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Sumário

Apresentação da Coleção ............................................................................ 23

INTRODUÇÃO ........................................................................................................ 25O que é lógica? ..................................................................................................... 25Divisão da Filosofi a .............................................................................................. 29

– Lógica de Aristóteles ................................................................................. 30 – Lógica Moderna ......................................................................................... 30

Raciocínio lógico matemático ................................................................................ 32Objeto da lógica .................................................................................................... 33Divisão da lógica ................................................................................................... 33

– Lógica formal ............................................................................................. 33 – Enunciados Categóricos ............................................................................ 35

Tipos de lógica ...................................................................................................... 38

Capítulo 1NOÇÕES DE CONJUNTOS ..................................................................................... 41Representação ...................................................................................................... 41

– Por enumeração ........................................................................................ 41 – Por propriedade ....................................................................................... 41 – Por diagrama ............................................................................................. 41

Conjunto Vazio ...................................................................................................... 41Igualdade de Conjuntos ........................................................................................ 42Subconjuntos ou partes de um conjunto .............................................................. 42Triângulo de Pascal ............................................................................................... 42

– Curiosidades do Triângulo de Pascal ........................................................ 47Curiosidade Matemática ........................................................................... 47

– Outra dica: podemos usá-lo na resolução de análise combinatória! ...... 48 – Propriedades do Triângulo de Pascal ....................................................... 54 – Propriedades ............................................................................................ 56 – Números quadrados ................................................................................ 57

Propriedades ............................................................................................. 58 – Números Figurados ................................................................................... 58

Números triangulares ................................................................................. 58Números quadrados .................................................................................. 59Números pentagonais ................................................................................. 59

– Retângulo Áureo e o Nautilus ................................................................... 62

VALÉRIA LANNA

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Cálculo do número Φ ............................................................................................ 64 – Defi nição algébrica .................................................................................... 64 – Série de frações ........................................................................................ 65 – Série de raízes .......................................................................................... 66 – Proporção áurea na natureza .................................................................. 67

Figuras geométricas .................................................................................... 67Vegetais ...................................................................................................... 67Animais ...................................................................................................... 68Corpo humano ............................................................................................ 69

– Aplicações ................................................................................................. 70Arte ............................................................................................................ 70Música ........................................................................................................ 70Objetos atuais ............................................................................................ 71

Operações ............................................................................................................. 71 – Interseção ................................................................................................. 71

Propriedades ............................................................................................ 72 – União ......................................................................................................... 72

Propriedades ............................................................................................ 72 – Diferença ................................................................................................... 72

Propriedade ............................................................................................... 73 – Princípio das gavetas de Dirichlet ............................................................ 81

Capítulo 2DESAFIOS .............................................................................................................. 95

Capítulo 3ESTRUTURAS LÓGICAS ........................................................................................ 109Defi nição de Lógica ............................................................................................... 109Divisão da Lógica ................................................................................................... 110Resumo da estrutura lógica .................................................................................. 113

– Defi nição .................................................................................................... 113 – Objeto da Lógica ........................................................................................ 113 – Divisão da Lógica....................................................................................... 114

Partes da lógica ..................................................................................................... 114Ideia ...................................................................................................................... 114

– Compreensão da ideia ............................................................................. 114 – Extensão da ideia ..................................................................................... 115 – Divisão das ideias ..................................................................................... 115

Ideias quanto à perfeição .......................................................................... 115Ideia quanto à compreensão ..................................................................... 116Ideias quanto à extensão ........................................................................... 116

Termo ..................................................................................................................... 116 – Termos quanto à perfeição na representação da ideia .......................... 116 – Termo quanto à Compreensão ................................................................. 117

SUMÁRIO

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Juízo ....................................................................................................................... 117Premissa ................................................................................................................ 117Silogismo ............................................................................................................... 117Proposição ............................................................................................................. 118

– Paradoxo do Mentiroso ............................................................................ 121 – Um verdadeiro Paradoxo do Mentiroso ................................................... 122

Capítulo 4CONECTIVOS LÓGICOS......................................................................................... 123As tabelas verdade ............................................................................................... 123Conjunção .............................................................................................................. 124Disjunção ............................................................................................................... 125

– O uso do “ou” (disjunção) ........................................................................ 126Condicional ou subjunção ..................................................................................... 134Termo intermediário ............................................................................................. 144Negação ................................................................................................................. 149Regras de Morgan ................................................................................................. 150

– I. Negação da conjunção ........................................................................ 150 – II. Negação da disjunção ......................................................................... 150 – III. Negação de uma condicional ............................................................. 151 – IV. Negação de uma bicondicional .......................................................... 152 – V. Negação do Maior ou menor .............................................................. 153

Capítulo 5USO DE DIAGRAMAS ........................................................................................... 169

Capítulo 6BICONDICIONAL OU BIJUNÇÃO .......................................................................... 175Dicas importantes ................................................................................................. 177Valoração lógica em linguagem corrente ............................................................. 185Valoração em linguagem simbólica (tabelas-verdade) ........................................ 187Valoração com uso exclusivo de tabelas ............................................................. 189Condição sufi ciente e necessária ......................................................................... 191

Capítulo 7RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA ............................................................................ 193Leis de Morgan ...................................................................................................... 196Equivalências e suas aplicações ........................................................................... 197

Capítulo 8TAUTOLOGIAS ...................................................................................................... 211Redundâncias ........................................................................................................ 212Contradições ......................................................................................................... 213Exclusivamente ou preferencialmente? ................................................................ 214

VALÉRIA LANNA

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Capítulo 9ARGUMENTAÇÃO ................................................................................................. 215Cálculo Proposicional - Conectivos ....................................................................... 221

Capítulo 10LÓGICA INDUTIVA E DEDUTIVA .......................................................................... 237Tipos de lógica ...................................................................................................... 237

Capítulo 11SOFISMAS ............................................................................................................. 255Espécies de sofi smas ............................................................................................ 255Lei das oposições .................................................................................................. 256Falácia da afi rmação da consequente .................................................................. 257Falácia da negação da antecedente ..................................................................... 257Falácia da inconsistência ...................................................................................... 258Pseudosilogismos .................................................................................................. 258Falácia dos quatro termos .................................................................................... 259

Capítulo 12SEQUÊNCIAS ......................................................................................................... 261

Capítulo 13ANÁLISE COMBINATÓRIA .................................................................................... 287FATORIAL ................................................................................................................. 287Princípio fundamental de contagem ..................................................................... 288Tabuleiro de Xadrez .............................................................................................. 291Anagramas ............................................................................................................. 294Anagramas com repetição .................................................................................... 295Combinação e Pascal ............................................................................................ 297Soluções inteiras não negativas de uma equação linear .................................... 305Fatorial .................................................................................................................. 306Análise combinatória simples ............................................................................... 306

Capítulo 14PROBABILIDADES ................................................................................................. 319Espaço amostral .................................................................................................... 319Probabilidade de um evento elementar ............................................................. 319Probabilidade de um evento qualquer ................................................................ 320Adição de Probabilidades ..................................................................................... 321Eventos Complementares ..................................................................................... 322Eventos Mutuamente Exclusivos ........................................................................... 322Probabilidade Amostrais Equiprováveis ............................................................... 322Probabilidade Condicional .................................................................................... 323

SUMÁRIO

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Eventos Independentes ........................................................................................ 324Lei de Murphy ....................................................................................................... 324Probabilidade de ocorrer a união de eventos .................................................... 325Probabilidade de não ocorrer um evento ........................................................... 325Distribuição Binominal ........................................................................................... 326Propriedades ........................................................................................................ 329Teorema de Bayes ................................................................................................. 330

Capítulo 15CONJUNTOS NUMÉRICOS .................................................................................... 345Números Naturais .................................................................................................. 345Números Inteiros (Z) ............................................................................................. 358

– Adição ........................................................................................................ 359 – Subtração .................................................................................................. 359 – Valor absoluto ........................................................................................... 359

Defi nição .................................................................................................... 360 – Números simétricos .................................................................................. 360 – Operações com números inteiros (z) ....................................................... 361 – Adições e subtrações com números inteiros ........................................... 361 – Multiplicação ............................................................................................. 362

Divisão inteira ....................................................................................................... 363Multiplicações e divisões com números inteiros ................................................. 364

– Divisibilidade e números primos .............................................................. 368Múltiplo de um número .............................................................................. 368Divisor de um número ................................................................................ 369Critérios de divisibilidade .......................................................................... 369

Divisibilidade por 2 ................................................................................... 369Divisibilidade por 5 ................................................................................... 369Divisibilidade por 10, 100, 1000, etc .......................................................... 369Divisibilidade por 4 ................................................................................... 370Divisibilidade por 8 ................................................................................... 370Divisibilidade por 25.................................................................................. 370Divisibilidade por 3 ................................................................................... 370Divisibilidade por 9 ................................................................................... 370Divisibilidade por 6 ................................................................................... 371Divisibilidade por 12.................................................................................. 371Divisibilidade por 7 ................................................................................... 371Divisibilidade por 11.................................................................................. 373Divisibilidade por 13.................................................................................. 373

– Regra geral de divisibilidade .................................................................... 373Números primos .................................................................................................... 382Números compostos ............................................................................................. 383Teorema fundamental da aritmética .................................................................... 383Reconhecimento de números primos ................................................................... 384

VALÉRIA LANNA

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Decomposição de um número em fatores primos............................................... 384 – Número de divisores ................................................................................ 385

Roteiro para obter todos os divisores naturais de um número .................. 385Roteiro para obtermos o número de divisores naturais de um número: nD(x) ............................................... 386

– Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum ................................. 387Múltiplos comuns e mínimo múltiplo comum .............................................. 387

Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C) .............................................................. 388Determinação do MMC pelo processo simplifi cado ................................. 389Divisores comuns e máximo divisor comum .......................................... 389Determinação do MDC por decomposições em fatores primos .............. 390Máximo Divisor Comum (M.D.C) ................................................................ 390Determinação do MDC pelo processo simplifi cado .................................. 391

– Propriedades do MMC e do MDC ............................................................. 404Números racionais ................................................................................................ 406

– Operações e propriedades ....................................................................... 406Conceito ..................................................................................................... 406

– Subconjuntos Importantes ........................................................................ 407 – Representação fracionária ....................................................................... 408 – Representação decimal de um número racional ..................................... 409

Inteiro ........................................................................................................ 409Expansão Decimal Finita ............................................................................. 409Expansão Decimal Infi nita Periódica ........................................................... 409

– Determinação de uma fração geratriz ..................................................... 409Como determinar uma fração geratriz ....................................................... 409

Números mistos..................................................................................................... 412 – Adição e subtração de frações ................................................................. 412

Com Denominadores Iguais ........................................................................ 412Com Denominadores Diferentes ................................................................. 412

– Multiplicação de frações ........................................................................... 412 – Divisão envolvendo frações ...................................................................... 414

Potenciação e radiciação ...................................................................................... 417 – Potenciação ............................................................................................... 417

Propriedades Operatórias com Potências ................................................... 417Regras de sinais nas potenciações ............................................................. 418

RADICIAÇÃO ............................................................................................................. 418 – Cálculo de Raízes quadradas Exatas de números entre 100 e 10.000 ..... 419 – Propriedades operatórias com radicais .................................................. 420

Capítulo 16EQUAÇÕES E SISTEMAS ...................................................................................... 439Equação do 1º grau ............................................................................................... 439

– Sistemas de equações de 1º grau com duas equações e duas incógnitas ................................................... 4411º Método – Substituição ............................................................................ 441

SUMÁRIO

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2º Método – Adição ..................................................................................... 442Equações do 2º grau ............................................................................................. 450

– Resolução das equações completas ......................................................... 450Inequações envolvendo funções do 1º grau ........................................................ 456Inequações envolvendo funções quadráticas ...................................................... 457Função polinomial do 20 grau ou função quadrática ........................................... 459

– Condição de existência das raízes ........................................................... 459 – Intersecção com os eixos .......................................................................... 460

Intersecção com o eixo dos y ..................................................................... 460Intersecção com o eixo dos x ..................................................................... 460

– Coordenadas do vértice ........................................................................... 461 – Valor mínimo e valor máximo .................................................................. 462

Capítulo 17SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS ............................................................................ 469Sistemas MKS ......................................................................................................... 469

– Transformação de unidades ..................................................................... 469Notação científi ca ....................................................................................... 469

– Unidades de comprimento ....................................................................... 470 – Unidades de superfície ............................................................................. 470 – Unidades de volume ................................................................................. 470 – Medida de volume (litro) ......................................................................... 470 – Relação entre m3 e litro ............................................................................ 471 – Unidades de massa................................................................................... 471 – Sistema sexagesimal ................................................................................. 471 – Sistema decimal ........................................................................................ 471

Capítulo 18RAZÃO E PROPORÇÃO ........................................................................................ 479RAZÃO ..................................................................................................................... 479

– Escala ......................................................................................................... 482 – Grandezas diretamente proporcionais .................................................... 486 – Grandezas inversamente proporcionais .................................................. 486 – Relação entre proporção inversa e proporção direta ............................ 487 – Divisão em partes diretamente proporcionais ........................................ 487

1º caso: Divisão em partes diretamente proporcionais .............................. 4872º caso: Divisão em partes inversamente proporcionais ........................... 4883º caso: Divisão composta direta ............................................................... 4894º caso: Divisão composta mista ................................................................ 490

Grandezas direta e inversamente proporcionais ................................................ 491

Capítulo 19REGRA DE TRÊS ................................................................................................... 503Relação de proporção direta ............................................................................... 503Relação de proporção inversa ............................................................................. 504

VALÉRIA LANNA

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Grandezas proporcionais a várias outras ............................................................ 505 – Propriedade .............................................................................................. 506

Capítulo 20PORCENTAGEM .................................................................................................... 517Variação percentual .............................................................................................. 518

– Operações com mercadorias .................................................................... 527Acréscimos e descontos sucessivos ...................................................................... 529

Capítulo 21JUROS SIMPLES E COMPOSTOS ......................................................................... 539Juros simples ......................................................................................................... 540

– Cálculo de Juro simples ............................................................................ 541 – Montante ................................................................................................... 542

Casos particulares: capital, taxas e prazo médios .............................................. 542Juro composto ou capitalizado ............................................................................. 544Análise comparativa entre juros simples, Juros compostos e desconto bancário ................................................................. 553

– Juros Compostos x Juros Simples .............................................................. 553

Capítulo 22DESCONTOS E TAXAS .......................................................................................... 559Taxas proporcionais ............................................................................................ 559

– Taxas Equivalentes .................................................................................... 560Taxa Nominal e Efetiva .......................................................................................... 560Taxa Real ............................................................................................................... 561Taxa Aparente ....................................................................................................... 561Taxa Interna de Retorno (TIR) ............................................................................... 565Descontos .............................................................................................................. 568Desconto composto ............................................................................................... 576Desconto comercial composto .............................................................................. 577Desconto racional composto ................................................................................ 578Taxa efetiva para desconto comercial .................................................................. 580

Capítulo 23PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS................................................ 591Sequência numérica .............................................................................................. 591Progressão Aritmética (PA) .................................................................................... 591

– Defi nição .................................................................................................... 591 – Propriedades ............................................................................................ 591 – Fórmula do termo geral de uma PA ......................................................... 592 – Representações especiais ........................................................................ 593 – Fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.A. .......................... 593

Progressão Geométrica (PG) ................................................................................ 597 – Defi nição .................................................................................................... 597

SUMÁRIO

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– Propriedades ............................................................................................ 597 – Fórmula do termo geral ............................................................................ 598

Representações especiais .......................................................................... 598 – Fórmulas da soma dos n termos de uma PG fi nita .................................. 598 – Soma dos termos de uma PG infi nita ....................................................... 599

Capítulo 24ÁLGEBRA LINEAR ................................................................................................. 619Matrizes ................................................................................................................. 619

– Introdução ................................................................................................. 619 – Elementos .................................................................................................. 619 – Matriz quadrada ....................................................................................... 619 – Matriz unidade ou matriz identidade ...................................................... 619 – Igualdade de matrizes .............................................................................. 620 – Matriz transposta ...................................................................................... 620 – Matriz simétrica ........................................................................................ 620

Operações com matrizes ...................................................................................... 620 – a) Adição ................................................................................................... 620 – b) Multiplicação de matriz por escalar .................................................... 621 – c) Produto de matrizes ............................................................................. 621

Inversa de uma matriz .......................................................................................... 622Determinantes ....................................................................................................... 622

– Introdução ................................................................................................. 622 – Determinantes de 2ª ordem ..................................................................... 622 – Determinantes de 3ª ordem ..................................................................... 623 – Propriedades dos determinantes ............................................................ 623

Sistemas lineares .................................................................................................. 642 – Classifi cação dos sistemas quanto ao número de soluções .................... 642 – Matriz escalonada ou sistema escalonado .............................................. 642 – Princípios de equivalência de sistemas ................................................... 642

Capítulo 25GEOMETRIA BÁSICA ............................................................................................ 651Introdução à geometria plana .............................................................................. 651

– Ponto reta, plano, semi-reta, segmento, ângulo ...................................... 651 – Segmentos consecutivos, colineares, adjacentes .................................... 651 – Ponto médio de um segmento ................................................................. 652 – Mediatriz de um segmento ....................................................................... 652 – Ângulos reto, raso, agudo, obtuso ........................................................... 652 – Ângulos complementares e ângulos suplementares ................................ 653

Triângulos e polígonos .......................................................................................... 655 – Elementos de um polígono ....................................................................... 655 – Nº de diagonais de um polígono .............................................................. 655 – Classifi cação dos triângulos ..................................................................... 655 – Bissetriz de um ângulo.............................................................................. 656

VALÉRIA LANNA

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– Ângulos formados por duas paralelas e uma transversal....................... 656 – Classifi cação dos triângulos ...................................................................... 656 – Segmentos e pontos notáveis do triângulo .............................................. 657

1. Medianas ................................................................................................ 6572. Alturas .................................................................................................... 6573. Bissetriz internas e externas................................................................... 6574. Mediatrizes ............................................................................................. 658Desigualdades entre os elementos de um triângulo ................................... 658

– Soma dos ângulos internos de um triângulo ........................................... 658 – Teorema do ângulo externo de um triângulo .......................................... 659 – Ângulo interno e ângulo externo de um polígono regular ....................... 659 – Quadriláteros ........................................................................................... 659

Defi nição e classifi cação ............................................................................. 659Paralelogramo ............................................................................................ 660Base média ................................................................................................ 661

1. Do triângulo ........................................................................................... 6612. Do trapézio ............................................................................................ 662

Circunferência e disco ........................................................................................... 662 – Defi nição .................................................................................................... 662 – Retas e Circunferências ............................................................................. 663 – Ângulos em um disco ................................................................................ 663

1. Ângulo central: vértice no centro ............................................................ 6632. Ângulo inscrito: vértice no círculo, 2 lados secantes ............................... 664

– Quadrilátero inscritível ............................................................................. 664 – Quadrilátero circunscritível ....................................................................... 665

Segmentos proporcionais ..................................................................................... 665Teoria de Tales ........................................................................................... 665

Teorema da bissetriz interna ................................................................................ 665 – Teorema de bissetriz externa ................................................................... 666

Semelhança de triângulos e polígonos ................................................................. 666Triângulos semelhantes .............................................................................. 666

Relações métricas e trigonométricas no triângulo retângulo .............................. 667 – Elementos do triângulo retângulo ............................................................ 667 – Principais relações métricas ..................................................................... 667 – Razões trigonométricas ............................................................................. 667

Seno, co-seno e tangente dos ângulos notáveis ......................................... 668Lei dos co-senos ......................................................................................... 668Lei dos senos ............................................................................................. 668

Relações métricas no círculo ................................................................................ 669 – Relações métricas ..................................................................................... 669

Polígonos regulares .............................................................................................. 669 – Elementos principais de um polígono regular ......................................... 670 – Comprimento............................................................................................. 670 – Áreas das fi guras planas .......................................................................... 670

Noções de geometria espacial ............................................................................. 672

SUMÁRIO

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– Paralelepípedo reto retângulo ................................................................. 672 – Cubo .......................................................................................................... 673 – Cilindro circular reto ................................................................................. 673 – Cone reto .................................................................................................. 673 – Esfera ........................................................................................................ 673

Capítulo 26ESTATÍSTICA .......................................................................................................... 711População ............................................................................................................. 711Gráfi cos estatísticos .............................................................................................. 711

– Características ........................................................................................... 711 – Gráfi cos de informação ............................................................................. 711 – Gráfi cos de análise.................................................................................... 712 – Classifi cação dos gráfi cos ......................................................................... 712

Média..................................................................................................................... 719Medidas separatrizes .......................................................................................... 720

– Mediana .................................................................................................... 720 – Relação entre a mediana e as demais medidas separatrizes ................ 720 – Propriedades da Mediana ........................................................................ 721

Capítulo 27DICAS E MACETES ............................................................................................... 737Conectivos lógicos: “não”, “e”, “ou”, “se ...então “ e “se e somente se “ ........ 737Equivalências Tautológicas .................................................................................... 738Simbologia ............................................................................................................. 739Alfabeto grego ....................................................................................................... 740Dicas de Raciocínio Lógico .................................................................................... 740Dicas de Matemática ............................................................................................. 753

Capítulo 28QUESTÕES DIVERSAS .......................................................................................... 767

Capítulo 29PROVAS DIVERSAS .............................................................................................. 889

Capítulo 30CITAÇÕES .............................................................................................................. 915

Capítulo 31REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................................... 919

Capítulo 32PALAVRAS-CHAVES .............................................................................................. 921

Capítulo 33ALGUMAS QUESTÕES COMENTADAS................................................................. 927