A arte pelo olhar da isometria e da geometria plana na prtica: dos espelhos aos ngulos! 2 9A arte pelo olhar da isometria e da geometria plana na prtica: dos espelhos aos ngulos! A arte pelo olhar da isometria e da geometria plana na prtica: dos espelhos aos ngulos!Cludia Georgia Sabba Universidade Nove de JulhoBrasilcgsbba@gmail.com Clcio Esteves CavalcanteUniversidade Nove de JulhoBrasilclecioec@uol.com.br ResumoNeste trabalho, analisa-se meios para introduzir conhecimentos matemticos para alunos do ensino mdio, associando conceitos da matemtica com imagens visveis em todos os lugares da vida cotidiana. A partir do exame de livros sob o olhar de isometrias, ornamentos e a arte foram estabelecidas relaes com contedos de livros didticos, especificamente de geometria plana foi possvel observar que em alguns livros no havia nesses temas a preocupao com esta relacionar tais conceitos com eventos do dia a dia dos alunos. Discute-se a importncia de buscar alternativas simples no processo de ensino e de aprendizagem da matemtica. Nesse cenrio, afirma-se que a simetria provm um contexto muito abrangente, mas possibilita a atrao dos olhares dos alunos para questes que podem ser relacionadas com o ensino da matemtica. Como proposta didtica para ao, apresenta-se a construo do caleidoscpio, pois sua montagem emprega materiais simples e de baixo custo. Palavras chave: matemtica, geometria, arte, isometrias, simetria, espelhosIntroduoOs processos de ensino e de aprendizagem da matemtica, na ltima dcada, vm passando por mudanas importantes e significativas. Muito se fala sobre o ensino focado na construo ou com aplicaes prticas, de maneira que possibilite ao aluno um panorama daquilo que ensinado, bem como os reflexos deste conhecimento possam gerar aplicaes em situaes de sua vida cotidiana.

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Essa tendncia permite tornar o conhecimento matemtico, algo com mais sentido, ampliando o olhar dos alunos em outras direes alm de representar apenas operaes com nmeros e letras sem apresentar, para alguns, um sentido lgico e aplicado.ComunicaoXIV CIAEM-IACME, Chiapas, Mxico, 2015.

ComunicacinXIV CIAEM-IACME, Chiapas, Mxico, 2015Ainda no contexto da educao, os livros didticos geralmente seguem uma tendncia que separa os contedos de acordo com a capacidade cognitiva dos alunos, procurando introduzir conhecimentos em fases que os alunos possuem maturidade para absorv-la. Sendo assim, fundamental adaptar o processo em busca de uma forma de introduzir o conhecimento matemtico aproveitando a fase que o aluno est vivendo. Para isso sugerido analisar a viso de que para esse jovem assimilar, importante que ele consiga dar um sentido para as noes trabalhadas pelo professor.Focando especificamente os tpicos de geometria plana introduzidos no ensino mdio percebe-se uma caracterstica comum, os contedos no despertam a percepo dos alunos. Esse aspecto est associado ao fato de que os conceitos apesar de simples, muitas vezes no so relacionados ao seu cotidiano ou no cativa a ateno para seus detalhes. Para construir um conhecimento geomtrico mais consistente, necessrio que o aluno tenha condies de perceber aplicaes para esse contedo, ou visualizar tais aplicaes em sua vida fora da escola. Falar de retas, ngulos ou figuras geomtricas regulares entre outros temas da geometria, no envolve definies muito complexas que inviabilizem o entendimento do aluno, pois se trata de conceitos relativamente simples. Trabalhar com um contedo simples, que no exige um grande nvel de abstrao do aluno, pode no ser to motivador, propiciando que o aluno venha a desprezar esses contedos por no visualizar ali algo que chame sua ateno. Segundo Sabba(2004), uma boa maneira de atrair o olhar dos alunos por meio da beleza das coisas; a arte algo que est inserido em tudo que se olha, e certamente percebida pelos alunos, sem que haja nessa percepo a rigidez de alguns conceitos ou contedos da matemtica. necessrio ento aproveitar essa oportunidade, trabalha-la de forma tal que o aluno perceba e crie relaes. No necessrio muito investimento para isso, basta buscar nas mdias aquilo que est na moda, sejam roupas, personagens, desenhos, filmes, etc. Apresentar essas imagens aos alunos e questiona-los sobre aspectos tais como: a) Porque as pessoas olham determinada imagem e a conceituam como bela? b) O que h de diferente no rosto de um determinado personagem que chame tanto ateno de um grande nmero de pessoas?Perguntas como essas tem o propsito de estimular os alunos a uma reflexo, para tornar o tema interessante, facilitando assim seu envolvimento quando abordado pelo professor. Nesse momento, torna-se possvel trabalhar temas como a simetria, inicialmente com uma abordagem mais artstica, na qual o professor rene diversas imagens de revistas, jornais, livros entre outras, promovendo um debate sobre as imagens para reunir informaes sobre a percepo inicial dos alunos. A partir desse ponto, o professor poder explorar o contedo, introduzir conceitos, fazer relaes inclusive com grficos que projetam de forma simtrica as informaes, gerando com isso um ambiente de aprendizagem mais envolvente.As isometrias, contedo que est ligado diretamente com essa pesquisa, tambm tem forte relao com simetrias. A ideia de um espelho, que facilmente observado por qualquer pessoa, ser o principal ponto de partida para o entendimento do assunto. Aps apresentar alguns exemplos, sugere-se a definio dos principais conceitos relacionados a isometrias, entre eles, a reflexo isomtrica para explorar o tema de forma mais prtica e envolvente. Com o tema introduzido, chega o momento de o aluno refletir sobre aspectos da geometria plana, agora com uma nova viso. Como exemplo, podem-se utilizar os casos de congruncia de tringulos, associando-os as aplicaes de reflexo de isometrias. Trata-se da retomada do assunto que antes fora abordado como conceito matemtico para permitir que os alunos estejam no mesmo nvel de entendimento, associada a utilizao dos recursos disponveis, para elaborar imagens e discutir com os alunos sobre construes isomtricas muito comuns em seu dia a dia, com caractersticas simtricas, como visto em tapetes, pisos, cartes postais entre outros.Uma vez que os alunos percebem algumas aplicaes isomtricas, o momento de propor a construo de um caleidoscpio. Empregando materiais simples na sua construo, ser possvel explorar todos os conhecimentos aprendidos. O professor poder propor algumas formas de montar o caleidoscpio com diferentes materiais, e estimular sua montagem pelos alunos. Aproveitando ainda a ideia do caleidoscpio o professor pode explorar outros estudos mais especficos, como as figuras geomtricas que pavimentam um determinado espao, conceituar essa pavimentao, comparando as figuras. Pode inclusive propor aos alunos que pesquisem se todas as figuras geomtricas regulares so capazes de pavimentar o espao, ou no. Se h alguma forma de misturar mais de uma figura para pavimentar e finalmente convidar os alunos para que tentem explicar porque no possvel em alguns casos a pavimentao. Ao desenvolver esse trabalho, os alunos aumentaro seu nvel de conhecimento, pois tero que entender outros conceitos geomtricos mais especficos. SimetriaO mundo moderno dispe de recursos audiovisuais muito sofisticados. Televiso, computador, mquinas fotogrficas digitais, celulares entre outros que possibilitam um acesso visual virtuoso. intrigante perceber que muitas pessoas se sentem atradas por determinadas imagens sem se dar conta da similaridade que acontece com outros eventos. A simetria certamente um desses aspectos! No estudo da matemtica, o tema aplicado de forma tal, que no atrai os alunos para uma anlise mais especfica. Muitos alunos ao resolverem um exerccio de funo, esboam grficos e nem mesmo se do conta do aspecto da simetria, que est inserida no contexto. Quando um professor aborda o assunto de nmeros opostos em uma operao de adio, os alunos novamente no percebem nesse contexto uma importante relao, que certamente poderia mudar seu entendimento no futuro sem muito esforo, e que est relacionado com a simetria.Historicamente, a simetria vem sendo estudada, analisada, desenhada e, um bom caminho para atingir sua compreenso, por meio da geometria. Os sucessores de Galois logo perceberam que a relao entre grupos e simetria mais fcil de ser compreendida no contexto da geometria. De fato, assim que o assunto, em geral, apresentado aos estudantes. (Stewart, Ian, 2012, p. 144. ).Com base na ideia de Stewart, pode-se afirmar que a utilizao da geometria uma boa estratgia para aplicar o conceito de simetria, assim como para se fazer entender sobre o tema. Durante muito tempo, o estudo da simetria foi associado a aspectos de beleza, elegncia e proporo, mas sem um nvel de formalizao necessrio para utilizao na matemtica. Vrias so as definies sobre simetrias, sempre com um olhar muito focado para o aspecto de aplicao de que a define. Vejamos algumas, Simetria uma ideia que o homem tem usado ao longo dos tempos para tentar compreender e criar ordem, beleza e perfeio. (Serra, 1993, p. 304), A noo de simetria deveras importante em matemtica, nas artes visuais e em diversas cincias como cristalografia e a fsica. (Oliveira, 1997, p.70). J Em geometria, simetria define-se em termos de isometrias quando a imagem da figura, atravs de uma isometria diferente de identidade, coincide com a figura original, ento a figura tem simetria. (Serra, 1993, p.2). Muitos estudiosos escreveram sobre o tema, e nesse contexto, buscou-se uma abordagem simples, para proporcionar ao leitor de forma imediata o entendimento sobre simetria.Definir a simetria fundamental para estabelecer um entendimento e tambm sua relao com o tema aqui estudado. Como o objetivo no aprofundar no conceito de simetria e analisar todo o contexto a que ela est submetida (at porque haveria inmeros), entender sua definio assim como, onde e de que forma aplicado no desenvolvimento da pesquisa, sugere-se a seguinte definio: Uma simetria de um objeto matemtico uma transformao que preserva a estrutura do objeto. A questo do estudo da simetria, no se trata de uma preocupao especifica para o ensino da matemtica, segundo Caruso (2008, p.339):Assim como cabe aos pesquisadores desvendarem os princpios da simetria ainda ocultos na natureza, na busca de um entendimento maior do universo, deve caber ao professor do ensino mdio uma tarefa de certa forma anloga: fazer ver ao aluno o quanto mesmo a fsica bsica, objeto de seu estudo, tambm oculta conceitos de simetria, de cuja compreenso depende um aprendizado mais amplo e profundo da prpria fsica. Com base no exposto pelo autor, pode-se afirmar que a simetria um conhecimento que deve ser abordado para alunos do ensino mdio, para uma melhor compreenso da fsica. Esse contexto refora a anlise sobre o aspecto de que a simetria algo cujo foco deve ser ampliado para uma melhor assimilao por parte dos alunos.PPr90

Com a breve anlise histrica sobre simetria, assim como instituda uma definio, vejamos agora alguns exemplos apoiados em imagem, para que o leitor consiga assimilar melhor o que fora explorado. Os exemplos sero inseridos sempre apoiados em uma definio, para tornar visvel o que se deseja mostrar.Figura 1- Ponto simtrico

A partir da definio de reflexo de um ponto, possvel compreender alguns conceitos.Ponto Simtrico dois pontos, P e P so simtricos em relao a uma reta r quando esses pontos esto na mesma distncia da reta r e o segmento perpendicular a r.

O ponto P dito reflexo de P (imagem) atravs da reta r (ou espelho). Note que r o eixo simtrico.Figuras simtricas quando todos os pontos de uma figura geomtrica tem seu simtrico em relao a uma reta r (espelho), dizemos que a figura formada pelos simtricos simtrica em relao a figura original.Figura 2 - simetria do tringulo

O olhar proporciona visualizar milhares de imagens a todo o momento. As pessoas raramente buscam nesse processo de visualizar compreender aspectos to interessantes. A simetria certamente um desses aspectos. Observemos ento algumas imagens das mais simples e primrias at outras com nvel de sofisticao e riqueza de detalhes, e notemos aspectos comuns: A figura 1 exibe o tringulo ABC e seu reflexo ABC, com base no eixo de simetria e. Trata-se de um exemplo simples. Essa imagem representa dinamicamente o efeito da simetria sobre um plano geomtrico. Figura 3 - Borboleta sob o eixo de simetriaFigura 9 - Taj Mahal - ndia

A borboleta da figura 3 est orientada sobe uma linha vermelha e tambm uma figura simtrica. Trata-se de uma imagem da natureza, na qual as pessoas no tm por hbito observar a perfeio do reflexo das asas.

Pelas orientaes inseridas na imagem, possvel visualizar que todos os pontos de uma das asas so refletidos na outra com riqueza de detalhes. O Taj Mahal, um museu construdo entre 1632 e 1653, considerado uma das sete maravilhas do mundo moderno. Trata-se de uma obra que permite uma visualizao no foco da simetria em vrios aspectos. Desde o reflexo na agua que reproduz a imagem invertida, at os demais detalhes que se projeta a partir do eixo de simetria.Figura 4 - Reflexo sobre eixo do Taj Mahal

Isometrias Esse artigo foi idealizado com foco na situao atual da educao matemtica e traz uma proposta alternativa na aplicao de certos contedos da matemtica de forma tal que seja motivador para os alunos do ensino mdio. A geometria Euclidiana ensinada nas escolas baseia-se em figuras rgidas, isto , acongruncia de tringulos o mtodo principal de demonstraes. O conceito de transformaes to central na geometria como a funo para Anlise Matemtica. Falar de geometria das transformaes (Felix Klein, 1849-1925), mesmo datado de outra poca, sem dvidas um tema central e atual pela importncia que pode oferecer nas estruturas matemticas como, por exemplo, grupos e isomorfismos.Do contedo desenvolvido at aqui, buscou-se nfase na intuio geomtrica sem prejudicar a preciso das demonstraes e sem alterar ou deixar de definir certos conceitos elementares (ngulos, segmentos, etc.), j que na atual conjuntura espera-se certa dificuldade por parte dos alunos, em conceitos bsicos. A intuio geomtrica certamente na formao de um conhecimento matemtico e principalmente na vida das pessoas.A aplicao da teoria das isometrias no plano, pode ser relacionada a teoria dos ornamentos tais como flor ou fita, assunto muito bonito e simples que liga a matemtica a arte.QP

O conceito de transformao geomtrica surgiu inicialmente considerando os movimentos dos corpos rgidos. Do ponto de vista geomtrico, esses movimentos no alteram o tamanho nem a forma do corpo. possvel analisar por meio de correspondncia os pontos antes e depois do movimento do corpo.Figura 5 - Pontos congruentes

Seja M um ponto do corpo, onde M ocupa o ponto P no espao, antes do movimento e seja o ponto correspondente a P, ocupado por M depois do movimento. Se P levado em , e Q em , nesse movimento os segmentos [PQ] e [] so congruentes, porque cada um deles corresponde a um segmento fixo entre dois pontos do corpo. O aspecto da cinemtica aqui no o foco principal, ou seja, a preocupao no est no percurso ou velocidade da passagem do ponto P at o ponto , mas sim na correspondncia entre os pontos antes e depois do movimento. Tais aplicaes conservam a distncia entre pontos; do ponto de vista geomtrico estas aplicaes so as mais simples, pois mudam unicamente a posio de uma figura, mantendo sua forma e seu tamanho.Definio1 Isometria uma aplicao de PE em PE, que conserva distncias, chama-se isometria, isso , se uma isometria, e P e Q dois pontos arbitrrios, e se = (P) e = (Q), ento |PQ| = |PQ|.

Refletir sobre a teoria de isometrias, permite ao leitor ter uma viso que aplica a geometria plana em um universo mgico, j que busca-se visualizar imagens considerando sua beleza, mas com a propriedade da formalizao matemtica. Essa formalizao no deve ser vista como um aspecto rgido, at porque em cada aplicao da isometria possvel perceber um teorema que acompanha um contexto agradvel. Vejamos a seguir, a imagem de um rosto considerado simetricamente perfeito: Figura 6 - Rosto Simetricamente PerfeitoFigura 7 Esquema de Anlise Facial

A figura 6 a foto da jovem Florence Colgate, uma estudante de 18 anos. Um concurso elegeu o rosto feminino mais prximo da perfeio no Reino Unido. A beleza dessa jovem foi determinada com utilizao de uma viso matemtica, com critrios que levaram em conta aspectos da simetria do rosto. (Abril online, 2012)Por meio de uma anlise no muito aprofundada, possvel perceber aspectos harmnicos no roso da jovem. A figura 7 possui um esboo, que divide o rosto ao meio, e evidencia a distncia entre os olhos, a projeo das sobrancelhas, cuja curvatura quase idntica. Os traos do nariz possuem uma similaridade quase total.Nessa leitura, comprova-se a aplicao da reflexo dos pontos da face por meio de um eixo de simetria, que pode ser justificado pela teoria de isometrias. Visualizam-se traos quase idnticos. A discusso sobre simetria com utilizao de isometrias sem dvida um tema muito abrangente, que possui um contedo matemtico bem denso, porm facilmente contornado por se tratar de algo de fcil projeo no meio em que se vive. Os teoremas e definies introduzidos nesse artigo, no foram esgotados dentro daquilo que a teoria de isometrias abrange, mas certamente procurou-se reproduzir os mais relevantes para seguir no desenvolvimento do trabalho.Sero mencionadas algumas definies a seguir de forma superficial, o que se justifica para evitar que o foco central desse artigo seja desviado por uma teoria densa e rica de detalhes. Recomenda-se ao leitor que busque nas referencias bibliogrficos mais detalhes sobre definies e apndices que possam ser do interesse, para o caso de maior rigor de detalhes.Teoremas sobre isometriasEntre os teoremas sobre isometrias importante discutir sobre a relao entre reflexes em retas e isometrias em geral. O produto de isometrias tambm uma isometria, pois cada isometria conserva o comprimento; seu produto tambm o conserva.A identidade I uma isometria, assim como a inversa de uma isometria isometria. Um conjunto de isometrias forma um grupo em relao operao composio. Toda isometria o produto de no mximo trs reflexes. Translao toda translao t() pode ser representada de infinitas maneiras como o produto de duas reflexes em retas. Basta tomarmos duas reflexes em retas arbitrrias, paralelas, com vetor distncia = . De forma mais imediata, uma translao nada mais do que uma mudana de eixo simtrico por alguma reta paralela.Rotao O produto de duas reflexes em retas concorrentes caracteriza uma rotao. Para uma melhor visualizao do mencionado sobre translao e rotao, sero exibidas imagens com tais caractersticas.

Figura 12 - Aplicao Isomtrica - RotaoFigura 11 - Aplicao Isomtrica - RotaoFigura 10 - Aplicao Isomtrica - RotaoFigura 8 - Aplicao Isomtrica - Translao

Figura 9 - Aplicao Isomtrica - Translao

A figura 10 representa uma aplicao da isometria com rotao. A intrigante imagem de M. C. Escher mostra a fuso de anjos e demnios, em um cenrio to perfeito, que muitas vezes passam despercebidas as relaes que compuseram a imagem. O artista relacionou as silhuetas, com uso da rotao dos eixos isomtricos, e criou uma imagem por meio dos opostos em uma viso filosfica da religio.CaleidoscpioO Caleidoscpio uma espcie de instrumento ptico constitudo em um pequeno tubo de papelo ou metal, com pequenos fragmentos coloridos. Os fragmentos podem ser de diversos tipos de materiais dos mais simples aos mais sofisticados. Entre eles, citam-se vidros, lantejoulas em diversos formatos, ou mesmo, pequenos recortes de papeis coloridos, etc. No interior do tubo, especificamente nas laterais so fixados pequenos espelhos inclinados que refletem atravs da luz exterior as diversas combinaes de imagens, para formao de agradveis efeitos visuais.O nome caleidoscpio deriva das palavras gregas: (kalos) belo, bonito; (eidos) imagem, figura; (scopeo) olhar para, observar. H registros que o caleidoscpio fora inventado na Inglaterra por volta de 1817 pelo fsico escocs Dawid Brewster (1781 1868). Afirma-se ainda que o caleidoscpio j fosse conhecido no sculo XVII. Conta-se que um homem muito rico adquiriu um desses aparelhos por 20.000 francos. O aparelho era feito com perolas e gemas preciosas no lugar de vidros coloridos. O caleidoscpio utilizado como um simples brinquedo por muitos, assim como pode ser utilizado no processo de observao de padres de desenhos. Com advento do caleidoscpio, foram desenvolvidos equipamentos que so capazes de reproduzir seus padres de imagens, e hoje, com o desenvolvimento da tecnologia, existem softwares que reproduzem em imagens fotogravadas os efeitos do caleidoscpio, cujos propsitos so variados, desde criar cenrios at sua utilizao para estudo.O caleidoscpio de Brewster consistia em um tubo com pequenos fragmentos de vidro colorido e trs espelhos que formavam um ngulo de 45 a 60 graus entre si. Os pedaos de vidro refletiam-se nos espelhos, formando imagens simtricas. Juntos, os reflexos formavam imagens em cores.Atualmente os caleidoscpios so edificados em tubos de matrias mais simples, e no seu interior, espelhos so dispostos em ngulos de 45, 60 e at 90 graus.

Figura 15 - Caleidoscpio formado por imagensFigura 14 Caleidoscpio com fragmentos de vidrosFigura 13 - Alguns modelos de Caleidoscpio

Um caleidoscpio pode gerar inmeras imagens, assim como pode ser estruturado de vrias formas. Ao mencionar aspectos sobre simetria, reflexos e ngulos, abordam-se assuntos que j foram discutidos dentro de um contexto necessrio para que haja um entendimento formal e assim seja possvel visualizar e entender a estrutura matemtica por traz do fenmeno do caleidoscpio. H ainda, aspectos relacionados a fsica, mais especificamente a ptica. Tais conceitos no sero foco no desenvolvimento desse trabalho. Retomando agora a ideia central desse trabalho, ou seja, de utilizar o caleidoscpio como pea para chamar ateno dos alunos no estudo da geometria, considera-se: Na geometria ensinada de maneira informal, geralmente so utilizados cartes, com os quais se desenvolvem vrias experincias geomtricas. Percebeu-se que mostrando figuras agradveis e coloridas, as crianas tem um maior rendimento, pois em um primeiro momento no se do conta o fato de que as brincadeiras so na verdade uma estratgia para exerccios de matemtica. Em se tratando de uma maneira informal de ensinar, no se busca muita preciso nos resultados e pode-se enfatizar a ideia, o entendimento, a noo do pretendido. Aes como essa deixam as crianas livres para manifestar suas opinies e com isso, possvel argumentar sobre suas vises, corrigi-las sempre em um clima harmoniosos e divertido, obtendo no final o envolvimento e o entendimento dos contedos abordados.Finalizando, as vantagens desse tipo de trabalho residem no fato do prprio aluno poder produzir seu material de aprendizado, construir seu conhecimento por ele mesmo, pois descobrir os conceitos pela prpria experincia, exercitando seu raciocnio.Caleidoscpio EducacionalComo j vimos, o caleidoscpio de dois espelhos articulados mostrou-se interessante no estudo de polgonos regulares e suas propriedades, j que todos os polgonos regulares tm linhas simtricas e o caleidoscpio produz padres simtricosAssim sendo, analisemos agora o caleidoscpio Educacional de trs espelhos planos formando uma superfcie lateral de um prisma triangular, o qual se apresenta especialmente indicado para produzir pavimentaes do plano por polgonos regulares. EquilteroIsscelesEscalenoFigura 16 - Tipos de Caleidoscpios

Como acontecem com os dois espelhos, para que tenhamos imagens coincidentes e repetio perfeita das figuras obtidas, cada ngulo deve satisfazer a condio de o dobro ser divisor de 360; portanto, sendo , , os ngulos dos espelhos, devemos ter: = = n1; = n2 e = n3. Segue de + + = 180, que a condio para n1, n2, n3, ++ = 1, cujas solues inteiras podem ser deduzidas, e so: (3, 3, 3), (2, 4, 4) e (2, 3, 6), o que corresponde a termos os valores de , , , iguais a (60, 60, 60), (90, 45, 45) e (90, 60, 30). Caleidoscpios com tais ngulos recebem os nomes de Equiltero, Issceles e Escaleno, respectivamente.Nos caleidoscpios so formadas imagens mltiplas, pois as obtidas num dos espelhos forma novas imagens nos outros dois, e assim, sucessivamente, estendendo-se por todo o plano. A construo desses caleidoscpios de simples execuo tanto por professores como pelos alunos, possibilitando amplo emprego em vrias atividades educacionais. A seguir, mostraremos tipos de caleidoscpios e suas construes, para uso individual ou em grupo.Construo do caleidoscpio equilteroMateriala) 3 espelhos planos retangulares grandes. Medidas sugeridas: dois espelhos de 25 cm x 22 cm e um de 35 cm x 15 cm.b) 2 pedaos de papeles. Um papelo dever conter a medida (aproximadamente de 51 cm x 22 cm, dependendo da espessura dos espelhos utilizados) dos dois espelhos iguais + 2 vezes a espessura do mesmo, pois o papelo deve revesti-los forma de um livro.c) folha de cartolina ou papel carto.ConstruoFigura 17- Caleidoscpio modificado

Fixar com cola os espelhos nos respectivos papeles (os dois espelhos iguais devero ser colados nas extremidades do papelo, deixando entre eles uma distancia que possibilite sua articulao para obteno dos ngulos). Desenha na folha referida em (c) um conjunto de semirretas de mesma origem para vrios ngulos de 0 a 180, como uma folha transferidor, para ajustamento dos espelhos.UtilizaoO caleidoscpio pode ser utilizado na forma equiltero, issceles ou escaleno, dependendo da abertura dos ngulos. Especifiquemos quando equiltero:Caleidoscpio Equiltero: dispor os dois espelhos articulados sobre a folha transferidor formando um ngulo de 60. Encostar o outro espelho conforme indica a figura. Notar que o terceiro espelho mais baixo que o conjunto articulado, possibilitando uma boa viso superior. Para as medidas sugeridas, as bases substituveis sero tringulos equilteros de lado 22 cm, que podem ser feitos de cartolina com os desenhos adequados. Tais bases sero colocadas no interior do caleidoscpio obtido cobrindo a folha transferidor.As pavimentaes que se obtm, nos diversos tipos de caleidoscpios so: a)No equiltero: (3, 3, 3, 3, 3), e (6, 6, 6); b) No Issceles: (4, 4, 4, 4), e (4, 8, 8); c) No escaleno: (3, 3, 3, 3, 3, 3), ( 6, 6, 6), (3, 6, 3, 6), (4, 6, 12) e (3, 12, 12).Quando tratamos da descoberta de pavimentaes planas, podemos encontrar varias configuraes geradas nos caleidoscpios equilteros, issceles e escalenos, por meio de bases substituveis colocadas na parte inferior dos caleidoscpios. Estas bases so tringulos feitos, geralmente, de material transparente com segmentos de retas desenhados para obteno de imagens mltiplas.Consideraes FinaisO momento atual marcado por um grande desenvolvimento tecnolgico, no qual se observa uma grande expanso do fluxo de informaes acessveis por vrios canais, entre eles a internet que sem dvidas, um poderoso veculo de acesso a informao. Esse cenrio de evoluo vem se moldando de forma veloz, deixando para traz uma estrutura de educao que parece ter parado no tempo. Muitos profissionais no esto acompanhando esse avano e alimentando a ruina que se visualiza na atualidade em relao s escolas. Como consequncia disso, a realidade que se observa de alunos totalmente desinteressados, j que sua vida fora da escola regrada dos principais mecanismos de comunicao e tecnologia tais como, celulares, notebook, Ipad, Tablet, entre outros. Ao chegar escola, esses indivduos, so obrigados a deixar todos os recursos de lado, para ser fixar em aulas montonas, com poucos recursos disponveis e ao invs de chamar sua ateno para o desenvolvimento intelecto-cultural, o que se observa um efeito bem contrrio. No concebvel que educadores se fixem em estruturas no funcionais de educao, e acreditem que tero bons resultados. Muitos jovens so deixados de lado, pelo fato de no se adequarem ao processo. Chega-se ao absurdo de qualificar grupos de alunos com dificuldade em aprender, ou se adequar ao processo, como portadores de dficit de ateno sem se perceber, que esses jovens so capazes de executar tarefas relacionadas a mais de uma atividade, bastando para isso que sejam estimulados, e o principal, que esses alunos visualizem alternativas diferentes das aplicadas atualmente.Uma das propostas desse trabalho foi de relacionar a geometria plana, com eventos do cotidiano do aluno, com um objetivo principal, demonstrar ao mesmo, que a matemtica no uma cincia morta voltada s a clculos e expresses como se pensa.No desenvolvimento dos contedos necessrios para montar um caleidoscpio, analisamos aspectos de simetria, que demonstram que at o conceito de beleza pode ser explicado e formalizado por aspectos matemticos. Aproveitar-se desse tipo de mecanismo certamente um dos caminhos que o educador deve trilhar para desenvolver seu trabalho de forma mais agradvel para obter melhores resultados. Como resposta desse esforo, teremos alunos engajados e envolvidos em estudar e desenvolver o conhecimento, pois no h dvidas que a assimilao dos contedos muito mais efetiva quando h participao efetiva dos alunos.A proposta de relacionar a matemtica com a arte sem dvida uma grande oportunidade de explorar com mais intensidade essa cincia. A todo o momento as pessoas saem s ruas, observam imagens, caminham por ruas pavimentadas, olham para cores, formas, figuras, e no se do conta do universo de informaes constantes nesse meio que esto diretamente relacionadas com a matemtica.O aspecto de montar um caleidoscpio possui o contexto de que o professor reunir grupos para expor as prticas que devero ser utilizadas pelos alunos para montar o objeto. Indiretamente, os alunos percebero aplicaes que podem ser associadas ideia de funo, tema esse que no desperta o menor interesse em aulas comuns de matemtica. Tambm tero acesso ao aspecto das relaes, tanto de ngulos, que formaro imagens diferentes, de acordo com sua disposio, como tambm com temas mais especficos, como figuras geomtricas regulares, e sua juno, formando planos virtuais muito agradveis. Os alunos podero perceber que h muito mais mistrios na projeo de um reflexo por meio de um espelho, do que se imagina e que esse fenmeno est envolvido com diversas definies matemticas. So eventos simples que, se reunidos e organizados de forma racional, se tornam um diferencial no processo de ensino aprendizagem.A educao pode ter um novo horizonte, que depende do envolvimento de muitas partes: Governo, Pais, Alunos e Professores. Esses ltimos pode/devem gerar estmulos utilizando os recursos disponveis para conscientizar e envolver alunos em um novo cenrio.

Referncias e bibliografia

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