complexidade assintótica - usp · 2016. 8. 24. · tempo de execução do algoritmo = soma dos...
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Complexidade Assintótica
Professores:
Norton T. Roman
Fátima L. S. Nunes
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INFORMAÇÃO
Vamos lembrar dos algoritmos de ordenação
Quais vocês já conhecem?
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INFORMAÇÃO
Vamos lembrar dos algoritmos de ordenação
Quais vocês já conhecem? Seleção (Selection Sort) Inserção (Insertion Sort) Bolha (Bubble Sort)
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Vamos lembrar dos algoritmos de ordenação
Quais vocês já conhecem? Seleção (Selection Sort) Inserção (Insertion Sort) Bolha (Bubble Sort)
Qual é o melhor ???
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Vamos lembrar dos algoritmos de ordenação
Quais vocês já conhecem? Seleção (Selection Sort) Inserção (Insertion Sort) Bolha (Bubble Sort)
Qual é o melhor ???
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INFORMAÇÃO
Vamos lembrar dos algoritmos de ordenação
Inserção Bolhavoid insercaoDireta(int [] numeros)
{ for (int ivet=1; ivet < numeros.length; ivet++) { int numaInserir = numeros[ivet]; int isubv = ivet; while ((isubv > 0) && (numeros [isubv -1] > numoAInserir)) { numeros[isubv] = numeros[isubv - 1]; isubv--; } numeros[isubv] = numAInserir; } }
void bolha(int [] numeros) { for (ivet = numeros.length - 1; ivet > 0; ivet--) {
for (isubv = 0; isubv < ivet; isubv++)
if (numeros[isubv ] > numeros[isubv+1]) { temp = numeros[isubv]; numeros [isubv] = numeros [isubv+1]; numeros [isubv+1] = temp; } } }
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INFORMAÇÃO
Vamos lembrar dos algoritmos de ordenação
Melhor em quê? tempo memória dificuldade
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Recordando...
Algoritmo
O que é?
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Recordando...
Algoritmo
Informalmente (Cormen et al., 2002):Qualquer procedimento computacional bem definido que toma algum valor ou conjunto de valores como entrada e produz algum valor ou conjunto de valores com saída.Sequência de passos computacionais que transformam a entrada na saída.
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Análise de Algoritmos
O que é analisar um algoritmo?
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Análise de Algoritmos
O que é analisar um algoritmo? Prever os recursos de que o algoritmo
necessitará. Quais recursos?
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Análise de Algoritmos O que é analisar um algoritmo?
Prever os recursos de que o algoritmo necessitará.
Quais recursos? memória, largura de banda de comunicação, hardware principal: tempo de computação
Análise de algoritmos: permite escolher o algoritmo mais eficiente dentre
um conjunto de candidatos para resolver um problema
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Análise de Algoritmos
Em geral, tempo de duração de um algoritmo cresce com o tamanho da entrada
É usual descrever o tempo de execução de um programa como uma função do tamanho de sua entrada.
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Análise de Algoritmos Em geral, tempo de duração de um algoritmo cresce
com o tamanho da entrada Tamanho de entrada (n):
depende do problema estudado maioria dos problemas: número de itens de entrada exemplo: ordenação (quantidade de elementos do arranjo)
Tempo de execução: quantidade de operações primitivas ou etapas executadas para uma
determinada entrada vamos considerar que cada linha i leva um tempo constante ci
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Análise de Algoritmos Função de custo de um algoritmo
representa o custo de tempo de cada instrução e o número de vezes que cada instrução é executada
Exemplo: insertion-sort(A) (entrada: array A que tem tamanho n)
custo vezes
c1 n
c2 n-1
0 n-1
c4 n-1
c5
c6
c7
c8 n-1
∑j=2
n
t j
∑j=2
n
( t j−1 )
∑j=2
n
( t j−1 )
1 para j = 2 até tamanho[A] faça
2 chave = A[j]
3 // ordenando elementos à esquerda
4 i = j – 1
5 enquanto i > 0 e A[i] > chave faça
6 A[i+1] = A[i]
7 i = i -1
8 fim enquanto
9 A[i+1] = chave
10 fim para
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INFORMAÇÃO
Análise de Algoritmos Tempo de execução do algoritmo = soma dos tempos de execução para cada
instrução
T(n)=c1n + c2(n-1) + c4(n-1) + c5 + c6 + c7 + c8 (n-1)
1 para j = 2 até tamanho[A] faça
2 chave = A[j]
3 // ordenando elementos à esquerda
4 i = j – 1
5 enquanto i > 0 e A[i] > chave faça
6 A[i+1] = A[i]
7 i = i -1
8 fim enquanto
9 A[i+1] = chave
10 fim para
custo vezes
c1 n
c2 n-1
0 n-1
c4 n-1
c5
c6
c7
c8 n-1
∑j=2
n
t j
∑j=2
n
( t j−1 )
∑j=2
n
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∑j=2
n
t j ∑j=2
n
( t j−1 ) ∑j=2
n
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INFORMAÇÃO
Análise de Algoritmos Tempo de execução do algoritmo = soma dos tempos de execução para cada
instrução
T(n)=c1n + c2(n-1) + c4(n-1) + c5 + c6 + c7 + c8 (n-1)
Melhor caso: vetor já ordenado (A[i] ≤ chave na linha 5 tj=1 para j=2,3,...,n)
T(n)=c1n + c2(n-1) + c4(n-1) + c5(n-1) + c8(n-1) =( c1+ c2 + c4 + c5 + c8)n - (c2 + c4 + c5 + c8)
Tempo de execução, neste caso, pode ser expresso como an + b para constantes a e b que dependem dos custos de instrução ci função linear de n
∑j=2
n
t j ∑j=2
n
( t j−1 ) ∑j=2
n
( t j−1 )
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INFORMAÇÃO
Análise de Algoritmos Tempo de execução do algoritmo = soma dos tempos de execução para cada
instrução
T(n)=c1n + c2(n-1) + c4(n-1) + c5 + c6 + c7 + c8 (n-1)
Pior caso: vetor em ordem inversa (deve comparar cada elemento A[j] com cada elemento do subarranjo ordenado A[j... j-1] tj=j para j=2,3,...,n)
Tempo de execução, neste caso, pode ser expresso como an2 + bn + c para constantes a, b e c que dependem dos custos de instrução ci função quadrática de n
∑j=2
n
t j ∑j=2
n
( t j−1 ) ∑j=2
n
( t j−1 )
T (n )=c1 n+c2( n−1 )+c 4( n−1 )+c5
n(n−1 )2
−1+c6
n(n−1)2
+c7
n(n−1 )2
+c8 (n−1 )=
(c5
2+
c6
2+
c7
2 )n2+(c1 +c2+c4+c5
2−
c6
2−
c7
2+c8 )n−(c2+c4 +c5 +c8 )
∑j=2
n
( j−1 )=n(n−1 )
2∑j=2
n
( j)=n (n−1)
2−1
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INFORMAÇÃO
Análise de Algoritmos Em geral:
tempo de execução de um algoritmo é fixo para uma determinada entrada
analisamos apenas o pior caso dos algoritmos: é um limite superior sobre o tempo de execução de qualquer entrada; pior caso ocorre com muita frequência para alguns algoritmos. Exemplo:
registro inexistente em um banco de dados; muitas vezes, o caso médio é quase tão ruim quanto o pior caso
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INFORMAÇÃO
Análise de Algoritmos Nas análises anteriores, foram feitas algumas simplificações em relação às
constantes, chegando à função linear e à função quadrática
Taxa de crescimento ou ordem de crescimento:
considera apenas o termo inicial de uma fórmula (exemplo: an2), pois os termos de mais baixa ordem são relativamente insignificantes para grandes valores de n;
ignora o coeficiente constante do termo inicial também por ser menos significativo para grandes entradas;
Portanto, dizemos que: a ordenação por inserção, por exemplo, tem um tempo de execução do pior caso igual a (n2) (lê-se “theta de n ao quadrado”);
Em geral, consideramos um algoritmo mais eficiente que outro se o tempo de execução do seu pior caso apresenta uma ordem de crescimento mais baixa.
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INFORMAÇÃO
Exercício
Criar o gráfico do insertion sort, medindo o tempo médio, melhor e pior caso.
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INFORMAÇÃO
Exercício
Criar o gráfico do insertion sort, medindo o tempo médio, melhor e pior caso.
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INFORMAÇÃO
Complexidade? Assintótica?
Complexidade
(cs) sf (complexo+dade) Qualidade do que é complexo. Complexo
(cs) adj (lat complexu) 1 Que abrange ou encerra muitos elementos ou partes. 2 Que pode ser considerado sob vários pontos de vista. 3 Complicado.
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INFORMAÇÃO
Complexidade? Assintótica?
Assintótico
adj (assíntota+ico2) Geom 1 Pertencente ou relativo à assíntota. 2 Qualificativo do espaço compreendido entre uma curva e a sua assíntota. 3 Diz-se da direção paralela de uma assíntota. Var: assimptótico.Assíntota
sf (gr asýmptotos) Geom Linha reta que se aproxima indefinidamente de uma curva sem nunca poder tocá-la. Var: assímptota.
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INFORMAÇÃO
Complexidade? Assintótica?
Assíntota
sf (gr asýmptotos) Geom Linha reta que se aproxima indefinidamente de uma curva sem nunca poder tocá-la. Var: assímptota.
A função f(x)=1/x tem como assíntotas os eixos coordenados.
(Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Assímptota)
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INFORMAÇÃO
Complexidade assintótica
● Em ciência da computação e matemática aplicada, particularmente a análise de algoritmos, análise real, e engenharia, análise assintótica é um método de descrever o comportamento de limites. Exemplos incluem o desempenho de algoritmos quando aplicados a um volume muito grande de dados de entrada, ou o comportamento de sistemas físicos quando eles são muito grandes.
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INFORMAÇÃO
Crescimento Assintótico de Funções
Escolha do algoritmo não é um problema crítico quando n é pequeno. O problema é quando n cresce.
Por isso, é usual analisar o comportamento das funções de custo quando n é bastante grande: analisa-se o comportamento assintótico das funções de
custo; representa o limite do comportamento da função de custo
quando n cresce.
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INFORMAÇÃO
Crescimento Assintótico de Funções
Eficiência assintótica dos algoritmos: estuda a maneira como o tempo de execução de um
algoritmo aumenta com o tamanho da entrada no limite, à medida que o tamanho da entrada aumenta indefinidamente (sem limitação)
em geral, um algoritmo que é assintoticamente mais eficiente será a melhor escolha para toda as entradas, exceto as pequenas.
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INFORMAÇÃO
Vamos ordenar
Quais funções “crescem mais”?
f(n) = n
f(n) = nlogn
f(n) = lognf(n) = n²
f(n) = 100n² + 15 n
f(n) = 2n
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INFORMAÇÃO
Vamos ordenar
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INFORMAÇÃO
Comportamento Assintótico
Vamos comparar funções assintoticamente, ou seja, para valores grandes, desprezando constantes multiplicativas e termos de menor ordem.
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INFORMAÇÃO
Comportamento Assintótico Supondo uma máquina que execute 1 milhão (106)
de operações por segundon
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INFORMAÇÃO
Comportamento Assintótico Influência do aumento de velocidade dos computadores no
tamanho do problema, considerando a complexidade assintótica Exemplo: um aumento de 1000 vezes na velocidade do computador
resolve, considerando o mesmo tempo, um problema dez vezes maior de complexidade (n3) e um problema 1000 vezes maior se a complexidade for (n).
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INFORMAÇÃO
Comportamento Assintótico – Resumindo...
Se f(n) é a função de complexidade de um algoritmo A O comportamento assintótico de f (n) representa o limite do
comportamento do custo (complexidade) de A quando n cresce.
A análise de um algoritmo (função de complexidade) Geralmente considera apenas algumas operações elementares ou
mesmo uma operação elementar (e.g., o número de comparações).
A complexidade assintótica relata crescimento assintótico das operações elementares.
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INFORMAÇÃO
Relacionamento Assintótico Definição:
Uma função g(n) domina assintoticamente outra função f(n) se existem duas constantes positivas c e m tais que, para n ≥ m, tem-se |f(n)| ≤ c . |g(n)|.
m
n
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INFORMAÇÃO
Relacionamento Assintótico Definição:
Uma função g(n) domina assintoticamente outra função f(n) se existem duas constantes positivas c e m tais que, para n ≥ m, tem-se |f(n)| ≤ c . |g(n)|.
m
n
Exemplo:
g(n) = n e f (n) = n2
Alguém domina alguém? ???
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INFORMAÇÃO
Relacionamento Assintótico Definição:
Uma função g(n) domina assintoticamente outra função f(n) se existem duas constantes positivas c e m tais que, para n ≥ m, tem-se |f(n)| ≤ c . |g(n)|.
m
n
Exemplo:
g(n) = n e f (n) = n2
Alguém domina alguém?
∣n∣ ≤ ∣n2∣ para todo n ∈ N
• Para c = 1 e m = 0 ⇒ g(n) ≤ f(n)∣ ∣ ∣ ∣• Portanto, f (n) domina assintoticamente g(n).
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Relacionamento Assintótico
g(n) = n e f (n) = -n2
Alguém domina alguém? ???
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Relacionamento Assintótico
g(n) = n e f (n) = -n2
Alguém domina alguém? |n| ≤ ∣-n2∣ para todo n N.∈
Por ser módulo, o sinal não importa
Para c = 1 e m = 0 ⇒ ∣g(n)∣ ≤ ∣f(n)∣.
Portanto, f (n) domina assintoticamente g(n).
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Relacionamento Assintótico
g(n) = (n+1)2 e f (n) = n2
Alguém domina alguém? ???
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Relacionamento Assintótico
g(n) = (n+1)2 e f (n) = n2
Alguém domina alguém? Vamos colocar em um
gráfico(n+1)2
n2
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INFORMAÇÃO
Relacionamento Assintótico
g(n) = (n+1)2 e f (n) = n2
Alguém domina alguém? Vamos colocar em um
gráfico ∣n2∣ ≤ ∣(n+1)2∣, para n ≥ 0 g(n) domina f(n)
(n+1)2
n2
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INFORMAÇÃO
Relacionamento Assintótico
g(n) = (n+1)2 e f (n) = n2
Alguém domina alguém? Será somente isso? Não há como f(n) dominar
g(n)? ???
(n+1)2
n2
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INFORMAÇÃO
Relacionamento Assintótico
g(n) = (n+1)2 e f (n) = n2
Alguém domina alguém? Não há como f(n) dominar g(n)?
Lembre que a definição envolve também uma constante. Suponha que queremos g(n) ≤ cf(n) Então ∣(n+1)2∣ ≤ ∣cn2∣
Mas, para isso, basta que ∣(n+1)2∣ ≤ ∣(√c n)2∣, ou ∣n+1∣ ≤ ∣√c n∣
Se √c = 2, ou seja, c=4, isso é verdade
(n+1)2
n2
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INFORMAÇÃO
Relacionamento Assintótico
g(n) = (n+1)2 e f (n) = n2
Alguém domina alguém? |(n+1)2 |≤ ∣4n2∣, para n ≥ 1 f(n) domina g(n), para n ≥ 1
Nesse caso, dizemos que f(n) e g(n) dominam assintoticamente uma a outra.
(n+1)2
4n2
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INFORMAÇÃO
Notação O
Knuth(1971) * criou a notação O (lê-se "O grande") para expressar que g(n) domina assintoticamente f(n) Escreve-se f(n) = O(g(n)) e lê-se: "f(n) é da ordem no máximo
g(n)".
Para que serve isto para o Bacharel em Sistemas de Informação?
*Knuth, D.E. (1971) "Mathematical Analysis of Algorithms". Proceedings IFIP Congress 71, vol. 1, North Holland, Amsterdam, Holanda, 135-143.
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INFORMAÇÃO
Notação O Knuth(1971) * criou a notação O (lê-se "O grande") para
expressar que g(n) domina assintoticamente f(n) Escreve-se f(n) = O(g(n)) e lê-se: "f(n) é da ordem no máximo
g(n)".
Para que serve isto ? Muitas vezes calcular a função de complexidade g(n) de um
algoritmo A é complicado. É mais fácil determinar que f (n) é O(g(n)), isto é, que
assintoticamente f(n) cresce no máximo como g(n).
*Knuth, D.E. (1971) "Mathematical Analysis of Algorithms". Proceedings IFIP Congress 71, vol. 1, North Holland, Amsterdam, Holanda, 135-143.
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INFORMAÇÃO
Notação O Definição:
O(g(n)) = {f(n): existem constantes positivas c e n0 tais que 0 ≤ f(n) ≤ cg(n), para todo n ≥ n0}
Informalmente, dizemos que, se f(n) ∈ O(g(n)), então f(n) cresce no máximo tão rapidamente quanto g(n).
n0
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INFORMAÇÃO
Notação O
Definição: O(g(n)) = {f(n): existem constantes positivas c e n0 tais
que 0 ≤ f(n) ≤ cg(n), para todo n ≥ n0}
?
???
32
n2−2 n∈O(n2)
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INFORMAÇÃO
Notação O
Definição: O(g(n)) = {f(n): existem constantes positivas c e n0 tais que
0 ≤ f(n) ≤ cg(n), para todo n ≥ n0}
?
Fazendo c = 3/2, teremos , para n0 ≥ 2
Outras constantes podem existir, mas o que importa é que existe alguma escolha para as constantes
32
n2−2 n∈O(n2)
32
n2−2n≤32
n2
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INFORMAÇÃO
Notação O
Usamos a notação O para dar um limite superior sobre uma função, dentro de um fator constante.
n0
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INFORMAÇÃO
Notação O Com a notação O podemos descrever frequentemente o
tempo de execução de um algoritmo apenas inspecionando a estrutura global do algoritmo. Exemplo:
estrutura de laço duplamente aninhado no algoritmo insertion-sort (visto anteriormente) produz um limite superior O(n2) no pior caso:
custo do laço interno é limitado na parte superior por O(1) (constante) índices i e j são no máximo n laço interno é executado no máximo uma vez para cada um dos n2 pares de
valores correspondentes a i e j
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Notação O – o pior caso
Como a notação O dá um limite superior, quando empregado ao pior caso...
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Notação O – o pior caso
Como a notação O dá um limite superior, quando empregado ao pior caso... indica que esse limite vale para qualquer instância
daquele algoritmo.
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Notação O – o pior caso
Como a notação O dá um limite superior, quando empregado ao pior caso... indica que esse limite vale para qualquer instância
daquele algoritmo.
Assim, o limite O(n2) do pior caso do insertion sort também se aplica a qualquer entrada
Veremos que o mesmo não é verdadeiro para a notação
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Operações com a notação O
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INFORMAÇÃO
Operações com a notação O
A regra O(f(n)) + O(g(n)) = O(max(f(n),g(n))) pode ser usada para calcular o tempo de execução de uma sequência de trechos de um programa Suponha 3 trechos: O(n), O(n2) e O(nlogn) Qual o tempo de execução do algoritmo como um todo?
???
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Operações com a notação O
A regra O(f(n)) + O(g(n)) = O(max(f(n),g(n))) pode ser usada para calcular o tempo de execução de uma sequência de trechos de um programa Suponha 3 trechos: O(n), O(n2) e O(nlogn) Qual o tempo de execução do algoritmo como um todo?
Lembre-se que o tempo de execução é a soma dos tempos de cada trecho
O(n) + O(n2) + O(nlogn) = max(O(n), O(n2), O(nlogn)) = O(n2)
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INFORMAÇÃO
Notação
Definição: (g(n)) = {f(n): existem constantes positivas c e n0 tais
que 0 ≤ cg(n) ≤ f(n), para todo n ≥ n0}
Informalmente, dizemos que, se f(n) ∈ (g(n)), então f(n) cresce no mínimo tão lentamente quanto g(n). Note que se f(n) ∈ O(g(n))
define um limite superiorpara f(n), (g(n)) defineum limite inferior
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INFORMAÇÃO
Notação
Definição: (g(n)) = {f(n): existem constantes positivas c e n0 tais
que 0 ≤ cg(n) ≤ f(n), para todo n ≥ n0}
?
???
32
n2−2 n∈Ω( n2 )
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INFORMAÇÃO
Notação
Definição: (g(n)) = {f(n): existem constantes positivas c e n0 tais que
0 ≤ cg(n) ≤ f(n), para todo n ≥ n0}
?
Fazendo c = 1/2, teremos , para n0 ≥ 232
n2−2 n≥12
n2
32
n2−2 n∈Ω( n2 )
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INFORMAÇÃO
Notação O e
3/2 n2 – 2n3/2 n2
1/2 n2
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INFORMAÇÃO
Notação Definição:
(g(n)) = {f(n): existem constantes positivas c1, c2 e n0 tais que 0 ≤ c1g(n) ≤ f(n) ≤ c2g(n), para todo n ≥ n0}
Informalmente, dizemos que, se f(n) ∈ (g(n)), então f(n) cresce tão rapidamente quanto g(n).
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INFORMAÇÃO
Notação
Definição: (g(n)) = {f(n): existem constantes positivas c1, c2 e n0 tais que
0 ≤ c1g(n) ≤ f(n) ≤ c2g(n), para todo n ≥ n0}
?
???
32
n2−2n∈Θ(n2)
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INFORMAÇÃO
Notação
Definição: (g(n)) = {f(n): existem constantes positivas c1, c2 e n0 tais
que 0 ≤ c1g(n) ≤ f(n) ≤ c2g(n), para todo n ≥ n0}
?
Fazendo c1 = 1/2 e c2 = 3/2 teremos
para n0 ≥ 2
32
n2−2 n∈Θ(n2)
|12
n2|≤|32
n2−2n|≤|32
n2|
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INFORMAÇÃO
Notação
Mas, já vimos que: →
→ e ...
→
Será coincidência? ???
32
n2−2n∈O(n2) |32
n2−2 n|≤|32
n2|
|12
n2|≤|32
n2−2n|32
n2−2 n∈Ω( n2 )
32
n2−2n∈Θ(n2) |12
n2|≤|32
n2−2n|≤|32
n2|
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INFORMAÇÃO
Notação
Mas, já vimos que: →
→ e ...
→
Será coincidência? Não! Se f(n) ∈ O(g(n)) e f(n) ∈ (g(n)), então f(n) ∈ g(n))
32
n2−2n∈O(n2) |32
n2−2 n|≤|32
n2|
|12
n2|≤|32
n2−2n|32
n2−2 n∈Ω( n2 )
32
n2−2n∈Θ(n2) |12
n2|≤|32
n2−2n|≤|32
n2|
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INFORMAÇÃO
Notação
Mas: Será coincidência?
Não! Se f(n) ∈ O(g(n)) e
f(n) ∈ (g(n)), então f(n) ∈ g(n))
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INFORMAÇÃO
Notação – pior caso
O tempo limite de (n2) para o pior caso do insertion sort
Não implica um tempo (n2) para qualquer entrada
Por exemplo, se pegarmos o melhor caso, vemos que ele tem (n)
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INFORMAÇÃO
Notação o
Definição: o(g(n)) = {f(n): para toda constante positiva c, existe uma
constante n0 > 0 tal que 0 ≤ f(n) < cg(n), para todo n ≥ n0}
Informalmente, dizemos que, se f(n) ∈ o(g(n)), então f(n) cresce mais lentamente que g(n). Intuitivamente, na notação o, a função f(n) tem crescimento
muito menor que g(n) quando n tende para o infinito
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INFORMAÇÃO
Notação o
? ???
1000 n2∈o (n3
)
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INFORMAÇÃO
Notação o
? Para todo valor de c, um n0 que satisfaz a definição é:
1000 n2∈o (n3
)
n0=|1000
c|+1
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INFORMAÇÃO
Notação o
Qual a diferença entre O e o? O: existem constantes positivas c e n0 tais que
0 ≤ f(n) ≤ cg(n), para todo n ≥ n0
A expressão 0 ≤ f(n) ≤ cg(n) é válida para alguma constante c>0
o: para toda constante positiva c, existe uma constante n0 > 0 tal que 0 ≤ f(n) < cg(n), para todo n ≥ n0
A expressão 0 ≤ f(n) < cg(n) é válida para toda constante c>0
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INFORMAÇÃO
Notação
Definição: (g(n)) = {f(n): para toda constante positiva c, existe
uma constante n0 > 0 tal que 0 ≤ cg(n) < f(n), para todon ≥ n0 }
Informalmente, dizemos que, se f(n) ∈ (g(n)), então f(n) cresce mais rapidamente que g(n). Intuitivamente, na notação , a função f(n) tem
crescimento muito maior que g(n) quando n tende para o infinito
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INFORMAÇÃO
Notação
está para , da mesma forma que o está para O O e são chamados de assintoticamente firmes
?
???
|1
1000n2|∈ω( n)
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INFORMAÇÃO
Notação
está para , da mesma forma que o está para O O e são chamados de assintoticamente firmes
?
Para todo valor de c, um n0 que satisfaz a definição é:
|1
1000n2|∈ω( n)
n0=|1000 c|+1
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Propriedades das Classes
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INFORMAÇÃO
Propriedades das Classes
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Exercício
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Referências Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest
& Clifford Stein. Algoritmos - Tradução da 2a. Edição Americana. Editora Campus, 2002 (Capítulo 3).
Michael T. Goodrich & Roberto Tamassia. Estruturas de Dados e Algoritmos em Java. Editora Bookman, 4a. Ed. 2007 (Capítulo 4).
Nívio Ziviani. Projeto de Algoritmos com implementações em C e Pascal. Editora Thomson, 2a. Edição, 2004 (Seção 1.3).
Notas de aula dos professores Marcos Chaim, Cid de Souza, Cândida da Silva e Delano M. Beder.
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Complexidade Assintótica
Professores:
Norton T. Roman
Fátima L. S. Nunes