centro universitÁrio senai cimatec programa de pÓs

CENTRO UNIVERSITÁRIO SENAI CIMATEC

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO STRICTO SENSU

MODELAGEM COMPUTACIONAL E TECNOLOGIA INDUSTRIAL

PAULO ROBERTO SANTANA DOS REIS

Análise numérica de circuitos de resfriamento em Stave

Salvador, 2021

2

PAULO ROBERTO SANTANA DOS REIS

Análise numérica de circuitos de resfriamento em Stave

Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de

Pós-Graduação Stricto Sensu do Centro Universitário

SENAI CIMATEC como requisito para a obtenção do título

de Mestre em Modelagem Computacional e Tecnologia

Industrial

Orientador: Prof. Dr. Alex Álisson Bandeira Santos

Coorientadora: Prof.a Dr.a Luzia Aparecida Tofaneli

Salvador, 2021

NDI - 01

R375a Reis, Paulo Roberto Santana dos

Análise numérica de circuitos de resfriamento em Stave / Paulo Roberto Santana dos Reis. – Salvador, 2021.

106 f. : il. color.

Orientador: Prof. Dr. Alex Álisson Bandeira Santos. Coorientadora: Profª. Drª. Luzia Aparecida Tofaneli. Dissertação (Mestrado em Modelagem Computacional e Tecnologia Industrial) –

Programa de Pós-Graduação, Centro Universitário SENAI CIMATEC, Salvador, 2021. Inclui referências. 1. Stave. 2. Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD). 3. Transferência de calor. 4.

Alto-forno. I. Centro Universitário SENAI CIMATEC. II. Santos, Alex Álisson Bandeira. III. Tofaneli, Luzia Aparecida. IV. Título.

CDD 620.11

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca do Centro Universitário SENAI CIMATEC

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CENTRO UNIVERSITARIO SENAI CIIUATEC

Mestrado Acadêmico em Modelagem Computacional e Tecnologia lndustrial

A Banca Examinadora, constituída pelos professores abaixo listados, aprova a

Defesa de Mestrado, intitulada "Análise Numérica de Circuitos de

Resfriamento em Stave" apresentada no dia 31 de março de 2A21, como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do Título de Mestre em Modelagem

Computacional e Tecnologia lndustrial.

, u,Assinadq(igitalmente por:Alex Alisáe{r{'Bandeira Santos

?':3T,?"Jl,1"uqar

Orientador: Prof. Dr. Alex Álisson Bandeira SantosSENAI CIMATEC

Coorientadora:

Assinado digitalmente por: LUZIA APARECIDA TOFANELIO tempo: 31-03-2021 15:Ol:27

Prof. Dr. Luzia Aparecida Tofaneli$ENAI CIMATEC

Membro lnterno$&,{.Á,c^l-t,

Prof. Dr. André Telles da Cunha LimaSENAI CIMATEC

Membro Externo Prof. Dr. Cristiano Hora de Oliveira FontesUFBA

Av. Orlando Gomes, 1845 - Piatá - CEP; 41650-0'10 Salvador-Bahia - Tel. (71)3462-9500 Fax: (71)3462-9599

5

DEDICATÓRIA

Dedico este trabalho ao meu pai

Pedro Jose dos Reis, minha Mãe Vanalva Ferreira de Santana, meus irmãos Lazaro,

Paula e Rafael e Meu amor, Camila Anjos.

6

AGRADECIMENTOS

Os meus sinceros agradecimentos são para:

Ao Centro Universitário SENAI CIMATEC pela oportunidade de desenvolver o

trabalho nas suas instalações.

Aos orientadores Alex Álisson Bandeira Santos e Luzia Aparecida Tofaneli pelas

sugestões, esclarecimentos e paciência na condução deste trabalho.

Aos membros da banca pela disponibilidade em avaliar e realizar comentários

construtivos, contribuindo com a evolução do trabalho.

Aos membros do Laboratório Energia, Turan Dias Oliveira e Paulo Roberto Freitas

Neves, pela confiança e ensinamentos.

Ao meu Pai, Pedro José dos Reis, onde o senhor esteja, essa vitória é grande parte

sua. Obrigado por todo o desprendimento para poder me proporcionar a melhor

educação possível. Do fundo do meu coração, saudades eternas.

7

RESUMO

A produção do ferro gusa é uma atividade do setor siderúrgico de extrema importância

econômica pelo fato de corresponder à grande parte do custo da produção do aço. A

sua produção ocorre através do alto-forno e sua temperatura de trabalho é acima de

1500 °C. O Stave de resfriamento é um dos elementos importantes quando se trata de

alto-forno, pois pode prolongar sua vida útil e reduzir o custo de produção do ferro gusa.

Este trabalho tem como objetivo analisar a efetividade de diferentes circuitos de

resfriamento de Stave através de metodologia numérica. A transferência de calor e o

escoamento interno em diferentes modelos de serpentina, através da fluidodinâmica

computacional (CFD), foram avaliados para diferentes circuitos de serpentina e

diferentes condições de operação. Uma abordagem em regime permanente, ou seja,

não variante com o tempo, será utilizada. Além disso, o modelo de turbulência SST κ –

ω e o método de discretização volumes finitos são utilizados através do software ANSYS

CFX 17.1. O desempenho do Stave com diferentes serpentinas é analisado a partir da

queda de pressão, da distribuição de temperatura e da taxa de transferência de calor.

Para o circuito de melhor desempenho, parâmetros de temperatura e vazão são

analisados adimensionalmente e uma correlação foi proposta. Os resultados apontam

que o circuito com duas serpentinas é o mais adequado para ser implementado em

projeto de alto-forno. É apresentado também que os circuitos de serpentinas com duas

entradas e saídas possuem uma maior potência hidráulica, sendo que a diferença da

potência hidráulica entre eles é de 13%. De acordo com os estudos paramétricos

realizados, as análises adimensionais produzem resultados, em relação a temperatura

máxima, 5,86% superior aos resultados encontrados em CFD. Quando a variável de

interesse é a temperatura mínima, a análise adimensional tem resultados 2,21%

superior. Tudo isso, constata que os resultados obtidos pela análise adimensional não

são tão discrepantes aos obtidos com a simulação em CFD e como aquele tem um tempo

de processamento menor, pode ajudar em uma tomada de decisão mais rápida.

Palavras-chave: Stave, Dinâmica dos Fluidos Computacional (CFD), Transferência de

calor, Alto-forno.

8

ABSTRACT

The production of pig iron is an activity of the steel industry of extreme economic

importance because it corresponds to a large part of the cost of steel production. Its

production takes place through the blast furnace and its working temperature is above

1500 °C. The cooling stave is one of the important elements when it comes to the blast

furnace, as it can extend its useful life and reduce the cost of producing pig iron. This

work aims to analyze the effectiveness of different Stave cooling circuits through

numerical methodology. Heat transfer and internal flow in different coil models, using

computational fluid dynamics (CFD), were evaluated for different coil circuits and

different operating conditions. A steady-state approach, that is, one that is not time-

varying, will be used. In addition, the SST turbulence model κ – ω and the finite volume

discretization method are used through ANSYS CFX 17.1 software. Stave performance

with different coils is analyzed from pressure drop, temperature distribution and heat

transfer rate. For the best performing circuit, temperature and flow parameters are

analyzed dimensionally and a correlation has been proposed. The results show that the

circuit with two coils is the most suitable to be implemented in a blast furnace project.

It is also shown that coil circuits with two inputs and outputs have greater hydraulic

power, with the difference in hydraulic power between them being 13%. According to

the parametric studies carried out, the dimensionless analyzes produce results, in

relation to the maximum temperature, 5.86% higher than the results found in CFD.

When the variable of interest is the minimum temperature, the dimensionless analysis

has 2.21% higher results. All this shows that the results obtained by the dimensionless

analysis are not as different from those obtained with the CFD simulation and as the

former has a shorter processing time, it can help in a faster decision-making process.

Keywords: Cooling Stave, Computational Fluid Dynamics (CFD), Heat Transfer, Blast

Furnace.

9

LISTA DE TABELAS

Tabela 1: Constantes do modelo κ – ε. 39 Tabela 2: Constantes do modelo κ – ω. 40 Tabela 3: Constantes do modelo SST κ – ω. 41 Tabela 4: Número e tamanho médio do elemento. 52 Tabela 5: Casos Simulados para diferentes temperaturas da água e ar. 56 Tabela 6: Diferentes casos de vazão mássica simulados. 57 Tabela 7: Condição diferente proposto para validar correlação. 58 Tabela 8: Teste de independência de malha. 59 Tabela 9: Transferência de calor e temperatura da água para os diferentes circuitos de serpentina.

65

Tabela 10: Potência hidráulica. 66 Tabela 11: Comparações das temperaturas máximas e mínimas da simulação no Ansys com a Análise Adimensional no Python

78

10

LISTAS DE FIGURAS

Figura 1: Matriz de produção de Ferro Gusa das usinas independentes. 18 Figura 2: Desenho exemplificativo de um alto-forno. 19 Figura 3: Sistema de refrigeração de um alto-forno com Stave. 20 Figura 4: Distribuição do stress em torno do Stave com revestimentos refratários.

22

Figura 5: Vista isométrica do sistema de resfriamento do Stave com revestimento.

23

Figura 6: Modelo de geometria de serpentina em Stave. 23 Figura 7: Esquema das configurações das serpentinas sobre o chip. 25 Figura 8: Distribuição de temperatura em um chip com circuito de refrigeração de melhor desempenho de acordo com Almerbati, Lorente e Bejan, 2018.

26

Figura 9: Método dos Volumes Finitos para um domínio unidimensional. 30 Figura 10: Definições e distâncias num domínio unidimensional. 31 Figura 11: Variação da velocidade ao longo do tempo em um escoamento turbulento

33

Figura 12: Localização do Y+ em uma superfície plana. 35 Figura 13: Perfil de velocidade junto a uma superfície sólida. 35 Figura 14: Elemento de malha. 46 Figura 15: Modelo físico da superfície sólida do problema em estudo. 47 Figura 16: Esboço do desenho da serpentina do circuito 4. Valores em milímetro.

48

Figura 17: Esboço do desenho da serpentina no Stave. 49 Figura 18: Circuitos de serpentina. 49 Figura 19: Detalhamento da malha no domínio serpentina. 50 Figura 20: Detalhamento da malha no domínio serpentina – região de entrada. 51 Figura 21: Detalhamento da malha no domínio serpentina – região lateral. 51 Figura 22: Detalhamento das faces do Stave e da entrada e saída do fluído na serpentina.

53

Figura 23: Detalhamento da entrada e saída do fluído para um circuito com duas serpentinas.

53

Figura 24: Variação da tensão de cisalhamento na parede em relação a região de entrada e totalmente desenvolvida.

55

Figura 25: Demonstração das linhas implementadas no Stave para análise da distribuição de temperatura em cada ponto no Stave.

58

Figura 26: Desenho de um tubo simples com comprimento de 4 m. 60 Figura 27: Relação da velocidade do fluido [m/s] vs comprimento do tubo [m]. 61 Figura 28: Diâmetro [m] vs velocidade do fluido [m/s] 62 Figura 29: Distribuição da temperatura na parte central do Stave. 63 Figura 30: Distribuição da temperatura na parte fria do Stave. 64 Figura 31: Distribuição de temperatura na parte quente do Stave. 64 Figura 32: Temperaturas do Stave. 66 Figura 33: Distribuição de temperatura sobre a linha central que divide o Stave horizontalmente.

68

Figura 34: Distribuição de temperatura utilizando a temperatura adimensional. 69

11

Figura 35: Correlação da temperatura adimensional em relação a distância horizontal do Stave para Reynolds igual a 248000.

70


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73

Figura 42: Correlação para o coeficiente a3. 74 Figura 43: Correlação para o coeficiente a2. 74 Figura 44: Correlação para o coeficiente a1. 75 Figura 45: Correlação para o coeficiente a0. 75 Figura 46: Distribuição da temperatura para uma vazão de 2,5 kg/s. 76 Figura 47: – Distribuição da temperatura para uma vazão 7 kg/s. 77

12

LISTAS DE SIGLAS E ABREVIATURAS

A Área da seção transversal [m²]

As Área superficial [m²]

AESM Anuário Estatístico Sindifer Minas Gerais.

arg1 Parâmetro do modelo de turbulência SST κ – ω

arg2 Parâmetro do modelo de turbulência SST κ – ω

C Velocidade do som [m/s]

𝑪𝑫𝜿𝝎 Parâmetro do modelo de turbulência SST κ – ω

𝑪𝝁 Constante do modelo de turbulência κ – ε

𝑪𝜺𝟏 Constante do modelo de turbulência κ – ε

𝑪𝜺𝟐 Constante do modelo de turbulência κ – ε

D Diâmetro [m]

𝒆 Energia específica [J/kg]

�� Forças de campo por unidade de volume

𝑭𝟏 Função de mistura do modelo SST κ – ω

𝑭𝟐 Função de mistura do modelo SST κ – ω

g Aceleração da gravidade [m/s²]

h Coeficiente de transferência de calor por convecção [W/m².K]

hL Perda de carga [m]

htot Entalpia total [J]

IABr Instituto Aço Brasil

κ Energia cinética turbulenta [m²/s²]

𝜿 Constante de Von Kármán

K Condutividade térmica [W/m.K]

Lc Comprimento característico [m]

Lh Comprimento de entrada hidrodinâmica [m]

Lm Comprimento de mistura [m]

Lh, laminar Comprimento de entrada hidrodinâmica no regime laminar [m]

Lh, turbulento Comprimento de entrada hidrodinâmica no regime turbulento [m]

𝑳𝒕,𝑳𝒂𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 Comprimento de entrada térmica no regime laminar [m]

13

m Vazão mássica [kg/s]

Ma Número de Mach

𝐧 Vetor normal direcionado para o exterior

Nu Número de Nusselt

𝒑 Pressão

Pκ Produção de turbulência devido a forças viscosas [kg/m.s³]

∆𝑷𝑳 Queda da pressão [kg/m.s²]

Pr Número de Prandtl

𝑸 Transferência de Energia [J]

�� Taxa de transferência de calor [kW]

Re Número de Reynolds

S Taxa de Deformação [1/s]

�� Valor médio de 𝑆𝜙 no volume de controle

𝑺𝑬 Termo fonte de energia

Sindifer Sindicato das Indústrias Metalúrgicas e de Material Elétrico do Estado

do Espírito Santo.

SMx, SMy,

SMz

Termos fonte de momento nas direções x, y e z, respectivamente

[kg/m²s²]

𝑺𝝓 Termo fonte de propriedade escalar genérica

t Tempo [s]

𝑻𝒂 Temperatura do ambiente externo [K]

𝑻𝒂𝒅𝒎 Temperatura adimensional

𝑻𝒂𝒇 Temperatura interna do alto-forno [K]

𝑻𝒄𝒊𝒓𝒄 Temperatura termodinâmica [K]

𝑻𝒇 Temperatura de entrada do fluido na serpentina [K]

𝑻𝒊 Temperatura em um determinado ponto da geometria [K]

𝑻𝒔 Temperatura na superfície [K] ou [°C]

𝑻∞ Temperatura no infinito [K] ou [°C]

U Magnitude da velocidade [m²/s]

𝒖 Velocidade de flutuação em um escoamento turbulento [L T-1]

�� Velocidade média de flutuação em um escoamento turbulento [L T-1]

14

𝒖∗ Velocidade de atrito [m/s]

�� Vetor velocidades (u,ν,w) [m/s]

u,ν,w Velocidade nas direções x, y, z [m/s]

u’,v’,w’ Flutuações da velocidade [m/s]

𝒗 Velocidade de escoamento do fluido [m/s]

V Volume [m³]

V Vazão volumétrica [m³/s]

𝝊𝒕 Viscosidade cinemática turbulenta [m²/s]

��𝒃𝒐𝒎𝒃𝒂,𝑳 Potência de Bombeamento [W]

Ws Trabalho do eixo [J]

𝑾𝝁 Trabalho de cisalhamento [J]

x,y,z Direções cartesianas [m]

ΔX Comprimento do volume de controle [m]

y Distância perpendicular à parede [m]

𝒚𝒑 Distância à parede mais próxima

y+ Distância adimensional da parede

𝜷𝟏 Constante do modelo de turbulência κ – ω para modelagem SST κ – ω

𝜷𝟐 Constante do modelo de turbulência κ – ε modificado para

modelagem SST κ – ω

𝜷′ Constante do modelo de turbulência κ – ω

𝝎 Frequência turbulenta [1/s]

℧ Velocidade característica [m/s]

𝝆 Massa específica de um fluido [kg/m³]

𝜽 Temperatura adimensional

𝝓 Propriedade escalar genérica

𝝓𝟑 Constante genérica do modelo SST κ – ω

𝚪 Coeficiente de difusão [m²/s]

𝝉 Tensão de cisalhamento [N/m²]

𝝉𝟎 Tensão de cisalhamento na superfície [N/m²]

τx Tensão cisalhante na direção x [Pa]

µ Viscosidade dinâmica [Pa.s]

15

𝝁𝒕 Viscosidade turbulenta [Pa.s]

𝝀 Condutividade térmica [W.m-1.K-1]

𝜺 Emissividade

δ Matriz identidade

𝜹𝒂𝒃 Delta de Dirac

𝜹𝒕 Espessura da camada limite térmica [m]

δXWP Distância entre nó a esquerda e nó central [m]

δXwP Distância entre a face esquerda e o ponto central do volume de

controle [m]

δXPE Distância entre nó central e nó a direita [m]

δXPe Distância entre a face direita e o ponto central do volume de controle

[m]

δXwe Distância entre as faces direita e esquerda do volume de controle [m]

σ Constante de Stefan-Boltzmann

𝝈𝜿 Constante do modelo de turbulência κ – ε; Constante do modelo de

turbulência κ – ω

𝝈𝜿𝟏 Constante do modelo de turbulência κ – ω para modelagem SST κ – ω

𝝈𝜿𝟐 Constante do modelo de turbulência κ – ε modificado para


𝝈𝜺 Constante do modelo de turbulência K – ε

𝝈ω Constante do modelo de turbulência κ – ω

𝝈ω1 Constante do modelo de turbulência κ – ω para modelagem SST κ – ω

𝝈ω2 Constante do modelo de turbulência κ – ε modificado para


𝜶 Constante do modelo de turbulência κ – ω

𝜶𝟏 Constante do modelo de turbulência κ – ω para modelagem SST κ – ω

𝜶𝟐 Constante do modelo de turbulência κ – ε modificado para


Λ Taxa de trabalho viscoso [N.m]

16

SUMÁRIO

RESUMO ........................................................................................................................... 7

ABSTRACT ......................................................................................................................... 8

SUMÁRIO ........................................................................................................................ 16

1. INTRODUÇÃO .......................................................................................................... 18

1.1 Justificativa .......................................................................................................... 18

1.2 Revisão da Literatura .......................................................................................... 21

1.3 Objetivos ............................................................................................................. 26

1.3.1 Objetivo Geral ....................................................................................................... 26

1.3.2 Objetivos específicos ............................................................................................ 26

2. REFERENCIAL TEÓRICO ........................................................................................... 27

2.1 Métodos de Discretização ....................................................................................... 27

2.1.1 Métodos das Diferenças Finitas ........................................................................... 27

2.1.2 Método dos Elementos Finitos ............................................................................ 28

2.1.3 Método dos Volumes Finitos................................................................................ 29

2.2 Modelos de Turbulência .......................................................................................... 32

2.2.1 Modelo κ – ε .......................................................................................................... 38

2.2.2 Modelo κ – ω ......................................................................................................... 39

2.2.3 Modelo SST κ – ω (Shear Stress Transport) ......................................................... 40

3. METODOLOGIA ....................................................................................................... 44

3.1 Equações Matemáticas da Conservação ................................................................. 44

3.2 Acoplamento Pressão Velocidade ........................................................................... 45

3.3 Domínio Físico de Estudo ........................................................................................ 47

3.4 Domínio Computacional .......................................................................................... 48

3.5 Modelo Numérico .................................................................................................... 54

3.6 Análise Adimensional .............................................................................................. 55

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO .................................................................................... 59

4.1 Estudo de convergência de malha........................................................................... 59

4.2 Avaliação do modelo numérico ............................................................................... 59

4.3 Simulações de variados circuitos de serpentina ..................................................... 62

4.4 Análise Adimensional .............................................................................................. 67

5. CONCLUSÃO E SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS .......................................... 79

5.1 Conclusão ................................................................................................................. 79

17

5.2 Sugestões para trabalhos futuros ........................................................................... 80

6. REFERÊNCIAS........................................................................................................... 82

PRODUÇÃO TÉCNICA E CIENTÍFICA ............................................................................... 86

APÊNDICE A .................................................................................................................... 87

APÊNDICE B .................................................................................................................. 103

18

1. INTRODUÇÃO

1.1 Justificativa

O Brasil em 2018, segundo o Instituto Aço Brasil e o Sindicato das Indústrias de

Ferro do estado de Minas Gerais (IABr / Sindifer), produziu 32.552.480 toneladas de

ferro gusa. Esse total engloba as produções de usinas integradas, em que o ferro gusa é

produzido para consumo próprio, e usinas não integradas (independentes). O ferro gusa

é uma liga composta de ferro, carbono (de 3% a 6%), manganês (cerca de 0,3%), silício

(de 0,4%), fósforo (cerca de 1%) e enxofre (quase 0,03%). A produção do ferro gusa é

uma atividade do setor siderúrgico de extrema importância econômica pelo fato de

corresponder à grande parte do custo da produção do aço. A produção dessa liga ocorre

por meio do processo de redução do ferro presente em minérios que contêm esse

elemento. Essa produção pode ser verificada de acordo a divisão nos principais polos de

fabricação de gusa no país, a Figura 1 evidencia o estado de Minas Gerais como o maior

produtor nacional com 77%, seguido pela combinação dos estados do Pará e Maranhão

com 10%.

Figura 1: Matriz de produção de Ferro Gusa das usinas independentes.

Fonte: Adaptado: AESM, 2018.

77%

8%

5%10%

Minas Gerais Espírito Santo Mato Grosso do Sul Maranhão e Pará

19

O alto-forno é um típico forno da indústria siderúrgica e, portanto, a Figura 2

apresenta de forma ilustrativa esse equipamento com todas as nomenclaturas de

composição do forno e, também, os locais onde as matérias primas são inseridas. Este

equipamento é o componente principal no processo de fusão de aglomerados

autorredutores e redução do minério de ferro na transformação em gusa. Devido à alta

carga térmica necessária para um alto-forno é comum a implementação de sistemas de

refrigeração para preservação estrutural. Diversos trabalhos científicos foram

desenvolvidos para inserção de um sistema de refrigeração, buscando dessa forma um

aumento da campanha do equipamento. (KUMAR, BANSAL E CHANDRAKER (2012),

CHEN E CHENG (2016)).

Figura 2: Desenho exemplificativo de um alto-forno.

Fonte: Adaptado: TEC-SCIENCE, 2018.

20

Conforme Soni e Verma (2014), o sistema de arrefecimento para alto-forno foi

desenvolvido desde 1884, onde inicialmente, na década de 1920, foi aplicado somente

em regiões com elevado gradiente de temperatura.

Yeh, Ho e Yang (2012), a maior carga de calor fica concentrada na região inferior

do alto-forno, como ilustrado na Figura 3, e o Stave localizado nessa região – tijolo

amarelo na parte inferior – tem vida útil menor do que em qualquer outra região do

alto-forno.

Figura 3: Sistema de refrigeração de um alto-forno com Stave.

Fonte: Animação Flash Gerdau Açominas, Usp 2016

Segundo Chen e Cheng (2016), o Stave deve utilizado para proteger a parede do

alto-forno com o intuito de obter uma redução de estresse térmico e suas possíveis

21

consequências, deformações e rachaduras. Seu formato é normalmente retangular e

disposto em série por toda a lateral do alto-forno.

Por estar em um ambiente agressivo de variação de temperatura, o Stave

necessita ser revestido de materiais que suportem tal exposição. Os impactos do Stave,

segundo Xu et al. (2017), estão diretamente associados com o custo final do ferro gusa

e no tempo de vida do alto-forno. Sendo assim, seu principal objetivo é atuar como

isolante térmico entre o alto-forno e o meio externo.

O sistema de resfriamento quando feito de maneira não adequada provoca uma

não uniformidade no processo de arrefecimento, ocasionando gradientes intensos de

temperatura que são danosos ao equipamento. Consequências de gradientes de

temperatura são ainda mais intensas, quando as peças são constituídas de mais de um

material. Diferentes coeficientes de dilatação, associados às diferenças locais de

temperatura, tendem, portanto, a amplificar danos estruturais.

É importante aprimorar o desenvolvimento do alto-forno, principalmente no que

se refere ao prolongamento de campanhas. Deste modo, segundo Lijun et al. (2006), a

vida útil do Stave de resfriamento é uma componente chave para prolongar a vida útil

de um alto-forno.

1.2 Revisão da Literatura

A necessidade de operar um alto-forno por um longo período de tempo, a fim de

obter um melhor aproveitamento da matéria prima, tem associação elevada com a

tentativa de entender o comportamento físico do Stave. Segundo Xu et al. (2017), Stave,

equipamento largamente utilizado para produção de ferro gusa, é um componente

importante para extensão da “vida” de um alto-forno.

O sistema de resfriamento tem sido objeto de pesquisa de muitos trabalhos nas

últimas décadas, principalmente, pelo interesse industrial em artefatos que utilize,

eficientemente, toda a energia gerada. Lijun et al. (2006) percebeu que inúmeros

trabalhos científicos com CFD (Computational Fluid Dynamics) foram desenvolvidos para

um sistema de serpentina no formato circular. Assim, realizou um estudo para tubo

elíptico pois, a diminuição da área da seção transversal de resfriamento do tubo

refletiria em uma redução da espessura do Stave para uma mesma vazão mássica. A

22

simulação numérica, utilizando elementos finitos, mostrou que um circuito de

serpentina com formato elíptico obteve uma temperatura maior que o circuito de

serpentina circular, uma variação de 4,4% e o stress térmico também não teve valores

tão diferentes. Com a substituição das serpentinas circulares por serpentinas elípticas

geraria uma diminuição na espessura do Stave e por consequência em um menor custo

de produção. Diminuindo o custo final de produção do ferro gusa.

Ning et al. (2009) estudaram os efeitos causados pelo aumento de temperatura

do alto-forno na face quente do Stave e, também, o comportamento da intensidade do

stress no mesmo. O estudo procura analisar a temperatura e o stress causado pela

mudança na temperatura do gás interno em um alto-forno. Como conclusão, ficou

demonstrado, a partir de simulações apresentadas na Figura 4, que a região central é a

que causa maior stress e, consequentemente, a formação de rachaduras. Outro aspecto

é a fadiga causada nos parafusos fixos a partir da intensidade da tensão gerada.

Figura 4: Distribuição do stress em torno do Stave com revestimentos refratários.

Fonte: Adaptado: Ning et al, 2009.

Yeh et al. (2012) investigaram o revestimento refratário, utilizando simulação CFD

com base nas equações de Navier-Stokes, equação da energia e o modelo de turbulência

k-ε, e provaram que é um grande protetor para o Stave. Além disso, conseguiram

estimar possíveis larguras do Stave para um mesmo desenho de serpentina com o

23

intuito de aumentar o tempo de campanha. Kumar et al. (2012) realizaram um estudo,

utilizando elementos finitos e desconsiderando os efeitos da transferência de calor por

radiação dos materiais que compõe o revestimento, sobre a utilização de dois diferentes

compostos – carboneto de silício e alumina – que revestem o Stave. Os pesquisadores

concluíram as maiores temperaturas e stress térmico são obtidos com o composto de

carboneto de silício em relação ao composto de alumina (óxido de alumínio).

Outro ponto importante no desenvolvimento de estudos voltados para melhor

compreender o Stave foi a incorporação de análises fluidodinâmicas utilizando o

método de Volumes Finitos, como o trabalho de Mohanty et al. (2015). Como podemos

verificar na Figura 5, foi simulado o Stave revestidos de inúmeros materiais distintos,

mas com apenas um circuito de serpentina sendo que, o desenho da serpentina tem

muita semelhança com o desenvolvido posteriormente por Chen e Cheng (2016).

Observou-se que o material e a espessura têm larga influência na temperatura de

trabalho do Stave e por consequência no seu tempo de campanha.

Figura 5: Vista isométrica do sistema de resfriamento do Stave com revestimento.

Fonte: Adaptado: MOHANTY et al. 2015.

Chen e Cheng (2016) estudaram o efeito de nano partículas de titânio em

conjunto com um fluido – água – que atravessam uma serpentina inserida em um Stave.

24

Conforme o estudo, utilizou-se como modelo de turbulência o k-ε e a Figura 6 apresenta

a geometria da serpentina utilizada nas simulações. Para apenas um circuito de

serpentina foi simulado vários fluxos de massa e porcentagem por volume de nano

partículas. A partir do estudo, eles encontram um aumento de 62% no valor da

proporção adimensional do coeficiente convectivo para a fricção, quando o número de

Reynolds fosse superior a 95000 para 1% em volume de TiO2, que foi a melhor eficiência

de transferência de calor encontrada.

Figura 6: Modelo de geometria de serpentina em Stave.

Fonte: Adaptado: Chen e Cheng, 2016.

Mohanty et al. (2016) através de outro estudo, utilizaram simulação numérica

para entender o comportamento da transferência de calor no Stave variando alguns

parâmetros como fluido refrigerante e material de revestimento. Os resultados

indicaram que o nitrogênio pode ser utilizado como meio refrigerante para vazão alta.

Zhang et al. (2018) investigaram de forma numérica e experimental as

características que tornam o composto de cobre-aço um atrativo candidato a ser

utilizado como revestimento em Stave. Através dos experimentos de testes de

propriedades mecânicas e fraturas, comprovaram que o composto de cobre-aço

produzido por solda pode atender a uma grande variação de temperatura. Já os

resultados da simulação numérica mostraram que o resfriamento do composto de

cobre-aço possui a mesma capacidade de condutividade térmica e capacidade anti-

deformação duas vezes maior que a do composto cobre.

A maioria (Ning et al. (2009), Yeh et al. (2012), Mohanty et al. (2015), Chen e

Cheng (2016), Mohanty et al. (2016) e Zhang et al. (2018)) dos estudos de resfriamento

25

em Stave encontrados no meio acadêmico consideram apenas um único caso de

geometria de serpentina exposta à uma temperatura do alto-forno. Realizando buscas

na literatura de soluções de resfriamento com variação de geometria de serpentina

foram encontrados os estudos de Imran et al. (2018) e Almerbati et al. (2018).

Imran et al. (2018) investigaram de forma numérica e experimental o efeito de

quatro circuitos de serpentina sobre um chip, como demonstrado na Figura 7. Na

simulação numérica utilizaram as equações de Navier Stokes e aplicaram o método dos

volumes finitos como meio de discretização das geometrias. Os resultados

demonstraram que as serpentinas com duas entradas e duas saídas performam melhor,

em relação a distribuição de temperatura sobre a superfície em estudo, que as

serpentinas de uma entrada e uma saída.

Figura 7: Esquema das configurações das serpentinas sobre o chip.

Fonte: Adaptado: Imran, Mahmoud e Jaffal, 2018.

Almerbati et al. (2018) estudaram a variação de contornos de uma serpentina

em um chip quadrado. O trabalho aplicou o conceito de elementos finitos e considerou

o tubo como uma superfície isotérmica. As simulações apontaram que a serpentina com

26

quatro contornos proporcionaria a menor temperatura sobre o chip, como podemos

verificar na Figura 8.

Figura 8: Distribuição de temperatura em um chip com circuito de refrigeração de melhor desempenho de acordo com Almerbati, Lorente e Bejan, 2018.

Fonte: Almerbati, Lorente e Bejan, 2018

1.3 Objetivos

1.3.1 Objetivo Geral

Este trabalho propõe analisar de forma paramétrica, em diferentes geometrias

de serpentina e valores de Reynolds em regime turbulento, a efetividade de diferentes

circuitos de resfriamento de Stave através de fluidodinâmica computacional.

1.3.2 Objetivos específicos

1. Analisar condições representativas do problema industrialmente relevante;

2. Investigar um modelo matemático e numérico adequado ao estudo do

problema;

3. Simular Stave sob diferentes parâmetros geométricos e de operação do circuito

de resfriamento;

4. Analisar de forma dimensional e adimensional os resultados, para propor

melhorias nos arranjos construtivos de Stave para obtenção de melhor eficiência

operacional.

27

2. REFERENCIAL TEÓRICO

As equações de Navier–Stokes (Equação 1) e da Continuidade (Equação 2)

descrevem o comportamento do escoamento de fluidos. Para escoamentos de aplicação

industrial muitas vezes de natureza complexa essas equações não têm solução analítica

conhecida. Assim é frequente o uso de aproximações algébricas através de um método

numérico para encontrar a solução desses escoamentos.

𝜌𝐷��

𝐷𝑡= 𝑓 − ∇𝑝 + 𝜇∇2�� (1)

𝜕

𝜕𝑡𝜌 + ∇ ∙ (𝜌�� ) = 0 (2)

onde 𝜌 representa a densidade do fluido, �� o vetor velocidade, 𝑝 a pressão, 𝜇 a viscosidade do

fluido e 𝑓 é a resultante das forças de campo por unidade de volume.

2.1 Métodos de Discretização

Nesta seção serão apresentados os principais métodos de discretização

utilizados em modelagem computacional. A aplicação desses modelos ocorre na etapa

de pré-processamento, onde cada método será utilizado para discretizar a geometria na

forma temporal e espacial para, posteriormente, aplicar o método de solução numérica.

O Método das Diferenças Finitas (MDF), será descrito na seção 2.1.1. Posteriormente, o

Método dos Elementos Finitos (MEF) e por fim o Método dos Volumes Finitos (MVF).

2.1.1 Métodos das Diferenças Finitas

Este método, como afirmaram Tu, Yeoh e Liu (2013), é um dos mais antigos para

solução numérica de equações diferenciais parciais e, teoricamente, poderia ser

aplicado para qualquer sistema de malha. Entretanto, o método é mais frequentemente

aplicado para estruturas geométricas simples.

A primeira etapa para se obter uma solução numérica é discretizar a geometria

de interesse. Segundo Ferziger e Peric (2002), no método de diferenças finitas a

28

estruturação da malha ocorre localmente, ou seja, cada nó da malha pode ser

considerado origem de um sistema de coordenadas locais, cujos eixos coincidem com

as linhas da malha. Em uma geometria tridimensional as linhas de malha se cruzam em

cada nó. Neste método cada nó da malha é considerado uma nova origem, portanto,

tem uma variável com valor desconhecido associado ao mesmo e, por consequência,

deve apresentar uma equação algébrica. O valor da variável desconhecida é obtido a

partir do nó vizinho e assim sucessivamente. Para solução de um sistema de equação é

necessário que o número de equações seja igual ao número de incógnitas. Sendo que

segundo Ferziger e Peric (2002), nos nós de fronteira os valores das variáveis são

fornecidos.

Segundo Gilat e Subramaniam (2008) a precisão da aproximação por diferenças

finitas depende da precisão dos pontos dos conjuntos de dados, dos espaçamentos

entre os pontos e da fórmula específica usada na aproximação. Além disso, as soluções

são encontradas por aproximações para derivada. Sendo que as derivadas são obtidas

através da expansão em série de Taylor ou de forma polinomial.

2.1.2 Método dos Elementos Finitos

O Método dos Elementos Finitos (MEF) segundo Zikanov (2010) representa uma

alternativa para solução de equações diferenciais. No qual a decomposição não ocorre

em todo o domínio da solução e sim nos pequenos elementos, em que o domínio é

subdivido.

De acordo também com Zikanov (2010), a discretização por Elementos Finitos é

amplamente utilizado em análise estrutural e para problemas envolvendo transferência

de calor, mas em relação a escoamento de fluidos não é o método mais utilizado.

Segundo Tu, Yeoh e Liu (2013), a diferença entre Elementos Finitos e Volumes

Finitos baseia-se que as equações governantes nos elementos finitos são primeiramente

aproximadas pela multiplicação com as funções de forma antes de serem integradas em

todo o domínio computacional. Outro ponto relevante é que as funções são escolhidas

de forma que resultem em um valor igual a zero fora do elemento.

29

2.1.3 Método dos Volumes Finitos

A discretização pelo Método dos Volumes Finitos (MVF) consiste na integração

da equação da conservação diretamente no domínio físico. Podemos descrever as

etapas utilizadas pelo Método dos Volumes Finitos da seguinte forma:

Divisão do domínio contínuo em volumes de controles discretos usando a malha

computacional;

Integração das equações nos volumes de controle individuais para desenvolver

as equações algébricas para as variáveis discretas dependentes, por exemplo:

Temperatura e velocidade;

Montar e resolver o sistema algébrico obtido

Versteeg e Malalasekera (2007) apresenta uma demonstração genérica de como

utilizar o método dos volumes finitos para um caso puramente difusivo em regime

permanente, a partir da Equação de Transporte para uma propriedade genérica 𝜙. A

Equação 3 representa a Equação de Transporte.

𝜕(𝜌𝜙)

𝜕𝑡+ 𝑑𝑖𝑣(𝜌�� 𝜙) = 𝑑𝑖𝑣(Γ∇ϕ) + 𝑆𝜙 (3)

onde 𝜌 é a densidade, t é o tempo, �� é o vetor velocidade, Γ é o coeficiente de difusão

e 𝑆𝜙 é uma força externa, de acordo com o problema físico estudado podemos retirar

do equacionamento o termo convectivo – por se tratar de um caso difusivo – e, também,

o termo de variação temporal (por ser um estudo de regime permanente), resultando

na Equação 4:

𝑑𝑖𝑣(Γ∇ϕ) + 𝑆𝜙 = 0 (4)

Considerando aplicar a Equação de Transporte em um domínio unidimensional

– para facilitar o entendimento da utilização do método, mas de forma análoga podendo

30

ser aplicado em um sistema bidimensional ou tridimensional – é divido em pequenos

volumes de controle em torno dos pontos W, P e E. Observando a Figura 9 abaixo,

podemos notar que o volume de controle está em torno do ponto P. E a partir das

descrições realizadas é possível obter a Equação 5 da seguinte forma:

𝑑

𝑑𝑥(Γ

𝑑𝜙

𝑑𝑥) + 𝑆𝜙 = 0 (5)

Figura 9: Método dos Volumes Finitos para um domínio unidimensional.

Fonte: Versteeg e Malalasekera, 2007.

A Figura 10 ilustra um ponto nodal genérico P e seus vizinhos W – nó a oeste – e

E – nó a leste - em uma geometria unidimensional. Além disso, podemos determinar as

faces do volume de controle sendo w sua face a oeste e sua face a leste sendo e. As

distâncias entre os nodos W e P e entre os nodos E e P podem ser identificados como

δXWP e δXPE respectivamente. De forma análoga, as distâncias entre a face w e o ponto

P e entre o ponto P e a face e são apresentadas como δXwP e δXPe, respectivamente. O

comprimento total do volume de controle é ΔX = δXwe.

31

Figura 10: Definições e distâncias num domínio unidimensional.


Considerando a integração da Equação 5 no volume de controle, teremos:

∫𝑑

𝑑𝑥(Γ

𝑑𝜙

𝑑𝑥)𝑑𝑉 + ∫ 𝑆𝑑𝑉

∆𝑉∆𝑉

= (Γ𝐴𝑑𝜙

𝑑𝑥)𝑒− (Γ𝐴

𝑑𝜙

𝑑𝑥)𝑤

+ 𝑆Δ𝑉 = 0 (6)

onde A é a área da seção transversal da face do volume de controle, ∆𝑉 o volume e 𝑆 o

valor médio de 𝑆𝜙 no volume de controle.

A forma discretizada das derivadas da Equação 6 podem ser obtidas da seguinte

maneira:

(Γ𝐴𝑑𝜙

𝑑𝑥)𝑒

= Γ𝑒𝐴𝑒 (𝜙𝐸 − 𝜙𝑃

𝛿𝑥𝑊𝑃) (7)

(Γ𝐴𝑑𝜙

𝑑𝑥)𝑤

= Γ𝑤𝐴𝑤 (𝜙𝑃 − 𝜙𝑊

𝛿𝑥𝑊𝑃) (8)

Segundo Versteeg e Malalasekera (2007) em casos em que o termo fonte é

dependente de uma variável dependente, o método dos volumes finitos aproxima o

termo fonte de maneira linear, como podemos verificar na Equação 9:

𝑆Δ𝑉 = 𝑆𝑢 + 𝑆𝑃𝜙𝑃 (9)

32

Substituindo a Equação 7, 8 e 9 na Equação 6 iremos obter a forma algébrica e

discretizada.

(Γ𝑒

𝛿𝑥𝑃𝐸𝐴𝑒 +

Γ𝑤𝛿𝑥𝑊𝑃

𝐴𝑤 − 𝑆𝑃)𝜙𝑃 = (Γ𝑤

𝛿𝑥𝑊𝑃𝐴𝑤)𝜙𝑊 + (

Γ𝑒𝛿𝑥𝑃𝐸

𝐴𝑒)𝜙𝐸 + 𝑆𝑢 (10)

Os coeficientes da Equação 10 podem ser identificados algebricamente da

seguinte forma:

𝑎𝑃𝜙𝑃 = 𝑎𝐸𝜙𝐸 + 𝑎𝑊𝜙𝑊 + 𝑆𝜙 (11)

onde

𝑎𝐸 =Γ𝑒𝐴𝐸

Δ𝑉𝛿𝑥𝐸; 𝑎𝑊 =

Γ𝑤𝐴𝑊

Δ𝑉𝛿𝑥𝑊; 𝑎𝑃 = 𝑎𝐸 + 𝑎𝑊; (12)

A forma da Equação 10 apresentada é para um caso unidimensional. A descrição

matemática para um caso tridimensional pode ser encontrada no Versteeg e

Malalasekera (2007).

2.2 Modelos de Turbulência

Segundo Souza et al. (2011), os movimentos turbulentos são caracterizados por

flutuações instantâneas de algumas propriedades como por exemplo: temperatura e

velocidade. E, derivado dessas flutuações, o movimento turbulento contribui no

transporte de momentum, calor e massa nos escoamentos de interesse prático. Em

escoamentos turbulentos os valores instantâneos das propriedades flutuam em torno

de um valor médio, como podemos verificar na Figura 11 a flutuação da velocidade em

torno de um valor médio.

33

Figura 11: Variação da velocidade ao longo do tempo em um escoamento turbulento


De acordo Souza et al. (2011), para a maioria dos propósitos, nos estudos de

escoamento de fluidos, conhecer o comportamento médio do escoamento é suficiente.

Reynolds (1895), sugeriu que o escoamento instantâneo desmembrasse em uma

componente média e outra componente flutuante. Essas componentes foram inseridas

nas equações das flutuações médias de Navier-Stokes, como podemos verificar nas

equações 13 a 15:

𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑡+ ∇(𝜌𝑢�� ) = −

𝜕𝑝

𝜕𝑥+ ∇ ∙ (𝜇∇𝑢) + [−

𝜕(𝜌𝑢′2 )

𝜕𝑥−

𝜕(𝜌𝑣′𝑢′ )

𝜕𝑦−

𝜕(𝜌𝑤′𝑢′ )

𝜕𝑧] + 𝑆𝑀𝑥 (13)

𝜕(𝜌𝑣)

𝜕𝑡+ ∇(𝜌𝑣�� ) = −

𝜕𝑝

𝜕𝑦+ ∇ ∙ (𝜇∇𝑣) + [−

𝜕(𝜌𝑢′𝑣′ )

𝜕𝑥−

𝜕(𝜌𝑣′2 )

𝜕𝑦−

𝜕(𝜌𝑣′𝑤′ )

𝜕𝑧] + 𝑆𝑀𝑦 (14)

𝜕(𝜌𝑤)

𝜕𝑡+ ∇(𝜌𝑤�� ) = −

𝜕𝑝

𝜕𝑧+ ∇ ∙ (𝜇∇𝑤) + [−

𝜕(𝜌𝑢′𝑤′ )

𝜕𝑥−

𝜕(𝜌𝑣′𝑤′ )

𝜕𝑦−

𝜕(𝜌𝑤′2 )

𝜕𝑧] + 𝑆𝑀𝑧 (15)

onde, �� é o vetor tridimensional de velocidades médias, formado pelas componentes

(u,v,w). (u’,v’,w’) são as flutuações das velocidades, p é a pressão, ρ a massa específica

e μ é a viscosidade do fluido. SMx, SMy e SMz são eventuais termos de geração do

34

momento. Os termos de geração do momento são acontecimentos do problema físico

ao qual a equação de Navier-Stokes não inclui, exemplo: o termo 𝑓 da Equação 1 não

está presente na Equação 13 explicitamente, mas caso o problema físico necessite

daquele termo, podemos inserir no termo de geração do momento.

As equações 13, 14 e 15 estão apontadas para aplicação em regime transiente,

mas no desenvolvimento deste trabalho essas equações foram aplicadas em regime

permanente, onde o termo variante com o tempo é igual a zero.

O tratamento estatístico da turbulência através das equações acima adiciona

termos não conhecidos que contêm o produto de quantidades flutuantes no tempo, que

agem como esforços adicionais no fluido. Esses termos, chamados de tensores de

Reynolds, são difíceis de serem determinados diretamente e, por isso, se tornam

variáveis a serem resolvidas. Esses esforços turbulentos precisam ser modelados por

equações adicionais para o sistema de equações resultantes ser determinado.

Existem inúmeros modelos de turbulência desenvolvidos e sendo aplicados em

simulação numérica. Quando se utiliza de modelos de turbulência, solicita-se que se

analise as situações sensíveis do problema, a natureza da turbulência e que a partir

disso, escolha o modelo que melhor atenda a essa necessidade.

No desenvolvimento dos estudos bibliográficos encontrou-se alguns trabalhos

que demonstraram os modelos de turbulência utilizado. Como os trabalhos de Chen e

Cheng (2016), Cornelissen, Taghipour, Escudié, Ellis e Grace (2007), Yeh, Ho e Yang

(2012) que utilizaram o modelo K – ε. Já, Al-neama, Kapur, Summers e Thompson (2017)

utilizaram o modelo k – ω. Neste trabalho foi utilizado o modelo de turbulência SST- κ –

ω e para entender melhor essa escolha, temos que explicar um pouco sobre a utilização

de uma variável bem importante na simulação de escoamentos turbulentos conhecida

como Y+.

A Figura 12 apresenta o ponto de localização do Y+ em um escoamento de

superfície plana e, de forma associativa, podemos identificar a localização também em

um escoamento em um tubo.

35

Figura 12: Localização do Y+ em uma superfície plana.

Fonte: Adaptado.

A Figura 13 apresenta uma representação da velocidade adimensional em

relação a distância adimensional em y de uma parede. Nesse gráfico, existe a

demonstração de três camadas que fazem parte da lei de parede. A primeira camada é

onde os efeitos viscosos são predominantes, a segunda camada é a região de transição,

onde não há predominância de um efeito característico e a terceira região onde os

efeitos de turbulência são mais influentes.

Figura 13: Perfil de velocidade junto a uma superfície sólida.

Fonte: Souza, Oliveira, Azevedo, Soares e Mata, 2011.

36

Na região próxima de um contorno sólido, Prandtl observou características

importantes que o fez criar uma hipótese de que o comprimento de mistura nesta região

é proporcional à distância normal à parede, de acordo com a Equação 16.

𝑙𝑚 = 𝜅 ∗ 𝑦 (16)

onde y é a distância perpendicular à parede e κ é a constante de Von Kármán, igual a

0,4.

A subcamada viscosa da camada limite turbulenta é caracterizada pela condição

de não deslizamento, onde o fluido é estacionário próximo à parede sólida. Assim,

integrando a lei da viscosidade de Newton ao longo da espessura da camada viscosa,

teremos a seguinte equação:

𝑢 =𝜏0

𝜌𝑣𝑦 (17)

onde 𝜏0 é a tensão de cisalhamento na superfície.

Uma importante relação é obtida quando se estuda a camada limite e é

conhecida como velocidade de atrito, que é expressa da seguinte forma.

𝑢∗ = √𝜏0

𝜌 (18)

Dividindo a Equação 17 pela Equação 18, teremos a seguinte relação:

𝑢

𝑢∗=

√𝜏0𝜌⁄

𝑣𝑦 = 𝑦+

(19)

Assim, temos a relação que governa a curva da subcamada viscosa. Tanto a

velocidade quanto a distância apresentam-se de forma adimensional. De acordo com a

Figura 13, a subcamada viscosa vai até y+ = 5.

Na subcamada turbulenta da camada limite é possível obter uma equação para

o perfil da velocidade, que pode ser descrita da seguinte maneira:

37

𝑢

𝑢∗=

1

𝑘∗ ln𝑦+ + 𝐶 (20)

onde 𝑘 = 0,4 e C = 5. C é uma constante de integração cujo o valor foi obtido

experimentalmente por Kundu & Cohen, (2002). Substituindo os valores é possível notar

que a Equação 20 é igual a equação da subcamada turbulenta presente na Figura 9.

A camada de transição é de difícil determinação, sendo assim, não possui uma

equação que determine o comportamento da sua curva característica. Assim, é

importante na modelagem de turbulência determinando o tamanho adequado das

células próximas às paredes do domínio. As funções de parede do modelo de turbulência

têm restrições no valor de y+ na parede. Por exemplo: o modelo k – ε padrão requer um

valor de y+ na parede entre, aproximadamente, 30 até 300. Um fluxo mais rápido perto

da parede produzirá valores mais altos de y+, portanto, o tamanho da malha próximo à

parede deve ser reduzido. Como na simulação do trabalho os valores de Y+ é inferior a

30 e o modelo de turbulência k – ε não é adequado para esses valores segundo Salim e

Cheah (2009). Então, o melhor modelo que atende a essa especificação é o SST, pois é

um modelo híbrido entre o K – ε e κ – ω. Podemos conferir na Equação 21 o modelo

matemático do Y+.

𝑦+ =𝑦𝑢∗

𝜈 (21)

onde 𝑢∗ é a velocidade de fricção, y é a distância absoluta da parede e ν é a velocidade

cinemática.

Como o modelo utilizado (SST κ – ω) é a combinação entre os modelos κ – ε e κ

– ω, serão apresentados o equacionamento dos três modelos.

38

2.2.1 Modelo κ – ε

O modelo k – ε desenvolvido por Jones e Launder (1972), é baseado no conceito

de viscosidade turbulenta (μt), no qual os termos de tensões de Reynolds são tidos como

proporcionais a uma viscosidade dinâmica, de forma análoga ao conceito original de

viscosidade. Estes termos são incluídos de acordo a Equação 22 e todos os detalhes

matemáticos do modelo de turbulência κ – ε podem ser encontrados no trabalho de

Jones e Launder (1972).

−𝜌𝑢𝑎𝑢𝑏 = 𝜇𝑡 (𝜕𝑢𝑎

𝜕𝑥𝑏+

𝜕𝑢𝑏

𝜕𝑥𝑎) −

2

3𝛿𝑎𝑏 (𝜌𝑘 + 𝜇𝑡 ∑

𝜕𝑢𝑐

𝜕𝑥𝑐

3

𝑐=1

) (22)

onde,

𝛿𝑎𝑏 = {0 𝑠𝑒 𝑎 ≠ 𝑏

1 𝑠𝑒 𝑎 = 𝑏 (23)

O segundo termo do lado direto da Equação 15, na seção 2.2, das flutuações

médias de Navier-Stokes é uma adequação para torná-la válida para o cálculo de tensões

normais.

Como definição do modelo de turbulência, κ é considerado a energia cinética

turbulenta e ε é considerada a dissipação turbulenta. A viscosidade turbulenta (μt) é

dependente, no modelo em questão, destes dois parâmetros como mostra a Equação

24.

𝜇𝑡 = 𝜌𝐶𝜇

κ2

휀 (24)

onde 𝐶𝜇 é uma constante.

Os valores de κ e ε podem ser encontrados a partir da solução das Equações 25

e 26.

𝜕(𝜌κ )

𝜕𝑡+ ∇(𝜌κ�� ) = ∇ ∙ [(𝜈 +

𝜇𝑡

𝜎κ )∇κ ] + 𝑃κ − 𝜌휀 (25)

39

𝜕(𝜌휀)

𝜕𝑡+ ∇(𝜌휀�� ) = ∇ ∙ [(𝜈 +

𝜇𝑡

𝜎𝜀)∇휀] +

휀

𝑘(𝐶𝜀1𝑃κ − 𝐶𝜀2𝜌휀) (26)

onde Cε1, Cε2, σκ, σε e Cμ são constantes do modelo de turbulência. Pκ, produção de

turbulência devido a forças viscosas, é modelado de acordo com a Equação 27.

𝑃κ = ∑ ∑ ∑ [𝜇𝑡 (𝜕𝑢𝑎

𝜕𝑥𝑏+

𝜕𝑢𝑏

𝜕𝑥𝑎)

𝜕𝑢

𝜕𝑥𝑏−

2

3

𝜕𝑢𝑐

𝜕𝑥𝑐(3𝜇𝑡

𝜕𝑢𝑐

𝜕𝑥𝑐+ 𝜌κ )]

3

𝐶=1

3

𝑏=1

3

𝑎=1

(27)

Os valores das constantes do modelo foram propostos por Launder e Sharma

(1974), como podemos verificar na Tabela 1.

Tabela 1: Constantes do modelo κ – ε.

Constante Valor

𝐶𝜀1 1,44

𝐶𝜀2 1,92

𝜎𝑘 1,0

𝜎𝜀 1,3

𝐶𝜇 0,09

Fonte: Launder e Sharma, 1974.

2.2.2 Modelo κ – ω

O modelo κ – ω desenvolvido por Wilcox (1998) foi também baseado no conceito

de viscosidade turbulenta (μt), tendo também suas tensões de Reynolds calculadas pelas

Equações 13, 14 e 15, na seção 2.2. No modelo, κ é a energia cinética turbulenta e ω é a

frequência turbulenta. A Viscosidade turbulenta neste modelo é calculada através da

relação exibida na Equação 28 e todos os detalhes matemáticos do modelo de

turbulência κ – ω podem ser encontrados no artigo Wilcox (1998).

𝜇𝑡 = 𝜌𝜅

𝜔 (28)

40

Os valores de κ e ω podem ser encontrados a partir da solução das Equações 29

e 30.

𝜕(𝜌𝜅)

𝜕𝑡+ ∇(𝜌𝜅�� ) = ∇ ∙ [(𝜈 +

𝜇𝑡

𝜎𝜅)∇𝜅] + 𝑃𝜅 − 𝛽′𝜌𝜅𝜔 (29)

𝜕(𝜌𝜔)

𝜕𝑡+ ∇(𝜌𝜔�� ) = ∇ ∙ [(𝜈 +

𝜇𝑡

𝜎𝜔)∇𝜔] + 𝛼

𝜔

𝜅𝑃𝜅 − 𝛽𝜌𝜔2 (30)

onde β', α, β, σκ e σω são constantes do modelo. Pκ, produção de turbulência devido a

forças viscosas, é modelado de forma semelhante ao modelo κ – ε, através da Equação

27.

Os valores das constantes do modelo, como também todo o detalhamento

matemático do modelo de turbulência κ – ω foram desenvolvidos por (1998), como

podemos verificar na Tabela 2.

Tabela 2: Constantes do modelo κ – ω.

Constante Valor

𝛽′ 9100⁄

𝛼 59⁄

𝛽 340⁄

𝜎𝑘 12⁄

𝜎𝜔 12⁄

Fonte: Wilcox, 1998

2.2.3 Modelo SST κ – ω (Shear Stress Transport)

O modelo SST κ – ω, elaborado por Menter (1994), faz a união da modelagem κ

– ω para as regiões próximas às superfícies e κ – ε para as regiões mais distantes da

parede. Para a combinação é utilizado o modelo κ – ω de Wilcox (1988), exibido nas

Equações 31 e 32, e uma transformação do modelo κ – ε numa formulação κ – ω, exibida

nas Equações 33 e 34.

41

𝜕(𝜌𝜅)

𝜕𝑡+ ∇(𝜌𝜅�� ) = ∇ ∙ [(𝜈 +

𝜇𝑡

𝜎𝜅1)∇𝜅] + 𝑃𝜅 − 𝛽′𝜌𝜅𝜔 (31)

𝜕(𝜌𝜔)

𝜕𝑡+ ∇(𝜌𝜔�� ) = ∇ ∙ [(𝜈 +

𝜇𝑡

𝜎𝜔1)∇𝜔] + 𝛼1

𝜔

𝜅𝑃𝜅 − 𝛽1𝜌𝜔2 (32)

𝜕(𝜌𝜔)

𝜕𝑡+ ∇(𝜌𝜔�� ) = ∇ ∙ [(𝜈 +

𝜇𝑡

𝜎𝜔1)∇𝜔] + 𝛼1

𝜔

𝜅𝑃𝜅 − 𝛽1𝜌𝜔2 (33)

𝜕(𝜌𝜔)

𝜕𝑡+ ∇(𝜌𝜔�� ) = ∇ ∙ [(𝜈 +

𝜇𝑡

𝜎𝜔2)∇𝜔] + 2𝜌

1

𝜎𝜔2𝜔∑ (

𝜕𝑘

𝜕𝑥𝑎

𝜕𝜔

𝜕𝑥𝑎) +

3

𝑎=1

𝛼2

𝜔

𝜅𝑃𝜅 − 𝛽2𝜌𝜔2 (34)

Os valores das constantes do modelo foram propostos Menter (1994), como

podemos verificar na Tabela 3.

Tabela 3: Constantes do modelo SST κ – ω.

Constante Valor

𝛽′ 0,09

𝛼1 0,31

𝛽1 0,075

𝜎𝑘1 0,85

𝜎𝜔1 0,5

𝛼2 0,44

𝛽2 0,0828

𝜎𝑘2 1

𝜎𝜔2 0,856

Fonte: Menter, 1994

O modelo de κ – ω é então multiplicado por uma função de mistura F1, o modelo

κ – ε transformado é multiplicado (1-F1), e os produtos são então somados nas

Equações 35 e 36.

𝜕(𝜌𝜅)

𝜕𝑡+ ∇(𝜌𝜅�� ) = ∇ ∙ [(𝜈 +

𝜇𝑡

𝜎𝜅3)∇𝜅] + 𝑃𝜅 − 𝛽′𝜌𝜅𝜔 (35)

42

𝜕(𝜌𝜔)

𝜕𝑡+ ∇(𝜌𝜔�� ) = ∇ ∙ [(𝜈 +

𝜇𝑡

𝜎𝜔3)∇𝜔] + 2𝜌

1

𝜎𝜔2𝜔∑ (

𝜕𝑘

𝜕𝑥𝑎

𝜕𝜔

𝜕𝑥𝑎) +

3

𝑎=1

𝛼3

𝜔

𝜅𝑃𝜅 − 𝛽3𝜌𝜔2 (36)

β' e σω2 são constantes que têm os mesmos valores indicados na Tabela 3. As constantes

do modelo SST κ – ω que possuem o índice “3” são alcançados a partir das constantes

exibidas na Tabela 3 com o auxílio da Equação 37.

𝜙3 = 𝐹1𝜙1 + (1 − 𝐹1)𝜙2 (37)

onde ϕ é uma constante, podendo ser qualquer uma das seguintes constantes: σk, σω,

α ou β.

A função de mistura 𝐹1 presente na Equação 37 é definida pela Equação 38.

𝐹1 = tanh(𝑎𝑟𝑔14)

(38)

onde arg1 é obtida pela Equação 39.

𝑎𝑟𝑔1 = 𝑚𝑖𝑛 [𝑚𝑎𝑥 (√𝜅

𝛽′𝜔𝑦𝑝;500𝜐

𝑦𝑝2𝜔

) ;4𝜌𝜅

𝐶𝐷𝜅𝜔𝜎𝜔2𝑦𝑝2] (39)

Na Equação 39, yp é a distância à parede mais próxima e o termo CDκω é definido pela

Equação 40.

𝐶𝐷𝜅𝜔 = 𝑚𝑎𝑥 (2𝜌1

𝜎𝜔2∑ (

𝜕𝜅

𝜕𝑥𝑎

𝜕𝜔

𝜕𝑥𝑎) ; 1,0𝑋10−10

3

𝑎=1

) (40)

No modelo SST κ – ω apresentado por Menter (1994) a modelagem da

viscosidade turbulenta não é idêntica àquela proposta por Wilcox (1988), no modelo κ

– ω. Para o modelo SST κ – ω utiliza-se o conceito de viscosidade cinemática turbulenta

υt, fornecida pela Equação 41.

𝜐𝑡 =𝜇𝑡

𝜌⁄ (41)

43

A viscosidade cinemática turbulenta é então obtida pela Equação 42.

𝜐𝑡 =𝑎1𝜅

𝑚𝑎𝑥(𝑎1𝜔; 𝑆𝐹2) (42)

onde S é a taxa de deformação e 𝐹2 é dada pela Equação 43.

𝐹2 = tanh(𝑎𝑟𝑔22)

(43)

sendo arg2 dado pela Equação 44.

𝑎𝑟𝑔2 = [𝑚𝑎𝑥 (√𝜅

𝛽′𝜔𝑦𝑝;500𝜐

𝑦𝑝2𝜔

)] (44)

44

3. METODOLOGIA

A fim de realizar uma análise de transferência de calor e escoamento interno em

uma serpentina, as equações de Navier-Stokes e Continuidade são utilizadas em

condição de regime permanente. Apesar da turbulência ser um fenômeno transiente o

modelo de turbulência SST κ – ω (apresentado na seção 2.2.3) modela esses termos

transientes em função da viscosidade turbulenta. Assim os resultados são vistos como

um resultado médio nos quais são contemplados os efeitos da turbulência.

3.1 Equações Matemáticas da Conservação

As equações matemáticas utilizadas no trabalho para modelar o escoamento de

fluido e a transferência de energia são apresentadas da seguinte forma:

1. Equação de Conservação da Massa

[𝜕(𝜌𝑢)

𝜕𝑥+

𝜕(𝜌𝑣)

𝜕𝑦+

𝜕(𝜌𝑤)

𝜕𝑧] = 0 (45)

onde 𝜌 e (𝑢, 𝑣, 𝑤) correspondem respectivamente à densidade e ao componente velocidade

para as direções x, y e z.

2. Equação de Quantidade de Movimento

𝜌�� + �� ∙ ∇�� = −∇𝑝 + ∇ ∙ 𝜏 + 𝑆 𝑀 (46)

onde p é a pressão, �� ao vetor velocidade, 𝑆 𝑀 representa o termo fonte do momento e o

tensor de tensões 𝜏 pode ser calculado a partir da Equação 47.

𝜏 = 𝜇 [𝛻�� + (∇�� )𝑇 −2

3𝛿∇ ∙ �� ] (47)

onde 𝛿 representa a matriz identidade e 𝜇 é a viscosidade.

45

3. Equação da Conservação de Energia

𝜌ℎ𝑡𝑜𝑡 − 𝜌 + 𝛻 ∙ (𝜌�� ℎ𝑡𝑜𝑡) = ∇ ∙ (𝜆∇Τ) + ∇ ∙ (�� ∙ 𝜏) + �� ∙ 𝑆 𝑀 + 𝑆𝐸 (48)

em que ℎ𝑡𝑜𝑡 é a inclusão do trabalho de fluxo, onde podemos calcular a partir da entalpia

estática a partir da Equação 49.

ℎ𝑡𝑜𝑡 = h +1

2𝑈2 (49)

Na Equação da energia o termo �� ∙ 𝑆 𝑀 é o trabalho devido a fontes de momento

externos, terno normalmente desconsiderado. 𝑆𝐸 é o terno fonte de energia e 𝜆

corresponde à condutividade térmica.

3.2 Acoplamento Pressão Velocidade

Os métodos de acoplamento pressão velocidade têm como objetivo transformar

a equação da conservação da massa em uma equação para a pressão. Deste modo, nos

sistemas acoplados as Equações (45) e (46) são resolvidas em um único sistema linear.

O primeiro modelo proposto para solucionar o acoplamento pressão velocidade é

apresentado por Patankar (1972), onde é composto por dois passos para solucionar o

acoplamento pressão velocidade. Esse modelo ficou conhecido como SIMPLE (Semi-

Implicit Linked Equations), onde no primeiro passo o objetivo era propor velocidades

que satisfizessem a equação da massa e no segundo passo ocorreria uma correção da

pressão. Esses passos ocorrem de forma iterativa até chegar em um ponto de

convergência. De acordo com Ansys (2011), o CFX utiliza um modelo no qual os volumes

de controle sejam idênticos para todas as equações de transporte. Conforme Patankar

(1980), esse modelo leva a um campo de pressão desacoplado. Desta forma, o CFX utiliza

o modelo de discretização proposto por Rhie e Chow (1983) que propõem uma

discretização alternativa para o fluxo de massa que evitará o desacoplamento do campo

de pressão. A Figura 14 apresenta um desenho genérico de um elemento de malha onde

as equações para solução do acoplamento pressão-velocidade ocorrem.

46

Figura 14: Elemento de malha.

Fonte: Adaptação Ansys, 2011.

Ansys (2011) afirma que a estratégia adotada pelo Ansys-CFX é aplicar a equação

da quantidade de movimento para cada ponto de integração e obter a expressão para a

velocidade do transporte de massa para esses pontos. Abaixo o modelo matemático

implementado:

𝑢𝑖,𝑖𝑝 = ��𝑖,𝑖𝑝 + 𝑓𝑖𝑝 (𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑖,𝑖𝑝| −

𝜕𝑝

𝜕𝑥𝑖,𝑖𝑝|) − 𝑐𝑖𝑝𝑓𝑖𝑝(𝑢𝑖.𝑖𝑝

° − ��𝑖,𝑖𝑝° ) (50)

sendo 𝑢 a velocidade de flutuação em um escoamento turbulento, �� é a velocidade

média de flutuação em um escoamento turbulento e o subscrito 𝑖𝑝 significa o ponto de

integração no elemento de malha.

𝑓𝑖,𝑖𝑝 = 𝑑𝑖𝑝

1 − 𝑐𝑖𝑝𝑑𝑖𝑝 (51)

𝑑𝑖𝑝 = −𝑉

𝐴 (52)

sendo V a velocidade relativa ao nó e A é a aproximação do coeficiente central da

equação de momento, excluindo o termo transiente.

47

𝑐𝑖𝑝 = 𝜌

∆𝑡 (53)

onde 𝜌 é a massa específica e ∆𝑡 é o passo de tempo. O sistema de subíndicies adotado

no Ansys(2011) refere-se i como subvolume de controle e ip ao nó local na discretização

do volume de controle.

3.3 Domínio Físico de Estudo

Com o intuito de atender aos objetivos propostos inicialmente no trabalho foi

definido um domínio físico para estudo que corresponde à região do Stave, definido de

forma retangular e a região da serpentina, definida como um corpo cilíndrico. O

domínio é delimitado na parte inferior pelo encontro de outro Stave e a altura definida

como 1640 mm. A lateral direita (face quente) tem como limite a face externa do alto-

forno e a largura de 960 mm. A espessura do Stave é de 200 mm. Uma representação

do domínio físico em estudo está ilustrada na Figura 15.

Figura 15: Modelo físico da superfície sólida do problema em estudo.

Fonte: Próprio autor.

48

3.4 Domínio Computacional

O domínio computacional é a tentativa de replicar o domínio físico em estudo.

No presente trabalho, o domínio computacional representa de forma muito semelhante

ao domínio físico da serpentina e do Stave. Para isso, primeiramente buscou-se as

dimensões do Stave e, posteriormente, as geometrias das serpentinas foram

desenhadas, utilizando o software SolidWorks 2016. As dimensões do Stave e da

geometria das serpentinas foram baseadas no trabalho de Chen e Cheng (2016) pois, o

trabalho mencionado foi baseado em um equipamento real.

Em relação a serpentina, todos os circuitos foram desenvolvidos para um

comprimento total de 10 metros. Em seguida, em uma das pontas da serpentina,

desenhamos uma circunferência de diâmetro igual a 3 milímetros como ilustrado na

Figura 16.

Figura 16: Esboço do desenho da serpentina do circuito 4. Valores em milímetro.


Logo após extrudou-se o desenho usando como base a circunferência

desenhada, desta maneira, consegue-se obter o desenho de uma serpentina, como

podemos verificar na Figura 17. Essa geometria é utilizada para iniciar o processo de

criação da malha computacional.

49

Figura 17: Esboço do desenho da serpentina no Stave.


A diversidade que os circuitos proprocionam e como esses modelos poderiam

ser implementados industrialmente fez-se necessário ajustar à necessidade para o alto-

forno. Sendo assim, o trabalho investiga dois modelos com duas serpentinas (circuitos

b e d) e dois modelos apenas com uma serpentina (circuitos a e c). Assim, é possível

comparar modelos semelhantes e modelos distintos. Os modelos podem ser observados

na Figura 18.

Figura 18: Circuitos de serpentina.


(a) (b) (c) (d)

50

Nos passos que precisam ser obedecidos para concluir o processo para realização

da simulação temos: a geração da malha computacional. Esse processo é base para a

realização de todos os cálculos computacionais para chegar em um possível resultado.

Um ponto importante para analisar na geração da malha é entender quais locais

de maior sensibilidade. No caso deste trabalho, o local mais sensível é a serpentina, pois

ocorre o escoamento interno de fluido ao mesmo tempo da transferência de calor entre

o Stave e a serpentina. Sendo assim, esse local é o que deve ser coberta por uma malha

computacional mais refinada, capaz de identificar todos os detalhes necessários para

que a simulação fique mais próxima da realidade. Na Figura 19 podemos notar esse

maior detalhamento na malha computacional.

Figura 19: Detalhamento da malha no domínio serpentina.


Quando o problema físico é de um escoamento de fluído, a região próxima à

parede, devido ao fenômeno da camada limite, requer um maior refinamento na malha,

pois nesse local os efeitos de atrito têm uma maior relevância no comportamento do

escoamento. Desta forma, a Figura 20 apresenta detalhes próximos a parede de uma

malha gerada em uma serpentina. Percebem-se camadas de elementos próximos à

parede para uma melhor resolução da camada limite.

51

Figura 20: Detalhamento da malha no domínio serpentina – região de entrada.


Na região próxima a entrada e a saída da serpentina as malhas produzidas têm

uma maior resolução para poderem predizer variações de temperatura e o fenômeno

da camada limite. A Figura 21 ilustra uma face dessa área de maior resolução.

Figura 21: Detalhamento da malha no domínio serpentina – região lateral.


Segundo Shen et al. (2020), a confiabilidade dos modelos CFD é altamente

dependente da validação com experimentos. Desta forma, as capacidades de

modelagem de CFD permanecem limitadas, embora há um progresso significativo.

52

Ademais, se faz necessário o estudo de convergência de malha, metodologia proposta

por Celik et al. (2012), para garantir que o resultado final obtido é independente da

malha computacional e auxilia no melhor uso do recurso computacional disponibilizado.

Para o estudo de convergência de malha iremos utilizar a metodologia de Celik

et al. (2012). A metodologia tem como objetivo, selecionar uma variável sensível ao

problema físico de interesse, posteriormente, selecionar três diferentes malhas, sendo

que o número de elementos seja 1,3 superior ao valor da malha anterior, e simular cada

malha desenvolvida. Quando a variável sensível não altera seu valor de forma

significativa com o incremento na robustez da malha, é estabelecido, como malha de

trabalho, a com menor número de elementos.

Tabela 4: Número e tamanho médio do elemento.

Malha 1 2 3

Número de Elementos 1.996.055 1.019.846 519.216 Tamanho médio do elemento

(mm) 3,98E-10 7,80E-10 1,53E-9


As expressões matemáticas ou valores experimentais nas situações limites de um

escoamento de um fluido são chamadas de condições de contorno. Para descrever um

problema de escoamento de fluido e transferência de calor, algumas condições de

contorno são necessárias para resolução das equações diferencias. As condições de

contorno para todas as simulações realizadas serão apresentadas abaixo:

1. Para a superfície quente do Stave de resfriamento é adotado coeficiente de

convecção de 232 W / m²K e temperatura interna de 800 ° C segundo Chen e

Cheng (2016);

2. Para a superfície fria do Stave de resfriamento é adotado um coeficiente de

convecção de 12,2 W / m²K e uma temperatura ambiente de 30 ° C segundo

Chen e Cheng (2016);

As Figura 22 e Figura 23 apresentam as condições de contorno, mencionadas

acima, para uma geometria com uma serpentina e com duas serpentinas.

53

Figura 22: Detalhamento das faces do Stave e da entrada e saída do fluído na serpentina.


Figura 23: Detalhamento da entrada e saída do fluído para um circuito com duas serpentinas.


As paredes laterais do Stave são consideradas adiabáticas na solução numérica a

ser realizada. Além disso, nenhuma condição de deslizamento foi admitida para a região

interna da serpentina. A temperatura de entrada da água foi de 27°C e sua vazão mássica

foi de 2.5 Kg/s, valores obtidos a partir do estudo Chen e Cheng (2016). Esses dados não

54

são condições de contorno, mas contribuem para a resolução numérica do problema

físico em estudo.

3.5 Modelo Numérico

Um item relevante quando se trabalha com simulação numérica é validar o

modelo numérico utilizado com um resultado analítico consolidado na literatura. Caso

os resultados tenham similaridade, os valore encontrados na simulação numérica estão

próximos dos valores encontrados na literatura, podemos afirmar que o modelo

numérico utilizado é adequado para resolução de problemas semelhantes ao proposto

na validação, caso contrário, podemos concluir que o modelo não é adequado. Neste

estudo, os itens de maior importância são o escoamento interno e a camada limite

térmica. Sendo assim, o estudo da camada limite é extremamente relevante para ter

soluções razoáveis.

Analiticamente o conceito de região hidrodinâmica completamente

desenvolvida em escoamento em tubos é consolidado academicamente. Segundo

Cengel (2012), o perfil de velocidade na região completamente desenvolvida é

parabólico em escoamento laminar e um pouco mais plano no escoamento turbulento.

Além disso, é importante mencionar sobre a tensão de cisalhamento na parede do tubo,

pois existe relação da tensão com o perfil de velocidade na superfície do tubo. A Figura

24 apresenta a variação da tensão de cisalhamento na parede em relação a região de

entrada até a região totalmente desenvolvida.

55

Figura 24: Variação da tensão de cisalhamento na parede em relação a região de entrada e totalmente desenvolvida.

Fonte: Cengel, 2012.

De acordo Cengel (2012), o comprimento de entrada, para escoamento

turbulento, é muito curto. Para escoamento de interesse prático para a engenharia, os

efeitos de entrada são insignificantes para comprimento de tubo de 10 diâmetros. Como

podemos conferir na Equação 54.

𝐿ℎ,𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡𝑜 ≈ 10𝐷 (54)

Para a configuração geométrica de um tubo com diâmetro de 0,003 m. Podemos

inferir que, o resultado analítico do comprimento hidrodinâmico, será encontrado para

uma distância de 0,03 m do tubo. No capítulo 4 será realizada uma análise quantitativa,

comparando o resultado encontrado analiticamente com o resultado computacional, e

uma análise qualitativa, onde, a partir de gráficos, iremos determinar se o

comportamento encontrado condiz com o comportamento teórico esperado.

3.6 Análise Adimensional

Para obter os resultados e respostas da problematização da distribuição da

temperatura no Stave, será feita uma análise da distribuição de uma temperatura

56

adimensional em relação a linhas extraídas dos resultados obtidos para a melhor

configuração de Stave demonstrada no capítulo 4.3 deste trabalho.

As geometrias demonstradas inicialmente foram simuladas para entender o

comportamento da distribuição da temperatura. Após esse processo, para a

identificação de um padrão de comportamento do campo de temperaturas no Stave é

utilizada uma admensionalização da temperatura dada pela Equação 55:

𝑇𝑎𝑑𝑚 = 𝑇𝑖 [𝐾] − 𝑇𝑓 [𝐾]

𝑇𝑎𝑓 [𝐾] − 𝑇𝑎 [𝐾] (55)

onde, 𝑇𝑖 é o valor em um determinado ponto da geometria, 𝑇𝑓 é a temperatura de

entrada do fluido na serpentina, 𝑇𝑎𝑓 é a temperatura interna do alto-forno e 𝑇𝑎 é a

temperatura do ambiente externo.

Para identificação de um padrão na distribuição de temperatura foram realizadas

simulações para algumas temperaturas da água e do ar. Sendo que os valores da vazão

mássica, Reynolds e da temperatura interna do alto-forno, nessas simulações, serão os

mesmos para todos os casos estudados. Assim, todos os casos simulados estão

demonstrados na Tabela 5.

Tabela 5: Casos Simulados para diferentes temperaturas da água e ar.

Temperatura

da água

Temperatura

do Ar

Temperatura

interna do alto-

forno

Caso 1 27 [°C] 30 [°C] 800 [°C]

Caso 2 47 [°C] 50 [°C] 800 [°C]

Caso 3 7 [°C] 10 [°C] 800 [°C]

Caso 4 47 [°C] 10 [°C] 800 [°C]


Por fim, partindo do conceito que a camada limite térmica tem uma grande

influência na camada limite hidrodinâmica, pois o desenvolvimento da temperatura

influencia na velocidade de escoamento. É possível que um aumento da vazão mássica

irá influenciar no comportamento da distribuição de temperatura pois, pode atingir à

57

algumas regiões de escoamento. Deste modo, serão simuladas distribuições de

temperatura para vários números de Reynolds. Todos os valores de Reynolds estudados

estarão na condição de escoamento turbulento. Essas condições estão apresentadas na

Tabela 6.

Tabela 6: Diferentes casos de vazão mássica simulados.

Temperatura

da água

Temperatura

do Ar

Temperatura

interna do alto-

forno

Número de

Reynolds

Vazão

mássica

Análise 1 27 [°C] 30 [°C] 800 [°C] 248000 5,2 [kg/s]

Análise 2 27 [°C] 30 [°C] 800 [°C] 205000 4,3 [kg/s]

Análise 3 27 [°C] 30 [°C] 800 [°C] 162000 3,4 [kg/s]

Análise 4 27 [°C] 30 [°C] 800 [°C] 119000 2,5 [kg/s]

Análise 5 27 [°C] 30 [°C] 800 [°C] 71500 2,0 [kg/s]

Análise 6 27 [°C] 30 [°C] 800 [°C] 47700 1 [kg/s]

Análise 7 27 [°C] 30 [°C] 800 [°C] 19100 0,4 [kg/s]


Um ponto importante a ser mencionado é que os valores dos coeficientes de

transferência de calor para todas as análises realizadas serão os mesmos demonstrados

na seção 3.4.

De forma a propor uma correlação entre os parâmetros estudados e o perfil de

temperatura do Stave são consideradas quatro regiões delimitadas através das a cinco

linhas expostas na Figura 25:

58

Figura 25: Demonstração das linhas implementadas no Stave para análise da distribuição de temperatura

em cada ponto no Stave.


Para esta análise os seguintes passos foram realizados:

Passo 1: Correlação entre as temperaturas adimensionais e a distância

horizontal (na Figura 25) para cada uma das linhas e para cada número de

Reynolds trabalhado;

Passo 2: Correlação entre os coeficientes das equações polinomiais

encontradas no Passo 1 e os números de Reynolds;

Passo 3: Interpolar a partir das correlações obtidas de forma a se obter

perfis de temperatura.

Para avaliar o procedimento proposto a correlação obtida será confrontada com

dados simulados para condições diferentes daquelas que levaram a concepção da

correlação. Essas condições estão descritas na Tabela 7 abaixo:

Tabela 7: Condição diferente proposto para validar correlação.

Número de

Reynolds

Vazão

mássica

Condição 1 333846 7 [kg/s]


59

4. RESULTADOS E DISCUSSÃO

4.1 Estudo de convergência de malha

A Tabela 8 apresenta os valores das temperaturas encontradas a partir da

simulação das malhas. Pode-se aferir, dos dados expostos na Tabela 8, que a diminuição

da malha computacional gera pequenas variações dos dados. A partir do entendimento

dos pontos de maior sensibilidade do problema em estudo, pode-se concluir que a

variável mais significativa é a variação da temperatura, pois o principal objetivo do

trabalho é encontrar o melhor formato de serpentina que possibilite a menor variação

de temperatura entre a parte externa do Stave e o ambiente. O fundamento da

utilização do estudo de convergência de malha é comparar os resultados com malhas

distintas e encontrar a malha que possibilite o melhor resultado com o menor recurso

computacional. Sendo assim, observar-se uma maior variação no delta de temperatura

da simulação 1 para a 2, do que da 2 em relação a 3. Outro ponto significativo é que na

simulação 2 os dados estão próximos tanto da simulação 1 como da simulação 3. Por

esse motivo, podemos constatar que a malha utilizada na simulação 2 irá atender à

necessidade qualitativa com uma malha intermediária. Um ponto importante a ser

mencionado é que na variável Temperatura de entrada o valor aferido é um ponto

posterior a entrada, pois o valor da temperatura de entrada é um dado de entrada na

simulação, portanto, tem valor constante.

Tabela 8: Teste de independência de malha.

Variáveis 1 2 3

Número de Elementos 1.996.055 1.019.846 519.216 Temperatura de entrada (°C) 44,70 44,37 44,37

Temperatura de saída (°C) 54,51 54,52 54,76 Variação da temperatura

ΔT (°C) 9,81 10,15 10,39


4.2 Avaliação do modelo numérico

A teoria sobre a camada totalmente desenvolvida em um escoamento interno é

bastante consolidada na academia e para ter bons resultados, é importante simular de

60

forma precisa os desdobramentos que ocorrem na camada limite hidrodinâmica. O

comprimento da região de entrada tem forte dependência com a característica do

escoamento se é turbulento ou laminar. Observando o caso laminar, para um duto

circular e Reynolds = 2300, temos uma relação de L/D = 140, já em relação ao

escoamento interno com turbulência tem sua camada totalmente desenvolvida de

acordo com a Equação 54 e, após a camada, teremos valores aparentemente

constantes, por exemplo: velocidade, Reynolds e etc. ÇENGEL (2012)

Aplicando o valor do diâmetro do tubo, 0,003 m, na Equação 54, temos como

valor do comprimento hidrodinâmico igual à 0,03 m. Sendo assim, desenhou-se uma

tubulação simples, Figura 26, com comprimento superior ao do comprimento

hidrodinâmico, para simular de acordo com o modelo numérico.

Figura 26: Desenho de um tubo simples com comprimento de 4 m.


No pré-processamento da simulação, foram inseridas algumas condições de

contorno necessárias para a obtenção dos resultados. Segue abaixo as condições de

contorno:

61

1. Condições de entrada – temperatura igual a 30 °C;

2. Condições de saída – pressão igual à zero;

3. Modelo numérico - k-Epsilon;

4. Condição de parede – temperatura igual a 100 °C;

5. Condição de simetria é uma paridade no comportamento fluidodinâmico entre as

partes da geometria implementada – Aplicou-se simetria em ¼ da tubulação.


De acordo com a Figura 27, comprovou-se que após o valor do comprimento

hidrodinâmico, o valor da velocidade pode ser considerado aparentemente constante.

Já na Figura 28, para várias linhas que percorrem a tubulação, após y = 0,003 m, a

velocidade se mantém constante. Então, tanto no sentido vertical como no sentido

horizontal, temos valores constantes após um determinado ponto e isso vai de encontro

o que é exposto e consolidado pela teoria utilizada.

2.50

2.70

2.90

3.10

3.30

3.50

3.70

3.90

4.10

4.30

4.50

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00

Vel

oci

dad

e [m

/s]

X [m]

Linha central Linha entre o centro e a extremidade Linha da extremidade

Figura 27: Relação da velocidade do fluido [m/s] vs comprimento do tubo [m].

62

Figura 28: Diâmetro [m] vs velocidade do fluido [m/s]


O problema em relação à simulação é que, para realizar a simulação no software

Ansys 17.1, é indicado considerar as propriedades dos fluidos constantes em relação a

temperatura. Como estamos trabalhando com transferência de calor, as propriedades

dos fluidos têm alta sensibilidade à temperatura. No objetivo de encontrar uma maneira

que comprove que a simulação com as propriedades dos fluidos constantes está correta,

utilizamos o software EES V10.644. Esse software possibilita o cálculo das propriedades

de forma iterativa para cada variação de temperatura. Assim, realizamos os cálculos de

forma interativa para encontrar o valor da temperatura final da tubulação e

comparamos com os resultados encontrados na simulação.

4.3 Simulações de variados circuitos de serpentina

A Figura 29 exibe a distribuição de temperatura em um plano central do Staves

(entre a face quente e a face fria) para os desenhos estudados (mostrado na Figura 15).

Ao fluir através do dispositivo, como esperado, a água é aquecida, influenciando a

distribuição de temperatura. A proximidade das entradas das serpentinas tem baixas

temperaturas em todos os circuitos estudados. Nos circuitos (b) e (c), ainda de acordo

com a Figura 29, picos de temperatura mais significativos são observados em regiões

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

2.50 2.70 2.90 3.10 3.30 3.50 3.70 3.90 4.10 4.30 4.50

Diâ

met

ro [

m]

Velocidade [m/s]

Corte vertical em X = 0 m Corte vertical em X = 0.3 m Corte vertical em X = 1 m

Corte vertical em X = 1.8 m Corte vertical em X = 4.4 m

63

com menor densidade serpentina e maior proximidade à saída de água, onde a

temperatura do fluido não é mais tão baixa quanto na entrada. Nos circuitos (a) e (d)

esse efeito é mitigado pela densidade serpentina mais uniforme.

Figura 29: Distribuição da temperatura na parte central do Stave.

(a) (b) (c) (d)


A Figura 30 e a Figura 31 mostram as distribuições de temperatura das faces do

Stave fria e quente, respectivamente. Nessas figuras, o sombreamento das serpentinas

é exibido para uma melhor compreensão do impacto do circuito na distribuição de

temperatura. Nos dois lados, as distribuições de temperatura são qualitativamente

semelhantes, mas as temperaturas máxima e mínima são diferentes. No lado quente, as

temperaturas variam de 127 °C a 89 °C, enquanto no lado frio, as temperaturas variam

de 88 °C a 47 °C. Pode ser visto nas Figura 30 e Figura 31 que nos circuitos (a), (b) e (c),

as regiões sólidas de temperatura mais baixa estão localizadas perto da entrada de água,

uma vez que o fluido nessa região ainda está próximo da temperatura mínima (27 °C,

temperatura de entrada). No circuito (d), no entanto, a alta densidade do tubo no centro

da geometria causa temperaturas mais baixas nessa região.

64

Figura 30: Distribuição da temperatura na parte fria do Stave.


Figura 31: Distribuição de temperatura na parte quente do Stave.

(a) (b) (c) (d)


A Tabela 9 mostra as variações de temperatura para cada circuito simulado. Os

circuitos (b) e (d) têm duas serpentinas cada, ambas representadas na Figura 23. Para

esses casos, a taxa total de transferência de calor no circuito é a soma das taxas das

serpentinas (1) e (2). Nestes casos, os circuitos (b) e (d) são encontrados os valores mais

altos da taxa total de transferência de calor na serpentina e os menores valores da taxa

de transferência de calor na face fria. Observando os circuitos (a) e (c), pode-se observar

que eles apresentam as maiores variações de temperatura do fluido de resfriamento

(a) (b) (c) (d)

65

entre a entrada serpentina e a saída serpentina (ΔT), uma vez que possuem apenas um

circuito de resfriamento, concentrado em toda a taxa de transferência de calor a um

caudal mássico mais baixo (comparado com os circuitos (b) e (d)). As taxas de

transferência de calor de face quente para todos os circuitos estudados permanecem

muito próximas, com uma variação máxima de 1,5%.

Tabela 9: Transferência de calor e temperatura da água para os diferentes circuitos de serpentina.

Serpentina ΔT (°C)

Taxa de transferência de

calor (kW)

Taxa de transferência de

calor na face quente (kW)

Taxa de transferência de calor na face fria

(kW)

Circuito a 24,26 251,58 252,17 590

Circuito b Serpentina 1 12,50 130,14

256,03 530 Serpentina 2 12,06 125,36

Circuito c 24,36 252,99 253,71 720

Circuito d Serpentina 1 11,85 123,40

253,38 530 Serpentina 2 12,46 129,46


A Figura 32 mostra as temperaturas média, máxima e mínima para a face quente,

a fria e o corpo inteiro do Stave. Observar-se que, tanto para faces frias quanto para

faces quentes, o circuito (2) apresenta as temperaturas médias mais baixas, enquanto o

circuito (3) apresenta os valores mais altos. Em ambas as faces dos circuitos (2) e (3), as

temperaturas médias estão próximas do mínimo, indicando temperaturas de pico. O

circuito (1) e o circuito (4) apresentam variações de temperatura mais baixas em ambos

os lados, o que provavelmente causará menores dilatações diferenciais e

consequentemente menores tensões mecânicas. Entre esses dois circuitos (1) e (4), o

circuito (1) apresenta variações de temperatura menores.

66

Figura 32: Temperaturas do Stave.


A Tabela 10 mostra os valores de perda de pressão para os circuitos estudados.

Como o comprimento total do circuito de resfriamento em cada circuito é constante, as

perdas de pressão em cada um dos circuitos (b) e (d) das serpentinas são menores. A

potência hidráulica de bombeamento, definida pela equação (5), também é expressa na

Tabela 10)

Tabela 10: Potência hidráulica.

Serpentina ΔP (kPa) Potência Hidráulica

(kW)

Circuito a 48,20 0,126

Circuito b Serpentina 1 28,94

0,152 Serpentina 2 29,00

Circuito c 47,23 0,124

Circuito d Serpentina 1 25,52

0,135 Serpentina 2 26,02


O circuito (b) e o circuito (d) têm a maior potência hidráulica necessária, com o

circuito (b) tendo 13% mais energia hidráulica do que o circuito (d). O circuito (a) e o

0

20

40

60

80

100

120

140

Circuito a Circuito b Circuito c Circuito d

Tem

per

atu

ra n

o S

tave

(°C

)

Circuito de serpentina

Face Fria Face quente Temperatura média por volume

67

circuito (c) têm a menor potência hidráulica necessária e, entre eles, a diferença de

potência necessária é mínima (1,6%).

4.4 Análise Adimensional

A motivação para desenvolver uma análise adimensional vem da observação em

programas auxiliares em sistema de informação. Onde, no desenvolvimento da Teoria

Geral de Sistemas (TGS) por Ludwing Von Bertallanfy, implementou-se inúmeros

sistemas que auxiliam à tomada de decisão a partir dos dados disponíveis no âmbito

estratégico das empresas.

No desenvolvimento de análises fluidodinâmicas computacionais, a variável

tempo computacional é de extrema importância, pois é dependente de inúmeros

fatores como: recurso computacional; complexidade do problema proposto; capacidade

humana e etc. No desenvolvimento das simulações para determinação da serpentina

mais adequada para um alto-forno, observou-se a possibilidade de encontrar um padrão

de comportamento na distribuição da temperatura no Stave. Uma temperatura

adimensional foi então proposta para determinada, de acordo com o intervalo entre a

temperatura máxima da face quente e a temperatura mínima da face fria do Stave, o

comportamento da temperatura sobre as regiões do artefato. Assim, os valores

encontrados na adimensionalização estariam no intervalo das temperaturas das

simulações para vários Reynolds distintos. O número de Reynolds foi escolhido como

uma variável de interesse devido a influência que esse parâmetro possui em relação a

velocidade de escoamento, distribuição de temperatura em um escoamento, entre

outros fatores importantes para determinação de um escoamento.

Inicialmente, para observação da distribuição de temperatura de forma

adimensionalizada, foi implementado 5 linhas sobre a região da face quente do Stave,

como demonstrado na página 57 – linhas na cor preta - com o objetivo de extrair os

valores da temperatura em relação ao comprimento do artefato. Esse procedimento foi

realizado para vários valores de vazão mássica, já que, esse é o único parâmetro da

equação do número de Reynolds que sofreu variação nas simulações realizadas.

68

A Figura 33 apresenta a distribuiçãx de temperatura em uma linha sobreposta ao

Stave para os casos estabelecidos na Tabela 5. Podemos identificar que o

comportamento é bem semelhante para todos os casos estudados. Além disso, a curva

do caso 2 tem comportamento igual ao da configuração do caso 4. A forma com a linha

é explicitada demonstra que existe apenas pontos máximos e mínimos diferentes entre

as curvas, mas a forma como a linha se distribui no gráfico é bastante semelhante.

Figura 33: Distribuição de temperatura sobre a linha central que divide o Stave horizontalmente.


Utilizando a Equação 55 – apresentada no capítulo 3.6 deste trabalho – no

cálculo das temperaturas adimensional, observou-se que para todas os arranjos

simulados, o comportamento gráfico é o mesmo. Em termos de temperatura

adimensional a distribuição gráfica é igual para todos os perfis de temperatura

simulados. As linhas ficam umas sobrepostas as outras, como se fossem uma. Esse

comportamento nos indica a possibilidade de encontrar um padrão de comportamento

na distribuição do perfil de temperatura. Assim, auxiliando na tentativa de encontrar

soluções em um tempo de simulação muito menor. Outro fator que vale ser destacado

é que esse comportamento é válido para todas as linhas sobreposta ao Stave.

360.0

370.0

380.0

390.0

400.0

410.0

420.0

430.0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

Tem

per

atu

ra [

K]

X [m]Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

69

Figura 34: Distribuição de temperatura utilizando a temperatura adimensional.


Após a observação que poderia existir um padrão na distribuição de temperatura

sobre o Stave, buscou-se propor uma correlação entre os parâmetros estudados

(Temperatura, vazão mássica) e o perfil de temperatura do Stave. Assim, para cada linha

horizontal sobreposta a geometria do Stave foi desenvolvida uma correlação entre a

temperatura adimensional e a distância horizontal do Stave. Essas correlações foram

alcançadas para 7 valores de Reynolds distintos como foram apresentados na Tabela 7.

A seguir é exemplificado os gráficos encontrados da correlação entre a temperatura

adimensional e a distância horizontal do Stave para a linha horizontal 1 (linha localizada

na parte superior da geometria do Stave), para todos os gráficos foram obtidos

polinômios de terceiro grau, pois eram o que melhor descreviam o comportamento da

correlação para um menor grau possível de uma equação polinomial. O resultado para

as outras linhas é demonstrado no apêndice A.

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.00 0.50 1.00 1.50 2.00

Tad

m

X [m]

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

70

Figura 35: Correlação da temperatura adimensional em relação a distância horizontal do Stave para

Reynolds igual a 248000.




y = 0.0053x3 + 0.0072x2 - 0.0235x + 0.0934R² = 0.6951

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

0.00E+002.00E-014.00E-016.00E-018.00E-011.00E+001.20E+001.40E+001.60E+001.80E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 2.48E+05

y = 0.0041x3 + 0.0116x2 - 0.0279x + 0.0975R² = 0.7102

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

0.00E+002.00E-014.00E-016.00E-018.00E-011.00E+001.20E+001.40E+001.60E+001.80E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 2.05E+05

71





y = 0.0024x3 + 0.0176x2 - 0.0338x + 0.1033R² = 0.7298

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

0.00E+002.00E-014.00E-016.00E-018.00E-011.00E+001.20E+001.40E+001.60E+001.80E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 1.62E+05

y = -0.0003x3 + 0.0269x2 - 0.0429x + 0.1127R² = 0.7545

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

1.40E-01

0.00E+002.00E-014.00E-016.00E-018.00E-011.00E+001.20E+001.40E+001.60E+001.80E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 1.19E+05

72







y = -0.0081x3 + 0.0539x2 - 0.0696x + 0.1359R² = 0.8086

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

1.40E-01

1.60E-01

0.00E+002.00E-014.00E-016.00E-018.00E-011.00E+001.20E+001.40E+001.60E+001.80E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 7.15E+04

y = -0.0128x3 + 0.0703x2 - 0.0856x + 0.1583R² = 0.8310

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

1.40E-01

1.60E-01

1.80E-01

0.00E+002.00E-014.00E-016.00E-018.00E-011.00E+001.20E+001.40E+001.60E+001.80E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 4.77E+04

73




Com os resultados encontrados no passo anterior, há 7 equações polinomiais de

terceiro grau. É preciso determinar uma correlação entre o número de Reynolds e os

coeficientes polinomiais. Deste modo, será possível determinar o comportamento da

distribuição da temperatura, sobre uma determina linha sobreposta ao Stave, a partir

do número de Reynolds. Abaixo é exemplificado a correlação encontrada para o caso da

linha horizontal 1. Os resultados para as outras linhas são demonstrados no apêndice A.

y = -0.0317x3 + 0.1297x2 - 0.1412x + 0.2338R² = 0.8716

0.00E+00

5.00E-02

1.00E-01

1.50E-01

2.00E-01

2.50E-01

0.00E+002.00E-014.00E-016.00E-018.00E-011.00E+001.20E+001.40E+001.60E+001.80E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 1.91E+04

74

Figura 42: Correlação para o coeficiente a3.




y = 8.428E-18x3 - 4.460E-12x2 + 7.883E-07x - 4.393E-02R² = 9.873E-01

-0.0350

-0.0300

-0.0250

-0.0200

-0.0150

-0.0100

-0.0050

0.0000

0.0050

0.0100

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05

Val

ore

s d

o C

oe

fici

en

te

Reynolds

Coeficiente a3

y = -2.589E-17x3 + 1.387E-11x2 - 2.506E-06x + 1.691E-01R² = 9.905E-01

0.0000

0.0200

0.0400

0.0600

0.0800

0.1000

0.1200

0.1400

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05

Val

ore

s d

o C

oe

fici

en

te

Reynolds

Coeficiente a2

75





Em Python 3 foi desenvolvido um programa, código descrito no apêndice B, para

determinar a distribuição de temperatura no Stave a partir da informação do número

de Reynolds. A Figura 46 ilustra a distribuição da temperatura em um Stave para uma

vazão de 2,5 kg/s de água. O item (a) apresenta pontos de alta temperatura nos

extremos superiores e na região um pouco superior dos extremos inferiores do artefato;

pontos de baixa temperatura na região central. Já o item (b), análise adimensional

y = 2.382E-17x3 - 1.287E-11x2 + 2.355E-06x - 1.785E-01R² = 9.918E-01

-0.1600

-0.1400

-0.1200

-0.1000

-0.0800

-0.0600

-0.0400

-0.0200

0.0000

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05

Val

ore

s d

o C

oe

fici

en

teReynolds

Coeficiente a1

y = -3.763E-17x3 + 1.941E-11x2 - 3.279E-06x + 2.845E-01R² = 9.854E-01

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05

Val

ore

s d

o C

oe

fici

en

te

Reynolds

Coeficiente a0

76

obtida a partir do Python 3, demonstra pontos de alta temperatura nos extremos

superiores, só que com mais intensidade ao ilustrado no item (a); não apresenta de

forma clara, na parte inferior do objeto, a temperatura elevada visualiza no item (a);

temperatura baixa na região central.

Figura 46: Distribuição da temperatura para uma vazão de 2,5 kg/s.

(a) (b)


As diferenças apresentadas são esperadas devido a propagação de erros que

ocorrem na tentativa de linearizar um procedimento complexo. Pode-se notar este fato

na tentativa de encontrar uma linha que obedecesse ao comportamento encontrado

nos dados extraídos da simulação em CFD. Entretanto, o comportamento não é muito

discrepante. Há muitos pontos semelhantes que podem ser de extrema importância

para auxiliar em uma tomada de decisão.

O comportamento semelhante entre as distribuições da temperatura no Ansys e

na análise adimensional já era esperado, pois foi simulado para um valor de Reynolds

dentro do intervalo de valores extraídos do Ansys. Assim, há a necessidade de avaliar a

programação implementada para um valor de Reynolds fora desse intervalo. Para

validar o resultado apresentado deve-se utilizar um valor de Reynolds fora do intervalo

e comparar a distribuição temperatura obtida pelo Ansys da distribuição, como também

da distribuição de temperatura obtida na análise adimensional. O valor de Reynolds e a

77

vazão mássica utilizadas foram apresentados na Tabela 7. Os resultados estão ilustrados

na Figura 47.

Inicialmente, deve-se destacar os pontos semelhantes entre os itens (a) e (b) da

Figura 47. Partindo desse pressuposto, há um ponto convergente na parte superior do

lado direito e na região central do Stave. Os pontos de discordância estão em dois picos

de temperatura na região inferior do Stave que a análise adimensional não consegue

identificar; ao pico de temperatura na parte superior do lado esquerdo do Stave onde

existe um aumento de temperatura na análise adimensional, mas não chega a ser um

pico de temperatura como encontrado na simulação em CFD.

Figura 47: – Distribuição da temperatura para uma vazão 7 kg/s.

(a) (b)


Uma outra forma de avaliar a performance dos resultados obtidos é observar a

discrepância entre os valores da temperatura máxima e da temperatura mínima. A

discrepância entre a temperaturas máximas é de 5,86 % e entre as temperaturas

mínimas é de 2,21 %. Pode-se concluir que os valores encontrados não estão tão

discrepantes, pois, percentualmente, os valores encontrados são aceitáveis, como

demonstrado na Tabela 11.

78

Tabela 11: Comparações das temperaturas máximas e mínimas da simulação no Ansys com a Análise

Adimensional no Python

Variável/ Programas

Temperatura Máxima [K]

Temperatura Mínima [K]

Amplitude da Temperatura [K]

Simulação Numérica

372,18 350,25 21,93

Correlação 394,00 358,00 36,00 Discrepância

percentual [%] 5,86 2,21


O tempo de simulação é um importante fator para uma tomada de decisão em

um sistema industrial. As simulações em CFD, com os parâmetros apresentados no

trabalho, duram cerca de 11 horas e 24 minutos. Já o tempo de resposta para a análise

adimensional necessita cerca de 1 minuto. Portanto, para uma tomada de decisão

rápida, a resposta da análise adimensional seria a mais indicada. Só que, caso a física

estudada para simulação seja algo novo, não há condições de se utilizar, inicialmente, a

análise adimensional, pois a metodologia emprega no trabalho foi baseada em estudos

preliminares de simulações utilizando simulações em CFD.

79

5. CONCLUSÃO E SUGESTÕES DE TRABALHOS FUTUROS

5.1 Conclusão

A partir de referência bibliográfica foi possível identificar condições de contorno

adequadas a operação industrial de um alto-forno. Diferentes circuitos de resfriamento

foram também identificados apesar de serem extraídos de outra aplicação tecnológica,

uma vez que com variação de circuitos de Stave não foram identificados em literatura.

As equações de Navier – Stokes são equações diferenciais que descrevem o

escoamento de fluidos e sua resolução analítica é de difícil solução. Assim, é necessário

reescrevê-la em forma algébrica e resolvê-la utilizando algum método de discretização.

O método de discretização por Volumes Finitos é bastante utilizado para encontrar

soluções para escoamentos turbulentos. No modelo de turbulência utilizado neste

trabalho foi o SST κ – ω, pois incorpora a solução após a camada limite do modelo de

turbulência k – ε e a solução da camada limite proposta pelo modelo de turbulência κ –

ω e as simulações utilizando modelo de turbulência SST κ – ω apresentou bons

resultados.

A partir das conclusões anteriores, quatro diferentes circuitos de serpentina para

alto-forno foram simulados e conclui-se que o circuito com duas serpentinas que não

estão disposta paralelamente é o mais adequado para ser implementando. A

comparação de desempenho das quatro configurações no Stave apresentou os

seguintes com os principais resultados:

O circuito com duas serpentinas disposta paralelamente e o circuito com uma

serpentina com entrada e saída pela lateral do Stave apresentam picos de

temperatura e variações de temperatura maiores, o que pode levar a fragilidades

estruturais.

Os circuitos com serpentinas dupla requerem maior potência de bombeamento

do que os modelos de bobina única.

O circuito com uma serpentina com entrada e saída pela lateral do Stave

apresenta temperaturas mais uniformes e menores perdas de carga e, a priori, é

o melhor projeto. Deve-se considerar, no entanto, que o circuito com duas

serpentinas que não estão disposta paralelamente possui duas bobinas, o que

80

pode torná-lo mais robusto operacionalmente, pois a falha de um dos circuitos

de resfriamento é menos prejudicial do que as situações com apenas um circuito.

No estudo de diferentes temperaturas observou-se que o comportamento em

termos de temperatura adimensional é igual para todos os casos. Além disso, foram

analisados vários números de Reynolds em simulações em CFD e constatou-se que as

temperaturas adimensionais no Stave demonstraram ser dependentes apenas do

número de Reynolds. Ademais, foi realizada um estudo de correlações para

posteriormente realizar uma análise adimensional. Foram analisados os resultados a

partir da comparação de uma simulação em CFD e uma análise adimensional.

Primeiramente, uma comparação para uma vazão mássica de 2,5 kg/s. Verificou-se que

existem pontos semelhantes e poucos que necessitam de ajuste para melhor descrever

o comportamento da temperatura ao longo do Stave nos resultados encontrados.

Entretanto, constatou-se que os resultados foram próximos em vários pontos do Stave.

Posteriormente, foi realizado simulações para um Reynolds fora do intervalo de

Reynolds de onde os dados foram extraídos e observou-se que os resultados foram

semelhantes e com discrepância abaixo de 10% tanto para temperatura máxima, como

também para temperatura mínima.

Por fim, os resultados obtidos comprovam que as variações de circuitos de

serpentina podem ser úteis para determinar uma melhor configuração para

resfriamento de um determinado sistema. A análise adimensional realizada apresentou

soluções um pouco discrepantes a encontrada em simulação CFD, mas com resposta

mais rápida e com possibilidade de ser útil em casos que necessite de um tempo de

resposta mais célere.

5.2 Sugestões para trabalhos futuros

Para futuros avanços sugere-se as seguintes considerações:

Para tornar os resultados mais robusto, é sugerido um experimento com a

serpentina escolhida para ratificar os resultados encontrados na simulação

fluidodinâmica e torná-los mais confiáveis.

81

Em relação aos resultados encontrados na análise adimensional, sugere-se a

análise de mais linhas de distribuição de temperatura, pois isso poderia

aproximar ainda mais o comportamento da interpolação de temperaturas

adimensionais aos resultados simulados via CFD.

Outra sugestão é incluir mais variáveis mais variáveis no estudo paramétrico.

Destra forma, seria possível propor correlações para situações mais diversas de

operação no alto-forno.

82

6. REFERÊNCIAS

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86

PRODUÇÃO TÉCNICA E CIENTÍFICA

1. REIS, P. R. S.; TOFANELI, L. A. ; SANTOS, A. A. B. ; OLIVEIRA, T. D. . COMPUTATIONAL

SIMULATION ON THE PERFORMANCE IN THE COOLING STAVE DESIGN OF BLAST

FURNACE. In: 25th ABCM International Congress of Mechanical Engineering - COBEM

2019, 2019, Uberlândia. 25th ABCM International Congress of Mechanical Engineering.

Rio de Janeiro: ABCM, 2019. v. 1. p. 1-7.

APÊNDICE A

Linha Horizontal 2

Figura A1: Correlação da temperatura adimensional em relação a distância horizontal do Stave para 7 Reynolds distintos para linha horizontal 2.

(a) (b)

Fonte: Próprio autor. Fonte: Próprio autor.

y = -0.0135x3 + 0.0596x2 - 0.0649x + 0.0923R² = 0.7902

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 2.48E+05

y = -0.0139x3 + 0.0608x2 - 0.0662x + 0.0959R² = 0.7953

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 2.05E+05

88

(c) (d)


(e)

(f)


y = -0.0143x3 + 0.0625x2 - 0.0684x + 0.1011R² = 0.8028

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 1.62E+05

y = -0.0149x3 + 0.0655x2 - 0.0724x + 0.1097R² = 0.8139

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 1.19E+05

y = -0.0191x3 + 0.0821x2 - 0.0912x + 0.1317R² = 0.8552

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

1.40E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 7.15E+04

y = -0.0186x3 + 0.0833x2 - 0.0953x + 0.1525R² = 0.8555

0.00E+00

5.00E-02

1.00E-01

1.50E-01

2.00E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 4.77E+04

89

(g)


y = -0.0261x3 + 0.1074x2 - 0.1205x + 0.2239R² = 0.8860

0.00E+00

5.00E-02

1.00E-01

1.50E-01

2.00E-01

2.50E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 1.91E+04

90

Figura A2: Correlação para os coeficientes da equação polinomial para linha horizontal 2.

(a) (b)



(c) (d)


y = 2.645E-18x3 - 1.431E-12x2 + 2.587E-07x - 2.988E-02R² = 9.508E-01

-0.0300

-0.0250

-0.0200

-0.0150

-0.0100

-0.0050

0.0000

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05

Val

ore

s d

o C

oe

fici

en

te

ReynoldsCoeficiente a3

y = -7.544E-18x3 + 4.417E-12x2 - 8.801E-07x + 1.211E-01R² = 9.754E-01

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05

Val

ore

s d

o C

oe

fici

en

te

Reynolds

Coeficiente a2

y = 7.649E-18x3 - 4.673E-12x2 + 9.766E-07x - 1.362E-01R² = 9.869E-01

-0.1400

-0.1200

-0.1000

-0.0800

-0.0600

-0.0400

-0.0200

0.0000

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05

Val

ore

s d

o C

oe

fici

en

te


y = -3.553E-17x3 + 1.834E-11x2 - 3.096E-06x + 2.717E-01R² = 9.851E-01

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05V

alo

res

do

Co

efi

cie

nte

Reynolds

Coeficiente a0

91

Linha Horizontal 3


(a) (b)


y = 0.0070x3 + 0.0088x2 - 0.0379x + 0.0906R² = 0.8335

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 2.48E+05

y = 0.0068x3 + 0.0102x2 - 0.0398x + 0.0940R² = 0.8388

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 2.05E+05

92

(c) (d)



(e) (f)


y = 0.0072x3 + 0.0104x2 - 0.0409x + 0.0985R² = 0.8396

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 1.62E+05

y = 0.0075x3 + 0.0113x2 - 0.0431x + 0.1060R² = 0.8430

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X[m]

Reynolds 1.19E+05

y = 0.0078x3 + 0.0153x2 - 0.0503x + 0.1243R² = 0.8600

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

1.40E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 7.15E+04

y = 0.0073x3 + 0.0193x2 - 0.0560x + 0.1443R² = 0.8699

0.00E+00

5.00E-02

1.00E-01

1.50E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00Ta

dm

X [m]

Reynolds 4.77E+04

93

(g)


y = 0.0050x3 + 0.0299x2 - 0.0673x + 0.2095R² = 0.8860

1.70E-01

1.75E-01

1.80E-01

1.85E-01

1.90E-01

1.95E-01

2.00E-01

2.05E-01

2.10E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 1.91E+04

94


(a) (b)



(c) (d)


y = 1.830E-18x3 - 8.488E-13x2 + 1.132E-07x + 3.318E-03R² = 9.399E-01

0.0000

0.0020

0.0040

0.0060

0.0080

0.0100

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05

Val

ore

s d

o C

oe

fici

en

te

Reynolds

Coeficiente a3

y = -5.927E-18x3 + 3.035E-12x2 - 5.070E-07x + 3.808E-02R² = 9.956E-01

0.0000

0.0100

0.0200

0.0300

0.0400

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05

Val

ore

s d

o C

oe

fici

en

te

Reynolds

Coeficiente a2

y = 5.173E-18x3 - 2.872E-12x2 + 5.505E-07x - 7.665E-02R² = 9.997E-01

-0.0800

-0.0600

-0.0400

-0.0200

0.0000

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05

Val

ore

s d

o C

oe

fici

en

te

Reynolds

Coeficiente a1y = -3.353E-17x3 + 1.718E-11x2 - 2.866E-06x + 2.538E-01

R² = 9.846E-01

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05V

alo

res

do

Co

efi

cie

nte

Reynolds

Coeficiente a0

95

Linha Horizontal 4


(a) (b)


y = -0.0116x3 + 0.0556x2 - 0.0601x + 0.0891R² = 0.8039

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 2.48E+05

y = -0.0115x3 + 0.0562x2 - 0.0611x + 0.0922R² = 0.8126

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 2.05E+05

96

(c) (d)



(e) (f)


y = -0.0109x3 + 0.0559x2 - 0.0617x + 0.0965R² = 0.8215

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 1.62E+05

y = -0.0099x3 + 0.0552x2 - 0.0619x + 0.1035R² = 0.8336

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 1.19E+05

y = -0.0083x3 + 0.0536x2 - 0.0621x + 0.1196R² = 0.8505

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

1.40E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 7.15E+04

y = -0.0067x3 + 0.0522x2 - 0.0619x + 0.1377R² = 0.8694

0.00E+00

5.00E-02

1.00E-01

1.50E-01

2.00E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00Ta

dm

X [m]

Reynolds 4.77E+04

97

(g)


y = -0.0008x3 + 0.0397x2 - 0.0495x + 0.1952R² = 0.9097

0.00E+00

5.00E-02

1.00E-01

1.50E-01

2.00E-01

2.50E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 1.91E+04

98


(a) (b)



(c) (d)


y = 6.302E-18x3 - 3.153E-12x2 + 4.889E-07x + 3.277E-02R² = 9.329E-01

0.0000

0.0200

0.0400

0.0600

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05

Val

ore

s d

o C

oe

fici

en

te

Reynolds

Coeficiente a2

y = -6.949E-18x3 + 3.363E-12x2 - 4.782E-07x - 4.301E-02R² = 8.612E-01

-0.0700

-0.0600

-0.0500

-0.0400

-0.0300

-0.0200

-0.0100

0.0000

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05

Val

ore

s d

o C

oe

fici

en

te


y = -2.624E-17x3 + 1.324E-11x2 - 2.236E-06x + 2.268E-01R² = 9.422E-01

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05V

alo

res

do

Co

efi

cie

nte

Reynolds

Coeficiente a0

y = -2.714E-18x3 + 1.415E-12x2 - 2.432E-07x + 2.867E-03R² = 9.782E-01

-0.0140

-0.0120

-0.0100

-0.0080

-0.0060

-0.0040

-0.0020

0.0000

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05

Val

ore

s d

o C

oe

fici

en

te


99

Linha Horizontal 5


(a) (b)


y = 0.0138x3 - 0.0243x2 + 0.0098x + 0.0867R² = 0.6612

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 2.48E+05

y = 0.0140x3 - 0.0247x2 + 0.0106x + 0.0895R² = 0.6885

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 2.05E+05

100

(c) (d)



(e) (f)


y = 0.0146x3 - 0.0261x2 + 0.0122x + 0.0937R² = 0.7253

9.00E-02

9.50E-02

1.00E-01

1.05E-01

1.10E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 1.62E+05

y = 0.0160x3 - 0.0296x2 + 0.0158x + 0.1003R² = 0.7866

0.00E+00

2.00E-02

4.00E-02

6.00E-02

8.00E-02

1.00E-01

1.20E-01

1.40E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 1.19E+05

y = 0.0192x3 - 0.0383x2 + 0.0234x + 0.1156R² = 0.8415

1.10E-01

1.15E-01

1.20E-01

1.25E-01

1.30E-01

1.35E-01

1.40E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00

Tad

m

X [m]

Reynolds 7.15E+04

y = 0.0207x3 - 0.0420x2 + 0.0281x + 0.1330R² = 0.8977

0.00E+00

5.00E-02

1.00E-01

1.50E-01

2.00E-01

0.00E+00 5.00E-01 1.00E+00 1.50E+00 2.00E+00Ta

dm

X [m]

Reynolds 4.77E+04

101

(g)


y = 0.0262x3 - 0.0607x2 + 0.0541x + 0.1875R² = 0.966

0.00E+00

5.00E-02

1.00E-01

1.50E-01

2.00E-01

2.50E-01

0.00E+002.00E-014.00E-016.00E-018.00E-011.00E+001.20E+001.40E+001.60E+001.80E+00

Reynolds 1.91E+04

102


(a) (b)


(c) (d)


y = -1.781E-18x3 + 1.061E-12x2 - 2.179E-07x + 2.966E-02R² = 9.922E-01

0.0000

0.0100

0.0200

0.0300

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05

Val

ore

s d

o C

oe

fici

en

te

Reynolds

Coeficiente a3

y = 7.012E-18x3 - 3.905E-12x2 + 7.311E-07x - 7.193E-02R² = 9.845E-01

-0.0700

-0.0600

-0.0500

-0.0400

-0.0300

-0.0200

-0.0100

0.0000

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05

Val

ore

s d

o C

oe

fici

en

te


y = -1.190E-17x3 + 6.150E-12x2 - 1.038E-06x + 6.954E-02R² = 9.729E-01

0.0000

0.0200

0.0400

0.0600

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05

Val

ore

s d

o C

oe

fici

en

te

Reynolds

Coeficiente a1y = -2.796E-17x3 + 1.435E-11x2 - 2.403E-06x + 2.247E-01

R² = 9.851E-01

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.00E+00 5.00E+04 1.00E+05 1.50E+05 2.00E+05 2.50E+05 3.00E+05V

alo

res

do

Co

efi

cie

nte

Reynolds

Coeficiente a0

APÊNDICE B

# -*- coding: utf-8 -*- """ Created on Tue Apr 14 10:17:32 2020 @author: Paulo Reis """ import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from itertools import zip_longest from matplotlib import cm import math # Programa para criação de polinômios - A base da metodologia é a criação de equações polinomiais # a partir do número de Reynolds e posteriormente da posição em x no Stave. Então, este programa # irá possibilitar a criação desses polinômios obtidos a partir do tratamento de dados no Excel. class Polynomial: def __init__(self, *coefficients): """ input: coefficients are in the form a_n, ...a_1, a_0 """ self.coefficients = list(coefficients) # tuple is turned into a list def __repr__(self): """ method to return the canonical string representation of a polynomial. """ return "Polynomial" + str(self.coefficients) def __call__(self, x): res = 0 for coeff in self.coefficients: res = res * x + coeff return res def degree(self): return len(self.coefficients) def __add__(self, other): c1 = self.coefficients[::-1] c2 = other.coefficients[::-1] res = [sum(t) for t in zip_longest(c1, c2, fillvalue=0)] return Polynomial(*res[::-1]) def __sub__(self, other): c1 = self.coefficients[::-1] c2 = other.coefficients[::-1] res = [t1-t2 for t1, t2 in zip_longest(c1, c2, fillvalue=0)] return Polynomial(*res[::-1]) def gerar_func(Re):

104

#Coeficientes obtidos a partir da relação entre os coeficientes obtidos da relação da # temperatura adimensional e a posição - e o número de Reynolds" "Coeficiente a0" a0coefa0 = [2.845*10**-1, 2.717*10**-1, 2.538*10**-1, 2.268*10**-1, 2.247*10**-1] a0coefa1 = [-3.279*10**-6, -3.096*10**-6, -2.866*10**-6, -2.236*10**-6, -2.403*10**-6] a0coefa2 = [1.941*10**-11, 1.834*10**-11, 1.718*10**-11, 1.324*10**-11, 1.435*10**-11] a0coefa3 = [-3.763*10**-17, -3.553*10**-17, -3.353*10**-17, -2.624*10**-17, -2.796*10**-17] "Coeficiente a1" a1coefa0 = [-1.785*10**-1, -1.362*10**-1, -7.665*10**-2, -4.301*10**-2, 6.945*10**-2] a1coefa1 = [2.355*10**-6, 9.766*10**-7, 5.505*10**-7, -4.782*10**-7, -1.038*10**-6] a1coefa2 = [-1.287*10**-11, -4.673*10**-12, -2.872*10**-12, 3.363*10**-12, 6.150*10**-12] a1coefa3 = [2.382*10**-17, 7.649*10**-18, 5.173*10**-18, -6.949*10**-18, -1.190*10**-17] "Coeficiente a2" a2coefa0 = [1.691*10**-1, 1.211*10**-1, 3.808*10**-2, 3.277*10**-2, -7.193*10**-2] a2coefa1 = [-2.506*10**-6, -8.801*10**-7, -5.070*10**-7, 4.889*10**-7, 7.311*10**-7] a2coefa2 = [1.387*10**-11, 4.417*10**-12, 3.035*10**-12, -3.153*10**-12, -3.905*10**-12] a2coefa3 = [-2.589*10**-17, -7.544*10**-18, -5.927*10**-18, 6.302*10**-18, 7.012*10**-18] "Coeficiente a3" a3coefa0 = [-4.393*10**-2, -2.988*10**-2, 3.318*10**-3, 2.867*10**-3, 2.966*10**-2] a3coefa1 = [7.883*10**-7, 2.587*10**-7, 1.132*10**-7, -2.432*10**-7, -2.179*10**-7] a3coefa2 = [-4.460*10**-12, -1.431*10**-12, -8.488*10**-13, 1.415*10**-12, 1.061*10**-12] a3coefa3 = [8.428*10**-18, 2.645*10**-18, 1.830*10**-18, -2.714*10**-18, -1.781*10**-18] # Formação da equação polinomial para uma determinada posição de y no Stave # h é em função de Reynolds h1_a0 = Polynomial(a0coefa3[0], a0coefa2[0], a0coefa1[0], a0coefa0[0]) h1_a1 = Polynomial(a1coefa3[0], a1coefa2[0], a1coefa1[0], a1coefa0[0]) h1_a2 = Polynomial(a2coefa3[0], a2coefa2[0], a2coefa1[0], a2coefa0[0]) h1_a3 = Polynomial(a3coefa3[0], a3coefa2[0], a3coefa1[0], a3coefa0[0]) h2_a0 = Polynomial(a0coefa3[1], a0coefa2[1], a0coefa1[1], a0coefa0[1]) h2_a1 = Polynomial(a1coefa3[1], a1coefa2[1], a1coefa1[1], a1coefa0[1]) h2_a2 = Polynomial(a2coefa3[1], a2coefa2[1], a2coefa1[1], a2coefa0[1]) h2_a3 = Polynomial(a3coefa3[1], a3coefa2[1], a3coefa1[1], a3coefa0[1]) h3_a0 = Polynomial(a0coefa3[2], a0coefa2[2], a0coefa1[2], a0coefa0[2]) h3_a1 = Polynomial(a1coefa3[2], a1coefa2[2], a1coefa1[2], a1coefa0[2]) h3_a2 = Polynomial(a2coefa3[2], a2coefa2[2], a2coefa1[2], a2coefa0[2]) h3_a3 = Polynomial(a3coefa3[2], a3coefa2[2], a3coefa1[2], a3coefa0[2]) h4_a0 = Polynomial(a0coefa3[3], a0coefa2[3], a0coefa1[3], a0coefa0[3]) h4_a1 = Polynomial(a1coefa3[3], a1coefa2[3], a1coefa1[3], a1coefa0[3]) h4_a2 = Polynomial(a2coefa3[3], a2coefa2[3], a2coefa1[3], a2coefa0[3]) h4_a3 = Polynomial(a3coefa3[3], a3coefa2[3], a3coefa1[3], a3coefa0[3]) h5_a0 = Polynomial(a0coefa3[4], a0coefa2[4], a0coefa1[4], a0coefa0[4]) h5_a1 = Polynomial(a1coefa3[4], a1coefa2[4], a1coefa1[4], a1coefa0[4]) h5_a2 = Polynomial(a2coefa3[4], a2coefa2[4], a2coefa1[4], a2coefa0[4]) h5_a3 = Polynomial(a3coefa3[4], a3coefa2[4], a3coefa1[4], a3coefa0[4]) #"Input do valor de Reynolds desejado"

105

#Re = int(input("Digite o valor do Reynolds: ")) #Re_s = str(Re) "Calculo dos coeficientes que faram parte da equação polinomial" F1 = h1_a0(Re) F2 = h1_a1(Re) F3 = h1_a2(Re) F4 = h1_a3(Re) F5 = h2_a0(Re) F6 = h2_a1(Re) F7 = h2_a2(Re) F8 = h2_a3(Re) F9 = h3_a0(Re) F10 = h3_a1(Re) F11 = h3_a2(Re) F12 = h3_a3(Re) F13 = h4_a0(Re) F14 = h4_a1(Re) F15 = h4_a2(Re) F16 = h4_a3(Re) F17 = h5_a0(Re) F18 = h5_a1(Re) F19 = h5_a2(Re) F20 = h5_a3(Re) # Formação da equação polinomial da temperatura adimensional em relação a posição y = Polynomial(F4, F3, F2, F1) y_1 = Polynomial(F8, F7, F6, F5) y_2 = Polynomial(F12, F11, F10, F9) y_3 = Polynomial(F16, F15, F14, F13) y_4 = Polynomial(F20, F19, F18, F17) "Variação dos valores de X (posição no Stave)" #X1 = np.linspace(2.655*10**-2, 1.67*10**0, 100, endpoint=True) "Obtenção dos valores da equação polinomial em cada ponto" """ G1 = y(X1) G2 = y_1(X1) G3 = y_2(X1) G4 = y_3(X1) G5 = y_4(X1) "Programa para plotar as curvas de cada posição de y em relação o Reynolds desejado" titulo = 'Re = ' + Re_s plt.suptitle(titulo,fontsize=18, color = 'r') plt.plot(X1, G1, label="Horizontal 1") plt.plot(X1, G2, label="Horizontal 2") plt.plot(X1, G3, label="Horizontal 3") plt.plot(X1, G4, label="Horizontal 4") plt.plot(X1, G5, label="Horizontal 5") plt.legend() plt.show()

106

""" return [y,y_1,y_2,y_3,y_4] def identificar_regiao(y): if y>=0 and y<0.24: return "Regiao 1" elif y>=0.24 and y<0.48: return "Regiao 2" elif y>=0.48 and y<0.72: return "Regiao 3" else: # y>=0.72 and y<=0.96: return "Regiao 4" def t_admensional(x,y,Re): """ Re = 205000 x = 1.0 y = 0.2 """ equacoes = gerar_func(Re) regiao = identificar_regiao(y) if regiao == "Regiao 1": pol_1 = equacoes[0] y_1 = 0 pol_2 = equacoes[1] y_2 = 0.24 if regiao == "Regiao 2": pol_1 = equacoes[1] y_1 = 0.24 pol_2 = equacoes[2] y_2 = 0.48 if regiao == "Regiao 3": pol_1 = equacoes[2] y_1 = 0.48 pol_2 = equacoes[3] y_2 = 0.72 if regiao == "Regiao 4": pol_1 = equacoes[3] y_1 = 0.72 pol_2 = equacoes[4] y_2 = 0.96 val_1 = pol_1(x) val_2 = pol_2(x) val = val_1 + ((y - y_1)/(y_2 - y_1))*(val_2 - val_1) return val nx = 100 ny = 100 rho = 997 #[Kg/m³] vaz = 1.5 #[kg/s] Q = vaz/rho #[m³/s] diam = 0.03 #[m]

107

A = ((diam*diam)*math.pi)/4 #[m²] visc_cinem = 1.00E-6 Re = (Q*diam)/(visc_cinem*A) Re_1 = round(Re,0) Re_2 = repr(Re_1) x = np.arange(0,1.8,0.01) y = np.arange(0.0,0.96,0.01) X, Y = np.meshgrid(x,y) #Z = t_admensional(X,Y,Re) t = np.empty([x.size,y.size]) #x = np.empty(nx) #y = np.empty(ny) # # for i in range(x.size): # x[i] = 0 + i*(1.64 - 0)/(nx - 1) for j in range(y.size): # y[j] = 0 + j*(0.96 - 0)/(ny - 1) t[i,j] = t_admensional(x[i],y[j],Re)*(1073-303) + 300 t = np.transpose(t) fig=plt.figure(figsize=[16,10]) plt.contour(X,Y,t,20, colors = 'k') plt.contourf(X,Y,t,20, cmap= cm.jet) #plt.contourf(X,Y,t) fig.suptitle(' Distribuição da temperatura para Reynolds = ' + Re_2) plt.xlabel('x (m)') plt.ylabel('y (m)') plt.xticks(np.arange(0, 1.8, 0.2)) plt.yticks(np.arange(0, 0.96,0.1)) plt.colorbar()

centro universitÁrio senai cimatec programa de pÓs

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