cinemática e dinâmica das cames

Francisco Queirs de Melo, Joaquim Carneiro 2008

-1-

FSICA I

CINEMTICA

E

DINMICA DAS CAMES 2 Ano da Licenciatura em Engenharia Mecnica da universidade de Aveiro

1 Semestre

1 Ano da Licenciatura em Engenharia Civil da Universidade do Minho 1 Semestre

(2008)

FRANCISCO QUEIRS DE MELO

JOAQUIM CARNEIRO

2

ndice

1 INTRODUO ........................................................................................................... 3

2 CONSTITUIO E DESENHO DAS CAMES ...................................................... 3

3 ANLISE CINEMTICA DE ALGUNS TIPOS DE CAMES .............................. 5

3.1 CAME CIRCULAR EXCNTRICA COM IMPULSOR DE ROLETE ..................................... 5

3.3 AJUSTE DE FUNES AO PERFIL PRETENDIDO PARA UMA CAME ........................... 10

3.4 CURVA DE ELEVAO COMBINANDO DIVERSOS TIPOS DE PERFIL .......................... 13

4 DINMICA DOS SISTEMAS DE CAMES ........................................................... 20

4.2 DETERMINAO DA VELOCIDADE DE ROTAO LIMITE DE UM MECANISMO DE

CAME .............................................................................................................................. 20


-3-

1 Introduo

As cames ou ressaltos (ou ainda excntricos) so acessrios mecnicos destinados a

transformar rotaes em movimentos rectilneos, ou mesmo noutras rotaes de

amplitude geralmente limitada.

As suas aplicaes so bastante conhecidas sobretudo na indstria automvel, com

incidncia nos motores a 4 tempos, onde as vlvulas de admisso e escape so

comandadas por excntricos ou cames tal como mostra a figura 1.

Fig. 1 Exemplo de comando de vlvulas em motores a 4 tempos de aplicao automvel

Para alm deste exemplo bem econhecido, conhecem-se aplicaes de cames no

accionamento de pequenas prensas mecnicas, maquinaria txtil e mquinas ferramenta.

2 Constituio e desenho das cames

Na figura 2 apresenta-se o esquema elementar de um mecanismo com came ou

excntrico. Neste caso, uma haste ou impulsor tem um rolete com raio r que est

encostado superfcie (o perfil real) da came. O centro do rolete de raio r est sempre

mesma distncia do perfil real, definindo deste modo a gerao de um perfil terico, que

permite o mesmo deslocamento ao impulsor que no caso do rolete, mas agora com o

4

rolete suprimido e no lugar do seu centro geomtrico est agora um gume que termina no

perfil terico, como mostra a figura 2-a

Rolete: Raio r

Impulsor

Guia

Came: Perfil real Perfil terico

r

y(t)

)t(y)t(y

Fig. 2 Came accionando um impulsor de rolete

Impulsor de gume ou faca

Guia

Came: Perfil terico

y(t)

)t(y)t(y

Fig. 2-a came accionando um impulsor de faca ou gume


-5-

A figura 3 mostra outro tipo de impulsor em que o contacto com o perfil da came

assegurado por um prato. O ponto P representa o contacto do prato com o perfil da came,

podendo este ponto variar sobre a superfcie do prato.

Impulsor

Guia

Came: Perfil real

y(t)

)t(y)t(y

P

Fig. 3 Came com impulsor de prato

Claro que uma mesma came impulsionando numa vez um impulsor de rolete e noutra um

impulsor de prato dar o mesmo levantamento mximo, mas a lei de variao do

levantamento em funo do ngulo de posio ser diferente, assim como diferentes

sero a velocidade )t(yaceleraoae)t(y .

3 Anlise cinemtica de alguns tipos de cames

3.1 Came circular excntrica com impulsor de rolete

Considere-se o mecanismo de came represento na figura 4, realizado a partir de um disco

circular mas girando com excentricidade e.

6

Rolete: Raio r

Impulsor

Guia

Came: Perfil real Perfil terico

y(t)

)t(y)t(y

O

C e

I

y(t)

R

Fig. 4 Mecanismo de came circular excntrico

Neste primeiro exemplo admite-se que o eixo do impulsor passa pelo centro de rotao O

da came; o centro geomtrico da came C, tal como mostra a figura 4. O centro de

rotao real O dista e do ponto C, sendo e a excentricidade da came. Supondo que a came

gira em torno de C frequncia angular == dtd =const., o que se necessita para

definir o movimento caraterizar a funo levantamento do impulsor y(t) ou y=y((t)).

Para isto, nota-se que a construo geomtrica formada pelo tringulo ICO; o lado IC

o levantamento y(t). Seja o ngulo OC; este ngulo chama-se ngulo de presso da

superfcie do rolete contra a superfcie da came. O ngulo = t pode considerar-se uma

varivel independente. As equaes caracterizando o estado cinemtico da came e do

respectivo impulsor so:

+=

++=

sen)rr(tsenecos)rr(tcose)t(y

(1)

Podemos eliminar o ngulo e explicitar depois em y(t). Assim, as duas equaes de (1)

passam a ser:


-7-

+=

+=

sen)rr(tsenecos)rr(tcose)t(y

(1-a)

Quadrando e somando as duas equaes anteriores, d: 222222 )rR(tsinetcosey2tcosey +=++ (2)

Ou ainda:

222 )rR(tcosey2ey +=+ (3)

Temos deste modo uma equao do 2 grau em y para cada instante caraterizando o

argumento = t da funo cosseno. A soluo :

2))rR(e(4tcose4tcose2

y2222 +

= (4)

repare-se que a frmula resolvente anterior tem sempre razes reais, desde que (R+r)e, o

que se verifica sempre por simples inspeco da geometria da came (nunca pode a

excentricidade ser maior do que a soma dos raios). A velocidade )t(y e a acelerao

)t(y so obtidas por derivao de (4), o que no se apresenta como tarefa simples. Uma

soluo alternativa obtida pode desenvolver-se como se segue:

Tomando as equaes (1) ou (1-a), escrevemos o ngulo deste modo:

+

=

)rR(tsinesinarc (5)

As expresses seguintes devem ser agora usadas:

8

++=

+=

++=

sin)rR(cos)rR(tcose)t(y

sin)rR(tsine)t(y

cos)rR(tcose)t(y

22

(6)

onde 2

rRtsine1

tcosrR

e

+

+

= (7)

Se na expresso (7) admitirmos que R>>r, o denominador de (7) tem praticamente o

valor 1 (j que (R+r)>>e sint). Ento (7) passa a ser:

tcosrR

e

+

= (7-a)

Agora a segunda derivada temporal de obtm-se sem dificuldade:

tsinrR

e 2

+

= (8)

As expresses para y(t) e suas derivadas passam a ser:

+

+

+

+

+=

+

=

+

++=

rRtsinesinarccos)rR(tcos

rRe

rRtsinetsinetcose)t(y

rRtsinetcosetsine)t(y

rRtsinesinarccos)rR(tcose)t(y

2

22

(9)

(notar que so expresses aproximadas, tendo em conta o uso de (7-a))


-9-

Exerccio proposto:

Utilize o EXCEL para obter graficamente as funes deslocamento, velocidade e

acelerao do impulsor de rolete sobre a came de perfil harmnico simples que acaba de

ser analisada. Compare os resultados obtidos pelas expresses exactas (4), (5) e (6) com

as aproximadas em (9).

3.2 Came circular excntrica com impulsor tipo prato

Neste caso a geometria do conjunto came-impulsor orienta-se pela figura 5.

Came: Perfil real

O

C e

y(t)

R

Impulsor

Guia y(t)

)t(y)t(y

Fig. 5 Came circular excntrica harmnica simples com impulsor de prato

As expresses referentes ao deslocamento, velocidade e acelerao:

=

=

=

tcose)t(ytsine)t(ytcose)t(y

2 (10)

Como se pode verificar, estas expresses so muito mais simples do que as necessrias

caracterizao do deslocamento na came com rolete (eqs. (9))

10

3.3 Ajuste de funes ao perfil pretendido para uma came

Os dois exemplos anteriormente analisados correspondem a um nico tipo de perfil

trigonomtrico, o qual consiste em expresses analticas do tipo harmnico simples

(chama-se assim por envolver um argumento = t de ordem 1; se fosse ordem mais

elevada, n>1, seria = nt). possvel ajustar uma funo ou conjunto de funes de

forma a obter um perfil de came correspondendo a especificaes de deslocamento,

velocidade e acelerao em posies bem definidas no tempo (condies iniciais e de

fronteira). Isto pode ser levado a cabo em apenas alguns intervalos do ngulo total de

rotao da came. Vejamos um exemplo:

Pretendemos projectar uma came que efectue o movimento do impulsor

esquematizado na figura 6.

y(t)

ymax

y(t)

= 0 = /2 =

(patamar)

Fig. 6 Esquema de levantamento do impulsor de uma came a desenhar

Vamos admitir que a rampa de levantamento tem na came um perfil parablico, isto ,

corresponde a uma funo do 2 grau de = t. A rampe que se na fig. 6 resulta da

composio de dois perfis de parbola; uma que se estende de = 0 (incio do

levantamento) at = /2; outra que liga = /2 a = . Depois h um esquema de

movimento de retorno do impulsor posio inicial por simetria das curvas a obter como

se v na figura. H um ngulo para o qual o impulsor no se move (corresponde ao

patamar na funo y(t)) que pode ser ajustado no projecto da came dentro de certos

limites, naturalmente.


-11-

Pretendemos pois ajustar uma funo do 2 grau em ao perfil da came capaz de

efectuar o levantamento mostrado na fig.6, abrangendo um domnio desde = 0 at =

. Sabendo que o levantamento mximo da came ymax=L, prodede-se deste modo:

A expresso genrica para y() da forma CBA)(y 2 ++= (2 grau), onde A,

B e C so coeficientes a determinar.

Derivamos em a expresso anterior, obtemos a velocidade e a acelerao:

A2)(y

BA2)(y=

+=

Com estas expresses podemos relacionar as curvas parablicas de =0 com =/2

(sendo um ngulo qualquer, no podendo contudo exceder limites associados ao

desenho da came, como j foi mencionado). Observando a figura 6, conclui-se que deve

ser:

Para a1 parte da curva

==

====

0)0(y2/L)2/(y;0)0(y

(reparar que s podemos especificar 3 condies para uma

funo do 2 grau)

Destas relaes obtemos 0CB;L2A 2 ===

Ento a primeira parte da curva parablica para o levantamento a definir (vlido desde

= 0 at = /2) tem a seguinte expresso:

2

L2)(y

= , vlida para (0, /2)

Vejamos a segunda parte do levantamento do impulsor (desde = /2 at = ). Neste

caso, as equaes so:

12

+=

==++

BA20)Lpara(LCBA 2

Notar que agora a 1 derivada deve ser igual do caso anterior, ou seja

2

L412L2)(y

=

= , para = /2, d

= =L2y 2/ . Daqui obtemos:

B2

A2L2 +=

; donde, para a 2 parte da curva parablica de levantamento, os

coeficientes so: LC;L4B;L2A 2 ==

=

As expresses finais so:

=

=

)),2/((121Ly)tolevantamendoparte2(II

))2/,0((L2y)tolevantamendoparte1(I

2

2

A figura 7 representa aproximadamente a geometria a ter em conta para o desenho da

came com o perfil que acabamos de definir.


-13-

A

C B

O

D

Fig. 7 Perfil da came para o exemplo 3.3. O arco OA a parbola de elevao inicial com acelerao

constante positiva; o arco AB a parbola de elevao final com acelerao negativa; o arco BC

corresponde a um patamar

Exerccio: represente os grficos para a velocidade e acelerao desta came

3.4 Curva de elevao combinando diversos tipos de perfil

Na fase do projecto de uma came podemos combinar perfis de constituio diferente. Se

por exemplo, desejarmos combinar perfis do tipo parablico (anteriormente visto) com

perfis lineares (em que a velocidade de elevao ou descida constante), o procedimento

efectua-se impondo compatibilidade de deslocamentos, velocidades e aceleraes (se

possvel) nos pontos de transio.

Exemplo I

Suponhamos que se pretende projectar a seguinte came:

i) De = 0 a = /6 O perfil deve ser parablico, efectuando um

levantamento L/3 (L o levantamento total);

ii) De = /6 a = /3 o perfil deve ser linear (levantamento a velocidade

constante, desde L/3 at 2L/3;

iii) De = /3 a = /2 o levantamento volta a ser do tipo parablico desde 2L/3

at L (ver figura 8).

14

= /2

(patamar)

1 2

3

y(t)

L/3

2L/3

L

= 0 = /6 = /3

Fig. 8 levantamento de came em trs etapas, sendo dois perfis parablicos e um linear

Para a curva de levantamento 1: a forma polinomial :

CBA)(y 2 ++= (a)

BA2)(y += (b)

As condies disponveis neste polinmio so 3, pois temos apenas 3 coeficientes:

= 0 y(0) = 0 (levantamento inicial nulo);

= 0 y(0) = 0 (velocidade inicial nula)

Agora podemos impor que seja (por exemplo): = /6 y(/6) = L/3

Deste modo, vamos obter:

Para a velocidade y(0) (ver (b)) B = 0

Para o levantamento; como y(0) = 0 ser C = 0 (ver (a))

A funo levantamento para a primeira fase fica agora completa a partir da condio:

3L

6A

6y

2

=

=

(c)

donde obtemos 2L12A

= (vlido para (0, /6)

A primeira parte do perfil tem ento a seguinte funo:


-15-

22

L12y

=

A segunda parte da curva de levantamento linear; tem portanto a equao de uma recta

da forma BA)(y += . H dois parmetros incgnita, de modo que no ponto de

transio ( = /6), devemos ter:

=

==

==

L4L24)6/(y3L)6/(y

2

(com = /6) (d)

A parte linear do perfil fica ento completament definida:

=

==

+

===

AL4)6/(y

B6

A3L)6/(y

(e)

A equao da recta para a segunda parte do perfil 3LL4)(y

=

Com esta curva devemos acesso ao levantamento quando = /3 (fim da 2 parte da

curva). Para isso, faremos na funo anterior = /3:

L3L

3L4y =

=

Este resultado est errado, poi deveria ser igual a L/3. Daqui verifica-se que no

possvel satisfazer a condio do levantamento em = /3, o qual deveria ser 2L/3 e no

L como obtivemos. Revendo a soluo, vamos impor que seja no extremo final do perfil

recto o levantamento y=2L/3; busquemos agora qual o ngulo em que esse

levantamento ocorre:

3LL4

3L2y

== ; donde:

16

4

;LL4

=

=

S a partir daqui podemos completar a came com a restante curva do 2 grau (parablica).

Desta forma, para =/4, vamos obter:

=

=

=

L44

y

3L2

3L

4L4

4y

(f)

Por fim, o polinmio do 2 grau com a forma CBA)(y 2 ++= , s pode definir-se se

tivermos 3 condies de compatibilidade (pois h 3 parmetros A, B e C)

a) = /4

=

3L2

4y ; se = /2

=

=

02y

L2y

, ou:

b) = /4

=

=

34L

4y

32L

4y

; se = /2

=

L2

y (os traos significam condio no-

disponvel) (h)

verifica-se pois que existem duas solues possveis para satisfazer o problema, uma vez

que h condies a mais. Podemos escolher a opo a), por exemplo:


-17-

=

=

==+

=+

=+

==+

=+

+

=+

+

3LC3L16A

AB0B2

A2

LC2

A4

A

3L2C

4A

16A

AB0B2

A2

LC2

B2

A

3L2C

4B

4A

222

22

2

2

O polinmio de soluo :

3L

3L16

3L16)(y 22

+

= (vlido para (/4, /2))

(verifique os resultados da funo quando =/4 e =/2)

Exemplo II

Pretende-se obter o perfil de uma came capaz de um levantamento de 10 mm num

ngulo total de 60. O esquema do deslocamento do impulsor (suposto do tipo faca) est

representado na figura 9.

y(t)

= 0 = 30 = 60

(patamar)

Fig. 9 Deslocamento do impulsor da came a calcular no exemplo II

Vamos usar uma funo polinomia para o objectivo proposto. As especificaes totais

deste problema so as seguintes:

Para o ngulo de rotap = 0:

O deslocamento y(0)=0;

A velocidade 0)0(y = ;

18

A acelerao 0)0(y =

Para o ngulo = 60:

O deslocamento y(60) = 10mm;

A velocidade 0)60(y o = ;

A acelerao 0)60(y o =

No total temos pois seis condies a satisfazer, o que determina o uso de um polinmio

completo do 5 grau:

y() = a0+a1 +a22 +a33 +a44 +a55

A etapa seguinte consiste em obter os coeficientes desconhecidos ai (i= 0,...5). Antes

devemos obter as derivadas primeira e segunda em ordem ao tempo, definindo a

velocidade e a acelerao do impulsor:

3

52

432

45

34

2321

a20a12a6a2)(y

a5a4a3a2a)(y

+++=

++++=

Para isto, basta forar o polinmio a satisfazer as seis condies anteriormente

especificadas nos pontos do argumento seguintes:

0)

3(y0;)

3(ymm;10)

3y(

3

0;(0)y0;(0)y0;y(0)0

=

=

=

=

====

Estas condies so estruturadas na equao matricial seguinte:


-19-

=

0010000

aaaaaa

320

312

36200

35

34

33

3210

333331

000200000010000001

5

4

3

2

1

0

32

432

5432

(a)

A soluo deste sistema permite ento obter o polinmio referente ao perfil da came:

=

47.644124.787.08000

aaaaaa

5

4

3

2

1

0

(b)

y() = 87.08 3 124.732 4 + 47.644 5 (c) (com = t, vlido de = 0 at = /3)

Exerccio:

verifique o deslocamento, a velocidade e a acelerao nos pontos extremos = 0 e

= 60 para a came com o perfil assim obtido.

Determine qual os ngulos para a mxima velocidade e acelerao

20

4 Dinmica dos sistemas de cames

4.1 Posio do problema

Vimos que uma came um mecanismo que transforma uma rotao num

movimento linear peridico. Este ltimo tem uma expresso matemtica mais ou menos

complexa dependente do tempo, a qual pode ser derivada de modo a definir a velocidade

e as aceleraes (a primeira acelerao e outras de ordem superior) do impulsor. A

determinao das aceleraes das massas em movimento linear de grande importncia

na anlise de vibraes de mecanismos dotados de cames, uma vez que as foras de

inrcia geradas durante o funcionamento so as principais fontes de fenmenos

vibratrios. Como previsvel, a intensidade dos efeitos vibratrios porvenientes de

mecanismos de cames depende da frequncia de rotao da came; isto , quanto maior for

w (a frequncia de rotao), maiores sero as aceleraes nas massas em movimento

alternativo e conseuqnetemente, as foras de inrcia. O modo como opera o mecanismo

de uma came, tal como se esquematiza na figuras 2 ou 3 consiste essencialmente no

movimento de um impulsor encostado superfcie (ou perfil) da came. A fora de

contacto normalmente assegurada pela acco de uma mola, dispositivos pneumticos

ou hidrulicos. Se a frequncia de rotao atingir valores suficientemente elevados, pode

haver descolamento do impulsor da superfcie (ou perfil) da came, perturbando-se a lei de

movimento prevista para o mecanismo da came. Chama-se rotao crtica ao valor de

a partir da qual o impulsor deixa de contactar de modo estvel com a superfcie da came;

a sua determinao objectivo do ponto seguinte.

4.2 Determinao da velocidade de rotao limite de um mecanismo de came

Consideremos um mecanismo elementar constituido por uma came e um impulsor

mantido em contacto com a came atravs da aco de uma mola comprimida, como

mostra a figura11.


-21-

Nesta figura, a mola comprimida, aumentando a fora de contacto medida que

o levantamento da came sobre o impulsor progride e alivia a fora de contacto sempre

que a came reduza o referido deslocamento.

Impulsor

Guia

Came: Perfil real

y(t)

)t(y)t(y

P

Mola

Fig. 11 Mecanismo elementar com mola de encosto

O modelo simplificado apenas para o impulsor est representado na figura seguinte

(figura 12). A partir desta figura faremos o diagrama de corpo livre a fim de permitir uma

anlise dinmica do mecanismo de forma compreensvel.

y(t)

)t(y)t(y

Fcame

Fmola

Mimpulsor

Fig. 12 Modelo dinmico (ou mecanismo de corpo livre) do impulsor de uma came

22

Pela figura anterior possvel estabelecer o equilbrio do impulsor em regime dinmico,

estabelecendo a Relao Fundamental da Dinmica (lei de Newton):

)t(yMFF impulsormolacame = (a)

Normalmente a mola um elemento linear elstico, respondendo com uma fora

proprocional ao deslocamento que lhe imposto. Deste modo, a equao anterior pode

reescrever-se desta forma:

0F)t(yM)t(yKF impulsorcame ++= onde F0 uma fora de pr-encosto

A velocidade crtica para a rotao da came a partir da qual deixa de haver um contacto

estvel entre o impulsor e a came obtm-se fazendo na equao anterior a fora de

contacto Fcame nula:

0F)t(yM)t(yK impulsormola =+

Esta equao corresponde situao de vibrao livre para o sistema dinmico

constitudo exclusivamente pelo impulsor e pela mola (a came deixou de fazer parte do

conjunto, pois cinematicamente separa-se ao atingir a velocidade crtica). A expresso

anterior uma equao diferencial de segunda ordem em t, que pode ser escrita na forma

simplificada:

0202

0 FK)t(y)t(y

mola

=+ , onde

impulsor

mola

MK

=0

A soluo geral desta equao da forma tsenCtcosC)t(y 0201 += -molaKF0 , sendo C1

e C2 constantes dependentes das condies iniciais do problema e F0 a pr-fora de

contacto na came, constituindo esta ltima um integral particular da equao

diferencial. Para os objectivos anteriormemnte referidos, os quais se prendem com a

determinao da velocidade crtica da came, o parmetro aqui o mais importante,


-23-

constituindo precisamente a pulsao angular que permite determinar a frequncia

crtica.

Vejamos exemplos:

Exemplo I

No sistema de distribuio de um motor de automvel funcionando no ciclo de 4

tempos, o impulsor e a mola tm as seguintes caratersticas;

Massa do impulsor (corresponde vlvula do cilindro): 0.05 Kg

Constante K da mola: K=50 kN/m

A velocidade crtica para a rvore de cames assim obtida:

s/rad10000.0550000

==

Esta pulsao corresponde frequncia Hz15921000

2f ==

=

Uma vez que a rvore de cames roda a metade da velocidade da cambota do motor, esta

rodar a um regime de 318 rot/s ou seja, cerca de 19080 rpm (pouco mais do que pode

atingir um Frmula 1 actualmente...). O valor da mxima acelerao obtm-se

naturalmente por derivao da soluo anterior tsenCtcosC)t(y 0201 += -molaKF0 :

)tsenCtcosC()t(y 020120 += onde

impulsor

mola

MK

=0 e as constantes C1 e C2 como

funo das condies iniciais do problema.

Exemplo II

Consideremos neste caso que a came tem o perfil do tipo harmnico simples

actuando sobre um impulsor de prato, tal como descrito na seco 3.2 destes

apontamentos:

24

=

=

=

tcose)t(ytsine)t(ytcose)t(y

2 (10)

onde e a excentricidade da came. A equao referente ao diagrama de corpo livre do

impulsor na situao de descolamento da superfcie da came como vimos:

0

202

0 FK)t(y)t(y

mola

=+ , onde

impulsor

mola

MK

=0

Substituindo as expresses (10) de forma conveniente, vamos ter:

0

2022

0

0

2022

0

FK

tcose)(

:ou

FK

tcosetcose

mola

mola

=

=

Obsrevando as equaes (10) v-se que a acelerao mxima obtida para

t=02/; deste modo, a ltima expresso anterior permite obter a rotao crtica

resolvendo a equao em :

impulsor

mola

mola

mola

MKonde

KF1

;FK

)(

=+=

=

00

0

0

2022

0

Exemplo:

Se Kmola=50KN/m, F0=100N e Mimpulsor=0.05Kg, 0=1000rad/s, ento

1000rad/s. Este resultado depende da fora de pr-carga F0, embora no muito; com

efeito, se a rigidez da mola for muito maior que F0, a frequncia de rotao

praticamente igual ao valor prprio do sistema vibratrio.

cinemática e dinâmica das cames

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