CinemáticaMecânica

♦ Lançamento vertical para cima

O que você deve saber

● Na subida, o movimento é progressivo, pois o deslocamento ocorre no sentido crescente da trajetória, e retardado, pois o módulo da velocidade está diminuindo.

● Na descida, o movimento é retrogrado, pois o deslocamento ocorre no sentido decrescente da trajetória, e acelerado, pois o módulo da velocidade está aumentando.

● No ponto mais alto da trajetória, a velocidade se anula (V = 0), pois é o ponto em que o corpo inverte o sentido de seu movimento e nesse ponto a altura atingida pelo corpo é máxima.

● O tempo de subida é igual ao tempo de descida.

● A velocidade (Vo) de lançamento na origem é igual à mesma velocidade de chegada à origem, mas de sinal contrário (-Vo).

● Em qualquer ponto da trajetória o corpo tem duas velocidades de mesmo módulo, uma positiva na subida e uma negativa na descida.

Representação gráfica do movimento

1 - (UERJ) Um motorista, observa um menino arremessando uma bola para o ar. Suponha que a altura alcançada por essa bola, a partir do ponto em que é lançada, seja de 50 cm. A velocidade, em m/s, com que o menino arremessa essa bola pode ser estimada em (use g = 10 m/s2):

a) 1,4 b) 3,2 c) 5,0 d) 9,8 e) 4,7

Exemplos

Resolução:Na altura máxima V = 0 e ΔS = hmáx = 50 cm = 0,5 mEquação de Torricelli: V2 = Vo

2 + 2.a.ΔS → 02 = Vo2 - 2.10.0,5

Vo = √10 = 3,16 m/sAlternativa b

2 - (Ufrs) Um projétil de brinquedo é arremessado verticalmente para cima, da beira da sacada de um prédio, com uma velocidade inicial de 10 m/s. O projétil sobe livremente e, ao cair, atinge a calçada do prédio com uma velocidade de módulo igual a 30 m/s. Indique quanto tempo o projétil permaneceu no ar, supondo o módulo da aceleração da gravidade igual a 10 m/s2 e desprezando os efeitos de atrito sobre o movimento do projétil.

Resolução:Atinge o solo com velocidade de – 30 m/s, pois está em movimento retrogrado.V = Vo – g.t- 30 = 10 – 10.tt = 4 s 

♦ Queda livre

♦ Lançado verticalmente para baixo

Exemplos1 - (CESGRANRIO) O Beach Park, localizado em Fortaleza-CE, é o maior parque aquático da América Latina situado na beira do mar. Uma de suas principais atrações é um toboágua chamado "Insano". Descendo esse toboágua, uma pessoa atinge sua parte mais baixa com velocidade de 28 m/s. Considerando a aceleração da gravidade g = 9,8 m/s2 e desprezando os atritos, conclui-se que a altura do toboágua, em metros, é de:

a) 40,0 b) 38,0 c) 36,8 d) 32,4 e) 28,0Resolução:V = 28 m/s / Vo = 0Equação de Torricelli: V2 = Vo

2 + 2.g.ΔS282 = 02 + 2.9,8.ΔSΔS = 784/19,6H = 40 mAlternativa a

2 - (PUCCAMP) Dois tocos de vela caem da janela de um apartamento bem alto. O intervalo de tempo entre a queda de um e do outro é de 1,0 s. Considere que eles estão em queda livre vertical, que a velocidade inicial é nula e que a aceleração da gravidade é 10 m/s2. Quando o segundo toco de vela completar 1,0 s de queda, a distância entre eles, em metros, será igual a:

a) 25 b) 35 c) 15 d) 10 e) 5

Resolução:Segundo toco (B) no instante 1s caiu: SB = gt2/2 = 5.1 = 5 mComo o primeiro toco (A) partiu 1 s antes, quando t = 1 s para B, será2 s para A: SA = 5tA

2 = 5.22 = 20 mΔS = 20 – 5 = 15 mAlternativa c

3 - (PUC-MG) Um helicóptero está descendo verticalmente e, quando está a 100 m de altura, um pequeno objeto se solta dele e cai em direção ao solo, levando 4 s para atingi-lo. Considerando-se g = 10 m/s2, a velocidade de descida do helicóptero, no momento em que o objeto se soltou, vale em km/h:a) 25 b) 144 c) 108 d) 18

Resolução:A velocidade inicial de descida (Vo) do objeto é a mesma que do helicóptero - S = Vo.t + g.t2/2 → 100 = Vo.4 + 10.16/2 → Vo = 20/4Vo = 5 m/s.3,6 = 18 km/h → Alternativa d

4 - (UNESP) Um corpo é lançado para baixo com velocidade de 15 m/s. Sabendo que a altura inicial era de 130 m, determine o instante em que o corpo se encontra a 80 m do solo. (g = 10 m/s2)

Resolução:S = 130 – 80 = 50 mS = V0t + gt2/2 →50 = 15t + 5t2

t2 + 3t – 10 = 0 → t = 2 s

5 - (UNESP) Um objeto é solto do repouso de uma altura de H no instante t = 0. Um segundo objeto é arremessado para baixo com uma velocidade vertical de 80 m/s depois de um intervalo de tempo de 4,0 s, após o primeiro objeto. Sabendo que os dois atingem o solo ao mesmo tempo, calcule H (considere a resistência do ar desprezível e g = 10 m/s2).

Resolução:Objeto M, solto do repouso Vo = 0 → SM = H = gtM

2/2 → H = 5tM2

Objeto N arremessado para baixo com velocidade inicial Vo = 80 m/sS = Vo.tN + gtN

2/2 → S = 80tN + 5tN2

Como M partiu 4s antes tM – tN = 4  → tM = tN + 4H = 5.(tN + 4)2 → H = 5(tN

2 + 8tN + 16) = 5tN2 + 40tN +  80

Se encontram no solo H = S → 5tN2 + 40tN + 80 = 80tN + 5tN

2 

40tN + 80 = 80tN  → tN = 2 s Substituindo tN = 2 s em S = H= 80tN + 5tN

2 = 80.2 + 5.4=160 + 20H = 180 m

1 - (UFPR) Cecília e Rita querem descobrir a altura de um mirante em relação ao nível do mar. Para isso, lembram-se de suas aulas de física básica e resolvem soltar uma moeda do alto do mirante e cronometrar o tempo de queda até a água do mar. Cecília solta a moeda e Rita lá embaixo cronometra 6 s. Considerando-se g = 10 m/s2, é correto afirmar que a altura desse mirante será de aproximadamente:

a) 180 m b) 150 m c) 30 m d) 80 me) 100 m

2 - (FUVEST)  Numa filmagem, no exato instante em que um caminhão passa por uma marca no chão, um dublê se larga de um viaduto para cair dentro de sua caçamba. A velocidade v do caminhão é constante e o dublê inicia sua queda a partir do repouso, repouso, de uma altura de 5 m da caçamba, que tem 6 m de comprimento. A velocidade ideal do caminhão é aquela em que o dublê cai bem no centro da caçamba, mas a velocidade real v do caminhão poderá ser diferente e ele cairá mais à frente ou mais atrás do centro da caçamba. Para que o dublê caia dentro da caçamba, v pode diferir da velocidade ideal, em módulo, no máximo:

a) 1 m/s b) 3 m/s c) 5 m/s d) 7 m/s e) 9 m/s

Exercícios

3 - (UFPE) Uma pedra é lançada para cima, a partir do topo de um edifício de 60 m com velocidade inicial de 20 m/s. Desprezando a resistência do ar, calcule a velocidade da pedra ao atingir o solo, em m/s (g = 10 m/s2).

4 - (CFT) Um elevador de bagagens sobe com velocidade constante de 5 m/s. Uma lâmpada se desprende do teto do elevador e cai livremente até o piso do mesmo. A aceleração local da gravidade é de 10 m/s2. O tempo de queda da lâmpada é de 0,5 s. Determine a altura aproximada do elevador.

5 - (FUVEST) Um balão sobe verticalmente com movimento uniforme e, 5 s depois de abandonar o solo,seu piloto abandona uma pedra que atinge o solo 7 s após a partida do balão. Pede-se: (g = 9,8 m/s2)

a) a velocidade ascencional do balãob) a altura em que foi abandonada a pedrac) a altura em que se encontra o balão quando a pedra chega ao

solo

1 - Resolução:g = 10 m/s2 / t = 6 sPara a queda livre: h = gt2/2 = 10.62/2 → h = 180 mAlternativa a

2 - Resolução:

Dublê: h = gt2/2 → 5 = 10t2/2 → t = 1 sA velocidade ideal: Vi = ΔS/Δt = (L + 3)/1 → Vi = L + 3Velocidade mínima: Vmin = ΔS/Δt = L/1 → Vmin = LVelocidade máxima: Vmax = ΔS/Δt = (L + 6)/1 → Vmax = L + 6V1 = Vi - Vmin = (L + 3) – L → V1 = 3 m/sV2 = Vmax  - Vi = (L + 6) – (L + 3) → V2 = 3 m/sAlternativa b

3 - Colocando a origem no ponto de lançamento, a pedra sobe, atinge a altura máxima e quando chega ao solo ocupa a posição S = - 60mInstante em que ela chega ao solo: S = Vo.t – g.t2/2 → - 60 = 20t – 5t2

t2 - 4t – 12 = 0 → t = 6 s  (instante em que ela chega ao solo)Velocidade dela quando chega ao solo: V = Vo – gt → V = 20 – 10.6V = - 40 m/s → em módulo: V = 40 m/s

4 - No instante em que a lâmpada se desprende do teto do elevador ele está sendo lançada para cima com velocidade de Vo = 5 m/sTempo de subida e descida até chegar ao piso: t = 0,5 sS = Vot – gt2/2- x = 5.0,5 – 5.(0,5)2

- x = - 1,25 maltura do elevador = 1,25 m

5 - a) O balão sobe com velocidade constante V e, aos 5s atinge a altura h, onde a pedra é abandonada com velocidade V: V = h/5Velocidade inicial com que a pedra sobe: Vo = h/5b) Observe que o movimento de sobe e desce da pedra demora 2 s e que ela chega ao solo quando t = 2 s e na posição S = - hS = Vo.t – gt2/2 → - h = h/5.2 – 4,9.22

h = 98/7 → h = 14 mc) Cálculo da velocidade de subida do balãoque vale: V = Vo = h/5 = 14/5 → V = 2,8 m/sO balão subiu durante 7 s com velocidadeconstante de 2,8 m/s e percorreu:V = ΔS/Δt2,8 = H/7H = 19,6 m