Complexidade do AlgoritmoCaminho Mínimo de Floyd - Warshall

Componentes● Lucas Vinícius● Luiz Ricardo● Pedro Santos

Roteiro da apresentação● Explicação do algoritmo● Pseudocódigo● Exemplo de execução● Dedução da complexidade

O que o algoritmo faz?● Encontra o menor caminho (os valores de tais caminhos e não as arestas

a serem percorridas) entre os pares de vértices de um dígrafo ponderado.

Explicação do algoritmo● O algoritmo preenche um matriz bidimensional,

caminho[][], onde caminho[i][j] é o tamanho do menor caminho entre os nodos i e j:○ Assume-se que a matriz está inicialmente preenchida com o

valor de cada aresta ou infinito (caso não haja uma aresta entre dois vértices).

Explicação do algoritmo● Fixa-se um vértice k do grafo; para cada par (i,j) de

vértices, é verificado se o menor caminho j conhecido entre (i, j) supera a soma do tamanho do caminho de i para k com o de k para j. Caso supere, o tamanho do menor caminho passa a ser essa soma.

Pseudocódigo

FUNC FLOYD_WARSHALL (CAMINHO[][])FOR K = 1 TO N

FOR I = 1 TO NFOR J = 1 TO N

CAMINHO[I][J] = MIN(CAMINHO[I][J], CAMINHO[I][K]+CAMINHO[K][J])

Exemplo de execução● Considere o seguinte grafo:

Nota: D(0) é a matriz de entrada, D(1) … D(N) são as matrizes após a iteração com cada vértice.

Exemplo de execução● Considere o seguinte grafo:

Nota: D(0) é a matriz de entrada, D(1) … D(N) são as matrizes após a iteração com cada vértice.

Exemplo de execução● Considere o seguinte grafo:

Nota: D(0) é a matriz de entrada, D(1) … D(N) são as matrizes após a iteração com cada vértice.

Exemplo de execução● Considere o seguinte grafo:

Nota: D(0) é a matriz de entrada, D(1) … D(N) são as matrizes após a iteração com cada vértice.

Exemplo de execução● Considere o seguinte grafo:

Nota: D(0) é a matriz de entrada, D(1) … D(N) são as matrizes após a iteração com cada vértice.

Dedução de complexidade● Cada laço for pode ser convertido em um somatório com o mesmo

valor inicial e final. Considerando a decisão do valor mínimo entre dois números (min(a, b)) como operação elementar e as atribuições e acessos a matrizes como tempo constante, a complexidade do algoritmo de Floyd-Warshall é dada por:

Dedução de complexidade● Pode-se converter o somatório da variável j em n, pois o resultado deste é

a soma n vezes do valor 1, e isolar este termo, que não depende da variável j, resultando no seguinte somatório:

● Ao repetir a dedução usada anteriormente com os somatórios das variáveis i e k, encontra-se o seguinte resultado:

Dedução de complexidade● Com a dedução anterior é perceptível que o algoritmo de

Floyd-Warshall possui complexidade O(n³), onde n é o número de vértices do grafo fornecido.

Referências● http://pt.slideshare.net/johnnatan20/caminhos-mnimos-fl

oyd?next_slideshow=1

● http://www.inf.ufrgs.br/~cgdaudt/inf05515/art1.pdf