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LISTA DE EXERCCIOSCOMBINAES - GABARITO

1. As diretorias de 4 membros que podemos formar com 10 scios de uma empresa so:

5040 40 2 210 5400

Soluo. Repare que no foi colocada uma hierarquia na diretoria. Isto , compor uma diretoria com

ABCD OU ACDB, a mesma coisa. Precisamos, ento retirar as repeties.

1 membro 2 membro 3 membro 4 membro

10 possib. 9 possib. 8 possib. 7 possib.

H 10 x 9 x 8 x 7 = 5040 possibilidades. Mas nessa escolha esto includas as repeties das escolhas

embora fora da ordem. Quantas so? Pensemos assim. Dos 4 escolhidos ABCD, h 4! formas de se

apresentarem em ordem trocadas, mas que no fazem diferena na composio da diretoria. Logo, o total

de maneiras de compor a diretoria : 21024

5040

!4

5040 possibilidades.

OBSERVAO. possvel pensar de outra forma. Enfileirando os 10 scios, temos: ABCDEFGHIJ.

Eles podem trocar de lugares 10! formas. Como sero escolhidos 4 scios e sobram 6. H na verdade 4! X

6! formaes repetidas. A conta poderia tambm poderia ser representada por:

21024

5040

!4

78910

!6!.4

!678910

!6!.4

!10410

xxxxxxxC .

2. Com um conjunto de 10 peas distintas, o nmero de grupos diferentes, de trs peas, que podem serformadas, :

3! 7! 10! 720 120

Soluo. O grupo de peas ABC no diferente do grupos ACB, BAC, etc. Logo como a ordem no

importa, temos: 1201210123

8910

!7!.3

!78910

!7!.3

!10310 x

xx

xxxxxC .

3. Seja M um conjunto de 20 elementos. O nmero de subconjuntos de M que contm exatamente 18 elementos,:

360 190 180 120 18

Soluo. Um conjunto determinado por seus elementos independente da ordem. Logo o nmero de

subconjuntos calculado como: 19019102

1920

!18!.2

!181920

!18!.2

!201820 x

xxxC .

4. Em uma circunferncia so marcados 7 pontos distintos: A, B, C, D, E, F e G. Com estes pontos, quantascordas podem ser traadas?

42 14 21 7 28

Soluo. Observe pelo desenho que a corda AD a mesma que DA indicando que a ordem de ligao dos

pontos no importa. Logo, temos: 212

67

!5!.2

!567

!5!.2

!727

xxxC cordas.

COLGIO PEDRO II - UNIDADE SO CRISTVO IIIMATEMTICA 2 SRIE MATEMTICA ICOORDENAO: COORDENADORA: MARIA HELENA M. M. BACCAR

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5. Diagonal de um polgono convexo o segmento de reta que une dois vrtices no consecutivos do polgono.

Se um polgono convexo tem 9 lados, qual o seu nmero total de diagonais ?

72 63 36 27 18

Soluo. A diagonal o segmento que liga dois pontos noconsecutivos. Precisamos, ento, aps agrupar

os 9 pontos dois a dois retirar os segmentos que indicam os 9 lados. Calculando s as diagonais, temos:

279]36289

!7!.2!789

!7!.2!9[ 29 xxxC diagonais.

OBSERVAO: O nmero de diagonais de um polgono convexo calculado na Geometria como

atravs da frmula2

)3(

nnd . Nesse caso teramos: 27

2

54

2

)6).(9(

2

)39(9

d diagonais.

6. Num hospital h 3 vagas para trabalhar no berrio, 5 no banco de sangue e 2 na radioterapia. Se 6

funcionrios se candidatam para o berrio, 8 para o banco de sangue e 5 para a radioterapia, de quantas formar

distintas essas vagas podem ser preenchidas ?

30 240 1120 11200 16128000

Soluo. As escolhas dos funcionrios para as vagas sero de acordo com a especializao. Haver um

produto entre as combinaes possveis: 11200105620!3!.2

!5

!3!.5

!8

!3!.3

!625

5

8

3

6 xxxxCCC

7. Sendo A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, o nmero de subconjuntos de A que tem menos de 3 elementos :

41 38 27 22 19

Soluo. A condio do nmero de elementos ser menor que 3 indica que os subconjuntos podem ser

formados com: i) nenhum elemento: 1 subconjunto ii) um elemento: 61

6

!5!.1

!56

!5!.1

!616

xC

iii) dois elementos: 152

30

!4!.2

!456

!4!.2

!626

xxC . Logo h 1 + 6 + 15 = 22 subconjuntos.

8. O numero de tringulos determinados por 7 pontos distintos, 4 sobre uma reta e 3 sobre uma paralela

primeira, :

60 30 20 10 5

Soluo. Observe pelo desenho que para formar um tringulo podemos escolher a base com dois pontos

em r e o vrtice em s ou ao contrrio.

i) Base em r e vrtice em s: 1836!2!.1

!3

!2!.2

!4. 13

2

4 xxCC

ii) Base em s e vrtice em r: 1243!3!.1

!4

!1!.2

!3. 14

2

3 xxCC

Logo, h 18 + 12 = 30 tringulos.

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9. Qual o valor de n para que64 2

6n

C

C

n

n

?

4 1 6 2 8

Soluo. Desenvolvendo o 1 membro, vem:

30)1.(

)!2!.(6)!2).(1.(!.4

)!2()!6!.(4

)!6!.(6!

)!42!.(4

)!2()!6!.(6

!

4

2

6

nnn

nnnnnx

nn

n

nn

n

CC

n

n . Igualando ao 2

membro, temos: .65115

1

630

)1.(

nn

nnnn

10. De quantas maneiras distintas um grupo de 10 pessoas pode ser dividido em 3 grupos, de 5, 3 e 2 pessoas?

2340 2480 3640 2520 3200

Soluo. Os grupos sero divididos em grupos e essas escolhas independem da ordem. Uma vez formadoo 1 grupo, o nmero de pessoas diminui.

i) 1 escolha: 25212345

678910

!5!.5

!5678910

!5!.5

!10510

xxxx

xxxxxxxxxC

ii) 2 escolha: 102

45

!2!.3

!345

!2!.3

!535

xxxC iii) 3 escolha: 1

!2!.1

!212 C .

Logo h 252 x 10 x 1 = 2520 maneiras.

11. Uma comisso tcnica formada por engenheiros e economistas, deve ter 5 elementos, dos quais pelo menos2 devem ser engenheiros. Se so disponveis 4 engenheiros e 5 economistas, o nmero possvel de comissesdistintas :

18 23 35 105 240

Soluo. A condio de cada comisso possuir pelo menos 2 engenheiros indica que podemos formar:

i) 2 eng e 3 econ: 60106!2!.3

!5

!2!.2

!4. 35

2

4 xxCC ii) 3 eng e 2 econ: 40104!3!.2

!5

!1!.3

!4. 25

3

4 xxCC

iii) 4 eng e 1 econ: 551!1!.4

!5

!0!.4

!4. 45

4

4 xxCC . Logo h 60 + 40 + 5 = 105 comisses.

12. Uma enfermidade que tem sete sintomas conhecido detectada pelo mdico, se o paciente apresentar 4 ou

mais desse sintomas. Para que seja feito um diagnstico seguro, o nmero de combinaes possveis de

sintomas diferentes :

1 7 21 35 64

Soluo. O diagnstico ser seguro com 4, 5, 6 ou 7 combinaes de sintomas.

i) 4 sintomas: 35!3!.4

!747 C ii) 5 sintomas: 5

!2!.5

!757 C iii) 6 sintomas: 7

!2!.5

!767 C

iv) 7 sintomas: 1!0!.7

!777 C . Logo h 35 + 21 + 7 + 1 = 64 combinaes possveis.