Elementos de Matematica I

Manuel Delgadoe

Elisa Mirra

Faculdade de Ciencias da Universidade do Porto���������� � ��� � ������������� �� ���������

Conteudo

Introducao v

0 Preliminares 10.1 Numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.3.1 Funcoes trigonometricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.3.2 Funcoes trigonometricas inversas . . . . . . . . . . . . . 8

1 Continuidade 111.1 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 Funcoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Derivacao 192.1 Definicao e resultados basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Uso das derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Aproximacao de quantidades pequenas . . . . . . . . . . 242.2.2 Taxa de variacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Derivacao implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Derivada da funcao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.6 Derivadas das funcoes logarıtmica e exponencial . . . . . . . . . 292.7 Derivadas das funcoes trigonometricas inversas . . . . . . . . . . 312.8 Teorema do valor medio e resultados relacionados . . . . . . . . . 31

3 Aplicacoes das derivadas 353.1 Intervalos de monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2 Maximos e mınimos locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.3 Concavidades e pontos de inflexao . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4 Esboco do grafico de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5 Polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

i

ii

4 Integracao 454.1 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.1.1 Primitivas elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2 Area como limite de somas; o integral definido . . . . . . . . . . 474.3 Propriedades do integral definido . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.4 Teorema Fundamental do Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.5 Integracao numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.5.1 Regra do trapezio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.5.2 Regra de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.6 Integrais improprios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 Tecnicas de primitivacao 615.1 Primitivacao por substituicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.1.1 Integrais trigonometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2 Primitivacao por partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.3 Primitivas de funcoes racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6 Aplicacoes dos integrais 696.1 Areas de regioes planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.2 Volumes de solidos de revolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.3 Comprimento do grafico de uma funcao . . . . . . . . . . . . . . 726.4 Area de uma superfıcie de revolucao . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7 Sucessoes e series numericas 757.1 Sucessoes de numeros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757.2 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.2.1 Criterios de convergencia para series de termos positivos . 807.2.2 Convergencia absoluta e condicional . . . . . . . . . . . . 857.2.3 Series alternadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8 Series de potencias 918.1 Series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.2 Raio de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.3 Derivacao e integracao de series de potencias . . . . . . . . . . . 938.4 Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

9 Series de Fourier 999.1 Funcoes periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999.2 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.3 Convergencia das series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

10 Problemas com valor inicial 105

Conteudo iii

Bibliografia 107

Indice de notacoes 109

Indice alfabetico 111

iv

Introducao

Estas notas destinam-se a servir de apoio as aulas teoricas da disciplina de Ele-mentos de Matematica I a ser leccionada no primeiro semestre do ano lectivo de2003/04. Trata-se de uma disciplina do 1o ano dos cursos de Bioquımica, Cienciase Tecnologia do Ambiente, Ensino da Fısica e da Quımica e ainda do curso deQuımica. Agradecemos desde ja a compreensao dos alunos para as inevitaveisgralhas que a primeira versao de um texto deste tipo inevitavelmente contem. Du-rante o ano lectivo a que estas notas se destinam, procuraremos manter em

http://www.fc.up.pt/cmup/mdelgado/ensino/EMatI-0304/

uma lista das gralhas de que formos dando conta, bem como a respectiva correccao.

A esta disciplina poderia ser dado o nome de Calculo ja que o que nela seestuda sao basicamente os conceitos de derivada e integral de funcoes reais devariavel real. Ambos os conceitos dependem da nocao de limite, com a qual jase espera alguma familiaridade da parte dos alunos. Esta nocao sera no entantorecordada, bem como a nocao de continuidade.

Embora nestas notas nao seja dedicada especificamente nenhuma seccao aexercıcios, nao podemos deixar de chamar a atencao dos alunos para o facto denao haver nenhum meio conhecido de aprender Matematica que nao envolva aresolucao (nao dissemos “ver a resolucao”) de muitos exercıcios. Para esse efeitosao disponibilizadas separadamente folhas de exercıcios, alguns dos quais seraoresolvidos nas aulas praticas ou teorico-praticas.

Os resultados (lemas, proposicoes, teoremas, etc.), exemplos e exercıcios apre-sentados no texto sao numerados. Por exemplo, “Proposicao 3.5.2” indicaria osegundo item numerado da quinta seccao do terceiro capıtulo. Alguns dos exem-plos so nao sao chamados de exercıcios por ser dada uma resolucao logo a seguir.Com a excepcao de uma ou outra que julguemos ser conveniente destacar de ou-tro modo, as definicoes sao dadas no texto, sendo apenas usado outro tipo de letra(em geral o tipo italico) para chamar a atencao do que esta a ser definido.���������� � ��� � ����� ��� �!� �� �"������� v

vi

Procuraremos que o texto seja facilmente legıvel, apresentando por isso pou-cas demonstracoes. Estas podem ser encontradas nas nossas referencias.

As notas seguem o programa previsto para a cadeira: comecam por recordaralguns conceitos em geral ja bem conhecidos dos alunos num capıtulo de prelimi-nares a que atribuimos o numero 0.

Seguidamente e dedicado um capıtulo aos conceitos de limite e continuidadede funcoes reais de variavel real. Estes, embora supondo-se conhecidos dos alu-nos, sao tratados com um pouco mais de pormenor que aqueles do capıtulo 0.

O segundo capıtulo e dedicado as derivadas das funcoes reais de variavel real,tambem ja conhecidas dos alunos. Aplicacoes das derivadas, com destaque para oesboco de graficos de funcoes, sao tratadas no terceiro capıtulo.

As novidades so comecam verdadeiramente no quarto capıtulo, o qual e de-dicado a integracao. Depois de tornada evidente a importancia do calculo dasprimitivas com o teorema fundamental do calculo, e dedicado um capıtulo ao es-tudo de tecnicas de primitivacao e um outro as aplicacoes dos integrais.

O setimo capıtulo e dedicado as sucessoes e series numericas e o oitavo asseries de potencias, com destaque para as series de Taylor, que permitem calcularaproximacoes de funcoes por polinomios.

No nono capıtulo sao estudadas as series de Fourier, apropriadas para repre-sentar funcoes periodicas em intervalos estendidos.

Terminamos com um pequeno capıtulo onde se faz uma breve introducao aotema das equacoes diferenciais, que esperamos possa agucar a curiosidade dosalunos sobre o assunto.

As notas incluem no final um ındice de notacoes e um ındice alfabetico que seespera possam facilitar a consulta das mesmas.

O texto aqui apresentado foi influenciado por todas as nossas referencias (verpagina 107), com particular destaque para os livros de Adams [1] e de Swo-kowski [5], pois foram seguidos mais de perto em grande parte dos capıtulos.No entanto, a generalidade dos resultados nao demonstrados podem encontrar-seem qualquer dessas referencias.

Capıtulo 0

Preliminares

Este capıtulo destina-se a recordar alguns conceitos, quase todos bem conhe-cidos. Servira tambem para fixar alguma notacao. O principal conceito a recordare o de funcao. E dado depois especial destaque as funcoes trigonometricas, sendoainda introduzidas as funcoes trigonometricas inversas.

0.1 Numeros reais

Ao longo destas notas vamos interessar-nos sobretudo pelo conjunto # dosnumeros reais e seus subconjuntos. Lembramos que ha uma correspondenciabiunıvoca entre # e o conjunto dos pontos de uma recta:

43210$ 1$ 2$ 3

π%

212

$ 13

Os subconjuntos de # que vamos quase sempre considerar sao intervalos ouunioes finitas de intervalos.

Exemplo 0.1.1 (i) & $ 3 ' 7 &)(+* x ,-# : $ 3 . x / 7 0 e um intervalo, sendo $ 3 e7 os seus extremos.

(ii) & $ 1 ' 2 &213& 3 ' 7 451�4 12 ' 13 & e uma reuniao de tres intervalos (o primeiro semi-fechado a direita, o segundo aberto e o terceiro fechado).

Questao 0.1.2 O conjunto 4 1 ' 2 461�& 2 ' 5 & e um intervalo?

Supomos serem bem conhecidas dos alunos as propriedades dos numeros re-ais. Ha no entanto uma que, embora de uso menos frequente, convem recordar���������� � ��� � ����� ��� �!� �� �"������� 1

2 0. Preliminares

para que a possamos usar livremente no que se segue. Lembramos que o supremode um conjunto de numeros reais e o menor dos seus majorantes. Com esta ter-minologia, a propriedade que diz que todo o conjunto nao vazio e majorado denumeros reais tem supremo em # e habitualmente conhecida por completude dosnumeros reais.

Exercıcio 0.1.3 Indique os supremos dos conjuntos 4 0 ' 3 4 e & 1 ' 2 &718* 7 0 .

0.2 Funcoes

Muito do nosso trabalho vai consistir no estudo de funcoes. Para indicar umafuncao f do conjunto A no conjunto B que a um elemento x , A associa um ele-mento f 9 x :�, B usa-se habitualmente a notacao seguinte:

f : A $<; Bx = $<; f 9 x :

O conjunto A diz-se o domınio de f . Os seus elementos sao denominadosobjectos. O domınio de f denota-se muitas vezes por Dom 9 f : . O conjunto Bdiz-se o conjunto de chegada de f .

A cada elemento x de A corresponde por f um e um so elemento f 9 x : de B. Oelemento f 9 x : diz-se o valor de f em x ou imagem de x por f .

O conjunto f 9 A :>(?* f 9 x :�, B : x , A 0 diz-se o contradomınio ou a imagem def . Usa-se por vezes a notacao Im 9 f : em vez de f 9 A : . O contradomınio e, pois, oconjunto das imagens dos elementos do domınio e e um subconjunto do conjuntode chegada.

Consideraremos na maior parte dos casos A e B como subconjuntos de # (istoe, interessar-nos-emos sobretudo por funcoes reais de variavel real). Quando nadafor dito em contrario, a expressao “funcao” tera o significado de funcao real devariavel real. Uma funcao sera dada muitas vezes por meio de uma expressao quea define. Se nada for dito em contrario, subentender-se-a que o domınio de umatal funcao e o maior subconjunto de # onde a expressao faz sentido.

Exemplo 0.2.1 Considere a funcao dada pela expressao

f 9 x :@( 3 9 1 A %x :

x $ 1 BDetermine:(a) f 9 4 :�' f 9 16 : e f 9 0 : ;(b) o domınio de f .

0.2. Funcoes 3

Solucao. (a) f 9 4 :C( 93( 3; f 9 16 :D( 15

15( 1; f 9 0 :D( 3$ 1

( $ 3.

(b) f 9 x : e um numero real se e so se x E 0 e x $ 1 F( 0, isto e, x E 0 e x F( 1. LogoDom 9 f :C(+4 0 ' 1 4513& 1 'GA ∞ 4 .Uma funcao f : A $<; B diz-se:

- injectiva se objectos diferentes tem imagens diferentes, isto e, se para quais-quer x e x H de A se tem

x F( x HJI f 9 x : F( f 9 x H :ou, o que e o mesmo, f 9 x :C( f 9 x HK: I x ( x H ;

- sobrejectiva se todo o elemento de B e imagem de algum elemento de A, ouseja, o contradomınio de f coincide com o conjunto de chegada;

- bijectiva se e injectiva e sobrejectiva, isto e, cada elemento de B e imagemde um e so um elemento de A.

Exemplos 0.2.2 1. A funcao f : # $>; # definida por f 9 x :�( x2 A 1 nao einjectiva, visto que, por exemplo, f 9 1 :�( f 9 $ 1 : e nao e sobrejectiva vistoque, por exemplo, nao existe nenhum numero real cuja imagem por f seja0. O contradomınio de f e o intervalo 4 1 'GA ∞ 4 .

2. A funcao f : # $<; # definida por f 9 x :3( 3x A 1, cujo grafico e uma recta,e injectiva e sobrejectiva, logo e bijectiva.

Se uma funcao f e injectiva e y esta no contradomınio de f , existe um unicoelemento x do domınio de f tal que y ( f 9 x : . O elemento x fica assim determinadopor y sendo, portanto, uma funcao de y. Escrevemos x ( f L 1 9 y : e chamamos afuncao f L 1assim definida funcao inversa de f . Assim,

y ( f 9 x :CM x ( f L 1 9 y : B

O grafico de f L 1 pode obter-se do de ffazendo uma reflexao sobre a recta y ( x.

y ( f 9 x :y ( f L 1 9 x :

9 a ' b :9 b ' a :

4 0. Preliminares

Tendo funcoes f : A $<; B e g : C $<; D, pode considerar-se a funcao com-posta g N f ,definida por g N f 9 x :D( g 9 f 9 x :O: . Tem-se

Dom 9 g N f :D(P* x , Dom 9 f : : f 9 x :�, Dom 9 g :�0 BExemplo 0.2.3 Sejam f 9 x :C( x2 A 1 e g 9 x :@( 3x A 2.

Tanto f como g sao funcoes polinomiais (isto e, as expressoes que as definemsao polinomios) logo tem domınio # , assim como as compostas g N f e f N g.

g N f 9 x :C( 3 9 x2 A 1 :QA 2 ( 3x2 A 5f N g 9 x :C(+9 3x A 2 : 2 A 1 ( 9x2 A 12x A 5.

Lembramos que duas funcoes sao iguais se e so tiverem o mesmo domınio, omesmo conjunto de chegada e todo o elemento do domınio tiver a mesma imagempelas duas funcoes. Considerando as funcoes do exemplo anterior tem-se, pois,que g N f F( f N g, uma vez que, por exemplo, g N f 9 1 :R( 8 F( f N g 9 1 :R( 26. Conclui--se entao que a composicao de funcoes nao e comutativa.

Exercıcio 0.2.4 Determine expressoes para f N f e g N g onde f e g sao asfuncoes polinomiais do exemplo anterior.

0.3 Trigonometria

Um angulo θ fica determinado por duas semi-rectas S 1 (lado inicial) e S 2 (lado terminal) com amesma origem O, que se diz o vertice do angulo. S 1

S 2

O θ

A amplitude de um angulo pode ser expressa em graus ou em radianos, sendoo radiano a unidade mais importante para nos.

Introduzimos um sistema rectangular de co-ordenadas; tomamos a origem como vertice e aparte positiva do eixo dos xx como lado inicial.A uma rotacao completa no sentido contrarioao dos ponteiros do relogio corresponde umangulo de 360o.

O

θ

x

y

0.3. Trigonometria 5

Consideremos a circunferencia unitaria decentro na origem de um sistema rectangular decoordenadas e sobre ela os pontos A 9 1 ' 0 : e P,sendo θ o angulo AOP. Se t e o comprimentodo arco de circunferencia entre A e P (percor-rido no sentido contrario ao dos ponteiros dorelogio), entao θ e um angulo de t radianos.

O

θ

x

y

P

1A

t

Como a circunferencia unitaria tem comprimento 2π, tem-se a relacao

2π radianos ( 360o BExercıcio 0.3.1 Indique a relacao entre as medidas em radianos e em graus paraangulos de amplitude 30o, 45o, 60o, 90o e π radianos.

0.3.1 Funcoes trigonometricasTemos seis funcoes trigonometricas: sen, cos, tg, cotg, sec, cosec que se di-

zem respectivamente seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.O valor de uma funcao trigonometrica para um numero real x e o valor dessafuncao num angulo de x radianos. (Resulta daqui a importancia, para nos, dosradianos como unidade de medida.) Vamos entao definir o valor das funcoes tri-gonometricas em termos de um angulo.

Seja θ um angulo agudo (0 . θ . π2 ) de um

triangulo rectangulo como o representado na figura.Tem-se

senθ ( bc' cosθ ( a

c' tgθ ( b

a B θa

bc

Seja θ um angulo qualquer. Suponhamosque P 9 a ' b : e o ponto em que o lado terminalintersecta a circunferencia x2 A y2 ( 1 ( que sediz o cırculo trigonometrico). Tem-se:

senθ ( b ' cosθ ( a ' tgθ ( ba

para a F( 0 BO

θ

x

y

a

bP 9 a ' b :1

6 0. Preliminares

Resulta que para qualquer angulo θ (e consequentemente para qualquer numeroreal) se tem T senθ T7/ 1 e T cosθ T / 1.

Observamos tambem que tgθ ( senθcosθ

. Define-se

secx ( 1cosx

' cosecx ( 1senx

' cotgx ( 1tgx

( cosxsenx B

O domınio das funcoes seno e cosseno e # , enquanto que o domınio da funcaotangente e #8U�V π

2 A nπ;n ,XWZY .

Exercıcio 0.3.2 Indique o domınio das funcoes secante, cossecante e cotangente.

A proposicao seguinte e de extrema importancia, sendo a formula por ela dadadita a formula fundamental da trigonometria.

Proposicao 0.3.3 Para qualquer numero real x tem-se:

sen2 x A cos2 x ( 1 BDemonstracao. Considerando, como atras, o cırculo trigonometrico, tem-se:

sen2 x A cos2 x ( b2 A a2 ( 1 BExemplo 0.3.4 Determine os valores do seno, do cosseno e da tangente de

π6

,π4

eπ3

radianos.

Solucao.

Na figura ao lado, o triangulo [OAB]e equilatero (tem os tres angulos iguais),logo o ponto C e o ponto medio de [OA].Entao:OC ( 1

2e BC2 A OC2 ( 1, donde

BC ( %3

2.

O C

[3

2

1A

B

π3

Tem-se, portanto:

0.3. Trigonometria 7

senπ3( cos

π6( %

32

; senπ6( cos

π3( 1

2; tg

π3( %

3; tgπ6( %

33 B

Na figura ao lado, o triangulo [OAB] erectangulo e isosceles, logo

OA ( AB e OA2 A AB2 ( 1 'donde

OA ( AB ( 1%2 B

O 1

12

A

B

π4

Tem-se, portanto:

cosπ4( sen

π4( 1%

2( %

22

; tgπ4( 1 B

Os graficos das funcoes seno, cosseno, tangente e secante tem o seguinte as-pecto

senx

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

cosx

-6 -4 -2 2 4 6

-1

-0.5

0.5

1

tgx

-6 -4 -2 2 4 6

-30

-20

-10

10

20

30

secx

-6 -4 -2 2 4 6

-15

-10

-5

5

10

15

8 0. Preliminares

A proposicao seguinte da-nos conta de algumas relacoes importantes entrefuncoes trigonometricas e que sao frequentemente usadas.

Proposicao 0.3.5 1. sen 9 $ x :C( $ senx (o seno e uma funcao ımpar);

2. cos 9 $ x :\( cosx (o cosseno e uma funcao par);

3. sen 9 u ] v :C( senucosv ] cosusenv;

4. cos 9 u ] v :C( cosucosv ^ senusenv.

Exemplo 0.3.6 Encontre outras expressoes para (i) sen2x e (ii) cos2 x.

Solucao. (i) sen2x ( sen 9 x A x :\( senxcosx A senxcosx ( 2senxcosx.(ii) cos2 x ( 1 $ sen2 x.

Exercıcio 0.3.7 De modo analogo ao exemplo anterior, obtenha outras expressoespara (i) cos2x e (ii) sen2 x.

0.3.2 Funcoes trigonometricas inversas

Lembramos que as funcoes trigonometricas sao periodicas. (O perıodo doseno e do cosseno e 2π; o da tangente e π. Note-se que sen 9 x A 2π :_( senx,cos 9 x A 2π :_( cosx, tg 9 x A π :�( tgx.) Daı resulta que nao sao injectivas. Noentanto, sao, em particular, injectivas nos intervalos 4 $ π

2 ' π2 & , 4 0 ' π & e & $ π

2 ' π2 4 , res-

pectivamente. E considerando restricoes a estes intervalos que vamos poder falarem funcoes inversas.

Consideremos a funcao Sen como sendo a restricao da funcao sen ao intervalo4 $ π2 ' π

2 & . Ao contrario da funcao sen, a funcao Sen e injectiva e, portanto, admiteuma inversa: a funcao arcsen (ou sen L 1). Temos entao:

y ( arcsenx M x ( Seny M x ( seny e $ π2

/ y / π2 B

Devemos pensar em arcsenx como sendo a medida do angulo entre $ π2 e π

2cujo seno e x.

O domınio da funcao arcsen e o contradomınio da funcao Sen, que e o mesmoda funcao sen, o intervalo 4 $ 1 ' 1 & .

0.3. Trigonometria 9

Exemplos 0.3.8 (i) arcsen 12 ( π

6 ;(ii) arcsen 9 sen0 ' 3 :D( 0 ' 3;(iii) arcsen 9 sen 4π

5 :D( arcsen 9 sen 9 π $ π5 :O:C( arcsen 9 sen π

5 :C( π5 ;

(iv) cos 9 arcsen0 ' 6 :�( cosx com senx ( 0 ' 6 e $ π2 / x / π

2 . Logo, cosx (`1 $ 9 0 ' 6 : 2 ( 0 ' 8.

A funcao arccos (ou cos L 1) pode definir-se de forma analoga:

y ( arccosx M x ( cosy e 0 / y / π BUsando o facto de o cosseno de um angulo ser o seno do seu complemen-

tar, chegamos facilmente ao resultado seguinte, que podemos usar tambem comodefinicao:

arccosx ( π2$ arcsenx ' para $ 1 / x / 1 B

A funcao arctg (ou tg L 1) define-se de modo analogo:

y ( arctgx M x ( tgy e $ π2

. y . π2 B

O domınio da funcao arctg e # , o contradomınio da funcao tg.

10 0. Preliminares

Capıtulo 1

Continuidade

Recordamos neste capıtulo os extremamente importantes conceitos de limitee continuidade de funcoes reais de variavel real.

1.1 Limites

Para evitar tornar o texto demasiado pesado, consideraremos daqui em dianteapenas funcoes definidas em intervalos ou unioes de intervalos nao reduzidos a umponto. Em particular, se nada for dito em contrario, nao consideraremos funcoesdefinidas em pontos isolados.

Quando f e uma funcao definida perto de um numero real a, excepto eventu-almente em a, podemos perguntar-nos:

1. A medida que x se aproxima de a (mas x F( a), o valor de f 9 x : aproxima-sede um numero real L?

2. Podemos tornar o valor de f 9 x : tao proximo de L quanto queiramos, esco-lhendo x suficientemente proximo de a (x F( a)?

Se a resposta a estas questoesfor afirmativa, escrevemos

limx a a

f 9 x :@( L

e dizemos que o limite de f 9 x :quando x tende para a e L.

x b a

Lf 9 x : c

x d fcx efe>b c

a d fca efe

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12 1. Continuidade

O que dissemos antes pode ser encarado como uma definicao intuitiva do con-ceito de limite. (Note-se o uso intuitivo do conceito de proximidade.) Mas amatematica nao pode fazer-se com nocoes intuitivas...

Definicao. Seja f uma funcao definida num intervalo de # que contem o ponto a,excepto eventualmente em a, e seja L um numero real. Dizemos que o limite def 9 x : quando x tende para a e L e escrevemos lim

x a af 9 x :@( L seg

ε h 0 i δ h 0 : 0 .+T x $ a T . δ I T f 9 x : $ L T . ε

Observacoes. (i) A ordem por que sao considerados os numeros ε e δ e crucial.(ii) O numero δ, que depende de ε, nao e unico, pois encontrado um δ, qual-

quer δ1 tal que 0 . δ1 / δ tambem serve.

Proposicao 1.1.1 Se f 9 x : tem limite quando x tende para a, entao esse limite eunico.

Demonstracao.

Suponhamos que

limx a a

f 9 x :�( L1 e limx a a

f 9 x :R( L2

com L1 F( L2. Tome-se

ε . T L1 $ L2 T2

.a

2ε

2ε

L2

L1

Entao haveria um intervalo contendo a tal que o grafico de f restrito a esseintervalo estava, por um lado, contido na faixa centrada na recta y ( L1 e amplitude2ε e, por outro lado, na faixa centrada na recta y ( L2 com a mesma amplitude.Ora, as duas faixas sao disjuntas e temos, por isso um absurdo!

Exemplo 1.1.2 Seja f : & 0 'GA ∞ 4 $j; # tal que f 9 x :k( x2. Tem-se limx a a

f 9 x :k( a2,

para qualquer a ,8#�l .

Solucao.

1.1. Limites 13

Dado ε arbitrario, devemos encontrarδ h 0 tal que se x ,D& a $ δ ' a A δ 4 e x F( a,entao x2 ,C& a2 $ ε ' a2 A ε 4 .Tomando, se necessario, um ε mais pe-queno, podemos supor que & a2 $ ε ' a2 A ε 4consiste de numeros positivos. As rectasy ( a2 $ ε e y ( a2 A ε intersectam ografico de f nos pontos de abcissasx ( %

a2 $ ε e x ( %a2 A ε, respectiva-

mente.

a2

a2 A ε

a2 $ ε ma2 n ε

ma2 o εa

a n δ a o δ

Escolhamos δ tal que%

a2 $ ε . a $ δ e a A δ . %a2 A ε. Tem-se, entao, que

x ,C& a $ δ ' a A δ 4 I x2 ,D& a2 $ ε ' a2 A ε 4 BExemplo 1.1.3 Nao existe lim

x a 0

1x

.

Solucao.

Suponhamos que limx a 0

1x( L e L h 0.

Consideremos um par de rectas horizon-tais y ( L ] ε, com ε h 0, qualquer.

Ly ( L A ε

y ( L $ ε

Como pp 1x pp pode tornar-se tao grande quanto queiramos, bastando para issotomar x suficientemente proximo de 0, resulta que nao existe nenhum intervaloaberto centrado em 0 que, exceptuando o ponto 0, seja totalmente enviado porf 9 x :<( 1

x dentro da faixa horizontal limitada pelas rectas previamente dadas. Tem--se algo analogo para o caso de L / 0.

Proposicao 1.1.4 Se limx a a

f 9 x :\( L e L h 0 (respectivamente L . 0), entao existe

um intervalo aberto I contendo a tal que f 9 I U�* a 0!:kqr# l (respectivamente #�L ),isto e,

gx , I U�* a 0J' f 9 x :3h 0 (respectivamente . 0).

14 1. Continuidade

Demonstracao.

Suponhamos que L h 0. Tome-seε . L. Claro que & L $ ε ' L A ε 4sqt# l .Por hipotese, existe δ h 0 tal quef 9u& a $ δ ' a A δ 45:�q�& L $ ε ' L A ε 4 . Bastaentao tomar I (v& a $ δ ' a A δ 4 .

L

a n δ a o δa

O caso L . 0 e analogo.

A determinacao de limites pela definicao e em geral muito trabalhosa. Alemdisso, e preciso ter antecipadamente uma ideia do valor desse limite. Ha, no en-tanto, diversas tecnicas que permitem, por vezes, evitar o uso directo da definicao.A ideia e, em geral, desenvolver tecnicas que permitem determinar limites defuncoes dadas por expressoes razoavelmente complicadas a partir de limites co-nhecidos de funcoes dadas por expressoes mais simples.

Proposicao 1.1.5 Seja a ,8# .(i) Seja f a funcao dada por f 9 x :C( c. Entao lim

x a af 9 x :C( c.

(ii) Seja f a funcao (identidade) definida por f 9 x :C( x. Entao limx a a

f 9 x :@( a.

Demonstracao. Exercıcio.

A demontracao da proposicao seguinte pode encontrar-se em qualquer dasnossas referencias.

Proposicao 1.1.6 Se os limites limx a a

f 9 x : e limx a a

g 9 x : existem, entao:

(i) limx a a

9 f 9 x :wA g 9 x :�: = limx a a

f 9 x : + limx a a

g 9 x : (o limite da soma e a soma doslimites, quando estes existem);

(ii) limx a a

9 f 9 x :jx g 9 x :�: = limx a a

f 9 x :<x limx a a

g 9 x : (o limite do produto e o produto doslimites, quando estes existem);

(iii) Se limx a a

g 9 x :yF( 0, limx a a

f 9 x :g 9 x : ( lim

x a af 9 x :

limx a a

g 9 x : .

Exemplo 1.1.7 Tem-se limx a a

9 2x3 A 3x A 5 :@( 2a3 A 3a A 5.

1.1. Limites 15

Mais geralmente, vale a proposicao seguinte:

Proposicao 1.1.8 Se f e uma funcao polinomial e a e um numero real, entao

limx a a

f 9 x :C( f 9 a : BUma funcao racional e o quociente de duas funcoes polinomiais.

Corolario 1.1.9 Se p z x {q z x { e uma funcao racional e q 9 a :�F( 0, entao

limx a a

p 9 x :q 9 x : ( p 9 a :

q 9 a :RBO resultado seguinte e conhecido pelo sugestivo nome de Teorema do encaixe.

Proposicao 1.1.10 Sejam f , g e h funcoes tais que f 9 x :k/ g 9 x :�/ h 9 x : para todoo x num intervalo aberto contendo a, excepto eventualmente em a. Se lim

x a af 9 x :@(

L ( limx a a

h 9 x : , entao limx a a

g 9 x : existe e limx a a

g 9 x :C( L.

Exercıcio 1.1.11 Determine limx a 0

x2 sen1x

.

Nota 1.1.12 Limites laterais podem definir-se de um modo analogo ao modocomo definimos limites. Tambem os resultados anteriormente enunciados temanalogos para limites laterais.

Consideremos a funcao1x

e os quadros seguintes

x1x

1 10 ' 1 100 ' 01 1000 ' 001 10000 ' 0001 100000 ' 00001 100000xOx�x xOxOx

x1x

1 110 0 ' 1100 0 ' 011000 0 ' 00110000 0 ' 0001100000 0 ' 00001xOxOx xOxOx

O primeiro quadro sugere que quando x se aproxima de 0 por valores a di-reita de 0, 1

x se torna arbitrariamente grande. Denotamos este facto escrevendo

limx a 0 | 1

x(?A ∞. O segundo quadro sugere lim

x a l ∞

1x( 0.

16 1. Continuidade

Exercıcio 1.1.13 Escreva definicoes formais para os diversos tipos de limites quepodem ocorrer envolvendo A ∞ e $ ∞.

Exemplos 1.1.14 (i) limx a a | f 9 x :C(}A ∞ significag

M h 0 i δ h 0 : a . x . a A δ I f 9 x :�h M B(ii) lim

x a l ∞f 9 x :C( L significag

ε h 0 i M h 0 : x h M I T f 9 x : $ L T�h ε BPode mostrar-se o seguinte:

Proposicao 1.1.15 Se a ,-# l , entao:

1. limx a l ∞

xa

ex ( 0;

2. limx a l ∞

lnxxa ( 0;

3. limx a L ∞

T xa T ex ( 0;

4. limx a 0 | xa lnx ( 0.

Observamos que a alınea (1) da proposicao anterior diz basicamente que a ex-ponencial cresce mais rapidamente que qualquer polinomio. A regra de L’Hopital(Teorema 2.8.8) que estudaremos adiante vai permitir-nos calcular facilmente estetipo de limites.

1.2 Funcoes contınuas

Intuitivamente, uma funcao definida num intervalo e contınua se o seu graficopode ser representado sem levantar a caneta.

Definicao. Uma funcao definida num ponto a diz-se contınua em a se existirlimx a a

f 9 x : e se tiver limx a a

f 9 x :C( f 9 a : .Observamos que se f nao estiver definida em a, o problema da continuidade

de f em a nao se poe.

Definicao. Uma funcao e contınua se o for em todos os pontos do seu domınio.

1.2. Funcoes contınuas 17

Nota 1.2.1 Uma funcao f definida num intervalo fechado 4 a ' b & diz-se contınuase for contınua em & a ' b 4 e for contınua a direita em a (isto e, lim

x a a | f 9 x :@( f 9 a : ) e

a esquerda em b (isto e, limx a b ~ f 9 x :@( f 9 b : ).

Uma funcao f : 4 a ' b & ; # limitada diz-se contınua por pedacos se existemx0 ' x1 ' x2 '�xOxOx�' xn ,�# tais que a ( x0 . x1 . x2 .�xOxOx�. xn ( b e para cada i (1 ' 2 'OxOxOx!' n f e contınua em & xi L 1 ' xi 4 .

Dos resultados enunciados sobre limites vem imediatamente as duas proposicoesseguintes:

Proposicao 1.2.2 Se f e g sao contınuas em a, entao tambem sao contınuas em aas funcoes: f A g, f x g e f

g , desde que g 9 a :�F( 0.

Proposicao 1.2.3 Uma funcao polinomial e contınua em # .

A proposicao seguinte, que no fundo diz que o comportamento da composicaode funcoes face a continuidade e bom, e usado muitas vezes.

Proposicao 1.2.4 Se g e contınua em c e f e contınua em b ( g 9 c : , entao f N g econtınua em c.

Geometricamente o resultado seguinte e obvio. A prova pode encontrar-se emqualquer da nossas referencias.

Proposicao 1.2.5 (Teorema dos valores intermedios) Se f e uma funcao contınuanum intervalo fechado 4 a ' b & e se w e um numero entre f 9 a : e f 9 b : , entao existepelo menos um valor c ,�4 a ' b & tal que f 9 c :C( w.

Corolario 1.2.6 Se f e contınua num intervalo fechado 4 a ' b & e f 9 a : e f 9 b : temsinais contrarios, entao existe c ,�4 a ' b & tal que f 9 c :D( 0.

Corolario 1.2.7 Se f e contınua e nao tem zeros num intervalo, entao f 9 x :_h 0ou f 9 x :k. 0 para todo o x nesse intervalo.

18 1. Continuidade

Capıtulo 2

Derivacao

Neste capıtulo comecamos por recordar o ja bem conhecido conceito de deri-vada. Sao depois dados diversos resultados com os quais o aluno pode nao estartao familiarizado. Estes incluem a derivacao implıcita e a regra de L’Hopital,muito util para levantar indeterminacoes que ocorrem quando se pretendem cal-cular limites.

2.1 Definicao e resultados basicos

Problema.

Encontrar uma linharecta L que seja tan-gente a curva C noponto P.

C

L

P

C

LP

Vamos comecar por considerar curvas que sao graficos de funcoes contınuas.Suponhamos que C e o grafico de y ( f 9 x : e que P e o ponto 9 x0 ' y0 : de C (isto e,y0 ( f 9 x0 : ).

A primeira questao que se coloca e: como definir tangencia? Vejamos que sepode dar uma definicao aceitavel usando limites.���������� � ��� � ����� ��� �!� �� �"������� 19

20 2. Derivacao

Se Q e um ponto de C diferente deP, a recta que passa por P e por Qdiz-se secante a curva C. Quando Qse move ao longo de C, esta secanteroda a volta de P. A recta L que passapor P e cujo declive e o limite dosdeclives das secantes PQ quando Qse aproxima de P ao longo de C e arecta tangente a C em P.

PQ

x0 x0 A h

Note-se que, no caso de C ser o grafico de uma funcao y ( f 9 x : , se tem P (9 x0 ' f 9 x0 :O: , para algum x0 e, sendo Q F( P, a primeira coordenada de Q e diferentede x0 (por f ser uma funcao), digamos x0 A h, com h F( 0. O declive de PQ e,entao,

f 9 x0 A h : $ f 9 x0 :h

que se diz o quociente de Newton de f em x0.Suponhamos que f e contınua em x0 e consideremos o limite

limh a 0

f 9 x0 A h : $ f 9 x0 :h B

- Se o limite existir e for m, entao a recta

y ( m 9 x $ x0 :QA f 9 x0 :�'de declive m e que passa no ponto 9 x0 ' f 9 x0 :O: , diz-se a tangente ao graficoy ( f 9 x : em P.

- Se o limite for A ∞ ou $ ∞, a recta x ( x0 diz-se a tangente ao grafico dey ( f 9 x : em P.

- Se o limite nao existir, sem ser ] ∞, dizemos que o grafico de y ( f 9 x : naotem tangente em P.

Definicao. A derivada de uma funcao f e uma funcao f H definida por

f H 9 x :@( limh a 0

f 9 x0 A h : $ f 9 x0 :h

desde que este limite exista.

Quando f H 9 x : existe, dizemos que f e derivavel (ou que e diferenciavel) em x.Quando f H 9 x : nao existe, dizemos que f nao e derivavel em x e, se x pertencer ao

2.1. Definicao e resultados basicos 21

domınio de f , dizemos que x e um ponto singular de f . Dizemos que uma funcaoe derivavel se for derivavel em todos os pontos do seu domınio.

Dependendo do domınio da funcao, podem ser necessarias pequenas adaptacoesa definicao. Por exemplo, a funcao f ser derivavel em & a ' b & significa que f e de-rivavel em & a ' b 4 e que e derivavel a esquerda em b, isto e, existe

limh a 0 ~ f 9 b A h : $ f 9 b :

h BE habitual usar outras notacoes para a derivada de y ( f 9 x : :

f H 9 x :@( Dx f 9 x :\( Dxy ( y H ( dydx

( ddx

f 9 x : BQuerendo indicar a derivada no ponto x0, podemos usar notacoes como por

exemplo f H 9 x0 : ou dydx

ppp x � x0.

Exemplo 2.1.1 Seja f definida por f 9 x :C( 3x2 A 3x $ 8. Determine:(a) f H 9 x : , para qualquer x;(b) f H�9 2 : ;(c) uma equacao da recta tangente ao grafico de f no ponto 9 2 ' 10 : .

Solucao. (a)

f H 9 x :�( limh a 0

9 3 9 x A h : 2 A 3 9 x A h : $ 8 : $ 9 3x2 A 3x $ 8 :h( lim

h a 0

6xh A 3h2 A 3hh

( limh a 0

9 6x A h A 3 :D( 6x A 3;

(b) f H 9 2 :C( 6 � 2 A 3 ( 15;(c) y ( 15 9 x $ 2 :wA 10 M y ( 15x $ 20.

Exemplo 2.1.2Determine a derivada de funcao

f 9 x :C(�T x T BSolucao. Se x h 0, lim

h a 0

x A h $ xh

( limh a 0

hh( 1.

22 2. Derivacao

Se x . 0, limh a 0

$ 9 x A h : $ 9 $ x :h

( limh a 0

$ hh

( $ 1.

Se x ( 0, tem-se limh a 0 | h

h( 1, mas lim

h a 0 ~ $ hh

( $ 1, logo limh a 0

T h Th

nao existe, ja

que os limites laterais sao diferentes.

Assim, f H�9 x :�(�� 1 se x h 0$ 1 se x . 0 , nao estando f H definida em 0 (0 e um

ponto singular). O facto de f H nao estar definida em 0 nao e surpreendente, ja queo grafico de T x T apresenta um bico em 9 0 '�T 0 T�: .

Como a funcao T x T e contınua em # , o Exemplo 2.1.2 mostra que uma funcaocontınua nao e necessariamente derivavel. Mas se for derivavel, e contınua, comomostra a proposicao seguinte.

Proposicao 2.1.3 Se f e uma funcao derivavel em a, entao f e contınua em a.

Demonstracao. Tem-se

f H 9 a :@( limh a 0

f 9 a A h : $ f 9 a :h

( limx a a

f 9 x : $ f 9 a :x $ a

e

f 9 x :@( f 9 x : $ f 9 a :x $ a

9 x $ a :QA f 9 a :�' se x F( a BAssim,

limx a a

f 9 x :@( limx a a

f 9 x : $ f 9 a :x $ a

x limx a a

9 x $ a :QA limx a a

f 9 a :C( f H 9 a :jx 0 A f 9 a :�( f 9 a : BProposicao 2.1.4 Sejam c um numero real e n um numero natural. Tem-se:

1. Se f 9 x :C( c, entao f H 9 x :C( 0.

2. Se f 9 x :C( xn, entao f H 9 x :@( nxn L 1.

Demonstracao. Exercıcio.

A proposicao seguinte fornece-nos tecnicas para calcular derivadas de funcoesdadas por expressoes relativamente complicadas a custa das derivadas de funcoesmais simples.

Proposicao 2.1.5 Sejam f e g funcoes derivaveis em a. Tem-se:

1. 9 f A g : H 9 a :D( f H 9 a :QA g H 9 a :

2.1. Definicao e resultados basicos 23

2. 9 f x g : H 9 a :D( f H 9 a :jx g 9 a :QA f 9 a :�x g H 9 a :3. � f

g � H 9 a :C( f H 9 a :jx g 9 a : $ f 9 a :jx g H 9 a :9 g 9 a :O: 2 , se g 9 a :�F( 0.

Demonstracao. Exercıcio.

Proposicao 2.1.6 Seja α um numero real. Se f 9 x :�( xα, entao f H 9 x :�( αxα L 1,desde que x F( 0 se α . 1.

A demonstracao desta proposicao para α racional nao e difıcil, usando astecnicas de derivacao da proposicao anterior. De qualquer modo, sugerimos con-sultar a literatura para uma demonstracao completa.

Exemplo 2.1.7 Seja y ( 3%

x2. Como y ( x23 vem que y H ( 2

3x L 13 , se x F( 0.

A proposicao seguinte da-nos as derivadas das funcoes trigonometricas.

Proposicao 2.1.8 Tem-se:

1. Dx senx ( cosx

2. Dx cosx ( $ senx

3. Dx tgx ( sec2 x

4. Dx cotgx ( $ cosec2 x

5. Dx secx ( secx tgx

6. Dx cosecx ( $ cosecx cotgx.

Proposicao 2.1.9 (Regra da cadeia) Sejam y ( f 9 u : e u ( g 9 x : funcoes. Supo-

nhamos que as derivadasdydu

edudx

existem ambas (isto e, f e derivavel em g 9 x :e g e derivavel em x). Entao a funcao composta y ( f 9 g 9 x :O: tem derivada (em x)dada por 4 f 9 g 9 x :O:G& H ( f H 9 g 9 x :O:�x g H 9 x : B

A igualdadedydx

( dydu

x dudx

pode ajudar a memorizar. Note-se, no entanto, que

a parte esquerda nao se obtem da direita por anulacao de du. De facto, dudx nao e o

quociente de duas quantidades, mas uma quantidade.

Exemplo 2.1.10 Dx 9 3x A sen 9 2x :�:D( 3 A cos 9 2x :�x 2.

24 2. Derivacao

2.2 Uso das derivadas

As derivadas ajudam-nos a interpretar certas variacoes no mundo que nos ro-deia. Vejamos alguns exemplos.

2.2.1 Aproximacao de quantidades pequenasSuponhamos que a quantidade y e funcao da quantidade x, isto e, y ( f 9 x : .

Pretendemos saber como uma variacao ∆x na quantidade x afecta a quantidade y.A variacao ∆y e dada por

∆y ( f 9 x A ∆x : $ f 9 x : BSe a variacao ∆x for pequena, podemos usar o facto de

∆y∆x

ser aproximada-

mente a derivadadydx

para obter uma aproximacao de ∆y:

∆y ( ∆y∆x

x ∆x � dydx

x ∆x ( f H 9 x :�x ∆x BExemplo 2.2.1 Em que percentagem aumentamos a area de um cırculo se au-mentarmos o seu raio em 2%?

Solucao. Tem-se A ( πr2, logo ∆A � dAdr

∆r ( 2πr ∆r.

Como ∆r ( 2100

r, temos ∆A � 2πr � 2100

r ( 4100

πr2 ( 4100

A.Logo, a area e aumentada em aproximadamente 4%.

E possıvel determinar majorantes para o erro cometido, mas nao vamos tratardisso aqui. Este tema e um pouco mais desenvolvido na Seccao 3.5.

2.2.2 Taxa de variacaoSeja y ( f 9 x : uma funcao definida num intervalo aberto contendo o ponto

a. A taxa media de variacao de y ( f 9 x : em relacao a x no intervalo 4 a ' a A h &e

f 9 a A h : $ f 9 a :h

. A taxa instantanea de variacao de y em relacao a x em a e

limh a 0

f 9 a A h : $ f 9 a :h

( f H 9 a : , desde que este limite exista.

Se a funcao f nos der a posicao de uma partıcula em movimento rectilıneocomo funcao do tempo, e imediato reconhecer que a taxa media de variacao nos

2.3. Derivadas de ordem superior 25

da a velocidade media da partıcula num certo intervalo de tempo e que a taxa ins-tantanea de variacao nos da a velocidade da partıcula num determinado instante.

Suponhamos entao que um objecto se move ao longo de um eixo e que a suaposicao no instante t e x ( f 9 t : . A velocidade do objecto no instante t e:

v ( dxdt

( f H 9 t : BA aceleracao e a taxa instantanea de variacao da velocidade, sendo, portanto,

a ( dvdt B

2.3 Derivadas de ordem superior

Pode acontecer que a derivada y H ( f H 9 x : de uma funcao y ( f 9 x : seja elapropria uma funcao derivavel em x. A sua derivada diz-se a segunda derivada def em x e representa-se usando alguma das notacoes seguintes:

y H�H ( f H�H 9 x :C( d2ydx2 ( d

dxddx

f 9 x :@( d2

dx2 f 9 x :@( D2xy ( D2

x f 9 x : BPodemos, mais geralmente, ter derivadas de ordem n, sendo usadas notacoes

analogas:

y z n { ( f z n { 9 x :C( dnydxn (�x�xOx

Exemplo 2.3.1 Se n e um inteiro positivo e f 9 x :@( xn, tem-se

f z k { 9 x :C( ���� n!9 n $ k : ! xn L k se 0 / k / n

0 se k h n

Segue facilmente que a derivada de ordem n da funcao polinomial de grau n

anxn A BKB�B A a1x A a0

e n!an e que qualquer derivada de ordem superior a n da mesma funcao e 0.

Exercıcio 2.3.2 Sejam A, B e k constantes. Mostre que a funcao

y ( Acos 9 kt :QA Bsen 9 kt :e solucao da equacao

d2ydt2 A k2y ( 0 B (2.1)

26 2. Derivacao

A equacao (2.1) e um exemplo de uma equacao diferencial de segunda ordem(ver Capıtulo 10).

2.4 Derivacao implıcita

Referimos no inıcio do capıtulo o problema da determinacao de tangentesa curvas e resolvemo-lo para o caso de curvas que sao graficos de funcoes de-rivaveis. Mas nem sempre as curvas sao graficos de funcoes. Em geral, o graficode uma curva e o grafico de uma equacao em duas variaveis F 9 x ' y :C( 0.

Exemplo 2.4.1 Para a circunferencia x2 A y2 ( 25, temos F 9 x ' y :C( x2 A y2 $ 25.

Por vezes a equacao nao pode ser resolvida explicitamente em ordem a y, noentanto vemos a equacao como definindo implicitamente y como uma ou maisfuncoes de x. A ideia da derivacao implıcita e “derivar a equacao em ordem a x,

obtendo a derivadadydx

ou y H ”.

Exemplo 2.4.2 Determinedydx

, se y2 ( x.

Solucao. Tem-seddx

9 y2 :D( ddx

x 'donde, usando a regra da cadeia no primeiro membro (y e funcao de x), vem

2ydydx

( 1, logodydx

( 12y

.

No exemplo anterior, y2 ( x define duas funcoes de x, derivaveis, que co-nhecemos explicitamente: y1 ( %

x e y2 ( $ %x. Para x h 0 podemos encontrar

derivadas:dy1

dx( 1

2%

x( 1

2y1

dy2

dx( $ 1

2%

x( 1

2y2'

o que esta de acordo com o obtido por derivacao implıcita.

2.4. Derivacao implıcita 27

Nota 2.4.3 Existe um teorema, o Teorema da Funcao Implıcita, que justifica alegitimidade de usarmos derivacao implıcita. Ele diz, basicamente, que partedo grafico de uma curva F 9 x ' y :�( 0 perto de um ponto 9 x0 ' y0 : dessa curva e ografico de uma funcao de x derivavel em x0, desde que F 9 x ' y : seja suficientemente

“regular”eddy

F 9 x0 ' y :�T y � y0 F( 0.

Exemplo 2.4.4 Determine o declive da tangente a circunferencia x2 A y2 ( 25 noponto 9 3 ' $ 4 : .Solucao. Usando derivacao implıcita, temos:

ddx

x2 A ddx

y2 ( ddx

25

2x A 2ydydx

( 0

dydx

( $ xy B

O declive da tangente a circunferencia em 9 3 ' $ 4 : e $ xypppp z 3 � L 4 { ( $ 3$ 4

( 34

.

Como a circunferencia e a uniao dos graficos das funcoes y1 ( %25 $ x2 e

y2 ( $ %25 $ x2 e 9 3 ' $ 4 : pertence ao grafico de y2, o problema poderia tambem

ser resolvido do seguinte modo:dy2

dxpppp x � 3

( $ $ 2x

2%

25 $ x2

pppp x � 3( $ $ 6

2%

16( 3

4.

Exemplo 2.4.5 Determine uma equacao da tangente a curva x2 A xy A 2y3 ( 4no ponto 9 $ 2 ' 1 : .Solucao. Tem-se 2x A y A xy H A 6y2y H ( 0.

Substituindo x por $ 2 e y por 1 e resolvendo em ordem a y H , vem y H 9 $ 2 ' 1 :R( 34 .

Assim, a recta pedida tem de equacao

y ( 349 x A 2 :QA 1 M y ( 3

4x A 5

2 BExercıcio 2.4.6 Determine

dydx

, se ysenx ( x3 A cosy.

Solucao.dydx

( 3x2 $ ycosxsenx A seny

.

28 2. Derivacao

Podem tambem determinar-se derivadas de ordem superior.

Exemplo 2.4.7 Determine y H�H ( d2ydx2 , se xy A y2 ( 2x.

Solucao.

y H ( 2 $ yx A 2y

; y H�H ( 9 x A 2y :�9 $ y H $ 9 2 $ y :�9 1 A 2y H :9 x A 2y : 2

Substituindo y H pela expressao obtida para y H�H , vem:

y H�H ( $ 89 x A 2y : 3 B2.5 Derivada da funcao inversa

Seja f derivavel num intervalo aberto & a ' b 4 e suponhamos que f H 9 x :kh 0 parax ,D& a ' b 4 (o que implica que f e crescente em & a ' b 4 ) ou que f H 9 x :@. 0 para x ,C& a ' b 4(logo f e decrescente em & a ' b 4 ). Em qualquer dos casos, f e injectiva em & a ' b 4 etem inversa f L 1 definida por

y ( f L 1 9 x :�M x ( f 9 y :�'v9 a . x . b : BLembramos (ver pagina 3) que o grafico de f L 1 se obtem do de f fazendo

um reflexao sobre a recta y ( x. Se o grafico de f nao tem tangentes horizon-tais, o grafico de f L 1 nao tem tangentes verticais, o que faz pensar que f L 1 seraderivavel.

Seja y ( f L 1 9 x : . Para determinardydx

, resolvemos a equacao em ordem a x:

x ( f 9 y : e derivamos implicitamente: 1 ( f H 9 y : dydx

. Logo

dydx

( 1f H 9 y : ( 1

f H 9 f L 1 9 x :O: BObtemos entao a formula

ddx

f L 1 9 x :@( 1f H 9 f L 1 9 x :�:QB

2.6. Derivadas das funcoes logarıtmica e exponencial 29

Nota 2.5.1 Suponhamos que f e f L 1 sao derivaveis. Tem-se f 9 f L 1 9 x :�:�( x.Usando a regra da cadeia, temos

f H 9 f L 1 9 x :O:jx�9 f L 1 : H 9 x :C( 1 B (2.2)

Resulta de novo a formula:9 f L 1 : H 9 x :C( 1f H 9 f L 1 9 x :O: B

De (2.2) resulta imediatamente que se a e tal que f H 9 f L 1 9 a :O:@( 0, entao f L 1

nao e derivavel em a.

Exemplo 2.5.2 Mostre que f 9 x :�( x3 A x e injectiva (em # ). Notando que f 9 2 :>(10, determine 9 f L 1 : H 9 10 : .Solucao. Tem-se f H29 x :@( 3x2 A 1 h 0,

gx ,8# . Consequentemente, f e estrita-

mente crescente e, portanto, injectiva.9 f L 1 : H 9 10 :D( 1f H 9 f L 1 9 10 :O: ( 1

f H 9 2 : ( 113 B

2.6 Derivadas das funcoes logarıtmica e exponencial

Comecemos por observar que, para cadax h 0, o logaritmo natural (ou logaritmo!debase e) lnx pode ser definido como a areada regiao do plano limitada pela recta y ( 0,pelo grafico da funcao y ( 1

t e pelas rectasverticais t ( 1 e t ( x. 1 x

y ( 1t

Proposicao 2.6.1 Se x h 0, entaoddx

lnx ( 1x

.

30 2. Derivacao

Demonstracao.

Para h h 0, ln 9 x A h : $ lnx e a area daregiao do plano limitada pela recta y ( 0,pelo grafico da funcao y ( 1

t e pelas rectasverticais t ( x e t ( x A h. Comparando comas areas dos rectangulos assinalados na fi-gura, tem-se:

hx A h

. ln 9 x A h : $ lnx . hx B x x A h

y ( 1t

Dividindo todos os membros das inequacoes por h e usando o teorema doencaixe para limites laterais, temos

limh a 0 | ln 9 x A h : $ lnx

h( 1

x BUsando argumentos semelhantes, resolve-se tambem o caso de h . 0, isto e,

0 . x A h . x, concluindo-se assim a demonstracao.

Proposicao 2.6.2 Para x ,-# ,ddx

ex ( ex.

Demonstracao. Sendo y ( ex vem que x ( lny. Usando derivacao implıcita, tem-

se 1 ( 1y

dydx

, dondedydx

( y ( ex.

Nota 2.6.3 Para a h 0,ddx

ax ( ddx

ex lna ( ex lna x lna ( ax x lna.

Assim,ddx

ax e negativa se 0 . a . 1 e positiva se a h 1. Logo, para a h 0e a F( 1, a funcao ax e injectiva e a sua inversa diz-se o logaritmo de base a erepresenta-se por loga x.

Exercıcio 2.6.4 Determine a derivada de%

1 A e2x.

Solucao.e2x%

1 A e2x

2.7. Derivadas das funcoes trigonometricas inversas 31

2.7 Derivadas das funcoes trigonometricas inversas

Proposicao 2.7.1 Tem-seddx

arcsenx ( 1%1 $ x2

9 x ,D& $ 1 ' 1 45: .Demonstracao. Lembramos que y ( arcsenx M x ( seny e $ π

2/ y / π

2.

Usando derivacao implıcita, tem-se 1 ( cosy x dydx

.

Como $ π2

/ y / π2

, tem-se cosy E 0, donde cosy ( `1 $ sen2 y ( %

1 $ x2.

Logodydx

( 1cosy

( 1%1 $ x2

.

Exercıcio 2.7.2 Mostre queddx � arcsen

xa � ( 1%

a2 $ x2.

Com uma demonstracao analoga a da proposicao anterior:

Proposicao 2.7.3 Tem-seddx

arctgx ( 11 A x2 .

Exercıcio 2.7.4 Mostre queddx � arctg

xa � ( 1

a2 A x2 .

2.8 Teorema do valor medio e resultados relaciona-dos

O resultado seguinte e usado na demonstracao do Teorema do valor medioe e util por si so. A sua demonstracao, que nao faremos, usa a completude doconjunto dos numeros reais.

Teorema 2.8.1 Uma funcao contınua definida num intervalo fechado limitadoatinge um maximo e um mınimo nesse intervalo.

Proposicao 2.8.2 Se f e uma funcao definida num intervalo aberto & a ' b 4 e atingeum maximo ou um mınimo no ponto c ,D& a ' b 4 e f Hu9 c : existe, entao f H�9 c :D( 0.

32 2. Derivacao

Demonstracao. Suponhamos que f atinge um maximo em c. (Para o caso deatingir um mınimo seria analogo.) Entao f 9 x : $ f 9 c :\/ 0, para qualquer x ,D& a ' b 4 .Se x ,C& c ' b 4 , entao

f 9 x : $ f 9 c :x $ c

/ 0, logo

f H 9 c :C( limx a c | f 9 x : $ f 9 c :

x $ c/ 0 B

Analogamente, se x ,C& a ' c 4 , tem-sef 9 x : $ f 9 c :

x $ cE 0, logo

f H 9 c :C( limx a c ~ f 9 x : $ f 9 c :

x $ cE 0

e, portanto, f H 9 c :D( 0.

Teorema 2.8.3 (Teorema de Rolle) Suponhamos que g e uma funcao contınuanum intervalo fechado 4 a ' b & e que e derivavel no intervalo aberto & a ' b 4 . Se g 9 a :j(g 9 b : , entao existe c ,D& a ' b 4 tal que g H 9 c :@( 0.

Demonstracao. Se g for constante, tem-se g H 9 c :�( 0,g

c ,"4 a ' b & . Se g nao forconstante, suponhamos que existe x0 ,D& a ' b 4 tal que g 9 x0 :�F( g 9 a : . Vamos suporque g 9 x0 :�h g 9 a : . (Se g 9 x0 :k. g 9 a : e analogo.) Pelo Teorema 2.8.1, g atinge ummaximo nalgum ponto c ,�4 a ' b & . Como g 9 c :�E g 9 x0 :�h g 9 a :@( g 9 b : , c nao podeser a nem b, logo c ,D& a ' b 4 , donde g e derivavel em c. Pela Proposicao 2.8.2, vemque g H 9 c :C( 0.

Teorema 2.8.4 (Teorema do valor medio) Se f e contınua num intervalo fechado4 a ' b & e e derivavel no intervalo aberto & a ' b 4 , entao existe um ponto c ,C& a ' b 4 talque

f 9 b : $ f 9 a :b $ a

( f H 9 c : BO teorema do valor medio tambem e conhecido por Teorema de Lagrange. Naofaremos uma demonstracao completa, mas indicamos a seguir uma estrategia paraa fazer: considera-se

g 9 x :C( f 9 x : $ 9 f 9 a :QA f 9 b : $ f 9 a :b $ a

9 x $ a :O:e completa-se a demonstracao usando o Teorema de Rolle.

Aplicando o Teorema do valor medio a funcao

h 9 x :C(+9 f 9 b : $ f 9 a :O:�9 g 9 x : $ g 9 a :�: $ 9 f 9 b : $ g 9 a :O:�9 f 9 x : $ f 9 a :O:e tendo o cuidado de justificar que nao se fazem divisoes por 0, obtem-se o resul-tado seguinte que tambem e conhecido por Teorema de Cauchy.

2.8. Teorema do valor medio e resultados relacionados 33

Teorema 2.8.5 (Teorema do valor medio generalizado) Se f e g sao funcoescontınuas num intervalo fechado 4 a ' b & , derivaveis no intervalo aberto & a ' b 4 eg H 9 x :�F( 0 para todo o x ,D& a ' b 4 , entao existe um ponto c ,D& a ' b 4 tal que

f 9 b : $ f 9 a :g 9 b : $ g 9 a : ( f H 9 c :

g H 9 c : BCorolario 2.8.6 Se f e contınua num intervalo I e f H 9 x :@( 0 para todo o ponto xdo interior de I, entao f e constante em I.

Demonstracao. Seja x0 , I. Se x , I U�* x0 0 , existe c entre x0 e x (logo no interior

de I) tal quef 9 x : $ f 9 x0 :

x $ x0( f H 9 c : , pelo teorema do valor medio. Obtemos, entao,

f 9 x :C( f 9 x0 : .Exemplo 2.8.7 Mostre que senx . x,

gx h 0.

Solucao. Se x E 1 e obvio. Se 0 . x . 1, pelo teorema do valor medio, existec ,D& 0 ' x 4 tal que

senxx

( senx $ sen0x $ 0

( ddx

senx T x � c ( cosc . 1 BTeorema 2.8.8 (Regra de L’Hopital) Sejam f e g funcoes derivaveis num inter-

valo aberto & a ' b 4 contendo c, excepto eventualmente em c. Se limx a c

f 9 x :g 9 x : conduz a

uma indeterminacao da forma 00 ou ∞

∞ e g H 9 x :�F( 0 para x F( c, entao

limx a c

f 9 x :g 9 x : ( lim

x a c

f H 9 x :g H 9 x : '

desde que limx a c

f H 9 x :g H 9 x : exista ou lim

x a c

f H 9 x :g H 9 x : ( ∞.

A demonstracao usa o teorema do valor medio generalizado e mais uma vezremetemos para a literatura.

Nota 2.8.9 A regra de L’Hopital e tambem valida para limites laterais e tambempode ser aplicada a limites com x ; ] ∞.

Exemplo 2.8.10 Calcule limx a 0

senxx

.

34 2. Derivacao

Solucao. Temos uma indeterminacao do tipo 00 . Como as funcoes senx e x sao

derivaveis (em # ) podemos aplicar a regra de L’Hopital. Temos entao

limx a 0

senxx

( limx a 0

cosx1

( 1 BExercıcio 2.8.11 Mostre que lim

x a ∞x

1x ( 1.

Capıtulo 3

Aplicacoes das derivadas

As aplicacoes das derivadas em que incidira o nosso estudo centram-se noesboco de graficos de funcoes e no estudo dos polinomios de Taylor. Existemimensas outras.

3.1 Intervalos de monotonia

Temos aqui mais uma aplicacao do Teorema do valor medio.

Proposicao 3.1.1 Seja J um intervalo aberto e seja I um intervalo que consistedos pontos de J e eventualmente algum seu extremo. Suponhamos que f e contınuaem I e derivavel em J.

1. Se f H 9 x :�h 0 para todo x , J, entao f e estritamente crescente em I

(isto e,g

x1 ' x2 , I ' x1 . x2 I f 9 x1 :�. f 9 x2 : ).2. Se f H�9 x :�. 0 para todo x , J, entao f e estritamente decrescente em I

(isto e,g

x1 ' x2 , I ' x1 . x2 I f 9 x1 :�h f 9 x2 : ).3. Se f H 9 x :�E 0 para todo x , J, entao f e nao decrescente em I

(isto e,g

x1 ' x2 , I ' x1 . x2 I f 9 x1 :�/ f 9 x2 : ).4. Se f H�9 x :�/ 0 para todo x , J, entao f e nao crescente em I

(isto e,g

x1 ' x2 , I ' x1 . x2 I f 9 x1 :�E f 9 x2 : ).35

36 3. Aplicacoes das derivadas

Demonstracao. Sejam x1 ' x2 , I, com x1 . x2. Pelo teorema do valor medio(que podemos aplicar pois f e contınua em 4 x1 ' x2 & e derivavel em & x1 ' x2 4 ) existec ,D& x1 ' x2 4sq J tal que

f 9 x2 : $ f 9 x1 :x2 $ x1

( f H 9 c :�'logo

f 9 x2 : $ f 9 x1 :C(�9 x2 $ x1 : f H 9 c : BComo x2 $ x1 h 0, f 9 x2 : $ f 9 x1 : tem o mesmo sinal que f H�9 c : , sendo 0 se f H�9 c : ofor.

Os intervalos de monotonia de uma funcao sao os maiores intervalos em queessa funcao e monotona (crescente ou decrescente).

Exemplo 3.1.2 Determine os intervalos de monotonia da funcao

f 9 x :\( x3 $ 12x A 1 BSolucao. f Hu9 x :3( 3x2 $ 12 ( 3 9 x $ 2 :�9 x A 2 : , logo f H�9 x :�h 0 em & $ ∞ ' $ 2 4 e em& 2 'GA ∞ 4 e f H 9 x :k. 0 em & $ 2 ' 2 4 . Podemos construir o seguinte quadro que ajuda avisualizar a situacao: $ 2 2

x $ 2 $ $ $ 0 Ax A 2 $ 0 A A Af H 9 x : A 0 $ 0 Af 9 x : � 17   $ 15 �

Temos entao que f e estritamente crescente em & $ ∞ ' $ 2 4 e em & 2 'GA ∞ 4 e quef e estritamente decrescente em & $ 2 ' 2 4 .3.2 Maximos e mınimos locais

E importante ter presente que uma funcao contınua definida num intervalofechado tem um maximo e um mınimo (Teorema 2.8.1).

Definicao. Dizemos que uma funcao f tem um maximo local no ponto x0 do seudomınio (dizendo-se entao f 9 x0 : um valor de maximo local) se existir h h 0 talque f 9 x :k/ f 9 x0 : para x , Dom 9 f :C¡¢& x0 $ h ' x0 A h 4 .

Dizemos que uma funcao f tem um mınimo local no ponto x0 do seu domınio(dizendo-se entao f 9 x0 : um valor de mınimo local) se existir h h 0 tal que f 9 x :3E

3.2. Maximos e mınimos locais 37

f 9 x0 : para x , Dom 9 f :@¡£& x0 $ h ' x0 A h 4 .A figura ao lado sugere que os extre-mos locais de uma funcao f pertencema alguma das seguintes classes de pon-tos:

(i) pontos crıticos de f (pontos do domınio de f onde f H�9 x :C( 0);(ii) pontos singulares de f (pontos do domınio de f onde f nao e derivavel);(iii) extremidades do domınio de f (pontos que nao pertencem a um intervalo

aberto contido no domınio de f ).

Proposicao 3.2.1 Os extremos locais de uma funcao f estao, de facto, entre asclasses de pontos definidas acima.

Demonstracao. Suponhamos que x0 e um maximo (respectivamente mınimo) lo-cal de f e que x0 nao e uma extremidade do domınio de f nem um ponto singularde f . Entao f 9 x : esta definida nalgum intervalo & x0 $ h ' x0 A h 4 , sendo x0 ummaximo (respectivamente mınimo) absoluto nesse intervalo. Como x0 nao e sin-gular, f H 9 x0 : existe, tendo-se f H 9 x0 :C( 0, pela Proposicao 2.8.2.

Para demonstrar a proposicao que se segue, basta atender a informacao dadapelo sinal da derivada sobre o crescimento/decrescimento da funcao, isto e, pelaProposicao 3.1.1

Proposicao 3.2.2 Seja x0 um ponto do domınio de uma funcao f .1a parte (pontos crıticos interiores e pontos singulares)

Suponhamos que f e contınua em x0 e que x0 nao e uma extremidade dodomınio.(i) Se existir um intervalo aberto & a ' b 4 contendo x0 tal que f H 9 x :�h 0 para x ,& a ' x0 4 e f H 9 x :�. 0 para x ,C& x0 ' b 4 , entao f tem um maximo local em x0.(ii) Se existir um intervalo aberto & a ' b 4 contendo x0 tal que f H�9 x :_. 0 para x ,& a ' x0 4 e f H 9 x :�h 0 para x ,C& x0 ' b 4 , entao f tem um mınimo local em x0.

2a parte (extremidades do domınio)Suponhamos que x0 e uma extremidade esquerda (respectivamente direita) do

domınio e que f e contınua a direita (respectivamente esquerda) em x0.(i) Se f H 9 x :Ch 0 nalgum intervalo & x0 ' b 4 (respectivamente & a ' x0 4 ), entao f tem um

38 3. Aplicacoes das derivadas

mınimo (respectivamente maximo) local em x0.(ii) Se f H�9 x :�. 0 nalgum intervalo & x0 ' b 4 (respectivamente & a ' x0 4 ), entao f temum maximo (respectivamente mınimo) local em x0 .

Proposicao 3.2.3 Suponhamos que f e derivavel duas vezes e f H 9 x0 :R( 0. Tem-se:

1. Se f H�H 9 x0 :�. 0, entao f tem um maximo local em x0.

2. Se f H�H 9 x0 :�h 0, entao f tem um mınimo local em x0.

3. Se f H�H29 x0 :C( 0, nada se pode concluir.

Demonstracao. 1. Tem-se:

limh a 0

f H 9 x0 A h :h

( limh a 0

f H 9 x0 A h : $ f H 9 x0 :h

( f H�H 9 x0 :�. 0 BLogo, para h h 0 (pequeno), tem-se f H 9 x0 A h :�. 0 e para h . 0 (pequeno)tem-se f H�9 x0 A h :�h 0. Agora basta usar o resultado anterior.

2. Analoga a prova da alınea anterior.

3. f 9 x :k( x4, f 9 x :�( $ x4, f 9 x :k( x3 sao exemplos que provam a afirmacao:Em qualquer dos casos tem-se f H�Hu9 0 :@( f H�9 0 :D( 0, mas:

- a primeira funcao tem um mınimo em 0;

- a segunda funcao tem um maximo em 0;

- a terceira funcao nao tem maximo nem mınimo em 0.

3.3 Concavidades e pontos de inflexao

Diz-se que uma funcao f e convexa (ou que tem a concavidade voltada paracima) num intervalo aberto I se, para quaisquer a ' b , I, com a . b, o segmentode recta que une 9 a ' f 9 a :O: a 9 b ' f 9 b :O: esta acima do grafico de f em & a ' b 4 .

Diz-se que uma funcao f e concava (ou que tem a concavidade voltada parabaixo) num intervalo aberto I se, para quaisquer a ' b , I, com a . b, o segmentode recta que une 9 a ' f 9 a :O: a 9 b ' f 9 b :O: esta abaixo do grafico de f em & a ' b 4 .

Um ponto 9 a ' f 9 a :O: do grafico de f diz-se um ponto de inflexao da curva y (f 9 x : (diz-se tambem que f tem um ponto de inflexao em a) se:

3.3. Concavidades e pontos de inflexao 39

1. o grafico de f tem uma tangente em 9 a ' f 9 a :O: ;2. a funcao f e convexa de um dos lados de a e concava do outro.

O resultado seguinte, de facil demonstracao, e muito util.

Proposicao 3.3.1 1. Se f H�H�9 x :�h 0 num intervalo I, entao f e convexa em I.

2. Se f H�H 9 x :�. 0 num intervalo I, entao f e concava em I.

3. Se f tem um ponto de inflexao em x0 e f H�H�9 x0 : existe, entao f H�Hu9 x0 :D( 0.

Exemplo 3.3.2 Determine os intervalos de monotonia, os valores extremos e asconcavidades de f 9 x :C( x4 $ 2x3 A 1. Esboce o grafico de f .

Solucao. Tem-se f H 9 x :C( 4x3 $ 6x2 ( 2x2 9 2x $ 3 : . Os zeros de f H sao 0 e 32 .

0 32

2x2 A 0 A A A2x $ 3 $ $ $ 0 Af H 9 x : $ 0 $ 0 Af 9 x :   1   $ 11

16 �A derivada f H�9 x : e positiva em & 3

2 'GA ∞ 4 e negativa em & $ ∞ ' 0 4!1�& 0 ' 32 4 , logo

f e estritamente crescente em & 32 'GA ∞ 4 e estritamente decrescente em & $ ∞ ' 0 4 e

em & 0 ' 32 4 . Atinge um mınimo local em 3

2 e o seu valor e f 9 32 :k( $ 11

16 ; nao temmaximos locais.

Tem-se f H�H 9 x :C( 12x2 $ 12x ( 12x 9 x $ 1 : . Os zeros de f H�H sao 0 e 1.

0 112x $ 0 A A A

x $ 1 $ $ $ 0 Af H�Hu9 x : A 0 $ 0 Af 9 x : 1 1 ¡ 0 1

A segunda derivada f H�H 9 x : e positiva em & $ ∞ ' 0 4�18& 1 'GA ∞ 4 e negativa em & 0 ' 1 4 ,logo f e convexa em & $ ∞ ' 0 4 e em & 1 'fA ∞ 4 e concava em & 0 ' 1 4 . Tem pontos deinflexao em x ( 0 e x ( 1.

-2 -1 1 2 3

1

2

3

4

5

40 3. Aplicacoes das derivadas

3.4 Esboco do grafico de uma funcao

Para fazer o esboco do grafico de uma funcao, normalmente procuram-seinformacoes dadas¤ pela propria funcao: interseccoes com os eixos, possıveis simetrias, etc.;¤ pela derivada: intervalos de monotonia;¤ pela segunda derivada: concavidades.

Deve ainda ser feito o estudo das assıntotas: rectas das quais o grafico da funcaose aproxima arbitrariamente a medida que a distancia a origem tende para infinito.

Definicao.

1. O grafico de y ( f 9 x : tem uma assıntota vertical x ( a se limx a a | f 9 x :@(}] ∞

ou limx a a ~ f 9 x :C(?] ∞ ou ambos.

2. O grafico de y ( f 9 x : tem uma assıntota horizontal y ( L se limx a l ∞

f 9 x :D( L

ou limx a L ∞

f 9 x :C( L ou ambos (L ,¥# ).

3. A recta y ( mx A b, com m F( 0, e uma assıntota oblıqua do grafico dey ( f 9 x : se lim

x a l ∞9 f 9 x : $ 9 mx A b :O:\( 0 ou lim

x a L ∞9 f 9 x : $ 9 mx A b :O:3( 0

ou ambos.

Exemplo 3.4.1 (Assıntotas de funcoes racionais)

Seja f 9 x :\( Pm 9 x :Qn 9 x : uma funcao racional em que Pm e Qn sao funcoes polino-

miais de graus m e n, respectivamente, e que nao tem raızes comuns. Entao ografico de f

(a) tem uma assıntota vertical em cada x tal que Qn 9 x :�( 0 (ou seja, em cadazero de Qn);

(b) tem uma assıntota horizontal bilateral y ( 0 se m . n;(c) tem uma assıntota horizontal bilateral y ( L (L F( 0) se m ( n (L e o

quociente dos coeficientes dos termos de mais alto grau de Pm e Qn);

3.4. Esboco do grafico de uma funcao 41

(d) tem uma assıntota oblıqua bilateral se m ( n A 1 (tem-se f 9 x :k( mx Ab A R 9 x :

Qn 9 x : , sendo y ( mx A b a assıntota. R 9 x : e o resto da divisao de Pm 9 x : por

Qn 9 x : e mx A b o quociente);(e) nao tem assıntotas horizontais nem oblıquas se m h n A 1.

Exemplo 3.4.2 Determinar a assıntota oblıqua de y ( x3

x2 A x A 1.

Solucao. Efectuando a divisao de x3 por x2 A x A 1 obtem-se o quociente Q 9 x :D(x $ 1 e o resto R 9 x :C( 1. Entao:

x3 (¦9 x $ 1 :�9 x2 A x A 1 :JA 1 donde f 9 x :�( x $ 1 A 1x2 l x l 1 . Temos entao uma

assıntota oblıqua: y ( x $ 1.

Exemplo 3.4.3 Esboce o grafico de f 9 x :C( x2 A 2x A 42x

.

Solucao. (Informacoes dadas directamente pela funcao.)

Podemos comecar por simplificar a expressao: f 9 x :@( x2A 1 A 2

x.

Domınio: #8U�* 0 0 .Assıntotas:y ( x

2 A 1 e assıntota oblıqua. (Verifique.)lim

x a 0 | f 9 x :C(}A ∞ ; limx a 0 ~ f 9 x :C( $ ∞, logo x ( 0 e assıntota vertical bilateral.

Nao tem assıntotas horizontais.Nao e par nem ımpar nem o seu grafico intersecta os eixos coordenados.

(Informacoes dadas pela 1a derivada.)

Tem-se: f H 9 x :C( 12$ 2

x2 ( x2 $ 42x2 ;

Pontos crıticos: 2 e $ 2. $ 2 0 2x2 $ 4 A 0 $ $ 4 $ 0 A

2x2 A A A 0 A A Af H 9 x : A $ 1 $ n B d B $ 3 Af 9 x : � 1   n B d B   $ 11

16 �f e crescente em & $ ∞ ' $ 2 4 e em & 2 'GA ∞ 4 (onde f H 9 x : e positiva) e decrescente

em & $ 2 ' 0 4 e em & 0 ' 2 4 (onde f H 9 x : e negativa). Tem um maximo local de valor $ 1em x ( $ 2 e um mınimo local de valor 3 em x ( 2.

42 3. Aplicacoes das derivadas

(Informacoes dadas pela 2a derivada.)f H�Hu9 x :@( 4

x3 nunca se anula. f H�H�9 x :3h 0 em & 0 'GA ∞ 4 e f H�Hu9 x :�. 0 em & $ ∞ ' 0 4 , logo fe convexa em & 0 'GA ∞ 4 e concava em & $ ∞ ' 0 4 . Nao existem pontos de inflexao.

O grafico de f tem o seguinte aspecto:

9 2 ' 3 :9 $ 2 ' $ 1 :

3.5 Polinomios de Taylor

A aproximacao linear da funcao f (derivavel em a) no ponto a e a funcao

L 9 x :C( f 9 a :QA f H 9 a :�9 x $ a : BObservamos que a recta y ( L 9 x : e a tangente ao grafico de f no ponto a.

Observamos ainda que esta formula ja foi antes usada para aproximar pequenasvariacoes (Subseccao 2.2.1). Vamos agora ver melhores aproximacoes, bem comoestudar os erros cometidos.

O errocometido numa aproximacao e a diferenca entre o valor exacto e o valoraproximado.

Suponhamos que f z n { 9 x : existe nalgum intervalo aberto contendo a. O po-linomio

Pn � a � f 9 x :C( f 9 a :wA f H�9 a :1!

9 x $ a :wA f H�H�9 a :2!

9 x $ a : 2 ArxOxOx�A f z n { 9 a :n!

9 x $ a : n

3.5. Polinomios de Taylor 43

diz-se o polinomio de Taylor de ordem n de f em a. (Se pudermos subentender a ef , escrevemos apenas Pn 9 x : ).Exemplos 3.5.1 Encontre polinomios de Taylor Pn � a � f , para:

(a) f 9 x :C( senx, a ( 0, n ( 3(b) f 9 x :C( ex, a, n.

Solucao. (a) f H 9 x :C( cosx, f H�H 9 x :C( $ senx, f H�H�H 9 x :C( $ cosx.

P3 � 0 � f 9 x :@( sen0 A cos0 x $ sen02!

x2 $ cos03!

x3 ( x $ x3

6

(b) Tem-se f z n { 9 x :C( ex, para qualquer n, logo

Pn � a � f 9 x :C( ea A ea

1!9 x $ a :wA ea

2!9 x $ a : 2 A"x�xOx�A ea

n!9 x $ a : n B

Exemplo 3.5.2 Vamos usar polinomios de Taylor de ex no ponto 0 para encontraraproximacoes sucessivas de e.

Sendo f 9 x :\( ex, vem e ( f 9 1 : . Tem-se entao

Pn 9 x :C( 1 A x A x2

2!ArxOxOx�A xn

n! BP0 9 1 :D( 1P1 9 1 :D( 1 A 1 ( 2P2 9 1 :D( P1 9 1 :wA 1

2 ( 2 ' 5P3 9 1 :D( P2 9 1 :wA 1

6 ( 2 ' 66 9 6 :P4 9 1 :D( P3 9 1 :wA 1

24 ( 2 ' 7083 BKB�BP5 9 1 :D( P4 9 1 :wA 1

120 ( 2 ' 7166 B�BKBO 2 ' 7 parece ter estabilizado...

A demonstracao do resultado seguinte usa o teorema do valor medio generali-zado. Nao a faremos.

Proposicao 3.5.3 (Teorema de Taylor) Se a derivada de ordem n A 1, f z n l 1 { 9 t : ,existe para todo o t de um intervalo aberto contendo a e x e Pn 9 x : e o polinomiode Taylor de ordem n de f 9 x : no ponto a, entao tem-se a formula (dita a formulade Taylor),

f 9 x :C( Pn 9 x :wA En 9 x :

44 3. Aplicacoes das derivadas

onde o erro En 9 x : (dito resto de Lagrange) e dado por

En 9 x :C( f z n l 1 { 9 X :9 n A 1 : ! 9 x $ a : n l 1

em que X e um numero entre a e x.

Exemplo 3.5.4 Verifique que o polinomio de Taylor de ordem 7, P7 9 x : , de ex noponto 0 e suficiente para calcular e com 3 casas decimais. (Tenha em consideracaoque 2 . e . 3.)

Solucao. O erro cometido na aproximacao ex � Pn 9 x : e

En 9 x :C( eX9 n A 1 : ! xn l 1 'para algum X entre 0 e x. Se x ( 1, entao 0 . X . 1, donde eX . e . 3, tendo-seentao 0 . E7 9 1 :�. 3z 7 l 1 { ! .

Ora,38!

( 340320

� 0 ' 000074 'logo n ( 7 serve. (Tem-se

37!

� 0 ' 00059, logo nao temos a garantia de que n ( 6sirva.)

Capıtulo 4

Integracao

A integracao e, a par da derivacao, um dos dois grandes temas do CalculoInfinitesimal. Em certo sentido, trata-se de uma generalizacao do conceito dearea. A integracao esta, por via do Teorema Fundamental do Calculo, intimamenteligado a primitivacao a qual e uma especie de inversa da derivacao.

4.1 Primitivas

Sera preciso esperar pela Seccao 4.4 para se perceber porque e que o conceitode primitiva aparece no inıcio de um capıtulo dedicado a integracao.

Uma primitiva de uma funcao f e uma funcao F tal que F H 9 x :k( f 9 x : , paratodo o elemento x do domınio de f . Embora nao adoptemos essa terminologia,chamamos a atencao para o facto de as primitivas serem por vezes, sugestiva-mente, chamadas “antiderivadas”.

Exemplos 4.1.1 1. F 9 x :C( x e uma primitiva da funcao constante f 9 x :\( 1.

2. F 9 x :C( x L 1 e uma primitiva de f 9 x :C( $ x L 2.

3. F 9 x :C( $ 13 cos 9 3x : e uma primitiva de f 9 x :C( sen 9 3x : .

Nota 4.1.2 Se adicionarmos uma constante a uma primitiva de uma funcao, ob-temos uma primitiva da mesma funcao.

Se uma funcao estiver definida num intervalo, esta e a unica forma de obter novasprimitivas, como mostra a proposicao seguinte.

Proposicao 4.1.3 Sejam F e G primitivas da funcao f no intervalo I. Entao existeuma constante C tal que, para qualquer x de I, se tem F 9 x : $ G 9 x :C( C.���������� � ��� � ����� ��� �!� �� �"������� 45

46 4. Integracao

Demonstracao. Seja x , I. Tem-se:

ddx

9 F 9 x : $ G 9 x :O:D( f 9 x : $ f 9 x :C( 0 BLogo, pelo Corolario 2.8.6, F 9 x : $ G 9 x :C( C (C constante) em I.

Quando se trata de uma funcao que nao esta definida num intervalo, duasprimitivas podem nao diferir de uma constante, como mostra o seguinte exemplo.

Exemplo 4.1.4 As funcoes F 9 x :k( � x A 1 ' se x ,�4 0 ' 1 &x A 2 ' se x ,�4 2 ' 3 & e G 9 x :�( x sao pri-

mitivas da funcao f : 4 0 ' 1 &71£4 2 ' 3 & ; # definida por f 9 x :@( 1.

A primitiva geral da funcao f 9 x : , tambem dita integral indefinido de f 9 x : ,denota-se por §

f 9 x : dx

e, no caso de f estar definida num intervalo, obtem-se a partir de uma primitivaparticular adicionando-lhe uma constante. O sımbolo ¨ e um “s” estendido e diz--se o sımbolo de integral; “dx” deve aqui ser encarado apenas como um sımbolo.

4.1.1 Primitivas elementaresIndicamos a seguir algumas primitivas a que chamamos elementares; resul-

tam do bom conhecimento que temos das derivadas de algumas funcoes. Comosempre acontece, para verificar que se tem de facto uma primitiva, basta derivaro segundo membro. Vamos escrever como em geral aparece nas tabelas, emboraconscientes de que quando a funcao a primitivar nao tem como domınio um in-tervalo, a indicacao da constante C nao significa que todas as primitivas se obtemadicionando uma constante. Por outro lado, acontecera por vezes ao longo dotexto nao escrevermos a constante C ou escrevermo-la entre parentesis. Ficara emgeral claro do contexto se a expressao que escrevemos se refere a uma primitivaparticular ou a primitiva geral.9 a : §

1 dx ( x A C 9 b : §x dx ( x2

2A C9 c : §

x2 dx ( x3

3A C 9 d : §

1x2 dx ( $ 1

xA C9 e : § %

x dx ( 23

x32 A C 9 f : §

1%x

dx ( 2%

x A C

4.2. Area como limite de somas; o integral definido 47

Todos os exemplos acima sao casos particulares de§xr dx ( 1

r A 1xr l 1 A C 9 r F( $ 1 : B

Vejamos outros exemplos:9 g : §1x

dx ( ln T x T�A C 9 h : §ex dx ( ex A C9 i : §

cosx dx ( senx A C 9 j : §senx dx ( $ cosx A C9 k : §

sec2 x dx ( tgx A C 9 l : §cosecx dx ( $ cotgx A C9 m : §

1%1 $ x2

dx ( arcsenx A C 9 n : §1

1 A x2 dx ( arctgx A C

4.2 Area como limite de somas; o integral definido

Conhecemos formulas para o calculo de areas de certos polıgonos. Indicamosa seguir alguns exemplos. Poderıamos obter outros combinando estes.

Exemplos 4.2.1

c

l

Um rectangulo cujo comprimento e c cm e cujalargura e l cm tem de area

A ( cl cm2 B

b

h

Um triangulo cuja base tem de comprimento b(unidades) de altura h (unidades) tem de area

A ( bh2

(unidades quadradas) B(Em geral nao especificaremos as unidades de medida.)

48 4. Integracao

b

y1

y2

A area do trapezio da figura ao lado e a somada area do rectangulo com a area do trianguloindicados:

A ( by1 A b 9 y2 $ y1 :2

( b29 y2 A y1 : B

Problema:

Calcular a area da regiao (nao po-ligonal) R limitada pelo grafico dafuncao (positiva) y ( f 9 x : , peloeixo dos xx e pelas rectas verticaisx ( a e x ( b. a b

R

y ( f 9 x :

A ideia e considerar rectangulos tais que a soma das respectivas areas apro-xime cada vez melhor a area da regiao. Precisamos para o efeito de mais algumasdefinicoes.

Uma particao do intervalo 4 a ' b & e um conjunto de numeros reais

P (©* x0 ' x1 ' x2 ' BOBOB ' xn 0J'com a ( x0 . x1 . x2 .}xOxOxª. xn ( b.

A particao P divide o intervalo 4 a ' b & em n subintervalos, sendo o intervalo4 xi L 1 ' xi & designado por i-esimo subintervalo da particao. O comprimento de4 xi L 1 ' xi & e representado pelo numero positivo ∆xi ( xi $ xi L 1. O maximo TKTP T�Tdos comprimentos dos subintervalos da particao P designa-se por norma de P.

Suponhamos que f e contınua no inter-valo fechado 4 a ' b & . Entao f e contınua emcada um dos subintervalos da particao, as-sumindo aı, pelo Teorema 2.8.1, um valormaximo e um valor mınimo, isto e, exis-tem numeros S i e ui em 4 xi L 1 ' xi & tais que

f 92S i :k/ f 9 x :�/ f 9 ui :�' g x ,�4 xi L 1 ' xi & B a b

y ( f 9 x :x1 x2 x3 xn L 1

y ( f 9 x :

Os numeros f 9«S i : ∆xi e f 9 ui : ∆xi, se positivos, representam areas de rectangulos.As somas

∑ 9 f ' P :D( n

∑i � 1

f 92S i : ∆xi e ∑ 9 f ' P :D( n

∑i � 1

f 9 ui : ∆xi

4.2. Area como limite de somas; o integral definido 49

dizem-se respectivamente soma inferior de Riemann e soma superior de Riemannpara a funcao f e particao P.

Suponhamos que f e uma funcao contınua e positiva. Claro que quandoTKTP T�T se aproxima de 0 as somas de Riemann aproximam a area da regiao R. Asoma inferior da-nos uma aproximacao por defeito e a soma superior da-nos umaaproximacao por excesso. Em particular, qualquer soma inferior e menor ou iguala qualquer soma superior. Se acrescentarmos pontos a particao obtemos melhoresaproximacoes, como as figuras seguintes ilustram.

Somas inferiores:

erro novo erro

Somas superiores:

erro novo erro

E assim facil ver que se P2 for uma particao que contem a particao P1, entao

∑ 9 f ' P1 :�/ ∑ 9 f ' P2 :3/ ∑ 9 f ' P2 :k/ ∑ 9 f ' P1 : B (4.1)

Pela completude dos numeros reais, existe I ,¬# tal que, para qualquer particaoP, se tem

∑ 9 f ' P :3/ I / ∑ 9 f ' P : BQuando existe um unico tal I, dizemos que f e integravel em 4 a ' b & e I diz-se

o integral definido de f em 4 a ' b & . Usa-se entao a notacao

I ( §b

af 9 x : dx

Os numeros a e b dizem-se respectivamente o limite inferior de integracao e olimite superior de integracao. A funcao f diz-se a funcao integranda. A variavelx diz-se a variavel de integracao. O sımbolo dx, por vezes dito diferencial de x,indica-nos qual a variavel de integracao.

Nota 4.2.2 1.

§b

af 9 x : dx e um numero real, nao e uma funcao de x ou uma

classe de funcoes, como acontece com

§f 9 x : dx.

50 4. Integracao

2. O integral definido depende apenas da funcao integranda e dos limites deintegracao, isto e, §

b

af 9 x : dx ( §

b

af 9 t : dt B

Vamos a seguir calcular um integral pela definicao. Para o efeito sera util aformula dada no lema seguinte:

Lema 4.2.3 Seja n um numero natural. Tem-se

n

∑i � 1

i ( n 9 n A 1 :2 B

Demonstracao. Escrevamos a soma de duas maneiras diferentes:

S ( 1 A 2 A x�xOx­A n $ 1 A nS ( n A n $ 1 A x�xOx­A 2 A 1

2S ( 9 n A 1 :®A 9 n A 1 :®A xOxOx­A 9 n A 1 :®A 9 n A 1 :Somando membro a membro, podemos obter no segundo membro n parcelas cadauma das quais vale n A 1, isto e, obtemos 2S ( n 9 n A 1 : .Exemplo 4.2.4

Consideremos a funcao f 9 x :�( x A 1 defi-nida no intervalo 4 0 ' 2 & .Observamos que a area da regiao R limitadapela recta y ( x A 1, pelo eixo dos xx e pelasrectas x ( 0 e x ( 2 e, usando a formula para aarea do trapezio, 2

2 9 1 A 3 :D( 4.

R1

3

2

y ( x A 1

Consideremos a particao

Pn ( � 0 ' 2n' 4n' BOB�B ' 2n

n ¯do intervalo 4 0 ' 2 & em n subintervalos de igual comprimento. O i-esimo subintervalo

da particao e ° 2 z i L 1 {n ' 2i

n ± , tendo-se ∆xi ( 2n . Note-se que TKTPn T�T ; 0.

Atendendo a que a funcao e crescente, tem-se

f 92S i :C( f � 2 9 i $ 1 :n � ( 2 9 i $ 1 :

nA 1 e f 9 ui :C( f � 2i

n � ( 2inA 1 B

4.2. Area como limite de somas; o integral definido 51

Calculemos agora a soma inferior de Riemann de Pn:

∑ 9 f ' Pn :®( ∑ni � 1 f 92S i : ∆xi ( ∑n

i � 1 � 2 z i L 1 {n A 1 � x 2

n( 2n

n

∑i � 1

� 2 9 i $ 1 :n

A 1 � ( 2n ² 2

n

n

∑i � 1

9 i $ 1 :QA n

∑i � 1

1 ³©( 2n ² 2

n

n L 1

∑j � 1

j A n ³( 2n� 2

nx 9 n $ 1 : n

2A n � ( 2 9 2n $ 1 :

nTem-se entao

limn a ∞∑ 9 f ' Pn :C( 4 B

Exercıcio 4.2.5 Mostre que limn a ∞∑ 9 f ' Pn :C( 4 B

Seja P uma particao qualquer de 4 0 ' 2 & e seja Q ( P 1 Pn. Usando as desigual-dades (4.1) da pagina 49 obtemos

∑ 9 f ' P :3/ ∑ 9 f ' Q :3/ ∑ 9 f ' Q :3/ ∑ 9 f ' P : BDo teorema das sucessoes enquadradas resulta imediatamente que 4 e o

unico numero real tal que

∑ 9 f ' P :3/ 4 / ∑ 9 f ' P :tendo-se, portanto, §

2

09 x A 1 : dx ( 4

que e, como sabemos, a area do trapezio R.

Exercıcio 4.2.6 Adapte o exemplo anterior para mostrar que§a

0x dx ( a2

2 BNota 4.2.7 Seja f 9 x : integravel em 4 a ' b & e seja R a regiao limitada pelo eixo dosxx, o grafico de f e as rectas x ( a e x ( b. entao ¨ b

a f 9 x : dx e a area de R acimado eixo dos xx menos a area de R abaixo do eixo dos xx.

Exemplo 4.2.8

No caso da figura ao lado ter-se-ia:§b

af 9 x : dx ( A 9 R1 : $ A 9 R2 :�A A 9 R3 :

em que A 9 Ri : representa a area daregiao Ri 9 i ( 1 ' 2 ' 3 : . a b

R1

R2

R3

52 4. Integracao

Nota 4.2.9 As somas de Riemann tambem se definem para funcoes nao neces-sariamente contınuas. Para este efeito, em vez de falar em maximos e mınimos,haveria a necessidade de falar em supremos e ınfimos.

4.3 Propriedades do integral definido

A definicao de integral estende-se naturalmente ao caso em que a ( b (toma-se∆x ( 0) e ao caso em que a h b (toma-se ∆xi . 0).

O resultado seguinte sumariza algumas das mais importantes propriedades dointegral definido.

Teorema 4.3.1 Sejam f e g funcoes integraveis nalgum intervalo contendo ospontos a ' b e c. Entao

1.

§a

af 9 x : dx ( 0;

2.

§b

af 9 x : dx ( $ §

a

bf 9 x : dx;

3. Para A ' B ,8# , tem-se§b

a9 A f 9 x :QA Bg 9 x :O: dx ( A

§b

af 9 x : dx A B

§b

ag 9 x : dx;

4.

§c

af 9 x : dx A §

b

cf 9 x : dx ( §

b

af 9 x : dx;

5. Se a . b e f 9 x :�/ g 9 x : , para x ,�4 a ' b & , entao

§b

af 9 x : dx / §

b

ag 9 x : dx;

6. Se a / b, entaopppp § b

af 9 x : dx

pppp / §b

aT f 9 x : T dx;

Suponhamos agora que f e integravel em 4 $ a ' a & , com a h 0.

7. Se f e uma funcao ımpar, entao

§aL a

f 9 x : dx ( 0.

8. Se f e uma funcao par, entao

§aL a

f 9 x : dx ( 2

§a

0f 9 x : dx.

O resultado apresentado no numero 6 do teorema anterior e uma especie degeneralizacao da desigualdade triangular: T∑xi T7/ ∑ T xi T .

4.4. Teorema Fundamental do Calculo 53

Exemplo 4.3.2§

1L 19 3x A 2 : dx ( 3

§1L 1

x dx A §1L 1

2 dx ( 0 A 4 ( 4. Usamos aqui

o facto de a funcao identidade f 9 x :C( x ser ımpar e de

§1L 1

x dx nao ser mais que

a area de um quadrado de lado 2.

Exemplo 4.3.3§

2L 2

`4 $ x2 dx e a area de um semicırculo de raio 2. Logo§

2L 2

`4 $ x2 dx ( 1

2π x 22 ( 2π B

Podemos naturalmente perguntar-nos se as funcoes com que mais frequente-mente lidamos sao integraveis. A proposicao seguinte diz-nos que a resposta e“sim”.

Proposicao 4.3.4 Se f e uma funcao contınua definida no intervalo 4 a ' b & , entaof e integravel em 4 a ' b & .

A continuidade nao e, no entanto, uma condicao necessaria. A continuidadepor pedacos e suficiente, como se afirma na proposicao seguinte.

Proposicao 4.3.5 Se f : 4 a ' b & ; # e uma funcao limitada e contınua exceptoeventualmente numero finito de pontos, entao f e integravel em 4 a ' b & .Exemplo 4.3.6

Seja

f 9 x :C( �� � %1 $ x2 se 0 / x / 1

2 se 1 / x / 2x $ 2 se 2 / x / 3

O integral

§3

0f 9 x : dx e a area da regiao

destacada na figura ao lado.§3

0f 9 x : dx ( ¨ 1

0

%1 $ x2 dx A�¨ 2

1 2 dx A´¨ 32 9 x $ 2 : dx( 1

4 π � 12 A 2 � 1 A 12 9 1 � 1 :

4.4 Teorema Fundamental do Calculo

Comecamos esta seccao enunciando o Teorema do valor medio para integrais:

54 4. Integracao

Teorema 4.4.1 Se f e uma funcao contınua definida no intervalo 4 a ' b & , entaoexiste um ponto c ,D& a ' b 4 tal que§

b

af 9 x : dx (�9 b $ a : f 9 c : B

Teorema 4.4.2 Seja f uma funcao contınua definida num intervalo I contendo oponto a.

1o Teorema fundamental do calculoSeja F a funcao definida em I por F 9 x :@( §

x

af 9 x : dx. Entao F e derivavel

em I, tendo-se F H 9 x :\( f 9 x : , para todo o x de I (isto e, F e uma primitivade f em I).

2o Teorema fundamental do calculoSe G e uma primitiva de f em I, entao, para qualquer c , I,§

c

af 9 t : dt ( G 9 c : $ G 9 a : B

A prova do 1o teorema fundamental do calculo usa o teorema do valor medio paraintegrais e nao a faremos. O 2o e um corolario simples do 1o:

Como G e uma primitiva de f em I, tem-se, pela Proposicao 4.1.3,

F 9 x :C( §x

af 9 t : dt ( G 9 x :QA C

para alguma constante C.

Para x ( a, tem-se 0 ( §a

af 9 t : dt ( G 9 a :RA C, logo C ( $ G 9 a : . Tomando

agora x ( b, tem-se

§b

af 9 t : dt ( G 9 b :wA C ( G 9 b : $ G 9 a : .

O numero real G 9 b : $ G 9 a : e muitas vezes representado por 4 G 9 x :�& ba ou sim-plesmente por G 9 x :G& ba.

Exemplo 4.4.3 Determine

§a

0x dx. (Confronte com o Exercıcio 4.2.6.)

Solucao. Comox2

2e uma primitiva de x, vem

§a

0x dx (¶µ x2

2 · a

0( a2

2$ 02

2( a2

2.

4.5. Integracao numerica 55

Exemplo 4.4.4 Encontre as derivadas das seguintes funcoes:

(a) F 9 x :C( §3

xe L t2

dt; (b) G 9 x :C( x2

§5xL 4

e L t2dt; (c) H 9 x :C( §

x3

x2e L t2

dt;

Solucao. (a) Tem-se F 9 x :C( $ §x

3e L t2

dt, logo F H 9 x :C( $ e L x2.

(b) G H 9 x :�( 2x

§5xL 4

e L t2dt A x2 d

dx

§5xL 4

e L t2dt ( 2x

§5xL 4

e L t2dt A x2 x e L z 5x { 2 x 5.

(Note-se o uso da regra da cadeia.)

(c) Tem-se H 9 x :C( §0

x2e L t2

dt A §x3

0e L t2

dt. Logo

H H 9 x :C( $ e L z x2 { 2 x 2x A e L z x3 { 2 x 3x2 BExemplo 4.4.5

Determine a area da regiao do plano acima doeixo dos xx e abaixo da curva y ( 3x $ x2. 0 3

Solucao. 3x $ x2 ( x 9 3 $ x :@( 0 ¸ I x ( 0 ou x ( 3.

A area pedida e entao

§3

09 3x $ x2 : dx (¹µ 3

2x2 $ x3

3 · 3

0( 27

2$ 27

3$ 0 A 0 (

27 9 3 $ 2 :6

( 92

.

4.5 Integracao numerica

A seccao anterior torna evidente a utilidade de saber calcular primitivas. Nocapıtulo seguinte veremos algumas tecnicas que nos permitirao em muitos ca-sos encontrar primitivas de funcoes integraveis. Como essa tarefa nem sempree facil (ou mesmo possıvel em termos das funcoes habituais), ha muitas vezesconveniencia em encontrar valores aproximados do integral definido. As somasde Riemann podem ser usadas para determinar aproximacoes, mas ha melhoresmetodos. Vamos ver dois deles: a regra do trapezio e a regra de Simpson.

56 4. Integracao

4.5.1 Regra do trapezio

Suponhamos que f 9 x : econtınua num intervalo 4 a ' b & eque dividimos 4 a ' b & em n su-bintervalos de comprimento h (b $ a

nusando a particao* x0 ' x1 ' BOBOB ' xn 0 B a

hx1 x2 x3 b

y0 y1

y2 y3 xOx�x xn L 2 xn L 1

yn L 2yn L 1

yn

Sejam y0 ( f 9 x0 : , y1 ( f 9 x1 :�' BOBOB ' yn ( f 9 xn : . Tem-se

§x j

x j ~ 1

f 9 x : dx º hy j L 1 A y j

2,

para j ,»* 1 ' BOBOB ' n 0 .

A aproximacao pela regra do trapezio, usando n subintervalos, de

§b

af 9 x : dx

denota-se por Tn e e dada por

Tn ( h � y0 A y1

2A y1 A y2

2ArxOx�x�A yn L 1 A yn

2 � ( h � 12

y0 A y1 ArxOxOx�A yn L 1 A 12

yn � BExemplo 4.5.1 Calcule, usando a regra do trapezio, T4 e T8 para

§2

1

1x

dx.

Solucao. As particoes a considerar sao� 1 ' 54' 32' 74' 2 ¯ e � 1 ' 9

8' 54' 11

8' 32' 13

8' 74' 15

8' 2 ¯¼B

Tem-se entao

T4 ( 14� 1

2� 1 A 4

5A 2

3A 4

7A 1

2� 1

2 � ( 0 ' 69702381 BOB�BT8 ( 1

8� 4T4 A 8

9A 8

11A 8

13A 8

15 � ( 0 ' 69412185 B�BOBE possıvel majorar os erros cometidos:

Proposicao 4.5.2 Suponhamos que f e de classe C2 (isto e, tem segunda derivadacontınua) em 4 a ' b & e satisfaz, em 4 a ' b & , T f H�Hu9 x : T / k para algum k ,8# . Entaopppp § b

af 9 x : dx $ Tn

pppp / k 9 b $ a : 3

12n2 B

4.5. Integracao numerica 57

Exercıcio 4.5.3 Obtenha majorantes para os erros cometidos no exemplo anterior

ao calcular

§2

1

dxx

usando a regra do trapezio.

4.5.2 Regra de Simpson

A ideia subjacente a regra de Simpson esemelhante a da regra do trapezio, mas emvez de usar segmentos de recta para fazeraproximacoes usam-se arcos de parabola.

p $ h p p A h

Tambem aqui se considera uma particao, mas esta deve ter um numero par desubintervalos, havendo tambem a necessidade de calcular o valor da funcao nospontos da particao. Obter uma expressao para as aproximacoes dadas pela regra deSimpson e um pouco mais difıcil que para o caso da regra do trapezio e remetemospara a literatura.

A aproximacao dada pela regra de Simpson, usando um numero par n de su-

bintervalos, de

§2

1f 9 x : dx denota-se por Sn e, usando a notacao usada antes para

a regra do trapezio, e dada por

Sn ( h3 9 y0 A 4y1 A 2y2 A 4y3 A 2y4 ArxOxOx�A 2yn L 2 A 4yn L 1 A yn :( h3 � yextremos A 2ypares A 4yımpares �

Exemplo 4.5.4 Calcule, usando a regra de Simpson, S4 e S8 para

§2

1

1x

dx.

Solucao. Usamos aqui as particoes de 4 0 ' 2 & ja consideradas no Exemplo 4.5.1.Tem--se:

S4 ( 112

� 1 A 4 x 45A 2 x 2

3A 4 x 4

7A 1

2 � ( 0 ' 69325397 BOB�BS8 ( 1

24� 1 A 1

2A 4 � 8

9A 8

11A 8

13A 8

15 � A 2 � 45A 2

3A 4

7 �½� ( 0 ' 69315453 B�BOB

58 4. Integracao

Atendendo a que o valor dado por uma maquina de calcular para ln2 ( §2

1

1x

dx

e 0 ' 69314718 BOBOB , vemos que a regra de Simpson nos da neste caso uma melhoraproximacao que a regra do trapezio.

Tambem e possıvel obter majorantes para os erros cometidos quando se usa aregra de Simpson. Remetemos para a literatura para a demonstracao da proposicaoseguinte.

Proposicao 4.5.5 Suponhamos que f e de classe C4 em 4 a ' b & e satisfaz, em 4 a ' b & ,T f z 4 { 9 x :�T / k para algum k ,8# . Entaopppp § b

af 9 x : dx $ Sn

pppp / k 9 b $ a : 5

180n2 B4.6 Integrais improprios

Foram ate agora considerados integrais definidos do tipo

§b

af 9 x : dx em que

f 9 x : e uma funcao definida no intervalo fechado 4 a ' b & . Generalizamos agorao conceito de integral definido, permitindo que se tenha alguma das seguintessituacoes:

(1) a ( $ ∞, b (}A ∞ ou ambos;

(2) f ilimitada quando x se aproxima de a ou de b ou ambos.

Integrais satisfazendo 9 1 : ou (2) dizem-se improprios. Damos a seguir algumasdefinicoes envolvendo integrais improprios.

Se f esta definida em 4 a 'GA ∞ 4 e e integravel em qualquer intervalo fechado daforma 4 a ' R & , define-se § l ∞

af 9 x : dx ( lim

R a l ∞

§R

af 9 x : dx B

Analogamente, define-se§bL ∞

f 9 x : dx ( limL a L ∞

§b

Lf 9 x : dx B

Se f e integravel em qualquer intervalo da forma 4 a A h ' b & , para qualquer h, e e(eventualmente) ilimitada perto de a, define-se§

b

af 9 x : dx ( lim

c a a | § b

cf 9 x : dx B

4.6. Integrais improprios 59

Tem-se uma definicao analoga para o caso em que f e ilimitada perto de b.Em qualquer destes casos, se o limite existe (e e finito), dizemos que o integral

improprio converge. Se o limite nao existe, dizemos que o integral diverge. Asugestiva terminologia “diverge para A ∞” ou “diverge para $ ∞” tambem e porvezes usada.

A figura ao lado representando partedos graficos das funcoes

y ( 1x' y ( 1

x2 e y ( 1%x

serve de apoio aos exemplos que se se-guem.

y ( 1x

y ( 1x2

y ( 1[x

Exemplo 4.6.1 Encontre a area A da regiao abaixo da curva y ( 1x2 , acima do

eixo dos xx e a direita de 1.

Solucao. Pretendemos determinar A ( § l ∞

1

dxx2 . Vem entao

A ( limR a l ∞

§R

1

dxx2 ( lim

R a l ∞µ $ 1

x · R

1( lim

R a l ∞� $ 1

RA 1 � ( 1 B

Exemplo 4.6.2 Analogo ao exemplo anterior, agora considerando a curva y ( 1x

.

Solucao. Agora nao temos uma area finita, pois

A ( limR a l ∞

§R

1

dxx

( limR a l ∞

4 lnx & R1 ( limR a l ∞

lnR (}A ∞ BExemplo 4.6.3 Mais um exemplo analogo, considerando agora y ( 1%

x, entre

x ( 0 e x ( 1.

Solucao. §1

0

dx%x( lim

c a 0 | § 1

c

dx%x( lim

c a 0 | ° 2x12 ± 1

c( lim

c a 0 | 9 2 $ 2%

c :@( 2 B

60 4. Integracao

Exercıcio 4.6.4 Mostre que

(i)

§1

0

dxx2 diverge;

(ii)

§1

0

dxx

diverge;

(iii)

§ l ∞

1

dx%x

diverge.

Proposicao 4.6.5 Sejam $ ∞ / a / b /©A ∞ e sejam f e g funcoes integraveisno intervalo & a ' b 4 , tais que 0 / f 9 x :�/ g 9 x : , qualquer que seja x ,D& a ' b 4 . Se o

integral

§b

ag 9 x : dx converge, o mesmo acontece com

§b

af 9 x : dx, tendo-se ainda

0 / §b

af 9 x : dx / §

b

ag 9 x : dx.

Equivalentemente, se

§b

af 9 x : dx diverge (para A ∞, ja que f e nao negativa),

o mesmo acontece com

§b

ag 9 x : dx.

Exercıcio 4.6.6 Escreva um enunciado analogo ao da proposicao anterior parafuncoes nao positivas.

Exemplo 4.6.7 Mostre que

§ l ∞

0

dx%x A x4

dx converge.

Solucao. Trata-se de um integral improprio de dois tipos:§ l ∞

0

dx%x A x4

dx ( §1

0

dx%x A x4

dx A § l ∞

1

dx%x A x4

dx BEm & 0 ' 1 & tem-se

%x A x4 h x, logo§

1

0

dx%x A x4

dx / §1

0

dx%x

dx ( 2 BEm 4 1 'fA ∞ 4 tem-se

%x A x4 h %

x4 ( x2, logo§ l ∞

1

dx%x A x4

dx / § l ∞

1

dxx2 dx ( 1 B

Tem-se entao

§ l ∞

0

dx%x A x4

dx / 3; em particular, o integral dado converge.

Capıtulo 5

Tecnicas de primitivacao

Devido ao Teorema Fundamental do Calculo, saber calcular primitivas e extre-mamente importante. Neste capıtulo veremos algumas tecnicas que nos permitemcalcular primitivas de funcoes dadas por expressoes razoavelmente complicadas.

5.1 Primitivacao por substituicao

O metodo de substituicao e talvez a tecnica mais importante para calcularprimitivas que nao conseguimos determinar por inspeccao directa. Trata-se daversao integral da regra da cadeia:§

f H 9 g 9 x :O:�x g H 9 x : dx ( f 9 g 9 x :O:k9�A C :O formalismo seguinte pode ajudar a memorizar:

Seja u ( g 9 x : . Entaodudx

( g H 9 x : , ou, escrito na forma diferencial, du (g H�9 x : dx. Logo§

f H 9 g 9 x :O:jx g H 9 x : dx ( §f H 9 u : du ( f 9 u :�9�A C :D( f 9 g 9 x :�:k9�A C :

Exemplo 5.1.1 Calcule

(a)

§x

x2 A 1dx; (b)

§sen 9 3lnx :

xdx.

Solucao. (a) Seja u ( x2 A 1. Vem du ( 2x dx, donde x dx ( 12 du. Entao:§

xx2 A 1

dx ( 12

§duu

( 12

ln T u T�( 12

ln 9 x2 A 1 :C( ln`

x2 A 1 B���������� � ��� � ����� ��� �!� �� �"������� 61

62 5. Tecnicas de primitivacao

(b) Usando a substituicao u ( 3lnx, vem du ( 3x dx. Entao:§

sen 9 3lnx :x

dx ( 13

§senu du ( $ 1

3cosu ( $ 1

3cos 9 3lnx : B

Exercıcio 5.1.2 Mostre que:

1.

§dx%

a2 $ x2( arcsen

xa

(a h 0);

2.

§dx

a2 A x2 ( 1a

arctgxa

(a F( 0).

Sugestao: use a substituicao u ( xa .

As formulas dadas pelo exercıcio anterior serao utilizadas muitas vezes e de-vem ser memorizadas.

Normalmente a substituicao u ( g 9 x : funciona bem se g H 9 x : aparece comofactor da funcao integranda. Em geral, substituicoes forcadas nao levam a ladonenhum.

E por vezes conveniente fazer algumas manipulacoes algebricas antes de fazerqualquer substituicao, como o exemplo seguinte ilustra.

Exemplo 5.1.3 Calcule

§dx

x2 A 4x A 5.

Solucao. Comecamos por fazer uma pequena manipulacao algebrica no denomi-nador: §

dxx2 A 4x A 5

( §dx9 x A 2 : 2 A 1 B

Usando agora a substituicao u ( x A 2, du ( dx, vem§du

u2 A 1( arctgu ( arctg 9 x A 2 : B

Por vezes e conveniente fazer substituicoes no integral definido. Neste caso enecessario ter em conta que os limites de integracao podem precisar de ser altera-dos, como se afirma na seguinte proposicao.

5.1. Primitivacao por substituicao 63

Proposicao 5.1.4 Suponhamos que g e derivavel no intervalo 4 a ' b & e que f econtınua em g 9O4 a ' b &2: . Entao§

b

af 9 g 9 x :O:jx g H 9 x : dx ( §

g z b {g z a { f 9 u : du B

Exemplo 5.1.5 Calcule

§8

0

cos%

x A 1%x A 1

dx.

Solucao. 1o processo:

Fazendo u ( %x A 1, vem du ( dx

2[

x l 1. Se x ( 0, vem u ( 1 e se x ( 8, vem

u ( 3. Logo§8

0

cos%

x A 1%x A 1

dx ( 2

§3

1cosu du (¦4 2senu & 31 ( 2sen3 $ 2sen1 B

2o processo

Comecamos por calcular a primitiva geral (usando a mesma substituicao).Tem-se: §

cos%

x A 1%x A 1

dx ( 2

§cosu du ( 2senu ( 2sen

%x A 1 B

Assim, §8

0

cos%

x A 1%x A 1

dx ( ° 2sen%

x A 1 ± 8

0( 2sen3 $ 2sen1 B

5.1.1 Integrais trigonometricosO modo de calcular um integral da forma§

senm xcosn x dx

depende da paridade de m e n.

Se m ou n e ımpar, deve usar-se a formula fundamental da trigonometria e umasubstituicao adequada, como e ilustrado pelo exemplo seguinte.

Exemplo 5.1.6 Calcule

§sen3 xcos8 x dx.

64 5. Tecnicas de primitivacao

Solucao. Tem-se:§sen3 xcos8 x dx ( § 9 1 $ cos2 x :�x cos8 x x senx dx B

Fazendo a substituicao u ( cosx, du ( $ senx dx, vem:$ § 9 1 $ u2 : u8 du ( § 9 u10 $ u8 : du ( u11

11$ u9

9( cos11 x

11$ cos9 x

9 BSe m e n forem ambos pares, e conveniente usar alguma das formulas

cos2 x ( 129 1 A cos2x : ou sen2 x ( 1

29 1 $ cos2x :�'

para reduzir os expoentes.

Exemplo 5.1.7 Calcule:

(a)

§cos2 x dx; (b) ¨ sen4 x dx.

Solucao. (a)§cos2 x dx ( 1

2

§ 9 1 A cos2x : dx ( x2A 1

4sen2x ( 1

29 x A senx cosx : B

(b)§sen4 x dx ( 1

4

§ 9 1 $ cos2x : 2 dx ( 14

§ 9 1 $ 2cos2x A cos2 2x : dx( x4$ 1

4sen2x A 1

8

§ 9 1 A cos4x : dx ( x4$ 1

4sen2x A 1

32sen4x B

5.2 Primitivacao por partes

Assim como o metodo de substituicao pode de algum modo ser visto como“inverso” da regra da cadeia, a primitivacao por partes pode ser encarada como“inversa” da regra da derivada do produto.

Suponhamos que u 9 x : e v 9 x : sao funcoes derivaveis. Tem-se

ddx

9 u 9 x :jx v 9 x :�:�( u 9 x :�x dvdx

A v 9 x :jx dudx

5.2. Primitivacao por partes 65

Integrando, obtemos a formula da primitivacao por partes:§u 9 x : dv

dxdx ( u 9 x : v 9 x : $ §

v 9 x : dudx

dx

ou, numa escrita simplificada muito conveniente para facil memorizacao,§uv H ( uv $ §

vu H BO que se faz neste metodo e considerar a funcao integranda como produto de

outras duas, u e v H , em que v H e uma funcao facil de primitivar e ¨ vu H e (em geral)mais facil de calcular que o integral dado. Os exemplos seguintes sao ilustrativos.

Exemplo 5.2.1 Calcule

§xe2x dx.

Solucao. Sejam u ( x, v H¾( e2x. Entao u H¾( 1 e v ( 12 e2x. Logo§

xe2x dx ( x x 12

e2x $ §12

e2x dx ( xe2x

2$ 1

4e2x B

Exemplo 5.2.2 Calcule

§lnx dx

Solucao. Considerando u ( lnx e v H ( 1, tem-se: u H ( 1x e v ( x. Entao:§

1 x lnx dx ( x lnx $ §x x 1

xdx ( x lnx $ §

dx ( x lnx $ x BExemplo 5.2.3 Calcule ¨ ex senx dx.

Solucao. Fazendo u ( ex e v H ( senx, tem-se: u H ( ex e v ( $ cosx. Entao:§ex senx dx ( $ cosx ex A §

cosxex dx BEste novo integral e identico ao primeiro. Integrando novamente por partes,

considerando u ( ex e v H ( cosx, tem-se u H ( ex e v ( senx, donde vem:§ex senx dx ( $ cosxex A senxex $ §

ex senx dx BEste ultimo integral e igual ao inicial. Considerando esta igualdade como uma

equacao cuja incognita e o integral a calcular, obtem-se:§ex senx dx ( 1

29 $ ex cosx A ex senx : B

66 5. Tecnicas de primitivacao

5.3 Primitivas de funcoes racionais

Para primitivar uma funcao racional (quando nao conseguimos encontrar umaprimitiva por observacao directa), comecamos por decompo-la em fraccoes parci-ais.

Proposicao 5.3.1 Uma funcao racional f z x {g z x { pode ser escrita como uma soma

de funcoes racionais cujos denominadores envolvem potencias de polinomios degrau nao superior a 2.

Vamos concretizar: se f 9 x : e g 9 x : sao polinomios e o grau de f 9 x : e menorque o grau de g 9 x : , entao podemos escrever

f 9 x :g 9 x : ( F1 A F2 ArxOxOx Fr

onde cada Fk (1 / k / r) tem uma das formas

A9 ax A b : n ouAx A B9 ax2 A bx A c : n '

para numeros reais A e B, n inteiro nao negativo e ax2 A bx A c irredutıvel (isto e,nao tem raızes reais, ou seja b2 $ 4ac . 0). Os Fk dizem-se fraccoes parciais.

Vamos em seguida indicar algumas regras para decompor f z x {g z x { em fraccoes

parciais.

Nota 5.3.2 Podemos supor que o grau de f 9 x : e menor que o de g 9 x : . Se assimnao for, utilizamos o algoritmo da divisao de polinomios para escrever f 9 x :�(g 9 x :Qx q 9 x :�A r 9 x : , onde o grau do resto r 9 x : e inferior ao do divisor g 9 x : e obtemosf z x {g z x { ( q 9 x :wA r z x {

g z x { , estando r z x {g z x { nas condicoes pretendidas.

1. Exprimimos g 9 x : como produto de factores da forma ax A b ou ax2 A bx Ac em que b2 $ 4ac . 0. Agrupando os factores repetidos, obtemos umaexpressao de g 9 x : como produto de factores da forma 9 ax A b : n e 9 ax2 Abx A c : n.

2. (i) A contribuicao de cada factor da forma 9 ax A b : n, com n E 1, para adecomposicao em fraccoes parciais e uma soma da forma

A1

ax A bA A29 ax A b : 2 ArxOxOx�A An9 ax A b : n

5.3. Primitivas de funcoes racionais 67

onde cada An e um numero real.

(ii) Por cada factor da forma 9 ax2 A bx A c : n com n E 1 e ax2 A bx A cirredutıvel, a decomposicao contem uma soma de fraccoes parciais da forma

A1x A B1

ax2 A bx A cA A2x A B29 ax2 A bx A c : 2 A"x�xOx Anx A Bn9 ax2 A bx A c : n

onde os Ak e os Bk sao numeros reais.

Exemplo 5.3.3 Sabendo que 12 e raiz do polinomio 2x3 $ x2 A 8x $ 4, calcule

I ( §2x4 $ x3 A 9x2 $ 5x $ 21

2x3 $ x2 A 8x $ 4dx B

Solucao. Como o grau do numerador e maior que o do denominador, comecamospor dividir.

2x4 $ x3 A 9x2 $ 5x $ 21$ 2x4 A x3 $ 8x2 A 4xx2 $ x $ 21

2x3 $ x2 A 8x $ 4x

Obtemos o quociente x e o resto x2 $ x $ 21, logo

I ( § � x A x2 $ x $ 212x3 $ x2 A 8x $ 4 � dx ( §

x dx A §x2 $ x $ 21

2x3 $ x2 A 8x $ 4dx B

Agora vamos factorizar o denominador. Para isso usamos o facto de conheceruma das suas raızes e aplicamos a regra de Ruffini.

2 $ 1 8 $ 412 1 0 4

2 0 8 0

Obtemos entao: 2x3 $ x2 A 8x $ 4 (}9 x $ 12 :�9 2x2 A 8 :j(}9 2x $ 1 :�9 x2 A 4 : . Como

x2 A 4 e irredutıvel, tem-se:

x2 $ x $ 212x3 $ x2 A 8x $ 4

( Ax A Bx2 A 4

A C2x $ 1

'donde

x2 $ x $ 21 (¦9 Ax A B :�9 2x $ 1 :wA C 9 x2 A 4 : B

68 5. Tecnicas de primitivacao

Agora devemos determinar A, B e C. Desenvolvendo o membro da direita,obtemos

x2 $ x $ 21 (+9 2A A C : x2 A�9 $ A A 2B : x A�9 $ B A 4C : BUtilizando agora o facto de dois polinomios serem iguais se e so se os co-

eficientes dos termos dos mesmos graus forem iguais (metodo dos coeficientesindeterminados), temos���� 2A A C ( 1$ A A 2B ( $ 1$ B A 4C ( $ 21

M ���� A ( 3B ( 1C ( $ 5

Temos entao:

I ( §x dx A §

3xx2 A 4

dx A §1

x2 A 4dx $ §

52x $ 1

dx( x2

2A 3

2ln T x2 A 4 T�A 1

2arctg

x2$ 5

2ln T 2x $ 1 T

Exercıcio 5.3.4 Calcule

I ( §3x3 $ 18x2 A 29x $ 49 x A 1 :�9 x $ 2 : 3 dx B

Solucao. I ( 2ln T x A 1 T�A ln T x $ 2 TfA 3x $ 2

$ 19 x $ 2 : 2 BApresentamos a seguir uma resolucao do exercıcio onde apenas faltam peque-

nos detalhes. Tem-se

3x3 $ 18x2 A 29x $ 49 x A 1 :�9 x $ 2 : 3 ( Ax A 1

A Bx $ 2

A C9 x $ 2 : 2 A D9 x $ 2 : 3

Observamos que a melhor estrategia para calcular os coeficientes nem sempree resolver um sistema. Tem-se

3x3 $ 18x2 A 29x $ 4 ( A 9 x $ 2 : 3 A B 9 x $ 2 : 2 9 x A 1 :JA C 9 x $ 2 :�9 x A 1 :JA D 9 x A 1 : BFazendo x ( 2, obtemos 24 $ 72 A 58 $ 4 ( 3D, donde 6 ( 3D e D ( 2.Fazendo x ( $ 1, obtemos $ 54 ( $ 27A, donde A ( 2.O coeficiente de x3 no segundo membro e A A B, logo A A B ( 3, donde B ( 1.Comparando agora os termos constantes (que se obtem fazendo x ( 0), temos$ 4 ( $ 8A A 4B $ 2C A D, donde $ 4 ( $ 16 A 4 $ 2C A 2, logo C ( $ 3.

Capıtulo 6

Aplicacoes dos integrais

Neste capıtulo apresentamos algumas aplicacoes dos integrais. Existem mui-tas outras, como se pode constatar consultando a bibliografia.

6.1 Areas de regioes planas

O facto de os integrais simples serem adequados para calcular a area de certasregioes planas foi precisamente o que usamos como motivacao para introduzir oconceito de integral. Assim, nao e surpreendente que a primeira seccao de umcapıtulo dedicado as aplicacoes dos integrais seja sobre o calculo de areas.

Suponhamos que pretendemos cal-cular a area da regiao limitada pelosgraficos de duas funcoes (integraveis)y ( f 9 x : e y ( g 9 x : e pela rectas x ( ae x ( b. Essa area e a diferenca entre as

areas

§b

af 9 x : dx e

§b

ag 9 x : dx, ou seja,

a area que pretendemos calcular e dadapor: §

b

a9 f 9 x : $ g 9 x :O: dx

a b

y ( f 9 x :y ( g 9 x :

Exemplo 6.1.1 Determine a area da regiao limitada pelos graficos de y ( $ x2 ey ( %

x, entre x ( 0 e x ( 4.

Solucao. A area que pretendemos determinar e dada por:§4

09 % x $ 9 $ x2 :O: dx (¿µ 2

3x

32 A x3

3 · 4

0( 16

3A 64

3( 80

3���������� � ��� � ����� ��� �!� �� �"������� 69

70 6. Aplicacoes dos integrais

Exemplo 6.1.2 Determine a area da regiao limitada pelos graficos de y A x2 ( 6e y A 2x $ 3 ( 0.

Solucao.

Na figura ve-se um esboco da regiaoem causa. A sua area e dada pelo integralda diferenca das funcoes y ( 6 $ x2 ey ( $ 2x A 3, entre as abcissas dos doispontos de interseccao dos dois graficos.Para determinar os limites de integracao,resolvemos a equacao 6 $ x2 ( $ 2x A 3,obtendo as solucoes $ 1 e 3.

$ 13

Assim, a area pretendida e:§3L 19 6 $ x2 A 2x $ 3 : dx ( §

3L 19 3 $ x2 A 2x : dx( µ 3x $ x3

3A x2 · 3L 1( 9 9 $ 9 A 9 : $ � $ 3 A 1

3A 1 � ( 32

3 B6.2 Volumes de solidos de revolucao

Os integrais simples podem tambem ser usados para calcular volumes de cer-tos solidos muito especiais: os solidos de revolucao.

Os solidos de revolucao sao geradosrodando uma regiao plana em torno deum eixo.

6.2. Volumes de solidos de revolucao 71

Sabemos calcular o volume de um cilin-dro (produto da area da base pela altura).

A

h

A ( πr2

V ( Ah

r

Esse conhecimento vai-nos permitir calcular volumes de solidos de revolucao.

Para tal, dividimos o solido em “fatias”muito finas, as quais se aproximam decilindros de altura muito pequena e so-mamos os volumes dessas fatias.

xi xi l 1

Seja R uma regiao limitada pelo grafico de uma funcao contınua y ( f 9 x : epelas rectas y ( 0, x ( a e x ( b. Rodando R em torno do eixo dos xx, obtemos umsolido de revolucao. A area de cada seccao do solido perpendicular ao eixo dosxx no ponto x e π 9 f 9 x :O: 2 (pois essa seccao e um cırculo de raio f 9 x : ). Assim, seconsiderarmos uma particao P (?* x0 ' x1 ' x2 ' B�BOB ' xn 0 do intervalo 4 a ' b & e usarmos anotacao ∆ xi ( xi $ xi L 1, temos que

n

∑i � 1

π 9 f 9 x :O: 2 ∆ xi

e uma aproximacao do volume do solido. Fazendo n tender para A ∞, com ∆ xi ;0, obtemos

V ( π§

b

a9 f 9 x :O: 2 dx

que se diz o volume do solido de revolucao gerado pela rotacao da regiao R emtorno do eixo dos xx.

Exemplo 6.2.1 Determine o volume da esfera de raio a.

Solucao. A esfera pode ser gerada rodando o semicırculo 0 / y / %a2 $ x2, $ a /

x / a, em torno do eixo dos xx. Entao:

72 6. Aplicacoes dos integrais

V ( π§

aL a � ` a2 $ x2 � 2dx ( 2π

§a

09 a2 $ x2 : dx( 2π ° a2x $ x3

3 ± a

0( 2π 9 a3 $ a3

3 :@( 43 π a3 unidades de volume.

6.3 Comprimento do grafico de uma funcao

Seja f uma funcao definida num intervalo 4 a ' b & onde tem derivada f H contınua(isto e, f e de classe C1 em 4 a ' b & ).

Seja C o grafico de f .Uma particao de 4 a ' b & for-nece uma aproximacao poli-gonal de C. De facto, paraa particao * x0 ' x1 ' BOBOB ' xn 0 , esendo Pi o ponto 9 xi ' f 9 xi :O: ,(0 / i / n), P0 P1 xOx�x Pn e umaaproximacao poligonal de C.

a ( x0 x1 x2 x3 b ( xnxn L 1xn L 2BOBOBP0

P1

P2 P3

Pn L 2

Pn L 1

Pn

O comprimento da linha poligonal P0 P1 xOxOx Pn e

Ln ( n

∑i � 1

TPi L 1Pi T�( n

∑i � 1 À 9 xi $ xi L 1 : 2 AÁ9 f 9 xi : $ f 9 xi L 1 :O: 2

( n

∑i � 1

1 A � f 9 xi : $ f 9 xi L 1 :xi $ xi L 1 � 2 x ∆xi

onde ∆xi ( xi $ xi L 1.Pelo teorema do valor medio, existe um numero ci ,�4 xi L 1 ' xi & tal que

f 9 xi : $ f 9 xi L 1 :xi $ xi L 1

( f H 9 ci :�'logo

Ln ( n

∑i � 1 À 1 A�9 f H 9 ci :O: 2 ∆xi B

6.4. Area de uma superfıcie de revolucao 73

Assim, Ln e como uma soma de Riemann para

§b

a À 1 A�9 f H 9 x :O: 2 dx.

E entao natural definir o comprimento da curva y ( f 9 x : ( f de classe C1) dex ( a a x ( b como sendo

s ( §b

a À 1 A�9 f H 9 x :�: 2 dx

Exemplo 6.3.1 Determine o comprimento da curva y ( x23 de x ( 1 a x ( 8.

Solucao. A derivada y H ( 23 x L 1

3 e contınua em 4 1 ' 8 & . Tem-se entao

s ( §8

1 Â 1 A 49

x L 23 dx ( §

8

1À 9 x

23 A 4

3 x13

dx BFazendo a substituicao u ( 9 x

23 A 4, du ( 6 x L 1

3 dx, vem:

s ( 118

§40

13u

12 du ( 1

27° u 3

2 ± 40

13( 40

32 $ 13

32

27unidades.

Exercıcio 6.3.2 Determine o comprimento da curva y ( x4 A 132x2 de x ( 1 a

x ( 2.

Solucao. 15 A 3128

6.4 Area de uma superfıcie de revolucao

Mostra-se que se f Hu9 x : e contınua em 4 a ' b & e a curva y ( f 9 x : e rodada emtorno do eixo dos xx, entao a area da superfıcie de revolucao assim gerada e

A ( 2π§

b

aT f 9 x :�T À 1 A�9 f H 9 x :O: 2 dx B

Exemplo 6.4.1 Determine a area da superfıcie de uma esfera de raio a.

Solucao. A esfera pode ser gerada rodando a semicircunferencia y ( %a2 $ x2

( $ a / x / a) em torno do eixo dos xx. Tem-se

y H ( $ x%a2 $ x2

( $ xy B

74 6. Aplicacoes dos integrais

A ( 2π§

aL ay 1 A � x

y � 2

dx ( 4π§

a

0

`y2 A x2 dx ( 4π

§a

0

%a2 dx( 4π 4 ax & a0 ( 4π a2 unidades de area.

Capıtulo 7

Sucessoes e series numericas

Este capıtulo comeca com uma breve revisao sobre sucessoes de numerosreais. Sao depois introduzidas as series e estudados diversos criterios de con-vergencia.

7.1 Sucessoes de numeros reais

Uma sucessao e uma funcao de à (ou à 0 ) em # . Em vez de se escrever

f : Ã $<; #n = $>; an

'costuma usar-se a notacao 9 an : n Ä 1 ou simplesmente 9 an : n para denotar a sucessaode termo geral an.

Os modos mais comuns de definir uma sucessao sao: dar o seu termo geral oudefini-la por recorrencia. A sucessao do exemplo seguinte e dada pelo seu termogeral.

Exemplo 7.1.1 an (+9 $ 1 : n A 1n .

A seguir temos uma sucessao definida por recorrencia: sao dados os primei-ros termos e uma formula que permite calcular cada termo a partir dos termosanteriores. Trata-se da famosa sucessao de Fibonacci.

Exemplo 7.1.2 a1 ( 1; a2 ( 1; an l 2 ( an A an l 1.

A sucessao 9 bn : n diz-se uma subsucessao de 9 an : n se bn ( aϕ z n { , para algumafuncao ϕ : à ; à estritamente crescente.���������� � ��� � ����� ��� �!� �� �"������� 75

76 7. Sucessoes e series numericas

Exemplo 7.1.3 9 bn : n (�9 a2n : n e 9 cn : n (+9 a2n l 1 : n sao subsucessoes de 9 an : n.No caso da sucessao an (+9 $ 1 : n A 1

n do exemplo anterior, tem-se:

bn ( a2n ( 1 A 12n

;

cn ( a2n l 1 ( $ 1 A 12n A 1

Exemplo 7.1.4 Mostre que a sucessao 9 an : n de termo geral

an ( nn2 A 1

e decrescente.

Solucao. Como an ( f 9 n : onde f 9 x :�( xx2 l 1 e f 9 x : e decrescente em 4 1 'GA ∞ 4

(note-se que f H�9 x :D( 1 L x2

1 l x2 / 0 ' g x E 1 : , tem-se que a sucessao dada e decrescente.[Alternativamente, podiamos mostrar que, para qualquer n E 1, se tem an E

an l 1.]

Dizemos que 9 an : n converge para S½,Å# e escrevemos limn a l ∞

an (}S ou sim-

plesmente liman (ÁS segε h 0 i N ,¥Ã : n E N I T an $ SQT7. ε B

Quando nao houver duvidas sobre qual a variavel a considerar, preferiremos anotacao liman (�S . A notacao an ; S tambem e por vezes usada.

Se uma sucessao nao converge, dizemos que diverge. Por vezes e convenientedizer que diverge para A ∞ ou $ ∞. Define-se, por exemplo:

an ; A ∞ M gR h 0 i N ,8Ã : n E N I an h R

Dizemos que a sucessao 9 an : n e de Cauchy segε h 0 i N ,¥Ã : n ' m E N I T an $ am T . ε

O resultado seguinte pode provar-se ser equivalente a propriedade a que cha-mamos completude dos numeros reais.

Proposicao 7.1.5 Em # uma sucessao e de Cauchy se e so se for convergente.

A proposicao seguinte resume alguns resultados simples envolvendo sucessoes.

7.2. Series 77

Proposicao 7.1.6 1. Se 9 an : n e 9 bn : n convergem para S 1 e S 2, respectivamente,entao:

(i) 9 an A bn : n converge para S 1 AÅS 2;

(ii) 9 an bn : n converge para S 1 S 2;

(iii) se S 2 F( 0, � anbn � n

converge para Æ 1Æ 2.

2. Se limx a l ∞

f 9 x :\("S�,8# e, para n ,8Ã , an ( f 9 n : , entao an ; S .3. Se 9 an : n e convergente, entao 9 an : n e limitada.

4. Se 9 an : n e convergente para S , entao toda a subsucessao de 9 an : n convergepara S . [Caso particular importante: Se 9 an : n e convergente para S , entao,para qualquer n0 ,¥Ã , 9 an l n0 : n converge para S .]

5. 9�T an TÇ: n ; 0 M 9 an : n ; 0.

6. Qualquer sucessao real 9 an : n majorada (respectivamente minorada) e cres-cente (respectivamente decrescente) e convergente. A convergencia da-separa o supremo (respectivamente ınfimo) do conjunto dos termos da su-cessao.

Exercıcio 7.1.7 Calcule lim n%

n.[Sugestao: comparare com o exercıcio 2.8.11.]

Exercıcio 7.1.8 Calcule:

1. lim n2n

2. lim xn

n (x h 1).

Solucao. 0 e A ∞, respectivamente. [Pode usar-se 9 2 : da proposicao anterior e aregra de L’Hopital.]

7.2 Series

Uma serie e uma soma formal de uma infinidade de termos

∞

∑n � 1

an ( a1 A a2 ArxOx�x

78 7. Sucessoes e series numericas

A sucessao 9 an : n diz-se a sucessao geradora da serie. Define-se a sucessaodas somas parciais 9 Sn : n por:

S1 ( a1S2 ( a1 A a2S3 ( a1 A a2 A a3BOBOBSn ( n

∑k � 1

ak

Dizemos que uma serie∞

∑n � 1

an converge para s ,¢# e escrevemos∞

∑n � 1

an ( s

se se tiver limSn ( s.Assim, uma serie converge se e so se a sucessao das suas somas parciais con-

vergir. O numero para o qual converge esta sucessao diz-se a soma da serie. Se asucessao das somas parciais divergir, dizemos que a serie diverge.

E claro que em vez de termos os ındices a comecar em 1, podemos te-los acomecar em qualquer outro numero natural. Para n0 ,XÃ , define-se

∞

∑n � n0

an ( an0 A an0 l 1 ArxOxOxProposicao 7.2.1 Sejam n0 ,XÃ e 9 an : n uma sucessao. Tem-se:

∞

∑n � 1

an converge M ∞

∑n � n0

an converge.

Proposicao 7.2.2 Se∞

∑n � 1

an e∞

∑n � 1

bn convergem, entao:

(i)∞

∑n � 1

9 an A bn : converge e∞

∑n � 1

9 an A bn :C( ∞

∑n � 1

an A ∞

∑n � 1

bn.

(ii) Para qualquer c ,¥# ,∞

∑n � 1

can converge e tem-se∞

∑n � 1

can ( c∞

∑n � 1

an.

Para r ,8# , a serie∞

∑n � 1

rn diz-se a serie geometrica de razao r.

Exemplo 7.2.3 Se T r TJ. 1, entao a serie geometrica de razao r converge parar

1 $ r. De facto:

7.2. Series 79

Seja 9 Sn : n a sucessao das somas parciais. Tem-se

Sn ( r A r2 A x�xOx­A rn L 1 A rn

r Sn ( r2 A r3 A xOx�x A rn A rn l 1

donde 9 1 $ r : Sn ( r $ rn l 1, ou seja, Sn ( r L rn | 1

1 L r .

Como T r T . 1, tem-se limn a l ∞

rn l 1 ( 0, logo 9 Sn : n converge para r1 L r .

Exemplo 7.2.4 Mostre que serie∞

∑n � 1

1n 9 n A 1 : converge e tem soma 1.

Solucao. A sucessao das somas parciais tem termo geral

Sn ( n

∑k � 1

1k 9 k A 1 : ( n

∑k � 1

9 1k$ 1

k A 1:C( 1 $ 1

n A 1 BTem-se entao lim

n a l ∞Sn ( 1, logo

∞

∑n � 1

1n 9 n A 1 : ( 1

Proposicao 7.2.5 Se a serie∞

∑n � 1

an converge, entao limn a l ∞

an ( 0.

Demonstracao. Seja s ( limn a l ∞

Sn. Entao tambem limn a l ∞

Sn l 1 ( s, donde

limn a l ∞

an l 1 ( limn a l ∞

9 Sn l 1 $ Sn :C( s $ s ( 0 BLogo 9 an : n converge para 0.

Exemplo 7.2.6 Se T r T)E 1, a serie geometrica de razao r nao converge, poislim

n a l ∞rn F( 0.

O recıproco da proposicao anterior nao e valido, como mostra o exemplo se-guinte:

Exemplo 7.2.7 A serie harmonica∞

∑n � 1

1n

diverge (apesar de limn a l ∞

1n( 0).

1 A 12 A È 1

3 A 14 É A È 1

5 A 16 A 1

7 A 18 É A È 1

9 ArxOxOx�A 116 É A xOx�xE 1 A 1

2 A 12 A 1

2 A 12 A xOx�xª'

logo a sucessao das somas parciais nao e limitada, pelo que a serie nao podeconvergir.

80 7. Sucessoes e series numericas

7.2.1 Criterios de convergencia para series de termos positivos

Comecamos por observar que os resultados enunciados para series de termospositivos sao de facto validos para series cujos termos sao positivos, a partir decerta ordem. Para o caso de series de termos negativos podem ser adaptados: bastaestudar a serie simetrica. Observamos ainda que uma serie de termos positivos,quando diverge, diverge para A ∞.

Proposicao 7.2.8 (1o criterio de comparacao) Sejam 9 an : n e 9 bn : n sucessoes determos positivos. Suponhamos que, a partir de certa ordem n0, se tem 0 / an / bn.Entao

∞

∑n � 1

bn converge I ∞

∑n � 1

an converge.

(Equivalentemente,∞

∑n � 1

an diverge I ∞

∑n � 1

bn diverge.)

Demonstracao. Sejam sn ( n0 l n

∑k � n0

ak e tn ( n0 l n

∑k � n0

bk.

Como bk h 0, 9 tn : n e crescente. Alem disso, 9 tn : n converge para∞

∑n � 1

bn, logo9 tn : n e majorada. Mas entao, como sn / tn e ak E 0, conclui-se que 9 sn : n e cres-cente e majorada, logo e convergente.

Exemplo 7.2.9 Mostre que a serie∞

∑n � 1

12n $ 1

diverge.

Solucao. Como∞

∑n � 1

1n

diverge, resulta da Proposicao 7.2.2 que∞

∑n � 1

12n

tambem

diverge. Como 12n L 1 E 1

2n e a serie∞

∑n � 1

12n

diverge, resulta do 1o criterio de

comparacao que∞

∑n � 1

12n $ 1

tambem diverge.

Exemplo 7.2.10 A serie∞

∑n � 1

1n2 converge.

7.2. Series 81

Solucao. Vimos no Exemplo 7.2.4 que a serie∞

∑n � 1

1n 9 n A 1 : converge. Como

0 . 1z n l 1 { 2 / 1n z n l 1 { , resulta que

∞

∑n � 1

19 n A 1 : 2 converge, donde∞

∑n � 2

1n2 converge

e, portanto,∞

∑n � 1

1n2 converge.

Proposicao 7.2.11 (2o criterio de comparacao) Sejam 9 an : n e 9 bn : n sucessoesde termos positivos tais que lim

n a l ∞

an

bn( c. Entao:

(i) Se c ,-#8U�* 0 0 , entao∞

∑n � 1

an converge M ∞

∑n � 1

bn converge.

(ii) Se c ( 0, entao∞

∑n � 1

bn converge I ∞

∑n � 1

an converge.

(iii) Se c (}A ∞, entao∞

∑n � 1

an converge I ∞

∑n � 1

bn converge.

Demonstracao. (i) Suponhamos que∞

∑n � 1

bn converge e seja n0 tal que

n E n0 I an

bn. c A 1 B

Entao n E n0 I an .P9 c A 1 : bn.

Como∞

∑n � 1

bn converge,∞

∑n � 1

9 c A 1 : bn converge, donde, pelo 1o criterio, se

conclui que∞

∑n � 1

an converge.

[O recıproco e analogo; basta observar que limn a l ∞

bn

an( 1

c(note-se que c F( 0).]

A demonstracao das alıneas (ii) e (iii) fica como exercıcio.

Exemplo 7.2.12 Mostre que a serie∞

∑n � 1

lnnn3 converge.

Solucao. Consideremos a serie∞

∑n � 1

1n2 , que converge (Exemplo 7.2.10), e usemos

o 2o criterio de comparacao. Tem-se

limn a l ∞

lnnn3

1n2

( limn a l ∞

lnnn

( 0 'logo a serie dada converge.

82 7. Sucessoes e series numericas

Proposicao 7.2.13 (Criterio da Razao) Seja 9 an : n uma sucessao de termos po-sitivos e tal que lim

n a l ∞

an l 1

an( L ,8# .

Se L . 1, entao∞

∑n � 1

an converge.

Se L h 1, entao∞

∑n � 1

an diverge.

Demonstracao. Se L . 1, suponhamos r ,D& L ' 1 4 . Como limn a l ∞

an l 1

an( L, existe

n0 ,XÃ tal quen E n0 I an l 1

an. r

Entao an0 l 1 . r an0 ' BOBOB ' an0 l k . rk an0 . Como r . 1, tem-se que a serie∞

∑k � 1

rk an0

converge, ja que se trata de uma serie geometrica de razao menor que 1.

Usando o 1o criterio de comparacao, concluimos que∞

∑k � 1

an0 l k converge,

donde∞

∑n � 1

an converge.

Suponhamos agora que L h 1 e seja r ,C& 1 ' L 4 . Como limn a l ∞

an l 1

an( L, existe

n0 ,XÃ tal quen E n0 I an l 1

anh rB

Entao, para k ,ÊÃ , an0 l k h rk an0 . Como r h 1, tem-se limn a l ∞

rk an0 (�A ∞, logo

limn a l ∞

an (?A ∞ e 9 an : n nao converge para 0, logo a serie∞

∑n � 1

an diverge.

Nota 7.2.14 Usando a notacao da proposicao anterior tem-se o seguinte:

- Se L (}A ∞, tem-se que an F; 0 logo a serie diverge.

- Se L ( 1 nada se pode concluir.

- Se nao existir limn a l ∞

an l 1

an, tambem nao se pode concluir nada.

Exemplo 7.2.15 Mostre que a serie∞

∑n � 1

1n!

converge.

Solucao. Tem-se an | 1an

( 1Ën | 1 Ì !

1n!

( 1n l 1 . Logo lim

n a l ∞

an l 1

an( 0 . 1 e, portanto, a

serie converge.

7.2. Series 83

Proposicao 7.2.16 (Criterio da Raiz) Seja 9 an : n uma sucessao de termos positi-vos e seja lim

n a l ∞n%

an ("S .Se S�. 1, a serie

∞

∑n � 1

an converge.

Se S�h 1, a serie∞

∑n � 1

an diverge.

Demonstracao. Se S�h 1, an F; 0, logo a serie diverge.Se S�. 1, para 0 . c . 1 existe n0 ,XÃ tal que n E n0 I n

%an / c . 1.

Mas n%

an / c M an / cn e sendo 0 . c . 1, a serie geometrica∞

∑n � 1

cn con-

verge, logo, pelo 1o criterio de comparacao, a serie∞

∑n � 1

an converge.

Exemplo 7.2.17 Estude a convergencia da serie∞

∑n � 1

nan, com a h 0.

Solucao. Tem-selim

n a l ∞n%

nan ( a x limn a l ∞

n%

n ( a

Assim, o criterio da raiz permite-nos concluir que a serie converge se 0 . a . 1e diverge se a h 1. No caso de a ( 1 (em que o criterio e inconclusivo), verifica-se que a serie e gerada pela sucessao 9 n : n, que nao converge para 0, logo a seriediverge.

Nota 7.2.18 Quando o limite existe, o criterio da raiz resolve exactamente osmesmos problemas que o da razao, sendo este, em geral, mais facil de aplicar.

Quando o limite nao existe, trabalha-se com o limite superior e o criterio daraiz pode ser mais eficaz.

Proposicao 7.2.19 (Criterio do integral) Consideremos a serie de termos nao

negativos∞

∑n � 1

an. Suponhamos que an ( f 9 n : , onde f 9 x : e uma funcao contınua,

positiva e nao crescente num intervalo 4 N 'GA ∞ 4 , para algum inteiro positivo N.

Entao:∞

∑n � 1

an e

§ l ∞

Nf 9 x : dx sao da mesma natureza (isto e, convergem ambos

ou divergem ambos).

84 7. Sucessoes e series numericas

Demonstracao. Consideremos a soma parcial sn ( a1 A a2 ArxOx�x�A an.Se n h N, tem-se:

sn ( sN A aN l 1 A aN l 2 ArxOxOx�A an( sN A f 9 N A 1 :wA f 9 N A 2 :QArxOxOx�A f 9 n :/ sN A § l ∞

Nf 9 x : dx

Nx�xOx N Í 1 N Í 2 N Í 3

rectangulo de area f Î N o 1 ÏxOxOxSe o integral converge, entao a sucessao 9 sn : n e limitada superiormente. Como

tambem e monotona crescente, converge, isto e,∞

∑n � 1

an converge.

Suponhamos agora que a serie∞

∑n � 1

an converge para s.

Entao ¨ l ∞N f 9 x : dx, que e igual a area da

regiao do plano abaixo do grafico de y (f 9 x : e acima de y ( 0, a partir de x (N, e menor ou igual a soma das areasdos rectangulos da figura (cada um delescom base uma unidade), ou seja:

Nx�xOx N Í 1 N Í 2 N Í 3 xOxOx§ l ∞

Nf 9 x : dx / aN A aN l 1 ArxOxOx ( s $ sN L 1 B

Assim,

§ l ∞

Nf 9 x : dx representa uma area finita. Resta mostrar que lim

R a l ∞

§R

Nf 9 x : dx

existe, o que se consegue usando facto de # ser completo (ver a literatura).

Exemplo 7.2.20 Mostre que a serie∞

∑n � 1

1np converge se p h 1 e diverge se p / 1.

Solucao. (i) Se p / 0, a sucessao 9 1np : n tem limite A ∞, logo a serie diverge.

(ii) Se p ( 1, trata-se da serie harmonica, que ja vimos que diverge.(iii) Se p h 0 e p F( 1, entao f 9 x :�( 1

xp ( x L p e positiva, contınua e decres-cente em 4 1 'fA ∞ 4 . Apliquemos o criterio do integral:§ l ∞

1x L p dx ( lim

R a l ∞

§R

1x L p dx ( lim

R a l ∞µ x L p l 1$ p A 1 · R

1( lim

R a l ∞

R L p l 1 $ 1$ p A 1 B

7.2. Series 85

Este limite e igual a L 1L p l 1 se p h 1 e a A ∞ se 0 . p . 1. Donde se concluique o integral converge no primeiro caso e diverge no segundo.

Nota 7.2.21 O criterio do integral nao nos diz nada sobre a soma da serie (quandoconverge), apenas garante a sua convergencia. Pode em certos casos ser usadopara estimar o valor da serie, mas nao entraremos nesses detalhes.

7.2.2 Convergencia absoluta e condicionalConsideraremos agora series cujos termos sao numeros reais quaisquer, nao

necessariamente positivos.

A serie∞

∑n � 1

an diz-se absolutamente convergente se a serie dos modulos∞

∑n � 1

T an Tconverge.

Exemplos 7.2.22 1. A serie∞

∑n � 1

9 $ 1 : nn2 e absolutamente convergente (a serie

dos modulos e∞

∑n � 1

1n2 , que converge).

2. A serie∞

∑n � 1

9 $ 1 : n

nnao e absolutamente convergente (a serie dos modulos

e a serie harmonica, que diverge).

O resultado seguinte e muito util, como teremos oportunidade de nos aperce-ber quando estudarmos as series de potencias.

Proposicao 7.2.23 Uma serie absolutamente convergente e convergente.

Demonstracao. Suponhamos que a serie∞

∑n � 1

an e absolutamente convergente e

seja bn ( an AtT an T , para todo o n.Como $ T an T / an /¦T an T , tem-se 0 / bn / 2 T an T , para todo o n.

Usando o criterio de comparacao, conclui-se que∞

∑n � 1

bn converge.

Como an ( bn $ T an T , resulta que∞

∑n � 1

an converge.

Os criterios aprendidos para series de termos positivos podem ser usados paratestar a convergencia absoluta.

86 7. Sucessoes e series numericas

Exemplo 7.2.24 Verifique se e absolutamente convergente a serie∞

∑n � 1

ncos 9 nπ :2n .

Solucao. Comecamos por observar que cos 9 nπ :3(�9 $ 1 : n. Usamos o criterio darazao para a serie dos modulos:

limn a l ∞

ppppp z n l 1 { cos zÐz n l 1 { π {2n | 1

ncos z nπ {2n

ppppp ( limn a l ∞

n A 12n

( 12. 1 B

Entao a serie dos modulos converge, isto e a serie dada e absolutamente con-vergente.

Exemplo 7.2.25 Estude a convergencia absoluta da serie∞

∑n � 1

9 $ 1 : n L 1

2n $ 1.

Solucao. Usamos o 2o criterio de comparacao, comparando a serie dos moduloscom a serie harmonica:

limn a l ∞

12n L 1

1n

( limn a l ∞

n2n $ 1

( 12,8#8U�* 0 0 B

Como a serie harmonica diverge, tambem a serie∞

∑n � 1

12n $ 1

diverge, logo a

serie dada nao converge absolutamente.

7.2.3 Series alternadas

Uma serie alternada e uma serie da forma∞

∑n � 1

9 $ 1 : n L 1an, com an E 0.

A serie∞

∑n � 1

9 $ 1 : n L 1

n( 1 $ 1

2A 1

3$ 1

4A 1

5$ x�xOx

diz-se a serie harmonica alternada.

Se a serie∞

∑n � 1

an e convergente, mas nao absolutamente convergente, diz-se

condicionalmente convergente. O resultado seguinte tambem e conhecido porteste da serie alternada.

Proposicao 7.2.26 (Criterio de Leibniz) Suponhamos que a sucessao 9 an : n e po-sitiva, decrescente e convergente para 0. Entao a serie alternada

∞

∑n � 1

9 $ 1 : n L 1an ( a1 $ a2 A a3 $ a4 ArxOx�x

7.2. Series 87

converge.

Demonstracao. Como a sucessao e decrescente, a2n l 1 E a2n l 2, logo, para todoo n ,8Ã , tem-se

s2n l 2 ( s2n A a2n l 1 $ a2n l 2 E s2n

Entao a subsucessao dos termos de ordem par da sucessao das somas parciais,9 s2n : n, e crescente.De modo analogo se verifica que a subsucessao dos termos de ordem ımpar,9 s2n L 1 : n, e decrescente.Como s2n ( s2n L 1 $ a2n / s2n L 1, tem-se, para qualquer n E 1,

s2 / s4 /?xOx�xª/ s2n / s2n L 1 /}xOxOx�/ s3 / s1

Assim, s2 e um minorante da sucessao decrescente 9 s2n L 1 : n e s1 e majorante dasucessao crescente 9 s2n : n. Pela alınea 6 da Proposicao 7.1.6, ambas as sucessoesconvergem, digamos para S 1 e S 2, respectivamente.

Atendendo a que a2n ( s2n L 1 $ s2n e limn a l ∞

a2n ( limn a l ∞

an ( 0, tem-se 0 (lim

n a l ∞9 s2n L 1 $ s2n :C(ÁS 1 $ S 2, donde S 1 (ÁS 2 ( s. Logo, como toda a soma parcial

da serie e de uma das formas s2n L 1 ou s2n, a sucessao 9 sn : n converge para s e,

portanto, a serie∞

∑n � 1

9 $ 1 : n L 1an e convergente.

Exemplo 7.2.27 A serie harmonica alternada e convergente, visto que a sucessao9 1n : n e positiva, decrescente e convergente para 0. Como nao converge absoluta-

mente, e condicionalmente convergente.

Exemplo 7.2.28 Estude a convergencia da serie∞

∑n � 2

cos 9 nπ :lnn

:

Solucao. Como cos 9 nπ :D(�9 $ 1 : n, vem quecos 9 nπ :

lnn( 9 $ 1 : n

lnn.

- A serie nao converge absolutamente:

Para n E 2 tem-se pppp cos 9 nπ :lnn

pppp ( 1lnn

E 1nh 0 e a serie

∞

∑n � 2

1n

diverge, logo,

pelo 1o criterio de comparacao, a serie∞

∑n � 2

pppp cos 9 nπ :lnn

pppp tambem diverge.

88 7. Sucessoes e series numericas

- A serie converge (logo, e condicionalmente convergente):

De facto, a sucessao � 1lnn � n Ä 2

e positiva, decrescente e convergente para

0, logo, pelo criterio de Leibniz, a serie∞

∑n � 2

cos 9 nπ :lnn

e convergente.

Exemplo 7.2.29 Estude a convergencia da serie∞

∑n � 1

9 $ 1 : n L 1 n A 1n

.

Solucao. A sucessao � n A 1n � n

nao converge para 0, logo nao e aplicavel aqui

o criterio de Leibniz. Resulta ainda que a sucessao � 9 $ 1 : n L 1 n A 1n � n

tambem

nao converge para 0 (alias, nem sequer converge), logo a serie e divergente, pelaProposicao 7.2.5.

Proposicao 7.2.30 Seja 9 an : n uma sucessao positiva, decrescente e convergentepara 0 (isto e, satisfazendo as condicoes do criterio de Leibniz). Suponhamos que

a serie∞

∑n � 1

9 $ 1 : n L 1an (ou∞

∑n � 1

9 $ 1 : n an) converge para s.

Entao, para n E 1, a n-esima soma parcial sn da serie satisfazT s $ sn T /¦T an l 1 TDemonstracao. A demonstracao resulta facilmente da demonstracao do criteriopara as series alternadas, onde se mostra que qualquer soma parcial par e maiorou igual a s e qualquer soma parcial ımpar e menor ou igual a s.

Resulta da proposicao anterior que se usarmos sn como uma aproximacao des estamos a cometer um erro nao superior ao valor absoluto do primeiro termoomitido.

Exemplo 7.2.31 Quantos termos da serie∞

∑n � 1

9 $ 1 : n1 A 2n sao necessarios para calcu-

lar a soma da serie com erro nao superior a 0 ' 001?

7.2. Series 89

Solucao. A sucessao � 11 A 2n � n

e positiva, decrescente e convergente para 0,

logo a serie∞

∑n � 1

9 $ 1 : n

1 A 2n e convergente para um certo s ,�# . Tomando sn como

valor aproximado de s, o erro cometido e e tal que:T e T / pppp 9 $ 1 : n l 1

1 A 2n l 1pppp ( 1

2n l 1 BPara obter a precisao pretendida, deve ser 1

2n | 1 / 0 ' 001, ou seja, 2n l 1 E 1000.Como 210 ( 1024, basta tomar n ( 9, isto e, a soma dos primeiros nove termos.

Podemos perguntar-nos o que se passa quanto a convergencia e para que valorquando reordenamos os termos de uma serie. A proposicao seguinte da-nos aresposta.

Proposicao 7.2.32 (a) Se uma serie converge absolutamente, podemos reorde-nar os seus termos de modo a soma-los por qualquer ordem, obtendo sempre amesma soma.

(b) Se uma serie for condicionalmente convergente e L for um numero real,entao os termos da serie podem ser reordenados de modo que a nova serie con-virja para L. Os termos tambem podem ser reordenados de modo que a nova seriedivirja para A ∞ ou $ ∞, ou simplesmente divirja.

Exemplo 7.2.33 Consideremos a serie harmonica alternada∞

∑n � 1

9 $ 1 : n L 1

n, que e

condicionalmente convergentepara um certo s ,¥# (e conhecido o valor de s, quee ln2, como veremos na pagina 95). Tem-se, entao:

s ( ∞

∑n � 1

9 $ 1 : n L 1

n( 1 $ 1

2A 1

3$ 1

4A 1

5$ 1

6A 1

7$ 1

8ArxOxOx

s2( 1

2

∞

∑n � 1

9 $ 1 : n L 1

n( ∞

∑n � 1

9 $ 1 : n L 1

2n( 0 A 1

2A 0 $ 1

4A 0 A 1

6A 0 $ 1

8ArxOxOx

Somando termo a termo as duas series, que sao convergentes, obtem-se:

3s2

( 1 A 13$ 1

2A 1

5A 1

7$ 1

4A 1

9A 1

11$ 1

6ArxOxOx

Os termos desta ultima serie, cuja soma e3s2

, sao os mesmos da serie inicial,

cuja soma e s, apenas por uma ordem diferente.

90 7. Sucessoes e series numericas

Capıtulo 8

Series de potencias

As series de potencias definem funcoes muito especiais nos seus intervalosde convergencia. E a elas que e dedicado este capıtulo em que o destaque prin-cipal vai para as series de Taylor, as quais permitem calcular aproximacoes defuncoes usando polinomios. A maior parte das provas sao omitidas. Elas podemser encontradas nas nossas referencias.

8.1 Series de potencias

Uma serie da forma

∞

∑n � 0

an 9 x $ c : n ( a0 A a1 9 x $ c :QA a2 9 x $ c : 2 ArxOx�x (8.1)

diz-se uma serie de potencias centrada em c.Para cada valor de x ,-# a serie (8.1) pode convergir, ou nao.

Exemplo 8.1.1 A serie∞

∑n � 0

xn, serie de potencias centrada em 0, e uma serie

geometrica de razao x e, portanto, como vimos no capıtulo anterior, converge see so se $ 1 . x . 1, tendo-se, nesse caso,

∞

∑n � 0

xn ( 11 $ x

Proposicao 8.1.2 Para uma serie de potencias∞

∑n � 0

an 9 x $ c : n vale uma das alter-

nativas seguintes:���������� � ��� � ����� ��� �!� �� �"������� 91

92 8. Series de potencias

(i) a serie converge apenas para x ( c, ou(ii) a serie converge para todo o numero real x, ou(iii) existe um numero real positivo R tal que a serie converge para todo o x

satisfazendo T x $ c T�. R e diverge para todo o x tal que T x $ c T h R. A serie podeconvergir, ou nao, nos extremos x ( c $ R e x ( c A R. Em qualquer dos casos, aconvergencia e absoluta, excepto eventualmente nos extremos.

A convergencia da-se num intervalo centrado em c (que pode reduzir-se a c ouser & $ ∞ 'GA ∞ 4 ). A esse intervalo chama-se intervalo de convergencia, ao ponto cchama-se centro de convergencia e a R, raio de convergencia (no caso 9 i : tem-seR ( 0 e no caso 9 ii : , R (}A ∞).

8.2 Raio de convergencia

O raio de convergencia pode muitas vezes encontrar-se aplicando o criterio darazao a serie dos modulos da serie de potencias: se

ρ ( limn a l ∞

pppp an l 1 9 x $ c : n l 1

an 9 x $ c : n pppp ( � limn a l ∞

pppp an l 1

an

pppp � T x $ c Texiste, entao a serie converge absolutamente quando ρ . 1 e diverge se ρ h 1.

Resulta que sendo L ( limn a l ∞

pppp an l 1

an

pppp , entao a serie de potencias∞

∑n � 0

an 9 x $ c : ntem raio de convergencia R ( 1

L (considerando que quando L ( 0, se tem R (ÑA ∞e quando L (?A ∞, se tem R ( 0).

Exemplo 8.2.1 Determine o raio de convergencia da serie de potencias∞

∑n � 0

xn

n!.

Solucao. Tem-se

L ( limn a l ∞

1z n l 1 { !1n!

( limn a l ∞

n!9 n A 1 : ! ( limn a l ∞

1n A 1

( 0 BLogo, R (tA ∞.

Teorema 8.2.2 Sejam∞

∑n � 0

an 9 x $ c : n e∞

∑n � 0

bn 9 x $ c : n series de potencias com

raios de convergencia Ra e Rb, respectivamente, e seja k ,-# . Entao:

8.3. Derivacao e integracao de series de potencias 93

1.∞

∑n � 0

9 k an :k9 x $ c : n tem raio de convergencia Ra e tem-se

∞

∑n � 0

9 k an :k9 x $ c : n ( k∞

∑n � 0

an 9 x $ c : n

sempre que as series convergem.

2.∞

∑n � 0

9 an A bn :�9 x $ c : n tem raio de convergencia R E min * Ra ' Rb 0 e

∞

∑n � 0

9 an A bn :�9 x $ c : n ( ∞

∑n � 0

an 9 x $ c : n A ∞

∑n � 0

bn 9 x $ c : n

sempre que as series convergem.

3. (Produto de Cauchy)

² ∞

∑n � 0

an 9 x $ c : n ³ ² ∞

∑n � 0

an 9 x $ c : n ³ ( ∞

∑n � 0

cn 9 x $ c : n

onde

cn ( a0 bn A a1 bn L 1 A"x�xOx�A an b0 ( ∞

∑n � 0

a j bn L j

O raio de convergencia R do produto de Cauchy satisfaz a R / min * Ra ' Rb 0 .

As alıneas 9 1 : e 9 2 : sao consequencias imediatas de resultados anteriores,sendo a demonstracao de 9 3 : mais complicada.

8.3 Derivacao e integracao de series de potencias

O resultado seguinte e de extrema importancia.

Teorema 8.3.1 (Derivacao e integracao termo a termo de series de potencias)

Se a serie∞

∑n � 0

an 9 x $ c : n converge para a soma f 9 x : no intervalo & c $ R ' c A R 4 ,onde R h 0 (isto e, f 9 x :�( a0 A a1 9 x $ c :RA a2 9 x $ c : 2 A�xOxOxª' para c $ R . x .c A R), entao f e derivavel em & c $ R ' c A R 4 e, para c $ R . x . c A R, tem-se

f H 9 x :C( ∞

∑n � 1

nan 9 x $ c : n L 1 ( a1 A 2a2 9 x $ c :QA 3a3 9 x $ c : 2 ArxOxOx

94 8. Series de potencias

Tambem f e integravel em qualquer subintervalo fechado de & c $ R ' c A R 4 e,se T x $ c T . R, entao§

x

cf 9 t : dt ( ∞

∑n � 0

an

n A 19 x $ c : n l 1 ( a0 9 x $ c :wA a1

29 x $ c : 2 A a2

39 x $ c : 3 ArxOxOx

Nota 8.3.2 Os raios de convergencia das series que se obtem por derivacao oupor integracao termo a termo sao os mesmos da serie original. Pode no entantohaver diferencas quanto a convergencia nos extremos.

Teorema 8.3.3 (Abel) A soma de uma serie de potencias e contınua em todo o

ponto do intervalo de convergencia da serie. Em particular, se∞

∑n � 0

an Rn converge,

para algum R h 0, entao

limx a R ~ ∞

∑n � 0

an xn ( ∞

∑n � 0

an Rn

Exemplo 8.3.4 Partindo da representacao em serie de potencias da funcao 11 L x

( $ 1 . x . 1) e usando derivacao ou integracao, encontre representacoes emseries de potencias para as funcoes:

(a) 1z 1 L x { 2 (b) ln 9 1 A x :Solucao. Para $ 1 . x . 1,

11 $ x

( ∞

∑n � 0

xn ( 1 A x A x2 A x3 ArxOxOx(a) Derivando termo a termo a serie dada, obtem-se, para $ 1 . x . 1:

19 1 $ x : 2 ( ∞

∑n � 1

nxn L 1 ( 1 A 2x A 3x2 ArxOx�x(b)Substituindo $ x por t na serie original, obtem-se, para $ 1 . t . 1,

11 A t

( ∞

∑n � 0

9 $ 1 : n tn ( 1 $ t A t2 $ t3 ArxOx�xIntegrando de 0 a x, onde T x T . 1, vem:

ln 9 1 A x :�( §x

0

dt1 A t

( ∞

∑n � 0

9 $ 1 : n

§x

0tn dt ( ∞

∑n � 0

9 $ 1 : n xn l 1

n A 1( x $ x2

2A x3

3$ x4

4ArxOxOx

8.4. Series de Taylor 95

Nota 8.3.5 A serie∞

∑n � 0

9 $ 1 : n xn l 1

n A 1converge (condicionalmente) para x ( 1. Pelo

teorema de Abel, ela representa uma funcao contınua a esquerda de 1. Comoln 9 1 A x : tambem e contınua, tem-se que a serie converge para ln2 em 1, isto e, asoma da serie harmonica alternada e ln2 9 1 $ 1

2 A 13$ 1

4 A"x�xOx ( ln2 : .8.4 Series de Taylor

A demonstracao do resultado seguinte usa o facto de podermos derivar termoa termo uma serie de potencias (Teorema 8.3.1).

Teorema 8.4.1 Suponhamos que a serie∞

∑n � 0

an 9 x $ c : n converge para f 9 x : em& c $ R ' c A R 4 , com R h 0. Entao ak ( fËk Ì z c {k! , para k ( 0 ' 1 ' 2 'OxOxOx .

Demonstracao. Tem-se f 9 x :C( ∞

∑n � 0

an 9 x $ c : n para x ,D& c $ R ' c A R 4 .Usando derivacao termo a termo, k vezes, obtem-se, para esses valores de x:

f z k { 9 x :�( ∞

∑n � k

n 9 n $ 1 :�9 n $ 2 :wxOxOx�9 n $ k A 1 : an 9 x $ c : n L k( k! ak A 9 k A 1 : !1!

ak l 1 9 x $ c :wA 9 k A 2 : !2!

ak l 2 9 x $ c : 2 ArxOxOxFazendo x ( c, vem

f z k { 9 c :@( k! ak M ak ( f z k { 9 c :k!

Se f 9 x : tem derivadas de todas as ordens em x ( c, entao a serie∞

∑k � 0

f z k { 9 c :k!

9 x $ c : k ( f 9 c :QA f H 9 c :k9 x $ c :QA f H�H29 c :2!

9 x $ c : 2 A"x�xOxdiz-se a serie de Taylor de f em torno de x ( c. No caso particular de c ( 0, estaserie toma o nome de serie de MacLaurin.

Uma funcao f diz-se analıtica em x ( c se e a soma de uma serie de potenciasde x $ c com raio de convergencia positivo. A funcao diz-se analıtica num inter-valo aberto I se e analıtica em todos os pontos de I.

Observamos que as somas parciais das series de Taylor sao precisamente ospolinomios de Taylor.

Quando se consegue encontrar uma formula para a n-esima derivada de umafuncao f , consegue-se, em geral, encontrar a serie de Taylor da funcao.

96 8. Series de potencias

Exemplo 8.4.2 Vamos obter a serie de Taylor de ex em torno de x ( c.Sendo f 9 x :@( ex, f z n { 9 x :C( ex, para todo o n ,8Ã . Assim, a serie de Taylor de

ex em torno de x ( c e:

∞

∑n � 0

ec

n!9 x $ c : n ( ec A ec 9 x $ c :wA ec

2!9 x $ c : 2 A"x�xOx

O raio de convergencia desta serie e dado por

1R

( limn a l ∞

ppppp ecz n l 1 { !ec

n!

ppppp ( limn a l ∞

n!9 n A 1 : ! ( limn a l ∞

1n A 1

( 0

Logo, R (?A ∞ e a serie converge em # .

Vejamos agora que a soma daquela serie e ex,g

x ,8# .Suponhamos que a soma e g 9 x : , isto e,

g 9 x :C( ec A ec 9 x $ c :wA ec

2!9 x $ c : 2 A ec

3!9 x $ c : 3 ArxOx�x

Tem-se g H 9 x :C( 0 A ec A ec 9 x $ c :QA ec

2! 9 x $ c : 2 ArxOxOx7( g 9 x : .Alem disso, g 9 c :D( ec A 0 A 0 ArxOxOx ( ec.Assim, g 9 x : e solucao da equacao diferencial dy

dx ( y, com condicao inicialy 9 c :C( ec. Vejamos que ex e a unica solucao:

ddx � y

ex � ( exy H $ yex

e2x ( y H $ yex ( 0

Mas entao yex ( C, logo y ( Cex. Como y 9 c :C( ec, vem C ( 1, logo y ( ex.

Assim, a serie de Taylor de ex em torno de c converge para ex para todo onumero real x:

ex ( ∞

∑n � 0

ec

n!9 x $ c : n ' g x ,¥#

Para c ( 0, obtem-se a serie de MacLaurin para ex:

ex ( ∞

∑n � 0

xn

n!' g x ,¥#

Exemplos 8.4.3 Indicamos a seguir outras series de Taylor (detalhes sobre asjustificacoes podem ser encontrados nas nossas referencias).

1. senhx ( ex $ e L x

2( ∞

∑n � 0

x2n l 19 2n A 1 : ! (x ,-# )

8.4. Series de Taylor 97

2. coshx ( ex A e L x

2( ∞

∑n � 0

x2n9 2n : ! (x ,¥# )

3. senx ( ∞

∑n � 0

9 $ 1 : n x2n l 19 2n A 1 : ! (x ,8# )

4. cosx ( ∞

∑n � 0

9 $ 1 : n x2n9 2n : ! (x ,8# )

5.1

1 $ x( ∞

∑n � 0

xn ( $ 1 . x . 1)

6. ln 9 1 A x :C( ∞

∑n � 1

9 $ 1 : n L 1 xn

n( $ 1 . x / 1)

7. arctgx ( ∞

∑n � 0

9 $ 1 : n x2n l 19 2n A 1 : ! ( $ 1 / x . 1)

98 8. Series de potencias

Capıtulo 9

Series de Fourier

As series de Taylor permitem calcular aproximacoes usando polinomios. Mui-tas funcoes que aparecem na pratica (ondas, por exemplo) sao periodicas (emfuncao do tempo). Notemos que os polinomios nao sao periodicos. As series deFourier sao apropriadas para representar funcoes periodicas em intervalos esten-didos. Alem disso permitem representar funcoes nao necessariamente contınuas.

9.1 Funcoes periodicas

Uma funcao f diz-se periodica de perıodo T se

f 9 t A T :C( f 9 t :�' g t , Dom 9 f : BResulta imediatamente que se T for um perıodo de f , entao f 9 t A mT :�(

f 9 t : , para qualquer inteiro m. O mais pequeno perıodo positivo diz-se o perıodofundamental (muitas vezes apenas perıodo).

O grafico de uma funcao periodica de perıodo T pode ser obtido deslocandopara a esquerda ou para a direita, por multiplos de T , parte do grafico correspon-dente a um intervalo semi-aberto de comprimento T .

Exemplos 9.1.1 (a) A funcao g 9 t :D( sen 9 πt : tem perıodo 2.(b) Para qualquer inteiro positivo n, as funcoes

fn 9 t :�( cos 9 nωt : e gn 9 t :>( sen 9 nωt :tem todas perıodos T ( 2π

ω; os seus perıodos fundamentais sao

Tn

.

Dizemos que uma funcao periodica de perıodo T e contınua por pedacos se ofor num intervalo de comprimento T .���������� � ��� � ����� ��� �!� �� �"������� 99

100 9. Series de Fourier

9.2 Series de Fourier

Mostra-se que se f 9 t : e periodica de perıodo fundamental T , e contınua e temderivada contınua por pedacos, entao f 9 t : e (em # ) a soma de uma serie da forma

f 9 t :D( a0

2A ∞

∑n � 1

9 an cos 9 nωt :QA bn sen 9 nωt :O: B (9.1)

onde ω ( 2πT

. Esta serie diz-se a serie de Fourier de f e as sucessoes 9 an : n e 9 bn : ndizem-se os coeficientes de Fourier de f .

A proposicao seguinte sera muito util para a determinacao dos valores doscoeficientes de Fourier.

Proposicao 9.2.1 Para T ( 2πω

tem-se as seguintes identidades:

1.

§T

0cos 9 nωt : dt ( � 0 se n F( 0

T se n ( 0 ;

2.

§T

0sen 9 nωt : dt ( 0;

3.

§T

0cos 9 mωt : cos 9 nωt : dt ( � 0 se n F( m

T2 se n ( m

;

4.

§T

0sen 9 mωt : sen 9 nωt : dt ( � 0 se n F( m

T2 se n ( m

;

5.

§T

0cos 9 mωt : sen 9 nωt : dt ( 0.

Demonstracao. Mostremos, por exemplo, o caso em que n F( m da identidade 3.As restantes identidades podem mostrar-se de modo analogo.

Da Proposicao 0.3.5 (4) resulta imediatamente a identidade

cosαcosβ ( 129 cos 9 α $ β :QA cos 9 α A β :O: B

Entao, atendendo a que ωT ( 2π, tem-se

§T

0cos 9 mωt : cos 9 nωt : dt( 1

2µ 19 m $ n : ω sen 9O9 m $ n : ωt :QA 19 m A n : ω sen 9�9 m A n : ωt : · T

0( 1

24 0 &Q( 0.

9.2. Series de Fourier 101

Multiplicando a equacao (9.1) por cos 9 mωt : (respectivamente sen 9 mωt : ) eintegrando a equacao resultante termo a termo sobre 4 0 ' T & (pode justificar-se ofacto de se poder fazer esta integracao), todos os termos da direita, excepto o queenvolve am (respectivamente bm) sao 0. Tem-se entao as identidades§

T

0f 9 t : cos 9 mωt : dt ( 1

2Tam e

§T

0f 9 t : sen 9 mωt : dt ( 1

2T bm B

Estas formulas valem tambem para m ( 0 por termos tomado o termo cons-tante a0

2 e nao a0.Como as funcoes integrandas sao periodicas de perıodo T , os integrais po-

dem ser calculados sobre qualquer intervalo de comprimento T . Podemos entaoenunciar a seguinte:

Proposicao 9.2.2 Para ω ( 2πT

tem-se

an ( 2T

§ T2~ T

2

f 9 t : cos 9 nωt : dt 9 n ( 0 ' 1 ' 2 ' BOBOB : ;bn ( 2

T

§ T2~ T

2

f 9 t : sen 9 nωt : dt 9 n ( 1 ' 2 ' BOBOB : BE costume designar os an por coeficientes-cosseno e os bn por coeficientes-

-seno.

Exemplo 9.2.3(a) Encontre a serie de

Fourier da funcao f 9 t : deperıodo 2π que no intervalo4 $ π ' π & e definida por

f 9 t :�( π $ T t T $ π π

π xOx�xxOxOx(b) Mostre que

π2

8( l ∞

∑n � 1

12n $ 1 B

Solucao. (a) Tem-se T ( 2π, ω ( 2π2π ( 1. Como f 9 t : e par, tem-se que

f 9 t : sen 9 nt : e ımpar, logo os coeficientes-seno sao 0:

bn ( 22π

§πL π

f 9 t : sen 9 nt : dt ( 0 B

102 9. Series de Fourier

Por outro lado, f 9 t : cos 9 nt : e par, logo

an ( 22π

§πL π

f 9 t : cos 9 nt : dt ( 2π

§π

09 π $ t : cos 9 nt : dt( 2

πx π §

π

0cos 9 nt : dt $ 2

π

§π

0t cos 9 nt : dt( ���� π se n ( 0

0 se n F( 0 e n e par4

πnr se n e ımpar

(9.2)

Temos entao

f 9 t :�( π2A l ∞

∑k � 1

4π 9 2k $ 1 : 2 cos 9O9 2k $ 1 : t :�( π

2A 4

πl ∞

∑k � 1

19 2k $ 1 : 2 cos 9O9 2k $ 1 : t : B(b) Tem-se f 9 0 :C( π. Logol ∞

∑k � 1

19 2k $ 1 : 2 ( � π $ π2 � π

4( π2

8 BApresentamos a seguir a justificacao de (9.2).Comecamos por encontrar uma primitiva de ¨ t cos 9 nt : dt. Conseguimo-lo

usando integracao por partes. Fazendo u ( t e v HÒ( cos 9 nt : , tem-se u HÒ( 1 e v (sen 9 nt :

n. Entao, §

t cos 9 nt : dt ( t sen 9 nt :n

$ 1n

§sen 9 nt : dt( t sen 9 nt :

nA 1

n2 cos 9 nt :Temos agora a considerar os casos n ( 0 e n F( 0:Caso n F( 0:

an ( 2

§π

0cos 9 nt : dt $ 2

πµ t sen 9 nt :

nA 1

n2 cos 9 nt : · π

0( 2 µ sen 9 nt :n · π

0

$ 2πn2 9 cos 9 nπ : $ 1 :( 0 $ 2

πn2 9 cos 9 nπ : $ 1 :�(Ó� 0 se n par4

πn2 se n ımpar

Caso n ( 0:

2π

§π

09 π $ t : dt ( 2

πµ πt $ t2

2 · π

0( 2

π� π2 $ π2

2 � ( π B

9.3. Convergencia das series de Fourier 103

9.3 Convergencia das series de Fourier

As somas parciais das series de Fourier tambem sao chamadas polinomios deFourier por poderem ser expressos como polinomios em cos 9 ωt : e sen 9 ωt : .Exemplo 9.3.1

O polinomio de Fourier de ordem 3 dafuncao considerada no Exemplo 9.2.3 e

f3 9 t :�( π2A 4

πcos t A 4

9πcos 9 3t : B

Trata-se de uma funcao derivavel. -4 -2 2 4

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Temos que a serie de Fourier de uma funcao f 9 t : periodica, contınua comderivada contınua por pedacos converge para f 9 t : em # .

Se f 9 t : for apenas contınua por pedacos, as formulas anteriores permitemtambem calcular os coeficientes de Fourier. A questao da convergencia e res-pondida com o seguinte teorema.

Teorema 9.3.2 A serie de Fourier de uma funcao contınua por pedacos, periodicade perıodo T , com derivada contınua por pedacos, converge para a funcao emtodo o ponto em que f e contınua. Alem disso, se f e descontınua em t ( c, f temlimites diferentes (mas finitos) a esquerda e a direita em c:

limt a c ~ f 9 t :�( f 9 c L : e lim

t a c | f 9 t :D( f 9 c l :�'a serie de Fourier de f converge no ponto t ( c para a media desses limites:

a0

2A l ∞

∑n � 1

9 an cos 9 nωc :wA bn sen 9 nωc :O:C( f 9 c L@:QA f 9 c l :2

com ω ( 2πT .

Exemplo 9.3.3 Calcule a serie de Fourier da funcao periodica de perıodo 2 satis-fazendo

f 9 t :D( � $ 1 se $ 1 . t / 01 se 0 . t / 1

104 9. Series de Fourier

Solucao. Comecamos por observar que f e ımpar. Tem-se T ( 2, donde ω (2π2 ( π e, portanto, an ( 0 qualquer que seja n.

bn ( §1L 1

f 9 t : sen 9 nωt : dt ( 2

§1

0sen 9 nωt : dt(¿µ $ 2

cos 9 nωt :nπ · 1

0( $ 2

nπ9O9 $ 1 : n $ 1 :C( � 4

nπ se n e ımpar0 se n e par

Obtemos entao a seguinte solucao:

4πl ∞

∑k � 1

12k $ 1

sen 9�9 2k $ 1 : πt :A figura ao lado ilustra a aproximacaoque se obtem considerando apenas ostermos ate k ( 7.

-4 -2 2 4

-1

-0.5

0.5

1

Capıtulo 10

Problemas com valor inicial

A este capıtulo poderıamos dar o nome de “equacoes diferencias”. Mas issopoderia dar a ideia de que o tema e muito simples, o que nao e verdade. Note-seque nem sequer vamos desenvolver nenhuma tecnica para determinar solucoes deequacoes diferenciais. Nos vamos limitar-nos a dar a definicao e algum exemplo,remetendo para a literatura o aluno interessado no tema.

Uma equacao diferencial e uma equacao envolvendo uma ou mais derivadasde uma funcao (que e a incognita). Uma funcao que satisfaz a equacao numintervalo diz-se solucao da equacao nesse intervalo.

Exemplo 10.0.4 A funcao y ( x3 $ x e uma solucao, em # , da equacao diferencial

dydx

( 3x2 $ 1 B(Ha outras solucoes: y ( x3 $ x A C, para cada constante C.)

A ordem de uma equacao diferencial e a ordem da maior derivada que aparecena equacao.

Um problema com valor inicial consiste de

1. uma equacao diferencial;

2. valores da funcao e derivadas suficientes para determinar as constantes queaparecem na solucao geral da equacao diferencial.

Exemplo 10.0.5 Resolva o seguinte problema com valor inicial���� x2y H�H $ xy H $ 3y ( 0 9 x h 0 :y 9 1 :D( 2y H 9 1 :D( $ 6

comecando por mostrar que y ( Ax3 A Bx e solucao da equacao diferencial de

segunda ordem x2y H�H $ xy H $ 3y ( 0.���������� � ��� � ����� ��� �!� �� �"������� 105

106 10. Problemas com valor inicial

Solucao. Tem-se y H ( 3Ax2 $ Bx2 e y H�H ( 6Ax A 2B

x3 . Substituindo na equacaodiferencial dada obtem-se a igualdade

x2 � 6Ax A 2Bx3 � $ x � 3Ax2 $ B

x2 � $ 3 � Ax3 A Bx � ( 0 B

Resta agora determinar as constantes A e B, o que se consegue atendendo as

condicoes iniciais � y 9 1 :D( 2y H 9 1 :D( $ 6 .

� A x 13 A B1 ( 2

3A x 12 $ B12 ( $ 6

¸ I � A A B ( 23A $ B ( $ 6 ¸ I � A ( $ 1

B ( 3

Assim, a solucao do problema dado e

y ( $ x3 A 3x B

Bibliografia

[1] Adams, R. “Calculus: a complete course”, Addison Wesley.

[2] Chaves, G. “Calculo Infinitesimal”, (apontamentos disponibilizados para osalunos).

[3] Lima, E. L. “Curso de Analise”, Volume I, Projecto Euclides, IMPA.

[4] Spivak, M. “Calculus”, Addison Wesley.

[5] Swokowski, E. “Calculo com Geometria Analıtica” Volumes I e II, MakronBooks.

���������� � ��� � ����� ��� �!� �� �"������� 107

108 Bibliografia

Indice de notacoes

comprimento de subintervalo, ∆xi ( xi $ xi L 1

convergencia de sucessao, liman (ÁS , an ; Sderivada de ordem n, f z n { 9 x : , Dn

x f 9 x : , Dnxy, y 9 n : , dny

dxn , dn

dxn f 9 x :derivada, f H�9 x : , Dx f 9 x : , Dxy, y H , dy

dx , ddx f 9 x :

domınio, Dom 9 f :imagem, Im 9 f : , f 9 A :integral definido, ¨ b

a f 9 x : dx

integral indefinido, ¨ f 9 x : dx

limite, limx a a

f 9 x :logaritmo de base a, loga x

logaritmo natural, lnx

segunda derivada, f H�H29 x : , D2x f 9 x : , D2

xy, y H�H , d2ydx2 , d2

dx2 f 9 x :soma inferior de Riemann, ∑ 9 f ' P :soma superior de Riemann, ∑ 9 f ' P :

109

110 Indice de notacoes

Indice

angulo, 4lado inicial, 4lado terminal, 4vertice do, 4

absolutamente convergente, 85aceleracao, 25amplitude, 4antiderivada, 45aproximacao linear, 42arccosseno, 9arcseno, 8arctangente, 9assıntotas, 40

concava, 38cırculo trigonometrico, 5coeficientes de Fourier, 100coeficientes-cosseno, 101coeficientes-seno, 101completude dos numeros reais, 2comprimento de uma curva, 73concavidade

voltada para baixo, 38voltada para cima, 38

condicionalmente convergente, 86conjunto de chegada, 2continuidade, 16continuidade num ponto, 16contradomınio, 2converge, 76convexa, 38cossecante, 5cosseno, 5

cotangente, 5criterio

da raiz, 83da razao, 82de comparacao, 80, 81de Leibniz, 86do integral, 83

derivavel, 20, 21derivacao implıcita, 26derivada, 20derivadas de ordem superior, 25desigualdade triangular, 52diferenciavel, 20diferencial, 49diverge, 76

equacao diferencial, 105ordem, 105solucao, 105

extremidades, 37

formula de Taylor, 43formula fundamental da trigonome-

tria, 6fraccoes parciais, 66funcao, 2

analıtica, 95bijectiva, 3concava, 38composta, 4conjunto de chegada de uma, 2contınua, 16contınua a direita, 17

111

112 Indice alfabetico

contınua por pedacos, 17contradomınio, 2convexa, 38domınio de uma, 2imagem, 2injectiva, 3integravel, 49integranda, 49inversa, 3periodica, 99polinomial, 4racional, 15real de variavel real, 2sobrejectiva, 3valor , 2

imagem, 2integral

improprio, 58converge, 59diverge, 59

indefinido, 46integral definido, 49intervalos de monotonia, 36

limite, 12limite inferior de integracao, 49limite superior de integracao, 49logaritmo

de base a, 30natural, 29

logaritmo de base e, 29

maximo local, 36metodo de substituicao, 61minimo local, 36

objectos, 2

particao, 48i-esimo subintervalo, 48norma, 48

perıodo, 99fundamental, 99

polinomio de Taylor, 43polinomios de Fourier, 103ponto de inflexao, 38ponto singular, 21pontos criticos, 37pontos singulares, 37primitiva, 45

geral, 46problema com valor inicial, 105

quociente de Newton, 20

recta tangente, 20regra

da cadeia, 23de L’Hopital, 33de Simpson, 57do trapezio, 56

resto de Lagrange, 44

serie, 77converge, 78de MacLaurin, 95de Taylor, 95divergente, 78geometrica, 78harmonica, 79soma, 78sucessao das somas parciais, 78sucessao geradora, 78

serie alternada, 86serie de Fourier, 100serie de potencias, 91serie harmonica alternada, 86solido de revolucao

volume, 71solido de revolucao, 70sımbolo de integral, 46secante, 5, 20segunda derivada, 25

113

seno, 5soma inferior de Riemann, 49soma superior de Riemann, 49subsucessao, 75sucessao, 75

da Cauchy, 76de Fibonacci, 75definida por recorrencia, 75

sucessao geradora, 78sucessao das somas parciais, 78supremo, 2

tangente, 5, 20taxa instantanea de variacao, 24taxa media de variacao, 24teorema

de Lagrange, 32da Funcao Implıcita, 27de Cauchy, 32de Rolle, 32de Taylor, 43do encaixe, 15do valor medio para integrais, 53dos valores intermedios, 17fundamental do calculo, 54

teste da serie alternada, 86

vertice, 4valor de maximo local, 36valor de minimo local, 36variavel de integracao, 49velocidade, 25volume de um solido de revolucao,

71