Colorao total equilibrada de grafos Um modelo para redes de interconexoAbel Rodolfo Garcia LozanoI; Clicia Valladares Peixoto FriedmannII; Samuel JurkiewiczIII,*IDepartamento de Matemtica / FFP Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ) So Gonalo RJIIDepartamento de Matemtica / FFP Universidade do Estado do Rio de Janeiro (UERJ) So Gonalo RJcliciavp@terra.com.brIIIPrograma de Engenharia de Produo / COPPE Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) Rio de Janeiro RJjurki@pep.ufrj.br

RESUMOUma rede de interconexo uma estrutura composta por um conjuntoPde n > 1 processadores e um conjuntoTde ligaes, satisfazendo certas condies. Neste trabalho ser introduzido o conceito de colorao total equilibrada. Este conceito utilizado para oferecer uma representao natural para o processamento paralelo em redes de conexo. Uma colorao total equilibrada apresentada para as principais topologias de redes de conexo, com no mximo+2 cores, satisfazendo assim uma conjectura de Vizing.Palavras-chave:colorao total equilibrada; processamento paralelo; arquiteturas de rede.

ABSTRACTAn interconnection network is a structure including a setPof n > 1 processors and a setTof connections of the elements ofP, satisfying certain conditions. In this work it will be introduced the concept of equitable total coloring of a graph. This concept is shown to be a natural representation for parallel processing in interconnection networks. For the most common interconnection network topologies an equitable total coloring is presented with at most+2 colors, thus satisfying a conjecture of Vizing.Keywords:equitable total coloring; parallel processing; network architecture.

1. IntroduoO processamento paralelo possibilita a diviso de uma mesma tarefa entre vrios processadores com a finalidade de se obter maior eficincia na sua execuo e economia de tempo de processamento. Essa possibilidade de ganho de tempo uma das razes pelas quais o estudo de algoritmos paralelos tem se expandido ao longo dos ltimos anos.Embora o processamento paralelo tenha vantagens significativas, apresenta como limitaes o fato de a programao geralmente ser feita de forma seqencial e os algoritmos em paralelo serem especficos para cada topologia. O ideal seria gerar algoritmos comuns a todas as topologias ou paralelizar automaticamente algoritmos seqenciais. Neste trabalho mostramos o exemplo de um algoritmo de troca completa baseado unicamente nas cores, pelo que independe da topologia.Nos prximos itens, sero apresentadas algumas noes bsicas a respeito de redes de interconexo e de grafos, alm de ser introduzida a noo de colorao total equilibrada. Tambm ser exposto um algoritmo de transmisso que explora a idia de colorao total equilibrada. Posteriormente, ser mostrado que possvel colorir total e equilibradamente as topologias mais usuais de redes de interconexo do tipo ponto-a-ponto. Para isso, sero desenvolvidos mtodos de colorao total equilibrada para os grafos especficos que representam as topologias mais comuns. Veremos que essas coloraes no contrariam a conjectura de Vizing para coloraes no equilibradas.2. Redes de interconexo, representao de redes ponto-a-ponto e grafosUma rede de interconexo uma estrutura composta por um conjuntoPde n > 1 processadores e um conjuntoTde ligaes (conexes) entre os processadores e que satisfaz as seguintes propriedades:1. Cada processador tem sua memria local;2. Cada processador pode executar, em determinado momento, uma e somente uma das seguintes tarefas:a) processar alguma informao;b) enviar alguma informao;c) e receber alguma informao.3. Cada uma das tarefas gasta o mesmo tempo para sua realizao.Em uma rede de interconexo cada processador deve pertencer a alguma ligao, podendo estar em vrias. Denomina-secanala uma conexo que possui somente dois processadores.Uma rede de interconexo pode ser representada por umgrafoG(V, E), que uma estrutura matemtica constituda por um conjunto no vazio e finito V e por um conjunto E de subconjuntos de dois elementos de V. Osvrticesearestasdo grafo G so respectivamente os elementos de V e de E. No caso das redes, os vrtices so os processadores e esto associados ao processamento de informaes; as arestas so os canais e representam a transmisso de informaes. Tanto vrtices quanto arestas so oselementosdo grafo. Numa representao grfica de um grafo G(V,E), os vrtices so representados por pontos e as arestas por linhas.A seguir, apresentamos algumas definies associadas a grafos que sero necessrias para uma melhor compreenso deste texto.Dois vrtices soadjacentes ou vizinhosquando existe uma aresta que os une e duas arestas soincidentesse possuem um vrtice em comum. Ograude um vrtice dado pelo nmero de arestas que incidem sobre ele, e o grafo regularquando todos os seus vrtices tm o mesmo grau.Em um grafo, define-se umcaminhoentre dois vrticesv1evrcomo uma seqncia de vrtices distintos v1, v2, . . , vrtais que {vi, vi+1}E. Um caminho notado pela seqncia dos seus vrtices: v1, v2, v3, . . , vr. Quando conveniente, as arestas eisero includas na notao: v1, e1, v2, e2, v3,. . er-1, vr. Ocomprimentodo caminho dado pelo o nmero de arestas; ou seja, o caminho possui (r-1) arestas.3. Colorao total equilibrada, processamento e transmisso de dadosUmacolorao total prpriade um grafo G(V,E) uma funo de VE em um conjunto de cores C de tal forma que dois elementos adjacentes ou incidentes do grafo no tenham a mesma imagem. Denota-se pora(c)o nmero de vezes que a corcaparece em uma colorao total. AFigura 1mostra uma colorao total para um grafo regular de grau 2.

Diz-se que uma colorao total equilibradase para quaisquer cores c1e c2pertencentes ao conjunto de cores C ento |a(c1) a(c2)|D +1. SeT(G) =+1, ento o grafo dotipo 1, casoT(G) =+2, o grafo detipo 2; portanto a conjectura de Vizing pode ser reapresentada como:"Para qualquer grafo G(V,E) ento G do tipo 1 ou do tipo 2."Tem-se que as topologias mais utilizadas em redes de conexo so: anel, hipercubo e toro. Ser mostrado que possvel associar a cada uma delas uma colorao total equilibrada de tal forma que sejam classificadas como de tipo 1 ou de tipo 2. Em alguns casos, usada a arquitetura em rvore, que admite uma colorao equilibrada com+1 cores, conforme Garcia Lozano (2005).5.1 AnelUmciclo ou anelCkde comprimento (k-1) um caminho v1, v2. . vktal que {v1, vk}E. O anel Ckpossuikvrtices ekarestas, sendo k>3. Abaixo, mostra-se que um ciclo Ck colorido de forma total equilibrada com trs ou quatro cores.1 caso- k mltiplo de 3Seja C = {c1, c2, c3} um conjunto de cores. Considere a seqncia de elementos do anel Ckdada por: v1e1v2, v2e2v3, . . ., vk-1ek-1vk, vkekv1, sendo a aresta ei= {vi, vi+1} quando 1