melhor se
aplica ao que se apresenta neste artigo.
Aprendizagem significativa
O referencial teórico fundamenta-se na aprendizagem significativa, ideia central da teoria do
psicólogo americano David Ausubel (1918-2008). O autor acredita que para ocorrer uma
aprendizagem é necessário partir daquilo que o aluno já sabe. A aprendizagem significativa ocorre
quando uma nova informação se ancora em conceitos relevantes preexistentes na estrutura
cognitiva do estudante, esses prévios conhecimentos são denominados “subsunçores” por Ausubel
(Ausubel,1980)
Segundo Almeida, Silva e Vertuan (2016) uma das condições para que a aprendizagem seja
significativa é a predisposição positiva do aluno para aprender, o que não depende de sua estrutura
cognitiva, mas sim de características do ambiente de ensino e aprendizagem e de fatores
motivacionais.
O Ambiente Computacional
O Ambiente Computacional foi escolhido neste experimento exatamente por favorecer a dinâmica
que se pretende, de articulação de conteúdos e variação de possibilidades. Além de apresentar uma
nova maneira de visualizar um objeto ou problema matemático, o ambiente computacional amplia
a capacidade de análise e aprendizado da situação estudada. Ideia apresentada na reflexão a seguir:
A importância da flexibilidade representacional destes instrumentos (computadores e
calculadoras) reside em dois tipos de razões. Por um lado, diferentes representações de
uma ideia complexa permitem salientar diferentes aspectos dessa mesma ideia e, dessa
forma, favorecem vários tipos de análise. Por outro lado, é um fato que os alunos diferem
na sua capacidade de compreender e utilizar certas representações. Desta forma, ao tornar
disponível diferentes representações, com recurso ao computador e à calculadora,
alargam-se as possibilidades de aprendizagem matemática em face de uma situação real.
(MATOS, 1997, p.42).
197
O software escolhido foi o Winplot, programa gráfico e gratuito que foi desenvolvido pelo
professor Richard Parris da Phillips Exeter Academy, USA. Trata-se de um software concebido
para traçar e trabalhar com curvas e superfícies, em ambientes com duas e com três dimensões.
Apresenta diferentes possibilidades de entradas para essas curvas e superfícies e vários recursos
para se trabalhar com elas, tais como equações, funções, derivadas, integrais, desigualdades no
plano cartesiano, curvas paramétricas, curvas polares, curvas cartesianas, expressões analíticas,
gráficos e tabelas. É de simples utilização pois os menus são bastante amigáveis, existe ajuda em
todas partes do programa e aceita as funções matemáticas de maneira bastante natural.
O software Winplot foi concebido para tratar de curvas e superfícies do ponto de vista da
Geometria Analítica, isso o diferencia de outros softwares como o Cabri-Géometre que trata dessas
curvas e superfícies do ponto de vista da Geometria Euclidiana permitindo que sejam construidas
todas as figuras da geometria elementar que podem ser traçadas com a ajuda de uma régua e de
um compasso. Outros softwares como o Geogebra que reúne geometria, álgebra e cálculo e o
Wolfram Mathematica apresentam as mesmas características, porém o Winplot dispensa instalação
além de ser leve e gratuito.
Estudo de caso
Esta pesquisa utiliza os pressupostos de estudo de caso, uma metodologia que tem sido utilizada
em Educação de maneira mais consistente desde 1975, segundo André (2005).
O renomado pesquisador Robert K. Yin, Yin (1994, p.19), considera que os estudos de caso
representam a estratégia preferida quando se colocam questões do tipo “como” e “por que” e
quando o foco se encontra em fenômenos contemporâneos inseridos em algum contexto da vida
real.
Para Lüdke e André (1986, p.21), a preocupação central ao desenvolver um estudo de caso é a
compreensão de uma instância singular. Isso significa que o objeto estudado é tratado como único,
uma representação singular da realidade que é multidimensional e historicamente situada.
Concordando com Lüdke e André (1986) quanto à necessidade de levar em conta o contexto em
que se situa uma pesquisa, relatamos que esta pesquisa foi desenvolvida em uma instituição de
ensino superior de caráter filantrópico, situada na cidade de São Paulo, Brasil.
Selecionamos dois alunos do curso de bacharelado em Ciência da Computação de uma
Universidade particular de São Paulo. Passaremos a denomina-los Aluno 1 (A1) e Aluno 2 (A2).
Ambos já haviam cursado a disciplinas de Geometria Analítica e Álgebra Linear. A1 cursou no
198
ano anterior da pesquisa e A2 havia cursado há três anos. A1 conhecia o Winplot e A2 teve seu
primeiro contato na realização da atividade. Descreveremos apenas um recorte de duas atividades
(anexadas no final). Cada aluno dispunha de um notebook com o software Winplot já instalado
para trabalhar. Receberam os textos das atividades fotocopiadas. Ao lado de cada um deles estava
uma professora observadora para fazer os registros da aplicação das atividades e de seus
comentários. Um terceiro professor atuou como tutor, orientando quanto ao uso do software,
principalmente o uso da janela equações paramétricas da reta e a animação que o software
proporciona. O tutor também esclareceu dúvidas quanto a alguns conteúdos específicos de
Geometria Analítica que não tinham sido estudados nas aulas regulares dessa disciplina.
A primeira atividade consistia de transformações no Espaço Bidimensional. Os alunos abriram,
sem dificuldade, o software Winplot e a janela 2D. Foram ao menu e escolheram a opção equação
e, depois, o tipo paramétrica. Na janela aberta apareceram campos para as coordenadas x e y e
intervalos para o parâmetro t. No item a) dessa atividade deveriam criar uma expressão para cada
coordenada usando um parâmetro e determinar o intervalo de variação de modo a obter a rotação
de ângulo de 450, em torno da origem e no sentido anti-horário, da reta y=x/2. Foi necessária a
intervenção do professor que na lousa recordou equação da reta na forma paramétrica. Para tanto
utilizou coordenadas polares, explicadas a partir do desenho de uma circunferência de centro na
origem e raio 2. Com essas orientações os alunos determinaram a equação paramétrica da reta
solicitada na forma polar: x=cost e y= 2cost+1.
Em seguida, os alunos leram a introdução da atividade 2 (em anexo) que era sobre equações
paramétricas no Espaço Tridimensional. Abriram a janela 3D do software Winplot e no menu
escolheram a opção equação, na forma paramétrica. A tarefa consistia em criar uma expressão para
cada uma das coordenadas x, y e z, usando ou não os parâmetros t e u, de modo a obter uma
superfície paraboloide elíptica. O professor inicia dizendo: “vamos pensar em coordenadas
polares? ”. Para isso, deveriam analisar a figura do texto, que representa um ponto do Espaço
Tridimensional e suas coordenadas polares. Essa figura serve como base para determinar a equação
paramétrica do paraboloide elíptico em coordenadas polares. O professor reproduz a figura do
texto na lousa, mostra que x=rcos(t)cos(u) e que y=rcos(t)sen(u). Em seguida indaga: “Como
determinar a coordenada z? ” O aluno A1 revê a figura da atividade e não consegue determinar a
coordenada z. O professor questiona: “e se fosse um cone, como seria o recorte meridional da
figura? ” O aluno A1 responde: “Seria uma reta”. O professor faz o esboço do cone e mostra que
199
o recorte meridional da figura é uma reta. Os alunos pensam, mas não conseguem determinar a
coordenada z. Baseado na figura do texto, o professor mostra que a coordenada z se relaciona com
a projeção do raio (rcost) por intermédio de uma parábola. Dessa forma, a coordenada z fica sendo
rcost2. Com essas informações, os alunos digitaram as equações de x, y e z no Winplot
demonstrando dificuldades com a variação dos parâmetros t e u e, mais uma vez, foram orientados
pelo professor que esclarece que o parâmetro t varia de 0 a 𝜋/2 e o parâmetro u deve variar de 0
a 2 𝜋 e que o 𝜋 deve ser escrito literalmente pi no campo das variações dos parâmetros. No final
visualizam na tela o paraboloide elíptico conforme figura (anexo).
Considerações finais
O grau de complexidade das atividades de modelação utilizadas nesse estudo mostra que elas não
são totalmente autorrealizáveis, isto é, faz-se necessário que um professor resgate alguns pré-
requisitos necessários de conceitos matemáticos para que os alunos consigam avançar e atingir o
que lhes é solicitado. A escolha do software Winplot foi apropriada por ser de fácil utilização.
Questionamos os alunos quanto ao grau de dificuldade de utilização do Winplot e numa escala de
0 a 10 atribuíram valores 2 e 3.
Esta pesquisa mostra que as atividades propostas de modelação de curvas contribuem de forma
efetiva para uma articulação entre conteúdos matemáticos já estudados em Geometria Analítica e
Álgebra Linear. Por exemplo, um dos ganhos interdisciplinares foi a articulação entre equações
paramétricas da reta e a matriz de rotação em torno da origem e na base canônica do R2 conforme
descrito abaixo:
Exemplificando a situação, sejam a reta r de equações paramétricas IRtty
t2x:r
e M a
matriz de rotação de ângulo a, na base canônica do IR2, cujo ponto fixo é a origem do sistema de
coordenadas,
aasen
asenaM
cos
cos. O produto das matrizes
atatsen
atsenat
t
t
aasen
asena
cos2
cos22
cos
cos fornece as equações da reta s após a rotação de
ângulo a:
atattg
atattfs
cossin2)(
sincos2)(:
200
A utilização do software Winplot permite inserir as funções )t(f e )t(g ; fazer uma animação,
variando automaticamente o valor de a, o ângulo de rotação. Dessa forma, a reta original
IRtty
txr
2: gira em torno do ponto )0,0( .
Os alunos conseguem movimentar retas e superfícies variando parâmetros e intervalos. A
visualização dos objetos matemáticos e, ainda mais, com movimento que os transformam torna a
aprendizagem muito mais significativa; o aluno sai de um ambiente estático como a folha de um
livro ou caderno para um ambiente dinâmico. A utilização desse recurso computacional vai ao
encontro das afirmações de Almeida, Silva e Vertuan (2016, p.36), de que “a aprendizagem
significativa dos estudantes sofre a influência de diversos fatores tais como o material de ensino”.
Referências
Almeida, L.W.; Silva, K.P.; Vertuan, R.E. (2016). Modelagem Matemática na educação básica.
São Paulo: Contexto.
Ausubel, D.P. et al. Tradução Eva Nick (1980). Psicologia Educacional 2 ed. Rio de janeiro:
Interamericana.
André, M.(2005) Estudo de caso em pesquisa e avaliação educacional. Brasília: Liber Livro
Editora.
Baggio, T. M. Uma proposta de modelagem matemática como estratégia de
ensino. (2008) http://www.diaadiaeducação.pr.gov.br./Consultado 20/11/2012.
Bassanezi, R.C.(1999) Modelagem matemática: uma disciplina emergente nos programas de
formação de professores. Revista BioMatemática – IMECC –UNICAMP, Campinas, 9, 9-22.
Biembengut, M. S.Hein, N.(2003). Modelagem matemática no ensino. 3.ed. São Paulo:
Contexto.
Burak, D.(1992). Modelagem matemática: ações e interações no processo de ensino
aprendizagem. Tese de Doutorado em Educação – Universidade Estadual de Campinas,
Campinas.
Ludke,M.;André,M. (1986). Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. Coleção Temas
básicos de educação e ensino. São Paulo: EPU..
Matos, J. F.(1997) Modelação matemática: o papel das tecnologias de informação. Revista
Educação Matemática, Lisboa: APM, 45, 41-43.
Paranhos, M.M. (2015). Parametrização e movimentação de curvas e superfícies: Para uso em
Modelação Matemática. Tese de Doutorado em Educação Matemática – Pontifícia Universidade
Católica de São Paulo, São Paulo
Yin, R.(2001) Estudo de caso: planejamento e métodos. Trad. Daniel Grassi. Porto Alegre:
Bookman.
Winplot para Windows 95/98 / ME / 2K / XP / Vista / 7 (846K).
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html. Consultado: 24/04/2014.
201
Anexos
Atividade com Equações Paramétricas no Espaço Bidimensional
Essa atividade destina-se a determinar Equações Paramétricas de Curvas no Espaço Bidimensional
com o uso do software Winplot.
Na forma paramétrica as Coordenadas Cartesianas são determinadas pelas equações x=f(t) e y=g(t)
(t ∈ R) e a curva é formada pela variação de t.
Abra o software e escolha janela 2D.
No menu escolha a opção equação e, depois, paramétrica.
Na janela aberta existem campos para as coordenadas x e y e um intervalo para o parâmetro t.
Crie uma expressão para cada coordenada, usando ou não o parâmetro t, e caso use-o, determine
o seu intervalo de variação de modo a obter:
a) A reta y= x+1 (fazer de duas maneiras diferentes da forma, x= t e y= t+1).
b) Uma circunferência de raio 1
c) A elipse 1=2
y+
3
x2
2
2
2
d) A elipse 1=3
y+
x2
2
2
2
2
e) Uma espiral no intervalo [0,kπ], k N (fazer de três maneiras diferentes).
Sugestão: Em alguns casos, substitua x e y pelas projeções trigonométricas do raio.
Salve as telas para entrega ao professor.
Atividade com Equações Paramétricas no Espaço Tridimensional
Essa atividade destina-se a determinar Equações Paramétricas de Curvas e Superfícies no Espaço
Tridimensional com o uso do software Winplot.
202
Na forma paramétrica as Coordenadas
Cartesianas são determinadas pelas equações x= f(t,u), y= g(t,u) e z= h(t,u) (t, u ∈ R) e a curva ou
a superfície é formada pela variação de t e u.
Abra o software e escolha janela 3D.
No menu escolha a opção equação e, depois, paramétrica.
Na janela aberta existem campos para as coordenadas x, y e z e intervalos para os parâmetros t e
u. Crie uma expressão para cada coordenada, usando ou não os parâmetros, e caso use-os,
determine os seus intervalos de variação de modo a obter:
a) Uma superfície paraboloide elíptica
b) Uma superfície cônica
c) Uma superfície esférica
d) Uma superfície cilíndrica em torno do eixo x e outra em torno do eixo z
e) Uma região do plano z=x+y
f) Uma região da superfície y
1+
x
1=z
g) A reta intersecção do plano, bissetriz do 1º quadrante, com o plano z= x+y
h) A circunferência de raio=1, centro na origem e contida no plano z= x+y
Sugestão: Em alguns casos, substitua x, y e z pelas projeções trigonométricas do raio conforme a
figura. Salve as telas para entrega ao professor.
203
CB-251
COMPETENCIAS MATEMÁTICAS Y EDUCACIÓN PERMANENTE: UNA VISIÓN
DESDE EL PIAAC (ENCUESTA DE COMPETENCIAS DE LA POBLACIÓN ADULTA)
Pedro Plaza Menéndez
Universidad Politécnica de Madrid, España
Núcleo temático: Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y
niveles educativos.
Modalidad: CB
Nivel educativo: Educación de Adultos
Palabras clave: Matemáticas y Educación de Adultos, PIAAC, Competencias Matemáticas
Resumo Para trabajar en innovación educativa necesitamos información de las carencias y necesidades
que existen a nuestro alrededor para poder incidir directamente sobre ellas, conocer el contexto
y la realidad sobre la cual queremos influir. Para eso la Encuesta de Competencias de la
Población Adulta (PIAAC) supone un arma novedosa e irremplazable.
En este marco teórico, y con la vista puesta en cuáles son las necesidades numéricas de una
persona adulta para entender lo que le rodea y ser partícipe de su desarrollo personal, planteo
un trabajo en competencias matemáticas desde la educación permanente. En este trabajo se
concretan las capacidades numéricas necesarias, clasificadas en centros de interés, y desde ellas
se relacionan los contenidos imprescindibles para cubrir esas necesidades.
1. Introducción
En una primera aproximación podemos acotar la competencia matemática dentro de la definición
de Niss (2002), como “la habilidad de entender, juzgar, hacer y usar las matemáticas en una gran
variedad de situaciones y contextos en los cuales la matemática juega, o podría jugar un papel
importante”.
Pero quizás entendamos mejor lo que significa la competencia matemática, si enumeramos las
carencias que supone no tenerla:
Imposibilita entender la información o provoca distorsión en ella.
Impide enfrentarse con libertad y racionalidad al consumo de bienes y a la utilización de
servicios sociales.
204
Dificulta la organización personal, familiar y social de las personas, evitando la creación
de estrategias y la planificación de buenas decisiones donde los números aparezcan
Reduce sus pretensiones laborales en la búsqueda de empleo.
Impulsa a “evitar” los números, lo que impide dar los pasos siguientes en la búsqueda de
entendimientos de realidades y en la comprensión de problemas económicos, políticos y
sociales.
Favorece la falta de escepticismo reduciendo la capacidad crítica de las personas.
Priorizar las competencias es entender las matemáticas como una actividad humana más que como
una ciencia, con lo que ello implica en la selección y tratamiento de contenidos y en las formas de
aprendizaje.
2. El PIAAC, un marco teórico en la educación permanente
La innovación educativa debe partir del conocimiento del contexto y de las realidades que nos
rodean, aquellas sobre las cuales queremos influir. Sin esa información corremos el riesgo de no
acertar en las propuestas, o de alejarnos del centro de los problemas. Por eso es tan importante la
información que nos da la Encuesta de Competencias de la Población Adulta (PIAAC, Programa
internacional para la evaluación de competencias de la población adulta, en sus siglas en inglés).
El PIAAC es un proyecto absolutamente revolucionario que evalúa el nivel de competencia de la
población adulta en materia de comprensión lectora y matemática, convirtiéndose en un referente
prioritario dónde debería mirar la educación permanente. En 2014 se presentaron oficialmente los
resultados de esta encuesta realizada desde la OCDE en 23 países, la mayoría europeos más
Canadá, EEUU, Australia, Japón y Corea. Hay una segunda ronda, con los resultados a punto de
aparecer, donde están países como Chile; y una tercera ronda que ya cuenta con Méjico y Ecuador.
En la primera ronda, 157.000 personas de 16 a 65 años (nacidas entre 1946 y 1995) en 23 países
han contestado en sus hogares durante una o dos horas las preguntas de un entrevistador.
Es la primera vez que se intentan evaluar las competencias lingüísticas y matemáticas fuera de un
entorno escolar y a una población en edad laboral. Salir del círculo educativo ayuda a investigar
en qué medida la población adulta tiene capacidad de entender lo que le rodea, y en lo que incumbe
205
a este artículo, si usa los conceptos matemáticos fuera del aula en el día a día y en la recogida de
información.
En las entrevistas, además de evaluar estas habilidades, se investigó sobre el nivel educativo propio
y de sus padres, educación no formal recibida en el último año, situación laboral, años de
experiencia en un trabajo, salario, tipo de trabajo, utilización o no de competencias en el trabajo,
lengua materna, país de origen de los padres, su participación en actividades asociativas y de
voluntariado, su creencia sobre si puede influir o no en los procesos políticos, autoevaluación de
la salud, número de libros en casa… Todo esto permite relacionar los resultados de las pruebas
con más de 300 variables de carácter demográfico y socioeconómico y así investigar los vínculos
entre estas habilidades cognitivas y una serie de variables demográficas, económicas y de otro tipo.
Todos los datos están abiertos, en la red, a disposición de los investigadores y estudiosos en la
materia.
Para medir las competencias lingüísticas y matemáticas se investiga la capacidad de recurrir a los
conocimientos propios, aprendidos o no en el aula, para llevar a cabo con éxito tareas en una
variedad de situaciones de la vida real, así como las estrategias que aplicamos para ello. Por
ejemplo, si se entiende los horarios de la guardería, las indicaciones de los transportes públicos, el
prospecto de un medicamento, el precio después de unas rebajas, las gráficas de los periódicos,
etc.
Para hacernos una idea vemos dos de las preguntas utilizadas, una para comprensión lectora y otra
de comprensión numérica. Las dos corresponden a un nivel medio.
206
207
No es éste el lugar para hacer un análisis exhaustivo de los resultados del PIAAC, y aunque las
diferencias entre países son significativas, el estudio indica que aunque la población escolarizada
sea alta (sobre todo los más jóvenes), no se consiguen buenas puntuaciones en las competencias
estudiadas. Por ejemplo, aproximadamente sólo un tercio de la población española comprendida
en las edades del estudio, contestaría acertadamente a la segunda pregunta.
Centrándonos en el apartado matemático, el PIAAC parece indicar que el éxito en competencia
matemática no se puede relacionar exclusivamente con el nivel educativo o por el número de años
pasados en las aulas, hay que tener en cuenta también las habilidades adquiridas una vez finalizada
la educación formal, las experiencias laborales o vitales, de ahí la importancia que este estudio
tiene en el ámbito del Aprendizaje a lo Largo de la Vida. Villar (2013) y Carabaña (2013)
desarrollan estas conclusiones.
El PIAAC nos ofrece un marco teórico común en la educación permanente, mirando hacia las
competencias, que pone el peso en los saberes esenciales y en la resolución de situaciones. El
PIAAC nos da pistas sobre las carencias y nos subraya los éxitos.
3. Concretando las necesidades matemáticas
Una vez aclarado el marco teórico dónde queremos movernos, necesitamos concretar la estrategia,
más que de método, de contenidos. Muchas veces reflexionamos sobre los procedimientos que
utilizamos en nuestros aprendizajes sin platearnos que si utilizamos ciertos contenidos estamos
restringiendo nuestra capacidad de influir en la educación, alejando el aula de la vida diaria. Unos
contenidos inapropiados nos pueden arruinar cualquier procedimiento magistral.
Antes, queremos observar que aunque el estudio y las reflexiones siguientes se hacen desde el
nivel de educación de personas adultas, son válidas como forma de pensar y actuar en otros niveles
educativos.
Nuestro plan es priorizar las necesidades matemáticas desde su aplicabilidad, dejando en segunda
línea otros fines que a veces, dudosamente, se le atribuye a la asignatura: capacidad deductiva,
conocimiento para el futuro, disciplina para formar la mente, etc. Es decir: es necesario recibir una
cierta formación matemática si voy a utilizarla actualmente en mi vida diaria o en un futuro
208
cercano. Y estas necesidades matemáticas había que concretarlas, de lo contrario se corre el riesgo
de perdernos de nuevo entre las ideas.
Lo primero que nos interesa es saber cuáles son las necesidades matemáticas de las personas
adultas, pero para ello habría que empezar al revés, primero preguntarse ¿qué hace falta saber para
que las personas adultas se enfrenten a un mundo sin desconfianza, con autonomía y con
conciencia crítica?, para luego indagar ¿cuáles son las matemáticas que hacen falta para saberlo?
Esto no es lo mismo que dar contenidos matemáticos y pensar luego dónde se utilizan.
Para ordenarnos un poco, clasificamos las necesidades en centros de interés: vida cotidiana, salud,
consumo, mundo laboral, tecnologías, ocio, entorno democrático, economía y medio ambiente.
No podemos olvidar que las competencias que aparecen a continuación están colocadas a modo
de ejemplo y en ningún caso intentan ser exhaustivas, definitivas ni universales. Se han elegido a
partir de un cuestionario sobre necesidades matemáticas pasado en escuelas de personas adultas,
también se ha tenido en cuenta sugerencias de profesores de matemáticas en este nivel, más la
observación y los datos recogidos en muchos años de labor docente. Estos son, a modo de
ejemplos, algunos de los descriptores de los que partimos. Podrían leerse “ser capaz de…”:
Vida cotidiana:
Leer y comparar los precios, caducidad y peso de los alimentos
Elaborar el presupuesto del mes en tu casa
Hacer una estimación de los gastos que quedan hasta acabar el mes
Ser el tesorero de la comunidad de vecinos
Hacer el plano de tu casa ideal o de la obra para enseñarlo al albañil
Salud:
Calcular las cantidades de calorías, proteínas, hidratos, etc. en función de las necesidades
de cada uno
Entender las cantidades que aparecen en los análisis clínicos
Entender valores medios y percentiles de peso y altura
Entender expresiones como: factores de riesgo, esperanza de vida, herencia genética
Consumo:
Leer los horarios de los transportes en tablas de doble entrada
209
Hacer un cálculo aproximado de lo que va a suponer el total de la compra antes de que lo
digan
Entender el recibo de la luz y otros recibos
Verificar el precio de una compra con la calculadora
Calcular un descuento
Entender el concepto de vida media de los electrodomésticos
Mundo Laboral:
Calcular lo que ganas en una hora de trabajo o cada día del año
Interpretar planos de transporte urbano para escoger el recorrido más apropiado
Deducir las probabilidad de éxito para acceder a un puesto de trabajo, en función del
número de aspirantes y plazas vacantes
Entender y usar palabras como plusvalía, valor añadido, impuestos directos…
Tecnologías:
Programar los electrodomésticos caseros
Utilizar aparatos para medir longitudes, pesos, tiempos, temperaturas
Conocer y desarrollar las utilidades del ordenador
Entender el uso de las tarjetas de crédito (pagos aplazados, gastos, pagos internet, códigos
de seguridad)
Ocio:
Realizar presupuestos para posibles viajes
Hacer un cambio en moneda extranjera
Planificar recorridos sobre un mapa
Entender la probabilidad de los distintos juegos de azar
Entender tablas de clasificación y estadísticas deportivas
Entorno democrático:
Entender, con referencias conocidas, los grandes números que aparecen en los medios de
comunicación
Entender la ficha técnica de las encuestas de opinión y deducir su grado de fiabilidad
Comparar beneficios de una multinacional con los presupuestos de las naciones
Comparar el gasto de alguna obra pública con lo que se utiliza en servicios sociales
210
Economía y medio ambiente:
Entender el significado de los índices de contaminación
Saber que la media de los sueldos no es significativa si no conocemos la dispersión
Utilizar referencias conocidas para estimar dimensiones de un incendio forestal
Entender la diferencia ente atlas clásicos y atlas de Peters
Interpretar distintos diagramas de precipitaciones, temperaturas, demográficos…
Entender el significado de ciclo de vida, nivel de desarrollo, PNB…
Una vez que sabemos cuáles son las necesidades diarias, el paso siguiente sería buscar los
contenidos matemáticos necesarios para llevarlas a cabo. Después vendría la implementación de
esos contenidos en el desarrollo académico.
4. Contenidos matemáticos para esas necesidades
Aunque nadie ha definido qué conocimientos matemáticos se necesitan para vivir en una sociedad
como la nuestra, creemos que los esenciales girarían alrededor de los siguientes:
Conocimiento de los números y las cuatro operaciones básicas.
Estimaciones y cálculo mental.
Manejo de unidades de medida (también tiempos, números de personas y cantidades de
dinero).
Uso de planos y mapas.
Proporciones (también intereses bancarios).
Gráficas, estadística y probabilidad.
Manejo de la calculadora/ordenador.
Incluso aunque se ampliaran o variaran ligeramente las necesidades que aparecen en el apartado
anterior, estos contenidos matemáticos serían suficientes para satisfacer esas capacidades, que a
su vez cubrirían las necesidades más cercanas a la persona así como las de carácter más social.
Aunque se nos aleja del sentido de esta comunicación, quedaría por concretar cómo se trabajarían
estos contenidos con la vista puesta siempre en las necesidades diarias matemáticas de las personas
adultas.
3. Referencias
211
Carabaña, J. (2013). Estimando la influencia de la escolarización en las competencias PIACC. En
Programa Internacional para la Evaluación de las Competencias de la Población Adulta. Informe
español: análisis secundario, pp. 35-64. Madrid:Ministerio de educación, cultura y deporte.
Niss, M. (2002): Mathematical Competencies and the Learning of Mathematics.
http://www7.nationalacademies.org/mseb/Mathematical_Competencies_and_the:
Learning_of_Mathematics.pdf. Consultado 4/3/2009
Plaza, P., González, M.J., Montero, B., y Rubio, C. (2004). Matemáticas críticas y
transformadoras en la educación de personas adultas. Málaga: Aljibe.
Plaza, P. (2013). Las competencias matemáticas en el aprendizaje a lo largo de la vida. SUMA,
72, 9-15.
Villar, A. (2013). Formación y habilidades cognitivas en la población adulta española.
Comparación intergeneracional de los conocimientos matemáticos a partir de los datos del PIACC.
En Programa Internacional para la Evaluación de las Competencias de la Población Adulta.
Informe español: análisis secundario, pp.191-212. Madrid:Ministerio de educación, cultura y
deporte
212
CB-252
MATEMÁTICA Y PROGRAMACIÓN: UNA EXPERIENCIA INTERDISCIPLINARIA
E INTERINSTITUCIONAL
Teresa Pérez - Sylvia da Rosa
[email protected] - [email protected]
Consejo de Educación Secundaria (ANEP) Uruguay – Facultad de Ingeniería (UDELAR)
Uruguay
Núcleo temático: Matemáticas y su integración con otras áreas.
Modalidad: CB
Nivel educativo: Formación y actualización docente
Palabras clave: algoritmo, programa, Python
Resumen La experiencia interdisciplinaria e interinstitucional que se describe consiste en el desarrollo de
un curso para duplas de los profesores formadas por un profesor de informática y un profesor de
matemática de un mismo centro educativo de enseñanza media.
El curso tiene por objetivo trabajar en base a la integración de matemática y programación como
forma de facilitar la comprensión y el aprendizaje de conceptos matemáticos, en el entendido de
que programar una solución a un problema pone al descubierto aspectos del proceso de
resolución que de otro modo quedan ocultos, como ser la necesidad tanto de plantear los
problemas algorítmicos como tales, como de escribir las soluciones usando un lenguaje riguroso.
Este año ha participado en el desarrollo del curso un equipo formado por profesores de la
inspección de matemática y de la coordinación de informática, del consejo de educación
secundaria (CES) de ANEP, y por docentes del Instituto de Computación (InCo) de la Facultad
de Ingeniería de la UDELAR. Han culminado exitosamente la edición 2016 del curso, 40
profesores de todo el país.
En la descripción de la experiencia se incluye una síntesis de los trabajos finales de los
participantes, realizados en el aula con sus alumnos.
Introducción
La relación entre matemática y programación ha sido muy estrecha en la evolución de ambas
disciplinas. Problemas matemáticos dieron impulso al desarrollo de la computación, como por
ejemplo el “Entscheidungsproblem” o problema de decisión, que consiste en encontrar un
algoritmo general que decida si una fórmula del cálculo de primer orden es un teorema. Este
problema fue presentado por David Hilbert en 1928, y Kurt Gödel demostró que es insoluble en
1931, poniendo en discusión en el mundo matemático de la época, el problema de lo computable
y la necesidad de formalizar la noción de algoritmo. Esta noción es una de las más fundamentales
para la programación. Por otro lado, en los últimos años, la programación ha impactado
213
fuertemente en la noción de prueba matemática. Por ejemplo la prueba del teorema de los cuatro
colores fue realizada en la década de 1970 con ayuda de un programa, y dio origen a un gran debate
sobre su validez.
Desde el punto de vista educativo, la integración de matemática y programación facilita la
comprensión y el aprendizaje de conceptos matemáticos, en el sentido de que programar una
solución a un problema pone al descubierto aspectos del proceso de resolución que de otro modo
quedan ocultos, Como lo ha expresado Donald Knuth en “American Mathematical Monthly en
1974: “Se ha dicho que una persona no comprende algo realmente hasta que lo enseña a otro. En
realidad, una persona no comprende algo profundamente hasta que puede enseñarlo a un
computador, es decir, expresarlo como un algoritmo.”
Por otra parte, esta propuesta busca promover la introducción de la informática como ciencia
básica en el sistema educativo medio, siguiendo recomendaciones de referentes internacionales
(CSTA 2011, Dowek 2005, Peyton Jones 2013). Hacerlo a través de cursos de matemática
resulta un camino natural, ya que proveen problemas algorítmicos interesantes cuyas
soluciones pueden implementarse en algún lenguaje de programación. Esta perspectiva
interdisciplinaria resalta aspectos que favorecen el aprendizaje de la algoritmia como disciplina de
resolución de problemas y el análisis de soluciones como objetos de estudio. Por otro lado,
implementar una solución obliga a tener en cuenta factores propios de la computación como el
rigor del lenguaje y los recursos acotados.
Este curso se ha dictado durante varios años siendo la primera edición en 1999, y es un ejemplo
de trabajo colaborativo entre el Instituto de Computación de la Facultad de Ingeniería de la
UDELAR y la ANEP. Se ha presentado la propuesta en congresos internacionales (da Rosa, 2002).
Entre 2009 y 2013 el apoyo del Instituto se concentró en la carrera del profesorado de informática
y el curso dejó de dictarse. El curso se ha vuelto a dictar desde 2014, con apoyo de la inspección
de matemática y la coordinación de informática de enseñanza secundaria. Desde entonces se utiliza
el lenguaje Python.
En el año 2016 el curso se llevó a cabo desde el 1 de agosto al 22 de octubre, y se introdujo la
modalidad de trabajo en duplas formadas por un docente de matemática y uno de informática.
Participaron 40 docentes de todo el país (20 duplas) y se dictó en forma semipresencial, usando la
214
plataforma moodle del CES y la sala de video conferencia de FING. Se realizaron tres encuentros
presenciales, uno de ellos por video conferencia.
Desarrollo del curso
La propuesta consistió en que los profesores participantes trabajaran en duplas formadas por un
profesor de informática y un profesor de matemática de un mismo liceo. Como no en todos los
casos los profesores compartían algún grupo de alumnos, se los exhortó a que buscaran un espacio
común de trabajo, por ejemplo, participando el profesor de informática en las clases de matemática
donde se trabajarían los temas del curso.
La tabla abajo informa sobre la cantidad de egresados/estudiantes de los institutos de formación
docente, IPA (matemática) o INET (informática), así como participantes con otras formaciones.
Usualmente el curso está dirigido a egresados de formación docente en informática o matemática,
pero para el trabajo en duplas se consideró importante eliminar dicha restricción, ya que en muchos
liceos, los encargados de la asignatura informática no son profesores titulados.
Matemática
(inicio)
Matemática
(final)
Informática (inicio) Informática
(final)
Egresado 27 19 9 7
Estudiante 3 1 14 9
Otro 0 0 7 4
Total 30 20 30 20
Durante el curso los profesores aprenden a programar soluciones a problemas computables
sencillos, utilizando el lenguaje Python, que está instalado en las máquinas de que disponen
muchos de los profesores y de los estudiantes (otorgadas por el Plan Ceibal). Asimismo el lenguaje
es fácilmente accesible en las salas de informática de los centros educativos para los casos en que
es necesario utilizar dichas salas.
Para aprobar el curso los profesores deben diseñar, planificar y llevar a cabo una
propuesta para la clase con alumnos liceales utilizando lo visto en el curso, hacer una
presentación oral y escribir un informe sobre ello, que incluye registros de las actividades
de los alumnos.
215
Problemas algorítmicos y soluciones
A pesar de que se introduce y se usa un lenguaje de programación, el enfoque del curso consiste
en enfatizar los pasos previos de la construcción de un programa, esto es, la especificación del
problema algorítmico que se plantea y el diseño de una solución.
Si bien hay muchas definiciones de algoritmo (dado que no es una definición formal),
todas requieren una anterior que es la de “problema algorítmico”. Un problema
algorítmico es:
1) una colección de datos de entrada (que puede ser infinita, por ejemplo el conjunto de
los números enteros)
2) un resultado requerido en función de los datos de entrada
La función por la cual los datos de entrada se convierten en el resultado requerido es el
algoritmo que soluciona el problema y que hay que elaborar. Esto implica pensar cuáles
son los datos del problema, qué resultado se espera y como se obtendrá el resultado en
función de dichos datos. Las características del lenguaje de programación empleado
influyen en el diseño de la solución, por lo tanto la elaboración del programa es una
actividad dialéctica, que exige sintetizar aspectos tanto del pensamiento algorítmico
como del computacional, entendido este último en el sentido de: “Computational Thinking
is the thought processes involved in formulating problems and their solutions so that the solutions
are represented in a form that can be effectively carried out by an information-processing agent.”
(Computational Thinking, 2011). Por otra parte, en el curso se recomienda modularizar
la solución, siguiendo el modelo que ilustra la siguiente tabla, (donde mcd refiere al
ejemplo desarrollado abajo).
216
ingreso datos a = input (" ingrese natural distinto de 0 o 0 para finalizar ")
b = input ("ingrese numero natural distinto de 0 ")
proceso con funciones mcd = mcd (a,b)
imprimo resultados print "el max comun divisor de ", a, b, "es ", mcd
Las funciones son sub-programas cuya composición implementa el algoritmo. En el ejemplo se
trata del siguiente problema: dados dos números naturales, hallar su máximo común divisor (mcd).
Presentamos las dos soluciones trabajadas en el curso: por un lado, a partir de la definición
matemática
a,b N, b > 0, max (divisores(a) divisores(b)) = mcd (a,b)
puede plantearse una solución que involucra las siguientes funciones:
def divisores (a):
return [x for x in range (1,a+1) if a%x== 0]
dado un natural devuelve el conjunto
de sus divisores, usando la función
predefinida “módulo” (%)
def inter (lis1, lis2):
lis = []
for element in lis1:
if element in lis2:
lis.append (element)
return lis
dados dos conjuntos lis1 y
lis2, devuelve su intersección lis
Para representar conjuntos los l
lenguajes de programación suelen
usar listas (conjuntos ordenados sin
elementos repetidos)
def divisorescom (a, b):
d1 = divisores (a)
d2 = divisores (b)
dc = inter (d1, d2)
return dc
dados dos naturales devuelve el
conjunto de sus divisores comunes
(dc)
def mcd (a,b):
dc = divisorescom (a,b)
return max (dc)
dados dos naturales devuelve su
máximo común divisor, usando las
funciones anteriormente definidas y la
función predefinida max
Importa observar que los lenguajes de programación cuentan con funciones predefinidas que es
necesario conocer para que los programas resulten sencillos (%, inter, append, max). De esta
forma los estudiantes experimentan la construcción de una definición que deja de ser solamente
“un texto que hay que aprender”. Por otro lado, introduciendo la definición recursiva mcdR y la
función que implementa el algoritmo de Euclides,
217
mcdR : N x (N - {0}) N
b, si (a mod b) = 0
mcdR (a,b) =
mcdR (b, (a mod b)), si no
def mcdR (a, b):
r = a%b
if r == 0:
return b
else:
return mcdR (b, r)
se puede profundizar en conceptos esenciales y las relaciones entre ellos: la especificación del
problema, la expresión matemática del algoritmo que lo soluciona como función, la propiedad que
establece el vínculo entre especificación y algoritmo y la prueba de la misma: ¿cumple el algoritmo
de Euclides la definición de mcd?
Organización del curso
Se pueden distinguir dos etapas en el desarrollo del curso: en una primera etapa se disponen en la
plataforma virtual los materiales para el estudio de los conceptos básicos de algoritmia y el uso del
intérprete Python. Los ejercicios están pensados para introducir a los participantes en la
programación de soluciones teniendo en cuenta las recomendaciones mencionadas arriba, así como
también para que reflexionen sobre la relación entre matemática y programación. Se intenta
transmitir que lo importante que aporta la informática a la matemática es la necesidad del
rigor, de pensar las situaciones “borde”, de ordenar el pensamiento. Se enfatiza el hecho
de que el computador hará lo que nosotros escribamos, sin pensar por sí mismo, o sea
que nosotros tenemos que pensar las soluciones muy rigurosamente. Coincidimos con
Dowek (2005) en que introducir esta manera de pensar desde temprano (por ejemplo
desde 1ero de liceo, alumnos de 13 años) es muy beneficioso para la formación de todos
los estudiantes. Ilustramos con el siguiente ejemplo:
Los estudiantes tienden a escribir una sentencia de lectura de datos de la siguiente
manera:
numero = input ("ingrese un numero")
218
(en Python esto significa que se desplegará el mensaje entre comillas y luego lo que el
usuario escriba se asignará a la variable n), con lo cual están diciendo que la entrada
comprende varios conjuntos de números. ¿Es esperable que el número sea por ejemplo
√2? ¿o -3345466778? Algunos participantes tomaron en cuenta las diferencias de
representación de un número explícitamente. Por ejemplo, en uno de los trabajos, que
presenta la secuencia didáctica para la introducción de Ecuaciones de primer grado en un
2° año de liceo (14 años), los autores dicen: “En esa semana la profesora de Matemática
acompañará dicho trabajo con análisis de situaciones que surjan y que necesiten fundamentación
matemática. Por ejemplo la “diferencia” entre 2 y 2.0: ¿por qué al escribir 5/3 Python devuelve
1 mientras que al escribir 5.0/3.0 devuelve 1.66666666666667?”
Contenidos del curso
Diseño, escritura y ejecución de programas en Python.
Resolución de pequeños problemas algorítmicos e implementación de soluciones en Python,
enfatizando la comprensión de los mensajes de error. Selección y Sentencia for.
Ejemplos avanzados
Trabajo con ejemplos utilizando listas. Recursión e iteración (while). Definición de funciones.
Lecturas relacionadas a la programación para estudiantes de Enseñanza Media.
En una segunda etapa, los cursillistas trabajan en el diseño de una propuesta de aula y en la
experimentación de la misma en alguno de sus grupos. Para la evaluación final deben elaborar un
informe y presentarlo oralmente. El contenido en esta etapa se organiza como sigue:
Diseño de propuesta didáctica para su aplicación en el aula
Cada dupla docente elegirá un tema que pueda experimentar en alguno de sus grupos. Se trata de
diseñar una secuencia de actividades a proponer a los alumnos, con su correspondiente análisis y
detalles de implementación.
Aplicación de la propuesta y registro
219
Eventualmente puede acompañar al docente, como observadores, en la presentación en alguna de
las clases, compañeros de plataforma y/o un Inspector de Matemática del CES y/o la Coordinadora
de Informática.
Elaboración de informe
Elaboración del informe de la experiencia con registro de las producciones de los alumnos y
reflexión sobre el aporte de la propuesta al aprendizaje matemático de los alumnos. Presentación
en el encuentro presencial final.
En ambas etapas los participantes disponen de foros para consultas atendidos con alta frecuencia.
La modalidad es fomentar la discusión y las distintas soluciones entre cursillistas.
La siguiente tabla muestra los temas elegidos por los docentes para el trabajo final:
Temas elegidos Cantidad
Raíces de polinomios 2
Divisibilidad 5
Función polinómica de primer grado 6
Estadística 1
Geometría Analítica 2
Temas varios (operaciones con números enteros, variables, etc) 4
La siguiente tabla muestra la cantidad de grupos y años de liceo en que se trabajó.
Año de liceo Cantidad
Primero (12-13 años) 7
Segundo (13-14 años) 6
Tercero (14-15 años) 3
Cuarto (15-16 años) 2
Quinto (16-17 años) 2
Conclusiones
Todos los profesores resaltan el estímulo que significa para la motivación de los estudiantes
trabajar con un lenguaje de programación. Muchos señalan además que constataron un impacto
significativo entre aquellos estudiantes que, en general, no muestran interés en la asignatura
220
matemática. Asimismo la gran mayoría destaca aportes importantes para el aprendizaje de los
contenidos trabajados.
El trabajo en duplas fue considerado exitoso por la gran mayoría de los profesores, tanto para ellos
como para sus alumnos. Si bien los participantes tienen a su disposición un manual de Python
elaborado para el curso 2013 por los mismos cursillistas, trabajar en conjunto con un profesor de
informática ahorra a los profesores de matemática dedicar tiempo a cuestiones técnicas que no
aportan al contenido pero que es necesario superar para poder continuar con las tareas.
Como en ediciones anteriores hemos obtenido información valiosa para diseñar estrategias para
mejorar el curso, por ejemplo, la elaboración de pruebas de autoevaluación, especialmente para el
apoyo a aquellos profesores con mayores dificultades.
A pesar de que los estudiantes liceales cuyos profesores han seguido nuestro curso se benefician
de esta experiencia integradora del aprendizaje de matemática y programación y que muchos de
los participantes han dado continuidad al trabajo integrado de matemática y programación más allá
del alcance del curso, no hemos logrado que la propuesta sea aceptada institucionalmente por
razones que no tienen que ver con lo académico, sino con el hecho de que la educación en
informática en nuestro país es un campo atravesado por opiniones de la más diversa índole. De
esta forma, nuestro curso y sus efectos tienen un alcance limitado, lo que dificulta ofrecer una
valoración más adecuada de los resultados de los aprendizajes.
Referencias bibliográficas
Computational Thinking (2011) https://www.cs.cmu.edu/~CompThink/ Consultado 15/04/2017
CSTA K12 Computer Science Standards. 2011.
http://www.csteachers.org/?page=CSTA_Standards
Dowek, G. (2005) Quelle informatique enseigner au lycée? Bulletin de l'APMEP, 480. Peyton
Jones, S. (2013) Bringing Computer Science Back into Schools: Lessons from the UK,
SIGCSE'13.
da Rosa, S. (2002) The Role of Discrete Mathematics and Programming in Education. Proceedings
of Functional and Declarative Programming in Education Workshop.
221
CB-253
SOFTWARE Y REGISTROS DE REPRESENTACIÓN SEMIÓTICA EN EL
APRENDIZAJE DEL CONCEPTO DE CAMPO VECTORIAL
Fabiana Pauletich1,2 – Laura del Río1
[email protected] [email protected] 1UIDET IMApEC – Dto. De Ciencias Básicas - Facultad de Ingeniería y 2 Facultad de Ciencias
Agrarias y Forestales- Universidad Nacional de La Plata-Argentina.
Núcleo temático: VII. Investigación en Educación Matemática.
Modalidad: Comunicación Breve (CB)
Nivel educativo: Educacion para adultos
Palabras clave: Campos vectoriales, Registros de representación semiótica, Software
Resumen
Los campos vectoriales constituyen una noción fundamental en el estudio de diversos temas
matemáticos y extra matemáticos en las carreras de Ingeniería. Para que los alumnos puedan
comprender este concepto, se considera imprescindible que logren realizar conversiones entre
diversos registros de representación de los campos vectoriales, evitando el encapsulamiento en
un único registro.
Cabe preguntarse entonces en qué medida las actividades que se proponen habitualmente a los
alumnos en un curso de Cálculo Vectorial en una Facultad de Ingeniería, promueven las
conversiones de registros, qué estrategias ponen en juego estos estudiantes para lograr estas
conversiones, y cuál puede ser el rol de un software graficador.
El trabajo de investigación que se propone consta de varias etapas y se adoptará como marco
teórico la Teoría de los registros de representación semiótica de Duval. En el presente trabajo, se
expondrá la primera etapa de la investigación, en la que interesa identificar las dificultades que
puedan tener los alumnos en el trabajo con diversas representaciones de campos, caracterizar los
procedimientos utilizados por los estudiantes en la resolución de actividades y, en este contexto
determinar las ventajas y dificultades de la visualización de las gráficas de campos vectoriales en
un software graficador.
Introducción
El concepto de campo vectorial forma parte de los contenidos de la formación básica de los
estudiantes de las carreras de Ingeniería. Dado que este conocimiento es de fundamental
importancia en materias más avanzadas de la carrera (Costa, 2013), es importante identificar
cuales son los obstáculos que alumnos puedan tener para su comprensión.
En este trabajo se presenta la primera etapa de una investigación de carácter exploratorio, que se
desarrolló en un curso de primer año en una facultad de Ingeniería.
222
En las siguientes secciones, se desarrollará brevemente el marco teórico utilizado en la presente
investigación, el tratamiento del tema Campos Vectoriales en el contexto donde se realiza el
presente estudio, los antecedentes encontrados en la literatura, la metodología, los resultados y,
por último, las conclusiones y trabajos a futuro.
Marco teórico
La importancia de las representaciones semióticas en la actividad matemática se manifiesta en tres
aspectos (Duval, 2006). En primer lugar, a diferencia de otras disciplinas, los objetos matemáticos
no son accesibles por la percepción u otros instrumentos, sino sólo a través de sus representaciones
semióticas. En segundo lugar, la actividad matemática no puede desarrollarse sin representaciones
semióticas debido a que la misma requiere la sustitución de unos signos por otros. En tercer lugar,
dependiendo de la actividad matemática que se aborde, algunas representaciones semióticas
resultan más apropiadas que otras y, más aún, algunos procedimientos sólo pueden realizarse
utilizando sólo un tipo de representación.
Un registro de representación semiótica permite tres actividades cognitivas fundamentales de
representación: la formación, el tratamiento y la conversión (Duval, 1998):
En esta última actividad cognitiva, la conversión, se basa la articulación de diferentes registros de
representación. La relevancia de esta articulación radica en varios aspectos (Duval, 1998). En
primer lugar, la posibilidad de articular registros permite elegir el más adecuado para hacer los
tratamientos necesarios ante una tarea matemática. En segundo lugar, la elección de un registro
para representar un objeto impone la selección de los elementos significativos del objeto que serán
representados porque diferentes registros ofrecen distintas posibilidades y restricciones respecto a
los elementos del objeto que pueden representarse. En tercer lugar, la coordinación de varios
registros de representación es una condición necesaria para que no se confunda a los objetos
matemáticos con sus representaciones y, a la vez, se les pueda reconocer en cada una de ellas.
Bajo estas dos condiciones, una representación funciona verdaderamente como representación, es
decir, proporciona el acceso al objeto representado.
Existen numerosas evidencias que muestran que la conversión es difícil de adquirir (Duval, 1999).
La imposibilidad de llevar a cabo conversiones ocasiona el encapsulamiento de los registros, el
cual conduce a la consideración de dos representaciones del mismo objeto como dos objetos
matemáticos distintos. Ello impide usar el conocimiento en otros contextos, dificulta los
223
aprendizajes posteriores e imposibilita el control de sentido de las actividades abordadas (Duval,
1999).
Marco Institucional
La experiencia se desarrolló con alumnos de una asignatura de primer año de Ingeniería, en la que
se abordan los temas de Calculo Integral y Vectorial en una y varias variables. Tiene una
modalidad teórico-práctica, es decir que no hay espacios separados para la teoría y la práctica. El
aula cuenta con computadoras, libros y mesas cuya disposición favorece el trabajo grupal.
Los alumnos estudian el concepto de vector y sus operaciones básicas en una asignatura anterior
y el concepto de campo vectorial se presenta en la materia a la que se hace referencia en este
trabajo, como una función que a cada punto del plano o del espacio le hace corresponder un vector.
Se define el dominio de un campo vectorial, y se trabaja tanto la expresión analítica los campos
como la representación gráfica. Sin embargo, el único tipo de actividades que se proponen que
implican un cambio entre estos tipos de representación, consiste en graficar el campo dada su
expresión analítica. La estrategia sugerida en el material de la cátedra, y la adoptada por los
alumnos, consiste en seleccionar algunos puntos del dominio del campo y calcular los vectores
asociados a los mismos para luego graficarlos. Cabe preguntarse si esta estrategia, que puede
denominarse punteo, resulta suficiente para comprender cabalmente el concepto de campo
vectorial y su representación gráfica. De este cuestionamiento surge el presente trabajo de
investigación, que se encuentra en su fase inicial, de carácter exploratoria.
Antecedentes
Se han encontrado algunas investigaciones que dan cuenta de mejoras que pueden producirse en
el aprendizaje de los campos vectoriales y de otros temas relacionados, como por ejemplo, el
electromagnetismo en física, al integrar simulaciones interactivas y applets que favorezcan la
visualización de los conceptos matemáticos.
Por ejemplo, el trabajo de Alvarez (2010) reporta mejoras en la comprensión de fenómenos
electromagnéticos por parte de los alumnos a partir de la visualización de conceptos matemáticos,
pero aclara que estos resultados “deben ser complementados con otras investigaciones de carácter
cualitativo que indaguen sobre los procesos que se han producido en los estudiantes durante el
aprendizaje del tema” (p. 148).
Costa y Di Domenicantonio (2010) también realizan un trabajo en el cual muestran mejoras en los
resultados del aprendizaje al implementar un taller en el aula de matemática integrando
224
representaciones computacionales de campos vectoriales e interactuando con docentes de física,
quienes aportan las interpretaciones físicas de los conceptos matemáticos estudiados.
Estos, entre otros trabajos analizados, coinciden en que la enseñanza de estos temas es compleja,
que la visualización gráfica mediada por computadora puede contribuir de manera favorable (a
partir de tests que miden la comprensión alcanzada y/o mediante encuestas a los alumnos que
miden la percepción que estos tienen de su propia comprensión), pero se observa la necesidad de
profundizar en los procedimientos puestos en juego por los alumnos a la hora de resolver
actividades que involucran campos vectoriales y la interpretación que estos hacen de lo que
visualizan en pantalla cuando interactúan con un software.
Metodología
Dado que no se han encontrado trabajos que permitan pre-definir categorías para el análisis de las
dificultades de los alumnos al interactuar con un software graficador que permita el trabajo con el
registro de representación gráfico de campos vectoriales y de los procedimientos que ponen en
juego al utilizar una herramienta como esta para abordar actividades, se decidió llevar a cabo una
primera fase exploratoria, que permita en un futuro contar con tales categorías para avanzar en una
fase descriptiva.
Se convocó a los alumnos, luego de haber abordado el tema campos vectoriales, a participar en
forma voluntaria de una experiencia que se llevaría a cabo fuera del horario de clase.
De los 60 alumnos inscriptos en la comisión concurrieron a la cita 11 alumnos a quienes se les
otorgó computadoras para trabajar (una cada dos alumnos) y una guía de actividades que se
presenta en el Anexo. Con la computadora, los alumnos tenían acceso a un applet generado ad hoc
con GeoGebra16, el cual permite en forma muy simple obtener representaciones gráficas de campos
vectoriales a partir del ingreso de las expresiones algebraicas de sus componentes.
En este trabajo, se centrará la atención en las actividades en las que se solicita proponer una
fórmula analítica para los campos vectoriales que se muestran en la Figura 1. Esta tarea implica la
conversión del registro gráfico al analítico.
Se registraron por escrito las conversaciones más relevantes que los alumnos mantuvieron a fin de
obtener indicios sobre las estrategias puestas en juego para su abordaje, las dificultades
16 www.geogebra.org/m/GwRc5mQP
225
encontradas, lo que ellos entendían a partir de las devoluciones que obtenían en pantalla, y cómo
utilizaban esa información para re-pensar la tarea en caso de no obtener lo que esperaban.
También se solicitó a los alumnos que entreguen por escrito las respuestas a las consignas,
intentando reflejar todo el procedimiento, lo más explícitamente posible, incluyendo los intentos
fallidos.
I
II
III IV
Figura 1. Campos vectoriales dados en la consigna para representar analíticamente
Resultados
En relación al gráfico I, en general no tuvieron dificultades para interpretar que el hecho de que
las “flechas” tengan longitud constante, representa que el fluido se mueve a igual velocidad en
cualquier lugar del tubo, mientras que en relación al gráfico II se considera el roce con la superficie
del tubo, dando lugar a un movimiento más lento cerca de la misma (representado con flechas más
cortas) y más rápido en el centro (flechas más largas). Es decir, que en este caso, el pasaje del
registro gráfico al lenguaje coloquial, no parece haber impuesto mayores dificultades. En los casos
III y IV, se observa que existen dificultades para expresar formalmente lo observado en las figuras,
sin embargo se observan algunas ideas generales que parecen dar cuenta de que comprenden la
representación. Por ejemplo:
A1: “En el III, los módulos de los vectores no varían, sin embargo cada vector tiene una
dirección que parece apuntar hacia afuera del centro. En el IV, los módulos de los vectores
varían y sus direcciones son similares a los vectores de velocidad de una circunferencia”.
Este alumno parece estar visualizando las líneas de campo del campo dado.
226
A2: “En el III, el módulo de los vectores es el mismo, y sus direcciones son opuestas. Se
está representando una expansión. En el IV, los módulos de los vectores aumentan a
medida que nos alejamos del centro, esto indica un aumento de lo que el vector está
representando. Las direcciones adoptan una forma de espiral en el plano”.
Si bien el lenguaje utilizado por este alumno no es correcto, logra encontrar ejemplos o analogías
con fenómenos que pueden representarse con esos campos.
Otra de las actividades que se planteó, consistió en proponer una fórmula analítica para los
siguientes campos representados gráficamente (conversión del registro gráfico al analítico). En la
clase habitual de la materia, los alumnos resuelven actividades en las cuales deben pasar del
registro analítico al gráfico, pero nunca al revés. Es esos casos, los alumnos utilizan para la
resolución la técnica de punteo, es decir, seleccionan algunos puntos del dominio, evalúan la
fórmula en esos puntos y grafican las flechas correspondientes en los puntos seleccionados. Al
invertir el registro de salida y el de llegada (es decir, al solicitar que pasen del registro gráfico al
analítico) se observan múltiples dificultades entre las cuales se pueden observar:
- Algunas asociadas al concepto de vector: los alumnos no parecen dominar el lenguaje
específico. Por ejemplo, al hablar de “posición positiva o negativa”, “sentido positivo o
negativo”. Otro ejemplo se relaciona con el concepto de vector unitario, que los alumnos
aprenden en una asignatura anterior, pero parecen no dominar: “¿Así que unitario quiere
decir que tiene módulo uno?”.
- Otras asociadas a la dificultad de comprender al campo vectorial como una función. Por
ejemplo, la confusión entre las coordenadas cartesianas de un punto del dominio con las
componentes del vector que es su imagen. Esto se observa en las dificultades de los
alumnos para proponer campos en los cuales la primera componente dependa de la variable
y y que la segunda componente dependa de la variable x. Cabe notar que cuando ellos
resuelven actividades usuales de pasar del registro analítico al gráfico, como se mencionó
anteriormente, abordan múltiples ejemplos donde esto ocurre.
- Una particularidad de la representación gráfica de los campos vectoriales es que
solamente se eligen algunos puntos y se representan las flechas asociadas a los mismos.
No es posible en una región acotada del plano representar la totalidad de las flechas. La
dificultad asociada a este hecho se observa, por ejemplo, cuando frente a dos
representaciones gráficas distintas de un mismo campo vectorial, considerando distintos
227
conjuntos de puntos, los alumnos no logran reconocer que puede tratarse de un mismo
campo (ver ejemplo en Figura 2).
Figura 2. La figura de la izquierda, es la presentada a los estudiantes en la consigna. Al representar en el applet el
campo <-y, x>, un grupo de alumnos tenía la vista centrada en un punto distinto del origen de coordenadas,
obteniendo un gráfico similar al de la figura de la derecha. Los alumnos no pudieron identificar que ambas gráficas
representaban el mismo campo.
En relación a los procedimientos puestos en juego por los alumnos, se puede mencionar lo
siguiente: En el primer caso (campo constante), los alumnos no tuvieron grandes dificultades para
proponer una representación analítica. En el segundo caso, algunos alumnos observaron que las
puntas de las flechas se encontraban dispuestas sobre una parábola, lo que les sugería la existencia
de alguna relación de tipo cuadrática. Sin embargo, se observó una dificultad por parte de ellos
para aceptar que la primera componente del campo dependiera de la variable y, como se señaló
anteriormente. De manera similar en el caso IV, se observa que uno de los alumnos, al visualizar
que las líneas de campo son circunferencias, propone la siguiente expresión analítica:
<cos(x),sen(y)>, de manera que asocia la definición del campo con la parametrización de la
circunferencia. Además, en la primera componente expresa una dependencia con x y en la segunda
con y.
Luego se observó que el gráfico obtenido mediante el graficador, sirvió para que los alumnos
reconozcan que la respuesta no era correcta, pero no para ayudarlos a pensar el porqué del error y
realizar una propuesta más adecuada, sino que los siguientes intentos parecieron más azarosos. Por
ejemplo, en el caso III un grupo de alumnos propone <x,y> y observan en el graficador que resulta
un campo radial, es decir que la dirección es correcta, sin embargo observan que no es de módulo
constante, y proponen entonces <x2,y2>, sin reflexionar sobre cómo lograr que los módulos sean
constantes.
228
Conclusiones y trabajos a futuro
La mayor dificultad para los alumnos fue pasar del registro gráfico al analítico. Otra de las
dificultades halladas fue comprender que las componentes del campo puedan depender tanto de la
variable x como de la variable y. La idea inicial que tenían los alumnos era que la primera
componente del campo dependía solo de x y la segunda solo de y, y no les resultó sencillo superar
esta concepción. Esta dificultad, que no estaba prevista al comienzo del trabajo de investigación,
se vincula más que con la conversión entre registros, con las reglas de formación dentro del registro
analítico.
Con respecto al graficador, resultó beneficioso, pero trajo otros inconvenientes que no se habían
tenido en cuenta antes. Si bien permitió a los alumnos validar las distintas expresiones analíticas,
no ayudó a buscar la correcta. Además, si la gráfica que obtenían no era idéntica a la que se les
daba, no reconocían que podía tratarse del mismo campo. Si bien la visualización contribuye, no
implica necesariamente aprender mejor. Es necesario diseñar cuidadosamente las actividades para
que el software resulte de ayuda para realizar la conversión entre registros.
Cabe destacar que las primeras actividades con el graficador resultaron más trabajosas pero esto
les permitió adquirir mayor fluidez en las últimas actividades.
Como trabajos a futuro interesa profundizar en la identificación y caracterización de las
dificultades, saber qué tan extendidas están y poder cuantificarlas. Además, proponer actividades
para llevar al aula que permitan la conversión entre los distintos registros en particular del registro
gráfico al analítico, para mejorar la comprensión de los campos vectoriales y estudiar en qué
condiciones un software graficador puede contribuir con su aprendizaje y en la articulación de
registros de representación.
Referencias bibliográficas
Alvarez, T. (2010). La visualización de conceptos matemáticos y el aprendizaje del
electromagnetismo. Latin-American Journal of Physics Education, 4(1), 21.
Costa, V; Di Domenicantonio, R. (2010) Efecto de la implementación de estrategias didácticas en
la enseñanza del concepto “campo vectorial y sus aplicaciones”. XXIV Congreso Chileno
de Enseñanza en Ingeniería.
Costa, Viviana (2013). Aspectos destacados de las teorías cognitivas del aprendizaje, como
estrategias didácticas para la enseñanza y aprendizaje de conceptos del cálculo
vectorial. En Flores, Rebeca (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (pp.
513-521). México, DF: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa.
229
Duval, R. (1998) Registros de representación semiótica y funcionamiento cognitivo del
pensamiento. En F. Hitt (Ed.) Investigaciones en Matemática Educativa II, (pp. 173 – 201).
México: Grupo Editorial Iberoamérica.
Duval, R. (1999) Semiosis y pensamiento humano. Registros semióticos y aprendizajes
intelectuales. Cali, Peter Lang, Universidad del Valle.
Duval, R. (2006). Un tema crucial en la educación matemática: La habilidad para cambiar el
registro de representación. La Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española, 9(1),
143-168.
ANEXO En todos los casos van a trabajar con GeoGebra. Dejen por escrito todos los intentos que realizaron para resolver los ejercicios.
1) ¿Qué entienden por campo vectorial? Expliquen con sus palabras y ejemplifiquen.
2) En el siguiente gráfico se muestra un campo de velocidades de un fluido (estacionario).
Indiquen el significado de las diferentes longitudes de las flechas.
3) A partir de la visualización de los siguientes campos vectoriales, describan como son
los módulos y las direcciones de cada uno.
230
4) Propongan para los gráficos de los ejercicios 2 y 3 una fórmula para poder
representarlos.
5) El concepto de campo fue desarrollado por Michael Faraday en el contexto de fuerzas
eléctricas. Un campo eléctrico existe en una región del espacio alrededor de un cuerpo
cargado. Para el caso de una carga aislada positiva, se dice que genera un campo
radial que emana de dicha carga. Por otro lado a medida que nos alejamos de la carga
el campo “pierde intensidad con el cuadrado de la distancia”.
Realicen un gráfico de dicho campo, marque las líneas de campo y proponga una
fórmula para el mismo.
6) Propongan una fórmula para el campo de la figura.
231
CB-255
CONSTRUYENDO CUADRADOS CON GEOGEBRA A PARTIR DE DIFERENTES
SISTEMAS DE REPRESENTACIÓN. UN ESTUDIO CON MAESTROS DE PRIMARIA
EN FORMACIÓN
Alberto Arnal Bailera – Antonio M. Oller-Marcén
[email protected] – [email protected]
Universidad de Zaragoza – Centro Universitario de la Defensa de Zaragoza (España)
Núcleo temático: Formación del profesorado en Matemáticas
Modalidad: CB
Nivel educativo: Formación y actualización docente
Palabras clave: GeoGebra, Formación de profesorado, Geometría, Elementos
Resumen Estudiamos las soluciones aportadas por 18 parejas de alumnos de 3º del Grado de Magisterio
de Educación Primaria cuando trasladan a GeoGebra el proceso de construcción de un cuadrado
dado su lado tal y como aparece descrito (Proposición I.46) en dos ediciones diferentes de los
elementos de Euclides: la clásica de la editorial Gredos y la menos conocida de Oliver Byrne.
Estas ediciones emplean sistemas de representación radicalmente diferentes para presentar un
mismo contenido matemático. Teniendo en cuenta la relativa sencillez de la construcción,
sorprende el gran número de distintos procedimientos seguidos por los alumnos. En este trabajo,
describimos y analizamos esta variedad de construcciones y tratamos de identificar y discutir los
errores cometidos y las dificultades encontradas por los alumnos tanto en relación con los
distintos sistemas de representación utilizados, como con el software de geometría dinámica.
Introducción y objetivos
Múltiples ejercicios de Geometría clásica consisten en las construcción de figuras a partir de
algunos de sus elementos (construcción de un polígono regular dado uno de sus lados, construcción
de un triángulo a partir de sus tres lados, etc.) o de objetos que cumplan ciertas propiedades
(construcción de una recta perpendicular a otra por un punto, construcción de una recta tangente a
una circunferencia por un punto exterior, etc.). Estas construcciones se han realizado
tradicionalmente con regla y compás siguiendo unos procedimientos más o menos estandarizados.
Textos clásicos, como los Elementos, incluyen un amplio catálogo de tales construcciones
detallando paso a paso las operaciones a realizar con los citados instrumentos.
El uso de un software de Geometría dinámica (de GeoGebra en particular) para llevar a cabo este
tipo de construcciones implica, por sus especificidades, una reinterpretación o adaptación de los
pasos descritos en los textos clásicos que debe ir más allá de la mera traslación del procedimiento.
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Esta adaptación, no obstante, no está exenta de dificultades por cuanto las instrucciones
proporcionadas en los textos están concebidas para ser seguidas utilizando unas herramientas
concretas (la regla y el compás) que no son las que se van a utilizar hoy en día. Es evidente, además,
que esta labor de adaptación debe ser una tarea a llevar a cabo por los docentes a la hora de diseñar
y preparar sus clases o de generar recursos o actividades para sus alumnos relacionados con estos
contenidos.
Así pues, a partir de estas consideraciones nos planteamos la siguiente pregunta de investigación:
¿La utilización de un sistema de representación particular para dar instrucciones, mejora los
resultados de los alumnos de Magisterio a la hora de realizar construcciones en GeoGebra? En
particular, para tratar de responder a esta pregunta abordamos los siguientes objetivos específicos:
1. Determinar si el sistema de representación mediante el que se proporcionan las
instrucciones a los alumnos tiene alguna influencia sobre el grado de seguimiento de las
instrucciones y sobre la corrección de la construcción realizada en GeoGebra.
2. Identificar las herramientas GeoGebra utilizadas y analizar los errores cometidos por los
alumnos al realizar las construcciones que se les solicitan.
Marco teórico
La génesis instrumental es un proceso personal de cada individuo participante en la situación de
enseñanza y aprendizaje, que involucra una cierta transformación de lo que Rabardel (1995) y
Trouche (2004) llaman artefacto a lo que denominan instrumento. En este proceso, el artefacto,
una realidad física exclusivamente, se transforma en algo más complejo que incluye, además de lo
físico, una parte psicológica que aporta cada individuo y que le confiere una funcionalidad que le
permite integrarlo en su actividad. Esto se produce gracias a la emergencia conjunta de esquemas
mentales y técnicas de uso de la herramienta cuando se trabaja con tecnologías digitales (Drijvers,
2012).
En el proceso de génesis instrumental, Rabardel (1995) distingue dos subprocesos, uno orientado
al individuo y otro al artefacto. En el primero, la instrumentación, el artefacto influye en el
individuo, permitiendo desarrollar una cierta actividad matemática de un modo distinto a como
posiblemente venía realizándola. En el segundo subproceso, la instrumentalización, el individuo
influye en el artefacto, descubriendo sus funcionalidades y terminando en personalizar sus
utilidades o utilizándolo para fines no previstos por el diseñador. Durante los procesos de génesis
instrumental se dan ciertos fenómenos en el alumno que han sido descritos en Guin y Trouche
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(2002) para otros contenidos de Matemáticas, pero que son fácilmente trasladables al entorno de
nuestro estudio con contenidos de Geometría:
Comportamiento del pescador. El alumno prueba opciones del instrumento tecnológico con
la esperanza de que algo termine por ocurrir.
Transporte automático. El alumno confía en poder resolver directamente el problema con
el instrumento tecnológico de que se trate, dada su complejidad.
Determinación inflexible. El alumno repite la misma técnica y aplicación realizando ajustes
sucesivos, pero sin demasiada reflexión sobre la conveniencia de explorar otras técnicas o
aplicaciones.
Iranzo y Fortuny (2009) detallan tareas que muestran la dificultad de transferencia de las
estrategias de resolución con papel y lápiz a las estrategias con ayuda de GeoGebra y viceversa,
estableciendo tipologías de alumnos según la mayor o menor presencia de prácticas de reflexión o
procedimentales: autónomos (alto nivel de instrumentación e instrumentalización), instrumentales
(nivel medio de instrumentación e instrumentalización), procedimentales (nivel bajo de
instrumentalización) y naif, (nivel bajo de instrumentación). Estos últimos tienden a razonar sobre
el dibujo y no sobre la figura y sus construcciones no pasan el test de arrastre (Mariotti y Bartolini,
1998).
Método y muestra
La experimentación se llevó a cabo con 36 estudiantes del Grado en Magisterio de Educación
Primaria durante el curso académico 2014-2015 y en el marco de la asignatura Didáctica de la
Geometría que se desarrolla en el tercer curso. En concreto, la actividad se desarrolló en una sesión
de dos horas de duración en el aula de informática. Durante la sesión se alternó el trabajo de los
alumnos en 18 pequeños grupos formados por hasta tres personas, con las puestas en común
coordinadas por los investigadores.
La tarea propuesta a los alumnos consistió en la construcción de un cuadrado a partir de un lado
(Proposición 46 del Libro I de los Elementos). En concreto, los alumnos debían reproducir las
instrucciones proporcionadas por escrito mediante el uso de GeoGebra.
Para responder a la pregunta de investigación planteada anteriormente, se crearon dos versiones
de la tarea. En una de ellas (que llamaremos versión C), las instrucciones y figuras proporcionadas
a los alumnos provenían de la edición clásica de los Elementos de Euclides (Euclides, 1994). En
la otra (que llamaremos versión B), se proporcionan las instrucciones y figuras tal y como aparecen
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en la edición de los Elementos realizada por el inglés Oliver Byrne (Byrne, 1847). De los 18
grupos, 10 completaron el modelo B del cuestionario, mientras los 8 restantes completaron el
modelo C.
En la Figura 1 se muestran las dos versiones de la tarea. En ella se pueden apreciar los distintos
sistemas de representación utilizados, así como las ligeras diferencias que existen entre ambos
procesos de construcción.
Figura 1. Enunciado de la Tarea 1 en ambas versiones del cuestionario
Como se puede observar, la edición de Oliver Byrne de los Elementos de Euclides utiliza un
sistema de representación poco convencional. El sistema tradicional (letras mayúsculas para
puntos, segmentos denotados a partir de sus extremos, etc.), que se puede apreciar en la edición
clásica, es sustituido por un lenguaje de tipo fundamentalmente icónico en el que el color y la
representación intuitiva de objetos y conceptos resulta de gran importancia. El uso del sistema de
representación planteado por Byrne se ha utilizado recientemente de forma fructífera en trabajos
con profesorado de Secundaria en formación (Arnal-Bailera y Oller-Marcén, 2017).
El estudio realizado es de carácter exploratorio con una finalidad esencialmente descriptiva (Elliot
y Timulak, 2005). Se trata de una investigación de tipo mixto en la que se combina el enfoque
cuantitativo con el análisis de datos de tipo cualitativo. En particular, y en relación con los
objetivos enumerados anteriormente, las variables en las que se centrará principalmente nuestro
análisis son las siguientes:
Seguimiento de las instrucciones por parte de los alumnos. Queremos estudiar si los
alumnos se ajustaban o no a las instrucciones proporcionadas en el enunciado de la tarea.
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Corrección de la construcción realizada en GeoGebra. Una construcción se ha considerado
correcta cuando pasa el test de arrastre.
Herramientas de GeoGebra utilizadas por los alumnos para llevar a cabo la construcción.
Errores cometidos en el proceso de construcción.
La recogida de la información se ha llevado a cabo mediante diversos procedimientos. El primero
consistió en la observación por parte de los investigadores. En segundo lugar, se dispone de las
producciones de los alumnos tanto escritas en sus respuestas al cuestionario como digitales en los
ficheros de GeoGebra generados. Finalmente, las fases de puesta en común fueron grabadas en
video y transcritas para su posterior análisis.
Resultados
En primer lugar, es interesante señalar que la mitad de los grupos participantes no siguen al pie de
la letra las instrucciones proporcionadas en el formulario a la hora de reproducir lo construcción
en GeoGebra. Este hecho se produce además con independencia de la versión del cuestionario con
que estuviesen trabajando. Por otro lado, el hecho de no respetar las instrucciones no parece tener
influencia en la corrección de la construcción realizada (Tabla 1).
Versión B Versión C
Construcción
correcta
Construcción
incorrecta
Construcción
correcta
Construcción
incorrecta
Respetan
instrucciones 3 2 1 3
No respetan
instrucciones 4 1 1 3
Tabla 1. Corrección de las respuestas y respeto de las instrucciones según la versión de la tarea
Como hemos mencionado anteriormente, la principal pregunta de investigación que pretendemos
responder es si la utilización de un sistema de representación particular para dar instrucciones
puede mejorar resultados de los alumnos de Magisterio a la hora de construir polígonos en
GeoGebra.
Versión B Versión C
Construcción
correcta 7 2
Construcción
incorrecta 3 6
Tabla 2. Corrección de las instrucciones según versión de la tarea
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En la Tabla 2 se puede observar que los alumnos que completaron el modelo B del cuestionario
encontraron aparentemente menos dificultades a la hora de realizar la construcción correctamente
con GeoGebra. De hecho, si realizamos un test χ2 de independencia (con la corrección de Yates)
entre ambas variables, obtenemos que existe dependencia entre ellas con un nivel de confianza de
aproximadamente el 90%.
Entre los que los que lo construyen correctamente y siguen las instrucciones, tres grupos siguen el
procedimiento que se realizaría con regla y compás: Primero utilizan la herramienta ‘Recta
perpendicular’, a continuación trasladan la longitud del segmento dado con la herramienta
‘Circunferencia’ y finalmente cierran la construcción del cuadrado utilizando en dos ocasiones la
herramienta ‘Recta paralela’. El cuarto grupo se aparta de esta construcción canónica realizando
los dos primeros pasos en uno utilizando la herramienta ‘Rota alrededor de un punto’.
De entre los grupos que lo construyen de forma incorrecta aunque sigan las instrucciones, el error
principal consiste en realizar ajustes a mano de objetos que se construyen sin haber impuesto todas
las condiciones que los definen. Por ejemplo, para construir una perpendicular al segmento dado
por uno de sus extremos, algunos grupos construyen primero un punto arbitrario exterior al
segmento, para a continuación trazar una perpendicular por ese punto y arrastrarla hasta que pasa
por el extremo del segmento (ver Figura 2).
Paso 1 Paso 2
Paso 3 Paso 4
Figura 2. Construcción “incorrecta” de la perpendicular a una recta por un punto.
El mismo error (arrastrar una recta para conseguir que pase por el punto deseado) aparece en otros
grupos utilizando la herramienta recta paralela. Por otro lado, también encontramos un error
análogo arrastrando puntos en lugar de rectas, ya sea para conseguir que un segmento tenga la
longitud deseada o para que un ángulo sea recto.
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Conclusiones y discusión
Se observa que el sistema de representación utilizado para proponer la tarea, no parece tener
influencia sobre la adhesión de los alumnos a las instrucciones propuestas.
Los alumnos de Magisterio que trataron de construir el cuadrado a partir de la edición de Byrne
tuvieron una tasa de éxito mucho mayor que los que lo intentaron a partir de la de Gredos. La
presentación de la construcción del cuadrado por parte de Byrne favorece la utilización de
GeoGebra sobre todo por la reducción de simbolismo en la transmisión de información y por el
carácter más concreto y visual de las construcciones mostradas y del modo en que se representan
los objetos. Por ejemplo, cuando Byrne se refiere a un segmento, lo muestra gráficamente (color
incluido) frente a la práctica usual de hacerlo mediante la referencia a dos puntos (sus extremos)
que en ocasiones no están definidos previamente con lo que se introduce simultáneamente el
segmento y los dos puntos. De hecho, en su introducción, el propio Byrne (1847, p. viii) afirma
que “las formalidades y parafernalia del rigor se presentan tan ostentosamente que casi ocultan la
realidad” como justificación de su manera de presentar su revisión de los Elementos.
La presentación clásica de la construcción del cuadrado no favorece la utilización de GeoGebra
para esta tarea. El principal obstáculo detectado tiene que ver con el papel del punto C. Este punto
no se construye explícitamente y su único papel es el de nombrar una semirrecta. Además, se
introduce en la construcción a la vez que la propia semirrecta; con las dificultades de comprensión
que ello conlleva. De hecho, muchos de los errores detectados tienen su origen en los intentos de
los alumnos de construir previa e independientemente este punto C, lo que provoca que la
construcción necesite ser ajustada a mano y, por tanto, no pase el test de arrastre.
Entre los alumnos que han seguido las instrucciones podemos identificar tres de los perfiles
señalados por Iranzo y Fortuny (2009). Los cinco grupos que realizan la construcción de forma
incorrecta se podrían poner en relación con el perfil naif, dado que sus construcciones no pasan el
test de arrastre y parecen razonar sobre el dibujo más que sobre la figura. Los tres grupos que
siguen el procedimiento que se realizaría con regla y compás se podrían poner en relación con el
perfil instrumental, ya que utilizan GeoGebra como soporte conceptual y visual. Finalmente, el
grupo restante podría clasificarse como autónomo ya que, en cierto modo, optimiza el proceso de
construcción utilizando una herramienta (rotar alrededor de un punto) que unifica los primeros
pasos, lo que podría ser un rasgo de alto nivel de instrumentalización.
Agradecimientos
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Trabajo financiado parcialmente por el Gobierno de Aragón y el Fondo Social Europeo (Grupo
S119-Investigación en Educación Matemática) y por el Ministerio de Economía y Competitividad
de España (Proyecto EDU2015-65378-P).
Referencias bibliográficas
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Byrne, O. (1847). The first six books of the elements of Euclid in which coloured diagrams and
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Rabardel, P. (1995). Les hommes et les technologies, approche cognitive des instruments
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Trouche, L. (2004). Managing the complexity of human/machine interactions in computerized
learning environments: guiding students’ command process through instrumental orchestrations.
International Journal of Computers for Mathematical Learning, 9(3), 281-307.
240
CB-256
O LABORATÓRIO DE ENSINO DE MATEMÁTICA COMO ESPAÇO DE
ELABORAÇÃO DE SABERES DA DOCÊNCIA
Eliane Maria de Oliveira Araman
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Câmpus Cornélio Procópio
Núcleo temático: Formação de Professores de Matemática
Modalidade: CB
Nível educativo: Sem especificar
Palavras chave: Formação de Professores, Laboratório de Ensino de Matemática, Saberes
Docentes
Resumo O presente trabalho apresenta os resultados de uma investigação qualitativa no âmbito da
formação de professores de matemática cujo objetivo principal foi analisar os saberes elaborados
e (re)elaborados por estudantes de um curso de Licenciatura em Matemática ao cursar uma
disciplina obrigatória denominada “Laboratório de Matemática”. Para isso foi realizada
entrevistas semiestruturadas com sete alunos do referido curso, que já haviam cursado a referida
disciplina. De acordo com as investigações da área, o Laboratório de Ensino de Matemática se
configura como um ambiente profícuo para o desenvolvimento de saberes necessários à docência,
sendo relevantes para a formação inicial de professores (Lorenzato, 2012). As questões das
entrevistas versavam a respeito das atividades desenvolvidas na disciplina e de como, sob o ponto
de vista dos mesmos, elas contribuíram para a formação docente. Para análise dos dados, foi
usada a Análise de Conteúdo (Bardin, 2004) na perspectiva da fundamentação teórica dos
Saberes Docentes (Shulman, 1986; Ball & Thames & Phelps, 2008). Os resultados foram
organizados em categorias que evidenciam a importância do Laboratório de Ensino de
Matemática na elaboração de diversos saberes pelos sujeitos entrevistados, principalmente os
saberes pedagógicos do conteúdo.
Introdução
O tema “formação de professores” tem sido muito debatido nos últimos anos, como podemos
observar pela marcante presença desse tema nos estudos e pesquisas que estão sendo publicados
em periódicos e eventos, em que essa temática vem apresentando um crescimento considerável.
Diante do emaranhado que se constitui a profissão docente, os pesquisadores buscam uma maior
aproximação com a realidade do professor, numa tentativa de compreender como se dá o processo
de formação docente e a elaboração de saberes.
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De acordo com essa perspectiva, encontramos muitos estudos que procuram aproximar a formação
do professor com a sua realidade profissional. Dentre eles, evidenciamos as relacionadas aos
saberes docentes de Shulman (1986) e Ball & Thames & Phelps, 2008, entre outros. Tais trabalhos
evidenciam a necessidade de compreender e explicitar os saberes que os professores mobilizam
durante a ação docente, bem como as possibilidades de articulação desses saberes com as pesquisas
em formação docente.
A formação inicial do professor de matemática constitui um momento importante para elaboração
de diversos saberes que serão necessários na atuação profissional (Brito y Alves, 2008), além de
outros que são desenvolvidos durante a prática. Sendo assim, pesquisar os espaços de formação
inicial do professor é relevante para compreendermos quais saberes estão sendo desenvolvidos e
de que maneira os mesmos se relacionam com a prática.
O curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, câmpus
Cornélio Procópio, traz, em sua estrutura curricular, uma disciplina denominada Laboratório de
Matemática, ofertada no quarto semestre do curso, com uma carga horária semestral de 54 h/a. O
câmpus possui uma sala de aula ampla, destinada para o Laboratório de Ensino de Matemática –
LEM, equipada com computadores com acesso à internet, muitos e diversificados materiais
didáticos e jogos pedagógicos para o ensino de matemática e uma lousa digital interativa. A
disciplina tem como principal objetivo desenvolver materiais didáticos para o ensino de
matemática na educação básica e refletir a respeito de suas possibilidades de abordagem.
Nesse sentido, compreendemos que o LEM é um espaço de elaboração de saberes que pode ser
pesquisado de forma sistemática, evidenciando quais as suas contribuições para a formação
docente, ou seja, quais saberes docentes estão sendo elaborados pelos futuros professores de
matemática que participam do LEM? Além disso, os resultados obtidos podem ser aproveitados
para futuras ações formadoras e para o aprimoramento do uso do LEM no curso de Licenciatura
em Matemática.
O Laboratório de ensino de matemática na formação inicial de professores
Nas pesquisas realizadas por Libâneo (2011) e Lorenzato (2012), o LEM traz importantes
contribuições para a formação inicial do professor de matemática uma vez que possibilita que os
futuros professores conheçam, vivenciem, elaborem materiais didáticos adequados para o ensino
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de matemática nos diferentes níveis, numa perspectiva muito próxima ao conhecimento
pedagógico do conteúdo proposto por Shulman (1986), uma vez que possibilita a articulação entre
o conhecimento pedagógico e o conhecimento disciplinar do conteúdo.
Na perspectiva de Turrioni (2004), o LEM pode ser compreendido como um agente de mudança
em um ambiente em que se concentram esforços de pesquisa na busca de novas alternativas para
o aperfeiçoamento do curso de Licenciatura em Matemática, contribuindo para o desenvolvimento
profissional e para a formação do professor pesquisador.
Para Lorenzato (2012), o LEM pode ser composto por vários tipos de materiais didáticos que
permitem uma maior participação do estudante. Esses materiais se constituem como um importante
recurso didático, favorecendo o processo de ensino e aprendizagem e também a prática docente,
visto que podem tornar as aulas de Matemática mais dinâmicas e compreensíveis, na medida em
que aproxima a teoria Matemática da constatação com a prática, por meio da ação manipulativa e
reflexiva. Assim, o LEM se constitui como um ambiente que possibilita um conjunto de
explorações e investigações matemáticas, sendo passíveis de serem realizadas reflexões inerentes
aos conteúdos matemáticos, bem sobre relações entre teoria e prática docente (Araman et al.,
2016).
Nesse contexto, consideramos que o LEM constitui um ambiente profícuo para a elaboração de
diversos saberes, principalmente àqueles relacionados ao conhecimento pedagógico do conteúdo,
na perspectiva de Shulman (1986). O conhecimento pedagógico do conteúdo pode ser concebido
como um conjunto de conhecimentos e capacidades próprias do professor, que consiste nos modos
pelos quais este formula e apresenta o conteúdo com o objetivo de torná-lo compreensível para
seus alunos. Para Shulman, na categoria de conhecimento pedagógico do conteúdo podem ser
incluídas “as analogias, ilustrações, exemplos, explicações e demonstrações – em outras palavras,
as formas de representação e formulação do assunto que pode torná-lo compreensível para os
outros” (Shulman, 1986, p. 9).
Dessa forma, pode ser considerado um conhecimento que extrapola tanto a compreensão dos
conteúdos, como também dos aspectos pedagógicos. Ele articula o conhecimento que é objeto de
ensino e de aprendizagem com os procedimentos didáticos que visam favorecer o processo de
compreensão dos mesmos. Também se refere à compreensão que os professores têm do que
facilita ou dificulta a aprendizagem dos alunos em um determinado tema. O conhecimento
243
pedagógico do conteúdo é fruto da relação dinâmica entre o conteúdo a ser ensinado e as formas
mais adequadas de se fazê-lo.
Metodologia
A presente pesquisa, por suas características, enquadra-se numa perspectiva qualitativa (Bogdan y
Biklen, 1994) que busca compreender o papel desempenhado pelo LEM na elaboração de saberes
de futuros professores de matemática.
Para isso, realizamos entrevistas semiestruturadas com cinco estudantes da Licenciatura em
Matemática da Universidade Tecnológico Federal do Paraná – UTFPR, câmpus Cornélio
Procópio, que já haviam cursado a disciplina de Laboratório de Matemática. As entrevistas foram
realizadas no mês de novembro de 2016, nas dependências da universidade e gravadas em áudio
com o consentimento dos entrevistados (que assinaram o Termo de Consentimento Livre e
Esclarecido), de modo que suas identidades ficassem protegidas. Dessa forma, para este artigo, os
trataremos por Estudante A; Estudante B e assim por diante.
A transcrição das entrevistas constitui o corpus que foi analisado com a finalidade de compreender
os saberes foram estruturados e reestruturados pelos licenciando, ao cursar a referida disciplina.
Para a análise dos dados, consideraremos os aportes teóricos e metodológicos da Análise de
Conteúdo. Das análises propostas pela Análise do Conteúdo optamos pela análise temática, que
para Bardin (2004) é o tipo de análise que mais se adequa as pesquisas qualitativas, uma vez que
“o texto pode ser recortado em ideias constituintes, enunciados e em proposições portadores de
significações isoláveis” (Bardin, 2004, p.105).
A análise temática, na perspectiva de Bardin (2004), desdobra-se em três etapas básicas: I) pré-
análise: que consiste na escolha dos documentos a serem analisados (no caso dessa pesquisa, as
transcrições das entrevistas); II) exploração do material: que consiste essencialmente na operação
de codificação; III) tratamento dos resultados obtidos e interpretação (processo de categorização e
interpretação dos resultados).
244
Apresentação e análise dos dados
Após a leitura criteriosa do corpus, os trechos das entrevistas dos estudantes foram recortados em
ideias constituintes, de acordo com o objetivo da presente pesquisa. Após essa etapa de
organização dos trechos, os mesmos foram codificados e organizados em quatro categorias que
evidenciam que o LEM contribuiu para oportunidade de desenvolvimento de saberes. Para a
codificação, usamos E1, E2, E3, para estudante 1, estudante 2, e assim por diante e T1 para trecho
1 da entrevista, T2 para trecho 2 da entrevista e assim sucessivamente. Então E3T5 significa que
aquele é o trecho 5 da entrevista do estudante 1.
a) Categoria 1: conhecimento do conteúdo
Nesta categoria enquadramos os trechos que evidenciam a preocupação dos estudantes
entrevistados com o domínio do conteúdo ao recorrer aos jogos e materiais manipuláveis. Seguem
alguns trechos:
“eu acrescentaria o domínio do conteúdo, pode acontecer de um aluno perguntar
sobre o conteúdo e o professor não saber responder” E2T9
“é fundamental o professor ter o domínio sobre o conteúdo” E2T10
“se o professor soubesse levar essa parte de operações bem, que é uma parte
básica, seria tranquilo” E4T7
“resolver alguma dúvida que os alunos tenham, quando, por exemplo, na
multiplicação dos polinômios, quando não der um quadrado certinho como
explicar pros alunos como que faz pra montar o quadrado pra dar certo” E5T4
Encontramos em Shulman (1986) o estabelecimento do saber relacionado ao conteúdo necessário
para o desenvolvimento do professor. De acordo com Araman (2011, p. 35) esses conhecimentos
estão relacionados “ao conteúdo da disciplina que o professor ministra, suas compreensões dos
fatos, conceitos e procedimentos de uma área do conhecimento”.
É evidente, pelos trechos analisados, que os estudantes consideram importante o domínio do
conteúdo para responder a algumas dúvidas que possam surgir durante a atividade. É necessário
que o professor tenha domínio de um conteúdo para que possa ensiná-lo. Entretanto, como já
discutido pela literatura e como característica própria do uso de materiais manipuláveis e jogos,
apenas saber o conteúdo não é suficiente, de forma que outros saberes são necessários, como
discutido nas próximas categorias.
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b) Categoria 2: aspectos técnicos dos materiais
Percebemos, pela análise realizada, que os estudantes apresentam preocupação com relação às
questões técnicas ao se usar os materiais do LEM. Para eles, o professor precisa conhecer bem o
material, saber como funciona, como confeccionar se for necessário. Estas questões são
importantes e conduzem à uma exploração consciente do material junto aos alunos. Seguem alguns
exemplos:
“eu acho muito importante aprender isso, como trabalhar, como deve se portar
com o material manipulável” E1T3
“tem que fazer um estudo do material, ver como ele funciona” E1T10
“o professor deve ter o domínio sobre o jogo que ele vai trazer” E2T10
“fiz um guia sobre o Geoplano, aquele com pregos e elásticos e era relatar como
utilizar, tirar fotos de como confeccionar” E3T1
“a gente teve que serrar os canos, fazer toda a montagem dele, foi bem difícil e
o bom que ele proporcionaria duas atividades diferentes” E3T3
“ele tem que explorar o objeto, tem que ter total segurança de utilizar ele” E3T6
“acho que é mais mesmo uma questão do professor se preparar para manipular
o material” E5T8
Para Lorenzato (2006), para usar o LEM, assim como qualquer metodologia de ensino de
Matemática, os professores precisam de conhecimento dos materiais que se encontram disponíveis,
como funcionam e as possibilidades de abordagem deles junto aos alunos. É indispensável
conhecer os aspectos técnicos dos materiais, mas também indispensável saber como usá-los para
fins pedagógicos, como mostra a categoria seguinte.
c) Categoria 3: possibilidades pedagógicas ao usar os materiais
Esta categoria evidencia a preocupação dos estudantes em como utilizar os materiais e jogos do
LEM com a finalidade de contribuir para a aprendizagem matemática. Os trechos a seguir
exemplificam tais preocupações:
“porque às vezes você tem o material, você sabe jogar, mas você não sabe como
trabalhar e o que que tem de matemática ali” E1T10
“quando a gente chegou aqui a gente viu UNO, Detetive, Banco Imobiliário, sim,
lógico que a gente sabe que tem uma matemática por trás mas a gente não
conseguia imaginar aquela matemática sistematizada, entendeu?” E2T6
“a batalha naval com o plano cartesiano é uma coisa fantástica, entendeu?”
E2T7
246
“então, saber que a gente jogava muita coisa que poderia ser usada para a
matemática e ver como pode ser usado, acho que foi o mais legal de ter visto”
E2T8
“ele teria que, ao explorar o material, conhecer as atividades que seriam
possíveis fazer com aquele material” E3T5
“de modo geral ele era um material fácil de construir, que a gente pensou em
algo fácil mas que ao mesmo tempo trabalhasse as operações para sanar as
dificuldades dos alunos” E4T5
“o material que a gente produziu no meu trabalho foi o Algeplan e ele serve pra
somar polinômios, fazer divisão de polinômios, multiplicar polinômios, é um
material muito bom” E5T2
Os trechos desta categoria apresentam questões bem próximas ao conhecimento pedagógico do
conteúdo proposto por Shulman (1986), o qual consiste nos modos pelos quais o professor formula
e apresenta o conteúdo com o objetivo de torná-lo compreensível para seus alunos. Os estudantes
E1 e E2 relatam que muitas vezes eles já conheciam os materiais, mas não conseguiam aproveitar
os conteúdos matemáticos possíveis de serem explorados por eles. Já E3 destaca a importância de
se conhecer atividades que seriam possíveis de serem abordadas com o material. Já E4 e E5
destacam os conteúdos matemáticos que podem ser explorados junto aos alunos. Dessa forma, usar
um material extrapola as questões técnicas e de conteúdo, estando associadas às formas como os
conteúdos podem ser apresentados aos alunos, no caso, por meio dos materiais e jogos do LEM,
visando a aprendizagem.
Considerações finais
A intenção desta investigação tem sido tecer um conjunto de reflexões que possam trazer
contribuições para as pesquisas em educação matemática, mais especificamente as relacionadas
ao papel do Laboratório de Ensino de Matemática - LEM na elaboração de saberes docentes. A
ideia central da nossa proposta foi compreender e analisar alguns saberes docentes estruturados e
reestruturados por estudantes da Licenciatura em Matemática que tiveram contato com o LEM por
meio de uma disciplina específica.
Com relação aos saberes docentes, os resultados indicam que a aproximação dos estudantes com
as atividades desenvolvidas no LEM enriquecem os saberes, em seus vários aspectos. A análise
dos dados evidenciou, neste trabalho, três categorias que indicam as preocupações dos estudantes
com a sua formação em relação ao uso do LEM e dos materiais lá disponíveis. A categoria
247
“possibilidades pedagógicas ao usar os materiais” se aproxima do conhecimento pedagógico do
conteúdo proposto por Shulman (1986), indicando que a disciplina contribuiu para a elaboração
de saberes necessários à docência e permite destacar o LEM como um elemento formador relevante
para o futuro professor de Matemática.
Referências bibliográficas
Araman, E. M. O. (2011). Contribuições da história da matemática para a construção dos saberes
do professor de matemática. 2011. 244f. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Educação
Matemática). Universidade Estadual de Londrina, Londrina.
Araman, E. M. O. et al. (2016). O Laboratório de Ensino de Matemática e suas perspectivas na
formação inicial de professors. XII Congreso Argentino de Educación Matemática. Buenos Aires.
Ball, D. L. & Thames M. H. & Phelps, G. C. (2008). Content Knowledge for Teaching: What
Makes It Special? Journal of Teacher Education, v. 59, n. 5, p. 389-407.
Bardin, L. (2004). Análise de conteúdo. 3 ed. Lisboa: Edições 70.
Bogdan, R. y Biklen, S. Investigação qualitativa em educação: uma introdução à teoria e aos
métodos. Portugal: Porto, 1994.
Brito, A. J. y Alves, F. T. O. Profissionalização e saberes docentes: análise de uma experiência em
formação inicial de professores de matemática. In: Nacarato, A. M. y Paiva, M. A. V. A formação
do professor que ensina matemática: perspectivas e pesquisas. Belo Horizonte: Autêntica, 2008.
p. 27-42.
Lorenzato, S. (2012). Laboratório de ensino de matemática e materiais didáticos manipuláveis In:
Lorenzato, S. (org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. 3 ed.
Campinas: Autores Associados, p. 03 - 37.
Shulman, L. S. (1986). Those who understands: knowledge growth in teaching. Educational
Researcher, Washington, v.15, n. 2, p. 4-14.
Turrioni, A. M. S.(2004). O Laboratório de Educação Matemática na formação inicial de
professores. Dissertação (Mestrado) – UNESP, Rio Claro.
248
CB-257
SABERES NECESSÁRIOS AOS PROFESSORES DOS ANOS INICIAIS PARA O USO
DA LOUSA DIGITAL INTERATIVA EM AULAS DE MATEMÁTICA
Eliane Maria de Oliveira Araman
Universidade Tecnológica Federal do Paraná – Câmpus Cornélio Procópio
Núcleo temático: Formação de Professores de Matemática
Modalidade: CB
Nível educativo: Primário
Palavras chave: Formação de Professores, Lousa Digital Interativa, Saberes Docentes.
Resumo A inserção das Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação - TDIC em aulas de
matemática é importante, uma vez pode trazer muitos contributos para o processo de
aprendizagem. Porém, o uso pedagógico das TDIC requer uma formação profissional específica
e adequada. Para que um professor tenha a competência de desenvolver, colocar em prática e
avaliar suas experiências com TDIC, requer a existência de saberes específicos. Sendo assim,
além dos conhecimentos pedagógicos do conteúdo, do currículo e das características cognitivas
dos alunos, é preciso que o futuro professor tenha a capacidade de associar estes saberes com o
conhecimento ligado à tecnologia. Esta pesquisa tem como objetivo investigar os saberes
mobilizados por profesores dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental ao usar a lousa digital
interativa em suas aulas de matemática. Para isso, analisamos planos de aulas desenvolvidos por
quatro docentes, observando o estágio de utilização da lousa digital interativa de acordo com
pesquisas da área, bem como a evolução dos mesmos após a aplicação dos planos em suas turmas.
Introdução
Quando paramos para pensar nos mais diversos tipos de tecnologias de informação existentes
atualmente, talvez não tenhamos consciência de seu longo processo histórico de desenvolvimento
até que começassem a ser inseridas na educação. Desde a invenção da roda, das armas, das roupas
e calçados, do lápis, do papel, até os sofisticados sistemas de comunicação e informação, podemos
compreender que nenhuma criação fora concebida ao acaso, ou seja, para cada uma, houve um
tipo de desenvolvimento que emergiu da necessidade humana para sua sobrevivência e para a
convivência em sociedade. O homem permanentemente inventa, reinventa e aprimora as
tecnologias existentes para que estas venham ao encontro de suas necessidades nas diversas áreas,
tais como, da saúde, dos meios de transporte e viação, das construções, da agricultura, da educação,
dentre outras.
249
A educação brasileira, desde o século XIV, percorreu momentos históricos de desenvolvimento de
tecnologias significativas e essenciais ao ensino. Nesse sentido, reconhecemos que as escolas
precisam acompanhar a evolução tecnológica em prol do ensino, não no sentido de modismo, e
sim, na qualidade de instituição que precisa refletir, modificar e ressignificar suas práticas
pedagógicas de acordo com o novo perfil do aluno, que é um nativo digital, multitarefas,
imediatista e que já não se enquadra mais nos métodos tradicionais de ensino. Papert (1994)
salienta que, embora as tecnologias possam oferecer possibilidades de ensino e aprendizagem, a
escola mudou muito pouco frente à evolução tecnológica.
Atualmente, existem poucas pesquisas a respeito da formação dos professores dos Anos Iniciais
do Ensino Fundamental para a utilização de lousas digitais interativas, portanto, o objetivo dessa
pesquisa é contribuir com a formação de professores para uso das lousas digitais interativas neste
nível de ensino, bem como, promover subsídios para que novas pesquisas possam ser realizadas.
Tecnologias Digitais da Informação e Comunicação no Ensino de Matemática
As tecnologias educacionais oportunizam novas maneiras de ensinar e aprender, uma vez que
oferecem diferentes ferramentas pedagógicas para que o professor possa trabalhar os conteúdos
matemáticos de outras formas além daquelas normalmente encontradas nas salas de aula, focada
na memorização e repetição de definições e procedimentos. Nesse sentido, Pacheco (2011, p. 16-
17) argumenta que
as tecnologias educacionais são ferramentas que surgem (desenvolvidas ou adaptadas)
para o processo de ensino/aprendizagem com objetivo de facilitar o trabalho,
almejando melhoria no rendimento educacional com uma metodologia adequada tanto
para quem ensina quanto para quem aprende, buscando um melhor relacionamento
entre o educador e o educando na transmissão e construção do conhecimento. A
inclusão de novos recursos tecnológicos pode auxiliar no desenvolvimento de
atividades diferenciadas e motivantes, oportunizando o professor se atualizar de
acordo com as formas de aprender de novas gerações.
A utilização de tecnologias no ensino de matemática, por meio de práticas pedagógicas inovadoras,
contribuem para modificar esse quadro de abstração e complexidade que a matemática representa
para os alunos e, por meio do seu uso adequado, permite o desenvolvimento do cognitivo do aluno.
Carneiro e Passos (2014, p. 116) destacam ainda que as TDIC
permitem que conteúdos matemáticos sejam abordados de outras formas, fazendo com
que os alunos deixem de ver a matemática como uma disciplina em que é preciso
apenas memorizar fórmulas, procedimentos e algoritmos e tenham uma visão
diferente.
250
O uso de TDIC pode incentivar e motivar os alunos uma vez que as aulas podem se tornar mais
interessantes, no entanto, como destacam Borba e Penteado (2012), as tecnologias não devem ser
vistas como meros recursos para motivação, e sim, como ferramenta capaz de transformar o ensino
capaz de provocar alterações na estrutura mental dos alunos. No que diz respeito a lousa digital
interativa, ela criada no Canadá em meados de 1987 por Dave Martin e Nancy Knowlton
fundadores da empresa Smart Technologies. A primeira LD Smart Board passou a ser
comercializada no ano de 1991. Devido a suas possibilidades pedagógicas e interativas de
trabalho, a lousa digital interativa denota um dos avanços tecnológicos promissores ao ensino e
que estão chegando nas escolas. De acordo com Nakashima e Amaral (2006, p. 37),
A lousa digital é uma tecnologia digital, moderna e inovadora com recursos que podem
auxiliar na criação de novas metodologias de ensino. Atualmente existem vários
modelos de lousas digitais, variando o tamanho, a marca e o custo, mas a maioria é
composta por uma tela conectada a um computador e um projetor multimídia. A
superfície dessa tela é sensível ao toque, isto é, quando alguém executa algum
movimento sobre ela, o computador registra o que se fez em um software específico
que acompanha a lousa digital.
A lousa digital interativa é um equipamento audiovisual que funciona a partir de um sensor
acoplado numa de suas extremidades o qual recebe um sinal de toque de uma caneta específica em
sua superfície (tecnologia touchscreen). Em alguns modelos, a transmissão das imagens acontece
por meio de um aparelho projetor multimídia enquanto há outros cujas telas que não precisam da
projeção. O conteúdo previamente preparado pelo professor, a ser transmitido na lousa digital
interativa, é originário de um desktop, notebook ou tablet nos quais precisa estar conectada por
meios de cabos VGA, HDMI ou de tecnologias sem fio. Outros periféricos como caixas de som,
microfones com ou sem fio podem ser conectados ao computador para garantir melhor qualidade
de sons. No entanto, se a lousa digital interativa não for explorada satisfatoriamente, tornar-se-á
um mero quadro branco que projeta imagens na tela e, para que isso não ocorra, é necessária a
formação de professores e o desenvolvimento de saberes.
A formação do professor para o uso da Lousa Digital Interativa
A literatura discute a importância dos saberes mobilizados pelos docentes no exercício de sua
profissão. Para que um professor tenha a competência de desenvolver, colocar em prática e avaliar
suas experiências com TDIC, é necessário a existência de saberes específicos (Tardif, 2014).
Sendo assim, além dos conhecimentos pedagógicos do conteúdo, do currículo e das características
cognitivas dos alunos, é preciso que o professor tenha a capacidade de associar estes saberes com
251
o conhecimento ligado à tecnologia. O professor se depara com outras necessidades para a
utilização dos equipamentos e, além do conhecimento técnico, precisa de desenvolver
metodologias que venham ao encontro do aproveitamento pedagógico dos recursos disponíveis
nos equipamentos.
Miller et al. (2004), no que se refere à utilização da lousa digital interativa, sugere que no processo
de ensino, os professores podem percorrer, ou não, três estágios: supported didactic (suporte
didático), onde o professor faz algum tipo de uso da lousa digital, mas apenas como um suporte
visual para a aula e não como parte integrante do desenvolvimento conceitual; interactive
(interatividade), onde o professor faz algum tipo de uso do potencial da lousa digital para estimular
as respostas dos alunos no decorrer da aula e demonstrar alguns conceitos; e enhanced interactive
(interatividade aprimorada), que é caracterizado pelo desenvolvimento de estratégias de ensino e
aprendizagem para mudar o foco do professor para o aprendizado, tendo o aluno como centro do
processo.
Um dos aspectos que caracterizam a lousa digital interativa e a diferenciam do quadro negro
comum, é a possibilidade de estabelecer a interatividade entre os professores, os alunos e o
equipamento. Para o ensino de matemática, Clark (2005) identifica três níveis de interatividade:
interatividade baixa, média e alta. No nível “interatividade baixa”, a lousa digital interativa é
utilizada apenas para projeção, ou seja, não há interatividade. Na “interatividade média”, o usuário
é capaz de controlar um software e realizar discussões com a turma para ilustrar um conceito. Na
“alta interatividade”, os alunos, além de demonstrar conceitos utilizando um determinado
software, também são capazes de interagir com ele.
Metodologia
A presente pesquisa, por suas características, enquadra-se numa perspectiva qualitativa, segundo
Bogdan e Biklen (1994) que busca compreender alguns aspectos da formação do professor dos
Anos Iniciais para o uso da lousa digital interativa. Para isso, foi oferecido um curso de formação
continuada para docentes que atuavam nesse nível de ensino. O curso foi oferecido numa parceria
entre a Universidade Tecnológica Federal do Paraná e a Secretaria Municipal de Educação de
Ibiporã – Paraná. O curso contava com uma carga horária de 30 horas, com encontros semanais ao
longo dos meses de agosto a novembro de 2016, além de atividades a serem aplicadas nas escolas.
Foram selecionadas oito docentes dos Anos Iniciais que participaram do curso durante o horário
de trabalho. O curso envolvia três aspectos relevantes:
252
- Preparação técnica para o uso da lousa digital interativa e elaboração de materiais (objetos de
aprendizagem);
- Discussão e desenvolvimento de planos de aulas de matemática nos quais o uso da lousa digital
interativa estivesse presente;
- Aplicação das aulas elaboradas em suas turmas;
- Reflexão dos resultados obtidos.
Embora todas as atividades desenvolvidas durante o curso constituíram elementos de análise, para
este artigo apresentamos a análise dos planos de aulas elaborados pelas docentes em relação aos
estágios de utilização da lousa digital interativa de acordo com Miller et al. (2004). Salientamos
que as docentes participantes do curso concordaram em fornecer os dados para as pesquisas, na
condição de que suas identidades fossem preservadas. Por isso, doravante as denominamos apenas
de D1 (docente 1), D2 (docente 2), D5 (docente 5) e D7 (docente 7), que foram as selecionadas
para este artigo.
Análise dos dados
Após a etapa do curso destinada para a preparação técnica para o uso da lousa digital interativa e
do desenvolvimento de materiais que pudessem ser usados na lousa, foi solicitado as docentes que
elaborassem, em duplas, planos de aula para algum conteúdo matemático usando a lousa digital
interativa para ser aplicado em suas turmas. A elaboração dos planos de aula ocorreu em dois
momentos distintos:
- Momento 1: primeira experiência de elaboração de plano de aula, logo após a formação
técnica recebida.
- Momento 2: elaboração do segundo plano de aula, após a aplicação do primeiro em suas
turmas e discussão dos resultados obtidos.
Momento 1
No início, apresentaram muitas dificuldades em conceber, sozinhas, uma aula com tais
características, sendo necessária a intervenção da pesquisadora em vários momentos. Após algunas
dicussões para definir o conteúdo e a forma de abordá-lo, iniciaram a preparação do plano de aula.
Neste primeiro momento, todas as duplas elaboraram planos que podem ser enquadrados no
estágio supported didactic (suporte didático) conforme Miller et al (2004), pois o uso da lousa se
deu apenas como ilustração de algum conceito ou como a reprodução de atividade que poderia ser
facilmente realizada sem a lousa digital interativa.
253
Por exemplo, no plano de aula A (elaborado pelas docentes D1 e D7), optaram por abordar
operações de adição e, para isso fizeram uma consulta em sites de busca e selecionaram a atividade
exposta na figura 1. O objetivo delas, de acordo com o plano de ensino, seria “fixar” tal conteúdo
matemático já abordado nas aulas, evidenciando uma concepção de uso de tecnologia desvinculado
de momentos de aprendizagem. Também salientamos que esta atividade apresenta um nível de
interação fraco, uma vez que a única interação do aluno é preencher, com a caneta da lousa, o
resultado da operação, o que poderia ser facilmente feito em seu caderno, com o seu lápis, sem a
necessidade dela.
Seguindo na mesma concepção, no plano de aula C (elaborado pelas docentes D2 e D5), elas não
conseguiram aproveitar as potencialidades didáticas da lousa digital interativa, optando por
atividades que poderiam ser executadas em cadernos ou livros. Como trabalhavam com alunos
bem pequenos (seis anos), selecionaram, pela internet, uma atividade pronta de ligar os números e
descobrir a figura formada (Figura 1). A única ação da criança é ir até a lousa e ligar um número
ao outro, em sequência. Como todos iriam fazer uma ligação, as docentes consideram promover a
participação da turma.
Figura 1: Atividades dos planos de aula A e C do momento 1
Fonte: Planos de aula elaborados pelas docentes - dados da pesquisa
Momento 2
O desenvolvimento do segundo plano de aula foi mais tranquilo, as docentes estavam mais
confiantes por causa da experiência da aplicação do primeiro plano e das discussões sucitadas.
Observamos um avanço em relação aos primeiros, uma vez que elas tentaram aumentar o nível de
interatividade das atividades e não mais pegaram atividades prontas da internet. Consideramos que
as docentes conseguiram atingir o estágio interactive (interatividade) de utilização da lousa,
segundo Miller et al (2004), uma vez que as atividades elaboradas por elas promoveram mais
participação dos alunos e possibilidades de discussão com a turma.
254
No plano de aula A do momento 2 (elaborado pelas docentes D1 e D7), o conteúdo matemático
selecionado foi números pares e ímpares. No entanto, elas não buscaram um material pronto,
preferiram produzir um Objeto de Aprendizagem que consitia em um power point, com dois
espaços para os alunos arrastarem as fichas com números pares e ímpares, conforme a figura 2.
Embora esta atividade também se enquadre na perspectiva de “fixar” um conteúdo previamente
ministrado pelas docentes, vemos uma preocupação maior com a participação dos alunos e a
interação com o objeto. Segundo a descrição delas no plano de aula, os alunos iriam ser convidados
a ir a lousa e, ao arrastar uma ficha para o grupo “pares” ou “ímpares”, teriam que relatar uma
justificativa para a escolha, proporcionando momentos de discussão com a turma, esclarecendo
algunas dificuldades que poderiam aparecer.
Já o plano de aula C do momento 2 (elaborado pelas docentes D2 e D5) também apresenta um
nível maior de interatividade, optando pela construção de um objeto de aprendizagem no qual as
crianças deveriam arrastar até os ninhos a quantidade de ovos estabelecida pelo docente e fazer a
contagem e a soma. Então, a cada atividade, a contagem e a soma se modificam, promovendo
discussões e situações novas. Esta atividade também pode ser usada, segundo as docentes em seu
plano de ensino, para introduzir contagens de dois em dois, três em três, etc, ampliando a
concepção de apenas fixar conteúdos já trabalhados anteriormente.
Figura 2: Atividades dos planos de aula A e C do momento 2
Fonte: Planos de aula elaborados pelas docentes - dados da pesquisa
Considerações finais
A partir da análise dos planos de aula elaborados pelas docentes no decorrer do curso, podemos
perceber que houve um avanço em relação aos planos elaborados no momento 2. Tal fato se deve
tanto a experiencia vivenciada por elas ao desenvolver e aplicar os planos de aula do momento 1
quanto às discussões possibilitadas por essa experiência. Ao elaborar os planos de aula do
momento 1, as docentes tiveram contato com fundamentação teórica e metodológica para uso das
255
tecnologias em aulas de matemática, com as questões técnicas para uso da lousa digital interativa
e com os repositorios de objetos de aprendizagem. Tais aspectos não conseguiram fazê-las
perceber as potencialidades da lousa em suas aulas, tanto é que elaboraram planos que poderiam
ser facilmente desenvolvidos sem ela. Após a experiência de usar a lousa digital interativa em suas
aulas, as docentes ampliaram suas percepções, elaborando aulas com maior nível de interatividade
e um uso mais eficiente da tecnologia disponível.
Dessa forma, percebemos a necessidade de formação para uso das TDIC que promova o
desenvolvimento de vários saberes, desde aqueles relacionados ao conhecimento do conteúdo, aos
aspectos metodológicos do uso da TDIC no ensino, às questões técnicas para o manuseio da
tecnología escolhida e, principlamente, aos saberes da experiência de se fazer uso delas em suas
aulas.
Referências bibliográficas
Bogdan, R. y Biklen, S. (1994). Investigação qualitativa em educação: uma introdução à teoria e
aos métodos. Portugal: Porto.
Borba, M.C. y Penteado, M.G. (2012). Informática e Educação Matemática, 4ª ed. Belo Horizonte:
Autêntica.
Carneiro, R. F. y Passos, C.L.B. (2014). A utilização das Tecnologias da Informação e
Comunicação nas aulas de Matemática: Limites e Possibilidades. Revista Eletrônica da Educação,
8(2), 101-119.
Clarck, J. A. (2005). Interactive whiteboards: developing a pedagogy for mathematics classrooms.
In: Johnston-Wilder, S. y Pimm, D. (Ed.), Teaching secondary mathematics with ICT. Berkshire,
England: Open University Press, pp. 159-173.
MILLER, D. et al. (2004) Motivation: the contribution of interactive whiteboards to teaching and
learning in mathematics. Department of Education, Keele University.
Nakashima, R. H. R y Amaral, S. F. (2006). A linguagem audiovisual da lousa digital interativa
no contexto educacional. Educação Temática Digital, Campinas, 8(1), 33 - 50.
Pacheco, C. L. (2011) Tecnologias educacionais: a lousa digital como ferramenta de inclusão:
um relato de experiência. Monografia (Especialização em Desenvolvimento Humano, Educação
e Inclusão Escolar) - Universidade de Brasília, Universidade Aberta do Brasil, Brasília.
Papert, S. (1994). A Máquina das Crianças: repensando a escola na era da informática. Porto
Alegre: Artes Médicas.
256
Tardif, M. (2014). Saberes docentes e formação profissional. 17ª Ed. Rio de Janeiro: Vozes.
257
CB-260
ENSINO DE SIMETRIAS ATRAVÉS DA ARTE, DA CULTURA E DO PATRIMÔNIO:
UMA FORMAÇÃO DE PROFESSORES DO 1º CICLO
Cleber Gouvea Fernandes – Maria da Piedade Vaz Rebelo – Carlota Isabel Leitão Pires Simões
[email protected] – [email protected] – [email protected]
Instituto Federal do Rio de Janeiro - Brasil
Núcleo temático: VI – As matemáticas e a sua integração com outras áreas
Modalidade: CB
Nível educativo: 2. Primário (6 a 11 anos)
Palavras chave: Simetrias; Formação de Professores; Recursos Culturais; Recursos Patrimoniais.
Resumo O ensino de Simetrias no ensino básico pode ser viabilizado por uma grande quantidade de meios
associados a uma diversidade de recursos ligados à arte, à cultura e ao patrimonial. Desta forma,
favorece o desenvolvimento do espírito de observação e de percepção de regularidades por parte
do educando, possibilitando que este exerça livremente sua criatividade. Contudo, este conteúdo
foi excluso das formações inicias de professores. Um ensino de qualidade depende, para além das
competências e do conhecimento científico dos professores, do entendimento docente sobre ensino
e aprendizagem, reforçando a importância da formação de professores como via fulcral de
melhoria de qualidade das aprendizagens. Neste artigo apresentaremos o plano de uma Oficina
de Formação de Professores implementada em 2017 em Portugal com o objetivo de planificar,
implementar e avaliar estratégias de ensino de Simetrias no 1º Ciclo da Educação Básica através
de recursos artísticos, culturais e patrimoniais. Será ainda verificado se, através das metodologias
utilizadas, alcança-se satisfação e percepção de aprendizagem profissional dos professores e a
aquisição dos conceitos de Simetrias ao longo da formação. Esta Oficina de Formação e seus
objetivos compõem partes de um projeto de pesquisa de doutoramento, ainda em andamento,
sobre esta temática.
1. Ensino de Matemática através de recursos artísticos, culturais e patrimoniais
Pensar na aprendizagem da Matemática por meio da arte, cultura e patrimônio é uma ideia que é
percebida ao longo da história dessa ciência. Muitos filósofos, geômetras e arquitetos
desenvolveram projetos tendo a Matemática como elemento fundamental. O vínculo entre
Matemática a Arte, em geral, leva o educando a vê-la de forma equilibrada, harmônica, bela e rica
em detalhes, constituindo-se como fundamental para o desenvolvimento integral do ser humano e
para a evolução da própria sociedade. Simetria, em particular, é encarada como um dos conceitos
fundamentais da Geometria, pois “fornece discernimento no campo da matemática e no da arte e
da estética” (NCTM, 2008, p.46), estando “fortemente relacionada com a arte e o design”
258
(Stylianou & Grzegorczyk, 2005, p.30). Os conceitos deste tema potencializam o processo de
ensino e de aprendizagem, pois, além de estimularem a construção e o desenvolvimento do
pensamento geométrico, auxiliam no desenvolvimento do raciocínio e capacidade de
argumentação discente (Yanik, 2011, citado por Maia, 2014), podendo ser aplicados a outras áreas
dentro da própria matemática bem como a outras áreas do saber (Son, 2006).
A aprendizagem dessa temática prevê um conjunto de vantagens na medida em que tais conceitos
estão intimamente relacionados com a capacidade intrínseca do ser humano em identificar
fenômenos que ocorrem na natureza. A introdução dos conceitos de Simetria no ensino básico
permite que os alunos desenvolvam o espírito de observação e de percepção de regularidades,
possibilitando exprimirem livremente a sua criatividade (Veloso, 1998). Segundo o NCTM (2008),
a abordagem da abordagem dos conceitos de Simetria deve distribuir-se desde o pré-escolar ao
12.º ano de escolaridade, referindo que os programas de ensino “deverão habilitar todos os alunos
para (…) aplicar transformações geométricas e usar a simetria para analisar situações
matemáticas” (p.44). No entanto, este conteúdo foi excluso das formações inicias de professores,
tanto nas Escolas Superiores de Educação como nas Universidades (Veloso, 2012).
2. Formação de Professores
Um ensino de qualidade depende, não apenas das competências e do conhecimento científico dos
professores, mas também do seu entendimento sobre ensino e aprendizagem (EACEA/Eurydice,
2011), o que reforça a importância da formação de professores como via crucial de melhoria e de
qualidade das aprendizagens. Há dados que comprovam que a formação contínua causa um
impacto considerável tanto no pensamento quanto na prática dos professores e, consequentemente,
na qualidade das aprendizagens na sala de aula, confirmando que um envolvimento ativo dos
professores é uma ação fundamental para que as mudanças ocorram. Com efeito, sendo os
professores o cerne das mudanças de práticas pedagógicas, qualquer reforma curricular ou
proposta metodológica tem necessariamente de passar por eles, assumindo as questões
relacionadas com a sua formação um papel estratégico fundamental. Assim, mudanças de
abordagens e de práticas pedagógicas só ocorrem se, necessariamente, esta for da vontade do
professor (Veiga Simão, Flores & Ferreira, 2007). Nóvoa (2008) salienta a “distância que separa
o excesso dos discursos da pobreza das práticas” (p.26-27), fato que nos convida à busca de novas
práticas docentes, as quais encontram-se, neste início do século XXI, centralidade na definição das
políticas públicas (Nóvoa, 2008).
259
Sobre como atrair, aperfeiçoar e manter professores eficientes, muitos países referem-se, entre
outras questões, à debilidade dos laços existentes entre a formação inicial e a formação contínua
de professores e as necessidades demandadas pelas escolas. O papel da colaboração docente no
desenvolvimento profissional dos professores tem vindo a assumir certa relevância. Isto pode ser
propiciado através de formações de professores que criem oportunidades de aprendizagem onde
os conhecimentos práticos e acadêmicos coabitem de forma menos hierárquica (Zeichner, 2010).
Neste panorama, a formação deve proporcionar “um campo profissional autónomo,
suficientemente rico e aberto” (Nóvoa, 2009, p.53), de forma que “os professores não sejam
formados (passivamente), e sim formam-se (ativamente) (Day, 2001), fazendo com que o ato de
ensinar seja, “antes de mais, fabricar artesanalmente os saberes” (Perrenoud, 1993, p.25).
3. Uma Formação de Professores – em curso
Embora na literatura atual seja possível notar alguns poucos trabalhos que sugerem o ensino da
Matemática através de recursos artísticos ou culturais ou patrimoniais, não se notam referências
(estratégias, recursos, estudos) com o foco na formação de professores, valendo-se de uma
metodologia de investigação-ação participativa para planificar, implementar e avaliar estratégias
de ensino dos conceitos de Simetria para 1º Ciclo do Ensino Básico através desses recursos.
A Formação de Professores que apresentaremos aqui foi – e ainda está sendo – desenvolvida como
uma das ferramentas de um projeto de pesquisa de doutoramento na Faculdade de Psicologia e
Ciências da Educação da Universidade de Coimbra. O projeto de pesquisa busca responder
algumas questões sobre o ensino de Simetrias através de recursos artísticos, culturais e
patrimoniais, bem como os impactos desta prática metodológica, tendo em vista levar professores
e professoras, alunos e alunas ao conhecimento matemático de Simetrias valendo-se da arte, da
cultura e do patrimônio como elementos contextualizadores. Tendo em conta as questões de
investigação, estabeleceu-se o objetivo geral da pesquisa como Planificar, implementar e avaliar
estratégias de ensino dos conceitos de Simetria para 1º Ciclo do Ensino Básico através de recursos
artísticos, culturais e patrimoniais, com o foco na formação de professores.
A Oficina de Formação, seus objetivos e calendarização foram apresentados a todos os professores
do 1º CEB de um Agrupamento de Escolas de Coimbra e a iniciamos com 10 desses professores,
os quais, voluntariamente, manifestaram interesse. Não houve critério de seleção destes, ficando
todos à vontade em participar. Em sua totalidade, a Oficina está sendo implementada em 8 sessões
presenciais que, juntas, totalizarão 20 horas e 6 sessões autônomas que, juntas, totalizarão outras
260
20 horas. Além disso, serão discutidos temas como Desafios no ensino e aprendizagem de
Matemática, Geometria e Simetrias; Transversalidade e contextualização; Ensino de Matemática
através de recursos artísticos, culturais e patrimoniais; Formação de Professores; Matemática,
Geometria e Simetrias no currículo; Programas, metas e manuais e a Discussão matemática dos
conceitos de Simetrias. Neste último abordamos também do uso do termo ‘Simetrias’ ao longo dos
tempos e a atual utilização/conceitualização do mesmo. Nas sessões da Oficina são realizadas
ações com os seguintes objetivos:
i) Identificar planificações, práticas de ensino e recursos metodológicos já utilizados pelos
professores para o ensino dos conceitos de simetria;
ii) Debater a problemática ainda permanente no ensino a na aprendizagem da Matemática,
principalmente da Geometria e das Simetrias.
iii) Discutir a possibilidade e rentabilidade do ensino de Simetrias através de recursos
artísticos, culturais e patrimoniais.
iv) Criar de forma colaborativa um “Banco de Atividades” que promova o ensino dos
conceitos de simetria através de recursos artísticos, culturais e patrimoniais.
v) Desenvolver o ensino dos conceitos de simetria através de recursos artísticos, culturais e
patrimoniais nas práticas pedagógicas.
vi) Descrever e analisar práticas docentes de implementação das atividades e recursos criados.
vii) Fomentar práticas docentes que permitam aos alunos e alunas desenvolver o espírito de
observação e de percepção de regularidades, e exprimir livremente a sua criatividade.
Algumas dessas ações já ocorreram de acordo com o calendário e faseamento previsto para a
Oficina de Formação de Professores em curso e outras ainda estão por ocorrer.
Como meios de recolha de dados, foram utilizados dois questionários, um na primeira sessão e um
no meio da Oficina, além de duas entrevistas em Focus Grupo e entrevistas individuais apenas
com três dos formandos. O primeiro questionário (Q1) foi subdividido em cinco partes, abordando,
respectivamente, os seguintes temas: Dados Socioprofissionais, Experiência docente, percepção,
formas e fontes de aquisição e atualização de conhecimento científico e didático-pedagógico sobre
simetrias, Documentos oficiais e normativos e articulações com suas práticas didático-
pedagógicas, Considerações acerca do ensino e da aprendizagem de simetrias e, finalmente,
Conhecimento científico. O segundo questionário (Q2) abarcou apenas o Conhecimento científico,
contando com as mesmas questões presentes nesta parte do Q1. Desta forma, podemos comparar
261
os conhecimentos científicos dos formandos antes da Oficina com os adquiridos na mesma,
verificando o avanço na aquisição destes conceitos ao longo das primeiras sessões. Para identificar
planificações, práticas de ensino e recursos metodológicos já utilizados pelos professores para o
ensino dessa temática antes mesmo da participação na Oficina, foram utilizadas algumas questões
do Q1 complementadamente pela primeira entrevista em Focus Grupo (FG1). Esta também
abordou questões que objetivaram aferir as expectativas dos formandos frente às etapas previstas
e suas respectivas abordagens na OF. Já na segunda entrevista em Focus Grupo (FG2) foram
abordados pontos sobre a pertinência do assunto à prática docente, as contribuições à melhoria das
práticas pedagógicas e a oportunidade de enriquecimento holístico proporcionado pela
metodologia proposta, incentivados os formandos a argumentarem acerca das suas vivências na
Oficina de Formação até o momento em questão.
4. Resultados
Todos os meios de recolhas de dados que utilizados na Oficina de Formação, em tempo, antes da
redação deste artigo (Q1, Q2, FG1 e FG2) nos ofereceram informações bastante esclarecedoras. É
relevante perceber – e temos total clareza disto – a necessidade de maior aprofundamento no
tratamento destes dados, o que será realizado pormenorizadamente, para a pesquisa na qual este
artigo se associa. Isto posto, apresentaremos aqui uma visão geral dos dados recolhidos até o
momento.
Sobre as respostas apresentadas na parte do Q1 referente às Experiência docente, percepção,
formas e fontes de aquisição e atualização de conhecimento científico e didático-pedagógico sobre
simetrias, percebeu-se que a maioria dos formandos têm ampla experiência docente (mais de 10
anos lecionando) mas percebem a real necessidade de adquirir conhecimentos científicos e
didático-pedagógicos acerca das Simetrias. Indicam que, mesmo os que possuem conhecimento
sobre o tema, sentem-se inseguros em abordá-lo. A aquisição e atualização dos conhecimentos
sobre as Simetrias, em geral, provêm dos manuais escolares e da web.
Na parte referente aos Documentos oficiais e normativos e articulações com suas práticas didático-
pedagógicas, os formandos mostraram ter conhecimento das mudanças ocorridas nos programas
nos últimos anos e a diminuição da importância dada ao tema em questão no atual programa
(PMEB, 2013), apesar de todos reconheceram a relevância deste tema no ensino e para a
aprendizagem. Informaram, ainda, que conhecem a existência do Caderno de Apoio
disponibilizado pelo Ministério, apesar de não o utilizarem.
262
Em Considerações acerca do ensino e da aprendizagem de simetrias, ainda no Q1, alguns formados
mostraram já terem utilizado recursos tradicionais para o ensino das simetrias, como miras,
espelhos e dobraduras. Apenas um formando, dentre os que já lecionaram esta temática, disse já
ter utilizado recursos voltados à arte, enquanto que os demais alegaram utilizar prioritariamente os
recursos disponíveis nos manuais escolares, recursos estes que, segundo eles, se repetem
anualmente e nada são atraentes aos discentes.
A última parte do Q1, dedicada aos Conhecimentos científicos, demonstrou a real necessidade de
abordagem científica dos conceitos na Oficina. A maioria das questões não foi respondida e boa
parte foi respondida incorretamente. Muitos ainda parecem considerar a antiga conceptualização
de simetria – transformação que ocorre entre duas imagens – e não mostravam conhecer além do
conceito de reflexão. Em geral, transmitiram saber da existência de outros conceitos ligados ao
tema, mas não terem domínio sobre estes. Palavras como rosáceas, frisos e padrões são
reconhecidas, mas utilizadas com pouco rigor conceitual. Nenhum dos formandos sabia diferir
corretamente Isometria de Simetria.
O Q2 trouxe um panorama bastante diferente. Os formandos mostraram-se mais entusiasmados
em responder as questões, transparecendo querer confirmar o que realmente tinham aprendido
durante as sessões anteriores. Praticamente todas as questões foram respondidas e uma pequena
parcela persistiu respondida incorretamente. Diferenciam Isometria de Simetria e utilizam
corretamente, adequadamente e de forma segura as quatro simetrias – reflexão, rotação, translação
e reflexão deslizante. Reconhecem com facilidade tais conceitos nos recursos artísticos, culturais
e patrimoniais utilizados durante a Oficina e na confecção das próprias atividades a serem
utilizadas por eles, em breve, com seus respectivos alunos.
A 2ª entrevista em Focus grupo (FG2) nos revelou bastante entusiasmo dos formandos nesta fase
da Oficina. Todos se mostraram bem satisfeitos com a recolha dos motivos artísticos, culturais e
patrimoniais realizados nas sessões autônomas, bem como na criação das atividades. Relataram
também agradados com o caráter colaborativo ao longo das etapas da Oficina. Reconheceram
novamente a importância do tema para o ensino no 1º CEB e dos benefícios da metodologia
apresentada para esta viabilidade. Mostraram perceber que esta visão foi construindo-se ao longo
das sessões e que reconhecem, com mais facilidade agora, a presença cotidiana destes conceitos
de forma mais notória.
5. Considerações finais
263
Entendemos que este conjunto de ações possa gerar um impacto relevante no ensino e na
aprendizagem, mesmo que de forma pontual no conteúdo matemático abarcado por este projeto de
pesquisa e pela Formação a ele associada, preenchendo, assim, as lacunas na formação de
professores que entendam a importância e necessidade de um ensino contextualizado e mais
significativo, convidando professores, alunos e alunas ao conhecimento matemático de simetrias,
valendo-se da arte, da cultura e do patrimônio como elementos interdisciplinadores.
Desejamos ainda que outros conceitos ligados a Matemática possam ter sua aprendizagem de
forma holística, contextualizada e interdisciplinar, e, consequentemente, mais rica e atraente.
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ANEXO 1
Exemplo de atividade proposta na Oficina de Formação:
265
266
ANEXO 2
Faseamento da Oficina de Formação:
267
CB-266
INTERPRETACIÓN CRÍTICA DEL DIAGRAMA DE BARRAS EN LOS MEDIOS DE
COMUNICACIÓN PARA ABORDAR LA ALFABETIZACIÓN ESTADÍSTICA
José Miguel Contreras García, Elena Molina Portillo, Juan Díaz Godino y Pedro Arteaga Cezón
[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
Universidad de Granada, España
Núcleo temático: IV. Formación del profesorado en Matemáticas.
Modalidad: CB
Nivel educativo: primaria, secundaria, bachillerato y universitario.
Palabras clave: diagrama de barras, cultura estadística, sesgos, objetos matemáticos.
Resumen Las gráficas son un elemento de gran importancia en la cultura estadística, al ser el tipo de
resumen de la información más utilizado, ya que permite interpretar y evaluar críticamente la
información estadística de forma visual. Por tanto, es necesario un conocimiento profundo de su
problemática educativa, ya que un gráfico sesgado o mal construido provocará que la información
no llegue de forma correcta al ciudadano que debe interpretar los datos estadísticos.
Los gráficos de los medios de comunicación, por lo general, utilizan terminología técnica
adecuada, pero también pueden contener elementos estadísticos ambiguos o erróneos, empleando
convenciones de comunicación de los resultados estadísticos que pueden llevar a una mala
interpretación. Por tanto, se plantea la necesidad de que los medios de comunicación entiendan
que deben facilitar la validez de los mensajes, su naturaleza y la credibilidad de la información o
las conclusiones que presentan.
En este trabajo describimos algunos de los sesgos más recurrentes en los diagramas de barras
que aparecen en los medios de comunicación, y los analizamos aplicando la noción de función
semiótica, herramienta del enfoque ontosemiótico del conocimiento y la instrucción matemáticos
que ayuda a identificar los objetos y significados puestos en juego en un gráfico, o en las prácticas
matemáticas realizadas para resolver una tarea.
1. Introducción
En los últimos años ha surgido la necesidad de promover y evaluar la cultura estadística de los
consumidores, término con el que Gal (2002) define a los ciudadanos receptores de información
estadística, de valorar dicha información, para ser estadísticamente cultos. Por ello organismos
como la International Association for Statistical Education (IASE), sección de educación del
International Statistical Institute (ISI), iniciaron en 2002 un proyecto a nivel internacional, The
International Statistical Literacy Project (ISLP), cuyo objetivo es contribuir a la promoción de la
cultura estadística en todo el mundo, y en todos los ámbitos de la vida.
268
La estadística ha ganado importancia y reconocimiento en la sociedad actual, pero, como indica el
sociólogo Zygmunt Bauman, los consumidores estamos inmersos en una sociedad que tiene la
necesidad de agarrarse a evidencias confiables como las que ofrecen las estadísticas. Esto se
convierte en una vulnerabilidad, que nos incita a aceptar el uso, y muchas veces el abuso, de datos
numéricos para explicar cualquier cosa aprovechando la objetividad de la estadística. Es por ello
que se asume como cierto todo aquello que esté fundamentado en datos, ya que las cifras avalan
cualquier cosa que se nos diga. Pero paradójicamente, los consumidores somos muchas veces
víctimas del abuso de los datos estadísticos, causado principalmente por el escaso conocimiento
estadístico de la sociedad en general.
En este trabajo abordamos el problema del mal uso de la estadística en los medios de comunicación
desde el punto de vista del reto que supone para la formación estadística de los ciudadanos y sus
implicaciones para la formación de los profesores.
Aunque con frecuencia los errores que se observan en los gráficos estadísticos publicados en los
medios de comunicación pueden ser intencionados, esto es, se hacen de manera consciente para
inducir un efecto políticamente tendencioso, en otros casos se pueden deber a ignorancia de los
conocimientos y técnicas estadísticas requeridas. Por esta razón, consideramos de interés realizar
un análisis de tales conocimientos en algunos ejemplos de diagramas de barras publicados por los
medios de comunicación. Algunas herramientas del Enfoque ontosemiótico del conocimiento y la
instrucción matemáticos (EOS) (Godino, 2012; Godino, Batanero y Font, 2007), en particular la
noción de función semiótica, pueden ser útiles para hacer el análisis mencionado.
2. Problema y marco teórico
Los medios de comunicación, ya sean periódicos, programas de televisión o radio; los estudios
científicos, económicos, sociales; los políticos, …, incluso los recibos de la luz o el agua utilizan
datos, encuestas, estimaciones, gráficos, tablas, etc. para justificar la información que aportan al
consumidor. Pero por desgracia, cada vez más, debido, sobre todo a los medios de comunicación
y agentes políticos, la estadística está siendo utilizada como cabeza de turco para justificar malos
resultados electorales, decisiones erróneas, estimaciones fallidas, etc.
Otro punto a tener en cuenta es la “manipulación” que a veces se hace de los contenidos
estadísticos en los medios de comunicación, manipulaciones entendidas como interpretaciones
incorrectas, engañosas o carentes de sentido de elementos estadísticos, causadas en su mayoría por
falta de preparación o de asesoramiento, o en otros casos por voluntad de manipular a los
269
consumidores. Errores en titulares, interpretaciones, gráficos, muestras poblacionales,
correlaciones, etc. pueden llevar a que el consumidor haga caso omiso a las evidencias y centrarse
en lo anecdótico. Como indica Cox (1997), la información, a veces sensacionalista, de los
resultados es especialmente preocupante.
3. Uso de diagramas de barras en los medios de comunicación
En este apartado se muestran algunos de los sesgos más importantes que pueden aparecer en un
gráfico de barras. Para cada ejemplo se identificarán funciones semióticas críticas que el lector del
gráfico debe establecer para una adecuada interpretación de la información suministrada.
3.1 Escalas no proporcionales a la frecuencia o porcentaje
Uno de los sesgos más importantes es la falta de proporcionalidad en las distintas barras del
gráfico, lo que llevaría a considerarlo como un gráfico incorrecto (Arteaga et al., 2016), en el que,
en función de lo que se quiera destacar (los porcentajes grandes o pequeños), se produce un
aumento o decrecimiento considerable de ciertas barras. Un ejemplo lo podemos ver en la Figura
1, donde se muestran los sondeos de las elecciones en Andalucía y las barras horizontales están en
distinta proporción. Las barras superiores están en una proporción similar, a priori correcta,
representando el 42% y el 39,2%. En cambio, los partidos minoritarios, las últimas tres barras,
presentan una proporción de tamaño errónea, tanto en la comparación entre ellas como con la de
los partidos con más porcentaje. Por ejemplo, la barra de IU representa más de la mitad que la del
PP y solo debería representar en realidad un 23.6% de ella y en cambio debería ser tres veces
mayor que la barra de UPyD; sin embargo, la diferencia es mínima.
Figura 1. Gráfico de barras con varias escalas
3.2 Eliminación de ejes
La eliminación de los ejes en un gráfico de barras puede provocar, al igual que el caso anterior,
una falsa percepción de las proporciones, aunque el gráfico en cuestión si mantenga
proporcionalidad en las distintas barras. Gillan y Richman (1994) mostraron que la existencia de
270
ejes X e Y mejora la interpretación de las gráficas, ya que el tiempo de respuesta ante la
información era menor que en las gráficas exentas de ejes.
Figura 2. Diagrama de barras sin ejes
La Figura 2 muestra la distribución de frecuencias de la variable “estimación del porcentaje de
votos de los partidos” en las elecciones generales de 26 junio 2016. En la parte superior se informa
del porcentaje de voto de cada partido. Este formato de presentación de la distribución es atípico,
dado que lo usual es dar los datos en una tabla de frecuencias, distinguiendo en una columna los
valores cualitativos de la variable y en otra los valores numéricos de los %.
3.3 Ejes truncados
Un error típico, a la hora de crear diagramas de barras, es truncar el eje de ordenadas (frecuencia
o porcentaje), asignando el origen de la escala en un valor distinto de cero. Con ello se consigue
dar la sensación de más diferencia entre las barras de la que realmente existe. Este tipo de sesgo,
que se ha convertido en un recurso utilizado por parte de los medios de comunicación, aparece
cuando las diferencias reales entre los distintos valores de la variable son poco distinguibles, y se
quiere resaltar pequeñas diferencias o cambios en periodos de tiempo. En la Figura 3 se muestra
un ejemplo de diagrama de barras truncado, con un origen del eje, no explicitado, de alrededor de
1750 mill/€.
Usualmente, en los diagramas cartesianos, el origen de coordenadas se corresponde con un valor
0 de la cantidad de magnitud representada. Para una valoración correcta de la importancia relativa
de las diferencias entre los presupuestos de las tres comunidades, el lector debe estimar, que, en
este caso, al origen de comparación le corresponde un valor aproximado de 1750 millones de euros.
271
Figura 3. Diagrama de barras truncado en el origen
3.4 Comparación de distintas variables
Cuando se realiza un gráfico de barras para comparar los distintos valores de la variable, es
necesario que éstas cumplan unas determinadas premisas. Como, por ejemplo, que todos los
valores de la variable que se pretende mostrar hagan referencia a elementos excluyentes o periodos
de tiempo proporcionales, ya que de no ser así se provocan interpretaciones o percepciones
incorrectas, por ejemplo, en la tendencia de los valores cuando se tratan de datos temporales. En
el ejemplo de la Figura 4, se muestra un diagrama de barras en el que se quiere indicar cómo ha
bajado el precio de la luz en el 2013.
En el mismo gráfico se están comparando dos variables diferentes:
En la parte izquierda se trata de la “variación anual del precio de la luz” en el periodo 2004
a 2012.
En la parte derecha la “variación mensual del precio de la luz” en cinco momentos
temporales de 2013.
El lector de la información debe asignar un claro significado político al mensaje visual transmitido
por el gráfico. Esto supone un nivel de lectura crítica del gráfico que se corresponde con el nivel
descrito por Friel, Curcio y Bright (2001) como “leer más allá de los datos”.
Figura 4. Diagrama de barras con varias escalas de valores de la variable
272
3.5 Errores de edición
Los errores de edición son probablemente los de menor repercusión ya que, a priori, son fácilmente
identificables por su impacto visual. La necesidad, en muchas ocasiones, de maquetar con
celeridad provoca gráficos en los que el mensaje queda sesgado debido a errores en su contenido.
Es por ello que el cuestionamiento se convierte en una necesidad por parte del lector.
Figura 5. Diagrama de barras con errores en el tamaño de la barra
Como Watson (2006) indica, un ciudadano estadísticamente culto, debe de tener una actitud crítica
que cuestione argumentos basados en evidencias estadísticas.
3.6. Uso tendencioso de la información
Como indica Cazorla (2002), la presencia en los medios de comunicación e Internet de los gráficos
potencia la comunicación de la información si ésta se hace de forma eficiente. El problema
principal se produce cuando el sesgo no es producido por un error puntual, sino que es debido a
una manipulación intencionada del gráfico en cuestión para crear una imagen pública de un tema
concreto (Orcutt y Turner, 1993). En el ejemplo de la Figura 6 observamos cómo se utiliza un
diagrama de barras para mostrar, sin presentar ningún dato que justifique el tamaño de las barras,
la evolución del desempleo en Castilla la Mancha.
Figura 6. Diagrama de barras con información manipulada
273
4. Conclusiones
En este trabajo se plantea una problemática que afecta a la mayoría de los medios de comunicación
y que debe de tratarse desde la perspectiva de la formación específica en estadística que deberían
tener los creadores de gráficos y para la enseñanza obligatoria de los ciudadanos.
Los gráficos de los medios de comunicación, por lo general, utilizan terminología técnica
adecuada, pero también pueden contener elementos estadísticos ambiguos o erróneos, empleando
convenciones de comunicación de los resultados estadísticos que pueden llevar a una mala
interpretación (Gal, 2002). Por tanto, se plantea la necesidad de que los medios de comunicación
entiendan que deben facilitar la validez de los mensajes, su naturaleza y la credibilidad de la
información o las conclusiones que presentan. Como indica Batanero (2004), la cultura estadística
no es solamente conocimiento y capacidad. La parte emocional, sentimientos, valores, actitudes,
etc., es una componente importante para los ciudadanos que deben interpretar los gráficos y, por
tanto, el medio de comunicación ha de facilitar, desde la objetividad, la interpretación de los datos.
De esta forma conseguiremos medios objetivos e imparciales y ciudadanos estadísticamente cultos
que sean capaces de enfrentarse a la información gráfica de los medios de comunicación.
La interpretación semiótica de los conocimientos implicados en la construcción o interpretación
de los gráficos estadísticos ayuda a reconocer en dichos conocimientos los objetos ostensivos y no
ostensivos que se ponen en correspondencia, distinguiendo, además, entre las diversas categorías
de objetos, las prácticas implicadas y su intencionalidad.
Reconocimiento: Trabajo realizado en el marco del Proyecto EDU2016-74848-P (MINECO-
FEDER), FCT-16-10974 (FECYT – MINECO) y Grupo FQM126 (Junta de Andalucía).
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275
CB-267
USO DE LA CONFIGURACIÓN ONTOSEMIÓTICA PARA UNA REALIZACIÓN
ADECUADA DEL DIAGRAMA DE BARRAS
Juan Díaz Godino, Elena Molina Portillo, José Miguel Contreras García y Pedro Arteaga Cezón
[email protected], [email protected], [email protected], [email protected]
Universidad de Granada, España
Núcleo temático: VII. Investigación en Educación Matemática.
Modalidad: CB
Nivel educativo: primaria, secundaria, bachillerato y universitario.
Palabras clave: cultura estadística, statistical literacy, formación de profesores, gráfico de barras.
Resumen El diagrama de barras es ampliamente usado en los medios de comunicación, ya que permiten
reflejar mejor la organización o estructura de los elementos que componen el sistema, sirviendo
de ayuda o apoyo para el cálculo, permitiendo producir nuevos conocimientos sobre el sistema en
cuestión, por ejemplo, la distribución de frecuencias, pero por desgracia con frecuencia suelen
estar mal construidos.
En este trabajo aplicamos la noción de configuración ontosemiótica de prácticas, objetos y
procesos del EOS para tratar de identificar la trama de objetos y relaciones que se ponen en juego
en un diagrama de barras bien construido con una doble finalidad: a) desvelar un cierto nivel de
complejidad, como factor explicativo de los errores y dificultades mencionadas; b) servir de
marco de referencia para el diseño de procesos de instrucción sobre este objeto estadístico. Se
aplica el método de análisis ontosemiótico en el cual se realiza, 1) identificación del tipo de
problema; 2) tipos de prácticas operativas y discursivas; 3) identificación de los tipos de objetos
primarios que intervienen (lenguajes, conceptos, procedimientos, proposiciones y argumentos) 4)
identificación de procesos matemáticos.
1. Introducción
1. Problema
El diagrama de barras es ampliamente usado en los medios de comunicación y con frecuencia
suelen estar mal construidos. También se han documentados dificultades de los estudiantes en el
aprendizaje de esta herramienta estadística. En este trabajo aplicamos la noción de configuración
ontosemiótica de prácticas, objetos y procesos del Enfoque Ontosemiótico (EOS) (Godino,
Batanero y Font, 2007) para tratar de identificar la trama de objetos y relaciones que se ponen en
juego en un diagrama de barras bien construido, con una doble finalidad: 1) desvelar un cierto
nivel de complejidad, como factor explicativo de los errores y dificultades mencionadas; 2) servir
de marco de referencia para el diseño de procesos de instrucción sobre este objeto estadístico.
276
2. Antecedentes
El antecedente más próximo de este trabajo es Giacomone, Godino, Wilhelmi y Blanco (2016) en
cuanto a la aplicación de la técnica de análisis de prácticas, objetos y proceso en la resolución de
tareas matemáticas. En este trabajo se aplica la herramienta configuración ontosemiótica a una
tarea de visualización espacial, en el contexto de formación de profesores de secundaria; en nuestro
caso la aplicamos a la tarea de elaboración e interpretación de un gráfico estadístico aparentemente
sencillo, como es el diagrama de barras. Como afirman Batanero, Arteaga y Ruiz (2009), “la
simplicidad del lenguaje gráfico es aparente, pues incluso el más elemental de los gráficos puede
considerarse, de acuerdo a diversos autores, como un objeto semiótico complejo” (p. 142).
En el caso de gráficos estadísticos, Monteiro y Ainley (2007) refieren al término “transparencia”,
idea que abarca la noción de buscar no sólo "en el gráfico" sino también "a través del gráfico" para
incorporar la consideración del contexto. Consideran fundamental para la alfabetización estadística
la capacidad de mirar a través y más allá de los datos, por ejemplo, interpretar el contexto del
gráfico, las tendencias o las implicaciones, en vez de quedarse en leer los datos representados en
los diferentes puntos del gráfico.
3. Marco teórico
El significado de un objeto matemático es interpretado en el EOS en términos pragmáticos como
el sistema de prácticas operativas y discursivas que se ponen en juego al resolver un tipo de
problema en el que el objeto en cuestión desempeña un papel clave. La identificación de los
problemas y las prácticas correspondientes es un primer nivel de análisis que hay que realizar para
la caracterización del significado del objeto. Pero dado que en la secuencia de prácticas para
resolver los problemas intervienen y emergen otros objetos se considera necesario aplicar un
segundo nivel de análisis en el que se identifiquen la trama de dichos objetos y las relaciones entre
los mismos. El EOS propone como tipos de objetos primarios los siguientes: problemas, lenguajes,
conceptos/definición, proposiciones, procedimientos y argumentos.
4. Método
277
Se aplica el método de análisis ontosemiótico en el cual se realiza, 1) identificación del tipo de
problema; 2) tipos de prácticas operativas y discursivas; 3) identificación de los tipos de objetos
primarios que intervienen (lenguajes, conceptos, …) 4) identificación de procesos matemáticos.
Vamos a analizar un diagrama de barras elaborado por el Instituto Nacional de Estadística (INE)
mediante el cual se representa la distribución de frecuencias de la variable “porcentaje de población
según el tamaño del hogar en el que vive”, correspondiente al año 2015 en España. La figura 1
incluye la tabla de frecuencias y el diagrama de barras correspondiente.
Población (*) %
1 persona 4.584.200 10.0%
2 personas 11.213.500 24.4%
3 personas 11.564.200 25.2%
4 personas 12.973.000 28.2%
5 personas 5.622.900 12.2%
Total 45.957.700 100.0
(*) Se considera como población total la
residente en viviendas familiares; se
excluye por tanto la que reside en
establecimientos colectivos
Figura 1. Población según el tamaño del hogar en el que vive. Año 2015 (fuente, INE:
http://www.ine.es/prensa/np965.pdf )
5. Resultados
El diagrama de barras es el objeto resultante de un proceso de representación espacial de la
información dada en una tabla de frecuencias de una variable estadística. La finalidad de la
conversión del lenguaje o registro tabular al gráfico es facilitar la comparación del tamaño relativo
de los distintos valores de las frecuencias. Se aborda, por tanto, una situación-problema de cambio
de registro cuya solución implica la realización de la siguiente secuencia de prácticas, para el caso
del ejemplo elegido:
1) Identificar la variable que se quiere representar y su tipo. En el caso dado, porcentaje de
población española que en el 2015 vivían en hogares formados por 1, 2, 3, 4, 5 o más personas por
278
hogar. Se observa una imprecisión en el gráfico del INE: no es la población la que se representa,
sino el porcentaje de población. Para cada individuo se observa el rasgo, “tipo de hogar en el que
vive” (1, 2, 3, 4, 5 o más personas). Esta variable no se identifica con claridad en el gráfico, ni en
la tabla. La primera columna de la tabla y el eje de abscisas debe nombrarse como “tipo de hogar”.
2) Trazar un sistema de ejes de coordenadas cartesianas.
3) Representar en el eje de abscisas de la secuencia de valores de la variable cualitativa “Tipo de
hogar en que viven las personas”. La opción tomada en el gráfico de representar el intervalo “5 o
más personas” como si fuera un único valor es conflictiva al impedir apreciar el comportamiento
de la variable para valores superiores a 5. Falta un título apropiado para el eje de abscisas, que
debería ser: “Tipo de hogar” o “número de personas que viven en los hogares”.
4) Identificar el valor máximo de las frecuencias (28.2%) y elegir un valor próximo por exceso
(30.0%). Este valor será usado para el extremo superior de la escala del eje de ordenadas.
5) Representar en el eje de ordenadas una escala para indicar los porcentajes de cada valor de la
variable estadística. Falta un título apropiado para el eje de ordenadas, que podría ser “porcentaje
de población que viven en cada tipo de hogar”; dado que todos los números son porcentajes no es
necesario escribir el símbolo de % en todos ellos
6) Trazar un rectángulo de anchura arbitraria y altura proporcional a la frecuencia sobre cada
valor de la variable. Dado que todos los datos son porcentajes es innecesario escribir el símbolo
de % en cada valor. También es innecesario escribir los valores numéricos de los porcentajes dado
que se dispone de la escala del eje de ordenadas.
7) Interpretar el gráfico “diagrama de barras” obtenido para producir nuevos conocimientos:
a) el mayor porcentaje de población es el que vive en hogares de 4 personales (casi la
tercera parte)
b) la décima parte de la población vive en hogares unifamiliares, que viene a ser la tercera
parte de las personas que viven en hogares de 4 personas.
En la tabla 1 elaboramos los distintos tipos de objetos que intervienen en cada una de las prácticas
que acabamos de describir.
279
Tabla 1. Configuración ontosemiótica del diagrama de barras
Secuencia de
prácticas
Uso e intencionalidad
de las prácticas
Objetos referidos en las prácticas (conceptos,
proposiciones, procedimientos, argumentos.)
1) Identificar
variable
Comprender la
información estadística
del problema
Conceptos: individuo, rasgo, población
estadística; variable estadística; frecuencia relativa
(%)
2) Trazar ejes Fijar el espacio de
representación
Conceptos: sistema de ejes cartesianos (abscisa,
ordenada)
Procedimiento: trazado de semirectas
perpendiculares
3) Representar
eje de abscisas
Disponer linealmente
los valores de la
variable
Conceptos: valor de la variable cualitativa
Procedimiento: escritura igualmente espaciada de
los nombres de los valores de la variable
4) Frecuencia
máxima
Fijar el espacio que
ocupará el gráfico
Conceptos: máximo de un conjunto de valores;
aproximación.
5) Escala eje de
ordenadas
Crear una referencia
visual común para las
alturas de las barras
Conceptos: escala, porcentajes
Procedimiento: trazado de la escala
6) Trazado de
barras
Conversión de los
datos numéricos a
gráficos
Conceptos: rectángulo, anchura y altura;
Procedimiento: trazado de rectángulos
Proposición P1: altura del rectángulo es
proporcional a la frecuencia relativa
Proposición P2: la anchura de las barras puede ser
cualquiera, pero la misma para todas las barras.
7) Interpretación Producir nuevo
conocimiento de
manera intuitiva sobre
la información
estadística
Concepto emergente: diagrama de barras
Procedimiento: comparación del tamaño relativo
de las barras
El objeto diagrama de barras está indisolublemente ligado al concepto de distribución de
frecuencia, ya que junto con la tabla de frecuencias constituyen sus medios de expresión
privilegiados. La razón de ser o justificación epistémica del diagrama de barras está en las
posibilidades que ofrece el razonamiento diagramático respecto del razonamiento analítico o
secuencial, como es el caso del lenguaje ordinario. Los diagramas, por sus características
280
espaciales, permiten reflejar mejor la organización o estructura de los elementos que componen el
sistema. En algunos casos, el diagrama, puede servir de ayuda o apoyo para el cálculo, permitiendo
producir nuevos conocimientos sobre el sistema en cuestión, en nuestro caso, la distribución de
frecuencias.
El concepto de distribución de frecuencias es un emergente de un tipo de situaciones en las que se
tiene un colectivo de individuos para cada uno de los cuales se ha fijado la atención de un rasgo
común: p. e., el número de hermanos, en un grupo de 60 personas. Hay variabilidad estocástica
entre los individuos del colectivo en dicho rasgo, pero también hay una regularidad: algunos
individuos tienen el mismo número de hermanos. Para ciertos usos, por ejemplo, comparar
distintos colectivos, es necesario considerar globalmente cada grupo y resumir la información.
Esto lleva a una práctica de recuento del número de individuos que tienen 0, 1, 2, … hermanos, y
a disponer la información en forma tabular, lo que ofrece ventajas respecto a la descripción en
lenguaje secuencial ordinario.
6. Conclusiones
Del análisis realizado se puede deducir que el diagrama de barras es un objeto estadístico con cierto
nivel de complejidad ontosemiótica y, por tanto, su estudio requiere prestar atención específica a
algunos objetos y funciones semióticas críticas. En particular se debe tener en cuenta los objetos:
variable estadística; distribución de frecuencias, proporcionalidad, ejes de coordenadas cartesianas
y sus respectivas escalas. Los títulos de los ejes y del propio gráfico deben proporcionar la
información precisa, y de manera sintética, que permita reconocer la población y la variable
estadística representada. Esta no parece una práctica estadística fácil como se puede ver en el
ejemplo analizado en las secciones anteriores: en el gráfico publicado por el Instituto Nacional de
Estadística hemos identificado diversos aspectos conflictivos que dificultan la correcta
comprensión de la información suministrada.
Reconocimiento: Trabajo realizado en el marco del Proyecto EDU2016-74848-P (MEC), FCT-
16-10974 (FECYT – MINECO) y Grupo FQM126 (Junta de Andalucía).
Referencias bibliográficas
281
Batanero, C., Arteaga, P. y Ruiz, B. (2009). Análisis de la complejidad semiótica de los gráficos
producidos por futuros profesores de educación primaria en una tarea de comparación de dos
variables estadísticas. Enseñanza de las Ciencias, 28(1), 141–154
Giacomone, B., Godino, J. D., Wilhelmi, M. R. y Blanco, T. F. (2016). Reconocimiento de
prácticas, objetos y procesos en la resolución de tareas matemáticas: una competencia del
profesor de matemáticas. En J. A. Macías, A. Jiménez, J. L. González, M. T. Sánchez, P.
Hernández, C. Fernández, F. J. Ruiz, T. Fernández y A. Berciano (Eds.), Investigación en
Educación Matemática, XX (pp. 275-284). Málaga: SEIEM.
Godino, J. D. Batanero, C. y Font, V. (2007). The onto-semiotic approach to research in
mathematics education. ZDM. The International Journal on Mathematics Education, 39 (1-
2), 127-135.
Monteiro, C. y Ainley, J. (Investigating the interpretation of media graphs among student teachers.
International Electronic Journal of Mathematics Education, 2 (3).
282
CB-268
EL DESARROLLO DEL SENTIDO DE LOS SÍMBOLOS.
APORTES PARA TRABAJAR EL ÁLGEBRA EN EL AULA.
Jimena Fernández García
Uruguay
Núcleo temático: I. Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y
niveles educativos.
Modalidad: CB
Nivel educativo: Terciario o bachillerato (16 a 18 años)
Palabras clave: Pensamiento algebraico, símbolos, sentido.
Resumo Hemos observado en nuestro trabajo como docentes, que generalmente los estudiantes logran
desempeños aceptables en relación a la manipulación simbólica de las diferentes expresiones
(resolver ecuaciones o inecuaciones por procedimientos estándar, operar con polinomios, reducir
a común denominador dos fracciones algebraicas, etc.). Pero cuando el trabajo va más allá de la
manipulación, cuando incluye la interpretación de los símbolos, la elaboración de expresiones, el
uso creativo del álgebra como una herramienta capaz de brindar información sobre una situación
o como un instrumento de investigación, los mismos estudiantes que mostraron ser capaces de
realizar manipulaciones algebraicas presentan serias dificultades. Esto nos lleva a cuestionarnos
al respecto del trabajo que realizamos en nuestras aulas como docentes: ¿Estamos realmente
enseñando álgebra a nuestros alumnos? ¿O estamos reduciendo simplemente el álgebra a la
manipulación simbólica de expresiones? Basándome en la propuesta desarrollada por Arcavi
(1994) en relación a lo que él denomina “el sentido de los símbolos” y los comportamientos que
este incluye, propongo una selección de actividades tendientes a promover el desarrollo de este
“sentido de los símbolos”. Esto se realiza a partir del trabajo en torno a incentivar los
comportamientos descriptos por Arcavi como deseables en una persona que aprende álgebra.
Introducción
Una afirmación a la que suelen adherir muchos profesores de matemática es la que realiza Sigrid
Wagner en su artículo de 1993: “Los símbolos literales son fáciles de usar pero difíciles de
entender”. Con símbolos literales la autora hace referencia a las letras que utilizamos comúnmente
en matemática para representar números cumpliendo diferentes roles: como variables en una
relación funcional, como incógnitas, como números generales, etc. Según Wagner los estudiantes
son capaces de manipular símbolos y resolver diferentes situaciones, pero al indagar acerca de los
significados en las tareas que realizan, hasta los estudiantes más capaces se muestran
283
desconcertados. En general, esta situación planteada por la autora, no es ajena a ningún profesor
de matemática, sea cual sea el nivel en que desarrollemos nuestro trabajo.
Al analizar variadas investigaciones relacionadas con el aprendizaje del álgebra es posible apreciar
una preocupación generalizada en relación a las dificultades que el trabajo con los símbolos
presenta en estudiantes de todos los niveles de la educación y, particularmente, en la formación de
profesores.
Según la NCTM (2000)17 las competencias relacionadas con el álgebra son de suma importancia para la educación
matemática de los individuos. No solo debido a que los métodos y las ideas del álgebra son fundamentales para el
trabajo en diversas áreas de la matemática, sino también por la importancia del aprendizaje del álgebra en la vida
adulta de los individuos, tanto en lo que refiere a la educación matemática en particular, como en la formación integral
de las personas.
Debemos tener presente que es muy frecuente identificar el álgebra con la manipulación simbólica
para resolver ecuaciones y simplificar expresiones algebraicas. Los símbolos algebraicos y los
procedimientos para trabajar con ellos constituyeron un logro fundamental en la historia de la
matemática y son vitales en el trabajo matemático. Sin embargo, el álgebra es mucho más que la
simple manipulación simbólica. Es importante en la enseñanza del álgebra, que los estudiantes
comprendan los conceptos del álgebra, las estructuras y principios que rigen las transformaciones
algebraicas. La NCTM afirma que los estudiantes deben comprender cómo los símbolos pueden
ser utilizados para registrar ideas y obtener conocimiento de las situaciones a las que se enfrentan.
En especial en los tiempos que corren, donde las nuevas tecnologías son capaces de producir
gráficos, realizar operaciones con símbolos y realizar cálculos inmediatos con diferentes datos, los
estudiantes deben ser capaces de interpretar las representaciones que les brinda la tecnología y de
utilizarla de manera adecuada.
Considero al álgebra como un pilar fundamental dentro de la enseñanza de la matemática, debido
a su vinculación con sus diferentes ramas, por las posibilidades de investigación que brinda al
permitir modelar patrones, y por la utilidad que tiene en los diferentes ámbitos de la investigación
científica actual en varias ramas de las ciencias. Considero también, que el aprendizaje del álgebra
constituye un aporte muy importante en la formación integral del individuo, las actividades de
17 The National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), presentó en el año 2000
“Principles and Standards for School Mathematics” donde realizan recomendaciones y
sugerencias para el aprendizaje y la enseñanza de la matemática.
284
búsqueda de patrones y de generalización, fomentan razonamientos que pueden serles de gran
utilidad en la vida cotidiana y en sus desempeños laborales, sea cual sea el trabajo que realicen.
El sentido de los símbolos.
Arcavi plantea que el “sentido de los símbolos” es un complejo y multifacético ‘sentimiento’ hacia
los símbolos. Describe y discute distintos comportamientos que ilustran el significado que él
atribuye al “sentido de los símbolos”,
Los comportamientos que Arcavi describe como los componentes más importantes que
demuestran haber construido un “sentido de los símbolos” son:
1) Amigabilidad con los símbolos. Esto incluye la comprensión de los símbolos de forma que
estén fácilmente disponibles para ser usados cuando es conveniente y para ser dejados de lado
en el caso en que sean una opción engorrosa.
2) Capacidad para ‘manipular’ y también ‘leer a través de expresiones simbólicas’, como dos
problemas complementarios en la resolución de problemas algebraicos. Esto incluye la
capacidad de adoptar una visión global de las expresiones simbólicas y, por otro lado, poder
separarse de los significados para que las manipulaciones sean rápidas y eficientes. La lectura
de y ‘a través de’ las expresiones simbólicas con el objeto de captar significados agrega niveles
de conexión y razonabilidad a los resultados.
3) Tomar conciencia de que puede diseñar exitosamente relaciones simbólicas que expresen cierta
información dada o deseada.
4) Ser capaz de reconocer en expresiones simbólicas equivalentes, significados ‘no equivalentes’.
La manipulación simbólica de las expresiones algebraicas nos permite obtener expresiones
equivalentes, sin embargo cada expresión con la que nos enfrentamos puede ser fuente de
nuevos significados.
5) La capacidad de seleccionar una representación simbólica y, en ciertos casos, reconocer nuestra
propia insatisfacción con esa elección e ingeniárselas para buscar una mejor.
6) Realizar manipulaciones simbólicas guiadas por un objetivo buscado, evitando realizar
operaciones circulares y teniendo una visión global (“gestalt”) en la que se ven a los símbolos
organizados de una determinada manera y no solo como una concatenación de letras.
7) Conciencia de la necesidad de revisar los significados de los símbolos durante la aplicación de
un procedimiento, durante la resolución de un problema o durante la inspección de un resultado,
285
y comparar esos significados con las intuiciones acerca de los resultados esperados y con la
situación misma del problema.
8) Conciencia de que los símbolos pueden desempeñar roles distintos en distintos contextos y
desarrollar un sentido intuitivo de esas diferencias.
El sentido de los símbolos en el aula.
Arcavi (2007) plantea:“Ser educadores matemáticos, significa, por lo menos en parte, diseñar e
implementar intervenciones con el objetivo de maximizar el potencial de aprendizaje de los
alumnos. Por lo tanto, debemos hacer hincapié en lo que se puede aprender, en lugar de sucumbir
a la visión fatalista de que nacemos con capacidades innatas y que poco o nada podemos hacer
al respecto mediante la educación.” (Arcavi 2007). Y continúa: “el desarrollo del hábito de usar
el sentido común y buscar significados está fuertemente ligado a la cultura del aula que lo apoya
o lo suprime, y por lo tanto, no es necesariamente una cuestión de habilidades matemáticas
innatas. Una conclusión posible, es que debemos redirigir nuestra atención hacia lo que nuestras
prácticas de aula recompensan.”
Entonces, el desarrollar sentido de los símbolos no está únicamente vinculado con los aspectos
cognoscitivos del individuo. Se relaciona directamente con lo que se espera del individuo, con lo
que se valora que realice, con lo que es aceptado. Aunque no es novedad que la cultura del aula es
un factor determinante en lo que se aprende y lo que se desarrolla, se pone en primer plano a la
hora de fomentar el desarrollo del sentido de los símbolos en los estudiantes. Para Arcavi, el
sentido de los símbolos debe ser cultivado y para ello se debe proporcionar prácticas de enseñanza
apropiadas. Por ejemplo, incitar a los estudiantes a que se acostumbren a no abalanzarse sobre los
símbolos, sino a analizar el problema usando el sentido común, a esbozar gráficos o figuras,
estimular que describan lo que ven y que razonen sobre ello. Si este tipo de actividades no son
estimuladas en el aula, si no se le brinda aprobación a este trabajo, el uso del sentido común
quedará relegado a un segundo plano o quizás no sea utilizado en absoluto.
Teniendo presente estas cuestiones consideradas anteriormente, es posible pensar qué tipo de
trabajo es posible realizar en el aula con los estudiantes que se inician en el estudio del álgebra
para promover y estimular el desarrollo del sentido de los símbolos.
Hay que tener en cuenta que es posible conversar con los estudiantes y reflexionar meta-
matemáticamente desde muy temprano, quizás antes de empezar a trabajar en los procedimientos
286
rutinarios, y este tipo de reflexión puede ser un apoyo para el desarrollo del sentido de los símbolos,
si se realiza de forma continuada. Generar espacios para que los estudiantes puedan expresar sus
percepciones y sus preferencias a la hora de utilizar una u otra representación, posiblemente les
brinde a los estudiantes oportunidades de desarrollar aspectos del sentido de los símbolos y de
conversar acerca de ellos. De esta manera es posible reconocer el potencial de las situaciones
relacionadas con el sentido de los símbolos y estimular la expresión de percepciones subjetivas
acerca de los símbolos. Es deseable entonces, que las prácticas que se desarrollen en el aula se
centren en cultivar la búsqueda de los significados de los símbolos, en paralelo y a continuación
de la resolución de problemas, así como previamente a la aplicación automática de reglas. Un
hábito que puede ser estimulado por los docentes, es el de realizar un análisis a posteriori de la
solución del problema, que puede ser útil a la hora de revisar el uso de técnicas automáticas. Estas
actividades pueden brindar la oportunidad de hacer conexiones entre los distintos tipos de enfoques
que puedan surgir, ya sea simbólicos o no, y también de ver a otros realizar estas conexiones.
Otras actividades que Arcavi (2007) destaca como una práctica de aula destinada a apoyar el
desarrollo del sentido de los símbolos, son aquellas que busquen compartir con los estudiantes el
sentido del propósito de los símbolos. Mediante actividades en las que les hagan sentir a los
estudiantes que están ganando comprensión de una situación y adquiriendo poder sobre ella. Ellos
deben vivenciar desde sus primeros aprendizajes del álgebra, que el uso de los símbolos nos brinda
poder y comprensión sobre una multitud de situaciones. La manipulación simbólica debe ser
enseñada en contextos ricos, que provean a los estudiantes oportunidades para aprender cómo y
cuándo utilizar dichas manipulaciones.
A continuación propongo algunas actividades que, trabajadas como se describió anteriormente,
pueden colaborar a fomentar el desarrollo del sentido de los símbolos. Algunas de ellas son
actividades que comúnmente se plantean en las aulas, lo que propongo es darle un giro a la forma
en la que se suelen trabajar y mirarlas desde otra perspectiva.
Considera un rectángulo cualquiera. ¿Qué sucederá con su área si una de sus dimensiones (su
largo o su ancho) es aumentada un 10%, y la otra dimensión es reducida en un 10%? (Extraído
de Arcavi (1994))
La respuesta a este ejercicio contradice la intuición, ya que es posible que una respuesta inicial sea
que no hay cambio, o que el cambio depende de cuál dimensión sea aumentada y cuál reducida.
287
Sin embargo, se puede observar que en todos los casos el área disminuye. Podemos llamar x e y a
las dimensiones del rectángulo original, de esta manera el área del nuevo rectángulo sería 1,1x
0,9y o 0,9x 1,1y. En ambos casos el área del nuevo rectángulo sería 0,99xy. Al observar el área
del nuevo rectángulo expresada de esta manera podemos ver que siempre decrece un 1%.
¿Puedes resolver esta ecuación en el conjunto de los reales sin realizar operaciones:
0104 24 xx ?
Es muy probable que al enfrentarse a esta ecuación un individuo tienda instintivamente a comenzar
a realizar transformaciones algebraicas que permitan resolver la ecuación. Sin embargo, la
restricción a la operatoria tiene como objetivo el forzar a que el alumno deba buscar otros caminos.
Es posible notar que sea cual sea el valor de x, los términos que resultan son todos positivos o cero,
por lo tanto la suma de esos números va a ser un número positivo o cero. Al sumar 10 al resultado
anterior obtendremos siempre un número positivo (en el caso de que 0x obtendremos el mismo
10 como resultado). Por lo tanto no es posible obtener como resultado de esa suma al 0, la ecuación
no tiene raíces reales. En este caso vemos cómo el dedicarle unos minutos a analizar el problema,
nos permite encontrar la respuesta sin realizar procedimientos mecánicos. Esta instancia es otra
muestra de haber desarrollado sentido de los símbolos.
Resuelve en R la ecuación: xx
x
x
x
25
43
2
5
52
34
Aquí presentamos una ecuación que no presenta mayores dificultades. Esta ecuación no tiene
solución en R. El objetivo es reflexionar con los estudiantes para notar que al inspeccionar esta
ecuación, podemos reconocer sin hacer transformaciones que la ecuación no tiene solución, ya que
en ambos miembros tenemos el término 52
34
x
x (en el segundo miembro aparece como
x
x
25
43
) y al cancelarlo obtenemos x2
5, pero
2
5 no es solución de la ecuación (al sustituir el
denominador se hace 0).
288
A) Completa las celdas vacías para obtener
un ‘cuadrado mágico’ cuya constante es 30
(los números de cada fila, de cada columna
o de cada diagonal, suman 30).
B) Completa las celdas vacías para obtener
un ‘cuadrado mágico’ cuya constante es 15
(los números de cada fila, de cada columna
o de cada diagonal, suman 15).
¿Qué observas? ¿Por qué sucede esto?
Este ejercicio fue extraído de un artículo de Arcavi (2007), pero se le realizó una mínima
modificación. En el primer ‘cuadrado mágico’ la solución se puede encontrar sin mayores
dificultades. En el segundo caso es imposible completar las celdas de forma que se cumpla la
condición pedida. La pregunta “¿Por qué sucede esto?” apunta a que los estudiantes reflexionen
en torno a cuándo es posible que un ‘cuadrado mágico’ funcione y cuándo no. Para esto, recurrir
a los símbolos nos puede llevar a la respuesta.
Si consideramos a, b y c como los números dados en las celdas señaladas y S la suma pedida al
completar las casillas podemos notar que la fila del medio no incluye a S, por lo tanto si queremos
que la suma sea S, necesitamos que S=3b.
¿Cuántas soluciones tiene el siguiente sistema de ecuaciones? {𝑦 = (𝑥 + 2)(𝑥 − 1)
𝑥2 − 3𝑥 + 𝑦 = 0
¿Cuántas soluciones tiene el siguiente sistema de ecuaciones? {𝑦 = 𝑥2
𝑥 = (𝑦 + 1)(𝑦 + 3)
El primer sistema de ecuaciones tiene dos soluciones, y el segundo sistema de ecuaciones no tiene
solución. Cómo la pregunta es solamente la cantidad de soluciones, no es necesario averiguar qué
pares ordenados verifican cada sistema, es por esto que estos problemas se resuelven con mucha
facilidad recurriendo a las representaciones gráficas de las ecuaciones, que son parábolas.
10
4 8
6
7 5
289
Al observar estas representaciones gráficas se observa fácilmente que el primer sistema tiene dos
soluciones, mientras que el segundo no tiene solución.
Este ejercicio tiene como objetivo fomentar la inspección de las expresiones para saber si es
necesario recurrir a los símbolos, o si es mejor dejarlos de lado para buscar nuevos abordajes más
adecuados.
La siguiente tabla de valores corresponde a una función f de dominio real:
Este ejercicio tiene cómo intención fomentar la creación
de una expresión analítica a partir de la información que
se brinda en la tabla de valores. Incentivando así uno de los comportamientos que componen el
sentido de los símbolos.
Referencias bibliográficas
Arcavi, A. (1994). Symbol Sense: Informal Sense- making in Formal Mathematics.En For the
Learning of Mathematics 14, 24-35. Canadá: FLM Publishing Association.
Arcavi, A. (1995). Teaching and learning Algebra: Past, present, and future. En Journal of
Mathematical Behaviour 14, 145-162.
Arcavi, A. (2005). Developing and using symbol sense in mathematics. En For the Learning
of Mathematics 25, 42- 48. Canada: FLM Publishing Association.
Arcavi, A. (2007) El desarrollo y el uso del sentido de los símbolos. Conferencia realizada
como Profesor visitante, CRICED, Tsukuba University- Japan. En
http://ebookbrowse.com/arcavi05-el-desarrollo-y-el-uso-del-sentido-de-los-simbolos-doc-
d37871752 (01/06/2011)
x -6 -5 -3 -1 1 2
f(x) -70 0 32 0 0 42
¿Puedes hallar una expresión analítica
para dicha función? En caso afirmativo
preséntala, en caso contrario indica por
qué no es posible.
290
National Council of Teachers of Mathematics (2000). Principals and Standards for School
Mathematics. USA: NCTM.
Wagner, S. (1983) What are these things called variables? En Mathematics Teacher76, 474-
479
291
CB-269
LOS TALLERES DE INTEGRACION EN EL INGRESO UNIVERSITARIO:
MATEMATICA Y QUIMICA EN LA FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS DE LA
UNCA
Autores: Ing María Ileana Bravo, Lic. Sandra Andreo
Correo electrónico: [email protected] , [email protected]
Facultad de Ciencias Agrarias, Universidad Nacional de Catamarca. Argentina
Modalidad: CB
Nivel educativo: Universitario
Núcleo temático: Matemáticas y su integración con otras áreas.
Palabras clave: talleres de integración, matemática, química.
Resumen:
Enseñar y aprender en esta nueva era tecnológica nos obliga a reflexionar sobre el cambio de paradigma que se experimenta en las prácticas docentes. El enfoque comprensivo, plantea el manejo racionalmente por parte del docente de los contenidos de su disciplina, se apropie de los procesos de producción de los mismos y busca el aprendizaje comprensivo por parte del alumno/a (Pérez Gómez citado en Sanjurjo L., 2008). El trabajo comprensivo, planteado por la maestra e investigadora Lampert Magdalena (Gardner, H., 1997: 221) buscó trasformar el enfoque que los alumnos tenían de la matemática, de ser un tema en el que los estudiantes indagan las reglas, las respuestas correctas y la aprobación del maestro a una disciplina en la que pueden aprender todos juntos a esbozar preguntas, a plantear hipótesis acerca de los principios subyacentes y a explorar todo el conjunto de significados matemáticos. El papel del alumno es bosquejar preguntas, clasificar y trasmitir su impresión acerca de lo que vendrá a continuación. El papel del docente consiste en modificar el discurso social en la clase iniciando y dando apoyo a interacciones que ejemplifican la argumentación matemática o por quienes utilizan la matemática. Fundamentación
Enseñar y aprender en esta nueva era tecnológica nos obliga a reflexionar sobre las modificaciones
a nivel social, político, económico, y de paradigmas que se reflejan en las prácticas docentes. Estos
cambios de modelos es una contribución innegable al mejoramiento de la enseñanza y aprendizaje,
donde se observa un sincretismo entre distintos enfoques y paradigmas.
El enfoque comprensivo, plantea el manejo racionalmente por parte del docente de los contenidos
de su disciplina, se apropie de los procesos de producción de los mismos y busca el aprendizaje
292
comprensivo por parte del alumno/a (Pérez Gómez citado en Sanjurjo L., 2008). El trabajo
comprensivo, planteado por la maestra e investigadora Lampert Magdalena (Gardner, H., 1997:
221) buscó trasformar el punto de vista que los alumnos/as tenían de la matemática, de ser un
tema en el que los estudiantes indagan las reglas, las respuestas correctas y la aprobación del
maestro a una disciplina en la que pueden aprender todos juntos a esbozar preguntas, a plantear
hipótesis acerca de los principios subyacentes y a explorar todo el conjunto de significados
matemáticos. El papel del estudiante es bosquejar preguntas, clasificar y trasmitir su impresión
acerca de lo que vendrá a continuación. El papel del docente consiste en modificar el discurso
social en la clase iniciando y dando apoyo a interacciones que ejemplifican la argumentación
matemática o por quienes utilizan la matemática.
La Escuela Nueva, propuesta renovadora frente a la educación tradicional, donde los talleres
surgen con el propósito de zanjar la brecha entre la teoría y la práctica. Trabajar con talleres y/o
proyectos (Gardner, H., 1997: 217-219) involucra estimular en los alumnos/as sus múltiples
inteligencias, los proyectos implican cooperación entre los estudiantes, los docentes, así como el
uso de distintas clases de recursos, como la biblioteca o las bases de datos informatizadas. La
construcción de un proyecto da lugar a oportunidades para nuevas comprensiones. Un proyecto
proporciona a los estudiantes una coyuntura de organizar los conceptos y las habilidades
previamente dominados al servicio de una nueva meta o empresa. Planificar el proyecto, hacer
inventario a lo largo del camino, ensayar, montarlo en una forma final por lo menos provisional,
responder preguntas sobre el proyecto, puede ayudar a realizar la comprensión que el estudiante
tiene del uso el tema así como su propia contribución a su realización.
Los talleres en la formación de docentes, procuran establecer relaciones entre espacios curriculares
del plan de estudio, para promover la movilización de saberes tendientes a construir competencias
y suscitar nuevos aprendizajes. Pensar estos dispositivos como un espacio que trasversaliza
temáticas y/o problemáticas propias de la formación profesional, cuyo abordaje supera los límites
de las asignaturas.
Los talleres requieren un tiempo más extenso que el horario habitual que se asigna a las clases;
Steiman, J., (2012:59-60) señala en la construcción de los talleres hay que, explicitar la secuencia
didáctica (marco metodológico) poner en consideración las actividades (incluyendo las
actividades cognitivas), las mismas articuladas con la forma básica de enseñar, permiten elaborar
secuencias de clases e ir conformando una arquitectura para concretar la trasposición didáctica. La
293
especificación del contenido como objeto de enseñanza y de la particularidad contextual del grupo
como sujeto de aprendizaje.
Actividad Docente Actividad de los Alumnos
Clase teórica.
Ejercitación. Trabajo en
grupo, (sistema de
medición)
Salida de campo. Levantamiento de datos
según la guía proporcionada
por la cátedra para la
confección de un informe.
Clase expositiva. Exposición de los informes
recibidos.
La acreditación o evaluación de contenidos, entendida como el reconocimiento institucional de los
aprendizajes adquiridos por los alumnos/as, constatados a través del uso de ciertos instrumentos (
trabajos prácticos, exámenes orales, trabajos de ejercitación, entre otros,) y comunicados a través
de una escala convencional conceptual (aprobados/desaprobados, MB, B, R), numérica ( 1/10) o
alfabética ( A-B-C-D) que resulta de la consideración de ciertos criterios que se han priorizado
para tomar la decisión al respecto (Steiman, J., 2012:64). La devolución de la nota tiene sentido
cuando se le hace los señalamientos, reintegros con su respectivo comentario con brevísimos
comentarios al tipo de mal confeccionado, error conceptual; devolvemos marcando errores y
calificación a partir de ello.
La autoevaluación, (Steiman J., 2012:139) señala que, emitir un juicio de valor sobre un proceso
que se está viviendo (el enseñar o aprender) y sobre los resultados provisorios alcanzados, hasta
cierto momento, en un proceso determinado. Autoevaluarse es poder analizar con criticidad,
identificando obstáculos, descubriendo logros, es poder hacer un ejercicio metacognitivo, es el
más democrático de los procedimientos porque hace partícipe a todos los que han estado
involucrado en un proceso áulico, empezando por uno mismo.
TALLER TEÓRICO-PRÁCTICO
Interdisciplinario
Duración: 3 semanas
Destinatarios: alumnos ingresantes de 1º año
Carreras: Tecnicatura en Parques y Jardines e Ingeniería Agronómica.
Asignaturas: Química, Matemática (entre otras)
Lugares de Visita: Finca Nogalera (Concepción – Depatamento Capayán)
294
Responsables: Ing. María Ileana Bravo, Lic. Sandra Andreo, Lic. Rita Herrera.
Asignatura: Matemática
La presencia de la matemática en el plan de estudios en las Ciencias Agronómicas, resulta un
engranaje lógico porque todos los desarrollos de las ciencias están supeditados al nivel de
argumentación que se desarrolla y éste sólo es posible a través de explicaciones de la ciencia de la
matemática.
Hablar de matemática aplicada hace que la asignatura adquiera un matiz interesante y necesario.
La presencia de la matemática en cualquier curso de Educación Superior se justifica solamente en
la medida que ésta se haga aplicada. Atrás debe quedar la formación básica teórica y debe aparecer,
en su remplazo, una matemática, que anclada sobre los preconceptos de los estudiantes y sobre su
fundamentación, se dedique a realizar aplicaciones. El estudiante encontrará justificado el curso
cuando lo pueda aplicar, de principio a fin, a diferentes situaciones de su quehacer profesional. El
curso de matemática aplicada que aquí se presenta pretende lograr que el estudiante utilice el
lenguaje matemático que resulta imprescindible en la formación de un profesional.
Asignatura: Química
La Química es considerada como la ciencia que estudia las propiedades y composición de los
cuerpos así como sus trasformaciones; la química no se conforma con enunciar leyes descriptivas,
también se encarga de revelar cómo se comporta la naturaleza y procura indagar las causas que
motivan dicho comportamiento. Para encontrar el porque se producen los fenómenos, imagina
una interpretación racional, coherente y luego formula una teoría.
Las teorías exponen en forma clara el funcionamiento íntimo del mundo concreto, señalando las
probabilidades de su accionar. Contextualizando la Química proporciona una nueva forma más
amigable de enseñarla, permitiendo que los alumnos adquieran los conocimientos químicos
básicos y las competencias para evaluar mejor los riesgos y beneficios y adquirir destrezas para
contar con mayor información a la hora de tomar decisiones ante problemáticas tecnológicas
relacionadas con su futuro saber profesional.
Asignatura: Matemática
Objetivos Generales:
Distinguir los diferentes sistemas de medición utilizados cotidianamente.
295
Fomentar el razonamiento lógico de los estudiantes a través del seguimiento de algoritmos para
obtener conclusiones válidas en la solución de problemas.
Objetivos Específicos:
Realizar un somero repaso de los sistemas numéricos y del álgebra.
Efectuar conversiones en las diferentes clases de medidas del sistema métrico decimal y
establecer las relaciones que existen entre una clase y otra.
Tomar conciencia de la importancia de su uso e implementación en la vida cotidiana.
Contenidos: Sistema de Medición
Estrategias:
Guía para la obtención de datos (medición)
Distancia recorrida por el medio de trasporte ( salida desde la Universidad Nacional de
Catamarca hasta el arribo a la finca a determinar)
Perímetro de la finca.
Superficie de plantación de la finca.
Superficie de construcción ( casa, tinglados, entre otros)
Cantidad de árboles implantados.
CONSIGNAS PARA LA SALIDA DE CAMPO
En todos los casos, elabore proposiciones (enunciados) gramaticalmente correctas para sus
anotaciones y respuestas.
1.- ¿Cómo se denomina/n la/s empresa/s cuyo/s campo/s visitamos?
2.- ¿A qué distancia se encuentran de la FCA y en qué dirección geográfica tiene la misma?
3.- ¿A qué sector o sectores de la producción pertenecen?
4.- ¿Cuáles son las magnitudes observables en los predios y cuáles sus medidas en cantidades?
5.- Si tiene que determinar distancias y no posee cinta métrica ¿qué longitud promedio usaría para
estimar cada uno de sus pasos?
6.- Busque, en lo que observa, la presencia de figuras y cuerpos geométricos. Describa los mismos.
7.- Si recuerda los elementos que poseen, estime sus dimensiones.
296
8.- Para cada figura o cuerpo geométrico observados, recuerde sus propiedades sobresalientes. En
cuestiones prácticas, ¿es necesario o conveniente tenerlas presentes? fundamente su respuesta.
9.- La forma matemática de una proporción es:2
2
1
1
y
x
y
x , donde x1, x2, y1 e y2 son cantidades
correspondientes de dos magnitudes X e Y, proporcionales.
Investigue sus posibles aplicaciones en las tareas de campo habituales de la empresa.
Desarrolle al menos dos de esas aplicaciones.
10.- Elabore una crítica valoradora de cada una de las actividades de esta salida de campo y de la
actividad en general.
Nota: consigne sus datos personales (Apellido y Nombres, DNI y carrera elegida)
Actividades:
Los alumnos en grupos de hasta 3(tres) integrantes; tendrán tareas definidas que posteriormente
compartirán para realizar el informe.
Se hará una revisión de conocimientos previos sobre el tema medición.
Los alumnos/as empleando esquemas, dibujaran las superficies medibles.
Descripción la finca visitada.
Croquis del recorrido efectuado por el trasporte.
Asignatura: Química
Contenido: Tipos de suelo-agua
Objetivos Generales:
Distinguir los diferentes componentes químicos de suelo y del agua.
Objetivos específicos:
Describir estructuras y propiedades del suelo y del agua.
Analizar la toma de muestras de suelo y del agua para determinar sus componentes.
Estrategias:
297
Guía para la obtención de información sobre suelo-agua
Propiedades químicas del agua y el suelo
CONSIGNAS PARA LA SALIDA DE CAMPO
En todos los casos, elabore proposiciones (enunciados) gramaticalmente correctas para sus
anotaciones y respuestas.
1.- ¿Cómo se denomina/n la/s empresa/s cuyo/s campo/s visitamos?
2.- ¿A qué sector o sectores de la producción pertenecen?
3.- Describa y esquematice composición, estructura y perfil de suelo que observa.
4.- Utilizando el pH-Metro obtenga muestras de los diferentes tipos de suelos y aguas que se
encuentren en el lugar.
5.- Ejercicios:
Actividades:
Los alumnos conformando grupos de hasta 3(tres) integrantes, tendrá una tarea definida que
luego compartirán para realizar el informe.
Se hará una revisión de conocimientos previos sobre el tema suelo-agua.
Bibliografía General:
-Anijovich, R., Cappelletti, G., Mora, S., Sabelli, M., (2010) Transitar la Formación Pedagógica.
Dispositivos y estrategias. Paidós.
298
-Anijovich, R., Mora, S., (2009) Estrategias de la enseñanza. Otra mirada al quehacer en el aula.
Buenos Aires. Argentina. . Aíque grupo editor
-Alves, E., (2003) La formación permanente del docente en el aula. El uso Universitario de la
tecnología para elevar la calidad del docente en el aula. Disponible
en: www.scielo.org.ve/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S1316-00872003000100006.
Investigación y posgrado v18 n.l Caracas abril 2003 (Accesado 12 de diciembre 2016)
- BERMEJO, F. (1995) Problemas de Química General. Paraninfo.
-Castelnuovo, E., (1985) Didáctica de la Matemática Moderna. México: Editorial Trillas.
-Gardner, H., (1997) La mente no escolarizada. Cómo piensan los niños y cómo deberían enseñar
las escuelas. Buenos Aires, Argentina. Paidós.
- Mahan, B., Myers, R., (1990) Química Curso Universitario. , McGraw Hill.
-Pérez Casas, C., Barbadillo, L., (s/f) (2016) Taller de suelos. Jardín Botánico. I.E.E.S Nuestra
Señora del Pilar (Tetuán). Cuadernillo del alumno.
-Sanjurjo, L., (2008) La Formación práctica de los docentes. Reflexión y acción en el aula. Rosario,
Argentina.
-Sanjurjo, L., (2003) Volver a pensar la clase. Presentación al 2ª Congreso de Educación del Este
de Córdoba “Nuevas perspectivas didácticas en el aula”.
-Steiman, J., (2012) Más didáctica (en la educación superior). Buenos Aires, Argentina. Miños y
Dávila.
-Vázquez de Tapia, N., Tapia de Biblioni, A., Tapia, C., (1987) Matemáticas 2: equipos de
actividades. Buenos Aires: Ángel Estrada.
-Vilar, E., (s/f) Las matemáticas. Grimajo
299
CB-271
POLINOMIOS Y SISTEMAS DE ECUACIONES EN EL AULA A PARTIR DE
ANTIGUOS TRATADOS DE ARTILLERÍA DE LOS SIGLOS XVIII Y XIX: NÚMEROS
FIGURADOS Y APILAMIENTOS DE NARANJAS
Carlos Dorce
Facultad de Matemáticas, Universidad de Barcelona, España
Núcleo temático: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
Modalidad: CB
Nivel educativo: Medio o Secundario
Palabras clave: Historia de las Matemáticas, Polinomios, Álgebra, Recursos didácticos
Resumen La Historia de las Matemáticas no sólo es una ciencia en sí misma sino que nos proporciona los
razonamientos que las grandes figuras del pensamiento universal elaboraron para resolver
determinados problemas. En este sentido, nos podemos encontrar con los números figurados (sin
mucho interés actualmente) dentro de los tratados de aritmética que se escribieron en lengua
castellana hasta el siglo XIX. Paralelamente, distintos trabajos de artillería de esta misma época
también recogían esta invención pitagórica como base fundamental de los conocimientos que
debía tener todo artillero. ¿Por qué razón? Aquí se van a presentar una serie de actividades de
aula que, complementadas con la lectura de estas antiguas obras de los siglos XVIII y XIX, como
las del profesor catalán Tomás Cerdá (c.1715–1791), van a permitir al alumnado de secundaria
poder trabajar de manera cotidiana tanto con los sistemas de ecuaciones como con el álgebra
polinomial. Utilizando el razonamiento deductivo se presentarán los números figurados y se
deducirán las fórmulas que determinan su suma de modo que, al final, los alumnos van a ser
capaces de ver si un cierto número de naranjas pueden ser apiladas y en qué disposición.
Introducción
La invención de los números poligonales nos remite a los tiempos de los matemáticos pitagóricos,
quienes parece que construían las formas triangulares y cuadradas con determinados números de
piedrecitas (Heath, 1921). De este modo, los números triangulares son aquellos que pueden
representarse por un número determinado de puntos cuya forma es la de un triángulo:
300
1 1 + 2 = 3 1 + 2 + 3 = 6 1 + 2 + 3 + 4 =10
Análogamente, los números cuadrados son los que se corresponden con las formas cuadradas:
12 = 1 22 = 4 32 = 9 42 =16
Uno de los primeros estudios de este tipo de números poligonales fue realizado por Nicómaco de
Gerasa en el siglo I-II d.C. y sus cálculos fueron ampliamente conocidos por matemáticos árabes
como Ibn al-Haytham (c. 965–1040) o Ibn al-Bannâ' (c.1256–c.1321) (Dorce, 2013). Estos
números tienen multitud de propiedades, las cuales ya fueron conocidas por los matemáticos
griegos, y aunque sólo sea por citar una de sus grandes apariciones dentro de la historia de las
matemáticas, vale la pena acordarse de la gran rapidez atribuida a un joven Carl Friedrich Gauss
(1777–1855) de 10 años de edad al calcular la suma 1 + 2 + 3 + ... + 100 = 5.050. Es evidente que
este cálculo está relacionado con la suma de la progresión aritmética planteada pero, ¿fue
consciente Gauss de que estaba calculando el 100º número triangular? ¿Por qué no? Tengamos en
cuenta que precisamente fue Gauss quien en 1796 demostró que cualquier número podía escribirse
como la suma de un máximo de tres números triangulares (Moore, 2013).
Actualmente, no es habitual hallar temas relacionados con los números poligonales en los
currículos oficiales. Sin embargo, el estudio de este tipo de números sí aparecía en los libros de
texto de los siglos XVIII y XIX, sobre todo a través de su vinculación con los manuales de artillería
que se publicaban por entonces. Un ejemplo de ello lo encontramos en las Liciones de mathematica
(1758-60), en dos volúmenes, del profesor jesuita catalán Tomás Cerdá (Tarragona, 1715–Forli,
1791). Además, Cerdá también los incluyó en su exitosa Lección de Artillería: para el uso de la
301
clase (1764) y, dentro de esta misma época tenemos otros ejemplos de explicaciones de los
números poligonales y, sobre todo de sus sumas, en:
El Tratado de Artilleria theorica y practica (1733) de Juan Sánchez Reciente.
El Tratado de Artillería (1756) de Sebastián de Labairu y Azagra.
El Prontuario de Artillería (1828) de Ramón de Salas y Hernández.
El Tratado de Artillería de Marina (1829) de Francisco Ciscar.
Detalle de la lámina XIII del volumen I del Tratado de Artillería de Marina de Ciscar
La figura de Tomás Cerdá (1715–1791)
Tomás Cerdá nació en Tarragona en el año 1715 y con 17 años ingresó en la Compañía de Jesús.
Tras un período de formación, Cerdá se convirtió en profesor de filosofía, teología y matemáticas
y ejerció la docencia de estas materias en Cervera, Gerona y Zaragoza. Como matemático, el punto
de inflexión de su aprendizaje se produjo alrededor del año 1755, momento en el que la Compañía
decidió enviarlo a Marsella y ponerlo bajo la tutela del también jesuita Esprit Pézenas (1692–
1776). En 1749, Pézenas había traducido al francés y publicado el Treatise of Fluxions de Colin
MacLaurin (1698–1746) y abrió el campo del análisis infinitesimal a un Cerdá que, probablemente,
todavía no conocía su existencia. Con esta nueva visión del cálculo, regresó a Barcelona donde fue
nombrado profesor de la nueva Cátedra de Matemáticas del Colegio de Cordelles, posición que
ocupó entre los años 1756 y 1764. En esta etapa, Cerdá planeó la publicación de unas
enciclopédicas Liciones de Mathematicas en cinco volúmenes de los que sólo aparecieron los dos
primeros, dedicados a la aritmética y el álgebra (1758) y a la geometría (1760), respectivamente.
La obra puede ser considerada como una de las más completas en estas áreas y la pena es que la
impresión de los otros volúmenes no se produjera nunca, ya que prometían la aplicación del álgebra
a la geometría y, lo que hubiese sido más importante en ese momento de la historia de las
302
matemáticas en España, el "Método directo e inverso de las fluxiones, que otros llaman Cálculo
Diferencial e Integral".
En el año 1764, Cerdá fue llamado a Madrid para hacerse cargo de las lecturas de Matemáticas del
Colegio Imperial, a la par que fue nombrado Cosmógrafo Mayor del Consejo de Indias. Además,
en ese mismo año, con motivo de la apertura de la Academia de Artillería de Segovia, también
publicó su Leccion de Artillería, para el uso de la clase.
Con la expulsión de los jesuitas decretada por Carlos III el 3 de abril de 1767, Cerdá se trasladó a
los Estados Pontificios, acogiéndose a la "caridad de los Padres Dominicanos de la Ciudad de
Forli" (Hervás y Panduro, 1794), donde finalmente murió en 1791.
Los apilamientos de balas en la obra de Cerdá
Dentro de las Liciones de Mathematicas, la aparición de los números poligonales y su suma se
produce en el artículo III sobre el "Modo de sumar algunas series" del capítulo XVI "De las Series"
del tomo II. Tras demostrar que:
6
121...21 222
nnn
n ,
Cerdá explica que "esta fórmula [...] se puede aplicar a las pilas cuadradas de balas que suele haber
en los almacenes de Artillería, pues las filas siguen los cuadrados de los números naturales, y los
lados de las filas los mismos números naturales, de manera que el vértice de la pila consta de 1
sola bala, la segunda fila tiene 4, la tercera 9, etc, y el lado de la primera fila es 1 bala, el de la
segunda es 2, el de la tercera 3, etc, y así la suma de todas las balas de una pila cuadrada es igual
a la suma de los cuadrados de los números naturales, hasta tantos términos cuantas balas tiene uno
de los lados de la última fila, o uno de los ángulos de dicha pila" (Cerdá, 1758). También explica
cómo calcular el número de balas de las pilas cuadradas incompletas, y el de las pilas oblongas,
completas e incompletas, que son aquellas que tienen un rectángulo de balas por base. En el
capítulo siguiente, Cerdá trata sobre los "números figurados", su cálculo y la determinación de la
suma de una serie consecutiva de los mismos.
Del mismo modo, la Leccion de Artilleria incluye un apéndice con las "Reglas para contar las
balas o bombas en los almacenes de Artillería" ya que "no llevarán a mal los que frecuentan las
Atarazanas y almacenes de Artillería, el que ponga aquí en breve algunas reglas para calcular con
expedición el número de balas o bombas que en dichos almacenes bien arreglados se encuentran"
303
(Cerdá, 1764). En este caso, las fórmulas dadas, además de las correspondientes a las pilas
oblongas, son:
Pilas de base triangular (donde 2
1·
nnTn es el enésimo número triangular):
6
23
3
2·
2
1·
1...
23
21
nnnnnnTTT n
Pilas de base cuadrada (donde 2nQn es el enésimo número cuadrado):
6236
32...
2323
21
nnnnnnQQQ n
Una propuesta de aula
La actividad que aquí se propone consiste en descubrir, en primer lugar, cuál es la fórmula que se
esconde tras la suma de los números cuadrados o, lo que es lo mismo, averiguar cuántas naranjas
caben en una pila de base cuadrada. Para ello, se propone a los alumnos de 4º de la Enseñanza
Secundaria Obligatoria (15-16 años) de un instituto situado en la periferia de la ciudad de
Barcelona, en España, rellenar la siguiente tabla de valores:
Pisos Nº de naranjas
1 1 2 1 + 4 = 5 3 1 + 4 + 9 = ... 4 ... ... ...
Los alumnos trabajan en grupos heterogéneos que intentan sacar el máximo provecho de las
cualidades de cada uno de sus cuatro o cinco miembros. Se parte del hecho que dicho alumnado
ha trabajado ya las funciones afín y cuadrática, con lo que la pregunta que se les propone
inicialmente es: ¿se corresponde esta tabla de valores a una función afín? Tras una breve discusión
sobre el tema, tres son los argumentos mayoritarios aportados en clase:
304
1. Si se representa gráficamente, su gráfica no es una línea recta. Este argumento implica que
se tienen que representar los puntos obtenidos en la tabla de valores en unos ejes
cartesianos.
2. Si fuera una función afín nmxxf , tendría la pendiente m constante, es decir, se
cumpliría que mxfxf 1 . Este hecho no se produce:
41512 ff y 951423 ff
3. Si se plantea como un sistema de ecuaciones, no se obtiene la solución que se quiere:
34314522
11
xxfmnm
nmf
nmf
Por lo tanto, 14933·43 f .
Aprovechando este último argumento, el siguiente paso es preguntar: ¿se corresponde esta tabla
de valores a una función cuadrática? En este caso, la comparación de los puntos representados con
el trazo de una parábola cbxaxxf 2 es más difícil de ver a simple vista y, pese a que la
intuición provoca que haya alumnado que se decanta por esta posibilidad, aparece de manera
natural la resolución de un sistema de ecuaciones de tres ecuaciones con tres incógnitas:
22
7
2
52,
2
7,
2
5
14393
5242
112
xxxfcba
cbaf
cbaf
cbaf
Sin embargo, 302824·2
74·
2
54 2 f .
La resolución de un sistema lineal de estas dimensiones no está previsto a estas alturas de
programación curricular (es temario de cursos posteriores) y, por lo tanto, se propone a cada grupo
de alumnos que intente dar con algún método de solución. En este caso, de los 7 grupos que se
formaron en el aula, tan solo dos dedujeron que el método de sustitución era un camino adecuado
y un tercero propuso el método de reducción de ecuaciones:
305
2
552
2395
1243
14393
5242
11
aaffba
ffba
cbaf
cbaf
cbaf
, por reducción
El resto de grupos no llegaron a ningún razonamiento correcto. De este modo, se puede aprovechar
para introducir y comentar este tipo de resoluciones para sistemas lineales con más de dos
ecuaciones y dos incógnitas.
¿Qué podemos hacer ahora, una vez hemos terminado con los argumentos conocidos? En la
actividad concreta que se realizó, se retó al alumnado a encontrar un polinomio del tipo
dcxbxaxxf 23 . Para evitar excesivos cálculos, se simplificó el problema avisando de
que 0d , con lo que, siguiendo un razonamiento parecido a los casos anteriores, el alumnado
tuvo que enfrentarse a un sistema lineal de tres ecuaciones con tres incógnitas:
0,6
1,
2
1,
3
1
1439273
52482
11
dcba
cbaf
cbaf
cbaf
Este resultado cumple, efectivamente que 304 f i que 555 f , con lo que la función
6
32
6
1
2
1
3
1 2323 xxx
xxxxf
es una buena candidata para ser la generadora de los
números que buscamos. Además, factorizando el numerador, el alumnado llegó a la conclusión de
que
6
121
xxxxf .
Para finalizar, cada grupo fue retado a encontrar la fórmula homóloga para pirámides de base
triangular.
La introducción de la historia de las matemáticas
Además de todo el razonamiento lógico y la búsqueda de estrategias que supone esta actividad,
hemos conseguido una buena excusa para introducir los números poligonales y su historia, y
también su aparición en los manuales de artillería de los siglos XVIII y XIX. La historia de las
matemáticas, como ya he comentado en otras presentaciones anteriores donde he intentado recoger
diversas pruebas de ello (por ejemplo: Dorce, 2016) consigue dar otro punto de vista a los
currículos y aporta una motivación extra al alumnado que puede ser un hilo conductor de una clase
306
más interesante y amena. Así, en esta actividad concreta, algunas de las actividades que se
realizaron al respecto fueron las siguientes:
1. Presentación de la figura de Tomás Cerdá y su importancia dentro de las matemáticas
catalanas y españolas. Se propusieron trabajos voluntarios y se buscaron las referencias
concretas dentro de las Liciones de Mathematicas y la Leccion de Artilleria.
2. Trabajo voluntario sobre los números poligonales siguiendo las propiedades descritas en
Heath (1921) y Dorce (2013).
3. Visita al Museu de les Matemàtiques de Catalunya, en Cornellá de Llobregat (Barcelona),
donde puede encontrarse la fórmula de la suma de los n
primeros números cuadrados a partir de la experimentación
con material didáctico adecuado (ver anexo).
4. Introducción al problema de Kepler sobre el apilamiento de
las naranjas. Búsqueda de información al respecto y
discusión sobre los resultados obtenidos a través de internet.
Este tema posibilitó una excusa para hablar de las diferencias
entre conjetura y resultado demostrado.
5. A partir del punto anterior, se pueden buscar otras conjeturas matemáticas famosas
comprensibles para el alumnado de este nivel educativo, como la conjetura de Goldbach o
la infinitud de los números perfectos.
Con todo, esta actividad ofrece al alumnado la posibilidad de pensar, razonar, conjeturar y
demostrar resultados matemáticos dentro de una serie de clases amenas y motivadoras.
Referencias bibliográficas
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el uso de la clase, Tomo II. Barcelona: Francisco Suriá.
Cerdá, T. (1764). Leccion de Artilleria, para el uso de la clase. Barcelona: Francisco Suriá.
Dorce, C. (2013). Història de la matemàtica. Des de Mesopotàmia fins al Renaixement. Barcelona:
Publicacions i Edicions de la Universitat de Barcelona.
Dorce, C. (2016). Nombres perfectes, amics i sociables. Una proposta per a l'aula. Noubiaix, 39,
desembre 2016, 35-51.
Heath, T. (1921). A History of Greek Mathematics. Oxford: Claredon Press, Volumen I.
307
Hervás y Panduro, L. (1794). Viage estático al mundo planetario en el que se observan el
mecanismo y los principales fenó- menos del cielo; se indagan sus causas físicas, y se demuestran
la existencia de Dios y sus admirables atributos, Vol. 2. Madrid: Imprenta de Aznar.
Maz Machado, A. y Rico Romero, L. (2009). Las Liciones de mathemáticas de Thomas Cerda:
doscientos cincuenta años (1758–2008). Suma 60, Febrero 2009, 35-41.
Moore, T. (2013). An Investigation Relating Square and Triangular Numbers. Mathematics
Faculty Publications. Paper 37.
POLINOMIOS Y SISTEMAS DE ECUACIONES EN EL AULA A PARTIR DE
ANTIGUOS TRATADOS DE ARTILLERÍA DE LOS SIGLOS XVIII Y XIX: NÚMEROS
FIGURADOS Y APILAMIENTOS DE NARANJAS
Carlos Dorce
Facultad de Matemáticas, Universidad de Barcelona, España
Anexo
El material didáctico que dispone la exposición permanente del Museu de les Matemàtiques de
Catalunya para demostrar la fórmula
6
121...21 222
nnn
n ,
consta de seis piezas de madera que representan la suma 22222
5 54321 S :
La demostración consiste en ir jugando con las piezas hasta conseguir formar el ortoedro adecuado.
Los pasos son los siguientes:
308
Unión de dos piezas Unión de tres piezas Unión de tres piezas (reverso)
Unión de cuatro piezas Unión de cinco piezas Unión de las seis piezas
Por lo tanto, la suma de las seis piezas 5S constituyen un ortoedro cuya base es un rectángulo de
lados iguales a 5 y 6 unidades, y altura igual a 11. Si miramos la última de las imágenes,
correspondiente al ensamblaje de las seis piezas vemos que:
11·6·56 5 S
En general, si hubiésemos considerado piezas representando a 222 ...21 nS n hubiésemos
llegado a la conclusión de que:
12·1·6 nnnSn
Consecuentemente:
6
12·1·
nnnSn
309
CB-272
JUEGOS NUMÉRICOS EN EL AULA:
NÚMEROS PERFECTOS, AMIGOS Y SOCIABLES
Carlos Dorce
Facultad de Matemáticas, Universidad de Barcelona, España
Núcleo temático: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas
Modalidad: CB
Nivel educativo: Medio o Secundario
Palabras clave: Historia de las Matemáticas, Factorización, Juegos numéricos, Números perfectos
Resumen La invención de los números perfectos y de los números amigos se pierde en la antigua Grecia
pitagórica y, si bien, su determinación está a la orden del día gracias a su relación con la
búsqueda de nuevos números primos (muy necesarios en la criptografía moderna), pasan bastante
desapercibidos en los currículos oficiales tanto de la educación primaria como de la educación
secundaria. Estos tipos de números y el análisis de sus propiedades pueden ser los catalizadores
de clases motivadoras e interactivas en las que se despierten la curiosidad y el interés del
alumnado por su conocimiento. La excusa va a ser, en esta ocasión, la factorización numérica que
muchas veces se explica en las aulas de forma magistral y no produce nada más que su aprendizaje
como camino para poder determinar el m.c.d. y el m.c.m. de los números. La introducción de los
números perfectos y, de paso, de los amigos, los felices y los sociables, nos va a permitir disponer
de una serie de interesantes recursos de aula que permitirá tener al alumnado sumando,
multiplicando, factorizando,... de manera natural, sin necesidad de tener que buscar contextos
forzados en los que ubicar los cálculos.
Los conceptos de divisibilidad, múltiplos, divisores, factorización, números primos y compuestos,
etc., están muy presentes en los currículos de la educación primaria y secundaria. Sin embargo, a
pesar de los esfuerzos que muchas veces realizan los maestros/as y profesores/as en las aulas, la
correcta comprensión de estos conceptos queda muy lejos de lo que pretenden los objetivos
curriculares. El motivo de la poca consolidación del aprendizaje de este tema clave dentro de las
matemáticas modernas ha sido objeto de estudio en distintos trabajos realizados en los últimos
años, tales como Brown, Thomas y Tolías (2002), Leinkin (2006), Bodí, Valls y Llinares (2007),
y Castro y Molina (2011), donde se ha puesto de manifiesto la necesidad de profundizar en el
aprendizaje de la teoría de números elemental y, particularmente, en todos aquellos conceptos
relacionados con la divisibilidad y el teorema fundamental de la aritmética. En este sentido, son
310
dos los puntos que se deberían mejorar para tener una correcta comprensión de la divisibilidad
entre números naturales. Por un lado, Zazkis (2000) estableció que basar el aprendizaje en el léxico
propio del tema como las palabras "múltiplo" y "divisor", "ser divisible", "factor", etc. muestra una
comprensión incompleta del concepto de factor, ya que el alumnado tiende a asociar "divisor" con
las divisiones y "múltiplo" con las multiplicaciones. Por otro lado, la comprensión de los números
primos está relacionada con la representación decimal con la que expresamos los números y,
muchas veces, se asocia el concepto de divisibilidad tan solo con la descomposición de un número
en factores primos (Zazkis y Liljedahl, 2004). Así, la comprensión de la factorización numérica es
clave en la correcta comprensión de la divisibilidad (Bodí, Valls y Llinares, 2005; Bodí, 2006).
Otro factor que no suma en este proceso cognitivo es la falta de un buen contexto en el que
desenvolverse. Muchas veces, los contextos que se buscan para facilitar la introducción de ciertos
temas en la clase de matemáticas no siempre nos dan los resultados previstos. Muchos de los
ejemplos y ejercicios que nos encontramos en los libros de texto referentes a los temas de la
divisibilidad, de la factorización, y de los cálculos del máximo común divisor y del mínimo común
múltiplo, son muy forzados y se convierten en un elemento más de una clase magistral. Además,
estos temas son recurrentes en los currículos, y el alumnado se ve sometido a la realización de
muchos ejercicios (tanto de consolidación como de ampliación) que no ayudan a conseguir que
nuestros adolescentes estén motivados y sientan el gusto y la pasión por las matemáticas.
Aquí se pretende presentar un recurso que puede romper con la problemática planteada a partir de
jugar con los números, sus divisores y sus factores primos: los números perfectos. La didáctica de
este tema ya ha sido abordada anteriormente (Dorce, 2016) y ahora es el momento de sacar diversas
conclusiones sobre su implementación en el aula.
Los números perfectos cumplen la propiedad de que son iguales a la suma de sus divisores
excluyéndolo a él mismo. Por ejemplo, el 6 es igual a la suma de sus tres divisores propios 1, 2 y
3 y, consecuentemente, el 6 es un número perfecto. Si se considera la función Nd
dN|
,
entonces un número N es perfecto si cumple la igualdad NN 2 .
Un poco de historia
Los números perfectos tienen su origen en las matemáticas pitagóricas (Dorce, 2013), y no fue
hasta el siglo III a.C. que Euclides los definió explícitamente en sus Elementos: "número perfecto
311
es aquel que es igual a sus propias partes". Sin embargo, Euclides no se quedó aquí sino que
también demostró en la proposición 36 de su noveno libro que si un número es de la forma
122 1 nnN , con 12 n primo, entonces N es perfecto. El tema se quedó en este punto hasta
que Nicómaco de Gerasa (s. I-II d.C.) escribió su Introducción a la Aritmética donde, entre otros
temas, se dedicó a estudiar este tipo de números. Teniendo en cuenta que los únicos números
perfectos que conocía Nicómaco eran el 6, el 28, el 496 y el 8.128, el matemático griego llegó a
cinco interesantes conclusiones:
1. Hay un número perfecto de una cifra, otro de dos, otro de tres y otro de cuatro. Por lo tanto,
Nicómaco concluyó que tenía que haber un número perfecto para cada orden de cifras, es
decir, además de los cuatro conocidos, uno entre el 10.001 y el 100.000, uno entre el
100.001 y el 1.000.000, etc.
2. Por lo tanto, Nicómaco supuso la existencia de un número infinito de números perfectos.
3. Y además, todos ellos pares.
4. Este tipo de generalizaciones también le llevó a afirmar que la última cifra de los números
perfectos debía ser un 6 o un 8 y que estas se alternaban indefinidamente: 6, 28, 496, 8.128,
...6, ...8, ...
5. Finalmente, Nicómaco afirmó que los únicos números perfectos posibles debían seguir la
fórmula dada por Euclides.
Con todas estas premisas, Nicómaco no fue capaz de encontrar el quinto número perfecto. Sin
embargo, Ibn Fallūs (m.c.1250) escribió un comentario a la Introducción a la Aritmética en el
siglo XIII donde calculó los casos n = 2, 3, 4, 7, 9, 11, 13, 17, 19 y 23 (Brentjes, 1987). En esta
lista, Ibn Fallūs puso de manifiesto que en los casos n = 13, 17 y 19 se obtenía nuevos números
perfectos (números 33.550.336, 8.589.869.056 y 137.438.691.328, respectivamente) y que si n =
9, 11 y 23, entonces 12 n no es primo. Cabe decir que los números perfectos se habían dado a
conocer en el mundo árabe de la mano de Thābit ibn Qurra (836–901) y que Ibn al-Haytham (965–
1040) los estudió a conciencia, afirmando que si un número es perfecto, entonces tenía que ser
necesariamente de la forma descrita por Euclides (Rashed, 1994).
Llegados al Renacimiento Europeo, la primera aparición del quinto número perfecto (caso n = 13)
se remonta a un manuscrito anónimo fechado en el año 1458, y también a las anotaciones de
Johanes Müller, también conocido como Regiomontano (1436–1476). En 1536, Hudalrichus
Regius supo descomponer 89·231211 y encontró independientemente de los resultados
312
anteriores que 1213 es primo. Sin embargo, estos apuntes históricos no pueden hacer sombra al
Tratado de los números perfectos escrito por el italiano Pietro Cataldi (1548–1626) en 1603, en el
que se dedicó a buscar todos los números primos menores que 750. A partir de esta lista demostró
que 1217 y 1219 son primos y, así, redescubrió el sexto y séptimo números perfectos. Además,
vaticinó que los casos n = 23, 29, 31 y 37 también debían arrojar números primos (como se puede
ver, ya hacía tiempo que los matemáticos habían visto que para obtener un número primo de la
forma 12 n , n también debía ser primo).
Los grandes matemáticos también aportaron su granito de arena a toda esta historia. Pierre de
Fermat (1601–1665), por ejemplo, en una carta que envió en el año 1640 a Marín Mersenne (1588–
1648), le mostró su estudio de los números del tipo 12 n , diciendo, entre otras premisas, que si n
no es primo, entonces 12 n tampoco lo es, y que si n es primo, entonces 22 n es divisible por
2n. En estos resultados, Fermat germinó su Pequeño Teorema, que afirma que si a es un número
entero no divisible por p primo, entonces 11 pa es divisible por p. Así, Fermat demostró que los
casos n = 23 y 37 de Cataldi eran erróneos, ya que consiguió factorizarlos. Mersenne, por su parte,
también decidió estudiar los números primos de la forma 12 n
nM , los cuales han pasado a la
historia como Números de Mersenne.
Como resultado importante, se debe señalar que en 1732, Leonhard Euler (1707–1783) demostró
el recíproco de la regla de Euclides para los números perfectos pares, corroborando la quinta de
las afirmaciones de Nicómaco, que suponía que el número perfecto inicial era par (Dickson, 1971).
Para terminar con toda esta historia, podemos decir que actualmente, se conocen tan solo 49
números perfectos, todos ellos pares. El último de ellos se corresponde con el caso n = 74.207.281,
termina en 6 y tiene 44.677.235 cifras. El mérito de su descubrimiento es de Curtis Cooper,
profesor en la Universidad Central de Missouri, y de su ordenador, los cuales dieron con el gran
hallazgo el 7 de enero de 2016.
Presentación en el aula
Supongamos que para presentar el concepto de factorización de un número, presentamos el tema
a partir del cálculo de los divisores del número 28 = 22· 71:
28 2 14 2
313
7 7 1
¿Cómo podemos calcular sus divisores? En primer lugar, el alumnado debe saber cómo calcular
el número de divisores de un número:
Si N > 1 es un número natural tal que su descomposición en producto de factores primos
es kn
k
nnpppN ...21
21 , entonces su número de divisores es igual a:
)1...·(·)1(·)1( 21 knnnn
De este modo, el número de divisores del 28 es (2+1)·(1+1) = 3·2 = 6. Con ello, podemos empezar
a resolver el problema recogido por López, Castro y Cañadas (2013), quines explican que maestros
en formación, ante la descomposición 32· 53· 71, no son capaces de distinguir si el 21 es divisor
del número dado sin necesidad de realizar la división. Ahora, quedaría claro que el 1, el 3, el 5 y
el 7 no son los únicos divisores ya que, en este caso, 32· 53· 71 tiene (2+1) · (3+1) · (1+1) = 3 · 4 ·
2 = 24 divisores.
Llegados a este punto, ya podemos enseñar a encontrar todos los divisores de un número.
Volvamos al 28 y sigamos la descomposición factorial hallada:
1 1p 2
1p
Multiplicado por 1: 1 2 4
Multiplicado por 72 p : 7 14 28
¿Qué aporta este cálculo? ¿No hay el peligro de caer en la misma rutina que proponen ciertos libros
de texto? Después de profundizar en las posibilidades establecidas en Dorce (2016), se vio la
necesidad de escribir en la pizarra los seis divisores ordenados de menor a mayor:
1 2 4 7 14 28,
ya que, en la primera experiencia que se hizo, ninguno de los alumnos presentes se dio cuenta de
que el 28 era perfecto. Esta vez, los 25 alumnos de 2º de la ESO de un instituto público de la
periferia de Barcelona (13-14 años de edad) tuvieron delante los seis divisores ordenados y sí se
dio el resultado esperado: un alumno observó que el número 28 es igual a la suma de 1+2+4+7+14.
En ese momento, la pregunta fue: "¿y eso pasa más a menudo?". Respuesta: "Vamos a probar".
Cada uno de los alumnos y alumnas de la clase escogió un número al azar y le calculó sus divisores
(no sin producirse algún error de cálculo), con lo que se fue escribiendo en la pizarra todas las
314
posibilidades obtenidas tras asegurarse de que no había ninguna repetición. Es decir, cada alumno
iba escogiendo un número sucesivamente y no se podía repetir ningún número N de los que se iban
escribiendo en la pizarra. El resultado obtenido fue el siguiente:
N Divisores < N N Divisores < N N Divisores < N
15 1, 3, 5 9 100 1,2,4,5,10,20,25,50 117 24 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 36
2 1, 2 3 30 1, 2, 3, 5, 6,10,15 42 19 1 1
6 1, 2, 3 6 9 1, 3 4 40 1, 2, 4, 5, 8,10,20 50
8 1, 2, 4 7 50 1, 2, 5, 10, 25 43 63 1, 3, 7, 9, 21 41
11 1 1 17 1 1 12 1, 2, 3, 4, 6 16
25 1, 5 6 27 1, 3, 9 13 38 1, 2, 19 22
10 1, 2, 5 8 3 1 1 4 1, 2 3
14 1, 2, 7 10 18 1, 2, 3, 6, 9 21 42 1, 2, 3, 6, 7,14,21 54
--- --- --- 23 1 1 --- --- ---
Conclusiones a las que llega al grupo (en cursiva, las reflexiones del profesor):
1. El 6 es como el 28. Cierto. ¿Eso qué puede significar?
2. No hay muchos números que cumplan lo mismo que cumple el 28. ¿Y qué resultados se
obtienen? ¿Podemos sacar alguna conclusión?
3. Sí. Los que dan 1. Son primos. Por lo tanto, los números primos sólo tienen un divisor
distinto de él mismo. El 1. ¿Y el resto?
4. Algunos dan mucho. Se llaman números abundantes.
5. ¿Y los que dan menos? Números deficientes.
6. ¿Y qué son el 6 y el 28? Son números perfectos.
La actividad puede continuar con la comprobación efectiva de que el 496 y el 8.128 son números
perfectos.
Números amigos y sociables
Para seguir con el cálculo de divisores, se puede presentar en clase la pareja de números 220 y 284
y sugerir el cálculo de sus divisores siguiendo el patrón establecido:
220 = 22 · 5 · 11. Divisores < 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110.
284 = 22 · 74. Divisores < 284: 1, 2, 4, 71 y 142.
315
Bajo el paradigma de los números perfectos, el alumnado es invitado a comprobar si la suma de
los divisores obtiene algún resultado sorprendente y así es, ya que se cumple que
504284220284220 . En este caso, estamos delante de una pareja de números
amigos. La experiencia provoca reabrir la curiosidad por una propiedad matemática y, como antes,
se invita al alumnado a encontrar más parejas de este tipo. Se ha de señalar que, si bien se conocen
actualmente millones de parejas de números amigos, es muy difícil que alguien (al azar) dé con
una, ya que la segunda menor pareja de números amigos está formada por el 1.184 y el 1.210. Sin
embargo, los distintos resultados son muy interesantes en sí mismos. Por ejemplo, supongamos
que se escoge el 24: 362424 y 553636 . Aunque no estamos delante de dos
números amigos, podríamos mirar qué ocurre con el 55 y con todos los posibles resultados que se
van obteniendo: 1711515555 y 11717 . Todos los cálculos del alumnado
van terminando en el resultado 1 pp con p primo y este hecho es aprovechable para
conjeturar si es posible encontrar un ejemplo en el que esto no se cumpla, es decir, si existen
números 1N , 2N , ..., kN tales que 1 jjj NNN para kj 1 y 1NNN kk .
Estaríamos delante de una cadena de números sociables. La magnitud de los posibles ejemplos
hace inviable su búsqueda pero los alumnos ven que las propiedades de los números son
espectaculares. Si k = 1, los números son perfectos, y si k = 2, los números son amigos. En 1918,
P. Poulet determinó el grupo de k = 5 números sociables 12.496, 14.288, 15.472, 14.536 y 14.264
(Poulet, 1918). También determinó que el número 14.316 era el primero de una cadena de k = 28
sociables y estas asociaciones fueron las únicas conocidas hasta que en 1970, H. Cohen encontró
nueve grupos para k = 4 (Cohen, 1970).
Con todo, los alumnos y alumnas de la clase han estado calculando los divisores de los números
que han ido saliendo y se ha conseguido romper el paradigma de que los únicos divisores de un
número son sus factores primos. Como se ha visto, la descomposición factorial del número se ha
convertido en un recurso para poder determinar las propiedades de ciertos números (tan
interesantes como curiosas y, por qué no decirlo, bonitas). Además, el juego no se termina aquí.
Por ejemplo, ¿qué ocurre si sumamos sucesivamente las cifras de un número perfecto mayor que
6? ¿Ocurre los mismo con el resto de números? ¿Y si sumamos los inversos de sus divisores? Es
decir, Si los divisores del 6 son el 1, 2, 3 y 6, ¿cuál es el resultado de 61
31
21
11 ? ¿Ocurre lo
mismo con los demás números perfectos? ¿Y con otros números? Y si en lugar de sumar,
316
¿multiplicamos divisores? Puede verse un resumen de estas propiedades en Dorce (2016) pero las
posibilidades que ofrecen este tipo de números a un nivel elemental parecen... infinitas.
Referencias bibliográficas
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317
CB-273
ENSEÑANZA DE LA DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA Y PSICOLOGÍA EN INGLÉS
EN EL GRADO EN MAGISTERIO EN EDUCACIÓN PRIMARIA. UNA
INVESTIGACIÓN INTER-DEPARTAMENTAL.
Alberto Arnal-Bailera – Miguel Á. Marco-Buzunáriz – Silvia Pellicer Ortín – Lucía Tomás-
Aragonés– Elena Gil Clemente
[email protected] – [email protected] – [email protected] –[email protected] –
[email protected] Universidad de Zaragoza. España
Núcleo temático: VI. Matemáticas y su integración con otras áreas.
Modalidad: CB
Nivel educativo: Formación y actualización docente
Palabras clave: Didáctica de la Geometría, Psicología, CLIL, percepciones del alumnado
Resumen Presentamos parte de una experiencia interdisciplinar llevada a cabo en la Facultad de Educación
de la Universidad de Zaragoza entre los Departamentos de Matemáticas, Psicología y Filología
Inglesa. Contextualizamos esta experiencia dentro del auge de las enseñanzas bilingües tanto en
Europa como en nuestro país y, tras haber detectado un vacío en las investigaciones llevadas a
cabo en los niveles de enseñanza superior, proponemos un estudio de: i) las percepciones de
nuestros estudiantes antes y después de recibir esta enseñanza a través del inglés; ii) las
especificidades propias de las áreas de Didáctica de las Matemáticas y Psicología cuando se
aplica la enseñanza bilingüe y iii) un análisis cuantitativo y cualitativo de las diferencias en los
resultados y consecución de tareas llevadas a cabo tanto en lengua española como inglesa. Este
análisis se ha interpretado desde el enfoque actual de enseñanza bilingüe CLIL, el cual aboga por
un proceso holístico de la enseñanza-aprendizaje de lengua y contenido.
Contexto y marco teórico
Las universidades españolas han incrementado la oferta de asignaturas en inglés, especialmente
debido a su interés en mejorar la empleabilidad de sus graduados y en buscar la
internacionalización de sus estudios atrayendo a un mayor número de estudiantes extranjeros
(Coyle 2010). Estos programas bilingües se encuadran dentro del enfoque CLIL –Content and
Language Integrated Learning–, el cual se refiere a la aproximación dual a los procesos de
enseñanza y aprendizaje vía la fusión de los dos elementos –lenguaje y contenido–
tradicionalmente fragmentados.
Cuando nuestros alumnos terminan sus estudios se incorporan a una realidad educativa en la que
se han implementado en los últimos años varios programas oficiales de bilingüismo y a diferentes
niveles, los cuales llegan hoy a más de 200 centros educativos, sobre todo gracias al programa
318
PIBLEA (Programa integral de bilingüismo en lenguas extranjeras en Aragón). En otras
Comunidades Autónomas también hay programas del este tipo lo que ha convertido a España en
uno de los líderes europeos en CLIL, apoyados también en nuestra propia riqueza cultural y
lingüística (Coyle, 2010).
En la Facultad de Educación de la Universidad de Zaragoza, primero el Departamento de
Psicología y Sociología (desde 2011) y después el de Matemáticas (desde 2016) han comenzado a
ofertar asignaturas impartidas a través del inglés. Al mismo tiempo, el Departamento de Filología
Inglesa y Alemana ha comenzado a desarrollar una intensa investigación y docencia entorno al
enfoque CLIL, centrándose en los retos que surgen a la hora de introducir el inglés en diferentes
contextos y niveles educativos. Todo ello lleva a los profesores involucrados a compartir
experiencias y a buscar una línea de trabajo común, que además puede ayudar a complementar las
investigaciones sobre los resultados de los programas CLIL que hasta ahora se han centrado
mayoritariamente en las etapas de educación primaria y secundaria.
Este estudio trata de responder a algunas necesidades iniciales que han ido surgiendo cuando se ha
tratado de organizar las asignaturas impartidas en inglés. Hemos observado que los profesores
necesitan: i) consultar experiencias anteriores, lo que es muy difícil dado el escaso número de
estudios sobre CLIL a nivel universitario, ii) mejorar su formación en lengua inglesa y en las
técnicas didácticas a aplicar cuando las estructuras lingüísticas están íntimamente relacionadas con
algunas áreas de contenido específico (matemáticas y psicología en este caso), iii) recoger datos
objetivos sobre el desempeño y motivación de los estudiantes que les permitan mejorar su
actuación en un ambiente bilingüe, adaptando en lo posible el contenido al contexto del aula.
Teniendo en cuenta estos parámetros iniciales, nuestro proyecto fue diseñado para responder a
varios objetivos de investigación: i) estudiar las motivaciones de los alumnos de nuestra Facultad
a la hora de elegir o no asignaturas impartidas en inglés; ii) comparar las opiniones de los alumnos
CLIL con los que siguen las clases en castellano sobre su proceso de aprendizaje; iii) analizar los
resultados obtenidos por nuestros alumnos en algunas tareas específicas realizadas en clase para
contribuir a conocer los procesos de aprendizaje en el marco de un aula universitaria CLIL. Los
dos primeros objetivos fueron estudiados en el curso 2015/16, mientras que el tercero se continúa
en este curso con el análisis de tareas de argumentación que mostraremos más adelante.
En el caso de la argumentación, Gamboa, Planas y Edo (2010) defienden la práctica de
argumentación matemática como una parte esencial de la formación de los estudiantes en primaria,
319
por lo que también debe ser tenida en cuenta en la formación de los futuros maestros. Los autores
encuentran confusiones teóricas y prácticas entre distintos tipos de razonamiento, concretamente
entre explicación justificación y demostración y dificultades para plantear preguntas que requieran
argumentación. Estas ideas también pueden aplicarse al ámbito de la psicología moral, donde los
estudiantes han de elaborar un razonamiento moral y llegar a una solución pasando por similares
fases. Debido a la relevancia de las destrezas argumentativas en estas dos materias, este curso
hemos decidido estudiar la incidencia que tiene el uso de la lengua inglesa como lengua vehicular
en el desarrollo y adquisición de destrezas argumentativas.
Metodología
En las asignaturas que consideramos, los alumnos están repartidos en cuatro grupos de docencia,
uno de los grupos recibe la docencia en inglés y tres, en castellano. El grupo en inglés es de tarde,
lo que, unido a que se elige turno por nota de expediente, influye en la tipología de los alumnos ya
que, suelen preferir ir a clase por la mañana. En el curso 2015/16 55 alumnos se matricularon en
la asignatura “Psicología del desarrollo” –PD a partir de ahora– y 24 en la de “Didáctica de la
Geometría” –DG– en los grupos en inglés. En el curso 2016/17 estos números fueron de 60 y 46,
respectivamente.
DG se imparte en el tercer curso en dos sesiones de dos horas semanales en el segundo
cuatrimestre. En la primera se realizan actividades prácticas en pequeños grupos colaborativos
donde los alumnos tienen que reflexionar –con la ayuda del profesor– sobre contenidos o
problemas matemáticos y/o didácticos que se formalizan en la sesión teórica posterior, donde se
dan explicaciones en gran grupo y se realizan puestas en común sobre las actividades prácticas.
En cursos anteriores los resultados académicos han sido muy positivos (por ejemplo, 85%
superaron la asignatura en el curso 2014/15). Entre los cursos 2015/16 y 2016/17, tres profesores
del Departamento de Matemáticas han tomado parte en la enseñanza de esta asignatura.
PD se imparte se imparte en primer curso también en dos sesiones semanales, una de tres horas y
otra de dos horas. La metodología es participativa y colaborativa; los estudiantes preparan parte
de la clase ellos mismos a partir del material que se les proporciona o que ellos buscan –también
con la guía de la profesora. Las actividades incluyen presentaciones de los alumnos al resto de la
clase, discusiones sobre estudios de caso, o de documentos y videos que han debido leer o
visualizar previamente. Los resultados en cursos anteriores han sido similares a los de DG. Entre
320
los cursos 2015/16 y 2016/17, una profesora del Departamento de Psicología y Sociología ha
desarrollado toda la enseñanza de esta asignatura.
Los cuatro profesores involucrados en la docencia directa de estos grupos han trabajado de forma
coordinada con una profesora del Departamento de Filología Inglesa que imparte sus enseñanzas
en cuarto curso del Grado de Magisterio en Educación Infantil y en el Posgrado de CLIL e
innovación en el aula de inglés en Educación Primaria, enseñando cómo aplicar el enfoque CLIL
en diversos contextos educativos.
Concretamos a continuación la metodología desarrollada en algunas de las actividades
desarrolladas en este estudio:
a) Estudio cuantitativo previo a que los alumnos asistan a las asignaturas impartidas en inglés: Se
suministra una encuesta a los grupos 3 y 4 de primero, que cursan PD en inglés y castellano
respectivamente y a los grupos 3 y 1 de tercero, que cursan DG en inglés y castellano
respectivamente. En esta encuesta se pregunta sobre nivel de inglés, motivaciones a la hora de
elegir el idioma de la asignatura y puntos de vista sobre aspectos del enfoque CLIL. Se realiza en
febrero de 2016.
b) Estudio cuantitativo posterior a la enseñanza: Al final de curso, se suministra otra encuesta a
los grupos que asistieron a las asignaturas CLIL. En esta encuesta se pregunta sobre nivel de inglés
y opiniones sobre el enfoque CLIL para detectar cambios respecto a las percepciones previas a la
enseñanza. Se realiza en junio de 2016.
c) Estudio estadístico con SPSS de las calificaciones de los 4 grupos de DG para ver las diferencias
entre las medias del grupo en inglés y el resto. Se realiza en junio de 2016.
d) Comparación de realizaciones de alumnos en tareas relativas a la argumentación. Una de las
tareas de la asignatura en el curso 2016/17 es el análisis y producción de argumentaciones tanto
en DG como en PD. Se realiza un análisis inicial de las producciones de los alumnos de DG en
dos grupos en inglés y castellano. Se analizan las producciones de 12 parejas (grupo en inglés) y
20 parejas (castellano).
Resultados
a-b) Estudios pre y post-enseñanza:
-El interés en las asignaturas en inglés tiene que ver con un interés más general que profesional en
el idioma. El interés profesional es mayor en 3º que en 1º (22% vs 16%)
321
-Solo un 31% de los alumnos de las asignaturas en inglés tenían algún nivel de este idioma
acreditado, frente al 35% de los que cursaban las asignaturas en castellano. Tras este curso, los
alumnos consideraron que sus competencias en inglés han mejorado. Sobre todo las orales y
escritas (PD) y el uso académico del académico (DG y PD).
-De los alumnos que cursaban asignaturas en castellano por la mañana, un 39% no eligieron la
asignatura en inglés por el horario y un 32% por considerar bajo su nivel de idioma. Los alumnos
de asignaturas en castellano por la tarde, no eligieron la asignatura en inglés porque su prioridad
era aprobar (37%) o por su nivel de idioma (52%).
-Los estudiantes de las asignaturas en inglés mostraron diversos miedos respecto a las mismas:
hablar en público (PD) o el papel del profesor (DG). Al final del cuatrimestre, los miedos bajaron,
salvo el miedo al examen de DG. Los estudiantes mayoritariamente consideraron que era necesario
un nivel mínimo de idioma. Pese a estas dificultades iniciales, la mayoría recomendaría a sus
compañeros recibir estas asignaturas en inglés.
-Los alumnos que recibieron enseñanza CLIL mostraron una evolución en sus ideas acerca de la
impartición de asignaturas en inglés en Educación Primaria. Un 22% de los alumnos consideraban
previamente que sólo el inglés debía impartirse en inglés, un 46% al menos otra asignatura, y un
32% pensaba que todas las asignaturas debían ser impartidas en inglés. Estos porcentajes pasaron
a ser un 0%, 85% y un 15%, respectivamente, tras cursar las enseñanzas.
c) Estudio estadístico de las calificaciones en DG de los 4 grupos
Con ayuda del test t de SPSS, se realizó un análisis estadístico de los resultados del examen en los
cuatro grupos de DG. Los resultados muestran que los alumnos del grupo 3 (en inglés) obtienen,
como media, las mismas calificaciones que el grupo 4, ambos del turno de tarde. También se
aprecia que los grupos 3 y 4 obtienen peores calificaciones de media que los alumnos de los grupos
1 y 2, que corresponden al turno de mañana con un 90%-95% de significatividad respectivamente
(Pellicer-Ortín et al., 2016).
d) Comparación de realizaciones de alumnos en tareas de argumentación.
En el curso 2016/17 se ha desarrollado una secuencia de actividades acerca de la argumentación,
analizamos a continuación las dos primeras actividades, realizadas en la primera sesión del curso,
a modo de evaluación inicial.
Como primera actividad inicial, y con la finalidad de ver el nivel de partida de los estudiantes con
respecto de la argumentación, se propone la tarea de justificar una afirmación (ver anexos 1 y 2).
322
La afirmación en el grupo de castellano es generalmente conocida por los alumnos. Esto puede ser
un problema, ya que se encuentran con la tarea de justificar algo que dan por sentado, y porque
pueden confundir la caracterización que habitualmente conocen de ángulos suplementarios (que
suman 180º) con las características presentadas, que son en sí mismas una definición de un
concepto muy similar. En el grupo de inglés esta confusión no se da, dado que, por ejemplo, no
conocen previamente ninguna definición del concepto “linear pair of angles”. En el grupo de
inglés, las justificaciones se basan fuertemente en la exposición de ejemplos (Ver tabla 1). 7 de las
parejas analizan exclusivamente el caso particular en que los ángulos suplementarios son dos
ángulos de 90º, mientras que 3 analizaron un caso más general (dos ángulos suplementarios no
rectos), o el caso particular anterior y un caso general. Solo una pareja hace una justificación sin
necesitar dibujar un ejemplo. Encontramos una relación directa (estadísticamente significativa a
un nivel 90%) entre quienes han empleado al menos el ejemplo general y han desarrollado una
cierta justificación de la afirmación en el grupo de inglés. Por su parte, en el grupo de castellano,
las justificaciones o explicaciones también se basan fuertemente en la exposición de ejemplos. 3
de las parejas analizaron exclusivamente el caso particular en el que los ángulos suplementarios
son dos ángulos de 90º, mientras que 17 analizaron un caso más general (dos ángulos
suplementarios no rectos) o el caso particular anterior y un caso general. Solo una pareja hace una
explicación sin necesitar dibujar un ejemplo. Una pareja dibuja un esquema de ejemplo general
pero no escriben texto alguno, estos dos casos no consideramos que constituyan explicación ni
justificación en el sentido de Gamboa, Planas y Edo (2010).
Los casos en los que escriben algún texto, aunque sea en el dibujo (todos menos la pareja 2),
pueden verse a continuación:
Grupo inglés Grupo castellano
Expl. Justif. Total Expl. Justif. Total
Ejº. solo 90º-90º 6 1 7 (58%) 3 0 3 (14%)
Ejº. General 1 3 4 (33%) 11 7 18 (82%)
Sin ejemplo 0 1 1 (8 %) 1 0 1 (4%)
Total 7 (58%) 5 (42%) 15 (68%) 7 (32%) Tabla 1. Resultados actividad 1 en ambos grupos.
Consideramos que los alumnos que realizan exclusivamente un dibujo acompañado de notas o
indicaciones del significado de cada elemento están realizando una explicación no verbal –un
dibujo puede ser visto como un argumento de tipo descriptivo–.
323
Los alumnos de inglés parecen estar más preocupados por el lenguaje y explican/justifican
mediante un lenguaje verbal en todos los casos menos uno, mientras que en el grupo de castellano,
5 parejas no escriben ninguna frase fuera del dibujo a pesar de dibujar el ejemplo 90º-90º o el
ejemplo general.
Hay una gran diferencia entre los porcentajes de alumnos que emplean ejemplos generales en uno
y otro grupo (33% en inglés vs. 82% en castellano). Esto puede ser parcialmente debido a que los
alumnos de castellano recuerdan la apariencia gráfica de dos ángulos suplementarios y la plasman
en la resolución de sus tareas. La enseñanza en inglés podría estar eliminando parcialmente la
influencia de estos recuerdos en las actividades de argumentación. Asimismo, a pesar de ese mayor
porcentaje de alumnos empleando ejemplos generales, hay un mayor porcentaje de alumnos que
justifican en inglés (42%) que en castellano (32%). Esto, unido al resultado anterior relativo al
menor nivel académico de los alumnos de tarde, nos hace considerar que la enseñanza en inglés
puede tener el efecto de promover, en cierta manera, la necesidad de una mayor reflexión previa y
una actividad cognitiva más elevada, tanto a nivel lingüístico como de contenido, antes de escribir
las respuestas y dar una argumentación válida.
La segunda actividad del bloque inicial, realizada el mismo día que la primera, pide analizar una
justificación de un enunciado “Given any two angles, you can only draw one triangle” (ver anexos
3 y 4). El primer elemento a reseñar es que en la actividad se les presenta un enunciado falso. Así
pues, el primer elemento que analizaremos es si los alumnos consideran falso o verdadero el
enunciado. (V/F). Un segundo elemento es que se indica que para construir un triángulo se dibuja
el segundo ángulo “at the end of one of the angles”. Esta expresión trata de detectar si se conoce
el concepto de ángulo como región comprendida entre semirrectas. Analizaremos si los alumnos
detectan esta segunda falsedad. (S/N).El tercer elemento es el resultado, habitualmente conocido
por todos los alumnos, de que la suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Analizaremos
si los alumnos mencionan este resultado a la hora de analizar la justificación. (S/N). El cuarto
elemento es el estudio de la unicidad a partir del resultado único de la operación propuesta por el
resultado anterior. Discutiremos si los alumnos sienten necesidad de discutir si el resultado es
“único”. Concretamente si, los alumnos han considerado importante dibujar ejemplos para
comprobar si siempre obtenían el mismo resultado y justificaban así que éste fuera único, o bien,
si han hecho referencia explícita al hecho de que variando las longitudes de los lados se obtienen
324
otros triángulos. (S/N). Las parejas que solamente han dicho que “hay más triángulos” o “no hay
más triángulos” sin dar ninguna razón, las hemos etiquetado como ‘N’.
Grupo inglés Grupo castellano 1-Enunciado V: 7 (58%) F: 5 (42%) V: 17 (74%) F: 6 (26%)
2-“Extremo…” S: 0 (0%) N: 12 (100%) S: 0 (0%) N: 23 (100%)
3-Suma ángulos S: 9 (75 %) N: 3 (25%) S: 16 (70%) N: 7 (30%)
4-Unicidad S: 4 (33%) N: 8 (67%) S: 5 (22 %) N: 18 (78%)
Tabla 2. Resultados actividad 2 en ambos grupos.
La comparación entre ambos grupos (Tabla 2) mostró que el enunciado se califica como falso por
un porcentaje mucho mayor en el grupo en inglés. Ninguna pareja en ninguno de los dos grupos
detecta el error en la argumentación en el paso 2. Un porcentaje muy similar de parejas de ambos
grupos focaliza el análisis de la argumentación en el resultado que conocían del paso 3. Hay un
mayor porcentaje de alumnos que discuten la unicidad del resultado entre los alumnos de inglés.
Conclusiones
Teniendo en cuenta los datos obtenidos hasta el momento, la enseñanza CLIL en el Grado de
Magisterio en Primaria tiene efectos positivos en la visión de los alumnos respecto a la enseñanza
CLIL en los diferentes niveles de Educación Primaria.
Los resultados académicos en Didáctica de la Geometría de ambos grupos no son muy diferentes,
en particular no son peores por desarrollarse la enseñanza en inglés.
Los alumnos del grupo en inglés muestran mayor tendencia a reflexionar sobre aquello que van a
escribir, lo que redunda en mejoras en las actividades de argumentación. Relacionamos esto con
el hecho de que el realizar una serie de tareas que requieren de lógica matemática así como de
destrezas de pensamiento y habilidades comunicativas argumentativas obliga a los estudiantes a
llevar a cabo una reflexionar de una manera más profunda y significativa (Doyle, 2010).
En consecuencia, estos resultados corroboran las conclusiones de las investigaciones generales en
metodología CLIL, las cuales defienden que si este enfoque es correctamente introducido –
mediante un trabajo realizado con suficiente apoyo, colaborativo y entre iguales– no debería
impedir el aprendizaje (Ruiz de Zarobe, 2011); al contrario, CLIL debería mejorar la adquisición
del aprendizaje de la materia integrando el conocimiento de un modo global y permitiendo a los
alumnos ejercitar capacidades mentales de orden superior (Hanesova, 2014).
Agradecimientos
Trabajo financiado parcialmente por el PIIDUZ 16_305 de la Universidad de Zaragoza.
Referencias bibliográficas
325
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interpretaciones. Suma: Revista sobre Enseñanza y Aprendizaje de las Matemáticas, (64), 35-44.
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CLIL approach in higher Education: A collaborative small-scale experience a collaborative small-
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Hanesova, D. 2014. “Development of Critical and Creative Thinking Skills in CLIL”. Journal of
Language and Cultural Education, 2(2) 33-51.
Ruiz de Zarobe, Y. 2011. “Which Language competencies Benefit from CLIL? An Insight into
Applied Linguistic Research”, in Content and Foreign Language Integrated Learning. Y. Ruiz de
Zarobe, Sierra, J. and Gallardo del Puerto, F. (eds.) Berne: Peter Lang. 129-153.
ANEXOS A:
ENSEÑANZA DE LA DIDÁCTICA DE LA GEOMETRÍA Y PSICOLOGÍA EN INGLÉS
EN EL GRADO EN MAGISTERIO EN EDUCACIÓN PRIMARIA. UNA
INVESTIGACIÓN INTER-DEPARTAMENTAL.
Alberto Arnal-Bailera – Miguel Á. Marco-Buzunáriz – Silvia Pellicer Ortín – Lucía Tomás-
Aragonés– Elena Gil Clemente
[email protected] – [email protected] – [email protected] –[email protected] –
[email protected] Universidad de Zaragoza. España
Núcleo temático: VI. Matemáticas y su integración con otras áreas.
Modalidad: CB
Nivel educativo: Formación y actualización docente
Palabras clave: Didáctica de la Geometría, Psicología, CLIL, percepciones del alumnado
Anexo 1: Enunciados y resultados completos de la actividad 1 en inglés.
Grupo inglés 1A 1B 2A 2B 3A 3B 4A 4B 5A 5B 6A 6B
Solo ejemplo 90º-90º X X X X X X X
Ejemplo general X X X X
Explicación X X X X X X X
Justificación X X X X X
326
Anexo 2: Enunciados y resultados completos de la actividad 1 en castellano.
Grupo castellano 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Solo ejemplo 90º-90º X X X
Ejemplo General X X X X X X X X X X X X X X X X X X X
Explicación X X X X X X X X X X X X X X X
Justificación X X X X X X X
327
Anexo 3: Enunciado y resultados completos de la actividad 2 en inglés.
INGLÉS 1A 1B 2A 2B 3A 3B 4A 4B 5A 5B 6A 6B
1-Enunciado V V V F V F F V V F F V
2-“Extremo…” N N N N N N N N N N N N
3-Suma ángulos S S S N S S N S S S N N
4-Unicidad N N N N S S N N N N S S
328
Anexo 4: Enunciado y resultados completos de la actividad 2 en castellano.
1 programa de inclusión para la terminalidad de la educación secundaria y formación laboral para
jóvenes de 14 a 17
CASTELLANO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
1-Enunciado V V F F V V V F V V V V V F F V V F V V V V V
2-“Extremo…” N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N N
3-Suma ángulos S S N N S S S S S S S N N S S S S N S N S S N
4-Unicidad N N N N N N N S N N N N N N S N N S S S N N N
329
CB-276
UMA ATIVIDADE PRÁTICA INTERDISCIPLINAR POR MEIO DA MATEMÁTICA E
ASTRONOMIA
Flávio Borges do Nascimento 1 – Tatiane Xavier 2
[email protected] 1 – [email protected] 2
Programa de Pós-Graduação Multiunidades em Ensino de Ciências e Matemática-PECIM,
UNICAMP - BRASIL
Núcleo temático: As matemáticas e a sua integração com outras áreas.
Modalidade: Comunicação Breve (CB)
Nível educativo: Primário (6 a 11 anos)
Palavras chave: Matemática; Geografia; Relógio solar; Interdisciplinaridade
Resumo O trabalho apresenta uma experiência de aula desenvolvida interdisciplinarmente entre
Matemática e Geografia. Participam da atividade estudantes de 6º ano do ensino fundamental II,
privilegiando conteúdos de Matemática e Geografia interdisciplinarmente. O objetivo está
pautado em realizar atividades práticas astronômicas que visam auxiliar o processo de ensino e
aprendizagem em escolas públicas, no caso deste trabalho, a aprendizagem ocorre atravez da
confecção de relógios solares. Os materiais didáticos presentes no ensino público brasileiro têm
como característica a ausência de interdisciplinaridade e aprendizagem significativa. A
confecção do relógio solar, por meio da matemática e geografia, proporciona a formação
gradativa do conhecimento científico ao construir instrumentos para as capitais brasileiras. São
abordados os conceitos de, equinócio, solstício, rotação, translação, horário de verão, latitude,
longitude, medida, ângulo, distância, perpendicularidade, circunferência, triângulo, semelhança,
regra de três e trigonometria.
1. Introdução
Não se pode determinar exatamente quando e onde surgiu o primeiro relógio solar. A
humanidade começou a desenhar marcações em torno de uma haste, Gnômon, que em grego
significa relógio de sol, (BARRETO, 2001).
As unidades de tempo determinavam a passagem do tempo com relativa precisão. Com o
desenvolvimento da trigonometria pelos matemáticos gregos, as marcações que indicavam as
horas passaram a ser organizadas, não mais somente por meio da geometria, mas também com
aritmeticamente. Isso permitiu, ao longo dos séculos, o desenvolvimento dos mais sofisticados
relógios solares, (SOUZA et. al., 2003).
330
ROMANELLI( 1995) assevera que o ensino de astronomia no Brasil remonta do período
colonial e está diretamente ligado ao ensino empregado pelos jesuítas que eram membros da
Companhia de Jesus, fundada em 1534 por Inácio de Loyola.
O padre Manuel da Nobrega fundou a primeira escola primaria do Brasil na cidade de
Salvador, BA, em 1549, chamada “Escola de ler e Escrever”.
No Brasil a astronomia perdeu com o decreto de 1942 do Estado Novo, ao proporcionar
mudanças no ensino brasileiro, com isso, a astronomia deixou de ser disciplina específica do
currículo escolar, (LANGHI, NARDI, 2010). Os conteúdos de astronomia passaram a fazer parte
de disciplinas como ciências e geografia no ensino fundamental II, (GHIRALDELLI, 2006).
Por ser distribuida entre disciplinas a interdisciplinaridade é uma forma de se ensinar
astronomía. A interdisciplinaridade na visão de (FAZENDA, 2001), pode ser compreendida como
sendo um ato de troca, de reciprocidade entre as disciplinas ou ciências.
Alguns fatores têm maior relevância no diálogo interdisciplinar, a autonomia de cada
disciplina deve ser assegurada como condição fundamental, proporcionando harmonia em sua
relação com as demais disciplinas, (JAPIASSU, 1976).
A interdisciplinaridade pode ser definida como um ponto de cruzamento entre atividades,
sua relação não pode ser observada apenas como um trabalho de equipe, mas também como um
trabalho individual, (KLEIN,1990).
A tentativa de transformação de aspectos teóricos em atividades práticas é conceituada por
estudiosos como, aprendizagem significativa. De acordo com (GOWIN, 1981) aprendizagem
significativa depende da captação de significados, um processo que envolve uma negociação de
significados entre discente e docente.
Segundo (AUSUBEL,2000), aprendizagem significativa caracteriza-se pela interação entre
conhecimentos prévios e conhecimentos novos, essa interação é não-literal e não-arbitrária.
2. Procedimentos Metodológicos
Alguns materiais são necessários para realizar a experiência, dentre eles, cartolina branca ou
capa de caderno, tesoura ou estilete, transferidor, régua, esquadro, espetinho de churrasco para
atuar como gnômon, lápis, caneta, cola ou fita adesiva.
Não existe um Relógio de Sol que seja universal, logo, um instrumento solar que indique a
hora de forma precisa ser adequado ao local onde ele será instalado (MACHADO et al., 2013).
331
Para a confecção alguns conceitos são trabalhados. Em geografia são abordados, conceitos de
orientação geográfica, construção de rosa dos ventos, equinócio, solstício, movimentos da Terra,
como a rotação e translação, latitude e longitude, definição do meio dia exato, determinação exata
dos pontos cardeais. Em matemática são feitas experiências com tamanhos e direções de sombras,
determinação do meridiano local e dos pontos cardeais, medida, ângulo, distância, bissetriz,
perpendicularidade, circunferência, triângulo, semelhança, regra de três e trigonometria, cada tipo
de relógio necessita de conceitos distintos e aprofundamento específico em determinado conteúdo.
O movimento “aparentemente” do Sol tem duração aproximada de 24 horas, em um círculo
temos 360 graus, logo, dividindo 360 graus por 24 horas obtemos 15 graus para cada hora, ou seja,
o Sol aparentemente “gira” 15 graus em cada hora ao redor da Terra (SANTOS, 2005), assim, em
um modelo simplificado para o 6º ano, cada linha de hora distancia-se 15 graus uma das outras.
A latitude e a longitude do local a ser construído o relógio pode ser encontrada em um site
comum de busca, e assim, definir a inclinação ideal para se obter as horas corretamente, é
importante ressaltar que a leitura do relógio do Sol refere-se ao centro do fuso horário, no que se
refere ao caso da faixa atlântica brasileira, o centro do fuso situa-se à longitude de 45ºW.
É necessário aplicar uma correção para a longitude, caso o local onde está instalado o Relógio
de Sol não se situe exatamente sobre essa longitude. A correção será de 4 minutos por grau a leste
ou oeste de 45ºW. Em São Paulo, onde a longitude é de 46,6ºW, a correção a ser aplicada refere-
se à diferença entre esse valor e 45ºW, ou seja, 1,6º, este valor corresponde a 6,4 minutos, o
resultado pode ser adquirido a partir de uma simples cálculo matemático utilizando regra de três.
3. A experiência escolar
A confecção do relógio solar foi desenvolvida em uma escola municipal da cidade de Monte
Mor – SP. Onde o pesquisador é docente de geografia, a pesquisadora de matemática foi convidada
a implantar a experiência.
Desenvolvida com duas salas de sexto ano a experiência interdisciplinar iniciou na primeira
semana de aula do ano letivo.
Os estudantes não haviam estudado os conceitos teóricos nas disciplinas de geografia,
matemática. A construção do primeiro relógio solar ocorreu em sala, o instrumento deveria ser feito no
caderno. O objetivo dessa fase estava pautado em auxiliar os estudantes a compreender a metodologia de
confecção, conforme pode ser visto na figura 01 a e 01 b.
332
a b
Figura 01: Construção do primeiro relógio solar no caderno com transferidor.
A segunda fase de confecção iniciou com apresentação do relógio solar vertical. O docente
explicou como ocorreria a construção desse modelo. A informação mais importante foi também a
que gerou mais apreensão. Como calcular a latitude? O que é o ângulo de inclinação do
instrumento?
Nesta etapa, os estudantes montaram equipes e definiram a criação de instrumentos que
atendessem as regiões brasileiras. Para isso foi preciso encontrar a latitude e a longitude dos locais
desejados, para depois iniciar a construção do aparelho.
Os relógios começaram a ser confeccionados com o auxílio direto da docente de
matemática que auxiliou na assimilação dos graus, na construção de tipos simplificados de
triângulos, no cálculo das latitudes e principalmente como aplicar a correção da longitude. As
dificuldades apareceram no momento de construir o suporte se sustentação, espécie de triângulo
simplificado, com os graus correspondentes a cada local escolhido pelos estudantes. Algumas
incoerências foram observadas e podem ser visualizadas na figura 2a e 2b.
a b
Figura 02: Suporte de inclinação das latitudes, feitas com ângulos incorretos.
Um fator importante que os estudantes não compreenderam inicialmente, estava
relacionado a metodologia de confecção da inclinação do relógio vertical. Construíram uma
espécie de triangulo com a latitude exata do local, o correto seria fazer um triangulo com ângulo
333
de 90º e a partir deste, retirar o angulo correspondente a latitude do local desejado. No caso de São
Paulo, deve-se retirar aproximadamente 23º do triangulo feito contendo 90º, portanto, a base de
inclinação deverá ter aproximadamente 67º, assim o relógio estará inclinado em 23º apoiado em
uma base contendo 67º alinhado com o equador solar, conforme figura 3a e 3b.
a b
Figura 03: Relógio feito com latitude correta para as capitais da região nordeste.
4. Resultados e discussão
Com a confecção do primeiro instrumento solar, muitas dificuldades apareceram e 14
incoerências diferentes foram contabilizados pelos docentes, a maior parte está diretamente
relacionada a ausência de conhecimento quanto ao uso do transferidor nos anos iniciais, conforme
pode ser visto na tabela 01.
Principais problemas apresentados Hipótese de causas possíveis
01 Estudantes que não sabiam qual a utilidade de um transferidor e alguns não sabiam que aquele instrumento recebia esse nome.
Ausência de utilização transferidor nas séries iniciais,
pois na atualidade o uso do equipamento ocorre somente
no 6º ano do ensino fundamental.
Nestes caso os conteúdos de astronomia estão distribuídos
em duas disciplinas, geografia e ciências, tais conceitos necessitam do uso do
transferidor nos primeiros meses do ano, no caso das
escolas em questão o transferidor é utilizado na
matemática apenas nos últimos meses do ano, ou seja, não
estão organizados para serem trabalhados
interdisciplinarmente proporcionando aos estudantes
02 Dificuldade em utilizar e consequentemente construir o relógio com o transferidor de 360º
03 Utilização da parte interna do transferidor para construir o relógio.
04 Realizaram as marcações utilizando a distância de 5 em 5 graus, quando deveria ser de 15 em 15º
05 Erros ao somar e realizar marcações de 15 em 15 graus
06 Erro no momento de escrever as horas, colocaram em graus quando deveriam ter colocado horas, mesmo com o modelo na lousa.
07 Não conseguiram encontrar o centro do transferidor
08 Relógios com marcações de 24horas feitos com transferidor de 360º
09 Ao marcar as horas pularam horas de 3 horas foi para seis horas
10 Relógio construído com horário invertido, 6 horas para o leste e 18 horas para o oeste quando construíram a face sul
11 Números das horas feitos ao contrário, de cabeça para baixo
12 Determinação do ponto central do transferidor para direita e para esquerda, gerando a marcação das horas incorretas.
334
13 Determinação da parte central no meio do relógio, gerando marcações incorretas.
conhecimentos soltos não havendo conexão entre as
disciplinas e consequentemente não havendo aprendizagem
significativa.
14 Relógio construído para funcionar em por 14 horas faltando linha de marcação das horas.
Tabela 01: Erros ocorridos durante a confecção do relógio solar horizontal.
Uma das hipóteses possíveis relaciona-se aos conceitos de ângulos e atividades manuais com
uso de transferidor, não serem realizadas no ensino fundamental I. Os materiais adotados pelo
ensino fundamental I e ensino fundamental II podem ser considerados conteudista, não havendo
propostas de trabalhos com projetos, experiências interdisciplinares ou atividades alternativas para
aprofundamento como forma de proporcionar um significado ao estudante.
Os estudantes responderam uma pergunta a respeito da confecção do instrumento solar. A
pergunta foi respondida por 90 participantes e a grande maioria dos estudantes posicionou-se
positivamente a construção do relógio solar como ferramenta de auxílio na compreensão do
processo de ensino aprendizagem matemático, conforme figura 4.
Figura 04: Gráfico com resultados obtidos por meio de pergunta aos estudantes.
No total 68 alunos responderam que o instrumento astronômico ajudou na compreensão dos
conceitos abordados, pois, eles identificaram um significado perante a conhecimentos teóricos.
Observaram uma possibilidade de terem aulas de forma diferente e principalmente, exercitar de
forma prática os conceitos apresentados em sala. Responderam parcialmente 22 estudantes, pode-
se interpretar esse dado como sendo de alunos que apresentam pouca familiaridade e dificuldades
com construções manuais ou até mesmo com a astronomia. Por fim, nenhum estudante respondeu
que o relógio não ajudou no entendimento da Matemática e geografia.
Após a análise das respostas, uma questão surgiu. Quais conceitos foram melhor
compreendidos a partir da confecção do instrumento em geografia e em matemática? Este
questionamento foi levado aos estudantes, os dados podem ser observados na figura 5a e 5b.
Series10
100
sim parcialmente não
6822 0
A construção dos instrumentos ajudou a entender os conteúdos de Matemática e Geografia?
335
a b
Figura 05: Respostas obtidas por meio de questionário aos estudantes.
Os 90 estudantes que participaram da experiência responderam as perguntas, constatando que
para 50%, a experiência auxiliou e proporcionou um melhor entendimento do conceito de latitude
e longitude seguidos de rotação com 33% e pontos cardeais com 22% das respostas, para a
Matemática a maior parte dos estudantes informou que o relógio auxiliou no entendimento de
Graus e triângulo seguidos respectivamente de circunferência e perpendicularidade.
A hipótese para tais resultados pode estar relacionada a dois fatores. O primeiro a
aprendizagem significativa vivenciada com a facção de um instrumento astronómico. A segunda,
está relacionada a interdisciplinaridade, pois o estudante aplica um mesmo conceito em duas
disciplinas.
Após a aplicação da atividade, ocorreu um momento de debate e troca de experiências, o
estudante do 6º A da afirmou. “não foi tão difícil quanto parecia e o mais legal é ver onde a matemática
e a geografia podem ser utilizadas, gostei muito e quero construir outros relógios e já ensinei para os
meus pais”.
Foi solicitada a opinião da professora efetiva de matemática a respeito da construção do
instrumento e também foi solicitado um retorno a respeito da aplicação da atividade. Os
pesquisadores queriam saber se a experiência foi positiva, se contribuiu de alguma forma no
processo de aprendizagem dos estudantes.
Sou professora a 16 anos e nunca havia trabalhado
interdisciplinarmente com geografia e principalmente com astronomia,
pois não tenho essa habilidade e competência. No momento em que
solicitei aos estudantes para trazerem o transferidor eles retiraram da
bolsa e afirmaram que já conheciam, então pedi para me explicarem
seu funcionamento e eles explicaram me mostrando como encontrar a
latitude de um local, para mim, ficou evidente que uma atividade
45
3015
1
Quais conteúdos Geográficos a construção do relógio ajudou a
entender
Latitude e LongitudeRotaçãoPontos Cardeais
35
19 15 21
1
Quais conteúdos Matemáticos construção do relógio ajudou a
entender
Graus Circunferência
Perpendicularidade Triângulo
336
prática faz toda a diferença, nenhum aluno me perguntou, para que
serve isso? Pois todos sabiam qual a utilidade, eu adorei.
O término da atividade ocorreu com em um dia ensolarado onde foram realizados os testes
práticos. O professor sugeriu a seus estudantes que cotidianamente observem os fenômenos
astronômicos, como o movimento aparente do sol descrevendo arcos em um plano perpendicular
ao eixo terrestre, explicou também que o momento de maior utilização dos aparelhos ocorreu
durante a Idade Média, muitas catedrais e igrejas regulavam o momento das missas utilizando o
relógio solar. Com a criação de relógios mecânicos, os relógios solares tornaram-se obsoletos e
hoje é muito comum vê-los em praças públicas e museus astronômicos.
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Souza, A. I. E. et al. (2011). O Ensino de Astronomia: Revivendo o projeto Céu. São Paulo:
Sociedade Brasileira de Física.
338
CB-277
EL CINE COMO HERRAMIENTA DIDÁCTICA PARA APRENDER MATEMÁTICA
Jmena Fernández – Luciana Olesker– Fernando Espantoso
[email protected] – [email protected]– [email protected]
Núcleo temático: Recursos para la enseñanza y el aprendizaje de la matemática.
Modalidad: CB
Nivel educativo: Medio o secundario (12 a 15 años)
Palabras clave: Cine, matemática, eduacación.
Resumo En el ámbito educativo, en general, se prioriza el lenguaje escrito sobre el visual. Sin embargo,
los materiales audiovisuales vienen tomando una importancia superlativa en el ámbito educativo.
Consideramos que el lenguaje escrito es muy importante, pues es fundamental para que el
estudiante acceda a la cultura en general y al mundo académico en particular. Sin desmedro de
ello, lo visual tiene una importancia creciente en el mundo que nos rodea, y esto tiene que hacer
eco en el aula. La educación es parte de esta sociedad que está cada vez más influida por el
lenguaje visual, y debe preparar al estudiante para que éste pueda vivir críticamente en ella.
Consideramos que ver una película tiene mucho valor y vigencia, nos enriquece como personas,
nos hace más críticos, nos ofrece vivencias y puntos de vista diferentes. Esto es lo que queremos
llevar al aula. Evidentemente trasciende a la clase de matemática, pero no queremos que nos sea
ajeno, por eso desde hace algunos años nos hemos propuesto trabajar con películas en el aula.
En esta charla presentaremos dos actividades basadas en escenas de películas comerciales, con
el objetivo de compartir nuestra experiencia con el cine en la clase de matemática.
Así como la imprenta fue una revolución para nuestra cultura, la invención del cine también lo fue.
Contar historias en una pantalla, lograr que nos podamos reflejar en ella, ver los problemas “desde
fuera”, para hacer catarsis, para reflexionar o simplemente para divertirnos fue, desde nuestro
punto de vista, revolucionario.
Consideramos que ver una película tiene mucho valor y vigencia, ver películas nos enriquece como
personas, nos hace más críticos, nos ofrece vivencias y puntos de vista diferentes. Esto es lo que
queremos llevar al aula y a nuestros estudiantes. Evidentemente trasciende a la clase de
matemática, pero no queremos que nos sea ajeno y por eso desde hace algunos años nos hemos
propuesto trabajar con películas en el aula.
La matemática no es pura y objetiva, diversos hechos de su historia evidencian que lo que sucedió
y sucede con la matemática tiene vínculos con el contexto social y cultural de la época donde
emerge. En general, la matemática se presenta en la enseñanza media desligada de toda su historia,
339
desprendida de toda su carga cultural. Creemos que es necesario revertir esta situación, para
mostrar a una matemática más verdadera, más humana y así seguramente más cercana a nuestros
estudiantes. La relación de la matemática con el arte ha sido abordada de formas muy interesantes,
por ejemplo su relación con la pintura y la arquitectura es de las más estudiadas. Creemos que la
matemática tanto objeto cultural, está presente en las manifestaciones artísticas, el cine es un caso
particular de ello.
También nos gustaría aportar desde nuestra aula, aunque mal no sea mínimamente, a educar el ojo
cinematográfico del estudiante, que comprenda mejor el lenguaje cinematográfico.
No somos expertos en cine, simplemente somos amantes del séptimo arte y creemos que trabajar
con ellas en el aula puede traer impacto en los procesos de enseñanza – aprendizaje que tienen
lugar en la enseñanza media. Hemos realizado algunas actividades en el aula con películas que
nos parece que pueden ser interesantes para compartir y discutir con nuestros colegas.
La idea no es trabajar con materiales audiovisuales diseñados exclusivamente para la educación,
ni para la enseñanzade la matemática en particular, si no con películas comerciales. Tampoco
pretendimos trabajar con escenas aisladas como único objeto de der un contexto motivacional, que
por cierto sí que lo es. Pretendemos trabajar con la película en su totalidad, motivar a los
estudiantes a que investiguen los aspectos más relevantes de su ficha técnica, a que la miren en su
totalidad, a que reflexiones sobre su trama, sobre su desenlace etc. Por eso es que las actividades
que planteamos abarcan la enseñanza de un contenido matemático pero van más allá de eso.
Las razones por las que elegimos estas películas son variadas. Primero por un gusto nuestro por
ellas, en segundo lugar porque detectamos que hay un contenido matemático que se puede trabajar
con ellas y finalmente porque creemos que lo que allí se plantea pone en juego la reflexión y la
crítica de los estudiantes acerca de situaciones de la sociedad en que viven.
A continuación presentaremos dos actividades a modo de ejemplo de esta herramienta didáctica.
Estas actividades no están acabadas, son totalmente perfectibles y están abiertas a la discusión. La
estructura con la que son diseñadas las actividades consta de tres partes. Una primer parte de
búsqueda de información previa a ver la película, una segunda parte que se realiza en clase luego
de ver un fragmento de la película, y una tercera parte, posterior al trabajo en clase, en la que se
pide a los estudiantes que terminen de ver la película y respondan unas preguntas con el objetivo
de reflexionar sobre los temas que aborda la película.
Actividad 1
340
Esta primer actividad está basada en la película “Cadena de favores” (“Pay it foward” (2000)). Y
tiene como objetivo trabajar el tema función exponencial en un curso de 4to año de enseñanza
media (Estudiantes de 15 o 16 años aproximadamente). A continuación detallamos el desarrollo
de la secuencia didáctica.
Parte 1. Ficha técnica de la película Cadena de favores
En esta primer parte se les solicita a los estudiantes que realicen una búsqueda de información
sobre la película con la que se va a atrabajar. Esta primera parte debe de realizarse antes de la
instancia es que se verá la película en clase. Los estudiantes deben investigar características
técnicas de la película, como ser el título original, el nombre del director, el país de origen, el año
en que fue realizada, la duración de la película, los nombres de los protagonistas y una breve
sinopsis de la misma.
El objetivo de esta primer parte es sentar las bases del trabajo que se va a realizar. Consideramos
que la instancia de ver una película con un fin educativo es distinta a la de ver una película con un
fin puramente recreativo. Si bien, como ya mencionamos, el mirar una película en clase ofrece un
importante contexto motivacional, nuestra intención es que este tipo de trabajo no quede solamente
en ello, y pensamos que es importante para que el alumno considere a la película como un recurso
con el que va a trabajar, que deba informase sobre las características de la película que va a ver.
Para pararse frente a ella con una perspectiva más “formal” que el simple hecho de mirarla.
Parte 2.Cuestionario a partir del segmento visto de “Cadena de favores”
Esta segunda parte es realizada en clase y comienza con la visualización de los primeros 30
minutos de la película aproximadamente. En este segmento de la misma se presentan a los
personajes principales de la película y se plantea la situación con la que nos interesa trabajar
“matemáticamente”. En la escena a la que nos referimos, el protagonista de la película (Trevor)
cuenta a su profesor y sus compañeros de clase su plan para contribuir a mejorar el mundo. Su idea
cosiste en realizar una cadena de favores. Es decir, Trevor hará un favor atres personas diferentes
o sea, hará tres favores, uno a cada persona, sin pedirles nada a cambio para él. Lo único que les
pedirá es que cada una de esas tres personas haga tres favores más a tres personas diferentes (un
favor a cada persona), pidiéndoles que continúen haciendo tres favores cada una.
341
Luego de ver este segmento se divide a los estudiantes en pequeños equipos y se les entrega el
siguiente cuestionario:
1) Explica con tus palabras el procedimiento mediante el cual se realiza la cadena de favores.
Ayúdate realizando el esquema que realiza Trevor en la película.
2) Se estima que cada persona demora 1 día en hacer los tres favores que implica la cadena.
El primer día Trevor hace tres favores, ¿Cuántos favores se hicieron en el segundo día?, ¿y
el tercer día?, ¿y el 5to día?, ¿y el 10mo día?
3) Si llamamos xa los días que han pasado desde que se comenzó la cadena, ¿Puedes encontrar
una expresión que te permita calcular la cantidad de favores que se realizaron el día x?
4) Trevor vive en una ciudad en las afueras de Las Vegas. Si la población de la ciudad de Las
Vegas es 583 756 habitantes. ¿Aproximadamente cuántos días tienen que haber
transcurrido para que en un mismo día la cantidad de favores que se realizan sea igual a la
cantidad de habitantes de Las Vegas?
5) En la escena final aproximadamente de 9800 personas fueron a agradecerle a Trevor, pues
gracias a que él inició la cadena de favores ellos recibieron uno. ¿Cuántos días luego de
iniciada la cadena fue esto?
En esta segunda parte, se ponen en juego los conceptos matemáticos a trabajar. El objetivo es que
los estudiantes utilicen un modelo exponencial para la situación, y que trabajen con él para poder
hallar las respuestas a las preguntas. En ciertos casos podrán recurrir al concepto de logaritmo
como operación inversa de la potencia.
La idea es que los estudiantes trabajen en pequeños subgrupos discutiendo las respuestas a las
preguntas, para luego hacer una puesta en común entre todo el grupo.
Parte 3.Reflexiones en torno a la película “Cadena de favores”
Está última parte se realiza como tarea domiciliaria, que puede ser tanto individual como grupal.
Se pide a los estudiantes que terminen de ver la película en su totalidad y que respondan al
cuestionario basándose en lo que vieron en la película y a sus reflexiones personales.
1. Describe el tema central de la película.
2. ¿Qué problemáticas se están representado en la película? ¿Te parece que son problemáticas
presentes en nuestra sociedad? ¿Cómo se tratan estos problemas en nuestra sociedad?
342
3. ¿Conoces una idea o propuesta cuyo objetivo sea mejorar la sociedad? Si es así explica en
qué consiste. ¿Piensas que estas propuestas que conoces han tenido o tiene éxito? ¿Por qué?
4. ¿Qué valores se ponen en juego en la película?
Como mencionamos anteriormente, las películas pueden dar lugar a reflexionar sobre cuestiones
muy diversas, más allá del trabajo en la clase de matemática, que pueden ser muy enriquecedoras
para la formación integral de los estudiantes. Está última parte aporta a esta reflexión.
Actividad 2
Esta actividad está basada en la película “Alicia en el país de las maravillas” (“Alice in
wonderland” (2010)). Y tiene como objetivo trabajar con funciones de primer grado y funciones
racionales, en un curso de 4to año de enseñanza media (estudiantes de 15 o 16 años
aproximadamente). A continuación detallamos el desarrollo de la secuencia didáctica.
Parte 1. Ficha técnica de la película Alicia en el país de las maravillas.
En esta primer parte, al igual que en la primer parte de la actividad anterior, se les solicita a los
estudiantes que realicen una búsqueda de información sobre la película con la que se va a atrabajar.
Los puntos que se pretenden que investiguen y los objetivos de esta investigación ya los
mencionamos en la actividad anterior.
Parte 2.Cuestionario a partir del segmento visto de “Alicia en el país de las maravillas”
Esta es la parte a realizar en clase. Se comienzan mirando los primeros 30 minutos de la película.
En este segmento de la película se presenta a la protagonista (Alicia), y se ven las situaciones en
las que ella se encuentra. Además de la escena que nos interesa en particular para esta actividad.
Luego de que Alicia cae por un pozo, se encuentra frente a un líquido que reduce su estatura a
medida que va tomando sorbos del mismo. En base a esta situación es que planteamos esta parte
de la actividad.
A) Contesta las siguientes preguntas luego de ver el fragmento de “Alicia en el país de las
maravillas”
1) Explica con tus palabras qué le sucede a Alicia cuando cae por el pozo.
343
2) La estatura de Alicia es 1,50 m, sabemos que al tomar el líquido Alicia reduce su estatura
a 25 cm. ¿Cuántas veces se reduce la estatura de Alicia?
3) Si tú tomas una dosis del líquido ¿Cuál sería aproximadamente tu nueva estatura?
4) Completa la siguiente tabla:
Estatura
original
(cm)
120 130 140 160 170 200
Estatura
luego del
líquido
(cm)
25 30
5) Grafica los resultados obtenidos en la parte anterior.
6) Encuentra una expresión que permita encontrar la estatura de una persona luego de tomar
el líquido en función de su estatura original.
B) Por lo trabajado en la parte anterior sabemos que al tomar un sorbo del líquido la estatura
de Alicia pasa de 150cm y 25cm. A continuación se te da una expresión que te permitirá
encontrar la estatura de Alicia en función de la cantidad de sorbos que tome del líquido:
sh
6
150 donde s es la cantidad de sorbos ( 1s ) y h es la nueva estatura.
Completa la tabla y luego grafica
s 1 2 3 4 5 6 7 8
h
¿Qué sucede a medida que Alicia toma mayor cantidad de sorbos?
Esta actividad está dividida en dos partes. En la parte A, los estudiantes deben reconocer la relación
entre las alturas de una persona al tomar el líquido, trabajar con esa relación y modelizar la
situación a través de una expresión de primer grado. En la parte B, los estudiantes deberán trabajar
con una expresión racional e interpretar los resultados obtenidos.
Parte 3.Reflexiones en torno a la película“Alicia en el país de las maravillas”
Al igual que en la actividad anterior, esta parte se realizará como tarea domiciliaria y apunta a
reflexionar sobre el mensaje que nos deja la película.
344
1. La historia que cuenta la película se desarrolla en el siglo XIX. ¿Qué es posible ver en la
película sobre el papel de la mujer en la sociedad de esa época?
2. Alicia fue cuestionada por varios personajes sobre quién era, y cada vez esta pregunta la
molestaba más, y esto era porque no sabía que contestar. ¿Qué cosas consideras que definen
a una persona? ¡Qué cosas consideras que te definen a ti?
3. Al final de la película Alicia vuelve al mundo real y logra tomar una decisión que en un
principio no pudo hacer. ¿Qué piensas que aprendió Alicia en su viaje por el país de las
maravillas que la ayudó a tomar esa decisión?
Esta actividad, por tratarse de una película moderna basada en dos libros muy famosos de Lewis
Carroll, puede ser complementada y enriquecida por el trabajo con dichos libros. Hay una extensa
bibliografía dedicada al trabajo con los libros de Lewis Carroll, por lo que pensamos que hay
muchas opciones para continuar con el trabajo presentado en esta actividad.
Referencias bibliográficas
Oliveira B. Abuchaim de, Cláudia Neli. Resenha de: "Como usar o cinema na sala de aula" de
Marcos Napolitano. EccoS Revista Científica [en linea] 2003, 5 (junho): [Fecha de consulta: 1 de
enero de 2017] Disponible en:<http://9www.redalyc.org/articulo.oa?id=71550112> ISSN
1517-1949
SorandoJ.M. (2004). Matemáticas… de cine. Revista Suma, 47, 83-92.
Viana, M. C. V. (2006). Historia de las matemáticas (HM) con cine. En G. Martínez
Sierra (Ed), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa 19, 577-583.
México: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa.
Viana, M.C.V. (2013). El profesor va al cine y la clase de matemática también. Actas del VII
CIBEM. ISSN 2301-0797
345
CB-278
IMPLEMENTACIÓN DE LAS TIC EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS DE
NIVEL UNIVERSITARIO.
María Eugenia Navarrete Sánchez – Ángela Rebeca Garcés Rodríguez – Sergio Alberto Rosalío
Piña Granja
[email protected] – [email protected] – [email protected]
Instituto Tecnológico de San Luis Potosí, México
Núcleo temático: Recursos para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.
Modalidad: CB, Comunicación Breve.
Nivel educativo: Terciario-universitario.
Palabras clave: plataforma digital, cálculo diferencial.
Resumen Se presenta el resultado de la investigación “Eficacia de un entorno virtual en el aprendizaje de
las matemáticas”, realizada en el Instituto Tecnológico de San Luis Potosí (ITSLP), escuela del
Tecnológico Nacional de México, la que aborda la implementación de las TIC en la enseñanza de
las matemáticas de nivel superior.
A partir del semestre Agosto-Diciembre de 2015 la Academia de Ciencias Básicas del ITSLP,
acordó utilizar MyMathLab, un entorno virtual de aprendizaje conformado por un sistema de
tareas, tutoriales y evaluaciones en línea de la editorial Pearson Educación, como apoyo a las
clases presenciales en la asignatura de Cálculo Diferencial de las carreras de ingeniería.
Se compararon las calificaciones promedio de los docentes en la encuesta al desempeño docente
en las competencias relacionadas con el uso de las TIC, antes y después de utilizar MyMathLab,
apreciándose un incremento con una diferencia significativa.
Se indagó sobre el nivel de satisfacción del uso del entorno virtual de aprendizaje entre los
estudiantes y docentes, cuyas respuestas a la encuesta aplicada muestran el grado de satisfacción
que tienen respecto al uso de la plataforma.
Introducción.
La Organización de las Naciones Unidas para la Educación, la Ciencia y la Cultura (UNESCO,
1998), señala la importancia de hacer uso de las Tecnologías de la Información y la Comunicación
(TIC) en el aula de una manera eficiente, sin embargo su uso en el proceso de aprendizaje no ha
sido siempre exitoso, pues ello depende de cómo y para qué las emplee el docente (Bonaveri,
Blanco, Calvo y Cepeda, 2015).
346
En las instituciones de educación superior el objetivo de utilizar las TIC en la docencia consiste
en mejorar la calidad del proceso de enseñanza y aprendizaje y aprovechar el potencial de la
tecnología (Hernández, García-Muñoz y Navarrete, 2015).
Sin embargo los docentes se resisten a utilizarlas, pues ello representa múltiples implicaciones
didácticas, aunque reconocen los beneficios de hacerlo tal como reportan Arriaga y Espinosa
(2015):
Los docentes reconocen que el empleo de las TIC hace que su trabajo sea más eficaz, más
interesante y más dinámico…y algunos piensan que utilizar las TIC influye positivamente
en algunas actividades como son el autoaprendizaje, la organización del trabajo académico,
la relación con otros docentes y con los alumnos, y el manejo de información. También
influencian fuertemente la autogestión del aprendizaje, la administración del trabajo
docente, la interacción social y el aspecto informático (p.91).
Según la OCDE (2015) la tecnología es la mejor manera de ampliar el acceso al conocimiento de
manera significativa, sin embargo se requiere buscar alternativas eficaces para integrarla en el
proceso de enseñanza y aprendizaje, por lo que a partir del semestre Agosto-Diciembre de 2015 la
Academia de Ciencias Básicas del ITSLP, acordó utilizar un entorno virtual de aprendizaje
(MyMathLab) desarrollado por Pearson Education que brinda a los estudiantes la oportunidad de
practicar, obtener retroalimentación inmediata y calificaciones automáticas.
En este entorno los estudiantes pueden realizar la tarea, contestar pruebas, tener acceso al libro de
texto en formato electrónico y utilizar ayudas, como ver ejemplos resueltos o solicitar una guía
paso a paso para resolver los ejercicios.
El uso de un entorno virtual es una estrategia con la que se espera mejorar los puntajes de las
calificaciones de los docentes que imparten la asignatura de Cálculo Diferencial, en las categorías
relacionadas con el uso de las TIC, en la Encuesta al Desempeño Docente que se aplica en el
ITSLP.
Metodología.
En el presente artículo se presenta el resultado de la investigación de tipo Mixta.
Cuantitativamente, se probó la hipótesis de que existe una diferencia significativa entre
las calificaciones de los docentes en las competencias “Tecnologías de la información y la
347
comunicación” y “Ambientes de aprendizaje” de la encuesta al desempeño docente por parte del
alumno, antes y después de usar el entorno virtual. Cualitativamente, se conoció la percepción
de los docentes y los estudiantes sobre el impacto que el uso del entorno virtual tuvo en el
aprendizaje.
El entorno virtual se utilizó como complemento a la clase presencial y tradicional en la asignatura
de Cálculo Diferencial, los estudiantes realizaron de 4 a 5 tareas en cada una de las cinco unidades
de aprendizaje que conforman el programa de estudios de dicha asignatura. En cada tarea los
estudiantes tuvieron hasta 3 intentos para obtener la respuesta correcta y acceso a las ayudas como:
“Ver un ejemplo”, “Ayúdame a resolverlo” y “Ver el libro de texto”. También respondieron a un
pre-examen, que se aplicó dos días antes del examen de cada unidad, en él, los estudiantes debieron
responder correctamente al primer intento y no tuvieron acceso a las ayudas.
Cada unidad de aprendizaje se evaluó de la siguiente manera:
60% examen,
20% tareas realizadas en el entorno virtual mymathlab,
10% pre-examen realizado en el entorno virtual mymathlab,
10% actividad de aprendizaje.
Para lograr los objetivos planteados se utilizaron los siguientes instrumentos:
1. La Encuesta al Desempeño Docente por parte del alumno, instrumento que pretende
verificar el avance de los profesores en el dominio de las competencias docentes necesarias
para la apropiada implementación en el aula del enfoque por competencias profesionales.
2. Dos encuestas sobre la plataforma MyMathLab, con la intención de conocer la percepción
sobre el impacto que el uso de la plataforma tuvo en el aprendizaje, una para docentes y
otra para estudiantes.
a. Encuesta al desempeño docente por parte del alumno.
En el ITSLP, los estudiantes evalúan cada semestre a los profesores con la Encuesta al
Desempeño Docente, en la que califican doce competencias entre las que se encuentran:
- “Diseño de ambientes de aprendizaje”, que se refiere a la capacidad del docente para crear
ambientes, espacios y climas donde los estudiantes aprenden con eficacia y gusto.
348
- “Tecnologías de la información y de la comunicación”, para evaluar si el docente integra, con
responsabilidad, el uso intensivo de las tecnologías de la información y de la comunicación en
el proceso de aprendizaje.
Para realizar el estudio se seleccionó un grupo de 9 profesores que impartieron la asignatura
de Cálculo Diferencial en el semestre Agosto-Diciembre 2014, cuando no se utilizaba el
entorno virtual, y se realizó un estudio longitudinal comparando los indicadores de las dos
competencias mencionadas con los resultados obtenidos en el semestre Agosto-Diciembre
2016, después de tres semestres consecutivos de utilizar la plataforma, por lo que se empleó la
prueba t de Student para muestras relacionadas y el paquete estadístico SPSS Statistics Version
22.
b. Encuesta sobre la plataforma MyMathLab para estudiantes.
Se realizó en Google Forms, con reactivos tipo escala Likert de cinco puntos, se aplicó en la
semana del 14 al 18 de noviembre de 2016 y fue contestada por 807 estudiantes, que
representan el 70%, de los 1147 que cursaron la asignatura de Cálculo Diferencial en el
semestre Agosto-Diciembre del 2016.
La encuesta fue contestada por 548 hombres y 259 mujeres, el 70% de los estudiantes tenían
entre 17 y 19 años de edad, 74% cursaban la asignatura por primera vez, 83% emplearon una
computadora propia para utilizar el entorno virtual y el 79% afirmó que consultó las ayudas
que ofrece la plataforma para realizar las tareas.
c. Encuesta sobre la plataforma MyMathLab para docentes.
Se diseñó con reactivos tipo escala Likert de cinco puntos, se aplicó el 19 de noviembre del
2016 y se entregó personalmente a cada uno de los quince profesores que impartieron la
asignatura de Cálculo Diferencial y utilizaron el entorno virtual en el semestre Agosto-
Diciembre 2016. Trece docentes, es decir el 87%, devolvieron la encuesta contestada.
El 61% de los profesores tienen entre 30 y 39 años de edad, 38% son mujeres, 15% tienen un
doctorado en educación y 15% tienen un doctorado en ciencias aplicadas.
Para definir la validez de los instrumentos participaron tres docentes quienes revisaron que el
contenido y formato de los reactivos recogieran la información de interés pretendida, en función
del objetivo de la investigación, y que las preguntas y las respuestas fueran relevantes y claras.
349
Resultados.
Para probar la hipótesis, primero se comprobó la normalidad mediante la prueba de Shapiro-Wilk,
posteriormente se realizó la prueba t de Student para muestras relacionadas con un nivel de
significancia, α = 5%, obteniendo los resultados presentados en la Tabla 1. Los valores de la
variable amb-apr-2014 corresponden a las calificaciones promedio de los docentes en la
competencia “Diseño de ambientes de aprendizaje” en el semestre Agosto-Diciembre 2014,
mientras que los valores de la variable amb-apr-2016 corresponden a las calificaciones del
semestre Agosto-Diciembre 2016. Y los valores de las variables tic-2014 y tic-2016 corresponden
a las calificaciones promedio de los docentes en la competencia “Tecnologías de la información y
de la comunicación” del semestre Agosto-Diciembre 2014 y Agosto-Diciembre 2016,
respectivamente.
La Gráfica 1 muestra los resultados a las preguntas comunes en las encuestas aplicadas a docentes
y estudiantes. Las preguntas se refieren al impacto que tiene en los estudiantes el uso del entorno
virtual.
En promedio, el 63% de los estudiantes y el 54% de los docentes están de acuerdo con que a los
estudiantes les gusta usar la plataforma; el 79% de los estudiantes y el 62% de los docentes están
de acuerdo en que conocer la calificación de las tareas les permite a los estudiantes identificar sus
errores, lo que se considera como una fortaleza del entorno virtual y el 69% de los estudiantes y el
46% de los docentes, están de acuerdo en que conocer la calificación de las tareas motiva a los
estudiantes a seguir estudiando.
Los profesores aprovechan el potencial del entorno virtual principalmente para realizar la gestión
administrativa del trabajo docente y en menor proporción para detectar problemas de aprendizaje
y trabajar con los estudiantes para superar dicha situación, como puede verse en las gráficas 2 y 3.
La Gráfica 2, permite apreciar que en promedio el 85% de los docentes están de acuerdo en que
usar la plataforma les facilita la revisión de las tareas y la gestión de las calificaciones, mientras
que el 77% considera que la plataforma es fácil de usar.
La Gráfica 3, muestra que en promedio el 43% de los docentes están de acuerdo en que usan el
entorno virtual para obtener un panorama general del aprendizaje y detectar los temas con los que
los estudiantes tienen problemas de aprendizaje, y solamente el 15% lo usa para diseñar planes de
estudio personalizados para los estudiantes.
350
Tabla 1. Resultados de la prueba t de Student para muestras relacionadas
Diferencias emparejadas
t gl
Sig.
(bilateral) Media
Desviación
estándar
Media de
error
estándar
95% de intervalo de
confianza de la diferencia
Inferior Superior
Par
1
amb-apr -2014 –
amb-apr -2016 -0.20667 0.29841 0.09947 -0.43605 0.02271 -2.078 8 0.071
Par
2
tic-2014 –
tic-2016 -0.32111 0.28454 0.09485 -0.53983 -0.10240 -3.386 8 0.010
Gráfica 1. Opiniones de docentes y estudiantes sobre el entorno virtual.
Gráfica 2. Gestión administrativa del trabajo docente.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
Les gusta usar la plataforma
Usar la plataforma les ayuda a entender el tema
Usar la plataforma les ayuda a mejorar su
calificación
Conocer la calificación de las tareas les motiva a
seguir estudiando
Conocer la calificación de las tareas les permite
identificar sus errores
Contestar el pre-examen les ayuda a mejorar la
calificación de la unidad
Porcentaje
A los estudiantes...
Estudiantes Docentes
351
Gráfica 3. Gestión académica del trabajo docente.
Conclusiones.
De acuerdo a los resultados de la Tabla 1, se concluye que:
- No existe una diferencia significativa (t(9) = -2.078 p = .071) entre las calificaciones promedio de
la competencia docente “Ambientes de aprendizaje” antes de usar la plataforma ( �̅� = 3.907, SD
= 0.474 ) y después de utilizarla ( �̅� = 4.114, SD = 0.244 ).
- Existe una diferencia significativa (t(9) = -3.386, p = .010) entre las calificaciones promedio de la
competencia docente “Tecnologías de la información y la comunicación” antes de usar la
plataforma ( �̅� = 4.055, SD = 0.339 ) y después de utilizarla ( �̅� = 4.376, SD = 0.160 ). Por lo que el
uso del entrono virtual si tiene efectos significativos sobre las calificaciones de los docentes, pues
se aprecia que los docentes incrementaron su calificación de 4.055 a 4.376.
0% 20% 40% 60% 80% 100%
Es fácil de usar
Facilita la revisión de las tareas
Facilita la gestión de las calificaciones
Los docentes consideran que la plataforma...
Totalmente de acuerdo De acuerdo Indeciso En desacuerdo Totalmente en desacuerdo
Porcentaje
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90%100%
Obtener un panorama general del aprendizaje de
mis estudiantes
Diseñar planes de estudio personalizados para
mis estudiantes
Detectar los temas con los que mis estudiantes
tienen problemas de aprendizaje
Los docentes usan la plataforma para...
Totalmente de acuerdo De acuerdo Indeciso En desacuerdo Totalmente en desacuerdo
Porcentaje
352
El análisis de los resultados de las encuestas permite a los autores afirmar que después de tres
semestres consecutivos de usar el entorno virtual, se esperaría que su aceptación fuese mayor, sin
embargo consideran que su uso ha tenido un impacto positivo.
Los autores concluyen que el entorno virtual ofrece un potencial en la gestión académica del
trabajo docente que no está siendo considerado por la mayoría de los profesores, lo que
probablemente incrementaría el grado de satisfacción de su uso.
Dado que se cuenta con una percepción cualitativa del impacto del entorno virtual, como trabajo
a futuro se realizará un análisis cuantitativo para comprobar si su uso tiene un efecto significativo
en los promedios de las calificaciones obtenidas por los estudiantes en la asignatura de Cálculo
Diferencial antes y después de utilizar el entorno virtual.
Referencias bibliográficas
Arriaga, F.J. & Espinosa, A. (2015) Las prácticas didácticas relacionadas con las tic: percepción
de los docentes universitarios. En Santillán (coord.), Investigaciones, estrategias y medios
en la práctica educativa, pp. 80-96. México: Centro de estudios e investigaciones.
Bonaveri, P., Blanco, L. ,Calvo, M. & Cepeda, G. ( 2015) The Use of Computers and Technology
Increase Student Achievement and Improve Attitude. Escenarios, 13 (2), 114-134.
Hernández, G., García-Muñoz, C., y Navarrete, M.C. (2015). Aprender a enseñar con las tic; caso:
profesores universitarios. En Santillán (coord.) Investigaciones, estrategias y medios en la
práctica educativa, pp. 97-105. México: Centro de estudios e investigaciones.
ITSLP (2015). Programa Institucional de Innovación y Desarrollo 2013-2018. México:Autor.
OECD (2015). Students, computers and learning: Making the connection. OECD: Publishing.
UNESCO (1998). Declaración mundial sobre la educación superior en el siglo XXI: visión y
acción.
http://www.unesco.org/education/educprog/wche/declaration_spa.htm.
Consultado 15/03/2015.
353
CB-279
FOTO-EDUCACIÓN MATEMÁTICA: DEJEMOS QUE LAS FOTOGRAFÍAS ENTREN
EN NUESTRAS AULAS
Roser Codina Pascual [email protected] Carme
Burgués Flamarich [email protected]
Facultat d’ Educació. Universitat de Barcelona, Spain
Núcleo temático: V. Recursos para la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
Modalidad: Comunicación Breve
Nivel educativo: Formación y actualización docente.
Palabras clave: Conexiones matemática y realidad, fotografía matemática, formación del
profesorado.
Resumen
En esta comunicación pretendemos dar a conocer actividades que implican el uso de imágenes en
clase de matemáticas. Nuestro objetivo es potenciar la comprensión de las ideas matemáticas que
contienen y su aplicación a contextos reales. Esta conexión adquiere una mayor relevancia en la
actual interpretación competencial del aprendizaje matemático que conlleva el uso autónomo de
las matemáticas en situaciones de todo tipo en el entorno vivencial. La capacidad de ver
matemáticas en las fotografías se puede y se debe entrenar. Las tareas que proponemos han sido
experimentadas con alumnos de Formación del Profesorado de Educación Primaria y son
adecuadas asimismo para alumnos de Educación Secundaria e incluso de Primaria. Nuestras
experiencias nos han hecho reflexionar sobre el uso que podíamos hacer de este recurso en la
formación de maestros. En este sentido se ofrecerán algunos resultados de la investigación en
curso sobre la capacidad de los alumnos de maestro de identificar conceptos y relaciones
matemáticas en las fotografías.
Introducción
La fotografía es en la actualidad un modo de comunicación que ha superado todas las expectativas
previsibles. Parecería, pues, que el grado de pericia en la interpretación de las imágenes seria
mayor de lo que realmente es. Al aforismo popular de que “una imagen vale más que mil palabras”
habría que responder con un “Depende …” pero ¿De qué depende? (Depende. Jarabe de Palo,
1998). Estudiar factores de los que depende la habilidad de leer informaciones de todo tipo en una
imagen fotográfica, es un tema de estudio en ciencias de la comunicación con el objetivo de
promoverla y, en gran manera, de influir-la. Especialistas en fotografía ya anunciaron la necesidad
354
de educar esta habilidad, como el fotógrafo L.D. Brown (1942-2012) “Tal vez la habilidad más
importante en fotografía es aprender lo que las imágenes revelan”.
Un objetivo del aprendizaje matemático es la capacidad para aplicar las matemáticas a la realidad,
por ello la fotografía, que capta un momento y un lugar concretos, puede contribuir a educar la
capacidad de “ver” matemáticas en contextos cotidianos. Para ello hay que motivar el gusto por
detectar matemáticas, es decir, que ponerse las gafas matemáticas se convierta en una actitud. Esta
capacidad puede aprenderse y debe ser educada, forma parte de lo que ha dado en llamarse la foto-
educación matemática.
El objetivo esencial es mirar la realidad y descubrir las matemáticas que contiene, así como las
que se pueden usar para saber más sobre la misma. Estamos de acuerdo con la fotógrafa americana
Dorothea Lange (1895-1965) en que “La cámara fotográfica es un instrumento que enseña a la
gente como mirar sin una cámara”.
Para tratar de educar esta habilidad hemos llevado a cabo un buen número de experiencias con
alumnos de formación de profesorado de Educación Primaria que nos han hecho reflexionar sobre
el uso que podíamos hacer de este recurso para la formación matemática y didáctica de maestros.
Las actividades que hemos llevado a cabo implican esencialmente aprendizaje y profundización
de conceptos y relaciones matemáticas.
Creemos que las actividades con imágenes fotográficas deben integrarse de modo natural con otros
recursos. Se pueden usar imágenes en todos los temas curriculares, especialmente en geometría.
En todas las actividades que proponemos, las imágenes pueden tener su origen en los bancos
gratuitos de la red o bien ser obra de los alumnos. Hemos visto que en el primer caso se producen
interesantes debates matemáticos sobre si la imagen recoge o no, o en qué medida, la idea
matemática que se intenta expresar. Y en el segundo caso, la búsqueda o el diseño del escenario
conlleva discutir sobre el significado que se le da al concepto y como podría ser formulado en
imágenes. Ambas posibilidades tienen gran interés, especialmente si se discute en grupo y se
contrastan pareceres. Nuestro alumnado, en general, tiende a hacer sus fotos. No aplicamos ningún
programa de modificación de las imágenes, priorizamos la “realidad”.
En todas las actividades llevadas a cabo en nuestras experiencias, se precisa realizar una lectura
355
matemática de la imagen. Diríamos que se trata de una actividad básica. Por ejemplo:
Casa Vicens, Gaudí. Barcelona.
Dada una fotografía, se trata de reconocer
conceptos o relaciones matemáticas. En este caso
rectángulos, cuadrados, descomposición de
polígonos e isometrías.
También descubrir la disección de los cuadrados en
4 rectángulos y un cuadrado que tiene como base
una subdivisión de 3x3 cuadrados iguales. Así cada
rectángulo equivale a dos cuadrados.
La práctica de la lectura matemática debe empezar por la tarea del docente, no siempre fácil, de
encontrar o hacer una foto con muchas posibilidades de detectar ideas matemáticas. Analizarla
detenidamente, testarla antes con un compañero que se preste a ello y, luego, proponerla a los
alumnos. Antes de tareas más grupales o individuales es mejor practicar con todo el grupo clase,
discutiendo lo que hay de matemáticas en la foto, lo que se puede deducir, lo que no se muestra,
etc.
Saber ver las matemáticas que contiene una imagen es una acción compleja que resulta necesaria
en todas las tareas que proponemos. No es forzoso plantearla aislada puesto que sabemos que está
contenida en cualquiera de las otras actividades.
Nuestro empeño ha sido diseñar una colección de actividades con planteamientos diversos,
poniendo énfasis en aspectos complementarios. Siempre con la idea de profundizar conceptos o
relaciones matemáticas. A continuación, pasamos a describir otros escenarios en los que usar las
imágenes fotográficas en el aprendizaje matemático.
Ilustrar un concepto o una relación con imágenes que muestren distintos significados
356
¿Qué concepto se percibe en estas dos
imágenes?
¿En qué se diferencian?
El cilindro aparece en las dos fotografías y la diferencia está en el método de obtención. En la
primera se observa una banda enrollada entorno a un eje mientras que en la segunda aparece la
forma de una hélice circular. La banda de tela realiza giros en los que el radio va aumentando y se
obtiene un cilindro compacto que sugiere la idea de volumen. La hélice es una banda que describe
simultáneamente un giro de radio constante y una traslación. En este caso, el cilindro resultante
sugiere la idea de superficie lateral.
El tipo de actividad que comentamos presenta dificultades, porque habitualmente, al estudiar un
concepto se le asigna un único significado y en consecuencia no se plantea la posibilidad de
descubrirlo en situaciones diferentes. Lo mismo sucede con las relaciones. También se puede
plantear la tarea de buscar o realizar dos fotos que representen la misma propiedad indicando que
en una de ellas la propiedad se visualice en el plano y en la otra en figuras tridimensionales.
Ejemplos pueden ser el paralelismo, la perpendicularidad y la simetría.
Figura y alguna de sus propiedades contenidas en una misma imagen
Ejemplo del trabajo de un grupo de alumnas: Visualización de la imposibilidad del desarrollo plano de una esfera. Aparecen los husos esféricos tangentes.
Esta actividad nos sirve para visualizar una propiedad relativa a una figura geométrica a partir de
una fotografía. Se puede partir de una imagen dada o bien que ellos deban elegir la figura y la
propiedad, proporcionando la fotografía que las plasme. Esta tarea es de mayor complejidad,
para facilitarla se sugieren algunos temas: métodos de obtención de poliedros, métodos para
obtener cuerpos de revolución, relaciones entre poliedros y cuerpos redondos, desarrollos planos,
357
secciones, propiedades métricas (áreas, volúmenes), tipos de figuras: prismas oblicuos, troncos
de cono, simetría, etc.
Ilustrar un eslogan o lema matemático y viceversa
¿Qué frase propondría para caracterizar la idea
matemática más sobresaliente en esta fotografía?
En la imagen se pueden ver montones de sombreros vietnamitas de diferentes tallas. Tienen forma
cónica y encajan perfectamente con independencia de su tamaño. Esto es debido a que el ángulo
tridimensional o ángulo sólido es coincidente. Por lo tanto, se trata de conos homotéticos o
proporcionales según su posición.
Cuando se proponga una actividad como ésta debe darse tiempo, no solo para buscar o diseñar la
imagen sino, más importante aún, para discutir la idoneidad de la misma y en qué sentido expresa
la idea matemática que contiene el lema. Para favorecer el aprendizaje y compartir conocimiento,
debe posibilitarse el debate sobre si la fotografía expresa la idea propuesta. Para ello, puede
organizarse una presentación de las diversas imágenes que cada grupo tiene sobre su eslogan. El
resto de alumnos y el docente intervienen para criticar, matizar, proponer cambios o ayudar a elegir
la mejor imagen de las que se están barajando.
Proponer y resolver problemas
358
¿Qué problemas puede proponer a
partir de esta imagen?
Ejemplo: ¿Cuántos rotuladores caben
en el panel?
Resolver alguno de los planteados,
explicando que información contenida
en la imagen se ha tenido en cuenta.
El interés o la complejidad de los problemas dependerá, en general, de su experiencia. Al principio
los enunciados suelen ser preguntas simples de respuesta directa, después son series de preguntas
donde, si hay suerte, la última suele ser la más interesante. Por nuestra experiencia en este tipo de
actividades, hay dos cosas que favorecen un mayor nivel: empezar por plantear preguntas -
problema sobre fotografías muy ricas en contenido matemático y provocar preguntas interesantes
en formato de debate de todo el grupo ante una fotografía con potencial. Una variante más
compleja de esta actividad es pedir que planteen problemas a partir de una fotografía elegida por
ellos. A la dificultad de hacer preguntas se une la de encontrar una imagen adecuada. Se insiste en
imágenes que sean auto - contenidas, es decir, que la información necesaria sea explícita en ellas.
En el caso de futuros maestros o profesores de secundaria, esta variante tiene un marcado carácter
didáctico si se pide como propuesta de actividad para una clase determinada.
En general, los futuros docentes eligen fotografías ricas e interesantes para la resolución de
problemas. Aunque parezca mentira, la dificultad está en aprovechar las posibilidades de la
fotografía. Ante este hecho, visto repetidamente, hemos optado por prolongar esta actividad con
la que hemos llamado “La repregunta”. Después de revisar lo que entregan los alumnos y, previa
discusión entre nosotras, retornamos la tarea añadiendo una pregunta específica para cada imagen
359
que los alumnos deben resolver. Nuestro objetivo es, sobretodo, hacer ver las posibilidades
inadvertidas. También provocar métodos de resolución que no son frecuentes en sus trabajos, como
resoluciones gráficas, por listas, usando patrones o regularidades, etc.
Poner problemas a partir de fotografías es una actividad que puede iniciarse desde la Educación
Primaria. Detectar matemáticas contenidas en la imagen no es el objetivo específico, plantear
preguntas que se puedan responder usando las matemáticas si que lo es. Como decía Albert
Einstein “La formulación del problema es a menudo más importante que su solución, que puede
ser simplemente una cuestión de habilidad matemática o experimental”.
Secuenciar procesos geométricos
¿Cómo representar un proceso mediante fotografías de modo que un observador comprenda como
se ha realizado sin la ayuda de textos descriptivos? En esta propuesta se plantea comunicar un
proceso mediante imágenes, de manera que se facilite su comprensión y sea reproducible. El
proceso puede ser aritmético, de medida o geométrico.
En este último ámbito exponemos un ejemplo de proceso de construcción llevado a
término en un grupo de futuros maestros: Generación de figuras a partir de descomposiciones
modulares del cubo. En concreto se planteó diseñar una secuencia de 4 o 5 fotografías que mostrara
el proceso seguido para formar una figura con los 8 módulos.
Las fotografías deben mostrar los “momentos clave” para entender y ser capaces de reproducir el
proceso. Es interesante señalar que las fotografías en esta actividad no son el centro de la misma,
sino una parte de un trabajo mucho más completo.
Algunos resultados de la investigación
360
En la investigación en curso sobre las posibilidades del uso de la fotografía en la formación de
maestros de Educación Primaria, hemos visto que, cuando se facilitan las fotografías los alumnos
son capaces de identificar los conceptos que aparecen tanto explícitos como implícitos. Presenta
más dificultades la identificación de relaciones, especialmente las no evidentes. Cuando la imagen
es propuesta por los mismos estudiantes en respuesta a una demanda concreta, aparecen
dificultades en la identificación de conceptos, posiblemente por errores conceptuales propios.
En general se observa una buena predisposición a realizar actividades que impliquen el uso de
imágenes y voluntad de buscar o realizar fotografías que cumplan las condiciones demandadas.
No obstante, se constata que el aprovechamiento del potencial de las imágenes depende del nivel
de conocimiento matemático de quien las propone.
La mayoría de imágenes que realizan los alumnos se ubican en espacios cotidianos. Este hecho
potencia el mensaje de que estamos rodeados de matemáticas, lo que hay que hacer es descubrirlas.
Esto tiene relevancia en el contexto de formación de maestros de Primaria, potenciales generadores
de actividades matemáticas escolares.
Para terminar, H.C. Bresson dice” Es una ilusión que las fotos son hechas por la cámara, … son
hechas con los ojos, con el corazón y la cabeza”. Para nosotras el hecho de diseñar actividades
usando fotografías forma parte de nuestro aprendizaje de enseñar matemáticas y lo hacemos
usando los ojos, la cabeza y el corazón.
Bibliografía
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361
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m
Problem pictures http://www.problempictures.co.uk
362
CB-281
ENSINO DE MATEMÁTICA E TECNOLOGIA: CONCEPÇÕES REVELADAS POR
PROFESSORES QUANDO RELATAM SUAS PRÁTICAS18
Maria Ivete Basniak – Everton José Goldoni Estevam – Sani de Carvalho Rutz da Silva
[email protected] – [email protected] - [email protected]
UNESPAR/Brasil - UNESPAR/Brasil – UTFPR/Brasil
Núcleo temático: Formação de Professores de Matemáticas.
Modalidade: CB
Nível educativo: Formação e atualização de ensino
Palavras chave: Ensino de Matemática, Tecnologia, Prática de professores.
Resumo Admitindo que discussões sobre tecnologias na educação perpassam reflexões sobre o ensinar e
o aprender, este trabalho objetiva investigar por que professores que ensinam Matemática não
integram tecnologias à sua prática pedagógica de Matemática. Para tanto, estudos teóricos foram
associados a questionários respondidos por oito professores de Matemática da Educação Básica
e seis pós-graduandos, na busca por identificar as concepções de tecnologia e de matemática
reveladas por esses profissionais quando relatam suas práticas. Quanto à Matemática, Caraça
(1998) aponta duas concepções: ciência pronta e acabada; e ciência construída a partir das
necessidades do homem. Quanto à tecnologia, Vieira Pinto (2005) destaca quatro acepções: como
a própria técnica; epistemologia da técnica; conjunto de todas as técnicas de que dispõe uma
determinada sociedade; e ideologização da técnica. Os resultados preliminares da análise dos
questionários apontam que o uso que se faz da tecnologia está intimamente relacionado à
concepção que se tem da matemática e da tecnologia. As práticas relatadas refletem uma visão
tecnicista da matemática que se associa ao uso da tecnologia restrito à técnica, em detrimento de
reflexões pedagógicas críticas. Assim, a integração das tecnologias implica uma ressignificação
das concepções dos professores acerca da Matemática e do ensino de matemática.
Introdução
Na realização deste estudo partimos da hipótese de que o uso que se faz da tecnologia nas
aulas de matemática está intimamente relacionado à concepção que se tem da matemática e da
tecnologia. Portanto, discutimos neste trabalho por que os professores que ensinam Matemática
ainda não integram tecnologias à sua prática pedagógica.
18 Este estudo integra o projeto de pesquisa “Análise de tarefas como prática para (res)significação de conhecimentos
profissionais de professores de matemática”, financiado pela Fundação Araucária e os estudos realizados pelo
GETIEM na linha Tecnologias na Educação.
363
Assim, debatemos teoricamente de forma breve diferentes concepções de tecnologia e de
Matemática para, posteriormente, problematizarmos respostas de professores de Matemática e
alunos de um curso de Mestrado em ensino de Matemática e tecnologias a um questionário, as
quais revelam sua(s) concepção(ões) acerca da tecnologia e da matemática, bem como, o modo
com estas são refletidas em sua prática pedagógica.
Concepções acerca da Tecnologia e da Matemática
Vieira Pinto (2005) destaca quatro acepções que sublinham diferentes relações da
tecnologia com a técnica: como a própria técnica; epistemologia da técnica; conjunto de todas as
técnicas de que dispõe uma determinada sociedade; e ideologização da técnica. Corroboramos com
o autor e pautamos nossa compreensão de tecnologia na última definição por entendê-la enquanto
processo de apropriação dos recursos já conhecidos para desenvolver novos elementos, com
potencial para transformar e/ou interferir na realidade presente. Nesse mesmo sentido,
compreendemos a educação como processo de apropriação cultural que não pode e não deve ser
desvinculada da interferência que a tecnologia exerce na sociedade. Dessa forma, consideramos
que tecnologia e educação possuem relação estreita, uma vez que compreendemos que ambas são
processos e, assim, estão em constante mutação, de forma que a ampliação de uma interfere direta
e indiretamente no desenvolvimento da outra.
Assim, o que nos define como humanos possui singular relação com os instrumentos que
desenvolvemos ao longo de nossa evolução, com a capacidade de nos comunicarmos, com as
técnicas que empregamos no desenvolvimento das tecnologias (D’Ambrosio, 2003; Vieira Pinto,
2005; Feenberg, 2004).
É inegável também o quanto a Matemática interfere no desenvolvimento de tecnologias
e vice-versa, de maneira que grande parte do desenvolvimento da Matemática Moderna foi
possibilitada pelo desenvolvimento de tecnologias que libertaram os humanos de cálculos
enfadonhos e cansativos, de modo que pudessem empregar a mente para pensar e desenvolver
Matemática. D’Ambrosio (2003) denuncia que precisamos evoluir nossas aulas de matemática
nesse sentido, uma vez que:
As pesquisas recentes sobre primatologia nos indicam que chipanzés têm significativa
capacidade numérica. Será uma espécie que, eventualmente, poderá nos alcançar na capacidade
de fazer contas? Não há indicações que se encaminham para desenvolver a criatividade das
explicações, da transcendência, das artes e das religiões, mas poderão ser treinados para
364
aprender a fazer contas. Será correto treinarmos nossas crianças para esse mesmo aprendizado,
quando nossas crianças dispõem da tecnologia que as liberta dessa rotina mecânica?
(D’Ambrosio, 2003, p.7).
A partir do exposto, compreendemos que as tecnologias devem permear os processos de
ensino e de aprendizagem da Matemática contribuindo para superar dificuldades, tanto na
Educação Básica quanto no Ensino Superior. Embora isso seja o que se espera do trabalho do
professor atualmente, não é o que se concretiza normalmente. De acordo com Simonian (2009, p.
62), referenciando Sancho (2006), o que tem acontecido é que os professores adaptam as novas
tecnologias à forma como acreditam que ocorre a aprendizagem dos alunos, preservando a velha
metodologia utilizada em suas aulas. Assim, ao invés de aproveitarem as possibilidades que as
tecnologias digitais oferecem para modificar seu método de trabalho em sala de aula, o que ocorre,
normalmente, é a adaptação do uso dessas tecnologias à prática preponderante em sala de aula,
não trazendo grandes mudanças à sua ação pedagógica.
D’Ambrosio (2003, p. 11) denuncia que “a distribuição desequilibrada das riquezas
naturais, da população e dos meios financeiros, todas associadas e interdependentes, tem como
resposta a busca de estratégias para manutenção de privilégios de determinados grupos”. E, nesse
sentido, a educação configura-se como a “estratégia mais eficaz para esse fim”.
Por meio de um discurso de acesso aos menos favorecidos e avaliações de ranqueamento,
que objetivam unicamente manter o poder e status do grupo dominante, nos vemos reféns de
sistemas de avaliação uniformes “associados a promessas e recompensas profissionais, [que]
escondem o objetivo de cooptação embutido nos sistemas educacionais” (D’Ambrosio, 2003, p.
11).
Como alternativa para rompermos com esse ciclo, D’Ambrosio (2003) aponta a educação
crítica, a partir das ideias de Paulo Freire, que repercutiram na Etnomatemática e no movimento,
iniciado por Marilyn Frankenstein e Arthur J. Powell, denominado "Critical Math Education".
Tais alternativas requerem mudanças em relação à concepção que se tem da matemática.
Caraça (1998) aponta duas possibilidades: como ciência pronta e acabada; e como ciência
construída a partir das necessidades do homem. Embora o estudo da história da Matemática nos
revele a Matemática construída historicamente, o ensino da Matemática ainda hoje ocorre por um
processo tecnicista de reprodução, que prioriza resolução de exercícios repetitivos em detrimento
de práticas que privilegiam o raciocínio, a investigação e a agência dos alunos em meio a seu
365
processo de aprendizagem. Assim, como revela D’Ambrosio (2003, p. 12), o saber Matemática
requer competências que não são expressas em provas e exames tradicionais:
Portanto, ao aplicar testes, provas e exames tradicionais, o resultado não pode ser satisfatório.
O que se pergunta nessas avaliações não é objeto do novo conceito de habilidades. Os
resultados, por vezes desastrosos, são inevitáveis, pois pouco significam para esse novo
conceito. Lamentavelmente, tem um caráter de sagrado! Se um aluno não vai bem nessas
avaliações, rejeita-se a nova pedagogia, mas não se pensa em adequar as avaliações a ela. Esse
é o maior obstáculo à inovação.
Particularmente com relação à matemática, esses estudos comparativos têm no Second
International Mathematics Studies/SIMS, que levou cerca de 10 anos entre sua concepção,
condução e conclusões parciais.
Bem sabemos que recursos tecnológicos, que não caneta e papel, são excluídos dos
processos avaliativos, pois sequer ferramentas de desenho (compasso, transferidor) têm uso
permitido em testes de desempenho. Os livros didáticos e técnicos de matemática também
apresentam a matemática estática, em que os conceitos se desencadeiam de forma ordenada, linear
e lógica. Assim, integrar tecnologias à prática pedagógica requer uma mudança de concepção da
Matemática, superando aquela que a concebe como ciência pronta e acabada. Como esclarece
Papert, citado por D’Ambrosio (2003, p. 1), "o que se requer é uma mudança profunda sobre como
pensar a educação. Assim, tecnologia não é a solução, é somente um instrumento. Mas embora
tecnologia não produza automaticamente uma boa educação, a falta de tecnologia garante
automaticamente uma má educação".
Aspectos Contextuais e Metodológicos
A fim de verificar a hipótese de que os professores não utilizam tecnologias digitais em
suas aulas para ensinar, mesmo quando acreditam que o estejam fazendo, analisamos questionários
respondidos por oito professores da Educação Básica, de um município do interior do estado do
Paraná, Brasil, e seis alunos pós-graduandos, todos professores da Educação Básica. Essas
respostas foram, portanto, associadas aos aspectos teóricos, discutidos na seção anterior, com o
intuito de identificar as concepções de tecnologia e de matemática reveladas por esses profissionais
quando relatam suas práticas.
As questões que objetivaram compreender a concepção da matemática e do ensino da matemática dos
professores, bem como o uso que fazem das tecnologias digitais em suas aulas, compreendem as apresentadas no
366
questionário do Quadro 1, cujas respostas dos professores foram fonte de análise neste trabalho19. Estas são
discutidas na próxima seção, sendo os nomes omitidos para garantir sua confidencialidade, estando identificados
por Professor seguido de uma letra que se refere à ordenação no questionário.
Quadro 1. Questões que compõem as análises deste trabalho
1. Você utiliza Tecnologias Digitais em suas aulas?
( ) Sempre ( ) Às vezes ( ) Nunca
2. O que te leva a utilizar (ou não) Tecnologias Digitais em suas aulas?
Caso não utilize, vá para a questão 7.
4. Você utiliza Tecnologias Digitais em suas aulas para ensinar novos conteúdos? Em caso afirmativo descreva uma
situação em que você utilizou Tecnologias Digitais com este objetivo.
5. Você utiliza Tecnologias Digitais em suas aulas para mostrar aplicações/representações de elementos matemáticos?
Em caso afirmativo descreva uma situação em que você utilizou Tecnologias Digitais com este objetivo.
6. Você utiliza Tecnologias Digitais em suas aulas para fixar o conteúdo ensinado anteriormente? Em caso afirmativo
descreva uma situação em que você utilizou Tecnologias Digitais com este objetivo.
Fonte: Os autores, 2016.
Práticas e concepções reveladas pelos professores
As respostas ao questionário mostram que os professores trabalham a matemática de forma
tradicional, mesmo quando utilizam tecnologia. A resposta do Professor A sobre o que o leva a
utilizar (ou não) tecnologias digitais em suas aulas, revela isso: “Para um maior entendimento do
conteúdo já trabalhado de forma tradicional, onde as aulas se tornam mais lúdicas e práticas. No
meu ponto de vista, essas tecnologias também ajudam o professor a se aprofundar em conteúdos
que não ficam muito claros ao serem representados em sala, como áreas de figuras”.
Isso implica que o ensinar e o aprender ocorrem de “forma tradicional”, e a tecnologia é
utilizada para complementar o que não ficou claro, não provocando qualquer mudança de natureza
didático-pedagógica.
Quando arguidos quanto ao uso de tecnologias digitais para ensinar novos conteúdos, e
provocados a descrever uma situação (em caso de utilização) em que utilizaram tecnologias
digitais com este objetivo, observamos que a visão de ensinar utilizando tecnologias aparece de
forma equivocada. As respostas dos professores remetem ao uso de tecnologias para verificação
de cálculos, como indicado pelo Professor B: “Para o estudo das funções trigonométricas e
ângulos, utilizando software para análise gráfica e animação para veracidade dos cálculos
realizados durante a aula, como forma de fortalecer e auxiliar no entendimento do assunto, onde
num 1º momento trabalhou-se com geoplano circular, em seguida realizado cálculos e resolução
19 Algumas questões, 3, 7, 8, 9, 10 e 11 foram omitidas por não serem fonte de análise neste
trabalho.
367
de exercícios durante a aula; então para fechamento, num 2º momento, foi utilizado o software no
laboratório de informática do colégio”. Ou ainda como meio para modernizar suas aulas, que
continuam sendo desenvolvidas de forma tradicional: “Utilizo as tecnologias digitais em sala de
aula sempre que possível com o intuito de levar a modernidade para as aulas tirando o peso de
uma aula tradicional, bem como para chamar a atenção dos alunos e, de certa forma, interagir
melhor com o contexto tecnológico que eles estão inseridos. Além de facilitar o entendimento e o
trabalho em sala de aula” (Professor C). Este professor, ao ser questionado sobre uma
circunstância que descreva situação semelhante, refere: “Ao dar a introdução de um novo conteúdo
já utilizei vídeos, imagens e a própria calculadora, antes de demonstrar a teoria. Por exemplo,
antes de ensinar o plano cartesiano para uma turma de 8º ano, os alunos jogaram online (jogo
gratuito disponível na internet) batalha naval, jogo que se aproxima do conteúdo plano cartesiano
por tratar de localização” (Professor C).
A situação referida pelo Professor C, supostamente descrevendo uma situação de utilização
de tecnologia para ensinar um conteúdo, revela que a utilização da tecnologia não foi planejada
com fins pedagógicos, visando à aprendizagem, mas como forma de motivação a introdução ao
conteúdo.
A utilização das tecnologias digitais também é evidenciada para ilustrar conteúdos, como
forma de visualização: “Utilizo sempre que necessário, quando a abordagem de algum conteúdo
exige a utilização de tecnologias digitais, também para aprimorar algum conceito, para que os
alunos possam visualizar melhor algo que não seja possível através de desenhos e imagens de
livros” (Professor D). Embora o professor refira demandas decorrentes da própria natureza do
conteúdo, isso não é esclarecido, e as considerações apresentadas em seguida sugerem que o papel
desempenhado pela tecnologia envolve a representação (melhor visualização), por vezes dinâmica,
de aspectos envolvendo conceitos e ideias matemáticas, mas não esclarece em que a tecnologia
auxilia ou por que ela colabora.
Verificamos ainda que a teoria parece não ser possível de ser discutida a partir de
tecnologias digitais, sendo que as respostas dos professores denotam um distanciamento entre a
introdução do conteúdo e a teoria: “Sim, já utilizei para introduzir o conteúdo de multiplicação de
matrizes no segundo ano do ensino médio, colocando um vídeo que problematizava a questão
antes de aplicar a teoria” (Professor E). Novamente, o excerto evidencia uma compreensão da
368
tecnologia como meramente motivadora ou ilustrativa, sem qualquer implicação ao processo
didático-pedagógico em sala de aula.
Como é possível verificar nas respostas anteriores, as situações referidas para exemplificar
a utilização da tecnologia no ensino de Matemática são bastante superficiais, associadas a uma
perspectiva tradicional de ensino, pautada no modelo “teoria-exemplo-reprodução”. A utilização
da tecnologia nas práticas dos professores manifestadas sempre aparece ancorada na motivação ou
revisitação do conteúdo, por meio de ilustrações estimuladoras, explicações posteriores, realização
de exercícios ou reforço da teoria explicada pelo professor inicialmente. Ou seja, os usos que se
faz da tecnologia para ensinar matemática se restringem a um vídeo para ilustrar o conteúdo, ou
jogos para que adquiram “gosto” pelo mesmo. Contudo, para os professores, os aspectos teóricos
relacionados ao(s) conteúdo(s) em voga necessitam ser explicados por eles.
Conclusões
A partir da análise das respostas dos professores aos questionários, frente ao referencial
teórico construído, corroboramos com D’Ambrosio (2003, p. 13) de que: “O grande desafio que
se apresenta para os educadores é a passagem de um pensamento linear, que domina as teorias
mais prestigiadas de aprendizagem, para o pensamento complexo. Ou, em outros termos,
incorporar, mutuamente, o raciocínio quantitativo e o raciocínio qualitativo”.
Embora os professores considerem necessária a incorporação das tecnologias digitais ao
ensino da matemática, suas respostas revelam que ainda estão presos à concepção da matemática
pronta e acabada, aprendida por meio da resolução e reprodução de exercícios, precedidos da teoria
apresentada pelo professor. Portanto, ainda que admitam que a Matemática é uma ciência
construída, a concepção que revelam incorporada à sua prática educativa é da matemática pronta
e acabada. Isso requer que o ensino da matemática seja afetado por uma nova concepção por parte
dos professores que coloque o aluno no centro do processo didático-pedagógico, em que a
tecnologia seja uma “ferramenta de ensino” (Valente, 1993) com a qual o aluno desenvolve algo
e, ao desenvolvê-lo, conjectura, testa, questiona, reflete, pensa, repensa e valida. Portanto, embora
estudos discutindo meios e processos de inserção da tecnologia no ensino sejam amplamente
difundidos nos últimos anos, especialmente no campo da Matemática, parecem restritas as
investigações acerca de aspectos que suportam e promovem a integração da tecnologia no processo
didático-pedagógico de Matemática. Talvez porque estudos dessa natureza impliquem
369
necessariamente a investigação longitudinal da (mudança) prática e não apenas do discurso –
instrumento que subsidia grande parte das investigações. Dessa forma, há urgência de produção
de materiais e relatos que esclareçam meios para esse processo de mudança de concepções
pedagógicas, sobre a Matemática e, por conseguinte, sobre a tecnologia.
Dentre os diversos aspectos que permeiam tal processo, acreditamos que a formação do
professor ainda requer muita atenção, pois, em geral, o que se observa em relação à formação para
a utilização da tecnologia é que esta se dá de forma a instrumentalizar o professor no uso de
determinada ferramenta, seja ela um software ou objeto virtual, em detrimento de discussões
aprofundadas em relação às mudanças que precisam se dar em relação à matemática ensinada. Ela
requer uma “nova matemática”, com “características resultantes da assimilação, pelas gerações
futuras, de instrumentos comunicativos, analíticos e tecnológicos, de natureza transcultural e
transdisciplinar. Os raciocínios formais dessa nova matemática dependerão de um tipo de rigor
diferente daquele que serve de suporte para a matemática atual” (D’Ambrosio, 2003, p. 14).
Portanto, nosso estudo evidencia que o uso que os professores de matemática fazem da
tecnologia nas aulas não mudará a menos que mudem sua concepção da matemática e,
consequentemente, sua concepção sobre como se ensina e se aprende Matemática. A
problematização desses aspectos no contexto da integração didático-pedagógica das tecnologias
digitais constitui o grande desafio a ser enfrentado nos processos formativos e nas (mudanças) da
prática dos professores.
Referências
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371
CB-283
LA ANSIEDAD HACIA LAS MATEMÁTICAS EN LOS ESTUDIANTES DE
GRADO DE MAESTRO EN EL EEES: UN ESTUDIO COMPARATIVO ENTRE
ESPAÑA Y PORTUGAL
Raquel Fernández-Cézar 1 – Margarida Rodrigues2 – João Rosa3
[email protected] – [email protected] – [email protected] 1Universidad de Castilla la Mancha, España – 2CIED, Escola Superior de Educação, Instituto
Politécnico de Lisboa, UIDEF, Instituto de Educação, Universidade de Lisboa, Portugal – 3CIED, Escola Superior de Educação, Instituto Politécnico de Lisboa, CIE-ISPA, ISPA-Instituto
Universitário, Lisboa.
Núcleo temático: Formación del profesorado
Nivel educativo: Universidad
Palabras clave: ansiedad, universitarios, grado maestro, estudio comparativo
Resumen Este estudio es parte de un proyecto más amplio para analizar la relación entre el profesor de
matemáticas y la actitud hacia las matemáticas de su alumnado en el entorno iberoamericano. En
este trabajo se estudia una muestra compuesta por estudiantes de grado de maestro españoles y
portugueses. Se estudia la ansiedad hacia las matemáticas en los mismos empleando un
cuestionario. El estudio es exploratorio e investiga la asociación de la ansiedad con los factores
sexo, país, y etapa en la que serán maestros. Se emplea una metodología cuantitativa y se obtiene
que no existe asociación entre la ansiedad y el sexo o la etapa educativa para la que se preparan,
y si entre dicha ansiedad y el país: España o Portugal, siendo mayor en este último. Se describen
los distintos caminos de formación de maestros en sendos países y se argumenta la diferencia en
base a dicha formación, y al momento de la misma en el que se ha pasado el cuestionario. Se
concluye que el alumnado llega a la universidad con un nivel de ansiedad hacia las matemáticas,
pero que es también afectado en su paso por la misma.
Introducción
En el campo de la psicología se entiende que la actitud incluye una componente conductual o
comportamental, es decir, que se reconoce la actitud como una fuerza motivacional del
comportamiento humano. También en el ámbito de la educación matemática se le reconoce este
aspecto comportamental, y es definida por Gómez-Chacón (2000) como una “predisposición
evaluativa de conducta que determina las intenciones personales e influye en el comportamiento”
(Gómez-Chacón, 2000, p 23). Siguiendo en el ámbito de la educación matemática, la actitud
empieza a estudiarse en la segunda mitad del siglo pasado. Feierabend (1960, citado en Aiken,
1970) dedica unas cuantas páginas a este aspecto afectivo de la educación matemática en su
372
“Revisión de problemas psicológicos en educación matemática”. Posteriormente Aiken (1970)
realiza una revisión de los trabajos de esa década y reconoce que aunque no se cuenta con una
definición para actitud en educación matemática, hay un consenso en reconocer que tiene un
aspecto conductual y comportamental (Aiken, 1970).
Unos años después, Hart (1989) afirma que no existía en ese momento una definición acordada
por los expertos de lo que se entiende por actitud en educación matemática. Un modelo de la misma
lo constituye en el entorno iberoamericano el estudio de Gairín Sallán (1991). McLeod (1992)
realiza un primer modelo sobre el dominio afectivo en el aprendizaje matemático, considerando
que está compuesto por actitud, creencias y emociones. Otros autores (de Belis & Goldin, 1999,
citado en Zan & di Martino, 2008) proponen un modelo con 4 constructos. En este trabajo se
considera el modelo de tres dimensiones: creencias, emociones y actitud, y nos centramos en el
estudio de esta última.
El National Council of Teachers of Mathematics en 1989 (Crosswhite, Dossey & Frye, 1989)
reconoce dos categorías de actitudes en educación matemática: actitudes hacia las matemáticas, y
actitudes matemáticas. Los estudios que han tratado de establecer alguna vinculación entre ellas
son muy diferentes y poco comparables, y además aportan resultados contradictorios: Ma y Kishor
(1997) no encuentran relación significativa entre el rendimiento académico y la actitud; estudios
recientes con estudiantes españoles (Blanco, Guerrero Barona & Caballero Carrasco, 2013;
Blanco, Guerrero, Caballero, Brígido & Mellado, 2010; Jiménez Mellado, Blanco Nieto, Cortés &
Lizarazo, 2012) reconocen la vinculación del aspecto cognitivo y afectivo en estudiantes de grado
de maestro. Las actitudes hacia las matemáticas de estos estudiantes son cruciales pues serán
maestros que enseñarán matemáticas en el futuro, y transmitirán su sentimiento hacia las mismas
(Fernández Cézar y Aguirre Pérez, 2010). Según Maaß y Schlöglmann (2009), esas actitudes
fueron adquiridas a lo largo de su etapa como estudiantes, pero pueden también constituir un
obstáculo para la adquisición de nuevas competencias en el grado de maestro. Por lo tanto, dado
que no hay estudios que confirmen la no existencia de relación entre el aspecto cognitivo y afectivo
de la actitud, y el papel importante que desempeñarán los futuros maestros en la formación de la
actitud de la ciudadanía futura, nos parece pertinente el análisis de la actitud hacia las matemáticas
en estudiantes de grado de maestro.
Tampoco existe acuerdo entre los expertos en educación matemática es en cómo medir la actitud
hacia las mismas. Los psicólogos la han considerado como algo observable y medible a través de
373
instrumentos adecuados de medida como los cuestionarios, mientras que los educadores no tienen
una manera única de cuantificarla. Actualmente varios autores (Blanco, Guerrero Barona &
Caballero Carrasco, 2013; Blanco, Guerrero, Caballero, Brígido & Mellado, 2010; Jiménez
Mellado, Blanco Nieto, Cortés & Lizarazo, 2012; Di Martino & Zan, 2010; 2011) proponen que
el estudio de las actitudes debe abordarse mediante ensayos o preguntas abiertas, pues argumentan
que las personas que contestan a los cuestionarios de manera directa no son sinceras sino que se
ven influidas por lo que se espera que contesten (Zan & Di Martino, 2008). Por otro lado, son muy
abundantes los estudios realizados con cuestionarios (Arrebola & Lara, 2010; Fernández Cézar &
Aguirre Pérez, 2010; Riveiro, Calvo, Mato-Vázquez, & de la Torre Fernández, 2015; Palacios,
Arias, & Arias, 2013; Vallejo Seco & Escudero García, 1999). Existen varias revisiones de los
cuestionarios empleados para el estudio de las actitudes hacia la estadística trasladados
indistintamente al estudio de la actitud hacia las matemáticas (Carmona-Márquez, 2004; Blanco-
Blanco, 2008). Carmona Márquez reconoce que el cuestionario de Auzmendi (1992) es el más
ampliamente empleado en español. Los estudios más actuales con cuestionarios, incluyen el
análisis estadístico de sus propiedades, pero al ser creados para la ocasión (Palacios, Arias, &
Arias, 2013; Riveiro, Calvo, Mato-Vázquez, & de la Torre Fernández, 2015) impiden la posterior
comparación de los datos. En este trabajo se elige un cuestionario ya empleado por otros autores
(Auzmendi, 1992; Méndez, & Macía, 2007; Fernández Cézar & Aguirre Pérez, 2010; Montero,
Pedroza, Astiz, & Vilanova, 2015). Las propiedades psicométricas del mismo fueron medidas en
el trabajo de creación de Auzmendi (1992) aportando 5 factores, aunque posteriormente Sánchez-
López (1996, citado en Carmona-Márquez, 2004) y Méndez & Macía (2007) indican 4. En un
trabajo posterior realizado con maestros y estudiantes de maestro (Fernández-Cézar et al, 2016),
emerge un modelo de un solo factor: la ansiedad. Este se llama cuestionario modificado de
Auzmendi, y es el empleado en el presente trabajo.
Los objetivos de este trabajo son explorar la información recogida con el cuestionario para
identificar los factores que pudieran influir en la ansiedad; y determinar el comportamiento de la
ansiedad respecto de los factores identificados
Metodología
Muestra e instrumento:
374
Se trabaja con una muestra compuesta por 200 estudiantes universitarios del grado de maestro,
149 españoles y 51 portugueses. De ellos, 186 completan las encuestas totalmente y son empleados
para el análisis posterior. De los analizados, 165 son chicas, 99 de la etapa de ed. Infantil. Se mide
su ansiedad hacia las matemáticas con el cuestionario modificado de Auzmendi (1992), valorado
estadísticamente en un estudio previo (Fernández-Cézar et al, 2016). Está compuesto por los ítems
7, 8, 12, 13, 17, 18 y 22. Para sumarlos, los 8, 13 y 18 son invertidos por tener una formulación
negativa.
Análisis:
Se emplea el paquete SPSS v22. Se estudia la normalidad de la distribución de la ansiedad respecto
de la información recogida con los cuestionarios. Para realizar los posteriores contrastes, se estudia
la normalidad de la distribución de la ansiedad mediante test de Kolmogorov-Smirnoff (K-S) para
subgrupos de N>50, y Shapiro-Wilk (S-W) para N<50, con la corrección de significación de
Lilliefors. En los casos en que la distribución es normal se ha empleado el contraste de hipótesis
paramétrico y en los que no lo es, se ha empleado el contraste no paramétrico.
Resultados y discusión
El valor medio de la ansiedad está por debajo de la mediana, luego hay un mayor número de
estudiantes con valores de ansiedad por debajo de 22. En estudios anteriores (Checa, & Martínez-
Artero, 2013; Mendías, 2013) se obtiene una ansiedad alta para futuros maestros de primaria, pero
no es eso lo que se encuentra en nuestro caso.
Tabla 1: Estadísticos descriptivos de la ansiedad
Mínimo Máximo Media
Desviación
estándar
Mediana
9 35 21.67 5.891 22
Se identifican como posibles factores asociados con la ansiedad el sexo, la etapa educativa y el
país del estudiante. Se estudia la normalidad de la ansiedad respecto a dichos factores,
obteniéndose que es normal para el factor país (K-S; p=.004 España; p=.029 Portugal) y no lo es
para los factores sexo (K-S, p=.089 chicas; S-W, p=.016 chicos) y etapa educativa (K-S, p= .20
infantil; p=.086 primaria).
Tabla 2: Estadísticos descriptivos de la ansiedad por factores
Sexo Chicas Media 22.06
375
Mediana 22.00
Desviación estándar 5.678
Chico
Media 19.71
Mediana 17
Desviación estándar 7.051
Etapa Infantil Media 21.69
Mediana 22.00
Desviación estándar 5.506 Primaria
Media 21.92
Mediana 22.00
Desviación estándar 6.297
País Portugal Media 23.27
Mediana 23.00
Desviación estándar 2.731 España
Media 21.34
Mediana 21.00
Desviación estándar 6.489
Para el factor sexo, la media obtenida para las chicas es 22.06, y la de los chicos es menor en algo
más de 2 unidades, 19.71. El contraste de hipótesis (U Mann-Whitney; p=.063) nos impide
rechazar la igualdad de medias, por lo que el factor sexo no está asociado con la ansiedad, en contra
de lo que se obtiene en otros estudios (Martínez-Artero & Nortes-Checa, 2014)
Respecto al factor etapa, la media obtenida es casi la misma, 21.69 para infantil y 21.92 para
primaria y el contraste nos hace no rechazar la igualdad (U de Mann-Whitney, p=.988). Por tanto,
la etapa para la cual se preparan no influye en la ansiedad de los estudiantes para maestros.
En cuanto al factor país, la media de la ansiedad en estudiantes portugueses es más alta que la de
los españoles (ver tabla 2), situándose la media de la muestra total entre ambas (ver tabla 1). El
rango nominal (ver tabla 1) va de 7 a 35, mientras que el real va de 7 a 33, llegando por tanto a
valores más bajos de los posibles.
La discusión sobre esta única diferencia observada puede situarse en los distintos momentos de los
estudios de grado en los que fueron aplicados los cuestionarios: en España en el primer curso que
tienen matemáticas en el grado (1º en Ed. Primaria y 2º en Ed. Infantil), y en Portugal al inicio de
su “mestrado” profesionalizante. Los distintos accesos a la profesión docente en sendos países
fueron ya descritos y estudiados por otros autores (Nieto & Jiménez, 1995), pero en la etapa
anterior al proceso de Bolonia. Actualmente en el caso español, el acceso a la profesión de maestro
376
se hace mediante los estudios de Grado de Maestro en Educación Infantil o Primaria, ambos de 4
años, con 12 y 18 ECTS de asignaturas de didáctica de matemáticas obligatorias, respectivamente.
El contenido de las asignaturas está aprobado por la Agencia Nacional de Calidad (ANECA), y es
similar en todas las universidades españolas. En el caso portugués, los alumnos llegan al mestrado
(2 años), donde eligen entre Pre-escolar, Matemáticas y Ciencias Naturales, y Portugués, Historia
y Geografía de Portugal, tras completar la Licenciatura em Educação Básica (LEB) de 3 años.
En Portugal, el mayor nivel de ansiedad puede relacionarse con que en la LEB, las disciplinas de
matemática ocupan gran parte de los estudios, 30 ECTS correspondientes a ¼ de los créditos del
curso. Son, junto con el portugués, las que tienen más horas de docencia obligatoria, siendo el
contenido responsabilidad de cada institución docente. Los alumnos llegan a la LEB tras haber
cursado la enseñanza secundaria, donde la Matemática no es obligatoria en todas las opciones. Por
ello, los alumnos que ingresan a la LEB, tienen historiales de formación matemática diversos, y
también diferentes motivaciones y actitudes hacia las matemáticas.
En España, el más bajo nivel de ansiedad puede deberse a que los estudiantes españoles en el
momento de la aplicación del cuestionario venían de acabar su enseñanza secundaria. Una mayoría
de los mismos provienen de bachilleratos con matemáticas (Fernández Cézar & Aguirre Pérez,
2010), de Ciencias Sociales, Ciencias de la Salud, o Científico-tecnológico, y mostraban, según
Maaß y Schlöglmann (2009) las actitudes desarrolladas hasta ese momento.
En el caso español en los grados de maestro las matemáticas son obligatorias, luego no podemos
establecer cifras sobre cuántos alumnos las elegirían para enseñarlas de ser optativas. En el caso
portugués, apenas 34% de los estudiantes analizados escogieron el “mestrado de Matemática e
Ciências”. Aunque hay suposiciones entre los expertos, no hemos encontrado estudios que
correlacionen la ansiedad en el profesorado con la idoneidad de las pedagogías empleadas en la
enseñanza de las matemáticas. Convendría profundizar esta investigación analizando la evolución
de las actitudes hacia las matemáticas en todas las etapas educativas, y determinar la influencia de
los maestros y las pedagogías empleadas en las mismas.
Conclusiones
Los resultados muestran que no existe asociación entre la ansiedad y el sexo o la etapa educativa
para la que se preparan los estudiantes de grado de maestro, y si entre dicha ansiedad y el país:
España o Portugal, siendo mayor en este último. La actitud hacia las matemáticas de los alumnos
377
se forja en su etapa de estudiante, lo que incluye la etapa universitaria. El presente estudio abre
cuestiones que merecen ser investigadas: comparar el nivel de ansiedad de estudiantes del primer
año de LEB y 1º del grado de maestro en España; observar la evolución de las actitudes entre
alumnos de LEB y los de 1er curso de mestrado en Portugal, y entre los que escogen las diferentes
opciones en el mestrado. También, investigar la asociación de la ansiedad en los alumnos con las
pedagogías empleadas por los maestros.
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Anexo 1 (items del cuestionario original de Auzmendi analizados)
379
ACTITUDES HACIA LAS MATEMÁTICAS
Señalar el grado de acuerdo o desacuerdo respecto de las siguientes afirmaciones sobre
las matemáticas, según el siguiente convenio:
1: Totalmente en desacuerdo; 2: En desacuerdo; 3: Neutral (ni de acuerdo ni en
desacuerdo); 4: De acuerdo; 5: Totalmente de acuerdo:
7. Las matemáticas son una de las asignaturas que más temo.
1 2 3 4 5
8. Tengo confianza en mí cuando me enfrento a un problema de matemáticas.
1 2 3 4 5
12. Cuando me enfrento a un problema de matemáticas me siendo incapaz de pensar
con claridad.
1 2 3 4 5
13. Estoy calmado/a y tranquilo/a cuando me enfrento a un problema de matemáticas.
1 2 3 4 5
17. Trabajar con las matemáticas hace que me sienta muy nervioso/a.
1 2 3 4 5
18. No me altero cuando tengo que trabajar en problemas de matemáticas.
1 2 3 4 5
22. Las matemáticas hacen que me sienta incómodo/a y nervioso/a.
1 2 3 4 5
380
CB-284
FORMAR EL PEDAGOGO PARA APRENDER A ENSEÑAR MATEMÁTICAS CON
DISPOSITIVOS DIGITALES
Mercedes Carvalho
Universidade Federal de Alagoas - Brasil
Núcleo temático: IV. Formación del profesorado en Matemáticas.
Modalidad: CB
Nivel educativo: Formación y actualización docente
Palabras clave: tablet, tecnología, touchscreen, plan de clase
RESUMEN
Este trabajo forma parte del proyecto Tablets como recurso didáctico en la formación inicial de
estudiantes de licenciatura en Matemáticas y Pedagogía, financiado por el CNPq. Se seleccionó
una actividad desarrollada con las alumnas del 7º período del curso de Pedagogía en la
asignatura Saberes y metodología de la enseñanza de Matemáticas II que tenía el objetivo de
trabajar con la elaboración de dos planes de clase. En uno se incluía el tablet como recurso
didáctico y, en otro, un juego o material concreto para trabajar el contenido “multiplicación” a
fin de observar las diferencias/especificidades presentadas en los planes elaborados por las
alumnas. El análisis de los planes de clase mostró que, para las alumnas, usar el tablet exige que
la escuela disponga de infraestructura adecuada como internet de alta velocidad, red eléctrica,
tablets y ordenadores en número suficiente para los alumnos. Sin embargo, reconocen que esa
tecnología favorece el desarrollo de habilidades matemáticas. En cuanto a los juegos, las alumnas
entienden que son asequibles en las escuelas y fáciles de manipular, además de que permiten fijar
los contenidos estudiados. En este sentido, esos grupos ven ambos recursos con potencial
didáctico, aunque el éxito dependa de la actividad propuesta.
Introducción
Este trabajo forma parte del proyecto Tablets como recurso didáctico en la formación
inicial de estudiantes de licenciatura en Matemáticas y Pedagogía, financiado por el Consejo
Nacional de Desarrollo Científico y Tecnológico (CNPq) en el período de 2013 a 2015. Para este
estudio se seleccionó una actividad desarrollada con las alumnas del 7º período del curso de
Pedagogía en la asignatura Saberes y metodología de la enseñanza de Matemáticas II que tenía el
objetivo de trabajar con la elaboración de dos planes de clase. En uno se incluía el tablet como
recurso didáctico y, en otro, un juego para trabajar el contenido “multiplicación” a fin de observar
las diferencias/especificidades presentadas en los planes elaborados.
381
Las tecnologías de la información y comunicación
La tecnología permite la comunicación, la información en tiempo real, la transposición de
las barreras impuestas por la distancia, etc. Según Bairral (2013), reflexionar y discutir sobre los
procesos de enseñanza y aprendizaje en la actualidad significa pensar en la cibercultura
caracterizada “por la convergencia de dispositivos y redes móviles (como los laptops, celulares
inteligentes, medios locativos, Internet) y por la emergencia de los dispositivos que han
estructurado las redes sociales y educativas en la interfaz ciberespacio y ciudades” (BAIRRAL,
2013, p.1).
Para Bruno (2013) el momento en el que vivimos se caracteriza como una era de educación
híbrida, potenciada por las inúmeras posibilidades de ideas, espacios, tiempos y seres plurales, que
pueden coexistir. Ese tipo de educación provoca la apertura de espacio para la mediación
pedagógica, vista como “base de las relaciones co-construidas por la/en la acción didáctica” (p. 4)
y que busca promover encuentros y producción de conocimientos entre los sujetos del aprendizaje.
A base de eso se muestra urgente formar una generación de profesores a partir de modelos
pedagógicos atinentes a la realidad de los alumnos del siglo XXI, en los que debe coexistir la
cibercultura y todo su aparato, es decir, al tanto del uso de los aplicativos, los programas
computacionales, la Web, los software, que deben formar parte de la rutina de la enseñanza y
aprendizaje.
Tablets, dispositivos touchscreen
El mencionado proyecto aprobado por el CNPq permitió la adquisición de cuarenta tablets,
lo que hizo posible que en las clases cada alumno manejase uno. La elección del tablet se dio,
principalmente, por la movilidad, una vez que este objeto permite el acceso a internet en diferentes
espacios y a los varios aplicativos disponibles en la Web (juego, editor de texto, imagen, vídeo y
softwares matemáticos, etc.). Otra razón para su elección es que los dispositivos móviles han
ganado espacio en la vida de las personas, conforme afirman Bairral, Assis y Silva (2015).
Estudio exploratorio
382
La investigación realizada se caracterizó como exploratoria, modalidad que objetiva el
desarrollo y aclaración de conceptos e ideas (GIL, 2007). La actividad propuesta a las alumnas del
7º período del curso de Pedagogía fue la elaboración de dos planes de clase, y se debería utilizar
el tablet en uno y el juego en otro. Los grupos se componían de cinco alumnas –aquí denominadas
G1, G2, G3, G4 y G5– y fueron orientados a elegir los aplicativos y juegos que se adecuasen al
objetivo de sus planes de clase. En este estudio, el análisis del plan se limitó al objetivo de la clase
debido al espacio reservado para describirlo.
Objetivo de los planes de clase
El análisis de los planes de clase elaborados por los grupos permitió percibir que los grupos
G2 y G3 entendieron que el objetivo de la actividad para desarrollar el contenido “multiplicación”
es el mismo con el uso del tablet y del juego como recursos didácticos.
Para tablet
Desarrollar las habilidades de multiplicar a través de un aplicativo del
tablet en el que se da el resultado de la multiplicación y el niño debe
informar los factores. (G2)
Ejercitar los conocimientos matemáticos de los alumnos acerca de la
multiplicación. (G3)
En el caso del G2 el objetivo se muestra más amplio e implica habilidades de multiplicar,
lo que puede estar implícito en el desarrollo de las estrategias de cálculo y la comprensión del
concepto de multiplicación, mientras que para el G3 tanto el aplicativo del tablet como el juego le
permiten al alumno ejercitar el conocimiento sobre la multiplicación, lo que puede ser
comprendido como una forma de fijar el contenido ya trabajado.
Para el juego
Desarrollar las habilidades de multiplicar utilizando un juego de dados en
el que el niño tendrá que multiplicar los números obtenidos en los dados
para alcanzar el resultado. (G2)
Ejercitar los conocimientos matemáticos de los alumnos acerca de la
multiplicación. (G3)
Para los grupos G4 y G5 los recursos atienden a diferentes objetivos. Las alumnas
consideran que el tablet permite el desarrollo del concepto de multiplicación, en especial el G5.
Los aplicativos del tablet permiten diferentes formas de construcción del concepto porque el
alumno desarrolla su estrategia de cálculo, lo que no significa que el juego no permita desarrollar
383
el raciocinio matemático. El resultado nos permite suponer que las alumnas de esos grupos creen
que, por el hecho de que el tablet sea “un recurso potencialmente más desafiador, una vez que
permite la emergencia de conceptos o propiedades no conocidas por ellas”, (BAIRRAL, ASSIS,
SILVA, 2015, p. 83), es interesante para los alumnos. Las TIC pueden ser más atractivas, pero son
recursos pedagógicos y eso exige del profesor estrategias que desafíen a los alumnos (Carvalho,
2009).
Permitir diferentes formas de trabajarse la tabla de multiplicación. (G4)
Observar las ideas de la multiplicación, suma en parcelas iguales, análisis combinatorio
y razón y proporción. (G5)
Para estos grupos el juego propicia fijar la tabla, es decir, la multiplicación, lo que indica
la reproducción de la idea de que los juegos favorecen el aprendizaje de la tabla y, en consecuencia,
de la multiplicación. Ese pensamiento desconsidera el potencial pedagógico del juego y reduce el
desarrollo del concepto de multiplicación a la tabla, corroborando la averiguación de Carvalho
(2013, p. 55) acerca de que “el trabajo con la multiplicación está fuertemente asociado, por la
mayoría de los profesores, a la tabla [...] cuando bien explorada por el profesor, la tabla puede
favorecer la comprensión de los niños sobre el concepto de multiplicación”, como indicado en el
objetivo propuesto por el G1.
Fijación del contenido de la tabla. (G5)
Llevar al alumno a interiorizar las tablas de multiplicación a través de juegos
matemáticos. (G4)
Desarrollar y estimular el conocimiento matemático acerca de la multiplicación a través
de juegos pedagógicos. (G1)
El grupo G1 presentó una propuesta de resolución de problemas en la que los alumnos
deben buscar en internet imágenes que se puedan problematizar. A partir de las imágenes se les
sugiere que creen una historia y elaboren preguntas matemáticas (¿Cuántos dulces tiene Luciana?
¿Quién tiene más chocolates?). La forma como se propuso el desarrollo de la actividad favorece
la construcción de enunciados de problemas matemáticos, lo que rompe con el modelo que
determina que los “problemas tienen que estar escritos en el libro, en el cuaderno o en la hoja de
actividad” (CARVALHO, 2013, p.15). Además, la investigación de imágenes en la Web propicia
la negociación durante la elección de la imagen que se utilizará en la actividad solicitada por el
profesor y permite el trabajo colaborativo, conforme defiende Bruno (2013).
Buscar en internet imágenes que posibiliten la problematización y solicitar a los alumnos
que construyan una historia y elaboren preguntas matemáticas (G1)
384
Algunas consideraciones
Para autores como Carvalho (2006) elaborar el plan de clase significa pensar el trabajo
docente, o sea, hacer un análisis crítico sobre la realidad de la sala de clase de modo que se pueda
transformarla.
A partir de los análisis de los objetivos, se observa que esos grupos consideran que los dos
recursos tienen potencial didáctico. Por lo tanto, valerse de la tecnología disponible en las clases
no impide la utilización de otros recursos, como material concreto y juegos, si atienden a la
propuesta de la clase. En cuanto a las diferencias explicitadas, se observa, aún, algunas ideas
equivocadas sobre la enseñanza de la multiplicación por alumnas de los grupos, principalmente,
en la planificación con el juego. Sin embargo, como experiencia didáctica durante la ejecución de
la actividad se observó que esos recursos didácticos permiten la mediación pedagógica como
posibilidad de fusión entre los actores del proceso de aprendizaje en sala de clase (Bruno, 2013).
Referencias bibliográficas
Bairral, M. (2013). Do clique ao touchscreen: novas formas de interação e de aprendizado
matemático. Disponible en:
<http://36reuniao.anped.org.br/pdfs_trabalhos_aprovados/gt19_trabalhos_pdfs/gt19_2867_tex
to.pdf>. Acceso el 7 oct. 2013.
________ ; Assis, A. R. de ; SILVA, B. C. C. C. da . Mãos em ação em dispositivos touchscreen
na educação matemática. 1. ed. Seropédica: Edur, 2015.
Bruno, A. (2013). Educação híbrida: múltiplas possibilidades para a aprendizagem
contemporânea. II SEMANA DE EDUCAÇÃO: Educação para além do ambiente escolar –
Unifesp, ago. 2013. Anais...
Carvalho, M. Números – Conceitos e atividades para educação infantil e ensino fundamental I. 2.
ed. Petrópolis: Vozes, 2013.
Gil, A. C. Métodos e técnicas de pesquisa social. 5. ed. São Paulo: Atlas, 2007.
Moran José Manuel. Tablets e netbooks na educação. Disponible en:
<http://www.eca.usp.br/prof/moran/site/textos/tecnologias_eduacacao/tablets.pdf>. Acceso el
08 de dic. de 2015.
385
CB-285
ESTATÍSTICA E EDUCAÇÃO SOCIAL E EMOCIONAL INTEGRADAS
Profa. Dra. Diva Valério Novaes – Me. Jândela Cristiani G. dos Santos
[email protected] – [email protected]
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo – Brasil – Instituto Federal de
Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - Brasil
Núcleo temático: VI. Matemática y su integração con otras áreas
Modalidad: CB.
Nivel educativo: Médio o Secundário (12 a 15 anos)
Palabras clave: Educação Estatística, Educação Socioemocional, Formação de Professores,
Perspectiva Transdiciplinar.
Resumo Diversos pesquisadores, de diversas áreas científicas apontam e justificam mudanças necessárias
à educação atual: nos dias de hoje as pessoas são admitidas no trabalho por suas competências
técnicas e demitidas pelo comportamento pessoal; o resultado insatisfatório dos alunos
brasileiros nas avaliações gerais em Matemática, se deve em parte, à dificuldade destes para
utilizar conceitos contextualizados; no Brasil, a maior parte dos professores recebem formação
insuficiente para o atendimento das demandas de aprendizagem para a vida em sociedade nesse
milênio. Para refletir sobre a prática nestes aspectos, na disciplina de Estatística, criamos um
Projeto de Pesquisa, com alunos de um curso de Formação Inicial de Professores e mestrandos.
Buscamos responder à questão: A escolha criteriosa do contexto no processo de ensino e
aprendizagem da Estatística, considerando a Análise Exploratória de Dados, Batanero (2001) e
a metodologia da Roda de Conversa, Pizzimenti (2013), melhora a aprendizagem da Estatística e
permite simultaneamente trabalhar algum aspecto da Educação Socioemocional nos termos do
CASEL(2015)? Em pesquisa de mestrado, aplicamos uma atividade a alunos do ensino médio,
utilizando o contexto de uso de drogas. Houve grande participação dos alunos na atividade, com
resultados positivos na aprendizagem e nos aspectos de auto-gestão e tomadas de decisão
responsável.
Introdução
Anteriormente, as crianças cresciam em contato muito próximo com familiares e vizinhos.
Observavam os pais e demais membros da comunidade e tinham mais oportunidades que hoje de
internalizar as normas do seu grupo cultural, respeitadas como “valores” para a sobrevivência
individual e do grupo. Nos dias de hoje este tempo de convivência reduziu-se, crianças e
adolescentes passam mais tempo utilizando equipamentos eletrônicos, do que em convivência com
a família, afirmam Cosenza; Guerra (2011).
386
Esse fato proporciona um universo de informações nunca antes disponibilizado.
O problema é que se perdeu um raciocínio crítico em relação a toda essa
informação que receberam. As conclusões a que chegam não são questionadas
em termos dos valores sociais, nem os comportamentos que adotam são debatidos
em relação às suas consequências de médio e longo prazo. COSENZA; GUERRA
(2011, p.96).
Esses autores afirmam que, se os adultos estão menos disponíveis, a escola não está
preparada e os meios de comunicação não se preocupam em promover o desenvolvimento de
capacidades importantes para a vida em sociedade, o cenário é preocupante em relação à formação
daqueles que serão os adultos do século XXI.
No Brasil, a maior parte dos professores recebem uma formação insuficiente para o
atendimento das demandas de aprendizagem para a vida em sociedade nesse milênio. Há que se
atuar de modo ativo no desenvolvimento das capacidades de raciocinar, interagir, planejar e
autorregular-se, valorizando e respeitando a existência e necessidades dos outros, opinam Cosenza,
Guerra (2011).
Avaliadores de resultados de testes nacionais e internacionais, tais como Cruz (2014),
afirmam que o resultado insatisfatório dos alunos brasileiros, em relação à Matemática, nestes
testes, deve-se em parte à dificuldade dos alunos para utilizar os conceitos matemáticos em
contextos da vida real. Assim, uma questão a ser superada é aprender a utilizar conceitos
contextualizados em questões sociais ou do trabalho.
Muitos pesquisadores, tais como Macedo; Bressan (2016), afirmam que, os conhecimentos
agregados pela neurociência podem contribuir para um avanço na educação, em busca de melhor
qualidade e resultados mais eficientes para a qualidade de vida do indivíduo e da sociedade.
Acredita-se que o progresso do conhecimento neste milênio só será possível a partir de uma
perspectiva transdisciplinar. Por meio desta perspectiva, diversas áreas do conhecimento estão
utilizando seus pressupostos para avançar em direção a um conhecimento novo na área
educacional.
Por outro lado, Novaes (2011), pesquisou concepções específicas de Estatística e didáticas
de professores da Educação Básica, nos termos de Balacheff e Gaudin (2002). Entre as dezesseis
concepções identificadas, cinco delas foi de “professor educador”. Todos os professores
pesquisados, manifestaram desejo de fazer mais que ensinar um conteúdo específico de sua
disciplina para seus alunos. Só não sabiam como fazer isso de maneira organizada, não contavam
387
com um currículo preparado para essa finalidade. Agiam apenas quando surgia oportunidade para
discutir valores sociais.
Visando contribuir com a prática que promova melhoria nos aspectos, anteriormente
discutidos, na disciplina de Estatística, criamos um grupo de pesquisa em Políticas Públicas para
a Educação, inserido no Conselho Nacional de Pesquisa (CNPQ). Desenvolvemos pesquisa com
alunos do Curso de Formação Inicial de Professores, em projetos de TCC e mestrandos do Curso
de Mestrado Profissional em Ciências e Matemática, na instituição pública federal, onde atuamos.
Criamos atividades, aplicamos em sala de aula da Educação Básica e buscamos responder à
seguinte questão: A escolha criteriosa do contexto no processo de ensino e aprendizagem da
Estatística, considerando a Análise Exploratória de Dados, Batanero (2001) e a metodologia de
Roda de Conversa, Pizzimenti (2013), melhora esse processo e permite trabalhar simultaneamente
algum aspecto da Educação Socioemocional nos termos do Collaborative for Academic, Social,
and Emotional Learning (CASEL)?
Descrevemos aspectos observados na aplicação de uma destas atividades, em pesquisa de
Mestrado Profissional em Ciências e Matemática. A interação desta discussão com os professores
em formação inicial e os professores que estão atuando na rede pública, proporciona uma
possibilidade de prática para novos conhecimentos.
Educação Socioemocional
O problema da escola de hoje, é considerar todas as condições orgânicas, sociais, cognitivas,
emocionais e físicas dos alunos, que sabidamente interferem no processo de aprendizagem, para
formar um cidadão mais responsável por si, pelo ambiente que o cerca, mais saudável e por isso
mais produtivo, afirmam Macedo e Bressan (2016).
A aprendizagem socioemocional parte da constatação de que habilidades sociais e
emocionais, são importantes para ser um bom aluno, cidadão e trabalhador. Entende ainda, que
muitos comportamentos de risco, tais como: uso de drogas, violência, bullying e abandono escolar,
podem ser prevenidos ou reduzidos se forem utilizados múltiplos esforços na educação de crianças
e adolescentes. Entre os diversos estudos que apontam esses e outros resultados, Roberts (2015)
apresenta um estudo americano apontando que para cada dólar investido em Educação
Socioemocional há um retorno de sete dólares em benefícios para gastos em saúde pública,
serviços sociais e outros.
388
Segundo Macedo; Bressan (2016), os estudantes possuem o que se chama “Janelas de
oportunidades” quando estariam mais propícios para o envolvimento dentro e fora da sala de aula,
com determinados tipos de aprendizagem.
A Educação Socioemocional, é uma contribuição de pesquisas nas áreas de psicologia,
neurociências e outras, para busca de compreensão de que o cérebro é um órgão como qualquer
outro de nosso corpo e merece atenção para uma vida saudável. Tudo está imbricado no processo
educacional, que não se dá de maneira adequada sem saúde física, mental ou emocional. O cérebro
possui quatro recursos para o adequado funcionamento da mente: a atenção, as memórias, as
percepções e a consciência, Agüera (2008). Cada um desses recursos do cérebro tem uma função
importante no processo de ensino e aprendizagem. Para Macedo; Bressan (2016), a aprendizagem
é multideterminada e multicausal e uma boa estratégia para melhorar o processo de ensino e
aprendizagem seria melhorar a atuação dos recursos que a mente requer.
Os programas de aprendizagem socioemocional nas escolas brasileiras, que tivemos
acesso, têm por base o guia CASEL. A versão CASEL (2015) é destinada ao Ensino Médio e
pressupõe que a melhor aprendizagem emerge no contexto de relacionamentos de apoio que
tornam a aprendizagem desafiadora, envolvente e significativa. Trabalha com cinco aspectos inter-
relacionados de competências cognitivas, afetivas e comportamentais: 1. Autoconhecimento –
capacidade de reconhecer emoções e pensamentos e sua influência no comportamento. 2. Auto-
gestão – capacidade de regular emoções, pensamentos e comportamentos em diferentes situações.
3. Consciência Social – compreender normas sociais e éticas para o comportamento, ter empatia
com outras pessoas de origens e culturas diversas. 4. Habilidades de relacionamento –
estabelecer e manter relacionamentos saudáveis e gratificantes. Isso inclui se comunicar
claramente, ouvir ativamente, cooperar, resistir à pressão social inadequada e administrar conflitos.
5. Tomada de decisão responsável – fazer escolhas construtivas sobre o comportamento pessoal
e interações sociais com base em padrões éticos, preocupações com a segurança, normas sociais,
avaliação realista das consequências das ações e bem-estar de si e dos outros.
As habilidades emocionais podem ser trabalhadas, independente da cultura do país, porque
trata-se de traços de personalidade e habilidades universalmente reconhecidos.
Segundo CASEL (2015), uma das maneiras das escolas contribuir com o desenvolvimento de
competências pessoais e sociais de seus alunos é integrá-las em um currículo acadêmico. Essa foi
389
a nossa opção , que consideramos transdisciplinar, pois os aspectos de ensino e aprendizagem da
Estatística e da educação socioemocional, estão de tal maneira integrados, que não se dissociam.
Educação Estatística
Os educadores estatísticos são unânimes em afirmar que o pensamento estatístico favorece
a criação de habilidades que capacitam o sujeito a analisar situações considerando todos os
aspectos envolvidos nas mesmas, favorecendo a atuação tanto na vida pessoal quanto profissional.
O hábito de analisar diversos aspectos de uma situação, segundo GAISE (Franklin ET AL.,2007),
pode facilitar escolhas com base em dados que favoreçam melhor atuação dos indivíduos em
sociedade. Segundo Gal (2002), é possível adquirir uma postura crítica, que pressupõe atitude de
questionamento diante de mensagens que podem ser enganosas, desproporcionais, parciais ou
incompletas.
A Análise Exploratória de dados, segundo Batanero (2001), considera que os dados são
constituídos de regularidades ou tendências e desvios ou variabilidades. A proposta é que se estude
grande parte das perspectivas envolvidas em uma situação problema, com forte apoio em gráficos,
tabelas e medidas resumo.
Acreditamos que o enfoque exploratório na análise de dados, na Educação Básica, pode
ser dirigido para contribuições com a Educação Socioemocional de maneira transdisciplinar.
Sequência didática proposta
Em abordagem qualitativa, 17 alunos de uma turma 3ºano do Ensino Médio de uma escola
pública, no interior paulista, participaram da elaboração de uma sequência didática conforme
quadro 01, sob orientação da professora da turma. A pesquisadora participou na função de
observadora. A atividade foi aplica logo após o período em que a professora da turma trabalhou o
conteúdo de Estatística do programa de ensino, utilizando o material de apoio ao currículo do
Estado de São Paulo (2014).
Quadro 01. Síntese descritiva da sequência didática realizada.
ATIVIDADE 1
Os alunos receberão indicações de procedimentos em cada etapa como segue:
I Responder individualmente o questionário: efeitos prejudiciais de beber.
II Dispostos em grupo, identificar as variáveis estatísticas envolvidas no
questionário I, organizar os dados, representa-los em tabelas e gráficos e
proceder à análise.
III Comparar os resultados obtidos em II com os mesmos itens divulgados na
pesquisa nacional LENAD (2012).
IV Uma roda de conversa para finalizar.
390
ATIVIDADE 2
Os grupos receberão tabelas e gráficos disponibilizados na mídia para analisarem
I Análise dos dados constantes em 08 (oito) gráficos de maneira livre.
II Uma roda de conversa para finalizar.
Fonte: Autores
Análise de alguns resultados observados na atividade 1
I. Com relação ao processo de ensino e aprendizagem da Estatística.
Todos os itens das atividades 1 e 2 iniciaram solicitando a descrição da variável e tipo de
variável estatística envolvida na situação. Na atividade 1, os alunos tiveram dificuldade para fazer
essa identificação, porém aos poucos melhoraram a compreensão, até não apresentarem mais essa
dificuldade nos últimos gráficos e tabelas analisados, na atividade 2. Insistir nessa identificação,
em todos os itens da atividade, foi uma variável didática priorizada na elaboração das mesmas.
Essa escolha se deu em função do grande número de erros e dificuldade para fazer uma análise
exploratória de dados, observados em nossos alunos e identificados em outras pesquisas. Novaes
(2011), descreve erros no cálculo de medidas resumo e análises de dados, identificados em diversas
pesquisas nacionais e internacionais, derivados da identificação incorreta da variável estatística
envolvida nas questões. Confundir a frequência da variável com a variável, em dados
representados em tabelas é o mais frequente. Uma das consequências deste erro é calcular a média
de uma variável qualitativa nominal, utilizando os valores da frequência da variável.
Consultamos o material de apoio oferecido pela secretaria do Estado de São Paulo,
utilizado pela professora e notamos que consta uma rápida definição de variáveis qualitativas e
quantitativas. A caracterização de variáveis não é solicitada nos exercícios propostos. Passou
desapercebido para a professora da turma, pois, atuando há 25 anos, relatou nunca ter trabalhado
esse tema. Porém, ao tomar conhecimento das atividades que seriam propostas aos seus alunos,
solicitou capacitação para fazer essa discussão com os mesmos e recebeu de nossa parte, o apoio
necessário. O fato de o tema ser novo para a professora e para os alunos, pode explicar as
dificuldades iniciais dos alunos, porém, o contexto da atividade, instigante e próximo da realidade
dos mesmos, favoreceu a caracterização correta das variáveis envolvidas nas questões.
II. Com relação ao aprendizado socioemocional
Quanto à contribuição na construção de competências socioemocionais nestes alunos, no
início da atividade eles se mostraram preocupados com cálculos, sem envolvimento com o
contexto da atividade. Aos poucos, algum aspecto chamava a atenção: “Nossa, quem conhece
alguém que anda armado? Se andar bêbado já é ruim, imagine armado”. Porém, na roda de
391
conversa fluiu reflexões, no início os alunos discutiam apenas os resultados da pesquisa nacional
LENAD (2012), mas aos poucos, começaram a falar de suas experiências, (Anexo2).
A roda de conversa permitiu aos adolescentes falarem de suas experiências e notarem que
não estão só nessas experiências. Permitiu também, exercitar “o ouvir” a opinião dos colegas,
concordar, discordar de maneira organizada. Essa é uma habilidade importante para a tomada de
decisões responsáveis: ouvir o que é dito e não apenas o que queremos ouvir. Preocupar-se com o
bem-estar dos colegas, foi uma socialização do exercício da empatia de alguns, com os demais.
Considerações Finais
O desenvolvimento da atividade, como proposto, trouxe contribuições para a formação
continuada da professora da turma, pois, não trabalhava com a descrição das variáveis estatísticas
e não conhecia a importância deste trabalho. Houve igualmente contribuição para os futuros
professores que participaram da elaboração das atividades.
Para observar se houve tomada de decisão responsável seria necessário observar esses
alunos por um longo período. Defendemos que a informação transformada em conhecimento por
meio da vivência permitida no desenvolvimento da atividade, é o fator inicial necessário, pois, não
se pode cobrar compromisso do ser que não tem conhecimento, Freire (2001). Dessa forma, a base
para fazer escolhas construtivas sobre o comportamento pessoal com segurança e avaliação realista
das consequências de suas escolhas foi estabelecida. Pudemos constatar que esses adolescentes,
não apenas tomaram conhecimento das consequências negativas do uso de drogas, como também
de um dos principais fatores que os predispõe ao uso: as amizades, Pinsky; Pazinatto (2014). A
socialização das reflexões dos mais conscientes com os demais foi um ponto alto na roda de
conversa, especialmente a contribuição do aluno 05 (cinco) como líder positivo, (Anexo 2). É
muito importante para o adolescente compartilhar opiniões, pois como o aluno 09 (nove) afirmou,
a influência dos amigos é muito forte, positivamente ou negativamente. Assim, além de tomada de
decisões responsáveis, nota-se ainda contribuições nos aspectos de autoconhecimento e
consciência social, pois os alunos se envolveram emocionalmente com a atividade e houve a
socialização da capacidade de alguns, com os demais, de reconhecer pensamentos e
comportamentos ligados ao uso de drogas, compreender a legislação, normas sociais e atitudes
prejudiciais à família e trabalho, bem como empatia com os colegas quando exageram no consumo.
Os alunos estão vivendo um momento propício para essa aprendizagem, “janela de
oportunidade”, Macedo; Bressan (2016). O fato de terem se envolvido emocionalmente com a
392
atividade, aciona a atenção, favorece a memorização, a autoconsciência para promover a
autogestão, o que amplia a capacidade de percepção dos riscos a que estão dispostos. Contribui
para formação das funções executivas do cérebro, responsáveis pela habilidade de tomar decisões
informadas e controle da impulsividade, em desenvolvimento no sistema nervoso dos
adolescentes.
Referencias bibliográficas
Balacheff, N. ; Gaudin, N. (2002). Studensts conceptions : a introduction to a formal
characterization. Les Cahiers Du Laboratoire Leibniz, 65, 1-121. Grenoble.
Collaborative for Academic, Social, and Emotional Learning. Effective Social and
emotional Learning Programs: Middle and High Sxhool Edition. Chicago: CASEL, 2015.
Batanero, C. (2001). Didáctica de la estadística. Granada: Universidad de Granada.
Cosenza, R.M.; Guerra, L.B. (2011). Neurociência e Educação: como o cérebro aprende. Porto
Alegre: Artmed.
Cruz, P. (2014). Alunos brasileiros ficam entre os piores em teste de raciocínio lógico. IN:
http://oglobo.globo.com/sociedade/educacao/alunos-brasileiros-ficam-entre-os-piores-em-
teste-de-raciocinio-logico-12052532 consultado em 12/10/2016.
Franklin, C., Kader, G. & Mewborn, D. & Moreno, J., Peck, R. & Perry, M., et al. (2005).
Guidelines for assessment and instruction in statistics education (GAISE) report: a pre-K-12
curriculum framework. Alexandria (VA, USA): ASA.
Gal, I. (2002). Conocimientos básicos de estadística en adultos: significados, componentes,
responsabilidades. Revista Internacional de Estatística (Haifa, Israel), 70(1), 1-25.
Macedo, L.; Bressan, R. A. (2016). Desafios da Aprendizagem: como as neurociências podem
ajudar pais e professores. Campinas, SP.: Papirus 7 Mares.
393
Novaes, D.V. (2011). Concepções de Professores da Educação Básica Sobre Variabilidade
Estatística. Tese de Doutorado em Educação Matemática, PUCSP. Disponível em
HTTP://www.pucsp.br/pos/edumat/
Pinsky, I.; Pazinatto, C. (2014) Álcool e drogas na adolescência: um guia para pais e professores.
São Paulo, SP. Editora Contexto.
Roberts, R. D. (2015). A Educação Emocional pode gerar uma revolução social.
http://www.escoladainteligencia.com.br/ consultado em 28/11/2016.
Profa. Dra. Diva Valério Novaes – Me. Jândela Cristiani G. dos Santos
Anexo 1
Atividade 1. Item I. Questionário
O quadro dois a seguir contém situações observadas após o consumo do álcool, relatadas por
equipes médicas e pesquisadores da área da saúde. Leia-as com atenção e reflita se já observou
essas situações em seu círculo familiar, social ou em você mesmo. Marque com um (X) na coluna
do SIM, em caso afirmativo. Se marcou SIM, marque também a idade da pessoa observada e se
não observou, marque apenas (X) na coluna do não.
Observação: Você não será identificado, portanto não é necessário colocar seu nome. Quadro 02. Efeitos prejudiciais de beber
Situações sobre o uso do álcool SIM Não Idade
1. Conhece alguém que não foi capaz de
conseguir parar depois de começar a beber.
2. Conhece alguém que já se machucou em
consequência do seu consumo de álcool.
3. Conhece alguém que bebe em * binge
(quando bebem, ingerem 4 (mulheres) ou 5
(homens) unidades ou mais de bebida alcoólica
a cada duas horas).
4. Conhece alguém que o uso de álcool já teve
efeito prejudicial no trabalho.
5. Conhece alguém que perdeu o emprego
devido ao consumo de álcool.
6. Conhece alguém que o consumo de álcool
por algum familiar teve efeito prejudicial na sua
família ou relacionamento.
394
7. Conhece alguém que já se envolveu em uma
briga com agressão física depois de beber.
8. Conhece alguém que anda armado e faz uso
abusivo do álcool.
* “bingedrinking”, também denominado “beber pesado episódico” (consumo de 5 doses ou mais de bebida alcoólica em uma
mesma ocasião)
ITEM II. Organização e apresentação dos dados
1. Resuma as respostas de seus colegas apresentadas no quadro dois em tabelas e gráficos
convenientes.
2. Observe as tabelas e gráficos elaborados e classifique o tipo da variável estatística que está
envolvida no estudo. Justifique.
3. Discuta com seu colega o que se pode concluir com os dados obtidos nesta pesquisa.
ITEM III. Comparação com a pesquisa nacional (LENAD)
Compare os resultados obtidos no item I (a pesquisa realizada nesta escola), conforme
análise efetuada no item II, com os resultados do Levantamento Nacional de Álcool e Drogas
(LENAD), realizado no período de 2006 a 2012, escolhendo aleatoriamente indivíduos com 14
anos, ou mais, de todo o território brasileiro, em entrevista com 4607 pessoas. Os dados do
LENAD estão no Anexo 1.
Anexo 2
Professora: O que mais chamou atenção de vocês nesta pesquisa?
Aluno 1. Agressão física, porque o nº de pessoas envolvidas é alto. Dois terços dos homens jovens
bebedores problemáticos já se envolveram em uma briga com agressão física no último ano.
Aluno 4. 6% dos brasileiros referiram ter sido vítima de violência doméstica no último ano, em
metade destes casos o parceiro que exerceu a violência havia bebido. Eu não concordo, acho que
é mentira, porque o valor da porcentagem deveria ser maior, porque eu com 17 anos já conheci 5
casos como esse, imagino a nível nacional!
Aluno 1. Afeta todo mundo, principalmente as crianças, isso que me chama atenção!
Professora: O que poderia ser feito para reduzir o consumo do álcool?
Aluno 4. Polícia.
Aluno 5. Eu acho que a mídia influencia muito as pessoas, parece que não, mas na mídia só passa
propaganda relacionando bebidas e diversão, tipo ser feliz bebendo, acredito que se mostrasse as
consequências negativas com o uso da bebida. Acho que mudaria, porque a mídia influencia
bastante as pessoas.
395
Aluno 6. Não. Eu não acredito que as pessoas mudarão, deixarão de beber porque ficaram sabendo
que muita gente morreu por causa de bebida. Ah! vou parar de beber porque tem muita gente
morrendo, não funciona. Mas, quando você tem medo de ser multado, preso aí funciona.
Propaganda, mídia não influencia nesse caso.
Aluno 7. Para mim é a punição, ele precisa passar por alguma coisa, para parar de beber, tipo, uma
doença, ou alguém se feriu pelo ato de beber. Então para mim a punição é que fará a pessoa parar
de beber.
Aluno 8. A minha opinião, os dois modos, punição e educação, podem ajudar na diminuição do
consumo de bebida, a mídia pode influenciar muito, colocando na mídia essa questão da bebida
alcoólica e direção e todas as consequências, mas para mim, o que mais pesa é o que pesa no bolso
do brasileiro. O que pesou no bolso, é o que o brasileiro vai temer, pagar multas por dirigir
alcoolizado.
Aluno 9. A questão da bebida é assim, você vai até a casa de um amigo, chega lá estão bebendo,
daí você se sente na obrigação de beber também.
Aluno 5. Eu não concordo com isso, quando eu vou em festas dos moleques daqui da sala e estão
bebendo eu sou o único que não bebo e não tenho problemas, não me sinto descriminado. Eles
bebem porque se sentem bem assim, eu não bebo porque me sinto melhor assim e eles são os meus
amigos do mesmo jeito. Não muda nada, eles não me obrigam a beber e eu não obrigo eles pararem.
Vai da cabeça de cada um.
Aluno 1: Não como obrigação, ninguém obriga a nada, mas se você vê todos bebendo você se
deixa influenciar. Ou bebe ou cuida dos bêbados. Risos…
Professora: Vocês se preocupam com os amigos que bebem demais?
Aluno 10: Sim, risos... Porque alguns colegas bebem demais e podem se envolver em brigas, cair
e se machucarem. Professora tem uns que bebem tanto que querem brigar até com os amigos.
Aluno 1: Tem uns que brigam por mulheres, caem no banheiro para os amigos cuidarem e ainda
acham bonito! Risos... Chegam até a dormir, tem que dar banho.
Professora: Vocês já chegaram a conversar com esses amigos sobre consequências?
Aluno 1: Professora eles não são viciados, só nas festas que ficam assim.
Aluno 10: Professora, deixei de ir a festas na praça, no clube, para ir somente na casa dos amigos,
porque sei que eles cuidarão de mim quando eu beber.
396
Professora: Será que esses amigos que só bebem no final de semana e em festas não serão os
futuros alcoólatras?
Todos: Sim.
Aluno 5: Acho que sim, porque dependendo do quanto ele bebeu vai querer sempre beber mais.
397
CB-286
ELEMENTOS PARA EL DISEÑO DE NUMBER MATH: UNA APLICACIÓN WEB
PARA AUXILIAR A ESTUDIANTES DE PRIMARIA EN CONTENIDOS DE SENTIDO
NUMÉRICO
Rosalba Zárate Pacheco, Xaab Nop Vargas Vásquez
[email protected] , [email protected]
Nova Universitas, México
Modalidad: CB
Nivel educativo: Primaria
Núcleo temático: Enseñanza y aprendizaje de la Matemática en las diferentes modalidades y
niveles educativos.
Palabras clave: Evaluación criterial, evaluación longitudinal, dificultades de aprendizaje, parrillas
de evaluación.
Resumen Con la intención de tener elementos para el diseño e implementación de una aplicación web que
auxilie a los estudiantes de nivel primaria a superar las dificultades de aprendizaje que enfrentan
en el eje de sentido numérico, del estado de Oaxaca, México, se aplicaron cuestionarios (a 280 de
315 estudiantes) bajo el marco de la evaluación criterial; en diciembre de 2016. Éste documento
presenta los resultados de evaluación obtenidos de los grupos de primero y segundo grados. El
análisis se realizó con auxilio de una parrilla de evaluación, tal como en los trabajos de Cruz y
Vargas (2016), Vargas (2012) y Vargas y González (2008). Los resultados indican que la
aplicación web debe centrarse en auxiliar a los estudiantes en la superación de sus dificultades
de aprendizaje relacionados con que, al parecer, carecen de habilidades para identificar los
números mal ubicados en una sucesión y colocar aquellos que faltan en una serie, además de que
se les dificulta agrupar diferentes parejas de números que al sumarse se obtenga el mismo
resultado.
Planteamiento del problema
Una manera de impartir enseñanza en matemáticas es haciendo uso de la tecnología, utilizando
aplicaciones tanto web como móviles, en los procesos de enseñanza-aprendizaje en diferentes
niveles educativos, desde preescolar (Sarmiento, 2015; Valega, 2016) hasta nivel superior
(Eugenio Jacobo Hernández, 2005; Gómez, Muñoz y Arévalo, 2007; Pizarro, 2009; Pantoja, 2015;
Cruz, 2016) pasando por la educación primaria (Francisco Javier Hernández, 2005; Aquino, 2007;
Cárdenas y Sarmiento, 2010; Cisneros, 2011; Meneses y Artunduaga, 2014), secundaria (Fallas y
Chavarría, 2009; Machado, Almeida y Silva, 2009; Alfaro, Alpízar y Loría, 2014; Díaz, 2013) y
398
medio superior (Hernandez, 2005; Cuicas, Debel, Casadei y Álvarez, 2007).
Este trabajo se focaliza en tener elementos necesarios y suficientes para la construcción de una
aplicación web para la enseñanza aprendizaje de la matemática escolar en el nivel de educación
primaria a partir de conocer las dificultades que presentan los estudiantes de una primaria, tal como
en los trabajos de Hernández (2005), Aquino (2007), Cárdenas y Sarmiento (2010), Valega (2016).
Conducida por la siguiente pregunta de investigación:
¿Cuáles son las dificultades de aprendizaje que presentan los estudiantes de una primaria del estado
de Oaxaca, México; en el eje de contenidos de sentido numérico en el área de Matemáticas,
incluidos en el programa de estudios 2011, para que sirvan como elementos para el diseño e
implementación de Number Math, una aplicación web que los auxilie a superar tales dificultades
de aprendizajes?
Justificación
La localización de dificultades de aprendizaje, desde el punto de vista de la evaluación criterial,
que presentan los estudiantes cuando aprenden un concepto ha preocupado a varios investigadores
en áreas de aprendizaje de idiomas (Guzmán, 2014), Psicología (Ortiz y Vargas, 2015),
Matemáticas (Cruz y Vargas, 2016; Pacheco y Vargas, 2013; Vargas,2005), Español (Cruz y
Vargas, 2015), y, Lógica (Vargas, 2012). Aquí se utilizan las herramientas teóricas -
metodológicas de la evaluación desde el punto de vista criterial para localizar dificultades de
estudiantes de una primaria con respecto a Matemáticas, específicamente en el eje de sentido
numérico.
Fundamentación teórica
Gómez (1990) menciona que la característica fundamental de la evaluación criterial es apreciar el
logro de los objetivos por parte de cada alumno sin compararlo con el de sus compañeros. Por su
parte, Leyva (2011) menciona que
“existe acuerdo en que las características más destacadas y comunes a lo que se ha dado en
considerar una prueba referida a criterio son: Requiere la definición clara y exhaustiva de un
dominio objetivo a evaluar. Permite averiguar la posición de un sujeto respecto del dominio
de una conducta bien definida que manifieste el aprendizaje de un alumno. La interpretación
del rendimiento es directa: la ejecución que realiza el alumno indica su grado de dominio o
competencia, independientemente de lo que hagan otros sujetos. El criterio o estándar en el
cual se basa tiene un carácter absoluto, es decir que no está condicionado por el nivel de
399
ejecución de un grupo. Es la descripción de la clase de conducta que el alumno puede o no
manifestar. El límite en que se basa la toma de decisiones que afectan el proceso educativo
se establece de manera descriptiva, indicando el grado de dominio alcanzado o bien
especificando un punto que se toma como punto de corte, o nivel mínimo de dominio.
Permite retroalimentar la intervención en el proceso educativo de manera inmediata” (p. 4).
Metodología
Descripción de la población
La población de estudio consta de 100 estudiantes de una primaria del estado de Oaxaca, México,
(54 mujeres y 46 hombres) cuyas edades oscilan entre los 5 y 9 años, divididos en 4 grupos, 2
grupos de primer grado y 2 grupos de segundo grado. La evaluación se realizó en el mes de
Diciembre del año 2016 y tuvo una duración media de 2 horas.
Criterios de evaluación
La evaluación criterial precisa de tener en todo momento de evaluación los criterios de aprendizaje
perseguidos. De manera que, los criterios utilizados en esta investigación están basados en el
programa de estudios 2011 y la propuesta curricular para la educación obligatoria 2016) en el eje
de sentido numérico y en el tema de número. A partir de los cuales se localizaron los temas de
evaluación (comunicar, ordenar, observar, descomponer y balancear) para la construcción del
instrumento de evaluación aplicado.
Instrumento de evaluación
El instrumento de evaluación llevó la estructura que se muestra en la tabla 1 (Anexo 1). La primera
columna muestra los temas de evaluación, en la segunda columna la descripción de los temas a la
luz de esta investigación, en la tercera columna se encuentra el aspecto a evaluar de los temas de
evaluación y en la última columna se encuentra la pregunta que evalúa tanto al aspecto como al
tema.
Criterios de calificación
Una vez aplicado el instrumento se procedió a obtener los criterios de calificación, que son valores
numéricos que se le asignan a las diversas respuestas de los estudiantes. En la tabla 2 (Anexo 2)
se presentan; a manera de ejemplo, los correspondientes al tema comunicar en su aspecto escribir,
cuyas preguntas asociadas en el instrumento son: 2, 6 y 15. En esta investigación se determinó
observar dos criterios para cada pregunta: la primera que corresponde a los niveles de respuesta
que da el estudiante desde que no responde hasta la respuesta correcta, denotada por R, la segunda
400
que corresponde a que si el estudiante muestra una comprensión y/o no comprensión del problema,
denotado por C. La primera columna muestra el tema evaluado, en la segunda columna se
encuentra el aspecto a evaluar del tema, en la tercera columna se encuentra la pregunta con la que
se asocia ese aspecto y la última columna contiene los criterios de calificación.
Con los criterios de calificación establecidos, para cada tema, se analizaron las respuestas de los
estudiantes al instrumento de evaluación y éstas se vaciaron en una parrilla de evaluación que
permite un análisis de los datos para identificar las dificultades de aprendizaje que presentan los
estudiantes.
Análisis de Datos
A partir de los criterios de calificación presentados en la tabla 2 (Anexo 2) se analizaron las
respuestas de cada pregunta de la evaluación. Los resultados obtenidos se presentan en la tabla 3
(Anexo 3). En donde se puede observar:
En las columnas: La primera columna hace referencia al número de estudiantes que participaron
en la solución de la evaluación. Por cuestiones de espacio se omiten los estudiantes del 3 al 98. La
columna denominada contenidos específicos corresponde a cada pregunta asociada; a manera de
ejemplo sólo presentamos la correspondiente al tema de comunicar, en su aspecto escribir con sus
preguntas asociadas 2, 6 y 15, con sus dos criterios observados: respuesta (R) y comprensión del
problema (C).
En los renglones: Los renglones cuatro y cinco presentan los temas de aprendizaje y las preguntas
asociadas de la prueba respectivamente. A partir del octavo renglón se presentan los puntajes en
cada estudiante. El renglón P.G.O muestra el puntaje grupal obtenido, que se calcula sumando
cada uno de los puntajes obtenidos por los alumnos en la pregunta asociada correspondiente. El
renglón P.G.M (puntaje grupal máximo) presenta el resultado de la multiplicación del puntaje
máximo asignado a cada pregunta por la cantidad de estudiantes evaluados. El renglón P.G.R
(puntaje grupal relativo) muestra el resultado de dividir el valor de cada P.G.O sobre el valor de
cada P.G.M correspondiente.
Resultados
En este análisis se toman en cuenta los datos mostrados en el renglón P.G.R. que se pueden
comparar entre sí y de este modo obtener una idea de las dificultades de los estudiantes respecto a
los contenidos evaluados. En esta investigación se determinó considerar que cuando el puntaje
presentado en el renglón P.G.R fuese menor que 0.6, entonces se trata de un aspecto en el que los
401
estudiantes presentan dificultades en el tema evaluado. Asimismo para efectos de observar
aspectos globales, se decidió agrupar cada aspecto en su tema correspondiente, de este modo:
En el tema de comunicar los estudiantes obtuvieron un puntaje de .7466 (promedio de los puntajes
correspondientes del renglón P.G.R. del tema indicado) por lo que se considera que no presentan
problemas en este tema. En el tema ordenar los estudiantes obtuvieron un puntaje de .8185, por lo
que se considera que no presentan problemas en este tema.
En el tema observar los alumnos obtuvieron un puntaje de .4139 por lo que se considera que los
alumnos presentan dificultades en este tema. Al analizar el tema descomponer los alumnos
obtuvieron .4204, por lo que se detectó que los alumnos presentan dificultades en este tema. En el
tema balancear los alumnos obtuvieron un puntaje de .691 de manera que se considera que no
presentan problemas en este tema.
Para ahondar en las dificultades observadas en los temas correspondientes se consideró necesario
mirar los puntajes de los aspectos que los conforman.
En cuanto al tema observar, la dificultad radica específicamente en identificar números mal
ubicados de una sucesión de números, escribir los números faltantes en una sucesión e identificar
patrones de una sucesión de figuras. En cuanto al tema descomponer, la dificultad se centra
específicamente en realizar problemas de descomposición con el uso de monedas y agrupar
diferentes parejas de números que al sumarse se obtenga el mismo resultado.
Conclusión.
Los resultados obtenidos a través del instrumento de evaluación referente a sentido numérico, da
a conocer las debilidades y fortalezas de los estudiantes de primero y segundo grados de una
escuela primaria del estado de Oaxaca, México. Detectar las dificultades permite obtener
resultados específicos donde los alumnos presentan problemas y con ello permite diseñar el
material adecuado para implementarlo en una aplicación web y con ello coadyuvar en los
estudiantes de nivel primaria a superar sus dificultades y mejorar su rendimiento académico. Así
como intervenir en el ámbito pedagógico con el uso de la tecnología para una mejor enseñanza de
la matemática en el nivel primaria brindando una herramienta de apoyo para el alumno y el
profesor.
Las debilidades que se lograron detectar nos muestran un panorama hacia donde debe estar
específicamente dirigida la aplicación web, la cual debe centrarse en auxiliar a los estudiantes en
la superación de sus dificultades de aprendizaje relacionados con que, al parecer, carecen de
402
habilidades para identificar los números mal ubicados en una sucesión y colocar aquellos que
faltan en una serie, además de que se les dificulta agrupar diferentes parejas de números que al
sumarse se obtenga el mismo resultado.
Referencias bibliográficas
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Anexos
Anexo 1
Tabla 1: Estructura del Instrumento de evaluación.
Tema Descripción Aspecto Pregunta asociada
Comunicar Escribir en número y en letra un número determinado. Escribir 2; 6; 15
Ordenar
Colocar un conjunto de números según el orden indicado: ascendente o descendente.
Comparar parejas de números e identificar el número
menor o mayor.
Ordenar 3; 7
Comparar 1; 9
Observar
Examinar números mal ubicados en una sucesión, colocar
números faltantes en una serie, identificar el patrón de
figuras.
Observar
5; 4 (a, b, c); 8 (a, b, c, d); 11
(a, b, c, d); 10; 12; 13 (a, b)
Descomponer Agrupar diferentes parejas de números que al sumarse se obtenga el mismo resultado, y resolver problemas de
descomposición.
Descomponer 14 (a, b, c); 16 (a, b, c, d)
Balancear Poner en equilibrio el número de puntos en cada pareja de fichas.
Balancear 17 (a, b, c, d, e)
Fuente: Elaboración propia (2017).
Anexo 2 Tabla 2: Criterios de calificación
Tema Aspecto Pregunta asociada Criterios de calificación
Comunicar Escribir 2 Respuesta (R)
a) 0 – Si no responde
b) 1 - Si escribe una respuesta fuera de contexto
c) 2 - Si escribió el número (pero no todos los números son correctos)
d) 3 - Si escribió el número correcto
Comprensión del problema (C)
a) 0 – Si no lo comprendió
b) 1 – Si lo comprendió
6 Respuesta (R)
a) 0 – Si no responde
b) 1 – Si escribe una respuesta fuera de contexto
c) 2 – Si escribe el número en letra
d) 3 – Si coloca el número correcto
Comprensión del problema (C)
a) 0 – Si no lo comprendió
405
b) 1 – Si lo comprendió
15 Respuesta (R)
a) 0 – Si no responde
b) 1 – Si escribe una respuesta fuera de contexto
c) 2 – Si escribe el número en letra correctamente
Comprensión del problema (C)
a) 0 – Si no lo comprendió
b) 1 – Si lo comprendió
Fuente: Elaboración propia (2017).
Anexo 3 Tabla 3: Parrilla de evaluación.
Parrilla de evaluación
Primero y segundo grados
Alumno Contenidos Específicos
C -
E -
2 6 15 - .. ..
.. ..
R C R C R C - - .. ..
1 3 1 3 1 1 0 - - .. ..
2 3 1 1 0 1 0 - - .. ..
.. .. .. .. .. .. .. - - .. ..
.. .. .. .. .. .. .. - - .. ..
99 3 1 3 1 0 0 - - .. ..
100 3 1 3 1 0 0 - - .. ..
P.G.O 234 68 249 76 156 65 - - .. ..
P.G.M 300 100 300 100 200 100 - - .. ..
P.G.R 0.78 0.68 0.8 0.8 0.8 0.7 - - .. ..
Fuente: Elaboración propia (2017).
406
CB-291
FORMACIÓN INICIAL DE MAESTRAS/OS DESDE LA PERSPECTIVA DE LOS
SABERES PRÁCTICOS
María Sotos Serrano
Universidad de Castilla-La Mancha. España
Núcleo temático: IV. Formación del profesorado en Matemáticas.
Modalidad: CB
Nivel educativo: 5. Formación y actualización docente
Palabras clave: Saber pedagógico, Escuela Nueva, Formación docente, Enseñanza de las
Matemáticas
Resumen La teoría del saber pedagógico (Tardif) plantea la importancia de los saberes prácticos en la
formación del docente, obtenidos mediante procesos de reflexión compartida. Dicho proceso de
desarrollo de los saberes prácticos se puede investigar mediante historias de vida, especialmente
los casos que puedan caracterizarse como buenas prácticas.
En el caso de la profesora M. Antònia Canals i Tolosa, la reflexión compartida parte de los
principios fundamentales de la Escuela Nueva (representados en las teorías de Dewey y de
Claparède) y produce los proyectos educativos de las escuelas Talitha y Ton i Guida. En el ámbito
de la enseñanza de las matemáticas, parte del modelo clásico de Montessori para ir construyendo
otro más personal, con un profundo conocimiento matemático y con las aportaciones de Piaget y
Dienes en el ámbito de la didáctica de las matemáticas.
Esto plantea la necesidad de que la formación inicial de maestras y maestros permita que los
futuros docentes cuenten con formación teórica y con conocimiento práctico de experiencias
escolares de éxito, recuperando así parte de la tradición histórica de la renovación pedagógica
que tuvo lugar en España antes de la dictadura franquista, e iniciando procesos de reflexión
compartida sobre sus prácticas escolares.
La formación profesional docente es un proceso complejo que abarca un largo período de tiempo
(sólo hay que pensar en la denominada formación permanente), y en el que intervienen múltiples
factores. Esos factores y ese dilatado período son los que determinan el saber pedagógico de cada
sujeto.
Este concepto de saber pedagógico procede del marco teórico de la teoría de los saberes docentes
de Tardif (2004), en donde plantea este concepto, que consiste en “una construcción propia dentro
407
del sujeto, que lleva a cabo como resultado de las interacciones entre sus disposiciones internas y
el contexto cultural y social de manera activa y participativa, que le permite organizar, interpretar
y reestructurar el conocimiento con la experiencia, los saberes previos y la información que de
diversas fuentes recibe” (Díaz, 2005, p. 6).
En ese saber pedagógico está incluida la información recibida durante la formación académica,
pero también otros saberes previos, así como las experiencias acumuladas por cada sujeto. Y dicho
saber pedagógico no es el resultado de la suma de estos factores, sino de determinadas
interacciones entre sus disposiciones internas y el contexto sociocultural.
De manera mucho más analítica, Tardif ha distinguido entre diferentes saberes docentes que
proceden de diferentes fuentes. En primer lugar señala los saberes profesionales, que son el
conjunto de saberes transmitidos por los centros de formación del profesorado.
En segundo lugar habla de los saberes disciplinarios, que “son los saberes de que dispone nuestra
sociedad que corresponden a los diversos campos del conocimiento, en formas de disciplinas,
dentro de las distintas facultades y cursos” (Tardif, 2004, p. 30).
En tercer lugar están los saberes curriculares, que “se presentan en forma de programas escolares
(objetivos, contenidos, métodos) que los profesores deben aprender a aplicar” (Tardif, 2004, p.
30).
Y finalmente los saberes experienciales o prácticos: “los mismos maestros, en el ejercicio de sus
funciones y en la práctica de su profesión, desarrollan saberes específicos, basados en su trabajo
cotidiano y en el conocimiento de su medio. Esos saberes brotan de la experiencia, que se encarga
de validarlos” (Tardif, 2004, p. 30).
Los tres primeros tipos de saberes son de carácter externo, aunque el docente termine por
incorporarlos. Determinadas instituciones son las encargadas de organizarlos y transmitirlos,
mientras que los saberes prácticos son producidos en el interior del propio docente, a partir de sus
experiencias. Es más, Tardif señala que “los saberes experienciales surgen como núcleo vital del
saber docente, núcleo a partir del cual los profesores tratan de transformar sus relaciones de
carácter exterior con los saberes en relaciones de carácter interior con su propia práctica. En este
sentido, los saberes experienciales no son saberes como los demás; están formados, en cambio,
por todos los demás, pero traducidos, « pulidos » y sometidos a las certezas construidas en la
práctica y en la experiencia” (Tardif, 2004, p. 41).
408
De hecho, son estos saberes prácticos los que forman el núcleo central de la competencia
profesional docente, pero sin que necesariamente tengan que considerarse como saberes
subjetivos, ya que ese saber experiencial se convierte en saber pedagógico mediante un proceso de
reflexión compartido. “A través de las relaciones con los compañeros y, por tanto, a través de la
confrontación entre los saberes producidos por la experiencia colectiva, los saberes experienciales
adquieren una cierta objetividad: las certezas subjetivas deben sistematizarse, a fin de
transformarse en un discurso de experiencia, capaz de informar o de formar a otros docentes y de
proporcionar una respuesta a sus problemas” (Tardif, 2004, p. 40).
Dada la importancia de estos saberes prácticos, resulta prioritario investigar sus procesos de
construcción, aunque sólo fuese por la utilidad práctica de destacar buenas prácticas que puedan
servir de guía en los procesos de formación inicial de maestras/os. Este tipo de investigación,
necesariamente diacrónica por la prolongación temporal de la construcción del saber pedagógico,
pasa por indagar las historia de vida de las/os maestras/os (Goodson, 2004). Así, como afirman
Bracho-López et al. (2014), es notorio el gran número de trabajos presentados en congresos que
tienen como hilo conductor las historias de vida asociadas a la formación del profesorado y a la
historia de la educación matemática.
Uno de estos ejemplos es el trabajo realizado sobre el caso de Maria Antònia Canals i Tolosa20.
Ahí se distingue entre el contexto familiar y el contexto social en el que desarrolla su biografía. Es
evidente que durante la formación inicial de maestras/os resulta muy difícil intervenir en el
contexto familiar, máxime si tenemos en cuenta que su influencia se produce, mayoritariamente,
durante los procesos de socialización primaria. Pero la propia formación inicial forma parte del
contexto social en el que se desenvuelven las/os futuras/os docentes, y en dicho período de
formación se pueden comenzar a desarrollar procesos de reflexión compartida sobre la práctica
escolar (tanto las que se producen durante el Practicum como las que ofrece la investigación
mediante historias de vida). ¿Qué puede utilizarse de un caso como el de Maria Antònia Canals?
20 La exposición completa de este caso puede consultarse en Sotos (2016), y una breve descripción
de la metodología empleada y del tipo de análisis realizado se encuentra en Sotos, López y
Sánchez (2016).
409
La maestra catalana reconoce el importante papel que han jugado tres personas en su formación
docente: Dolors Canals21, M. Teresa Codina22 y Alexandre Galí23. Cada una de ellas le ha servido
para consolidar las características fundamentales de su saber pedagógico (figura 1), pero detrás de
cada una de ellas hay unos planteamientos teóricos y prácticos de mayor alcance. Me refiero a la
influencia de la doctora M. Montessori y los planteamientos pedagógicos de la Escuela Nueva.
Figura 1. Modelo de Saber pedagógico de Maria Antònia Canals (Sotos, 2016, p. 93)
El paidocentrismo y la educación sensorial proceden de su entorno familiar, fundamentalmente a
través de su tía Dolors, pero tienen una referencia directa con el trabajo de la doctora Montessori,
que ocupa una posición destacada en el movimiento de renovación pedagógica de principios del
siglo XX, en el que se inscribe la Escuela Nueva. En este sentido, la construcción del saber
pedagógico de Maria Antònia Canals enseña más allá de su propia experiencia personal. Detrás de
los contactos personales y las prácticas escolares que ha mantenido a lo largo de toda su trayectoria
profesional, hay un soporte teórico-pedagógico de gran envergadura.
21 Tía paterna de Maria Antònia y maestra Montessori de ed. infantil en Barcelona, desde 1917
hasta 1961. 22 Fundadora de la escuela Talitha y cofundadora de la Associació de Mestres Rosa Sensat. 23 Pedagogo catalán hasta su exilio en 1939. Volvió a Barcelona en 1942 y fue un referente
fundamental para el movimiento de renovación pedagógica catalán.
410
En el ámbito más estrictamente pedagógico, la Escuela Nueva es una escuela activa centrada en el
niño. El aprendizaje se produce a partir de las propias experiencias del niño, la práctica precede a
la teoría. Esta idea está basada en lo que E. Claparède denominó las grandes leyes de la conducta,
la primera de las cuales es la ley de la necesidad: “toda necesidad tiende a provocar las reacciones
apropiadas para satisfacerla. Su corolario es: la actividad está siempre suscitada por una necesidad”
(Claparède, 2007: p. 74).
En una línea similar se encuentra el planteamiento de J. Dewey. Su concepto de interés es similar
al concepto de necesidad de E. Claparède. A partir del interés, o de la necesidad, de cada sujeto se
genera la actividad para satisfacerla. Se trata de organizar la enseñanza a partir de recompensas
intrínsecas (el acto de aprendizaje, en la medida en que soluciona un requerimiento personal
originado por un determinado interés o necesidad, es la recompensa misma), frente a la educación
conservadora que, al no construirse sobre los intereses del alumnado, necesita de todo un conjunto
de recompensas extrínsecas que obliguen al cumplimiento de las actividades académicas.
Para esta educación que surge del interés, J. Dewey propone una enseñanza basada en la
experimentación, de manera similar al papel que la experimentación juega en el desarrollo
científico. Este planteamiento no puede ser tachado de simplemente experimentalista, ya que
experiencia y pensamiento forman el conjunto que permite que se produzca el aprendizaje. “La
experiencia como ensayo supone cambio, pero el cambio es una transición sin sentido a menos
que esté conscientemente conexionada con la ola de retorno de las consecuencias que fluyen de
ella. Cuando una actividad se continúa en el sufrir las consecuencias, cuando el cambio introducido
por la acción se refleja en un cambio producido por nosotros, entonces el mero fluir está cargado
de sentido. Aprendemos algo. (…) De aquí se siguen dos conclusiones importantes para la
educación. 1) La experiencia es primariamente un asunto activo pasivo; no es primariamente
cognoscitiva. 2) Pero la medida del valor de una experiencia se halla en la percepción de las
relaciones o continuidades a que conduce. Comprende conocimiento en el grado en que acumula
o se suma a algo o tiene sentido” (Dewey, 2002: p. 124-125).
El propio Dewey señala que la experiencia en sí misma no aporta conocimiento. Para eso es
necesario poder establecer las relaciones pertinentes entre causa y efecto, algo que se realiza
involucrando al pensamiento. Y este pensamiento lo asimila a la reflexión, añadiendo además que
se debe distinguir entre las experiencias que no implican reflexión, que son las que se desarrollan
mediante el mecanismo de ensayo y error, y las que sí añaden ese proceso reflexivo. Las primeras
411
sirven para modificar la conducta, pero sólo porque el ensayo y error nos permite descartar unas
opciones y elegir aquella que satisface la necesidad. Pero las segundas son las que se pueden
asemejar al proceso del conocimiento científico. “De aquí que cambia la cualidad de la
experiencia; el cambio es tan significativo que podemos llamar reflexivo a este tipo de experiencia,
es decir, reflexivo por excelencia. El cultivo deliberado de esta fase del pensamiento constituye el
pensar como una experiencia definitiva. El pensar es, en otras palabras, el esfuerzo intencional
para descubrir conexiones específicas entre algo que nosotros hacemos y las consecuencias que
resultan, de modo que ambas cosas lleguen a ser continuas” (Dewey, 2002: p. 129).
Algo similar nos encontramos en el ámbito más específico de la enseñanza de las matemáticas. La
formación universitaria de Maria Antònia Canals la provee de una base matemática muy sólida,
pero la construcción de su manera de entender la didáctica de las matemáticas está directamente
marcada por sus prácticas escolares (primero como alumna de su tía, luego como maestra en las
escuelas Talitha y Ton i Guida, y después como formadora de maestras/os en la Associació de
Mestres Rosa Sensat, siendo la socia fundadora que ocupó la responsabilidad de la enseñanza de
las matemáticas).
A partir de esas prácticas escolares entra en contacto con los tres autores que más le han influido:
M. Montessori, J. Piaget y Z. P. Dienes.
Uno de los elementos característicos del método Montessori es el uso de materiales manipulativos.
La pedagoga italiana daba gran importancia a la educación sensorial, ya que los niños aprenden
tocando y mirando, para poder continuar investigando y descubriendo. No se persigue la simple
manipulación del material, sino lo que dicha manipulación puede desencadenar. Esta misma idea
es la que plantea C. Kamii cuando afirma que “no es la manipulación de los objetos en sí lo que es
importante en el aprendizaje de los niños. Lo que sí lo es, es la acción mental, la cual se estimula
cuando los niños tienen la posibilidad de tener los objetos en sus manos” (1990, p. 11).
Para Maria Antònia Canals, el material es el mejor punto de partida para poner en marcha el
pensamiento del niño. Y para el pensamiento matemático resulta fundamental el uso de materiales
que se basen en “relacionar” por cualidades sensoriales. La doctora Montessori plantea que las
actividades de clasificación y ordenación son básicas para desarrollar el pensamiento lógico y
412
Maria Antònia Canals sabe, por su formación matemática, que eso se corresponde perfectamente
con los fundamentos de las matemáticas, con relaciones de equivalencia y con relaciones de orden.
A partir de las ideas de M. Montessori, hace un análisis de los recursos manipulativos en la
enseñanza de las matemáticas que “es necesario para no caer en el error de considerar el material
manipulativo como un valor en sí mismo. Estos materiales tienen que estar siempre al servicio del
aprendizaje de las matemáticas y para ello hay que conocer sus alcances y sus limitaciones” (Sotos,
2016, p. 137).
Su papel en la Associació de Mestres Rosa Sensat, en donde era la máxima responsable de la
enseñanza de las matemáticas, le permitió profundizar en las obras de J. Piaget. Así, “descubre una
manera rigurosa de analizar las etapas de desarrollo del niño. No solo conoce la prueba de
conservación de la cantidad, sino que la pone en práctica con sus alumnos y comprueba que
funciona siempre. Pero hay otra cosa que le llama poderosamente la atención, que es el concepto
de imagen mental, que todavía no es el propio concepto matemático y que el niño la construye a
partir de sus percepciones. Esto le permite cerrar algunas dudas que tenía sobre el método
Montessori y le abre las puertas, entre otras cosas, al cálculo mental, comprendiendo así algunas
de las ideas que mantenía A. Galí” (Sotos, 2016, p. 122).
En ese proceso, el descubrimiento de los bloques lógicos de Dienes, que ponen en cuestión uno de
los principios del material Montessori, también supuso un avance importante en su manera de
abordar el razonamiento lógico.
En definitiva, el análisis del proceso de construcción del saber pedagógico de Maria Antònia
Canals permite descubrir, en un caso concreto de práctica profesional, elementos fundamentales
para la formación de cualquier docente:
Que existen fuertes conexiones entre los modelos pedagógicos teóricos y el trabajo
docente práctico.
Que es necesario reflexionar colectivamente para poder objetivar los saberes
experienciales.
Que en esa reflexión colectiva resulta muy productivo incorporar experiencias históricas
que puedan catalogarse como buenas prácticas.
413
Que sin la objetivación de los saberes experienciales es imposible completar la
construcción del saber pedagógico de cada docente.
Todos estos elementos se pueden asociar a la formación inicial de maestras/os, porque la reflexión
sobre la práctica también es algo que se puede entrenar (primero desde sus experiencias como
alumnado y, después, desde las experiencias del Practicum), y tienen la ventaja añadida de que
sirven para tender puentes entre docentes con experiencia y docentes en formación, entre práctica
y teoría.
Referencias bibliográficas
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Cano, A. (2014). Producción científica sobre narrativa en Educación Matemática en la Web of
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https://goo.gl/RTxy9p
Tardif, M. (2004). Los saberes del docente y su desarrollo profesional. Madrid: Narcea.
414
CB-295
LAS FUNCIONES SIGMOIDEAS COMO MODELO DE LA HISTÉRESIS
FERROMAGNÉTICA.
1Jorge M. Gianfelice. - 2Miqueas R. Menaglio. - 3Matías A. Ruggeroni.
[email protected]. - [email protected] - [email protected]
1Universidad de Buenos Aires. y P.I.D: Universidad Tecnológica Nacional (Facultad Regional
Delta, Campana). San Martin 1170. CP. 2084. Buenos Aires.
2P.I.D: Universidad Tecnológica Nacional (Facultad Regional Delta, Campana). San Martin
1170. CP. 2084. Buenos Aires.
3P.I.D: Universidad Tecnológica Nacional (Facultad Regional Delta, Campana). San Martin
1170. CP. 2084. Buenos Aires.
Modalidad: CB
Nivel Educativo: Educación de adultos.
Núcleo temático: Matemáticas y su integración con otras áreas.
Palabras claves: Histéresis – Modelos – Sigmoides – Ferromagnetismo
Resumen:
El estudio matemático de la histéresis magnética que proviene de los materiales ferromagnéticos
no es muy común y aparecen muy pocos reportes en la literatura vigente. Tal vez, esto es así
porque el ciclo de histéresis muestra una forma poco convencional para que se ajuste una función
matemática sencilla y pueda modelarlo con solo encontrar unos pocos parámetros. Existen
algunos trabajos que han mostrado un avance usando funciones sigmoides como base de la
modelación del ciclo de histéresis.
El presente trabajo tiene por objetico presentar un análisis completo de un tipo particular de
funciones sigmoides, que a nuestro criterio, permitan ajustar el ciclo de la histéresis magnética
para distintos casos de materiales. Se pretende mostrar como variando los parámetros fijos de la
función elegida podemos modelar la histéresis magnética obtenida experimentalmente. Así se
buscará una base teórica para distintos ciclos que permiten dar cuenta de datos que resulten de
interés en el estudio de materiales ferromagnéticos.
Finalmente pretendemos comparar nuestros resultados con los obtenidos de algunas de las teorías
vigentes basadas en otro tipo de función sigmoidea, dejando un espacio abierto para discutir si el
resultado es relevante y ha aportado un avance real al modelado en cuestión.
Introducción
El análisis de las funciones matemáticas definidas en una variable real generó una abundante
literatura a lo largo de la historia. Esto permitió no sólo modelar un gran número de hechos físicos,
415
sino también proporcionar una gran información en el momento de abordar trabajos de mediciones
con parámetros fijos y variables.
En la mayoría de las aplicaciones de materiales ferromagnéticos, las propiedades magnéticas son
más convenientes expresarlas como curvas de magnetización o familias de ciclos de histéresis. La
ausencia de un modelo cuantitativo adecuado del comportamiento de estos materiales ha
provocado mucha dificultad, tanto en la comprensión del proceso magnético como en la
descripción de la variabilidad de la magnetización con otros parámetros, tales como la fatiga o la
temperatura.
Aunque no hay una forma totalmente general de representar un ciclo de histéresis en materiales
ferromagnéticos, sí existe una forma de ciclo que se reproduce con frecuencia en la práctica. A
esta forma se la denominaremos "ciclo sigmoideo" representado por dos funciones sigmoideas
que han sido discutidas por Craik y Tebble. Su forma general se muestra en la figura 1,
En
esta
presentación vamos a mostrar como un determinado grupo de funciones, que en colectivo
académico se la denominan “sigmoides” o “sigmoideas” permiten modelar el ciclo de histéresis de
un material ferromagnético al ser éste sometido a un campo magnético externo. Estas funciones
que se definen en el cuerpo de los números reales con forma de “S”, y de ahí su nombre, se las
pueden expresar por medio de diferentes fórmulas. Pero nosotros para el presente trabajo
utilizaremos la denominada función generatriz que viene dada por la expresión,
dxcbaxxf tanh)( 1
Asimismo, y antes de llevar a cabo el ajuste de la función al ciclo de histéresis, comenzaremos con
un estudio matemático analítico para la función elegida.
Análisis Matemático de la función
Las propiedades y caracterización analíticamente la función sigmoidea vienen dadas por los
parámetros fijos, a, b, c y d que son los números que establecen la forma específica de cada función
y de ahí su importancia para esclarecer el modelo que mejor se adecue al ciclo de histéresis
Figura 1. Dos funciones sigmoideas que configuran un ciclo cerrado simétrico que denominaremos ciclo sigmoideo.
-2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
1.0
2.0
3.0
y = x+1.5tanh(2(x-1))
y = x+1.5tanh(2(x+1))
416
ferromagnética. En el anexo I se pueden observar la variación de la función sigmoide al fijar tres
de estos parámetros y variar el cuarto.
Acotación y continuidad. Toda función sigmoidea está acotada por dos asíntotas. Estas asíntotas
se pueden encontrar siguiendo la teoría básica del cálculo diferencial sobre la lateralidad de límites.
Para el estudio vamos a considerar a la función sigmoidea de dos maneras diferentes:
Con a = 0: En este caso se puede observar que la función presenta dos asíntotas horizontales en
by e by .
Con a 0: En esta otra situación la función presenta dos asíntotas oblicuas que resultan ser,
b)(1 axxAs y b-)(2 axxAs .
Ritmo de cambio y puntos críticos. El estudio del ritmo de cambio de la curva sigmoidea permite
buscar puntos críticos con el fin de validar la representación del parámetro “d”. Parámetro que
expresa la inflexión de la curva, es decir el cambio de concavidad. Utilizando el criterio clásico
para encontrar puntos críticos, la derivada segunda de la función viene dada por,
dxcbdxcbcxf 2tanh1.tanh22)(''
si procedemos a obtener la única raíz real, ésta resulta ser d . Será ésta positiva o negativa cuando
según anule el argumento de la tangente hiperbólica, que es el término que anula la segunda
derivada. Así la raíz de la segunda derivada resulta ser,
dxsidxcbdxcbc
2tanh1.tanh220
Con el criterio de la tercera derivada podemos observar que resulta distinta de cero en la abscisa
que se anuló la segunda derivada. Así quedó probado que la curva tiene un punto de inflexión real
que marca el cambio de concavidad de la misma.
Relaciones y proporciones entre los parámetros fijos.
Definición de la curva como ciclo.
En este apartado vamos a definir un ciclo completo que genera la función sigmoidea. Para esto
partimos de la simetría que se establece de la función en términos de sus parámetros fijos. Esta
simetría debe respetar no solo su imagen especular respecto al eje de las abscisas sino también al
de las ordenadas. De esta manera, el valor de “d”, es el único, que como ya demostramos supra,
controla el punto de inflexión de la curva, y por ende su simetría cada vez que se mantengan fijos
los demás parámetros. Si procedemos ahora a tomar dos curvas sigmoideas con parámetros “d”
417
opuestos, estas generan el ciclo buscado, donde se puede apreciar un área cerrada como se muestra
en la figura 2,
De esta manera, para formar un ciclo
sigmoide se utilizarán dos funciones sigmoideas como se especifican a continuación,
x
dxcbax
dxcbaxxf
tanh
tanh)(
)4(
Es menester aclarar que esta función no es una función a trozos sino son dos funciones que se
acoplan para definir el ciclo buscado. Es decir, cada función con su correspondiente “d” expresa
la mitad del ciclo.
Aproximación asintótica y acople.
El acoplamiento entre dos funciones sigmoides, está directamente definido por las asíntotas que
describimos anteriormente y su relación con los parámetros fijos como mostraremos a
continuación. Cuando nos referimos al acople nos proponemos encontrar el punto de abscisa que
proyectado en la función establezca una aproximación a la asíntota con cierto porcentaje de error
pre-establecido. Así buscaremos una fórmula que relacione los parámetros fijos y que presente un
acople con una exactitud del 99,9%. Para ello consideramos una función sigmoide con a = 0, es
decir,
dxcbxf tanh)(
cuya asíntota horizontal viene dada por by . Así buscamos el punto de abscisa que contemple
una exactitud del 99,9% en la aproximación de entre )(xf y bf )( . Así,
ddc
c
3,8
)999,0(1tanh
)5(
Esta fórmula así definida, en términos de sólo dos de los parámetros fijos, permite conocer el valor
de abscisa con la exactitud que mencionamos. Es importante destacar que el cálculo también pudo
obtenerse con la función cuyo argumento es el opuesto del considerado en la fórmula )5( . Se
Figura 2. Área encerrada por un ciclo sigmoideo.
418
puede aclarar que, bajo el mismo error, no tiene sentido haber trabajado con a 0 ya que esta
situación genera asíntotas oblicuas, y en consecuencia el valor de a obtenerse es de inferior
valor numérico que el obtenido por la fórmula )5( . Es decir, que esta fórmula impone una cota, en
módulo, para los casos de ciclos sigmoides que exhiban asíntotas oblicuas. En la figura (3) se
pueden observar dos ciclos sigmoides, uno con a 0, y otro con a = 0. El valor resulta menor
en el caso de la asíntota oblicua, independientemente del ciclo considerado. Concluimos que la
exactitud del ciclo en la oblicua se mejora notablemente, y no tiene sentido buscar otra fórmula
para hallar el valor de .
Modelización y ajuste de la función sigmoidea a la curva de histéresis
Ahora vamos a establecer un ajuste por las relaciones y proporciones que se dan entre los
parámetros de la función sobre mediciones obtenidas empíricamente. Hay que tener en cuenta que
estos parámetros pueden variar de la forma, dycba 1,1,0 .
De esta manera pretendemos obtener información precisa de algunas de las magnitudes
significativas que derivan de la histéresis y dejando por sentado que no perseguimos dar un nuevo
modelo de dicho ciclo. En este trabajo presentamos solo dos magnitudes que derivan directamente
del sistema sintáctico presentado.
- El campo coercitivo y el campo remanente derivados de los parámetros y forma de la
función sigmoidea.
Para poder modelar el ciclo de histéresis ferromagnética partimos de la ecuación (1), donde la
magnetización ferromagnética del campo inducido viene dada por xH y el campo remanente
queda definido por )()( HBxf .Luego el modelo del ciclo sigmoideo definirá el ciclo de
histéresis de forma general,
dHcbaHHB tanh)(
Cuando 0)( HB el campo coercitivo está dado por cH ,
-2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
1.0
2.0
3.0
y = x+1.5tanh(2(x-1))
y = x+1.5tanh(2(x+1))
-3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0
-2.0
-1.0
1.0
y = tanh(x+1)
y = tanh(x-1)
Figura 3. Los valores de abscisas para una misma aproximación resultan siempre de menor valor absoluto en el caso que la función
sigmoidea venga dada por asíntotas oblicuas. Es decir, 21
.
1
2
419
dcHcbcaH tanh0
Si a su vez el termino lineal “a” es nulo, las asíntotas serán horizontales y cH quedará definido
por el parámetro “d” resultando,
dcH
)6(
Luego el campo remanente rB vendrá dado para 0cH , y siendo,
cdbrB tanh
Por otro lado si el termino lineal “a” no es nulo, la asíntotas no serán horizontales, entonces para
calcular el cH debemos considerar,
dcHcbcaH tanh0
)7(
Luego de operar algebraicamente con relaciones hiperbólicas, ver anexo II, y realizar una
aproximación lineal se puede observar que cH viene dado por,
b
adcb
acdbcaac
b
ac
acdbcacH
2422222
1)(
2
1
)8(
La raíz negativa de la ecuación (8) no tiene sentido y por ende se descarta. Asimismo se han tomado
varios casos particulares de ciclos de histéresis cuyas gráficas han arrojado un valor del campo
coercitivo con un error cuadrático del orden de 10-3. Es importante tener en cuenta que este error
se obtuvo con sólo una aproximación lineal.
- El cálculo del área de la histéresis sigmoidea, como magnitud física de la dureza
magnética del material.
El área encerrada entre las dos curvas, que conforman el ciclo de histéresis ferromagnética,
representa la dureza magnética del material en cuestión. Dicha área se puede calcular fácilmente
con la expresión,
bdÁrea 4
)9(
Una manera práctica de aceptar la fórmula )9( surge suponiendo que “c” toma un valor elevado
como se quisiera, lo que convierte al ciclo en un rectángulo de dbase 2 y baltura 2 , Asimismo
420
se en el anexo IV se puede ver la validación formal de dicha fórmula sin necesidad de hacer esta
última consideración sobre el valor de “c”. A continuación en la figura 4,
Ahora bien, sabiendo que el área entre curvas no cambia si variamos los parámetros “a” y “c”,
como se ve en la figura 5, podemos afirmar que el área se mantiene constante independientemente
de los otros parámetros.
Así
podemos afirmar que se
puede extrapolar la fórmula )9( para cualquier caso del modelo de ciclo ya explicado.
Conclusiones
El análisis de los parámetros fijos de la función sigmoidea nos permitió establecer la variación de
la forma de un ciclo sigmoideo. Estos parámetros permitieron una muy buena modelización de la
histéresis ferromagnética. Así, pudimos solapar dos curvas sigmoides con un error de 99,9% de
exactitud. Luego, teóricamente validamos el procedimiento utilizado basándonos en el ritmo de
cambio de las curvas. Asimismo establecimos las relaciones entre los parámetros mencionados y
estimamos una fórmula para calcular, con cierta aproximación, el valor del campo coercitivo y
remanente del ciclo de histéresis.
Las fórmulas (6) y (8) dan cuenta del cálculo con un error determinado por la aproximación lineal
utilizada Aproximación que se puede mejorar al aumentar el grado del polinomio interpolador.
Finalmente, en función de los resultados obtenidos, encontramos una aproximación del área del
ciclo de histéresis. Se observó que el área no depende de los parámetros “a” y “c” y conjuntamente
pudimos obtener una fórmula muy sencilla basada en el cálculo del campo coercitivo. El obtener
un buen resultado del área del ciclo de histéresis permite dar con un adecuado valor de la dureza
Figura 4. Se puede observar un ciclo de histéresis para un valor c = 100. El mismo se torna casi rectangular.
Figura 5. Dos ciclos sigmoides muy diferentes pero con igual área.
421
ferromagnética de los materiales. De ahí la importancia de la búsqueda de un modelo adecuado
para el ciclo, tarea que recién comienza.
Bibliografía
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Jiles D.C. y D.L. Atherton, Theory of ferromag-netic hysteresis, Journal of Magnetism and
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Shervátov, V. G. (1984). Funciones Hiperbólicas (2º Edición). Moscú. Ed. Mir.
Tom M. Mitchell, 1997. Machine Learning, WCB-McGraw-Hill.
Anexo I
422
Parámetros fijos. La opción de función sigmoidea considerada presenta cuatro parámetros fijos.
A continuación vamos a caracterizarlos, fijando tres y variando uno.
Parámetro (d): Éste valor determina el punto de inflexión de la curva. La figura 1 se presenta la
función sigmoidea con la variación de este parámetro previa fijación de los demás. Asimismo se
especifican sus valores en la tabla 1,
Parámetro (c): Este parámetro controla la razón de cambio en el eje de las abscisas. La Figura 2
presenta la variación de este parámetro previa fijación de los demás. Asimismo se especifican los
valores en la tabla 2,
Parámetros fijos
a b c d
1 1 1 0.5
1 1 1 1.0
1 1 1 1.5
1 1 1 2.0
1 1 1 2.5
Parámetros fijos
a b c d
1 1 0.70 1
1 1 1.00 1
1 1 2.00 1
1 1 10.00 1
1 1 100.00 1
1.0 2.0
-1.0
1.0
2.0
y = x+tanh(1(x-1))
y = x+tanh(100(x-1))
y = x+tanh(2(x-1))
y = x+tanh(10(x-1))
y = x+tanh(0.7(x-1))
1.0 2.0 3.0 4.0
-2.0
-1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
y = x+tanh(x-0.5)
y = x+tanh(x-1)
y = x+tanh(x-1.5)
y = x+tanh(x-2)
y = x+tanh(x-2.5)
Tabla 2. Variación del parámetro c. Figura 3. Cinco casos que muestran la variación del parámetro c.
Tabla 1. Variación del parámetro d. Figura 1. Die casos que muestran la variación del parámetro d.
423
Parámetro (b): Este parámetro controla la razón de cambio en el eje de las ordenadas. La figura 3
presenta la variación de este parámetro previa fijación de los demás. Asimismo se especifican los
valores en la tabla 3,
Parámetro (a): Este parámetro controla linealmente las asíntotas. A continuación en la figura 4
se presenta la variación de este parámetro previa fijación de los demás. Asimismo se especifican
los valores en la tabla 4,
Parámetros fijos
a b c d
1 0.5 1 1
1 1.0 1 1
1 2.0 1 1
1 3.0 1 1
1 5.0 1 1
Parámetros fijos
a b c d
0.50 1 1 1
1.00 1 1 1
1.50 1 1 1
2.00 1 1 1
3.00 1 1 1
-7.0 -6.0 -5.0 -4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
-10.0
-9.0
-8.0
-7.0
-6.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
y = x+0.5tanh(x-1)
y = x+tanh(x-1)
y = x+2tanh(x-1)
y = x+3tanh(x-1)
y = x+5tanh(x-1)
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
-10.0
-9.0
-8.0
-7.0
-6.0
-5.0
-4.0
-3.0
-2.0
-1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
11.0
12.0
13.0
14.0
y = 0.5x+tanh(x-1)
y = x+tanh(x-1)
y = 1.5x+tanh(x-1)
y = 2x+tanh(x-1)
y = 3x+tanh(x-1)
Tabla 3. Variación del parámetro b. Figura 3. Cinco casos que muestran la variación del parámetro b.
Tabla 4. Variación del parámetro a. Figura 4. Cinco casos que muestran la variación del parámetro a.
424
Anexo II.
En este aparado demostraremos como obtener una fórmula para calcular el campo coercitivo
cuando aparecen en el ciclo de histéresis asíntotas oblicuas, es decir cuando dcH . Dada la
trascendencia de la función sigmoide usaremos, para nuestro objetivo, una aproximación lineal
con un polinomio de Taylor de primer orden para obtener una estimación aceptable del cH ,
))(tanh(0)( dHcbaHHB ccc 1
Transcribiendo la tangente hiperbólica en forma exponencial se obtiene,
1
21)tanh(
2
xex
Así resulta,
1
21))(tanh(
)(2 dHccce
bdHcb
Luego la ecuación (1) se puede expresar en forma exponencial como,
1
21
)(2 dHccce
baH
Operando algebraicamente,
211)(2
c
dHcH
c
ae c
211)(21
cc H
c
adHc
0222222
cdcH
b
acdcbacH
b
ac
Finalmente aplicando la resolvente se consigue,
b
ac
cdb
ac
b
acdcba
b
acdbca
cH4
22
4
2
2222
b
dac
b
acdcba
ac
b
ac
acdbcacH
224
2
2
1
2
1
425
Esta última fórmula permite obtener el campo coercitivo cuando aparecen asíntotas oblicuas en el
ciclo de histéresis con el margen de error que arroja la aproximación lineal que se utilizó. Margen
que hemos estimado en forma numérica con el programa Excel.
Anexo III.
Demostración del cálculo del área encerrada por el ciclo.
dxgfA xx )()(lim
dxdxcbaxdxcbaxA
))(tanh())(tanh(lim
dxdxcdxcbA
))(tanh())(tanh(lim
c
xdc
xdc
bA))(cosh(
))(cosh(ln
lim
))((cosh
))((coshlnlim
2
2
dc
dc
c
bA
))(cosh(
))(cosh(lnlim2
dc
dc
c
bA
426
cd
cd
cd
cdccdc
ccdcdc
dcdc
dcdc
ee
e
eeee
eeee
ee
ee
dc
dc 2
2
2
)()(
)()( 2
2))(cosh(
))(cosh(lim
cdedc
dc cd 2ln))(cosh(
))(cosh(lnlim 2
cdc
bA 22
dbA 4
427
CB-300
METODOLOGIA DE ENSINO EM CONTEXTOS FORMATIVOS DE PROFESSORES
DE MATEMÁTICA NA MODALIDADE A DISTÂNCIA
Zenilda Botti Fernandes
Universidade Federal do Pará - Brasil
Modalidade: Comunicação Breve (CB)
Nivel educativo: Formação e atualização de ensino (5)
Núcleo temático: Formação de Professores de Matemáticas
Palavras chaves: Metodologia, EaD, Formação, Matemática.
Resumo
Esse artigo tem por objetivo problematizar a metodologia de ensino no curso de formação de
professores de Matemática a Distância da UFPA. Para isso, adotei a abordagem histórico-crítica
como referencial teórico na composição dos dados, oriundos de fontes bibliográficas, documentais
e orais. Mediante a análise do projeto pedagógico do curso (PPC, 2005) constatei que está
embasado no modelo construtivista, cabendo ao aluno o papel de construir conhecimento por meio
de interações interpessoais e grupais, de acordo com o que preconizou Vygotsky (1987). A
pesquisa indicou concepções metodológicas de ensino aproximativas na direção das práxis
reiterativa e reflexiva (Vázquez, 2011), ao tomar o repasse de informações como o foco central
das tutorias presenciais, em coexistência com atividades mais interativas e participativas, apenas
nas disciplinas pedagógicas. O referencial esboçado no PPC e o realizado no cotidiano do curso,
revelam os desafios e as possibilidades engendradas pela EaD nos modos e dinâmicas que
caracterizam avanços e permanências nos procedimentos didáticos e nas atitudes de professores
formadores e de tutores presenciais. Essa investigação se situa na perspectiva colaborativa à
aprendizagem da docência em Matemática uma vez que a metodologia de ensino tem implicações
significativos na prática pedagógica do futuro professor.
1. Introdução
Esta comunicação faz parte da investigação realizada no doutorado, cujo objetivo é objetivo
problematizar a metodologia de ensino no curso de Licenciatura em Matemática na Modalidade a
Distância, da Universidade Federal do Pará, em consórcio com a Universidade Aberta do Brasil.
O programa é mantido pelo governo federal que articula as instituições de ensino superior e os
governos estaduais e municipais com vistas a atender às demandas locais por educação superior,
por meio da modalidade da educação a distância. A pesquisa em foco envolveu nove turmas do
curso que ingressaram em 2009, abrangendo várias microrregiões do Estado do Pará. Mais
objetivamente, busco identificar como se constitui e como se revela a metodologia de ensino na
formação de professores de Matemática em contextos de EaD.
428
2. Fundamentos teóricos
Os fundamentos teóricos da pesquisa estão baseados nos conceitos de metodologia de ensino,
dentre outros, para referenciar as análises que vou empreender, em coerência com a perspectiva
teórica adotada nesta investigação. O termo método vem do grego méthodos, que significa
caminho para se chegar a um fim. No contexto educacional, de acordo com Oliveira et al (2007),
“[...] o método é um caminho teórico para se investigar o real e o estudo teórico sobre a influência
deste método em uma prática. A questão metodológica da aplicabilidade do método constitui a
metodologia de ensino” (p. 144).
Em Oliveira et al (2007), a metodologia de ensino,
[...] Constitui uma postura, um enfrentamento da realidade na busca por compreendê-la em
sua totalidade (concretude), isto é, no próprio movimento dialético do real. A questão
metodológica apresenta-se mais complexa do que aparenta ser e reveste-se de significado
político por realizar a articulação de uma teoria de compreensão da realidade com uma
prática específica, tendo em vista o contexto histórico e social que as gerou (p.144).
O conceito de metodologia de ensino, referido por Oliveira et al (2007), é denominado de
Metodologia da Mediação Dialética (MMD) e por Vasconcellos (1995) de Metodologia Dialética
de Construção do Conhecimento em Sala de Aula (MDCC). Os dois autores apoiam suas premissas
no mesmo referencial teórico da dialética, e encontra apoio em Anastasiou (2003) que também
enfatiza o desenvolvimento das operações mentais “[...] iniciando por uma afirmação ou tese
inicial, seguida pela construção da sua contradição, ou antítese dela, para se chegar a uma
síntese”(p. 25).
Portanto, a metodologia na vertente crítico-dialética está apoiada na problematização para
estimular o pensamento crítico do aluno e tornar os conteúdos e os recursos como meios para
proporcionar experiências significativas na elaboração de soluções e o estabelecimento de novas
relações a cada contradição colocada nas situações de aprendizagem. Essa perspectiva teórica
serve de guia para a prática educativa, orientando a atividade do professor.
Considero que a metodologia de ensino está potencialmente envolvida nos processos de ensinar e
aprender, constituindo-se em práticas sociais que ocorrem pela mediação didático-pedagógica
na perspectiva da lógica dialética mediante a “[...] mobilização, a construção e a elaboração da
síntese do conhecimento, a partir do movimento do pensamento abstrato ao concreto em relação
com o contexto social mais abrangente”, conforme Vasconcellos (1994: pp. 46-47).
429
Por ensino, compreendo a prática educativa do professor permeada por um referencial que orienta
a tomada de decisões sobre a organização e a condução das atividades e as experiências de
aprendizagem dos alunos. Nesse processo entram em ação os procedimentos didático-pedagógicos
que viabilizam e colocam em operação os referenciais do método de ensino adotado.
Isso significa que o conhecimento veiculado conscientemente ou não, obedece a objetivos que
podem ser numa perspectiva liberal tradicional ou numa racionalidade mais crítica. A decisão, por
uma ou outra posição no trabalho dos professores formadores e dos tutores presenciais, vai
determinar práticas mais democráticas ou mais autoritárias.
Compreendo que a docência universitária, nessa modalidade de ensino, difere, ou deveria possuir
especificidades em relação ao curso presencial, em sua forma de organização e desenvolvimento,
dado que a relação teoria-prática perpassa primeiro por significados atribuídos pelo professor
formador ao seu trabalho, evidenciadas ou não no ato de ensinar, pelo tutor presencial.
Complementarmente, Vázquez (2011) contribui com o debate por meio da premissa da práxis
nos seguintes dizeres:
[...] A práxis se apresenta como uma atividade material, transformadora e adequada a fins.
Fora dela, fica a atividade teórica que não se materializa [...]. Mas, entretanto, não há práxis
como atividade puramente material, isto é, sem a produção de fins e conhecimentos que
caracteriza a atividade teórica (p. 239).
A partir dessa definição, Vázquez (2011) propõe os níveis da práxis em dois pares: a criadora e
a reiterativa ou imitativa; a reflexiva e a espontânea. O autor destaca que o conceito de nível é
relativo, uma vez que o sujeito não se separa do objeto e nem é superior ou inferior num momento
para deixá-lo de ser em outro. Na minha visão, trata-se da interinfluência que um critério nivelador
exerce sobre o outro critério. E mais, a especificidade presente em cada nível, não exclui a
vinculação com outros, como exemplo, a práxis reiterativa guarda parentesco com a espontânea,
ocorrendo com as demais, entre si, sem que, no entanto, eles fiquem isolados uns dos outros.
Aplicadas no contexto da formação de professores de Matemática na Modalidade a Distância,
essas premissas possibilitam identificar elementos das práticas, nas acepções formuladas pelo
autor, que podem estar num nível e outro durante a experiência docente, se revezando, se
alternando e se modificando.
As reflexões sobre metodologia de ensino e práxis em contextos de EaD, quardam singularidades
que transcendem as questões didático-pedagógicas com implicações sobre o modo como os alunos
se situam em relação ao conhecimento e a constituição de suas identidades como educadores
430
matemáticos e abrangem a postura e as atitudes dos professores formadores e dos tutores
presenciais, em consonância com o que propõe o PPC (2005):
[...] o conhecimento é reflexão pessoal sobre o aspecto social do mundo, tendo como
premissa a ideia de que o indivíduo é agente de seu conhecimento. Assim, cada pessoa
constrói significados e representações da realidade de acordo com suas experiências e
vivências em diferentes contextos. A produção de significados é um processo inicial e o
conhecimento é uma produção social (p,12).
3. Fundamentos metodológicos da pesquisa
Para o desenvolvimento da pesquisa adotei os fundamentos teórico-metodológicos da abordagem
histórico-dialética (Fiorentini e Lorenzato,2009), por considerá-la adequada ao estudo sobre
formação de professores, um processo dinâmico, crítico e transformador, que tem na práxis seus
fundamentos ontológicos e epistemológicos, cujos pressupostos consideram o contexto histórico,
o núcleo central para a compreensão e a interpretação da realidade social, e neste caso específico,
os significados dos fenômenos formativos.
Busquei na modalidade qualitativa (Bogdan & Biklen, 1994) os referenciais para realizar a
investigação pelo fato de propiciar a inserção do pesquisador no ambiente da pesquisa e possibilitar
a análise e a descrição de cada aspecto em sua riqueza e no que é relevante para a composição dos
dados em sua processualidade e não apenas em seus resultados.
Utilizei a entrevista semiestruturada e a análise documental para o processo de coleta de dados
por considerá-los importantes parâmetros para a compreensão da metodología de ensino a partir
das falas dos professores formadores e dos tutores presenciais, e das fontes documentais que
compõem o arcabouço legal e pedagógico do curso. O procedimento utilizado para a categorização
e interpretação dos dados foi a técnica de análise de conteúdo, a partir do que propôs Bardin (2011)
em três polos cronológicos: a pré-análise, a exploração do material e o tratamento dos resultados.
Os sujeitos da pesquisa foram selecionados intencionalmente por constituírem casos ricos em
informações, pelo fato de estarem inseridos no maior número de disciplinas e polos onde o curso
foi ofertado, e formaram dois grupos: cinco professores formadores (PF) - vinculados ao quadro
de servidores efetivos da UFPA, e cinco tutores presenciais (TP) que atuaram nos municípios/polos
nas áreas específica e pedagógica do curso. Em todo o percurso da investigação tomei os cuidados
éticos dos procedimentos utilizados com pesquisas que envolvem seres humanos.
4. Resultados da pesquisa
431
Nos termos desta comunicação, apresento os resultados da pesquisa que enfatizam o modo como
os professores formadores e os tutores presenciais perceberam os traços próprios e específicos no
desenvolvimento do seu trabalho relacionado às concepções de metodologia de ensino, oriundas
das entrevistas.
Em primeiro lugar, destaco os papeis do professor formador atribuídos a si mesmos. Os PF1, PF2
e PF3 se viram como “orientadores de aprendizagem e responsáveis pelo planejamento e pela
seleção e organização dos conteúdos”; os PF4 e PF5 focalizaram nos exercícios semanais e nas
avaliações.”
Em segundo lugar, os professores formadores enfatizaram a centralização do papel do aluno na
aprendizagem. Palavras e expressões como: “construtor e dono do seu conhecimento para a
aquisição da autonomia” por (PF1 e PF2); “autodidatismo e vontade de aprender” por (PF3); “autor
e protagonista” por (PF4); “resistência/passividade na mudança de atitudes em face do curso em
EaD” por (PF1 e PF4); “cumprimento da lista de exercícios, semanalmente” (PF5).
Em terceiro lugar figuraram as ideias em torno da metodologia de ensino. PF5 a identificou como
“um recurso interessante apenas para determinadas situações”. As demais posições defendidas
pelos PF1, PF3 e PF4, se restringiram à comparação da metodologia na EaD com o curso
presencial, e à “culpabilização da conduta do aluno em resistir às mudanças da EaD pelos hábitos
arraigados do ensino tradicional, trazidos do Ensino Médio. Além dos aspectos anteriores, a PF2
afirmou ser “difícil dizer que tem uma prática única, que essa prática não seja mesclada por todo
o seu eixo de formação e por todos os anos de sua trajetória profissional.”
A perspectiva metodológica do ensino, exposta pelos tutores presenciais, foi associada “[...] a
recursos didáticos e mediação entre universidade, tecnologia e o aluno [...]”; “[...] a aprendizagem
condicionada à vontade do aluno”; “o uso de técnicas diversificadas de ensino por meio de leituras,
seminários; o falar, o escrever e o ouvir para desenvolver habilidades” (TP1, TP2, TP3; TP5); “à
contextualização da aula” (TP4); “à organização do ensino feita pelo professor formador” (TP5);
dentre outras nuances interessantes de serem analisadas.
Nos termos da práxis educativa, a docência, exercida na formação de professores de Matemática,
apresenta posturas antagônicas: tradicionais e construtivistas, sem que seja possível estabelecer
uma linha demarcatória, onde começa uma e termina outra. Mesmo porque, elas estão
condicionadas por múltiplas variáveis, ora com o professor formador, ora com o tutor presencial e
vice versa. As percepções reveladas sobre metodologia de ensino pelos PF2 e PF4 e pelos TP1,
432
TP2, TP4 e TP5, estão mais próximas da concepção de Metodologia Dialética de Construção do
Conhecimento em sala de aula. O favorecimento do percurso pelo professor formador e pelo tutor
presencial seria pela escolha de uma metodologia de ensino coerente com essa concepção dialética
para o curso como um todo e pelo conjunto dos seus atores, e não apenas de uma ou duas
disciplinas ou de algumas tutorias.
A respeito de como deve ser o processo de ensino e aprendizagem, o PPC (2005) apresenta que:
As novas tecnologias permitem mudanças significativas nos ambientes educacionais. É variado o
conjunto de meios que podem ser utilizados na EAD, constituindo-se, entre outros, de impressos,
áudios, vídeos, multimídia, Internet, correio eletrônico (e-mail), chats, fóruns e videoconferencias
( p.12).
Por meio das narrativas, vislumbro possibilidades de superação da visão simplista de que
metodologia de ensino é “variar o ensino,” utilizando recursos virtuais ou físicos para motivar os
alunos a partir de um repertório de técnicas de ensino, o que incorreria no “mito metodológico”,
de solução genérica para todos os problemas de sala de aula. Um olhar mais atento me fez
perceber a fragilidade conceitual, presente nas narrativas de professores formadores e de tutores
presenciais, que tem provocado encaminhamentos acadêmico-pedagógicos que dificultam a
integração curricular e o diálogo entre os formadores entre si, e destes com os tutores presenciais.
A ênfase metodológica contextualizada e reflexiva encontra eco nas narrativas de tutores
presenciais (TP1, TP2, TP4) como passagem da idealização metodológica dos professores
formadores centradas em conteúdos. Segundo Melo (2012), “a metodologia de ensino favorece a
compreensão dos fundamentos epistemológicos da Matemática e sua relação com a realidade, seus
usos sociais e as diferentes linguagens com as quais se pode representar ou expressar um conceito
matemático (adaptado)( p.82).”
No que diz respeito às comparações com o ensino tradicional, a pesquisa de Pinheiro (2012)
coaduna com as narrativas de 100% dos professores formadores e dos tutores presenciais de que
reconhecem na EaD, o leitmotiv para mudanças na educação presencial. Beloni (2006) também
concorda que a EaD pode trazer transformações da função docente e nas concepções de
presencialidade e virtualidade em face da multidimensionalidade da práxis que se apresenta no
cotidiano das tutorias
Na minha compreensão, a aparente contradição das práxis, coloca o curso diante do desafio de se
voltar aos pressupostos teórico-metodológicos explicitados no PPC (2005) para manter a unidade
433
de propósito no seu ideário formativo de professores de Matemática e, ao mesmo tempo, gerenciar
com eficiência as limitações impostas pela baixa utilização do aporte dos recursos tecnológicos
como foi mencionado pelos tutores, limitados por problemas de infraestrutura de rede na maior
parte da região amazônica que poderiam potencializar a comunicação e a interatividade para
contribuir na melhoria da qualidade do curso.
5. Reflexões conclusivas
A pesquisa indicou concepções aproximativas na direção da práxis reiterativa e imitativa (Vázquez
2011), ao tomar o repasse de informações, como o foco central das tutorias, em contraste com o
referencial construtivista. No entanto, foi percebida a coexistência da práxis reflexiva (Vázquez,
2011), na busca por atividades mais interativas e participativas nas tutorias presenciais,
condizentes com o referencial esboçado no PPC. No intuito de enriquecer o debate, apontei a
Metodologia da Mediação Dialética em Oliveira et. al. (2007) e Vasconcellos (1995) para
problematizar a relação do aluno com o conhecimento em três momentos: o da mobilização para
o conhecimento, a construção do conhecimento e a elaboração e expressão da síntese do
conhecimento, por considerar que ela seja mais coerente com a formação de professores e a
aprendizagem Matemática.
O referencial esboçado no PPC e o realizado no cotidiano do curso, revelam os desafios e as
possibilidades engendradas pela EaD nos modos e dinâmicas que caracterizam avanços e
permanências nos procedimentos didáticos e nas atitudes de professores formadores e de tutores
presenciais, pois nem sempre seus discursos são coincidentes com a práxis, entre o pensar e o agir.
Portanto, essa investigação se situa na perspectiva colaborativa à aprendizagem da docência em
Matemática uma vez que a metodologia de ensino tem implicações significativas na prática
pedagógica do futuro professor, pois nem sempre são coincidentes com a práxis, entre o pensar e
o agir, entre o ideal e o real.
Referências bibliográficas
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434
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Bogdan, R.& Biklen, S.(1994). Investigação qualitativa em Educação: Uma introdução à teoria e
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Freire, P. (1999). Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. (10ª ed.). São
Paulo: Paz e Terra.
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Oliveira, E. M. & Almeida, J. L. V. ; Arnoni, M. E. B. (2007). Mediação dialética na educação
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