caos, descoerencia,‹ protec‚aoŸ de estados e a transic‚aoŸ ...arrc/arrc_tese.pdf ·...

i

INSTITUTO DE FISICA - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO

Tese de Doutorado

Caos, descoerencia, protecao de estados e a transicaoquantico-classico para ıons aprisionados

Andre Ricardo Ribeiro de Carvalho

Orientador: Luiz Davidovich

ii

“E preciso manter o caos dentro de sipara dar luz a uma estrela dancante.”

Goethe

iii

Aos meus pais e as minhas meninas:Marcele e Clara.

iv

Agradecimentos

Agradeco ao Luiz pela orientacao e pelo contagiante entusiasmo pela ciencia.

Agradeco tambem aos amigos do grupo de otica quantica: Kike, Paulo, LG, Marcelo,

Perola, Luis Andre e Mazolli pelos momentos que passamos juntos na universidade,

nos campos de futebol e nas inesquecıveis viagens. Agradeco ao Nicim Zagury e

ao Dario pela excelente companhia quando estivemos na Alemanha e ao Ruynet

pela amizade e por todos esses anos de trabalho em conjunto. Devo agradecer

aos grandes amigos do pH, em particular ao Rui Alves e ao Carlos Ferrao, que me

receberam de bracos abertos apos um perıodo de ausencia. Devo muito aos meus

pais e aos meus irmaos pelo apoio que me deram durante toda a minha vida e

principalmente a Marcele e a Clara por terem se tornado a razao de tudo isso.

v

Resumo

A transicao quantico-classico para sistemas quanticos com analogos classicos

caoticos e estudada para o caso de ıons aprisionados em uma armadilha harmonica

submetidos a pulsos periodicos. Mostramos que neste sistema e possıvel nao so

construir dinamicas nao-lineares que levem a uma dinamica caotica como tambem

criar ambientes artificiais, chamados de reservatorios, atraves da manipulacao de

campos eletromagneticos externos. Propomos, a partir da possibilidade de enge-

nharia de reservatorios, um metodo para a protecao de alguns estados quanticos

contra os efeitos da descoerencia. Analisamos, tambem, os papeis desempenhados

pela interacao com o ambiente e pelo limite macroscopico na transicao quantico-

classico mostrando a importancia da existencia de ambos os efeitos. Estudamos

a dinamica caotica na presenca de um reservatorio difusivo e de um dissipativo e

comparamos a influencia de cada um deles na obtencao do limite classico.

vi

Abstract

The quantum-classical transition for quantum systems with a chaotic classi-

cal analog is studied for ions confined in a harmonic trap under the influence of

periodic pulses. It is shown that in this system it is possible to build nonlinear inte-

ractions leading to chaotic dynamics and also to construct artificial environments,

called reservoirs, through the manipulation of external electromagnetic fields. We

propose a method for protecting quantum states against decoherence, based on

reservoir engineering. We also analise the roles played by the system-reservoir in-

teraction and the macroscopic limit in the quantum-classical transition, showing

that both effects are important. We study the chaotic dynamics in the presence

of diffusive and dissipative reservoirs, comparing the influence of each other in

obtaining the classical limit.

Conteudo

1 Introducao 1

2 Ions Aprisionados 5

2.1 Ions aprisionados e nıveis vibracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Interacao com laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Efeitos da emissao espontanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Engenharia de Reservatorios 15

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Eliminacao adiabatica e equacoes mestras . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.1 Apresentacao do metodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.2 Reservatorio a temperatura nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.3 Reservatorio de aquecimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2.4 Reservatorio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Interacao com campos aleatorios: reservatorio difusivo . . . . . . . . . 28

3.4 Protecao de estados quanticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4.1 Protecao de uma combinacao linear de autoestados de energia

do movimento vibracional ionico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4.2 Protecao de um “qubit” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.3 Protecao de um estado comprimido . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4.4 Protecao de um estado tipo gato de Schrodinger . . . . . . . . . 39

4 Caos Classico: o Oscilador Harmonico Pulsado 41

vii

viii CONTEUDO

4.1 Equacoes de movimento e mapeamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Linearizacao e pontos fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Evoluindo uma distribuicao classica de probabilidades . . . . . . . . . 50

4.4 Evolucao classica com reservatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.4.1 Reservatorio dissipativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.4.2 Reservatorio difusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5 Caos em ıons aprisionados 61

5.1 Interacao com Laser e hamiltoniano Caotico . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2 Comparacao com variaveis classicas e escalamento . . . . . . . . . . . 64

5.3 Evoluindo o Estado Quantico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.3.1 Dinamica do pulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3.2 Dinamica entre os pulsos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4 Consideracoes numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

6 Transicao Quantico-Classico 75

6.1 Funcao de Wigner × distribuicao classica de probabilidades . . . . . . 77

6.2 Funcao caracterıstica e tempo de separacao . . . . . . . . . . . . . . . . 86

6.2.1 Funcao caracterıstica para o sistema isolado . . . . . . . . . . . 86

6.2.2 Reservatorio a temperatura zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.2.3 Reservatorio difusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

7 Conclusao 97

Apendice A 101

A.1 Reservatorio difusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

A.2 Reservatorio a temperatura nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Apendice B 107

Apendice C 109

CONTEUDO ix

Apendice D 111

x CONTEUDO

Capıtulo 1

Introducao

Nascida no inıcio do seculo XX, a mecanica quantica e a base da fısica moderna

e responsavel pelo imenso progresso nesta area do conhecimento humano. O su-

cesso de suas explicacoes para os fenomenos microscopicos possibilitou o fabuloso

desenvolvimento tecnologico e cientıfico vivido pelo mundo cotemporaneo. No en-

tanto, tao ou mais importante que as bem sucedidas predicoes da teoria quantica

foi o impacto de suas novas ideias na maneira de pensar a natureza. Novos con-

ceitos como a nocao de estado quantico, a possibilidade de superposicao coerente

dos mesmos e uma descricao calcada em probabilidades entraram em conflito com

a ja bem estabelecida visao classica de mundo.

Esta incompatibilidade com o pensar classico provocou intensos debates pro-

tagonizados pelos principais fısicos envolvidos na construcao da nova teoria no

inıcio do seculo XX [1]. Mesmo um seculo depois de iniciada sua elaboracao, da

verificacao de sua consistencia e de seus sucessivos exitos na previsao de resulta-

dos experimentais, a teoria quantica ainda e alvo de interpretacoes [2] que compa-

tibilizem seus conceitos abstratos com o senso comum utilizado para descrever o

mundo classico.

Uma questao importante, nesse contexto, e compreender de que forma a teoria

fundamental dos processos fısicos da natureza, a mecanica quantica, da origem

a teoria classica que, durante seculos, mostrou-se capaz de descrever o mundo

macroscopico. A emergencia do classico a partir do mundo microscopico tem sido

1

2 CAPITULO 1. INTRODUCAO

objeto de grande interesse desde os primordios da teoria quantica, epoca em que

foi formulado por Bohr o princıpio da correspondencia (1923).

De acordo com este princıpio, as previsoes quanticas devem corresponder as

classicas no limite em que o sistema se torne macroscopico. A definicao de ma-

croscopicidade esta ligada a relacao entre o tamanho do sistema e as escalas onde

os fenomenos quanticos sao importantes. O limite classico e usualmente consi-

derado como aquele em que a constante de Planck (h), fundamental na definicao

da escala quantica, tende a zero. Obviamente que, sendo uma constante, h nao

pode ser mudada e, no limite macroscopico, o que deve ir para zero e a razao entre

a constante de Planck e uma grandeza dimensionalmente equivalente do sistema,

como a acao classica.

No entanto, argumentos baseados somente nestas relacoes de escala nao pare-

cem ser suficientes para explicar, por exemplo, porque nao sao observadas, em ob-

jetos macroscopicos, superposicoes coerentes de estados permitidas pela mecanica

quantica. Uma das possibilidades de explicacao da transicao quantico-classico e

formulada a partir da teoria da descoerencia [3]. Esta teoria baseia-se no fato de

os sistemas quanticos nao serem perfeitamente isolados do resto do universo de

maneira que a interacao entre os graus de liberdade que definem as variaveis ma-

croscopicas do sistema sob estudo e os demais graus de liberdade que compoem

o ambiente a sua volta previne a existencia de superposicoes coerentes no mundo

macroscopico.

No entanto, a descricao probabilıstica intrınseca da fısica quantica nao foi a

unica a perturbar os alicerces do determinismo cientıfico. Dentro da propria fısica

classica existem sistemas nao-lineares onde a evolucao atraves de equacoes deter-

minısticas gera a imprevisibilidade. Tais sistemas, chamados caoticos, apresentam

extrema sensibilidade as condicoes iniciais, ou seja, uma pequena diferenca nessas

condicoes gera resultados completamente diferentes no futuro. Como nao somos

capazes de obter com certeza a situacao inicial de um sistema, apos um tempo

perdemos a possibilidade de previsao. Este tipo de fenomeno ja havia sido nota-

3

do no fim do seculo XIX por Poincare mas so em meados do seculo XX o estudo

dos sistemas dinamicos caoticos avancou em diversas areas como fısica, quımica,

biologia e economia [4].

Na mecanica quantica estes sistemas foram pouco explorados ate as ultimas

decadas do seculo XX quando surgiu o interesse na transicao quantico-classico e

nos efeitos quanticos de sistemas classicamente caoticos [5]. A dinamica caotica

torna ainda mais delicada a discussao a respeito do limite classico e e um dos

topicos tratados nesta tese.

A discussao aqui e dirigida para a questao da transicao quantico-classico em

um sistema fısico com reais possibilidades de implementacao experimental, o sis-

tema de ıons aprisionados em uma armadilha harmonica. O capıtulo 2 contem

material introdutorio sobre a dinamica de ıons aprisionados e suas interacoes com

campos eletromagneticos. No capıtulo 3 discute-se a producao de diferentes tipos

de reservatorios para os ıons atraves da manipulacao de tais interacoes e tambem

de que forma isto pode ser utilizado para a protecao de alguns estados quanticos

contra efeitos indesejaveis do processo de descoerencia. No capıtulo 4 e feita uma

rapida introducao a respeito de sistemas caoticos dando enfase a analise do oscila-

dor harmonico pulsado enquanto que no capıtulo 5 e mostrado como implementar

fisicamente este modelo em ıons. Finalmente no capıtulo 6 sao apresentados os

resultados obtidos assim como uma discussao a respeito do limite classico desse

sistema.

4 CAPITULO 1. INTRODUCAO

Capıtulo 2

Ions Aprisionados

Na introducao falamos a respeito da importancia dos experimentos com ıons

aprisionados no estudo dos aspectos fundamentais da teoria quantica. Neste

capıtulo desenvolveremos as relacoes basicas da dinamica de um ıon interagindo

com campos eletromagneticos. Iniciaremos discutindo brevemente o movimento

quantizado do ıon numa armadilha de Paul para em seguida deduzir as equacoes

relativas a aplicacao de campos eletromagneticos externos ao mesmo.

2.1 Ions aprisionados e nıveis vibracionais

As armadilhas de Paul sao uma das mais utilizadas para o armazenamento de

um unico ıon [6, 7]. Nao faremos aqui uma deducao detalhada das equacoes da

armadilha 1 mas apenas nos limitaremos a uma descricao qualitativa da mesma

com o objetivo de introduzir o hamiltoniano que descreve a dinamica do centro de

massa do ıon.

Este tipo de armadilha combina a acao de campos eletrostaticos com campos

de radio frequencia (rf) dependentes do tempo. A utilizacao do campo de rf se de-

ve a impossibilidade de se gerar um potencial confinante nas 3 direcoes espaciais

somente com campos estaticos. Uma maneira ilustrativa de entender o funciona-

mento deste tipo de armadilha, em duas dimensoes, e a partir da rotacao de um

potencial tipo sela como mostra a fig. (2.1).

1Para uma discussao mais completa consultar [7] e suas referencias.

5

6 CAPITULO 2. IONS APRISIONADOS

(b)(a)

Figura 2.1: (a) Potencial tipo sela correspondendo a uma direcao estavel e ou-tra instavel. (b) A rotacao do mesmo com uma frequencia apropriada alterna asdirecoes gerando um potencial efetivo final estavel.

O campo estatico gera um potencial estavel em uma das direcoes e instavel em

outra (fig. 1-a). A rotacao alterna periodicamente essas direcoes de maneira que a

solucao final do problema e um potencial efetivo harmonico em todas as direcoes

(fig. 1-b)

V (xi) =∑

i=x,y,z

mν2i

2x2i . (2.1)

As frequencias νi podem ser diferentes umas das outras abrindo a possibilidade

de contrucao de armadilhas lineares [7] onde o movimento do ıon fica restrito prati-

camente a uma dimensao. Classicamente teremos entao uma partıcula movendo-

se sob um potencial harmonico na direcao i (x) e, portanto, o hamiltoniano do

sistema sera dado por

H0 =mν2

2x2 +

p2

2m. (2.2)

Podemos quantizar o movimento do ıon na armadilha substituindo as variaveis

x e p pelos operadores correspondentes x e p, observando-se as condicoes usuais

de comutacao entre os mesmos

H0 =mν2

2x2 +

p2

2m. (2.3)

2.1. IONS APRISIONADOS E NIVEIS VIBRACIONAIS 7

Os operadores de levantamento e abaixamento do oscilador harmonico sao de-

finidos, respectivamente, por

a† =1

2

(X − iP

)e a =

1

2

(X + iP

), (2.4)

com X = x/∆x e P = p/∆p. Nestas relacoes aparecem as dispersoes de posicao e

momentum do estado fundamental definidas, respectivamente, por

∆x =

√h

2mνe ∆p =

√hmν

2. (2.5)

Podemos, entao, reescrever o hamiltoniano livre do centro de massa do ıon na

armadilha, a menos de um termo constante, como

Hcm = hνa†a. (2.6)

Para uma descricao mais geral do ıon deve-se somar ao hamiltoniano vibracio-

nal uma parte relativa a energia dos seus nıveis eletronicos. Estaremos simplifi-

cando a estrutura interna do atomo considerando um sistema de dois nıveis como

ilustrado na fig. (2.2)

ν

Γ

|2〉

|1〉

ω21

Figura 2.2: Esquema de nıveis eletronicos e vibracionais do ıon. ω21 = ω2 − ω1 ea frequencia de transicao entre os nıveis 2 e 1, ν a frequencia vibracional e Γ umapossıvel taxa de decaimento entre os nıveis.

Esta simplificacao e justificada por ser a transicao 2 → 1 a unica ressonante

com os possıveis campos interagentes com o atomo. O hamiltoniano livre sera:

H0 = Hcm + Hele = hνa†a+ hω1A11 + hω2A22, (2.7)


onde Aij = |i〉〈j| sao, para i 6= j, os operadores de transicao eletronica, e, para i = j,

os projetores nos dois estados eletronicos.

2.2 Interacao com laser

A interacao da radiacao com o ıon confinado pode acontecer, dependendo da

frequencia do campo incidente, atraves de seus graus de liberdade internos, ou

externos. Entende-se por graus de liberdade internos aqueles associados com a

estrutura de nıveis eletronicos dos atomos enquanto que os externos representam

o movimento quantizado do centro de massa da partıcula.

As frequencias tıpicas de transicoes eletronicas nos experimentos com arma-

dilhas de ıons e da ordem de 1015Hz para as transicoes oticas, de GHz para as

transicoes entre nıveis hiperfinos enquanto que o centro de massa oscila na faixa

de uma dezena de MHz no mesmo tipo de montagem experimental [7, 8, 9, 10, 11].

Uma das caracterısticas notaveis que colocam o sistema de ıons aprisionados

em destaque no cenario de experimentos fundamentais em mecanica quantica ho-

je e a possibilidade de manipulacao de estados vibracionais atraves de estados

eletronicos e vice-versa. A producao de emaranhamento [8, 12], a construcao de

portas logicas quanticas [9, 13], a producao [10, 14] e deteccao de estados vibra-

cionais nao classicos [11, 15] e o teletransporte [16] sao exemplos de onde se tira

proveito dessa interligacao entre estados internos e externos do ıon.

Uma maneira simples de justificar que transicoes eletronicas podem afetar o

estado vibracional do sistema e pensando em conservacao do momento. Quan-

do um eletron transiciona de um estado para outro emitindo, por exemplo, um

foton, ele sofrera um recuo, alterando, portanto, seu estado de movimento. Es-

sas alteracoes podem ser desejaveis ou nao, dependendo se ocorrem de maneira

controlada atraves da interacao com os campos aplicados ou se acontecem ocasio-

nalmente por efeito de emissao espontanea.

2.2. INTERACAO COM LASER 9

Interacao direta com o centro de massa

Consideremos a situacao em que se aplica sobre o ıon, confinado a mover-se ao

longo do eixo Ox, um campo de radiofrequencia E(t), excitando, ressonantemente,

o movimento vibracional. A interacao direta deste campo com o centro de massa

do ıon pode ser descrita, desprezando a variacao do campo com x, atraves do

hamiltoniano [17, 18]

HI = −ex E(t) = −e√

h

2mν(a† + a)E(t). (2.8)

Vamos considerar um campo aproximadamente monocromatico oscilando com

a mesma frequencia que os ıons e com uma envoltoria E(t) lentamente variavel no

tempo. Passando para a descricao de interacao obtemos

˜HI = −µ

(˜a† + ˜a

) (E(+)(t)e−iνt + E(−)(t)eiνt

)

= −µ(a†eiνt + ae−iνt

)(E(+)(t)e−iνt + E(−)(t)eiνt

), (2.9)

onde E(+)(t) e E(−)(t) sao as envoltorias correspondentes as partes de frequencia po-

sitiva e negativa do campo, respectivamente, til representa operadores na descricao

de interacao e

µ ≡ −e√

h

2mν. (2.10)

Fazendo a aproximacao de onda girante, que consiste em desprezar termos

rapidamente oscilantes em (2.9), podemos escrever

˜HI = −µ

[E(+)(t)a† + E(−)(t)a

]. (2.11)

Interacao com nıveis eletronicos

Adicionaremos a situacao descrita pela fig. (2.2) a interacao com um laser de

frequencia ωL e vetor de onda kL. Na aproximacao de dipolo eletrico o hamiltoniano

e [17, 18]

H = Hcm + Hele + Hint

= hνa†a+ hω1A11 + hω2A22 +h

2ΩL(t)A21e

i(kLx·x−ωLt) +H.c., (2.12)


sendo Aij os operadores de transicao eletronica e x o operador posicao do centro

de massa do ıon definidos anteriormente e kLx = kL cos θ a componente do vetor

de onda na direcao de vibracao do ıon. A frequencia de Rabi ΩL(t) do sistema e

definida por

ΩL(t) = − 1

h|d12 · εL| EL (2.13)

onde εL e o vetor unitario na direcao de polarizacao do laser, EL a amplitude do

campo e d12 = −e〈1|r|2〉 o elemento de matriz do momento de dipolo eletrico entre

os estados 1 e 2, sendo r o vetor posicao do eletron.

A dependencia com o tempo na frequencia de Rabi e dada pelo perfil temporal

do campo aplicado. No caso de um laser contınuo esta dependencia temporal

nao existe e, portanto, ΩL(t) ≡ ΩL. Note que a aproximacao de dipolo eletrico

implica em desprezar a variacao do campo em uma regiao da ordem de grandeza

das dimensoes do ıon, contudo, a dependencia do campo com o centro de massa

do ıon e mantida.

O fato de o movimento ionico estar quantizado reflete-se no aparecimento do

operador x na parte espacial do hamiltoniano de interacao. Desta forma, a cada

transicao eletronica dada pelos operadores Aij = |i〉〈j|, teremos modificacoes no

estado vibracional. O efeito dessas alteracoes depende do campo empregado e

de que maneira o ıon encontra-se aprisionado. No entanto, podemos reunir os

diferentes fatores em um unico parametro chamado parametro de Lamb-Dicke η

que da uma medida da localizacao do atomo na armadilha, quando no estado

fundamental, em comparacao com o comprimento de onda da radiacao incidente

η = kL∆x cos θ = kL cos θ

√h

2mν=hkL cos θ

∆p, (2.14)

ou tambem a razao entre o momento do foton absorvido (ou emitido) e a incerteza

no momento do atomo (tambem quando no estado fundamental). Nas relacoes

acima θ e o angulo entre o eixo do movimento e o vetor de onda da radiacao.

Quando η e muito pequeno dizemos que estamos no limite de Lamb-Dicke. Nes-

sa regiao o ıon esta bem localizado na armadilha em relacao ao comprimento de

2.2. INTERACAO COM LASER 11

onda da radiacao e podemos considerar que somente o valor do campo no centro

do potencial harmonico e relevante para a interacao. Alem disso o momento do

f’oton e pequeno quando comparado com a incerteza no momento do ıon, ou se-

ja, o movimento do centro de massa do atomo e pouco influenciado pela radiacao

incidente. Quando nos afastamos do limite de Lamb-Dicke a variacao espacial do

campo torna-se relevante, gerando um comportamento nao-linear importante [19].

Supondo que o problema esteja restrito a uma dimensao e que a direcao de

incidencia do laser seja coincidente com o eixo de quantizacao podemos escrever

os modos espaciais do campo como

eikLx = eiη(a+a†) = e−η2/2∑

l,m

(iη)l+m

l!m!(a†)lam, (2.15)

onde na ultima igualdade foi utilizada a formula de Baker-Campbell-Hausdorff e

as exponenciais foram expandidas em a e a†.

A manipulacao controlada das alteracoes dos estados vibracionais atraves das

transicoes eletronicas sera possıvel se conseguirmos selecionar quais nıveis estarao

interagindo com o campo. O regime em que essa situacao e alcancada e chamado

de limite de banda lateral resolvida.

Resolver as bandas laterais significa que temos condicoes de escolher frequencias

do laser tais que se consiga diferenciar entre um estado vibracional e outro. Is-

so nao seria possıvel, por exemplo, se a largura em frequencia do campo, ou da

transicao eletronica, ou ainda o alargamento por potencia associado a ΩL fossem

maiores que a diferenca entre os nıveis vibracionais ja que, neste caso, varios esta-

dos vibracionais estariam envolvidos na transicao. Assim, para obtermos o limite

de banda lateral resolvida, devemos satisfazer a:

ν ΩL,Γ. (2.16)

Sob essas condicoes podemos sintonizar nosso laser na k-esima banda lateral,

ou seja, com uma frequencia ωL = ω21 − kν. Utilizando esta relacao podemos es-

crever o hamiltoniano (2.12) na descricao de interacao (indicada pelo til sobre o


operador)

˜H int =

hΩL

2e−η

2/2A21

∑

l,m

(iη)l+m

l!m!(a†)lamei(k+l−m)νt . (2.17)

Os termos rapidamente oscilantes terao contribuicao menor que os demais e

serao desprezados (aproximacao de onda girante), com isso, so reteremos os termos

com m = l+ k e o somatorio duplo reduz-se a um so

˜Hint =

hΩL

2A21(iη)kfk(a†a)ak + H.c.

= hg(A21d+ A12d†), (2.18)

com

fk(a†a) = e−(η2/2)

∞∑

l=0

(−1)lη2l

l!(k+ l)!a†

l

al (2.19)

e

d = fk(a†a)ak. (2.20)

Nesta forma fica evidente a atuacao do operador ak a cada vez que o ıon transiciona

do estado 1 para o 2 e seu hermiteano conjugado quando de 2 para 1. Alem disso,

e no operador fk e na escolha apropriada de k que residem as possibilidades de

comportamento nao-linear na dinamica vibracional [19, 20].

2.3 Efeitos da emissao espontanea

Para uma descricao completa da dinamica do ıon e necessario considerar, tambem,

a interacao do mesmo com um reservatorio de modos do campo eletromagnetico

que dara origem a emissao espontanea do atomo. A evolucao temporal do opera-

dor densidade total (incluindo as partes relativas ao movimento vibracional e aos

estados eletronicos), obtida a partir dos metodos usuais [20, 21], e

dρ

dt=

Γ

2

(2A12

¯ρA21 − A22ρ− ρA22

)(2.21)

onde Γ e a taxa de relaxacao da transicao eletronica e

¯ρ =1

2

∫ 1

−1dsW (s)eiηe(

ã+ ã†)sρ e−iηe(ã+ ã†)s (2.22)

2.3. EFEITOS DA EMISSAO ESPONTANEA 13

contem os efeitos da emissao na energia vibracional na direcao x. O parametro de

Lamb-Dicke para a emissao espontanea vale ηe =√hω2

21/2Mνc e a integral leva em

conta o perfil de emissao W (s) da transicao 2→ 1.

Para pequenos valores de η, podemos expandir as exponenciais na integral

de (2.22) e, supondo uma transicao de dipolo, substituir a distribuicao angular

W (s) por (3/4)(1− s2). Neste caso, os termos de ordem ımpar em s dao contribuicao

nula quando integrados com a funcao par W (s) e ¯ρ pode ser escrito como:

¯ρ = ρ+O(η2). (2.23)

Esta equacao mostra que a emissao espontanea so altera o movimento vibracional

em ordem de η2, ou seja, para pequenos valores do parametro de Lamb-Dicke e

uma boa aproximacao admitir que o decaimento preserva o estado vibracional do

ıon.

Capıtulo 3

Engenharia de Reservatorios

3.1 Introducao

Uma consequencia fundamental da teoria quantica e a existencia de superpo-

sicoes coerentes de estados [22]. Esses estados aparecem em abundancia quando

descrevemos fotons, atomos ou spins mas geram estranheza quando transporta-

dos ao mundo macroscopico. Ao definirmos os estados possıveis de uma moeda

como cara ou coroa, ou de um objeto macroscopico como estando a direita ou

esquerda, achamos natural que estes sistemas se encontrem em uma das duas

condicoes mas o que seriam eles numa combinacao dos dois estados possıveis?

Uma sensacao de desconforto pode aparecer naqueles que tentam imaginar tais

estados talvez por jamais terem sido observados no mundo a nossa volta. Para ou-

tros, mais incomodo que imaginar tais estados e explicar porque nao os detectamos

no mundo macroscopico [23].

Segundo o princıpio da correspondencia [24] deverıamos obter, num certo limi-

te, os resultados classicos a partir da teoria quantica. Seria, entao, fundamental,

para entender a conexao entre as duas teorias, explicar o fato de so observarmos

superposicoes coerentes de estados em sistemas microscopicos.

O princıpio da superposicao e uma previsao valida somente para sistemas fe-

chados, ou seja, isolados completamente do mundo exterior. No entanto, sabemos

que tal situacao nao ocorre no mundo real devido a presenca de interacoes entre o

sistema estudado e o ambiente a sua volta.

15

16 CAPITULO 3. ENGENHARIA DE RESERVATORIOS

Esse acoplamento leva ao desaparecimento das superposicoes de estados tor-

nando-as misturas estatısticas. A esse processo onde as interferencias quanticas

dao lugar ao aparecimento de distribuicoes classicas de probabilidade da-se o nome

de descoerencia [3]. Esse fenomeno ocorre numa escala de tempo extremamente

curta para sistemas macroscopicos e isso explicaria por que observamos moedas

somente nos estados cara ou coroa, objetos macroscopicos a direita ou esquerda e

nunca numa superposicao desses estados macroscopicamente distintos.

A descoerencia, hoje, desempenha um papel fundamental no entendimento do

limite classico da mecanica quantica, mas, por outro lado, aparece tambem como

um obstaculo basico a implementacao de processos susceptıveis aos seus efeitos

como, por exemplo, a computacao quantica. Compreender os mecanismos da per-

da de coerencia tornou-se importante tanto para entender a emergencia do mundo

classico a partir do quantico, quanto para evitar seus efeitos indesejaveis em pro-

cessos onde e importante a manutencao da coerencia.

Observar esse processo de descoerencia e uma tarefa ardua ja que a escala de

tempo em que ele ocorre e muito curta e diminui a medida em que a superposicao

vai se tornando mais macroscopica [3]. Os avancos nos experimentos com sis-

temas mesoscopicos possibilitou a observacao da descoerencia em eletrodinamica

quantica de cavidades[25] e em ıons aprisionados [26].

Em cavidades a fonte de perda de coerencia e natural e provem, principalmen-

te, das imperfeicoes nas superfıcies refletoras que confinam o campo. Em arma-

dilhas de ıons o processo natural, associado a emissao espontanea e a interacao

de campos flutuantes com o centro de massa, tambem ocorre mas existe a pos-

sibilidade de gerar ambientes ou reservatorios artificiais atraves da interacao do

atomo com campos eletromagneticos, abrindo espaco para um estudo sistematico

da descoerencia [27, 28].

Ao introduzir a interacao com um reservatorio devemos optar por uma aborda-

gem do problema que leve em consideracao o grande numero de graus de liberdade

do ambiente e, consequentemente, a impossibilidade de conhecimento de seu es-

3.1. INTRODUCAO 17

tado. Devemos usar, portanto, uma descricao estatıstica do sistema atraves da

evolucao do operador densidade dada pela chamada equacao mestra. Independen-

te da forma do acoplamento e adotando a hipotese Markoviana, podemos escrever

a equacao para a dinamica reduzida do sistema interagindo com o banho na forma

geral de Lindblad [29]:

dρ

dt= Lρ ≡

∑

i

(γi/2)(2 ci ρ c

†i − c†i ci ρ− ρ c†i ci

). (3.1)

Esta equacao serve como um modelo para a interacao de um sistema com o am-

biente em diversas situacoes. No caso de ıons aprisionados tal equacao e utilizada

para descrever o processo de descoerencia no movimento vibracional associado a

existencia de campos indesejaveis oriundos de imperfeicoes nas armadilhas; em

cavidades, descreve a perda de fotons atraves de imperfeicoes nos espelhos, por

exemplo. O interessante no caso de ıons e que a equacao (3.1) pode ser obtida, me-

diante certas aproximacoes, a partir da interacao do sistema isolado com campos

eletromagneticos, possibilitando, assim, a geracao de reservatorios artificiais.

A primeira proposta nesse sentido foi feita por Poyatos e colaboradores [27] e

faz uso da influencia que as transicoes eletronicas exercem sobre o movimento

vibracional do ıon. Outra maneira de gerar reservatorios artificiais e atraves da

manipulacao de campos eletromagneticos aleatorios interagindo diretamente com

o movimento do centro de massa ionico.

No primeiro caso e utilizado o procedimento de eliminacao adiabatica para que

equacoes que misturam os graus de liberdade eletronicos e vibracionais (2.18,2.21)

possam ser levadas a uma equacao efetiva, puramente vibracional, na forma (3.1).

O segundo metodo, por sua vez, nao envolve transicoes eletronicas, dispen-

sando o uso da eliminacao adiabatica. No entanto, sao necessarias algumas con-

sideracoes sobre os campos aleatorios para que uma equacao que descreve uma

interacao hamiltoniana (2.12) possa ser transformada em uma outra que descreve

uma interacao com um banho (3.1).

Apresentaremos, aqui, uma generalizacao do metodo proposto em [27] assim


como o metodo de interacao direta para produzir diferentes tipos de reservatorios.

3.2 Eliminacao adiabatica e equacoes mestras

3.2.1 Apresentacao do metodo

Como dissemos anteriormente, nosso objetivo agora consiste em combinar os

efeitos da emissao espontanea e da interacao de campos eletromagneticos na evo-

lucao vibracional para obter uma dinamica efetiva na forma (3.1). Para tanto e

necessario eliminar o nıvel eletronico excitado adiabaticamente de maneira a limi-

tar o problema a uma evolucao puramente vibracional.

Fisicamente a ideia e simples: o eletron pode transicionar do nıvel 1 para o 2

atraves da interacao com o campo (2.18) e do nıvel 2 para o 1 atraves do mesmo

campo ou a partir de um decaimento espontaneo (ver figura (2.2)). Se conside-

rarmos que a taxa de decaimento e muito alta, na verdade muito maior que as

demais taxas do problema, o eletron passa muito pouco tempo no nıvel superior ja

que decai espantaneamente muito rapido. Isso significa que, na media, o ıon esta

praticamente o tempo todo no estado eletronico fundamental 1 e seu estado pode

ser fatorado em ρtotal = |1〉〈1| ⊗ ρv, onde ρv representa a dinamica vibracional.

Para demonstrar a ideia acima, iniciamos escrevendo uma equacao geral que

combina a atuacao dos campos aplicados dados por (2.18), os efeitos da emissao

espontanea (2.21) e a interacao com um reservatorio natural na forma (3.1)

dρ

dt= − i

h

[˜H int, ρ

]+

Γ

2

(2A12

¯ρA21 − A22ρ− ρA22

)+ Lρ. (3.2)

A adicao do termo Lρ decorre da existencia de interacoes naturais do ıon com o

meio a sua volta que nao podem ser controladas. Devemos notar que este nao e o

reservatorio construıdo artificialmente mas aquele responsavel pelos processos de

descoerencia nos experimentos, por isso chamado de natural.

Projetando (3.2) na base eletronica obtemos:

˙ρ11 = −ig(d†ρ21 − ρ12d) + Γ¯ρ22 + Lρ11 , (3.3)

˙ρ22 = −ig(dρ12 − ρ21d†)− Γρ22 + Lρ22 , (3.4)

3.2. ELIMINACAO ADIABATICA E EQUACOES MESTRAS 19

˙ρ12 = −ig(d†ρ22 − ρ11d†)− Γ

2ρ12 + Lρ12 , (3.5)

onde d e d† sao definidos por (2.20) e

¯ρ22 =1

2

∫ 1

−1dsW (s)eiηe(

ã+ ã†)sρ22 e−iηe(ã+ ã†)s. (3.6)

Admitindo que a taxa de decaimento Γ e muito maior que todas as demais taxas

do problema (g e γ) podemos eliminar adiabaticamente o nıvel superior. Matemati-

camente isso pode ser feito impondo ˙ρ12 = 0 nas equacoes acima o que nos leva a

uma expressao para ρ12 dada por:

ρ12 = −2ig

Γ

(d†ρ22 − ρ11d

†)

[1 +O(γ/Γ)] , (3.7)

onde o termo de ordem γ/Γ vem de L ∝ γ.

O resultado pode ser obtido de uma maneira mais formal utilizando um proce-

dimento iterativo. Primeiro integra-se a equacao (3.5) obtendo-se

ρ12(t) = ρ12(0)e−Γ2t − ig

∫ t

0dt′e−

Γ2

(t−t′)(d†ρ22(t′)− ρ11(t

′)d†)

+∫ t

0dt′e−

Γ

2(t−t′)Lρ12(t′) (3.8)

e depois substitui-se essa solucao obtida para ρ12 no lado direito da equacao acima.

O desenvolvimento desta etapa nos fornece:

ρ12(t) = ρ12(0)e−Γ

2t [1 +O(γ/Γ)]− ig

∫ t

0dt′e−

Γ

2(t−t′)

(d†ρ22(t′)− ρ11(t′)d†

)

−ig∫ t

0dt′∫ t′

0dt′′e−

Γ

2(t−t′′)L

(d†ρ22(t′′)− ρ11(t′′)d†

)

+

∫ t

0dt′∫ t′

0dt′′e−

Γ

2(t−t′′)L2ρ12(t′′). (3.9)

Supondo que o nucleo da integral e uma funcao lentamente variavel comparada

com a taxa Γ podemos dizer que as contribuicoes relevantes aparecem quando

t′, t′′ ≈ t e, portanto, e possıvel passar o nucleo para fora da integral. Integrando

agora em t′′ e t′ tem-se:

ρ12(t) = ρ12(0)e−Γ

2t [1 + O(γ/Γ)]− i2g

Γ

(d†ρ22(t)− ρ11(t)d†

) (1− e−Γt

2

)[1 + O(γ/Γ)]

+O

[(γ

Γ

)2].(3.10)


Na verdade, existem variacoes rapidas no nucleo das integrais em (3.9) mas es-

tas acontecem num transiente muito rapido que ocorre em uma escala de tempo

da ordem de 1/Γ. Para descrever o sistema apos este tempo curto a aproximacao

e boa e podemos prosseguir com a eliminacao adiabatica. Impondo que t >> 1/Γ

podemos desprezar os termos exponenciais em (3.10) de forma a obter novamen-

te (3.7).

Lembrando que ρv = ρ11 + ρ22, substituindo (3.7) em (3.3) e (3.4) e somando-as

teremos

˙ρv =2g2

Γ

[(2dρ11d

† − d†dρ11 − ρ11d†d)

+(2d†ρ22d− dd†ρ22 − ρ22dd

†)]

−Γ(ρ22− ¯ρ22

)+ Lρv, (3.11)

onde desprezamos os termos da ordem de γ/Γ.

Devemos notar no entanto que ρ22 tambem deve ser eliminado adiabaticamente

de modo que, de (3.7) e (3.4), ρ22 ≈ O[(g/Γ)2

]ρ11. Pode-se, portanto, aproximar ρv

por ρ11. Neste caso podemos escrever

˙ρv =2g2

Γ

(2dρvd

† − d†dρv − ρvd†d)− Γ

(ρ22− ¯ρ22

)+ Lρv, (3.12)

O primeiro termo da equacao acima corresponde ao reservatorio artificial na

forma de Lindblad com taxa de decaimento Γeng = 4g2/Γ. Note que o operador d que

aparece neste termo pode assumir diferentes formas dependendo do acoplamento

com os campos aplicados (veja (2.20)), ou seja, modificando a interacao com o laser

alteramos o tipo de reservatorio construıdo.

O termo proporcional a Γ merece algumas consideracoes. E nele que se en-

contra a integral de emissao espontanea e por isso mesmo sua importancia pe-

rante os demais termos depende do parametro de Lamb-Dicke. Expandindo as

exponenciais e desprezando os termos em η4 na expressao de ¯ρ22 obtem-se uma

contribuicao da ordem de (η2/5)Γengρv, ou seja, (2η2/5) vezes o termo de reservatorio

artificial. Parametros de Lamb-Dicke tıpicos mostram que esta contribuicao e pe-

quena (η ≈ 0.2 implica em um fator da ordem de 1/60) e a equacao (3.12) reduz-se


a

˙ρv =Γeng

2

(2dρvd

† − d†dρv − ρvd†d)

+ Lρv, (3.13)

3.2.2 Reservatorio a temperatura nula

Um reservatorio a temperatura zero e aquele em que o operador d e substituıdo

por a que e obtido selecionando k = 1 no hamiltoniano (2.18). Fisicamente a escolha

desse operador e simples, basta sintonizar o laser numa frequencia ωL = ω21 − ν.

Alem disso, e conveniente posicionar os feixes de laser de maneira a produzir um

parametro de Lamb-Dicke pequeno ja que, nesse limite, o operador fk reduz-se a

1. A figura (3.1-a) representa o esquema do ıon interagindo com o laser para um

sistema de dois nıveis tratado aqui.

|2〉

|1〉 |1〉n=0

n=3n=2n=1

ΓΩL

(a)

n=1 n=2 n=3

n=0

a

(b)

Figura 3.1: (a) Esquema de dois nıveis para a producao de um reservatorio a tem-peratura zero. Um laser de frequencia de Rabi ΩL e sintonizado na primeira bandalateral no vermelho, ou seja, ωL = ω21− ν. (b) Dinamica efetiva do movimento vibra-cional do ıon: o reservatorio provoca um esfriamento do sistema ate que ele atinjao estado fundamental atraves de transicoes do tipo n+ 1→ n.

Como foi mostrado anteriormente, se as condicoes para a eliminacao adiabatica

forem satisfeitas, o problema se restringe a dinamica dos graus de liberdade exter-

nos obedecendo a seguinte equacao mestra:

˙ρ =Γeng

2

(2aρa† − a†aρ− ρa†a

)(3.14)

O efeito do laser e levar o ıon de um estado vibracional mais excitado no nıvel

eletronico 1 (|1, n + 1〉) para o proximo estado menos excitado no nıvel eletronico


2 (|2, n〉). Desprezando os termos em η2 em (2.23), pode-se dizer que, ao decair,

o ıon mantem seu estado vibracional terminando no estado |1, n〉. A dinamica

efetiva pode ser descrita atraves da atuacao sucessiva do operador a como ilustra

a figura (3.1-b).

A partir de (3.14) podemos calcular os valores esperados de alguns operado-

res para tentarmos compreender o efeito deste acoplamento com o ambiente. O

procedimento e bastante simples ja que podemos utilizar que 〈O〉 = TrρO e

〈 ˙O〉 = TrρO.

Com o auxılio dessas relacoes obtemos para os valores medios:

i) 〈a〉 = −Γeng2〈a〉

ii) 〈n〉 = −Γeng〈n〉

iii) 〈x〉 = −Γeng2〈x〉 (3.15)

iv) 〈p〉 = −Γeng2〈p〉

Por esses resultados vemos que, com o passar do tempo, os valores medios

calculados decaem a zero, ou seja, o estado inicial evolui para o estado do vacuo.

Uma alternativa a descricao do problema feita atraves do operador densidade

e da equacao mestra e a utilizacao de representacoes deste mesmo operador no

espaco de fase. Na fısica classica, distribuicoes de probabilidade no espaco de fase

sao muito utilizadas em problemas de mecanica estatıstica e de sistemas dinamicos

caoticos. Em mecanica quantica o conceito de espaco de fase fica problematico

devido ao princıpio de incerteza de Heisenberg. Como nao e possıvel determinar,

simultaneamente, a posicao e o momento de uma partıcula, nao se pode definir

uma distribuicao de probabilidade propriamente dita para um sistema quantico.

No entanto, dispomos de funcoes que tem propriedades semelhantes as en-

contradas nas distribuicoes de probabilidade no espaco de fase. As chamadas

distribuicoes de quasi-probabilidades [17] tem se mostrado uteis tanto como ins-

trumento de calculo em mecanica quantica como no estudo da conexao entre esta

e a mecanica classica.


Dentre as possıveis representacoes no espaco de fase a funcao de Wigner [31]

e uma das mais utilizadas para a analise do limite classico da mecanica quantica.

Esta funcao contem toda a informacao a respeito do estado quantico assim como

o operador densidade e e definida por:

W (q, p) =1

2πh

∫ +∞

−∞eipx/h

⟨q − x

2

∣∣∣ρ∣∣∣q +

x

2

⟩dx, (3.16)

onde∣∣∣q+ x

2

⟩e um autoestado do operador posicao. Em termos de a e a† tem-se [32]

W (α, α∗) = 2Tr[ρD(α, α∗)eiπa

†aD−1(α, α∗)], (3.17)

com o operador deslocamento D(α, α∗) = e(αa†−α∗ a).

Como principais propriedades podemos destacar a obtencao das distribuicoes

de probabilidade marginais a partir da integracao da funcao de Wigner

P (q) = 〈q|ρ|q〉 =

∫ +∞

−∞dpW (q, p), P (p) = 〈p|ρ|p〉 =

∫ +∞

−∞dqW (q, p) (3.18)

e o calculo do valor medio de operadores simetricos de forma semelhante as inte-

grais classicas no espaco e fase

〈O(q, p)sim〉 = Tr(ρ O(q, p)sim) =

∫ ∫dqdpW (q, p)O(q, p). (3.19)

Alem de ser um valioso instrumento de visualizacao e calculo, a funcao de Wig-

ner e importante tambem nos processos experimentais de recontrucao dos estados

quanticos. Medidas indiretas da funcao de Wigner ja foram realizadas em campos

eletromagneticos [33] e tambem em ıons [11] e, recentemente, a primeira proposta

de medida direta da funcao de Wigner em cavidades [34] foi realizada experimen-

talmente [35].

Definida a funcao de Wigner, podemos determinar sua dinamica. Como ela

e definida a partir do operador densidade, a equacao que governa sua dinamica

pode ser obtida a partir da equacao mestra (3.14). Para tanto basta utilizar algu-

mas relacoes entre os operadores a e a† aplicados a ρ e os operadores diferenciais

aplicados a funcao de Wigner [36]:

i)ρa† →(α∗ +

1

2∂α)W (α) (3.20)


ii)a†ρ→(α∗ − 1

2∂α)W (α) (3.21)

iii)aρ→(α+

1

2∂α∗

)W (α) (3.22)

iv)ρa→(α − 1

2∂α∗)W (α). (3.23)

Aplicando as relacoes anteriores obtemos a chamada equacao de Fokker-Plank

para a funcao de Wigner que, neste caso, e dada por

∂tW =Γeng

2

(2 + α∂α + α∗∂α∗ + ∂2

α,α∗

)W, (3.24)

em termos de α e α∗ ou

∂tW =Γeng

2

(2 + x∂x + p∂p +

h

2mν∂2x2 +

hmν

2∂2p2

)W, (3.25)

em termos de x e p.

Os termos com derivada primeira sao chamados de termos de arrasto enquanto

que os que contem derivada segunda sao conhecidos como termos de difusao.

Os primeiros representam um deslocamento da funcao de Wigner no espaco de

fase e estao associados a existencia de dissipacao. Ja os termos difusivos estao

associados com os fenomenos de flutuacao.

A figura (3.2) mostra a funcao de Wigner para um estado inicial coerente (a) e o

estado final do vacuo (b) obtida atraves da solucao de (3.14). Um fato interessante

para este tipo de reservatorio e que o estado coerente se mantem coerente a medida

em que vai se aproximando do vacuo.

3.2.3 Reservatorio de aquecimento

A interacao com o ambiente nao esta restrita a perdas como observado no caso

anterior. Podemos imaginar uma situacao em que o banho funcione como um meio

de ganho para o sistema o que acontece, no caso do ıon, se trocarmos a por a† na

equacao mestra:

˙ρ =Γeng

2

(2a†ρa− aa†ρ− ρaa†

)(3.26)

No sistema real, essa inversao e efetuada alterando a frequencia do laser de

ωL = ω21 − ν para ωL = ω21 + ν, ou seja, sintonizando a primeira banda lateral no


(b)(a)

Figura 3.2: Efeito do reservatorio a temperatura nula: um estado coerente inicialcentrado em (1.5, 1.5) (fig.a) e deslocado para o vacuo (0, 0) (fig.b).

azul. Com essa escolha a dinamica efetiva para o centro de massa e ditada por

transicoes para estados vibracionais mais excitados (n → n + 1) como ilustrado na

figura (3.3).

|2〉

|1〉 |1〉n=0

n=3n=2n=1

(a) (b)

ΩLΓ

n=0

n=3n=2n=1

a†

Figura 3.3: Esquema de producao de um reservatorio que aquece. Um laser defrequencia de Rabi ΩL sintonizado na primeira banda lateral no azul, ou seja, ωL =ω21 + ν. (a) Esquema de dois nıveis. (b) Esquema efetivo da dinamica vibracional:a acao do operador a† elevando os estados do oscilador harmonico e justamenteinversa a do operador a no reservatorio a temperatura nula.

Procedendo da mesma forma que na secao anterior calculamos os seguintes

valores medios:

i) 〈a〉 =Γeng

2〈a〉;


ii) 〈n〉 = Γeng〈n〉+ Γeng ;

iii) 〈x〉 =Γeng

2〈x〉; (3.27)

iv) 〈p〉 =Γeng

2〈p〉.

A equacao de Fokker-Plank fica:

∂tW =Γeng

2

(−2− α∂α − α∗∂α∗ + ∂2

α,α∗

)W, (3.28)

ou, em termos de x e p,

∂tW =Γeng

2

(−2− x∂x − p∂p +

h

2mν∂2x2 +

hmν

2∂2p2

)W. (3.29)

A interpretacao e semelhante a da secao anterior: pelos valores medios vemos

que ha um aquecimento do sistema que se afasta da origem. Isso e confirmado

observando os termos de arrasto na equacao de Fokker-Plank que possuem sinal

diferente do mostrado em (3.24).

3.2.4 Reservatorio de fase

Poyatos, Cirac e Zoller mostraram que, no limite de Lamb-Dicke, pode-se criar

reservatorios onde o operador d em (3.13) e uma combinacao linear dos operadores

a e a†. Nossa deducao da equacao mestra para reservatorios, por outro lado, inde-

pende do valor de η o que possibilita a criacao de operadores d mais gerais que os

propostos em [27].

Um dos possıveis reservatorios onde sao exploradas as nao linearidades do sis-

tema de ıons em armadilhas e o conhecido como reservatorio de fase. Utilizan-

do um laser ressonante com a transicao 2 → 1 e mantendo termos ate a segun-

da ordem em η, alem portanto do limite de Lamb-Dicke, obtem-se um operador

d linear em relacao ao operador numero n = a†a como pode ser visto substi-

tuindo k = 0 em (2.19). Na verdade o operador obtido nao e exatamente n pois

f0(a†a) = e−η2/2(1− η2n

). No entanto isso nao e problema, pois, com o auxılio de

um outro laser ressonante, atuando numa direcao y perpendicular ao eixo x com


ηy 1, pode-se fazer uma engenharia de hamiltoniano [37] produzindo o operador

desejado. O hamiltoniano que combina a acao desses dois lasers e:

Hint = Hx + Hy =h

2A21

[Ωxf0x + Ωy f0y

]+H.c. (3.30)

com f0x(a†a) ≈ e−η

2x/2(1− η2

xn)

e f0y ≈ 1. Se as frequencias de Rabi do problema

obedecerem a condicao

Ωy = −Ωxe−η2

x/2, (3.31)

entao o hamiltoniano final fica

Hint = hgA21n+ H.c., (3.32)

com g = −Ωxe−η2

x/2η2/2. Neste caso tem-se como equacao mestra

˙ρ(t) =Γeng

2

(2nρ(t)n† − n†nρ(t)− ρ(t)n†n

)(3.33)

e, para os valores medios,

i) 〈a〉 = −Γeng2〈a〉;

ii) 〈n〉 = 0;

iii) 〈x〉 = −Γeng2〈x〉; (3.34)

iv) 〈p〉 = −Γeng2〈p〉.

A figura (3.4) mostra o resultado da evolucao de um estado coerente como o

da figura (3.2-a) em contato com um reservatorio de fase. O centro da distribuicao

desloca-se para a origem como indica o calculo dos valores medios mas assume um

aspecto circular onde o raio depende de 〈n〉 que e mantido. Perde-se, entretanto,

qualquer informacao sobre a fase o que pode ser visto pela forma simetrica da

funcao em torno da origem. E importante notar que se tivessemos iniciado com

um estado de Fock |m〉 nao terıamos qualquer alteracao ja que o mesmo e um

autovetor do operador numero.


Figura 3.4: Efeito do reservatorio de fase: estado coerente inicial centrado em(1.5, 1.5) (a) e levado a um estado centrado na origem mas sem qualquer informacaosobre fase (b).

3.3 Interacao com campos aleatorios: reservatorio difusi-vo

Em experimentos recentes com ıons, campos aleatorios, provavelmente oriun-

dos de flutuacoes nos eletrodos que compoem a armadilha, parecem desempenhar

um papel importante no processo de descoerencia. Mostraremos a seguir que o

efeito destes campos tambem pode ser descrito por uma equacao mestra na forma

de Lindblad (3.1).

Consideremos um campo eletromagnetico classico, aleatorio e quasi-monocroma-

tico, ressonante com a frequencia ν da armadilha:

E(t) = E(+)(t)e−iνt + E(−)(t)eiνt , (3.35)

onde E±(t) sao envoltorias dependentes do tempo. Desprezamos aqui a dependencia

espacial do campo na regiao ocupada pelo ıon, ou seja, estamos considerando a

aproximacao de dipolo eletrico.

A interacao direta do campo classico com os graus de liberdade externos do ıon

foi apresentada no primeiro capıtulo, sendo dada atraves do hamiltoniano (2.11):

˜HI = −µ

[E(+)(t)a† + E(−)(t)a

].

3.3. INTERACAO COM CAMPOS ALEATORIOS: RESERVATORIO DIFUSIVO 29

A evolucao da matriz densidade sera dada pela equacao de Von-Neumann ˙ρ =

− ih [

˜HI , ρ]. Integrando entre t and t + ∆t e iterando esta equacao teremos:

∆ρ(t) = ρ(t+ ∆t)− ρ(t) =1

ih

∫ t+∆t

t[˜HI(t

′), ρ(t)]dt′

+( 1

ih

)2 ∫ t+∆t

tdt′∫ t′

tdt′′[

˜HI(t

′), [ ˜HI(t

′′), ρ(t′′)]]. (3.36)

Como uma primeira aproximacao vamos supor que ∆t e muito menor que o

tempo caracterıstico T de evolucao de ρ. Podemos, portanto, desprezar a evolucao

de ρ(t) no ultimo termo da equacao (3.36) substituindo ρ(t′′) por ρ(t). Utilizando o

hamiltoniano (2.11) e as aproximacoes acima, podemos expandir os comutadores

e obter para a variacao do operador densidade:

∆ρ(t) =iµ

h

∫ t+∆t

tdt′[(E(+)(t′)a† + E(−)(t′)a)ρ(t)− ρ(t)(E (+)(t′)a† + E(−)(t′)a)

]

− µ2

h2

∫ t+∆t

tdt′∫ t′

tdt′′ E(+)(t′)E(+)(t′′)

[a†

2

ρ(t)− 2a†ρ(t)a† + ρ(t)a†2]

+ E(−)(t′)E(−)(t′′)[a2ρ(t)− 2aρ(t)a+ ρ(t)a2

]

+ E(+)(t′)E(−)(t′′)[a†aρ(t)− aρ(t)a† − a†ρ(t)a+ ρ(t)aa†

]

+ E(+)(t′′)E(−)(t′)[aa†ρ(t)− aρ(t)a† − a†ρ(t)a+ ρ(t)a†a

]. (3.37)

Da realidade do campo temos E (±)(t) = E(∓)∗(t) e podemos escrever as amplitu-

des complexas E (+) e E(−) como uma soma das partes real e imaginaria

E(±)(t) = Er(t)± iEi(t) . (3.38)

A aleatoriedade do campo exige que tomemos uma media estatıstica na equacao

para ρ levando em conta a distribuicao estatıstica do campo. Este procedimento

leva ao aparecimento de valores medios e funcoes de correlacao do campo eletrico

na equacao mestra. Para prosseguir devemos comecar a fazer consideracoes a

respeito do processo aleatorio. Assumindo que o campo tenha media nula resta-

nos calcular:

i) 〈E(±)(t)E(±)(t′)〉 ,

ii) 〈E(+)(t)E(−)(t′)〉 = 〈E(−)∗(t)E(−)(t′)〉 ≡ D(t′ − t) ,


iii) 〈E(−)(t)E(+)(t′)〉 = 〈E(−)∗(t′)E(−)(t)〉 ≡ D(t− t′) = D∗(t′ − t) .

Expressando estas equacoes em termos da parte real e imaginaria do campo

complexo, obtem-se

D(t′ − t) = 〈Er(t)Er(t′)〉+ 〈Ei(t)Ei(t′)〉+

+ i(〈Er(t)Ei(t′)〉+ 〈Ei(t)Er(t′)〉

), (3.39)

e

〈E(±)(t)E(±)(t′)〉 = 〈Er(t)Er(t′)〉 − 〈Ei(t)Ei(t′)〉+

+ i(〈Er(t)Ei(t′)〉+ 〈Ei(t)Er(t′)〉

). (3.40)

Supondo que o processo seja estacionario de segunda ordem pode-se mos-

trar [38] que:

〈Er(t)Er(t′)〉 = 〈Ei(t)Ei(t′)〉 ,

〈Er(t)Ei(t′)〉 = −〈Ei(t)Er(t′)〉 = 0 .

Com o auxılio destas equacoes teremos

〈E(±)(t)E(±)(t′)〉 = 0 (3.41)

e

D(t′ − t) = D(t− t′) = 2〈Er(t)Er(t′)〉 . (3.42)

Substituindo estes resultados na equacao mestra e assumindo que o processo

seja Markoviano, de tal maneira que D(t − t′) = Dδ(t − t′) 1, obtemos a equacao

mestra na forma de Lindblad (3.1):

˙ρ = −µ2D

h2

[(a†aρ− 2aρa† + ρa†a) + (aa†ρ− 2a†ρa+ ρaa†)

]. (3.43)

1A rigor nao podemos tomar a correlacao proporcional a uma funcao delta pois isso implicarianum espectro de E(t) infinitamente largo o que invalidaria a consideracao anterior de que o campoe quasi-monocromatico. Na pratica, necessitamos apenas que a largura temporal de D(t − t′) sejamuito menor que a escala tıpica de evolucao de ρ(t) e, ao mesmo tempo, muito maior que o perıodode oscilacao. Essa condicao pode ser verificada desde que µ2D/h2 << ν.

3.3. INTERACAO COM CAMPOS ALEATORIOS: RESERVATORIO DIFUSIVO 31

Esta equacao contem mecanismos de resfriamento e aquecimento do movimen-

to vibracional do ıon, correspondendo, respectivamente, a primeira e a segunda

contribuicao no lado direito da equacao, com a mesma taxa µ2Dh2 ≡ Γeng

2 . E interes-

sante comparar este reservatorio com um reservatorio termico descrito por

˙ρ = γ[(n+ 1)

(2aρa† − a†aρ− ρa†a

)+ n

(2a†ρa− aa†ρ− ρaa†

)]. (3.44)

Considerando a temperatura do reservatorio termico infinita, ou seja, n → ∞

podemos aproximar n + 1 por n de maneira que a equacao mestra se reduz a

˙ρ = γn[(

2aρa† − a†aρ− ρa†a)

+(2a†ρa− aa†ρ− ρaa†

)]. (3.45)

Esta equacao e identica a (3.43) se γn = Γeng/2 = µ2D/h2. Note que temos, na

verdade, um duplo limite em que n → ∞ e γ → 0, de modo que γn permanece

constante. Como a equacao mestra para um reservatorio a temperatura infinita

corresponde a soma das equacoes dos reservatorios de aquecimento e resfriamento

com a mesma taxa Γeng, o mesmo acontecera com os valores medios e, portanto,

teremos:

i) 〈a〉 = 0;

ii) 〈n〉 = Γeng〈n〉;

iii) 〈x〉 = 0; (3.46)

iv) 〈p〉 = 0.

A equacao de Fokker-Plank fica:

∂tW = Γeng∂2α,α∗W, (3.47)

ou, em termos de x e p,

∂tW = Γeng

(h

2mν∂2x2 +

hmν

2∂2p2

)W. (3.48)

Esta equacao apresenta somente termos de difusao pois o arrasto proveniente

do resfriamento cancela com o termo de aquecimento. A figura (3.5) mostra um


(b)(a)

Figura 3.5: Funcao de Wigner relativa ao estado do vacuo (a) e ao estado evoluıdoa partir da interacao com um reservatorio difusivo (b). Ha um alargamento nadistribuicao sem alterar o seu centro.

estado coerente evoluindo a partir de (3.43): o centro da distribuicao mantem-se

na mesma posicao enquanto que a largura aumenta com o tempo. Este reservatorio

e bastante util se quisermos estudar o fenomeno de descoerencia na ausencia de

termos dissipativos.

3.4 Protecao de estados quanticos

A tentativa de suprimir o processo de descoerencia tem sido um grande desafio

nos ultimos anos motivado, principalmente, pelos avancos na teoria de informacao

quantica onde a preservacao da coerencia quantica e extremamente importan-

te [39, 40]. Algumas tentativas nesse sentido foram adotadas como o uso de

processos de retro-alimentacao (“feedback”) [41, 42] e tecnicas de desacoplamen-

to dinamico [43]; outras, por sua vez, admitem a existencia dos efeitos danosos

da descoerencia e procuram corrigı-los como no caso dos esquemas de correcao

quantica de erros [44].

Em ıons aprisionados o principal efeito de descoerencia acontece no movimen-

to vibracional e pode, em certos casos, ser amenizado com o uso da tecnica de

3.4. PROTECAO DE ESTADOS QUANTICOS 33

engenharia de reservatorio associada a ideia de “estados ponteiro”.

A interacao de um sistema quantico com o ambiente a sua volta leva ao emara-

nhamento entre os dois e a uma perda irreversıvel de informacao sobre o sistema.

Os conjuntos de estados menos sensıveis a esse emaranhamento sao chamados de

“estados ponteiro” e dependem da forma do hamiltoniano de interacao entre siste-

ma e ambiente. No decorrer da interacao, o operador densidade reduzido do sis-

tema torna-se diagonal na base de estados ponteiro transformando superposicoes

desses estados em misturas estatısticas.

O mecanismo de protecao consiste em procurar formas artificiais de reservatorio

que tenham como estado ponteiro aquele estado que se quer preservar [45]. A

base de estados ponteiros e dada pelo conjunto de autoestados do operador d que

aparece em (3.13). Se d for hermiteano, entao os estados ponteiros serao estados

estacionarios de (3.13) sem a parte relativa ao reservatorio natural, caso contrario,

os estados ponteiros so serao estacionarios se o autovalor correspondente for nulo.

De fato, suponhamos que |ψ〉 seja um autoestado de d com autovalor λ de tal

forma que d|ψ〉 = λ|ψ〉. Substituindo este estado como uma tentativa de solucao

estacionaria para a equacao do reservatorio artificial teremos:

˙ρ =Γeng

2

[2d|ψ〉〈ψ|d†− d†d|ψ〉〈ψ| − |ψ〉〈ψ|d†d

]

=Γeng

2

[2|λ|2|ψ〉〈ψ|− λd†|ψ〉〈ψ|− λ∗|ψ〉〈ψ|d

](3.49)

Note que se d for hermiteano teremos automaticamente, para qualquer autova-

lor λ, a condicao ˙ρ = 0 satisfeita. Quando relaxamos a condicao de hermiticidade

do operador d precisamos impor que o autovalor λ seja nulo para termos um estado

estacionario.

E evidente que se a dinamica fosse dada exclusivamente pelo reservatorio artifi-

cial resolverıamos o problema encontrando o estado estacionario, entretanto, existe

a interacao natural que pode levar a um estado diferente daquele que se quer prote-

ger. A solucao para isso e impor que o reservatorio artificial tenha um acoplamento

mais forte com o sistema que o natural, ou seja, que na equacao (3.13) tenhamos


Γeng γ.

Existe ainda uma terceira imposicao que e ter o estado que se quer proteger

como o unico estado estacionario. Isso e importante para que a dinamica do reser-

vatorio natural nao possa induzir transicoes entre estados estacionarios diferentes

impossibilitando assim a protecao.

3.4.1 Protecao de uma combinacao linear de autoestados de energiado movimento vibracional ionico

Mostraremos, agora, como proteger uma combinacao linear arbitraria do tipo

|ψ〉 =N∑

n=0

cn|n〉. (3.50)

Um operador d = g(n)a + h(n) pode ter |ψ〉 como unico autovetor com autovalor

zero obedecidas certas condicoes. De fato, aplicando d em |ψ〉, teremos:

d|ψ〉 =N∑

n=0

h(n)cn|n〉+ g(n− 1)√ncn|n− 1〉. (3.51)

Impondo a condicao de autovalor zero a equacao acima obtem-se:

N∑

n=0

h(n)cn|n〉+ g(n− 1)√ncn|n− 1〉 = 0,

o que implica na unica solucao

g(n) =−h(n) cn

cn+1

√n + 1

(n = 0, ...N − 1) (3.52)

e

h(N) = 0. (3.53)

Devemos notar, ainda, que N e o primeiro zero de h(n).

Encontrado o operador d que protege o estado em questao, deve-se mostrar de

que forma e possıvel construı-lo em ıons aprisionados. O operador g(n)a e obtido

a partir de N lasers sintonizados na primeira banda lateral no vermelho do ıon de

modo que o hamiltoniano (2.18) fique:

˜Hint =

hA21

2

N∑

n=1

iηnΩnf1(a†a)a+H.c.. (3.54)


Sujeitando este hamiltoniano a condicao (3.52) teremos um sistema de equacoes

lineares relacionando as frequencias de Rabi dos N lasers dado porN∑

n=1

e−η2n/2ηnΩn

m∑

l=0

(−1)lη2ln

l!(l+ 1)!

m!

(m− l)! =ih(m) cm

cm+1

√m+ 1

. (3.55)

O operador h(n) e construıdo iluminando o ıon com dois campos de laser resso-

nantes com a transicao eletronica mas com um deles se propagando numa direcao

y, perpendicular ao eixo x, com ηy 1. O procedimento e semelhante ao descrito

na secao (3.2.4) assim como o hamiltoniano obtido:

Hint = Hx + Hy =h

2A21

[Ωxf0x(a†a) + Ωyf0y(a

†a)]

+H.c.. (3.56)

Como consideramos ηy 1 entao podemos fazer a aproximacao f0y ≈ 1. Com o

auxılio de (2.19) e das relacoes:

al|m〉 =

√m!

(m− l)! |m− l〉, (3.57)

(a†)l|m〉 =

√(m+ l)!

m!|m+ l〉, (3.58)

Lm(x) =m∑

l=0

(−1)lm!

l!(m− l)!xl

l!, (3.59)

onde Lm(x) e um polinomio de Laguerre de ordem m, podemos obter a funcao

f0x(m) = f0x(a†a)|m〉 = e−η2x/2Lm(η2

x). (3.60)

O valor de h(m) sera:

h(m) = Ωxe−η2

x/2Lm(η2x) + Ωy (3.61)

e a condicao h(N) = 0 e obtida se

Ωy = −Ωxe−η2

x/2LN (η2x). (3.62)

A protecao de uma combinacao linear arbitraria pode ser teoricamente alcancada

a partir do mecanismo mostrado aqui mas o numero de lasers necessario para atin-

gir este objetivo pode ser grande demais inviabilizando um tentativa experimental

nesse sentido. Por outro lado, esse metodo pode ser facilmente particularizado pa-

ra estados que nao ocupem valores muito altos na base de autoestados de energia

o que diminuiria o numero de lasers exigidos para a protecao.


3.4.2 Protecao de um “qubit”

Um importante exemplo de estado que pode ser protegido atraves deste metodo

e o estado de um bit quantico ou simplesmente “qubit”:

|ψ〉 = c0|0〉+ c1|1〉. (3.63)

De acordo com a discussao acima, este estado pode ser protegido com o uso de

apenas tres lasers cujas frequencias de Rabi obedecem a:

iηΩx

Ω1=c1

c0(3.64)

e

Ωy

iΩ1= e−η

2/2 1− η2

η

c1

c0, (3.65)

onde consideramos que os parametros de Lamb-Dicke para os lasers de frequencias

de Rabi Ω1 e Ωx sao iguais (ηx = η1 = η).

E importante analisar as ordens de grandeza das frequencias envolvidas para

verificar a viabilidade experimental da protecao. Neste caso, Γeng = η2Ω21/Γ e, para

que o reservatorio artificial supere o natural, e necessario que Γeng γ. Esta

condicao deve respeitar, ainda, os requisitos para a eliminacao adiabatica: Γ,Ω1

ν e Γ ηΩ1. Estas exigencias sao satisfeitas se Γ ≈ 4MHz, Ω1 ≈ 2MHz, η = 0.2,

ν ≈ 20 − 30MHz de modo que Γeng ≈ 40KHz γ. Estes valores encontram-se

dentro, ou muito proximos, da realidade experimental.

A figura (3.6) mostra a evolucao da fidelidade F (t) = Tr(ρpρ(t)) em funcao do

tempo (expresso em unidades de γt) com ρp correspondente ao estado a ser prote-

gido, no caso |ψp〉 = (|0〉 + |1〉)/√

2. Em (a) o estado inicial e |ψp〉 enquanto que em

(b) e um estado termico com n = 0.5. As duas curvas vao para o mesmo estado

estacionario com fidelidade proxima a um o que mostra que alem de um mecanis-

mo de protecao temos um processo para a producao do estado. As curvas (c) e (d)

mostram a evolucao sem protecao com reservatorios termico e difusivo, respectiva-

mente. As curvas de fidelidade para a protecao em presenca de um banho termico


(a) ou de um reservatorio difusivo (nao mostrado) sao praticamente iguais, neste

caso.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6

c

d

b

a

F (t)

γt

Figura 3.6: Evolucao da fidelidade em funcao do tempo em presenca de um reser-vatorio termico com n = 0.5 (a), (b), (c) e com um reservatorio difusivo (d). Em (c)e (d) estao representadas as dinamicas na ausencia de protecao, enquanto que em(a) e (b) temos Γeng/γ = 30. O estado inicial e |ψ(0)〉 = (|0〉+ |1〉)/

√2 para (a), (c), (d) e

um estado termico para (b).

3.4.3 Protecao de um estado comprimido

Um estado coerente e um estado de incerteza mınima que tem o produto ∆X∆P =

1, com ∆X = ∆P . No espaco de fase sua representacao e uma gaussiana como ilus-

trado na figura (3.7-a). Um estado comprimido tambem tem incerteza mınima mas

uma de suas quadraturas, X por exemplo, tem dispersao menor que a do estado

coerente enquanto que a quadratura conjugada deve ter dispersao maior que a do

estado coerente. A funcao de Wigner deste estado e uma gaussiana deformada na

forma de uma elipse (fig 3.7-b).

O estado comprimido pode ser obtido a partir de um estado coerente |α〉 atraves

da aplicacao do operador de compressao S(z) [17, 46]

|sz,α〉 = S(z)|α〉, (3.66)


(b)(a)

∆P

∆X∆X0

∆P0

Figura 3.7: Representacao de um corte sobre a funcao de Wigner para um estadocoerente (a) e um estado comprimido em x (b).

com S(z) = e1

2(z∗ a2−z(a†)2) e z = reiθ, sendo r o fator de compressao do estado e θ o

angulo que indica a direcao da compressao.

Vimos que um reservatorio a temperatura nula leva qualquer estado para o

vacuo e, particularmente, mantem um estado coerente sempre coerente ate atingir

o estado fundamental. A partir destas observacoes nota-se que o operador d que

protege o vacuo e simplesmente o operador a.

A protecao de um estado comprimido obtido a partir do vacuo, ou seja, |sz,0〉 =

S(z)|0〉 pode ser alcancada atraves de uma transformacao do operador a, dada por:

A(z) = S(z)aS†(z) = a cosh r+ a†eiθsenh r. (3.67)

Note que um estado comprimido |sz〉 e autoestado de A(z)

A(z) |sz,α〉 = S(z)aS†(z)S(z)|α〉

= S(z)a|α〉

= α|sz,α〉. (3.68)

Em particular, se o estado for o vacuo comprimido o autovalor sera α = 0 e, por-

tanto podemos protege-lo simplesmente usando o operador A(z). Para simplificar,

escolheremos o operador d = a+χa† onde χ = tanh r. Este operador pode ser obtido

a partir de dois lasers, alinhados na direcao de compressao, ressonantes com a


primeira banda lateral no vermelho (laser 1) e no azul (laser 2) com frequencias

de Rabi que obedecem a Ω2/Ω1 = χ, desde que Ω2 < Ω1. A figura (3.8) mostra

as simulacoes feitas a partir desse operador para η = 0.05 e r = 0.6. Note que a

obtencao do operador desejado a partir de a garante que o autoestado correspon-

dente e o unico com autovalor nulo, pois ele e obtido atraves de uma transformacao

unitaria a partir do vacuo, que e o unico autoestado com autovalor 0 de a.

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6

a

b

c

d

F (t)

γt

Figura 3.8: Evolucao da fidelidade em funcao do tempo em presenca de um reser-vatorio termico com n = 0.5 (a) e (c) e com um reservatorio difusivo (b) e (d). Em(c) e (d) estao representadas as dinamicas na ausencia de protecao, enquanto queem (a) e (b) temos Γeng/γ = 30. Neste caso, o estado a ser protegido ρp e um estadocomprimido para r = 0.6 e coincide com o estado inicial ρ(0).

3.4.4 Protecao de um estado tipo gato de Schrodinger

Um estado tipo gato de Schodinger [47] |φ+〉 = (|α〉+ i| − α〉)/√

2 tambem possui um

operador d que o protege. Para encontrar esse operador podemos usar a mesma

ideia usada para estados comprimidos, ou seja, um operador transformado a partir

de a.

O operador unitario T = e[inπ(n−1)/2]e(αa†−α∗ a) quando aplicado no vacuo fornece

|φ+〉, logo, se escolhermos o operador d = T aT † = eiπna + iα teremos |φ+〉 como


unico autoestado com autovalor zero deste operador e, portanto, esse estado sera

protegido.

A figura (3.9) mostra a protecao de um estado tipo gato a partir desse operador.

Um problema ainda aberto e como produzir o operador d com um numero finito de

lasers.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6

b

a

d c

γt

F (t)

Figura 3.9: Evolucao da fidelidade em funcao do tempo em presenca de um reser-vatorio termico com n = 0.5 (a) e (c) e com um reservatorio difusivo (b) e (d). Em (c)e (d) estao representadas as dinamicas na ausencia de protecao, enquanto que em(a) e (b) temos Γeng/γ = 150. O estado inicial e |φ+〉 com α2 = 3.

Como nao e sabido como produzir o operador d, podemos imaginar a protecao

de um estado que aproxime o estado tipo gato. Na secao 2.4.1 foi visto como e

possıvel, utilizando N+2 lasers, produzir e proteger a expansao (3.50) que, por sua

vez, pode aproximar o estado |φ+〉, bastando, para isso, escolher os N primeiros

coeficientes de |ψ〉 de forma a coincidirem com os coeficientes de |φ+〉.

Capıtulo 4

Caos Classico: o OsciladorHarmonico Pulsado

O interesse pela fısica classica foi renovado nos ultimos anos devido ao desen-

volvimento da teoria de sistemas nao-lineares onde destaca-se o aparecimento de

dinamicas bastante variadas que apresentam o caos determinıstico.

Tomado por emprestimo da linguagem coloquial, o termo caos pode dar a im-

pressao de aleatoriedade, desordem. Na verdade, um sistema dinamico caotico e

determinıstico, ou seja, obedece rigorosamente a equacoes de movimento obtidas

a partir de leis fısicas.

A incapacidade de previsao nao vem de uma aleatoriedade intrınseca do pro-

blema mas de uma sensibilidade as condicoes iniciais. Esta e a caracterıstica

fundamental de um sistema caotico: situacoes iniciais ligeiramente distintas po-

dem resultar em estados finais completamente diferentes um do outro. Como nao

podemos determinar as condicoes iniciais com precisao infinita num experimento

real, devido as limitacoes dos aparelhos, ou mesmo numa simulacao computa-

cional, devido aos arredondamentos, apos um certo tempo, solucoes inicialmente

proximas podem estar muito afastadas, ou seja, perdemos a previsibilidade.

Ao solucionarmos as equacoes de movimento do problema encontramos como

as variaveis X evoluem com o tempo obtendo o que chamamos de trajetoria X(t)

do sistema. A separacao X(t) − X′(t) entre duas trajetorias inicialmente muito

proximas apresenta comportamentos distintos dependendo se o sistema e caotico

41

42 CAPITULO 4. CAOS CLASSICO: O OSCILADOR HARMONICO PULSADO

ou regular. A figura (4.1) mostra esta diferenca para o caso de um oscilador

harmonico submetido a pulsos periodicos em uma situacao regular (curva a) e

em outra caotica (curva b). No primeiro caso a diferenca fica praticamente cons-

tante enquanto que no outro as trajetorias se afastam. O afastamento medio das

trajetorias nos sistemas caoticos se da de forma exponencial.

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 10 20 30 40 50 60 70

t

(b)

(a)

|x(t

)−x′ (t)|

Figura 4.1: Diferenca entre a evolucao da posicao x de um oscilador pulsado a partirde duas condicoes iniciais separadas por 10−3m para uma regiao de parametrosonde o comportamento e regular (a) e outra onde ha caos (b).

4.1 Equacoes de movimento e mapeamento

O primeiro passo para determinar se um sistema pode exibir caos ou nao e

analisar suas equacoes de movimento. Matematicamente teremos equacoes dife-

renciais do tipo

X = F(X, t) (4.1)

que serao ditas autonomas se a funcao F for independente do tempo e nao-autonomas,

em caso contrario.

Uma condicao necessaria para o aparecimento do caos e a existencia de nao-

linearidades. Alem disso, o sistema deve ter mais de dois graus de liberdade ou ser

nao-autonomo.

4.1. EQUACOES DE MOVIMENTO E MAPEAMENTO 43

Para introduzir os conceitos basicos da teoria de sistemas dinamicos de que

necessitamos utilizaremos um modelo particular: o oscilador harmonico pulsa-

do [49, 50]. Esta nao e a escolha mais simples do ponto de vista matematico mas,

como veremos no proximo capıtulo, se adequa ao modelo fısico de ıons aprisiona-

dos.

Consideremos uma partıcula de massa m submetida a um potencial harmonico

e tambem a pulsos periodicos no tempo supostos suficientemente curtos para

que possamos aproxima-los por funcoes delta. O Hamiltoniano que descreve esta

situacao e:

H =p2

2m+mν2x2

2+ Aclf(x)

∑

n

δ(t− nτ), (4.2)

onde ν e a frequencia de oscilacao, τ o intervalo de tempo entre os pulsos e f(x)

a dependencia espacial dos mesmos. Adotando f(x) = cos(2kx) as equacoes de

movimento serao:

x =∂H

∂p=

p

m, (4.3)

p = −∂H∂x

= −mν2x+ 2Acl k sen(2kx)∑

n

δ(t− nτ). (4.4)

Poderıamos integrar estas equacoes e encontrar a trajetoria do problema porem

uma abordagem mais simples pode ser adotada. Ao inves de analisarmos a cur-

va de (x(t), p(t)) ao longo do tempo podemos nos deter somente nas solucoes em

determinados instantes. Tomam-se as intersecoes entre a trajetoria do problema

e planos paralelos ao plano x, p separados de τ entre si, desta maneira, obtem-se

a secao de Poincare do sistema que, neste caso particular, e um grafico estro-

boscopico.

A vantagem deste procedimento e que mesmo simplificando a visualizacao do

problema podemos ainda caracterizar sua dinamica. A figura (4.2) mostra de ma-

neira esquematica a evolucao de alguns tipos de trajetoria. Trajetorias cıclicas

reduzem-se a um ou mais pontos (finitos) no espaco de fase (fig. 4.2-a), curvas qua-

siperiodicas geram infinitos pontos que se fecham numa curva (fig. 4.2-b) enquanto


que trajetorias caoticas espalham-se pelo espaco de fase ocupando-o totalmente ou

dando origem a fractais (fig. 4.2-c).

Xn+1

t

Xn

(a)

(b)

(c)

x

p

p

p

p

x

x

x

Figura 4.2: Na figura a esquerda temos um esquema para obtencao do mapa es-troboscopico a partir de uma trajetoria (x(t), p(t)), a direita temos a secao estro-boscopica obtida para sitemas: (a) periodico, (b) quasi-periodico e (c) caotico.

Encontrar os pontos da secao estroboscopica fica simples num sistema de

equacoes do tipo (4.3,4.4) que podem ser transformadas em um mapa discreto.

A figura (4.3) ilustra a situacao: ha uma evolucao harmonica de duracao τ inter-

calada por pulsos de duracao δt.

X+0 X+

2

τ

X0 X2X+1X1

δt

Figura 4.3: Representacao esquematica da dinamica do oscilador pulsado. Asolucao se divide na atuacao do pulso entre Xn e X+

n e na evolucao livre do os-cilador harmonico entre X+

n e Xn+1.

Entre os pulsos, a solucao e dada por uma simples rotacao correspondente

a evolucao livre do oscilador harmonico que, usando a notacao da figura (4.3),

4.1. EQUACOES DE MOVIMENTO E MAPEAMENTO 45

corresponde a:

Xn+1 =

(xn+1

pn+1

)= RXn =

(cos(ντ) sen(ντ)/mν

−mν sen(ντ) cos(ντ)

)(x+n

p+n

). (4.5)

Durante os pulsos, a evolucao livre e desprezada ja que δt e considerado muito

pequeno quando comparado com o tempo de oscilacao. Com isso, a relacao entre

as solucoes imediatamente antes e apos cada pulso e obtida a partir da integracao

de (4.4) desprezando os termos harmonicos:

X+n =

(x+n

p+n

)=

(xn

pn + 2Acl k sen(2kxn)

). (4.6)

Agrupando (4.5) e (4.6) podemos escrever de que maneira se relacionam as

solucoes imediatamente antes de cada pulso:

xn+1 = cos(ντ)xn + sen(ντ)/mν [pn + 2Acl k sen(2kxn)] , (4.7)

pn+1 = −mν sen(ντ)xn + cos(ντ) [pn + 2Acl k sen(2kxn)] . (4.8)

E interessante escrever este mapa em termos das variaveis adimensionais u =

2kp/(mν) e v = 2kx:

vn+1 = fv = cos(α)vn + sen(α) [un + Kclsen(vn)] , (4.9)

un+1 = fu = −sen(α)vn + cos(α) [un +Kclsen(vn)] . (4.10)

Em termos das novas variaveis o mapa apresenta dois parametros importantes:

Kcl = 4Aclk2/mν e α = ντ = 2π

q . O primeiro indica o quao forte sao os impulsos

sofridos pelo oscilador e esta relacionado com a importancia do termo nao-linear e

consequentemente com o aparecimento de caos no sistema: note que, para Kcl =

0 nao ha caos. O parametro α e a razao q entre o intervalo de tempo entre os

pulsos e o perıodo de oscilacao natural do sistema. Para q = 1 (ressonancia) e

q = 2 nao ha caos enquanto que para q = 3, 4, 6 temos o aparecimento de redes

com simetria cristalina no espaco de fase [50]. Outros valores de q, como 5 ou 7,

tambem apresentam caos porem gerando redes quasi-cristalinas. No que segue

consideraremos somente os valores inteiros de q, particularmente o caso q = 6.


A secao de Poincare mostra o quao rico pode ser o comportamento desse siste-

ma. Ha o aparecimento de teias, por onde o sistema pode difundir, e regioes regu-

lares onde o sistema fica confinado. A figura (4.4) mostra a secao estroboscopica

obtida a partir de (4.9) e (4.10) para q = 4 e q = 6, ambas com Kcl = 2.0. Cada figura

apresenta quatro trajetorias distintas evoluıdas durante 8000 pulsos mostrando a

existencia de ilhas de estabilidade e regioes caoticas.

-15

-10

-5

0

5

10

15

-15 -10 -5 0 5 10 15-15

-10

-5

0

5

10

15

-15 -10 -5 0 5 10 15

u

v

u

v

(a) (b)

Figura 4.4: Secao de Poincare para q = 4 (a) e q = 6 (b). Observa-se a simetriatetraedrica e hexagonal associadas aos respectivos valores de q assim como a coe-xistencia de regioes regulares e caoticas.

Observa-se, pela figura (4.5), que ha um aumento da area ocupada pelas teias e,

em contrapartida, uma diminuicao na regiao regular quando aumentamos Kcl, ou

seja, quanto maior o valor de Kcl mais rapida e a difusao. Entretanto, ao contrario

do que ocorre no sistema de rotor pulsado, nao existe valor crıtico de Kcl para o

qual o caos comeca a se manifestar.

A difusao atraves do espaco de fase neste sistema e ilimitada e valores cada

vez maiores de v e u sao atingidos a medida em que cresce o tempo de observacao.

Classicamente isto nao e um grande entrave numerico mas, como veremos adiante,

quanticamente torna-se impraticavel o calculo em situacoes como esta. A solucao

esta em encontrar parametros que sejam ao mesmo tempo interessantes do ponto

de vista do caos classico e ainda assim dentro dos limites computacionais impostos

4.2. LINEARIZACAO E PONTOS FIXOS 47

-15

-10

-5

0

5

10

15

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-150

-100

-50

0

50

100

150

-150 -100 -50 0 50 100 150

u

v

u

v

Figura 4.5: Duas secoes de Poincare para Kcl = 2.0 e Kcl = 2.3, ambas para q = 6.A figura da direita corresponde ao maior valor de Kcl e, consequentemente, a umadifusao mais rapida. Note a diferenca entre as escalas e uma ocupacao maior doespaco de fase.

pela solucao quantica. Dentro deste contexto estaremos procurando valores de Kcl

grandes o suficiente para possibilitar a visualizacao do caos e pequenos o suficiente

para que v e u nao crescam muito rapidamente.

4.2 Linearizacao e pontos fixos

A escolha dos parametros para a exploracao numerica do espaco de fase do

problema torna-se um pouco mais simples se pudermos descobrir, a partir das

equacoes (4.9) e (4.10), algo mais sobre sua dinamica como, por exemplo, a existencia

de pontos fixos e a analise de sua estabilidade.

Seja um mapa geral dado por

Xn+1 = F(Xn). (4.11)

Os pontos fixos X∗ sao aqueles que nao se alteram com a aplicacao do mapa, ou

seja,

F(X∗) = X∗. (4.12)

A linearizacao de (4.11) e obtida atraves de uma expansao em torno do ponto


fixo:

δn+1 = Xn+1 −X∗

= F(Xn)−X∗

≈ DF(X∗)δn, (4.13)

onde DF(X∗) e a matriz jacobiana que, no caso do mapa definido por (4.9) e (4.10),

e dada por:

DF(X∗) =

( ∂fv∂v

∂fv∂u

∂fu∂v

∂fu∂u

), (4.14)

onde as derivadas sao avaliadas em X∗.

A estabilidade local na vizinhanca destes pontos fixos pode ser analisada a par-

tir dos autovalores desta matriz.

No caso de um mapa bidimensional, a figura (4.6) mostra o que pode aconte-

cer em alguns casos dependendo dos autovalores λ1 e λ2. No caso de autovalores

reais o ponto fixo pode ser um no instavel quando os pontos tendem a se afastar

de X∗, um no estavel quando a dinamica aproxima os pontos de X∗ ou um pon-

to hiperbolico quando ha uma direcao estavel e outra instavel. A existencia de

autovalores complexos gera o aparecimento de espirais divergentes e convergentes

para nos instaveis e estaveis, respectivamente, e ainda os pontos fixos elıpticos que

possuem orbitas estaveis ao seu redor.

Podemos passar, entao, a aplicacao deste tipo de analise no caso do oscila-

dor harmonico pulsado. Utilizando a definicao (4.12) e o mapa definido por (4.9)

e (4.10)obtemos as seguintes equacoes para v∗ e u∗:

v∗ =Kcl sen(α) sen(v∗)

2(1− cos(α))(4.15)

u∗ = −Kclsen(v∗)2

(4.16)

A analise de estabilidade e feita atraves dos autovalores da matriz

DF =

(cos(α) + sen(α)Kclcos(v∗) sen(α)

−sen(α) + cos(α)Kclcos(v∗) cos(α)

)(4.17)

4.2. LINEARIZACAO E PONTOS FIXOS 49

λ1, λ2 reais

λ1 = λ∗2 = ρeiφ

ρ > 1 ρ < 1 ρ = 1

(a) (b) (c)

(e) (f)(d)

λ1, λ2 > 1 λ1, λ2 < 1 λ1 < 1, λ2 > 1

Figura 4.6: Analise da estabilidade local dependendo dos autovalores: o ponto fixopode ser um no instavel (a) e (d), um no estavel (b) e (e), um ponto hiperbolico (c)ou elıptico (f).

O ponto (0, 0) e uma solucao de (4.15) e (4.16) e os autovalores λ1 e λ2 de (4.17)

associados a ele estao mostrados na figura (4.7) como funcao de Kcl. Note que, a

partir de Kcl ≈ 1.155 o ponto fixo deixa de ser elıptico e passa a ser hiperbolico.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

=(λ2)

<(λ2)

<(λ1)

=(λ1)

Figura 4.7: Autovalores λ1 e λ2 em funcao de Kcl.

Existem tambem pontos fixos elıpticos como (1.71,−0.99) e (−1.71, 0.99), para

Kcl = 2.0, que aparecem claramente na figura (4.8) assim como as direcoes estavel

e instavel dadas pelos autovetores de (4.17) para a origem. Esta figura corresponde

a uma visao ampliada da regiao central da figura (4.4-b).


-3

-2

-1

0

1

2

3

-3 -2 -1 0 1 2 3

Figura 4.8: Comportamento do oscilador pulsado na vizinhanca da origem paraq = 6 e Kcl = 2.0.

Os pontos hiperbolicos estao associados ao aparecimento do caos e sobre-

vivem mesmo ao introduzirmos os termos nao-lineares. A vantagem em utili-

zar parametros onde a origem e um ponto hiperbolico esta em poder observar a

dinamica caotica sem que o sistema se espalhe demais no espaco de fase. Por esse

motivo, estaremos trabalhando com os valores da figura (4.8) de agora em diante.

4.3 Evoluindo uma distribuicao classica de probabilidades

As trajetorias classicas mostradas ate aqui foram obtidas a partir da aplicacao

de (4.9) e (4.10) em uma condicao inicial escolhida (v0, u0). Poderıamos, entretanto,

imaginar uma situacao mais geral onde nao soubessemos, com certeza, o ponto

inicial (v0, u0) mas apenas a probabilidade de termos escolhido este ponto. Neste

caso, terıamos varias trajetorias possıveis iniciando em condicoes iniciais distin-

tas e com probabilidades diferentes. A pergunta agora nao seria mais como um

determinado ponto evolui mas sim como a distribuicao de probabilidades inicial e

modificada com o tempo.

A figura (4.9) mostra a evolucao de uma distribuicao de probabilidades gaus-

siana, centrada na origem, para o mapa (4.9,4.10). O cenario do caos esta visi-

velmente presente com o afastamento em uma direcao, a contracao em outra e

4.3. EVOLUINDO UMA DISTRIBUICAO CLASSICA DE PROBABILIDADES 51

as dobras da distribuicao de probabilidades. Este processo onde a distribuicao se

estica e depois se dobra e tıpico de uma dinamica onde pontos inicialmente muito

proximos acabam distanciando-se. Na figura (4.10) pode-se observar este afasta-

mento, depois de passados 10 pulsos, a partir da difusao das cores: o vermelho,

por exemplo, que estava inicialmente concentrado na origem agora se encontra

espalhado por varias regioes do espaco de fase. E interessante notar que com es-

te procedimento observa-se uma dinamica analoga a obtida atraves da analise de

uma unica trajetoria. A comparacao entre a figura (4.8) e a figura (4.9) para N = 10,

por exemplo, mostra bem essas semelhancas.

Uma medida do afastamento de pontos inicialmente proximos devido a dinamica

caotica, visto na figura (4.10), pode ser obtida atraves do expoente de Lyapunov

definido por

λL = limN→∞

λ0(x0, N), (4.18)

com o expoente de Lyapunov local λ0(x0, N) sendo

λ0(x0, N) = limε→0

1

Nln[d(ε, N)/ε], (4.19)

onde ε e a separacao inicial entre x0 e uma condicao inicial vizinha e d(ε, N) e a

distancia entre as trajetorias originarias desses pontos apos N iteracoes. O ex-

poente de Lyapunov descreve uma taxa de expansao media do sistema. Expoen-

tes positivos significam que pequenas incertezas nas condicoes iniciais crescem

na media enquanto que expoentes negativos significam uma contracao. Em outras

palavras, um expoente de Lyapunov positivo implica em sensibilidade as condicoes

iniciais.

A figura (4.11) mostra este expoente para diversos valores de Kcl obtido para

uma distribuicao de probabilidade inicial gaussiana centrada na origem. O grafico

e obtido calculando-se o expoente de Lyapunov para cada ponto do espaco de

fase [51] e depois fazendo uma media levando em consideracao as probabilidades

dos mesmos. Para Kcl = 2 o expoente e bem pequeno (λL = 0.067) e isso mostra o

porque da lenta difusao observada para este valor de Kcl em torno da origem. Ao


N = 5N = 4

N = 1 N = 2N = 0

N = 3

N = 6 N = 7

N = 9 N = 10

N = 8

N = 20

Figura 4.9: Evolucao de uma distribuicao de probabilidades gaussiana centrada naorigem do espaco de fase em funcao do numero N de pulsos.

4.4. EVOLUCAO CLASSICA COM RESERVATORIOS 53

(b)(a)

Figura 4.10: Distribuicao de probabilidades apos 10 pulsos (a) e a ampliacao deuma regiao (b).

aumentarmos este parametro o expoente de Lyapunov tambem cresce levando o

sistema a se espalhar rapidamente.

Ainda pensando na comparacao com a dinamica quantica, percebemos que ha

vantagens em analisar distribuicoes ao inves de trajetorias. A evolucao quantica

nao se da a partir de um ponto no espaco de fase mas a partir de um estado

do qual podemos tirar as probabilidades de x e p. Desta forma nota-se que uma

dinamica classica baseada em distribuicoes de probabilidades se assemelha mais

ao que acontece com o caso quantico.

4.4 Evolucao classica com reservatorios

A evolucao caotica analisada anteriormente pode ser bastante modificada se

considerarmos a possibilidade de existencia de dissipacao ou mesmo de interacoes

que produzam difusao no sistema. Estas situacoes, que no caso quantico corres-

pondem ao reservatorio a temperatura nula e ao reservatorio puramente difusivo,

respectivamente, podem ser tambem introduzidas na dinamica classica.


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1 2 3 4 5 6 7 8 9

λL

Kcl

Figura 4.11: Expoente de Lyapunov medio para a distribuicao de probabilidadeinicial mostrada na figura (4.9).

4.4.1 Reservatorio dissipativo

Um reservatorio a temperatura zero pode ser obtido colocando o oscilador num

meio viscoso que atenua as oscilacoes atraves de uma forca de atrito proporcional

a velocidade. A equacao diferencial que representa esta situacao e:

x+ ν2x+ Γx =2Acl k

msen(2kx)

∑

n

δ(t− nτ). (4.20)

Esta equacao e identica a obtida para os valores esperados quanticos a partir da

equacao mestra (3.14) adicionando o termo dos pulsos.

Com um procedimento analogo ao feito no caso conservativo, podemos obter o

mapa da evolucao dissipativa que, ja nas variaveis adimensionais v e u, fica:

vn+1 = e−β[cos(α) +

β

αsen(α)

]vn + e−βsen(α)

[un +Kclsen(vn)

](4.21)

un+1 = −e−β[1 +

(βα

)2]sen(α)vn + e−β

[cos(α)− β

αsen(α)

][un +Kclsen(vn)

], (4.22)

com β = Γτ/2 = Γα/2ν.


Este novo mapa tem como pontos fixos

v∗ =eβKcl sen(α) sen(v∗)[1− 2 eβcos(α) + e2β]

(4.23)

u∗ =eβKclsen(v∗)[cos(α)− ( βα)sen(α)− 1]

[1− 2 eβcos(α) + e2β](4.24)

Para entender melhor o que ocorre neste caso, vamos assumir um determinado

valor para a intensidade do pulso (Kcl = 2) e variar o parametro de dissipacao. Pa-

ra pequenos valores do parametro de dissipacao o ponto fixo (0, 0) continua sendo

hiperbolico mas os dois pontos fixos vizinhos a ele passam de elıpticos a estaveis,

atraindo as trajetorias ao redor dos mesmos. Aumentando o valor de β, estes pon-

tos fixos vao se deslocando para a origem ate que para β ≈ 0.83 a origem passa a ser

o ponto de atracao do sistema. Este processo esta ilustrado na figura (4.12) onde

vemos as trajetorias de duas condicoes iniciais distintas para diferentes valores da

dissipacao.

E importante notar que a introducao da dissipacao nao implica no desapareci-

mento do caos. O comportamento do sistema vai depender dos valores de Kcl e de

β podendo aparecer atratores estranhos como o ilustrado na figura (4.13).

Para se ter uma ideia desse comportamento em funcao dos parametros, calcu-

lamos o expoente de Lyapunov para varios valores de Kcl e β atraves do mesmo

procedimento utilizado no caso conservativo mudando apenas o mapa. Na figu-

ra (4.14) podemos identificar claramente as regioes onde o expoente de Lyapunov

e positivo e, portanto, temos caos e as regioes onde ele e negativo ou nulo. A escala

de cores da figura vai desde um azul escuro representando os valores mais nega-

tivos ate o vermelho que indica os valores mais altos do expoente passando pelo

verde mais claro que corresponde ao zero. E interessante notar que uma pequena

dissipacao ja elimina o caos para pequenos valores deKcl ao passo que e necessaria

uma dissipacao bem maior quando se aumenta a intensidade dos pulsos.

4.4.2 Reservatorio difusivo

Um reservatorio difusivo pode ser pensado como o resultado de colisoes aleatorias


-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-3 -2 -1 0 1 2 3

(c)

(b)(a)

Figura 4.12: Secao estroboscopica do mapa dissipativo para: β = 0.1 (a), β = 0.4(b) e β = 0.85 (c). Nas tres figuras aparece a secao do mapa conservativo paracomparacao.


-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

-1

-0.5

0

0.5

1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2

Figura 4.13: Secao estroboscopica do mapa dissipativo para β = 0.85 e Kcl = 20.

Kcl

β

λL

Figura 4.14: Expoente de Lyapunov em funcao de Kcl e β.


no oscilador harmonico numa situacao semelhante ao que ocorre no movimento

browniano. Quanticamente vimos que campos eletromagneticos aleatorios eram

capazes de produzir tal reservatorio.

Classicamente podemos tentar resolver o problema atraves da introducao de

uma forca de flutuacao diretamente nas equacoes de movimento para depois fazer

uma media sobre as diversas trajetorias produzidas. Uma outra maneira, adotada

nas nossas simulacoes, e resolver diretamente a equacao diferencial parcial que

representa a evolucao da distribuicao de probabilidade.

E importante ressaltar que em ambos os casos nao temos mais a evolucao de

uma unica trajetoria mas sim de um conjunto delas ou da distribuicao de proba-

bilidade como um todo.

A equacao para a distribuicao de probabilidade e analoga a equacao de Fokker-

Plank obtida no caso quantico, contendo os termos difusivos assim como os termos

originarios da equacao de Liouville. Nas variaveis v e u tem-se, entre cada pulso,

∂P

∂t= νu

∂P

∂v− νv ∂P

∂u+ Γ

(∂2P

∂v2+∂2P

∂u2

), (4.25)

enquanto que, durante um pulso, desprezam-se as evolucoes harmonica e difusiva

para escrever

∂P

∂t= Kclsen(v)

∂P

∂uδ(t− nτ). (4.26)

A solucao do problema entre dois pulsos consecutivos e dividida em tres par-

tes de acordo com um algoritmo de separacao (“splitting algorithm”) [52]. Com a

utilizacao deste metodo, ao inves de resolver diretamente (4.25) deve-se encontrar

a solucao para o conjunto de equacoes abaixo

∂P

∂t= νu

∂P

∂v, (4.27)

∂P

∂t= −νv ∂P

∂u, (4.28)

∂P

∂t= Γ

(∂2P

∂v2+∂2P

∂u2

), (4.29)

onde a solucao de cada uma delas e utilizada como condicao inicial na equacao

seguinte.


A solucao de (4.27) e (4.28) segue o metodo de fluxo balanceado [53]. O espaco

de fase e dividido em celulas cujas probabilidades sao evoluıdas no tempo so-

mando os ganhos e subtraindo as perdas para as celulas vizinhas a partir do

fluxo ditado pelas equacoes. A parte relativa a difusao (4.29) utiliza um metodo

de diferencas finitas que funciona de maneira semelhante ao fluxo balanceado.

Em [54] ha uma extensa discussao sobre diversos metodos de diferenca finita e

processos de discretizacao.

A equacao (4.26) e semelhante a (4.28) e utiliza-se, portanto, o mesmo metodo

de fluxo balanceado para soluciona-la. Neste caso a funcao δ e aproximada por um

pulso retangular de area unitaria e duracao muito menor que o intervalo entre dois

pulsos consecutivos.

A precisao desses metodos depende de uma conveniente discretizacao espacial e

temporal do problema. Obviamente o erro e tao menor quanto menor for o intervalo

de tempo ∆t e os espacamentos ∆v e ∆u utilizados para a definicao do tamanho das

celulas do espaco de fase. E claro, tambem, que um aumento em precisao corres-

ponde a um aumento tambem no tempo de computacao. A dificuldade maior nesse

problema e a de encontrar parametros de discretizacao que sejam compatıveis com

a solucao harmonica, a difusiva e a caotica simultaneamente o que so e possıvel,

em alguns casos, com um aumento muito grande no numero de pontos utilizados.

A figura (4.15) mostra a evolucao da distribuicao classica com a introducao de

um reservatorio difusivo. O parametro relevante para descrever o processo difusivo

e a razao entre a taxa Γ e a frequencia da aplicacao dos pulsos que definiremos

como um coeficiente de difusao D = Γτ/2 = Γα/2ν. O que e observado nesta

evolucao e que a difusao suavisa a distribuicao de probabilidades impedindo a

formacao de estruturas cada vez mais finas como ocorria no caso conservativo.

Existe ainda um outro fator que aparece na dinamica que e a possibilidade de

passagem de uma regiao caotica para uma regular, ou seja, a difusao permite

que pontos migrem para as areas correspondentes aos pontos elıpticos vizinhos a

origem.


N = 5N = 4

N = 1 N = 2N = 0

N = 3

N = 6 N = 7 N = 8

N = 10N = 9

Figura 4.15: Evolucao de uma distribuicao de probabilidades gaussiana centradana origem para Kcl = 2.0 e D = 0.005.

Capıtulo 5

Caos em ıons aprisionados: ooscilador harmonico pulsado

A descoberta de sistemas com sensibilidade as condicoes iniciais no mundo

classico despertou a curiosidade sobre o comportamento de tais sistemas no domınio

microscopico, iniciando-se assim o estudo do que passou a ser conhecido como

caos quantico. Como o conceito de caos classico esta baseado na ideia de tra-

jetorias e nao temos esta ideia formulada de forma clara na mecanica quantica,

nao podemos definir facilmente caos nesta teoria. O que hoje chamamos caos

quantico e uma vasta area que engloba pesquisas sobre o comportamento quantico

de sistemas classicamente caoticos, as assinaturas quanticas desse comportamen-

to, a quantizacao desses sistemas assim como a transicao quantico-classico nesta

situacao.

O desenvolvimento desta area despertou a curiosidade a respeito de sistemas

fısicos onde as previsoes teoricas pudessem ser testadas, existindo hoje, diversas

propostas tanto na area de materia condensada como em fısica atomica.

Ha na literatura algumas sugestoes nesse sentido utilizando ıons aprisiona-

dos [55] e aqui apresentaremos uma proposta semelhante a que foi introduzida

por Cirac e Zoller em 1994 [56] onde obtem-se o hamiltoniano quantico equiva-

lente ao oscilador harmonico pulsado exposto no capıtulo anterior. Como um ıon

aprisionado e um sistema relativamente bem isolado do meio externo, ele apresenta

a possibilidade de estudar, aproximadamente, sistemas conservativos. Por outro

61

62 CAPITULO 5. CAOS EM IONS APRISIONADOS

lado, como e possıvel produzir reservatorios artificiais, tambem pode-se estudar

sistemas interagindo com o ambiente ao seu redor.

5.1 Interacao com Laser e hamiltoniano Caotico

Consideremos um atomo de dois nıveis interagindo com um laser numa configuracao

de onda estacionaria conforme ilustra a figura (5.1). A diferenca de energia entre os

nıveis eletronicos e hω21 = hω2− hω1, ωL e a frequencia do laser e kL e a componente

do vetor de onda ao longo da direcao de movimento x. O laser encontra-se dessin-

tonizado de ∆ = ω21 − ωL em relacao a transicao eletronica e tem uma frequencia

de Rabi dependente do tempo Ω(t).

|1〉

|2〉

Ω(t), ωL, kLω21

∆

Figura 5.1: Esquema para a obtencao do oscilador harmonico pulsado num ıon.

O hamiltoniano que descreve essa situacao e obtido a partir de (2.12) simples-

mente trocando a dependencia espacial da onda propagante por uma onda esta-

cionaria

H = hνa†a+ hω1A11 + hω2A22 +h

2

[Ω(t)A21 cos(kLx) e−iωLt + h.c.

]. (5.1)

Vamos considerar uma situacao em que a dessintonia ∆ seja muito maior que

as frequencias de Rabi envolvidas no problema de forma a podermos eliminar a

dinamica do nıvel |2〉 atraves de um procedimento de eliminacao adiabatica seme-

lhante ao adotado no capıtulo 2. Para tanto vamos passar para um referencial

definido pelo operador

U = e−i[(ωL+ω1+∆/2)A22t+(ω2−ωL−∆/2)A11t]. (5.2)

5.1. INTERACAO COM LASER E HAMILTONIANO CAOTICO 63

A nova matriz densidade ˜ρ = U †ρU do sistema nesse novo referencial obedece a

uma equacao que e obtida a partir de

˙ρ =

˙U †ρU + U †ρ ˙

U + U † ˙ρU

= i

(ωL + ω1 +

∆

2

)[A22, ρ

]+ i

(ω2 − ωL −

∆

2

)[A11, ρ

]− i

h

[˜H, ˜ρ

], (5.3)

com ˜H = U †HU .

Avaliando cada termo em (5.3) tem-se

˙ρ = − i∆

2

[(A22 − A11

), ρ]− iΩ(t)

2

[cos(kLx)A21, ρ

]

− iΩ∗(t)2

[cos(kLx)A12, ρ

]. (5.4)

Projetando esta equacao na base eletronica obteremos:

˙ρ12 = i∆ρ12 −iΩ∗(t)

2

[cos(kLx)ρ22 − ρ11cos(kLx)

](5.5)

˙ρ21 = −i∆ρ21 −iΩ(t)

2

[cos(kLx)ρ11− ρ22cos(kLx)

](5.6)

˙ρ11 = − iΩ∗(t)2

[cos(kLx)ρ21

]+iΩ(t)

2

[ρ12cos(kLx)

](5.7)

˙ρ22 = − iΩ(t)

2

[cos(kLx)ρ12

]+iΩ∗(t)

2

[ρ21cos(kLx)

](5.8)

A consideracao que ∆ Ω para a eliminacao do nıvel superior consiste, na

pratica, em dizer que ˙ρ12 = 0. Fisicamente podemos justificar este procedimento

argumentando que, como ∆ e muito grande, entao, o nıvel superior nao e pratica-

mente populado e o ıon permanece o tempo todo no nıvel inferior |1〉. A equacao

para ρ12 torna-se:

ρ12 =Ω∗

2∆

[cos(kLx)ρ22 − ρ11cos(kLx)

](5.9)

Substituindo-a nas equacoes para ρ11 e ρ22, teremos:

˙ρ11 =i |Ω(t)|2

4∆

[cos2(kLx), ρ11

](5.10)

˙ρ22 = − i |Ω(t)|24∆

[cos2(kLx), ρ22

](5.11)

Como ρ22 ρ11 pode-se aproximar ρv por ρ11. Podemos notar que (5.10) e

(5.11) reforcam a interpretacao da nao populacao do nıvel 2 pois os dois estados


eletronicos encontram-se, agora, desacoplados. A dinamica efetiva fica descrita

por (5.10), ou seja, ela fica restrita ao movimento vibracional no estado eletronico

fundamental. O hamiltoniano efetivo que gera a equacao (5.10) e

Hef = H0 +h |Ω(t)|2

8∆[cos(2kLx) + 1] |1〉〈1|, (5.12)

onde H0e o hamiltoniano do oscilador harmonico.

Suponhamos, agora, que o laser seja ligado e desligado durante um tempo mui-

to curto (σ) e que isto seja feito sempre de maneira periodica em intervalos de

tempo iguais a τ . Desta forma teremos o ıon iluminado por uma serie de pulsos

gaussianos que, no limite de σ muito pequeno pode ser substituıda por uma serie

de pulsos tipo delta

|Ω(t)|2 = |Ω|2∑

n

e−(t−nτ)2/σ2 ≈ σ√π |Ω|2∑

n

δ(t− nτ) (5.13)

Devemos observar que ha um compromisso entre o limite de σ τ para que

possamos considerar pulsos tipo delta e a condicao de σ 1/∆ que e necessaria

para que o laser nao seja muito largo em frequencia e a eliminacao do nıvel 2 seja

possıvel. O hamiltoniano final fica:

Hef = H0 + hKQ [cos(2kLx) + 1]∑

n

δ(t− nτ), (5.14)

onde KQ = σ√π|Ω|28∆ . Podemos ainda escrever em termos dos operadores a e a†

H = hνa†a+ hKQcos[2η(a+ a†) + 1]∞∑

n=0

δ(t− nτ). (5.15)

Este hamiltoniano e o analogo quantico de (4.2) a menos de um termo constante

que contribui apenas com uma fase global e pode, portanto, ser desprezado.

5.2 Comparacao com variaveis classicas e escalamento

A dinamica quantica apresenta um fator a mais que a dinamica classica devido

a existencia da constante de Planck. Esta aparece explicitamente no hamiltoniano

5.2. COMPARACAO COM VARIAVEIS CLASSICAS E ESCALAMENTO 65

quantico e tambem implicitamente atraves do parametro de Lamb-Dicke. Clas-

sicamente devemos introduzir um parametro de escalamento correspondente ao

parametro de Lamb-Dicke para que possamos comparar as duas evolucoes.

O mapa (4.9,4.10) descreve o problema classico atraves das variaveis adimen-

sionais v e u. Quanticamente estas variaveis estao relacionadas com o operador a

da seguinte forma:

〈a〉 =

√mν

2h〈x〉+ i

√1

2hmν〈p〉

=1

4η(v + iu)

≡ v + iu. (5.16)

Reescrevendo o mapa classico para as variaveis escaladas v e u teremos:

vn+1 = cos(α)vn + sin(α)[un + Kcl

4η sin(4ηvn)]

(5.17)

un+1 = − sin(α)vn + cos(α)[un + Kcl

4η sin(4ηvn)]. (5.18)

Como o mapa e nao-linear, um reescalamento de suas variaveis nao significa

que o mesmo ocorra para o mapa como um todo. Realmente os mapas (5.17,5.18)

e (4.9,4.10) nao diferem apenas de um fator de escala, entretanto, as alteracoes

ocasionadas pelo escalamento nao mudam qualitativamente a dinamica do siste-

ma. Na figura (5.2), onde e mostrada a secao estroboscopica deste mapa para

dois valores distintos de η, podemos observar a alteracao na escala sem alteracoes

importantes nas caracterısticas basicas da evolucao do sistema.

Para uma completa identificacao entre as grandezas que aparecem nos hamilto-

nianos quantico e classico e necessario, tambem, comparar a intensidade do pulso

em ambos os casos. Isso pode ser feito a partir de (4.2) e (5.14) o que nos leva a

impor que hKQ = Acl. Esta relacao pode ainda ser escrita utilizando a intensidade

adimensional classica Kcl = 4k2Acl/mν e o parametro de Lamb-Dicke η = k√h/2mν:

hKQ =mνKcl

4k2

KQ =Kcl

8η2. (5.19)


-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80

u

v v

u

Figura 5.2: Secao estroboscopica para q = 6, Kcl = 2.0 e fatores de escala valendoη = 0.25 e η = 0.125.

5.3 Evoluindo o Estado Quantico

A versao quantica do oscilador harmonico pulsado foi estudada pela primeira

vez por Berman e colaboradores [57] e posteriormente em alguns outros traba-

lhos [58]. A dinamica quantica pode ser separada em duas partes: uma determi-

nada pelo efeito do pulso e outra relacionada a evolucao entre dois pulsos con-

secutivos. Procederemos no caso quantico de forma analoga ao classico, ou seja,

resolveremos o problema estroboscopicamente encontrando o estado do sistema

imediatamente antes de cada pulso, como ilustra a figura (5.3).

τ

|ψ+〉n|ψ−〉n |ψ−〉n+1

Tp Toh

Figura 5.3: Esquema da evolucao do oscilador pulsado: no instante do pulso atuao operador Tp e entre os pulsos temos a atuacao do operador Toh que produz aevolucao harmonica do sistema.

5.3. EVOLUINDO O ESTADO QUANTICO 67

5.3.1 Dinamica do pulso

A evolucao de um vetor de estado |ψ(t)〉 e dada por:

|ψ(t)〉 = T (t, t0)|ψ(0)〉, (5.20)

onde T (t, t0) = exp[− ih

∫ tt0H(t′)dt′

].

Introduzindo no operador de evolucao Tp o hamiltoniano que descreve os pulsos

obteremos uma relacao entre o estado do sistema antes e depois do pulso:

|ψ+〉n = Tp|ψ−〉n = exp[−iKQcos[2η(a+ a†)]

]|ψ−〉n, (5.21)

nesta equacao, os ındices + e − correspondem, respectivamente, a instantes de

tempo imediatamente apos e antes do n-esimo pulso.

Para resolver a eq. (5.21) vamos usar a expansao da exponencial em funcoes de

Bessel

eiAcos(θ) =∞∑

k=−∞ikJk(A)eikθ. (5.22)

No nosso caso teremos:

e−iKQ cos[2η(a+a†)] =∞∑

k=−∞ikJk(−KQ)ei2kη(a+a†)

= J0(−KQ) +∞∑

k=1

ikJk(−KQ)ei2kη(a+a†) +−1∑

k=−∞ikJk(−KQ)ei2kη(a+a†)

= J0(−KQ) +∞∑

k=1

[ikJk(−KQ)ei2kη(a+a†) + i−kJ−k(−KQ)e−i2kη(a+a†)

]

= J0(−KQ) +∞∑

k=1

ikJk(−KQ)[ei2kη(a+a†) + e−i2kη(a+a†)

], (5.23)

onde usamos que J−k(−KQ) = (−1)kJk(−KQ).

Podemos, agora, expandir os vetores de estado |ψ+〉 e |ψ−〉 na base de autoesta-

dos do operador numero n = a†a:

|ψ+〉 =∞∑

m=0

c+m|m〉, (5.24)

|ψ−〉 =∞∑

m=0

c−m|m〉, (5.25)


e escrever os novos coeficientes c+r em funcao dos antigos c−m da seguinte maneira:

c+r = 〈r|ψ+〉 = 〈r|e−iKQ cos[2η(a+a†)]

∞∑

m=0

c−m|m〉

= c−r J0(−KQ) +∞∑

m=0

c−m∞∑

k=1

ikJk(−KQ)[Arm(k) +Arm(−k)

], (5.26)

onde Arm(k) = 〈r|ei2kη(a+a†)|m〉 = e−2k2η2

(i2kη)r−m√m!√r!Lr−mm (4k2η2), sendo Lr−mm (4k2η2)

um polinomio de Laguerre generalizado.

A equacao (5.26) nos revela que a evolucao do estado quantico, para o pulso, de-

pende apenas de dois parametros: KQ e η. Este utimo e de extrema importancia pa-

ra o limite classico do problema ja que e nele que se encontra qualquer dependencia

com a constante de Planck. Este parametro que classicamente representa um es-

calamento, quanticamente tem um papel semelhante. A medida que diminuimos

η, estamos aproximando o sistema do limite macroscopico fazendo com que h fique

cada vez menor quando comparado com uma acao tıpica do problema. A grande

vantagem, neste caso, e que se pode alcancar o limite classico manipulando uma

grandeza acessıvel experimentalmente ja que, como visto em (2.14), pode-se alterar

o parametro de Lamb-Dicke com a mudanca do angulo entre o laser e a direcao de

vibracao do ıon.

5.3.2 Dinamica entre os pulsos

Entre dois pulsos consecutivos devemos considerar as situacoes corresponden-

tes ao sistema isolado ou interagindo com o ambiente. No primeiro caso a evolucao

do estado quantico se da atraves da atuacao do operador de evolucao correspon-

dente ao oscilador harmonico Toh durante um tempo τ :

|ψ−〉n+1 = Toh|ψ+〉n = e−iντ a† a|ψ+〉n. (5.27)

Esta parte da evolucao corresponde, simplesmente, a uma rotacao do estado.

Lembrando que classicamente definimos o intervalo de tempo entre os pulsos como

sendo τ = α/ν = 2π/qν, vemos que esta rotacao transforma os coeficientes da

5.3. EVOLUINDO O ESTADO QUANTICO 69

seguinte maneira:

c′m = ei2πm/qcm. (5.28)

Para a situacao do sistema isolado a solucao esta completa bastando combinar

as equacoes (5.28) e (5.26). Entretanto, ao considerarmos interacoes com reser-

vatorios como descrito no capıtulo 2, devemos modificar a evolucao entre os pulsos.

Evolucao com reservatorio

Introduzindo a interacao com um reservatorio temos que procurar resolver a

equacao mestra correspondente:

dρ

dt=i

h

[ρ, H0

]+γ

2

(2 c ρ c† − c† c ρ− ρ c† c

), (5.29)

onde H0 corresponde ao hamiltoniano do oscilador harmonico.

Uma das alternativas numericas para a solucao de (5.29) e o metodo de funcao

de onda de Monte Carlo [59, 60] a partir do qual obtemos a matriz densidade

fazendo uma media sobre varias realizacoes estocasticas do vetor de estado |ψ〉. A

vantagem deste metodo e que nele evoluımos o estado que tem dimensionalidade,

digamos, N enquanto que uma integracao numerica de (5.29) resultaria na solucao

de um sistema de equacoes N ×N . Obviamente que o ganho nao e tao grande pois

temos que executar o metodo de Monte Carlo um numero suficiente de vezes para

fazermos uma boa media sobre as realizacoes. Este metodo pode ser implementado

para qualquer dos reservatorios encontrados no capıtulo 2 ja que sua aplicacao e

valida sempre que a equacao mestra estiver na forma de Lindblad.

Para alguns reservatorios podemos resolver analiticamente a equacao mestra

escrevendo de que forma os elementos de matriz de ρ evoluem no tempo. Este pro-

cedimento esta descrito no apendice A e, no caso do reservatorio difusivo, teremos:

ρi,k(t) =∞∑

l=0

min(i,k)∑

j=0

ρi+l−j,k+l−j (0)(γt+ 1)(j−i−k−1−l)(γt)l+j√i!k!(i+ l − j)!(k+ l − j)!l!j!(i− j)!(k− j)! .

(5.30)


A solucao final deve envolver a evolucao livre dada por (5.28) associada a evolucao

do reservatorio. No apendice B mostramos que estas duas evolucoes comutam e,

consequentemente, podemos calcula-las separadamente.

5.4 Consideracoes numericas

Os calculos numericos relativos a evolucao quantica estao relacionados as solucoes

da evolucao dos pulsos (5.26) e da parte relativa ao reservatorio.

A evolucao hamiltoniana dos pulsos apresenta o parametro de Lamb-Dicke co-

mo um fator fundamental nao so do ponto de vista teorico mas tambem numerico.

Vimos que este parametro e responsavel por um escalamento que, classicamente,

esta diretamente relacionado a ocupacao maior ou menor de regioes do espaco de

fase. Quanticamente, uma maior extensao do sistema no espaco de fase significa

que necessitamos de uma maior base 1 para descrever os estados do sistema.

Numericamente, os somatorios que se estendem ate o infinito em (5.26) devem

ser obviamente truncados em valores Mmax e kmax. No somatorio em m quanto

menor o valor de η maior o valor de Mmax ja que este ındice esta relacionado com

o tamanho da base. A segunda soma, em k, e levada em consideracao ate que

seus termos, basicamente dados pelas funcoes de Bessel, fiquem menores que um

valor muito pequeno δ = 10−10. Note que o argumento das funcoes de Bessel e a

intensidade do pulso KQ que varia com 1/η2 para uma intensidade classica cons-

tante(ver (5.19)), ou seja, ao diminuirmos η aumentamos KQ e devemos, portanto,

elevar o numero de termos somados.

A figura (5.4) mostra o efeito da escolha do parametro de Lamb-Dicke no tempo

de execucao do programa. Estes dados correspondem a calculos executados em

um processador Athlon de 1.2GHz e 512Mb de RAM para um total de 50 pulsos

sem adicao de reservatorio. Para uma diminuicao de η por um fator de 5 (de 0.5

para 0.1) temos um aumento no tempo de execucao de um fator maior que 18.

Um outro ponto importante neste caso e o gasto de memoria. Como em (5.26)

1No nosso caso usamos a base de autoestados de energia do oscilador harmonico

5.4. CONSIDERACOES NUMERICAS 71

temos varios polinomios de Laguerre que sao utilizados durante os calculos e como

este numero aumenta com a base, fizemos a opcao de calcula-los todos no inıcio

do programa para diminuir o tempo de execucao. Esta medida, por outro lado,

aumenta a memoria requerida para o armazenamento da matriz relativa a estes

polinomios o que limita o menor valor de η que conseguimos atingir numericamen-

te.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

Tem

po

de

exec

uca

o(s

egu

ndos

)

η

Figura 5.4: Tempo de execucao do problema quantico sem reservatorio em funcaode η. As retas da figura simplesmente ligam os pontos que representam calculosrealizados para um total de 50 pulsos em um processador Athlon de 1.2GHz e512Mb de memoria.

Quanto aos calculos com a introducao da interacao com um reservatorio deve-

mos comparar os diferentes metodos numericos utilizados. A integracao numerica

por metodos de Runge-Kutta foi descartada por ja termos a solucao analıtica (5.30)

e ambas realizarem calculos com as matrizes N × N . A questao e comparar o

desempenho da solucao analıtica que trabalha diretamente com os elementos da

matriz densidade e uma solucao numerica via Monte Carlo que utiliza apenas os

vetores de estado de dimensao N .

A comparacao entre os metodos pode ser vista na figura (5.5) onde e mostrado o

tempo de execucao, em horas, para a solucao atraves de (5.30) e a feita por Monte

Carlo com 3000 realizacoes. O numero de realizacoes foi escolhido de forma a ser o


mınimo necessario para se obter medias de acordo com os resultados conseguidos

com a solucao analıtica.

0

50

100

150

200

250

300

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

η

Tem

po

de

exec

uca

o(h

oras)

(b)(a)

Figura 5.5: Tempo de execucao do problema quantico com reservatorio difusivo emfuncao de η. As curvas representam o tempo gasto, em horas, com os calculosfeitos a partir de (5.30) (a) e com o metodo de Monte Carlo (b). Neste ultimo foramfeitas 3000 realizacoes.

Vemos pelo grafico que quando o parametro de Lamb-Dicke atinge o valor η = 0.1

os dois metodos se equivalem e que para valores maiores o metodo de Monte Carlo

e ligeiramente inferior. Isto ocorre porque a medida que diminuımos η a base

utilizada aumenta e como a solucao atraves da matriz densidade escala com N ×N

ela e mais afetada.

Uma vantagem do metodo de Monte Carlo que nao podemos observar nesta

figura e a facilidade de paralelizacao que ele apresenta. A paralelizacao obvia e

separar as diferentes realizacoes em processadores diferentes e depois reunı-las

para calcular as medias. Isto foi feito usando quatro processadores de 800MHz

nos quais eram feitas apenas 750 realizacoes em cada.

Na maior parte dos calculos da tese utilizou-se o metodo baseado na matriz

densidade apesar de ter sido utilizado o metodo de Monte Carlo em simulacoes

utilizando 4 processadores. A aparente vantagem do metodo de Monte Carlo em

relacao a paralelizacao e, no entanto, minimizada nesse problema porque a parte

5.4. CONSIDERACOES NUMERICAS 73

dos programas que consome mais tempo de execucao e o calculo do efeito dos pul-

sos onde esse metodo nao se aplica. Alem disso, embora o metodo de Monte Carlo

utilize vetores e nao matrizes, consumindo menos tempo para o calculo de cada

pulso, estes calculos devem ser repetidos a cada nova realizacao comprometendo

os ganhos do metodo nos trechos entre os pulsos.

Capıtulo 6

Transicao Quantico-Classico emıons aprisionados

E sabido que em situacoes particulares, como no caso do oscilador harmonico,

as dinamicas classica e quantica coincidem. Entretanto, para casos mais gerais, o

maximo que podemos esperar e que as duas dinamicas sejam equivalentes apenas

durante um certo intervalo de tempo apos o qual as solucoes se separam.

Um primeiro passo para tentar abordar esse problema e a utilizacao do teore-

ma de Ehrenfest. Muitos livros de mecanica quantica [24, 61, 62] baseiam suas

discussoes sobre limite classico nesse teorema que diz que, sob certas condicoes,

o movimento do centro do pacote de onda obedece as equacoes classicas. Para

mostra-lo consideremos uma particula com momento p submetida a um potencial

V (x) de maneira que, a partir do hamiltoniano

H = p2/2m+ V (x), (6.1)

podemos escrever as equacoes para os valores esperados dos operadores de mo-

mento e posicao como:

d

dt〈p〉 =

1

ih〈[p, V (x)]〉, (6.2)

d

dt〈x〉 =

1

ih〈[x, p2/2m]〉. (6.3)

Utilizando as relacoes de comutacao entre esses operadores obtemos

d

dt〈p〉 = − 〈F (x)〉 , (6.4)

75

76 CAPITULO 6. TRANSICAO QUANTICO-CLASSICO

d

dt〈x〉 =

1

m〈p〉. (6.5)

Essas equacoes seriam identicas as classicas se pudessemos aproximar o lado

direito de (6.4) pela forca classica no centro do pacote, ou seja,

〈F (x)〉 ≈ F (〈x〉), (6.6)

o que, em geral, nao e valido. Expandindo o lado direito de (6.4) em torno de 〈x〉

tem-se:

d

dt〈p〉 = F (〈x〉) +

∂

∂〈x〉F (〈x〉) 〈x− 〈x〉〉+1

2

∂2

∂〈x〉2F (〈x〉)⟨(x− 〈x〉)2

⟩+ . . ., (6.7)

Pode-se notar que o segundo termo desta expansao e nulo de modo que a primeira

correcao a (6.6) aparece somente nos termos de derivada segunda da forca, ou seja,

derivada terceira do potencial. A aproximacao (6.6) so e razoavel, portanto, quando

se considera um pacote altamente localizado em relacao a regiao onde o potencial

varia apreciavelmente. Uma primeira analise da expansao (6.7) pode levar a falsa

conclusao de que as correcoes em derivadas de mais alta ordem do potencial tem

origem puramente quantica e levariam a eventuais diferencas entre esta dinamica

e a classica. No entanto, as correcoes ao termo F (〈x〉) tambem aparecem quando e

feita uma analise puramente classica a partir de distribuicoes de probabilidade. De

fato, a expansao (6.7) e equivalente a obtida classicamente para uma distribuicao e

este resultado e usado em [63] para mostrar que a identificacao do regime classico

simplesmente a partir do teorema de Ehrenfest e inadequada.

Este problema da correspondencia entre o mundo quantico e o classico e da

escala de tempo em que ela e valida e especialmente interessante quando ten-

tamos entende-lo no contexto de sistemas quanticos cujos analogos classicos sao

caoticos. Nestes casos, a estimativa do tempo durante o qual as dinamicas classica

e quantica coincidem [64] escala com o logarıtmo de 1/h enquanto que, para siste-

mas regulares, escala com uma lei de potencia.

Mesmo para sistemas macroscopicos essa escala logarıtmica poderia levar a

correcoes quanticas em tempos muito curtos. Essa questao foi levantada por Zurek

6.1. FUNCAO DE WIGNER × DISTRIBUICAO CLASSICA DE PROBABILIDADES 77

e Paz [65, 66] que, concluindo que a macroscopicidade era insuficiente para levar

ao limite classico, propoem como solucao a inclusao dos efeitos de descoerencia no

sistema.

Neste cenario o sistema de ıons aprisionados apresenta-se como uma excelente

alternativa para testes experimentais das previsoes para sistemas caoticos pois,

alem de se poder usar a engenharia de reservatorios para criar descoerencia arti-

ficialmente, pode-se modificar o parametro de macroscopicidade (η) experimental-

mente atraves de ajustes nas direcoes de feixes de laser.

6.1 Funcao de Wigner × distribuicao classica de probabili-dades

Na analise do oscilador pulsado classico foi utilizada a dinamica da distribuicao

de probabilidade a partir da qual, atraves de sua estrutura de esticamentos e do-

bras, visualizava-se a presenca de caos no sistema. O mesmo podia ser verificado

pela observacao da secao de Poincare de uma trajetoria ou pelo estudo do afasta-

mento de trajetorias inicialmente proximas calculando-se o expoente de Lyapunov.

Para estudar o mesmo fenomeno quanticamente e, alem disso, entender como o

caos classico surge a partir de um limite da teoria quantica e interessante escolher

uma abordagem que seja acessıvel tanto a uma quanto a outra teoria. Entre as

opcoes descritas anteriormente a que parece se adequar melhor a situacao e a

exploracao do espaco de fase via distribuicao de probabilidade.

E importante ressaltar que nao temos uma distribuicao de probabilidade quanti-

ca no espaco de fase mas funcoes de quasi-probabilidade que podem servir como

instrumento para tentar entender o limite classico da mecanica quantica.

Como foi visto antes, uma das distribuicoes de quasi-probabilidade mais utiliza-

das no contexto do limite quantico-classico e a funcao de Wigner que apresenta cer-

tas vantagens em relacao a outras distribuicoes quanticas. Algumas dessas van-

tagens ja foram explicitadas no segundo capıtulo como, por exemplo, a obtencao

das distribuicoes marginais (3.18) e dos valores medios de operadores em ordem


simetrica (3.19) por simples integracao, assim como acontece classicamente.

A funcao de Wigner auxilia tambem na caracterizacao de estados nao classicos.

Considerando tais estados como aqueles em que as densidades de quasi-probabili-

dade nao se comportam como verdadeiras distribuicoes de probabilidade [73],

pode-se relacionar o carater quantico de um estado com a existencia de valores

negativos na funcao de Wigner.

Um exemplo claro de estado nao classico e a superposicao de dois estados coe-

rentes |φ+〉 = (|α0〉 + | − α0〉)/√

2 cuja funcao de Wigner esta representada na figu-

ra (6.1). Observa-se duas Gaussianas correspondentes aos estados coerentes |α0〉

e |−α0〉 e, entre elas, estruturas de franjas de interferencia com a funcao de Wigner

oscilando entre valores positivos e negativos. Esta facil identificacao de fenomenos

puramente quanticos atraves desta funcao e o que faz com que ela seja tao util na

observacao da transicao quantico-classico.

Figura 6.1: Funcao de Wigner para uma superposicao coerente do tipo (|α0〉 + | −α0〉)/

√2 com α0 = 3.

Em sistemas caoticos, as interferencias sao geradas dinamicamente a partir dos

alongamentos e das dobras da funcao de Wigner sobre ela mesma. O aparecimento


dessas oscilacoes e a principal contribuicao para as diferencas entre a funcao de

Wigner e a distribuicao classica de probabilidades estando associado tambem ao

afastamento das previsoes classica e quantica para a evolucao de valores esperados

de observaveis.

Assim como foi feito com as distribuicoes de probabilidade classicas, podemos

analisar a evolucao temporal da funcao de Wigner imediatamente antes de cada

pulso. As figuras (6.2) e (6.3) mostram esta evolucao no caso de um sistema isolado

para η = 0.25 e η = 0.05, respectivamente.

No primeiro caso, podemos observar o aparecimento de interferencias ja a partir

do segundo pulso apesar de ainda haver entre a funcao de Wigner e a distribuicao

classica da figura (4.9) uma semelhanca grande que, a partir do quarto pulso fica

completamente descaracterizada. Com a diminuicao do parametro de Lamb-Dicke

para η = 0.05 vemos o efeito do escalamento ja que o sistema agora ocupa uma

regiao do espaco de fase cerca de cinco vezes maior. Alem disso, apesar de ainda

observarmos fortes efeitos de interferencia, a estrutura geral da funcao de Wiger

mantem-se como a da distribuicao classica por mais tempo. Isso mostra que quan-

to mais proximo do limite macroscopico (η cada vez menor) maior o tempo em que

quantico e classico mantem-se juntos.

A mesma evolucao e mostrada nas figuras (6.4) e (6.5) agora na presenca de

um reservatorio puramente difusivo com D = 0.005. A presenca deste reservatorio

modifica tanto a dinamica classica (figuras 4.15 e 6.6) quanto a quantica, possibili-

tando uma aproximacao maior entre as duas. Do ponto de vista classico a difusao

impede o desenvolvimento de estruturas cada vez mais finas, imposto pelo evolucao

caotica, suavizando, portanto, a distribuicao de probabilidade. Quanticamente, a

difusao contribui para a eliminacao, ou pelo menos diminuicao, dos processos de

interferencia.

A comparacao dessas figuras nos leva a tirar algumas conclusoes a respeito da

transicao quantico-classico para sistemas caoticos. A grande semelhanca entre as

figuras (6.5) e (6.6) nos leva a acreditar que o limite classico e atingido quando se


N = 5N = 4

N = 1 N = 2N = 0

N = 3

N = 6 N = 7 N = 8

N = 9 N = 10 N = 20

Figura 6.2: Evolucao da funcao de Wigner calculada imediatamente antes do N-esimo pulso para η = 0.25, Kcl = 2.0 e q = 6.


N = 5N = 4

N = 1 N = 2N = 0

N = 3

N = 6 N = 7 N = 8

N = 9 N = 10 N = 20

Figura 6.3: Evolucao da funcao de Wigner calculada imediatamente antes do N-esimo pulso para η = 0.05, Kcl = 2.0 e q = 6.


N = 5N = 4

N = 1 N = 2N = 0

N = 3

N = 6 N = 7 N = 8

N = 9 N = 10 N = 20

Figura 6.4: Evolucao da funcao de Wigner para os mesmos parametros da figura6.2 mas agora na presenca de um reservatorio puramente difusivo com D = 0.005.


N = 5N = 4

N = 1 N = 2N = 0

N = 3

N = 6 N = 7 N = 8

N = 9 N = 10 N = 20

Figura 6.5: Evolucao da funcao de Wigner para os mesmos parametros da figura6.3 mas agora na presenca de um reservatorio puramente difusivo com D = 0.005.


N = 5N = 4

N = 1 N = 2N = 0

N = 3

N = 6 N = 7

N = 9 N = 10

N = 8

N = 20

Figura 6.6: Evolucao da distribuicao classica para os mesmos parametros da figura6.5.


combina os dois efeitos ja mencionados: macroscopicidade (η 1) e interacao com

o ambiente (D > 0).

O processo de descoerencia parece, entao, conciliar a existencia do caos classico

com a natureza quantica intrınseca dos sistemas fısicos. E claro tambem que a pre-

sente analise, baseada simplesmente na comparacao visual entre as distribuicoes

classica e quantica, e muito elementar e necessita de argumentos mais quantitati-

vos para ser justificada.

Um topico a ser considerado e como a introducao da descoerencia resolve o

problema da separacao do sistema classico do quantico numa escala de tem-

po que cresce apenas logaritmamente com o inverso de h. Os artigos que tra-

tam a descoerencia como solucao para a transicao quantico-classico em sistemas

caoticos [65, 66, 67, 68] nao explicam o que ocorre com o tempo de separacao

mas estao interessados em encontrar as condicoes para que seja restaurada a cor-

respondencia entre as duas dinamicas, ou seja, a situacao em que nao ha mais

separacao.

Essas condicoes devem relacionar os parametros relevantes do problema como

o coeficiente de difusao, o expoente de Lyapunov e o parametro de escalamento

que da uma medida de quao macrocopico o sistema e. Algumas tentativas foram

realizadas nesse sentido [68, 69, 70, 71] mas ainda nao ha um consenso quanto a

melhor medida de separacao entre as dinamicas nem tampouco quanto a univer-

salidade dos resultados para diversos modelos [72].

Uma outra questao ainda nao explorada dentro desse contexto e a influencia

que o tipo de interacao entre o sistema e o ambiente a sua volta exerce na obtencao

do limite classico. Esse problema e especialmente interessante do ponto de vista

de ıons aprisionados pois, neste sistema, ja foram criados, experimentalmente,

diferentes tipos de reservatorio artificiais o que abre a possibilidade de um estudo

sistematico do efeito de interacoes distintas.


6.2 Funcao caracterıstica e tempo de separacao

Para dar as consideracoes feitas na secao anterior uma justificativa mais formal

e tentar responder as questoes la colocadas pode-se tentar estudar as equacoes que

dao origem as distribuicoes de Wigner apresentadas nas figuras (6.2), (6.3), (6.4)

e (6.5). As tentativas nesse sentido procuram, geralmente, partir da equacao di-

ferencial parcial que descreve diretamente a dinamica obedecida pela funcao de

Wigner. No entanto, pode-se optar por uma descricao do problema atraves da

transformada de Fourier da funcao de Wigner, a funcao caracterıstica em ordem

simetrica, definida como [36]

C(λ, λ∗) = Tr[ρeλa

†−λ∗a]. (6.8)

Como foi dito, esta funcao esta ligada a funcao de Wigner via transformada de

Fourier:

C(λ, λ∗) =

∫d2αeλα

∗−λ∗αW (α, α∗), (6.9)

W (α, α∗) =1

π2

∫d2λ e−λα

∗+λ∗αC(λ, λ∗). (6.10)

Foi visto no segundo capıtulo que a media de qualquer operador em ordem

simetrica poderia ser calculada atraves de integracao da funcao de Wigner. Com o

uso da funcao caracterıstica essas medias podem ser calculadas atraves de deriva-

das avaliadas na origem:

〈a†man〉sim =

(∂

∂λ

)m ( ∂

∂λ∗

)nC(λ, λ∗)

∣∣∣λ=0

. (6.11)

6.2.1 Funcao caracterıstica para o sistema isolado

Introduzindo a evolucao do operador densidade na definicao (6.8) obtem-se a

equacao obedecida pela funcao caracterıstica. No caso do oscilador harmonico

pulsado isto foi feito por Berman e colaboradores [57] e este procedimento esta

descrito no apendice B. A funcao caracterıstica imediatamente antes do n-esimo

6.2. FUNCAO CARACTERISTICA E TEMPO DE SEPARACAO 87

pulso e dada por:

Cn(λ, λ∗) =∞∑

m1 ,m2,...,mn=−∞Jm1

(z1)Jm2(z2) . . . Jmn

(zn)C0(λn, λ∗n), (6.12)

onde

λk = λk−1eiα + i2mkη, (6.13)

zk = 2KQ sen(ξk) =Kcl

4η2sen(ξk), (6.14)

ξk = −η(λk + λ∗k), (6.15)

λ0 ≡ λ. (6.16)

O limite macroscopico e obtido fazendo o parametro de Lamb-Dicke tender a

zero o que significa dizer que as funcoes seno na expressao acima podem ser subs-

tituıdas por seus argumentos, ou seja,

sen(ξk) ≈ ξk. (6.17)

Neste caso a funcao caracterıstica classica fica sendo

Ccln (λ, λ∗) =∞∑

m1,m2,...,mn=−∞Jm1

(2KQξ1)Jm2(2KQξ2) . . . Jmn

(2KQξn)Ccl0 (λn, λ∗n), (6.18)

com a condicao inicial dada por

Ccl0 (λ, λ∗) =∫ ∞

−∞d2αP (α, α∗)eλnα

∗−λ∗nα. (6.19)

Note que (6.18) poderia ter sido obtida, alternativamente, atraves da substituicao

do mapa classico na definicao de funcao caracterıstica acima (ver apendice C).

Consideremos, agora, o caso de caos forte (Kcl 1) e vejamos em que condicoes

as dinamicas classica e quantica coincidem. A aplicabilidade de (6.18) para descre-

ver o sistema quantico significa que todas as funcoes seno poderao ser substituıdas

por seus argumentos, ou seja, |ξk| 1 (k = 1, . . ., n). Levando em consideracao que

as funcoes de Bessel decrescem exponencialmente para |mk| 2KQ|ξk|, podemos

truncar as somas em (6.12) e estimar os valores tıpicos de mk ate os quais cada


soma deve ser calculada. As contribuicoes relevantes serao aquelas em que os

ındices das funcoes de Bessel sao da ordem do seu argumento, ou seja,

|m1| ≈ 2KQ|ξ1| =Kcl

4η|λeiα + λ∗e−iα|,

|m2| ≈ 2KQ|ξ2| =Kcl

4η|λei2α + λ∗e−i2α − 4m1η sen(α)|, (6.20)

|mn| ≈ 2KQ|ξn| =Kcl

4η|λeinα + λ∗e−inα − 4m1η sen((n− 1)α)− . . .4mn−1η sen(α)|.

Na situacao onde Kcl 1 temos, a partir de (6.20),

|m1| ≈K

4η sen(α) 1, |m2| ≈

K2

4η sen(α), . . ., |mn| ≈

Kn

4η sen(α),

o que nos da a estimativa

|ξn| ≈4η2|mn|Kcl

≈ ηen ln (K)

K,

onde K ≡ Kcl sen(α).

A relacao acima mostra que quanto maior o ındice k, maior o valor do argumento

|ξk|. Isso significa que existira um n a partir do qual a condicao |ξn| < 1 nao sera

mais satisfeita e as previsoes quanticas e classicas nao serao mais iguais. Esta

condicao leva ao tempo de separacao logarıtmico em 1/η:

n <ln(K/η)

ln (K). (6.21)

Os graficos da figura (6.7) mostram o tempo de separacao (ts) para o oscilador

harmonico pulsado em funcao de η (6.7-a) e em funcao de log (1/η) (6.7-b). Cada

ponto e obtido comparando-se a evolucao da variancia de x classicamente e quan-

ticamente e determinando-se o instante em que a diferenca relativa (dr) entre as

duas dinamicas excede um valor ε, ou seja, quando e satisfeita a inequacao

dr ≡〈∆x2〉cl − 〈∆x2〉q

〈∆x2〉cl> ε. (6.22)

A escolha de ε e arbitraria e, nos casos apresentados, utilizou-se o valor ε = 0.2.

E importante salientar que, apesar de modificar o valor absoluto do tempo de

separacao, a escolha de diferentes valores de ε nao modificam significativamen-

te as figuras apresentadas alterando basicamente a escala do eixo vertical.


A reta superior em (6.7-b) corresponde a um ajuste da curva enquanto que

a inferior representa um ajuste levando em consideracao somente os pontos da

parte final da mesma (η < 0.05). As duas regioes, apesar de haver uma pequena

transicao entre elas, sao muito bem ajustadas por retas com praticamente o mesmo

coeficiente angular (≈ 3.6). Embora esse valor nao concorde com o coeficiente

angular de aproximadamente 1.82 previsto em (6.21), a lei de escala obtida confirma

o comportamento logarıtimico. Nao e surpreendente que ocorra esse desvio entre

os valores dos coeficientes angulares previsto e calculado por terem sido utilizados

diversos argumentos de ordem de grandeza na deducao de (6.21), alem disso, nosso

caso numerico nao obedece a uma dessas aproximacoes que e a condicao de caos

forte.

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.52

4

6

8

10

12

14

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

η

ts ts

(a) (b)

log (1/η)

Figura 6.7: Tempo de separacao ts em funcao de η (a) e de log (1/η) (b). O ajuste de(b) por uma reta comprova a estimativa (6.21).

6.2.2 Reservatorio a temperatura zero

A introducao da interacao entre o sistema e o mundo exterior modifica a dinamica

do problema entre os pulsos. Para o o sistema isolado havia, entre os pulsos,

somente uma rotacao devido a evolucao do oscilador harmonico mas, adicionan-

do o reservatorio a temperatura nula, acrescenta-se a esta rotacao um termo de


dissipacao e−Γτ/2 [36]. Neste caso a funcao caracterıstica sera dada por

Cn(λ, λ∗) =∞∑

m1 ,m2,...,mn=−∞Jm1

(z1)Jm2(z2) . . .Jmn

(zn)C0(λn, λ∗n), (6.23)

onde

λk = λk−1eiαe−Γτ/2 + i2mkη (6.24)

e as demais grandezas permanecem como no caso conservativo.

O procedimento para a obtencao do tempo de separacao e semelhante ao uti-

lizado no caso anterior, ou seja, devemos analisar as condicoes de validade da

substituicao das funcoes seno por seus argumentos. Definindo e−Γτ/2 = e−Γα/2ν ≡

e−D (note que D e igual ao parametro β usado classicamente), teremos para os

valores tıpicos de |mk| o seguinte:

|m1| ≈ 2KQ|ξ1| =Kcl

4ηe−D

∣∣∣λeiα + λ∗e−iα∣∣∣,

|m2| ≈ 2KQ|ξ2| =Kcl

4η

∣∣∣(λei2α + λ∗e−i2α)e−2D − 4m1η sen(α)e−D∣∣∣, (6.25)

|mn| ≈ 2KQ|ξn| =Kcl

4η

∣∣∣(λeinα + λ∗e−inα)e−nD − 4m1η sen((n− 1)α)e−(n−1)D −

. . .− 4mn−1, sen(α)e−D∣∣∣.

Novamente, na situacao de caos forte, teremos

|m1| ≈K

4η sen(α)e−D, |m2| ≈

K2

4η sen(α)e−2D , . . ., |mn| ≈

Kn

4η sen(α)e−nD

Teremos agora uma riqueza maior de comportamento ja que o aumento do

ındice k nao implica mais necessariamente no crescimento do argumento |ξk|. Note

que, de acordo com a relacao acima, a razao entre dois ξ ’s consecutivos sera

|ξk||ξk−1|

≈ K e−D, (6.26)

enquanto que o primeiro dos argumentos sera

|ξ1| ≈ ηe−D. (6.27)


A tabela (6.1) resume os diferentes situacoes possıveis nesse caso. A partir

de (6.27) pode-se ver que quando D < ln(η) tem-se |ξ1| > 1 o que significa que, ja no

primeiro pulso, as dinamicas quantica e classica diferem.

Quando a condicao complementar a esta for satisfeita, ou seja, D > ln(η), o pri-

meiro termo sera menor que 1 e pode haver coincidencia entre as duas evolucoes.

O tempo durante o qual esse acordo entre as duas se mantem depende do valor

de (6.26). Quando essa razao for maior que 1, os ξk ’s estao crescendo com k e,

em algum instante n, o valor de ξn torna-se maior que 1 invalidando a descricao

classica. Esse instante determina o tempo de separacao que aumenta com a

dissipacao mas continua com uma escala logarıtmica como pode ser visto na tabe-

la (6.1). Caso a razao entre dois ξ’s consecutivos seja menor que um, a aproximacao

classica sera sempre valida e nao ha, portanto, separacao.

D < ln(η) (|ξ1| > 1) D > ln(η) (|ξ1| < 1)

D < ln (K) Classico 6= Quantico sempre A condicao |ξn| < 1 nos da n < ln (K/η)ln (K)−D

(ξk > ξk−1)

D > ln (K) Classico 6= Quantico sempre Classico = Quantico sempre(ξk < ξk−1)

Tabela 6.1: Correspondencia entre quantico e classico em diversas regioes dosparametros D, η e K.

A primeira coluna da tabela (6.1) representa a situacao fısica de um sistema

muito longe do limite macroscopico e, mesmo com a inclusao de dissipacao, o

comportamento quantico nao pode ser reproduzido pela dinamica classica. Apesar

de se poder manipular η nos ıons, experimentos tıpicos trabalham com valores do

parametro de Lamb-Dicke (η < 1) que se enquadram com a condicao da segunda

coluna da tabela.

Nessa coluna encontram-se os resultados de maior interesse pois tratam das

situacoes onde o sistema quantico pode se comportar como o classico. No entanto,

uma analise mais detalhada mostra que o reservatorio a temperatura nula nao e

eficiente para levar o sistema ao limite classico.

Se por um lado uma pequena dissipacao (D < ln (K)) mantem o tempo de


separacao obedecendo a uma incomoda escala logarıtimica em 1/η, por outro,

dissipacoes maiores (D > ln (K)) que levariam ao limite classico simplesmente des-

troem a caracterıstica caotica do sistema. Isso pode ser visto atraves da comparacao

dos valores do expoente de Lyapunov para o sistema classico dissipativo mostrado

em (4.14) com a condicao D > ln (K). Para Kcl = 2.0, por exemplo, deverıamos ter

D > 0.549 que claramente ja leva o sistema para regioes de expoente de Lyapunov

negativo. Mesmo explorando para valores maiores de Kcl nao foi possıvel encon-

trar regioes que compatibilizassem as condicoes para limite classico e existencia

de caos simultaneamente.

6.2.3 Reservatorio difusivo

A evolucao da funcao caracterıstica em presenca de um reservatorio difusivo esta

descrita no apendice D e e dada por:

C(λ, λ∗, t) = C(λ, λ∗, 0)e−Γ|λ|2t. (6.28)

Combinando-a com a relacao de recorrencia para a dinamica caotica (6.12) te-

remos:

Cn(λ, λ∗) = e−Γ|λ|2τ∞∑

m1=−∞Jm1

(z1)Cn−1(λeiα + i2m1η, λ∗e−iα − i2m1η), (6.29)

que, em termos da funcao caracterıstica inicial, assume a forma

Cn(λ, λ∗) =∞∑

m1,...,mn=−∞e−2D|λ|2Jm1

(z1) e−2D|λ1|2Jm2(z2)

. . . e−2D|λn−1 |2Jmn(zn)C0(λn, λ

∗n), (6.30)

com as variaveis definidas exatamente como no caso do sistema isolado.

A investigacao do limite classico, neste caso, e um pouco diferente das analisa-

das anteriormente. Tanto no caso do sistema isolado quanto no do reservatorio a

temperatura zero a discussao foi baseada na aproximacao da funcao seno pelo seu

argumento, o que nao parece ser o melhor caminho para o reservatorio difusivo. A

exclusao dessa abordagem se deve ao fato de nao haver diferenca entre os argu-

mentos das funcoes seno no caso conservativo e no reservatorio difusivo, ou seja,


basear-se somente nesta aproximacao colocaria em pe de igualdade duas situacoes

que, como vimos atraves da funcao de Wigner, sao completamente distintas.

A solucao esta em procurar justamente as diferencas entre o sistema com e sem

difusao. Na funcao caracterıstica a presenca da difusao esta caracterizada pelo

aparecimento das exponenciais do tipo e−2D|λk| que devem, portanto, desempenhar

papel crucial na definicao do limite classico.

Para esta discussao pode-se usar a expressao (6.29) por ser bem mais simples

que (6.30). Considerando-se que as dinamicas quantica e classica coincidam ate

o n-esimo pulso pode-se tentar obter a condicao para que continuem coincidindo

no proximo pulso, ou seja, supondo que Cn(λ, λ∗) = Ccln (λ, λ∗) deve-se determinar

quando Cn+1(λ, λ∗) = Ccln+1(λ, λ∗). Pode-se obter uma estimativa da regiao dos pon-

tos da funcao caracterıstica onde falha a aproximacao macroscopica, ou seja, onde

|ξ| = |η(λ+ λ∗)| > 1. (6.31)

Esta condicao mostra que sao os valores da funcao caracterıstica afastados da

origem que contribuem para as correcoes quanticas. Os valores tıpicos λT para os

quais isso ocorre sao dados por

|λT | ≡ |<(λeiα)| > 1

η. (6.32)

No caso difusivo, entretanto, mesmo que (6.32) seja satisfeita, ha ainda a pos-

sibilidade de se obter o limite classico. Para isso seria preciso que a gaussiana

que aparece em (6.29) eliminasse os termos que geram a falha na aproximacao

macroscopica. Isso ocorre quando os valores tıpicos λT sao maiores que a largura

da gaussiana e podem ser desprezados. Esta condicao pode ser escrita como

1√2D

<1

η, (6.33)

o que da uma escala de como varia o menor coeficiente de difusao necessario para

se obter o limite classico em funcao do parametro de Lamb-Dicke:

D ∝ η2. (6.34)


Esta analise tambem pode ser entendida a partir da relacao entre a funcao

caracterıstica e a de Wigner. De fato, como estas funcoes estao ligadas atraves

de uma transformada de Fourier (6.9 e 6.10), as estruturas em grande escala da

funcao caracterıstica estao associadas com as estruturas em pequena escala da

funcao de Wigner.

Este fato relaciona o que foi discutido na secao anterior sobre as interferencias

que aparecem nas funcoes de Wigner e as correcoes quanticas nas funcoes ca-

racterısticas que levaram a (6.34). Enquanto que nesta ultima o termo difusivo

funciona impondo um corte nos valores de λ, na funcao de Wigner ele aparece

como uma convolucao gaussiana que suaviza as interferencias.

O efeito da difusao pode ser visto na figura (6.8) onde sao mostradas as diferencas

relativas entre a dinamicas classica e quantica em funcao do numero de pul-

sos para diferentes valores de η e D. Quando introduz-se a difusao a distancia

entre classico e quantico diminui mas o tempo de separacao, indicado por se-

tas na figura, praticamente nao e alterado em relacao ao tempo sem reservatorio.

Quando a difusao e suficiente para reduzir a distancia relativa a valores menores

que ε (condicao de separacao) pode-se dizer que o limite classico e atingido e as

dinamicas nao mais se separam.

Pode ser observado tambem que quanto menor o parametro de Lamb-Dicke me-

nor o coeficiente de difusao necessario para nao haver separacao. Para testar a

escala prevista em (6.34) foi feito o grafico da figura (6.9) onde se ve, em escala

linear (6.9-a) e logarıtmica (6.9-b), a difusao mınima necessaria para nao haver

separacao em funcao de η. Para η > 0.1 os resultados confirmam a escala qua-

dratica prevista em (6.34) havendo, no entanto, um desvio nesse comportamento

para valores menores de η.

Com o reservatorio difusivo deve-se ter o mesmo cuidado que foi tomado ao

analisar o limite classico com o reservatorio a temperatura nula. Naquela ocasiao

foi visto que os valores de D para os quais nao havia separacao entre classico e

quantico encontravam-se em regioes de expoentes de Lyapunov negativos, ou se-


-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

D=0D=0.0005D=0.002

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

D=0D=0.001

D=0.00167

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

D=0D=0.001D=0.005

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

D=0D=0.00111

D=0.0025.dat"

η = 0.25

η = 0.1η = 0.05

N

dr

N

N

dr

N

η = 0.15

dr

dr

Figura 6.8: Evolucao da diferenca dr (ver (6.22)) em funcao do numero de pulsospara diferentes valores de η e D. As retas paralelas indicam o valor ε = 0.2 utilizadona definicao do tempo de separacao (indicado por setas).


-7

-6.5

-6

-5.5

-5

-4.5

-4

-3 -2.5 -2 -1.5 -10

0.002

0.004

0.006

0.008

0.01

0.012

0.014

0.016

0.018

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

log ηη

D logD

Figura 6.9: Coeficiente de difusao em funcao de η em escala linear (a) e logarıtmica(b). Para η > 0.1 o ajuste da curva logarıtmica em (b) e uma reta de coeficienteangular 2.12 confirmando (6.34).

ja, ausencia de caos. Para o reservatorio difusivo nao dispomos dos expoentes de

Lyapunov porque nao temos a evolucao de trajetorias mas sim de densidades de

probabilidade. A solucao neste caso e observar a dinamica dessas distribuicoes de

probabilidade e verificar se apresentam ainda caracterısticas caoticas. A difusao

pode levar pontos de regioes caoticas para regioes regulares dificultando a tirada

de conclusoes mais gerais sobre a transicao quantico-classico. Por outro lado es-

sa pode ser uma explicacao para os desvios encontrados a partir de η ≈ 0.1 nas

figuras (6.7) e (6.9). Como o parametro de Lamb-Dicke escala as dinamicas, as

alteracoes em η modificam as posicoes dos pontos elıpticos assim como a relacao

entre o tamanho da regiao caotica e a largura do estado inicial. Essas mudancas

fazem com que o expoente de Lyapunov seja diferente para valores distintos de η e

isto pode ser responsavel pelas alteracoes observadas nos graficos.

Capıtulo 7

Conclusao

Ions aprisionados em armadilhas harmonicas sao excelentes sistemas de testes

para questoes fundamentais em mecanica quantica. Nesta tese foram abordados

alguns topicos que permitem ampliar ainda mais as possibilidades de exploracao

de temas importantes neste tipo de sistema.

Um dos grandes desafios enfrentados em qualquer experimento que vise de-

monstrar aspectos essenciais da teoria quantica e a questao da descoerencia.

Em relacao a esse assunto, contribuimos com a proposta de um metodo para a

protecao de estados quanticos baseado na tecnica de engenharia de reservatorios.

Neste metodo o estado a ser protegido e um estado ponteiro de um reservatorio ar-

tificialmente produzido atraves da interacao de lasers com o ıon. Embora o numero

de lasers a ser utilizado no processo de protecao possa ser muito grande para um

estado geral, para alguns casos de importancia como o estado de um “qubit”, esta-

dos comprimidos ou estados tipo gato de Schrodinger, o arranjo experimental pode

ser simples e exigir um numero reduzido de lasers.

Os efeitos da descoerencia, indesejaveis quando se quer observar fenomenos de

coerencia quantica, parecem, por outro lado, desempenhar um papel fundamental

no limite classico da mecanica quantica. Alguns autores, porem, alegam que o

limite classico e obtido simplesmente a partir do limite macroscopico e que recorrer

a introducao de descoerencia, embora ajude, e desnecessario. Dentro desse cenario

nosso objetivo foi tentar contribuir para o entendimento do papel desempenhado

97

98 CAPITULO 7. CONCLUSAO

por cada uma dessas abordagens no limite de sistemas quanticos cujos analogos

classicos sejam caoticos.

Para essa analise foi escolhido o modelo caotico do oscilador harmonico pulsado

(OHP) classico. Apesar de nao ser tao simples, nem tao exaustivamente estudado,

quanto o modelo do rotor pulsado, a escolha do OHP foi feita por poder ser repro-

duzido, como mostrado no capıtulo 4, no sistema de ıons aprisionados.

Combinando a possibilidade de reproduzir sistemas classicamente caoticos em

ıons com a engenharia de reservatorios, foi possıvel avaliar a influencia do tipo de

interacao com o ambiente na obtencao do limite classico. A maioria dos traba-

lhos que se referem a efeitos de descoerencia no limite quantico-classico adotam

o limite de pequena dissipacao e, portanto, um reservatorio puramente difusivo.

Aqui tratamos de dois casos extremos de reservatorio: o difusivo e o dissipativo a

temperatura nula.

Os resultados obtidos para o caso com dissipacao indicam regioes de parametros

onde o limite classico e atingido, entretanto, nesta mesma regiao o sistema deixa

de ser caotico. Porem, este resultado pode ser um reflexo do modelo estudado e

nao se pode afirmar, para um caso geral, que as condicoes para o limite classico

implicam em regularidade do sistema. No caso difusivo tambem existe uma regiao

de parametros que une as evolucoes quantica e classica e ainda assim o espaco

de fase do sistema apresenta caracterısticas caoticas sendo, portanto, mais eficaz

para levar ao limite classico que o reservatorio dissipativo. E importante notar

que neste caso tambem ha mudancas na dinamica classica pois a difusao, alem

de impedir a formacao de estruturas cada vez mais finas, promove a passagem de

pontos que estavam em regioes regulares para regioes caoticas e vice-versa.

Alem dessa comparacao entre reservatorios foi feita tambem uma analise para

examinar as relacoes entre o que ocorre quando e introduzida uma interacao com

o ambiente e o que acontece quando e feito um escalamento do sistema tornando-o

mais macroscopico. Diante dessa analise concluiu-se que os dois procedimentos

sao necessarios para alcancar o limite classico e, mais ainda, foi obtida uma relacao

99

entre os parametros de difusao e de macroscopicidade para que as dinamicas

quantica e classica coincidam.

Embora alguns avancos tenham sido alcancados, existe ainda um campo aber-

to a ser explorado nesta area. Ainda no modelo de OHP ha uma vasta regiao de

parametros a ser estudada como por exemplo o limite de caos forte. Esse limite di-

minuiria as regioes regulares e permitiria tirar conclusoes mais gerais a respeito do

limite classico. O regime de tempos mais longos tambem poderia ser interessante

para estudar fenomenos como a localizacao, por exemplo. Uma outra alternati-

va seria encontrar um modelo caotico diferente do OHP, tambem reproduzıvel em

ıons, mas com caracterısticas classicas mais simples que evitem as dificuldades

numericas do OHP. Finalmente, ha ainda a possibilidade de estudar a influencia

de outros tipos de reservatorio no limite quantico-classico.

100 CAPITULO 7. CONCLUSAO

Apendice AEvolucao do estado quantico comreservatorio

Descreveremos nesse apendice a evolucao do estado quantico com reservatorio

tanto para o caso difusivo quanto para o dissipativo a temperatura nula. Podemos

escrever a equacao de Lindblad para o reservatorio (3.1) da seguinte forma:

˙ρ =∑

i

γi(Ji + Li

)ρ, (A - 1)

onde Jiρ = ciρc†i e Liρ = −1

2(c†i ciρ+ ρc†i ci), os operadores ci e c†i sendo independentes

do tempo.

Integrando a equacao obtemos a solucao:

ρ(t) = e(∑

iγi(Ji+Li)t)ρ(0). (A - 2)

Esta equacao tem a a forma geral

ρ(t) = F (α)ρ(0), (A - 3)

onde

F (α) = eα(A+B). (A - 4)

Supondo que o operador F (α) possa ser separado num produto de exponenciais

dependentes de A e B, teremos

F (α) = ep(α)Beq(α)A, (A - 5)

onde q(α) e p(α) sao funcoes a serem determinadas.

101

102 APENDICE A

Derivando F (α) utilizando (A - 4) teremos:

dF

dα= (A+ B)F (α) (A - 6)

ou, utilizando (A - 5),

dF

dα= p(α)BF (α) + ep(α)Bq(α)Ae−p(α)BF (α). (A - 7)

O segundo termo da equacao (A - 7) pode ser expandido utilizando:

eβBA e−βB = A+ β[B, A] +β2

2!

[B, [B, A]

]+ ... (A - 8)

Os proximos passos dependem da forma de A e B o que significa que devemos

escolher um caso particular de reservatorio para ilustrar o procedimento.

A.1 Reservatorio difusivo

No caso de um reservatorio difusivo teremos as seguintes relacoes:

α = γt, (A - 9)

Aρ = SRρ =(JR + LR

)ρ, (A - 10)

Bρ = SAρ =(JA + LA

)ρ, (A - 11)

onde os ındices A e R correspondem as partes de aquecimento e resfriamento,

respectivamente. Os operadores Ji sao definidos por:

JAρ = a†ρa, (A - 12)

LAρ = −1

2(aa†ρ+ ρaa†), (A - 13)

JRρ = aρa†, (A - 14)

LRρ = −1

2(a†aρ+ ρa†a). (A - 15)

Substituindo o comutador entre SA e SR

[SA, SR

]ρ =

(SA + SR

)ρ (A - 16)

A.1. RESERVATORIO DIFUSIVO 103

em (A - 8) tem-se:

ep(α)SASR e−p(α)SA = SR + p(α)(SA + SR) +

p(α)2

2!(SA + SR) + · · ·

= (SA + SR)ep(α)− SA. (A - 17)

Comparando as derivadas obtidas em (A -6) e em (A - 7) teremos

(SR + SA)F (α) =[p(α)SA + q(α)

(SA + SR)ep(α)− SA

)]F (α), (A - 18)

o que nos leva as equacoes:

p(α) + q(α)(ep(α) − 1

)= 1, (A - 19)

q(α)ep(α) = 1. (A - 20)

Resolvendo-as para as condicoes iniciais p(0) = q(0) = 0 obtemos p(α) = q(α) =

ln (α+ 1) e para ρ(t)

ρ(t) = eln(γt+1)SAeln(γt+1)SR ρ(0). (A - 21)

Este procedimento que possibilitou a separacao dos operadores corresponden-

tes aos reservatorios de aquecimento e resfriamento deve ser repetido agora para

separar os operadores Si em Ji e Li. Usando os comutadores

[JR, LR

]ρ = −JRρ, (A - 22)

[JA, LA

]ρ = JAρ (A - 23)

e resolvendo para p(α) e q(α) obtem-se

eα(LR+JR) = eαLRe(1−e−α)JR (A - 24)

e

eα(LA+JA) = eαLRe(eα−1)JR . (A - 25)

Com isso a equacao para ρ(t) fica

ρ(t) = eln(γt+1)LAeγtJAeln(γt+1)LRe(

γt

γt+1

)JR ρ(0). (A - 26)

104 APENDICE A

A solucao final depende da escolha de uma base apropriada para ρ e da aplicacao

dos superoperadores na forma indicada em (A - 26). Escrevendo o operador densi-

dade na base de autoestados de energia do oscilador harmonico

ρ(0) =∑

m,n

ρn,m(0)|n〉〈m|, (A - 27)

teremos:

eαJR ρ(0) =∑

m,n

∞∑

l=0

αl

l!ρn,m(0)al|n〉〈m|(a†)l

=∑

m,n

min(n,m)∑

l=0

αl

l!ρn,m(0)

√n!

(n− l)!

√m!

(m− l)!|n− l〉〈m− l|, (A - 28)

eαLR ρ(0) =∑

m,n

ρn,m(0)e−αa†a/2|n〉〈m|e−αa†a/2

=∑

m,n

ρn,m(0)e−α(n+m)/2|n〉〈m|, (A - 29)

eαJA ρ(0) =∑

m,n

∞∑

l=0

αl

l!ρn,m(0)a†

l |n〉〈m|(a†)l

=∑

m,n

∞∑

l=0

αl

l!ρn,m(0)

√(n+ l)!

n!

√(m+ l)!

m!|n+ l〉〈m+ l|, (A - 30)

eαLA ρ(0) =∑

m,n

ρn,m(0)e−αaa†/2|n〉〈m|e−αaa†/2

=∑

m,n

ρn,m(0)e−α(n+m+2)/2|n〉〈m|. (A - 31)

Finalmente os elementos de matriz num tempo t podem ser escritos, exatamen-

te, em funcao dos elementos no instante inicial:

ρi,k(t) =∞∑

l=0

min(i,k)∑

j=0

ρi+l−j,k+l−j (0)(γt+ 1)(j−i−k−1−l)(γt)l+j√i!k!(i+ l − j)!(k+ l − j)!l!j!(i− j)!(k− j)! .

(A - 32)

A.2 Reservatorio a temperatura nula

Considerando apenas o reservatorio a temperatura zero, pode-se utilizar a relacao (A -

24) para escrever a equacao para o operador densidade como

ρ(t) = eγtLRe(1−e−γt)JR ρ(0). (A - 33)

A.2. RESERVATORIO A TEMPERATURA NULA 105

A solucao de (A - 33) na base de autoestados de energia do oscilador harmonico

segue diretamente da aplicacao de (A - 28) e (A - 29). Dessa maneira teremos

ρi,k(t) =

min(i,k)∑

l=0

(1− e−γt)ll!

√(i+ l)!

i!

√(k + l)!

k!e−γt(i+k)/2ρi+l,k+l(0). (A - 34)

106 APENDICE A

Apendice BEvolucao da funcao caracterısticado oscilador pulsado

A funcao caracterıstica em ordem simetrica imediatamente antes do n-esimo pulso

e definida como:

Cn(λ, λ∗) = Tr[ρne

λa†−λ∗a]. (B - 1)

A evolucao desta funcao pode ser obtida recursivamente a partir da evolucao do

operador densidade:

ρn = T ρn−1T†, (B - 2)

onde T = e−iαa†ae−iKQ cos[2η(a+a†)]. Utilizando estas relacoes em (B- 1) teremos

Cn(λ, λ∗) = Tr[e−iαa

†ae−iKQ cos[2η(a+a†)]ρn−1eiKQ cos[2η(a+a†)]eiαa

†aeλa†−λ∗ a

]. (B - 3)

A partir da propriedade cıclica do traco e da formula de Baker-Hausdorff pode-

mos escrever

Cn(λ, λ∗) = Tr[eiKQ cos[2η(a+a†)]eiαa

†aeλa†e−λ

∗ ae−|λ|2/2e−iαa

†ae−iKQ cos[2η(a+a†)]ρn−1

].

(B - 4)

Atraves das relacoes de ordenamento

eiαa†af(a, a†)e−iαa

†a = f(ae−iα, a†eiα)

e−βa†f(a, a†)eβa

†= f(a+ β, a†) (B - 5)

eβaf(a, a†)e−βa = f(a, a† + β),

107

108 APENDICE B

podemos simplificar ainda mais a expressao para a funcao caracterıstica

Cn(λ, λ∗) = Tr[eiKQ cos[2η(a+a†)]eλa

†eiαe−λ∗ ae−iαe−iKQ cos[2η(a+a†)]ρn−1

]e−|λ|

2/2

= Tr[eλa

†eiαeiKQ cos[2η(a+a†+λeiα)]e−iKQ cos[2η(a+a†−λ∗e−iα)]e−λ∗ ae−iα ρn−1

]e−|λ|

2/2. (B - 6)

E possıvel, ainda, agrupar as exponenciais com cossenos ja que os operadores que

neles aparecem comutam, e, usando a relacao trigonometrica

cos(x)− cos(y) = −2sen(x+ y

2)sen(

x− y2

), (B - 7)

obter

Cn(λ, λ∗) = Tr[eλa

†eiαe−i2KQsen[2η[a+a†+(λeiα−λ∗e−iα)/2]]sen[η(λeiα+λ∗e−iα)]e−λ∗ae−iα ρn−1

]e−|λ|

2/2.

(B - 8)

Expandindo em funcoes de Bessel atraves de

eiβsen(θ) =∞∑

m−∞Jm(β)eimθ , (B - 9)

teremos:

Cn(λ, λ∗) = Tr

[eλa

†eiα∞∑

m=−∞Jm(z)eim2η[a+a†+(λeiα−λ∗e−iα)/2]e−λ

∗ae−iα ρn−1

]e−|λ|

2/2,

(B - 10)

com z = 2KQ sen[−η(λeiα + λ∗e−iα)].

Ordenando as exponenciais com a e a† adequadamente obteremos uma relacao

de recorrencia entre Cn e Cn−1

Cn(λ, λ∗) =∞∑

m=−∞Jm(z)Cn−1(λeiα + i2mη, λ∗e−iα − i2mη), (B - 11)

que, escrita em termos da funcao caracterıstica inicial, torna-se

Cn(λ, λ∗) =∞∑

m1 ,m2,...,mn=−∞Jm1

(z1)Jm2(z2) . . . Jmn

(zn)C0(λn, λ∗n), (B - 12)

onde

λk = λk−1eiα + i2mkη, (B - 13)

zk = 2KQ sen(ξk), (B - 14)

ξk = −η(λk + λ∗k). (B - 15)

Apendice CEvolucao da funcao caracterısticaclassica

A funcao caracterıstica classica imediatamente antes do n-esimo pulso e dada por

Ccln (λ, λ∗) =

∫ ∞

−∞d2αPn(α, α∗)eλα

∗−λ∗α, (C - 1)

onde Pn(α, α∗) e a distribuicao de probabilidade correspondente a este mesmo ins-

tante de tempo e α ≡ v + iu um ponto qualquer do espaco de fase. Em termos de α

e α∗ o mapa dado por (5.17) e (5.18) fica como

α = e−iντα′ + ie−iντKcl

4ηsen

[2η(α′ + α′

∗)]. (C - 2)

A evolucao de Pn(α, α∗) e obtida a partir de

Pn(α, α∗) = Pn−1(α′, α′∗), (C - 3)

onde (α, α∗) e o ponto que e obtido a partir da aplicacao de (C - 2) em (α′, α′∗), ou seja,

no decorrer de uma iteracao transporta-se o valor da distribuicao de probabilidade

para um novo ponto dado pelo mapa classico.

Inserindo (C - 2) e (C - 3) em (C - 1) e notando que o Jacobiano da transformacao (C -

2) e unitario obtem-se

Ccln (λ, λ∗) =∫ ∞

−∞d2α′ Pn−1(α′, α′

∗)e(λe

iντα′∗−λ∗e−iντα′)e−i

[Kcl4η

(λeiντ+λ∗e−iντ )sen(2η(α′+α′∗

))].

(C - 4)

Utilizando a relacao (B -9) tem-se

Ccln (λ, λ∗) =∞∑

m=−∞Jm

(−Kcl

4η

(λeiντ − λ∗e−iντ

))∫ ∞

−∞d2α′ Pn−1(α′, α′

∗)e[(λe

iντ+i2mη)α′∗−(λ∗e−iντ−i2mη)α′]

109

110 APENDICE C

=∞∑

m=−∞Jm (2KQξ1)Cn−1

(λeiντ + i2mη, λ∗e−iντ − i2mη

). (C -5)

Esta equacao e exatamente a que e encontrada aproximando o seno por seu argu-

mento em (B- 11) e que da origem a (6.18).

Apendice DEvolucao da funcao caracterısticacom reservatorio difusivo

A equacao mestra que descreve a evolucao com um reservatorio puramente difusivo

e dada por (3.43):

˙ρ = −Γ

2

[(a†aρ− 2aρa† + ρa†a) + (aa†ρ− 2a†ρa+ ρaa†)

]. (D - 1)

A funcao caracterıstica em ordem simetrica definida anteriormente por (6.8) tera

sua dinamica dada atraves de:

C(λ, λ∗) = Tr[

˙ρneλa†−λ∗a

]. (D - 2)

Introduzindo (D -1) em (D- 2) teremos

C(λ, λ∗) =Γ

2Tr[−a†aρeλa†−λ∗a + 2aρa†eλa

†−λ∗ a − ρa†aeλa†−λ∗a (D - 3)

−aa†ρeλa†−λ∗a + 2a†ρaeλa†−λ∗a − ρaa†eλa†−λ∗ a

], (D - 4)

que, utilizando as propriedades de ordenamento (B -5), pode ser reescrita como:

C(λ, λ∗) =Γ

2Tr[−2|λ|2eλa†−λ∗ aρ

]

= −Γ|λ|2C(λ, λ∗). (D - 5)

Integrando esta equacao no tempo encontra-se a solucao

C(λ, λ∗, t) = C(λ, λ∗, 0)e−Γ|λ|2t. (D - 6)

111

112 APENDICE D

Referencias Bibliograficas

[1] N. Bohr, Essays 1958-1962 on atomic physics and human knowledge, New

York: Wiley-Interscience, 1963; A. Pais, Sutil e o Senhor..., Rio de Janeiro:

Nova Fronteira, 1995, cap. 24 e 25.

[2] R. Omnes, The interpretation of Quantum Mechanics, Princeton: Princeton

University Press, 1994.

[3] W. H. Zurek, Physics Today 44, 36 (1991); W. H. Zurek, Phys. Rev. D 24, 1516

(1981); D. Giulini et al., Decoherence and the appearance of a classical

world in quantum theory, Berlin: Springer-Verlag, 1996.

[4] S. Neil Rasband, Chaotic dynamics of nonlinear systems, New York: Wiley-

Interscience, 1989.

[5] F. Haake, Quantum signatures of chaos Berlin: Springer, 1992; M. C. Gut-

zwiller, Chaos in classical and quantum mechanics, New York: Springer,

1990.

[6] W. Paul, Rev. Mod. Phys. 62(3), 531 (1990).

[7] D. J. Wineland et al , Journal of Research of the National Institute of Stan-

dards and Technology 103 , 29 (1998).

[8] C. Monroe, D. M. Meekhof, B. E. King e D. J. Wineland, Science 272, 1131

(1996).

[9] D. M. Meekhof, C. Monroe, B. E. King, W. M. Itano e D. J. Wineland, Phys.

Rev. Lett. 75, 4714 (1995).

113

114 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

[10] D. M. Meekhof, C. Monroe, B. E. King, W. M. Itano e D. J. Wineland, Phys.

Rev. Lett. 76, 1796 (1996).

[11] D. Leibfried, D. M. Meekhof, B. E. King, C. Monroe, W. M. Itano e D. J. Wine-

land, Phys. Rev. Lett. 77, 4281 (1996); Phys. Today 51 No. 4, 22 (1998).

[12] S. Wallentowitz, R. L. de Matos Filho e W. Vogel, Phys. Rev. A 56, 1205 (1997).

[13] Cirac, J. I. e P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 74, 4091 (1995).

[14] R. L. de Matos Filho e W. Vogel, Phys. Rev. Lett. 76, 608 (1996), R. L. de Matos

Filho e W. Vogel, Phys. Rev. A 54, 4560 (1996).

[15] S. Wallentowitz e W. Vogel, Phys. Rev. Lett. 75, 2932 (1995).

[16] E. Solano, C. L. Cesar, R. L. de Matos Filho, N. Zagury, Eur. Phys. J. D13, 121

(2001)

[17] W. Vogel e D. G. Welsch, Lectures on quantum optics, Berlin: Akademie

Verlag, 1994; C. W. Gardiner, Quantum noise, Berlin:Springer, 1991.

[18] S. Wallentowitz, Preparation and determination of the quantum state of

a single trapped atom. Orientador: Werner Vogel. Rostock, Universidade de

Rostock, 1997. Dissertacao de doutorado.

[19] W. Vogel e R. L. de Matos Filho, Phys. Rev. A 52, 4214 (1995).

[20] R. L. de Matos Filho, Effekte der quantisierten Schwerpunktbewegung ges-

peicherter Ionen bei der Wechselwirkung mit Licht. Orientador: Werner

Vogel. Rostock, Universidade de Rostock, 1997. Dissertacao de doutorado.

[21] C. Cohen-Tannoudji, J. Dupont-Roce G. Grynberg, Atom-photon interac-

tions: basic processes and applications, New York: Wiley, 1992.

[22] P. A. M. Dirac, The principles of quantum mechanics. Oxford: Clarendon

Press, 1947.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 115

[23] E. Schodinger, Naturwissenschaften 23, 807 (1935).

[24] E. Merzbacher, Quantum mechanics. New York: Wiley, 1970.

[25] M. Brune et al., Phys. Rev. Lett. 77, 4887 (1996)

[26] C. J. Myatt et al., Nature 403, 269 (2000).

[27] J. F. Poyatos, J. I. Cirac e P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 77, 4728 (1996).

[28] Q. A. Turchette et al. Phys. Rev. A 62, 053807 (2000).

[29] G. Lindblad, Math. Phys. 48, 119 (1976).

[30] D. F. V. James, Phys. Rev. Lett. 81, 317 (1998).

[31] E. Wigner, Phys. Rev. 40, 749 (1932); M. Hillery, R. F. O’Connell, M. O. Scully

e E. P. Wigner, Phys. Rep. 106, 121 (1984).

[32] K. E. Cahil e R. J. Glauber, Phys. Rev. 177, 1857 (1969);.

[33] D. T. Smithey et al., Phys. Rev. Lett. 70,1244 (1993); G. Breitenbach et al., J.

Opt. Soc. Am. B 12, 2304 (1995).

[34] L. G. Lutterbach e L. Davidovich, Phys. Rev. Lett. 78, 2547 (1997).

[35] P. Bertet et al., Phys. Rev. Lett. 89, 200402 (2002).

[36] P. M. Radmore, S. M. Barnett, Methods in theoretical quantum optics. Ox-

ford: Oxford University Press, 1997.

[37] W. Vogel e R. L. de Matos Filho, Phys. Rev. A 58, R1661 (1998).

[38] L. Mandel e E. Wolf, Optical coherence and quantum optics. Cambridge:

Cambridge University Press, 1995. Secao 3.1.3.

[39] For reviews, see D. P. Di Vicenzo, Science 270, 255 (1995); A. Ekert and

R. Josza, Rev. Mod. Phys. 68, 733 (1996); J. Preskill, Physics Today 52, 24

(1999).


[40] J. I. Cirac and P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 74, 4091 (1995).

[41] H. Mabuchi and P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 76, 3108 (1996);

[42] D. Vitali, P. Tombesi, and G. J. Milburn Phys. Rev. Lett. 79, 2442 (1997);

Phys. Rev. A 57, 4930 (1998).

[43] L. Viola, E. Knill, and S. Lloyd, Phys. Rev. Lett. 82, 2417 (1999); L. Viola and

S. Lloyd, Phys. Rev. A 58, 2733 (1998).

[44] P.W. Shor, Phys. Rev. A 52, 2493 (1995); D. Gottesman, ibid. 54, 1862 (1996);

A. Ekert and C. Macchiavello, Phys. Rev. Lett. 77, 2585 (1996); A.R. Calder-

band et al, ibid. 78, 405 (1997);

[45] A. R. R. Carvalho, P. Milman, R. L. de Matos Filho and L. Davidovich, Phys.

Rev. Lett. 86, 4988 (2001).

[46] L. Mandel e E. Wolf, Op. cit., capıtulo 21.

[47] B. Yurke and B. Stoler, Phys. Rev. Lett. 57, 13 (1986).

[48] D. T. Pegg e S. M. Barnett, Europhys. Lett. 6, 483 (1998).

[49] G. M. Zaslavsky et al, Zh. Eksp. Teor. Fiz. 91, 500 (1986); S. Murakami, T.

Sato e A. Hasegawa, Physica 32 D, 269 (1988); V. V. Afanasiev et al, Phys.

Letters A 144, 229 (1990).

[50] G. M. Zaslavsky, R. Z. Sagdeev, D. A. Usikov e A. A. Chernikov, Weak chaos

and quasi-regular patterns. Cambridge: Cambridge University Press, 1992.

[51] A. Wolf et al, Physica 16 D, 285 (1985).

[52] M. D. Feit, J. A. Fleck, Jr., e A. Steiger, J. Comput. Phys. 47, 412 (1982).

[53] Eric Fijalkow, Comput. Phys. Commun. 116, 319 (1999).

[54] Armando de Oliveira Fortuna, Tecnicas computacionais para dinamica dos

fluidos. Sao Paulo: Edusp - Editora da Universidade de Sao Paulo, 2000.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 117

[55] J. K. Breslin, C. A. Holmes e G. J. Milburn, Phys. Rev. A 56, 3022 (1997).

[56] S. A. Gardiner, J. I. Cirac e P. Zoller, Phys. Rev. Lett. 79, 4790 (1997).

[57] G. P. Berman, V. Yu Rubaev e G. M. Zaslavsky, Nonlinearity 4, 543 (1991).

[58] D. Shepelyansky e C. Sire, Europhys. Lett. 20, 95 (1992); I. Dana, Phys. Rev.

Lett. 73, 1609 (1994); F. Borgonovi e L. Rebuzzini, Phys. Rev. E 52, 2302

(1995); M. Frasca, Phys. Lett. A 231, 344 (1997); B. Hu et al, Phys. Rev. E 58,

1743 (1998).

[59] K. Mølmer, Y. Castin e J. Dalibard, J. Opt. Soc. Am. B 10, 524 (1993).

[60] T. B. L. Kist, Equacoes de Schrodinger estocasticas aplicadas a sistemas

quanticos dissipativos. Orientador: Luiz Davidovich. Rio de Janeiro, Pon-

tifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro, 1996. Dissertacao de doutora-

do; T. B. L. Kist, M. Orszag, T. A. Brun e L. Davidovich, J. Opt. B: Quantum

Semiclass. Opt. 1, 251 (1999).

[61] J. J. Sakurai, Modern Quantum mechanics. Menlo Park: Addison-Wesley,

1994.

[62] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu e F. Laloe, Quantum mechanics. Paris: Her-

mann, 1993.

[63] L. E. Ballentine, Y. Yang e J. P. Zibin, Phys. Rev. A 50, 2854 (1994).

[64] G. P. Berman e G. M. Zaslavsky, Physica 91 A, 450 (1978).

[65] W. H. Zurek e J. P. Paz, Physica D 83, 300 (1995).

[66] W. H. Zurek, Phys.Scripta T76 186 (1998); Acta Phys.Polon. B29, 3689 (1998).

[67] S. Habib, W. H. Zurek e J. P. Paz, Phys. Rev. Lett. 80, 4361 (1998).

[68] J. P. Paz e W. H. Zurek, “Environment induced superselection and the transi-

tion from quantum to classical”, em Coherent matter waves, Les Houches


Session LXXII, editado por R. Kaiser, C. Westbrook and F. David, Berlin: EDP

Sciences, Springer Verlag (2001).

[69] A. R. Kolovsky, Phys. Rev. Lett. 76, 340 (1996).

[70] A. K. Pattanayak, Phys. Rev. Lett. 83, 4526 (1999).

[71] D. Monteoliva e J. P. Paz, Phys. Rev. E 64, 056238 (2001).

[72] A. K. Pattanayak e B. Sundaram, quant-ph/0206069.

[73] L. Mandel e E. Wolf, Op. cit. Capıtulo 11.

caos, descoerencia,‹ protec‚aoŸ de estados e a transic‚aoŸ ...arrc/arrc_tese.pdf ·...

Documents