Códigos Convolucionais

Mauro Tapajós Santos (1/1996)

Introdução

Existem duas classificações básicas para codigos corretores de erro: códigos de

bloco e códigos de "árvore".

Um códigos de bloco é o mapeamento de k símbolos de entrada em n símbolos de

saída. O número n pode ser maior ou igual a k, se for maior, os símbolos a mais são

redundantes com finalidades de prover deteção e/ou correção de erros. Este codificador

não possue memória, pois a cada grupo de k símbolos é gerado um grupo de n símbolos

definido.

Códigos de árvore são caracterizados por serem gerados num codificador que

possua memória. Os códigos convolucionais são um subconjunto dos códigos de árvore.

O codificador convolucional aceita k símbolos na entrada e produz n símbolos na

saída que são gerados em função de v + k símbolos de entrada. O sistema possui memória

em função de v ser maior que zero. O valor R = k / n é definido como a taxa de código.

Esquema do codificador convolucional

Um exemplo é dado a seguir.

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Exemplo: Codificador Convolucional com k = 1, n = 2 e memória de 3 símbolos (m = 3)

o código é gerado inserindo-se um bit de dado no circuito e o comutador da saída efetua

uma rotação completa. Este código apresenta taxa de R = k/n =½. A decodificação é feita

continuamente. Uma outra maneira de se entender a decodificação é o percurso através de

uma árvore de código. Cada ramo percorrido é associado a um bit ou grupo de bits. No

final, os bits decodificados estarão nas "folhas" da árvore.

A matriz "check" de paridade H de um código convolucional (mn0,mk0) com

distância mínima d pode ser associado com a matriz H de um código de blocos linear de

mesmo comprimento e com o mesmo número de símbolos.

Cronologia1955 - Elias ("Coding for noisy channels"): primeira idéia sobre códigos

convolucionais.

1959 - Hagelbarger: primeira idéia sobre códigos convolucionais corretores de

erros em salva.

1961/63 - Wozencraft, Reiffen e Fano: desenvolveram e aprimoraram o

primeiro algoritmo decodificador para códigos convolucionais.

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1963 - Wyner e Ash: definiram códigos com capacidade de correção de erros

em salva B2 e seus limites.

1965 - Pinsker ("On the complexity of decoding"): refutou a hipótese de que,

para códigos com taxa maior que Rcomp (teórica taxa limite para se limitar a média

de computações), não se poderia desenvolver algoritmos que funcionassem

adequadamente no intervalo entre Rcomp e a capacidade do canal.

1967 - Viterbi ("Error bounds for convolutional codes and an

asymptotically optimum decoding algorithm"): desenvolveu um algoritmo

efetivo na decodificação de códigos convolucionais com pequeno K (constraint

length). Este algoritmo ficou conhecido como "algoritmo de Viterbi".

Códigos Convolucionais para Correção de Erros em Salva

Definições

Capacidade de correção de salvas tipo-B2 : um código convolucional (mn0,mk0)

é dito ter capacidade de correção de salvas tipo-B2 (B2 = rn0) se todas as salvas de

comprimento B2 confinadas em r blocos consecutivos são corrigíveis e pelo menos uma

salva de comprimento (r+1)n0 não é corrigível. A Capacidade de Correção de Salvas (b)

destes tipos de códigos respeita a relação b n b b n2 0 2 01 1 ( ) ( ) , o que pode ser

checado a partir da definição acima. Este valor está limitado a

bm n k

kn

n

( )( )

( )

1

110 0

0

0

0

Quanto maior este número, maior será a capacidade de correção de erros em

salvas (salvas de maior comprimento).

Espaço de guarda do código (g) : uma salva de comprimento l < b é corrigível

desde que seja sucedida por um conjunto mínimo de símbolos. O maior número necessário

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para corrigir qualquer salva corrigível é chamado de Espaço de guarda do Código. Este

valor é função de como o código é decodificado e é preferível minimizado ao máximo,

pois erros durante este período podem causar decodificação errada. Para qualquer código

(n,k), este número está limitado a g n 1, para muitos códigos g = n - b.

Interleaving : os códigos normalmente são desenvolvidos para a correção de

erros isolados dentro de um certo bloco de símbolos. Alguns canais podem apresentar

ruídos que se traduzem em grandes sequências de erros seguidos (salvas), gerando

sequências de erros também na saída do decodificador. Uma forma de minimizar esta

situação é a técnica de Interleaving, onde os símbolos de um determinado bloco são

"embaralhados" dentro do fluxo de símbolos, de maneira que, no decodificador, estes

possam ser reagrupados. Desta maneira, os erros em salva produzidos pelo ruído do canal

se transformarão em vários erros isolados dentro de blocos de símbolos independentes, e

poderão ser corrigidos.

Grau de Interleaving (i) : é a quantidade de "subfluxos" no qual o fluxo de dados

real é efetivamente dividido. Existem dois tipos de Interleaving: de símbolos e de blocos.

No primeiro o 0 símbolo, o (i+1)-ésimo, o (2i+1)-ésimo, etc.. são codificados

independentemente dos outros símbolos. No caso por blocos, blocos de n0 símbolos

separados por i blocos formam um fluxo independente de dados. Note que se b < n0 será

impossível efetuar interleave de blocos, visto que, o código não terá capacidade de

corrigir salvas maiores que o tamanho do bloco.

Proceder "Interleaving" sobre um código convolucional (mn0,mk0) com capacidade

de correção de erros em salva b gerará um código (mn0(i-1)+n0 , mk0(i-1)+k0) com bi = bi.

A taxa de código antes e depois é exatamente a mesma.

Códigos Berlekamp-Preparata-Massey

Estes códigos apresentam 1 bit de paridade por bloco. Os códigos básicos

possuem capacidade de correção de salvas tipo-B2 com b2 = n0 para qualquer valor

escolhido de n0. Códigos com capacidades maiores podem ser construídos por meio de

"Interleaving".

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Os códigos básicos tem relação ( 2 2 202

02

0n n n, ) e matriz "check" de paridade na

forma:

H B B B B N [ ... ]0 1 2 2 10

onde Bi é relacionada com Bi-1 da seguinte forma:

B Bi i

0 0 0 01 0 0 00 1 0 00 0 1 0

00 0 0 1 0

1

...

...

...

...

Para este código ter b2 = n0, nenhuma palavra diferente de zero pode ter todos os

seus 1's confinados ao bloco 0 e outro bloco qualquer. Uma palavra deste tipo pode ser

representada por:

E = E0 0 0 0 ... Ei 0 0 ... 0

onde E0 é diferente de zero.

Se B0 pode ser escolhido de maneira que EHt seja não-zero para todos os valores

de E0 0, Ei e i, então o código terá b2 = n0.

Para que isto ocorra, devemos ter:

E0 Ei [B0 Bi]t 0 ; 1 2 10 i n

Para n i n0 02 1 , o quadrante superior direito de [B0 Bi] é a matriz de zeros

de ordem n0. Assim, escolhemos a metade superior de B0 não-singular para a equação

acima valer. Para simplificação da decodificação escolhemos esta como a matriz

identidade, chamada de In0.

Para 1 10 i n , as matrizes [B0 Bi] devem ser simultaneamente não-singulares

para a equação acima valer. Procedimentos matriciais elementares reduzem esta matriz a:

I XY

n i

i

0

0

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Nesta forma, [B0 Bi] só será não-singular se, e somente se, Yi for não-singular. Já

existem matrizes Yi calculadas para vários valores de n0.

Note que, códigos deste tipo necessitam que o bit de paridade seja transmitido

antes dos bits de informação do bloco.

Os códigos com k0 = n0 - 1 construídos segundo acima chegam ao limite de b2.

Códigos com k0 < n0 - 1 podem ser construídos da mesma forma ou segundo um artifício:

fazendo "interleave" de bloco de dois códigos com capacidades b1 e b2 ,de forma a termos

um terceiro código com n03 = n01 + n02, k03 = k01 + k02 e m3 = max(m1,m2). Este artifício

constrói códigos onde nem k0, nem n0 - k0 sejam 1.

A decodificação de códigos BPM funciona da seguinte maneira: assuma uma salva

no 0-ésimo bloco, os primeiros n0 bits da síndrome serão iguais ao padrão de erro

adicionado ao bloco, por que a metade superior da matriz é a matriz identidade de ordem

n0. A segunda parte da síndrome deverá ser:

s2 = E0 [ B02 ]t

onde s2 é a segunda metade da síndrome, E0 é a salva e B02 é a metade inferior de B0.

Já que s1 é idêntica a E0, se for verdade:

s2 + s1 [ B02 ]t = 0

então a salva ocorreu no 0-ésimo bloco.

Procedendo "Interleave" sobre um código BPM básico, chega-se aos seguintes

parâmetros:

m = (2n0 - 1)i + 1

n = mn0 = (2n0 - 1)n0i + n0

k = mk0

b2 = in0

b = b2 - (n0 - 1) = n0(i - 1) + 1

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g = n - 1 ou n - b2

Para grandes valores de m, a capacidade de correção de salvas destes códigos

aproximam do limite.

A decodificação básicas para códigos BPM "Interleave" é decodificar

independentemente os i fluxos de bits. O tempo de guarda é de n - 1 bits

Códigos Iwadare

Códigos deste tipo são definidos com k0 = n0 - 1. Comparados aos códigos BPM

são mais simples de serem implementados ao preço de um espaço de guarda maior. O

código Iwadare básico apresenta:

mn n

n

k nb ng n

0 00

0 0

0

12

2 1

1

1

( )( )

para qualquer escolha de n0 2. Estes códigos básicos corrigem todas as salvas de

comprimento n0.

A matriz "check" de paridade é especificada pela matriz B0:

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B0

0 0 0 0 10 0 0 0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 1 00 0 0 1 00 0 1 0 00 0 0 0 00 0 1 0 0

0 1 0 0 0 01 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

...

.... . .

..................

...

...

...

...

a j-ésima coluna de B0 (1 10 j n ), tem 1's somente nas posições:

nn j n j

00 0 1

2

( )( ) e n

n j n jn j0

0 00

12

( )( )

A decodificação é feita de maneira diferenciada onde cada símbolo é decodificado

em tempos diferentes. A decodificação do (n0 - 1)-ésimo símbolo é feita depois de serem

recebidos n0 + 2 blocos; a decodificação do (n0 - 2)-ésimo símbolo é feita depois de serem

recebidos n0 + 2 + 3 blocos; e o primeiro símbolo depois de n0 + 2 + 3 + ... + n0 blocos.

Assim, a decodificação é efetuada em n0 - 1 passos.

Exemplo: n0 = 3, a matriz H para um código Idaware (24,16) com capacidade de

correção de erros em salva b = 3 será

8

H

001000 001000 001000 001000 001100 001000 100 010 001100 100 010 010 001

onde os vazios são preenchidos com zeros. O circuito decodificador para este

código é mostrado a seguir:

Circuito decodificador para o código Iwadare (24,16)

"Interleave" sobre um código Iwadare com grau i resulta na inserção de i - 1 linhas

nulas na matriz B0 imediatamente após sua segunda linha e suas linhas originais não-nulas

com exceção da última.

O código resultante do processo de "interleave" terá:

9

m n in n

k nb ing n

( )( )

2 11

21

1

00 0

0 0

0

O espaço de guarda será o mesmo que o caso sem "interleave": n - 1.

Códigos de Baixa Taxa

Os melhores códigos corretores de salvas com taxas baixas possuem os seguintes

parâmetros:

mn n m n

bn

nn

kg n

33

12

12

11

0 0

00

0

[ ] [ ]

A matriz B0 para estes códigos tem a forma:

Ba Ib Oc O

n

n

n

0

1

1

1

0

0

0

onde a é a coluna nula de tamanho n0 - 1, b é a coluna de tamanho n0 - 1 formada por

zeros e um único 1 na posição n0 / 2 e c é formada de zeros exceto na posição n0 - 1.

A decodificação é direta: se ocorrer uma salva de comprimento b ou menor, os

dois "check" do bit de informação do primeiro bloco estarão errados. Caso contrário, um

dos, ou ambos estarão corretos. Se o bit de informação do segundo bloco estiver em erro,

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ele será corrigido da mesma maneira depois que o primeiro bloco for deslocado para fora

do decodificador.

Se procedermos "Interleaving" nos códigos mostrados teremos:

m in n m

bn

inn

kg n

2 1

12

12

11

0

00

0

[ ] [ ]

para qualquer escolha de n0 e i.

Códigos Para Correção de Erros em Salvas e Erros Aleatórios

Estes códigos visam a correção de erros não restritos a uma salva somente. As

técnicas utilizadas podem ser divididas em:

1. Proceder "interleaving" sobre um código corretor de erros de pequeno

comprimento.

2. Construir um código com certa capacidade de correção de erros em salva e

de erros randômicos.

3. decodificação "adaptativa", onde o decodificador tenta determinar o tipo

de erro que ocorreu e tenta corrigi-lo.

"Interleave" de blocos com grau i sobre um código convolucional com capacidade

t de correção de erros randômicos produz um código convolucional mais longo com

capacidade de corrigir salvas de comprimento até [t/n0]i além dos erros randômicos.

Um exemplo de código "misto" que combina ambas as capacidades são os códigos

auto-ortogonais difusos. Estes estão no meio termo entre os extremos dos códigos auto-

ortogonais que possuem capacidade de correção de erros randômicos t, porém com

capacidade de correção de salvas pouco maior que t; e os códigos Idaware que

apresentam grande capacidade de correção de salvas porém com t = 1.

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Forney e outros apresentaram um procedimento "adaptativo" para correção de

erros mistos baseado num código com capacidade de correção de erros randômicos t. O

decodificador terá um circuito que detectará a ocorrência de uma salva de erros passando

para um modo "salva". Após este circuito ter notado o fim da salva de erros, ele chaveia o

decodificador para voltar ao seu "modo natural randômico". Para este esquema, a razão

da maior capacidade de correção de erros em salva com o espaço de guarda é :

bg

NN m

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Note que, nem todas as salvas de comprimento menor ou igual a 2N são

corrigidas.

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