Cinemática

Mecânica

♦ Aceleração Escalar Média

Entre os instantes t = 0 e t = 0,5 a velocidade aumentou de 10 m/s em 0,5 s → movimento acelerado.

Entre os instantes t = 0,5 s e t = 1,0 s a velocidade permaneceu constante → movimento uniforme.

Entre os instantes t = 1 s e t = 1,5 s, a velocidade diminuiu de 10 m/s em 0,5 s → movimento retardado.

Define-se aceleração escalar média (am) ao quociente entre a variação de velocidade (ΔV) pelo respectivo intervalo de tempo (Δt), ou seja:

A unidade de aceleração escalar média, no SI, é o m/s2

Classificação dos movimentos

Movimento progressivo: velocidade positiva e o deslocamento é no sentido dos marcos crescentes.

Movimento retrógrado: velocidade negativa e o deslocamento é no sentido dos marcos decrescentes.

Movimento acelerado: sempre que velocidade e aceleração têm o mesmo sinal, ou seja, ambas são positivas ou ambas são negativas, ou que o módulo da velocidade está aumentando.

Movimento retardado: sempre que velocidade e aceleração têm sinais opostos, ou seja, quando um é positivo o outro é negativo e vice-versa, ou que o módulo da velocidade está diminuindo.

1 - (Unirio) Caçador nato, o guepardo é uma espécie de mamífero que reforça a tese de que os animais predadores estão entre os bichos mais velozes da natureza. Afinal, a velocidade é essencial para os que caçam outras espécies em busca de alimentação. O guepardo é capaz de, saindo do repouso e correndo em linha reta, chegar à velocidade de 72 km/h em apenas 2,0 s. Determine a aceleração escalar média deste mamífero.

Exemplos

Resolução:

V = 72/3,6 = 20 m/s

am = (V - Vo) / (t – to)

am = (20 – 0) /(2 – 0)

am = 10 m/s2

2 - (FGV-SP) Um trem desloca-se com velocidade de 72 km/h, quando o maquinista vê um obstáculo à sua frente. 

Aciona os freios e pára em 4s. A aceleração média imprimida ao trem pelos freios, foi em módulo, igual a:

a) 18 m/s2 b) 10 m/s2 c) 5 m/s2 d) 4 m/s2 e) zero

Resolução:

V = 72/3,6 = 20 m/s

am = (V - Vo) / (t – to)

am = (0 – 20) / (4 – 0)

am = - 5 m/s2

Alternativa c

Movimento Uniformemente Variado

♦ Aceleração Instantânea Constante

♦ Aceleração Instantânea = Aceleração Média

♦ am = a = ΔV/Δt 

♦ Função horária da velocidade

♦ V = V0 + a.t

♦ Gráfico V x t do MUV

♦ Gráfico a x t do MUV

Exemplos1 - (UFB) Um gato realiza um MUV em trajetória retilínea e horizontal que obedece à função horária da velocidade V = - 20 + 5t em unidades do SI. Pede-se:a) a velocidade inicial e a aceleraçãob) o instante em que ele muda o sentido de seu movimentoc) classificar o movimento em progressivo ou retrógrado, acelerado ou retardado, orientando a trajetória para a direita.

Resolução:

a) V = V0 + at / V = - 20 + 5t → V0 = - 20 m/s e a = 5 m/s2

b) Quando ele muda o sentido de seu movimento ele pára (V = 0)

V = - 20 + 5t → 0 = - 20 + 5t → t = 4 s

c) De 0 a 4 s → V < 0 e a > 0 → retrógrado e retardado

A partir de 4 s → V > 0 e a > 0 → progressivo e acelerado

2 - (UFSM-RS) Ao preparar um corredor para uma prova rápida, o treinador observa que o desempenho dele pode ser descrito, de forma aproximada, pelo seguinte gráfico: 

A velocidade média desse corredor, em m/s, é de:a) 8,5 b) 10,0 c) 12,5 d) 15,0 e) 17,5

Resolução:

ΔS = área = (10 + 6).12,5 / 2 → ΔS = 100 m

Vm = ΔS / Δt → Vm = 10 m/s

Alternativa b

3 - (PUC-RJ) Considere o movimento de um caminhante em linha reta. Este caminhante percorre os 20,0 s iniciais à velocidade constante v1 = 2,0 m/s. Em seguida, ele percorre os próximos 8,0 s com aceleração constante a = 1 m/s2. Calcule a velocidade final do caminhante.Resolução:

Vo = 2 m/s / a = 1 m/s2

V = Vo + at V=2 + 1.8 → V = 10 m/s

4 – (UFRJ) Um avião vai decolar em uma pista retilínea. Ele inicia seu movimento na cabeceira da pista com velocidade nula e corre por ela com aceleração média de 2,0 m/s2 até o instante em que levanta vôo, com uma velocidade de 80 m/s, antes de terminar a pista. Calcule quanto tempo o avião permanece na pista desde o início do movimento até o instante em que levanta vôo.

Resolução:

V = Vo + at

80 = 0 + 2.t

T = 40 s

Movimento Uniformemente Variado

♦ Função horária da velocidade

♦ S = S0 + V0t + a.t2/2

♦ Equação de Torricelli

♦ V2 = V02 + 2aΔS

Exemplos1 - (UNESP-SP) Um veículo está rodando à velocidade de 36 km/h numa estrada reta e horizontal, quando o motorista aciona o freio. Supondo que a velocidade do veículo se reduz uniformemente à razão de 4 m/s em cada segundo a partir do momento em que o freio foi acionado, determine:a) o tempo decorrido entre o instante do acionamento do freio e o instante em que o veículo pára.b) a distância percorrida pelo veículo nesse intervalo de tempo.

Resolução:

a) So = 0 / Vo = 36/3,6 = 10 m/s / a = ΔV/Δt = - 4/1  = - 4 m/s2

Pára (V = 0) → V = Vo+ at → 0 = 10 - 4t

t = 2,5 s

b) S = So + Vot + at2/2 → S - So = Vot + at2/2

ΔS = 10.2,5 – 4.(2,5)2/2 → ΔS = 25 – 12,5

ΔS = 12,5 m

2 - (UNESP) Em um determinado instante, um carro que corre a 100 km/h em uma estrada horizontal e plana começa a diminuir sua velocidade, com o módulo da aceleração constante. Percorrido 1 km, a redução da velocidade é interrompida ao mesmo tempo em que o carro é detectado por um radar fotográfico. O radar mostra que o carro está na velocidade limite permitida de 80 km/h. Assim, pede-se o módulo da aceleração, em m/s2, durante o intervalo de tempo em que a velocidade do carro diminuiu de 100 km/h para 80 km/h.

Resolução:

Vo = 100 km/h / V = 80 km/h / ΔS = 1 km

V2 = Vo2 + 2.a.ΔS

6400 = 10000 + 2.a.1

a = - 1800 km/h2 

a = - 1800.1000/36002

a = - 0,14 m/s2

3 - (FUVEST) A velocidade máxima permitida em uma auto-estrada é de 110 km/h e um carro, nessa velocidade, leva 6 s para parar completamente. Diante de um posto rodoviário, os veículos devem trafegar no máximo a 36 km/h. Assim, para que carros em velocidade máxima consigam obedecer o limite permitido, ao passar em frente do posto, a placa referente à redução de velocidade deverá ser colocada antes do posto, a uma distância, pelo menos, de:

a) 40 m b) 60 m c) 80 m d) 90 m e) 100 mResolução:

Vo = 110/3,6 = 30 m/s

V = Vo + at → 0 = 30 + a.6 → a = - 5 m/s2

Com essa aceleração sua velocidade deve ser reduzida de V0 =

30 m/s para V = 10 m/s

V2 = Vo2 + 2.a.ΔS → 100 = 900 – 2.5.ΔS → ΔS = 80 m

Alternativa c

4 - (PUC-RJ) Dois objetos saem no mesmo instante de dois pontos A e B situados a 100 m de distância um do outro. Os objetos vão se encontrar em algum ponto entre A e B. O primeiro objeto sai de A em direção a B, a partir do repouso, com uma aceleração constante igual a 2,0 m/s2. O segundo objeto sai de B em direção a A com uma velocidade constante de v = 15 m/s. Determine a posição onde ocorre o encontro dos dois objetos, medido a partir do ponto A.

Resolução:

A → MUV → a = 2 m/s2 / Vo = 0 / So = 0

SA = So + Vo.t + a.t2/2 → SA = 0 + 0.t + 2.t2/2 → SA = t2

B → MU → V = -15 m/s / So = 100 m

SB = So + V.t → SB = 100 – 15.t

No encontro : SA = SB → t2 = 100 – 15t → t2 + 15t – 100 = 0

t = 5 s (instante do encontro)

Substituindo t = 5 s em SA = t2  → SA = 52 → SA = 25 m

4 - (UFG) A pista principal do aeroporto de Congonhas em São Paulo media 1940 m de comprimento no dia do acidente aéreo com o Airbus 320 da TAM, cuja velocidade tanto para pouso quanto para decolagem é 259,2 km/h. Após percorrer 1240 m da pista o piloto verificou que a velocidade da aeronave era de 187,2 km/h. Mantida esta desaceleração, a que distância do fim da pista o piloto deveria arremeter a aeronave, com aceleração máxima de 4 m/s2, para evitar o acidente?

a) 312 m b) 390 m c) 388 m d) 648 m e) 700 mResolução:

V0 = 259,2/3,6 = 72 m/s / V = 187,2/3,6 = 52 m/s

V2 = Vo2 + 2.a.ΔS → 522 = 722 + 2.a.1240 → a = -1 m/s2

Distância de desaceleração será ΔS = 1940 – Δx

V2 = 722 - 2.(1940-Δx) (no trecho de frenagem)

722 = V2 + 2.4.Δx (no trecho de aceleração)

722 = 722 - 2.(1940 - Δx) + 8Δx → 0 = - 3880 + 2Δx + 8Δx

3880 = 10.Δx → Δx = 3880/10 = 388 m

Alternativa c

5 - O movimento de uma bola sobre uma trajetória retilínea é descrito de acordo com a seguinte equação: x = 5 + 16t - 2t2, em que x é medido em metros e t em segundos.a) Faça o esboço do gráfico da posição em função do tempo.

Resolução:

a)

b) Calcule a velocidade da bola em t = 4,0 s.

Resolução:

Se S = 5 + 16.t - 2.t2 temos v = 16 - 4.t → v = 16 - 4.4 = 16 - 16

= 0 m/s

c) Calcule a distância percorrida pela bola e o seu deslocamento

em t = 5,0 s.

Resolução:

t = 0 → So = 5 m

t = 5 s → S = 5 + 16.5 - 2.25 → S5 = 35 m

ΔS = S5 – So = 35 – 5 = 30 m

V = Vo +a.t → 0 = 16 – 4t → t = 4 s

S4 = 5 + 16.4 - 2.16 = 37 m

d = 37 – 5 + 2 → d = 34 m

1 - (PUC)  Um corredor olímpico de 100 metros rasos acelera desde a largada, com aceleração constante, até atingir a linha de chegada, por onde ele passará com velocidade instantânea de 12 m/s no instante final. Qual a sua aceleração constante, em m/s2 ?a) 10,0 b) 1,0 c) 1,66 d) 0,72 e) 2,0

2 - (UFPR)  Um motorista conduz seu automóvel pela BR-277 a uma velocidade de 108 km/h quando avista uma barreira na estrada, sendo obrigado a frear (desaceleração de 5 m/s2) e parar o veículo após certo tempo. Pode-se afirmar que o tempo e a distância de frenagem serão, respectivamente:a) 6 s e 90 m b) 10 s e 120 m c) 6 s e 80 m d) 10 s e 200 m

3 - (PUC) Um atleta corre a uma certa velocidade constante em linha reta e ultrapassa um carro que está sendo acelerado (a = 2,0 m/s2) do repouso na mesma direção e sentido. O instante de tempo t = 0 é o tempo inicial de aceleração do carro e também o instante de tempo em que o atleta passa pelo carro. O atleta consegue se manter à frente do carro por 3,0 s. Qual é a velocidade do atleta?a) 1,0 m/s b) 3,0 m/s c) 7,0 m/s d) 9,0 m/s e) 11,0 m/s

Exercícios

1 – Resolução:

Vo = 0 / V = 12 m/s / ΔS = 100 m

V2 = Vo2 + 2.a.ΔS → 122 = 2.a.100 → a = 144/200 → a = 0,72 m/s2

Alternativa d

2 – Resolução:

Vo = 108 km/h = 30 m/s / a = - 5 m/s2

Tempo de frenagem: V = Vo + a t → 0 = 30 – 5 t  → t = 6 s

Distância de frenagem: V2 = Vo2 + 2.a.ΔS → 0 = 302 + 2 (- 5)ΔS

10.ΔS = 900  → ΔS = 90 m 

Alternativa a

3 – Resolução:

Carro (MUV): Sc = So + Vot + at2/2 = 0 + 0 + 2t2/2 → Sc = t2    

Atleta  (MU): Sat = So + V.t = 0 + Vt → Sat = Vt

Se o atleta se mantém na frente do carro por t = 3 s

Sat = Sc, quando t = 3 s  → Vt = t2  → V.3 = 32  → V = 3 m/s

Alternativa b