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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPACOORDENACAO DE EDUCACAO A DISTANCIA

CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMATICA

Coletanea de ArtigosCurso de Matematica/Ead

SANTANA/MACAPA - AP2015

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPACOORDENACAO DE EDUCACAO A DISTANCIA

CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMATICA

Coletanea de ArtigosCurso de Matematica/Ead

Artigos apresentados ao curso de Licencia-tura Plena em Matematica da UniversidadeFederal do Amapa como requisito parciala obtencao do tıtulo de Licenciatura emMatematica.

Orientadores:Sergio Barbosa de MirandaSimone de Almeida DelphimSteve Wanderson Calheiros de Araujo

SANTANA/MACAPA - AP2015

Agradecimentos

Os agradecimentos são direcionados a Deus, fonte de iluminação e sabedoria, ànossos familiares, que sempre estiveram presentes nos momentos mais importantes danossa vida, aos professore, tutores e colegas de turma que fizeram parte da nossa trajetóriacontribuindo com a construção do nosso conhecimento.

Agradecimentos especiais são direcionados ao Professor Sérgio Barbosa de Miranda,Professora Simone de Almeida Delphim e Professor Steve Wanderson Calheiros de Araújo,docentes e orientadores dos artigos desta coletânea.

“Não vos amoldeis às estruturas deste mundo,mas transformai-vos pela renovação da mente,a fim de distinguir qual é a vontade de Deus:

o que é bom, o que Lhe é agradável, o que é perfeito.(Bíblia Sagrada, Romanos 12, 2)

Sumário

Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I PROPOSTA DE ENSINO PARA O ESTUDO DOS GRÁ-FICOS DAS FUNÇÕES AFINS ATRAVÉS DO SOFT-WARE WINPLOT 6

II DEMONSTRAÇÕES E APLICAÇÕES DO TEOREMADE PITÁGORAS 39

III APRENDIZAGEM DE CÍRCULOS E ESFERA ATRA-VÉS DE MATERIAIS MANIPULATIVOS DE COOR-DENADAS GEOGRÁFICAS NO ENSINO FUNDAMEN-TAL 65

Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

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Apresentação

Este trabalho acadêmico apresenta três artigos construídos e apresentados sobretemas que estão intrinsecamente relacionados à prática docente dos professores de mate-mática do ensino público. Suas estruturas são baseadas em pesquisas bibliográficas e decampo, nas quais, são analisadas frente as perspectivas da sociedade, para levantamentosde dados, abordagens e propostas que sugerem um melhor aproveitamento das aulas dematemática.

O primeiro artigo é baseado procura-se explorar as funções afins, proporcionandouma motivação diferente as aulas teóricas e expositivas, trabalhando com o lado intuitivo decada aluno, com objetivo que ele possa analisar o comportamento dos gráficos construídosatravés do software Winplot integrando o conhecimento de funções ao uso do computador.O segundo trata do Teorema de Pitágoras, algumas demonstrações, e aplicações, deforma a ficar exposto para consulta de educadores e educandos, além da análise dosdados de uma pesquisa campo. Por fim, no último artigo deste coletânea, abordou-seideias da geometria não euclidiana com uso das esferas de isopor, que são conteúdos quedesenvolve demonstrações do dia-a-dia, instigando que os discentes argumentar e analisarsituações-problema e, a partir disso, concluir suas expectativas sobre o conhecimentomatemático.

Dessa maneira, esta coletânea divide-se em três partes principais, com o objetivode organizar todo seu corpo de trabalho.

Parte I

Proposta de ensino para o estudo dos gráficosdas funções afins através do software Winplot

Proposta de ensino para o estudo dos gráficos dasfunções afins através do software Winplot

Gleison Cruz Saraiva* Graciano dos Santos Neto†

Márcio Martins Teixeira‡ Simone de Almeida DelphimS

Resumo

O uso de novas tecnologias na escola pode reforçar a tentativa constante de buscarsoluções para as dificuldades encontradas na docência de Matemática, em qualquernível da educação básica, principalmente na região norte, onde os índices de repro-vação ainda são muito altos nesta disciplina e comparados às outras regiões Brasilainda apresenta um déficit de aprendizagem. Contudo, é necessário que a abordagemdada ao uso do software deve ser estudada, estrategicamente construída e didati-camente acompanhada para garantir o aproveitamento das ferramentas computa-cionais. Assim, neste artigo procurou-se explorar as funções afins, proporcionandouma motivação diferente as aulas teóricas e expositivas, trabalhando com o ladointuitivo de cada aluno, com objetivo que ele possa analisar o comportamento dosgráficos construídos através do software Winplot, e assim, a partir dessa análise,estender e consolidar o conhecimento já desenvolvido em sala. Dentro desse con-texto, construiu-se uma proposta de ensino, na qual foi desenvolvida em uma escolaestadual para que o professor de docência em matemática do primeiro ano do ensinomédio, fazendo uso do software educacional Winplot, através construções de funçõesno plano cartesiano, visualize, junto com seus alunos os conceitos, definições e pro-priedades relacionadas às funções. Essa proposta possibilita uma nova metodologiapara as aulas de matemática, de modo que sejam mais atrativas e que desperte ointeresse e a motivação dos alunos e dos docentes.

Palavras-chaves: Funções, gráficos, software, Winplot.

*Acadêmico de Matemática - UNIFAP/2015. Email:[email protected]†Acadêmico de Matemática - UNIFAP/2015, Licenciado em Física, Esp. em Tecnologia em Educação

- PUC/RIO 2010, Mestrando em Matemática UNIFAP/SBM - 2014. Email: [email protected]‡Acadêmico em Matemática UNIFAP/2015. Email: [email protected] da Universidade Federal do Amapá - UNIFAP, Doutora em Modelagem Computacional -

Orientadora do TCC.

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Introdução

A influência que os meios tecnológicos agregam a maneira como o aluno observao mundo a sua volta e como ele se constitui socialmente perante a essas ferramentas, acada dia, vem aumentando bastante e de maneira muito veloz. Segundo Demo (2008, p.5),“saber ler, escrever e contar tornou-se habilidade secundária, mero pressuposto. Qualquercriança que tem acesso a computador em casa aprende a mexer nele antes de ler e escrever”.Essa condição é percebida diretamente nas relações sociais e como elas se constituem nasala de aula. Por consequência, as relações entre aluno/aluno e aluno/professor tambémvêm se modificando.

Buscando acompanhar todo esse processo de desenvolvimento, faz-se necessárioque o docente também encontre meios para que seus métodos de ensino sejam favoráveisas relações sociais em sala de aula, contudo, garantindo também alcançar seus objetivosda aula dentro do processo de ensino aprendizagem.

Dessa maneira, no sistema educacional atual, a tecnologia torna-se fundamentalquando pensamos em apoio pedagógico, principalmente no ensino de matemática, queem muitos momentos de aula exige do aluno a compreensão e análise de definições queapresentam características abstratas e apenas o quadro branco não se torna suficientepara agregar à exploração do conteúdo em sala e a garantir uma aula efetivamente eficaz.Os PCN’s evidenciam,

Esse impacto da tecnologia, cujo instrumento mais relevante é hoje ocomputador, exigirá do ensino de Matemática um redirecionamento sobuma perspectiva curricular que favoreça o desenvolvimento de habili-dades e procedimentos com os quais o indivíduo possa se reconhecere se orientar nesse mundo do conhecimento em constante movimento.(BRASIL, 1997).

Nessa perspectiva, busca-se oportunizar ao docente de matemática uma propostade ensino que favoreça ao discente do ensino médio a utilização do computador paradesenvolver a construção gráfica de funções e o estudo de seus principais fundamentosatravés Winplot1.

1 As tecnologias e as perspectivas do ensino da matemáticaMuitas discussões vêm sendo construídas perante as potencialidades que a ferra-

menta computacional pode oferecer às metodologias de ensino, principalmente, através do1 Software desenvolvido para plotar gráficos de funções.

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uso dos softwares nos conteúdos de ensino que necessitam de certa abstração para efetivarsua compreensão.

O termo ‘novas alfabetizações’ sugere que há outras motivações paraa alfabetização oriundas em geral das novas tecnologias, não bastandosaber ler, escrever e contar. Ao mesmo tempo, os aportes teóricos seflexibilizaram para darem conta de contextos flexíveis de alfabetização,a começar pela necessidade de superar o modelo tradicional relativo aotexto impresso em favor de textos mais voltados para a imagem, emespecial, animada. (DEMO, 2008, p. 6).

Essas discussões são motivadas em função do espaço que as Tecnologias da Infor-mação e Comunicação (TIC2) vêm tomando no meio social do educando. Sendo assim,com a utilização dos computadores pelos discentes nas salas especializadas e através demetodologias de ensino que possam oportunizar um meio de compreensão mais eficaz doconteúdo abordado.

1.1 O uso do computador nas escolas públicasDe fato as novas tecnologias estão cada vez mais presentes em nossos dias atuais e

esta revolução tecnológica acontece também nas escolas públicas como uma verdadeira fer-ramenta em potencial, por isso, professores e alunos necessitam engajar-se no processo deinvestigação dos recursos computacionais, a fim de construir seus próprios conhecimentose acompanhar este acelerado crescimento dos métodos de ensino e de aprendizagem.

Aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e rela-cionada a outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de compe-tências e habilidades que são essencialmente formadoras, à medida queinstrumentalizam e estruturam o pensamento do aluno, capacitando-opara compreender e interpretar situações, para se apropriar de lingua-gens específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias,tomar decisões, generalizar e para muitas outras ações necessárias à suaformação. (BRASIL, 1997, p. 41).

Desde a introdução no Brasil do termo Tecnologia Educacional em 1971 (segundo aAssociação Brasileira de Tecnologia - ABT), onde os educadores se deparam com diferentesconceitos que se caracterizaram pela compreensão diferenciada do papel dos instrumentostecnológicos no processo educacional. Assim, várias expressões - “Educação Tecnológica,Tecnologia Educacional, Tecnologia na Educação”, são normalmente empregadas, indis-tintamente, para se referir ao uso do computador e suas ferramentas na educação.

É fundamental que esses conhecimentos de informática sejam atribuídos por meiodos computadores, e, estejam integrados às situações do cotidiano a diversas áreas do2 Tecnologias de informação (informática) e Tecnologias de Comunicação (telecomunicação) e mídia

eletrônica. Envolvem a aquisição, o armazenamento, o processamento e a distribuição da informaçãopor meio eletrônico e digital.

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saber, ou seja, o educador deve utilizar este recurso a partir de uma proposta pedagógicada escola refletindo sobre o uso dessas ferramentas tecnológicas e quais as mudançasno processo ensino e aprendizagem irão alcançar. De acordo com Piaget (1967, p.7),“todo conhecimento é ligado à ação e conhecer um objeto ou evento á assimilá-lo a umesquema de ação... Isto é verdade do mais elementar nível sensório motor ao mais elevadonível de operações lógico - matemáticas”. Veja que, a utilização do computador no ensinobásico direcionado como um recurso pedagógico tem que estar fundamento também àsnecessidades e interesses de cada escola como instrumento pedagógico e social, utilizandoo computador para complementar, agregar a aprendizagem das disciplinas e tambémutilizá-lo no cotidiano. Pois, segundo Castells (1998, p 380), a escola é um dos principaisagentes de difusão de inovações sociais porque “gerações após gerações de jovens quepor ali passam, ali conhecem novas formas de pensamento, administração, atuação ecomunicação e se habituam com elas”.

Tomando como princípio de aprendizagem e aplicando em sala de aula temos apossibilidade de desenvolver através de softwares algumas hipóteses, testar e analisarresultados; podendo ser realizados trabalhos em grupos, confrontando e explorando suasimagens, animação e gráficos, e nesse caso mostrar que a ferramenta computacional passaa ser usado como objeto que promove conhecimento.

1.2 Pesquisa na escola campoDurante o projeto de pesquisa na escola campo - Escola Estadual Augusto Antu-

nes3 - foi realizado um questionário sócio econômico com objetivo de analisar como está seconstituindo a relação entre as ferramentas computacionais à construção do conhecimentomatemático e de que maneira o educando está estabelecendo importância para as váriaspossibilidades que o acesso a internet proporciona através das salas de pesquisas - LIED‘s,existentes nas escolas públicas.

Espera-se observar o efeito do acesso facilitado a informação através da internet,às novas tecnologias, para o educando, e se o mesmo busca encontrar meios de melhorara compreensão sobre os conteúdos abordados em sala de aula, além de levá-lo a encontraralgum software matemático para contribuir esse processo.

Para isso, foi realizado um pequeno questionário com os alunos da turma do pri-meiro ano do ensino médio regular sobre o acesso a internet e a utilização de algumsoftware matemático no ambiente escolar.

3 Escola Estadual localizada no município de Santana, Amapá, desde de 1966.

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1.3 Dados obtidos da pesquisaApós a aplicação deste questionário obtivemos alguns gráficos:

a) Você tem computador em casa?

Figura 1 – Possuem computadores

Fonte: Trabalho de campo

b)Você tem acesso à internet por este computador?

Figura 2 – Acesso a internet


c)Você usa a internet para auxiliar no conteúdo de matemática?

Figura 3 – Internet como auxílio à matemática


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d)Você ultiliza a sala do LIED para fazer pesquisas para a disciplina de matemática

Figura 4 – Pesquisas no LIED


e)Você conhece algum programa voltado para matemática?

Figura 5 – Software matemático


f)Você conhece ou ouviu falar no Winplot?

Figura 6 – Conhecem o Winplot


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1.4 Análise dos dados obtidosA partir dos dados coletados, observa-se a maioria dos educandos da escola campo,

aproximadamente, 82% deles possuem computador em casa e 64% acesso a internet diari-amente por esse computador, além do LIED que fica a sua disposição para qualquer tipode pesquisa. Isto significa que não há muitas dificuldades para o estudo através do acessoao software.

Outro dado, porém, muito preocupante, é fato do enorme desinteresse dos alunosem utilizar a internet e o computador como ferramenta de pesquisas e busca por soluçõesque desenvolvam o conhecimento matemático. Mesmo tendo acesso ao LIED, apenas 18%dos alunos já utilizaram o LIED para realizar pesquisas voltadas para o conteúdo dematemática e, esse percentual diminui ainda mais quando falamos em uso de softwaresmatemáticos, apenas 10% dos educandos conhecem ou ouviram falar, apenas 6% conhecemo Winplot.

2 Funções Afins e WinplotPara o estudo de gráficos de funções é necessário decorrer sobre algumas definições

e elementos fundamentais de funções para que se possa estender ao uso do software.Ainda, é importante compreender que nosso objetivo nessa proposta não é decorrer sobreas definições iniciais de funções, ou sobre a metodologia que cada professor deve utilizarpara iniciar o estudo desse conteúdo, mas, para que a proposta seja desenvolvida oseducandos precisam já ter estudado essas definições em sala.

Utilizamos como base as definições do livro A matemática do ensino médio - vol1 do Professor Elon Lages Lima (2005).

2.1 Definição de Função Afim

Definição 1 Uma função 𝑓 : R → R chama-se afim quando existem constantes 𝑎; 𝑏 ∈ R,tais que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 para todo 𝑥 ∈ R.

Ainda sim, temos:

a) A função identidade 𝑓 : R → R, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 para todo 𝑥 ∈ R;

b) As translações 𝑓 : R → R, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑏;

c) As funções lineares 𝑓 : R → R, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥;

d) As funções constantes 𝑓 : R → R, definida por 𝑓(𝑥) = 𝑏;

Lembremos que uma função 𝑓 : 𝑋 → R com 𝑋 ⊂ R, chama-se:

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a) Crescente, quando 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2)

b) Decrescente, quando 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2)

c) Monótona não decrescente, quando 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝑥2)

d) Monótona não crescente, quando 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) ≥ 𝑓(𝑥2)

Uma função afim é crescente quando a taxa de crescimento (o coeficiente 𝑎) épositiva, decrescente quando 𝑎 é negativo e constante quando 𝑎 = 0.

2.2 Gráfico da função AfimPara a construção de gráficos de funções afim no plana cartesiano, deve-se ressaltar

que “o gráfico 𝐺 de uma função afim 𝑓 : 𝑥 ↦→ 𝑎𝑥+𝑏 é uma linha reta”(LIMA, 2005, p 88).

Do ponto de vista geométrico, 𝑏 é a ordenada do ponto onde a reta, que é o gráfico𝑓 : 𝑥 ↦→ 𝑎𝑥 + 𝑏, intersecta o eixo 𝑂𝑌 .

O número 𝑎 chama-se a inclinação, ou coeficiente angular , dessa reta (em relaçãoao eixo horizontal 𝑂𝑋). Quanto maior o valor de 𝑎, mais a reta se afasta da posiçãohorizontal. Quando 𝑎 > 0, o gráfico de 𝑓 é uma reta ascendente (quando se caminha paradireita) e quando 𝑎 < 0, a reta é descendente.

Figura 7 – Gráfico 𝐺

𝑋

𝑌

(0, 𝑏)

𝑂

Fonte: Produzido pelos autores

2.3 O software Winplot como ferramenta para o estudo gráfico das funçõesO software foi desenvolvido com o objetivo de plotar gráficos de funções e, apesar

da sua interface não ser tão sofisticada quanto de outros softwares matemáticos, comoGeoGebra e Maple, possibilita um manuseio fácil e rápido.

O Winplot foi desenvolvido pelo professor Richard Parris (Rick), daPhilips Exeter Academy, por volta de 1985. Escrito em C, chamava sePLOT e rodava no antigo DOS. Com o lançamento do Windows 3.1,

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o programa foi rebatizado de WINPLOT. A versão para o Windows 98surgiu em 2001 e está escrita em linguagem C++. Na verdade, o Winploté a estrela maior da linha Peanut Softwares, uma pequena constelaçãode softwares matemáticos gratuitos, criada e administrada pelo gênio deRichard Parris.(LEHMANN, 2010)

Essa característica torna o software mais acessível, pois, tanto o docente quantoo aluno podem utilizá-lo com certa facilidade, e eficaz por aproveitamento do tempo daaula de matemática e quando executado nas aulas de matemática não se torna cansativopara o educando. Segundo Ribeiro (2008), “a interface do Winplot é simples e com poucosdetalhes, o que lhe torna um software de fácil manuseio comparando com os concorrentes”.

2.4 Utilização do WinplotComo pré-requisito da proposta, faz-se necessário que o docente conheça a algo-

ritmo básico para construção dos gráficos das funções no plano cartesiano apresentado nosoftware. Assim, será construído um pequeno tutorial para que o docente, junto aos seusalunos sejam totalmente capazes de plotar as funções afins.

a) Inicie o software;

b) Selecione menu Janela;

c) Selecione 2-dim;

d) Abrirá uma nova janela, selecione Equação;

e) Selecione 1. Explícita;

f) Escreva a função e vá em Ok.

3 Proposta de ensino para o estudo de gráficos de funções afinsA proposta de ensino será constituída de atividades para serem desenvolvidas nos

laboratórios de informática educativa através do software Winplot para a construção eanálise dos elementos do gráficos das funções estudadas.

Dentro do ensino de Funções Afim, busca-se acrescentar ao conhecimento já cons-truído em sala de aula, uma análise gráfica sobre o comportamento dos parâmetros 𝑎 e 𝑏

dentro das funções, variando um dos parâmetros estrategicamente e mantendo um valorfixo ao outro parâmetro. Dessa forma, fazer um estudo fundamental sobre as translaçõese inclinações dos gráficos das funções afim.

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3.1 Pré-requisitosPara que os educandos sejam capazes de desenvolver as atividades proposta devem,

por hipótese:

a) Saber desenvolver o algoritmo básico do software Winplot para escrever funçõese plotá-las na interface;

b) Conhecer a definições e propriedades de funções afins;

c) Identificar através de definições função afim crescente e decrescente.

3.2 Atividade I - Variação do Parâmetro 𝑎

3.2.1 Objetivos da atividade - I

– Analisar o comportamento das funções afins do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏 plotadas no winplot;

– Observar a influência da parâmetro 𝑎, considerando o parâmetro 𝑏 um valor fixo;

– Relacionar a definição de função crescente ou decrescente a condição do parâmetro 𝑎;

– Conceber que o parâmetro 𝑏 fixo é ponto em comum entre as funções que intersectamo eixo 𝑂𝑌 .

3.2.2 Desenvolvimento Didático

a) Usando o software Winplot, plote as seguintes funções 𝑓 : R → R e em seguidaresponda as questões:

– 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1;– 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1;– Comparando-se as funções, quais diferenças podem ser notadas?– Comparando-se os gráficos, quais diferenças podem ser notadas?– Observando os gráficos decida e escreva qual função é crescente e qual função

é decrescente.

b) Usando o software Winplot, plote as seguintes funções 𝑓 : R → R e em seguidaresponda as questões:

– 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1;– 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1;– Comparando-se as funções, quais diferenças podem ser notadas?– Comparando-se os gráficos, quais diferenças podem ser notadas?– Observando os gráficos decida e escreva qual função é crescente e qual função

é decrescente.

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– De acordo com o que foi observado, decida quais as funções abaixo são cres-centes (C) e quais funções são decrescentes (D)

( )𝑓(𝑥) = −𝑥

2 + 1( )𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 4( )𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1

( )𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 5( )𝑓(𝑥) = 1 + 2𝑥

( )𝑓(𝑥) = −𝑥

( )𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥

( )𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 2( )𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 2

Gráfico esperado:

Figura 8 – Questões (a) e (b)

(a) (b)


Resultados prováveis: a partir da construção e observação dos gráficos,espera-se que o discente faça a análise e conjecture que para todo 𝑎 > 0 afunção é crescente e para todo 𝑎 < 0 a função é decrescente.

c) Usando o software Winplot, plote as seguintes funções 𝑓 : R → R e em seguidaresponda as questões:

– 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1;– 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1;– 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1;– As funções acima são crescentes ou decrescentes?– Comparando-se as funções escritas, quais diferenças podem ser notadas?– Comparando-se os gráficos, quais diferenças podem ser notadas?

d) Usando o software Winplot, plote as seguintes funções 𝑓 : R → R e em seguidaresponda as questões:

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– 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 1;– 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1;– 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1;– As funções acima são crescentes ou decrescentes?– Comparando-se as funções, quais diferenças podem ser notadas?– Comparando-se os gráficos, quais diferenças podem ser notadas?

Gráfico esperado

Figura 9 – Questões (c) e (d)

(c) (d)


Resultados prováveis: através da construção e observação dos gráficos, espera-se que o discente faça a análise e conjecture que o parâmetro 𝑎 na função de-termina a inclinação da reta construída pela função afim em relação ao eixo𝑂𝑋, isto é, quanto maior o valor de 𝑎, deve se notar que existe uma maiorinclinação vertical da reta da função 𝑓 em relação ao eixo 𝑂𝑋.

e) Usando o software Winplot, plote as seguintes funções 𝑓 : R → R e em seguidaresponda as questões:

– 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 1;– 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1;– 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 1;– Quais funções acima são crescentes ou decrescentes?– Comparando-se as funções, qual principal relação entre elas?– Comparando-se os gráficos, qual principal característica pode ser notada?

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f) Usando o software Winplot, plote as seguintes funções 𝑓 : R → R e em seguidaresponda as questões:

– 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 2;– 𝑓(𝑥) = −3𝑥 − 2;– 𝑓(𝑥) = −𝑥 − 2;– Quais funções acima são crescentes ou decrescentes?– Comparando-se as funções, qual principal relação entre elas?– Comparando-se os gráficos, qual principal característica pode ser notada?

Gráfico esperado

Figura 10 – Questões (e) e (f)

(e) (f)


Resultados prováveis: Em relação ao parâmetro 𝑏, espera-se que o educandoperceba que mantendo-se constante o valor de 𝑏, as retas das funções construí-das intersectam o eixo das coordenadas 𝑂𝑌 em um mesmo ponto, no nossocaso, (e) em 1 e (f) em −2 .

3.3 Atividade II - Variação do Parâmetro 𝑏

3.3.1 Objetivos da atividade - II

– Observar a influência da parâmetro 𝑏, considerando o parâmetro 𝑎 um valor fixo;

– Relacionar as translações de 𝑓 observadas nos gráficos em relação a variação do parâ-metro 𝑏;

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– Conceber que ocorre um deslocamento em paralelo dos gráficos das funções em relaçãoao parâmetro 𝑏;

– Diferenciar os deslocamentos das funções afins quando o parâmetro 𝑎 = 0 ou quando𝑎 = 0;

3.3.2 Desenvolvimento Didático

a) Usando o software Winplot, plote as seguintes funções 𝑓 : R → R e em seguidaresponda as questões:

– 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1;– 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2;– 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3;– Quais funções acima são crescentes ou decrescentes?– Comparando-se as funções, qual principal relação entre elas?– Comparando-se os gráficos, qual principal característica pode ser notada?

b) Usando o software Winplot, plote as seguintes funções 𝑓 : R → R e em seguidaresponda as questões:

– 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1;– 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 3;– 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 4;– Quais funções acima são crescentes ou decrescentes?– Comparando-se as funções, qual principal relação entre elas?– Comparando-se os gráficos, qual principal característica pode ser notada?

Resultados prováveis: Em relação ao parâmetro 𝑏, espera-se que o educandofaça a análise e conjecture que mantendo-se constante o valor de 𝑎 e variando oparâmetro 𝑏, as retas das funções construídas se deslocam em paralelo horizon-talmente entre elas, para a direita quanto maior o valor de 𝑏 e para esquerdaquanto menor o valor 𝑏.

Gráfico esperado: figura 11

c) Usando o software Winplot, plote as seguintes funções 𝑓 : R → R e em seguidaresponda as questões:

– 𝑓(𝑥) = 1;– 𝑓(𝑥) = 2;– 𝑓(𝑥) = 3;– Quais funções acima são crescentes ou decrescentes?– Comparando-se as funções, qual principal relação entre elas?

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Figura 11 – Questões (a) e (b)

(a) (b)


– Comparando-se os gráficos, qual principal característica pode ser notada?

d) Usando o software Winplot, plote as seguintes funções 𝑓 : R → R e em seguidaresponda as questões:

– 𝑓(𝑥) = −1;– 𝑓(𝑥) = −2;– 𝑓(𝑥) = −3;– Quais funções acima são crescentes ou decrescentes?– Comparando-se as funções, qual principal relação entre elas?– Comparando-se os gráficos, qual principal característica pode ser notada?

Resultados prováveis: Em relação ao parâmetro 𝑏, espera-se que o educandofaça a análise e conjecture que mantendo-se constante o valor de 𝑎 = 0 evariando o parâmetro 𝑏, as retas das funções constantes construídas se deslocamverticalmente em paralelo em relação ao eixo 𝑂𝑋, para a cima quanto maioro valor de 𝑏 e para baixo quanto menor o valor 𝑏.

Gráfico esperado: figura 12

4 Experiência em salaDentre os objetivos da realização da pesquisa de campo na E. E. Augusto Antunes,

a execução da proposta de ensino tornou-se fundamental para a verificação dos objetivosalcançados e pontos que podem ser melhorados na produção final da proposta. Daí, foramaplicados questionários aos alunos.

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Figura 12 – Questões (c) e (d)

(c) (d)


No primeiro encontro com a turma observou-se uma aula sobre funções afins desen-volvida pelo professor regente da turma. Na oportunidade, foram abordados os conceitosde plano cartesiano, par ordenado, coeficientes angular e linear da reta, funções crescentese decrescentes. Num segundo momento, o professor realizou atividades no quadro refe-rentes ao conteúdo. Após a correção das atividade, encaminhamos os alunos ao LIED,que em vinte minutos foi apresentado o software Winplot através do retroprojetor digital,demonstrando aos alunos o algoritmo básico para a construção gráfica de funções.

4.1 Relato das atividades desenvolvidas no LIEDNo início da aula seguinte, voltamos a nos deslocar para o LIED, com o objetivo

de executar a proposta de atividades, na qual, o professor regente da turma apenas acom-panhou os alunos e observou a produção das atividades distribuídas, já que o objetivo daproposta e levar os alunos a analisar e conjecturar a partir de suas observações.

Inicialmente, os alunos apresentaram um maior interesse em se deslocar para oLIED e demonstraram certa habilidade para manusear o computador, mesmo nunca tendoutilizado o software, a facilidade que a interface apresenta tornou a construção gráficamuito simples.

Dessa forma, no primeiro horário da disciplina de matemática, os alunos foram le-vados ao LIED, e em duplas, começaram com a resolução da atividade I, na qual deveriamplotar as funções no winplot, observar e resolver as tarefas da atividade I, foi estipuladoum tempo de quinze minutos.

A turma desenvolveu rapidamente o algoritmo para escrever as funções afins no

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winplot, contudo, houve uma pequena demora para responder as questões que se seguiam.De acordo com que as atividades eram produzidas, os alunos começaram a resolver asquestões com certa facilidade.

Figura 13 – Dados da Atividade I


Após o tempo estipulado, os alunos passaram a desenvolver a atividade II, quelevou menos tempo do que a atividade I, contudo, também foi muito satisfatória comopercebermos no gráfico da figura 14 após a correção das questões.

Figura 14 – Dados da Atividade II


Ao final da realização das atividades, perguntado sobre o desenvolvimento das

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atividades, alguns alunos disseram que o entendimento sobre o assunto tornará maissimples do que necessariamente se especulava na aula do professor.

4.2 Pontos de observação:

a) Pontos Positivos encontrados:

– A velocidade e agilidade com que os alunos se adaptaram para realizar asatividades;

– O interesse dos alunos em participarem das atividades;– O interesse do professor da turma em conhecer as propostas e o software;

b) Pontos Negativos encontrados:

– A falta de preparo da escola em agilizar os ambientes como LIED para autilização do professor;

– A deficiência do ensino da matemática em relação a leitura de definições,proposições feitas pelos alunos;

Considerações finais

Na experiência realizada com a turma do primeiro ano do ensino médio regular daEscola Estadual Augusto Antunes, ao levar os alunos para o LIED a fim de trabalhar comas atividades propostas, observamos que alunos que tinham dificuldades na aprendizagemdos conteúdos de matemática trabalhados em aulas tradicionais (aulas em que o professornão utiliza recursos computacionais) e a partir do momento que os educandos passam a sersubmetidos a situações com a utilização do computador através de softwares apropriados,trazendo novas ideias e conseguindo atingir os objetivos das atividades propostas comfacilidade, o interesse e envolvimento dos alunos nos leva a repensar sobre o nosso papelcomo docente de uma das disciplinas que necessita abstrações ao mesmo tempo que exigeum uma linguagem rebuscada. Isso exige do professor um domínio amplo do conteúdo queestá sendo trabalhado, para que ele possa sempre conduzir (ou reconduzir) os seus alunosaos objetivos previstos para aquela aula. Quanto ao aluno, este deve estar motivado paraa realização das atividades que, algumas vezes, devem ser realizadas sem seguir nenhummodelo dado pelo professor.

Para minimizar os riscos, o planejamento das aulas deve ser realizado com muitocuidado, para que o professor não perca o controle da aula, destacando o controle dotempo para cada etapa da aula e a escolha dos questionamentos que nortearão as açõesdos alunos ao realizar as atividades propostas.

25

Por fim, espera-se que as propostas de ensino construídas sob a perspectiva da uti-lização de softwares matemáticos sejam rigorosamente estudadas, estrategicamente cons-truída e didaticamente acompanhada para garantir o aproveitamento das ferramentascomputacionais em sua plenitude alcançando os objetivos do conteúdo estudado. Outroaspecto importante é que o docente, mesmo não sendo o responsável pelo construção daproposta, seja capaz de compreender todos os passos da proposta para garantir seu efeitode aprendizagem. Como sugestão, a aplicação da proposta adaptada ao conteúdo dasfunções quadráticas.

Referências

BRASIL, M. da Educação e D. Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN’s. Brasília - DF:[s.n.], 1997. Disponível em: <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/ciencian.pdf/>.Acesso em: 12 junho de 2015. Citado 2 vezes nas páginas 7 e 8.

CASTELLS, M. A Sociedade em Rede. A Era da Informação: Economia, sociedade ecultura. São Paulo - SP: Editora Paz e Terra, 1998. Citado na página 9.

DEMO, P. Habilidades do século xxi. B. Téc. Senac: a R. Educ. Prof, maio/agosto 2008.Disponível em: <www.oei.es/pdf2/habilidades-seculo-xxi.pdf>. Acesso em: 28 de maiode 2015. Citado 2 vezes nas páginas 7 e 8.

LEHMANN, M. S. Utilização do Winplot como ferramenta para o ensino de de funçõestrigonométricas. Vassouras – RJ: COBENGE-2010, Fortaleza-CE, 2010. Disponível em:<http://www.abenge.org.br/CobengeAnteriores/2010/artigos/496.doc>. Acesso em: 05de junho de 2015. Citado na página 14.

LIMA, E. L. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro – RJ: SBM - 8a Ed., 2005.Citado 2 vezes nas páginas 12 e 13.

PIAGET, J. Biologie et Connaissance. [S.l.: s.n.], 1967. Citado na página 9.

RIBEIRO, I. S. Manual do Winplot. Eunápolis - BA: CEFET - BA, 2008. Citado napágina 14.

26

APÊNDICE A – Questionário A

a) Você tem computador em casa? (microcomputador, notebook, netbook)

( ) Sim ( ) Não

b) Você tem acesso a internet por este computador?

( ) Sim ( ) Não

c) Você utiliza a sala do LIED para fazer pesquisas voltadas para a disciplina dematemática?

( ) Sim ( ) Não

d) Você usa a internet para lhe auxiliar no conteúdo de matemática?

( ) Sim ( ) Não

e) Você conhece algum programa(software) voltado para matemática?

( ) Sim ( ) Não

f) Você conhece ou ouviu falar no Winplot?

( ) Sim ( ) Não

27

APÊNDICE B – Atividade I

Aluno (a): Turma: No:

1. Usando o software Winplot, plote as seguintes funções 𝑓 : R → R e em seguidaresponda as questões:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1;

b) 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1;

c) Comparando-se as funções, quais diferenças podem ser notadas?

d) Comparando-se os gráficos, quais diferenças podem ser notadas?

e) Observando os gráficos decida e escreva qual função é crescente e qual funçãoé decrescente.


a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1;

b) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1;

c) Comparando-se as funções, quais diferenças podem ser notadas?

d) Comparando-se os gráficos, quais diferenças podem ser notadas?

e) Observando os gráficos decida e escreva qual função é crescente e qual funçãoé decrescente.

28

f) De acordo com o que foi observado, decida quais as funções abaixo são cres-centes (C) e quais funções são decrescentes (D)

( )𝑓(𝑥) = −𝑥

2 + 1

( )𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 4

( )𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1

( )𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 5

( )𝑓(𝑥) = 1 + 2𝑥

( )𝑓(𝑥) = −𝑥

( )𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥

( )𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 2

( )𝑓(𝑥) = −4𝑥 + 2


a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1;

b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1;

c) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 1;

d) As funções acima são crescentes ou decrescentes?

e) Comparando-se as funções escritas, quais diferenças podem ser notadas?

f) Comparando-se os gráficos, quais diferenças podem ser notadas?

4. Usando o software Winplot, plote as seguintes funções 𝑓 : R → Re em seguidaresponda as questões:

a) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 1;

b) 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 1;

c) 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1;

d) As funções acima são crescentes ou decrescentes?

29

e) Comparando-se as funções, quais diferenças podem ser notadas?

f) Comparando-se os gráficos, quais diferenças podem ser notadas?


a) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 + 1;

b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1;

c) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 1;

d) Quais funções acima são crescentes ou decrescentes?

e) Comparando-se as funções, qual principal relação entre elas?

f) Comparando-se os gráficos, qual principal característica pode ser notada?


a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 2;

b) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 − 2;

c) 𝑓(𝑥) = −𝑥 − 2;


30



31

APÊNDICE C – Atividade II

Aluno (a): Turma: No:


a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 1;

b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2;

c) 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3;





a) 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 1;

b) 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 3;

c) 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 4;



32



a) 𝑓(𝑥) = 1;

b) 𝑓(𝑥) = 2;

c) 𝑓(𝑥) = 3;





a) 𝑓(𝑥) = −1;

b) 𝑓(𝑥) = −2;

c) 𝑓(𝑥) = −3;



33


34

APÊNDICE D – Algoritmo do Winplot

a) Inicie o Programa:

Figura 15 – Interface inicial do Winplot

Fonte: Autores

b) Selecione: Janela → 2 - dim ou use a tecla F2

Figura 16 – Entrada para janela 2D.

Fonte: Autores

35

c) Abrirá uma nova janela:

Figura 17 – Interface para gráficos 2D

Fonte: Autores

d) Selecione: Equação → Explícita ou use a tecla F1 ;

Figura 18 – Iniciando a entrada da função

Fonte: Autores

36

e) Abrirá uma nova janela para você inserir a função em (a) e em OK (b):

Figura 19 – Entrada da função

Fonte: Autores

f) Selecione: Equação → Inventário ou use a tecla Ctrl + i;

Figura 20 – Iniciar o Inventário

Fonte: Autores

37

g) Abrirá uma nova janela. Selecione: equação → fechar ;

Figura 21 – Mostrar função

Fonte: Autores

Para plotar uma nova função no mesmo gráfico, repita os passos (d), (e)e (f).

Para plotar um novo gráfico selecione: Arquivo → Novo e refaça ospassos (b), (c), (d), (e) e (f).

38

ANEXO A – Fotos da Experiência

Figura 22 – Fotos no Laboratório de Informática

(1) (2)


(3) (4)


(5) (6)


Parte II

Demonstrações e aplicações do Teorema dePitágoras

40

DEMONSTRAÇÕES E APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS

1Anderson Luís dos Santos Trindade

2Célio Ricardo Mendes da Silva

³Steve Wanderson Calheiros de Araújo

RESUMO Este trabalho integra uma pesquisa desenvolvida através da análise bibliográfica sobre Pitágoras e uma pesquisa de amostra através de questionário, nesta pesquisa observou-se que a metade dos professores da cidade de Areia-Paraíba, conhece apenas uma forma de desenvolver o teorema de Pitágoras, e este artigo tem como objetivo apresentar o Teorema de Pitágoras, algumas demonstrações, e aplicações, de forma a ficar exposto para consulta de educadores e educandos. Inicialmente veremos uma breve abordagem histórica de Pitágoras e seu teorema. Serão apresentados alguns métodos de demonstrações do teorema de Pitágoras por Pitágoras e outras pessoas que se interessaram pelo teorema, assim como, os desenvolvimentos de algumas aplicações. PALAVRAS-CHAVE: Aplicações, Demonstrações, Pitágoras.

1 INTRODUÇÃO

Desde a antiguidade o Homem tem a necessidade de contar, quando ele

percebeu que poderia passar um tempo em determinado local, onde ele poderia

plantar e criar animais, essa necessidade se tornou mais forte, alguns faziam

cálculos com pedras, gravetos, marcações em ossos ou rochas e assim por diante.

De acordo com D’AMBRÓSIO (1999, p. 97): “As ideias matemáticas

comparecem em toda a evolução da humanidade, {...}, criando e desempenhando

instrumentos para esse fim, e buscando explicações sobre os fatos e fenômenos da

natureza e para própria existência”.

1 Acadêmico de licenciatura plena em matemática da universidade federal do Amapá-Unifap. Email:

[email protected]. 2 Acadêmico de licenciatura plena em matemática da universidade federal do Amapá-Unifap. Email:

[email protected] ³ Prof°. Especialista da universidade federal do Amapá-Unifap. Email: [email protected]

41

Centenas de anos se passaram, grandes obras surgiram e muitos se

especializaram em alguma área da matemática, um desses estudiosos foi Pitágoras,

o mesmo foi muito importante para a matemática e nos apresentou o teorema de

Pitágoras, que é muito conhecido, mas sua história e seu teorema são pouco

aprofundados nas aulas de matemática, diante disso, sentiu-se a necessidade de

um melhor conhecimento de sua história e de seu teorema, de acordo com

BARBOSA (1993), é de grande importância que o professor de matemática tenha

conhecimento de algumas demonstrações, para que ele possa utilizar aquelas que

são compatíveis com os seus conhecimentos e se possível fazer utilização das

demonstrações que permitam a participação do aluno. Nesse sentido esta análise

bibliográfica tem o objetivo de mostrar varias formas de demostrar e aplicar o

teorema de Pitágoras.

Um referencial teórico que possibilita o professor ter acesso a um grande

número de demonstrações do teorema de Pitágoras é o livro do professor de

Matemática Elisha Scott Loomis, do Estado de Ohio, Estados Unidos da América,

publicado em 1927. O livro reúne 230 demonstrações do teorema de Pitágoras. Em

sua segunda edição, em 1940, ampliou esse número para 370 (BARBOSA, 1993).

2 PITÁGORAS

Pitágoras é considerado por muitos o primeiro matemático puro, o pai da

matemática, Segundo BARBOSA (1993), Pitágoras foi um filósofo Grego que nasceu

no século VI a.C. em Samos, uma das ilhas do Dodecaneso (um grupo de ilhas

gregas na extremidade leste do mar Egeu. Algumas fontes afirmam que foi por volta

de 550 a.C. ou 569 a.C. E sua vida é envolvida a várias lendas.

Pitágoras partiu de Samos para conhecer o mundo, nesta época era costume

viajar para adquirir conhecimento através do contato com outros povos. Nestas

viagens, ele visitou e viveu alguns anos no Egito e Babilônia, há quem diga que

Pitágoras teve contatos com o profeta Daniel em sua provável passagem pela

Babilônia, e é muito provável que ele tenha ido também a Índia contemporâneo de

Confúcio, Lao-Tse e Buda, e que teve contato com Buda.

42

Pitágoras adquiriu suas habilidades matemáticas em suas viagens pelo mundo antigo. Algumas histórias tentam nos fazer crer que Pitágoras teria ido até a índia e a Inglaterra, mas o mais certo é que ele aprendeu muitas técnicas matemáticas com os egípcios e os babilônicos. Esses povos antigos tinham ido além da simples contagem e eram capazes de cálculos complexos que lhes permitiam criar sistemas de contabilidade sofisticados e construir prédios elaborados. De fato, os dois povos viam a matemática como uma ferramenta para resolver problemas práticos (SINGH, 2008, p.29).

Métodos foram desenvolvidos e usados pelos antigos egípcios para

refazerem marcações na terra, estas para substituir as apagadas depois das

enchentes do Nilo. Era utilizada uma corda aberta com 13 nos, igualmente

espaçados, que foram usadas para construir triângulos com lados de 3, 4 e 5. E

assim, construir um triângulo reto.

A retornar à Grécia, Pitágoras tinha um objetivo de fundar uma escola para

estudar filosofia e matemática, mas teve que enfrentar o tirano Policrates, que

governava Samos com intolerância, e Pitágoras percebeu que Policrates queria

dominá-lo e impedir-lhe de difundir a ideia do estudo filosófico e matemático.

Pitágoras não aceitou o fato e saiu da cidade, a fim de continuar seus estudos.

É a partir desse momento que Pitágoras chega fugido de Samos na antiga

cidade-estado da magna Grécia, onde hoje é o sul da Itália. Pitágoras conheceu Milo

que era o homem mais rico e forte da cidade. Este homem já havia escutado sobre

a fama de Pitágoras que ecoava na Grécia, e lhe cedeu parte de sua casa para que

fundasse a sua escola, tendo a filha de Milo, uma bela moça chamada Teano, como

uma de suas alunas. Logo adiante Pitágoras acaba casando com Teano. É então

que nasce a “escola pitagórica”, segundo BARBOSA (1993), Pitágoras fundou uma

comunidade religiosa, filosófica e política denominada de escola pitagórica que se

fez presente em outras regiões do mundo. Conhecida também como “irmandade

pitagórica”, já que esta escola possuía também um caráter religioso e era cercada

de mistérios e lendas.

Após um ataque a uma casa onde se reuniam os pitagóricos, muitos foram

assassinados, e há quem diga que Pitágoras morreu nesse ataque e outros que

fugiu para Tarento, e daí, para Metaponto, onde perdeu a vida, aproximadamente,

em 500 a.C.

Pitágoras e os pitagóricos deixaram um legado filosófico e matemático muito

importante, porém esta história da matemática e envolta em muitas lendas, pelo fato

de muitas de suas descobertas ficarem em segredo. Há uma lenda que diz que,

43

neste ataque aos pitagóricos, toda a casa foi incendiada, queimando os registros de

Pitágoras e sua escola.

3 DEMONSTRAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS.

Serão apresentadas algumas provas interessantes do teorema de Pitágoras,

desenvolvida por Bhaskara, Euclides e Pólya, e também por colaboradores da

matemática, como o ex-presidente americano J. A. Garfield e de H. Perigai.

O teorema de Pitágoras ao longo da história tem sido demonstrado por várias

civilizações e muitos matemáticos, e alguns estudiosos têm dado importância à

demonstração deste teorema com centenas de provas.

3.1 Provas do teorema de Pitágoras

Figura 1. Prova do Teorema de Pitágoras por várias civilizações.

Fonte: http://fatosmatematicos.blogspot.com.br

O teorema de Pitágoras já era conhecido pelos egípcios e babilônicos bem

antes dos gregos. Há também um manuscrito chinês, datando de mais de mil anos

antes de gregos onde se encontra a seguinte afirmação: "Tome o quadrado do

44

primeiro lado e o quadrado do segundo e os some; a raiz quadrada dessa soma é a

hipotenusa". Outros documentos antigos mostram que na índia, bem antes da era

cristã, sabia-se que os triângulos de lado 3, 4, 5 ou 5, 12, 13, ou 12, 35, 37 são

retângulos (LIMA, 1998).

Larça, uma cidade no sul do Iraque, um dia foi lar da civilização

mesopotâmica, em 1923, vários tabletes datados da era babilônica foram

encontrados nesta cidade, um em especial foi criado há 3700 anos pelos babilônios,

que recebeu o nome de Plimpton 322, por causa de George Plimpton, colecionador

de itens raros.

Depois da descoberta do tablete que foi chamado de Plimpton 322, foram

necessárias duas décadas para entender seu conteúdo, decifrou-se que se tratava

de numerações de triângulos, e foi descoberto que quando se elava 169 e 119 ao

quadrado respectivamente eles formam a base e a hipotenusa de um ângulo reto, e

os outros números contidos no tablete seguem a mesma reta, no Plimpton 322 estão

escrito os comprimentos dos catetos de 15 diferentes triângulos retângulos que

vemos no teorema de Pitágoras, mais esses triângulos só tem números inteiros, e o

teorema de Pitágoras é bem mais generalizado, ele pode ter seguimentos de

comprimento variados.

Há várias formas de se provar o teorema de Pitágoras, uma delas é usando a

razão de dois triângulos semelhantes, o método algébrico é a segunda, a terceira é

o método geométrico, a comparação dos tamanhos, nos últimos dois milênios houve

mais de 300 demonstrações do teorema de Pitágoras.

Pitágoras também descobriu os números primos e a na sociedade Pitagórica

acreditava-se que qualquer número podia ser expresso como a razão de dois

números naturais, mais eles descobriram que a diagonal de um quadrado de lados

de comprimento igual a 1 não pode ser expressado como uma fração baseada em

número inteiro, o comprimento dessa diagonal era um radical que começava com

1.41421...com dígitos infinitos que marcava a descoberta dos números irracionais.

3.2 Demonstração do Teorema de Pitágoras através de triângulos isósceles

Observando a Figura 2, constituída de nove triângulos retângulos isósceles,

todos congruentes, observamos que, em volta do triângulo central existem três

quadrados. Um formado pelo lado correspondente a hipotenusa e os outros

45

dois formados com lados correspondentes aos catetos. Os triângulos

retângulos isósceles que formam o quadrado que tem como lado a hipotenusa

são os mesmo que formam os quadrados onde os lados são os catetos. Então

podemos afirmar que a área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos

quadrados menores.

Figura 2. Demonstração do Teorema de Pitágoras através de triângulos isósceles


3.3 DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS ATRAVÉS DE

QUADRICULAÇÕES

Será que construindo em triângulos retângulos que não são isósceles esses

três quadrados continuam obedecendo esta mesma proposição? Para responder

esta pergunta vamos construir um triângulo retângulo de catetos 3 e 4 e

consequentemente a hipotenusa medindo 5. Vamos construir quadrados sobre

a hipotenusa e os catetos e fazendo quadriculações em cada quadrado

construído, e verificar a veracidade da proposição, conforme a Figura 3.

46

Figura 3. Demonstração do teorema de Pitágoras através de quadriculações.


Contando os quadradinhos em cada quadrado chegamos a 9, 16 e 25

quadradinhos de área e então como 9 + 16 = 25, chegamos ao mesmo resultado,

ou seja, 3²+ 4² = 5².

O que foi visto acima pode ser comparado com o quadriculado

encontrado no Chou-pei, Figura 4. Fazendo uma análise da figura podemos ver

que cada triângulo tem área 6, e a área do quadradinho central é 1; portanto

o quadrado grande tem área igual a 4 x 6 + 1 = 25 e então o

comprimento do lado do quadrado da hipotenusa é 5, pois 52 = 25

(BARBOSA 1993).

Figura 4. Chou-pei: antigo trabalho chinês que pode ser designado matemático.

Fonte: (LIMA et al., 2006).

47

3.4 PROVA TRADICIONAL

Segundo BARBOSA (1993), nos cursos tradicionais de geometria plana,

como nos livros sem preocupação educacional, a prova empregada é a prova

por semelhança de triângulos. Para LIMA (1998), esta é a prova mais curta e

também a mais conhecida.

No triângulo ABC, retângulo em A (Figura 5), a altura AD (perpendicular a

BC), relativa à hipotenusa origina dois triângulos semelhantes ao próprio triângulo,

em vista da congruência dos ângulos (BÂD = , complemento de , CÂD = ,

complemento de ).

Portanto, temos proporcionalidade entre os lados homólogos, uma para

cada triângulo parcial ou total:

Figura 5. Triângulo retângulo com as projeções dos catetos e a altura

Fonte: (BARBOSA, 1993).

A expressão acima fornece c2=an e b2=am, conhecidas como relações

Métricas de Euclides. Adicionando-as obtemos b2+c2=am+na, am+na = a(m + n) = a x

a = a2. (Barbosa, 1993). b2+c2= a2. Além das duas relações, que deram origem à

demonstração do teorema, obtemos a relação bc = ah e h2= mn.

Prova

Seja um triângulo ABC, construindo-se sobre os seus lados os quadrados

BCDE, ACFG, ABHI e os segmentos AJ, como mostra a Figura 6.

48

Figura 6


Na figura 6, R1 é um retângulo cujos lados medem a e m, e R2 é outro

retângulo de lados medindo a e n.

A área do retângulo de vértices BCDE é igual a soma das áreas dos

retângulos R1, e R2, ou seja a2=am+na.

Observando a prova 1, temos que am=b2, an=c2, e assim temos que: a²=b2+c2.

3.5 PROVA DE BHASKARA

Segundo BARBOSA (1993), Bháskara foi um matemático hindu, que não

ofereceu para a sua figura qualquer explicação além de uma palavra de

significado “veja" ou “contemple", talvez sugerindo que em seu diagrama a

disposição induzia a uma bela prova do teorema de Pitágoras. Procedendo de

modo análogo à figura que aparece no Chou-pei, mais de forma geral,

construindo os triângulos retângulos com hipotenusa a e catetos b e c. (figura 7).

Figura 7

Fonte: (LIMA et al., 2006).

49

No interior, ao centro, encontramos um quadrado de lado b – c. Temos por área que:

De acordo com a estratégia utilizada, esta demonstração pode ser do

tipo geométrico ou do tipo algébrico, vai depender da estratégia utilizada. Acima

utilizamos a demonstração algébrica.

3.6 DEMONSTRAÇÃO DO PRESIDENTE

James Abram Garfield, presidente dos Estados Unidos durante apenas 4

meses (pois foi assassinado em 1981) era também general e também gostava de

Matemática. Ele deu uma prova do Teorema de Pitágoras (LIMA 2006. P. 54).

Analisando a figura 8 temos um trapézio que foi decomposto em três

triângulos retângulos de lados a, b e c.

Figura 8

Fonte: (LIMA, 1998).

Portanto:

=

Mas podemos obter também à área pela soma das áreas dos triângulos:

=

50

Multiplicando por 2, temos: .

3.7 PROVA DE PÓLYA

George Pólya (1887-1985) nasceu na Hungria e começou seus estudos em

Direito, mudando seus estudos para literatura e filosofia, e mudando novamente de

curso, recebendo seu doutorado em Matemática no ano de 1912.

LIMA (1998) diz que no seu entender a demonstração mais inteligente do

Teorema de Pitágoras não esta incluída entre as 370 colecionadas pelo Professor

Loomis. Ela é encontrada no livro Induction na Analogy in Matemáticas, de

autoria do matemático húngaro George Polya.

Seja o tetraedro OABC tri-retângulo em O (Figura 9), portanto com as

faces OAB, BOC e COA triângulos retângulos. Seja D a área da face triangular ABC:

ou

Figura 9.


51

Interceptamos o tetraedro com om plano contendo a altura e o vértice

O. a interseção é um triângulo retângulo, sua hipotenusa mede h e os catetos f e g;

então: h2 = g² +f². Portanto: 4D² = a²g² + a2f²= 4A² + a²f², onde A é a área

da face BOC oposta ao vértice A do tetraedro. Mas a2 = d2 + e2 no triângulo BOC;

então temos.

4D2= 4A 2 + (d2+ e2)f²= 4A 2 + d²f²+ e²f².

Po rém B= d f /2 e C = e f /2 são as á reas dos t r iângu los COA e AOB

respectivamente opostos aos vértices B e C.

Segue que 4D2= 4A2+ 4B2 +4C2 ou D2= A²+ B² + C² (Barbosa, 1993, p. 42).

3.8 PROVA COM A FÓRMULA DE HERON

Heron foi um geômetra e mecânico, viveu em Alexandria e tudo leva a

crer que trabalhou (lecionando) no Museu de Alexandria.

A fórmula de Heron da área de um triângulo em função do semiperímetro

p e lado a, b e c é dada por: Considere um triângulo retângulo ABC de lados a,

b e c como mostra a figura abaixo.

Figura 10.


Pela fórmula de Heron, a área desse triângulo é dada por:

Área (ABC)=

E f e t u a n d o o p r o d u t o d e n t r o d o r a d i c a l c o m ,

O b t e m o s á r e a

52

Por outro lado: área (ABC) =

Comparando essas duas equações, temos:

, ou seja,

4

Arrumando essa última expressão e efetuando as devidas simplificações, temos:

(b²+c²-a²)²= 0, logo a²=b²+c².

3.9 DEMONSTRAÇÃO DE LEONARDO DA VINCI

Leonardo da Vinci nasceu na Itália em 15 de abril de 1452, pintor e

escultor italiano um dos grandes gênios da humanidade, criador do quadro

Mona Lisa e Santa Ceia, também concebeu uma demonstração do teorema de

Pitágoras, que se baseia na figura 11.

Figura 11


Os quadriláteros ABCD, DEFA, GFHI e GEJI são congruentes. Logo

os hexágonos ABCDEF e GEJIHF têm a mesma área. Daí resulta que a área do

quadrado FEJH é a soma das áreas dos quadrados ABGF e CDEG (LIMA, 1998. P.

55).

Da Vinci se baseou no princípio de comparação de áreas. Ele fez uso de uma

forma mais complexa e de difícil visualização. Utilizou as áreas dos

quadriláteros formados a partir de uma figura desenhada anteriormente para

comprovar suas equivalências e assim comprovar a relação existente entre os lados

dos triângulos retângulos. (LIMA, 2006).

53

3.10 DEMONSTRAÇÃO DE PAPUS

Segundo LIMA (1998), não se trata de uma nova demonstração, mas de uma

generalização bastante interessante do teorema de Pitágoras. Em vez de um

triângulo retângulo, toma-se uni triângulo arbitrário ABC; em vez de quadrados

sobre os lados, tomam-se paralelogramos, sendo dois deles quaisquer, exigindo-se

que o terceiro cumpra a condição de CD ser paralelo a HA, e com o mesmo

comprimento.

O teorema de Papus afirma que a área do paralelogramo BCDE é a soma

das áreas de ADFG e AIJC. A demonstração se baseia na simples

observação de que dois paralelogramos com bases e alturas de mesmo

comprimento têm a mesma área.

Figura 12.


Assim, por outro lado, AHKB tem a mesma área que ADFG e por outro

lado, a mesma área que BMNE. Segue -se que as áreas de BMNE e

ABFG são iguais. Analogamente, são iguais as áreas de CDNM e CAIJ.

Portanto, a área de BCDE é a soma das áreas de ABFG e CAIJ (LIMA 1998).

Para LIMA (1998), o Teorema de Pitágoras é caso particular do de

Papus. Basta tomar o triângulo retângulo ABC e três quadrados em lugar dos três

paralelogramos.

3.11 DEMONSTRAÇÃO COM TRIÂNGULOS EQUILÁTEROS

Vamos iniciar esta verificação para um triângulo bem especial, o

triângulo de catetos 3 e 4 unidades e a hipotenusa consequentemente

54

medindo 5 unidades. Agora ao invés de usar a quadriculação, vamos usar a

triangulação e como fizemos nos quadrados, cada triângulo equilátero

corresponde a uma unidade de área.

Verificando a figura podemos observar que a proposição foi

verificada, pois 9 +16 = 25. Porém podemos dizer que esse é um caso bem

particular. Então procuraremos provas para triângulos equiláteros construídos

com os lados de um triângulo retângulo qualquer.

Vamos inicialmente estabelecer a fórmula da área de um triângulo

equilátero de lado qualquer.

Figura 13.


Quando traçamos a altura de um triângulo equilátero que é também sua

mediana e sua bissetriz, esta altura forma dois triângulos retângulos onde a altura é

mediatriz da base; portanto aplicando o teorema de Pitágoras, temos:

ou que ou ainda .

Fazendo uso da formula da área de um triângulo equilátero e agora

substituindo h por , temos ..

Para triângulos equiláteros construídos com os catetos b e c

teremos respectivamente somando temos

. Como b² +c2 = a2, então podemos escrever

ou ; portanto o padrão pitagórico das áreas é validado para triângulos

equiláteros.

55

3.12 DEMONSTRAÇÃO DE EUCLIDES

A demonstração do Teorema de Pitágoras elaborada por Euclides é um

exemplo do seu estilo matemático. Nesta demonstração Euclides socorre-se do

seguinte teorema: A área de um triângulo é igual à metade da área de um

paralelogramo com a mesma base e a mesma altura.

Figura 14.


Para demonstrar, Euclides, primeiro, prova que em todo triângulo retângulo o

quadrado construído sobre um cateto, é igual ao retângulo que tem por lados a

hipotenusa e a projeção, sobre esta, do cateto em questão.

Demonstração:

Figura 15.


56

Considere-se o triângulo retângulo ABC. Vamos construir sobre o

cateto AC o quadrado ACDE. Traçando FG = AH = AB, BD é uma reta já que os

ângulos ACB e ACD são cada um igual a 90°.

Ligando-se E a B e H a C obtém-se: EA = CA; AB = AH; EÂB = CÂH.

Por outro lado, EAB = 1/2 EACD, pois ambos possuem a mesma

base e se encontram entre as paralelas EA e DB. Verifica-se também que CAH =

1/2 AHGF ambos possuem a base AH e CG.

Portanto, 1/2 EACD = 1/2 AHFG. Logo EACD = AHFG, como queríamos

demonstrar. Com isto o Teorema de Pitágoras é facilmente demonstrável,

pois temos ACDE = AHGF e BCKL = BFGJ, o que dá ACDE + BCKL = AHJB.

Portanto, Euclides mostra desta forma puramente geométrica, que a

soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

3.13 DEMONSTRAÇÃO DE PERIGAI

Henry Perigai, um livreiro de Londres, publicou em 1873 a demonstração

que se pode apreciar na figura abaixo. Trata-se de uma forma evidente de

mostrar que soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos

preenchem o quadrado construído sobre a hipotenusa.

Figura 16


Perigai corta o quadrado construído sobre o maior cateto por duas retas

passando pelo seu centro, uma paralela à hipotenusa do triângulo e outra

perpendicular, dividindo esse quadrado em quatro partes congruentes.

Essas quatro partes, mais o quadrado construído sobre o menor cateto,

57

preenchem completamente o quadrado construído sobre a hipotenusa.

Observando a figura, vemos que é uma bela demonstração, mas

devemos provar que a região que fica no interior do quadrado maior é

realmente congruente com o quadrado menor.

Então vamos à prova!

Sejam AC = b e AB = c os lados dos quadrados construídos sobre os

catetos. Como as quatro peças interiores ao quadrado ACEF são congruentes,

sejam AG = DE = x.

Figura 17


Sendo BCDG um paralelogramo, BG = CD, ou seja, c + x = b – x,

ou seja, c=b-2x. Como HJ= GF= CD e HI =DE, temos

IJ =HJ–HI =b–x–x=b-2x=c.

Sejam: x – r, x e x + r os lados de um triângulo retângulo. Considerando

r > 0, x + r é a hipotenusa e, portanto ².

Desenvolvendo e simplificando, obtemos x = 4r. Portanto, os lados

medem 3r, 4r e 5r.

Como os dois lados da desigualdade são positivos, observe as

equivalências:

A desigualdade é verdadeira.

58

Sejam r1, r2 e r os raios dos círculos inscritos nos triângulos AHB, AHC e ABC.

Esses três triângulos são semelhantes e, portanto

Elevando ao quadrado e multiplicando por л temos: Como b²+c²=a²,

concluímos que лr +л =лr².

4 APLICAÇÕES DO TEOREMA DE PITÁGORAS

4.1 DOIS TRIÂNGULOS EXCLUSIVOS ENTRE TANTOS

O desafio: [1] Existe um triângulo retângulo cujos lados sejam três números

inteiros consecutivos? [2] Existe um triângulo retângulo cujos lados sejam três

números pares consecutivos? [3] Existe um triângulo retângulo cujos lados sejam

três números ímpares consecutivos?

Resolução

Como primeiro passo, o aluno desenha um esboço, como parte do processo

de entender o problema. Ele nota que três números inteiros e consecutivos terão o

formato n, n+1 e n+2, sendo n um número inteiro positivo.

a=n+2 b=n+1 c=n

Feito isso, o aluno recorre ao teorema de Pitágoras para transformar o

problema numa equação.

Com a fórmula da equação quadrática (ou fórmula de Bhaskara), o aluno acha

59

as duas raízes: n=-1 ou n=3. Como nesse caso números negativos não fazem

sentido, ele escolhe n=3, e descobre: de todos os infinitos triângulos retângulos,

existe apenas um único deles cujos lados são três números inteiros e consecutivos,

pois, se existisse mais de um a equação acima teria duas raízes inteiras positivas.

E quanto ao triângulo retângulo cujos lados sejam três números pares

sucessivos? O aluno escreve num papel uma definição útil de numero par (2n,

sendo n um número inteiro positivo), e percebe que está procurando um triângulo de

lado igual a 2n, 2(n+1) e 2(n+2).

a=2(n+2) b=2(n+1) c=2n

De novo o aluno põe o teorema de Pitágoras em ação.

+

As duas raízes são n=-1 ou n=3. Isso significa que o triângulo retângulo com

três lados pares consecutivos é o triângulo 6-8-10, e apenas ele. Depois de olhar

bem a equação acima, contudo, o aluno percebe que a equação de triângulo com

lado pares é a mesma equação de triângulo com três números inteiros e

consecutivos, mais multiplicada por 4. Será então que todo triângulo retângulo com

60

lados pares é semelhante ao triângulo 6-8-10 (que por sua vez é semelhante ao

triângulo 3-4-5)? Para estudar essa hipótese, o aluno verifica o que aconteceria se

ampliasse o triângulo 3-4-5 por fator x qualquer.

+

+

- = 0

A última linha das equações anteriores é verdade para qualquer valor de x.

ela não prova que todo triângulo retângulo com três lados pares é uma versão

ampliada do triângulo 3-4-5, mais prova que o triângulo 3-4-5, multiplicado por

qualquer número que seja (par, ímpar, racional, irracional), resultará num triângulo

semelhante ao triângulo 3-4-5. (Euclides provou que todo triângulo retângulo com

três lados pares tem um dos lados divisível por 3, um dos lados divisível por 4 e um

dos lados divisível por 5.

E quanto ao triângulo com três números ímpares sucessivos? O aluno usa

duas definições distintas de número ímpar ([2n+1], com n inteiro, e [2n-1], com n

inteiro positivo), e vê aonde pode chegar com o teorema de Pitágoras.

a=(2[n+2]+1) b=(2[n+1]+1) c=2(n+1)

61

a=(2[n+2]-1) b=(2[n+1]-1) c=2(n-1)

Desenvolvendo a álgebra do triângulo de cima, o aluno chega a:

E, com a álgebra do triângulo de baixo, ele chega a:

Nenhuma das duas equações tem solução inteira. No caso do triângulo mais

acima, as raízes são (-3/2) e (5/2); no caso do triângulo mais abaixo, elas são (7/2) e

(-1/2). Isso significa algo bem simples: não existe nem um triângulo retângulo cujos

lados sejam três números ímpares sucessivos, pois, se existisse, uma das duas

equações teria uma raiz inteira positiva. Na verdade, como Euclides também

demonstrou, não existe nenhum triângulo retângulo com três lados ímpares

sucessivos ou não.

Resumo.

Existe um único triângulo retângulo cujos lados sejam três números inteiros e

consecutivos (3-4-5), um único triângulo retângulo cujos lados sejam três números

pares sucessivos (6-8-10), e nenhum triângulo retângulo cujos lados sejam três

números ímpares e consecutivos, (não existe nenhum triângulo retângulo com três

lados ímpares).

4.2 QUESTÃO RELACIONANDO TEOREMA DE PITÁGORAS, ENEM-2006

A figura abaixo, representa o projeto de uma escada com 5 degraus de

62

mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

a) 1,8m b) 1,9m c) 2,0m d) 2,1m e) 2,2m

Fonte: ENEM (2006).

Solução:

Usando a relação de Pitágoras no triângulo ABC, teremos:

ou

, assim BC = 150 cm = 1.5 m.

Na questão é pedido o comprimento total do corrimão, logo teremos:

BC + 30 cm + 30 cm = 150 + 30 + 30 = 210 cm = 2,1 m (alternativa D).

Poderemos também fazer da seguinte forma:

Sabendo que os degraus têm as mesmas alturas, então um degrau forma um

triângulo retângulo de catetos 24 cm e outro que é 90 dividido por 5 que é igual a 18,

usando a relação de Pitágoras no triângulo retângulo teremos:

x

18

24

63

Na questão é pedido o comprimento total do corrimão, e o número de degraus

é 5 logo teremos:

(5 x 30 cm) + 30 cm + 30 cm = 150 + 30 + 30 = 210 cm = 2,1 m (alternativa D).

5 PESQUISA AMOSTRA.

De acordo com SANTOS (2012), da Universidade Estadual da Paraíba-UEPA,

Campina Grande-PB, em pesquisa amostra (BOGDAN e BIKLEN, 1994), realizada

na cidade de Areia, Paraíba, aplicada a 8 (oito) professores do ensino fundamental

de escolas públicas e particulares, e nesta pesquisa observou-se que metade dos

professores só conhecem uma forma de desenvolver o teorema de Pitágoras.

Quantidades de demonstrações do teorema de Pitágoras que os professores

conhecem.

Pesquisa realizada com 8 (oito) professores do ensino fundamental de

escolas públicas e particulares da cidade de Areia-PB.

Figura 18

Fonte: SANTOS (2012)

SANTOS (2012). Realizou apontamentos ao questionar alguns professores de

matemática do ensino fundamental de escolas públicas e particulares, e observou

64

que há falta de conhecimento destes sobre as diversas demonstrações existentes do

Teorema de Pitágoras.

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este artigo fala brevemente sobre a vida de Pitágoras, o seu teorema, suas

demonstrações e aplicações. O Teorema de Pitágoras e um dos mais importantes

para a geometria plana e, é porta de entrada para que os alunos não tenham

dificuldades em matérias futuras. Observou-se em pesquisa amostra que parte dos

professores de matemática conhece apenas uma forma de demonstração do

Teorema de Pitágoras, a tradicional, o que indica que os alunos também ficaram

sem o amplo conhecimento em questão, e este trabalho tem o objetivo de ficar

exposto como forma de consulta, assim como seus referenciais teóricos, para

educadores e educandos interessados em saber um pouco mais sobre as diferentes

demonstrações e aplicações do Teorema de Pitágoras.

7 REFERÊNCIAS

BARBOSA, R. M. Descobrindo padrões pitagóricos: geométricos e numéricos. São Paulo: Atual, 1993, 93 p. CÁLCULO. Dois triângulos exclusivos entre tantos. São Paulo: ed. Segmento, ano 2, n° 19, 60 e 61p, ago. 2012. LIMA, E. L. Meu professor de matemáticas e outras histórias. 5. Ed. Rio de janeiro: SBM, 2006. 256 p. LIMA, E. L. Carvalho.; P. C. P.; Wagner, A. Tema e problemas elementares. 12. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2008. 256 p. O LEGADO DE PITÁGORAS. Pitágoras e outros. Ano, disponível em https://youtu.be/dmorYuxbJHE?list=PLAHkq9mjbxm1MwEArhQ1qMJUzT-xVs5Yj>. acesso em: 14 mai. 2015. SANTOS, Marconi Coelho Dos. Demonstração do teorema de Pitágoras na perspectiva do professor de matemática. 2012. Trabalho apresentado no encontro nacional de educação, ciência e tecnologia/UEPB. 2012. SINGH, Simon. O último teorema de Fermat. Tradução de Jorge Luiz Calife, 13. Ed. Rio de Janeiro: Record, 2008. 29 p.

Parte III

Aprendizagem de círculos e esfera através demateriais manipulativos de coordenadasgeográficas no Ensino Fundamental

________________________

* Graduandos do Curso de Licenciatura em Matemática da Universidade Federal do Amapá-UNIFAP.

** Professor Mestre- Orientador do Colegiado do Curso de Licenciatura em Matemática pela Universidade

Federal do Amapá-UNIFAP.

APRENDIZAGEM DE CÍRCULOS E ESFERA ATRAVÉS DE MATERIAIS

MANIPULATIVOS DE COORDENADAS GEOGRÁFICAS NO ENSINO

FUNDAMENTAL

Elcimar Braga da Costa*

Valdeci da Silva Guedes* Sergio Barbosa de Miranda **

Resumo

O trabalho consiste em uma pesquisa bibliográfica e de campo. Discutiu-se ideias da geometria não euclidiana com uso das esferas de isopor, que são conteúdos que desenvolve demonstrações do dia-a-dia. Dessa forma, os materiais manipulativos para aprender matemática permitem ao alunos argumentar e analisar situações-problema. De acordo, com a proposta didática aplicada em sala de aula a maioria dos alunos compreenderam que a esfera e o círculo estão presente e relacionados com diversas situações. Assim, a contribuição do uso dos materiais manipulativos estabeleceu ao aluno a construir uma ideia ou procedimento de reflexão matemática. Nessa perspectiva, os alunos aprenderam construir e usar ferramenta educacional como recurso nas aulas de matemática.

Palavras chaves: geometria, coordenadas geográficas, matemática, interdisciplinaridade.

Abstract

The work consists of a bibliographical and field research. Geometry ideas are discussed non-Euclidean with Styrofoam balls, because the circle and the sphere are content that develops statements of day-to-day. Therefore, they contribute to the construction of figures. And across geographical coordinates allow students an understanding of geometry, in an understanding of a more applied mathematics. The research was conducted with students from 9th grade of Elementary Education of the State School D. Pedro I in the city of Mazagão, and obtained as a result a significant advantage of using the protractor Spherical-TE instrument.

Key words: geometry, geographic coordinates, mathematics, interdisciplinary.

67

Introdução

A Proposta de utilizar recursos como modelos e materiais didáticos nas

aulas de matemática não é recente. Desde de Comenius (1592-1670) publicou sua

Didactica Magna recomenda-se que recursos os mais diversos sejam aplicados nas

aulas para “desenvolver uma melhor e maior aprendizagem”. Nessa obra, o autor

citado chega mesmo a fazer recomendações que nas aulas sejam pintados de

fórmulas e resultados nas paredes e que muitos modelos sejam construídos para

ensinar geometria.

Os materiais manipulativos há muito vêm despertando o interesse dos

professores e, atualmente, é quase impossível que se discuta o ensino de

matemática sem fazer referência a esse recurso. No entanto, a despeito de sua

função para o trabalho em sala de aula, seu uso idealizado há mais de um século

não pode ser aceito hoje de forma irrefletida. Outras são as nossas concepções de

aprendizagem e vivemos em outra sociedade em termos de acesso ao

conhecimento e da posição da criança na escola e na sociedade (DINIZ et al, 2012).

Dessa argumenta-se: Qual a importância do uso do círculo e da esfera no

contexto matemático? E qual a contribuição desse tema para as coordenadas

geográficas?

A justificativa que no período de estágio supervisionado encontrou-se nas

aulas de matemática o uso dos materiais é a de que, por serem manipuláveis, são

concretos para o aluno.

Alguns pesquisadores, ao analisar o uso de materiais concretos e jogos no

ensino da matemática, dentre eles Martos (2002), alertam para o fato de que, a

despeito do interesse e da utilidade que os professores veem em tais recursos, o

concreto para a criança não significa necessariamente materiais manipulativos.

Encontramos em Machado (1990, p. 46) a seguinte observação a respeito do termo

“concreto”.

O objetivo da pesquisa foi investigar a importância dos materiais

manipulativos como recurso nas aulas de círculos e esfera; descrevendo a

importância dessa Ferramenta Educacional no processo de Ensino-Aprendizagem;

discutindo o Círculo e a Esfera no Contexto Histórico e analisando o uso de

materiais manipulativos (isopor) para o estudo das coordenadas geográficas através

do aprendizado matemático.

68

As hipóteses levantadas são: Os materiais manipulativos permitem ao aluno

aprender matemática, as construções de figuras através das coordenadas

geográficas permitem o entendimento de geometria mais prática e as ideias da

geometria não euclidiana contribui para a compreensão de uma matemática mais

aplicada na vida do aluno.

Granja e Pastore (2012), Eves e Domingues (2000) e Ávila (1990) com

intuito, de compreender o uso da circunferência e do círculo, como ferramenta

educacional no processo de ensino-aprendizagem, isto é, um importante material

manipulativo para Ensino Fundamental.

Através do tema pode-se fazer relação com outras áreas de conhecimento,

exemplo disso, a relação com estudo das coordenadas geográficas que permite a

interdisciplinaridade.

Destinou-se a análise e discussão da pesquisa do círculo e da esfera no

contexto matemático para as coordenadas geográficas, que teve como público alvo

25 alunos do Ensino Fundamental da Escola Estadual D.Pedro I.

O presente trabalho foi dividido em sete tópicos: (1) Introdução; (2) Os

Materiais Manipulativos como Ferramenta Educacional; (3) O Círculo e a Esfera no

Contexto Histórico; (4) O uso dos Materiais Manipulativos (Isopor) para o Estudo das

Coordenadas Geográficas (5) Metodologia; (6) Resultado e Discussão e (7)

Conclusão.

Referencial Teórico

Os Materiais Manipulativos como Ferramenta Educacional

Educadores como Pestalozzi (1746-1827) e Froëbel (1782-1852)

propuseram que a atividade dos jovens seria o principal passo para uma “educação

ativa”. Assim, na concepção deste dois educadores, as descrições deveriam

preceder as definições e os conceitos nasceriam da experiência direta e das

operações que o aprendiz realiza sobre as coisas que observasse ou manipulasse

(DINIZ, et al, 2012).

Sem dúvida, foi a partir do movimento da Escola Nova – e dos estudos e

escritos de John Dewey (1859-1952) – que as preocupações com um método ativo

de aprendizagem ganharam força. Educadores como Maria Montessori (1870-1952)

69

e Decroly (1871-1932), inspirados nos trabalhos de Dewey, Pestalozzi e Froëbel,

criaram inúmeros jogos e materiais que tinham como objetivos melhorar o ensino de

matemática (SMOLE, 2010).

O movimento da Escola Nova foi uma corrente da pedagógica que teve

início na metade do século XX, sendo renovador para a época pois questionava o

enfoque pedagógico da escola tradicional, fazendo oposição ao ensino centrado na

tradição, na cultura intelectual e abstrata, na obediência, na autoridade, no esforço e

na concorrência (DINIZ, et al, 2012).

É Importante lembrar também que, a partir dos trabalhos de Jean Piaget

(1896-1980), os estudos da escola de Genebra revolucionaram o mundo com suas

teorias sobre a aprendizagem da criança. Seguidores de Piaget, como Ávila (1990)

tentaram transferir os resultados das pesquisas teórica para a escola por meio de

materiais amplamente divulgados por eles, como os blocos lógicos (DINIZ, et al,

2012).

A autora Diniz et al (2012), ressalta a importância dos materiais

manipulativos. Desde sua idealização, esses materiais têm sido discutidos e muitas

têm sido as justificativas para a sua utilização no ensino de matemática. Vamos,

então, procurar relacionar os argumentos do passado, que deram origem aos

materiais manipulativos na escola, com sua significação para o ensino de hoje.

A criança aprende o que faz sentido para ela. No passado, dizia-se que os materiais facilitariam a aprendizagem por estarem próximos a realidade da criança. Atualmente, uma das justificativas comumente usadas para o trabalho com materiais didáticos nas aulas de matemática é a de que tal recurso torna o processo de aprendizagem significativo (DINIZ et al, 2012).

Já Coll (1995) afirma que, normalmente, insistimos em que apenas as

aprendizagens significativas conseguem promover o desenvolvimento pessoal dos

alunos e valorizamos as propostas didáticas e as atividades de aprendizagem em

função da sua maior ou menor potencialidade para promover aprendizagens

significativas.

Logo, Diniz et al (2012), elaborou uma proposta da importância dessa

ferramenta educacional no processo de ensino-aprendizagem. Os pressupostos da

aprendizagem significativa são:

70

O aluno é o verdadeiro agente e responsável último por seu próprio processo

de aprendizagem;

A aprendizagem dá-se por descobrimento ou reinvenção;

A atividade exploratória é um poderoso instrumento para a aquisição de

novos conhecimentos porque a motivação para explorar, descobrir e aprender

está presente em todas as pessoas de modo natural.

No entanto, Freeman (2002) citado por Diniz et al (2012), faz uma

observação para o fato de que não basta a exploração para que efetive a

aprendizagem significativa. Para esse pesquisador, construir conhecimento e formar

conceitos significa compartilhar significados, e isso é um processo fortemente

impregnado e orientado pelas formas culturais. Dessa forma, os significados que o

aluno constrói são o resultado do trabalho do próprio aluno, sem dúvida, mas

também dos conteúdos de aprendizagem e da ação do professor.

Assim é que de nada valem materiais didáticos na sala de aula se eles não

estiverem atrelados a objetivos bem claros e se seu uso ficar restrito apenas à

manipulação ou ao manuseio que o aluno quiser fazer dele.

Outro ponto a ser destacado pelos autores Smole (2010) e Diniz et al (2012),

é que os materiais manipulativos são representações de ideias matemáticas. Desde

sua origem, os materiais são pensados e construídos para realizar com objetos

aquilo que deve corresponder a ideias ou propriedades que se deseja ensinar aos

alunos. Assim, os materiais podem ser entendidos como representações

materializadas de ideias e propriedades.

Segundo Monteiro, (2001), a simulação desempenha um importante papel

na tarefa de compreender e dar significado a uma ideia, correspondendo às etapas

da atividade intelectual anteriores à exposição racional, ou seja, anteriores à

conscientização. Algumas dessas etapas são a imaginação, a bricolagem mental, as

tentativas e os erros, que se revelam fundamentais no processo da aprendizagem

da matemática.

Para o referido autor, a simulação não é entendida como uma ação

desvinculada da realidade do saber ou da relação com o mundo, mas antes um

aumento de poderes da imaginação e da intuição. Nas situações de ensino com

materiais, a simulação permite que o aluno formulo hipóteses, inferências, observe

71

regularidades, ou seja, participe e atue em um processo de investigação que o

auxilia a desenvolver noções significativamente, ou seja, de maneira refletida.

Em se tratando da importância dessa ferramenta no aprendizado

matemático, Diniz et al (2012) relata que essa ferramenta educacional permitem

melhor aprendizagem em matemática e foi em parte explicada anteriormente,

quando enfatizamos que a forma como as atividades são propostas e as interações

do aluno com o material é que permitem que, pela reflexão, ele se apoie na vivência

para aprender.

Porém, a linguagem matemática também se desenvolve quando são

utilizados os materiais manipulativos, isso porque os alunos naturalmente verbalizam

e discutem suas ideias enquanto trabalham com o material.

Não há dúvida de que, ao refletir sobre as situações colocadas e discutir

com seus pares, o aluno estabelece uma negociação entre diferentes significados de

uma mesma noção. De acordo com Smole (2010, p. 15):

O processo de negociação solicita a linguagem e os termos matemáticos apresentados pelo material. É pela linguagem que o aluno faz a transposição entre as representações implícitas no material e as ideias matemáticas, permitindo que ele possa elaborar raciocínios mais complexos do que aqueles presente na ação com os objetivos dos material manipulativo. Pela comunicação falada e escrita se estabelece a mediação

entre as representações dos objetos concretos e as das ideias.

Dessa forma, os alunos estarão interagindo sobre matemática quando as

atividades propostas a eles forem oportunidades para representar conceitos e as

definições de diferentes formas e para discutir como as representações que refletem

o mesmo conceito.

Logo, o uso das atividades com materiais manipulativos permitem, o trabalho

em grupo é elemento essencial na prática de ensino como uso de materiais

manipulativos.

Segundo Smole (2010) citado por Diniz et al (2012), acredita-se que os

materiais manipulativos podem ser úteis se provocarem a reflexão por parte dos

alunos de modo que elas possam criar significados para ações que realizam com

eles. Não é o uso específico do material com os alunos o mais importante para a

construção do conhecimento matemático, mas a conjunção entre o significado que a

72

situação na qual ele aparece tem para a criança, as suas ações sobre o material e

as reflexões que faz sobre tais ações.

O Círculo e a Esfera no Contexto Histórico

O círculo e a esfera são formas geométricas que aparecem em várias

civilizações e sociedades associada a rituais religiosos, a astronomia, a arquitetura

ou tecelagem. São considerados por alguns historiadores da matemática como os

símbolos mais antigo desenhado pelo homem e suas origens remonta à pré-história.

Com relação ao cálculo da área do círculo são encontrados vários métodos

e fórmulas nas antigas civilizações chinesa, babilônica, egípcia e indiana. Algumas

destas fórmulas são exatas e outras aproximadas (GRANJA e PASTORE, 2012).

Assim, cada civilização possui seu papel fundamental no desenvolvimento

do estudo de círculo e a esfera.

Já a autora Smole (2010), relata a importância dos celtas do estudo do

círculo. Dentre tantos monumentos do mundo antigo, para nós ocidentais o enigma

arquitetônico mais famoso e intrigante é Stonehenge. O círculo, o labirinto, é uma

forma presente em todas as tradições e culturas, e esse é um legado da tradição e

cultura celta. Como toda cultura constitui um todo indissociável, esse monumento

demonstra que estamos todos integrados no tempo; e que presente e passado são

facetas de uma mesma existência.

Outra civilização importante para a contribuição do estudo da esfera e

círculo foram os chineses. Gerdes (1995) afirma, que a civilização da China é muito

mais antiga que as da Grécia e Roma. Datar os documentos matemáticos da China

não é nada fácil, e estimativas quanto ao Chou Pei Suang Ching, um documento da

matemática chinesa, geralmente, considerado o mais antigo dos clássicos

matemáticos, diferem por quase mil anos. Alguns consideram o Chou Pei como

sendo de cerca de 1.200 a.C., mas outros afirmam que tal obra teria sido produzida

no primeiro século de nossa era, por volta de 300 a.C com aplicações da geometria.

Em meados do século XV, diversos manuscritos do matemático grego do

século III a.C., Arquimedes, começaram a circular nos centros humanísticos nas

cortes da Itália. O artista renascentista Piero della Francesca (entre 1416 e 1492,

aproximadamente), mais conhecido pelos afrescos pintados para o Vaticano e as

capelas em Arezzo, transcreveu uma cópia de uma tradução latina da geometria de

73

Arquimedes (uma compilação de sete tratados existentes) e ilustrou-a com mais de

200 desenhos representando os teoremas matemáticos nos textos (ASGER, p.122,

2000).

Segundo Ávila (1990), há muito tempo nas propriedades da Biblioteca

Riccardiana em Florença, esse manuscrito foi atribuído somente há pouco tempo a

Piero por James Banker, um estudioso americano da transmissão do estudo de

círculo e esfera de Arquimedes desde a era clássica. Provavelmente criado por

Piero no final de 1450, ele é composto de 82 fólios que destacaram de maneira

significativa o seu trabalho, tanto como artista quanto como estudante de

matemática e geometria. Muitas das ilustrações nas margens capturam as

habilidades do artista na representação de figuras geométricas complexas em

formas compreensíveis.

As linhas simples e posicionadas corretamente das formas geométricas no

manuscrito representam um elemento essencial do trabalho do artista e oferecem

percepções sobre o uso criativo do espaço e da perspectiva para reproduzir objetos

tridimensionais em tela e papel (ÁVILA, 1990).

Assim, na análise das contribuições dos povos antigos, pelo qual,

Arquimedes, Euclides, Pitágoras, chineses ou até mesmo os reis medievais

elaboraram estratégias no uso do círculo e esfera nas construções de templos,

monumentos, casas, cidades, ruas etc.

O Círculo e a Esfera através das Coordenadas Geográficas

As recomendações dos PCN-Matemática (BRASIL, 1998, p. 25), com

relação à importância que a matemática desempenha quanto ao seu papel na

estruturação do pensamento, na agilização do raciocínio dedutivo do aluno, na sua

aplicação a problemas, situações da vida cotidiana e atividades do mundo do

trabalho. Ressalta-se que atividades de confecção de globo contribui para cálculo

matemático podem ser socializadas com diversas áreas, neste caso, a geografia que

apresenta estudos das coordenadas geográficas.

Diante disso, considerar interdisciplinaridade do jeito em que os dados são

apresentados, torna muito superficial a ligação do estudo de Circunferência e Círculo

na disciplina Geografia.

74

Para Granja e Pastore (2012) assumir a forma da Terra como uma esfera

constitui um bom modelo para investigar muitas questões de natureza física ou

geográfica. Na matemática escolar trabalhamos com coordenadas cartesianas para

localização de pontos no plano; sobre uma esfera, contudo, isso não seria nada

prático. Na localização de pontos sobre uma esfera costuma-se utilizar o que

chamamos de coordenadas geográficas, que nada mais é do que o uso de duas

referências regulares, conhecidas como Latitude e Longitude.

Assim como no plano cartesiano trabalhamos com um par de eixos

ortogonais como referência para a localização dos pontos, na esfera, usamos duas

circunferências máximas, perpendiculares entre si, como referência. No caso do

modelo da Terra, essas circunferências são a Linha do Equador, e o Meridiano de

Greenwich.

É importante dizer que a longitude refere-se ao ângulo orientado (leste/

oeste) a partir do Meridiano de Greenwich, e a latitude, ao ângulo orientado (norte/

sul) a partir da Linha do Equador. Os paralelos são circunferências imaginárias

paralelas à circunferência da Linha do Equador. A própria Linha do Equador é

considerada um paralelo, como também são paralelos os Trópicos de Capricórnio e

de Câncer. Os meridianos são semicircunferências contidas em circunferências

máximas da esfera. O meridiano mais conhecido é aquele que passa pela cidade de

Greenwich, próxima de Londres, pelo fato de ter sido escolhido como o meridiano de

referência para os fusos horários (IEZZI et al, 2004).

Assim, apropriação do conhecimento sobre coordenadas geográficas pode

parecer simples. O fato, porém, é que no universo do pensamento abstrato, ainda

em construções, dos estudantes do ensino fundamental, atividades experimentais

com esferas são de grande utilidade para a compreensão do assunto.

Os Conceitos, diferenças e as demonstrações entre o Círculo e a Esfera

As palavras circunferência e círculo não possuem significados universais; há

pessoas que usam a palavra círculo como sinônima de circunferência e a palavra

disco para significar o que foi definido no texto como círculo. Neste material,

estaremos distinguindo a figura bi unidimensional chamando-as por círculo e

circunferência, respectivamente (DANTE, 2009).

75

Círculo (ou disco) é um conjunto dos pontos de um plano cuja distância a um

ponto dado desse plano é menor ou igual a uma distância (não nula) fixa dada. É o

contorno e o interior da região circular. Por exemplo, a pizza não tem só o contorno

tem a parte interna (IEZZI et al, 2004).

Considere-se uma abertura do compasso tal que a distância entre a ponta

de grafite e a ponta-seca seja cm. Ao fixar a ponta-seca em um ponto da folha

de caderno e desenhar uma linha com a ponta de grafite, fazendo-a girar uma volta

completa em torno do ponto , estamos marcando todos os pontos da folha que

distam cm de . Essa linha é chamada de circunferência de centro e raio cm

(SMOLE, 2010).

Sendo um ponto de um plano e uma medida positiva, chama-se de

circunferência de centro e raio o conjunto dos pontos do plano que distam de

a medida .

A forma esférica é considerada desde a antiguidade grega como padrão de

equilíbrio e perfeição. Uma frase de Aristóteles (384-322 a. C) mostra o fascínio dos

filósofos gregos por essa forma: “o céu deve ser necessariamente esférico, pois a

esfera, sendo gerada pela rotação do círculo, é, de todos os corpos, o mais perfeito”

(ASGER, 2012).

Figura 1: Círculo e circunferência Fonte: Dante (2013)

Figura 2: Circunferência Fonte: Iezzi et al (2004)

76

Dizem que a esfera é um sólido perfeito por não ter arestas e por apresentar

sempre a mesma forma, qualquer que seja o ângulo de observação.

Independentemente das opiniões de pessoas e particulares, as formas esféricas

podem ser vistas em diversos objetos e situações:

De modo geral, o autor Dante (2013), diferencia a esfera de superfície

esférica. Sejam um ponto e um segmento , não nulo. Superfície esférica de centro

e raio é o conjunto dos pontos dos espaços cujas distâncias a são iguais a .

Esfera de centro e raio é o conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias a

são menores ou iguais a

Considera-se um ponto 0 do espaço e uma medida (sendo ).

Chama-se esfera de centro 0 e raio o conjunto dos pontos do espaço cujas

distâncias ao ponto 0 são, menores ou iguais a

O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto 0 são menores

que é chamado de interior da esfera.

O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto 0 são iguais a é

chamado de superfície esférica.

Figura 4: Esfera de centro 0 e raio R Fonte: Dante (2013)

Figura 3: Formas esféricas Fonte: Dante (2013)

77

O conjunto dos pontos do espaço cujas distâncias ao ponto 0 são maiores

que é chamado de exterior da esfera.

A Geometria da Esfera constitui um valioso ambiente de investigação sobre

os aspectos relativos da geometria euclidiana estudada na escola. Será discutida a

seguir algumas ideias iniciais apenas para sugerir um campo de trabalho no Ensino

Fundamental.

Para determinar no plano euclidiano uma reta que passe pelos pontos e ,

utilizamos uma régua. A régua nos permite traçar uma linha por meio do qual fica

evidente o segmento de reta , cuja medida é a menor distância ligando os pontos

e . Sobre a superfície de uma esfera, se marcarmos dois pontos e , a menor

distância entre eles será dada por um arco de circunferência muito particular,

determinado por uma circunferência máxima que passa por e (GRANJA E

PASTORE, 2012).

Entende-se por circunferência máxima aquela que, no modelo do globo

terrestre, pode ser representada pela linha do Equador, ou por circunferências que

contenham um meridiano qualquer.

Dessa forma, pode-se traçar uma “reta” sobre uma esfera de isopor? Uma

vez que na esfera a “reta” é uma circunferência máxima, podemos traçá-la com

auxílio do Transferidor Esférico- e de elásticos posicionados em correspondência

com a circunferência máxima determinada pelo .

Metodologia

Materiais Manipulativos-Esfera de isopor/Proposta didática e aplicada em sala

de aula.

O autores como Granja e Pastore (2012) apontam algumas atividades

interessante que podem ser apresentadas para os alunos como: Materiais

manipulativos.

1-Marque uma circunferência qualquer sobre a esfera de isopor com ajuda da boca

de uma lata, ou de um copo.

2-Marque dois pontos sobre essa circunferência com as letras e .

78

3-Mostre que existe um arco ligando e que é menor do que o arco definido pela

marcação da boca do copo no isopor.

Pode-se mostrar o que se pede no item desenhando uma circunferência

máxima que passe por e . Para fazer isso, posiciona-se o sobre e , marca-

se um terceiro ponto qualquer que esteja na circunferência máxima indicada pelo

, posiciona-se um elástico passando por e e marca-se uma circunferência

máxima. O arco de extremo de e contido nessa circunferência máxima é a

menor distância na superfície esférica entre e . Isso pode ser demostrado com o

auxílio de cálculo diferencial, mas o que nos interessa com a discussão é o aspecto

intuitivo do resultado.

Logo, a esfera é apoiada em uma lata para marcação de uma circunferência.

A marcação de uma circunferência na esfera com auxílio do suporte de uma

lata.

Figura 5: Esfera de isopor Fonte: Dante (2013)

Figura 6: Esfera é apoiada em uma lata Fonte: Dante (2013)

79

Marcação de dois pontos na circunferência.

Marcação com o auxílio do de um arco passando por e .

Figura 7: Marcação de uma circunferência na esfera Fonte: Dante (2013)

Figura 8: Pontos 𝐴 𝑒 𝐵 na circunferência Fonte: Dante (2013)

Figura 9: Um arco passando por 𝐴 e 𝐵 Fonte: Dante (2013)

80

Posiciona-se um elástico sobre o arco marcado com o . Note que o arco

de extremos e contido nessa circunferência máxima é a menor distância na

superfície esférica entre esses dois pontos. Outra interessante frente de

investigação é a discussão sobre a existência de “paralelas” em uma esfera.

No plano euclidiano, paralelas são retas que nunca se cruzam, mas será que

existem “retas paralelas” em uma esfera? Se, na superfície da esfera, a menor

distância entre dois pontos é estabelecida por uma circunferência máxima, é fácil ver

que duas circunferências máximas distintas na esfera sempre irão se interceptar em

dois pontos. Decorre dessa investigação a conclusão de que não existem “retas

paralelas” em uma esfera.

Segundo Granja e Pastor (2012), duas circunferência máximas distintas, que

representam “retas” em uma esfera, sempre se intersectam em dois pontos.

Sabendo que, na esfera, as “retas” são circunferência máximas, a intersecção entre

três circunferências máximas distintas definem o que poderíamos chamar de

triângulo esférico, como se vê na foto com o uso de elásticos.

Triângulo Esférico

Figura 10: Circunferências máximas distintas na esfera Fonte: Dante (2013)

81

Um desafio interessante para os alunos é o de medir cada ângulo interno do

triângulo esférico como uso do . Além da interessante discussão sobre como

proceder para fazer tal medida, o resultado que será obtido certamente causará

enorme surpresa pelo fato de que a soma dos ângulos internos será maior do que

. Pode-se demonstrar que a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico

é maior do que e menor do que . Nas fotos a seguir mostramos como é

possível medir a soma dos ângulos internos de um triângulo esférico com o .

Medição do ângulo de lados sobre os elásticos verde e roxo com auxílio do

.

Figura 11: Triângulo Esférico Fonte: Dante (2013)

Figura 12: Triângulo esférico Fonte: Dante (2013)

82

Medição do ângulo de lados sobre os elásticos laranja e roxo com auxílio do

.

A Medição do ângulo de lados sobre os elásticos verde e laranja com auxílio

do . Assim, as medidas do ângulos são 135°, 53° e 65°, o que totaliza a

soma. Agora, uma última, e intrigante, proposta de atividade. Pelo, qual será

apresentado na proposta de atividade na pesquisa de campo.

Dessa forma, as observações das atividades de investigação com as esferas

de isopor e o transferidor esférico permitem ampliar o trabalho interdisciplinar com

geografia, bem como uma interessante extensão do conhecimento geométrico dos

alunos para além da Geometria Euclidiana. O material sugerido permite ainda

inúmeras incursões no programa de matemática no Ensino Fundamental, bastando

para isso o pré-requisito da trigonometria no círculo trigonométrico.

É importante dizer que em particular na geometria e na aritmética notam-se

violentas contradições. Por exemplo, a geometria do povo, dos balões e dois

papagaios é colorida, enquanto a geometria teórica, desde sua origem grega,

eliminou a cor. E a quantificação da produção e do consumo retirou as

considerações sobre a natureza do trabalho e do produto. Essas são algumas das

Figura 13: Medição do ângulo Fonte: Dante (2013)

Figura 14: Medição do ângulo de lados sobre os elásticos Fonte: Dante (2013)

83

inúmeras questões abordadas pelos autores ao longo das suas trajetórias

acadêmicas (GRANJAS e PASTORE, 2012).

A proposta da aplicação do uso do isopor no conteúdo de esfera e círculo

em sala de aula, leva o aluno a elaborar e expor suas produções na lousa, em

painéis, murais, em exposições durante as finalidades traçadas. A ideia de trabalhar

com os materiais manipulativos valoriza a investigação e a concepção do aluno, e

que constitui em uma nova postura de aprender a matemática através das atividades

práticas em sala de aula.

Aplicação da proposta

O estudo definiu-se como uma pesquisa de análise investigativa procurando

referências teóricas publicados, a fim de recolher informações ou conhecimentos

prévios sobre o círculo e esfera.

Segundo Martins (2000), o método bibliográfico trata-se de estudo para

conhecer as contribuições científicas sobre um determinado assunto. Tem como

objetivo recolher, selecionar, analisar e interpretar as contribuições técnicas já

existentes sobre um determinado assunto.

Dessa forma utilizou-se a técnica de questionário e de escrever a sequência

didática proposta, e que foram constituídas de fontes escritas primárias

contemporâneas para obtenção dos conceitos, definições e formulações discursivas

da temática pesquisada.

A pesquisa foi desenvolvida com os alunos do 9º ano do Ensino

Fundamental da Escola Estadual D. Pedro I do município de Mazagão. A turma 911

do Ensino Fundamental, com a participação de 40 alunos, sendo 31 meninas e 9

meninos. O instrumento de pesquisa foi um questionário de 5 perguntas dentro da

sala de aula.

Técnica de Coleta e Análise de Dados

A análise de dados foi através da socialização e discussão com muito critério

e de forma detalhada os resultados dos alunos. Com a pesquisa é de caráter de

campo. Os resultados foram apresentados em cinco gráficos de pizza.

A Coleta da pesquisa foi apresenta em gráficos de pizza, caracterizado pelos

percentuais (%), calculado por Regra de Três Simples. Por último foi discutido com o

suporte teórico do tema analisado.

84

Apresentação dos gráficos com os comentários

A matemática possui uma linguagem diferente das outras ciências pelos

resultados mais explícitos nas soluções de problemas dentro e fora da sala de aula.

Ressalta-se que os cálculos de esfera e de outros componentes são causas para ela

ser mais “odiada’’ pelos alunos. Pode-se citar a metodologia de ensino, a relação

professor e aluno, falta de interesses dos pais no acompanhamento dos filhos na

escola etc.

No entanto, as atividades interdisciplinar com a geografia, torna-se

interessante no conhecimento geométrico e constatou-se que o uso do material

concreto do isopor a maioria dos alunos não tiveram dificuldade de aprender.

Logo, um aprendizado adequado é eficiente através dessas ferramentas

como o transferidor esférico é fundamental para o professor utilizar novos recursos e

na implantação de programas para aproximar o aluno do cálculo.

O gráfico 1 mostrou que 80% dos alunos afirmaram que não possui

dificuldade. Por outro lado, 20% disseram que o auxílio do TE não é suficiente.

Segundo Diniz et al (2012), compreender e utilizar o TE depende da

proposição de situações-problema que sejam significativas para os alunos, e que

eles, ao tentar solucioná-las, possam criar seus próprios procedimentos para

calcular. Através do TE, o aluno aprende matemática registrando as representações

e localizações por meio do isopor esférico. Ao registrar a maneira como resolveram

a operação, os alunos tornam visíveis todo o seu raciocínio e os procedimentos

utilizados, além de ser possível comparar suas anotações com outros alunos.

Gráfico 1: Você possui dificuldade para localizar duas cidades com o auxílio do TE?

20%

80%

sim não

Fonte: Autores

85

Gráfico 2: Em sua opinião podemos trabalhar as esferas de isopor no cálculo de

área e volume de esfera?

Percebe-se que de acordo com os dados do gráfico 2, a maioria do alunos

afirmaram que é possível aprender e ampliar os cálculos de esfera através de

atividades experimentais.

Segundo Granja e Pastore (2012), é importante que os alunos tenham a

oportunidade de manusear o material livremente para que algumas noções

comecem a emergir da exploração inicial, para que depois, na condução da

atividade, as relações percebidas possam ser sistematizadas. De modo geral, cada

sequência de atividade apresenta as seguintes partes:

Conteúdo

Objetivos

Organização da classe (sob a forma de ícone)

Recursos

Descrição das etapas

Atividades

Respostas.

Em cada sequência, a organização da classe é indicada por meio de ícones,

que aparecem ao lado do item “conteúdo”. Os ícones utilizados são os seguintes:

Quando houver mais de uma forma de organização dos alunos, isso é indicado por

mais de um ícone. Cada uma das sequências de atividades propõe na descrição das

etapas uma série de procedimentos para o ensino e para a organização dos alunos

e dos materiais, de modo a assegurar que os objetivos sejam alcançados.

90%

10%

sim não

Fonte: Autores

86

Gráfico 3: Durante a confecção da Esfera de isopor qual sua maior dificuldade?

Sabe-se que o conteúdo de Esfera faz parte do ensino, porém constatou-se

que o uso do material concreto do isopor a maioria dos alunos não tiveram

dificuldade de aprender. No entanto as atividades interdisciplinar com a geografia,

torna-se interessante no conhecimento geométrico.

Para Diniz et al (2012), algumas dificuldades encontrada pelos alunos

envolve a estratégia e planejamento para determinar quando e como utilizar os

materiais manipulativos, assim como qual é o momento em que eles devem ser

abandonados. É pela avaliação constante das aprendizagens dos alunos e de suas

observações em cada atividade que essas decisões podem ser tomadas de forma

mais adequada e eficiente.

Gráfico 4: Qual o tema que você mais gostou do círculo e esfera?

60%

10%

10% 20%

Calcular a area da esfera

Calcular a area do círculo

Achar os ângulos

Achar os pontos queintersectam

60%

10%

10%

20% Raio e diâmetro

Grau

Área de circunferência e daesfera

Volume da Esfera

Fonte: Autores

Fonte: Autores

87

Percebe-se que a maioria dos alunos gosta de calcular os valores de raio e

diâmetro. Por outro lado, o gráfico mostrou que 10% dos alunos gosta de calcular

situações problema que envolve volume e 10% gosta de achar o grau.

Monteiro (2001), o raio e o diâmetro são tópicos relacionados e incluído nas

séries finais do Ensino Fundamental, pelo qual, o aluno, irá compreender suas

funções dentro de uma circunferência.

Gráfico 5: Em sua opinião o que é um círculo?

Segundo Granja e Pastore (2012), são sugeridos os encaminhamentos da

atividade com conceitos e preposições para o aluno compreender o fenômeno

matemático e na forma de questões a serem propostas aos alunos antes, durante e

após a atividade propriamente dita, assim como a melhor forma de apresentação do

material.

Nessa questão os dados confirmaram que as dificuldades de conceituar

estão associadas às metodologias e estratégias que o professor usa para o aluno

aprender um determinado tema.

Resultados e Discussão

Foi mostrado a sequência lógica da confecção da Esfera de Isopor para as

construções de figuras através das coordenadas geográficas que discutiu as ideias

da geometria. Para os interessados na abordagem do Estudo de Esfera e Círculo

com apoio de isopor recomenda-se o trabalho de Carlos Eduardo de Souza Campos

75%

12% 13%

É a medida entre dois pontos

É o conjunto de todos os pontos de umplano cuja distância a um ponto fixo O

É uma parte do arco

Fonte: Autores

88

Granja e de José Luiz Pastores publicado no livro: Atividades experimentais de

Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental, São Paulo. Edições SM, 2012.

Ao longo da pesquisa de campo e da sequência didática percebeu-se maior

interesse dos alunos nas atividades apresentadas com o apoio do material

manipulativo do uso do isopor. É importante dizer, que toda sequência didática

permite ao aluno traçar as etapas de uma atividade realizada em sala de aula.

Certamente, alguns alunos terão dificuldades na compreensão da linguagem

matemática, mas, é necessário, que o professor busque alternativa na relação entre

o material utilizado e o aluno. Nessa mesma direção, o estudo da esfera e círculo

aponta, também, para uma compreensão de situações-problemas direcionado aos

cálculos de áreas e volumes.

Assim, a proposta do uso do material manipulativo nas aulas de matemática

torna-se uma ferramenta para o processo de ensino-aprendizagem. Desse modo, o

papel do professor, é fundamental para explorar os conhecimentos dos alunos

através dos recursos na sala de aula. Acredita-se que a proposta do uso do isopor

nos estudos da esfera e círculo mostra que as fórmulas, proposições, problemas

podem ser solucionadas com o uso desses materiais manipulativos em sala de aula.

Desse modo, a tal proposta centra-se no preparo do professor e na estratégia do

uso desses materiais manipulativos.

De acordo com a análise da pesquisa de campo foi constatado, que a

maioria dos alunos possuem dificuldade de calcular as distâncias entre pontos

através do Transferidor Esférico-TE. O trabalho com material concreto de isopor

contribui para o suporte nos cálculos de círculo e esfera. Pelo outro lado, a maior

dificuldade dos alunos foi nos cálculos de área e volume de esfera.

O estudo do círculo e da esfera são conteúdos para serem trabalhados em

qualquer nível de escolaridade. A proposta de utilizar o globo terrestre com modelo

de recurso em sala de aula permiti ao professor usar várias estratégias em sala de

aula. Exemplo disso, é colocar as coordenadas geográficas, cálculo de ângulo,

medidas e distâncias que leva o aluno a descobrir e aprender situações problemas,

envolvendo áreas e volumes de círculo e esfera.

Assim, os professores de matemática, somente estará pronto para mudar

estratégias para um ensino voltado para o uso de materiais manipulativos, quando

perceberem a importância da geometria no contexto social e educacional.

89

Referências ASGER, Aaboe. Episódios da História Antiga da Matemática, Publicação SBM, 2000. ÁVILA, Geraldo. Arquimedes, o Rigor e o Método, Matemática Universitária. São Paulo, Saraiva, 1990. BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática/ Luiz Roberto Dante 3º Ed. São Paulo: Ática 2009. DINIZ, Maria Lignez et al. Materiais manipulativos. São Paulo: Edições Mathema (coleção mathemoteca/ organizadoras Kátia Stocco Smole, e Maria Lignez Diniz, 2012. EVES, H. TRAD. DOMINGUES, H. H. Introdução à História da Matemática. Campinas: UNICAMP, 2000. FREEMAN, T. G.Portrasits of Earth: a mathematician looks at maps (Mathematical World, v. 18). USA: American Mathematical Society, 2002. GERDES, P. Three Alternative Methods of Obtainting the Ancient Egyptian Formula of the Area of a Circle. História Matemática, v. 12, p. 261-268, 1995. GRANJAS, Carlos Eduardo de Souza Campos; PASTORE, José Luiz. Atividades experimentais de Matemática nos anos finais do Ensino Fundamental, São Paulo. Edições SM, 2012. IEZZI, Gelson. Matemática: ciência e aplicações, 2ª série: Ensino Médio,

matemática/ Gelson Iezzi... [ ] Ilustrado, Lzomar, Fernando Monteiro da Silva. 2 ed. São Paulo: Atual. (Coleção matemática: ciência e aplicações), 2004. MARTOS, Z. G. O Trabalho Pedagógico envolvendo a Geometria: As não euclidianas no Ensino Fundamental. Campinas: Zeteriké/Ed. Da Unicamp, 2002. MONTEIRO, Alexandrina. A matemática e os temas transversais/ São Paulo: Moderna. (Educação em pauta: temas transversais), 2001. ONAGA, Dulce Satiko. Matemática e fatos do cotidiano, volume 1: Livro do professor - São Paulo: Global: Ação Educativa Assessoria. Pesquisa e informação, 2004. SIMMONS, George F. Cálculo com Geometria Analítica, Vol. 1. São Paulo: Mc Graw-Hill, 2000.

90

SMOLE, Katia Cristina Stocco. Matemática: Ensino Médio, volume 2/ Kátia Cristina Stocco Smole, Maria Ignez de Souza Vieira Diniz – 6. Ed. – São Paulo; Saraiva, 2010.

91

Considerações Finais

Espera-se que esta coletânea seja uma construção significativa para o desenvol-vimento da prática docente dos professores e acadêmicos do curso de Licenciatura emMatemática, acredita-se ainda, que as propostas desenvolvidas neste estudos são eficazes edidaticamente possíveis de se aplicar no Ensino Público. Que as fórmulas, proposições,problemas podem ser solucionadas com o uso práticas diferenciadas em sala de aula ouambientes diferenciados.

Desse modo, tal proposta centra-se no preparo do professor e na estratégia douso desses materiais manipulativos e/ou tecnológicos que sejam um dos caminhos que oEnsino Público necessita para encontrar para o desenvolvimento mais regular, buscandoaproximar o ensino de Matemática à vida cotidiana dos discente, e o professor é o meiopelo qual o aluno pode estabelecer parâmetros e objetivos a ser alcançados na sua vidaacadêmica e social.

coletanea^ de artigos - unifap.br¢nea-de-artigos... · y acadêmico de matemática - unifap/2015,...

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