centro de pesquisas e desenvolvimento … para anÁlise e projeto de dutos submarinos submetidos a...
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METODOGIA PARA ANÁLISE E PROJETO DE DUTOS SUBMARINOS
SUBMETIDOS A ALTAS PRESSÕES E TEMPERATURAS VIA APLICAÇÃO DO
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Carlos de Oliveira Cardoso
TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS
PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE
FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS
NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE DOUTOR EM CIÊNCIAS
EM ENGENHARIA CIVIL.
Aprovada por:
________________________________________________
Prof. Webe João Mansur, Ph.D.
________________________________________________ Dr. Álvaro Maia da Costa, D.Sc.
________________________________________________ Dr. Marcio Martins Mourelle, D.Sc.
________________________________________________ Prof. Breno Pinheiro Jacob, D.Sc.
________________________________________________ Prof. Marcos Queija de Siqueira, D.Sc.
________________________________________________ Prof. Otto Corrêa Rotunno Filho, Ph. D.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
ABRIL DE 2005
CARDOSO, CARLOS DE OLIVEIRA
Aplicação do Método dos Elementos Finitos na
Avaliação do Comportamento Estrutural de Dutos
Aquecidos [Rio de Janeiro] 2005
XIII, 570 p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, D.SD.,
Engenharia Civil, 2005)
Tese - Universidade Federal do Rio de
Janeiro, COPPE
1. Elementos Finitos
2. Dutos aquecidos
3. Interação solo-duto
4. Plasticidade
5. Não-linearidade geométrica
6. Flambagem local
7. Fadiga
I. COPPE/UFRJ II. Título ( série )
ii
A MINHA FAMÍLIA E AO MEU AMOR CAMILA,
iii
AGRADECIMENTOS
À Petróleo Brasileiro S.A, que através do Centro de Pesquisa e Desenvolvimento
Leopoldo A. Miguez de Mello (CENPES), e ao CNPQ, que proporcionaram a
oportunidade de desenvolver este trabalho.
Aos meus Orientadores, Álvaro Maia da Costa (CENPES), que literalmente me adotou
sempre me incentivando e apoiando, e Webe João Mansur (COPPE), pela atenção,
ajuda e amizade durante o desenvolvimento desta tese.
Ao professor Raimundo de Oliveira, um grande amigo que forneceu uma ajuda
inestimável a qual tenho enorme gratidão.
Aos colegas de trabalho Cláudio dos Santos Amaral, Renato Seixas, Edgard Poiate e
Alejandro Andueza, e demais pela ajuda e amizade.
Ao colega de tese Marcos Denício de Souza que partilhou desta caminhada, e mesmo
enfrentando alguns contratempos persistiu até o fim no seu objetivo.
iv
Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários
para a obtenção do grau de Doutor em Ciências (D.SD.)
METODOGIA PARA ANÁLISE E PROJETO DE DUTOS SUBMARINOS
SUBMETIDOS A ALTAS PRESSÕES E TEMPERATURAS VIA APLICAÇÃO DO
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
Carlos de Oliveira Cardoso
Abril/2005
Orientadores: Webe João Mansur
Álvaro Maia da Costa
Programa: Engenharia Civil
Este trabalho apresenta os avanços recentes na avaliação do comportamento
estrutural de dutos aquecidos, em especial de dutos submarinos, que são mais
suscetíveis ao fenômeno de flambagem termomecânica por serem apoiados sobre o leito
marinho, devendo ser dimensionados através de estados limites que considerem o efeito
de deformações acima do limite de escoamento do material.
Para avaliar o comportamento estrutural de dutos submarinos aquecidos foram
implementadas rotinas no programa AEEPECD que permitam tratar as não-linearidades
físico-geométricas envolvidas durante o processo de flambagem termomecânica, assim
como o efeito acoplado momento-pressão e leis constitutivas para a interação solo-duto
que permitam avaliar o efeito de valas escavadas no leito marinho.
São avaliados os estados limites de flambagem local e fadiga devido aos ciclos de
aquecimento/pressurização e desaquecimento/depressurização em dutos submarinos
apoiados sobre pisos argilosos, comuns na Bacia de Campos. O programa ABAQUS e
formulações analíticas são utilizados nas comparações realizadas com o programa
AEEPECD na validação dos modelos implementados.
v
Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Doctor of Science (D.SD.)
METODOLOGY FOR ANALYSIS AND PROJECT OF HIGH
PRESSURE/TEMPERATURE (HP/HT) PIPELINES BY APPLICATION
OF FINITE ELEMENT METHOD
Carlos de Oliveira Cardoso
April/2005
Advisors: Webe João Mansur
Álvaro Maia da Costa
Department: Civil Engineering
This work presents the recent progress in the evaluation of the structural
behavior of high pressure/temperature (HP/HT) pipelines, specially offshore pipelines,
that are more susceptible to thermal buckling, due to be resting on the seabed, must be
designed using limit states that considers strains above the yield limit of the material.
To evaluate the structural behavior of HP/HT offshore pipelines were implemented
routines in the AEEPECD program, allowing to treat the physical-geometric non-
linearity involved during the thermal buckling, as well as the coupled effect moment-
pressure and constitutive laws for the pipe-soil interaction considering berms dug in the
seabed.
The Limit states of local buckling and fatigue due to heat up and cool down are
evaluated for offshore pipelines resting in clay soils, very common in Campos Basin.
The ABAQUS program and analytical solutions were used in the comparisons with
AEEPECD program to validate the implemented models
vi
1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................1
1.1 MOTIVAÇÃO..............................................................................................................................1 1.2 HISTÓRICO.................................................................................................................................4
1.2.1 HISTÓRICO DO ESTADO LIMITE DE FLAMBAGEM LOCAL ....................................5 1.2.2 HISTÓRICO DE ESTADO LIMITE DE FADIGA .............................................................6 1.2.3 HISTÓRICO DE CÓDIGOS DE DIMENSIONAMENTO .................................................8
1.3 OBJETIVOS E ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO ...............................................................9
2 EQUAÇÕES PARA ANÁLISE NÃO-LINEAR DE MEIOS CONTÍNUOS...............................12
2.1 PRINCÍPIOS GERAIS DA MECÂNICA DO CONTÍNUO......................................................12 2.1.1 CONSERVAÇÃO DE MASSA (EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE) ............................13 2.1.2 CONSERVAÇÃO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO (EQUAÇÃO DO MOVIMENTO)..................................................................................................................................16 2.1.3 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS OU DESLOCAMENTOS VIRTUAIS .....20
2.2 EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO PARA ANÁLISE INCREMENTAL........................................22 2.3 MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO E TENSÃO DO CORPO SÓLIDO ......................................27
2.3.1 TENSOR GRADIENTE DE DEFORMAÇÃO..................................................................28 2.3.2 TENSORES DE DEFORMAÇÕES DE GREEN-LAGRANGE E ALMANSI.................31 2.3.3 TENSORES DE TENSÃO DE PIOLLA-KIRCHHOFF....................................................37
2.4 EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO EXPRESSA NA CONFIGURAÇÃO DE REFERÊNCIA.......45 2.5 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS EM FUNÇÃO DOS TENSORES DE TENSÕES DE PIOLLA-KIRCHHOFF NA CONFIGURAÇÃO DE REFERÊNCIA............................................48
3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS .....................................................................................55
3.1 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS PARA PEQUENOS DESLOCAMENTOS ............55 3.1.1 ELEMENTO DE CONTÍNUO BIDIMENSIONAL ..........................................................56 3.1.2 ELEMENTO DE INTERFACE BIDIMENSIONAL.........................................................61 3.1.3 ELEMENTO DE INTERFACE PARA MODELO AXISSIMÉTRICO ............................67 3.1.4 EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS PARA PEQUENOS DESLOCAMENTOS (DESLOCAMENTOS TOTAIS) ..............................................70 3.1.5 EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS PARA PEQUENOS DESLOCAMENTOS (DESLOCAMENTOS INCREMENTAIS)...............................80
3.2 EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS PARA GRANDES DESLOCAMENTOS (FORMULAÇÃO LAGRANGEANA TOTAL)............................84
3.2.1 DISCRETIZAÇÃO UTILIZANDO ELEMENTOS FINITOS PARA MODELOS BIDIMENSIONAL E AXISSIMÉTRICO .........................................................................................89
3.3 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA DAS INTEGRAIS DEFINIDAS NA EQUAÇÃO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ............................................................................................................110
4 PLASTICIDADE............................................................................................................................117
4.1 LEI DE ESCOAMENTO PLÁSTICO PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS.........................118 4.2 EFEITO DE BAUSCHINGER.................................................................................................127 4.3 CRITÉRIO DE ESCOAMENTO DE VON MISES.................................................................134 4.4 CRITÉRIO DE ESCOAMENTO DE MOHR-COULOMB .....................................................141 4.5 RELAÇÕES INCREMENTAIS TENSÃO-DEFORMAÇÃO .................................................146
ÍNDICE
vii
4.6 MATRIZ CONSTITUTIVA ELASTO-PLÁSTICA DO CRITÉRIO DE ESCOAMENTO DE VON MISES........................................................................................................................................157 4.7 MATRIZ CONSTITUTIVA ELASTO-PLÁSTICA DO CRITÉRIO DE ESCOAMENTO DE MOHR-COULOMB ............................................................................................................................162 4.8 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DAS RELAÇÕES INCREMENTAIS TENSÃO-DEFORMAÇÃO EM REGIME ELASTO-PLÁSTICO......................................................................165
5 INTERAÇÃO SOLO-DUTO.........................................................................................................175
5.1 INTERAÇÃO SOLO DUTO – DIREÇÃO AXIAL.................................................................176 5.2 INTERAÇÃO SOLO DUTO – DIREÇÃO TRANSVERSAL.................................................180 5.3 INTERAÇÃO SOLO DUTO – DIREÇÃO VERTICAL .........................................................190 5.4 INTERAÇÃO SOLO DUTO – ENTERRAMENTO NATURAL ...........................................197 5.5 FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS DE INTERFACE PARA CONSIDERAÇÃO DE DESCONTINUIDADES...............................................................................................................199
5.5.1 COMPORTAMENTO FÍSICO DE UMA INTERFACE.................................................201 5.5.2 COMPORTAMENTO FÍSICO DA INTERFACE – DIREÇÃO NORMAL...................202 5.5.3 LEI CONSTITUTIVA PARA INTERAÇÃO SOLO–DUTO NA DIREÇÃO NORMAL AO CONTATO ................................................................................................................................210 5.5.4 COMPORTAMENTO FÍSICO DA INTERFACE NA DIREÇÃO TANGENCIAL.......228
6 ESFORÇO AXIAL EFETIVO......................................................................................................238
6.1 EQUAÇÃO DO ESFORÇO AXIAL EFETIVO EM DUTOS .................................................239 6.2 EQUAÇÃO DO ESFORÇO AXIAL EFETIVO MÁXIMO ....................................................244
6.2.1 TENSÕES EM TUBOS DE PAREDE ESPESSA ...........................................................244 6.2.2 ESFORÇO AXIAL EFETIVO ANCORADO – PRESSÕES INTERNA E EXTERNA APLICADAS SIMULTÂNEAMENTE ...........................................................................................247 6.2.3 ESFORÇO AXIAL EFETIVO ANCORADO – PRESSÕES INTERNA E EXTERNA APLICADAS EM INSTANTES DIFERENTES .............................................................................248
6.3 DISTRIBUIÇÃO DO ESFORÇO AXIAL EFETIVO EM DUTOS ........................................250 6.3.1 ESFORÇO AXIAL EFETIVO EM DUTOS RETOS.......................................................250 6.3.2 ESFORÇO AXIAL EFETIVO EM DUTOS COM ALÇAS DE DEFORMAÇÃO.........253
6.4 VALIDAÇÃO DO MODELO NÃO-LINEAR FÍSICO GEOMÉTRICO IMPLEMENTADO NO AEEPECD ....................................................................................................................................257
6.4.1 VALIDAÇÃO DO MODELO NUMÉRICO PARA AS PRESSÕES INTERNA E EXTERNA .......................................................................................................................................260 6.4.2 VALIDAÇÃO DO MODELO NUMÉRICO PARA DUTOS COM CARREGAMENTOS TÉRMICO E PRESSÃO INTERNA...............................................................................................276
7 MODOS DE FALHA E ESTADOS LIMITES EM DUTOS AQUECIDOS .............................283
7.1 FLAMBAGEM LOCAL ..........................................................................................................285 7.1.1 FLAMBAGEM LOCAL DEVIDO A FLEXÃO PURA .................................................285 7.1.2 FORMULAÇÕES UTILIZADAS EM PROJETOS DE DUTOS ....................................294 7.1.3 EXPRESSÕES PARA A DETERMINAÇÃO DA DEFORMAÇÃO (CURVATURA) AXIAL CRÍTICA.............................................................................................................................297 7.1.4 DEFORMAÇÃO (CURVATURA) AXIAL CRÍTICA – FATORES CHAVE ...............309
7.2 FADIGA ...................................................................................................................................315 7.2.1 CURVAS DE FADIGA....................................................................................................316
7.3 FRATURA E COLAPSO PLÁSTICO .....................................................................................323
8 METODOLOGIA DE ANÁLISE E RESULTADOS..................................................................325
viii
8.1 PROPRIEDADES UTILIZADAS............................................................................................326 8.2 CARREGAMENTO E CONDIÇÕES DE CONTORNO ........................................................332 8.3 INTERAÇÃO SOLO-DUTO ...................................................................................................340 8.4 MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS................................................................................354 8.5 ESTADOS LIMITES CONSIDERADOS................................................................................358
8.5.1 FLAMBAGEM LOCAL DE PAREDE............................................................................358 8.5.2 FADIGA (TERMOMECÂNICA) ....................................................................................364
8.6 DUTO SOBRE O PISO MARINHO........................................................................................367 8.6.1 VALIDAÇÃO DO MODELO NUMÉRICO ...................................................................369 8.6.2 DETERMINAÇÃO DO COMPRIMENTO DE EXPANSÃO TÉRMICO (CET) MÁXIMO.........................................................................................................................................383 8.6.3 SIMULAÇÃO DO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL DE DUTOS AQUECIDOS SUBMETIDOS A CARREGAMENTOS CÍCLICOS .....................................................................385
8.7 FORMAS DE CONTROLE DA FLAMBAGEM TERMOMECÂNICA ................................447 8.7.1 SERPENTEAMENTO “SNAKE-LAY” ..........................................................................447 8.7.2 INTERFERÊNCIAS VERTICAIS...................................................................................449 8.7.3 FLUTUADORES PERMANENTES “DISTRIBUTED BUOYANCY” .........................450
9 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES.....................................................................................483
BIBLIOGRÁFIA....................................................................................................................................488
ANEXO A (NOTAÇÃO UTILIZADA) ................................................................................................501
ANEXO B - CAMPOS DE DESLOCAMENTOS E DEFORMAÇÕES PARA ELEMENTO DE CONTÍNUO E CONTATO TRIDIMENSIONAIS .............................................................................505
B.1 ELEMENTO DE CONTÍNUO TRIDIMENSIONAL..........................................................505 B.2 ELEMENTO DE INTERFACE TRIDIMENSIONAL.........................................................511
ANEXO C - FLUXOGRAMAS DE ALGORITMOS NUMÉRICOS...............................................518
C.1 FLUXOGRAMA PARA CORREÇÃO DO TENSOR DE TENSÕES PELA TEORIA DA PLASTICIDADE NO ELEMENTO DE CONTÍNUO .......................................................................518 C.2 FLUXOGRAMA CORREÇÃO DA TENSÃO NORMAL NO ELEMENTO DE INTERFACE .......................................................................................................................................522 C.3 FLUXOGRAMA CORREÇÃO DA TENSÃO TANGENCIAL NO ELEMENTO DE INTERFACE .......................................................................................................................................527
ANEXO D (APLICAÇÃO DE FORMULAÇÕES ANALÍTICAS NO ESTUDO DE FLAMBAGEM GLOBAL DE DUTOS AQUECIDOS) .................................................................................................531
D.1 INTRODUÇÃO........................................................................................................................531 D.2 MÉTODO ANALÍTICO (KERR/HOBBS)..............................................................................534 D.3 MÉTODO ANALÍTICO (KERR/HOBBS) – EQUAÇÕES PARA FLAMBAGEM VERTICAL (“UPHEAVAL BUCKLING”) ............................................................................................................536 D.4 MÉTODO ANALÍTICO (KERR/HOBBS) – EQUAÇÕES PARA FLAMBAGEM LATERAL (“LATERAL BUCKLING/ SNAKING”) ...........................................................................................550 D.5 MÉTODO ANALÍTICO (KERR/HOBBS) – EQUAÇÕES PARA FLAMBAGENS LATERAL E VERTICAL PARA DUTOS PRÓXIMOS À RESTRIÇÕES .........................................................567
ix
NOMENCLATURA
Letras romanas maiúsculas
As – Área da seção transversal do duto
Alat – Área de contato solo-duto por unidade de comprimento
[A] - Matriz que relaciona o tensor de deformações as derivadas dos deslocamentos
nodais
[B] - Matriz que relaciona o tensor de deformações aos deslocamentos nodais
CET – Comprimento de expansão térmica
[D] - Matriz constitutiva elástica
[D]ep - Matriz constitutiva elasto-plástica
[DH] - Matriz de derivadas das funções de interpolação para os deslocamentos
De – Diâmetro externo do duto
E - Módulo de elasticidade
Faxi – Reação axial máxima do solo por unidade de comprimento
Flat – Reação lateral máxima do solo por unidade de comprimento
G - Módulo de cisalhamento
[H] - Matriz de funções de interpolação para os deslocamentos
I – Momento de inércia da seção transversal do duto
J2 - Segundo invariante de tensões desviatórias
J3 - Terceiro invariante de tensões desviatórias
[J] - Matriz jacobiana
[KU] - Matriz de rigidez para pequenos deslocamentos
Lb – Comprimento da meia onda mais significativa do trecho fletido do duto
M – Momento fletor befN – Esforço axial efetivo no trecho fletido do duto
oefN – Esforço axial efetivo no trecho ancorado do duto
efN – Esforço axial efetivo
Ni - o de interpolação do nóFunçã i
Y,
Su – Resistência não-drenada do solo
SX, S SZ - Tensões desviatórias
x
SMYS – Tensão mínima de escoamento
{U} - Vetor de deslocamentos nodais
Ws – Peso submerso do duto por unidade de comprimento
X, Y - Coordenadas cartesianas
Letras romanas minúsculas
{a} - Gradiente da função de escoamento
c - Coesão
{d} - Vetor de deslocamentos nodais
f - Função de escoamento
fo – Ovalização da seção do duto.
pi – Pressão interna
pe – Pressão externa
pc – Pressão de colapso à pressão externa.
{t} - Vetor de forças superficiais
t – Espessura da parede do duto
tcorr – Espessura de corrosão
t2 = (t - tcorr ) – Espessura de parede corroída do duto
u - Deslocamento na direção X
v - Deslocamento na direção Y
Letras Gregas
∆θ - variação ou gradiente de temperatura
{ snd∆ }
- Vetor de deslocamentos nodais relativos no elemento de contato
α - Coeficiente de expansão térmica do material do duto
µL - Coeficiente de atrito lateral solo-duto
µa - Coeficiente de atrito axial solo-duto
{ε} - Vetor de deformações totais
{ }pε - Vetor de deformações plásticas
xi
{ }θε - Vetor de deformações térmicas
{ }oε - Vetor de deformações iniciais
τ
γ – Coeficiente de segurança parcial para deformação
γf – Coeficiente de segurança parcial para carga funcional
γm – Coeficiente de segurança parcial para do material
γp – Coeficiente de segurança parcial para carregamento de pressão
γc – Coeficiente de segurança parcial para condição de aplicação de carga
γ
αgw
αu
αa
α
εc
εd
εf
ϕ - Ângulo de atrito
η , ξ - Coordenadas naturais
ν - Coeficiente de Poisson
θ - Ângulo de lode
ρ - Massa específica
{σ} - Vetor de tensões totais cnσ - Tensão normal no elemento de contato
c - Tensão tangencial no elemento de contato sσ
- Tensão tangencial
W - Peso de Gauss
ε
sc
– Fator de solda
– Coeficiente de segurança parcial para classe de segurança
– Fator de correção para propriedades do material
– Fator de correção para anisotropia do material (direção axial)
fab
– Deformação axial crítica (flambagem local)
– Fator de correção para processo de fabricação do material
– Deformação axial máxima de projeto (flambagem local)
– Deformação axial máxima admissível (flambagem local)
xii
Superescritos
- Elemento
p - Elasto-plástico
- Linear ou elástico
- Não drenado
- Transposto
ubscritos
, 2, 3, - Eixos cartesianos (coordenadas retangulares)
- radial θ - circunferêncial
ímbolos
} - Vetor coluna
⎦ - Vetor linha
] - Matriz
- Operador gradiente
∇2
ou incremental
e e e u T S 1 r
S { ⎣ [ ∇
- Operador Laplaciano
∆ - Variação temporal
∆ - Variação espacia l
• - Produto escalar
xiii
1 INTRODUÇÃO
1.1 MOTIVAÇÃO
Em janeiro de 2000 ocorreu um acidente ambiental na Baía da Guanabara no estado do
Rio de Janeiro, gerando um vazamento de cerca de 1,29 milhões de litros de óleo.
Apesar de não ter sido em volume um dos grandes acidentes com vazamento de óleo na
indústria do petróleo, o mesmo repercutiu negativamente para imagem da empresa, por
ter ocorrido numa região de alta densidade populacional.
O vazamento foi causado por uma fratura no duto que ligava a refinaria Duque de
Caxias (REDUC) à um terminal na ilha d’agua também na Baía de Guanabara. A
fratura no duto PE-2 ocorreu devido ao fenômeno de flambagem termomecânica. A
flambagem termomecânica foi gerada pelo aquecimento e pressurização do duto,
causando uma alça de deformação ao longo de um trecho na saída do canal entre a
REDUC e a Baía da Guanabara (Figura 1.1). A flexão excessiva na alça de deformação
propiciou as condições para a ocorrência da flambagem local da parede por excesso de
deformações plásticas e conseqüente ruptura (Figura 1.2).
Durante o acidente coube ao centro de Pesquisas da PETROBRAS (CENPES) efetuar
uma avaliação das causas do acidente (COSTA,2000c) e fornecer à PETROBRAS as
especifícações técnicas para que acidentes desse tipo não ocorressem novamente.
Durante este processo foi verificado que outro duto também na Baía de Guanabara
(PE-1), tinha condições para gerar o mesmo tipo de acidente. Para garantir a sua
integridade e o escoamento da REDUC foi necessário um grande esforço de diversas
equipes da PETROBRAS. Para tanto, foram mobilizados sem medir esforços, equipe e
equipamentos necessários para monitorar em tempo real o duto, além de uma série de
simulações numéricas para limitar a temperatura e pressão máximas que o duto poderia
operar de forma segura. Em 2004 o duto PE-1 foi substituído pelo duto PE-3, projetado
utilizando o conceito de geometria em ZIG-ZAG (COSTA, 2002a) complacente com a
1
expansão térmica do duto. O objetivo desta solução não é evitar a flambagem, mas sim
controlar seus efeitos limitando a expansão térmica de cada alça de deformação
formada.
Figura 1.1- Deformada do solo empurrado pelo duto PE-II após
o acidente de janeiro de 2000 na Baía de Guanabara
2
Figura 1.2 – Seção do duto PE-II com fratura
causada por flambagem local de parede
Em função da importância do problema de flambagem termo-mecânica de dutos na
indústria do petróleo, em geral, e principalmente na PETROBRAS, decidiu-se, por
recomendação do meu orientador Álvaro Maia da Costa, a implementação da
formulação Lagrangeana Total no simulador AEEPECD (COSTA,1984), programa por
ele desenvolvido durante a suas teses de mestrado e doutorado, e largamente utilizado
em vários projetos na PETROBRAS.
O fenômeno de flambagem termo-mecânica de dutos aquecidos, após o acidente da Baia
de Guanabara, associado à grande complexidade de seu tratamento científico, tornou-se
vetor de motivação para o desenvolvimento desta tese de doutorado. A nível mundial o
ma dutos aquecidos passou a fazer parte substancial de trabalhos publicados
ostrando a importância científica do fenômeno. Ao mesmo tempo outros projetos na
ndaram esse tipo de conhecimento como por exemplo o projeto do
lano diretor de escoamento e tratamento da Bacia de Campos (PDET), que envolve a
onstrução de uma série de plataformas marítimas (P51, P52, P53, P54, etc...), e de
de flambagem termomecânica. Dutos submarinos aquecidos sob elevadas lâminas
te
m
PETROBRAS dema
p
c
todos os equipamentos submarinos necessários para escoar o óleo e gás produzido.
Dentro deste projeto existem inúmeros dutos submarinos submetidos à elevadas
pressões e temperaturas (HP-HT), que sem o conhecimento adquirido e aperfeiçoado
após o acidente com o duto PE-II, não seriam dimensionados considerando o problema
3
d’agua apresentam uma série de particularidades que tornam o seu dimensionamento
um importante tema de pesquisa atualmente.
imensionamento muito severas,
nvolvendo em geral deformações acima do limite de escoamento do material, como
senvolvido originalmente para a
ambagem térmica lateral de trilhos de trens (KERR,1978), posteriormente adaptado
imperfeições, tensões
iciais, plasticidade, efeito da pressão interna, etc....
o itindo
isualizar as principais variáveis que influenciam o processo de flambagem
rmomecânica. Porém para simular um fenômeno com tantas complexidades, a
1.2 HISTÓRICO
Dutos submarinos sob elevadas lâminas d’agua são em geral lançados diretamente sobre
o piso marinho. No caso particular de dutos com elevadas temperaturas e pressões o
processo de flambagem é inevitável, devendo-se conviver com ele. A ocorrência de
flambagem termomecânica impõe condições de d
e
será visto ao longo deste trabalho.
O estudo do fenômeno de flambagem termomecânica teve início através de
metodologias analíticas num trabalho clássico de
fl
por HOBBS (1981a,1981b) para o estudo específico de flambagem em dutos aquecidos.
Vários outros modelos analíticos para a flambagem de dutos aquecidos foram sendo
desenvolvidos incorporando sofisticações (FREDERIKSEN et al.,1998, KYRIAKIDES
et al.,1988, PENDERSEN et al.,1985) como: existência de
in
Os m delos analíticos são extremamente úteis em avaliações rápidas perm
v
te
utilização de modelos numéricos torna-se essencial.
Apesar de existirem várias ferramentas numéricas na atualidade capazes de simular de
um modo geral o comportamento de dutos aquecidos (ANSYS,ABAQUS entre outros),
os critérios para avaliar a integridade estrutural são relativamente recentes, sendo um
tema de pesquisa bastante explorado pela indústria do petróleo.
4
1.2.1 HISTÓRICO DO ESTADO LIMITE DE FLAMBAGEM LOCAL
O estado limite de flambagem local é baseado em expressões para determinar a
eformação axial crítica . Muita pesquisa tem sido realizada nas últimas décadas para a
xpressões posteriores (SHERMAN,1976, MURPHY-LANGNER, 1985, STEPHENS
spersão nos
sultados.
ma variação desta expressão é utilizada na norma DNV
S-F101 (2000), onde é proposta a sua utilização para todos os tipos de materiais
mitando-se apenas a sua aplicabilidade à faixa D/t entre 10 e 45. Outra expressão
considerando o efeito da pressão foi a desenvolvida por GRESNIT (1986).
d
determinação de expressões fechadas, baseadas em experimentos em escala real e mais
recentemente em análises numéricas. Atualmente existem várias expressões propostas
na literatura técnica para o cálculo da deformação axial crítica, porém nem sempre
fornecendo bons resultados para todos os tipos de geometria e carregamentos impostos.
A primeira expressão para o cálculo da deformação axial crítica, é a clássica expressão
para flambagem local elástica em estruturas tubulares (COLUMN RESEARCH
COUNCIL,1966), que fornece um ajuste muito fraco com resultados experimentais
(DOREY,2001), por não considerar o comportamento real plástico do fenômeno.
E
et al.,1991), foram obtidas a partir de ajustes de ensaios experimentais para as mais
diferentes condições de carregamento, material, Geometria (D/t), fornecendo um leque
de diferentes expressões. Todas as expressões citadas são funções não lineares da
relação Diâmetro/espessura (D/t), porém sem a presença de características importantes
do fenômeno como; encruamento do material, efeito da pressão interna, imperfeição
inicial entre outros fatores. Intrinsecamente os fatores citados são considerados nos
ajustes, pois estão presentes nos testes experimentais realizados, mas não são
mensuráveis nas expressões citadas podendo introduzir uma grande di
re
Posteriormente expressões mais sofisticadas foram sendo desenvolvidas para a
deformação axial crítica como a desenvolvida por VITALI et al. (1999), que além da
relação D/t, considera os efeito da pressão interna e encruamento do material. Esta
equação foi desenvolvida numericamente no projeto multicliente HOTPIPE,
particularmente para aço X65. U
O
li
5
Recentemente vários trabalhos (DOREY, 2001a, MOHAREB, DINOVITZER e
MITH,1998, DINOVITZER et al.1999) vem sendo desenvolvidos com o objetivo de
mportante lacuna a ser vencida.
tilização das curvas SN para fadiga de alto
mbagem lateral de dutos. O estudo mostrou ser possível
xtrapolar as curvas SN existentes para fadiga de alto ciclo, para um número de ciclos
ente baixos (até 100), abrangendo desta forma a região de interesse
um duto devido aos ciclos de temperatura
o as curvas SN, desde que as variações de
S
aperfeiçoar as expressões existentes, tentando incorporar efeitos ainda não
completamente compreendidos na iniciação do processo de flambagem local de parede,
como o efeito de tensões residuais na região da solda, imperfeições locais, variações nas
propriedades do material etc...
1.2.2 HISTÓRICO DE ESTADO LIMITE DE FADIGA
As curvas de fadiga SN existentes atualmente são obtidas a partir de testes com baixa
variação de tensões e grande número de ciclos (>10000), originando o nome de fadiga
de alto ciclo. Curvas de fadiga específicas para a região de interesse de flambagem
termomecânica, com variações de tensões superiores ao limite de escoamento do
material, ainda não existem, sendo uma i
Nos dois últimos anos uma série de testes experimentais tem sido realizada no TWI
(The Welding Institute) (CARR,2004j) como parte do projeto multicliente SAFEBUCK,
com o objetivo de verificar a validade de u
ciclo, no caso específico de fla
e
relativam
(CARR,2004b), para fadiga termomecânica em dutos submarinos. O estudo mostrou
também existir um grande conservadorismo na utilização das curvas de fadiga SN, para
o caso com altas variações de tensões.
Desta forma a verificação da vida à fadiga de
e pressão, pode em geral ser feito utilizand
tensões tenham comportamento elástico.
6
Além das curvas de fadiga SN serem obtidas a partir de ensaios para fadiga de alto
ciclo, outros fatores são particularmente importantes para vida à fadiga em dutos
quecidos, podendo-se citar:
fadiga com a
mperatura é esperada devido à redução no módulo de elasticidade do material.
efeito de ambientes agressivos é provavelmente o principal a ser considerado na
egradação da vida a fadiga em dutos submarinos. A existência de H2S e CO2 pode
fetar severamente a vida à fadiga dependendo das concentrações existentes. Existem
oucos estudos sobre o efeito de ambientes agressivos podendo-se ressaltar o trabalho
pioneiro de VOSIKOVSKY (1983) para diferentes concentrações de H2S, onde é
utras pesquisas com
iferentes concentrações de H2S e CO2, no ar e ambiente marinho obtiveram reduções
a
- efeito de temperaturas elevadas.
- efeito de deformações plásticas residuais.
- efeito de ambientes agressivos.
No JIP SAFEBUCK foi verificado uma redução da vida a fadiga de até 1,3 vezes para
testes realizados com temperaturas entre 25 e 146 oC. A redução na vida a
te
O efeito de deformações plásticas residuais pode ser benéfico ou não, caso seja de
compressão ou tração. A verificação do efeito de deformações residuais é importante, já
que durante a flambagem termomecânica são impostas deformações plásticas ao duto.
Outra fonte de deformação plástica residual em dutos submarinos, pode ser gerada
durante o processo de lançamento caso seja utilizado o método de “reel”. No projeto
multicliente SAFEBUCK foram verificados a performance à fadiga, considerando
deformações plásticas residuais de tração e compressão da ordem de 2%.
O
d
a
p
proposta uma lei para o crescimento de falha para fadiga. O
d
na vida à fadiga de 10 a 50 vezes (BUITRAGO,2002, SZKLARZ,2000,
WEBSTER,1985, BRISTOL,1975).
7
1.2.3 HISTÓRICO DE CÓDIGOS DE DIMENSIONAMENTO
Grandes investimentos em pesquisa têm sido feitos no estudo dos principais modos de
falha em dutos, através de projetos multiclientes financiados por empresas ligadas à
dústria do petróleo.
namento destes códigos é o
atamento de linhas de escoamento como vasos de pressão, limitando a tensão
lançou um novo código para dutos submarinos completamente
formulado baseado em recomendações do projeto multicliente SUPERB, utilizando a
menores em relação à metodologia tradicional
aseada em tensões admissíveis. O dimensionamento via estado limite com coeficientes
m 2000 a DNV lançou seu código atual para dutos rígidos submarinos (DNV OS-
in
O primeiro código de projeto utilizado para dutos foi lançado nos Estados Unidos em
1926 com o ASME B31, seguido pelos códigos ASA/ASME B31.8 (“Gás Transmission
and Distribution Piping Systems”) e B31.4 (“Oil Transportation Piping”), ambos do
início de 1950. A principal característica de dimensio
tr
circunferêncial (“hoop stress”) como uma fração da tensão de escoamento do material.
A primeira edição de uma norma lançada pela DNV especificamente para dutos
submarinos ocorreu em 1976, onde a seção de projeto foi baseada essencialmente no
código ASME. A segunda norma lançada pela DNV para dutos rígidos submarinos é de
1981, atualizando a anterior, porém mantendo a metodologia básica de
dimensionamento limitando a tensão máxima admissível.
Em 1996 a DNV
re
metodologia de dimensionamento de estado limite. A metodologia de projeto baseada
em estados limites permite uma confiabilidade maior em projetos especiais permitindo a
utilização de coeficientes de segurança
b
de segurança bem calibrados, permite maior flexibilidade no dimensionamento de dutos
submarinos submetidos a situações especiais, como é o caso de uma flambagem
termomecânica.
E
F101). Este código baseou-se no projeto multicliente HOTPIPE, mantendo a filosofia de
dimensionamento via estados limites.
8
Existem vários outros códigos que podem ser utilizados no dimensionamento de dutos,
odendo-se citar entre os mais conhecidos o API-1111 (1999), o britânico BS8010
os citados os dois códigos
ais utilizados na atualidade pela indústria de petróleo são os API e DNV.
avaliar o comportamento de dutos aquecidos com
ambagem termomecânica.
o longo deste trabalho os capítulos apresentados abordam aspectos ligados ás
odelos implementados, o comportamento de dutos aquecidos
bmarinos submetidos à variações cíclicas de temperatura e pressão. Pretende-se
e será analisado utilizando o critério de
-se mostrar que o dimensionamento de dutos submarinos submetidos à elevadas
ressões e temperaturas em águas profundas só é viável utilizando o critério de
modelos convencionais de dimensionamento.
p
(1993) e o Canadense CAN/CSA Z662 (1999). Entre os códig
m
Os avanços feitos em termos do conhecimento dos estados limites de dimensionamento
em dutos submarinos são objeto atualmente de outro projeto multicliente chamado
SAFEBUCK, que tem como objetivo
fl
1.3 OBJETIVOS E ESTRUTURAÇÃO DO TRABALHO
A
implementações feitas no programa AEEPECD, assim como temas relevantes no
comportamento de dutos aquecidos.
Será analisado com os m
su
estudar os estados limites de flambagem local de parede e fadiga, dando especial
atenção aos modelos para interação solo-duto e suas conseqüências no comportamento
estrutural do duto.
O estado limite de flambagem local de pared
deformações admissíveis, que proporciona um ganho substancial em relação ao critério
tradicional de tensões admissíveis ou esforços solicitantes permitindo a ocorrência de
deformações plásticas.
Pretende
p
deformações admissíveis, por outro lado também será mostrado que a sua utilização só é
possível com um nível de refinamento do modelo a ser utilizado bem superior aos
9
No Capítulo 2 é feita uma revisão dos conceitos de mecânica do contínuo, mostrando as
medidas de tensão e deformações mais apropriadas para a análise de problemas com
ão-linearidade geométrica. Também são apresentadas as equações com estas medidas
uações do método dos elementos finitos (MEF) para pequenos
eslocamentos existente no AEEPECD. Posteriormente é mostrado o sistema matricial
ão do modelo com encruamento
otrópico clássico, visando evitar a ocorrência de plasticidade cíclica com acúmulo de
a aplicação simultânea e em instantes diferente das
ressões externa e interna, para considerar o efeito do processo de lançamento. Por
n
de tensão/deformação utilizadas na implementação numérica do método dos elementos
finitos.
No Capítulo 3 são apresentados os elementos de contínuo e interface utilizados e o
sistema matricial de eq
d
de equações implementado neste trabalho utilizando a formulação Lagrangeana Total.
No Capítulo 4 é feita uma revisão dos conceitos referentes à teoria da plasticidade para
as envoltórias de Mohr-Coulomb e von Mises. Os modelos utilizados no AEEPECD são
descritos mostrando-se as limitações e faixa de aplicaç
is
deformações plástica.
O Capítulo 5 aborda aspectos relativos à interação solo-duto, mostrando uma revisão
das principais expressões utilizadas, como as suas limitações. São descritas as leis
constitutivas existentes e implementadas no elemento de interface para representar a
interação solo-duto. Por fim são feitos testes para verificar o comportamento das leis
constitutivas implementadas no programa AEEPECD.
No Capítulo 6 são mostrados os conceitos relativos ao esforço axial efetivo, que
comanda o processo de flambagem termomecânica, mostrando a influência dos
carregamentos de temperatura e pressão. São apresentadas expressões para o esforço
axial efetivo máximo, considerando
p
último são comparados os resultados do modelo implementado com os obtidos com o
ABAQUS para os carregamentos de pressão e temperatura.
No Capítulo 7 é feita uma revisão dos principais aspectos relativos aos estados limites
de flambagem local de parede e fadiga para dutos aquecidos. São mostradas as
10
principais normas existentes para dutos submarinos, sendo feitas comparações e análises
críticas das expressões fornecidas.
O Capítulo 8 apresenta inicialmente uma validação do modelo de interação solo-duto
anteriores. Os modelos
plementados são utilizados com o objetivo de estudar o comportamento estrutural do
aso analisado frente aos estados limites vistos no Capítulo 7. Especial atenção é dada
os modelos para representar a interação solo-duto no comportamento de dutos
bmetidos à carregamento cíclicos de aquecimento/pressurização e
esaquecimento/despressurização.
o Capítulo 9 são apresentadas as conclusões obtidas com os modelos e simulações
alizadas neste trabalho, sendo também apresentados lacunas e propostas de futuros
esenvolvimentos a serem abordados em pesquisas futuras.
aquecido através de comparações com a solução analítica de Hobbs e resultados do
ABAQUS. É feito um estudo de caso real através de uma série de simulações
envolvendo os conceitos abordados nos capítulos
im
c
a
su
d
N
re
d
11
2 EQUAÇÕES PARA ANÁLISE NÃO-LINEAR DE MEIOS
CONTÍNUOS
.1 PRINCÍPIOS GERAIS DA MECÂNICA DO CONTÍNUO
os próximos itens são apresentadas (MALVERN, 1969, COSTA,1984) as equações
iferenciais, que expressam a conservação de massa e momento. Estas equações
iferenciais são obtidas das equações integrais de balanço que expressam os postulados
ndamentais da mecânica do contínuo. Também será apresentada a equação integral do
rincípio dos trabalhos virtuais, sobre a qual é desenvolvida a formulação numérica
tilizando o método dos elementos finitos.
O objetivo deste capítulo é apresentar os principais conceitos utilizados ao longo deste
trabalho, que serão necessários na solução de problemas envolvendo meios contínuos,
onde as não linearidades tanto física quanto geométrica sejam relevantes.
2
N
d
d
fu
p
u
12
2.1.1 CONSERVAÇÃO DE MASSA (EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE)
Considere um a superfície S
o instante t (Figura 2.1), se o corpo sólido é preenchido por uma material de densidade
(2.1)
endo a densidade dependente da posição e do tempo.
corpo de volume V fixo no espaço, limitado por um
n
ρ, a massa total deste corpo é dada por:
∫=V
dVM ρ
S
( )txxx ,,, 321ρρ = (2.2)
A taxa de variação da ada por:
massa total do corpo sólido, no volume V, é d
∫ ∂∂
=∂∂
V
dVtt
M ρ (2.3)
13
Figura 2.1 – Volume de referência no espaço
O princípio da conservação da massa (MALVERN,1969), diz que nenhuma massa é
riada ou destruída, portanto, a taxa de variação da massa (equação 2.3) dentro do
volume V é igual ao fluxo de entrada menos o de saída do volum
fluxo de massa que sai através do elemento dS, em torno do ponto P (Figura 2.1), é
c
e V.
O
( )dSnvρ , sendo { } { }nTn vv = , onde { }v é o vetor de velocidades e { }n é a normal à
xterna da superfície dS. Logo a taxa de fluxo de entrada é dada por:
e
( ) { } { }∫∫ −=−S
T
Sn dSndS vv ρρ (2.4)
14
Aplicando o teorema da divergência em (2.4):
{ } { } { } { }( )∫ •∇−= dVvρ ∫−VS
T dSnvρ (2.5)
A taxa de variação de massa (2.3), é igual a taxa de entrada de massa no volume V, ou
seja :
{ } { }( )∫∫ •∇−=∂∂
VV
dVdVt
vρρ (2.6)
ou:
{ } { }( ) 0v =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ •∇+∂∂
∫V
dVt
ρρ (2.7)
Para que a equação (2.7) seja satisfeita no volume V, é necessário que o seu integrando
seja nulo em todos os seus pontos, ou seja :
{ } { }( ) 0v =•∇+∂∂ ρρ
t (2.8)
u em notação indicial no sistema de coordenadas cartesianas retangulares.
O
( )0
v=
∂∂
+∂∂
i
i
xtρρ (2.9)
Supondo o material do corpo sólido incompressível, a densidade do material permanece
constante nas vizinhanças da partícula conforme ela se move, e a equação (2.9) toma a
forma abaixo.
15
0v
=∂∂
i
i
x (2.10)
ou:
0vvv3
3
2
2
1
1 =∂∂
+∂∂
+∂∂
xxx (2.11)
A condição de incompressibilidade (2.11), é de grande importância nas teorias da
hidrodinâmica clássica e plasticidade.
.1.2 CONSERVAÇÃO DE QUANTIDADE DE MOVIMENTO (EQUAÇÃO DO
MOVIMENTO)
princípio da conservação da quantidade de movimento postula que a taxa de variação
da quantidade de movi e partículas, é igual ao
matório das forças externas que nele agem (MALVERN,1969). Considere um corpo
ocupando um volume V, delimitado por uma superfície S,
jeito a ação de forças externas de volume
2
O
mento de um corpo sólido ou conjunto d
so
sólido instantaneamente
su { }dVbρ e de superfície { }dSf S (Figura
2.2). Sendo o campo de forças externas por uni{ }b dade de massa do corpo sólido, e
{ }Sf as forças de superfície por unidade de área do sólido deformado no instante t.
16
Figura 2.2 – Volume de referência no espaço com forças externas aplicadas
Pelo princípio da conservação da qu
antidade de movimento.
{ } { } { }dVdtddVbdSf
VVS
S ∫∫∫ =+ vρρ (2.12)
ou, em notação indicial:
dVdtddVbdSf
VVi
S
Si ∫∫∫ =+ ivρρ (2.13)
temporal da
uantidade de movimento.
As forças de superfície na equação (2.13) são equilibradas pelas tensões internas no
ontorno do corpo sólido em análise.
Onde os termos do lado esquerdo da equação (2.13), representam as forças externas
aplicadas no corpo sólido e o termo do lado direito, a taxa de variação
q
c
17
jjiS
i nf τ= , com i = j = 1,2,3 (2.14)
onde:
- Tensor de tensões de Cauchy
- Cossenos diretores da normal a área elementar dS.
jiτ
n j
Utilizando (2.14) em (2.13):
dVdtddVbdSn
VVi
Sjji ∫∫∫ =+ ivρρτ (2.15)
Aplicando o teorema da divergência ao primeiro termo do lado esquerdo da equação
(2.15), tem-se:
∫∫ ∂
∂=
V j
ji
Sjji dV
xdSn
ττ (2.16)
ubstituindo (2.16), em (2.15): S
dVdt
ddVbdV
x VVi
V j
ji ∫∫∫ =+∂
∂ ivρρ
τ (2.17)
ou:
0vi =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
∂
∂∫V
ij
ji dVdt
db
xρρ
τ (2.18)
de form assa, para que a equação (2.18) seja
tisfeita em qualquer o volume V, o seu integrado deve ser nulo, ou seja:
a semelhante a feita para conservação de m
sa
18
0vi =−+
∂
∂
dtd
bx i
j
ji ρρτ
(2.19)
As equações acima, representam o balanço de momento de um dado corpo sólido. No
caso especial de problemas quase-estáticos, onde o termo de acelerações possa ser
desconsiderado, a equação (2.19) se reduz ao sistema de equações diferenciais de
quilíbrio, conforme mostrado abaixo.
e
0=+∂ Vji f∂ i
jxτ
(2.20)
nde , representa as forças volumétricas por unidade de volume na
configuração deformada do corpo sólido.
são conhecidas as variáveis estáticas e
étodo dos elementos finitos, será utilizada a
formulação Lagrangeana ou m terial, como será visto adiante. Será utilizado um
sistema cartesiano estacionário e uma configuração de referência conhecida para
expressar de forma mais conveniente as medidas de deformação e tensão no corpo
iV
i bf ρ=O
A equação do movimento de Cauchy (2.19), aplica-se a configuração deformada do
corpo sólido num instante t, onde não
cinemáticas, para a sua solução via m
a
sólido.
19
2.1.3 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS OU DESLOCAMENTOS
VIRTUAIS
O princípio variacional dos trabalhos virtuais estabelece o equilíbrio de corpos sólidos
eformáveis utilizando o princípio de conservação de energia. Deste modo o trabalho d
realizado pelas forças externas ( extWδ ), para um dado campo de deslocamentos
infinitesimais e estaticamente admi impostos à configuração deformada do corpo
lido num instante t, deve ser igual ao trabalho realizado pelas forças internas (
ssíveis
intWδsó ).
irtual realizado pelas forças externas de superfície e volume num instante t,
campo de deslocamentos infinitesimais estaticamente admissíveis, atuando
sobre o corpo sólido é dado por:
SttVt δδδ ∫∫ += (2.21)
(2.22)
integral de superfície em (2.22), é transformada numa integral de volume utilizando o
teorema da divergência.
O trabalho v
para um
SdufVdufW ti
Sii
Viext
t
Utilizando a equação (2.14) em (2.21), temos:
SdunVdufW ti
Sjji
tti
V
Vi
text
t
δτδδ ∫∫ +=
A
( )Vd
xu
xu
uSdun t
V jt
iji
t
jt
jit
iV
tt
iS
jjit
ttt∫∫∫ ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂
∂=
∂=
δτ
τδ
δτδτ (2.23)
Vdx
t
jt
iji
∂
Substituindo (2.23) em tem-se: (2.22), e reagrupando seus termos,
20
Vdxu
Vdufx
W t
V jt
iji
tti
V
Vi
t
jt
jit
exttt∫∫ ∂
∂+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂
∂=
δτδ
τδ (2.22)
a equação de equilíbrio (2.20):
D
0=+∂
∂ Vi
t
jt
jit
fxτ
(2.23)
De (2.23), em (2.22), chega-se a:
Vdxu
W t
V jt
iji
text ∫ ∂
= τδ (2.24)
O termo dependente do campo de deslocamentos virtuais imposto, pode ser decomposto
como:
t
∂δ
ijtijtj
onde:
ti e
xu
ωδδδ
+=∂∂
(2.25)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
=i
tj
jt
iijt x
uxue
δδδ21
e
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
−∂∂
=i
tj
jt
iijt x
uxu δδωδ
21 (2.26)
Substituindo (2.25) em (2.24), e utilizando o fato de , pois o tensor é
simétrico e
0=ijtjit ωδτ ji
tτ
ijtωδ anti-simétrico, obtém-se:
21
(2.27)
O termo do lado direito da equação (2.27) é o trabalho realizado pelas forças internas,
ficando demonstrado que
VdeW t
Vijtji
text
t∫= δτδ
intWWext δδ = . Assim a expressão do princípio dos trabalhos
virtuais é dada por:
(2.28)
Que expressa o equilíbrio de corpos sólidos deformáveis num instante t, para a sua
configuração deformada.
2.2 EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO PARA ANÁLISE INCREMENTAL
P
se e
ma formulação incremental para se descrever o seu movimento (BATHE,1996). O
ovimento do corpo sólido em análise (Figura 2.3) será descrito em relação a um
..., onde ∆t
o incremento de tempo utilizado. A solução no tempo t + ∆t, é obtida a partir da
onfiguração no tempo t, conhecida, obtendo-se o movimento das partículas do corpo
sólido em cada instante. Este da partícula do
orpo sólido do instante inicial até o final, é conhecida como formulação Lagrangeana
rial.
SdufVdufVde ti
S
Si
tti
V
Vi
tt
Vijtji
t
tt
δδδτ ∫∫∫ +=
ara se obter a solução de problemas não-lineares o equilíbrio do corpo em análise deve
r considerado na configuração deformada ou atual, sendo necessário lançar mão d
u
m
sistema cartesiano estacionário, assumindo a presença de grandes deslocamentos,
grandes deformações e relações constitutivas não lineares, abordando o problema da
forma mais genérica possível. Na estratégia de solução adotada, são obtidas as
configurações em equilíbrio do corpo sólido para os instantes 0, ∆t, 2∆t, 3∆t,
é
c
modo de descrever o movimento de ca
c
ou mate
22
Outra
dos fluidos, onde o movimento das
artículas é acompanhado dentro de um volume de controle estacionário. Esta forma de
d
sário atualizar o volume de
ontrole utilizado devido às mudanças no contorno do corpo em análise.
forma de abordar o problema, seria através de uma descrição Euleriana do
movimento usualmente utilizada em mecânica
p
escrição do movimento das partículas é de difícil tratamento no caso de corpos sólidos
submetidos a grandes deslocamentos, pois seria neces
c
Figu árias em
diferentes instantes de seu movimento, quando submetido a grandes deslocamentos
s sólidos, utilizando a formulação Lagrangeana na
rma incremental, é necessário estabelecer o equilíbrio do corpo em estudo no instante
ra 2.3 – Corpo sólido referenciado num sistema de coordenadas estacion
Para análise do movimento de corpo
fo
t + ∆t (BATHE,1996, COSTA,1984), utilizando o princípio variacional dos trabalhos
virtuais, expressos em notação tensorial demonstrado no item 2.1.3, tem-se:
23
RVde ttttijtt
Vij
tt
tt
∆+∆+∆+
∆+ =∫∆
nde:
+
δτ (2.29)
O
ijtt τ∆+ - Componentes do tensor de tensões de tensões de Cauchy (Força por unidade de
área, na geometria deformada do corpo sólido).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂∂
= ∆+∆+∆+i
ttj
jtt
iijtt x
ux
ue
δδδ
21 - Componentes do tensor de deformações na
configuração deformada do corpo sólido, correspondente ao deslocamento virtual
posto. im
iuδ - Componentes do deslocamento virtual imposto na configuração deformada do
corpo sólido no instante t + ∆t.
nde:
- ado no
stante t + ∆t.
itt x∆+ - Componentes das coordenadas cartesianas do corpo sólido no instante t + ∆t.
Vtt ∆+ - Volume do corpo sólido no instante t + ∆t.
e
SdufVdufR ttSi
S
Si
tttti
V
Vi
tttt
ftttt
∆+∆+∆+∆+∆+ ∫∫∆+∆+
+= δδ (2.30)
O
Vi
tt f∆+ Componentes das forças volumétricas aplicadas no corpo sólido deform
in
24
Si
tt f∆+ - Componentes das forças de superfície aplicadas no corpo sólido deformado no
instante t + ∆t.
ftt S∆+ - Superfície no instante t + ∆t, onde são aplicadas forças de superfície.
iSi uu δδ = - Calculado na superfície f
tt S∆+ (as componentes iuδ , são nulas na superfície
utt S∆+ , onde são prescritos deslocamentos).
Na equação (2.29), o lado esquerdo corresponde ao trabalho virtual realizado pelas
rças internas, enquanto o lado direito diz respeito ao trabalho realizado pelas forças
xternas. A equação (2.29) é análoga a sentença dos trabalhos virtuais para análise com
eslocamentos infinitesimais (pequenos deslocamentos). A diferença consiste na
plicação da sentença variacional dos trabalhos virtuais na configuração deformada do
orpo sólido no instante t + ∆t, para análise com deslocamentos finitos (grande
slocamentos).
enos deslocamentos, onde a configuração inicial pode ser utilizada.
este modo para a solução da equação (2.29), as medidas de tensão e deformação,
assim como as relações constitutivas, devem ser referenciadas a uma configuração
eométrica do corpo sólido conhecida.
este trabalho é utilizada a notação empregada na referência (BATHE,1996), que
ferência.
seguir são mostradas algumas medidas bastante utilizadas no desenvolvimento
fo
e
d
a
c
de
A principal dificuldade para a aplicação da equação (2.29), consiste no
desconhecimento da configuração geométrica do corpo sólido no instante t + ∆t, sendo
esta uma das principais diferenças em relação a equacão dos trabalhos virtuais para
análise com pequ
D
g
N
permite identificar de forma compacta as variáveis estáticas e cinemáticas
desconhecidas num determinado instante, medidas numa configuração conhecida de
re
A
numérico da equação (2.29), medidos num sistema de eixos coordenados cartesianos
25
estacionário como mostrado na Figura 2.3, para a configuração geométrica indeformada
(inicial) do corpo sólido.
A descri , é feita
través das coordenadas de seus pontos materiais, que podem ser relacionadas aos
eslocamentos da seguinte forma.
entos ou
ateriais.
configuração do corpo sólido no instante t + ∆t é desconhecida, desse modo
grandeza ocorre, e o subscrito esquerdo indica a configuração em que
medida, temos:
∆+ VVV ttto ,,
ção do movimento do corpo sólido submetido a grandes deslocamentos
a
d
itt
io
itt uxx ∆+∆+ += (2.31)
it
io
it uxx += (2.32)
iit
itt uxx ∆+=∆+ (2.33)
Onde o superíndice esquerdo indica o instante, em que ocorrem os deslocam
coordenadas dos pontos m
Durante o movimento do corpo sólido, medidas como volume, área, densidade, estão
mudando continuamente, assim temos:
⎪⎪
⎬
⎫
∆+
∆+
SSS ttto
ttto
,,
,, ρρρ
Densidade, área e volume do corpo sólido nos instantes 0, t e t + ∆t
⎪⎪⎪
⎭
⎪
A
grandezas como forças aplicadas, tensões e deformações devem ser medidas em uma
configuração conhecida. Utilizando a notação onde o superscrito esquerdo indica o
instante no qual a
é
26
3,2,1, =∆+∆+ iff Si
tto
Vi
tto
(Forças de volume e superfície no instante t + ∆t, m
Quando a grandeza ocorre num instante t + ∆t, sendo medida para a configuração deste
esmo instante, o subscrito esquerdo pode ser omitido. Para a tensão de Cauchy, temos:
a formulação da equação de equilíbrio, são utilizadas derivadas parciais, que
tilizando a mesma simbologia acima, podem ser escritas como:
edidas na configuração inicial)
m
3,2,1=== ∆+∆+∆+ jiij
ttij
tttt ττ
N
u
jo
itt
jitt
o xu
u∂∂
=∆+
∆+,
e
nttm
o
nmott x
xx ∆+∆+ ∂
∂=, (2.34)
.3 MEDIDAS DE DEFORMAÇÃO E TENSÃO DO CORPO SÓLIDO
eformações sejam relevantes, é necessário definir medidas de deformação e tensão
integral sobre um volume e área conhecidos,
ermitindo a decomposição incremental dos tensores de tensão e deformação de uma
forma efetiva para sua utilizaçã
tem várias medidas de tensão e deformação na literatura (BATHE,1996,
MALVERN,1969, NOVOZHILOV,1953) que poderiam ser usadas, mas para uma
2
Na análise do movimento de corpos sólidos onde o efeito de grandes deslocamentos e
d
adequadas para a implementação de uma solução numérica efetiva da equação (2.29).
As medidas de tensão e deformação do corpo sólido devem ser referenciadas a uma
configuração geométrica conhecida, de modo a expressar o princípio dos trabalhos
virtuais (2.29) em termos de uma
p
o no método dos elementos finitos.
Exis
27
implementação numérica efetiva utilizando
algumas medidas de tensão e deformação mostram-se adequadas. A seguir serão
troduzidas as medidas de tensão e deformação utilizadas ao longo deste trabalho, que
cremental (BATHE,1996, COSTA,1984).
TENSOR GRADIENTE DE DEFORMAÇÃO
Considerando o corpo sólido mostrado na Figura 2.3 no instante t. Uma das medidas
mentais de deformação do corpo sólido, é dada pelo gradiente de deformação
id omo
o método dos elementos finitos, apenas
in
serão utilizadas no desenvolvimento das equações do método dos elementos finitos na
sua forma in
2.3.1
funda
defin o c :
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎡ ∂∂∂ xxx ttt
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣ ∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂∂
=
3
3
2
3
1
3
3
2
2
2
1
2
3
1
2
1
1
1
xx
xx
xx
xx
xx
xx
xxx
X
o
t
o
t
o
t
o
t
o
t
o
t
ooo
to (2.35)
ou:
∂∂
[ ] { } { }( )TTto
to xX ∇= (2.36)
nde:
O
28
{ }
⎪⎪⎪
⎭
⎬
⎪⎪⎪
⎩
⎨
∂∂
=∇
3
x
o
oo , e ⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
∂
∂∂
2
1
x
xo
⎫⎧ ∂
{ } { }321 xxxx ttTt = (2.37) t
ente o operador gradiente aplicado na configuração indeformada do
O gradiente de deformação descreve o alongamento e rotação que as fibras materiais do
o sólido sofrem entre os instantes inicial e t. Seja
São respectivam
corpo sólido, e as coordenadas dos pontos materiais do corpo sólido no instante t.
{ }xd ocorp o diferencial de uma fibra
do corpo sólido no instante inicial. Deste modo, o diferencia
no instante t (Figura 2.4), é dada por:
l da mesma fibra material
{ } [ ] { }xdXxd ott = (2.38) o
ou:
jo
jo
it
it xd
xxxd
∂∂
= (2.39)
Do mesmo modo, o diferencial da mesma fibra material no instante inicial (Figura 2.4),
dada por.
é
{ } [ ] { }xdXxd tot
o = (2.40)
ou
it
it
jo
j
xxd
∂=o xd
x∂ (2.41)
Pois ( )txxxxx oooi
ti
t ,,, 321= , ou ( )txxxxx ttti
oi
o ,,, 321=
A partir de (2.38) é possível obter medidas de deformação do corpo sólido, para
aplicação de problemas com grandes deslocamentos e deformações.
29
igura 2.4 – Fibras materiais infinitesimais nos instantes inicial e t, em relação a um
sistemas de coordenad
F
as cartesiano estacionário
30
2.3.2 TENSORES DE DEFORMAÇÕES DE GREEN-LAGRANGE E ALMANSI
tensores de deformação de Green-Lagrange ( ) e de Almansi ( ) (strain tensor),
são definido uadrado da variação do comprimento de uma fibra
ara o tensor de deformações de Green-Lagrange, tem-se:
ijt
oεAij
tt εO
s de modo a fornecer, o q
material infinitesimal do corpo sólido.
{ }xd o
P
( ) ( ) { } [ ] { }xdxdsdsd oto
Toot ε222=−
ou
(2.42)
de deformações de Almansi é definido como:
( ) ( ) jo
ijt
oioot xdxdsdsd ε222
=−
Enquanto que o tensor
( ) ( ) { } [ ] { }xdx tAtt
T ε dsdsd tot 222=−
jijtid 2.43)
- Quadrado do comprimento da fibra material infinitesimal do cor
onfiguração deformada.
Para a aplicação ais, como
rá visto adiante, é necessário que estejam em função dos deslocamentos do corpo
do. Deste modo é necessário definir os tensores de estiramento de Green e Cauchy,
ou
( ) ( ) tAttot xdxdsds ε222=− (
Onde:
( )2sd t po sólido na
c
( )2sd o - Quadrado do comprimento da fibra material infinitesimal do corpo sólido na
configuração indeformada (inicial).
das equações (2.42) e (2.43) no princípio dos trabalhos virtu
se
sóli
31
que estão intimamente ligados respectivam
Lagrange e Almansi.
tensor de estiramento de Green
ente aos tensores de deformação de green-
[ ]Cto (“deformation tensor”), é referenciado em
aterial infinitesimal
O
relação à configuração indeformada do corpo sólido, e fornece o quadrado do
comprimento ( )2sd t de uma fibra m { }xd t , identificada por { }xd o
na configuração indeformada, ou seja:
( ) { } [ ] { }xdCxdsd o= otTot 2
o de Cauchy
ou
( ) jo
ijt
oiot xdCxdsd =
2 (2.44)
Analogamente o tensor de estirament [ ] [ ]( ) 1−= CC t
oot (“deformation
nsor”), é referenciado em relação à configuração deformada do corpo sólido no
instante t, e fornece o quadrado do com
te
primento ( )2sd o de uma fibra material
orinfinitesimal { }xd o , identificada p { }xd t na configuração d mada, assim: efor
( ) { } [ ] { }xdCxdsd tot
Tto =2
ou
(2.45)
aterial infinitesimal é nula.
Os tenso a ma, em função do gradiente de deformações,
obtidos partir das expressões, desenvolvidas a seguir, onde:
( ) jt
ijoti
to xdCxdsd =2
Os tensores de estiramento de Green e Cauchy, fornecem um tensor unitário quando a
deformação da fibra m
res de estir mento definidos aci
são
32
( ) { } { }xdxdsd tTtt =2 (2.46)
mas,
{ } [ ] { }xdXxd oto
t = (2.47)
De (2.47) em (2.46), temos:
( ) [ ] { }( ) [ ] { }( ) { } [ ] [ ]( ) { }xdXXxdxdXxdXsd oto
Tto
Tooto
Toto
t ==2 (2.48)
Comparando (2.48) com (2.44), obtém-se a e
função do tensor de gradiente de deformações.
(2.49)
xpressão do tensor de estiramento de
Green, em
[ ] [ ] [ ]XXC to
Tto
to =
ou
jo
kt
io
kt
ijt
o xx
xx
C∂∂
∂∂
= (2.50)
amente temos:
(2.51)
as,
Analog
( ) { } { }xdxdsd oToo =2
m
{ } [ ] { } [ ]( ) { }xdXxdXxd tto
tot
o 1−== (2.52)
De (2.52) em (2.51), temos:
( ) [ ] { }( ) [ ] { }( ) { } [ ]( ) [ ]( ) { }xdXXxdxdXxdXsd tto
Tto
Tttto
Ttto
o 11112 −−−− == (2.53)
33
Comparando (2.53) com (2.45), obtém-se a expressão do tensor de estiramento de
Cauchy, em função do tensor de gradiente deformações.
(2.54)
ou
[ ] [ ]( ) [ ] 11 −−= XXC to
Tto
ot
jt
ko
it
ko
ijot x
xxx
C∂∂
∂∂
= (
Os tensores de deformação de Green-Lagrange e Almansi, em função do gradien
deformações, são obtidas a seguir.
mações de Green-Lagrange, é obtido utilizando (2.48) e (2.51) na
2.55)
te de
O tensor de defor
expressão (2.42):
( ) ( ) { } [ ] [ ]( ) { } { } o (2.56)
u
{ }xdxdxdXXxdsdsd Tooto
Tto
Toot −=−22
o
( ) ( ) { } [ ] [ ] [ ]( ) { }
m (2.42), obtém-se o tensor de deformação de Green-Lagrange
termos do gradiente de deformações.
xdIXXxdsdsd oto
Tto
Toot −=−22 (2.57)
Comparando (2.57) co
em
[ ] [ ] [ ] [ ]( )IXX to
Tto −=
21ε t
o (2.58)
ou, em componentes cartesianas:
⎟⎟⎠⎝ ji
⎞⎛ tt
⎜⎜ −
∂∂
∂∂
= ijok
ok
ijt
o xx
xx
δε21 (2.59)
34
O tensor de deformações de Almansi, é obtido utilizando (2.46) e (2.53) na expressão
(2.42):
( ) ( ) { } { } { } [ ]( ) [ ]( ) { }xdXXxdxdxdsdsd ttoo−=− (2.60)
ou
( ) ( ) { } [ ]
TtTttTtot 11 −−
[ ] [ ]( ) { }xdXXIxdsdsd tto
Tto
Ttot 11 −−−=− (2.61)
Comparando (2.61) com (2.42), obtém-se o tensor de deformação de Green-Lagrange
em termos do gradiente de deformações.
[ ] [ ] [ ]( 11 −−= XITt
oto
Att ε [ ] )1
2−Xt
o (2.62)
ou em componentes cartesianas:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂∂
−=j
tk
o
it
ko
ijAij
tt x
xxx
δε21 (2.63)
As expressões (2.59) e (2.63), podem ser expressas em termos de derivadas de
eguinte maneira:
deslocamentos, como mostrado a seguir.
Sabemos que as coordenadas materiais de um determinado ponto do corpo sólido no
instante t, estão relacionadas com as coordenadas deste mesmo ponto no instante inicial,
através dos seus deslocamentos, da s
kt
ko
kt uxx += (2.64)
onde:
( )txxxxx oook
tk
t ,,, 321= e ( )txxxuu oook
tk
t ,,, 321= (2.65)
35
De (2.64), tem-se:
io
kt
kii
ok
t
io
ko
io
kt
xu
xu
xx
xx
∂∂
+=∂∂
+∂∂
=∂∂
δ (2.66)
e
it
kt
kii
tk
t
it
kt
it
ko
xu
xu
xx
xx
∂∂
−=∂∂
−∂∂
=∂∂
δ (2.67)
Utilizando (2.66) e (2.59), vem:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
∂∂
+∂∂
+∂∂
+= ijj
ok
t
io
kt
io
kt
kjj
ok
t
kikjki xu
xu
xu
xu
δδδδδ21
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+= ijj
ok
t
kji
ok
t
kiijt
o xu
xu
δδδε21
(2.68)
como ijkjki aa =δ , a equação (2.68), fica reduzida a:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂∂
+∂
∂+
∂∂
=j
ok
t
io
kt
io
jtt
jo
iij
to x
uxu
xu
xu
21ε (2.69)
ações de Green-Lagrange de um determinado
em termos das derivadas dos deslocamentos em relação as
coordenadas dos pontos materiais na configuração inicial.
Do mesmo modo, pode-se obter o tensor de deformações de Almansi em termos das
derivadas dos deslocamentos, utilizando (2.67) em (2.63)
cima, obtém-se:
que é a expressão do tensor de deform
ponto do corpo sólido,
, e seguindo os mesmos passos
a
36
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂∂
−∂
∂+
∂∂
=j
tk
t
it
kt
it
jt
jt
it
Aij
tt x
uxu
xu
xu
21ε (2.70)
abe observar que as expressões (2.69) e (2.70), que envolvem termos lineares e
quadráticos dos gradien pletos,
ão sendo obtido de aproximações de segunda ordem.
.3.3 TENSORES DE TENSÃO DE PIOLLA-KIRCHHOFF
omo visto anteriormente, as equações de equilíbrio de Cauchy (2.20) se aplicam a
onfiguração deformada do corpo sólido, onde são desconhecidas as variáveis estáticas
áticas (COSTA,1984, BATHE,1996) do problema. O tensor de tensões de
Cauchy ( é defin guração
sólido ), e um tensor de deformações utilizando uma
rmulação Euleriana do movimento, poderia ser utilizado, na solução da equação de
equilíbrio. Entretanto a formulação Lagr
problemas estruturais, visto que o corpo sólido tende a voltar para a sua configuração
icial quando cessam os esforços que nele atuam.
mente ser a inicial, podendo ser qualquer
configuração intermediária do corpo sólido o estáticas e cinemáticas
conhecidas), como feito no item anterior, também é necessário expressar as
que é a expressão do tensor de deformações de Almansi de um determinado ponto do
corpo sólido, em termos das derivadas dos deslocamentos em relação as coordenadas
dos pontos materiais nas configuração deformada.
C
tes de deslocamentos, são tensores de deformações com
n
2
C
c
e cinem
ijtτ ) ido em função da coordenadas materiais da confi
( it xdeformada do corpo
fo
angeana do movimento é preferida em
in
Quando são definidas medidas de deformação em uma configuração de referência que
depende das coordenadas materiais do corpo sólido (cabe observar que a configuração
de referência não precisa obrigatoria
nde as variáveis
sejam
medidas de tensão do corpo sólido nesta configuração.
37
Quando uma configuração de referência (inicial ou intermediária) é utilizada, as
s mais adequadas para a solução da equação de equilíbrio (2.29), são
primeiro e o segundo tensor de tensões de Piolla-Kirchhoff (BATHE,1996). Estes
tensores medem os esforços atuantes no corpo
ração de referência adotada.
A obtenção dos tensores de tensão de Piolla-Kirchhoff, são baseados nos vetores de
rças mostrados na figura abaixo.
medidas de tensõe
o
sólido num instante t, medidos na
configu
fo
Figura 2.5 – Vetores de forças aplicados no corpo sólido nas configurações de
ição dos tensores de tensões de Piolla-Kirchhoff.
O primeiro tensor de tensões de Piolla-Kirchhoff
referência e deformada para defin
[ ]Z fornece o vetor de forças { }Pd t to
atuante na área elementar do corpo sólido deformado, mas medido por unidade de
nfiguração de referência (indeformada), e expressa esta força em
etor normal à área elementar ,e que passa pelo ponto
Sd t
área da co função do
{ }no Sd o ( )321 ,, xxxP ooo v
(MALVERN,1969).
38
Deste modo:
SdnPdSdnZ tj
tji
ti
toj
oji
to τ==
ou
[ ] { } { } [ ]PdSdnZ tTttooTto τ== { } Sdn t (2.71)
grande desvantagem para sua aplicação na solução numérica da equação de equilíbrio
o corpo sólido deformado, utilizando o método dos elementos finitos.
do de uma forma diferente,
e tal modo que ao invés de fornecer o vetor de forças
O primeiro tensor de tensões de Piolla-Kirchhoff não é simétrico, sendo esta uma
d
O segundo tensor de tensões de Piolla-Kirchhoff é formula
{ }Pd t , atuante sobre , Sd td
fornece um vetor de forças { }Pdo ~ relacionado a { }Pd t , do mesmo modo que o vetor
{ }xd o em oP esta relacionado a { }xd t em t :
=
P (equação 2.41), assim
{ } [ ] { }PdXPd tot
o ~ (2.72)
o mesmo modo que:
d
{ } [ ] { }xdXxd tot
o = (2.73)
C mo
o
{ } [ ] { } SdnPd ttTtt τ= (2.74)
de m o me
od se lhante.
{ } [ ] { } SdnSPd ooTto
o=~ (2.75)
39
Utilizando (2.74) e (2.75) na expressão (2.72), temos a seguinte relação entre o segundo
nsor de tensões de Piolla-Kirchhoff, e o tensor de tensões de Cauchy:
te
] { } [ ] [ ] { }( ) SdnXSdn ttTtot
ooTτ= [St
o (2.76)
Os tensores de tensões hamados de pseudo tensor de
odo semelhante os vetores de pseudo forças e
de Piolla-Kirchhoff também são c
tensões, podendo-se definir de m { }So f
{ }Sof~ (MALVERN,1969), conforme mostrado a seguir.
e (2.73) tem-se: D
{ } { } { } SdfPdSdf tSttoS == o (2.77)
nde: o
{ } [ ] { }nZf oTto
So= e { } [ ] { }nf tTtSt
τ= (2.78)
odo semelhante.
De (2.76) pode-se definir de m
{ } { } [ ] { } [ ] { } SdfXPdXPdSdf tSt
tot
oS === (2.79)
onde:
oo ~~ to
{ } [ ] { }nSf oTto
So=
~ (2.80)
etomando (2.79):
R
{ } [ ] { } SdfXSdf oSoto
tSt ~= (2.81)
40
utilizando (2.71) em (2.81), tem-se:
[ ] { } [ ] { } SdfXSd oSoto
o ~= nZ oTt
o (2.82)
Portanto:
[ ] { } [ ] { }Sotoo fXnZ = (2.83)
De (2.80) e (2.83) obtém-se a expressão para o pseudo vetor de forças { }Sf
oTt ~
~o, em
função do primeiro e segundo tensores de tensões de Piolla-Kirchhoff, conforme
ostrado abaixo.
m
{ } [ ] { } [ ] [ ] { } [ ] { }Soot
oTto
ot
oTto
SofXnZXnSf ===
~ (2.84)
, enquanto é o produto da força anterior pelo gradiente de
eformações .
As expressões dos tensores de tensões de Piolla-Kirchhoff em função do tensor de
tensões de Cauchy, são obtidas conforme mostrado abaixo.
Pode-se demonstrar (MALVERN,1969), que a relação entre as áreas deformada e
indeformada do corpo sólido, é dada por:
Logo { }So f corresponde à força atuante no corpo sólido deformado por unidade de área
indeformada { }Sof~
[ ]oot Xd
{ } [ ] { } SdnXSdn ooTott
ott
ρρ
= (2.85)
41
onde:
- Vetor normal à área elementar na configuração deformada do corpo sólido.
- Vetor normal à área elementar na configuração indeformada do corpo sólido.
e - Áreas elementares nas configurações indeformada e deformada
respectivamente, do corpo sólido.
(2.85) em (2.71)
{ }nt
{ }no
Sd o Sd t
[ ] [ ]( ) 1−= Tt
oTo
t XX
utilizando a relação
[ ] { } [ ] [ ] { } SdnXSdnZ ooTott
TtooTto
ρτ= (2.86) o
ρ
dividindo (2.85) por e reagrupando os seus termos, tem-se:
Sd o ,
[ ] [ ] [ ] { } 0=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− nXZ oTo
tt
oTtTt
o ρρτ (2.87)
ou
{ } [ ] [ ] [ ] 0=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛− τ
ρρ to
tt
oto
o XZn (2.88)
ortanto: P
[ ] [ ] [ ]τρρ to
ot
tto XZ = (2.89)
42
A expressão (2.89) relaciona o primeiro tensor de tensões de Piolla-Kirchhoff ao tensor
A expressão que relacio Piolla-Kirchhoff ao tensor de
ões de Cauchy, pode ser obtida de forma semelhante.
Reescrevendo a expressão (2.84), temos:
de tensões de Cauchy.
na o segundo tensor de tensões de
tens
[ ] { } [ ] [ ] { }nZXnS oTto
ot
oTto = (2.90)
Utilizando (2.89) em (2
.90):
[ ] { } [ ] [ ] [ ] { }nXXnS oT
too
o ⎞⎛ ρttt
oTto ⎟⎟
⎠⎜⎜⎝
= τρ
(2.91)
ogo:
L
[ ] [ ] [ ] [ ]Tottto XXS τ
ρ= (2.92)
ou
too
t ρ
[ ] [ ] [ ] [ ]Tot
to
too
tt XSX
ρρτ =
expressão (2.92), fornece o segundo tensor de tensões de Piolla-Kirchhoff em termos
o tensor de tensões de Cauchy.
segundo tensor de tensões de Piolla-Kirchhoff não possui significado físico, porém
pode ser entendido com torno do corpo
lido no instante inicial, equilibram o vetor de forças fictícias
(2.93)
A
d
O
o o tensor de tensões cujas componentes no con
{ }Pdo ~só numa área
entar infinitesimal indeformada (Figura 2.6) (BATHE,1996).
elem
43
Cabe ressaltar que para grandes deslocamentos e rotações, mas pequenas deformações
as componentes do segundo ten
sor de tensões de Piolla-Kirchhoff são aproximadamente
uais as componentes do tensor de tensões de Cauchy ), como será visto mais
diante.
( ijt
oijt S≈τig
a
Figura 2.6 – Segundo tensor de tensão de Piolla-Kirchoff e tensor de tensão de Cauchy e
no contorno do corpo sólido no plano x1-x2, e respectivas forças a serem equilibradas
44
2.4 EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO EXPRESSA NA CONFIGURAÇÃO DE
Utilizando os tensores de tensões de P r a equação de
imento do corpo sólido deformado (2.15) (MALVERN,1969,COSTA,1984), em
lação à uma configuração de referência (indeformada).
Reescrevendo a equação do movimento de Cauchy num instante t, tem
REFERÊNCIA
iolla-Kirchhoff, é possível expressa
mov
re
os:
Vddt
dVdbSdn t
V
tt
V
ti
tt
S
tj
tji
t
ttt∫∫∫ =+ ivρρτ (2.94)
ou
[ ] { } { } { } Vddt
dVdbSdn t
V
tt
V
ttt
S
ttTt
ttt∫∫∫ =+
vρρτ (2.95)
este modo:
D
[ ] { } { } { } Vddt
dVdbSdn t
V
tt
V
ttt
S
ttTt
ttt∫∫∫ =+ 2
2 xρρτ (2.96)
Utiliz
pode o:
ando [ ] { } [ ] { } SdnSdnZ ttTtooTto τ= (equação 2.71), a primeira integral de (2.96),
ser reescrita com
[ ] { } [ ] { }∫∫ =S
ooTto
S
ttTt
ot
SdnZSdnτ (2.97)
O vetor de força por unidade de massa no instante t, em função das coordenadas da
configuração indeformada, pode ser expresso por:
{ } ( ) ( )( ) { }bb oootttttt ===== bxxbxbb (2.98)
45
Logo, o segundo termo de (2.96), é modificado para:
{ } { }∫∫ =VV ot
ooottt VdbVdb ρρ (2.99)
u o
{ } { }∫∫ =V
oVo
V
tVt
ot
VdfVdf (2.100)
oi utilizado o fato que (conservação de massa), e
represen o ca
Desprezando o termo de aceleraçõ 9),
m-se:
VdVd oott ρρ = { } { }bf ooVoρ= Onde f
ta mpo de forças volumétricas.
es da equação (2.96), e utilizando (2.97) e (2.9
te
[ ] { } { } 0=+ ∫∫V
oVo
S
ooTto
oo
VdfSdnZ (2.101)
ara transformar o primeiro termo da equação (2.100) numa integral volumétrica,
abaixo.
P
utiliza-se o teorema da divergência, conforme mostrado
[ ] { } ∫∫∫ ∂
∂ tZ==
V
o
j
jio
S
oj
oji
to
S
ooTto
ooo
Vdx
SdnZSdnZ (2.102)
Portanto, utilizando (2.100) em (2.99) tem-se:
0=+∂
∂ tZ Vi
o
j
jio fx
(2.101)
ue é a equação de equilíbrio do corpo sólido deformado no instante t, porém
ferenciado à configuração inicial (indeformada) em função do primeiro tensor de
Q
re
tensões de Piolla-Kirchhoff.
46
Para se obter a e , em função do segundo tensor de tensões de
iolla-Kirchhoff, utiliza-se a expressão (2.90), mostrada abaixo novamente.
quação de equilíbrio acima
P
[ ] { } [ ] [ ] { }nZXnS oTto
ot
oTto = (2.104)
ou
[ ] [ ] [ ]Tto
ot
Tto ZXS = (2.105)
Portanto:
[ ] [ ] [ ]Tto
to
Tto SXZ = (2.106)
tilizando (2.106) na equação (2.103), temos:
U
( )0=+
∂
∂ Vi
o
jo
ikt
ojkt
o fx
XS (2.107)
u o
[ ] [ ]( ){ }
{ } 0=+∂
∂ Vo
o
Tto
to f
xSX (2.108)
equação de equilíbrio do corpo sólido mostrada acima, fornece as forças externas e
e Piolla-Kirchhoff.
A
quantidade de movimento no instante t, porém referenciados à configuração inicial
(indeformada), em função do segundo tensor de tensões d
47
2.5 PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS EM FUNÇÃO DOS TENSORES
DE TENSÕES DE PIOLLA-KIRCHHOFF NA CONFIGURAÇÃO DE
REFERÊNCIA
princípio dos trabalhos virtuais para um conjunto de forças externas aplicadas num
campo de deslocamentos virtuais
O
{ }uδcorpo sólido no instante t, para um aplicado na
onfiguração deformada do corpo sólido, é dada por:
iV
Vi
tti
S
Si
text
t
δδδ ∫∫ +=
u
c
Vt (2.109) dufSdufW
o
{ } { } { } { } VdufSdufW tT
V
Vtt
S
TStext
t
δδδ ∫∫ += (2.110)
Para se medir o trabalho realizado pelas forças internas em relação a uma configuração
ncia (indeformada) são utilizados os tensores de tensões de Piolla-Kirchhoff.
O primeiro tensor de tensões de Piolla-Kirchhoff é relacionado ao tensor de tensões de
Cauchy, através da relação.
de referê
[ ] { } { } [ ] { } SdnPdSdnZ ttTttooTto τ== (2.111)
onde conforme já visto.
(vetor de pseudo força de superfície)
(vetor de força real de superfície)
{ } [ ] { }nZf oTto
So=
{ } [ ] { }nf tTtStτ=
48
Do mesmo modo temos, para a força volumétrica que:
{ } ( ){ } ( )( ){ }xxx otVttVtVt fff == (2.112)
Outras relações utilizadas na expressão (2.110), são:
{ }xtt =x com
JdVdVdVdV o
t
o
tttoo ==⇒=
ρρρρ (2.113)
{ } { } { } { } { }uxuxx tttot δδ =⇒+= (2.114)
Substituindo as expressões (2.111) a (2.114) na equação (2.110), resulta:
[ ] { } { } ( )( ){ } { } VJdxfSdxnZW ot
V
otVtot
S
oTto
text
oo
δδδ ∫∫ += xx (2.115)
Chamando:
{ } ( )( ){ } ( )( ){ }xxxx otVotVt
o fJfb ==ρ
ρ (o
oVto f =
ρ 2.116)
figuração deformada do corpo
lido num instante t, porém medido por unidade de volume da configuração de
referência (indeformada).
o termo { }Vo f , representa a a força volumétrica na cont
só
49
Substituindo (2.116) em (2.115), tem-se:
[ ] { } { } { } { } VdxfSdxnZW ot
V
Vto
ot
S
oTto
text
oo
δδδ ∫∫ += (2.117)
integral de superfície na configuração indeformada em (2.117), é transformada numa
tegral de volume utilizando o teorema da divergência.
A
in
[ ] { } { } [ ] { }( ){ }
( )Vd
xx
ZxZ
xVdx
xZ
Vdx
xZSdxnZ
o
V jt
it
jit
oj
tji
to
ito
V jo ∂ oiji
to
o
Vo
tTtoot
S
oTto
o
oo
∫∫
∫
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂
∂=
∂=
=∂
∂=
δδ
δ
δδ
(2.118)
Substituindo (2.118) em (2.117), e reagrupando seus
t
∫
t
termos, tem-se:
Vdxx
ZVdxfxZ
W o
V jo
it
jit
oo
it
V jo ⎠⎝ ∂V
it
ooji
to
exto∫∫ ∂
∂+⎟
⎟⎞
⎜⎜⎛
+∂
=δ
δδ (2.119)
Da equação de equilíbr olla-Kirchhoff
renciado à configuração indeformada do corpo sólido (2.103):
io em função do primeiro tensor de tensões de Pi
refe
0=+∂
∂ Vi
o
j
jit
o fxZ
e (2.120), em (2.119), chega-se a:
(2.120)
D
VdxV j
ojioexto∫ ∂
xZW oi
tt ∂
=δ
δ (2.121)
50
como:
jo
it
ijt
o xx
X∂∂
= (2.122)
m-se: te
jo
iij
to xX
∂=δ
tx∂δ(2.123)
ubstituindo (2.123) em (2.121), temos: S
VdXZW o
Vij
toji
toext
o∫= δδ (2.124)
ou
[ ] [ ] VdXZW o
V
to
Ttoext
o∫= δδ (2.125)
xpressão (2.125) expressa o trabalho realizado pelas forças internas num instante t,
atuantes no corpo sólido deformado, mas medidos por un
configuração de referência (indeformada), em termos do primeiro tensor de tensões de
irtuais medida na configuração inicial em
(2.126)
ou
A e
idade de volume da
Piolla-Kirchhoff.
Para se obter a expressão dos trabalhos v
termos do segundo tensor de tensões de Piolla-Kirchhoff, que possui a propriedade de
ser simétrico, utiliza-se a expressão (2.106) repetida abaixo.
jit
oijt
ojit
o SXZ =
[ ] [ ] [ ]Tto
to
Tto SXZ = (2.127)
51
Utilizando (2.127) em (2.125), temos:
[ ] [ ] [ ] VdXSXW o
V
to
Tto
toext
o∫= δδ (2.128)
ento de Green, em função do tensor de gradiente de deformações é
ado pela equação (2.49).
O tensor de estiram
d
jo
kt
io
kt
ijt
o xx
xx
C∂∂
∂∂
= (2.129)
ou
[ ] [ ] [ ]XXC to
Tto
to = (2.130)
Reagrupando os termos da equação a expressão (2.128)
[ ] [ ] [ ] VdXXSW oto
Tto
toext ∫= δδ (2.131)
oV
Reescrevendo (2.131) em notação indicial.
VdxxV j
oi
oijoexto ∂∂
Mas de (2.130),
xxSW okt
kt
t∫∂∂
=δδ (2.132)
jo
kt
io
kt
ijt
o xx
xx
C∂∂
∂∂
= (2.133)
52
Portanto:
jo
kt
io
kt
jo
kt
io
kt
ijt
o xx
xx
xx
xx
C∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=δδ
δ (2.134)
Pode-se demonstrar que:
⎟⎠
⎜⎝ ∂∂ j
oi
oijoijoijo xx
Substituindo (2.135) em (2.132), tem-se:
⎟⎞
⎜⎛ ∂∂
= kt
kt
ttt xxSCS
δδ 2 (2.135)
VdCSW ott1
Vijoijoext
o∫= δδ
2 (2.136)
ou
[ ] [ ] VdCSW o
V
to
Ttoext
o∫= δδ
21 (2.137)
U r de deformação de Green-Lagrange
m termos do gradiente de deformações.
tilizando a expressão (2.58), que relaciona o tenso
e
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )ICIXX to
to
Tto
to −=−=
21
21ε (2.138)
Portanto
[ ] [ ]Cto
to δεδ
21
= (2.139)
53
Substituindo (2.139) em (2.137), tem-se:
[ ] [ ] VdSW otTt∫= εδδ V
ooexto
(2.140)
u
o
(2.141)
Voltando a expressão inicial do princípio dos trabalhos virtuais (2.27), em o
tenso para uraçã mada do corpo sólido, temos a
seguinte relação com a expressão dos trabalhos virtuais em term
tensões de P referência a configuração indeformada.
o
Vij
toij
to
t
Vtji
t
ot∫∫ = εδτ (2.142)
ou
o
VdSW oij
toij
toext ∫= εδδ
V
termos d
r de tensões de Cauchy a config o defor
os do segundo tensor de
iolla-Kirchoff, tendo como
VdSVdeWext =δ ij δ
[ ] [ ] [ ] [ ] VdSVdeW o
V
to
Tto
t
Vt
Ttext
ot∫∫ == εδδτδ (2.143)
O termo nternas,
ficando de
do lado direito da equação (2.143) é o trabalho realizado pelas forças i
monstrado que intWWext δδ = .
Deste modo a expressão do princípio dos trabalhos virtuais em função do segundo
tensor de tensões de Piolla-Kirchhoff, é dada por:
[ ] [ ] RVdS tTt∫ δ to
Voo
o
=ε (2.144)
A expressão acima fornece a equação que será utilizada no método dos elementos
finitos para a solução de problemas envolvendo não-linearidade geométrica. A
configuração de referência mostrada na equação acima é a inicial ou indeformada que
dará origem a formulação Lagrangeana total, podendo-se utilizar também qualquer
configuração intermediária conhecida (Formulação Lagrangeana Atualizada).
54
3 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
ementos finitos, para elementos de contínuo e descontínuo para a teoria
e pequenos e grandes deslocamentos.
tos para a teoria de grandes deslocamentos é
esenvolvida utilizando a formulação Lagrangeana Total, sendo implementada no
.
3.1 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS PARA PEQUENOS
DESLOCAMENTOS
este item será apresentada a equação matricial do método dos elementos finitos na
rma incremental-iterativa de pequenos deslocamentos para problemas bidimensionais
axissimétricos já existente no AEEPECD.
ntes de obter o sistema de equações do método dos elementos finitos serão
apresentadas as expressões para o campo de
entos de contínuo e contato bidimensional disponíveis no AEEPECD. No ANEXO
expressões para o campo de deslocamentos e
entos de contí
Neste capítulo serão obtidas as equações de equilíbrio do contínuo resolvidas segundo
o método dos el
d
As equações do método dos elementos fini
d
programa AEEPECD, para a análise de problemas envolvendo não-linearidade
geométrica
N
fo
e
A
deslocamentos e deformações para os
elem
B também são apresentadas as
deformações para os elem nuo e contato tridimensional disponíveis no
AEEPEC3D, para implementações futuras da teoria de grandes deslocamentos.
55
3.1.1 ELEMENTO DE CONTÍNUO BIDIMENSIONAL
Para discretização do contínuo são utilizados elementos finitos isoparamétricos com
número variado de nós variando entre 4 nós (elemento linear) e 8 nós (elemento
uadrático), cujas funções de interpolação estão mostradas na Figura 3.1 e Tabela
om essas equações pode-se obter o campo de deslocamentos no domínio de cada
lemento para problemas bidimensionais em função dos valores nodais, que em notação
matricial pode ser definida com
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎧
⎢⎣⎡
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
===
N
N
N
VU
UVU
v HHHH
UHu
d...
...00
...00 2
1
1
21
21
onde:
- vetor de deslocamentos no domínio do elemento
- Matriz de funções de interpolação do elemento
- vetor de deslocamentos nodais do elemento referido ao sistema global
q
3.1.C
e
o (COSTA,1978):
{ } [ ]{ }
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬⎨⎥⎦⎤N V
HH
00
2 (3.1)
{ }d
[ ]H
{ }U
56
Figura 3.1 - Elemento isoparamé ensional
trico bidim
I = 5 I = 6 I = 7 I = 8
H1 = 0.25(1 + ξ)(1 + η) -0.50H5 -0.50H8
Incluir somente se o nó I for definido
H2 = 0.25(1 - ξ)(1 + η) -0.50H5 -0.50H6
H3 = 0.25(1 - ξ)(1 - η) -0.50H6 -0.50H7
H4 = 0.25(1 + ξ)(1 - η) -0.50H7 -0.50H8
H5= 0.50(1 - ξ2)(1 + η)
H6= 0.50(1 - ξ)(1 - η ) 2
H7= 0.50(1 - ξ2)(1 - η)
H8= 0.50(1 + ξ)(1 - η2)
Tabela 3.1 - Funções de interpolação utilizadas para o elemento finito
isoparamétrico bidimensional com número de nós variando de 4 a 8
57
O tensor de deformação para modelos bidimensionais e axissimétricos está associado a
uma matriz de transformação linear (deslocamento versus deformação), conforme
apresentado abaixo na forma matricial.
icaaxissimétrestrutxuyvxvyuxu
zz
xy
yy
xx
.10000001100100000001
→⎪⎪⎪
⎭⎩
⎪⎪⎬
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂∂∂
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
εγεε
(3.2)
u:
⎪⎫
o
{ } [ ]{ } yxuA ,=ε (3.3)
Onde a última linha do vetor de deformações em (3.2), é inserida somente para modelos
axissim tricos.
Na expressão (3.2), foi utilizado , devido a sua aplicação no princípio dos
trabalhos virtuais como será visto adiante.
Em coordenadas natu
ado por:
é
xyxy εγ 2=
rais, o vetor de derivadas dos incrementos de deslocamentos é
d
⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎩
∂∂⎥⎥⎦⎢
⎢⎣⎪
⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎩
∂∂xuyvyx
xuv
100000,,00 ηηη
⎪⎪⎪
⎬⎪⎨ ∂∂
∂
⎥⎥
⎢⎢=⎪⎬
⎪⎪⎪
⎨ ∂∂∂
xvy
yxvu
0,,00 ξξξ (3.4)
⎫⎧ ∂∂⎤⎡⎫⎧ ∂∂ xuyxu 000,, ξξξ
⎪⎪∂⎥⎥
⎢⎢
⎪⎪∂ uyx 000,, ηηη
58
ou:
{ } [ ]{ } yxa uJu ,, =ηξ (3.5)
to:
Portan
{ } [ ] { } ηξ ,, uJu ayx = (3.6) 1−
Onde:
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂∂∂
N
NN
N
N
N
N
VU
VUVU
xHxHxHHHHHHH L
,2,
0ηη HHH
HHH
xuvvuu
M
L
L
L
L
2
2
1
1
21
,,2,1
,,2,1
,1
,,2,1
00000000
000000
ηηη
ξξξ
η
ξξξ
ηξηξ
(3.7)
ou:
{ } [ ]{ }UDHu =ηξ , (3.8)
Utilizando (3.8) em (3.6), tem-se:
{ } [ ] [ ]{ }UDHJu oyx1
,−= (3.9)
Nas expressões (3.4) e (3.7), foram utilizadas as relações:
(3.10)
∑=
=N
rrr XHx
1
∑=
=N
rrrYHy
1
59
∑=N
UHu =r
rr1
3.11)
- Funções de interpolação em coordenadas naturais;
configuração
deformada do corpo sólido.
- deslocamentos dos pontos nodais do elemento.
De (3.10), tem-se:
r 1
∑=
=N
rrrVHv
1 (
Onde:
rH
rr YeX - Coordenadas cartesianas dos pontos nodais na
in
rr VeU
∑=
=N
rrr XHx
1,, ξξ
∑=
=N
rrr YHy
1,, ξξ
∑=N
rr XHx ,, ηη =
∑=N
=rr YHy ,, ηη (3.12)
expressão final do tensor de deformações
r 1
{ }εA para modelos bidimensionais e
xissimétricos é obtida utilizando (3.9) em (3.3), resultando em: a
[ ][ ] [ ]{ }UDHJA 1−{ } (3.13) =ε
60
ou:
{ } [ ]{ }UB=ε (3.14)
3.1.2 ELEMENTO DE INTERFACE BIDIMENSIONAL
O modelo matemático utilizado para a inserção do elemento de interface, é estabelecido
partir da relação constitutiva no sistema de coordenadas local, onde as tensões normal
nto estão relacionados aos deslocamentos relativos dos elementos sólidos
djacentes (COSTA,1978, GOODMAN,1968). Para os modelos de estado plano de
tensão e nstitutiva para o cálculo da tensão de forma linear
tuante no contato é fornecida abaixo.
a
e de cisalhame
a
deformação a relação co
a
{ } [ ]{ }csnsnsn dC ∆=σ (3.15) c
u: o
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∆∆
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
n
s
n
scn
cs
vu
CC0
0σσ
(3.16)
s deslocamentos nodais relativos para o elemento de interface, são fornecidos em
lação aos nós do topo (Figura 3.2).
O
re
pii UUU −=∆
pii VVV −=∆
61
nmm UUU −=∆
nmm VVV −=∆
qjj UUU −=∆
qjj VVV −=∆
(3.17)
Figura 3.2 – Nós do topo e base para o elemento de interface
isoparamétrico quadrático utilizado
ridos ao sistema global (xy), deve-se obter
stes no sistema local (sn) do elemento de interface (Figura 3.2), para que se possa
tilizar a relação constitutiva (3.15). Utilizando-se a matriz de rotação do sistema global
para o sistema local.
⎨⎧⎥⎤
⎢⎡−
=⎬⎫
⎨⎧ x
abbas
(3.18)
Com os deslocamentos nodais relativos refe
e
u
⎭⎩⎦⎣⎭⎩ yn ⎬⎫
62
onde:
( )θcos=a
( )θsin=b (3.19)
Logo a relação entre os deslocamentos nodais relativos nos sistemas local e global para
o elemento de interface é dada por :
( )( )( )( )( )( ) ⎪
⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∆
∆∆
∆
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎡
−
−=⎪
⎪⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∆∆∆∆
j
j
mms
V
VU
U
ab
abba
ba
VUVU
00000000
0000
(3.20)
⎪⎪
⎪⎪ ∆⎥⎥
⎢⎢−⎪
⎪i
i
in
is
Vab 0000
⎪⎪
⎪⎪∆⎥
⎥
⎢⎢⎢⎢
⎣⎪⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪⎪
⎩ ∆∆
m
jn
js
mn
UbaVU
00000000
Figura 3.3 – Elemento de interface com deslocamentos relativos
nos sistemas global e local
63
A partir dos deslocamentos nodais relativos no sistema local (3.20), define-se o campo
de deslocamentos no domínio do elemento como :
( ) ( ) ( ) jsjmsmisis UHUHUHu ∆+∆+∆=∆ (3.21)
( ) ( ) ( ) jnjmnminin VHVHVHv ∆+∆+∆=∆ (3.22)
Onde as funções de interpolação utilizadas para o elemento de interface (Figura 3.4),
são listadas abaixo.
( ) ( )215.015.0 ξξ −−−=iH
( )21 ξ−=mH
( ) ( )215.015.0 ξξ −−+=jH (3.23)
Figura 3.4 – Funções de interpo
lação utilizadas para o elemento de interface
Utilizando-se o campo de deslocamentos relativos no elemento de interface
.22), obtém-se:
(3.21) e
(3
64
{ }
( )( )( )( )( )( ) ⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
∆∆∆
∆
⎥⎦
⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∆∆
=∆
jn
js
mn
ms
is
jmi
jmi
n
scsn
VUV
U
HHHHH
vu
d000
00 (3.24)
A partir de (3.20) e de (3.24), ace, em
nção dos deslocamentos nodais relativos referidos ao sistema global, conforme
baixo:
⎪⎪
⎪⎪∆∆
⎤in
UV
H 0
pode-se obter o campo de deformações na interf
fu
a
{ }
⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎩ ∆∆
⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣ − j
j
VU
abba
00000000
Deste modo :
⎪
⎪⎪⎬
⎪
⎪⎪⎨∆∆
⎥⎥⎥
⎢⎢⎢
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=∆
m
m
jmi
jmicsn V
Uabba
HHHHHH
d00000000
000000
(3.25)
⎪⎪⎫
⎪⎪⎧∆∆
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡− i
i
VU
abba
00000000
{ }
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎧
∆∆
∆
⎦⎣
j
j
m
i
jjmmii
VU
U
(3.26)
ou:
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨∆∆∆
⎥⎤
⎢⎡
−−=∆ m
i
jjmmiicsn V
UV
aHbHaHbHaHbHbHaHbHaHbHaH
d
{ } [ ]{ }UBd csn ∆=∆ (3.27)
65
Onde :
i
jjmmii
aHbHaHbHaHbHbHaHbHaHbHaH
B (3.28)
vetor de deslocamentos nodais relativos no sistema global para o elemento de
in
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=jjmmi
O
terface, é calculado através do seguinte produto matricial.
{ }
⎪⎪⎪
⎪⎪ m
UV ⎪
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
=
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
∆
∆
∆
=∆
n
n
m
q
q
p
p
i
i
j
j
m
i
V
UVUVUVU
U
V
V
V
U
0000100000100101000000000
010000000101000000000010100
(3.29)
u
⎪⎪
⎪⎪
⎧∆
jV
U
⎢⎢
⎪⎪⎪⎪∆ m
i
U 100000000
⎢⎢ −
⎪⎪
⎪⎪∆ jU 00001000001
o
{ } [ ]{ }UTU =∆ (3.30)
Onde
elementos sólidos adjacentes ao elemento de interface.
[T] é a primeira matriz da relação (3.30) e {U} o vetor de deslocamentos nodais
dos
66
Deste modo num instante t+∆t, temos que :
{ } [ ]{ }UBd Gcsn =∆ (3.31)
Sendo [ ]GB dado pelo produto matricial [ ][ ]TB , representado por :
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−−−−−
−−−−−
=mmmmjj
mmmmjj
iiiijj
iiiijjG aHbHaHbHaHbH
bHaHbHaHbHaHaHbHaHbHaHbHbHaHbHaHbHaH
B
(3.32)
3.1.3 ELEMENTO DE INTERFACE PARA MODELO AXISSIMÉTRICO
O tratamento matemático para sólidos axissimétricos é idêntico ao dado para problemas
de estado plano de deformação e tensão, sendo a única diferença, o acréscimo da tensão
circunferêncial, dada por:
{ }RuCc
θθσ = (3.33)
Onde u é o deslocamento radial de um ponto do domínio do elemento de interface, com
raio R em relação à origem do sistema de referência.
Para o modelo axissimétrico a relação constitutiva é fornecida abaixo.
⎪⎪⎭
⎪⎬
⎪⎪⎩
⎪⎨∆⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣
=⎪⎭
⎪⎬
⎪⎩
⎪⎨
Ruv
CC nn
c
cn
0000
θθσ
σ (3.3 ) ⎪⎫
⎪⎧⎤⎡⎫⎧ uC ss
cs ∆00σ
4
67
Os valores de su∆ e nv∆ são inter
3.21) e
.22).
O deslocamento radial u é dado por :
polados com os valores dos deslocamentos nodais no
elemento de interface do mesmo modo ao feito no item anterior nas expressões (
(3
2
uuu base ∆+= (3.35)
nde é o deslocamento radial do elemento sólido da base vizinho ao elemento de
interface analisado, e
baseu
2u∆
O
é o deslocamento radial re
lemento de interface e sua base. Assim em relação à superfície média (que fornece a
ontinuidade), o deslocamento radial no domínio do elemento de interface é fornecido
lativo entre a superfície média do
e
c
por :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∆++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∆++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∆+=
222j
qjm
nmi
pi
UUH
UUH
UUHu (3.36)
om as equações (3.33) e (3.36), obtém-se para o modelo axissimétrico de modo C
semelhante ao feito para os estados plano de tensão e deformação, a seguinte expressão.
⎪⎪
⎪⎪ n
UU
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨∆∆∆
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
−−−=
⎪⎪⎭
⎪⎬
⎪⎪⎩
⎪⎨∆
q
p
j
j
m
jmijmi
jjmmii
jj
n
UVUV
RH
RH
RH
RH
RH
RH
aHbHaHbHaHbHbHa
Ruv
02
02
02
000000
(3.37)
⎪⎪⎪⎫
⎪⎪⎪⎧
∆∆∆
⎢⎡
⎪⎫
⎪⎧ m
i
i
mmiis
UVU
HbHaHbHaHu∆
68
onde :
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−=
RH
RH
RH
RH
RH
RH
aHbHaHbHaHbHbHaHbHaHbHaH
Bjmijmi
jjmmii
jjmmii
02
02
02
000000
(3.38)
Do mesmo mo [ ]GB do pode-se definir uma matriz , para sólidos axissimétricos,
onforme abaixo :
c
]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
[
⎣ 22222 RRRR
⎡
−−−−−−−−−−−−
=
02
00000R
HR
HHHHHaHbHaHbHaHbHaHbHaHbHaHbHbHaHbHaHbHaHbHaHbHaHbHaH
mmjiij
mmmmjjiiiijj
mmmmjjiiiijj
G
(3.39)
B
Deste modo num instante t+∆t, temos que :
[ ]{ }UB
Ru
⎪⎪
⎪⎪
vu
Gn
s
=
⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎩
⎪⎪⎨
⎧
∆∆
(3.40)
O campo de tensões correspondente, é dado por :
{ } [ ][ ]{ }UBC Gsncsn =σ (3.41)
69
3.1.4 EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
PARA PEQUENOS DESLOCAMENTOS (DESLOCAMENTOS TOTAIS)
Neste item será apresentada a equação do método dos elementos finitos utilizada no
processo incremental-iterativo, para a solução de problemas envolvendo a teoria de
não-lineridade física (Plasticidade). A equação matricial
do método dos elementos finitos existente no AEEPECD, apresenta os deslocam
o incógnita.
∫∑ ∫=
∆+
⎠
⎞⎜⎜⎛
=⎟⎟⎞
⎜⎜⎛
L Sc
ci
N
iV
itt
N
ijijtt dSuufdV
1δδδεσ
(3.42)
Onde:
σ∆ - Componentes do tensor de tensões de engenharia (Força por unidade de área,
pequenos deslocamentos com
entos
totais com
O princípio dos trabalhos virtuais num instante t +∆t, considerando N corpos em contato
(BATHE,1996), fornece a equação de equilíbrio mostrada abaixo.
∑∫∫ ∆+
=
∆+∆+
=
∆+ +⎟⎟
⎝++
⎠⎝
Nci
tt
L ii
Ci
ttSi
Sf
Si
tt
VL V
uuRdSfdV11
δσδ
∑ ∑
t+
ijt
na geometria indeformada do corpo sólido).
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂∂
=i
j
j
iij x
uxu δδ
δε21 - Componentes do tensor de deformações na configuração
indeformada do corpo sólido, correspondente ao deslocamento virtual imposto.
iuδ - Componentes do locamento virtual imposto na configuração indeformada do
corpo sólido.
des
70
ix - Componentes das coordenadas cartesianas do corpo sólido na sua configuração
deformada.
- Superfície onde são aplicadas forças distribuídas.
c - Superfície de contato para cada um dos corpos (L=1,...N).
- Calculado na superfície (as componentes
in
fS
S
iSi uu δδ = fS iuδ , são nu rf ,
- Volume do corpo sólido.
- Componentes das forças volumétricas aplicadas no corpo sólido no instante t +
t.
f∆ - Componentes das forças de superfície aplicadas no corpo sólido no instante t +
∆t.
R∆ - Componentes das forças concentradas aplicadas no corpo sólido no instante t +
t.
σ∆ - Componentes das forças de superfície aplicadas no contato no instante t + ∆t.
s Figuras 3.5 e 3.6 ilustram esquematicamente o caso particular de dois corpos sólidos
m contato, que serão abordados de forma mais detalhada. Os conceitos descritos a
seguir podem ser estendidos facilmente para o caso mais geral de N c c
las na supe ície S
onde são prescritos deslocamentos).
u
V
Vi
tt f∆+
∆
t+ Si
t
t+ Ci
t
∆
t+ ci
t
Os termos entre parênteses são os termos usuais da expressão dos trabalhos virtuais para
análise com deslocamentos infinitesimais (pequenos deslocamentos), enquanto o último
termo do lado direito da equação (3.42), representa a contribuição dos esforços no
contato.
A
e
orpos em ontato.
71
Figura 3.5 – Corpos sólidos em contato num instante t + ∆t
Figura 3.6 – Detalhe dos corpos sólidos em contato mostrando esforços no contato
72
Nas Figuras 3.5 e 3.6 os corpos sólidos em contato são chamados de I e J . Seja
o vetor de esforços superficiais de contato no corpo I devido ao contato com o { }IJttσ
∆+
corpo J, logo { } { } { }JIttIJttcttσσσ
∆+∆+∆+=−= . Desta forma o trabalho virtual devido aos
e J, conforme (3.42) pode ser escrito como.
3.43)
Onde e são as componentes dos deslocamentos virtuais nas direções normal e
tangencial nas superfícies de contato dos corpos sólidos I e J, assim:
esforços no contato entre os corpos sólidos I
IJ
S
IJi
IJi
ttJI
S
Ji
JIi
ttIJ
S
Ti
IJi
tt
L Sc
ci
ci
tt dSudSudSudSuIJJIIJ∫∫∫∑ ∫ ∆+∆+∆+
=
∆+ =+= δσδσδσδσ2
1
(
I Jiuδ iuδ
Ji
Ii
ci
IJi uuuu δδδδ −=∆= (3.44)
Utilizando (3.43) a equação do principio dos trabalhos (3.42) pode ser reescrita como:
∑∫∫∫∫ ∆+∆+∆+∆+∆+ ++=∆+i
iCi
ttSi
Sf
Si
tti
V
Vi
tt
Sc
ci
ci
ttij
Vij
tt URdSufdVufdSudV δδδδσδεσ
(3.45)
Na equação acima foi omitida por simplicidade a somatória envolvendo os corpos
lidos em contato. A superfície de contato entre os corpos sólidos pode ser variável
onforme visto acima. Neste trabalho porém a superfície de contato inicial será
onsiderada conhecida, o que permite a utilização de elementos de interface especiais
omo será visto adiante, permitindo a utilização de diferentes leis constitutivas para
onsiderar a interação entre os corpos em contato.
só
c
c
c
c
73
Reescrevendo (3.45) na sua forma matricial para utilização no método dos elementos
nitos. fi
{ } { } { } { }e
ecsn
Sc
Tcsn
e
V
T dSddVee
∆tt∆tt ++
⎛
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆+∑ ∫∫ σδσεδ )()(
)()(
{ } { } { } { } { } { }CT
e
eS
S
TeV
V
T RUdSfddVfdee
∆tt∆tt∆tt +++ +⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
+= ∑ ∫∫ δδδ )()(
)()(
(3.46)
onde:
{ } [ ] { } { } { } { }( )opD θ ∆tt∆tt∆tt∆tt∆tt +++++ −−−= εεεεσ (3.47)
{ } [ ] { } { }( ) { } { }pcsn
ecsn
pcsn
csnsn
csn ddC σσσ
∆tt∆tt∆tt∆tt∆tt ++++++=∆−∆= (3.48)
Utilizando (3.47) e (3.48) na equação de equilíbrio (3.46), tem-se:
{ } [ ] { } { } { } { }( )
{ } [ ] { } { } )
{ } { } { } { } { } { }CT
e
eS
S
TeV
V
T
epc
snSc
V
T
RUdSfddVfd
dSd
D
ee
e
∆tt∆tt∆tt
t
∆tt
+++
+
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎜⎜
⎝
⎛
∆
∑ ∫∫
∑∫
δδδ
εεδ
)()(
)()(
)(
eop dV∆tt∆tt∆tt +++ ⎞+−−− εεε θ )(
(e csnsn
Tcsn dCd
e
∆t∆tt ++
⎜⎜ −∆∆+ ∫δ
)(
(3.49)
74
Reescrevendo a equação acima tem-se:
{ } [ ] { } { } [ ] { }
{ } { } { } { } { } [ ] { }
{ } [ ] { } { }e epcTc
SV
dSdCd ∆tt+⎜⎜
+∆∆+∑
∫∫ δδ )( [ ] { } { } [ ] { }
{ } { }CT
eo
V
Te
V
Tsnsn
Scsn
ep
V
TeSTeVT
esnsn
Scsn
V
RU
dVDdVD
dVDdSfddVfd
dSdCddVD
eee
eee
ee
∆tt
∆tt∆tt
∆tt∆tt∆tt
+
++
+++
+
+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+++
=
=⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
∆∆+
∫
∫∫∫
∫∫
δ
εεδεε
εεδδδ
δεεδ
θ )()(
)()()(
)()()(
)()()(
)()(
(3.50)
ando as relações para os deslocamentos e deformações em função dos
eslocamentos nodais obtidas nos itens anteriores ao nível do elemento, e reescritas
baixo, tem-se:
ecTceT ∆tt∆tt ++ ⎞⎛ )()(∑
Utiliz
d
a
{ } [ ] { }UB ∆tttt +∆+ =ε { } [ ] { }UBd ∆ttG
csn
tt +∆+=∆
mitindo o superescrito t + ∆t por simplicidade, tem-se:
{ } [ ] { }UHd ∆tt∆tt ++ =
(3.51)
O
{ } { } [ ]TTT BUδεδ = { } { } [ ]TGT BUδ { } { } [ ]TTT HUd δδ = Tc
snd δ=∆
(3.52)
Utilizando (3.52) na equação (3.50
), obtém-se a equação de equilíbrio em termos dos
deslocamentos totais num instante t + ∆t como incógnita.
75
{ } ] [ ][ ]( ) [ ] [ ][ ] [ { }
{ }( )
[ ] { } }
[ ] [ ] { } [ ] [ ]
[ ] {
{ }
[ { }
∑
∫∫
∫∫
∫
∫
⎟⎟⎟⎟
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
∆
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎝
+
+
++
++
+
++
+
CVV
epcsnsn
TG
epT
eS
S
Vtt
V
T
T
eGsn
ScG
e
V
T
RdVDBdVDB
dSdCBdVDB
dSdfH
U
UdSBdVBDB
ee
e
ee
t
∆tt∆tt
∆tt
)()(
)(
)(
)()(
)(
)()(
εε
εδ
(3.53)
Eliminando o termo de ambos o membros, temos a seguinte equação matricial
do método dos elementos finitos para pequenos deslocamentos considerando não-
linearidade física e contato entre os corpos, conforme mostrado abaixo.
∑ ∫⎜⎛ eTT BCU )(δ
∫+ +∆ttTSe∆ fHVe
)(
)(
=
[ ] [ ] { } [ ] ] { }
⎟
⎜⎜⎜
+++
+
e
eoTeT
ScV ee
∆t∆tt∆tt )()(
)()(
θ
{ }δ UT
[ ] { } { } { } { } { } { } { CNLoSVU RRRRRRUK ∆tt∆tt∆tt∆tt∆tt∆tt∆tt +++++++ +++++= θ }(3.54)
onde:
∫ ⎟⎠
+ GsnSc
G dSBCBe )(
[ ] [ ] [ ] [ ][ ]∑ ∫∑ ⎟⎞
⎜⎜⎝
⎛==
e
eTe
V
T
e
eUU dVBDBKK
e
)()()(
)(
[ ] [ ][ ]
{ } { } [ ] { }∑ ∫∑ ==e
eV
V
T
e
eVV dVfHRR
e
)()(
)(
{ } { } [ ] { }∑ ∫∑ ==e
eS
S
Ts
e
eSS dSfHRR
e
)()(
)(
76
{ } { } [ ] [ ]{ }∑ ∫∑ ==e
e
V
T
e
e dVDBRRe
)()(
)(
θθθ ε
V
T
e
eoo dVDBRR
e
)()(
)(
ε { } { } [ ] [ ]{ }∑ ∫∑ ==e
eo
{ } { } [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }∑ ∫∫∑ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆+==
e
epcsnns
Sc
TG
ep
V
T
e
eNLNL dSdCBdVDBRR
ee
)()()(
)()(
ε
(3.55)
A equação (3.54) fornece o sistema de equações não-lineares, para meios contínuos
considerando a não linearidade física do material sólido e do contato entre os corpos,
através quinto termo do lado direito da equação, que no incremento t+
o. Para se resolver este problema a equação (3.54) pode ser obtida na sua
ma recursiva, reescrevendo-se as equações constitutivas (3.47) e (3.48), conforme
∆t é
desconhecid
for
abaixo:
{ } [ ] { } { } { } { }( )okpkk D εεεεσ θ −−−≅ +−+++ ∆tt∆tt∆tt∆tt )1()()( (3.56)
{ } [ ] { } { }( ))1()()( −+++∆−∆≅
kpcsn
kcsnns
kcsn ddC ∆tt∆tt∆tt
σ (3.57)
rando-se a contribuição da iteração k. Isto pode ser melhor observado
escrevendo (3.47) e (3.48) na sua forma incremental iterativa conforme abaixo.
Nas equações (3.56) e (3.57), os termos dependentes das deformações plásticas
acumuladas e dos deslocamentos não-lineares relativos do contato são ‘’linearizados”,
desconside
re
77
{ } [ ] { } { } { } { }( )[ ] { } { } { } { }( ) [ ]{ } { } { } { }( )k
ok
kpkokpk
okpkk
DD
D
11)()()1()1(
)()()(
δεδεεεεεεε
εεεεσ
θθ
θ
∆−∆−∆−∆+−−−=
−−−=
−+−+
++++
tt∆tt∆tt
∆tt∆tt∆tt∆tt∆t
+t
(3.58)
{ } [ ] { } { }( )
[ ] { } { }( ) [ ] ( ){ } ( ){ }( ))()()1()1(
)()()(
kpcsn
kcsnsn
kpcsn
kcsnsn
kpcsn
kcsnsn
kcsn
ddCddC
ddC
∆∆∆∆+∆−∆=
∆−∆=
+−
+−+−+
+++
∆tt∆tt∆tt∆tt
∆tt∆tt∆ttσ
(3.59)
ro, corrigido iterativamente até que os acréscimos de deformação
lástica e deslocamento relativo não-linear do contato da iteração k, seja desprezível.
equação de equilíbrio (3.54) escrita na forma recursiva, utilizando as relações
constitutivas linearizadas (3.56) e (3.57) na equação de equilíbrio (3.56) é mostrada
abaixo, s
Desprezando as contribuições dos incrementos não-lineares da iteração k nas expressões
(3.58) e (3.59) para os elementos sólidos e de interface, obtêm-se as equações (3.56) e
(3.57), que são relações aproximadas, que utilizadas na equação de equilíbrio (3.56)
originam um er
p
A
eguindo os mesmos passos desenvolvidos anteriormente.
[ ] { } { } { } { } { } { } { Ck
NLoSVk
U RRRRRRUK ∆tt∆tt∆tt∆tt∆tt∆tt∆tt +−++++++ +++++= )1()(θ }
(3.60)
78
onde:
⎞⎜⎜⎛
+= eGsn
TG
eTU dSBCBdVBDBK )()(
eVttTt dVfHR )(
V
t
e )(
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]∑ ∫∫ ⎟⎟⎠⎝e ScV ee )()(
{ } [ ] { }∑ ∫ ∆+∆+ =t
e VV
e )(
{ } [ ] { }∑ ∫ ∆+∆+ =e
eS
S
ttTSS
tt dSfHRe
)(
)(
{ } [ ] [ ] { }∑ ∫ ∆+∆+ = ettTt dVDBR )(θθ ε
e
{ } [ ] [ ] { }∑ ∫ ∆+∆+ =e
eott
V
To
tt dVDBRe
)(
)(
ε
{ } [ ] [ ] { } [ ] [ ] { }∑ ∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆+=
−+−∆+−∆+
e
ekpc
snsnSc
TG
ekptt
V
TkNL
tt dSdCBdVDBRee
)()1(
)()1()1(
)()(
∆ttε
(3.61)
79
3.1.5 EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
este item será mostrada a equação incremental-iterativa do método dos elementos
ativa já linearizada, desprezando-se a contribuição do
cremento de deformações plásticas da iteração k, conforme mostrado item anterior, e
escritas abaixo.
PARA PEQUENOS DESLOCAMENTOS (DESLOCAMENTOS
INCREMENTAIS)
N
finitos para pequenos deslocamentos na forma incremental, onde os incrementos de
deslocamentos são a incógnita da equação de equilíbrio. A equação de equilíbrio com os
incrementos de deslocamentos como incógnita será a forma utilizada na implementação
da formulação Lagrangeana Total que será vista adiante.
Para se obter o sistema de equações não lineares do método dos elementos finitos tendo
o incremento de deslocamentos como incógnita, as relações incrementais utilizadas são
escritas abaixo na forma iter
in
{ } { } { } )()1()( kkk uuu ∆+= −++ ∆tt∆tt
{ } { } { } )()1()( kkk εεε ∆+= −++ ∆tt∆tt
{ } { } [ ]{ } { } { }( )ko
kkkk D 11
)()1()( δεδεεσσ θ ∆−∆−∆+≅ −++ ∆tt∆tt
{ } { } [ ] ( ){ } )()1()( kcsnsn
kcsn
kcsn dC ∆∆=
++
−++ ∆tt∆tt∆ttσσ (3.62)
As relações acima mostram como são corrigidos os deslocamentos, deformações e
nsões no processo incremental-iterativo. A primeira iteração de um incremento t + ∆t,
te
considerando que o estado de tensões no incremento t, esta em equilíbrio é dado por:
80
{ } { } { } )1()1( uuu ∆+=+ t∆tt
{ } { } { } )1()1( εεε ∆+=+ t∆tt
{ } { } [ ]{ } { } { }( )oD εεεσσ θ ∆−∆−∆+≅+ )1()1( t∆tt
{ } { } [ ] ( ){ } )1()1( csnsn
csn
csn dC ∆∆=
∆++
+ ttt∆ttσσ (3.63)
Utilizando as duas últimas expressões de (3.62) na equação de equilíbrio (3.46
ue:
) temos
q
{ } { } [ ]{ } { } { }( )( )
{ } { } [ ] ( ){ }( )
{ } { } { } { } { } { }CT
e
eS
S
TSeV
V
T
e ekc
snsnkc
snSc
Tcsn
ddVfd
dSdCd
ee
e
∆tt∆tt∆tt
∆tt∆tt
+++
++
−+
⎟⎞
⎜⎜⎝
⎛+=
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
∆∆∆
∑ ∫∫
∑∫
δδ
σδ
)()(
)()1(
)()(
)(
ek
ok
kk
V
T
RUdSf
dVDe
∆tt −+
+⎟⎠
=⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ +∆−∆−∆+∫
δ
δεδεεσεδ θ )(11
)()1(
)(
(3.64)
Utilizando as relações par
função d
a os deslocamentos e deformação ao nível do elemento em
os deslocamentos nodais tem-se:
{ } [ ] { }UB tttt ∆+∆+ =ε { } [ ] { }UBd ttG
csn
tt ∆+∆+=∆ { } [ ] { }UHd ∆tt∆tt ++ =
(3.65)
]{ }U∆=∆{ } [Bε ( ){ } [ ]{ }UBd Gcsn ∆=∆∆
(3.66)
81
Omitindo o superescrito t + ∆t por simplicidade, tem-se:
{ } { } [ ]TTT BUδεδ = { } { } [ ]TGTTc
sn BUd δδ =∆ { } { } [ ]TTT HUd δδ =
(3.67)
{ } { } [ ]TTT BU∆=∆ δεδ ( ){ } { } [ ]TGTTc
sn BUd ∆=∆∆ δδ
(3.68)
tilizando (3.67) e (3.68) em (3.64), obtém-se a equação de equilíbrio em termos dos
U
deslocamentos incrementais num instante t + ∆t como incógnita.
{ }( ) [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] { }
{ }( )
( )
[ ] { }( ) [ ] { }( )
[ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ } { }
∑
∫∫
∫∫
⎟⎟⎟⎟
⎟⎟⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝+∆∆
=∆⎟⎠
++
+−+
+−+
+
CkV
kV
ekcsn
TG
ekT
V
T
Gsn
RdVDBdVDB
dSBdVBU
UdSB
ee
e
∆t
∆tt∆tt
11
)(1)(1
)()(
)(
δεδε
σσδ
os a seguinte equação matricial
o método dos elementos finitos para problemas com não-linearidade física e contato
∑ ∫∫ ⎟⎞
⎜⎜⎝
⎛+ k
e
e
Sc
TG
e
V
TT CBdVBDBUee
)()(
)()(
δ
[ ] { } [ ] { }∫∫⎜⎛
+ +++ eS∆ttTSeV∆ttT dSfHdVfH )()(
⎟S e )(
=⎟
⎜⎜⎜
+
e
eoTeT
ScV ee
t)()(
)()(
θ
(3.69)
Eliminando o termo { }δ UT de ambos o membros, tem
d
entre os corpos, conforme mostrado abaixo.
82
[ ] { } { } { } { } { } { }NLoSV RRRR ∆tt∆tt∆tt∆tt ++++ ++++ (θ { }C
kkU RRUK ∆tt∆tt∆tt +−++ +=∆ )1)(
(3.70)
V
t
S e )(
(3.71)
s equações (3.60) e (3.70) são equivalentes, sendo que na primeira obtém-se
diretamente o campo de deslocamentos da iteração k, enquanto na segunda é necessário
utilizar a expressão (3.62) para atualizar o campo de deslocamentos.
A correção da tensão em um ponto de integração do domínio é feita utilizando a teoria
a Plasticidade (ZIENKIEWICZ,1969), conforme será visto no capítulo 4.
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]∑ ∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
e
eGsn
Sc
TG
e
V
TU dSBCBdVBDBK
ee
)()(
)()(
{ } [ ] { }∑ ∫ ∆+∆ =e
eVttTV
t dVfHRe
)(
)(
+
{ } [ ] { }∑ ∫ ∆+∆+ = eSttTSS
tt dSfHR )( e
{ } [ ] [ ]{ }∑ ∫ ∆=∆+
e
ek
V
Ttt dVDBRe
)(1
)(
δε θθ
{ } [ ] [ ]{ }∑ ∫ ∆=e
ek
o
V
To dVDBR
e
)(1
)(
δε
{ } [ ] { }( ) [ ] { }( )∑ ∫∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−++
−+−∆+
e
ekcsn
Sc
TG
ek
V
TkNL
tt dSBdVBRee
)(1)(1)1(
)()(
σσ∆tt∆tt
A
d
83
3.2 EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS
ARA GRANDES DESLOCAMENTOS (FORMULAÇÃO LAGRANGEANA
T
de eq r
ilizadas no instante t + ∆t, são referidas em relação à
onfiguração inicial conforme visto no capítulo 2 (MALVERN,1969, COSTA,1984,
BATOZ,1980), sendo dada por:
nde:
P
OTAL)
Na formulação Lagrangeana total, a equação uilíb io e as respectivas medidas de
tensão e deformação ut
c
BATHE,1996, BATHE et al., 1979,
RVdS ttoij
tto
Vij
tto
o
∆+∆+∆+ =∫ εδ (3.72)
O
( )( )( )mnnjttmittttijo ρ ∆+∆+∆+ ,,ttoo
ott xxS τρ ∆+∆+ = (3.73)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
∂∂
∂∂
=∆+∆+
∆+ij
jo
ktt
io
ktt
ijtt
o xx
xx δε
21 (3.74)
(3.75)
ara a obtenção da decomposição incremental da equação de equilíbrio (3.72), o
segundo tensor de tensões de Piolla-Kirchoff, o tensor de deformações de Green-
Lagrange e as coordenadas dos pontos materiais no instante t + ∆t, são decompostos da
guinte forma:
SdufVdufR oi
S
Si
ttoi
V
Vi
tttt
oo
δδ ∫∫ ∆+∆+∆+ +=
P
se
84
ijoijt
oijtt
o SSS ∆+=∆+ (3.76)
(3.77)
(3.118)
Utilizando (3.78) em (3.74), obtêm-se as parcelas do tensor de deformações de Green-
Lagrange definidas em (3.77) em função do campo de deslocamentos.
A primeira parcela de (3.77) em função do campo de deslocamentos é dada por:
ijoijt
oijtt
o εεε ∆+=∆+
iit
io
itt uuxx ∆++=∆+
⎟⎟⎠
⎞⎛ ∂∂∂∂ ttj
ti
t uuuu1⎜⎜⎝ ∂∂
+∂
+∂
=j
or
io
r
io
joij
t
xxxx2ε (3.79) o
Dividindo-se a segunda parcela de (3.77) conforme abaixo:
ijoijoijo e ηε ∆∆=∆ + (3.80)
Pode-se mostrar (COSTA,1984, BATHE,1996), que estas são definidas como:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∆∂
∂∂
+∂∆∂
∂∂
+∂
∆∂+
∂∆∂
=∆i
or
jo
rt
jo
r
io
rt
io
j
jo
iijo x
uxu
xu
xu
xu
xu
e21 (3.81)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∆∂
∂∆∂
=∆j
or
io
rijo x
uxu
η (3.82)
Onde ijo e∆ e ijoη∆ , são respectivamente as parcelas linear e não-linear do incremento
do tensor de deformações de Green-Lagrange, referidas em relação à configuração
ormada do corpo sólido.
indef
85
Utilizando-se (3.76) e (3.77) na equação de equilíbrio (3.72), tem-se:
( ) ( ) RVdSS ttoijoij
to
Vijoij
to
o
∆+=∆+∆+∫ εεδ (3.83)
esenvolvendo a expressão (3.83) e utilizando-se ( ) ijoijoijt
o εδεεδ ∆=∆+D , pois a
ção δ é aplicada sobre a configuração no instante t+∆t, chega-se a:
SSV
ijoijoijt
oo
∆∆+∆∫ δεδ
-se (3.80) em (3.84), e reagrupando os termos da equação que geram
incógnitas do lado esqu
(3.85)
Na equação (3.85) os termos do lado direito da equação são independentes do
incremento de deslocamentos ∆ui, enquanto o primeiro termo do lado esquerdo da
equação é uma função altamente não linear do incremento de deslocamentos ∆ui , e o
segundo termo função linear do incremento de deslocamentos ∆ui .
A relação constitutiva utilizada para relacionar o incremento no segundo tensor de
tensões de Piolla-Kirchoff com o incremento no tensor de deformações de Green-
Lagrange, é fornecida abaixo:
varia
( ) RVd ttoijo
∆+=ε (3.84)
Utilizando
erdo, chega-se a:
VdeSRVdSVdS o
Vijoij
to
tto
Vijoij
to
o
Vijoijo
ooo∫∫∫ ∆−=∆+∆∆ ∆+ δηδεδ
( )oP
ijoijoijoijoijrsoijo DS εεεεθ
∆−∆−∆−∆=∆ (3.86)
86
Para a implementação do esquema numérico utilizando a formulação Lagrangeana Total
através do método dos elementos finitos, é necessário fazer
ações no primeiro termo de (3.83), pois conforme dito
incremento de
entos.
Para tal é utilizada a linearização física-geométrica no incremento do segundo tensor de
tensões de Piolla-Kirchoff (3.85), conforme mostrado abaixo:
a linearização da equação
(3.83), através de aproxim
anteriormente este termo é uma função altamente não linear do
deslocam
( ) ( )oo θθP
ijoijoijoijrsoijoijoijoijoijrsoijo eDDS εεεεεε ∆−∆−∆≅∆−∆−∆−∆=∆ (3.87)
earização feita em (3.87) e aproximando
Utilizando a lin εo∆ por , na equação
a-se a seguinte equação de equilíbrio linearizada:
Vijoijoijrso
o
o
o
ooo
∫∫
∫∫∫
∆∆+∆∆+
+∆−=∆ ∆+
δεδε
δηδ
θ
(3.88)
O primeiro termo da equação de equilíbrio acima, é agora uma função linear do
incremento de deslocamen
eo∆
(3.84), cheg
VdeDVdeD
VdeSRVdSVdeeD
o
Vijoijoijrso
o
Vijoijoijrso
o
Vijoij
to
tto
Vijoij
to
o +∆∆ δ
tos, pois ijo e∆δ é independente de
A solução da equação (3. entos, podendo-se
obter uma primeira estimativa para o campo de deslocamentos, do segundo tensor de
tensões
instant
iu∆ .
88) fornece um incremento de deslocam
de Piolla-Kirchoff e do tensor de deformações de Green-Lagrange, para o
e t + ∆t como mostrado a seguir:
87
1()1(
iit
itt uuu ∆+=∆+ ) (3.89)
(3.90)
(3.91)
os tensores de deformação e tensão atualizados é possível verificar o desequilíbrio
alho realizado pelas forças externas e internas atuantes no corpo sólido no
stante t + ∆t, devido a linearização feita na equação de equilíbrio, e dado por:
(3.92)
a equação acima o superescrito indica a primeira iteração do processo de
ões para se alcançar o
quilíbrio estrutural.
Reescrevendo a equação (3.88) com o superescrito k ( k-ésima iteração ), obtém-se a
equação recursiva incremental iterativa para a formulação Lagrangeana-Total
considerando as não-linearidades Física e Geométrica para meios contínuos.
(3.93)
om o incremento de deslocamentos para a iteração k do incremento t + ∆t, atualiza-se
ovamente o campo de deslocamentos, o segundo tensor de tensões de Piolla-Kirchoff,
e o tensor de deformações de Green-Lagrange, utilizando as equações (3.89) a (3.91)
para a iteração k, como mostrado abaixo:
)1()1(ijoij
toij
tto εεε ∆+=∆+
)1()1( SSS oijt
oijtt
o ∆+=∆+
Com
entre o trab
in
∫ ∆−= ∆+∆+
V
oijoij
tto
tt
o
VdSRErro )1()1()1( εδ
N
convergência, visto que em geral são necessárias várias iteraç
e
VdeDVdeD
VdeSRVdSVdeeD
o
V
kijoijokijrso
o
V
kijoijokijrso
o
V
kijo
kij
tto
tto
V
kijo
kij
tto
o
V
kijo
kijoijrso
o
o
o
ooo
∫∫
∫∫∫
∆∆+∆∆+
+∆−=∆+∆∆ −∆+∆+−∆+
)(1
)(1
)()1()()1()()(
δεδδεδ
δηδδ
θ
C
n
88
)()1()( k
ik
ittk
itt uuu ∆+= −∆+∆+ (3.94)
(3.95)
(3.96)
forças externas e internas através de
ritérios de convergência apropriados (BATHE/CIMENTO,1980).
3.2.1 DISCRETIZAÇÃO UTILIZANDO ELEMENTOS FINITOS PARA
MODELOS BIDIMENSIONAL E AXISSIMÉTRICO
A discretização da equação (3.93) para modelos bidimensionais de estado plano de
tensão e deformação e modelos axissimétricos, é feita por meio de elementos finitos
isoparamétricos, a partir da decomposição do tensor de deformações de Green-Lagrange
conforme mostrado a seguir.
(3.97)
nde utilizando novamente (3.80) e (3.81) com o superescrito da iteração k, tem-se:
)()1()( kijo
kij
tto
kij
tto εεε ∆+= −∆+∆+
)()1()( ko
kij
tto
kij
tto SSS ∆+= −∆+∆+
Devendo-se verificar o desequilíbrio entre as
c
)()()( k
ijok
ijok
ijo e ηε ∆+∆=∆
O
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∆∂
∂∂
+∂∆∂
∂∂
+∂∆∂
+∂∆∂
=∆−∆+−∆+
io
kr
jo
kr
tt
jo
kr
io
kr
tt
io
kj
jo
kik
ijo xu
xu
xu
xu
xu
xue
)()1()()1()()()(
21 (3.98)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∆∂
∂∆∂
=∆j
o
kr
io
krk
ijo xu
xu )()(
)(η ( 9)
Abrindo as equações (3.98) e (3.99), para sua aplicação na análise de problemas de
estado plano de tensões e deformações e também de estruturas axissimétricas, obtém-se:
3.9
89
1
)(2
1
)1(2
1
)(1
1
)1(1
1
)(1)(
11 xu
xu
xu
xu
xue o
k
o
ktt
o
k
o
ktt
o
kk
o ∂∆∂
∂∂
+∂∆∂
∂∂
+∂∆∂
=∆−∆+−∆+
2222 xxx ooo ∂∂+
∂
)(2
)1(2
)(1
)1(1
2
)(2)(
22uuu
xu
xue
kkttk
o
ktt
o
kk
o∆∂∂∆∂
∂∂
+∂∆∂
=∆−∆+−∆+
⎟⎟⎠
⎞∂∆∂
∂∂
+∂∆∂
∂∂
+
⎜⎜⎝
⎛+
∂∆∂
∂∂
+∂∆∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∆∂
+∂∆∂
=
−∆+−∆+
−∆+−∆+
1
)(2
2
)1(2
1
)(1
2
)1(1
2
)(2
1
)1(2
2
)(1
1
)1(1
1
)(2
2
)(1)(
21 21
21
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xue
o
k
o
ktt
o
k
o
ktt
o
k
o
ktt
o
k
o
ktt
o
k
o
kk
∆=∆ )(12e ok
o
1
)(1
)1(1
1
)(1)(
33 xuu
xue o
kktt
o
kk
o∆
+∆
=−∆+
(3.100) ∆
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∆∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∆∂
=2
1
)(2
2
1
)(1)(
11 21
xu
xu
o
k
o
kk
oη ∆
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ ∂
=2
1)(22 2 xok
oη⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∆∂
+⎞⎛ ∆∂
∆2
2
)(2
2)(1xuuo
kk
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∆∂
∂∆∂
+∂∆∂
∂∆∂
=∆=∆2
)(2
1
)(2
2
)(1
1
)(1)(
21)(
12 21
xu
xu
xu
xu
o
k
o
k
o
k
o
kk
ok
o ηη
2
1
)(1)(
331
⎟⎟⎞
⎜⎜⎛ ∆
=∆uo
kk
oη 2 ⎠⎝ x (3.101)
k3
k a
estruturas axissimétricas.
Nas equações (3.100) e (3.101) os termos 33o e∆ e 3oη∆ , são utilizados somente par)( )(
90
O tensor de deformações linear pode ser dividido em duas parcelas. A primeira
função das derivadas parciais dos incrementos de desloc
k, e uma segunda função também dos deslocamentos acumulados até a iteração (k-1),
conforme pode ser visto abaixo.
)(kijo e∆
amentos para uma dada iteração
( )( )( ) ( )( )( )kijo
kijo
kijo eee 21)( ∆∆=∆ + (3.102)
Onde:
( )( )( )
1
)(11
11 xue o
kk
o ∂∆∂
=∆
)( )( )(2
)(21
22 xue o
kk
o ∂∆∂
= ∆
( )( )( ) ( )( )( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∆∂
+∂∆∂
=∆=∆1
)(2
2
)(11
21112 2
1x
uxuee o
k
o
kk
ok
o
( )( )( )
1
)(11
33 xue o
kk
o∆
=∆ (3.103)
e
( )( )1
)(2(2 u k∆
1
)1(2
1
)(1
1
)1(1)
11 xxu
xu
xue oo
ktt
o
k
o
kttk
o ∂∂
∂∂
+∂∆∂
∂∂
=∆−∆+−∆+
( )( )2
)(2
2
)1(2
2
)(1
2
)1(1)(2
22 xuu
xu
xue o
k
o
ktt
o
k
o
kttk
o ∂∆∂
∂∂
+∂∆∂
∂∂
=∆−∆+−∆+
x
91
( )( ) ( )( )
⎟⎟⎠
⎞∂∆∂
∂∂
+∂∆∂
∂∂
+
⎜⎜⎝
⎛+
∂∆∂
∂∂
+∂∆∂
∂∂
=∆=∆
−∆+−∆+
−∆+−∆+
1
)(2
2
)1(2
2
)(1
2
)1(1
2
)(2
2
)1(2
2
)(1
1
)1(1)(2
21)(2
12 21
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
xu
ee
o
k
o
ktt
o
k
o
ktt
o
k
o
ktt
o
k
o
kttk
ok
o
( )( )1
)(1
)1(1)(2
33 xuue o
kkttk
o∆
=∆−∆+
(3.104)
ada tensor de deformação linear apresentado acima, está associado a uma matriz de
imeiro tensor de
.102), apresentado abaixo na forma matricial.
C
transformação linear (deslocamento versus deformação), sendo o pr
(3
( )
icasaxissimétrestrutxuxuxuxuxu
e
ee
k
o
o
o
o
o
k
o
o
o
o
.
10000001100100000001
1
1
2
2
1
2
2
1
1
1
)(
)1(33
)1(12
)1(22
)1(11
→⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∆∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
∆∆∆∆
γ
(3.105)
Ou:
{ } [ ]{ } )(,
)()1(
21
kxx
ko oouAe ∆=∆ (3.106)
a expressão (3.105), foi utilizado , devido a sua aplicação no
princípio dos trabalhos virtuais, expresso na equação (3.93).
)1(
12)1(
12 2 eoo ∆=∆ γN
92
Em coordenadas naturais, o vetor de derivadas dos incrementos de deslocamentos é
dado por:
( ) ( )k
o
o
o
o
o
oo
oo
oo
oo
k
o xuxuxuxuxu
xxxx
xxxx
xu
u
u
u
u
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∆∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∆∂∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆∂
1
1
2
2
1
2
2
1
1
1
21
21
21
21
1
1
2
2
1
1
100000,,000,,00000,,000,,
ηη
ξξ
ηη
ξξ
η
ξ
η
ξ
(3.107)
Ou:
{ } [ ]{ } )(,
)(,
21
kxxao
koouJu ∆=∆ ηξ (3.108)
ortanto:
P
{ } [ ] { } )(,
1)(, 21
kao
kxx
uJu oo ηξ∆=∆ − (3.109)
Onde:
( )
)(
2
1
22
21
12
11
111oo xx
u⎢⎣⎪⎪
∆∂η
21
,,2,1
,,2,1
,,2,1
,,2,1
1
1
2
2
1
1
000
000000
000000
k
N
No
N
N
N
N
N
k
o
UU
UUUU
xHHH
HHHHHH
HHHHHH
x
u
u
u
u
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∆∆
∆∆∆∆
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡
=
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
∆∂∂∆∂∂∆∂∂∆
ML
L
L
L
L
ηηη
ξξξ
ηηη
ξξξ
ξ
η
ξ
(3.110)
⎧∂
93
Ou:
{ } [ ] { } )(,
)(,
kk UHu ∆=∆ ηξηξ (3.111)
Utilizando (3.111) em (3.109), tem-se:
{ } [ ] [ ] { } )(,
1)(, 21
kao
kxx
UHJu oo ∆=∆ −ηξ (3.112)
Nas expressões (3.107) e (3.110), foram utilizadas as relações:
r 1
r
o X1
(3.113)
r 1
(3.114)
- Funções de interpolação em coordenadas naturais;
- Coordenadas cartesianas dos pontos nodais na configuração
indeformada do corpo sólido.
- Incremento de deslocamentos dos pontos nodais.
e (3.113), tem-se:
∑=N
ror
o XHx 11 =
∑=N
rorHx 22
=
∑ ∆=∆N
rr UHu 11
=
∑=
∆=∆N
r
rr UHu
122
Onde:
rH
roro XeX 21
rr UeU 21 ∆∆
D
94
∑=
=N
r
or
o XHx1
,1 , ξξr
1
∑=N
=
ror
o XHx 2,2 , ξξ
r 1
∑=
=N
r
ror
o XHx1
1,1 , ηη
∑=
=N
r
ror
o XHx1
2,2 , ηη
(3.115)
A primeira parcela do tensor de deformações { } )(ko e∆ é obtida utilizando (3.112) em
(3.106), resultando em:
( ){ } [ ] [ ] [ ] { } )(,
1)(1 kao
ko UHJAe ∆=∆ −
ηξ (3.116)
ou:
( ){ } [ ] { } )(1
)(1 kL
ko UBe ∆=∆ (3.117)
Onde [B]L1 é a matriz [B], usual de pequenos deslocamentos.
segunda parcela do tensor de deformações
{ } )(kA o e∆ , é expressa por :
95
( )
( )
( )
( )
( )
( )k
o
o
o
o
ok
o
oo
tt
k
o
o
o
xuxux
uxu
xu
uuuu
xu
xu
ee
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∆∂∆∂∂
∆∂∂∆∂
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂∂∂
∂∂
∂∂
=⎪
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎧
∆∆∆
−∆+
1
2
2
1
2
1
1
11
1
1
2211
22
1
2
1
1
)(
212
222
211
0000
0
0
000
γ
(3.118)
oo ux
xu
xu
⎪⎪
⎪⎪∆∂∂
⎥⎥
∂∂
∂∂ 221 00
ooooo
xxxxe ⎢⎢ ∂∂∂∂⎪⎭⎪⎩∆ 1212
233
⎪⎨
1
Ou:
( ){ } [ ] { } )(,
)1()(2 ko e∆
21
kxx
ktto oouL ∆= −∆+ (3.119)
Na expressão (3.118), foi utilizado , devido a sua aplicação no
princípio dos trabalhos virtuais, expresso na equação (3.93).
A defini s deslocamentos da última iteração
realizada, é dada por :
)2(12
)2(12 2 eoo ∆=∆ γ
ção da matriz [ ] )1( −∆+ ktto L , que depende do
( )1
1
)1( 01
−
−∆+
⎪⎫
⎪⎧∂∂
⎡⎫⎧
k
o
ktt
xu
l
1
1
2
2
1
2
2
1
1
33
21
22
12
11
10000001000100000010000
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
∂∂∂∂∂∂
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
o
o
o
o
o
xu
xux
ux
u
llll
(3.120)
96
Ou:
[ ] [ ] { } )1(,
)1(
21
−∆+−∆+ = kxx
ttL
ktto oouAl (3.121)
nde:
O( ) ( )1
1
11
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
oo xu
xu
2
2
1
2
2
1
21
21
21
21
1
1
2
1
1
100000,,000,,00000,,
0,,
−∆+−∆+
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂
∂∂
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂
∂∂∂∂∂∂
k
o
o
o
o
tt
oo
oo
oo
oo
ktt
xux
ux
xu
xxxx
xxxx
u
u
u
ηη
ξξ
ηη
ξξ
η
ξ
η
ξ
(3.122)
ou:
1
1
00 ⎪⎪
⎪⎪∂⎤ u
2 ⎪⎪
⎪⎪∂u
{ } [ ] { } )1(,
)1(,
21
−∆+−∆+ = kxx
ttao
kttoouJu ηξ (3.123)
Portanto:
{ } [ ] { } )1(,
1)1(, 121
−∆+−−∆+ = kttao
kxx
tt uJu oo ηξ (3.124)
97
Mas:
( )
)1(11
1−∆+
⎫⎧⎪⎪
⎪⎪ ∂ ktt
Uξ
211
2
1
1
1
000⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎩
⎥⎥
⎦⎢⎢
⎣⎪⎪⎪⎪
⎪⎪ N
No
Noo
UU
HHH
u
L1
22
21
12
,,2,1
,,2,1
,,2
,,2,1
1
1
2
2
1
00000
000000
−∆
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎬⎪
⎪⎪⎪⎪
⎨⎥⎥⎥⎥⎥⎤
⎢⎢
⎢⎡
=
⎪
⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂
∂
∂
N
N
N
N
k
o
t
UUU
xxx
HHHHHH
HHHHH
x
u
u
u
ML
L
L
L
ηηη
ξξξ
ηη
ξξξ
η
ξ (3.125)
+t
,1
0⎢⎢
⎪⎪
⎪⎪∂∂ Hu
ηη
Ou:
{ } [ ] { } )1(,
)1(,
−∆+−∆+ = kttktt UHu ηξηξ (3.126)
Logo, tem-se que:
[ ] [ ] [ ] [ ] { } )1(,
1)1( −∆+−−∆+ = kttaoL
ktto UHJAl ηξ (3.127)
Deste modo,a partir de [ ] )1( −∆+ ktto l pode-se montar a matriz [ ] )1( −∆+ ktt como mostrado a o L ,
seguir :
[ ]
( )1
21221112
2212
2111
)1(
00000000000
−∆+
−∆+
⎥⎥⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎡
=
ktt
ktto
lllllll
ll
L (3.128)
33 ⎦⎣o
Para se obter a segunda parcela do tensor de deformações
{ } )(ko e∆ , utiliza-se (3.112) e
(3.128) em (3.119), chegando-se a:
98
( ){ } [ ] [ ] [ ] { } )(,
1)1()(2 kao
ktto
ko UHJLe ∆=∆ −−∆+
ηξ (3.129)
Ou:
( ){ } [ ] { } )()1(2
)(2 kkL
tto
ko UBe ∆=∆ −∆+ (3.130)
O tensor de deformações (3.102), utilizando (3.117) e (3.130) é dado por:
{ } ( ){ } ( ){ } [ ] [ ]( ){ } )()1(21
)(2)(1)( kkL
ttoLo
ko
ko
ko UBBeee ∆+=∆+∆=∆ −∆+ (3.131)
Ou:
{ } [ ]( ){ } )()1()( kkL
tto
ko UBe ∆=∆ −∆+ (3.132)
nde :
[ ] [ ] [ ] )1(21
)1( −∆+−∆+ += kL
ttoLo
kL
tto BBBO (3.133)
Voltando a equação de equilíbrio (3.93), e utilizando a relação (3.132) nas parcelas que
dependem do tensor de deformações
{ } )(koe∆ , tem-se :
i)
{ }( ) [ ]{ }
{ }( ) [ ]( ) [ ] [ ] { } )()1()1()(
)()()()(
ko
V
kL
ttoo
TkL
tto
Tk
o
V
koo
Tko
o
V
kijo
kijoijrso
UVdBDBU
VdeDeVdeeD
o
oo
∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆=
=∆∆=∆∆
∫
∫∫
−∆+−∆+δ
δδ
(3.134)
99
Podendo-se definir a partir de (3.134) a matriz de rigidez linear como:
[ ] [ ]( ) [ ] [ ] VdBDBK o
V
kL
ttoo
TkL
tto
kL
tto
o∫ −∆+−∆+−∆+ = )1()1()1( (3.135)
ii)
{ }( ) { } =−∆+
VdSe oktt
o
Tk )1()( ˆ
{ }( ) [ ]( ) { }⎜⎛
∆= ∫−∆+−∆+ VdSBU okttTk
Ltto
Tk )1()1()( ˆδ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎝
∆=∆ ∫∫ −∆+ VdeS
Vo
V
o
V
kijo
kij
tto
o
oo
)()1( δδ
odendo-se definir o vetor de esforços internos como:
(3.136)
P
{ } [ ]( ) { } VdSBR o
V
ktt
o
TkL
tto
ktto
o∫
−∆+−∆+−∆+ =)1()1()1( ˆ
σ (3.137)
O
(3.138)
nde:
{ }
)1(
33
12
22
11
)1(ˆ
−∆+
−∆+
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
ktt
o
ktt
o
SSSS
S
100
iii)
{ }( ) [ ]{ } =∆∆=∆∆ ∫∫ VdDeVdeD oTkokijoijokijrso 1
)()(1 δεδδεδ θθ
{ }( ) [ ]( ) [ ]{ }
V oo
(3.139)
Vkoo
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆∆= ∫ −∆+ VdDBU o
Vkoo
TkL
tto
Tk
o1
)1()( δεδ θ
Podendo-se definir o vetor de esforço térmico como:
{ } [ ]( ) [ ]{ } dDB koo
TkL
tto
o∫ ∆= −∆+−
1)1()1 δε θ VR o
V
ktto∆+ (
θ (3.140)
o pode ser observado na expressão acima, o símbolo δ1k (delta de Kroenecker)
indica que o vetor de carregamento térmico só deve ser inserido na expressão (3.93) na
primeira iteração do processo de convergênc
rativo.
Com
ia, visto o solver adotado ser incremental-
ite
iv)
{ }( ) [ ]{ }
{ }( ) [ ]( ) [ ]{ } ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆∆=
=∆
∫
∫
−∆+ VdDBU
VdD
o
Vk
ooo
TkL
tto
Tk
o
Vk
ooo
Tk
V
o
o
o
1)1()(
1)(
δεδ
δε
(3.141)
odendo-se definir o vetor de esforço inicial como:
∆=∆∆ ∫ eVdeD okijoijokijrso
o
)(1 δδεδ
P
{ } [ ]( ) [ ]{ } VdDBR o
VLooo
o∫ k
ooo
Tkttktt ∆= −∆+−∆+1
)1()1( δε (3.142)
101
Para a obtenção da representação matricial da equação de equilíbrio (3.93), é necessário
r ainda os termos e VdS o
V
kijo
kij
tto
o∫ ∆−∆+ )()1( ηδ Rtt ∆+trata .
termo dependente da parcela não-linear do incremento de deformações de Green-
agrange, inclui a matriz de transformação não-linear de deslocamentos versus
kijoηδ∆− , para a análises considerando estado plano de
eformação e tensão, além de estruturas axissimétricas, tem-se:
(3.143)
A
O
L
deformação, conforme mostrado a seguir.
Desenvolvendo o termo (kij
tto S∆+ )()1
d
)(33
)1(33
)(22
)1(22
)(21
)1(21
)(12
)1(12
)(11
)1(11
)()1(
ko
ktto
ko
ktto
ko
ktto
ko
ktto
ko
ktto
kijo
kij
tto
SS
SSSS
ηδηδ
ηδηδηδηδ
∆+∆+
+∆+∆+∆=∆
−∆+−∆+
−∆+−∆+−∆+−∆+
plicando-se o operador variacional δ, nas expressões de (3.102), chega-se a:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎝ ∂⎟
⎠⎜⎝ ∂
=1
11 xx ooo δη ⎜⎛
∂∆∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∆∂
+∆∂⎟
⎞⎜⎛ ∆∂
∆1
)(2
1
)(2
1
)(1
)(1)(
xu
xuuu
o
k
o
kkkk δδ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛k
∂∆∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∆∂
+∂∆∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∆∂
=∆2
)(2
2
)(2
2
)(1
2
)(1)(
22 xu
xu
xu
xu
o
k
o
k
o
k
o
k
o δδη
δ
⎥⎥⎤⎟⎞
⎜⎛ ∆∂∆∂
+)(
2)(
2 uuu kk
δ⎦⎟⎠
⎜⎝ ∂∂∂
∆∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∆∂
+
⎢⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∆∂
∂∆∂
+∂∆∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∆∂
=
212
)(2
1
)(2
2
)(1
1
)(1
2
)(1
1
)(1)(
12 21
xxxxu
xu
xu
xu
xu
ooo
k
o
k
o
k
o
k
o
k
o
kk
o
δ
δδη
∆δ
102
⎥⎥⎦
⎤⎟⎞
⎜⎛ ∆∂∆∂
+∂∆∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∆∂
+)(
2)(
2
1
)(2
2
)(2 uu
xu
xu kk
o
k
o
k
δ ⎟⎠
⎜⎝ ∂∂
+⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ ∂∂
+
12
121
xx
xxx
oo
ooo
δ
δ
(3.144)
⎢⎢⎣
⎡ ⎞⎛ ∆∂∆∂∂∆∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∆∂
=∆)(
1)(
1)(
1
2
)(1)(
21 21 uuu
xu kkk
o
kk
o δηδ
Para a análise de estruturas axissimétricas, temos:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∆∆=∆ 2
1
)(1
)(1)(
33x
uuo
kkk
oδ
ηδ (3.145)
strar que:
Utilizando (3.144) e (3.145), em (3.143), pode-se mo
⎪⎪⎪
⎪⎪∆∂
)(2
ux
k
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∆∂∂∆∂
∂∆∂
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢
⎣
⎪⎪ ∂∆∂
⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
⋅
−∆+1
)1(
2221
1211
000000
xu
SSSS
o
ktt
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∆∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∆∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∆∂
1
1
)(2
1
)(2
2
)(1
)(1
33
2221
1211
00000
000000
x
ux
u
xu
SSSSS
o
o
k
o
k
k
o
k
(3.146)
tensor de deformação esta associado a matriz de transformação não-linear
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∆∂
=∆−∆+
1
)(1
2
)(2
1
)(2
2
)(1
1
)(1)()1( .
xu
xu
xu
xu
xuS
T
o
k
o
k
o
k
o
k
o
kk
ijok
ijtt
o δδδδδηδ
)(k
ijoη∆O
(deslocamento versus deformação) [ ]NLo B , obtida a partir do vetor de derivadas dos
incrementos de deslocamentos que aparece na equação (3.146).
103
O vetor de der deslocamentos já foi obtido na expressão
.113), sendo escrito abaixo novamente.
ivadas dos incrementos de
(3
( )
[ ] [ ] { } )(,
1
1o x ⎪⎭⎪⎩
1
2
1
2
2
1
1
1
kao
k
o
o
o
UHJ
u
xuxuxu
∆=
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∆
2oxu⎪⎪
⎪⎪∂
∂∆∂∂∆∂∂∆∂
−ηξ (3.147)
odendo-se definir a matriz , conforme abaixo, a partir de (3.147).
∆∂
[ ]NLo BP
‘
{ } [ ] { } )()(, 21
kNLo
kxx
UBu oo ∆=∆ (3.148)
e
{ } [ ] { } )()(, 21
kNLo
kxx UBu oo ∆=∆ δδ (3.149)
nde:
(3.150)
O
[ ] [ ] [ ]DNJB aoNLo1−=
Introduzindo (3.148) e (3.149) em (3.146), tem-se:
{ }( ) [ ] { }
{ }( ) [ ] [ ] [ ] { } )()1( kkttTT −∆+)(
)(,
)1()(,
)()1(
2121
NLooNLok
kxx
ktto
Tkxx
kijo
kij
tto
UBSBU
uSuS oooo
∆∆=
=∆∆=∆ −∆+−∆+
δ
δηδ
(3.151)
104
Com (3.151), finalmente chega-se a forma matricial utilizada no método dos elementos
(3.152)
onde:
2221
1211
2221
1211
)1(0
000000000000 −∆+
−∆+
⎥⎥⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎡
=
ktt
ktt
SSSS
SSSS
S (3.153)
Para se obter a o método dos
lementos finitos, falta ainda determinar as matrizes correspondentes ao trabalho
finitos para o termo dependente da parcela não-linear do incremento de deformações de
Green-Lagrange, conforme abaixo.
{ }( ) [ ] [ ] [ ] { } )()1()()()1( ko
VNLo
ktto
TNLo
Tko
V
kijo
kij
tto UVdBSBUVdS
oo
∆⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∆=∆ ∫∫ −∆+−∆+ δηδ
[ ]
)1(
3300000 ⎥⎦⎢⎣ S
forma matricial da equação de equilíbrio (3.94) utilizada n
e
realizado pelas forças externas, dadas por:
{ } { } { } { } { } { }CTo
S
Stto
Ttto
V
Vtto
Ttt
ii
Ci
oSi
tt
S
Si
tto
oi
tt
V
Vi
ttoext
tt
RUSdfuVdfu
URSdufVdufR
oo
oo
∆tt
∆tt
+∆+∆+∆+∆+
+∆+∆+∆+∆+∆+
++=
=++=
∫∫
∑∫∫
δδδ
δδδ
(3.154)
(3.155)
A decomposição do deslocamento no instante t + ∆t, é dada por:
{ } { } { }uuu ttt ∆+=∆+
105
ou:
{ } { }( ) { }( ) { }( )kkttktttt uuuu ∆+== −∆+∆+∆+ 1 (3.156)
ssim, tem-se que:
(3.157)
Substituindo (3.157) em (3.154), temos que:
A
{ }( ) { }( )kktt uu ∆=∆+ δδ
{ } { }( )( ) { } { }( )( ) { } { } { }CTo
So
Voext RUSdfuVdfuR
oo
∆tt+∆+∆+∆= ∫∫ δδδ
(3.158)
ento de deslocamentos no nível do elemento, pode ser obtido em função dos
deslocamentos nodais, como mostrad
2
1
22
21
12
321 0...0000
N
N
N
Nk
UU
UUU
HHHHu
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
∆∆
∆∆∆
⎥⎦
⎤⎢⎣
=∆
δδ
δδδ
δM
(3.159)
u:
SttTkoVttTktt ∆+∆+∆+
O increm
o a seguir.
)(1
1
kU ⎫⎧ ∆δ
321 ...000 HHHH⎡{ }( )
o
{ }( ) [ ] { } )(kk UHu ∆=∆ δδ (3.160)
106
Utilizando (3.160) em (3.158), chega-se a:
{ } { }( )( ) [ ] { } { }( )( ) [ ] { } { } { }CTo
SV oo
(3.161)
Stto
TS
TkoVtto
TTkext
t RUSdfHUVdfHUR o∆tt+∆+∆+∆ ∆+∆+∆= ∫∫ δδδ
a:
o f∆ - Expressa as forças de superfície que atuam no corpo sólido no instante t +
t, medida por unidade de área na configuração inicial (indeformada).
- Expressa as forças concentradas que atuam no corpo sólido no instante t +
t, medida por unidade de área na configuração inicial (indeformada).
m geral depende da área e volume do sólido em análise no instante t + ∆t,
ndo considerado neste trabalho por simplicidade que o carregamento é independente
a deformação do corpo sólido, podendo ser medido na configuração indeformada,
onforme mostrado nas expressões anteriores.
tilizando expressões desenvolvidas em (3.136), (3.138), (3.141), (3.152) e (3.161) na
quação de equilíbrio (3.94), pode-se obter o sistema de equações na forma recursiva do
o da
rmulação Lagrangeana Total, conforme mostrado a seguir.
t+
Na expressão acim
{ }Vtto f∆+ - Expressa as forças volumétricas que atuam no corpo sólido no instante t +
∆t, medida por unidade de volume na configuração inicial (indeformada).
{ }Stt+
∆
{ }Ctto R∆+
∆
{ }exttto R∆+E
se
d
c
U
e
método dos elementos finitos, para materiais inelásticos através da aplicaçã
fo
107
{ }( ) [ ]( ) [ ] [ ] { } +∆⎟⎞
⎜⎜⎝
⎛∆=
+∆−=∆+∆∆
∫
∫∫
∫∫∫
−∆+−∆+
−∆+∆+−∆+
UVdBDBU
VdeDVdeD
VdeSRVdSVdeeD
ko
V
kttTktto
Tk
o
Vijoijoijrso
o
Vijoijoijrso
o
V
kijo
kij
tto
tto
V
kijo
kij
tto
o
V
kijo
kijoijrso
o
o
o
o
ooo
)()1()1((
)()1()()1()()(
δ
δηδδ
θ
{ }( ) [ ] [ ] [ ] { } { }( )( ) [ ] { } +∆=∆⎟⎟⎞
⎜⎜⎝
⎛∆+ ∫∫ ∆+−∆+ VdfHUUVdBSBU oT
Vtto
TTkko
VNLo
ktto
TNLo
Tk
o
)()1()( δδ
{ }( )( ) [ ] (
{ } [ ] [ ]{ } { } [ ] [ ]{ } ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
∆∆+⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
∆∆
+⎟⎟⎠
⎞
⎝∆+
⎠
⎟⎠
=∆∆+∆∆+
∫∫ − VdDBUVdDBU
VdUSd
o
Vk
ooo
TkLo
VkooLo
o
V
o
S
V
LooL
oo
oo
o
1)1(
1
)
)
δεδδεδ
δ
δεδε
(3.162)
{ } } ) { } { }( ) [ ]( ) { }⎜⎜⎛
∆−∆+ ∫∫−∆+−∆++∆+ SBURfHU
ktt
o
TkL
tto
TkC
TkTS
tto
TS
Tko
1()1()()( ˆδδ ∆tt{
( ) ( ) ( ) ( )⎛⎞⎛ ∆+−∆+ ttTkoTkttTk )()1()( θ+
Colocando { }( )
}RVdDBVdDB
VdSBSdfHVdfH
oo
oo
o
o
∆tt+−∆+−∆+
−∆+−∆+∆+∆+
+∆+∆
+−+
⎞
∫∫
∫∫∫
1)1(
1)1(
)1()1( ˆ
δεδε θ
( )TkU∆δ em evidência, obtém-se:
[ ]( ) [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] { } ko
VNLo
ktto
TNLo
o
V
kL
ttoo
TkL
tto UVdBSBVdBDB
oo
−∆+−∆+−∆+ =∆⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
+= ∫∫ )()1()1()1(⎛
[ ] { } [ ] { } [ ]( ) { }
[ ]( ) [ ]{ } [ ]( ) [ ]{ } { Co
Vk
ooo
TkL
tto
o
Vkoo
TkL
tto
o
V
ktt
o
TkL
tto
o
S
TS
tto
TS
o
V
TV
tto
T=
+
(3.163)
108
ou:
[ ] [ ]( ){ } { } { } { } { otto }RR ∆++θ tt
oktt
oexttto
kkNL
tto
kL
tto RRUKK ∆+−∆+∆+−∆+−∆+ +−=∆+ σ
)1()()1()1(
(3.164)
onde:
[ ] [ ]( ) [ ] [ ] VdBDBK o
V
kL
ttoo
TkL
tto
kL
tto
o∫ −∆+−∆+−∆+ = )1()1()1( (3.165)
[ ] [ ] [BK ttTktt ∫ ∆+−∆+ =)1( ] [ ] VdBS o
VNLo
koNLoNLo
o
− )1( (3.166)
{ } [ ] { } [ ] { } { }Co
S
TS
tto
TS
o
V
TV
tto
Text
tt+o RSdfHVdfHR
o
o
o
∆tt+∆+∆+∆ ++= ∫∫ (3.167)
∆+∆−∆+ =())1( (3.168)
ko
Tktt∫ ∆= −∆+1
)1( δε θ (3.169)
ko
o
Tktto
tto ∫ ∆= −∆+∆+
1)1( δε (3.170)
{ } [ ]( ) { } VdSBF o
V
ktt
o
TkL
tto
ktto
o∫
−−+ )11( ˆ
{ }tt ∆+ [ ]( ) [ ]{ } VdDBR o
VoLoo
oθ
{ } [ ]( ) [ ]{ } VdDBR o
VoLo
o
109
3.3 INTEGRAÇÃO NUMÉRICA DAS INTEGRAIS DEFINIDAS NA EQUAÇÃO
MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS DO
o uma
f
A seguir é apresentada a forma de integração das integrais definidas na equação do
método dos elementos finitos, mostradas nos itens anteriores. As principais integrais da
equação do método dos elementos finitos são volumétricas, sendo dada atenção especial
a este caso.
O integrando das integrais a serem calculadas será definido genericamente com
unção matricial [ ]F qualquer, definida sobre todo o volume do corpo sólido, deste
modo temos:
Para modelos bidimensionais de estado plano de tensão e deformação
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∫ ∫∫∫+ +
−
==1
1
1
1
det ηξddJFttdVFFSV
(3.171)
−
=dSF
u aplicando a regra de integração de Gauss-Legendre: O
[ ] [ ] [ ] ji
NG
i
NG
jijij WWJFtF ∑∑
= =
os:
=1 1
det (3.172)
Para modelos axissimétric
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]∫ ∫∫∫+
−
+
−
===1
1
1
1
det ηξddJRFdSRFdVFFSV
(3.173)
ou:
[ ] [ ] [ ] ji
NG
i
NG
jijijij WWJRFF ∑∑
= =
=1 1
det (3.174)
110
Para modelos tridimensionais:
[ ] [ ] [ ] [ ]∫ ∫ ∫∫+
−
+
−
+
−
==1
1
1
1
1
1
det ζηξ dddJFdVFFV
(3.175)
ou:
[ ] [ ] [ ]∑∑∑= = =
=NG
i
NG
j
NG
kkjiijkijk WWWJFF
1 1 1det (3.176)
Nas expressões acim
t – Espessura do corpo sólido.
ro de pontos de integração nas direções locais.
,, - Coeficientes de integração Gauss-Legendre.
a para o cálculo numéricos das integrais de volume, tem-se:
NG – Núme
[ ]ijkF - Função matricial no (i-ézimo, j-ézimo, k-ésimo) ponto de integração.
kji WWW
ijR - Raio do modelo axissimétrico segundo a direção do eixo das abcissas do (i-ézimo,
j-ézimo) ponto de integração.
[ ]J - Matriz de Jacobiana
Sendo que:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
ζζζ
ηηη
ξξξ
,,,,,,,,,
zyxzyxzyx
; para modelos tridimensionais J
111
e
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
ηη
ξξ
,,,,
yxyx
J ; para modelos bidimensionais e axissimétricos
A integração numérica das integrais de volume mostradas acima, abrange a maioria dos
termos presentes na equação do método dos elementos finitos, sendo mostrado abaixo a
forma obtida para a integração numérica da matriz de rigidez dos elementos sólidos para
modelos bidimensionais.
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ]∫ ∫∫∫− −
===1 1
det ηξddJBDBtdSBDBtdVBDBK T
S
T
V
T
+ +1 1
(3.177)
u aplicando a regra de integração de Gauss-Legendre:
O
[ ] [ ] [ ][ ]( ) [ ] ji
NG
i
NG
jijij
T WWJBDBtK ∑∑= =
=1 1
det (3.178)
As demais integrais de volume da equação de equilíbrio do método dos elementos
finitos seguem o mesmo procedimento visto acima.
Outra categoria importante de integração numérica a ser feita para a equação de
equilíbrio, é a de integrais de superfície. A seguir será mostrada a integração numérica
da integral de superfície de pressões externas aplicadas no contorno do elemento, para
modelos bidimensionais e tridimensionais.
Para modelos bidimensiona ressões externas aplicadas
as faces dos elementos é dada por:
is, a força nodal equivalente às p
n
112
{ } [ ] { } 79)
s pressões externas são fornecidas nos pontos nodais da superfície do elemento, e
aç
FYFXFYFX
HHHHHH
ff
f
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎬
⎫
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=M
2
2
1
1
21
21
0...000...00
(3.181)
u:
S Ff ⎪⎭⎪⎩
⎪⎨⎧
= (3.182)
este modo, utilizando (3.182) em (3.179), temos:
dSfHR STSS ∫= (3.1
S
onde: { }⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
= Sy
SxS
ff
f (3.180)
A
interpoladas para sua obtenção nos pontos de integr ão.
{ }
S
N
N
N
NS
y
SxS
FY
⎪⎪
⎪⎪
FX⎪⎪
o
{ } [S
x Hf
f =⎪⎬⎫ ]{ }SS
Sy
D
{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ } [ ]∫∫−
==1
det ξdJFHHtdSFHHR SSSTSS
S
STSS (3.183)
+1
113
Ou aplicando a regra de integração de Gauss-Legendre:
{ } [ ] [ ] { } [ ] i
NG
i
SSSTS WJFHHtR ∑ iiiiS=
=1
det (3.184)
onde:
[ ]2/122
det⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=ξξyxJ S (3.185)
n
TSS ∫= (3.186)
onde: ⎪⎬
⎫⎪⎨
⎧= S
y
Sx
S ff
f (3.187)
As pressões externas são fornecidas nos
esma for
caso bidimensional.
Para modelos tridimensionais, a força nodal equivalente às pressões externas aplicadas
as faces dos elementos é dada por:
{ } [ ] { } dSfHR S
S
{ }⎪⎭⎪⎩
Szf
pontos nodais da superfície do elemento e
interpoladas para sua obtenção nos pontos de integração, da m ma à realizada no
114
{ } NS
Sy
S
FZHHHff⎪⎨⎥⎢=
⎪⎬
⎪⎨= 21 00...0000
S
N
N
N
N
N
z
Sx
FZFYFX
FYFXFZFYFX
HHH
HHH
f
f
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎭
⎪⎫
⎩
⎪⎧
M2
2
2
1
1
1
21
21
00...0000
00...0000
(3.189)
este modo, utilizando (3.189) em (3.186), temos:
(3.190)
área dS é obtida através de álgebra vetorial, fazendo o produto vetorial de dois
etores tangentes à superfície do elemento sólido onde é aplicada a pressão, assim:
(3.188)
ou:
{ } [ ]{ }SS
Sz
Sy
Sx
S FHfff
f =⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
D
{ } [ ] [ ]{ } dSFHHR S
S
STSS ∫=
A
v
115
ηξ
η
η
η
ξ
ξ
ξ
dd
z
y
x
z
y
x
Sd
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂
∧
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂
=r
(3.191)
assim:
ηξ
ηξηξ
ηξηξ
ηξηξ
ddSSS
xyyx
zxxz
yzzy
Sd
z
y
x
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
=r
(3.192)
Com (3.192) a equação (3.190), pode se reescrita como:
{ } [ ] [ ]{ } ηξddSdFH SSTSr+ +1 1
HRS ∫ ∫− −
=1 1
(3.193)
onde:
222zyx SSSSd ++=
r (3.194)
Aplicando a regra de integração de Gauss-Legendre na equação (3.193), temos:
{ } [ ] [ ] { } ji
NG
i
NG
j ij
Sijij
STij
SS WWSdFHHR ∑∑
= =
=1 1
r (3.195)
116
4 PLASTICIDADE
A teoria linear entre tensões e deformações é tratada na teoria matemática da
elasticidade e largamente utilizada na prática da engenharia. Porém, em muitos casos, a
teoria da elasticidade não é adequada no tratamento de problemas mais complexos,
devendo ser estendida, considerando-se o comportamento não-linear entre tensões e
deformações. Essa extensão é tratada na teoria matemática da plasticidade, que
possibilita o melhor tratamento de vários fenômenos ligados à análise de tensões.
Neste capítulo, serão apresentados os conceitos básicos da teoria da plasticidade, que
serão utilizados na formulação do Método dos Elementos Finitos, introduzindo o
comportam
hipóteses do modelo de materiais com
ento não linear entre tensão e deformação.
São revistos conceitos relativos às
comportamento plástico, função de escoamento, envoltória de resistência de Mohr-
Coulomb e Von Mises, relação incremental tensão-deformação em regime plástico,
etc...
117
4.1 LEI DE ESCOAMENTO PLÁSTICO PARA MATERIAIS ISOTRÓPICOS
No estudo do estado de tensões que leva o material ao escoamento pode-se definir uma
função de escoamento que no caso de materiais com comportamento isotrópico depende
do estado de tensões, e parâmetros do material ( ( )kijf ,σ )
(CHEN,1988,ZIENKIENWICZ,1969). O escoamento do material ocorre quando a
superfície de escoamento do material alcança um valor crítico, dado pela
expressão ( ) ( )pij kF εσ 2= . Na expressão que define o início das deformações plásticas
2
mações plásticas. O parâmetro 2k pode ser expresso em função da deformação
plástica efetiva obtida através de um
F representa a superfície de escoamento do material, sendo comandada pelo parâm
, que representa a evolução do tamanho desta superfície com a evolução de
ensaio uniaxial.
ento para materiais com comportamento isotrópico é dada por uma
expressão do tipo:
etro
k
defor
A função de escoam
( ) 0, =kijf σ (4.1)
ou
( ) ( ) ( )pijij kFf k εσσ 2, −= (4.2)
No desenvolvimento da teoria da plasticidade em materiais isotrópicos com
encruamento (“work hardening”), as seguintes condições são necessárias.
Existência de uma superfície inicial de escoamento que define o limite elástico do
material para um estado multiaxial de tensões.
Lei de encruamento que descreva a evolução da superfície de escoamento, durante o
processo de carregamento.
Lei de escoamento, que relaciona a função de potencial plástico com a direção e o valor
da deformação plástica no espaço de tensões.
118
utro importante conceito utilizado na teoria da plasticidade, refere-se à determinação
as condições de “carregamento” e “descarregamento”, que são óbvios para o caso
ento (elástico ou plástico) e descarregamento
lástico), são importantes para determinar se a relação constitutiva utilizada no cálculo
forme será visto mais
diante na obtenção das relações incrementais tensão-deformação.
ara um material plástico-perfeito as condições para verificação de carregamento e
escarregamento ou Carregamento Elástico:
(4.4)
nde :
O
d
uniaxial, não ocorrendo o mesmo para o caso multiaxial analisado neste trabalho. A
verificação das condições de carregam
(e
do incremento de tensões será elástica ou elasto-plástica, con
a
A seguir serão mostradas as condições para verificar a ocorrência de carregamento e
descarregamento, mostrando-se primeiramente o caso de materiais sem endurecimento
(plástico-perfeito), e posteriormente de materiais com endurecimento isotrópico.
P
descarregamento podem ser expressas da seguinte forma (COSTA,1978,CHEN,1988):
Carregamento (plástico):
{ }pdε > 0 se f = 0 e df = 0 (4.3)
D
{ }pdε = 0 se f < 0 ou f = 0 e df < 0
o
( ) ( ) 2oijij kFff −== σσ (4.5)
e
ijij
ddf σ∂σ
= ou { }
f∂ { }σσ∂
ddf
T
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= (4.6) ∂f
119
A expressão (4.6) é conhecida como condição de consistência, sendo de fundamental
importância no estudo do comportamento de materiais que exibem deformações
lásticas. Para materiais com comportamento plástico-perfeito, o parâmetro
permanece constante, sendo o diferencial da função de escoamento dependente apenas
do incremento no estado de tensões.
Isto pode ser melhor compreendido observando o comportamento de um material
plástico-perfeito submetido à um carregam e a tensão de escoamento
22okk = p
ento uniaxial, ond
( ook σ= ) é limitada pelo valor oσ constante (Figura 4.1).
Generalizando este conceito para um estado multiaxial de tensões, tem-se a função de
escoamento do material, que será vista em detalhe mais a frente. Deste modo a condição
de consistência dada pelo diferencial da função de escoamento df = 0 , implica que um
ponto do estado de tensões sobre a superfície de escoamento não pode mover-se para
fora desta devido a um incremento de tensão. Interpretando geometricamente ijσ ({ }σ )
e ijdσ ({ }σd ), como vetores no espaço de tensões (CHEN,1988), um incremento de
carregamento na tensão ( ijσ ) que desenvolva deformações plásticas no material, deve
g superfície escoamento (F
tensões esteja no interior da superfície de escoamento do m increm
tensões e deformações são elásticos não gerando deformações permanentes no ma
Na Figura 4.2 como nas demais mostradas neste item, será utilizad
escoamento de von Mises plano ), que permite a visualização dos
conceitos descritos de uma forma mais simples.
Conforme foi visto acima a função de escoamento serve como um critério para
verificação de carregamento em regime elasto-plástico, como para verificação de
descarregamento e carregamento em regime elástico. A função de escoamento do
material
ser tan ente à de igura 4.2). Por outro lado caso o estado de
aterial, o ento de
terial.
a a superfície de
21 σσ x ( 03 =σ
( )ijf σ também é chamada de função de carregamento (CHEN,1988) pelos
motivos expostos acima.
120
Figura 4.1 – Diagrama uniaxial tensão-deformação
para material plástico-perfeito
Figura 4.2 – Representação geométrica da superfície de escoamento para material
plástico perfeito, com carregamento e descarregamento no estado de tensões
121
A seguir serão vistas as condições de carregamento e descarregamento para materiais
com endurecimento plástico, que podem ser compreendidas observando o
comportamento de um teste de carregamento uniaxial (Figura 4.3).
A generalização do conceito de carregamento e descarregamento para um estado
ultiaxial de tensões é feita utilizando-se a função de escoamento do material. Para que
ultiaxial de tensões. Para expressar matematicamente as condições de
arregamento e descarregamento de materiais com endurecimento, é necessário utilizar
m
ocorra um carregamento em regime elasto-plástico com o desenvolvimento de
deformações plásticas e conseqüentemente expansão da superfície de escoamento, o
ponto do estado de tensões sobre a superfície de escoamento deve mover-se para fora
desta, quando é imposto um incremento de tensão. A Figura 4.4 fornece uma
interpretação geométrica para as condições de carregamento e descarregamento para um
estado m
c
o vetor { }fn normal à função de carregamento do material, definido pela expressão
.7). D rma, para que um incremento de carregamento na tensão ( ) desenvolva
eformações plásticas no material (condição de carregamento), o incremento de tensões
nalisado
igura 4.4). Por outro lado caso seja dado um incremento de tensões que leve o estado
e tensões para o interior da superfície de escoamento do material (condição de
egamento), neste caso deve-se ter um ângulo obtuso entre o incremento de
al no ponto analisado (Figura 4.4), gerando desta forma apenas
def mbém que no caso do incremento de
te bre a superfície de carregamento, formando um ângulo reto com a
ormal no ponto analisado, tem-se uma condição chamada de carregamento neutro sem
ente ao verificado no caso de
m material plástico-perfeito, onde um incremento de tensões com geração de
eformações plásticas, deve obrigatoriament fície de
escoamento (perpendicular a normal no ponto).
al à função de escoamento do material num ponto é dada pela seguinte
(4 esta fo ijσ
d
deve formar um ângulo agudo com a normal a função de escoamento no ponto a
(F
d
descarr
tensão e a norm
ormações elásticas no material. Observa-se ta
nsões mover-se so
n
a geração de deformações plásticas adicionais, diferentem
u
d e caminhar sobre a mesma super
A norm
expressão:
122
21
⎟⎠⎞
⎜⎛ ∂∂f
⎝ ∂∂
∂∂
=
klkl
ijfij
f
f
n
σσ
σ (4.7)
Figura 4.3 – Diagrama uniaxial tensão-deformação para material
elasto-plástico com encruamento
Figura 4.4 – Representação geométrica da função de escoamento para material com
encruamento, mostrando carregamento e descarregamento no estado de tensões
123
Analogamente ao feito para um material plástico-perfeito, pode-se definir para um
material com endurecimento plástico com algumas modificações, as condições para
verificação de ocorrência de carregamento e descarregamento, que podem ser expressas
conforme mostrado abaixo (COSTA,1978, CHEN,1988):
Carregamento Elasto-plástico (ângulo agudo entre e ):
≠ 0 se e
fijn ijdσ
{ }pdε 0=f { } { } 0>σdn Tf (4.8)
Carregamento Elástico ou Descarregamento (ângulo obtuso entre e ):
= 0
fijn ijdσ
se f < 0 ou f = 0 e { } { } 0<σdn Tf { }pdε (4.9)
= 0 se = e
Carregamento nulo (ângulo reto entre fijn e ijdσ ):
{ }pdε f 0 { } { } 0=σdn Tf (4.10)
nde :
o
( ) ( ) ( )2, −== (4pijij kFkff εσσ .11)
ateriais com endurecimento isotrópico, o parâmetro pode ser
xpresso em função da deformação plástica efetiva, podendo ser obtida a partir de um
ra o ca material
lástico-perfeito, uma vez que diferem apenas pelo denominador presente na expressão
da normal a função de escoamento do material mostrado na equação (4.7).
( )22pkk ε= Para m
e
ensaio uniaxial tensão-deformação (COSTA,1978, CHEN,1988).
As expressões para verificação de carregamento e descarregamento para materiais com
endurecimento isotrópico, são semelhantes aos mostrados pa so de
p
124
Definida a função de escoamento do material, pode-se obter a lei de escoamento
plástico que relaciona o incremento de deformação plástica ( ), com o
radiente da função de potencial plástico (
pijdε { }pdε
( )ijg σ ), proposta por von Mises em 1928 da
a (CHEN,1988).
g
seguinte form
ijdd ij ∂σλε = ou { }gp ∂
⎭⎬
⎩⎨=∂σ
λε dd (4.12) ⎫⎧ ∂gp
onde dλ , é um escalar positivo assumindo valores diferentes de zero somente quando
correm deformações plásticas. A função ( )ijg σo = const. define uma superfície no
spaço de tensões, onde o gradientee ijg ∂σ∂ é normal à superfície de potencial plástico
. Se o incremento de deformação plástica for plotado como um vetor no
spaço de tensões, este terá a direção da normal à superfície de potencial plástico, pois é
roporcional ao gradiente da função de potencial plástico (Figura 4.5).
egamento ,
m-se :
no ponto ijσ
e
p
Quando a função de potencial plástico coincide com a função de carr gf =
te
ij
fdd p
ij ∂σ∂
λε = ou }{⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=∂σ
∂λε
fdd p (4.13)
este modo, o escoamento plástico se desenvolverá normal à superfície de escoamento
de carregamento. No caso em que
D
f . A equação (4.12) é chamada de regra de escoamento associativa, pois o escoamento
é associado à função gf ≠ , a relação (4.12) é
hamada de regra de escoamento não associativa.
c
125
Figura 4.5 – Representação geométrica da regra de escoamento associativa
126
4.2 EFEITO DE BAUSCHINGER
No item anterior foi mostrada a função de escoamento para um material com
omportamento isotrópico. Foram avaliados os casos de materiais plástico-perfeito e
com end rtamento isotrópico consideram que
durante o processo de escoamento plástico a superfície de escoamento do material se
expande sem distorção e translação conform
ode ser visto na Figura 4.6.
c
urecimento plástico. Materiais com compo
e o escoamento plástico ocorre, conforme
p
Figura 4.6 – Superfície de escoamento após carregamento para material com
lei de escoamento com encruamento isotrópico é um modelo de fácil utilização,
orém aplicável principalmente em carregamentos monotônicos sem reversão de
trópica se expandir
niformemente, o fenômeno denominado na literatura de efeito de Bauschinger não é
vado em conta. O efeito de Bauschinger refere-se a um fenômeno direcional
encruamento isotrópico
A
p
tensões. Devido ao fato da superfície de escoamento iso
u
le
127
anisotrópico induzido pelas deformações plásticas; uma deformação plástica com um
sinal tende a reduzir a resistência do material quando submetido à um novo
carregamento com deformação plástica de sinal contrário (CHEN,1988), conforme pode
ser visto na Figura 4.7 para um carregamento uniaxial, onde durante o descarregamento
as deformações plásticas se iniciam para uma tensão menor que a verificada durante a
fase de carregamento ( ). to
co σσ <
Figura 4.7 – Curva tensão-deformação mostrando efeito de Bauschinger
consideração da mudança do ponto de escoamento do material em função das
deformaç
através de uma funç dotada para o caso
.
(4.14)
A
ões plásticas que podem ocorrer durante o carregamento, pode ser considerada
ão de escoamento do material mais geral que a a
isotrópico (4.2)
A função de escoamento na sua forma mais geral é dada por uma expressão do tipo:
( ) 0, , =kpf εσ ijij
128
ou
( ) ( ) ( )pp
ijijp
ijij kFf k εεσεσ 2, ,, −= (4.15)
Conforme pode ser visto acima a função de escoamento do material na sua forma mais
geral, depende do estado de tensões e histórico de carregamento, considerando-se o
efeito Bauschinger .
A mudança do ponto de escoamento do material pode ser considerada através do
modelo chamado de cinemático, onde a superfície de escoamento do m
frer uma translação no espaço de tensões mantendo sua forma e tamanho, conforme
mos ão-
mação de um teste uniaxial, conforme mostrado na Figura 4.9, onde é comparado o
pico só volta a alcançar
tensão de escoamento quando a tensão máxima do carregamento for alcançada
gerando um
aterial pode
so
trado na Figura 4.8. Este modelo fica mais claro visualizando uma curva tens
defor
comportamento do modelo cinemático com o modelo isotrópico. Observa-se que
durante o descarregamento (reversão da tensão), o modelo isotró
a
, já no modelo cinemático a variação máximaa variação de tensão 12σσ =∆
de tensão permanece constante oσσ 2=∆ , diminuindo em módulo a tensão de
escoame
ata-se de um modelo plástico-perfeito com deslocamento da origem da superfície de
na Figura 4.8.
nto durante a reversão do carregamento. Desta forma o modelo cinemático puro
tr
escoamento, como pode ser visto
129
Fig
ura 4.8 – Superfície de escoamento com encruamento cinemático após carregamento
Figura 4.9 – Curva tensão-deformação unidimensional comparando modelos cinemático
e isotrópico após carregamento e descarregamento
130
A expressão matemática utilizada para e escoamento cinemático,
a da seguinte forma:
expressar a superfície d
é express
( ) ( ) 2p 0, =−−= oijijijij kFf ασεσ (4.16)
nde representam as coordenadas do centro da superfície de escoamento (vetor OO1
na Figura 4.8) que mudam conforme ocorrem deformações plásticas no material, e é
uma constante que representa o tamanho da superfície. Conforme pode ser visto na
Figura 4.8, o modelo cinemático puro corresponde ao caso da superfície de escoamento
plástico-perfeito, porém movendo-se como um corpo rígido no espaço de tensões.
O modelo cinemático fornece uma forma de representar a modificação do ponto de
escoamento do material durante um processo cíclico, porém é apenas uma aproximação
inicial do comportamento real observado durante carregamentos cíclicos. Um modelo
mais completo que o cinemático é o misto que considera além do efeito da modificação
da origem da superfície de escoamento, endurecimento isotrópico do material
permitindo uma modelagem mais real do comportamento do material
A e lo
isto (cinemático+isotrópico), é expressa da seguinte forma:
O ijα
ok
xpressão matemática utilizada para expressar a superfície de escoamento do mode
m
( ) ( ) ( ) 02,, =−−= pijijk
pijij kFf εασεσ (4.17)
Onde ijα representam as coordenadas do centro da superfície de escoamento (vetor OO1
na Figura 4.10) que mudam conforme ocorrem deformações plásticas no material, e
( )pk ε é agora uma variável regida pela deformação plástica efetiva que representa o
tamanho da superfície de escoamento. Conforme pode ser visto na Figura 4.10, o
delo isto corresponde a uma associação entre os modelos c
podendo a superfície de escoamento sofrer translação e expansão (mantendo sua forma)
o espaço de tensões.
mo m inemático e isotrópico,
n
131
Figura 4.10 – Superfície de escoamento com encruamento misto
adas variações de tensões (>2SMYS) tendem a gerar o
nômeno de acúmulo de deformações durante o processo de carregamento e
escarregamento, denominado de “ratchetting”. De um modo geral para tensões médias
aixas, as deformações tendem a se estabilizar, enquanto para tensões médias elevadas o
ao longo dos ciclos
BAQUS,2003). O modelo cinemático é capaz de representar o efeito de Bauschinger,
ento isotrópico permite modelar a
laxação da tensão média que causa um decaimento da taxa de acúmulo de
(cinemático e isotrópico) após carregamento
Carregamentos cíclicos com elev
fe
d
b
acúmulo de deformações ocorre a uma taxa praticamente constante
(A
porém representa fisicamente uma taxa constante de acumulo de deformações,
conforme pode ser visto na Figura 4.11. Para representar de uma mais real o
comportamento físico do material, o endurecim
re
deformações ao longo dos ciclos.
132
Figura 4.11 – Acúmulo de deformação para material com modelo cinemático puro
representação apenas aproximada do
omportamento de materiais submetidos a carregamentos cíclicos. O modelo misto
utilização de modelos mistos foge ao escopo deste trabalho, pois depende de uma
tamento cíclico de dutos aquecidos é avaliado utilizando-se
modelo tradicional de encruamento isotrópico de von Mises. A validade do modelo
ente para deform
limitando-se a variação de tensão máxima durante o processo de carregamento cíclico.
variação de tensões (deformações), pode ser obtida através de testes
mações, tem como
bjetivo evitar o complexo fenômeno de acúmulo de deformação plástica
ratchetting”), que pode levar u utu adiga plástica de baixo
iclo.
Mesmo representando o comportamento do material com o modelo misto
(cinemático+isotrópico), ainda tem-se uma
c
apresenta ainda limitações em relação ao comportamento real (ABAQUS,2003)
observado, devendo-se obter os parâmetros do material para a variação de deformação
esperada para o carregamento imposto.
A
série de dados experimentais por ser de difícil representação. Neste trabalho, como será
visto mais adiante, o compor
o
isotrópico se dá som ações plásticas moderadas, que podem ser obtidas
A limitação da
experimentais (para medir o efeito de Baushinger), ou utilizando normas específicas. A
limitação na variação de tensões e consequentemente nas defor
o
(“ ma estr ra a ruptura por f
c
133
A limitação da variaçã cesso cíclico de carregamento o máxima de tensões durante o pro
descarregamento permite a utilização de deformações plásticas moderadas, que
onduzem a um ganho significativo quando comparado à metodologia usual de
imensionamento estrutural através de estados limites ou tensões máximas como será
mais no estado da arte do dimensionamento
strutural em regime plástico.
.3 CRITÉRIO DE ESCOAMENTO DE VON MISES
ateriais regidos pelo critério de escoamento
om endurecimento isotrópico (“isotropic hardening”), considerando-se um estado
ultiaxial de tensões, conforme visto anteriormente é dada por uma equação do tipo:
e
c
d
visto mais a frente. A verificação do comportamento estrutural para deformações
plásticas elevadas, onde o efeito de Bauschinger seja significativo é um tema importante
a ser avaliado, para que se avance ainda
e
4
A superfície de escoamento plástico para m
c
m
( ) ( ) ( )pijij kFf k εσσ 2, −= (4.18)
ando a
nergia de distorção elástica alcança um valor crítico, para um estado multiaxial de
esta forma o material inicia o processo de escoamento plástico quando:
von Mises sugeriu um critério de escoamento, dizendo que o material começa a se
deformar plasticamente quando o segundo tensor de tensões desviatórias ( 2J ) alcança
um valor crítico (COSTA,1984, CHEN,1988). Fisicamente o critério de escoamento de
von Mises baseia-se no fato que o material começa a escoar plasticamente qu
e
tensões.
D
)(22
1peJ εσ=
3 (4.19)
134
onde:
2J - Segundo invariante de tensões desviatórias
- Tensão efetiva
e tensões desviatórias é dado por:
)( pe εσ
O segundo invariante d
ijij ssJ21
2 = co ijkkijijs δσσ31
−=m: (4.20)
u na forma expandida:
o
( ) 2222222 5.0 xzyzxyzyx sssJ τττ +++++=
om c
mxxs σσ −= ; myys σσ −= ; mzzs σσ −=
e 3
zyxm
σσσσ
++= (4.21)
to do critério de von M
ma superfície cilíndrica nos espaço de tensões principais. Na Figura 4.13 é mostrada
ruamento do material.
A função de escoamen ises pode ser vista na Figura 4.12, sendo
u
superfície de escoamento ao longo do plano de tensões desviatórias, para diferentes
níveis de enc
135
Figura 4.12 – Superfície de escoamento de von Mises no espaço de
tensões principais
Figura 4.13 – Superfície de escoamento de von Mises no plano desviatório de tensões
para diferentes níveis de encruamento do material
136
Comparando a express para a função de escoamento de ão (4.19) com a expressão geral
materiais isotrópicos com encruamento (4.18), chega-se a:
( ) 2JF ij =σ e )( pek εσ= (4.21)
ento do material para o critério de von Mises é dada por:
Logo a função de escoam
( )pe εσ (4.22) Jf 22 3
1−=
ão efetivas.
curva tensão versus deformação efetiva existente na função de escoamento pode ser
l, onde tem-se
Como pode ser visto na equação (4.22) a função de escoamento do critério de von Mises
depende do segundo invariante de tensões desviatórias da tensão e deformaç
A
obtida através de um ensaio experimental uniaxia ey σσ = e .
um estado multiaxial de tensões a tensão e deformações efetivas são definidas
omo:
ppx εε =
Para
c
235.03 Jss ijije ==σ (4.23)
(4.24)
nde
e
∫= pp dεε
p
ijp
ijp ddd εεε 32=o
ou
( )222222 )()()()(2)(2)(231 pxy
pzx
pyz
pz
py
pxp ddddddd γγγεεεε +++++=
137
O incremento de deformações plásticas pode ser obtido, através da utilização da lei de
escoamento associativa como foi visto, e mostrado novamente abaixo:
ij
pij
fdd
∂σ∂
λε = ou { } { }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=σ∂
∂λε
fdd p (4.25)
Aplicando a definição da função de escoamento dada pela expressão 4.22 na expressão
.25 acima temos que:
ou (4.26)
Da expressão acima pode-se tirar que:
4
ijp
ij sdd λε =
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
yz
xz
xy
z
y
x
pyz
pxz
pxy
pz
py
px
sss
d
dddddd
τττ
λ
γγγεεε
222
λτ
γ
τ
γ
τ
γεεεd
ddd
s
d
s
d
s
d
xy
pxy
zx
pzx
yz
pyz
z
pz
y
py
x
px ======
222 (4.27)
expressão de proporcionalidade mostrada acima é conhecida como equação de
randtl-Reuss, fornecendo informações importantes sobre o critério de escoamento de
on Mises como:
s incrementos de deformações plásticas dependem unicamente do estado de tensões
esviatórias atual , e não dos incrementos de tensões que são necessário para
anter o escoamento do material, como seria natural de ser deduzido.
ações plásticas são co-direcionais com os eixos principais de
A
P
v
O
ijs ijdσd
m
Os incrementos de deform
tensões:
138
λεεε
ds
d
s
d
s
d ppp
===3
3
2
2
1
1 (4.28)
As deformações plásticas decorrentes do critério de escoamento de von Mises não
induzem variação volumétrica. Da equação 4.27 , pode-se obter que:
(4.29)
s proporções mostradas em (4.28) estabelecem as razões de proporcionalidade entre os
incrementos de deformações plásticas de diferentes direções.
A visualização gráfica da relação en e a
função de escoamento de von Mises, pode ser feita no espaço tridimensional de tensões
principais. Porém como a visualização tridimensional é mais complexa optou
ostrar seções transversais ao longo do plano desviatório e hidrostático da superfície de
scoamento tridimensional como pode ser visto nas Figuras 4.14 e 4.15.
omo pode ser visto no plano desviatório da superfície de escoamento de von Mises
(Figura 4.14), o incremento de deformações plásticas é normal a superfície de
escoamento e paralelo ao vetor de tensões desviatórias . No corte da superfície de
escoamento ngo plano ar graficamente a condição
de imcompressibilidade das deformações plásticas expressas na expressão 4.29, já
é normal ao eixo hidrostático não gerando variações volumétricas no material.
s tensões octaédricas mostradas na Figura 4.15 são definidas como:
0)( =++=++ zyxpz
py
px sssdddd λεεε
A
pijdεtre o incremento de deformação plástica
-se por
m
e
Cp
ijdε
ijs
ao lo do hidrostático pode-se visualizp
ijdε
A
23
2Joct =τ
( )3211 3
1
3
1σσσσ ++== Ioct (4.30)
139
Figura 4.14 – Seção tran
de escoam
sversal ao longo do plano de tensões desviatórias da superfície
ento de von Mises mostrando incremento de deformações plásticas
Figura 4.15 - Seção transversal ao longo do plano de tensões hidrostáticas da superfície
de escoamento de von Mises mostrando incremento de deformações plásticas
140
4.4 CRITÉRIO DE ESCOAMENTO DE MOHR-COULOMB
A superfície de escoamento gerada pela utilização do critério de escoamento de Mohr-
Coulomb, é aplicável a solos e rochas, sendo função do ângulo de atrito e coesão do
material. A escoamento do material é atingido quando as tensões alcançam a tensão
máxima de cisalhamento (COSTA,1978), representada por uma reta no sistema de eixos
rtogonais σ x τ (figura 4.16), com a região dos estados de tensões possíveis definida
o
por :
ϕστ tgc +≤ (4.31)
Figura 4.16 – Representação da região de estados possíveis de tensões
para o critério de Mohr-Coulomb no plano σ x τ
entando o estado de tensões limite de um ponto da massa de solo em termos das
nsões principais σ1, σ2, σ3 (com σ1≤ σ2 ≤ σ3), no plano σ x τ, obtém-se a condição de
Repres
te
141
escoamento do critério de Mohr-Coulomb,
s envoltórias de Coulomb, num ponto T onde,
quando o maior dos três círculos tangenciar
ϕστ tgc += a
Figura 4.17 – Representação do estado limite para o critério de Mohr-Coulomb
Expressando o estado de tensões, para a combinação de tensões que leva o material à
condição de escoamento (ponto T), tem-se da Figura 4.17 que :
23 1
σσ −=R (4.32)
S c g= −+
cot ϕσ σ1 3
2 (4.33)
sinRS
ϕ = (4.34)
esenvolvendo (4.34), tem-se:
D
c sincosϕσ σ+1 3 ϕ
σ σ− =
−
23 1
2 (4.35)
ou ( ) ( )σ ϕ σ ϕ ϕ1 31 1 2 0− − + + =sin sin cos (4.36)
142
A equação (4.36) fornece para qual combinação de tensões o material entrará em
onsiderando σ1 ≤
condição de escoamento considerando σ1 como tensão principal maior e σ3 como tensão
rincipal menor, resultando :
escoamento, sendo obtida c σ3. Analogamente, pode-se obter a
p
( ) ( )σ ϕ σ ϕ ϕ1 31 1 2 0+ − − − =sin sin cos (4.37)
A região delimitada pelas equações (4.36) e (4.37) fornece o lugar geométrico dos
σ1 x σ3, que satisfazem
ohr-Coulomb. Utilizando a mesma seqüência, obtém-se o lugar geométrico segundo
incipais (espaço de
aigh-Wistergaard), dos pontos que satisfazem ao critério de escoamento de Mohr-
Coulomb tridimensional.
pontos pertencentes ao plano ao critério de escoamento de
M
os planos σ2 x σ3 (com σ1, como tensão intermediária, trocando σ1 por σ2 em (4.36) e
(4.37), e σ1 x σ2 (com σ3, como tensão intermediária, trocando σ3 por σ2 em (4.36) e
(4.37). A interseção dos três diedros determinados segundo os planos acima citados,
fornece o lugar geométrico (Figura 4.18) no espaço de tensões pr
H
OV c g= 3 cot ϕ
Figura 4.18 – Superfície de escoamento de Mohr-Coulomb no espaço de tensões
principais
143
A superfície de escoamento determinada é uma pirâmide hexagonal irregular, com
lano desviatório π definido como sendo o plano cuja normal tem a direção da reta σ1 =
ção
om o plano π um hexágono irregular (quando ϕ ≠ 0), mostrado na figura 4.19, tendo
sua projeção no plano σ ra 4.20. Em ambas as seções,
s pontos A, B, C, D, E e F são pontos singulares, causando indeterminação no cálculo
neste trabalho.
p
σ2 = σ3, e que passa pela origem (eixo hidrostático). A pirâmide forma na interse
c
1 x σ3 (σ2 = 0), mostrada na Figu
o
dos incrementos de deformação plástica pela utilização da lei de escoamento
associativa. O tratamento destas singularidades é feito por COSTA (1978), podendo ser
eliminada por meios numéricos de modo a garantir a unicidade da solução, não sendo
abordado
( )Rc
( )Rc
sin1 3− ϕ2 6
=cosϕ sin2 3+ ϕ
2 6=
cosϕ
Figura 4.19 – Seção da pirâmide da figura 4.18 pelo plano desviatório
144
Figura 4.20 – Representação do corte da pirâmide de Mohr-Coulomb para σ2 = 0
Para a implementação da formulação elasto-plástica, a equação (4.36) não tem uma
forma adequada devendo ser reformulada em função dos invariantes de tensões
desviatórias. Conforme COSTA (1978), que toma como base o trabalho de Nayak e
Zienkiewicz, tem-se:
para ( )321 σσσ ≤≤
( )( )
( )σ π σ33 2 3⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪ ⎩⎪ ⎭⎪+sin mΘ
(4.38)
σσ σ
π σσ
1
22
4 3⎧⎨⎪ ⎫
⎬⎪
⎧⎨⎪
⎫⎬⎪ ⎧
⎨⎪ ⎫
⎬⎪
=+
+sin
sinm
m
ΘΘ
onde :
( ) 2222222 5.0 xzyzxyzyx sssJ τττσ +++++== (4.39)
Θ = −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
13
3 32
33arcsin
Jσ
, π π
6 6≤ ≤Θ (4.40)
3 (4.41)
zxyxyzyxzxzyzxyzyx ssssssJ 2222 ττττττ −−−+=
3zyx
m
σσσσ
++= (4.42)
145
Assim, substituindo as equações da relação (4.38) na equação do critério de escoamento
e Mohr-Coulomb (4.36), chega-se a forma da equação de escoamento utilizada na
formulação elas
d
to-plástica.
{ }( ) 0cossinsin3
1cossin =−Θ−Θ+= ⎟
⎞⎜⎛
ϕϕσϕσσ cf m (4.43) ⎠⎝
Como se pode notar, a equação (4.43) não se apresenta explicitamente como função de
( )pk ε , conforme definido no critério de escoamento através de (4.2), o que não limita
u uso a materiais de comportamento plástico-perfeito, pois o endurecimento pode ser
tes c e ϕ.
RELAÇÕES INCREMENTAIS TENSÃO-DEFORMAÇÃO
imento do material.
eios contínuos, o estado de tensões de cada ponto genericamente pertence ao
ional de tensões, sendo necessário, na sua obtenção, o
ento da matriz constitutiva elasto-plástica, que determina o estado de tensões
atualizado e corrig e elasto-plástico é determinado
ento de deformações e da matriz constitutiva tensão-deformação que
do carregamento (COSTA,1978, CHEN,1988,
onforme mostrado abaixo.
se
inserido nos coeficien
4.5
Na obtenção das relações incrementais tensão-deformação para o modelo elasto-plástico
utilizado neste trabalho, é necessário o conhecimento da sua lei de escoamento e das
características de endurec
Nos m
espaço Euclidiano hexadimens
conhecim
ido. O incremento de tensões no regim
a partir do increm
depende do estado de tensões e história
ZIENKIEWICZ,1969, HICKS,1995), c
( )oklklkl
epijklij dddDd εεεσ θ
−−=
(4.44)
146
ou na forma matricial como:
{ } [ ] { } { } { }( )oep dddDd εεεσ θ−−= (4.45)
equação acima é utilizada no método dos elementos finitos durante o processo
titutiva elasto-plástica, é utilizada a decomposição da
m
conju material e condição de consistência da
nção de escoamento.
A
incremental não-linear de carregamento, sendo necessário determinar a matriz
constitutiva elasto-plástica tensão-deformação.
Na determinação da matriz cons
defor ação total em uma parcela linear (elástica) e outra não linear (plástica), em
nto com a lei de escoamento associativa do
fu
O tensor de deformação pode ser decomposto numa parcela elástica e outra plástica,
conforme mostrado abaixo.
pij
eijij dd εεε += ou { } { } { }pe ddd εεε += d (4.46)
r de tensões relac
lásticas, através da matriz constitutiva tensão-deformação elástica.
ddd εεε θ−− ou
Sendo o incremento no tenso ionado ao incremento de deformações
e
ijklij Ddσ = ( )oklkl
ekl { } [ ] { } { } { }( )oe dddDd εεεσ θ
−−= (4.47)
Utilizando (4.46) na expressão (4.47), obtém-se o incremento de tensões em função dos
ementos nos tensores de deformações total e plástico.
incr
{ } [ ] { } { } { } { }( )op ddddDd εεεεσ θ−−= − (4.48)
147
Na determinação da relação incremental tensão-deformação em regime elasto-plástico é
necessário obter-se a parcela plástica do incremento de deformações, que é obtido
ssociativa.
através da lei de escoamento a
ij
pij
fdd
∂σ∂
λε = ou { } { }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=σ∂
∂λε
fdd p (4.49)
tilizando a lei associativa (4.49), na relação incremental tensão-deformação em regime
lasto-plástico, obtém-se.
U
e
{ } [ ] { } { } { } { } ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= −odd
fddDd εε
σ∂∂
λεσθ (4.50)
Conforme pode ser observado na expressão acima, para a determinação do incremento
e tensões em regime elasto-plástico, é necessário conhecer a função de escoamento do
material e o parâmetro adimensional
d
λd . O parâmetro λd pode ser obtido a partir da
condição de consistência para a função de es
função de escoamento na sua forma geral conforme visto anteriormente é dada por
ma expressão do tipo:
coamento, como será visto a seguir.
A
u
( ) 0, , =kpijijf εσ (4.51)
ou
( ) ( ) ( )pp
ijijp
ijij kF f k εεσεσ 2, ,, −= (4.52)
A
o e
pós um incremento ijdε na deformação total, que gere um carregamento com
deformações plásticas, o estad ijij dσσ + , pij
pij dεε + dkk + , deve satisfazer a equação:
148
( ) ( ) 0,, ,, =+=++ + dfkfdkkdf pijij
pijd
pijijij εσεεσσ (4.53)
ortanto de (4.51), tem-se que:
P
0=∂∂
∂
∂∂∂
= ++ dkddkfff
df pijp
ijij
ijε
εσ
σ (4.54)
Que é conhecida como condição de consistência para um material com encruamento
pondo restrições entre os incrementos e
ara materiais com encruamento isotrópico, a função de escoamento e condição de
c trado abaixo:
ijdσ , pijdε dk . plástico, im
P
onsistência podem ser simplificadas, conforme mos
( ) ( ) ( ) 02, =−= pijij kFf k εσσ (4.55)
e
0=∂∂∂
= + dkd ffdf σ (
∂ kijijσ
4.56)
s expressões acima podem ser escritas na sua forma matricial, resultando nas seguintes
xpressões:
A
e
{ }( ) { }( ) ( )pkFf k εσσ 2, −= (4.57)
e
{ } { } 0=∂∂
∂∂
= +⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ dk
kf
df
dfT
σσ
(4.58)
149
{ }Chamando { }⎭⎬
⎩⎨
σ∂
⎫⎧=
∂fa (4.59)
-se : tem { } { } 0=∂k
Na expressão acima, tem-se que:
∂+ dka fdTσ (4.60)
pp
ddk
dk ε= (4.61)
como:
dε
pij
pijp ddCd εεε = e
ij
pij
fdd
∂σ∂
λε = (4.62)
nde 32=C o
tem-se que:
λ ∂σ∂σεd ijijp
∂∂ dffCdk
dk = ou { } { } λεd p
daaCdk
dk T= (4.63)
tilizando o tensor de incremento de tensões (4.48) na expressão de consistência (4.60), U
em conjunto com a expressão (4.63), chega-se a:
{ } [ ] { } { } { } { }( ) { } { } 0=∂∂
−− +− λεελε θ daaCddk
kf
ddaddD ToTa (4.64) ε p
R
esolvendo a expressão acima para λd , tem-se:
{ } [ ] { } { } { }( )
h
dddDad
oT εεελ
θ−−
= (4.65)
150
onde
{ } [ ]{ } { } { }aaCdkf
aah T
p
T D ∂−= (
Chamando:
dk ε∂4.66)
{ } { }aaCd
dk
k
fA T
ε∂
∂=
(4.67)
serindo (4.65) em (4.50) e agrupando os termos comuns, obtém-se a relação
p
A equação (4.66) modifica-se para:
{ } [ ]{ } Aaah DT−=
In
incremental tensão-deformação na forma utilizada no processo incremental não-linear,
implementado no método dos elementos finitos, conforme mostrado abaixo.
{ } [ ] [ ]{ }{ } [ ] { } { } { }( )oT
dddh
DaaDDd εεεσ
θ−−−= ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (4.68)
ou
{ } [ ] { } { } { }( )odd εε θ−− (4.69) ep dd D εσ =
De onde obtém-se a expressão da matriz de transformação tensão-deformação elasto-
plástica, como:
[ ] =epD [ ] [ ]{ }{ } [ ]h
DaaDD
T
− (4.70)
151
onde a segunda parcela de (4.70) é a parcela plástica da matriz constitutiva tensão-
deformação, e representa a degradação da rigidez do material devido ao escoamento
plástico.
A equação (4.69) só é válida para o caso de carregamentos que gerem deformações
plásticas, caso o carregamento ou descarregamento seja elástico a equação (4.47) deve
ser utilizada.
Na obtenção da matriz constitutiva elasto-plástica, deve-se definir o vetor do gradiente
da função de escoamento ( ) e matriz constitutiva elástica para cada tipo de sistema
estrutural analisado, conforme mostrado abaixo.
Sólidos tridimensionais:
{ }a
⎪⎪⎪
{ }
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
∂
∂∂∂∂∂∂
=
zx
yz
xy
z
y
f
f
f
a
τ
τ
σ
σ
; [ ] ( )(
⎪
⎪
⎭
⎪⎪⎫
⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪⎧
∂∂
∂
∂∂
x
f
f
f
τ
σ
)
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−−
+=
221
0000
0221
0000
00221
0
000100010001
11
ν
ν
νννν
νννννν
νE
D ⎥⎥
⎢⎢
−
0
002ν
(4.71)
152
Sólidos axissimétricos:
⎪⎪⎪⎪
⎭
{ } ⎪⎪⎪
⎬⎪⎪⎪
⎨∂∂∂
=σ
σf
a z
r
; [ ]
⎪⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎧
∂∂∂∂
∂
θσ
τf
f
f
rz
( )( )⎥⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
−−
−
=νν
ννν
11
01
ED
⎦⎣ −ννν 10⎢⎢−+
νν
νν 02
200
0
211
(4.72)
Estado plano de tensões:
{ }
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂
∂
=
xf
f
a ;
⎪⎪⎪
⎩∂∂∂
∂
xy
y
fτ
σ
σ
[ ]⎥⎥⎥⎥⎤⎡
010ν
⎦⎢⎢⎢⎢
⎣−−
=1
00
1
21 νν
ν
ED
(4.73)
Estado plano de deformações:
2
{ }
⎪⎪⎪
⎭⎪⎪⎪
⎩∂∂∂
z
xy
fσ
τ⎪
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂
= y
x
f
f
f
σ
σ
[ ] ( )( ) ( ) ⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ − 01 νν
−−
−+=
2210001
211ν
νννν
ED (4.74) a
153
Para obter a matriz constitutiva elasto-plástica do modelo de estado plano de
eformações, é necessária uma adaptação da matriz constitutiva elasto-plástica
(COSTA,1978, ZIENKIEWICZ,1969).
s incrementos infinitesimais de tensões em função do incremento de deformações
[ ]epD d
O
elásticas no caso tridimensional são dados por:
{ } [ ] { } { } { }( )oe dddd D εεεσ θ−−= (4.75)
Invertendo a expressão acima tem-se que o incremento de deformaç s:
ões elástica
{ } { } { }( ) [ ] { }σεεεθ oe 1− dddd D=−− (4.76)
onde:
[ ] ( )( )
( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
++
+−−
−−−−
=−
νν
ννν
νννν
120000001200000012000000100010001
11
ED (4.77)
infinitesimais de deformações totais, são obtidos utilizando as
xpressões 4.46 e 4.49 na expressão 4.76, obtendo-se a expressão abaixo:
Os incrementos
e
154
[ ]
⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎫
⎪⎪⎧
⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎢⎡
⎪⎪⎪⎪⎫
⎪⎪⎪⎪⎧
∂∂
−−
−−
−−
σ
σσ
εεε
εεε
εεε
θ
θ
θ
d
df
ddd
ddd
dddx
x
ozzz
oyyy
oxxx |
⎬
⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎬
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨
∂∂
∂∂
∂∂
=−
−−
−−
−−
λ
τ
τ
τ
σ
σσ
σ
γγγ
γγγ
γγγ
θ
θ
θ
d
d
d
d
d
Aff
D
f
ddd
ddd
ddd
yz
yz
xy
z
y
yx
y
ozxzxzx
oyzyzyz
oxyxyxy
L
M|__________||
|
0
1
(4.78)
Fazendo 0=== zxyzz ddd γγε na expressão acima, pode-se obter a matriz constitutiva
elasto-plástica para as hipóteses do estado plano de deformações, resultando conforme
COSTA (1978), na seguinte equação matricial :
( )
( )
( )
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠
⎜⎝⎟⎟
⎠⎜⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎪⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+++
+−+−
++−−
=
−−
−−
σ
σ
∂σ∂τ∂σν
∂σ∂σν
∂σ
∂σ∂
ν∂σ∂ννν
∂σ∂
ν∂σ∂ννν
γ
εεε
εεε
θ
θ
θ
d
d
EA
ffEE
ffEE
d
ddd
ddd
y
x
zxyzyzx
y
zx
o
oyyy
oxxx
22
22
01
01
(4.79)
e (4.79), pode-se redefinir o coeficiente
⎪
⎪⎪⎪
⎥⎥⎥
⎢⎢⎢
⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎪⎪⎪ +−−
λ
τ
∂∂∂∂∂∂
∂τ∂νγγ
d
d
ffffff
fE
ddxy
xy
xyxyxy
2
1200
0
z
⎪⎩
dλ e o vetor { }aD , para o estado plano de
deformações, como :
{ } [ ] { } { } { }( )epd
oT
h
dddCad
εεελ
θ−−
= (4.80)
155
de: on
{ } [ ]{ }aaAh CTepdepd += (4.81)
sendo:
{ }
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎫
⎪⎪⎧
+zx
ff
∂σ
∂ν
∂σ
∂
2
⎟⎟⎬
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎨ +=
xy
zy
f
ffa
∂τ
∂∂σ
∂ν
∂σ
∂ e ⎠⎝ z∂σ
⎞⎜⎜⎛
+=epdf
EAA∂ (4.82)
Desta forma a matriz constitutiva elasto-plástica, pa
deformações, é dada por:
ra a hipótese de estado plano de
[ ] [ ] [ ]{ }{ } [ ]epd
Tep CaaC
CC −= (4.83) h
s expressões mostradas acima para o gradiente da função de escoamento do material
ara os diferentes modelos estruturais são genéricas para materiais que utilizem a lei de
scoamento associativa. A seguir serão mostrados os vetores do gradiente da função de
escoamento para os modelos d deformação e
nsão para as funções de von Mises e Mohr-Coulomb utilizadas neste trabalho.
A
p
e
e sólidos axissimétricos e estados plano de
te
156
4.6 MATRIZ CONSTITUTIVA ELASTO-PLÁSTICA DO CRITÉRIO DE
ESCOAMENTO DE VON MISES
icialmente será abordada a função de escoamento de Von Mises. Conforme visto
anteriormente a função de escoamento do material para
or:
In
o critério de von Mises é dada
p
( )peJf εσ 221
1−= (4.84)
3
A função de escoamento mostrada acima pode ser modificada para que o parâmetro λd ,
seja igual a deformação plástica efetiva (COSTA,1978). Deste modo temos a função de
escoamento equivalente, mostrada abaixo.
( )peJf εσ−= 22 3 (4.85)
quiva s funções d es acima, decorre do fato
de fornecerem os mesmos incrementos de deformações plásticas, quando é utilizada a
i de escoamento associativa, através da proporcionalidade entre o gradiente da função
de escoamento e do parâmetro
A e lência entre as dua e coamento mostradas
le
λd , conforme pode ser visto a seguir.
{ } { } { }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
==σ∂
∂λ
σ∂
∂λε 2
21
1f
df
dd p (4.86)
O parâmetro A presente no denominador da expressão 4.70 da matriz constitutiva
elasto-plástica, para a função de escoamento de Von Mises dada em (4.85) assume uma
forma mais amigável, como mostrado a seguir.
157
1−=∂
∂
k
f ; p
e
p d
d
d
dk
ε
σ
ε= (4.87)
ijij
sJ 22
=∂σ
(4como f 3∂ .88)
mos que: { } { } 132
==ijij
T ffaaC
∂σ∂
∂σ∂ (4.89)
a utilizando as expressões acima o parâmetro A pode ser reescrito como:
te
Desta form
{ } { } )( ppp
eT
p
Hd
daaC
d
dk
k
fA
σ= ε
εε−=−=
∂
∂ (4.90)
e escoamento de von Mises fornecida em
inador da matriz constitutiva elasto-plástica (4.70), contribui com uma parcela
te angular da curva tensão efetiva versus deformação plástica
apresentados acima, para o critério de escoamento de von
Para a função d (4.85), o parâmetro A presente
no denom
dada pelo coeficien
efetiva.
O vetor a representativo do gradiente da função de escoamento (4.85) para os { }diferentes modelos estruturais
Mises (COSTA, 1978), são fornecidos abaixo.
158
Sólidos tridimensionais: Sólidos axissimétricos:
{ }
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎪⎭⎪⎩∂ zxτ⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
=
zx
yz
xy
z
y
x
yz
xy
z
y
x
sss
J
f
f
f
f
f
f
τττ
τ
τ
σ
σ
σ
2222
3
2
{ }⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
∂∂∂∂∂∂∂∂
=
θ
θ
τ
σ
τ
σ
σ
s
ss
J
f
f
f
f
arz
z
r
rz
z
r
22
3
2
a
Estado plano de tensões: Estado plano de deformações:
{ }⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
∂∂∂∂∂
=
xy
y
x
y
x
ss
Jf
f
f
aτ
σ
σ
22
3
2
{ }⎪⎭
⎪⎬⎫⎪
⎨⎧⎪
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨
⎧
++
=+
+
= zy
zx
y
zx
ssss
Jf
ff
ff
a νν
∂∂σ
∂ν
∂σ
∂∂σ
∂ν
∂σ
∂
2
3
⎪⎭⎪⎩∂ xyτ
⎪⎩
⎪⎪⎪
⎭⎪⎩
rz
xy
z τ
∂τ
22
denominador da matriz constitutiva elasto-
lástica no modelo de estado plano de deformações é dado por:
(4.92)
O parâmetro A modificado presente no
p
2
2
2
43
zp
e
zepd S
JE
d
dfEAA +
∂
∂+−= =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ε
σ
σ (4.93)
A matriz constitutiva elasto-plástica dada pela equação (4.70), pode ser calculada
utilizando a matriz constitutiva elástica e o vetor de gradiente da função de escoamento
para cada tipo modelo estrutural analisado. Porém para a função de escoamento do
critério de von Mises com endurecimento isotrópico, a matriz constitutiva elasto-
plástica tensão-deformação pode ser escrita de uma forma bem compacta.
159
Para obter a expressão da matriz constitutiva elasto-plástica numa forma mais compacta,
a expressão matricial 4. é reescrita na forma indicial, sendo dada por:
h
Dff
pqklpqmn
ijmn
ijklepijkl
DDD
∂σ∂
∂σ∂
−= (4.94)
nde:
pkl
ijklij
Hff
h D +=∂σ
∂
∂σ
∂ o
Para a função de escoamento adotada em (4.85), temos que:
ijij
sJ
f
22
3=
∂σ∂ (4.95)
matriz de constantes elásticas pode ser escrita na forma indicial como (CHEN,1988):
A
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++
++
= jkilklikklijijkl ED δδδδδδ
ννν
12
21 (4.96)
Utilizando (4.96) e (4.95) em (4.94), temos a seguinte expressão para a matriz
constitutiva elasto-plástica.
h
ssG ijijijkl
epijkl DD
29−= (4.97)
e ( ) 23 epHGh σ+= ( )ν+=1
EGonde: (4.98)
160
A matriz constitutiva elasto-plástica tridimensional mostrada acima pode ser modificada
s para os modelos de estado plano de deformação e tensão na forma
atricial (CHEN,1988).
para diferentes modelos estruturais. Abaixo são mostradas as matrizes constitutivas
elasto-plástica
m
Estado Plano de deformações:
[ ]
⎥⎥
⎢⎢
−−H
sG
H
ss xyyxy2⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
−
−+−−
−+
=
H
ssH
GKH
GK
Sims
GK
D
xxy
y
x
2
2
33
4
(4.99) ⎢⎢
sssH
xyep 423
Estado Plano de Tensões:
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤
⎢⎡
−−
SimHsE 1
21 ν
⎦⎢
⎢⎢
⎣−−−
−−=
sss
sEssED ep
66261
2221
2
ν (4.100)
⎢⎢ −−
sGssssss
2
22 11 νν
2
onde:
( )yx ssE
s νν
+−
= 211
; ( )yx ssE
s +−
= νν 22
1
xysE
sν+
=12 ; xyype ssssxssHs 621 2
9
4+++= σ (4.101)
ação, pode ser colocada numa forma bem compacta em função das propriedades
lásticas do material, do segundo tensor de tensões desviatórias e do parâmetro de
endureciment
Conforme pode ser visto nas expressões a matriz constitutiva elasto-plástica tensão-
deform
e
o do material.
161
4.7 MATRIZ CONSTITUTIVA ELASTO-PLÁSTICA DO CRITÉRIO DE
tes I1 , J2 e J3, podendo ser colocada na forma apresentada a seguir
ESCOAMENTO DE MOHR-COULOMB
Conforme foi visto anteriormente a equação de escoamento plástico do critério de von
Mises depende apenas do segundo invariante de tensões desviatórias (J2). A função de
escoamento plástico para o critério de Mohr-Coulomb é mais complexa dependendo dos
invarian = mσ
( ) ( )321 ,, JJIff ij =σ (4.102)
O gradiente da função de escoamento ijf ∂σ∂ , neste caso pode ser escrita como
(CHEN,1988, COSTA,1978):
ijijijij
J
J
fJ
J
fI
I
ff
∂σ
∂
∂
∂
∂σ
∂
∂
∂
∂σ
∂
∂
∂
∂σ
∂ 3
3
2
2
1
1
++= (4.103)
ou
ijijijij
JB
JB
IB
f
∂σ
∂
∂σ
∂
∂σ
∂
∂σ
∂ 33
22
11 ++= (4.104)
Adaptando a expressão acima em função dos parâmetros apresentados neste trabalho
ara a função de escoamento de Mohr-Coulomb (4.43), temos já na forma matricial que: p
{ }( ) ( )3,, Jff m σσσ = (4.105)
Logo :
{ }{ }
( ){ } { } { } { } ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
++===σ∂
∂
σ∂
σ∂
σ∂
∂σ
σ∂
σσ∂
σ∂
∂ 3321
3,, JCCC
Jffa mm
(4.106)
162
onde os parâmetros C1, C2 e C3 são apresentados por Costa (1978), a partir de trabalho
esenvolvido por Nayak & Zienkiewicz, conforme mostrado abaixo: d
( )ϕ
∂σ
σσ∂sin
,, 31 ==
m
m JfC
( ) ( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
Θ−Θ+ΘΘ+Θ== tgtgtgtgJf
C m 33
sin31cos
,, 32
ϕ
σ∂
σσ∂
( )Θ
Θ+Θ
==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
3cos~2
cossin3
1sin
3,,
23
33
σ
ϕ
∂
σσ∂
J
JfC m (4.107)
Com os parâmetros C1, C2 e C3 , pode-se expressar o gradiente da função de
escoamento em função das tensões e constantes elásticas do meio para os modelos
estruturais analisados neste trabalho, conforme mostrado abaixo:
Estado Plano de Deformações:
( ){ } ( )
⎪⎭⎬
⎪⎩⎨
⎪⎭
⎬⎪⎩
⎨⎪⎭⎬
⎪⎩⎨
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
++−
−+++++
=0
132220
11
332
321 ντν
τν
σνν
ssssCss
CCa
xyz
xyyxy
xy
zy (4.108)
O termo
⎪⎫⎪⎧⎪⎫
⎪⎧
⎪⎫
⎪⎧ +−++ 12
2ν
στνν
Cssssss xyyxzyzx
τsx
( )2zfE ∂σ∂ presente no denominador da matriz constitutiva elasto-plástica do
modelo de
estado plano de deformações é definido como:
( )22
323
21
2
323 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−++=
στ
σ∂σ
∂ CssCs
CCE
fE xyyxz
z
(4.109)
163
Estado Plano de Tensões:
{ }⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
+−
++=011
3222011
3
23
321 σ
ττσ
C
sssss
Css
CCa
xyz
zx
zy
xy
y
x
(4.110)
Modelo Axissimétrico:
{ }⎪⎪⎭⎪
⎪⎩⎪
⎪⎭⎪
⎪⎭⎪
⎪⎩⎪
⎪⎭⎪
⎪⎩ 11 θs
rz
⎪⎪⎬
⎫⎪⎪⎨
⎧⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎪⎪⎬
⎪⎪⎨
⎪⎪⎬
⎪⎪⎨ +
−−
+=011
322201
3
23
2
321 σ
τττσ θ
θ C
sssss
CsCC
a
rzzr
rz
rz (4.111)
⎧⎫⎧⎫⎧1 θsss zr
As expressões obtidas acima para a obtenção do gradiente da função de escoamento são
utilizadas na expressão 4.70, para o cálculo da matriz constitutiva elasto-plástica,
anulando o parâmetro de endurecimento isotrópico do material (A=0).
164
4.8 IMPLEMENTAÇÃO NUMÉRICA DAS RELAÇÕES INCREMENTAIS
TENSÃO-DEFORMAÇÃO EM REGIME ELASTO-PLÁSTICO
Este item tem como objetivo mostrar a implementação numérica das relações
crementais tensão-deformação em regime elasto-plástico para os critérios de in
escoamento de von Mises e Mohr-Coulomb.
Conforme mostrado anteriormente, o incremento de tensões { }σd pode ser expresso em
rmos do incremento de deformações elásticas, ou do incremento de deformações totais
onforme mostrado abaixo.
te
c
{ } [ ] { } { } { }( ) [ ] { } { } { } { }( )opoe dddddddd DD εεεεεεεσθθ−−−=−−= (4.112)
ou
{ } [ ] { } { } { }( )oep dddd D εεεσθ−−= (4.113)
onde a matriz constitutiva elasto-plástica é obtida através da expressão 4.70, conforme
ostrado anteriormente.
ilíbrio geradas pelo método dos
lementos finitos (capítulo 2), temos que a deformação e o incremento de deformação
m
Para um incremento de carga (t+∆t) e uma iteração k do processo recursivo de
convergência do sistema de equações matriciais de equ
e
num ponto de Gauss do modelo são dados por:
{ }( ) [ ] { }( )kttktt UB ∆+∆+ =ε (4.114)
{ }( ) { }( ) { }( )1−∆+∆+ −=∆kttkttk
εεε (4.115)
165
Nas expressões acima os deslocamentos são considerados conhecidos para uma
interação imediatamente anterior a calculada. Notar que para k=1 { }( ) { }UU tktt =−∆+ 1 ,
{ }( ) { }tktt =−∆+ 1 , { }( ) e { }tktt =−∆+ 1 σσ ( ) kk tktt =−∆+ 1 , ou seja é necessário conhecer o εε
campo de deslocamentos, deformações, tensões e parâmetros de endurecimento do
aterial para o último incremento de carga, para inicializar o processo iterativo no
incremento de carga atual (t+∆t), como será mostrado a seguir.
O cálculo das tensões e deformações num incremento de carga (t+∆t) do processo
incremental-iterativo, supõem inicialmente que o incremento de tensões seja elástico,
para posteriormente efetuar a sua correção pela teoria da plasticidade caso seja
necessário, utilizando a expressão abaixo.
m
{ } ( ) [ ] { }( ) { } { }( )ko
kkke D 11 δεδεεσ θ
∆−∆−∆=∆ (4.116)
Observa-se na expressão acima que os incrementos de deformações térmica e inicial,
sã m
increme ão dos
incrementos de tensões e deformações corrigidos pela teoria da plasticidade, o
superíndice (k) do processo iterativo será omitido, mostrando-se a metodologia de
cálculo para a primeira iteração do processo de convergência. Desta forma a expressão
4.116 para o cálculo do incremento de tensões pode ser reescrita como:
o inseridos somente na iteração inicial do processo de convergência para u
nto de carga (t+∆t). Para facilitar o entendimento do processo de obtenç
{ } [ ] { } { } { }( )oe D εεεσ θ∆−∆−∆=∆ (4.117)
Assumindo que na iteração (k=1), o estado de tensões no ponto de Gauss avaliado esteja
em regime elástico, a função e escoamento do material deve satisfazer a condição
{ }( ) 0, <kf tt σ
elas
incremento de tensõ
. Caso o incremento de carga fornecido leve o material para o regime
to-plástico, a função de escoamento utilizando a aproximação elástica para o
es fornecerá { } { }( ) 0, >∆+ kf tet σσ , devendo existir um fator r que
forneça { } { }( ) 0, =∆+ krf tet σσ .
166
O proce ástico
pode ser visto esquematicame
sso descrito acima durante a passagem do regime elástico para o elasto-pl
nte na Figura 4.21.
Figura 4.21 to de Gauss
passando do regime elástico para o elasto-plástico
O incremento de deform
es, uma puramente elástica dada por , e uma
gunda elasto-plástica dada por
– Visão esquemática do estado de tensões de um pon
ações durante a passagem do regime elástico para o elasto-
plástico será dividido em duas part { }ε∆r
{ } ( ){ }εε ∆−=∆ r1se . Da mesma forma que o tensor de
eformações totais, os tensores de deformações térmico e inicial, podem ser d
subdivididos numa parcela elástica { }θε∆r e { }or ε∆ , e outra elasto-plástica
{ } ( ){ }θθεε ∆−=∆ r1 e { } ( ){ }oo r εε ∆−=∆ 1 . Assim o incremento de tensões corrigido pela
teoria da plasticidade pode ser integrado da seguinte forma:
{ } [ ]{ } )ε
o (4.118)
{ } { } { }({ }
∫∆+
−−−∆ =ε
εεεεσθ
tt
t
p ddddD{ }
167
Subdividindo incremento de deformação na expressão 4.118, nas parcelas elástica e
elasto-plástica, pode-se obter a seguinte expressão para o increm
o
ento de tensões em
gime elasto-plástico (CHEN,1988, ZIENKIENWICZ,1969).
∆+
−−εε
εεε θ
rt
oddd (4.119)
esta forma o estado de tensões após a passagem do regime elástico para o elasto-
t+∆
de
o numericamente devido à
ão-linearidade observada na expressão da função de escoamento
re
{ } { } [ ]{ } { }
∫∆+
∆∆ +=εε
σσ
t
epe Dr { } { } { }( ){ } { }
D
plástico (primeira iteração), pode ser obtido conforme abaixo.
{ }σtt =∆+ (4.120) { } { }σσ
O escalar r pode ser obtido analiticamente ou numericamente a partir da função
escoamento do material. Em geral o fator r deve ser obtid
n
{ } { }( ) 0, =∆+ krf tet σσ . Para o caso da função escoamento de von Mises o fator
multiplicador r, pode ser obtido analiticamente, introduzindo-se o estado de tensões
{ } { } { }et r σσσ ∆+= na função de escoamento ( )peJf εσ 22 31−= , obtendo-se
(CHEN,1988, COSTA,1978).
STSBBr .2 −+−
= (4.121)
onde:
2222 2 xyzyx ssssS ∆+∆+∆+∆=
xyxyt
zzt
yyt
xxt ssssssssB ∆+∆+∆+∆= 2
22222
32 ttttt 2 exyzyx ssss σ−+++= T
3zyx
m
σσσσ
∆+∆+∆=∆
mxxs σσ ∆∆=∆ − ; myys σσ ∆∆=∆ − ; mzzs σσ ∆∆=∆ − ; xyxys σ∆=∆ (4.122)
168
Além do incremento de tensões elasto-plásticas em 4.119, deve-se também calcular os
incrementos de deformações plásticas, em especial a deformação plástica efetiva, que é
necessária para obter o parâmetro Hp (declividade da curva tensão efetiva-deformação
plástica efetiva) presente no denominador da matriz constitutiva elasto-plástica para o
critério de escoamento de von Mises conforme pode ser visto na Figura 4.22.
deformação plástica efetiva na primeira iteração (k=1) do incremento de carga (t+∆t)
fornecido através da expressão mostrada abaixo.
A
é
{ } [ ]{ } { } { }( ){ } { }
{ } { }
∫∆+
∆+
−−= +∆+
εε
εε
εεε θ
εεt
rt hdddDa oT
pt
ptt (4.123)
As integrais presentes nas expressões (4.120) e (4.123) são calculadas numericamente
subdividindo os incrementos de deformações plásticas { }ε∆ ,{ }θε∆ e { }oε∆ . A cada passo
do processo de integração, uma correção adicional é efetuada, conforme mostrado a
guir. se
{ } { } [ ]( ){ }
{ } { } { }( )oepittitti
D δεδεδεσσ θ
σ−−
−+= −∆+∆+
)1(
)1()( (4.124)
e
{ } [ ]{ }
ppi
hδεδεδε
σ
εε −−=−
⎟⎟⎠
⎜⎜⎝
+)1(
(4.125)
Nas expressões acima o processo numérico de integração é feito obedecendo as
seguintes condições de contorno.
{ } { } { }( )oT
ittitt Da θ⎞⎛−∆+∆+ )1()(
169
Para i=1,2,...,m
{ } { }
{ }
{ } { } { } { } { } { }⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∆+
∆+
=
=
o
pptt
tt
εε
σσ
θ
σ
)0(
)0(
e
⎩
∆=
∆=∆=
mmmo ε
δεε
δεεδε θ ;;
{ } { }
{ }⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎨
⎧ ∆+ =t
mtt σσ )(
⎩
∆+ ∆+= ppn
pt εεε
σ
)(
(4.126)
Onde m é o n o processo de
integração n deformações
IENKIENWICZ,1969, COSTA,1978).
úmero de subdivisões utilizadas para a realização d
umérica da parcela elasto-plástica do incremento de
(Z
Figura 4.22 – Curva tensão efetiva versus deformação plástica efetiva mostrando
declividade utilizada no critério de von Mises com encruamento isotrópico
170
Após a integração da parcela elasto-plástica do incremento de deformações, e a
btenção do estado de tensões o ( { }σtt ∆+ ) e dos parâmetros de resistência ( ), ainda ktt ∆+
tem-se o seguinte erro:
{ }( ) 012 ≠− =∆+∆+ fF ktttt σ (4.127)
Para o caso do critério de escoamento de Von Mises a expressão (4.85), pode ser escrita
omo: c
{ }( ) 01 ≠− =∆+∆+ fF etttt σσ (4.128)
O incremento corretivo utilizado no estado de tensões (CHEN,1988), é considerado
normal à superfície de escoamento, sendo dado por:
{ } { } { }σσδσ
tt
fn
∆+⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∂∂
= (4.129)
Utilizando o incremento de tensões corretivo { }δσ , pode-se recalcular a função de
escoamento corrigid
a, conforme mostrado abaixo.
01 =+ dff (4.130)
onde:
{ }{ }
{ }δσσ
σtt
Tf
df∆+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∂
∂= (4.131)
Utilizando as expressões (4.130) e (4.131) na expressão (4.129), pode-se obtém-se o
parâmetro n:
171
{ } { }{ }σ
σσtt
ff
fn
T
∆+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∂∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∂∂
−= 1 (4.132)
Sendo o incremento corretivo de tensões dado por:
{ }
{ } { }{ }
{ } { }σσ
σσ
δσ
σ
tt
tt
f
ff
fT
∆+
∆+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∂
∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∂∂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∂∂
−= 1 (4.133)
Desta forma a ob
tenção do incremento corretivo de tensões, temos:
{ } { } { }δσσσ +∆+∆+=
)(mtttt (4.134)
e
{ } { }( ) 0)(=+
∆+δσσ
mttf (4.135)
Após a seqüência de cálculo mostrada acima, o estado de tensões do ponto de
integração analisado, esta sobre a superfície de escoamento atualizada correspondente
po de deformações existente.
)
ao cam
Os cálculos mostrados acima referem-se à passagem do regime elástico para o elasto-
plástico, caso o estado de tensões encontre-se sobre a superfície de escoamento e um
incremento de deformações suposto inicialmente elástico seja imposto (correspondente
a um incremento de carga), duas situações podem ocorrer:
1{ }e
{ } { }( ) 0, <∆+ kf tet σσ { }⎪⎩
⎪⎨
⎧
=∆
≠∆
0
0
pε
ε descarregamento
172
{ }⎧ ≠∆ 0eε{ } { }( ) 0, >∆+ kf tet σσ2)
{ }⎪⎩
⎪⎨
≠∆ 0pε carregamento
o primeiro caso a consideração do incremento de tensões ser elástico é verdadeira, já
o segundo deve-se utilizar a mesma seqüência de cálculo mostrada anteriormente para
não ocorre para
perfícies de escoamento mais complexas com grande não-linearidade no fator r. Um
N
n
a passagem do regime elástico para o elasto-plástico do estado de tensões de um ponto
de integração, só que utilizando o fator multiplicador r igual a zero.
Como foi para a função de escoamento de Von Mises, o fator multiplicador r pode ser
obtido diretamente, podendo-se obter de forma simples para o ponto de Gauss analisado
o estado de tensões sobre a superfície de escoamento. O mesmo
su
exemplo é a função de escoamento de Mohr-Coulomb, onde o fator r deve ser obtido
numericamente de forma recursiva (Figura 4.23).
Figura 4.23 – Primeira iteração do processo numérico utilizado para obter o
multiplicador r para o critério de escoamento de Mohr-Coulomb
173
O parâmetro r pode ser obtido através de semelhança de triângulos, fornecendo a
lação mostrada abaixo. re
{ }( ){ } { }( ) { }( ) o
ofr −−= (4.136) tttet
tt
ffkfkrf
kf−
=−∆+ 1,,
,
σσσ
σ
onde:
{ }( )kff tto ,σ=
e
{ } { }( )krff tet ,1 σσ ∆+= (4.137)
ça erro
enor que uma tolerância estipulada para a função de escoamento do material.
o ANEXO C é mostrado o fluxograma para uma iteração (k) qualquer de um
cremento de carga (t+∆t), do processo iterativo para a obtenção do incremento de
nsões em regime elasto-plástico paras as funções de escoamento de Mohr-Coulomb e
on Mises.
Os valores de of e 1f são atualizados até se obter um multiplicador r, que forne
m
N
in
te
V
174
5 INTERAÇÃO SOLO-DUTO
correta representação da interação solo-duto é de fundamental importância na
a sua geometria, podem vencer a resistência do solo iniciando o processo de
stabilização e conseqüente flambagem.
interação solo-duto pode ser positiva ou negativa no tocante ao desenvolvimento das
ondições necessárias para gerar uma flambagem termomecânica, dependendo do nível
e restrição que o solo seja capaz de impor ao duto. Se o solo tiver a capacidade de
pedir movimentações significativas do duto, o que geralmente ocorre no caso de
utos enterrados, age de forma positiva impedindo a flambagem. Caso o duto esteja
parcialmente enterrado ou simplesmente apoiado sobre o solo, que é o caso corrente de
utos submarinos com elevadas lâminas d´agua, o solo pode ser um indutor do processo
de e
restring
s modelos analíticos e numéricos comumente utilizados na literatura técnica
OBBS,1981, KYRIAKIDES,1988, PALMER et al.,1981, PENDERSEN et al.,1985),
utilizam modelos de fricção de Morh-Coulomb. Esta forma de representação do
comportamento do solo nem sempre é apropriada principalmente no caso de dutos
submetidos a carregamentos cíclicos como será visto adiante.
A
simulação do comportamento de dutos aquecidos. Ao mesmo tempo em que tende a
restringir a movimentação do duto, sendo este um efeito benéfico caso a restrição seja
eficiente, também pode gerar as condições necessárias para a ocorrência do fenômeno
de flambagem termomecânica (“thermal buckling”), caso a restrição do solo seja parcial
sendo insuficiente para restringir movimentações do duto.
A reação axial do solo à movimentação do duto gera esforços de compressão na parede
deste, que dependendo das reações lateral e/ou vertical e das imperfeições iniciais
existentes n
in
A
c
d
im
d
d
flambagem, já que gera esforços compressivos na linha, não sendo capaz d
ir a sua movimentação e conseqüente instabilização.
O
(H
175
Neste capítulo as leis constitutivas apresentadas servem tanto para solos argilosos como
arenosos, pois representam apenas as curvas de reação versus deslocamento da interação
solo-duto independente do tipo de solo.
5.1 INTERAÇÃO SOLO DUTO – DIREÇÃO AXIAL
Como dito anteriormente a resistência axial do solo, contrária à expansão térmica do
duto tende a gerar um esforço de compressão na linha que é função do enterramento
(área de contato solo-duto) e parâmetros de resistência do solo.
A reação axial máxima de um modo geral é dada pela lei de atrito de Coulomb,
conforme mostrado abaixo.
τ (5.1)
Ond
∫=A
axi dAF
e:
φστ tgc n+= (5.2)
plificada mostrando formas mais conhecidas no cálculo da
Verifica-se a partir das equações (5.1) e (5.2) que a reação axial depende da área de
contato solo-duto e do peso submerso expresso pela distribuição da tensão normal
efetiva no contato.
A equação (5.1) pode ser sim
reação axial.
Para materiais argilosos em condições não-drenadas fazendo uSc = e 0=φ , tem-se que:
(5.3) ∫=A
uaxi dASF
176
ou caso a resistência não-drenada seja constante:
onde:
Su Resistência não-drenada no contato solo-duto
Alat Área lateral (por unidade de comprim nto) de contato solo-duto
Para materiais arenosos (comportamento drenado) com
latuaxi ASF = (5.4)
e
0=c , tem-se:
∫=A
naxi dAtgF φσ (5.5)
No caso de uma distribuição aproximadamente uniforme da tensão normal no contato
solo-duto, temos que:
subaxiaxi WF µ= (5.6)
onde:
latnsubW σ= A Peso Submerso por unidade de comprimento
φµ tgaxi = Coeficiente de atrito axial do contato solo-duto
A reação axial d te compreendida
rincipalmente em argilas, onde o valor da reação pode mudar ao longo do tempo
evido ao processo de adensamento ocasionado pela dissipação de poropressões que
esenvolvida em dutos ainda não é completamen
p
d
pode durar até semanas. Uma compreensão mais adequada da reação axial ainda é
objeto de estudo, podendo-se citar estudos experimentais, alguns ainda em fase inicial
visando a sua melhor compreensão (BOLTON et al.,2003, ASCE,2001, ODEN et al.
1985).
177
Na análise de dutos é comum a utilização do conceito de coeficiente de “atrito” axial
equivalente para quantificar a interação solo-duto independente de seu comportamento
ser drenado ou não-drenado. O coeficiente de “atrito” equivalente é obtido dividindo a
reação axial máxima pelo peso submerso do duto. Esta forma de representação da
interação solo-duto pode levar a obtenção de coeficientes de atrito maiores que um,
ependendo do enterramento e parâmetros de resistência do solo, mas é extremamente
representar a lei
onstitutiva de Coulomb, mais comumente utilizada para representar a interação solo-
lha-se com a lei constitutiva
presentada na Figura 5.2, onde se verifica a existência de um deslocamento de
obilização que delimita as regiões elástica e plástica. Também verifica-se a existência
e uma região de transição entre a região com resistência de pico e a resistência residual
breakout region”), que domina o comportamento de expansão do duto na direção axial
consequentemente processo de flambagem. A forma da lei constitutiva e o valor do
eslocamento de mobilização apresentam influência significativa apenas no processo de
iciação do processo de flambagem e no comportamento do fenômeno chamado na
teratura técnica de “pipeline walking” (CARR et al. 2003 (a)).
d
útil pois fornece um valor adimensional mais fácil de ser comparado, levando em conta
as características do solo e do duto, sendo mais prático do que a simples utilização da
reação axial.
Utilizando o conceito de coeficiente de atrito equivalente pode-se
c
duto na direção axial conforme mostrado na Figura 5.1, onde verifica-se que
deslocamentos axiais relativos solo-duto só ocorrem quando a reação máxima na
direção axial é mobilizada.
Na realidade o comportamento real na direção axial asseme
a
m
d
(“
e
d
in
li
178
Figura 5.1 – Lei constitutiva de atrito de Coulomb (rígido plástico)
em termos do coeficiente de “atrito” axial equivalente.
Figura 5.2 – Lei constitutiva plástico-perfeita com deslocamento de
mobilização em termos do coeficiente de “atrito” axial equivalente.
179
5.2 INTERAÇÃO SOLO DUTO – DIREÇÃO TRANSVERSAL
A reação lateral do solo desenvolvida pela movimentação de dutos compreende
ssencialmente duas parcelas; a primeira semelhante à existente na direção axial e
omandada pelo atrito no contato solo-duto, e uma segunda dada pela mobilização da
o de flambagem (“Break-out Force”), mostrando a contribuição das parcelas de
trito e resistência passiva do solo.
ento do duto. Dependendo do nível de enterramento do duto a maior parte da
esma forma a apresentada para a reação axial, a reação lateral é geralmente
termos de um coeficiente de atrito lateral equivalente dividindo o peso
e
c
resistência ao cisalhamento do meio contínuo ao redor do duto, também chamado de
resistência passiva.
A equação 5.7 expressa a resistência lateral máxima desenvolvida pelo solo no inicio do
process
a
plat FFF += µ (5.7)
A primeira parcela de (5.7) depende do atrito no contato solo-duto e do peso submerso
do duto. A segunda parcela de (5.7) é devido a resistência passiva do solo ( pF ), sendo
função do diâmetro externo do duto, dos parâmetros de resistência do solo e do nível de
enterram
reação do solo é devido a componente de resistência passiva. De um modo geral a
reação lateral é função do tipo de carregamento imposto pelo duto ao solo. Em solos
argilosos caso o carregamento seja rápido, de modo a não permitir a dissipação de
poropressões, pode-se utilizar a resistência não drenada do material, sendo este o caso
mais freqüente. Caso ocorra a dissipação de poropressões com adensamento do solo, a
obtenção da reação lateral torna-se mais complexa não havendo ainda na literatura
técnica metodologia adequada de cálculo.
Da m
expressa em
submerso do duto pelo valor da reação lateral, conforme mostrado abaixo.
180
sublatlat WF µ= (5.8)
Existem uma série de formulações semi-empíricas para determinar o valor da reação
passiva do solo, baseadas em testes experimentais e formulações de equilíbrio limite
através da definição de superfícies de ruptura (VERLEY,2000, ASCE,2001, BOLTON
te al.,2003).
Abaixo é mostrada uma das expressões clássicas para a obtenção da reação lateral
passiva (VERLEY,2000) de dutos apoiados sobre solos argilosos até enterramentos em
torno de 30% do diâmetro do duto, considerando propriedades não-drenadas.
31.1392.0
13.4 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
−
ee
u
ue
p
Dz
DS
SDF
γ (5.9)
u etro externo do duto (De) e do
ento (z). Formulações semi-empíricas podem fornecer resultados não
atórios em muitos casos, devido a grande dispersão existente nos resultados
em
ala formada durante a sua movimentação.
a movimentação. Observa-se
Pode-se observar na equação (5.9) que a resistência lateral passiva depende da
resistência não-drenada do material (S ), do diâm
enterram
satisf
experimentais em que são baseadas, e nas hipóteses simplificadoras adotadas
(BOLTON et al.,2003), servindo mais para a compreensão dos principais parâmetros
envolvidos no comportamento físico do problema.
Algumas formulações incorporam o efeito do peso submerso do duto (BOLTON et
al.,2003), pois a reação lateral depende da capacidade do duto empurrar o solo s
escapar da v
A Figura 5.3 mostra o comportamento da reação lateral de dutos parcialmente
enterrados através do coeficiente de atrito equivalente na direção lateral, para dutos que
apresentem peso submerso suficiente para continuar empurrando o solo (dutos pesados)
sem sair da vala formada pela sua movimentação, e de dutos leves que durante o
processo de flambagem ultrapassam a vala formada pela su
181
que, caso o duto tenha peso suficiente para continuar na vala, a reação lateral continua
aumentando devido ao acréscimo de resistência passiva mobilizada pelo duto (Figura
5.4). Por outro lado caso o duto seja leve o suficiente para escapar da vala (Figura 5.4),
a reação lateral tende a apresentar uma queda devido a desmobilização da resistência
passiva do solo. Nas Figuras 5.5 e 5.6 pode-se observar claramente o morro e a
formação de vala após a flambagem lateral de dois casos reais, o primeiro na Baia da
Guanabara que gerou o acidente ambiental com o duto PE-2 em janeiro de 2000, e o
utro caso na Bacia de Campos. o
Figura 5.3 – Lei constitutiva para reação lateral para dutos parcialmente enterrados
leves e pesados em termos do coeficiente de “atrito” lateral equivalente.
182
Figura 5.4 – Seção transversal do duto no ponto de máximo deslocamento
lateral da alça de deformação mostrando comportamento de dutos leves
e pesados após a flambagem.
Figura 5.5 – Caso real mostrando formação de morro (“berm”) e
vala formada após flambagem lateral do duto PE-2.
183
Figura 5.6 – Caso real mostrando formação de
vala formada por duto na Bacia de Campos.
Para dutos enterrados a reação lateral é essencialmente devido a componente passiva,
apresentando comportamento semelhante ao observado para os dutos denominados de
pesados.
Abaixo é mostrada a expressão recomendada pela ASCE (2001) para a obtenção da
reação lateral passiva de dutos totalmente enterrados.
esqhechp HDNcDNF γ+= (5.10)
Onde e são fatores de capacidade de carga, que são função do nível de
enterra
expressão (5.10) pode ser simplificada para os casos específicos de solos arenosos e
rgilosos, fornecendo respectivamente:
chN qhN
mento (H) do duto e do ângulo de atrito interno do material.
A
a
184
esqhp HDNF γ= (5.11)
euchp DSNF = (5.12)
A recomendação da ASCE (2001) também estima o valor do deslocamento elástico
áximo lateral do solo em função do enterramm ento do duto.
Conforme pode-se observar acima para solos argilosos (5.12), a resistência lateral
passiva em dutos totalmente enterrados depende da resistência não-drenada do material
(Su), do diâmetro externo do duto (De) e de um fator de capacidade de carga que é
função do enterramento (H) e do ângulo de atrito interno do material. A expressão para
a reação lateral de dutos totalmente enterrados possui uma forma semelhante a
verificada para dutos parcialmente enterrados (5.9), sendo diferente apenas nos fatores
existentes em cada expressão que ajustam seus resultados de forma mais adequada para
cada caso (parcialmente enterrado versus totalmente enterrado).
A modelagem do comportamento da reação lateral durante carregamentos cíclicos é
mais complexa que o descrito acima, onde a utilização da lei de atrito de Coulomb é
inadequada, devido às variações que ocorrem no valor da reação lateral durante os
processos de aquecimento e resfriamento.
Dutos aquecidos com
agnitudes de 10 a 20 vezes o diâmetro do duto. Neste caso o
eio continuo formado pelo solo deslocado (BOLTON et
flambagem lateral tendem a desenvolver grandes deslocamentos,
podendo chegar a m
comportamento interativo solo-duto é de difícil avaliação principalmente no caso em
que valas são formadas pela movimentação do duto. A reação lateral pode sofrer
variações significativas durante os ciclos de aquecimento e resfriamento, já que durante
o resfriamento o duto tende a mobilizar apenas a parcela de atrito no contato solo-duto
enquanto durante o processo de aquecimento pode mobilizar as resistências de atrito no
contato e passiva do m
al.,2003).
185
O com rtamento da reação lateral durante carregamentos cíclicos de aquecimento e
resfriamento em dutos, é geral
conforme mostrado na Figura 5.7. Esta forma de modelar a reação lateral não é
ente no caso de dutos que se movimentam dentro de valas devido
quecimento e desaquecimento da linha. Neste
ignificativamente diferente ao mostrado na Figura 5.7, e será
avaliada m entadas no AEEPECD.
A nto típico da curva de reação (atrito) lateral versus
eslocamento durante o aquecimento, resfriamento e posterior reaquecimento de um
parcela de atrito no
ontato solo-duto, até o fechamento do “gap” entre o duto e a massa de solo deslocado,
mento explicitado é apenas um dos possíveis, podendo ocorrer outros tipos de
omportamentos em dutos submarinos apoiados sobre o leito marinho. Outras leis
em ser mais adequadas em outros casos, dependendo do
esenvolvimento da interação solo-duto. As leis constitutivas implementadas no
AEEPECD para representar o co m
carregamentos cíclicos será abordada de forma detalhada mais a frente.
A utilização de uma o comportamento da
reação lateral em dutos aquecidos submetidos a carregamentos cíclicos é de
fundam ntal importância na obtenção do estados de tensões/deformações real, que
servirão como dados para avaliação dos estados limites. Caso seja utilizada a lei
constitutiva tradicional de Coulomb a alça de deformação formada pode aumentar
indefinidamente durante os ciclos de aquecimento e resfriamento como será visto no
to uma avaliação mais realista da curva de reação lateral do solo
ostra que o solo deslocado (“berm”), tende a gerar reações suficientes para estabilizar
a alça depois de determinado número de ciclos (capítulo 8).
po
mente modelado utilizando lei de atrito de Coulomb,
adequada principalm
ao processo de ciclagem induzido pelo a
caso a reação lateral é s
ais à frente com as leis constitutivas implem
Figura 5.8 mostra um comportame
d
duto contido numa vala. Observa-se o aumento da reação lateral durante o aquecimento
até determinado nível. Durante o resfriamento a reação lateral é geralmente menor
devido a mobilização apenas da parcela de atrito.
Após o reaquecimento do duto a reação lateral mobiliza apenas a
c
quando a reação lateral volta a aumentar devido a reação passiva do solo. O
comporta
c
constitutivas pod
d
mportamento físico de dutos aquecidos, sub etidos à
lei constitutiva que represente corretamente
e
capítulo 8, enquan
m
186
Figura 5.7 – Reação lateral do solo para lei de atrito de
Coulomb durante ciclos de aquecimento de desaquecimento
Figura 5.8 – Comportamento real típico da reação lateral do solo
durante ciclos de aquecimento de desaquecimento
187
Apesar lateral
do solo, ao longo deste trabalho será utilizado o programa AEEPECD na obtenção da
curva de reação lateral do solo, por ser uma ferramenta numérica validada com ensaios
experimentais (COSTA, 2001g), além conseguir representar adequadamente a não-
homogeneidade das propriedades mecânicas e de resistência do solo.
Para solos argilosos abordados neste trabalho, em função do carregamento imposto pelo
duto, considera-se o comportamento do solo neste processo como não-drenado. Para o
modelo elasto-plástico, adota-se o critério de Mohr-Coulomb (capítulo 4) para material
puramente coesivo com ângulo de atrito igual a zero, o que recai no modelo de Tresca
na condição “no tension”.
A resistência não-drenada de solos argilosos geralmente é função da profundidade
podendo apresentar grandes variações na camada superficial, que é a região de interesse
na determinação das reações de solo devido à movimentação do duto. A Figura 5.9
mostra ara a
camada superficial de solo de um solo marinho analisado.
de existirem várias formulações analíticas para a determinação da reação
algumas curvas de resistência não-drenada em função da profundidade p
Figura 5.9 - Curvas típicas Força eslocamento, obtidas através
simulações considerando modelo de contínuo de estado plano de
deformações utilizando o programa AEEPECD
x d
188
Figura 5.10 – Perfil de resistência não-drenada na camada superficial
típico em solo argiloso localizado em águas profundas
Foi implementada rotina no AEEPECD para considerar variações na resistência não-
drenada com a profundidade, calculando as propriedades mecânicas e de resistência em
cada elemento. Os valores utilizados em cada elemento são obtidos utilizando a
equação de resistência não-drenada obtida (Su(z)), para a profundidade do centro de
gravidade do elemento. As propriedades elásticas do solo são calculadas da mesma
forma, utilizando correlações (AMARAL, 1997c) com a resistência não-drenada.
O programa AEEPECD foi validado fazendo-se comparações com ensaios
experimentais realizados no IPT (COSTA,2001g). A Figura 5.11 mostra o tanque de
prova experimental e a geomteria deformada do solo considerando um enterramento de
50% do diâmetro do duto, podendo-se observar claramente a formação de uma pequena
vala. A determinação de reações devido à movimentação de dutos também foi validada
através de comparações entre os programas AEEPECD e ABAQUS
(CARDOSO,2004(b)) para modelos com Su constante.
189
Figura 5.11 – Tanque de prova experimental (IPT) utilizado para determinação
5.3 INTERAÇÃO SOLO DUTO – DIREÇÃO VERTICAL
imente-se no sentido de aumentar o
u enterramento tem-se a reação denominada de vertical descendente, por outro lado se
sprezada para enterramentos inferiores a meio diâmetro.
da reação lateral mostrando duto e vala formada
A reação vertical do solo pode ser dividida em função da direção de mobilização do
solo pela movimentação do duto. Caso o duto mov
se
o duto se movimentar no sentido de diminuir o seu enterramento, temos a reação
chamada de vertical ascendente. De um modo geral estas duas reações são diferentes,
mas para dutos muito enterrados (enterramentos superiores a 3 diâmetros), as reações
máximas do solo tendem a ser iguais nos dois sentidos (ASCE,2001).
No caso de dutos apoiados sobre o solo ou parcialmente enterrados, a reação vertical
mais significativa é a descendente, a reação vertical ascendente é secundária e de difícil
obtenção pois depende essencialmente da sucção no contato solo-duto, sendo
geralmente de
190
Em dutos totalmente enterrados a reação vertical do solo, tanto ascendente como
descendente pode ser obtida através de formulações analíticas baseadas em ensaios
experimentais e modelos teóricos, ou por modelagem numérica utilizando modelos de
elementos finitos.
É possível obter as reações verticais em dutos enterrados utilizando expressões
nalíticas, onde a principal referência é dada pela recomendação da ASCE (2001) para
projeto de dutos enterrados. A expressões propostas pela ASCE (2001) são baseadas em
testes em escala reduzida e modelos matemáticos para obtenção da reação vertical
máxima do solo, sendo também propostas expressões para o cálculo do deslocamento de
mobilização correspondente à reação vertical máxima.
O cálculo da reação vertical ascendente proposta pela ASCE (2001), é mostrada abaixo,
sendo válida para dutos com enterramentos moderados.
a
esqvecvva HDNcDNF γ+= (5.13)
Onde e são fatores de capacidade de carga, e H é o enterramento referente ao
c
A expressão (5.13) pode ser simplificada para os casos específicos de solos arenosos e
cvN qvN
entro do duto.
argilosos, representada conforme mostrado abaixo.
esqvva HDNF γ= (5.14)
(5.15)
eucvva DSNF =
191
O cálculo da reação vertical descendente proposta pela ASCE (2001), é mostrada
abaixo.
2
2e
sesqecvdD
NHDNcDNF γγ γ++= (5.16)
Onde e são fatores de capacidade de carga.
A expressão (5.16) é a expressão clássica para o cálculo de capacidade de carga em
fundações rasas (LAMBE,1969), e pode ser simplificada para os casos específicos de
s
cN qN γN
olos arenosos e argilosos respectivamente, conforme mostrado abaixo.
2
2e
sesqvdD
NHDNF γγ γ+= (5.17)
esqeucvd HDNDSNF γ+= (5.18)
As reações verticais mostradas acima fornecem reações má as do solo caso o duto
apresente deslocamentos elevados pode ocorrer o rompimento das camadas de solo
sobrejacentes alter
xim
ando a reação vertical ascendente de forma significativa. Para
presentar corretamente a reação vertical do solo durante o processo de flambagem
ertical, deve-se considerar uma possível perda de suporte vertical com a movimentação
do duto. As Figuras 5.12 e 5.13 mostram respectivamente a configuração fletida de um
duto inicialmente com cobertura de solo acima de sua geratriz superior com os esforços
atuantes, e a curva de reação vertical ascendente versus deslocamento vertical
associada.
re
v
192
Figura 5.12 – Esforços atuantes na configuração deformada do duto, considerando
imperfeição inicial (δi) e variação da resistência vertical ascendente com o
deslocamento vertical
Figura 5.13 – Curvas idealizadas de reação vertical ascendente de materiais argilosos e
arenosos em função do deslocamento vertical para dutos totalmente enterrados
193
Para considerar a variação de resistência não-drenada com a profundidade, as reações
de solo são geradas com o programa AEEPECD de forma semelhante à descrita para a
obtenção das reações laterais.
A Figura 5.14 mostra uma malha de elementos finitos gerada para a determinação da
reação vertical descendente de um duto apoiado sobre o piso marinho com enterramento
inicial de 50% do diâmetro externo. As Figuras 5.15 e 5.16 mostram respectivamente a
deformada do duto e a região plastificada do solo, assim como algumas curvas de
reação vertical em função do deslocamento vertical imposto.
Figura 5.14– Malha de elementos finitos com duto possuindo enterramento de
50% do diâmetro, gerada para determinação da reação vertical descendente do solo
194
Figura 5.15 – Isomapa de plastificação para a reação máxima vertical
Figura 5.16 – Curva de reação vertical descendente em função do
deslocamento para diferentes enterramentos iniciais
195
De um modo geral o método dos elementos finitos é utilizado na obtenção das reações
de solo devido à possibilidade de representar condições que não são cobertas por
rmulações analíticas. Em geral os parâmetros de resistência do solo são variáveis com
profundidade (Figura 5.10) como explicado anteriormente, exercendo grande
fluência no resultado da reação de solo obtida. Além disso modelos numéricos são
apazes de representar a plasticidade do solo e a interação solo-duto, através de
lementos de interface especiais de forma bastante precisa, sendo validado com ensaios
xperimentais (COSTA,2001g). Por outro lado formulações analíticas servem para obter
alores aproximados de forma simples quando não se dispõe de uma ferramenta
umérica adequada, para solos com propriedades de resistência constantes.
s reações verticais de solo assim como todas a demais apresentadas neste trabalho
stringem-se ao campo dos pequenos deslocamentos. Os deslocamentos impostos por
utos durante o processo de flambagem podem alcançar deslocamentos da ordem de
vários diâmetros do duto, sendo este um importante tema de pesquisa atual para uma
melhor compreensão do complexo fenômeno de interação solo-duto.
As reações de solo podem sofrer variações significativas para deslocamentos da ordem
de alguns diâmetros, principalmente as reações laterais no caso de dutos parcialmente
enterrados, e na componente vertical ascendente de dutos totalmente enterrados (Figura
5.13). Nos demais casos as reações de solo apresentam comportamento relativamente
estável mesmo para deslocamentos relativamente elevados.
fo
a
in
c
e
e
v
n
A
re
d
196
5.4 INTERAÇÃO SOLO DUTO – ENTERRAMENTO NATURAL
Para avaliar corretamente a interação solo-duto é necessário conhecer o enterramento
inicial do duto, sendo esta uma das principais fontes de incerteza na determinação das
reações do solo. Em dutos terrestres ou em lâminas d’agua rasas é mais fácil controlar o
nível de enterramento do duto, já em dutos lançados em águas profundas o enterramento
inicial não é controlável dependendo de um série de fatores como; Perfil de resistência
do solo, peso submerso, diâmetro do duto, cargas de instalação, etc...
A determinação do enterramento inicial de dutos submarinos é feita tradicionalmente
onsiderando a força vertical atuante no contato solo-duto, como sendo igual ao peso
bmerso do duto vazio multiplicado por um fator de amplificação da reação devido ao
des envolvidas durante o processo de penetração do
uto no solo.
ara solos com comportamento não-drenado (argila) VERLEY et al. (2000), propôs
obtenção do enterramento inicial de dutos baseados em experimentos em escala
expressão:
a
c
su
esforço de lançamento. De um modo geral o aumento da força vertical no contato solo-
duto é de 2 a 3 vezes maior que a carga considerando somente o peso submerso do duto
(LUND, 1995).
O enterramento inicial em dutos geralmente é calculado através de modelos empíricos,
modelos analíticos ou de simulações numéricas, sendo este último o mais apropriado
para representar as não-linearida
d
P
para a
real, a seguinte
( ) ( ) 7.03.02.33.0 062.00071.0 SGSGzini += Dext
(5.19)
onde:
uext
sub
SDW
S = e γext
u
DS
G =
197
No caso de solo com comportamento drenado (areia), a expressão que melhor se ajusta
aos dados empíricos apresentados por VERLEY et al. (2000), é dada por:
32037.0 −= JKDz
ext
ini (5.20)
onde: sub
exts
WD
K2'γ
=
Outros trabalhos realizados com o intuito de obter expressões capazes de fornecer
estimativas para o enterramento de dutos apoiados sobre o leito marinho devido ao seu
peso próprio, fornecem uma faixa de valore possíveis limitados por um máximo e outro
mínimo (BOLTON et al.,2003), ao invés de ostrado nas equações
acima.
Como pode ser observado, o cálculo do enterramento inicial é função do carregamento
estático devido ao peso do duto, propriedades do solo, e área de contato solo duto
(diâmetro externo do duto). Porém fatores que ocorrem durante o lançamento como as
movimentações laterais no TDP (“touch-down point”) não são consideradas. A reação
no TDP é um efeito essencialmente dinâmico e com forte influência no enterramento do
duto, e conseqüentemente na forma da curva de reação do solo.
De um modo geral as formulações utilizadas para obter o enterramento inicial de dutos
lançados diretamente sobre o solo tendem a subestimar o enterramento, podendo
apresentar grand 5). Para se ter
uma avaliação mais c to durante a fase de
projeto é necessário avaliar o aumento da força no contato solo-duto durante o
lançamento, e principalmente avaliar a amplitude lateral e o número de ciclos ocorridos
pelo movimento do duto na região do TDP.
s
um valor fixo como m
e diferença com o observado na realidade (LUND,199
onfiável do enterramento inicial de um du
198
No caso de dutos já em operação o enterramento deve ser obtido através de inspeções
pois o enterramento pode ser alterado por uma série de fatores ambientais.
egião do TDP e do aumento na
rça de contato no TDP durante o lançamento. Neste estudo Lund mostrou que os
de dutos em operação ainda é esparsa, porém
os últimos anos vem crescendo significativamente, devido a utilização de tecnologias
aseadas em veículos submarinos (ROV e AUV) para a realização de inspeções em
águas profundas.
5.5 FORMULAÇÃO DE ELEMENTOS FINITOS DE INTERFACE PARA
CONSIDERAÇÃO DE DESCONTINUIDADES
Neste item será apresentada a formulação matemática do método dos elementos para o
elemento de interface utilizado no programa AEEPECD (COSTA,1984). Em problemas
de interação solo-estrutura utilizando o método dos elementos finitos, muitas são as
situações em o exemplo
de superfícies , dutos entre
utros que formam uma superfície de contato com o solo ao seu redor.
casos a superfície de contato é desconhecida podendo variar durante a aplicação do
carregamento. No elemento de interface utilizado neste trabalho, a superfície inicial de
Até o presente momento não existem estudos experimentais para avaliar os efeitos dos
esforços de lançamento no enterramento de dutos submarinos. A verificação do efeito
dos esforços de lançamento foi feito por LUND (1995), que analisou a partir de dados
medidos, o efeito dos movimentos cíclicos laterais na r
fo
fatores determinantes no enterramento do duto Zeepipe 2B lançado numa região com
solo argiloso e com lâmina d’agua em torno 270 m, foram os esforços de lançamento.
A existência de dados sobre enterramento
n
b
que são presentes descontinuidades no modelo de análise. Com
de descontinuidade, pode-se citar o caso de estacas, âncoras
o
Em alguns casos a superfície de contato pode ser definida de forma precisa mantendo-
se constante ao longo da aplicação do carregamento no modelo estrutural. Em outros
199
interface deve ser conhecida podendo variar somente devido ao “descolamento” entre as
partes (COSTA,1984, GOODMAN,1968/1972).
is ou mais
lidos em contato, ou ser utilizado como um elemento estrutural para representar a
ação de outro sólido. A utilização dos elementos de interface como elementos
estruturais será feita no caso específico estud do neste trabalho, para a representação da
reação do so
Serão apresentadas diversas leis constitutivas utilizadas para representar o
comportamento físico de uma interface (COSTA,1984). O elemento de interface
utilizado neste trabalho pode representar o comportamento físico entre do
só
re
a
lo em dutos aquecidos.
200
5.5.1 COMPORTAMENTO FÍSICO DE UMA INTERFACE
Neste item serão mostradas as leis constitutivas já existentes no código do AEEPECD,
assim como novas leis implementadas para representar a interação solo-duto aquecido.
A representação de uma descontinuidade ou interface entre dois ou mais corpos sólidos,
ode apresentar não-linearidades tais como a variação da superfície de contato e
omportamento não-linear físico do material. No caso analisado neste trabalho onde a
perfície de contato inicial é conhecida, pode-se partir diretamente para a sua
discretização através de elementos finitos de interface (COSTA,1984,
GOODMAN,1968/1972), que permitam considerar a descontinuidade entre os corpos
sólidos em contato, considerando a não-linearidade física do material de interface.
O elemento de interface utilizado neste trabalho tem a vantagem de permitir a
consideração de diferentes leis constitutivas, permitindo uma grande flexibilidade ao
código de elementos finitos AEEPECD na análise dos mais variados problemas
envolvendo interação solo-estrutura.
A descontinuidade entre dois ou mais corpos sólidos pode ser modelada em função dos
deslocamentos relativos entre as superfícies destes corpos (topo e base – Figura 5.17). O
comportamento ões normal e
tangencial ao co ato, podendo-se
observar no detalhe uma região com geometria rugosa representando o contato real
assim como as superfícies topo e base dos sólidos vizinhos utilizados no modelo
matemático do contato. O contato entre dois corpos sólidos possui geralmente uma
pequena espessura que delimita a região de pelo comportamento
físico das tensões normal e tangencial que são desenvolvidas na interface.
p
c
su
do elemento de interface é analisado segundo as direç
ntato. A Figura 5.17 mostra dois corpos sólidos em cont
influência responsável
201
Figura 5.17 – Corpos sólidos em contato num instante t
ura 5.18
ostra o comportamento evidenciado experimentalmente (COSTA,1984) para a tensão
ormal em diferentes corpos de prova. O corpo de prova CP1 é um corpo de prova
irgem sem fissuras, o corpo de prova CP2 é o mesmo corpo de prova CP1, porém com
uma fissura criada artificialmente, já o corpo de prova CP3 é o mesmo corpo de prova
CP2, ma o corpo
CP2.
5.5.2 COMPORTAMENTO FÍSICO DA INTERFACE – DIREÇÃO NORMAL
De um modo geral o contato entre corpos sólidos é caracterizado pelo comportamento
não-linear entre as tensões desenvolvidas no contato e o deslocamento relativo entre as
superfícies dos corpos sólidos. Para compreender-se melhor este fato a Fig
m
n
v
s com a fissura criada artificialmente com uma geometria diferente d
202
Figura 5.18 – Corpos de prova utilizados para mostrar o comportamento
da tensão na direção normal ao contato
Figura 5.19 – Ensaio mostrando comportamento experimental das tensões
desenvolvidas na direção normal ao contato entre dois corpos sólidos
203
A Figura 5.19 mostra o comportamento da tensão normal em função do deslocamento
edido nos topos dos corpos de prova. Subtraindo os deslocamentos associados ao
orpo de prova CP1 dos obtidos para os corpos de prova CP2 e CP3, obtém-se o
omportamento não-linear da tensão normal no contato em função do deslocamento
lativo entre as superfícies dos corpos sólidos, conforme pode ser visto na Figura 5.20.
ambém pode-se observar na Figura 5.20 a variação no coeficiente de rigidez normal
ostrando a influência da geometria e “espessura” do contato no comportamento não-
linear da interface.
m
c
c
re
T
m
Figura tre as
curva experimental ilustrada na Figura 5.20 pode ser modelada matematicamente
5.20 –Tensão normal no contato em função do deslocamento relativo en
superfícies dos sólidos para os corpos de prova CP2 e CP3
A
através de leis constitutivas baseadas no comportamento macroscópico da interface.
Existem diversas leis que satisfazem o comportamento observado na Figura 5.20, duas
possíveis leis são a hiperbólica e exponencial respectivamente mostradas abaixo.
204
i
nm
ni
no
non
vVv
Xα
σ ⎟⎟⎠
⎜⎜⎝ ∆−
= (5.21)
(5.22)
nde:
,,
σσ ⎞⎛ ∆−
nenon
vXe ∆−=σσ
o
X eii Xα - são constantes obtidas de resultados experimentais
nσ - tensão normal no contato num instante t
noσ - tensão normal inicial no contato
as leis constitutivas hiperbólica e exponencial expressas
equações (5.21 e 5.22) respectivamente. Estas leis possuem como características
comum a resistência nula à tração definida através de uma tensão mínima no contato
ξ), e existência de uma compressão máxima no contato que define o valor da máxima
onvergência (Vmc) entre as duas superfícies dos sólidos vizinhos.
seguir são mostrados os parâmetros que devem ser calculados para a utilização de
ada lei.
ei Hiperbólica :
As Figuras 5.21 e 5.22 mostram
pelas
em
(
c
A
c
L
m
noi
vn
nno V
Xv
Cn
σσ=
∆∂∂
==∆ 0
(Coeficiente de rigidez tangente inicial) (5.23)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
+=mc
mmcino V
VVX1σξ (Tensão mínima no contato) (5.24)
205
Lei Exponencial :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
no
n
me V
Xσσ exp
ln1 (Expoente para lei exponencial) (5.25)
enovn
nno X
vC
n
σ−=∆∂
==∆ 0
(Coeficiente de rigidez tangente inicial) (5.26)
σ∂
(Tensão mínima no contato) (5.27)
As leis constitutivas exponenc m o comportamento físico de
contatos entre corpos sólidos, estando implementandos no código do programa
EEPECD (COSTA,1984), não sendo vistas em detalhes neste trabalho.
este trabalho será dado enfâse às leis constitutivas para a tensão normal do contato que
no estudo da interação solo-duto em duas etapas distintas. Na primeira para
odelar a interface entre o solo e o duto permitindo a determinação das curvas de
reação do solo, utilizando um modelo de estado plano de deformação, conforme visto
anteriormente. Numa segunda etapa como elemento estrutural capaz de representar as
reações do solo devido à movimentação de dutos aquecidos utilizando para tal leis
constitutivas adequadas.
( )mmceno
VVXe −−= σξ
ial e hiperbólica representa
A
N
permitam utilizar o elemento de interface apresentado, como um elemento estrutural,
capaz de representar reações típicas do comportamento solo-duto (plástico-perfeita,
multilinear, etc..). No caso específico deste trabalho o elemento de interface será
utilizado
m
206
Figura 5.21 – Lei constitutiva hiperbólica para tensão normal na interface
Figura 5.22 – Lei constitutiva exponencial para tensão normal na interface
207
P o do elemento de interface na direção
ormal ao contato, a Figura 5.23 mostra dois pontos 1 e 2, pertencentes respectivamente
o topo e à base do elemento de interface, numa mesma direção normal ao eixo
longitudinal do elemento. A forma como os deslocamentos relativos na direção normal
são calculados é mostrado na Figura 5.24, para um caso particular onde os
deslocamentos relativos são constantes ao longo da direção longitudinal em dois
instantes distintos t e t+∆t, assim como a lei constitutiva utilizada para a tensão normal.
A formulação matemática do elemento finito de interface, assim como o cálculo dos
deslocamentos relativos e tensão no contato foram vistos no capítulo 3.
ara compreender melhor o comportamento físic
n
a
dos deslocamentos relativos e tensão normal.
Figura 5.23 – Elemento de interface mostrando topo e base para cálculo
208
Figura 5.24 – Esquem entos normais relativos
para o elemento de interface
a para a obtenção dos deslocam
209
5.5.3 LEI CONSTITUTIVA PARA INTERAÇÃO SOLO–DUTO NA DIREÇÃO
NORMAL AO CONTATO
primeira lei constitutiva implementada para representar a interação solo-duto na
ireção normal ao contato solo-duto, é a lei plástico-perfeita conforme mostrado na
igura 5.25. A lei constitutiva plástico-perfeita permite a consideração de uma tensão
al inicial ( ) e de uma tensão de ruptura por tração ( ), a partir da qual ocorre
descolamento entre as faces do elemento de interface sem a ocorrência de reação entre
solo e o duto. No caso específico de analises de interação solo-duto aquecido, as
tensões na direção normal inicial e de rupt ra por tração são nulas, sendo de grande
tilidade em outras análises na área de interação solo-estrutura.
Na Figura 5.25 sã escompressão de
m ponto do elemento de interface, podendo-se observar, que durante os
escarregamentos 1-2 e 2-2 são armazenados os “gaps” (
A interação solo-duto no programa AEEPECD é feita através da utilização dos
elementos de contínuo de contato (capítulo 3), sendo utilizadas leis constitutivas
específicas para representar a reação de solo.
A
d
F
norm on
σ tn
σ
o
o
u
u
o mostrados dois ciclos completos de compressão e d
u
d pnV∆ ) formados entre as faces
do elemento de contato que representam a interface solo-duto. O armazenamento do
“gap” formado entre o duto e o solo durante o processo de descarregamento da
interface, é essencial para representar de forma correta a interação solo-duto em casos
onde ocorra ciclagem, já que o solo só ira reagir integralmente novamente contra o duto
quando o “gap” for fechado durante um novo ciclo de carregamento, conforme pode ser
visto na Figura 5.25.
A lei contitutiva elastoplástica perfeita mostrada permite também a inserção de um
“gap” inicial permitindo modelar uma separação inicial entre o duto e solo, útil para
simular o comportamento de dutos aquecidos em regiões com vãos-livres. A lei
constitutiva elastoplástica perfeita com um “gap” inicial é mostrado na Figura 5.26. A
Figura 5.26 um ponto
do elemento de interface que po
mostra dois ciclos completos de compressão e descompressão de
ssui um “gap” inicial.
210
Figura 5.25 – Lei constitutiva plástico-perfeita para tensão normal no elemento
de interface mostrando dois ciclos completos de compressão e descompressão.
Figura 5.2 ormal na
interface mostrand descompressão.
As Figuras 5.27 e 5.28 mostram dois ciclos completos de tração e compressão do
elemento de interface sem e com “gap” inicial para a lei elastoplástica perfeita. Como a
tensão de ruptura por tração é nula ( ), o elemento funciona somente á
compressão, o que não é um problema pois são utilizados elementos em ambas as faces
do duto.
6 – Lei constitutiva plástico-perfeita com gap inicial para tensão n
o dois ciclos completos de compressão e
0=tn
σ
211
Figura 5.27 – Lei constitutiva plástico-perfeita para tensão normal no elemento
de interface mostrando d
ois ciclos completos de tração e compressão
Figura 5.28 – Lei constitutiva plástico-perfeita com gap inicial para tensão normal no
elemento de interface mostrando dois ciclos completos de tração e compressão
utra lei constitutiva utilizada para a realização das análises de interação solo-duto
aquecidos, é a lei multilinear que permite a consideração do aumento da resistência do
solo (encruamento). Na lei constitutiva com encruamento a tensão máxima de
compressão ( ), é atualizada em função do deslocamento relativo no elemento de
30 mostram respectivamente dois ciclos completo de
comp pressão, de um ponto do elemento de contato sem e com “gap”
inicial. As m as observações feitas para a tensão inicial ( ) e de ruptura por tração
O
maxn
σ
contato. As Figuras 5.29 e 5.
ressão e descom
esm noσ
212
( tn
σ
com
) do contato feitas para a lei elastoplástica-perfeita são válidas para a lei multilinear
encruamento.
Figura 5.29 – Lei multilinear com encruamento plástico para tensão normal no elemento
de interface mostrando dois ciclos completos de compressão e descompressão.
Figura 5.30 – Lei multilinear com encruamento plástico e gap inicial para tensão normal
na interface mostrando dois ciclos completos de compressão e descompressão.
213
As Figuras 5.31 e 5.32 mostram dois ciclos completos de tração e compressão de um
ponto do elemento de contato, para a lei multilinear com encruamento.
Figura 5.31 – Lei constitutiva com endurecimento plástico para tensão normal no
elemento de interface mostrando dois ciclos completos de descompressão e compressão
Figura 5.32 – Lei constitutiva com endurecimento plástico e gap inicial para
tensão normal no elemento de interface mostrando dois ciclos completos
de descompressão e compressão
214
As leis constitutivas plástico-perfeita e multilinear com endurecimento mostradas
acima, permitem a simulação da interação solo-estrutura, e em particular solo-duto, em
casos de carregamentos cíclicos na direção normal ao elemento de interface.
Uma lacuna observada nas leis plástico-perfeita e multilinear com endurecimento é a
representação do “atrito secundário” existente entre a base do duto e o solo, quando
ocorre o descarregamento da interface devido ao desaquecimento do duto, em
simulações no plano horizontal. Para preencher esta lacuna foram implementadas leis
plástico-perfeita e multilinear com endurecimento, considerando o “atrito secundário”
durante o descarregamento do elemento de solo.
As Figuras 5.33 e 5.34 mostram dois ciclos completos de compressão e descompressão
de um ponto do elemento de interface para as leis elastoplástica-perfeita e multilinear
considerando “atrito secundário” durante o descarregamento, para representar o atrito
lateral solo-duto.
Figura 5.33 – Lei constitutiva elasto-plástica perfeita com “atrito secundário” para
tensão normal na interface mostrando dois ciclos completos de compressão e
descompressão
215
Figura 5.34 – Lei constitutiva multilinear com encruamento plástico e “atrito
secundário” para tensão normal no elemento de interface mostrando dois ciclos
completos de compressão e descompressão
As leis constitutivas plástico-perfeita e multilinear com endurecimento considerando
“atrito secundário”, permitem considerar as parcelas de reação passiva e de atrito lateral
do solo, conforme mostrado nas Figuras 5.33 e 5.35. Para o caso particular de um duto
simplesmente apoiado sobre o solo, onde a parcela de reação passiva do solo é
praticamente nula, a lei constitutiva para a tensão normal ao elemento de interface é
mostrada na Figura 5.35. Observa-se a simetria da tensão normal desenvolvendo o atrito
lateral nos dois sentidos de carregamento do elemento de interface.
216
Figura 5.35 – Lei constitutiva com atrito lateral para tensão normal no elemento de
interface mostrando dois ciclos completos de compressão e tração para o caso de duto
desenterrado
217
A seguir será mostrado o algoritmo numérico utilizado no elemento de contato durante
o processo de convergência para a tensão normal para uma lei constitutiva não-linear
qualquer num ponto de integração do elemento de contato.
Conforme visto no capítulo 2, a tensão normal pode ser decomposta em duas parcelas,
uma linear e outra não-linear (corretiva). Deste modo para um incremento de carga t +
∆t de uma iteração k, temos que:
( ) )()()()()( kpn
ken
kpn
knn
on
kn VVC σσσσ ∆tt∆tt∆tt∆tt∆tt +++++ +=∆−∆+= (5.28)
onde:
)()( knn
on
ken VC ∆+= ++ ∆tt∆tt σσ
)()( kpnn
kpn VC ∆−= ++ ∆tt∆tt σ (5.29)
Desmembrando o termo não-linear, temos:
(5.30)
Onde a última parcela da equação (5.30), é desconhecida na iteração k, para o processo
de convergência no instante t + ∆t. “Linearizando” a equação (5.30), anulando-se a
parcela não-linear da tensão normal no contato na iteração (k), pode-se obter a seguinte
expressão aproximada.
(5.31)
O fluxograma de cálculo do solver utilizado durante o processo incremental-iterativo no
programa AEEPECD, para a tensão normal atualizada no contato é mostrada no
ANEXO C. As Figuras 5.36 e 5.37 mostram o processo iterativo de convergência
adotado no programa AEEPECD, para as leis constitutivas plástico-perfeito e
)()1()()( kpn
kpn
ken
kn σσσσ ∆++= −+++ ∆tt∆tt∆tt
)1()()(~ −+++ += kpn
ken
kn σσσ ∆tt∆tt∆tt
218
multilinear. O processo de convergência baseia-se num solver onde os desequilíbrios
são calculados com a rigidez inicial do contato “initial stress”.
Figura 5.36 – Processo iterativo para a lei constitutiva
elastoplástica-perfeita para a tensão normal
Figura 5.37 – Processo iterativo para a lei constitutiva elastoplástica
com endurecimento para a tensão normal
219
A seguir serão mostrados alguns exemplos de testes feitos para a lei constitutiva
implementada para a tensão normal no elemento de interface do AEEPECD, para
permitir a representação da interação solo-duto em linhas aquecidas submetidas à
carregamentos cíclicos de aquecimento e resfriamento.
A geometria básica de teste utiliza um modelo de estado plano de tensões constituído de
um elemento sólido e outro de interface (Figura 5.38). O elemento sólido possui
propriedades mecânicas do aço, sendo praticamente rígido e indeformável (E=2000000
KPa e ν=0.) frente ao material do contato, transferindo integralmente o deslocamento
prescrito no topo do modelo para contato.
Figura 5.38 – Geometria do modelo básico de teste para as leis
constitutivas implementadas para a tensão normal à interface
Os nós do elemento de interface não-comuns ao elemento sólido tiveram o
deslocamento restrito em todas as direções. Foram prescritos deslocamentos na direção
do eixo Y aos nós do topo do modelo segundo a função dada na Figura 5.39. A função
de carga é composta por 80 incrementos, com 3 ciclos de carregamento e 2 de
descarregamento totalizando 5 ciclos.
220
São testadas as leis constitutivas plástico-perfeita e multilinear para o exemplo descrito
acima. A Figura 5.40 mostra a parte compressiva da curva de tensão normal na interface
em função do deslocamento relativo, para as leis constitutivas mencionadas.
Figura 5.39 – Função de carga para aplicação do deslocamento
prescrito no topo do modelo
Figura 5.40 – Leis constitutivas plástico-perfeita e multilinear para a parte
221
compressiva da curva tensão normal versus deslocamento relativo na interface
Os resultados mostrados a seguir para a verificação do comportamento da tensão normal
na interface referem-se à função de carga de deslocamento prescrito no topo do modelo
(Figura 5.39).
As Figuras 5.41 e 5.42 mostram os resultados obtidos para a tensão normal no elemento
de interface em função do deslocamento normal relativo para as leis plástico-perfeita e
multilinear com encruamento. Pode-se observar que a tensão normal no contato obedece
perfeitamente os valores definidos para o seu comportamento na Figura 5.40. Observa-
se também que no primeiro descarregamento em que o contato sofre ruptura por tração
(para uma tensão normal de =2 KPa), a tensão normal é zerada. No descarregamento
seguinte já com o contato rompido, o elemento não suporta mais tensões normais de
tração. A Figura 5.43 mostra a deformada e indeformada do modelo para o
deslocamento vertical final de -0.08 m.
tnσ
Figura 5.41 – Tensão normal na interface em função do
deslocamento relativo para a lei elastoplástica-perfeita.
222
Figura 5.42 - Tensão normal na interface em função do
deslocamento relativo para a lei multilinear com encruamento.
Figura 5.43 – Deformada do modelo amplificada 2 vezes
para o incremento final de carga (∆y=-0.08 m).
223
As Figuras 5.44 e 5.45 mostram os resultados obtidos para a tensão normal no elemento
de interface em função do deslocamento normal relativo para as leis plástico-perfeita e
multilinear com encruamento iguais ao exemplo anterior considerando um gap
(abertura) inicial de 0.01 m. Observa-se que a tensão normal no contato só é ativada
quando o “gap” inicial é fechado, tendo a partir deste ponto comportamento semelhante
aos valores definidos para o seu comportamento na Figura 5.40, ou seja a curva de
tensão normal versus deslocamento relativo é transladada do valor do “gap” fornecido.
Observa-se também que o contato não suporta tensão normal de tração uma vez que ele
parte de uma condição inicial com o contato aberto devido ao “gap” fornecido.
Figura 5.44 – Tensão normal na interface em função do deslocamento
relativo para a lei elastoplástica-perfeita e “gap” inicial de 0.01 m.
224
Figura 5.45 – Tensão normal na interface em função do
deslocamento relativo para a lei multilinear e “gap” inicial de 0.01 m.
As Figuras 5.46 e 5.47 mostram os resultados obtidos para a os mesmos casos anteriores
considerando agora a existência de um “atrito secundário” durante o descarregamento
de cerca de 2 KPa. Observa-se que a tensão normal no contato segue os valores
definidos para o seu comportamento na Figura 5.40 durante o primeiro carregamento.
Durante o descarregamento a tensão normal é anulada, ativando neste ponto a tensão
normal que representa a parcela devida somente ao “atrito secundário”. No segundo
passo de carregamento a tensão normal possui valor máximo igual ao atrito até o
momento em que o “gap” entre o elemento sólido e de interface é fechado,
proporcionando o aumento da tensão normal até os valores definidos na lei constitutiva
que representa a reação normal total da interface (componentes devido ao atrito e
resistência passiva do solo), definidos na Figura 5.40.
225
Figura 5.46 – Tensão normal na interface em função do deslocamento
relativo para a lei elastoplástica-perfeita e “atrito secundário” de 2 KPa.
Figura 5.47 – Tensão normal na interface em função do deslocamento
relativo para a lei multilinear com encruamento e “atrito secundário” de 2 KPa
226
Foram mostrados alguns exemplos do comportamento da tensão normal no elemento de
interface para algumas de suas principais características. Na realidade foram feitos
vários outros testes visando avaliar o comportamento da tensão normal na interface com
a presença de tensão inicial e com carregamentos cíclicos mais complexos. Em todos os
testes realizados a tensão normal apresentou o comportamento esperado validando os
modelos implementados no AEEPECD.
227
5.5.4 COMPORTAMENTO FÍSICO DA INTERFACE NA DIREÇÃO
TANGENCIAL
A tensão tangencial à superfície de contato também apresenta comportamento não-
linear em função do deslocamento relativo entre as superfícies dos corpos sólidos. A
rigidez tangencial do contato é uma propriedade não-linear podendo ser obtida através
de ensaio com controle de tensão normal. A Figura 5.48 mostra um comportamento
típico de um ensaio para obtenção do comportamento da tensão tangencial ao contato
(COSTA,1984 ) para diferentes níveis de tensões normais aplicadas.
Como pode ser observado na Figura 5.48 a tensão tangencial é altamente dependente do
nível de tensão normal atuante no contato.
Figura 5.48 – Comportamento da tensão tangencial ao contato para diferentes
tensões normais atuantes.
228
Uma forma relativamente simples de representar este comportamento verificado
experimentalmente, é através da utilização de uma rigidez tangencial (Cs) constante
com diferentes tensões tangenciais máximas que são obtidas em função da tensão
normal.
Figura 5.49 – Lei constitutiva utilizada para modelagem da tensão tangencial no
contato para diferentes tensões normais atuantes
A tensão tangencial máxima ( ) para um determinado nível de tensão normal atuante,
é determinada no programa AEEPECD, através dos modelos de Mohr-Coulomb e
Jaeger. Estes dois modelos dependem de propriedades de resistência do contato, e da
tensão normal atuante conforme mostrado nas expressões abaixo, e nas Figuras 5.50 e
5.51.
- Tensão tangencial máxima atualizada com modelo de Mohr-Coulomb
psσ
( )inips tgc φοσ += (5.32)
229
- Tensão tangencial máxima atualizada com modelo de Jaeger
( ) ( )rinrips tgec n φοσ ο +−= 1 (5.33)
onde:
- coesão da interface ic
iφ - ângulo de atrito interno da interface
- coesão residual da interface ric
riφ - ângulo de atrito interno residual da interface
Figura 5.50 – Lei de Mohr-Coulomb para atualização da tensão
tangencial máxima no contato
230
Figura 5.51 – Lei de Jaeger para atualização da tensão tangencial máxima no contato
Os modelos para atualização da tensão tangencial podem ser utilizados na determinação
as forças de reação do solo à movimentação de estruturas enterradas. No caso de
odelos não-drenados (argila), a tensão tangencial máxima no contato permanece
onstante sendo definida pela resistência não-drenada no contato solo-duto. Em
odelos drenados (areia), a tensão tangencial máxima é função da tensão normal
tuante, sendo atualizada pelo modelo de Mohr-Coulomb.
tensão tangencial para uma lei constitutiva não-linear qualquer num ponto de
r
utra a que foi feito para a tensão normal. Deste
odo, para um incremento de carga t + ∆t de uma iteração k, tem-se que:
d
m
c
m
a
A
integ ação do elemento de contato, pode ser decomposta em duas parcelas, uma linear e
não-linear (corretiva) da mesma formo
m
231
( ) )()()()()( kps
kes
kps
kss
os
ks UUC σσσσ ∆tt∆tt∆tt∆tt∆tt +++++ +=∆−∆+= (5.34)
onde:
)()( kss
os
kes UC ∆+= ++ ∆tt∆tt σσ
)()( kpss
kps UC ∆−= ++ ∆tt∆tt σ (5.35)
Desmembrando o termo não-linear, obtém-se:
(5.36)
Onde a última parcela da equação (5.36), é desconhecida na iteração k, para o processo
de convergência no instante t + ∆t. “Linearizando” a equação (5.36), anulando-se a
parcela não-linear da tensão tangencial no contato na iteração (k), temos a seguinte
expressão:
)()1()()( kps
kps
kes
ks σσσσ ∆++= −+++ ∆tt∆tt∆tt
)1()()(~ −+++ += kps
kes
ks σσσ ∆tt∆tt∆tt (5.37)
O fluxograma de cálculo do solver utilizado durante o processo incremental-iterativo no
programa AEEPECD, para a tensão tangencial atualizada no contato é mostrada no
ANEXO C. As Figuras 5.52 e 5.53 mostram o processo iterativo de convergência
adotado no programa AEEPECD. O processo de convergência baseia-se da mesma
forma que a tensão normal num solver onde os desequilíbrios são calculados com a
rigidez inicial do contato “initial stress”.
232
Figura 5.52 – Lei constitutiva elastoplástica para a tensão tangencial
na interface para diferentes níveis de tensão normal
Figura 5.53 – Processo iterativo para a tensão tangencial para uma
tensão normal constante
233
A seguir serão mostrados alguns exemplos de testes feitos no solver implementado para
a tensão tangencial no elemento de interface do AEEPECD, para permitir a
representação da interação solo-duto em linhas aquecidas submetidas a carregamentos
cíclicos.
A geometria básica de teste utilizada para a verificação da tensão tangencial é a mesma
que foi utilizada para a verificação do comportamento da tensão normal (Figura 5.38).
Os nós do elemento de interface não-comuns ao elemento sólido tiveram o
deslocamento restrito em todas as direções. Foram prescritos deslocamentos na direção
do eixo X aos nós do topo do modelo segundo a função dada na Figura 5.54. A função
de carga é composta por 140 incrementos, com 3 ciclos de carregamento e 2 de
descarregamento totalizando 5 ciclos.
São testadas as leis constitutivas plástico-perfeita tradicional e com a consideração de
uma tensão residual para o exemplo descrito acima. A Figura 5.55 mostra as curvas de
tensão tangencial na interface em função do deslocamento relativo tangencial, para as
leis constitutivas mencionadas.
Figura 5.54 – Função de carga para aplicação do deslocamento
horizontal prescrito no topo do modelo
234
Figura 5.55 – Leis plástico-perfeita com e sem tensão residual
para a tensão tangencial versus deslocamento relativo na interface
Os resultados mostrados a seguir para a verificação do comportamento da tensão
tangencial na interface referem-se à função de carga de deslocamento horizontal
prescrito no topo do modelo (Figura 5.48).
As Figuras 5.56 e 5.57 mostram os resultados obtidos para a tensão tangencial no
elemento de interface em função do deslocamento normal relativo para as leis plástico-
perfeita tradicional e com tensão residual. Pode-se observar que a tensão tangencial no
contato obedece perfeitamente os valores definidos para o seu comportamento na Figura
5.55. Na Figura 5.57 observa-se que uma vez atingida a tensão tangencial residual no
contato, ela passa a ser a máxima tensão tangencial nos ciclos de carregamentos
posteriores (mantendo a tensão normal constante).
235
Figura 5.56 – Tensão tangencial na interface em função do
deslocamento relativo para a lei elastoplástica-perfeita.
Figura 5.57 – Tensão tangencial na interface em função do
deslocamento relativo para a lei elastoplástica-perfeita com tensão residual.
236
A Figura 4.58 mostra a deformada do modelo para o incremento final de carga.
Figura 5.58 – Deformada do modelo amplificada 2 vezes para o
incremento final de carga (deslocamento horizontal de ∆x=-0.012 m).
Os exemplos mostrados acima abordam as principais características do comportamento
da tensão tangencial no elemento de interface para algumas de suas principais
características. Da mesma forma ao feito para a tensão normal, foram realizados vários
outros testes visando avaliar o comportamento da tensão tangencial na interface com a
presença de tensão inicial, carregamentos cíclicos mais complexos e anulação da tensão
tangencial para casos em que o contato é rompido na direção normal (abertura do
contato).
237
6 ESFORÇO AXIAL EFETIVO Neste capítulo serão apresentados os conceitos referentes ao esforço axial efetivo em
dutos, que comanda o comportamento global do processo de flambagem em dutos
aquecidos com pressões interna e externa.
Inicialmente será deduzida a expressão do esforço axial efetivo considerando os
esforços atuantes, dando especial atenção ao efeito das pressões interna e externa. As
pressões interna e externa atuantes no duto influenciam o seu comportamento, devendo
ser consideradas no comportamento global do duto.
Também serão apresentadas as equações do esforço axial efetivo máximo, que é o
esforço existente em trechos de dutos restritos axialmente pelo atrito do solo. O esforço
axial efetivo máximo no trecho ancorado do duto é de vital importância, pois é ele que
comanda o processo de flambagem em dutos. Será mostrado que existem diferentes
formas de calcular o esforço axial restringido dependendo das hipóteses adotadas.
Por último será mostrado o comportamento da distribuição do esforço axial efetivo em
dutos retos e com presença de alças de deformação devido à flambagem termomecânica.
Especial atenção será dada ao comportamento do esforço axial efetivo em dutos
“curtos” e “longos”, uma forma de classificação muito útil que leva em conta a
interação solo-duto, e a capacidade do solo restringir axialmente o duto.
238
6.1 EQUAÇÃO DO ESFORÇO AXIAL EFETIVO EM DUTOS
Uma dedução elegante do esforço axial efetivo em dutos com pressões externa e interna
atuantes, é feita através da aplicação do teorema de Arquimedes (SPARKS,1984). Para
que o teorema de Arquimedes possa ser aplicado, é necessário ter um campo de
pressões totalmente fechado, ou seja, o corpo sólido em análise deve estar
completamente envolvido pelo fluido. O problema de aplicar o teorema de Arquimedes
em um segmento de um corpo submerso, é que o campo de pressões resultante não é
totalmente fechado (Figura 6.1).
Para aplicar o teorema de Arquimedes à um segmento de duto submerso, deve-se
adicionar as pressões que “faltam” para tornar o campo de pressões atuantes fechado,
deduzindo as forças geradas pela adição de tais pressões. A Figura 6.1 mostra o
processo de adição de pressões citado acima e os campos de pressões resultantes, sendo
que o sistema original foi decomposto em três partes. Desta forma os campos de
pressões externa e interna encontram-se totalmente fechados, podendo ser substituídos
pelo empuxo de Arquimedes no segmento (WwδL=PegAeδL) e pelo peso do fluido
interno (WfδL=PigAiδL), nas duas primeiras partes da decomposição. As duas partes
iniciais da decomposição mostrada na Figura 6.1 fornecem resultante nula. Na terceira e
última parte da decomposição efetuada, deve-se adicionar os campos de pressões com
sentido inverso ao adicionado nas duas primeiras partes, verificando-se que o peso
atuante sobre o segmento é igual ao seu peso submerso, e que o esforço axial resultante
é igual ao esforço real adicionado aos efeitos das pressões externa e interna, que
fornecem o esforço axial na seção responsável pelo comportamento global do duto no
tocante aos deslocamentos e esforços atuantes.
239
Figura 6.1 – Esforços atuantes em um segmento de duto e decomposição
para dedução do esforço axial efetivo
240
Deste o esforço axial efetivo e o peso submerso da linha são dados respectivamente por:
(6.1)
iieeref APAPNN −+=
ifewrs AAWW γγ +−= (6.2)
As equações mostradas acima são gerais valendo também para o caso de linhas com
seções transversais mais complexas com diferentes configurações, compostas por
qualquer material, fluido compressível e densidade variável (SPARKS,1984). Casos
bem conhecidos de linhas com seção transversal complexa, são o de risers flexíveis com
diferentes camadas, e dutos pipe-in-pipe, no qual as equações acima são aplicadas
individualmente ao duto interno e ao externo (CARR,2004f).
Observando as expressões (6.1) e (6.2) acima fica claro que a parcela devido à pressão
externa tem o efeito estabilizador equivalente à uma tração, tendendo a retificar a linha,
enquanto a parcela devido à pressão interna tem o efeito oposto, tendendo a aumentar a
curvatura da linha aumentado os esforços de flexão na seção transversal. Este fato torna-
se mais claro observando-se a Figura 6.2, onde pode-se observar que a resultante das
forças geradas pelas pressão externa apontam para o centro da curvatura do segmento
tendendo à retificá-lo, enquanto a resultante devido à pressão interna apontam na
direção contrária tendendo a aumentar a curvatura do segmento.
Figura 6.2- Resultante dos campos de pressões interna e externa
aplicados num segmento de duto
241
Na dedução mostrada acima foram omitidos os esforços devido à força cortante e
momento fletor, enfocando-se o esforço axial, porém a consideração destes esforços não
altera as equações e conclusões obtidas.
Como foi demonstrado acima o esforço axial efetivo contribui na flexão do duto, com a
pressão interna tendendo a aumentar a curvatura e conseqüentemente a flexão, e a
pressão externa tendo o efeito contrário querendo retificar o duto. Deste modo os
esforços devido às pressões externa e interna geram no duto uma força transversal ao
seu eixo com sentido dependendo do balanço de pressões (PALMER,1974).
Pode-se entender melhor o efeito das pressões externa e interna, considerando o
equilíbrio do esforço axial efetivo em um segmento de duto conforme mostrado abaixo.
Figura 6.3 – Equilíbrio num trecho de duto
242
Pode-se verificar na Figura (6.3), que a força transversal ao eixo do duto gerada pelo
esforço axial efetivo é igual a Rds. Fazendo o equilíbrio do esforço axial efetivo no
segmento infinitesimal de duto obtém-se (PALMER,1974):
ψdNRds ef= (6.3)
portanto:
dsdNR efψ
= (6.4)
O esforço axial efetivo exerce uma força por unidade de comprimento, cuja magnitude é
dada pelo seu valor multiplicado pela curvatura, agindo geralmente no sentido do menor
para o maior raio de curvatura. Deste modo, o esforço axial efetivo aliado à curvatura
do duto é capaz de gerar uma instabilidade, podendo-se verificar a contribuição da
pressão interna.
243
6.2 EQUAÇÃO DO ESFORÇO AXIAL EFETIVO MÁXIMO Neste item será apresentada a equação do esforço axial efetivo máximo, ou seja no
trecho de duto ancorado (restrito axialmente).
O esforço axial efetivo será deduzido considerando a teoria de dutos de paredes
espessas, importante para dutos com baixa relação D/t. Diferentes condições de
contorno serão avaliadas na obtenção do esforço axial efetivo ancorado.
O esforço axial efetivo máximo é importante pois é ele que comanda o início processo
de flambagem, já que antes da flambagem o duto encontra-se todo restrito pelo solo ao
seu redor.
6.2.1 TENSÕES EM TUBOS DE PAREDE ESPESSA
Para obter o esforço axial efetivo no trecho ancorado do duto é necessário obter o estado
de tensões na sua parede.
As hipóteses básicas utilizadas na obtenção das expressões para as tensões em tubos
submetidos a pressão interna e externa, são as usualmente feitas na teoria da elasticidade
(TIMOSHENKO,1980), e mostradas abaixo:
- O duto permanece elástico;
- O duto é aproximado por um tubo reto de paredes espessas;
- Todas as quantidades (forças, tensões e deformações) são positivas para a tração;
- O duto é considerado à temperatura ambiente quando é instalado.
Para obter as expressões para as tensões, montam-se as equações de equilíbrio para um
elemento infinitesimal (Figura 6.4), relacionando as deformações às tensões através da
lei de Hooke. A equação diferencial montada a partir do equilíbrio é solucionada
considerando as condições de contorno adequadas (TIMOSHENKO,1980).
244
Figura 6.4 – Equilíbrio em um elemento infinitesimal de tubo de parede espessa
Desta forma considerando um cilindro longo restrito axialmente nas suas extremidades
submetido à uma pressão externa Pe e uma pressão interna Pi (Figura 6.4), obtém-se da
solução das equações de equilíbrio:
A tensão circunferêncial média na seção do duto é dada por:
tDpDp eeii
2−
=θσ (6.5)
A tensão radial média na seção do duto é dada por:
( )ei
eeiir DD
DpDp++−
=σ (6.6)
245
Para obter a tensão axial, lança-se mão da lei de Hooke que relaciona tensões às
deformações. Considerando que o elemento infinitesimal possa ser tratado em
coordenadas polares, temos que:
( )[ ]lrr Eσσνσε θ +−=
1
( )[ ]lrEσσνσε θθ +−=
1
( )[ ]θσσνσε +−= rll E1 (6.7)
Assumindo-se a hipótese de estado plano de deformações ( 0=lε ) ou estado plano de
tensões ( 0=lσ ), pode-se obter a tensão longitudinal em função das tensões radial e
circunferêncial a partir da última equação de (6.7), chegando-se a:
( )θσσνσ += rl (6.8)
Adicionando o efeito da expansão térmica nas relações tensão-deformação expressas em
(6.7), a deformação axial pode ser reescrita como:
( )[ ] θασσνσε θ ∆++−= rll E1 (6.9)
Substituindo as expressões obtidas para as tensões radial e circunferêncial (6.5 e 6.6),
em (6.9), tem-se:
( ) θανε ∆+−−= eeiiss
rl ApAp
EAEAN 2 (6.10)
Onde:
slr AN σ= (6.11)
246
Como na teoria de Lame (TIMOSHENKO,1980) a combinação θσσ +r é constante
através da espessura do duto, a equação (6.10) não precisaria utilizar quantidades
médias nas equações (6.5 e 6.6).
6.2.2 ESFORÇO AXIAL EFETIVO ANCORADO – PRESSÕES INTERNA E EXTERNA APLICADAS SIMULTÂNEAMENTE
A seguir será obtida a expressão do esforço axial máximo considerando a aplicação das
pressões interna e externa simultaneamente.
Reescrevendo a equação (6.10) em termos do esforço axial efetivo na seção, mostrado
abaixo novamente, temos:
(6.12)
iieeref APAPNN −+=
( ) ( ) θανε ∆+−−
+= eeiiss
efl ApAp
EAEAN 21 (6.13)
Utilizando a equação (6.13) pode-se obter o esforço axial efetivo no trecho de duto
completamente restrito fazendo 0=lε , obtendo-se:
(6.14)
A equação (6.14) pode ser modificada para incorporar o esforço residual devido ao
processo de lançamento, conforme mostrado abaixo.
( )( ) θαν ∆−−−−= seeiioef EAApApN 21
( )( ) θαν ∆−−−−= seeiiLef
oef EAApApNN 21 (6.15)
247
Combinando as equações (6.15) e (6.13), pode-se obter a expressão para o cálculo da
deformação axial em função do esforço axial efetivo, como mostrado abaixo.
s
oefef
l EANN −
=ε (6.16)
6.2.3 ESFORÇO AXIAL EFETIVO ANCORADO – PRESSÕES INTERNA E EXTERNA APLICADAS EM INSTANTES DIFERENTES
Na realidade a pressão externa é aplicada inicialmente durante o processo de instalação
do duto, sendo a pressão interna e o gradiente térmico aplicados durante a fase de
operação. A aplicação das pressões externa e interna em momento distintos muda a
equação do esforço axial efetivo ancorado mostrada no item anterior.
A pressão hidrostática externa é aplicada antes do duto alcançar o piso marinho,
produzindo uma deformação de compressão na linha. Esta compressão na parede do
duto influência o comportamento do duto durante o processo de flambagem, de forma
diferente à mostrada pelas equações que consideram as pressões externa e interna
aplicadas simultaneamente.
A compressão na parede do duto durante o processo de lançamento é igual e oposta à
força induzida pela pressão externa (PeAe), gerando um esforço axial efetivo nulo na
parede do duto (a menos do esforço axial de tração residual devido ao lançamento).
Uma vez estando o duto no piso marinho e restrito axialmente pelo solo devido ao
atrito, qualquer mudança no esforço axial efetivo será devido à pressão interna e
gradiente de temperatura, não tendo a pressão externa mais influência sobre o esforço
axial efetivo na parede da linha (CARR et al.,2003a).
248
Para obter o esforço axial no trecho restringido do duto durante o processo de operação,
pode-se reescrever a equação (6.14), em termos de quantidades diferenciais,
fornecendo:
(6.17)
Considerando a variação de carregamento após a aplicação da pressão externa, durante
o processo de lançamento como
( )( ) αδθδδνδ seeiioef EAApApN −−−−= 21
ii pp =δ , 0=epδ e θδθ ∆= , temos a partir de (6.17)
que:
(6.18)
O esforço axial efetivo residual de lançamento pode ser incorporado na equação (6.18),
fornecendo.
( ) θανδ ∆−−−= siioef EAApN 21
oef
Lefef NNN δ+= (6.19)
ou
(6.20)
Desconsiderando o esforço axial de tração devido a interação solo-duto durante o
lançamento, temos:
(6.21)
Logo utilizando (6.14), tem-se:
(6.22)
( ) θαν ∆−−−= siiLef
oef EAApNN 21
eeLr ApN −=
0=LefN
249
Portanto:
(6.23)
Como pode ser visto na equação acima, o esforço axial efetivo ancorado considerando o
processo de lançamento é independente da pressão externa, o que aumenta a
compressão na linha em comparação com a equação (6.15), obtida para o caso onde as
pressões interna e externa são aplicadas simultaneamente. Entretanto a pressão externa
influência a distribuição de esforços devido a sua contribuição na tensão circunferêncial
na parede do duto. O esforço axial efetivo num ponto qualquer do duto é calculado
utilizando (6.12).
6.3 DISTRIBUIÇÃO DO ESFORÇO AXIAL EFETIVO EM DUTOS
Neste item será mostrado o comportamento da distribuição do esforço axial efetivo em
dutos retos e com presença de alças de deformação com flambagem termomecânica.
Serão analisados os casos onde o solo é capaz de restringir axialmente o duto, e o caso
onde o solo não é capaz de ancorar o duto, sendo definida uma classificação para dutos
baseado neste conceito.
6.3.1 ESFORÇO AXIAL EFETIVO EM DUTOS RETOS
Um duto operando com temperatura e pressão acima da ambiente tende a sofrer
expansão, caso esta expansão seja restringida de alguma forma, como por exemplo pelo
solo em contato com o duto, surgirá uma força compressiva ao longo deste. Caso o duto
seja reto, o esforço axial efetivo terá o aspecto mostrado na Figura 6.5. Em dutos com
curvaturas ao longo do seu comprimento o esforço axial efetivo poderá sofrer mudanças
significativas caso ocorram flambagens, como será visto mais adiante.
( ) θαν ∆−−−= siioef EAApN 21
250
Figura 6.5 – Esforço axial efetivo em um duto reto longo.
A Figura 6.5 mostra o esforço axial efetivo dividido pelo esforço axial efetivo máximo
restringido ao longo do comprimento do duto. Como a temperatura e as pressões interna
e externa podem variar ao longo do comprimento do duto, o esforço axial efetivo
restringido também pode variar. Na Figura 6.5 pode-se verificar o decaimento do
esforço axial efetivo adimensionalizado, devido a possíveis variações no gradiente
térmico e de pressão interna. Para o duto com extremidades livres o esforço axial é nulo
nas extremidades aumentando ao longo do comprimento devido ao atrito com o solo, até
atingir o valor máximo onde o solo forneceu resistência suficiente para evitar a
expansão do duto, definido como ponto de ancoragem.
Caso o duto possua um comprimento insuficiente para ser restringido axialmente pelo
solo, o esforço axial efetivo terá o aspecto mostrado na Figura 6.6. Para um duto “curto”
reto com extremidades fixas, o comportamento é essencialmente o mesmo verificado
anteriormente. Porém para o caso com as extremidades livres, o esforço axial efetivo
nunca alcança o esforço axial máximo (totalmente restrito). Neste caso o ponto de
deslocamento nulo possui uma deformação axial não nula. O esforço axial efetivo em
dutos “curtos”pode ser sensivelmente menor que o esforço axial máximo restringido
(Figura 6.6).
251
Figura 6.6 – Esforço axial efetivo reto “curto”
Desta forma dois grupos distintos de dutos podem ser definidos.
- Dutos longos, onde o esforço axial restringido é alcançado devido ao atrito
desenvolvido pela interação com o solo.
- Dutos curtos, onde o esforço axial restringido nunca é alcançado, ou seja o solo
não é capaz de ancorar o duto somente pelo atrito.
A resposta destes dois grupos definidos acima é completamente diferente, mostrando a
importância do comprimento do duto e das condições de contorno no processo de
flambagem termomecânica.
252
6.3.2 ESFORÇO AXIAL EFETIVO EM DUTOS COM ALÇAS DE DEFORMAÇÃO
Caso o duto sofra flambagem em algum trecho de sua rota, o esforço axial efetivo sofre
modificações em relação ao mostrado no item anterior. O comprimento do arco de duto
que forma uma alça de deformação é maior que o comprimento reto anterior à sua
formação. Os trechos retos adjacentes à alça de deformação fornecem o comprimento
adicional através da sua expansão térmica. Deste modo o esforço axial real de
compressão na parede do duto devido à reação do solo é reduzido devido ao início da
flexão na alça de deformação.
Na Figura 6.7 é mostrado o esforço axial efetivo adimensionalizado num duto com alça
de deformação formada na região central. Observa-se um decaimento do esforço axial
efetivo na região de influência da alça de deformação (CET), alcançando o valor
mínimo no trecho da alça.
Figura 6.7 – Esforço axial efetivo num duto com flambagem
isolada e extremidades fixas
253
Na Figura 6.7 observa-se claramente a região afetada pela flambagem, com duas regiões
de escorregamento produzindo a expansão do duto em direção à alça de deformação
(CET), ocorrendo um decaimento do esforço axial efetivo do valor máximo totalmente
restrito até um valor mínimo na região com flambagem.
O caso do duto mostrado acima possui uma alça de deformação isolada, onde o atrito
axial solo-duto foi capaz de ancorá-lo. Caso o comprimento não seja suficiente para
ancorar o duto, o esforço axial efetivo é modificado ficando com o aspecto mostrado na
Figura 6.8. Como pode ser visto, as zonas de escorregamento entre o duto e o solo, são
limitados pelo seu comprimento, e o valor do esforço axial efetivo pode alcançar valores
máximos bem abaixo do seu valor máximo totalmente restrito.
Figura 6.8 – Esforço axial efetivo num duto com flambagem
isolada e extremidades fixas
Os casos mostrados acima referem-se à distribuição do esforço axial efetivo para a
ocorrência de uma alça de deformação isolada no trecho de duto analisado. Caso mais
de uma alça de deformação ocorra no trecho de duto analisado, a distribuição do esforço
axial efetivo terá o aspecto mostrado nas Figuras 6.9 e 6.10, valendo os mesmos
comentários feitos anteriormente.
254
Figura 6.9 – Esforço axial efetivo num duto com várias flambagens
e extremidades fixas
Figura 6.10 – Esforço axial efetivo num duto com várias flambagens
e extremidades livres
255
Os casos mostrados na Figuras 6.9 e 6.10 possuem várias alças de deformação,
podendo-se visualizar o decaimento do esforço axial efetivo nas regiões afetadas pelas
flambagens. Observa-se na prática que o duto é separado em várias zonas de
escorregamento que “alimentam” as alças, fazendo com que cada trecho funcione de
forma independente dos seus vizinhos. A distribuição do esforço axial efetivo
desenvolvido depende de várias variáveis como: distribuição da curvatura inicial,
decaimento da temperatura e pressões, atrito solo-duto entre outros.
256
6.4 VALIDAÇÃO DO MODELO NÃO-LINEAR FÍSICO GEOMÉTRICO IMPLEMENTADO NO AEEPECD
Neste item serão comparados os resultados obtidos com o AEEPECD, considerando os
carregamentos de temperatura e pressão para o modelo não-linear físico geométrico
implementado neste trabalho, com os do simulador ABAQUS.
O modelo básico utilizado nas simulações numéricas é composto por um duto com
comprimento de 2000 metros, possuindo uma imperfeição na região central de 0,5 m ao
longo de 50 m, possuindo o fator de forma H/L de 1% (Figura 6.11). O trecho de duto
analisado é restrito lateralmente em todo o modelo, exceto na região central, com o
objetivo de “canalizar” a expansão térmica para o trecho com a imperfeição. As
extremidades do modelo são fixas, não permitindo deslocamentos axiais (Figura 6.11).
Figura 6.11 – Geometria básica do modelo utilizado (escala distorcida)
O modelo utilizado nas simulações do AEEPECD 2.2 baseado na geometria da Figura
6.11 foi gerado construindo-se apenas metade da malha de elementos finitos (1000
metros) com o gerador SIGMA (2.22), conforme pode ser visto na Figura 6.12, pois foi
considerado a simetria do modelo. A malha de elementos finitos é constituída de
elementos finitos isoparamétricos quadráticos sólidos 2D, com discretização de metro
em metro para representar a curvatura do duto de forma precisa.
257
Figura 6.12 - Modelo de elementos finitos gerado no Sigma com
elementos 2D isoparamétricos, para simulação no AEEPECD.
O modelo do ABAQUS foi gerado baseado também na geometria da Figura 6.11,
utilizando-se elementos PIPE31 para representar o duto. O elemento PIPE31 é um
elemento de viga especial com interpolação linear da geometria e cúbica para o campo
de deslocamentos com seis graus de liberdade, que permite acoplar o efeito da pressão
interna na flexão (ABAQUS,2003), considerando as não-linearidades física e
geométrica do modelo. A malha de elementos finitos utilizando o elemento PIPE31 foi
discretizada da mesma forma que no AEEPECD (metro em metro).
As características geométricas e mecânicas do duto, utilizadas nas análises com os
simuladores AEEPECD e ABAQUS, são fornecidos na tabela 6.1.
258
Tabela 6.1 – Características mecânicas e geométricas do duto utilizado nas simulações
Características Valor
Diâmetro externo 16”
Espessura nominal 0.312 ou 1”
Pressão interna Máxima 50 ou 100 MPa
Pressão externa Máxima 50 MPa
Tensão de escoamento 426 MPa
Módulo de Elasticidade Longitudinal 205000 MPa
Coeficiente de Poisson 0.30
Coeficiente de expansão térmica 1.17x10-5 oC-1
259
6.4.1 VALIDAÇÃO DO MODELO NUMÉRICO PARA AS PRESSÕES INTERNA E EXTERNA
Neste item serão validados os resultados do modelo numérico implementado no
programa AEEPECD 2.2 para representar o efeito da pressão interna no equilíbrio
estrutural de dutos, através da comparação com os resultados obtidos com o simulador
numérico ABAQUS. Serão analisados casos considerando somente o efeito da pressão
interna, como també das pressões interna e externa atuando simultaneamente.
São analisados com a geometria mostrada na Figura 6.11 dois modelos; o primeiro
possuindo relação D/t=51 (parede fina) e o segundo com D/t=16 (parede espessa),
visando mostrar que o esforço axial efetivo discutido na seção (6.15), quando às
pressões interna e externa são aplicadas ao duto simultaneamente, é fortemente afetado
por este parâmetro.
6.4.1.1 MODELO COM PRESSÃO INTERNA
Neste item são comparados os resultados obtidos com os simuladores AEEPECD e
ABAQUS, para o modelo descrito no item anterior, considerando a aplicação
incremental de uma pressão interna máxima de 50 MPa (500 Kgf/cm2).
A Figura 6.13 mostra a evolução do deslocamento transversal ao eixo do duto no ponto
central do modelo em função da pressão interna aplicada. Observa-se que os modelos do
AEEPECD e ABAQUS fornecem valores bem próximos, havendo porém um aumento
na diferença entre os resultados para gradientes de pressão interna superiores a 20 MPa.
A Figura 6.14 mostra a evolução da tensão de von Mises na fibra inferior do ponto
central do modelo em função da pressão interna aplicada. Observa-se que os modelos do
AEEPECD e ABAQUS fornecem valores bem próximos, ocorrendo-se novamente um
aumento na diferença entre os resultados para gradientes de pressão interna superiores a
20 MPa somente para o modelo com D/t=16.
260
Figura 6.13 – Deslocamento no ponto central dos modelos do
AEEPECD e ABAQUS.
Figura 6.14 – Tensão de von Mises na fibra inferior do ponto
central dos modelos do AEEPECD e ABAQUS.
261
A Figura 6.15 mostra a deformada dos modelos para a pressão interna máxima de
50 MPa, mostrando uma boa aderência entre os resultados obtidos.
Figura 6.15 – Deformada do modelo com D/t=51 do AEEPECD e ABAQUS a partir do eixo de simetria.
Com o objetivo de entender melhor os desvios mostrados entre as soluções obtidas
pelos dois simuladores, para gradientes de pressão interna superiores a 20 MPa, foi
calculado o desvio relativo entre as soluções do AEEPECD e ABAQUS para os
deslocamentos e tensões de von Mises. A diferença relativa entre as soluções foi
calculada da seguinte forma:
QUSsoluçãoABAQUSsoluçãoABAPECDsoluçãoAEEDF −
= (6.24)
A Figura 6.16 mostra as diferenças relativas entre os resultados do AEEPECD e
ABAQUS para os deslocamentos e tensões de von Mises nos modelos com D/t igual a
51 e 16. Observa-se que no modelo com D/t=51 a diferença relativa permanece sempre
262
inferior a 2% para as tensões, já para os deslocamentos, a partir da pressão interna de 30
MPa, ocorre um aumento fazendo a diferença relativa chegar a 4% para a pressão
interna máxima. Ainda na Figura 6.16 observa-se que os resultados entre os modelos
com D/t=16, já começam num patamar elevado chegando a valores de 7 e 17% para as
tensões e deslocamentos respectivamente, sendo estes valores extremamente elevados.
Figura 6.16 – Diferença relativa entre os resultados de deslocamentos e
tensões de von Mises entre os modelos do AEEPECD e ABAQUS
As explicações para a diferença entre os resultados do AEEPECD em relação ao
ABAQUS, principalmente no caso analisado com parede espessa (D/t=16), advém
essencialmente de dois fatores. O primeiro fator e mais importante é que o elemento de
duto (PIPE31) existente no ABAQUS, foi desenvolvido para dutos de parede fina, não
considerando o efeito da tensão radial que modifica a tensão axial (equação 6.8), e deste
modo o esforço axial efetivo na seção. O efeito da tensão radial é mais significativo
quanto maior for a espessura do duto (relação D/t baixa) e a pressão externa (equação
6.6). O segundo fator gerador das diferenças observadas, possivelmente é devido à
forma como é atualizado ao longo da análise o esforço perpendicular ao eixo do duto
(equação 6.4), gerado pelo gradiente de pressão.
263
Para mostrar a importância dos dois fatores mostrados acima, como os responsáveis
pela diferença entre os resultados obtidos, foram simulados os mesmos modelos
mostrados anteriormente, porém com duas alterações. A primeira desconsiderando a
tensão radial nas equações do modelo implementado no AEEPECD, e a segunda
atualizando o esforço transversal ao eixo do duto (equação 6.4) com uma expressão para
rotações moderadas, além de desconsiderar o efeito da tensão radial. Os resultados
obtidos para as duas alterações, foram comparados com as simulações anteriores, sendo
analisados em termos da diferença relativa.
Com as novas simulações pode-se observar na Figura 6.17 que a diferença entre os
resultados obtidos para os deslocamentos com o AEEPECD e ABAQUS para a relação
D/t =51, encontram-se limitados a valores máximos de 6%, caindo para 3% no modelo
com tensão radial nula e rotações moderadas. Já para o modelo com D/t=16 (Figura
6.18) a diferença de resultados entre os modelos chega a 17% no modelo implementado,
caindo para 5% considerando a tensão radial nula, e para cerca de 3.5% no modelo com
tensão radial nula e rotações moderadas.
Figura 6.17 – Diferença relativa entre os resultados de deslocamentos entre os modelos do AEEPECD com diferentes hipóteses e do ABAQUS com D/t=51.
264
Figura 6.18 – Diferença relativa entre os resultados de deslocamentos entre os modelos do AEEPECD com diferentes hipóteses e do ABAQUS com D/t=16.
Verifica-se portanto a grande influência nos resultados obtidos principalmente para
dutos espessos (D/t<30) da tensão radial, e do cálculo das curvaturas e atualização do
carregamento transversal ao eixo do duto induzido pelo gradiente de pressão. O efeito
da tensão radial nos resultados torna-se ainda mais importante no caso da existência de
pressões externas, como será visto no próximo item, onde a sua consideração altera
mais drasticamente os resultados em dutos com baixa relação D/t, em relação aos
resultados sem a sua consideração.
As Figuras 6.19 e 6.20 mostram as diferenças relativas obtidas entre os resultados do
AEEPECD e ABAQUS para a tensão de Von Mises no ponto mais solicitado do
modelo, para os casos com relação D/t igual a 51 e 16 respectivamente. As observações
feitas para os deslocamentos são válidas para as tensões, verificando-se nas simulações
realizadas com tensão radial nula e rotações moderadas uma ótima aderência, obtendo-
se valores máximos para o desvio entre os resultados inferiores a 3%.
265
Figura 6.19 – Diferença relativa entre os resultados de tensões de von Mises entre os
modelos do AEEPECD com diferentes hipóteses e do ABAQUS com D/t=51.
Figura 6.20 – Diferença relativa entre os resultados de tensões de von Mises entre os
modelos do AEEPECD com diferentes hipóteses e do ABAQUS com D/t=16.
266
As Figuras 6.21 e 6.22 mostram os deslocamentos e tensões de von Mises em função da
pressão interna aplicada para os modelos com D/t igual a 51 e 16, considerando a tensão
radial nula e rotações moderadas. Os resultados mostram que, com as hipóteses
descritas, existe uma aderência ótima entre os resultados dos dois simuladores,
confirmando as discussões feitas acima em termos da diferença relativa entre as
soluções alcançadas.
Figura 6.21 – Deslocamento no ponto central dos modelos do AEEPECD
e ABAQUS, considerando a tensão radial nula e rotações moderadas.
267
Figura 6.22 – Tensão de von Mises na fibra inferior do ponto central dos modelos do
AEEPECD e ABAQUS considerando a tensão radial nula e rotações moderadas
Embora o melhor resultado em termos da comparação entre os simuladores seja o
obtido considerando a tensão radial nula e rotações moderadas, esta simplificação é
errada principalmente no caso de duto de parede espessas, sendo considerado no
desenvolvimento deste trabalho o modelo implementado no AEEPECD conforme
descrito nos itens 6.2.3 e 6.3.3, que originou os primeiros resultados mostrados nas
Figuras 6.13 e 6.14 como a correta para a consideração do efeito da pressão interna no
desenvolvimento de esforços de flexão em dutos.
268
6.4.1.2 MODELO COM PRESSÕES INTERNA E EXTERNA
Neste item são comparados os resultados obtidos com os simuladores AEEPECD e
ABAQUS, para o mesmo modelo do item 6.4.1.1, porém considerando a aplicação
incremental e simultânea de pressões interna (100 MPa) e externa (50 MPa), realizando
as mesmas comparações feitas no item anterior.
A Figura 6.23 mostra a evolução do deslocamento transversal ao eixo do duto no ponto
central do modelo em função do gradiente de pressão aplicado. Observa-se que os
modelos do AEEPECD e ABAQUS fornecem valores com um desvio mais acentuado
em relação ao resultado obtido no item anterior em que foi aplicada somente a pressão
interna.
Figura 6.23 – Deslocamento no ponto central dos modelos do
AEEPECD e ABAQUS
269
A Figura 6.24 mostra a evolução da tensão de von Mises na fibra inferior do ponto
central do modelo em função do gradiente de pressão aplicado ao duto. Observa-se para
as tensões obtidas nos dois simuladores, um desvio considerável semelhante ao
observado para o deslocamento.
Figura 6.24 – Tensão de von Mises na fibra inferior do ponto
central dos modelos do AEEPECD e ABAQUS
Conforme explicado no item anterior a diferença relativamente elevada entre os
resultados obtidos, são devidos principalmente ao efeito da tensão radial que é sentido
principalmente em dutos com baixas relações D/t, e da atualização dos esforços gerados
pelo gradiente de pressão, que são função da curvatura do eixo do duto (equação 6.4).
A Figura 6.25 mostra as diferenças relativas entre os resultados do AEEPECD e
ABAQUS para os deslocamentos e tensões de von Mises nos modelos com D/t igual a
51 e 16. Observa-se no modelo com D/t=51 que a diferença relativa alcança valores
bastante elevados chegando a valores máximos em torno de 16% para os deslocamentos
e 9% para as tensões. No modelo com relação D/t=16 a diferença relativa entre os
resultados mostra-se mais elevada ainda chegando a valores absurdos de 180% para os
deslocamentos e 40% para as tensões.
270
Figura 6.25 – Diferença relativa entre os resultados de deslocamentos e tensões de von Mises entre os modelos do AEEPECD e ABAQUS
As explicações para a diferença entre os resultados do AEEPECD em relação ao
ABAQUS, principalmente no caso analisado com parede espessa (D/t=16), advém dos
fatores já explicados anteriormente. Os resultados obtidos mostram claramente que
mesmo em dutos com altas relações D/t (51), o efeito da tensão radial já é significativa
dependendo da pressão externa aplicada. Mostra ainda que no caso com D/t=16, a
consideração da tensão radial é fundamental nos cálculos desenvolvidos.
Os resultados mostrados a seguir mostram o efeito da tensão radial e da atualização do
esforço transversal ao eixo do duto (equação 6.4), com a hipótese de rotações
moderadas, através da diferença relativa entre os resultados do AEEPECD e ABAQUS,
seguindo os mesmos passos mostrados no item anterior.
271
A Figura 6.26 mostra a diferença entre os valores obtidos para os deslocamentos com o
AEEPECD e ABAQUS para a relação D/t =51, onde a consideração da tensão radial e
rotações elevadas levam a uma diferença nos resultados de até 17%. No modelo
somente com tensão radial nula a diferença máxima cai para valores em torno 6%,
enquanto no modelo com tensão radial nula e rotações moderadas a diferença não
alcança 3%.
Figura 6.26 – Diferença relativa entre os resultados de deslocamentos entre os modelos do AEEPECD com diferentes hipóteses e do ABAQUS com D/t=51.
No modelo com D/t=16 (Figura 6.27) a diferença de resultados entre os modelos chega
a 180% no modelo implementado, caindo para 4% considerando a tensão radial nula, e
para cerca de 3% no modelo com tensão radial nula e rotações moderadas.
272
Figura 6.27 – Diferença relativa entre os resultados de deslocamentos entre os modelos do AEEPECD com diferentes hipóteses e do ABAQUS com D/t=16
As Figuras 6.28 e 6.29 mostram as diferenças relativas obtidas entre os resultados do
AEEPECD e ABAQUS para a tensão de Von Mises, para os modelos com relação D/t
igual a 51 e 16 respectivamente. As observações feitas para os deslocamentos são
válidas para as tensões, verificando-se nas simulações realizadas com tensão radial nula
e rotações moderadas uma ótima aderência, obtendo-se valores máximos para o desvio
entre os resultados inferiores a 3%.
As Figuras 6.30 e 6.31 mostram os deslocamentos e tensões de von Mises em função do
gradiente de pressão aplicado nos modelos com D/t igual a 51 e 16, considerando a
tensão radial nula e rotações moderadas. Os resultados mostram com as hipóteses
simplificadoras descritas uma aderência ótima entre os resultados dos dois simuladores.
273
Figura 6.28 – Diferença relativa entre os resultados de tensões de von Mises entre os
modelos do AEEPECD com diferentes hipóteses e do ABAQUS com D/t=51
Figura 6.29 – Diferença relativa entre os resultados de tensões de von Mises entre os modelos do AEEPECD com diferentes hipóteses e do ABAQUS com D/t=16
274
Figura 6.30 – Deslocamento no ponto central dos modelos do AEEPECD e ABAQUS, considerando a tensão radial nula e rotações moderadas
Figura 6.31 – Tensão de von Mises na fibra inferior do ponto central dos modelos do
AEEPECD e ABAQUS considerando a tensão radial nula e rotações moderadas
275
6.4.2 VALIDAÇÃO DO MODELO NUMÉRICO PARA DUTOS COM CARREGAMENTOS TÉRMICO E PRESSÃO INTERNA
Neste item serão comparados os resultados do modelo numérico implementado no
programa AEEPECD para dutos com carregamento térmico e de pressão interna, com
os obtidos com o simulador numérico ABAQUS. Serão comparados os resultados de
um duto aquecido com a geometria mostrada na Figura 6.12 possuindo relação D/t=51
(espessura de parede de 0.312”), utilizando as propriedades definidas na tabela 6.1.
6.4.2.1 MODELO DO AEEPECD COM CARREGAMENTOS TÉRMICO E PRESSÃO INTERNA
Neste item serão comparados os modelos com carregamento térmico máximo de 80 oC e
pressão interna de 5 MPa (50 kgf/cm2), considerando a não-linearidade geométrica
isoladamente (NLGEOM), e a não-linearidade geométrica em conjunto com a não-
linearidade física (NLGEOM.+ PLAST.). A pressão interna é aplicada isoladamente no
início da análise, posteriormente são aplicados incrementos de temperatura no modelo.
A Figura 6.32 mostra a evolução do deslocamento transversal ao eixo do duto no ponto
central do modelo em função do gradiente térmico aplicado. Observa-se que os modelos
do AEEPECD e ABAQUS apresentam boa concordância nos resultados para os
modelos com não-linearidade geométrica e não-linearidades física e geométrica.
A Figura 6.33 mostra a evolução da tensão de von Mises na fibra inferior do ponto
central do modelo em função do gradiente térmico aplicado. Observa-se novamente uma
boa aderência entre os resultados dos modelos analisados.
276
Figura 6.32 – Deslocamento no ponto central dos modelos do
AEEPECD e ABAQUS.
Figura 6.33 – Tensão de von Mises na fibra inferior do ponto central
dos modelos do AEEPECD e ABAQUS.
277
A Figura 6.34 mostra as diferenças relativas (equação 6.24) entre os resultados do
AEEPECD e ABAQUS para os deslocamentos e tensões de von Mises no modelo com
não-linearidade geométrica. Observa-se que a diferença relativa começa num patamar
relativamente elevado para os deslocamentos (4.5%), porém decaindo rapidamente para
valores bem abaixo de 1%. A diferença relativa para as tensões se inicia em um valor
mais razoavel de 2.5%, mais também decaindo rapidamente para valores em torno de
1%, conforme a importância do efeito da pressão interna torna-se secundária no cálculo
da tensão de von Mises. A diferença relativamente elevada no início da análise é
decorrente da diferença entre os modelos implementados no AEEPECD e ABAQUS
para o carregamento de pressão interna conforme descrito no item 6.4.1.1.
Figura 6.34 - Diferença relativa entre os resultados de deslocamentos e
tensões axiais entre os modelos do AEEPECD e ABAQUS.
278
6.4.2.2 MODELO DO AEEPECD COM CARREGAMENTOS TÉRMICO E PRESSÃO INTERNA CÍCLICOS
Neste item serão comparados os modelos com pressão interna de 5 MPa (50 kgf/cm2) e
gradiente térmico máximo de 40 oC e, aplicados ao longo de dois ciclos completos de
carregamento de descarregamento, considerando a não-linearidade geométrica e física
do material.
A seqüência da aplicação dos carregamentos térmico e de pressão, assim como os
tempos de análise associados são fornecidos na tabela 6.2. Observa-se que no primeiro
ciclo, inicialmente o duto é pressurizado com uma pressão interna de 5 MPa, e depois é
aplicado o gradiente térmico e 40 oC, durante o descarregamento do primeiro ciclo
inicialmente é retirada a pressão interna e na seqüência o duto é desaquecido até a
temperatura ambiente. Os segundo ciclo segue a mesma seqüência descrita para o
primeiro ciclo, sendo os tempos de análise mostrados na tabela 6.2, correspondentes aos
gradientes térmicos somados em módulo durante a análise.
Tabela 6.2 – Sequência de aplicação do carregamento cíclico de pressão e temperatura
Sequência do Carregamento Tempo Análise
Ciclo 1 – Pressurização + Aquecimento 0 - 40
Ciclo 1 – Despressurização + Desaquecimento 40 - 80
Ciclo 2 – Pressurização + Aquecimento 80 - 120
Ciclo 2 – Despressurização + Desaquecimento 120 - 160
279
A Figura 6.35 mostra a evolução do deslocamento transversal ao eixo do duto no ponto
central do modelo em função tempo de análise. Observa-se que os modelos do
AEEPECD e ABAQUS apresentam boa concordância nos resultados para os modelos
com e sem pressão interna. Na Figura 6.35 pode-se observar claramente o efeito da
pressão interna no aumento dos deslocamentos, através da defasagem entre as curvas
com e sem pressão interna.
Figura 6.35 – Deslocamento no ponto central dos modelos do
AEEPECD e ABAQUS.
A Figura 6.36 mostra a evolução da tensão axial na fibra inferior do ponto central do
modelo em função do tempo de análise. Observa-se novamente uma boa aderência entre
os resultados dos modelos analisados com e sem pressão interna, da mesma forma a
verificado para os deslocamentos. O comportamento da tensão axial em dutos
submetidos à carregamentos cíclicos é de extrema importância, pois fornece a variação
máxima de tensão que serve como dado para análises de fadiga.
280
Figura 6.36 – Tensão axial na fibra inferior do ponto central
dos modelos do AEEPECD e ABAQUS.
A Figura 6.37 mostra a evolução da tensão de von Mises na fibra inferior do ponto
central do modelo em função do tempo de análise, fornecendo resultados bem
satisfatórios como os verificados para os demais resultados analisados.
281
Figura 6.37 – Tensão de von Mises na fibra inferior do ponto central
dos modelos do AEEPECD e ABAQUS.
282
7 MODOS DE FALHA E ESTADOS LIMITES EM DUTOS
AQUECIDOS
Os principais modos de falha em dutos aquecidos são devidos a flambagem local de
parede, fadiga e fratura. Outros modos de falha podem ocorrer sendo porém secundários
em dutos aquecidos. O modo de falha devido a flambagem local de parede é geralmente
mais importante em dutos submarinos aquecidos, definindo o valor máximo da
deformação axial admissível. Em dutos com elevado número de ciclos de
aquecimento/pressurização e desaquecimento/despressurização, o estado limite de
fadiga pode se tornar crítico.
Dentro de uma alça de deformação térmica, a flambagem local de parede é causada pela
combinação dos carregamentos de momento fletor, pressões interna e externa e esforço
axial. A importância destes carregamentos na flambagem local é bastante variável e
depende da configuração geométrica da linha e de propriedades do material. Um esforço
significativo de pesquisa tecnológica tem sido feito com o objetivo de identificar
estados limites críticos em dutos sujeitos a flambagem termomecânica (CARR,2004h,j,
API,1999, DNV OS-F101,2000, DRIVER,1998, MOHAREB,1995, MURPHEY et
al.,2001, VITALI,1999, MURPHEY et al.,1985, MORK et al.,1999, GRESNIT et
al.,1985).
O Estado limite para verificação de fadiga em dutos aquecidos pode ser calculado
utilizando as curvas SN clássicas de fadiga, desde que a ocorrência de plasticidade
esteja limitada ao primeiro ciclo de carga. Plasticidade cíclica é ainda um assunto em
fase de pesquisa incipiente não sendo coberto pelos principais códigos existentes para
verificação de fadiga (BS708, DnV RPC203). A vida a fadiga utilizando as curvas SN
usuais podem ser aplicadas em dutos aquecidos com elevadas variações de tensões
axiais, conforme estudos recentes realizados (CARR,2004j) que mostraram vida a
fadiga consistentes com dados existentes.
A verificação de fratura na parte tracionada de dutos com alças de deformação é
baseado na limitação do defeito máximo tolerável (“flaw size”) nas soldas do duto. O
283
tamanho do defeito com a ciclagem e fadiga do material também deve ser estável. O
estabelecimento do critério de aceitação para o tamanho do defeito máximo aceitável é
função da qualidade e tipo de inspeção feitas durante o processo de soldagem.
Neste capítulo será dada ênfase aos estudos dos estados limites de flambagem local de
parede e fadiga por serem os condicionantes no dimensionamento de dutos sujeitos a
flambagem termomecânica.
284
7.1 FLAMBAGEM LOCAL
O modo de falha por flambagem local de parede é determinado pela combinação de
carregamentos devido a flexão, pressões interna e externa e esforço axial atuantes no
duto. Um grande esforço tecnológico tem sido realizado ao longo dos últimos anos para
compreender melhor o efeito destes carregamentos combinados e obter formulações
capazes de dimensionar linhas de escoamento de forma segura. Existe uma grande
quantidade de trabalhos (MOHAREB,1995, VITALI,1999, MURPHEY et al.,1985,
MORK et al.,1999, GRESNIT et al.,1985, ZIMMERMAN et al.,1995, DOREY,2002
(a,b)), referentes à determinação de expressões que possibilitem determinar o ponto de
início do modo de falha por flambagem local. As expressões determinadas nas diversas
pesquisas realizadas são desenvolvidas em função da deformação axial crítica de flexão.
Neste capítulo serão abordados os efeitos dos carregamentos atuantes em dutos
submetidos a esforços combinados. Inicialmente será estudado o efeito da flexão pura
no duto por tratar-se do principal carregamento atuante, posteriormente serão
adicionados os efeitos dos carregamentos de pressão interna e esforço axial, para ter-se
um retrato completo do modo de falha por flambagem local de parede.
7.1.1 FLAMBAGEM LOCAL DEVIDO A FLEXÃO PURA O estudo do comportamento de dutos submetidos à flexão pura é importante, por
tratar-se do principal carregamento existente em dutos aquecidos, e pelo fato de existir
uma grande quantidade de testes experimentais realizados para este tipo de
carregamento em escala real.
Considerando um duto inicialmente reto sem tensões iniciais submetido à flexão pura,
este desenvolve uma curvatura ( ρ1=K
a para veri
), que é dada pelo inverso do raio de curvatura
(Figura 7.1). A medida utilizad ficar a severidade da flexão é fornecida pela
deformação axial devido à flexão ( 22 eea KDD == ρε ), na fibra mais solicitada do
duto. Para deformações axiais abaixo do limite de proporcionalidade, o momento fletor
e a tensão axial variam linearmente com a deformação axial de flexão.
285
Figura 7.1 – Deformada de duto submetido à flexão mostrando raio de curvatura
O comportamento do duto em função do momento fletor aplicado, pode ser observado
na Figura 7.2 -i) e ii), que reflete a resposta para dutos com paredes relativamente
espessas ( 30≤tDe ). Para pequenas deformações (abaixo do limite de
proporcionalidade), o comportamento do duto é linear e elástico, conforme a
deformação aumenta, começam a surgir deformações plásticas nas fibras mais afastadas
da linha neutra, dado pelo Ponto A na Figura 7.2. Com o aumento da flexão na seção
transversal do duto (Ponto B na Figura 7.2), existe um estágio onde as deformações
plásticas não produzem ovalização significativa (Ponto B - Figura 7.3).
A partir do ponto B (Figuras 7.2 e 7.3) com o aumento das deformações axiais, a seção
transversal do duto começa a sofrer ovalização significativa. Neste trecho a declividade
da curva momento-deformação axial é comandada por dois efeitos concorrentes. O
aumento da tensão devido ao processo endurecimento plástico do material do duto que
tende a aumentar o momento fletor (M). Contrariamente a este efeito a ovalização da
seção transversal do duto tende a diminuir o momento de inércia da seção, diminuindo o
286
braço de alavanca dos esforços resultantes na seção transversal do duto. Este efeito
tende a diminuir o momento fletor resultante na seção do duto. O caminho entre os
pontos B e C é definido pela competição entre os dois fenômenos citados acima
(endurecimento plástico e ovalização) até o ponto C, onde a deformação axial atinge um
valor crítico no qual a ovalização torna-se o fenômeno preponderante, ocasionando a
flambagem local da parede do duto. A figura 7.4 mostra o diagrama de tensões para os
pontos característicos da Figura 7.2.
Figura 7.2 – Em i) Momento Fletor versus deformação axial,
ii) Curva Tensão-Deformação do material do duto
287
Figura 7.3 – Ovalização da seção transversal do duto em função
da deformação axial
Figura 7.4 – Diagrama de tensões para os pontos característicos da
curva tensão/momento versus deformação
288
A Figura 7.5 mostra algumas curvas de momento fletor versus deformação axial para
diferentes razões De/t (considerando σy e De constantes). Para um dado diâmetro e
tensão de escoamento do duto constante, o máximo momento fletor cresce linearmente
com a espessura da parede do duto (Figura 7.5). O momento fletor também cresce com
o aumento do diâmetro e da tensão de escoamento do material do duto.
Figura 7.5 – Momento Fletor versus deformação axial para
De/t = 20, 35 e 50, com σy e De constantes
Observa-se na Figura 7.5 que para De/t < 35, existe um patamar na curva momento-
deformação com declividade próxima a zero. Para 35 < De/t < 50 o patamar com
declividade próxima a zero diminui, praticamente desaparecendo. Para valores de
De/t > 50, o patamar na curva momento-deformação é substituído por um ponto de
máximo, diminuindo a partir do ponto de flambagem local da parede. Para valores de
De/t muito elevados, o duto pode sofrer flambagem local em regime elástico ainda na
fase em que o momento fletor aumenta de forma significativa com as deformações.
289
Para deformações no regime plástico próximas da deformação crítica de flambagem
local, a ovalização da seção transversal do duto modifica a posição da linha neutra,
gerando alguma diferença em relação a deformação axial de flexão fornecida por
22 eea KDD == ρε . Esta diferença não será tratada aqui por ser de difícil avaliação e
de importância secundária.
Uma equação útil na adimensionalização dos resultados obtidos para as curvas de
momento fletor versus deformação axial, é dada pelo momento fletor máximo da seção
na adimensionalização dos resultados de flambagem local de parede
é dada pela curvatura crítica de referência, mostrada abaixo:
transversal de um duto considerando somente o efeito de flexão e o material como
plástico-perfeito, dado pela equação:
Mmax=σyD2t (7.1)
Outra equação útil
2e
o DtK = (7.2)
Utilizando-se as equações (7.1) e (7.2) pode-se adimensionalizar a curva momento-
deformação mostrada na Figura 7.2-i), fornecendo os resultados plotados na Figura 7.6.
Com a curva momento-curvatura adimensionalizada é possível visualizar claramente o
ponto (curvatura ou deformação) onde se inicia o processo de flambagem local (ponto
C), que corresponde ao momento máximo resistente da seção transversal do duto, para o
caso de dutos submetidos à carregamentos de flexão pura. A curva mostrada na Figura
7.6 é válida para dutos de parede espessa (De/t < 35), sofrendo modificações em sua
forma para relações De/t elevadas conforme visto anteriormente.
290
Figura 7.6 – Curva Momento Fletor versus Curvatura adimensionalizada
O valor máximo na curva de momento-curvatura fornecido na Figura 7.6, é geralmente
denominado de ponto limite. O processo de ovalização num duto submetido a flexão
ocorre de forma uniforme ao longo de seu comprimento. Entretanto próximo do ponto
limite definido acima, a ovalização tende a se concentrar originando as condições para o
início do processo de flambagem local de parede. A curvatura mostrada na Figura 7.6 é
uma curvatura média que depende do comprimento utilizado no seu cálculo. As
equações disponíveis nas normas utilizadas no dimensionamento de dutos utilizam
valores médios obtidos experimentalmente e numericamente (BRUSCHI et al.,1995,
DOREY,2001(c), MURPHEY et al.,1995, VITALI et al.,1999), considerando vários
comprimentos de referência (“gauge length”).
A forma final do modo de falha por flambagem local depende de uma série de fatores
tais como: relação De/t, imperfeições existentes na parede do duto, tensões residuais,
forma da curva tensão-deformação, pressão interna e externa, relação entre esforço de
flexão e axial entre outros.
291
Para dutos de paredes espessas (baixas relações De/t) a flambagem local de parede
assume a forma denominada na literatura técnica de diamante (“diamond shape”), com a
parede do trecho comprimido dobrando-se para dentro do duto (Figura 7.7)
(MOHAREB,1995). Para dutos de paredes finas (altas relações De/t), o processo de
flambagem e a forma da deformada da parede após a flambagem local é diferente do
descrito anteriormente. A flambagem local é precedida pela formação de ondulações de
baixo comprimento e profundidade (“wrinkles”) na parte comprimida do duto, que
tende a concentrar as deformações aumentando a amplitude da ondulação existente
(MOHAREB,1995). Uma vez formado o fole (ondulação de baixo comprimento) na
parte comprimida do duto (Figura 7.8), o momento fletor na seção tende a diminuir
bruscamente diferentemente ao observado na Figura 7.6. Neste caso devido ao
comportamento instável observado na queda do momento fletor (CARDOSO,2003) para
uma dada curvatura, o fenômeno é chamado de ponto de bifurcação para a flambagem
local, sendo semelhante ao processo de bifurcação observado na flambagem global
(“snap through”) que se caracteriza por um salto nos deslocamentos para uma mesma
temperatura.
292
Figura 7.7 –Duto com relação De/t=17 após ocorrência de flambagem local de parede
Figura 7.8 – Detalhe de um corte longitudinal de duto com relação
De/t=51 após ocorrência de flambagem local de parede
293
7.1.2 FORMULAÇÕES UTILIZADAS EM PROJETOS DE DUTOS A compreensão dos conceitos envolvidos durante o processo de flambagem local de
parede apresentados no item anterior, são fundamentais para entender as metodologias
utilizadas no dimensionamento de dutos com alças de deformação submetidos à
carregamentos combinados de flexão, pressões interna e externa e esforço axial.
O dimensionamento de dutos submetidos a flexão pode ser feito através da curva de
momento fletor versus curvatura (deformação) gerada pela aplicação dos carregamentos
atuantes no duto (Figura 7.9). Os coeficientes de segurança podem ser aplicados no
momento fletor atuante, sendo esta metodologia chamada de dimensionamento por
esforço controlado (“load controlled”). Também é possível fazer o dimensionamento
aplicando-se o coeficiente de segurança na curvatura imposta, sendo esta metodologia
denominada de dimensionamento por deslocamento controlado (“displacement
controlled”) (DNV OS-F101,2000, CARR,2004h).
A utilização de uma metodologia ou outra depende essencialmente do comportamento
do duto frente aos carregamentos atuantes. Geralmente o comportamento mecânico de
dutos é controlado pelos esforços atuantes (“load controlled”), podendo-se citar como
exemplos dutos com vãos-livres (controlado pelo peso próprio), interação com âncoras
(impacto da âncora), entre outros. Casos onde o comportamento de dutos fletidos é
controlado unicamente pelos deslocamentos (“displacement controlled”) são poucos,
podendo-se citar o método de lançamento por “reel” onde o duto é conformado em um
raio de curvatura conhecido. De um modo geral o comportamento de dutos aquecidos
são controlados pelos dois mecanismos, havendo a predominância de um ou outro
dependendo dos carregamentos atuantes.
Na Figura 7.9 pode-se observar valores típicos para o momento fletor e curvatura
limites, utilizando-se o conceito de estado limite com carga e deslocamento controlado.
Os valores obtidos utilizando o conceito de deslocamento controlado são em geral
menos conservativos (para valores De/t <45), que os obtidos com carga controlada. Isto
se deve ao comportamento da curva de momento fletor versus curvatura (para o caso de
dutos de paredes espessas), que desenvolve um patamar relativamente longo até o início
do processo de flambagem local.
294
Conforme foi dito anteriormente a utilização de uma metodologia ou outra depende dos
carregamentos aplicados e do comportamento físico associado. Quando o carregamento
preponderante é controlado pelos esforços, o coeficiente de segurança é aplicado no
momento fletor atuante na seção, esta metodologia tende a limitar bastante a curvatura
máxima, já que o momento é limitado antes do desenvolvimento de plastificação
significativa na seção, limitando indiretamente a tensão máxima no duto. A norma API-
1111 limita diretamente a tensão máxima admissível no duto abaixo do limite de
escoamento do material (tensão de von Mises máxima de 90% do escoamento), já a
norma DNV OS-F101 utiliza um coeficiente adimensional que representa a razão entre
o momento atuante e o momento máximo, também sendo considerado o efeito do
esforço axial efetivo.
Figura 7.9 – Curva de momento fletor versus curvatura adimensionalizados
com valores limites típicos segundo os conceitos de carga e deslocamento controlado
295
Nos casos de carregamento onde pode ser aplicado o critério de curvatura máxima
admissível (deslocamento controlado), existe um ganho significativo em relação ao
limite imposto pelo critério de carga controlada, principalmente para dutos espessos
(baixa relação De/t) conforme pode ser visto na Figura 7.9.
Dutos submetidos ao processo de flambagem termomecânica sofrem invariavelmente
algum nível de plastificação. Desta forma a utilização do critério de carga controlada é
extremamente limitante neste caso, praticamente inviabilizando o dimensionamento de
dutos com o conceito de flambagem controlada, que pode ser em muitos casos o único
método de dimensionamento economicamente viável em dutos submarinos em águas
profundas.
O dimensionamento de dutos que sofrem processo de flambagem termomecânica pode
em geral ser realizado utilizando-se o critério de deformação (curvatura) máxima
admissível, pois a deformação imposta ao duto na região com flambagem é controlada
pelo deslocamento axial gerado nos trechos vizinhos à alça, devido à expansão térmica
do duto, sendo comandado essencialmente por um mecanismo de deslocamento
controlado. Alguns cuidados devem ser tomados mesmo em casos onde o mecanismo de
deslocamento controlado pode ser aplicado. A curvatura gerada no trecho de duto
fletido é altamente sensível às pequenas variações de deslocamento nos trechos que
alimentam a alça de deformação, desta forma o deslocamento axial imposto deve ser
bem determinado pois pequenas variações podem induzir variações de curvatura
significativas podendo gerar condições para uma flambagem local. Outro cuidado que
deve ser tomado, diz respeito à consideração de todas as fontes de concentração de
deformações possíveis numa alça de deformação. As principais fontes de concentração
de deformações (curvatura), ocorrem devido a variações de propriedades geométricas e
mecânicas ao longo do duto, podendo citar entre as principais:
- Variações de espessura no duto entre trechos soldados;
- Variações nas propriedades do material – curva tensão-deformação;
- Descontinuidades em trechos vizinhos a solda com e sem revestimento (“field joint”).
296
7.1.3 EXPRESSÕES PARA A DETERMINAÇÃO DA DEFORMAÇÃO (CURVATURA) AXIAL CRÍTICA
O dimensionamento de dutos submetidos a flexão com comportamento predominante
regido por deslocamento controlado, pode ser feito limitando a curvatura (deformação)
máxima.
Existem uma série de formulações desenvolvidas para tentar prever a deformação crítica
para o modo de falha devido a flambagem local de parede (BRUSCHI et al.,1995,
DOREY,2001c, MURPHEY et al.,1995, VITALI et al.,1999). Algumas das principais
expressões existentes serão analisadas neste tópico, sendo comparadas entre si e
avaliadas frente ao conhecimento existente até o presente momento.
Deformação axial crítica utilizada pelo código API-1111(1999):
ec D
t5.0=ε (7.3)
Deformação axial crítica utilizada pelo código BS8010 (1993):
2
15 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
ec D
tε (7.4)
Deformação axial crítica pela proposta pela norma DNV-96 (1996):
01.0−=e
c Dtε (7.5)
297
Observa-se nas expressões mostradas acima para o cálculo da deformação axial crítica,
que elas dependem essencialmente da razão De/t, não considerando uma série de fatores
importantes como será visto mais a frente.
Outro conjunto de expressões para o cálculo da deformação axial crítica que levam em
consideração outras variáveis além da relação De/t, são mostradas a seguir.
A expressão utilizada para a deformação axial crítica existente na norma DNV OS-F101
(2000), que sucedeu a norma DNV-96, é bem mais complexa levando em conta o efeito
da pressão interna, encruamento do material e de um coeficiente de solda.
gwhye
c fDt αα
σε θ 5.15101.078.0 −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= (7.6)
A expressão utilizada pela norma CAN/CSA Z662-99 (“Canadian Oil and Gás Pipeline
Systems codes”) considera também o efeito do gradiente de pressão, utilizando a
fórmula desenvolvida por (GRESNIT,2001), mostrada abaixo:
2
230000025.05.0 ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+−=tE
ppDt ei
ecε (7.7)
Como pode ser visto na expressão (7.7), apesar de não considerar tantas variáveis como
a expressão da DNV OS-F101, a fórmula considera o efeito do gradiente de pressão na
determinação da deformação crítica axial.
A seguir serão comparadas as expressões vistas acima para a determinação da
deformação crítica axial. As expressões (7.6) e (7.7) foram utilizadas desconsiderando o
efeito do gradiente de pressão para que sejam comparáveis a outras expressões com
hipóteses semelhantes.
298
A formulação básica das expressões propostas pela DNV OS-F101 e CAN/CSA
comparáveis com as expressões (7.3) a (7.5), são fornecidas abaixo:
5.101.078.0 −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= h
ec D
t αε (7.8)
0025.05.0 −=e
c Dtε (7.9)
A deformação crítica de flambagem proposta em expressões analíticas como as
equações (7.3) a (7.7), são geralmente baseadas em ajustes realizados a partir de
trabalhos experimentais ou definidas a partir de simulações numéricas paramétricas com
as principais variáveis de interesse ao fenômeno de flambagem local, sendo ajustes ao
longo de um determinado comprimento (geralmente meio a dois diâmetros), não sendo
uma deformação real contínua que represente a deformação (curvatura) num ponto do
duto.
A Figura 7.10 mostra a deformação axial crítica segundo as normas de projeto para
dutos rígidos analisadas. Na expressão da norma DNV OS-F101 foi utilizado o fator
92.0=hα (razão máxima entre a tensão de escoamento e ruptura do material), válido
para aços C-Mn com resistência mínima ao escoamento igual ou superior a um X60.
Observa-se na Figura 7.10 uma grande diferença no cálculo da deformação axial crítica
calculada pelas expressões propostas nas diferentes normas. Verifica-se que para razões
De/t abaixo de 30, a diferença entre os valores de algumas expressões fica mais
acentuada. Esta diferença deve-se a vários fatores mas sem dúvida o principal é a forma
como é definido o ponto de início do processo de flambagem local. A maioria das
expressões existentes para o cálculo da deformação axial crítica é definida para a
curvatura (deformação) correspondente ao ponto de ocorrência do momento máximo na
curva momento-curvatura, como pode ser visto na Figura 7.11. As expressões propostas
por MURPHY-LANGNER (1985) (API-1111) e GRESNIT(2001) (CAN/CSA Z662-
99) são obtidas a partir do momento máximo, enquanto a expressões propostas pela
299
DNV-96 e DNV OS-F101 (VITALI et al.,1999) são baseadas no ponto definido como
momento limite (Figura 7.11).
Durante a flexão de um duto de paredes finas (De/t>50), a flambagem local ocorre de
forma repentina caracterizando um processo de bifurcação, com a queda brusca do
momento. No ponto de início do processo de flambagem local o momento encontra-se
no seu valor máximo (Figura 7.11). Antes do início da flambagem local de parede,
imperfeições locais de parede invisíveis a olho humano crescem lentamente, até o ponto
de instabilidade (bifurcação) onde a flambagem local é formada bruscamente.
Para dutos de paredes espessas (De/t<30), a flambagem local ocorre de uma forma
muito mais gradual. O crescimento das imperfeições locais de parede geralmente podem
ser visualizadas com o aumento do momento, até o ponto onde ocorre uma concentração
de curvatura capaz diminuir o momento na seção. A definição do ponto de momento
máximo em dutos espessos é de difícil medição devido a forma achatada da curva
momento-curvatura, caracterizada por um patamar relativamente longo (Figura 7.11).
Alguns autores definem o ponto de início do processo de flambagem local para o ponto
de momento máximo da seção, enquanto outros autores definem a flambagem local para
o ponto onde se inicia uma queda mais acentuada do momento (geralmente uma fração
do momento máximo) definida neste trabalho como momento limite (Figura 7.11). Para
dutos de paredes finas a diferença entre os momentos máximo e limite praticamente
desaparece, diminuindo a diferença entre os valores de deformação axial crítica
calculadas segundo as expressões existentes nas principais normas para dutos rígidos
(Figura 7.10).
300
Figura 7.10 – Comparação entre a deformação axial crítica
proposta pelas principais normas de projeto para dutos rígidos
Figura 7.11 – Curvas de momento-curvatura para dutos com diferentes razões
De/t, mostrando pontos utilizados para definir curvatura (deformação) crítica
301
A partir da deformação axial crítica pode-se definir a máxima deformação admissível
utilizando coeficientes de segurança apropriados. A seguir será mostrada a metodologia
para a obtenção da deformação axial admissível pelas normas API-1111 e DNV OS-
F101, que são as duas principais normas de projeto utilizadas atualmente no projeto de
dutos rígidos submarinos.
O código API-1111 (1999) sugere um fator de segurança igual a 2=εγ , a ser aplicado
na expressão (7.3) para definir a deformação axial máxima admissível ( εγεε cf =
al (“safety
6.2
). Já
a norma da DNV OS-F101 (2000), é baseada no conceito de coeficientes de segurança
parciais. Para um duto típico classificado com nível de segurança norm class
normal”), os coeficientes de segurança parciais utilizados são =εγ , 07.1=cγ e
1.1=fγ , sendo aplicados na equação (7.6) para a determinação da deformação
) axial admissível ((curvatura ( )fccf γγγεε ε= ).
A Figura 7.12 mostra novamente a deformação crítica axial em função da razão De/t,
para as expressões propostas pela API-1111 (1999) e DNV OS-F101(2000)
(considerando fator de solda 1=gwα ). Observa-se que a deformação axial crítica
proposta pela DNV alcança valores bem superiores aos obtidos com a expressão
proposta pela API, principalmente para dutos com razão De/t baixas, principalmente
devido a diferença na definição do ponto de início do processo de flambagem (momento
máximo diferente do momento limite). Para razões De/t superiores a 30 ambas as
expressões fornecem resultados bem mais próximos (momento máximo se aproxima do
momento limite).
A figura 7.13 mostra a deformação axial máxima admissível em função da razão De/t
para as expressões propostas pela API e DNV, utilizando os coeficientes de segurança
mostrados anteriormente. Para a expressão proposta pela DNV, foi utilizado o fator
92.0=hα .
302
Na Figura 7.13 pode-se observar que a deformação axial admissível proposta pela DNV
é superior a da API para razões De/t inferiores a 15, porém a diferença entre as
deformações admissíveis é sensivelmente menor que a verificada para a deformação
axial crítica, devido a diferença nos fatores de segurança empregados por ambas. Para
razões De/t superiores a 15 a deformação axial admissível segundo a expressão da DNV
começa a fornecer valores inferiores ao calculado segundo a expressão da API.
De um modo geral pode-se observar que apesar das deformações axiais críticas segundo
as expressões propostas pela API e DNV fornecerem valores bem diferentes
(principalmente para razões De/t baixas), as deformações axiais admissíveis são
relativamente compatíveis com diferenças bem menos significativas. Assim apesar da
diferença existente na metodologia utilizada para a definição da deformação axial crítica
máxima (momento máximo x momento limite) pela API e DNV, a deformação axial
admissível é ajustada pelos fatores de segurança empregados, fornecendo no final
resultados semelhantes.
Figura 7.12 – Deformação axial crítica em função da razão De/t
303
Figura 7.13 - Deformação axial admissível em função da razão De/t
De um modo geral a deformação axial crítica utilizada pela DNV, é bem mais completa
por expressar diretamente uma série de fatores embutidos indiretamente ou
desconsiderados pela expressão da API.
As expressões mostradas para o cálculo da deformação axial crítica representam o
melhor ajuste para um conjunto de pontos experimentais e/ou numéricos obtidos para o
modo de falha por flambagem local de parede. Numa coletânea apresentada por
ZIMMERMAN (1995) (Figura 7.14) é feita uma comparação entre os resultados
experimentais de vários autores com uma série de expressões utilizadas para o cálculo
da deformação axial crítica. Como pode ser observado na Figura 7.14, a dispersão
existente nos resultados experimentais de deformação axial crítica é bastante grande,
podendo apresentar para uma relação De/t diferenças de até 3 vezes entre os valores
máximo e o mínimo. As diferenças observadas nos resultados experimentais são devido
a vários fatores como presença de imperfeições locais, tensões residuais, medição da
curvatura média utilizando comprimentos diferentes, carregamentos diferentes (pressão
304
interna e esforço axial), entre outros. De um modo geral as expressões obtidas a partir
de resultados experimentais consideram as variáveis descritas acima
Em outra coletânea mais recente de vários ensaios realizados ao longo dos últimos anos,
apresentada pelo projeto multicliente SAFEBUCK (CARR,2004h), é mostrada a
validade da expressão para a deformação axial admissível como um limite inferior para
todos os ensaios analisados.
Figura 7.14 – Comparações entre expressões para deformação
axial crítica e testes experimentais
As comparações realizadas até o momento neste item, não consideraram efeitos
importantes como o gradiente de pressão, esforço axial, forma da curva tensão-
deformação, imperfeições, etc... existentes no duto. A maioria das váriaveis citadas não
são cobertas pelas expressões existentes para o cálculo da deformação axial crítica. A
exceção é feita pela expressão proposta pela DNV OS-F101 (7.6), que considera além
do efeito de flexão, os efeitos do gradiente de pressão, encruamento do material e um
fator de solda para considerar possíveis imperfeições. A expressão proposta por
GRESNIT (2001) (7.7) e utilizada pela norma CAN/CSA Z662-99, também considera o
efeito do gradiente de pressão existente no duto, porém analisando-a verifica-se que o
termo devido a pressão tem pouca influência no cálculo da deformação crítica axial.
305
A seguir será verificado o efeito do gradiente de pressão na determinação da
deformação axial crítica, utilizando a expressão proposta pela DNV OS F-101, escrita
novamente abaixo.
gwhye
c fDt αα
σε θ 5.15101.078.0 −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= (7.10)
O fator de solda )( gwα segundo recomendação da norma DNV possui valor unitário
para dutos com e/t abaixo de 20, não possuindo grande relevância para dutos
espessos. A pressão interna tem um efeito extremamente relevante na determinação da
deform aumentar várias vezes seu valor dependendo da
relação entre a tensão circunferêncial e a tensão mínima de escoamento de projeto
razões D
ação crítica axial, podendo
( yfθσ ).
Na Figura 7.15 pode ser observado a deformação axial máxima admissível em função
de De/t utilizando a expressão 7.10 (aplicando os coeficientes de segurança), para
diferentes razões entre a tensão circunferêncial e a tensão mínima de escoamento de
projeto ( yfθσ ). Verifica-se que um duto operando com uma tensão circunferêncial
típica de 25% da tensão de escoamento, a deformação axial crítica é aumentada de 2.25
vezes em comparação com a deformação axial calculada sem o efeito da pressão
interna.
O efeito da pressão interna sobre a deformação axial crítica é explicado pelo fato de
gerar uma tensão circunferêncial que tende a estabilizar a ovalização do duto, que é a
principal causa da concentração de deformações na parede do duto conforme explicado
anteriormente. Desta forma, a pressão interna tende a modificar o ponto de início do
processo de flambagem local devido ao seu efeito enrijecedor sobre a seção transversal
do duto dificultando o processo de ovalização.
306
O efeito da pressão interna sobre a deformação axial crítica verificada na expressão
7.10, foi obtido através de extensivas simulações numéricas utilizando o método dos
elementos finitos no projeto multicliente HOTPIPE (VITALI,1999), que teve como
objetivo atualizar a norma DNV-96 para dutos rígidos submarinos, dando origem a
norma atual da DNV. A validação experimental dos valores propostos pelas normas API
e DNV para a deformação axial admissível em dutos submetidos à flexão pura encontra-
se bem documentada, o mesmo não podendo ser dito no caso de carregamento de flexão
associado ao efeito da pressão interna. O efeito da pressão interna sobre a deformação
axial crítica de flambagem local é indiscutível, porém a influência deste efeito deve ser
considerada com cuidado no caso de ser utilizado o dimensionamento de dutos
aquecidos.
Figura 7.15 - Deformação axial admissível em função da razão De/t, para
diferentes razões entre a tensão circunferêncial e tensão mínima de escoamento (Alfa)
307
Tanto os testes experimentais como as análises numéricas que originaram todas as
expressões conhecidas para a determinação da deformação axial crítica vistas, são
originadas de modelos utilizando segmentos de dutos submetidos a carregamentos
combinados (flexão, pressão interna e esforço axial) como pode ser observado na Figura
7.16, denominado neste trabalho de modelo local.
Figura 7.16 – Aparato experimental para determinação da deformação
axial crítica utilizando segmento de duto (modelo local)
Outro ponto importante a ser levantado é que o modo de falha por flambagem local de
parede é controlado pela curvatura imposta ao duto, que é essencialmente uma
deformação devido à flexão expressa pela deformação axial crítica. A deformação total
em dutos a baixas temperaturas é essencialmente uma deformação devido à flexão,
porém em dutos submetidos a elevados gradientes térmicos isto pode não ser verdade.
A deformação total em dutos submetidos a gradientes térmicos é composta por uma
parcela mecânica devido a flexão e outra devido a expansão térmica, sendo dada por:
308
θεεε += fT (7.11)
onde:
θαεθ ∆= (7.12)
Desta forma em dutos que possuam elevados gradientes térmicos a máxima deformação
mecânica devido a compressão, pode ser bem mais elevada que a deformação total
dependendo do caso analisado. Durante as análises numéricas que serão realizadas mais
a frente será avaliada a contribuição do efeito da deformação térmica para a deformação
total no ponto analisado.
7.1.4 DEFORMAÇÃO (CURVATURA) AXIAL CRÍTICA – FATORES CHAVE
Conforme foi visto no item anterior a deformação axial crítica é função de vários
fatores, entre os principais estão as razões De/t (Diâmetro externo sobre espessura do
duto), yfθσ (razão entre a tensão circunferêncial e a tensão mínima de escoamento de
projeto) e hα (razão máxima entre a tensão de escoamento e ruptura do material). Além
das variáveis citadas existem outras que não são consideradas nas expressões utilizadas
para o cálculo da deformação axial crítica por dependerem de fatores de difícil
consideração numa expressão genérica tais como:
- Forma da curva tensão-deformação
- Imperfeições locais na parede do duto
309
7.1.4.1 FORMA DA CURVA TENSÃO-DEFORMAÇÃO
A forma da curva tensão-deformação após o limite de escoamento tem um papel
fundamental no comportamento a flambagem local da parede do duto. O formato da
curva tensão-deformação após o escoamento não é considerado explicitamente em
nenhuma expressão para o cálculo da deformação axial crítica, por ser extremamente
difícil isolar o seu efeito. A expressão proposta pela DNV OS-F101 (2000) ainda leva
em consideração a relação entre a tensão de escoamento e ruptura do material ( hα ),
sendo a mais avançada na consideração das propriedades mecânicas do material do
duto.
A Figura 7.17 mostra duas curvas tensão-deformação para um aço X65, feito através de
dois processos de manufatura diferentes. Observa-se que as duas curvas mostradas
possuem a mesma razão hα , porém observa-se na prática que a deformação axial crítica
é bem menor para o material com a curva tensão-deformação com platô, típico de dutos
fabricados sem costura (“seamless linepipe”) (CARR,2004f). Em trabalho abordando
estes dutos MURPHI/LANGNER (1985), propuseram uma redução no fator da equação
7.3 de 0.5 para 0.33, devido a redução na deformação axial crítica verificada.
Materiais exibindo curva tensão-deformação com endurecimento plástico bem
comportado (“roundhouse”), são típicos para dutos com costura (UO e UOE), exibindo
comportamento a flambagem local muito superior ao verificado em dutos semelhantes
sem costura. A utilização do encruamento no dimensionamento de dutos por critérios
limitando a deformação pode possibilitar ganhos consideráveis, porém só é
recomendada, se houver testes experimentais que confirmem este comportamento, caso
contrário deve-se utilizar conservadoramente a curva tensão-deformação do material
selecionado como plástico-perfeito.
310
Figura 7.17 – Curvas tensão-deformação típicas para um aço X65
7.1.4.2 IMPERFEIÇÕES NO DUTO
Imperfeições locais na parede do duto podem ter influência significativa na
determinação da capacidade carga a flambagem local de parede. O tamanho de
imperfeições existentes na parede do duto modificam significativamente o ponto de
início da flambagem local, principalmente nas regiões com solda (“girth weld”) que
possuem imperfeições geométricas.
A região de solda do duto é um ponto crítico para a ocorrência de flambagem local,
devido a uma série de imperfeições existentes como:
- Desalinhamento entre trechos soldados
- Mudança na espessura da parede;
- Mudança nas propriedades do material;
- Tensões residuais devido ao processo de soldagem.
311
Desalinhamentos entre trechos soldados e mudança de espessura na parede do duto
podem causar momentos de flexão locais na parede do duto iniciando o processo de
concentração de deformações gerando flambagem local de parede.
Mudanças entre as propriedades do material base em relação ao da solda e as tensões
residuais podem ser vistos como uma imperfeição que podem alterar o ponto de início
do processo de flambagem local.
A grande maioria das expressões utilizadas para o cálculo da deformação axial crítica
são baseadas em testes experimentais, considerando indiretamente as imperfeições
citadas acima. O efeito de imperfeições existentes na região da solda não é clara nos
códigos existentes para flambagem local de dutos rígidos. A norma DNV OS-F101
possui um fator de solda )( gwα na expressão para o cálculo da deformação axial crítica
para a consideração de alguns dos fatores geradores de imperfeições, porém sem detalhe
suficientes para uma conclusão segura dos efeitos envolvidos.
7.1.4.3 EFEITO DA TEMPERATURA
A temperatura tem um importante efeito nas propriedades mecânicas do aço (DNV OS
F-101,2000, CARR,2004b), podendo ser um importante fator na concentração de
tensões/deformações no duto. As propriedades mecânicas do aço C-Mn são
praticamente constantes para temperaturas abaixo de 50 oC, para temperaturas mais
elevadas, os valores de coeficiente de Poison, módulo de elasticidade, coeficiente de
expansão térmica e resistência do aço (tensão mínima de escoamento e de ruptura),
começam a ser função da temperatura. O principal efeito da temperatura nas
propriedades do aço ocorre na sua resistência, as demais propriedades podem ser
consideradas praticamente constantes para temperaturas até o limite de 100 oC
(CARR,2004b).
312
A norma DNV OS-F101 fornece regras para a correção da tensão de escoamento e de
ruptura do material, conforme mostrado abaixo na Figura 7.18. Observa-se que para
aços C-Mn a tensão de escoamento do aço só deve ser corrigida para temperaturas
superiores a 50 oC, enquanto aços do tipo Duplex 22Cr e 25 Cr são bem mais sensíveis
a temperatura, devendo ser corrigidos a partir de 20 oD.
A Figura 7.19 mostra o fator de redução a ser aplicado na tensão de escoamento, em
função da temperatura. Observa-se que para temperaturas em torno de 100 oC a tensão
de escoamento do aço perde cerca de 8% de seu valor em relação à tensão temperatura
ambiente.
Dutos aquecidos devem ser projetados considerando a temperatura máxima de
operação, pois a redução na tensão de escoamento do aço é fator bastante relevante na
concentração de deformações (CARR,2004b).
Figura 7.18 – Redução de Tensão em função da temperatura para a
tensão de escoamento e ruptura de aços
313
Figura 7.19 – Fator de redução a ser aplicado na tensão de
Escoamento em função da temperatura
314
7.2 FADIGA
A verificação da vida à fadiga de um duto devido aos ciclos de temperatura e pressão,
pode em geral ser feita utilizando-se as curvas SN, desde que as variações de tensões
tenham comportamento elástico. As curvas SN são obtidas empiricamente a partir do
ajuste de resultados experimentais no formato log-log. Para considerar a dispersão nos
resultados obtidos, as curvas SN apresentadas nas normas de fadiga (DNV RP C203, BS
7608, etc..), recomendam a utilização da média ajustada menos dois desvios padrões,
significando que estas curvas de fadiga são associadas com uma probabilidade de não
falhar de 97.6%.
Dutos submarinos sujeitos a flambagem lateral geralmente apresentam tensões que
superam o limite de escoamento do material, para as cargas operacionais. Caso a linha
seja dimensionada adequadamente, a plasticidade ocorrerá somente no primeiro ciclo de
formação da alça de deformação (flambagem termomecânica), tendo os demais ciclos
comportamento elástico devido à redistribuição de tensões que ocorre durante os ciclos
de carregamento e descarregamento de temperatura e pressão (Figura 7.20).
A utilização das curvas SN para variações acima da tensão de escoamento só é possível
para um número de ciclos relativamente baixo sendo denominada de ciclagem de baixo
ciclo, em contraposição à ciclagem com baixa variação de tensões e grande número de
ciclos (>10000), que dão origem as curvas SN de fadiga.
As curvas SN apresentadas nas normas de fadiga (DNV RP C203, BS 7608, etc..)
começam com um número de ciclos (cerca de 10000) bem acima da região de interesse,
para o caso de uma flambagem lateral em dutos submarinos de exportação. Para avaliar
a fadiga de baixo ciclo (em regime elástico), pode-se simplesmente extrapolar as curvas
SN existentes para fadiga de alto ciclo, para um número de ciclos relativamente baixos
(até 100) abrangendo desta forma a região de interesse (CARR,2004b), sabendo que os
resultados obtidos estão a favor da segurança (CARR,2004b). Logicamente para uma
avaliação menos conservativa, seria necessária a utilização de curvas de fadiga obtidas
especificamente para casos com grandes variações de tensões (acima da tensão de
escoamento do material) e baixo número de ciclos. Atualmente estas curvas de fadiga
315
não existem, sendo uma importante lacuna na análise de fadiga termomecânica em
dutos aquecidos.
Figura 7.20 – Tensão axial na fibra inferior no ponto crítico do modelo função
do gradiente térmico para diferentes ciclos de aquecimento e resfriamento
7.2.1 CURVAS DE FADIGA Como discutido anteriormente a verificação da vida a fadiga de baixo ciclo (com
grandes variações de tensões) em dutos submetidos a flambagem termomecânica, pode
ser feita utilizando as curvas SN usuais para fadiga de alto ciclo. A verificação é feita
extrapolando o número de ciclos para a região de interesse.
A verificação de fadiga baseando-se nas curvas SN, é feita calculando-se o dano
acumulado a partir da fórmula de Palmgren-Miner (DNV OS-F101,2000). Utilizando
um histograma significativo com um determinado número de blocos de variações de
316
tensões ( ) de amplitude constante (in iσ∆ ), tem-se a expressão para o cálculo do dano a
fadiga:
( ) fatm
i
k
ii
k
i i
ifat n
aNn
D ασ ≤∆== ∑∑== 11
1 (7.13)
onde:
: Dano de fadiga acumulado
k: Número de blocos de tensões
: Número de ciclos de tensões do bloco de tensão i
: Número de ciclos até a falha devido a variação de tensão constante
fatD
in
iN iσ∆
: Dano máximo admissível (função da classificação dada ao duto DNV OS-F101) fatα
a e m : Parâmetros da curva de fadiga
Para um determinado bloco de variação de tensões, o cálculo do número de ciclos até a
falha, utilizado na expressão de dano acumulado (7.13), é dado por:
σ∆−= logloglog maN (7.14)
onde:
N: Número de ciclos até a falha para a variação de tensão σ∆
σ∆ : Variação de tensão
alog e m : Parâmetros que definem a curva de fadiga a ser utilizada (função da
classificação do material base ou solda)
A variação de tensão σ∆ na equação (7.14) deve ser corrigida para considerar os
efeitos devido a variação de espessura e fator de concentração de tensões devido a
desalinhamentos na solda, sendo modificada para:
cmaN σ∆−= logloglog (7.15)
317
onde:
σσ σ ∆=∆ SCFSCFtc (7.16)
com:
k
reft t
tSCF ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= para t > tref
e
5.0
31−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+= tDe
et
SCF δσ (7.17)
A utilização dos fatores mostrados acima depende do tipo de classificação da solda
utilizada para o cálculo de fadiga. A norma DNV RP C203 para o processo mais usual
de soldagem (soldagem externa “single side”), utiliza as curvas de fadiga denominadas
de F1 e F3 para avaliar o ponto interno da solda (“weld root”), considerando os fatores
dados por (7.17) como iguais a um, pois os parâmetros da curva utilizada já consideram
os efeitos devido a concentração de tensões. Já para a avaliação de fadiga no ponto
externo (“weld toe”) os fatores de concentração de tensões devem ser utilizados, pois a
curva de fadiga proposta (D) é menos onerosa não incorporando em seus parâmetros os
fatores de concentração de tensões.
As curvas de fadiga utilizadas na norma BS 7608 não incorporam os fatores de
concentração de tensões, devendo-se calcular seu efeito para todas as curvas propostas.
A norma DNV RP C203 utiliza tref =25 mm e k=0.15, nos casos em que o fator de
correção de espessura é necessário, enquanto a norma BS 7608 utiliza tref =16 mm e
k=0.25. Esta diferença observada no cálculo do fator de correção de espessura é devido
a diferença entre as curvas de fadiga apresentadas por ambas.
318
7.2.1.1 VARIAÇÃO DE TENSÃO – LIMITES ADMISSÍVEIS Para a utilização das curvas SN no cálculo de fadiga em dutos aquecidos com
flambagem controlada, deve-se limitar a variação máxima de tensão que ocorre durante
o resfriamento da linha (“shutdown”), que geralmente excede o limite de escoamento do
material. A limitação da variação de tensão tem como objetivo prevenir o efeito
Bauschinger (alteração da tensão de escoamento do material) descrito no capítulo 4, e
conseqüentemente a ocorrência de plasticidade além do ciclo inicial (plasticidade
cíclica), o que invalidaria a utilização das curvas SN. A Figura 7.21 mostra uma curva
tensão-deformação de um material com um forte efeito Bauschinger, onde a variação do
nível de tensões no ramo elástico do material passou de 2SMYS para cerca de
1.4SMYS.
A norma BS 7608 limita a variação máxima de tensão a ser utilizada nas curvas SN (por
ela fornecida), em 1.6SMYS. A norma DNV RP-C203 é omissa neste ponto não
fornecendo qualquer informação sobre a variação máxima de tensão que pode ser
utilizada na aplicação das curvas SN para o cálculo da fadiga.
Figura 7.21 – Curva tensão-deformação mostrando efeito de
Bauschinger durante processo cíclico
319
7.2.1.2 PLASTICIDADE CÍCLICA
O desenvolvimento de plasticidade cíclica devido as variações de pressão e temperatura
na linha deve ser evitado, para não invalidar a utilização das curvas SN no cálculo de
fadiga da linha. A ocorrência de deformações plásticas durante processo de ciclagem
ainda não é dominado devendo ser evitado.
O critério utilizado para limitar a variação de tensão máxima, visando evitar o
desenvolvimento de plasticidade cíclica, é baseada numa adaptação da fórmula de
KLEVER (1994) desenvolvida para evitar “ratcheting” para as deformações
circunferênciais. O critério apresentado considera efeito Bauschinger e da tensão
circunferêncial (CARR,2004d), assumindo envoltória de resistência de von Mises para o
aço plástico perfeito durante primeiro ciclo, sendo dada por:
2
4312 ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≤∆
yBc f
σσ
σ θ (7.18)
Na expressão (7.18) cσ∆ representa a máxima variação de tensão admissível e o
efeito Bauschinger, que deve ser medido através de testes ou adotar um valor bem
conservativo na ausência de maiores informações. Para uma curva tensão-deform
com variação elástica nas tensões durante a ciclagem de 1.4SMYS temos (
é dado pelo inverso da variação elástica verificada na curva tensão-deformação).
A Figura 7.23 mostra as máximas variações de tensões axiais em função da tensão
circunferêncial, considerando diferentes valores de (efeito Bauschinger). Observa-se
que a tensão circunferência (“hoop stress”) tem um efeito bastante considerável na
tensão axial máxima em dutos com gradientes de pressão que contribuam
significativamente na condição de escoamento do m terial (relação
Bf
ação
7.0=Bf Bf
Bf
a yσσθ > 0.2).
320
Figura 7.22 – Máxima variação de tensão admissível para
prevenir o efeito Bauschinger
O critério fornecido para a limitação da variação máxima de tensão axial apresentado
acima, é bastante conservativo pois não leva em conta o encruamento do material e
considera que o duto seja totalmente restrito (razoável para dutos enterrados) com
deformação axial constante ao longo da direção circunferêncial KLEVER (1994).
Porém na região de ocorrência de flambagem termomecânica, o duto encontra-se em
uma condição de restrição bastante diferente ocorrendo uma grande variação de
deformações axiais ao longo da circunferência do duto.
O comportamento de metais submetidos a carregamentos cíclicos com plasticidade
ainda não é bem conhecido, sendo razoável a adoção de uma boa dose de
conservadorismo na sua utilização.
Outro aspecto importante a ser observado é que dutos lançados pelo método de
“reeling” podem apresentar efeito Bauschinger bastante relevante, modificando a tensão
de escoamento do material já no primeiro ciclo de carregamento.
321
Os conceitos mostrados neste item permitem limitar a variação de tensão axial máxima,
para que o aço do duto não apresente efeito Bauschinger, podendo-se utilizar as curvas
de fadiga SN (regime elástico), sem a ocorrência de acúmulo de deformações plásticas
(“ratcheting”) que podem levar a ocorrência de ruptura por fadiga de baixo ciclo em
regime plástico.
7.2.1.3 FATORES DE SEGURANÇA
Conforme dito anteriormente as curvas de fadiga existentes nas normas, representam a
média menos dois desvios padrões para o conjunto de dados experimentais, o que
significa uma probabilidade de não falhar de 97.6%. Como uma linha de escoamento é
uma estrutura sem redundância e de difícil inspeção, é necessária a utilização de um
fator de segurança adicional para garantir a integridade da linha.
A norma BS8010 (1993) indica que um fator de segurança adicional deve ser utilizando,
mas não fornece valores deixando para o projetista a responsabilidade.
A norma DNV RP C-203 refere-se a OS-F101 para a definição do fator de segurança
em função da classificação de risco da linha. Para um duto classificado com nível de
segurança normal (“normal safety class”), é proposto um coeficiente de segurança igual
a 5, fornecendo um dano máximo admissível (“allowable damage ratio”) 2.0=fatα .
Para o nível de segurança normal o fator de segurança utilizado tem a intenção de
garantir que a probabilidade de falha devido ao estado limite de fadiga não exceda 10-4.
Para o caso de um duto classificado com nível de segurança alto (“high safety class”), o
fator de segurança proposto é igual 10, significando que um duto projetado para operar
durante 20 anos deve possuir vida a fadiga de 200 anos.
322
7.2.1.4 AMBIENTES AGRESSIVOS E AÇOS ESPECIAIS As curvas de fadiga são determinadas para aços C-Mn. A norma DNV RP C-203
recomenda a utilização das mesmas curvas de fadiga para os aços especiais duplex e
super-duplex, sendo omissa no caso do aço 13%Cr.
A utilização de aços especiais é recomendada para casos especiais de dutos expostos a
ambientes agressivos (H2S, CO2), já que as curvas apresentadas nas normas são
determinadas para exposição no ar ou água do mar, não abordando o efeito causado por
ambientes agressivos. A exposição a ambientes agressivos pode reduzir drasticamente a
vida a fadiga (BUITRAGO,2002, SZLARZ,2000), dependendo das concentrações
existentes.
A exposição de dutos a ambientes agressivos ainda é uma área com conhecimento
reduzido. Nos últimos anos estudos começaram a ser desenvolvidos
(BUITRAGO,2002,CARR,2004j) visando preencher esta lacuna de conhecimento que
pode causar conseqüências drásticas para o duto podendo levar a ruptura.
7.3 FRATURA E COLAPSO PLÁSTICO
Em dutos submetidos a flambagem termomecânica a ocorrência de deformações
plásticas é praticamente inevitável. No primeiro carregamento de formação da
flambagem, o duto ficará submetido a elevadas tensões axias de tração, produzindo
deformações que podem ser suportadas pelo material base (sem defeitos) em dutos com
baixas relações De/t. Porém, na região das soldas, devido aos defeitos inerentes ao
processo de soldagem, tais deformações podem levar ao colapso, tornando-se o ponto
crítico no dimensionamento.
A existência de falhas na região da solda (“flaw size”) geralmente não é um caminho
crítico em projetos tradicionais de dutos, pois são dimensionados para operar em regime
elástico. No caso de dutos aquecidos dimensionados permitindo a ocorrência de
323
flambagem, e consequentemente elevadas deformações, o tamanho da falha na região da
solda é um ponto importante a ser considerado, devendo-se demostrar a integridade
estrutural do duto.
Para estabelecer o critério de aceitação para a inspeção da solda durante o lançamento, é
necessário calcular através de critérios da mecânica da fratura (dentro de uma ECA), o
tamanho máximo aceitável da falha durante o início da vida de um duto, e mostrar que o
tamanho da falha é relativamente estável não crescendo devido a fadiga de baixo ciclo
(BS8010,1993).
Historicamente a definição do tamanho tolerável da falha na solda é feita em um dos
últimos estágios do projeto, pois em geral fornece tamanhos máximos maiores que os
necessários durante inspeção de lançamento, pois as cargas envolvidas não são críticas.
Para dutos submetidos a flambagem térmica o tamanho máximo deve ser definido
durante o projeto para a carga máxima operacional (falha máxima inicial) e para fadiga
de baixo ciclo (falha máxima final). A definição da falha máxima na solda para
deformações elevadas, tendem a ser bem menores que as tradicionalmente utilizadas em
projetos tradicionais.
A definição de um tamanho de falha máxima aceitável para solda considerando
flambagem, deve ser feita numa ECA em conjunto com o projeto conceitual do duto,
devendo-se tentar ser o menos restritivo possível. Caso contrário o critério de inspeção
utilizado pode praticamente inviabilizar o projeto de lançamento, pelo custo e tempo
necessários para sua execução.
324
8 METODOLOGIA DE ANÁLISE E RESULTADOS
Este capítulo tem como objetivo de apresentar uma metodologia de análise para dutos
submarinos submetidos a altas variações de temperatura e pressão utilizando os
conceitos abordados nos capítulos anteriores através dos resultados com o programa
AEEPECD. Será verificado o comportamento estrutural de um duto submarino
escolhido como estudo de caso, frente aos estados limites de flambagem local e fadiga
devido a ciclos de aquecimento/pressurização e desaquecimento/despressurização. O
duto analisado foi selecionado por representar um caso real e de relevância. Também
será analisado o comportamento de possíveis soluções técnicas que estão sendo
avaliadas atualmente para controlar os efeitos da flambagem em dutos aquecidos.
Será analisado o comportamento termomecânico numa seção particular (seção 2) da
linha de escoamento mostrada na Figura 8.1. O capítulo é dividido em quatro partes
principais. Na primeira parte é feita uma validação do modelo básico de interação solo-
duto implementado no AEEPECD, comparando seus resultados com os obtidos com a
solução analítica de HOBBS (1981,1989) e com resultados do ABAQUS. Na segunda
parte é verificado o comportamento estrutural do duto aquecido sobre o piso marinho
durante alguns ciclos de aquecimento e resfriamento utilizando modelo de interação
solo duto básico com atrito possuindo lei constitutiva plástico-perfeita. Na terceira parte
serão analisados modelos de dutos sobre o piso marinho considerando o efeito de valas
no piso marinho, utilizando o modelo de interação solo-duto especialmente
desenvolvido para tal no programa AEEPECD. Por último será avaliado o
comportamento de dutos aquecidos utilizando soluções que tem como objetivo controlar
o comprimento de expansão térmica (CET) e a interação solo-duto.
325
Figura 8.1 – Seções ao longo da rota do duto analisado
8.1 PROPRIEDADES UTILIZADAS
As propriedades utilizadas nas análises numéricas do duto aquecido são fornecidas nas
tabelas 8.1 e 8.2 abaixo. Será analisada a seção a cerca de 10 KM do início do duto
mostrado na Figura 8.1, denominada de seção 2. A seção foi escolhida por ser o trecho
contínuo que apresenta o esforço axial efetivo mais crítico.
Tabela 8.1 – Propriedades geométricas do duto analisado.
Característica Valor
Diâmetro externo 323,85 mm (12.75”)
Espessura nominal 22,225 mm (0.875”)
Espessura revestimento 50 mm
326
Tabela 8.2 – Propriedades mecânicas do material do duto analisado (@20 oC).
Característica Valor
Material X65
SMYS @0,5% 450 MPa
SMTS @10% 525 MPa
Módulo de Elasticidade Longitudinal 210000 MPa
Coeficiente de expansão térmica 1.17x10-5 oC-1
Densidade aço 7850 kg/m3
Na Tabela 8.2 a tensão de escoamento do aço X65 foi modificada para considerar o
efeito da temperatura conforme preconizado pela norma DNV OS-F101 (2000), sendo
corrigida para a temperatura máxima anormal de operação (80 oC), resultando numa
tensão de escoamento de aproximadamente 432 MPa. A curva tensão-deformação
considerando o encruamento do material também pode ser utilizada, mas recomenda-se
a realização de testes de laboratório para a sua utilização, pois tem uma grande
influência nos resultados de verificação de flambagem local de parede, quando é
utilizado critério baseado em deformação máxima admissível. Nas simulações
realizadas neste capítulo foi adotada uma curva tensão-deformação plástico-perfeita,
sempre que não for especificado, caso seja utilizado o encruamento do material, isto
será claramente identificado na apresentação dos resultados.
A curva tensão-deformação não-linear do material considerando encruamento, pode ser
descrita utilizando a curva de Ramberg-Osgood (1946), que representa um bom ajuste
na representação da relação tensão x deformação verdadeira. A relação uniaxial para a
curva tensão-deformação de Ramberg-Osgood é dada por:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
−1
731
n
rE σσσε (8.1)
327
Onde n representa a declividade da região plástica e rσ é a tensão característica onde
se inicia a deformação plástica do material.
Os testes para a determinação dos parâmetros da curva tensão x deformações de um
dado material fornecem a tensão de engenharia, que é a carga estática medida no teste
de resistência dividida pela área indeformada do corpo de prova.
o
nn A
P=σ (8.2)
A deformação de engenharia é calculada dividindo a variação de comprimento do corpo
de prova pelo seu comprimento inicial.
o
n ll∆
=ε (8.3)
A curva tensão-deformação de engenharia fornece uma boa descrição do
comportamento do material para pequenas deformações, porém para deformações mais
elevadas é preciso fazer uma correção considerando sua área deformada. Pode-se obter
a curva tensão x deformação do material a partir da hipótese que o material permanece
com volume constante durante o escoamento plástico, fornecendo as relações mostradas
abaixo.
( )nnt εσσ += 1 (8.4)
( )nt εε += 1ln (8.5)
E
ttplt
σεε −=_ (8.6)
Utilizando as relações (8.4) a (8.6) em conjunto com a lei de Ramberg-Osgood (8.1),
pode-se obter as curvas de tensão x deformação de engenharia e verdadeira para o
material do duto (aço X65).
328
Na Figura 8.2 são mostradas as curvas de tensão x deformação de engenharia e
verdadeira para as temperaturas de 20 e 80 oC, para o aço X65, podendo-se verificar o
seu efeito para as temperaturas ambiente (ar) e máxima analisada. Para a temperatura de
20 oC os parâmetros n e rσ que descrevem a forma da curva tensão x deformação foram
respectivamente 20,4 e 424,4 MPa.
Figura 8.2 – Efeito da temperatura (80 oC) nas curvas tensão-deformação
engenharia e verdadeira do material (X65) com encruamento plástico.
Na Figura 8.3 são mostradas as curvas de tensão x deformação de engenharia e
verdadeira para a temperatura máxima analisada (80 oC), para o aço X65 com e sem
encruamento. Observa-se que mesmo considerando o material plástico-perfeito, o
material apresenta um certo grau de encruamento quando a curva x tensão nominal
(engenharia) é corrigida para a verdadeira.
329
Figura 8.3 – Efeito do encruamento nas curvas tensão-deformação
de engenharia e verdadeira do material (X65).
Nas análises numéricas quando for utilizado o encruamento do material é necessário
fornecer a curva tensão x deformação plástica verdadeira. A tabela 8.3 mostra os pontos
da curva tensão x deformação plástica verdadeira, utilizada no modelo de elementos
finitos quando for considerado o encruamento do material, mostrado na Figura 8.4.
330
Tabela 8.3 – Curva tensão x deformação plástica verdadeira (@80 oC).
Tensão verdadeira
(MPa)
Deformação plástica
Verdadeira %
377,6 0,00
411,0 0,1
434,2 0,292
446,5 0,485
458,8 0,778
472,8 1,263
483,3 1,756
499,3 2,723
523,2 4,624
543,0 6,517
568,7 9,260
Figura 8.4 – tensão x deformação plástica verdadeira do material
(X65) para 80 oC, utilizada no modelo numérico.
331
8.2 CARREGAMENTO E CONDIÇÕES DE CONTORNO
O caso analisado possui temperatura máxima operacional de aproximadamente 65 oC,
com um decaimento ao longo da linha mostrado na Figura 8.5. A temperatura máxima
de operação do duto em si não fornece informação suficiente para avaliar a
potencialidade ou não de flambagem termomecânica de um duto, pois o esforço axial
efetivo no duto (capítulo 5), depende do carregamento imposto (variação de temperatura
e pressão interna), parâmetros geométricos e de material da seção transversal, condições
de contorno e comprimento do duto.
O baixo decaimento de temperatura ao longo do comprimento do duto que será
analisado neste capítulo (Figura 8.5) como caso de estudo, deve-se ao isolamento
térmico de polipropileno existente para facilitar o escoamento de óleo. O revestimento
em dutos pode ter três finalidades, estabilidade, camada anti-corrosiva e isolamento
térmico. A Figura 8.6 mostra o perfil de decaimento ao longo de uma linha de
escoamento de gás. O alto decaimento comparado ao visto na Figura 8.5 é explicado
pela ausência de revestimento térmico.
Figura 8.5 – Batimetria do fundo e perfil de temperatura
ao longo do duto analisado.
332
Figura 8.6 –Perfil de variação de temperatura ao longo de duto
de gás possuindo somente revestimento anti-corrosivo.
Atualmente no Brasil devido às descobertas recentes de óleos pesados, tem surgido
inúmeros projetos de dutos aquecidos, e em particular no caso brasileiro, devido às
elevadas lâminas dagua, o carregamento imposto pela pressão interna torna-se bastante
significativo contribuindo para o processo de flambagem termomecânico.
Na Figura 8.7 pode-se observar as pressões externa e interna existentes ao longo da rota
do duto que são função da batimetria do piso marinho, da pressão de bombeamento na
plataforma e do peso do fluido. No perfil de pressão interna total foi desconsiderada a
perda de carga devido ao escoamento, considerando deste modo constante a pressão de
bombeamento na linha.
333
Figura 8.7 – Batimetria do fundo e perfis de pressões hidrostáticas
do óleo e água do mar ao longo do duto analisado.
A Figura 8.8 mostra o esforço axial efetivo máximo ao longo do duto. Também são
mostradas em porcentagem as contribuições da variação de temperatura e pressão
interna no esforço axial efetivo. Como pode ser observado, a pressão interna máxima
contribui de forma significativa para o esforço axial na linha, alcançando valores em
torno de 20 a 30 % do esforço axial total. A parcela de contribuição da pressão interna
no esforço axial efetivo pode torna-se ainda mais importante, visto que num futuro
próximo as pressões internas em dutos “offshore” tendem a aumentar conforme forem
serem explorados campos de petróleo em lâminas d´agua ultra-profundas entre 2000 e
3000 m.
334
Figura 8.8 – Contribuição da temperatura e pressão interna no
esforço axial efetivo ao longo do duto analisado.
As condições de contorno existentes em dutos submarinos são essenciais para definir a
distribuição real de esforço axial efetivo ao longo duto, equipamentos submarinos tais
como PLET conectam-se ao duto e a “jumpers” ou “spolls”, que possuem flexibilidade
suficiente para absorver a expansão térmica do duto. Desta forma, o esforço axial
restringido só será alcançado após a ancoragem do duto pelo atrito axial do solo. No
caso de estudo analisado neste capítulo o duto possui PLET com “jumpers” rígidos em
ambas as extremidades, modificando o esforço axial conforme pode ser visto na Figura
8.9. O esforço axial efetivo só alcança o seu valor máximo restringido (equação 8.7)
após a ancoragem da expansão térmica pelo atrito axial solo-duto. O atrito axial
depende de parâmetros de resistência do solo que apresentam uma série de incertezas,
podendo alterar o significativamente o ponto de ancoragem axial (Figura 8.10).
335
Figura 8.9 – Extremidade do duto analisado conectado ao
PLET com a presença de “jumper” rígido.
Figura 8.10 – Esforço axial efetivo ao longo do duto analisado,
com condições de contorno nas extremidades.
336
A geometria inicial do duto não é perfeitamente reta devido às imperfeições iniciais
geradas pelo processo de lançamento do duto e da batimetria do piso marinho, sendo
uma das principais condições de contorno do problema, pois influencia não apenas a
carga crítica de flambagem, como a distribuição do comprimento de expansão térmica
(CET), entre as alças de deformação que serão formadas ao longo do duto. A expressão
8.7 mostra uma fórmula clássica para cálculo de estabilidade de dutos apoiados sobre o
leito marinho considerando raio de curvatura constante. Nela pode-se observar uma
relação direta entre o esforço axial no duto e o raio de curvatura. Desta forma, quanto
maior forem as curvaturas iniciais existentes menores serão as cargas críticas de
flambagem, ocorrendo a instabilidade quando o esforço axial no duto superar o esforço
axial fornecido pela expressão 8.8.
RWN subLest µ= (8.7)
(8.8)
A curvatura inicial em diferentes pontos do duto devido ao processo de lançamento é
desconhecida a priori. Estudos estatísticos (CARR,2004m) mostraram que um valor
médio representativo para dutos lançados sem raios de curvatura está em torno de 1500
m com covariância de 20%. Para dutos lançados com raios de curvatura de projeto entre
1500 m e 2000 m, o valor médio alcançado para o raio de curvatura após o lançamento
ficou em torno de 855 m (desvio padrão de DP=165 m) e 1140 m (DP=220 m)
respectivamente. Como ao longo da rota do duto analisado existem raios de curvatura de
lançamento de 1500, 2000 e 2120 m (Figura 8.11), o esforço axial máximo a que o duto
poderia ficar submetido de forma estável seria de aproximadamente 1160 KN
(considerando µL=1,05 e Wsub=1.284 KN/m), bem abaixo dos valores de esforço axial
efetivo máximo presentes no duto analisado (Figura 8.10), mostrando a alta
potencialidade de flambagem termomecânica do duto.
A carga crítica de flambagem em dutos aquecidos pode ser determinada analiticamente
através de outros métodos analíticos e semi-analíticos (HOBBS,1981/1984), que serão
mostrados mais à frente.
estef NN ≥
337
Figura 8.11 – Geometria de lançamento do duto mostrando
raios de curvatura utilizados.
Os dados de carregamentos a serem utilizados na seção 2 do duto que será analisada
neste capítulo como estudo de caso estão resumidas na tabela 8.4. Como será visto mais
adiante o modelo de elementos finitos terá extensão de 2000 m, adotando-se desta forma
o carregamento constante ao longo do duto. Os perfis de temperatura e pressão
mostrados só são utilizados, caso seja feita a simulação da linha como um todo, onde o
efeito do decaimento ao longo do duto torna-se significativo.
338
Tabela 8.4 – Resumo dos Carregamentos utilizados nas análises numéricas.
Característica Valor
Pressão interna superfície (bombeamento) 20,68 MPa
Pressão interna no fundo do mar @ 800m 27,87 MPa
Pressão externa no fundo do mar @ 800m 8,12 MPa
Peso submerso do duto 1,284 KN/m
Temperatura mínima água do mar @ 800m 4 oC
Temperatura máxima operacional @ 800m 64 oC
Temperatura máxima anormal @ 800m 84oC
Na Tabela 8.4, as pressões interna e externa no fundo do mar foram calculadas
considerando a lâmina máxima de água de 800 m para o trecho analisado (a 10 KM do
início da linha), sendo desconsiderada a perda de carga de pressão interna existente no
duto devido ao escoamento.
339
8.3 INTERAÇÃO SOLO-DUTO
Devido a grande importância da interação solo-duto é dedicado um item especial para
apresentar a metodologia utilizada para calcular os enterramentos do duto e os
“coeficientes” de atrito equivalentes utilizados nas simulações numéricas.
O enterramento do duto foi calculado utilizando a formulação proposta pelo JIP-
SAFEBUCK na equação (8.9) (CARR,2004i), por fornecer valores de enterramentos
mínimo e máximo compatíveis com os observados nos dutos em operação na Bacia de
Campos em regiões de argilas moles. Também podem ser utilizadas outras metodologias
semi-analíticas como a proposta por VERLEY (2000), já apresentada ou através de
simulações numéricas.
22
4244 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛<<
uSD
WSDz
SD
WS
e
eft
eue
eft (8.9)
onde:
z - Enterramento inicial do duto
- Peso submerso máximo do duto
De – Diâmetro externo do duto (com revestimento)
kl – Fator de amplificação dinâmica devido aos esforços de lançamento
Wsv – Peso submerso do duto vazio
Wsh – Peso submerso do duto durante teste hidrostático
Wso – Peso submerso do duto durante a operação
Su – Resistência não-drenada do material
St – Sensitividade da argila
( )soshsvlef WWWkW ,,max=
340
No cálculo do enterramento foram considerados os perfis máximo, médio e mínimo
representativos mostrados na Figura 8.12 obtidos a partir de uma avaliação estatística de
dezenas de perfis de resistência do solo para a região da linha de escoamento
(CARDOSO,2004b), sendo obtidos diferentes valores de enterramento para representar
a heterogeneidade do solo ao longo da rota do duto. A Tabela 8.5 fornece os valores dos
enterramentos obtidos, para cada perfil de resistência utilizado. Para a obtenção das
reações de solo foram utilizados os valores médios entre os mínimos e máximos obtidos
com a expressão (8.9).
Figura 8.12 – Perfis de Resistência não-drenada utilizados
341
Tabela 8.5 – Enterramentos para os diferentes perfis resistência não-drenada do solo
Perfil de Resistência Enterramento Médio (%De)
Mínimo 71,5
Médio 25,5
Máximo 17,6
Os coeficientes de atrito laterais equivalentes do solo foram obtidos utilizando-se o
simulador AEEPECD, através de um modelo de estado plano de deformações com
envoltória de resistência de Mohr-Coulomb. As reações laterais de solo foram obtidas
para os enterramentos médios calculados (tabela 8.5), utilizando os respectivos perfis de
resistência não-drenada do solo (Figura 8.12). Uma das vantagens da utilização do
simulador de elementos finitos AEEPECD, na geração das reações de solo, é justamente
a possibilidade de representar adequadamente o perfil de resistência do solo, uma vez
que esta facilidade está implementada na interface de pré-processamento (SIGMA
4.22), que exporta as curvas de resistência não-drenada do solo, que são utilizadas no
AEEPECD para calcular a resistência não-drenada no centro de gravidade de cada
elemento do modelo, representando desta forma a sua variação ao longo da
profundidade.
Para cada enterramento médio calculado foram gerados dois modelos para o cálculo da
reação lateral do solo. O primeiro considerando somente o enterramento conforme
apresentado na tabela 8.5, e um segundo considerando a existência de um “monte” com
uma resistência não-drenada residual de 1 KPa, para representar o solo empurrado pelo
duto durante a sua movimentação.
As Figuras 8.13 a 8.15 mostram as deformadas do solo com e sem monte obtidas
através das simulações numéricas efetuadas, para os diferentes enterramentos e perfis de
resistência não-drenada do solo.
342
343
Figura 8.13 - Deformada do duto sem e com monte para deslocamento de 10 cm
mostrando região plastificada (perfil de resistência mínimo e enterramento de 70%De)
Figura 8.14 - Deformada do duto sem e com monte para deslocamento de 10 cm
mostrando região plastificada (perfil de resistência médio e enterramento de 25%De)
Figura 8.15 - Deformada do duto sem e com monte para deslocamento de 10 cm
mostrando região plastificada (perfil de resistência máximo e enterramento de 18%De)
A Figura 8.16 mostra o “coeficiente” de atrito lateral equivalente (reação lateral sobre
peso submerso cheio do duto), em função do deslocamento imposto. Verifica-se que
apesar dos enterramentos serem bem diferentes, os “coeficientes” de atrito são
praticamente os mesmos, pois a diferença no enterramento é compensada pela diferença
na resistência do solo.
Figura 8.16 - Coeficiente de atrito lateral equivalente para os
diferentes perfis de resistência não-drenada do solo
A Figura 8.17 mostra o “coeficiente” de atrito lateral em função do deslocamento do
duto, para o modelo considerando o monte de solo atrás do duto. Neste caso verificou-se
uma variação significativa para os diferentes perfis de resistência e enterramentos
utilizados, devido a maior restrição da movimentação do duto na direção vertical.
344
Figura 8.17 - Coeficiente de atrito lateral equivalente para os diferentes
perfis de resistência não-drenada do solo, considerando monte.
Os “coeficientes” de atrito laterais utilizados no modelo de elementos finitos global de
dutos aquecidos, são mostrados na tabela 8.6, para os diferentes níveis de enterramento
do duto, a partir da utilização de perfis de resistência máximo, médio e mínimos (Figura
8.12).
Tabela 8.6 – Coeficientes de atrito lateral,
para os perfis de resistência não-drenada do solo
Perfil de Resistência
Mínimo
Médio
Máximo
Atrito lateral 0,55 0,60 0,55
Atrito lateral (monte) 0,60 0,80 0,87
345
Os valores de coeficientes de atrito laterais mostrados na tabela acima, fornecem os
valores mínimo, médio e máximos para os perfis de resistência apresentados na Figura
8.12, baseados no enterramento médio. Como será visto mais adiante, coeficientes de
atrito mais elevados fornecem resultados mais críticos em termos de
tensões/deformações na região do duto submetida à flambagem termomecânica. Deste
modo foi calculado também para os enterramentos máximos para cada perfil de
resistência não-drenada, o coeficiente de atrito lateral máximo que poderia ocorrer,
fornecendo um valor em torno de 1,05. O coeficiente de atrito lateral máximo global de
1,05 será utilizado nos estudos paramétricos que serão mostrados mais adiante como
referência, por tratar-se do valor mais crítico calculado.
Ensaios experimentais realizados para dutos assentados sobre argilas moles (BOLTON
et al.,2004), mostraram valores mínimo, médio e máximo para o coeficiente de atrito
lateral respectivamente de 0,45, 0,75 e 1,28. Estes valores são compatíveis com os
obtidos anteriormente.
As reações laterais obtidas utilizando o programa AEEPECD fornecem bons resultados
para pequenos deslocamentos, conforme retroanálises feitas com resultados
experimentais (COSTA, 2001g). Na realidade para os deslocamentos observados em
dutos aquecidos, que podem ser da ordem de 20 a 30 vezes o diâmetro do duto, as
reações obtidas representam apenas o trecho inicial da curva de reação do solo. Um
grande esforço vem sendo realizado para compreender o comportamento de dutos
submarinos apoiados sobre o leito marinho (BOLTON et al.,2004, VERLEY,2000), que
são extremamente dependentes da interação solo-duto.
Na realidade a reação lateral depende do processo cíclico de movimentação lateral que
tende a gerar a formação de valas no leito marinho (BOLTON et al.,2004), fazendo com
a reação do solo mude ao longo do tempo, conforme a vala é escavada pelo duto. A vala
pode ser formada durante o processo de lançamento do duto, ou durante a sua vida
operacional devido às oscilações induzidas por variações de temperatura e pressão,
assim como corrente marinha.
346
A Figura 8.18 mostra um desenho esquemático de formação de uma vala após vários
ciclos de carregamento e descarregamento de temperatura e pressão. Ainda existe
bastante incerteza no processo de formação de valas no leito marinho, pois dependem de
vários fatores como peso submerso do duto, tipo de solo, carregamento imposto entre
outros (Capítulo 5). A vala formada é importante na interação solo-duto, pois altera a
curva de reação do solo. A vala formada tende a aumentar a reação lateral do solo
devido a acréscimo de resistência passiva gerada pelo solo atrás do duto.
Figura 8.18 – Vala formada por duto aquecido no leito marinho devido
às variações de temperatura e pressão.
A Figura 8.19 mostra o atrito lateral equivalente desenvolvido durante dois ciclos de
carregamento e descarregamento do duto. Observa-se no segundo ciclo um pequeno
acréscimo na reação lateral a partir do deslocamento máximo do ciclo anterior, quando
o duto alcança o solo deslocado fechando o “gap” existente, empurrando um pouco
mais o solo aumentando a vala formada. Após alguns ciclos o aumento na reação lateral
devido à formação da vala tende a estabilizar os deslocamentos do duto, como
observado na prática através de inspeções submarinas (CARR,2004i).
347
Figura 8.19 – Atrito lateral equivalente versus deslocamento do duto durante
ciclos de carregamento e descarregamento de temperatura e pressão.
A vala formada pela movimentação do duto pode induzir valores de “coeficientes” de
atrito laterais bem mais elevados que os calculados, podendo alcançar valores de 3 a 10
vezes superiores ao máximo calculado (CARR,2004i). As Figuras 8.20 e 8.21 mostram
as curvas de atrito lateral equivalentes versus deslocamento para um ciclo de
carregamento N, superior aos que geraram as valas sobre o piso marinho.
Na Figura 8.20 é mostrada a reação passiva do solo atrás da vala formada a partir do
ponto em que o duto entra em contato com o solo mobilizando integralmente a
resistência do solo.
348
Figura 8.20 – Atrito lateral equivalente versus deslocamento do duto durante
ciclo de carregamento N com deslocamento superior ao indutor da vala
mantendo resistência passiva do solo.
Na Figura 8.21 a resistência passiva do solo também é ativada quando o duto entra em
contato com o solo deslocado, porém neste caso o duto tende a subir pela vala
diminuindo novamente a reação lateral do solo.
349
Figura 8.21 – Atrito lateral equivalente versus deslocamento do duto durante
ciclo de carregamento N com deslocamento superior ao indutor da vala
havendo redução da resistência passiva do solo.
Os modelos implementados no AEEPECD para a interação solo duto permitem verificar
o efeito da influência da vala sobre os deslocamentos e esforços existentes no duto,
assim como verificar o efeito de uma variação de temperatura e/ou pressão superiores
aos que geraram a vala, conforme será visto mais à frente nos resultados que serão
apresentados.
Como será visto neste capítulo a correta representação da interação solo-duto é
fundamental para avaliar corretamente o comportamento e os esforços atuantes em
dutos de modo geral e particularmente em dutos aquecidos submarinos, onde em geral
trabalha-se em regime não-linear físico-geométrico, onde pequenas variações nos
coeficientes atrito e modelos utilizados, representam grandes variações nos esforços
atuantes.
Para simular o comportamento de dutos aquecidos submetidos a vários ciclos de
aquecimento/pressurização e desaquecimento/depressurização, os modelos utilizados
para representar as reações axial e lateral do solo foram implementados no programa
AEEPECD, conforme descrito no Capítulo 5. Os modelos implementados permitem
350
representar as reações do solo considerando carregamentos cíclicos impostos devido às
movimentações do duto.
Será dada atenção especial ao modelo utilizado para representar a reação do solo na
direção lateral, por ser o principal parâmetro de incerteza na determinação das
tensões/deformações existentes na região com flambagem termomecânica. A reação
axial é um parâmetro importante também, porém devido ao fato de serem utilizados
comprimentos de expansão térmica (CET), bem inferiores aos necessários para que o
solo restrinja axialmente o duto, torna-se importante apenas na definição da temperatura
de flambagem do duto que não é o objetivo do estudo que será realizado.
A Figura 8.22 mostra o modelo utilizado para a reação lateral do solo inicialmente
utilizada para representar a interação solo-duto com carregamentos e descarregamentos.
O modelo de solo mostrado na Figura 8.22, não representa a variação na reação lateral
devido a formação de valas sobre o leito marinho, conforme mostrado na Figura 8.18.
Este modelo tem como objetivo apresentar o complexo fenômeno de interação solo-duto
aquecido, para depois utilizar um modelo mais complexo contemplando a presença do
efeito de valas.
Figura 8.22 – Modelo utilizado para a curva de atrito lateral equivalente
versus deslocamento do duto sem a consideração de formação de vala (básico).
351
A Figura 8.23 mostra o modelo utilizado para representar a reação lateral do solo para
representar a interação solo-duto considerando a formação de valas no piso marinho
descrito anteriormente.
Figura 8.23 – Modelo utilizado para a curva de atrito lateral equivalente
versus deslocamento do duto considerando a formação de vala
A tabela 8.7 fornece os pares de coeficientes de atrito laterais equivalentes utilizados
nas simulações numéricas do modelo de interação solo-duto básico (sem a presença de
valas submarinas). Os coeficientes mostrados na tabela 8.7, são multiplicados pelo atrito
lateral máximo (µL=1,05) obtido em 8.3. Desta forma o par 0,50/0,00 mostrado na
tabela 8.7, para a coluna P1, fornece os atritos laterais residuais primário
(µL1=0,50*1,05) e secundário (µL2=0,00*1,05). As demais células da tabela permitem
calcular os coeficientes de atritos laterais equivalentes para os demais casos de forma
semelhante. Em todos os casos foi utilizado um deslocamento de mobilização δdL igual
a 10 mm.
352
Tabela 8.7 – Pares de coeficientes de atritos laterais
utilizados no modelo de solo sem vala
P1 P2 P3 P4 P5
0,50 / 0,00 0,75 / 0,00 1,00 / 0,00 1,25 / 0,00 1,50 / 0,00
0,50 / 0,50 0,75 / 0,50 1,00 / 0,50 1,25 / 0,50 1,50 / 0,50
------- ------- 1,00 / 1,00 1,25 / 1,00 1,50 / 1,00
A reação axial foi obtida integrando o perfil de resistência médio ao longo da área de
contato solo-duto, fornecendo um valor de 0.48 KN/m. Dividindo o valor da reação
axial máxima pelo peso submerso da linha durante a sua operação, obtém-se um
coeficiente de “atrito” axial igual a 0.38.
353
8.4 MODELOS DE ELEMENTOS FINITOS
Na geração e visualização dos modelos de elementos finitos foi utilizado o programa
SIGMA 4.22 (AMARAL,1997c), utilizando uma interface especialmente desenvolvida
para as análises de dutos aquecidos, facilitando a importação de propriedades e
geometrias complexas. Para a realização das análises numéricas utilizou-se o simulador
AEEPECD com as rotinas especialmente desenvolvidas nesta tese para a análise de
dutos aquecidos.
A simulação do início do processo de flambagem termomecânica de dutos aquecidos é
de difícil previsão pois depende de uma série de fatores, tais como; geometria inicial,
interação solo-duto, esforços residuais de lançamento, entre outros. Como o objetivo
deste trabalho é verificar o efeito dos modelos de interação solo-duto nos estados limites
de deformação e fadiga, para temperaturas e pressões elevadas, o início do processo de
flambagem termomecânica não é de grande importância. A determinação do ponto de
início da flambagem termomecânica por envolver vários fatores de incerteza, requer um
estudo de confiabilidade específico, através de modelos probabilísticos (CARR,2004e),
que é um campo de pesquisa que vem sendo desenvolvido atualmente para garantir a
confiabilidade de técnicas de flambagem controlada.
Para simular as imperfeições iniciais devido ao processo de lançamento do duto, foi
construída uma geometria básica com uma imperfeição na região central do modelo
(Figura 8.24) de 0.1 m ao longo de 40 m (h/L=0.25%). Como a curvatura inicial real
devido ao processo de lançamento é desconhecida a priori, foi adotado neste trabalho
um raio de curvatura mínimo na região central da alça de deformação de
aproximadamente 860 m, compatível com os raios de curvatura definidos no item 8.2.
A simulação de dutos existentes pode ser feita utilizando equipamentos de alta
resolução capazes de medir a geometria do duto com precisão adequada para representar
a curvatura. Um exemplo disto foram as simulações termomecânicas realizadas para o
duto PE-2 que teve a sua geometria medida através um equipamento chamado “PIG”
geométrico (Geopig Caliper/Geometry Survey, 2003), mais recentemente foram
354
realizados levantamentos de geometria de dutos na Bacia de Campos utilizando ROV de
alta precisão e AUV (CARDOSO,2004d).
Figura 8.24 – Geometria básica do modelo utilizado nas simulações numéricas
Na análise pelo método dos elementos finitos são consideradas as não-linearidades
físico e geométrico envolvidas, conforme descrito nos capítulos 2, 3 e 4. Nos modelos
analisados de um modo geral, não são consideradas as tensões iniciais induzidas durante
o processo de lançamento do duto, pois estas influenciam somente na determinação do
ponto de início do processo de flambagem termomecânica. A consideração da
relaxação do modelo devido as tensões residuais de lançamento podem ser consideradas
no modelo, pois foi implementado no AEEPECD, rotina especialmente desenvolvida
para este fim.
Para representar o duto são utilizados elementos sólidos bidimensionais quadráticos
através de um modelo equivalente (CARDOSO,2003) à seção do duto analisada. A
interação solo-duto é representada através de elementos de contato especiais conforme
descrito no capítulo 5. A discretização utilizada ao longo das análises mostradas neste
capítulo é de 1 m ao longo do eixo do duto, tanto para os elementos sólidos como para
os elementos de contato. Em algumas simulações também será utilizada uma
discretização de 0,2 m ao longo do eixo do duto, para captar de forma mais precisa a
concentrações de deformações no centro da alça de deformação.
355
Os carregamentos devido às pressões externa/interna e variação de temperatura
conforme mostrados na tabela 8.4, são aplicados de forma incremental no modelo em
vários passos de carga (Tabela 8.8). Durante o processo de carregamento, inicialmente é
aplicada a pressão externa em todo o modelo no primeiro passo de carga simulando o
processo de lançamento do duto vazio. Neste incremento não é considerada a
deformação axial gerada no duto, contribuindo a pressão externa somente para o estado
de tensões na parede do duto. No segundo passo de carga, a pressão interna máxima
(Pi=27,87 MPa) é aplicada em incrementos iguais, em todo o modelo. No terceiro passo
de carga, a variação de temperatura é aplicada também em incrementos iguais até
alcançar a variação máxima de temperatura (∆θ=60 oC). Para representar o processo de
descarregamento parcial ou total, inicialmente é considerada a parada no bombeamento
retirando-se o acréscimo de pressão interna (∆Pi=20.68 MPa) no quarto passo de carga,
mantendo somente a pressão interna devido à coluna de óleo. No quinto incremento é
retirada a carga térmica total (∆θ=60 oC) ou parcial, completando um ciclo completo.
Os demais ciclos de carregamento e descarregamento seguem a mesma descrição
fornecida acima, sendo os tempos de análise mostrados na tabela 8.8, associados sempre
à variação de temperatura somadas em módulo durante a análise.
356
Tabela 8.8 – Seqüência de aplicação do carregamento cíclico
de pressão e temperatura máximos no modelo de elementos finitos.
Sequência do Carregamento Tempo Análise
(Passo adicionando de pressão externa total)
Ciclo 1 – Passo 1: Pe
0 - 0
(Passo adicionando pressão interna total)
Ciclo 1 – Passo 2: Pe + Pi
0 - 0
(Passo adicionando variação de temperatura)
Ciclo 1 – Passo 3: Pe + Pi + ∆θ
0 - ∆θ
(Passo retirando pressão interna da bomba)
Ciclo 1 – Passo 4: Pe + (Pi - ∆Pi) + ∆θ
∆θ - ∆θ
(Passo retirando variação de temperatura)
Ciclo 1 – Passo 5: Pe + (Pi - ∆Pi)
∆θ - 2∆θ
(Passo adicionando pressão interna da bomba)
Ciclo 2 – Passo 1: Pe + Pi
2∆θ- 2∆θ
(Passo adicionando variação de temperatura)
Ciclo 2 – Passo 2: Pe + Pi + ∆θ
2∆θ- 3∆θ
(Passo retirando pressão interna da bomba)
Ciclo 2 – Passo 2: Pe + (Pi - ∆Pi) + ∆θ
3∆θ - 3∆θ
(Passo retirando variação de temperatura)
Ciclo 2 – Passo 2: Pe + (Pi - ∆Pi)
3∆θ - 4∆θ
Demais ciclos ..... .......
357
A variação de temperatura e as pressões interna/externa são consideradas constantes ao
longo de todo o modelo, devido à sua baixa taxa de variação longitudinal para os
comprimentos de expansão térmica que serão analisados.
8.5 ESTADOS LIMITES CONSIDERADOS
8.5.1 FLAMBAGEM LOCAL DE PAREDE
Para a verificação do estado limite de flambagem local de parede é utilizada a
metodologia baseada em deformações admissíveis conforme discutido no capítulo 7. O
critério de verificação baseado em esforços solicitantes por ser muito conservador como
será mostrado não será utilizado.
A metodogia de cálculo baseado em deformações admissíveis será avaliada através da
expressão proposta pela norma DNV OS-F101, por ser a mais completa na consideração
dos principais fatores iniciadores do processo de flambagem local de parede.
Para sobrepressão interna a deformação axial crítica (DNV OS-F101,2000), é definida
como:
gwhye
c fDt
αασ
ε θ 5.12 5101.078.0 −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= (8.10)
Para se obter a máxima deformação axial de projeto, deve-se dividir a deformação axial
crítica pelo coeficiente de segurança de resistência a deformação γε, conforme mostrado
abaixo:
εγε
ε cd = (8.11)
358
A deformação axial máxima de projeto se relaciona com a deformação obtida pelo
modelo de elementos finitos da seguinte forma:
cffd γγεε = (8.12)
ou, utilizando (8.12) em (8.13), temos que:
cf
cf γγγ
εε
ε
= (8.13)
onde fε é a deformação de flexão máxima admissível no duto.
O modelo de elementos finitos fornece a deformação axial total, que é composta por
uma parcela mecânica devido à flexão e outra devido a expansão térmica, sendo dada
por:
( )MEFfT θεεε += (8.14)
onde:
T∆= αεθ (8.15)
Para avaliar o estado limite de flambagem local de parede pode-se definir um parâmetro
adimensional para verificação da deformação axial máxima, da seguinte forma
( )
f
MEFfUCε
εε = (8.16)
359
ou na sua forma expandida, utilizando as equações (8.13) e (8.14), tem-se:
( )
cf
c
MEFTUC
γγγεεε
ε
θε
−= (8.17)
A expressão (8.17) será utilizada ao longo deste capítulo na verificação do estado limite
de flambagem local de parede através do critério de deformação admissível
(“displacement controlled”), considerando a condição de variação de temperatura e
pressão máximas. O valor adimensional deverá sempre estar abaixo do valor unitário
para obedecer ao critério estabelecido por norma com os coeficientes de segurança
parciais, sendo chamado neste trabalho de check unitário de deformações.
Para sobrepressão externa a deformação axial máxima de projeto (DNV OS-
F101,2000), é definida como:
1
8,0
2≤
−+
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
msc
c
ie
c
d
ppp
γγγεε
ε
(8.18)
onde:
gwhe
c Dt ααε 5.12
2 01.078.0 −
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= (8.19)
( )( )2
22
tD
fpppcppp eopelccelc =−− (8.20)
360
sendo:
2
3
2
1
2
ν−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
= eo
el
Dt
Ep ;
efabyp D
tfp 22 α= ;
eo D
DDf minmax −=
(8.21)
Seguindo as mesmas etapas feitas para sobrepressão interna, o adimensional para
verificar o estado limite de flambagem local de parede para sobrepressão externa
(pe>pi), pode ser definida como:
( )
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛−
−
−=
msc
c
ie
cf
c
MEFT
ppp
UC
γγγγγ
ε
εε
ε
θε
12
2 (8.22)
A equação (8.22) será utilizada para verificar a condição de depressurização da linha.
Nesta condição o duto fica submetido a sobrepressão externa, porém ainda aquecido.
Verifica-se que a equação para o check adimensional de sobrepressão externa
diferencia-se em relação à com sobrepressão interna (8.17), pela presença de um termo
para consideração da pressão externa, e pela retirada do termo devido à pressão interna
no cálculo da deformação axial crítica.
Nos cálculos do estado limite de flambagem local, utiliza-se uma série de coeficientes
de segurança parciais que são função da classe de segurança desejada para o duto. Para
o tipo de duto analisado que transporta hidrocarbonetos em águas profundas, a
classificação usual é de classe de segurança normal (“normal safety class”), sendo os
coeficientes de segurança utilizados para verificação pelo critério de deformação
admissível (“displacement controlled”), fornecidos na tabela abaixo.
361
Tabela 8.9 – Coeficientes de segurança parciais e fatores utilizados para
obter a deformação máxima admissível na condição carregamento
máximo e despressurização para “safety class normal” (DNV OS-F101)
Símbolo (Fator) Valor Símbolo (Coeficiente) Valor
αu 0,96 γf 1,10
αa 0,95 γc 1,07
αh 0,92 γε 2,6
αfab 1,00 γm 1,15
αgw 1,00 γsc 1,14
-------- --------- γp 1,05
Para a condição de carregamento máximo de temperatura e pressão pode-se obter a
deformação axial máxima admissível ( fε ) no modelo de cálculo, utilizando a expressão
(8.13). O termo referente a sobrepressão interna ( SMYSθσ5 ), será desconsiderado nas
verificações que serão feitas com os resultados do modelo de elementos finitos, por não
estar ainda amplamente validado (capítulo 7), e devido as variações na pressão de
bombeamento que ocorrem durante a operação do duto. Desta forma a máxima
deformação admissível no duto em estudo (Tabelas 8.1 e 8.2) após a aplicação dos
coeficientes de segurança parciais (tabela 8.9) é de 1,38%. Observa-se que para esta
deformação máxima na fibra comprimida, o duto encontra-se com praticamente toda a
seção transversal operando em regime plástico. Esta deformação só é possível devido à
baixa relação De/t do duto, que é uma característica particular de dutos submarinos
profundos, que necessitam suportar elevadas pressões externas e esforços de
lançamento.
362
SMYSθσ5Caso seja utilizado o fator referente ao efeito da sobrepressão interna a
deformação axial máxima admissível fica em torno de 3,17%, que é cerca de 2,36 vezes
maior que o valor obtido sem a sua consideração.
Para a condição de carregamento máximo de temperatura e depressurização do duto
pode-se obter a deformação axial máxima admissível ( fε ) no modelo de cálculo,
utilizando o denominador da expressão (8.22). Quando o bombeamento é interrompido
repentinamente pode-se ter dois casos. No primeiro caso o duto fica submetido a uma
sobrepressão externa dada pela diferença entre a coluna de água do mar e do óleo,
conforme pode ser visto na Figura 8.7 (cerca de 0,93 MPa). Num segundo caso possível
e mais crítico, o duto fica apenas parcialmente preenchido de óleo, estando submetido á
uma sobrepressão externa devido a coluna da água do mar sem a presença da coluna de
óleo. Na verificação do estado limite de flambagem local para sobrepressão externa será
utilizada a deformação axial máxima admissível para o segundo caso por ser mais
crítico.
A deformação admissível máxima para a condição de despressurização com o duto
aquecido, após a aplicação dos coeficientes de segurança parciais (tabela 8.9) , e sem
considerar pressão interna da coluna de óleo é de aproximadamente 0,98%
(sobrepressão externa de 8,12 MPa). Caso seja considerado que o duto permaneça
integralmente cheio de óleo após a sua despressurização (sobrepressão externa de 0,93
MPa), a deformação axial admissível passa para cerca 1,34%, sendo bem próxima da
obtida para condição de carregamento máximo sem a consideração do efeito da pressão
interna.
Observa-se que as deformações axiais máximas no duto podem alcançar valores bem
elevados sem comprometer a sua integridade estrutural para o estado limite de
flambagem local de parede. Na análise dos resultados que serão mostrados mais à frente
serão utilizadas as deformações axiais máxima para o carregamento máximo (1,38%) e
despressurização (0,98%) sem o efeito da pressão interna. As deformações axiais
admissíveis máximas calculadas serão utilizadas em conjuntos com os valores obtidos
pelos modelos de elementos finitos analisados para verificar o estado limite de
363
flambagem local de parede, utilizando-se os adimensionais fornecidos nas expressões
(8.18) e (8.23).
8.5.2 FADIGA (TERMOMECÂNICA)
Para verificar o estado limite de fadiga devido aos ciclos de aquecimento/pressurização
e desaquecimento/despressurização é necessário calcular a variação de tensão axial
máxima de cada bloco de tensão significativo existente ao longo da vida útil do duto. A
fadiga em dutos aquecidos em geral é de baixo ciclo, por ter um número de ciclos bem
inferior aos geralmente utilizados quando se utilizam às curvas de fadiga SN.
Como discutido no item referente à fadiga no Capítulo 7, pode-se utilizar as curvas SN
usuais para fadiga de alto ciclo, desde que se limite o valor máximo da variação de
tensão axial, evitando-se a ocorrência do efeito de Bauschinger e conseqüentemente
acúmulo de deformações plásticas (“ratheching”).
A norma BS 7608 limita a variação máxima de tensão a ser utilizada nas curvas SN (por
ela fornecida), em 1.6SMYS. A norma DNV RP-C203 utilizada neste trabalho na
verificação do estado limite de fadiga é omissa neste ponto não fornecendo qualquer
informação sobre a variação máxima de tensão que pode ser utilizada na aplicação das
curvas SN para o cálculo da fadiga.
A limitação da variação de tensão axial máxima para evitar o efeito de Bauschinger já
descrita (capítulo 7), é fornecida novamente abaixo:
2
4312 ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−≤∆
yBc f
σσ
σ θ (8.23)
364
Onde o fator utilizado para medir o efeito de Bauschinger, que deve ser medido
experimentalmente, será adotado igual a 0,8 neste trabalho (CARR, 2001g).
A verificação de fadiga baseando-se nas curvas SN, é feita calculando-se o dano
acumulado a partir da fórmula de Palmgren-Miner
Bf
( )fatD . Na análise dos resultados que
serão mostrados mais a frente, utiliza-se um adimensional de fadiga (check unitário),
dividindo-se o dano acumulado pelo dano máximo admissível (função da classificação
dada ao duto DNV OS-F101), conforme mostrado abaixo:
fat
fatfad
DUC
α= (8.24)
Para a seção do duto analisada neste capítulo (Figura 8.1) como estudo de caso serão
analisados dois carregamentos típicos para a verificação de fadiga.
No primeiro caso será verificado o estado limite de fadiga para as condições de
carregamento e descarregamento máximos existentes (“shutdown” completo), seguindo
os passos de carregamento fornecidos na tabela 8.8. Será considerado um ciclo
completo de carregamento e descarregamento por semestre para uma vida útil do duto
de 30 anos, totalizando 60 ciclos completos.
No segundo caso será verificado o estado limite de fadiga para as condições de
carregamento máximo e descarregamento parcial, seguindo os passos fornecidos na
tabela 8.8, alterando-se apenas o descarregamento da temperatura, que será de 20% do
seu valor máximo (12oC). Será considerado um ciclo completo de carregamento com
descarregamentos parciais por semana para uma vida útil do duto de 30 anos,
totalizando 1440 ciclos completos.
Como o duto possui revestimento de isolamento anti-corrosivo e térmico, foram
consideradas as curvas de fadiga (DNV RP-C203) no ar, considerando o revestimento
com alto grau de integridade durante a vida útil do duto. Caso o duto perca a integridade
do revestimento, a vida a fadiga é severamente afetada devendo-se utilizar curvas de
365
fadiga na água do mar, para a verificação de fadiga na parte externa da solda, o que
diminui a vida a fadiga de 2 a três vezes em relação à verificada no ar. Para a
verificação de vida a fadiga na parte interna da solda os cálculos realizados permanecem
os mesmos, desde que o fluído transportado não contenha substâncias que tornem o
meio agressivo, conforme descrito no item 7.2.1.4.
Para a seção do duto analisado, a condição de fadiga mais crítica, considerando que o
revestimento mantenha sua integridade ocorre no ponto interno da solda (“weld root”).
Desta forma considerando um desalinhamento máximo na solda de 2 mm, a curva de
fadiga mais crítica é a F1, que será utilizada neste capítulo para verificar a fadiga
termomecânica do duto.
É interessante observar que o número de ciclos avaliados neste capítulo (máximo de
1440), não aparece nas curvas de fadiga fornecidas nas normas, pois estas são feitas em
geral para fadiga de alto ciclo começando com 10000 ciclos. Entretanto, pode-se utilizar
diretamente as equações das curvas de fadiga na extrapolação para o número de ciclos
desejado, desde que se limite a variação máxima da tensão axial conforme a equação
(8.24).
Para o carregamento máximo na seção do duto analisada (tabelas 8.1, 8.2 e 8.4), pode-se
calcular a variação máxima da tensão axial utilizando (8.23), que resulta num valor em
torno de 700 MPa, sendo este o limite máximo para a variação da tensão axial para que
os resultados utilizando as curvas SN sejam válidos.
366
8.6 DUTO SOBRE O PISO MARINHO
Dutos lançados sobre o piso marinho possuem imperfeições naturais devido ao processo
de lançamento e batimetria do fundo do mar ao longo de sua rota. Caso sejam
submetidos a altas temperaturas e pressões, o esforço axial de compressão induzido pela
reação axial do solo, combinado às imperfeições existentes, induzirão o processo de
flambagem termomecânica em vários pontos ao longo de sua rota (Figura 8.25). Os
pontos onde ocorrerão as flambagens termomecânicas são de difícil previsão, pois
dependem de vários fatores tais como interação solo-duto, vãos-livres, imperfeições
laterais e verticais, entre outros que inserem várias incertezas no modelo.
Figura 8.25 – Flambagems termomecânicas para duto apoiado
sobre o piso marinho, e comprimentos de expansão térmica de cada alça
Devido à dificuldade para determinar a posição dos pontos que irão sofrer flambagem
termomecânica em dutos submarinos, em geral é feita uma avaliação inicial
conservativa dos esforços atuantes, considerando o máximo comprimento de expansão
térmica da alça, que é dada pela capacidade do atrito axial no contato solo-duto de
ancorar os deslocamentos axiais devido à expansão térmica.
367
A Figura 8.26 mostra novamente o perfil de esforço axial efetivo ao longo do duto
analisado para a variação máxima de temperatura e pressão. A avaliação do
comprimento de expansão térmica é feita através de soluções analíticas fechadas
(ANEXO D), que permitem calcular o esforço axial efetivo na alça de deformação após
a flambagem, sendo o comprimento de expansão térmico (CET) dado pelo comprimento
necessário para o atrito axial ancorar o duto.
Figura 8.26 – Comprimento de expansão térmica (CET) máximo trecho de duto
analisado (seção 2) para as variações máxima de pressão e temperatura.
No acaso analisado supondo um flambagem isolada no meio da seção analisada, o
comprimento de expansão térmica poderia alcançar valores próximos a 11 KM.
Verifica-se na realidade que comprimentos como este são exagerados e irreais, visto que
o duto irá ter varias locações com imperfeições iniciais em sua geometria. Na Figura
8.26 também são mostradas as cargas críticas para flambagem lateral, para dois
coeficientes de atrito lateral, utilizando o modelo de Hobbs (HOBBS,1981/1989) para
dutos retos, mostrando que praticamente todo o duto esta sujeito a flambagem
termomecânica. Caso sejam utilizadas expressões como (8.9), que considerem o efeito
da curvatura, as cargas mostradas tendem a ser ainda menores.
368
Os comprimentos de expansão térmica da ordem do mostrado na Figura 8.26, para o
nível de carregamento existente e coeficientes de atrito obtidos no item 8.1.3, tornam a
flambagem termomecânica em dutos submarinos um grande problema para a sua
integridade estrutural, como será visto adiante.
8.6.1 VALIDAÇÃO DO MODELO NUMÉRICO
Antes de avaliar os estados limites para dutos aquecidos utilizando os modelos
implementados, serão feitas algumas comparações entre os resultados obtidos entre com
o simulador AEEPECD objeto desta tese e o simulador ABAQUS, utilizado nas
validações ao longo deste trabalho.
O modelo analisado neste item, possui CET=2000m e os dados do duto e carregamento
utilizados são definidos nas tabelas 8.1, 8.2 e 8.4. A geometria utilizada nos modelos
numéricos é mostrada na Figura 8.22. Na representação da interação solo-duto utiliza-se
um modelo plástico-perfeito com coeficientes de atrito axial e lateral de 0,38 e 1,05
respectivamente.
O fenômeno de flambagem termomecânica de dutos aquecidos por envolver não-
linearidades físico-geométrica, é de difícil comparação com modelos analíticos que
possuem uma série de simplificações na obtenção de suas equações.
O modelo analítico mais conhecido para a análise do fenômeno de flambagem em dutos
aquecidos foi desenvolvido por HOBBS (1981,1989), possuindo uma série de hipóteses
simplificadoras. Porém como será visto é de grande utilidade para uma avaliação inicial
de flambagem termomecânica. O modelo analítico de Hobbs esta detalhado no ANEXO
D, incorporando em suas equações uma modificação para considerar o efeito da pressão
interna conforme descrito no capítulo 6. Serão utilizados os modelos de Hobbs com
comprimento infinito (HOBBS,1981) e limitado (HOBBS,1989), onde o comprimento
de expansão térmica (CET), pode ser definido. As principais hipóteses simplificadoras
do método de Hobbs estão explicadas no ANEXO D, porém a principal limitação do
369
modelo, pois influencia diretamente nas comparações que serão feitas, é que o material
do duto é considerado como elástico, que é uma grande limitação do modelo como será
visto.
Inicialmente serão mostrados resultados de comparações do modelo numérico do
AEEPECD considerando o material do duto elástico com a solução analítica, para
comparar ambos os resultados com as hipóteses mais semelhantes possíveis. Depois
serão comparados os resultados analíticos com os numéricos considerando a
plasticidade do material do duto. A título de informação serão mostrados os resultados
do modelo de Hobbs infinito.
A Figura 8.28 mostra a deformada para o carregamento máximo de temperatura e
pressão. O modelo de Hobbs limitado (CET=2000 m) apresenta uma diferença
significativa em relação ao resultado numérico, provavelmente devido ao histórico de
solicitação não linear imposto ao elemento de solo, e também pelo fato das equações do
modelo analítico serem válidas apenas para pequenas rotações.
Figura 8.28 – Comparação entre os deslocamentos laterais ao longo do duto obtidos
com as soluções analítica e numérica (elástica), para ∆θ=60 oC e Pi=27,87 MPa
370
Nas Figuras 8.29 e 8.30 são mostradas as deformações axiais e tensões de von Mises ao
longo do duto para o carregamento máximo de temperatura e pressão, podendo-se
observar novamente uma certa diferença entre o modelo numérico (AEEPECD com
duto elástico), principalmente para a tensão de von Mises.
Figura 8.29 – Comparação entre as deformações axiais ao longo do duto obtidas com as
soluções analítica e numérica (elástica), para ∆θ=60 oC e Pi=27,87 MPa.
371
Figura 8.30 – Comparação entre as tensões de von Mises ao longo do duto obtidas com
as soluções analítica e numérica (elástica), para ∆θ=60 oC e Pi=27,87 MPa.
A Figura 8.31 mostra a deformada para o carregamento máximo de temperatura e
pressão, nos modelos numéricos (AEEPECD duto com plasticidade) e analítico de
Hobbs limitado (CET=2000 m). Verifica-se novamente uma diferença significativa
entre os resultados numéricos e analíticos, pelos mesmos motivos dados anteriormente
acrescidos do efeito da plasticidade no material do duto.
372
Figura 8.31 – Comparação entre os deslocamentos laterais ao longo do duto obtidos
com as soluções analítica e numérica (elasto-plástica), para ∆θ=60 oC e Pi=27,87 MPa.
Nas Figuras 8.32 e 8.33 são mostradas as deformações axiais e tensões de von Mises ao
longo do duto para o carregamento máximo de temperatura e pressão, podendo-se
observar a concentração de deformações na região central da alça devido a plastificação
da seção do duto.
373
Figura 8.32 – Comparação entre as deformações axiais ao longo do duto, obtidas com as
soluções analítica e numérica (elasto-plástica), para ∆θ=60 oC e Pi=27,87 MPa,
Figura 8.33 – Comparação entre as tensões de von Mises ao longo do duto com as
soluções analítica e numérica (elasto-plástica), para ∆θ=60 oC e Pi=27,87 MPa
374
Os resultados comparando as soluções analítica (Hobbs) e numérica (AEEPECD),
mostram que a primeira fornece resultados mais elevados para o caso do duto elástico,
porém apresentando variações relativamente grandes, porém aceitáveis do ponto de
vista de engenharia numa avaliação inicial. A inserção do efeito da plasticidade do
material do duto modifica pouco o comportamento global do duto (deformada), porém
concentra as deformações no ponto mais solicitado do modelo, devido a plastificação do
material.
Nas simulações numéricas mostradas acima foi utilizado um refinamento na direção
axial de 1 metro, suficiente para representar a curvatura global do duto durante o
processo de flambagem. Quando o nível de plastificação for muito elevado, o
refinamento da malha deve ser menor para capturar o pico de deformação de forma
precisa.
A seguir serão comparados os resultados obtidos com os simuladores AEEPECD e
ABAQUS, para o mesmo modelo apresentado acima com CET=2000 m. No AEEPECD
são utilizados elementos de contínuo equivalentes para representar o duto e elementos
de contato nas faces para modelar a interação com o solo. O elemento de contato
representa a interação com o solo de forma contínua conforme mostrado no capítulo 5.
O modelo utilizado no ABAQUS considera elementos de PIPE para representar o duto,
e molas elastoplásticas concentradas aplicadas aos nós do modelo.
A figura 8.34 mostra a deformada do modelo do AEEPECD após uma análise de
flambagem termomecânica, onde podem ser visualizados os elementos utilizados para
representar o duto e o solo. A Figura 8.35 mostra o modelo de elementos finitos
utilizado no ABAQUS para representar o duto (viga com seção do tipo “PIPE”) e o solo
(molas elastoplásticas).
375
Figura 8.34 – Malha de elementos finitos mostrando deformada e elementos
de contínuo (duto) e contato nas faces laterais (solo) utilizado no modelo do AEEPECD
Figura 8.35 – Malha de elementos finitos mostrando elementos
de mola (solo) e de pipe (duto) utilizado no modelo do ABAQUS
376
Foram comparados inicialmente os modelos do AEEPECD e ABAQUS, utilizando uma
malha com discretização de metro em metro na direção axial. O modelo do ABAQUS
considera o coeficiente de atrito lateral igual tanto no carregamento como
descarregamento do elemento de solo, já no modelo do AEEPECD a curva de reação
do solo pode ser fornecida de forma mais genérica, considerando diferentes valores
durante o carregamento e descarregamento do solo (Figura 8.22). Foram gerados dois
modelos no AEEPECD; o primeiro considerando o atrito lateral nulo durante o
descarregamento do elemento de solo (µL2=0,00), e o segundo considerando o atrito
durante o descarregamento igual ao do carregamento (µL2=1,05), como no ABAQUS.
A Figura 8.36 mostra a deformada para o carregamento máximo de temperatura e
pressão, nos modelos do AEEPECD e ABAQUS. O modelo do AEEPECD com
µL2=1,05, forneceu como era de se esperar um bom resultado comparado ao modelo do
ABAQUS, verificando-se apenas uma certa diferença na alça de deformação secundária.
É interessante observar o efeito do coeficiente de atrito secundário (descarregamento),
mesmo para uma simulação de carregamento de temperatura e pressão. Isto ocorre
devido ao processo de abertura da alça de deformação central durante o processo de
flambagem, que causa uma inversão do carregamento existente sobre os elementos de
solo na região entre a alça de deformação central e secundária.
377
Figura 8.36 – Comparação entre os deslocamentos laterais ao longo do duto
obtidos com AEEPECD e ABAQUS, para ∆θ=60 oC e Pi=27,87 MPa.
A Figura 8.37 mostra a tensão de von Mises ao longo do duto para o carregamento
máximo de temperatura e pressão. Observa-se uma boa aderência entre os resultados,
havendo uma certa diferença nas alças secundárias devido a diferença de curvatura
observada na Figura 8.36.
A Figura 8.38 mostra reação lateral do solo por metro ao longo do duto para o
carregamento máximo de temperatura e pressão. A reação lateral do solo obtida com o
AEEPECD mostrada utilizou µL2=1,05. Observa-se novamente boa aderência entre os
resultados, ocorrendo alguma discrepância somente nas alças secundárias. A reação
lateral do AEEPECD é plotada nas faces laterais do duto (superior e inferior), pois são
considerados elementos de contato em cada face do modelo.
378
Figura 8.37 – Comparação entre as tensões de von Mises ao longo do duto
obtidos com AEEPECD e ABAQUS, para ∆θ=60 oC e Pi=27,87 MPa
Figura 8.38 – Comparação entre reações laterais de solo ao longo do duto
obtidos com AEEPECD (µL2=1,05) e ABAQUS, para ∆θ=60 oC e Pi=27,87 MPa.
379
Para verificar a diferença existente na alça secundária entre os modelos do AEEPECD e
ABAQUS, foi gerado um modelo mais refinado, considerando uma discretização axial
de 0,2 m nos primeiros duzentos metros do modelo a partir do eixo de simetria.
A Figura 8.39 mostra a deformada para o carregamento máximo de temperatura e
pressão, nos modelos do AEEPECD com 1 e 0,2 metros e ABAQUS com 0,2 metros.
Com a nova discretização adotada verificou-se uma ótima aderência entre os resultados
obtidos com os dois simuladores. Observa-se também que os resultados obtidos com o
AEEPECD, foram praticamente os mesmos tanto para a discretização de 1 m como de
0,2 m. Tal fato deve-se ao elemento de contato que representa a reação do solo de forma
distribuída (CAPÍTULO 5).
Figura 8.39 – Deslocamentos laterais ao longo do duto obtidos com AEEPECD e
ABAQUS, para ∆θ=60 oC e Pi=27,87 MPa, com discretização 0,2 e 1,0 m.
As Figuras 8.40, 8.41 e 8.42 mostram a tensão de Von Mises, deformação axial e reação
lateral por metro, observando-se novamente uma aderência bem melhor entre os
resultados dos dois simuladores, que a verificada anteriormente para a discretização na
direção axial de 1 metro.
380
Figura 8.40 – Tensões de von Mises ao longo do duto obtidos com AEEPECD e
ABAQUS, para ∆θ=60 oC e Pi=27,87 MPa, com discretização de 0,2 e 1,0 m.
Figura 8.41 – Deformação axial ao longo do duto obtidos com AEEPECD (µL2=1,05) e
ABAQUS, para ∆θ=60 oC e Pi=27,87 MPa, utilizando malha com 0,2 m.
381
Figura 8.42 – Reações laterais de solo ao longo do duto obtidos com AEEPECD
(µL2=1,05) e ABAQUS, para ∆θ=60 oC e Pi=27,87 MPa, utilizando malha com 0,2 m.
382
8.6.2 DETERMINAÇÃO DO COMPRIMENTO DE EXPANSÃO TÉRMICO (CET) MÁXIMO
Conforme explicado anteriormente, comprimentos de expansão térmica muito elevados,
como o mostrado na Figura 8.27, podem por em risco a operação de dutos submetidos à
flambagem termomecânica.
Desta forma inicialmente é avaliado utilizando o simulador AEEPECD com modelos de
diferentes extensões, qual o comprimento de expansão térmica (CET) máximo aceitável
em uma alça de deformação após a flambagem termomecânica no caso de estudo
analisado.
Foram selecionados a partir de análises preliminares comprimentos de expansão térmica
de 1000, 2000 e 3000 m. O comprimento máximo de expansão térmica (CET) será
definido utilizando o critério de deformações admissíveis, conforme descrito no item
8.3.1.1, para diferentes coeficientes de atritos laterais na condição máxima de
carregamento.
A Figura 8.43 mostra o check unitário para o estado limite de flambagem local na
condição de carregamento máximo de pressurização e temperatura, conforme descrito
no item 8.3.1.1, em função dos coeficientes de atrito laterais para 60 oC de variação de
temperatura nos modelos analisados. Observa-se que o CET máximo, para o coeficiente
de atrito lateral de 1,05 (máximo calculado no item 8.3), é de aproximadamente 2000 m.
Utilizando o critério de esforços solicitantes (classe de segurança normal DNV OS F-
101) associado ao método de Hobbs limitado (ANEXO D), pode-se determinar o CET
máximo do duto em função do atrito lateral para a condição de operação máxima do
duto. A Figura 8.43 mostra que para o coeficiente de atrito lateral de 1,05 o CET
máximo é de aproximadamente 250 m, utilizando o critério de esforços solicitantes
contra de 2100 m para o critério de deformações, mostrando os ganhos da utilização de
uma metodologia em relação à outra. Apesar de haver ganhos significativos com a
utilização do critério de deformação admissível, o valor do CET máximo ainda é bem
inferior ao CET máximo possível mostrado na Figura 8.27 (11000 m).
383
Figura 8.43 – CET máximo (∆θ=60 oC e Pi=27,87 MPa), para diferentes
atritos laterais, considerando Check unitário=1, para os critérios de
deformação e esforços solicitantes (DNV OS-F101).
A utilização de dutos submarinos aquecidos em águas profundas, esta se tornando cada
vez mais comum, devido às recentes descobertas de óleos “pesados”. Para resolver este
problema a indústria offshore mundial esta estudando alternativas que permitam atenuar
os efeitos causados pela flambagem termomecânica. Como em águas profundas é
economicamente e as vezes até tecnicamente inviável enterrar o duto, as soluções que
estão em fase incipiente de utilização visam limitar o CET do duto e o coeficiente de
atrito lateral, para que ocorram uma série de flambagens chamadas de controladas
possibilitando a utilização de dutos submarinos para escoamento de produtos aquecidos.
Mesmo utilizando soluções para controlar a flambagem termomecânica os valores de
CET obtidos com critérios que excluam a possibilidade de plastificação do duto, são
muito baixos sendo inviáveis na prática.
384
8.6.3 SIMULAÇÃO DO COMPORTAMENTO ESTRUTURAL DE DUTOS AQUECIDOS SUBMETIDOS A CARREGAMENTOS CÍCLICOS
Neste item será avaliado o comportamento estrutural do duto analisado submetido à
carregamentos cíclicos de temperatura e pressão. Será verificado com os modelos
implementados no AEEPECD, o comportamento estrutural do duto para os estados
limites de flambagem local e fadiga considerando um CET de 2000 m. Os dados
utilizados são os mesmos dos itens anteriores fornecidos nas tabelas 8.1, 8.2 e 8.3.
8.6.3.1 SIMULAÇÃO DA CONDIÇÃO DE PARADA TOTAL – MODELO “BÁSICO”
Neste item será avaliado o comportamento estrutural do duto analisado para 10 ciclos de
carregamentos e descarregamentos completos, ou seja para as condições máximas e
mínimas de carregamento de temperatura e pressão, conforme descrito na tabela 8.8.
Inicialmente será avaliado o comportamento estrutural da seção de duto estudada
(Figura 8.1), para um modelo de interação solo-duto, considerando o solo com
comportamento plástico perfeito, conforme mostrado na Figura 8.22. Nas análises
realizadas é variado o coeficiente de atrito lateral máximo (µL=1,05) calculado no item
8.3. O elemento de solo utilizado no AEEPECD permite considerar uma curva de
interação solo-duto bem genérica, avaliando-se inicialmente o efeito de coeficientes de
atrito diferenciados durante o carregamento e descarregamento, e seus efeitos nos
resultados obtidos.
385
A Figura 8.44 mostra a evolução do deslocamento lateral no ponto central da alça de
deformação, considerando µL1=1,05 e µL2=1,05*(0, 0,5 e 1,0). Observa-se claramente o
efeito do coeficiente de atrito lateral secundário (µL2) na evolução do deslocamento do
duto. No modelo com coeficiente de atrito secundário nulo, o duto apresenta um
comportamento bem mais estável em relação aos modelos com este coeficiente de atrito
diferente de zero, onde o deslocamento apresenta tendência de crescimento muito
acentuada ao longo dos ciclos de carregamento e descarregamento.
Figura 8.44 – Deslocamento no ponto central da alça para 10 ciclos completos
de ∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa, para µL1=1,00*1,05 e µL2 variável.
A Figura 8.45 mostra a evolução do deslocamento lateral no ponto central da alça de
deformação, considerando µL1=1,50 e µL2=1,05*(0, 0,5 e 1,0). Neste caso o duto
apresenta um comportamento estável para todos os caso analisados.
386
Figura 8.45 – Deslocamento no ponto central da alça para 10 ciclos completos
de ∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa, para µL1=1,50*1,05 e µL2 variável.
As Figuras 8.46 e 8.47 mostram a deformada do duto para a condição de carregamento
máxima nos ciclos 1, 5 e 10, considerando respectivamente µL1=1,05/µL2=0,00 e
µL1=1,05/µL2=1,05. Pode-se observar que com o atrito secundário nulo a alça de
deformação evolui aumentando o vão principal, porém mantendo o modo 3 de
flambagem. Já no caso com os atritos principal e secundário iguais, observa-se que a
alça de deformação principal tende a “abrir” de forma bem mais acentuada, evoluindo
para um modo 1 de flambagem, devido a restrição imposta ao movimento do duto
durante o descarregamento de temperatura e pressão.
387
Figura 8.46 – Deformada do duto durante 10 ciclos para carregamento
máximo ∆θ=60 oC e Pi=27.87 MPa, para µL1=1,00*1,05 e µL2 =0,00.
Figura 8.47 – Deformada do duto durante 10 ciclos para carregamento
máximo ∆θ=60 oC e Pi=27.87 MPa, para µL1=1,00*1,05 e µL2 =1,00*1,05.
388
As Figuras 8.48 e 8.49 mostram a deformação axial ao longo do duto para a condição de
carregamento máxima nos ciclos 1, 5 e 10, considerando respectivamente
µL1=1,05/µL2=0,00 e µL1=1,05/µL2=1,05. Pode-se observar um relaxamento da
deformação axial em ambos os casos ao longo da alça. No centro da alça o pico de
deformação também sofre um relaxamento, porém relativamente pequeno devido ao
elevado nível de plastificação.
Figura 8.48 – Deformação axial ao longo do duto durante 10 ciclos para carregamento
máximo ∆θ=60 oC e Pi=27.87 MPa, para µL1=1,00*1,05 e µL2 =0,00.
389
Figura 8.49 – Deformação axial ao longo do duto durante 10 ciclos para carregamento
máximo ∆θ=60 oC e Pi=27.87 MPa, para µL1=1,00*1,05 e µL2 =1,00*1,05.
A Figura 8.50 mostra a deformação axial na fibra comprimida no centro da alça de
deformação considerando µL1=1,05 e µL2 variável. Pode-se observar um pequeno
relaxamento da deformação axial conforme comentado acima. Porém o mais importante
é verificar o efeito do coeficiente de atrito secundário no pico de deformação para a
condição de carregamento máximo. Verifica-se uma diferença de até 25% entre o
modelo sem atrito secundário e com atrito principal e secundário iguais.
390
Figura 8.50 – Deformação axial durante 10 ciclos completos
de ∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa, para µL1=1,00*1,05 e µL2 variável.
A Figura 8.51 mostra o “check” unitário de deformação (item 8.5.1) no centro da alça
de deformação, considerando µL1=1,05 e µL2 variável. O adimensional de deformação é
verificado para as condições de carregamento máximo (temperatura e pressão) e para a
condição de despressurização da linha. Observa-se que a condição de despressurização é
mais crítica, já que a deformação axial durante a despressurização da linha cai pouco em
relação à condição de carregamento máxima.
A Figura 8.52 mostra o “check” unitário de deformação (item 8.5.1) no centro da alça
de deformação, considerando µL1 e µL2 variáveis no primeiro ciclo para os
carregamentos máximos de temperatura e pressão.
391
Figura 8.51 – Check unitário (deformação) durante 10 ciclos completos
de ∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa, para µL1=1,00*1,05 e µL2 variável.
Figura 8.52 – Check unitário (deformação) para o carregamento máximo
do ciclo 1 ∆θ=60 oC e Pi=27.87 MPa, para µL1 e µL2 variáveis.
392
Os resultados considerando atritos laterais diferentes durante o carregamento e
descarregamento do elemento de solo, mostram sua importância na determinação da
evolução da deformada do duto ao longo de vários ciclos de carregamento e
descarregamento. O modelo considerando atrito lateral durante o descarregamento
fornece resultados incompatíveis com os verificados na realidade, pois o deslocamento
lateral do duto tende a se estabilizar em poucos ciclos (CARR,2004f) devido ao
processo de formação de valas submarinas no leito marinho escavadas pelo duto durante
o processo de ciclagem. As reações de solo podem alcançar valores bem superiores aos
avaliados até aqui (BOLTON et al.,2004), quando o duto entra em contato com o solo
deslocado que forma a vala no piso marinho.
Mais a frente será avaliado o efeito das valas escavadas no piso marinho no
comportamento estrutural de dutos aquecidos submetidos à carregamentos cíclicos de
temperatura e pressão.
A Figura 8.53 mostra a tensão axial no ponto mais crítico da alça de deformação,
considerando µL1=1,00*1,05 e µL2 variável, podendo-se observar o “relaxamento” da
tensão ao longo dos ciclos de carregamento e descarregamento. Observa-se a elevada
variação de tensão axial gerada pela variação de temperatura e pressão no duto, mesmo
limitando o CET do duto em 2000 m.
A Figura 8.54 mostra para os modelos simulados, a variação de tensão axial no ponto
mais crítico da alça de deformação, considerando µL1 e µL2 variáveis, podendo-se
observar o que o modelo sem atrito forneceu variação de tensão mais elevada no
primeiro ciclo. Para evitar o efeito de Bauschinger (Capítulo 4), a variação máxima de
tensão axial deve ser limitada. Utilizando a expressão (8.24), obtêm-se cerca de 700
MPa para a variação máxima de tensão axial. Para as condições de carregamento e CET
analisados neste estudo, a variação de tensão axial máxima é alcançada para o
coeficiente de atrito lateral em torno de 1,2.
393
Figura 8.53 – Tensão axial durante 10 ciclos com descarregamento completo
de ∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa, para µL1=1,00*1,05 e µL2 variável.
Figura 8.54 – Variação de tensão no ciclo 1 devido ao descarregamento
completo de ∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa, para µL1 e µL2 variáveis.
394
A Figura 8.55 mostra para os modelos simulados, o “check” unitário para verificação de
fadiga conforme mostrado no item 8.3.1.2, considerando µL1 e µL2 variáveis. Verifica-se
que para a condição de carregamento e CET avaliados, os ciclos de carregamento e
descarregamento de temperatura e pressão consomem no máximo cerca de 16% da vida
à fadiga do duto para µL1=1,05. É interessante observar o efeito do coeficiente de atrito
lateral secundário, que fornece resultados variando de 20 a 40% em relação à simulação
considerando este igual a zero.
Figura 8.55 – Check unitário (fadiga n=60) no ciclo 1 devido ao descarregamento
completo de ∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa, para µL1 e µL2 variáveis.
Por tratar-se de um duto submarino de exportação, o número de paradas tende a ser o
menor possível para não gerar uma paralização na produção. O número de ciclos com
descarregamentos completos é relativamente pequeno (60 ciclos), caso o número de
ciclos aumente, dobrando por exemplo, a vida a fadiga decairá na mesma proporção
dobrando o “check” unitário de fadiga (expressão 8.25). Em casos onde o número de
ciclos seja mais elevado a fadiga pode ser um estado limite crítico no dimensionamento.
395
No cálculo da vida à fadiga foram consideradas as curvas SN no ar, sendo a curva F1 a
mais crítica no caso analisado (item 8.3.1.2). Caso o óleo transportado seja contaminado
por água marinha deve-se utilizar as curvas SN em ambiente marinho, o que em geral
fornece uma vida à fadiga de 2 a 3 vezes menor que no ar.
A Figura 8.56 mostra o “check” unitário de fadiga para µL1 e µL2 variáveis utilizando as
curvas de fadiga em ambiente marinho, observa-se que a o “check” unitário passou de
algo em torno de 16% para 46% para o coeficiente de atrito lateral máximo (1,05),
fornecendo valores bem mais críticos.
Figura 8.56 – Check unitário (fadiga n=60) no ciclo 1 devido ao descarregamento
completo de ∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa, para µL1 e µL2 variáveis, considerando
ambiente marinho.
396
É importante também avaliar a existência ou não de exposição a ambientes agressivos
(H2S, CO2), que podem reduzir drasticamente a vida a fadiga (Capítulo 7), de forma
bem mais acentuada que o ambiente marinho avaliado acima.
A Figura 8.57 mostra o “check” unitário de fadiga para µL1 variável e µL2=1,05*(0,0 e
0,50) para o primeiro e décimo ciclo de carregamento, podendo-se observar o
relaxamento das tensões. O relaxamento de tensões é bem mais acentuado no modelo
com coeficiente de atrito lateral secundário nulo, como era de se esperar.
Figura 8.57 – Check unitário (fadiga n=60) nos ciclos 1 e 10 devido ao descarregamento
completo de ∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa, para µL1 variável e µL2=1,05*(0,0 e 1,00).
397
8.6.3.2 SIMULAÇÃO DA CONDIÇÃO DE PARADA PARCIAL – “MODELO BÁSICO”
Neste item será avaliado o comportamento estrutural do duto analisado para 10 ciclos de
carregamentos e descarregamentos parciais, para o mesmo modelo mostrado no item
anterior. O modelo considera a mesma variação de pressão do item anterior (∆P=20,68
MPa), porém com uma variação de 12 oC na temperatura máxima operacional
(∆θmax=60 oC), visando representar paradas parciais de algumas horas na operação do
duto, que não são suficientes para diminuir totalmente a temperatura na parede do duto.
As Figuras 8.58 e 8.59 mostram a evolução do deslocamento lateral no ponto central da
alça de deformação, considerando µL1=1,05 e 0,52 com µL2 variável. Observa-se
claramente o efeito do coeficiente de atrito lateral durante o descarregamento na
evolução do deslocamento do duto. Nos modelos com coeficiente de atrito secundário
diferente de zero os deslocamentos crescem indefinidamente mesmo para
carregamentos e descarregamentos parciais.
Figura 8.58 – Deslocamento máximo durante 10 ciclos com parada parcial de
∆θ=12 oC e ∆P=20,68 MPa (∆θmax=60 oC), para µL1=0,50*1,05 e µL2 variável.
398
Figura 8.59 – Deslocamento máximo durante 10 ciclos com parada parcial de
∆θ=12 oC e ∆P=20,68 MPa (∆θmax=60 oC), para µL1=1,00*1,05 e µL2 variável.
A Figura 8.60 mostra a tensão axial no ponto mais crítico da alça de deformação,
considerando µL1=1,00*1,05 e µL2 variável, podendo-se observar o “relaxamento” da
tensão ao longo dos ciclos de carregamento e descarregamento. Neste caso
diferentemente do descarregamento completo avaliado no item anterior, a variação de
tensão mais crítica ocorreu no modelo com coeficiente de atrito secundário mais
elevado (1,05).
A Figura 8.61 mostra o “check” unitário de fadiga para µL1 variável e µL2=1,05*(0,0 e
0,50) para o primeiro e décimo ciclo de carregamento, podendo-se observar o
relaxamento das tensões. O relaxamento de tensões novamente é maior no modelo com
coeficiente de atrito lateral secundário nulo.
399
Figura 8.60 – Tensão axial durante 10 ciclos com parada parcial de
∆θ=12 oC e ∆P=20,68 MPa (∆θmax=60 oC), para µL1=1,00*1,05 e µL2 variável.
Figura 8.61 – Check unitário (fadiga n=1440) nos ciclos 1 e 10 devido à parada
parcial de ∆θ=12 oC e ∆P=20,68 MPa (∆θmax=60 oC), para µL1 e µL2 variáveis.
400
Verifica-se que para a condição de carregamento e CET avaliados, os ciclos de
carregamento e descarregamento de temperatura e pressão consomem no máximo cerca
de 7% da vida à fadiga do duto.
O número de ciclos com paradas parciais é de um por semana totalizando 1440 ciclos
durante a vida útil do duto. As observações feitas no item anterior para as simulações
com paradas completas são válidas para a o cálculo da vida à fadiga com paradas
parciais.
401
8.6.3.3 SIMULAÇÃO DA CONDIÇÃO DE PARADA TOTAL – SOLO COM PICO DE RESISTÊNCIA INICIAL
Um importante efeito a ser considerado na interação solo-duto é o pico de resistência
inicial que pode ocorrer, quando o duto consegue “escapar” da cavidade gerada pelo seu
enterramento inicial. A figura 8.62 mostra um duto com um enterramento inicial, que
depois de determinado deslocamento sai da sua cavidade inicial, movendo-se sobre o
piso marinho com um enterramento inferior ao inicial. Este comportamento só ocorrerá
caso o peso submerso do duto não seja capaz de mantê-lo dentro da vala formada pelo
seu deslocamento, conforme visto no capítulo 5.
Figura 8.62 – Duto saindo da cavidade do enterramento inicial
Para avaliar o efeito do pico de resistência inicial sobre o comportamento estrutural de
dutos aquecidos, expressões analíticas baseadas em ajustes de dados experimentais
foram desenvolvidas, podendo-se citar entre as principais a desenvolvida por VERLEY
(2000) (capítulo 5), e obtida por BOLTON et al. (2004), mostrada na expressão 8.25.
Estas expressões são sujeitas a várias incertezas tendo aplicação muito limitada
(BOLTON et al.,2004). Para a avaliação da ocorrência ou não deste fenômeno, testes
experimentais para as condições específicas de resistência de solo, peso submerso,
diâmetro, etD.. devem ser realizados para uma avaliação mais confiável.
402
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
2
)(08.0
28.3)(625.0)(
eou
s
e
oeouob DzS
WDz
DzSzF (8.25)
No caso específico analisado neste trabalho, utilizando a expressão (8.25) com os
enterramentos máximos obtidos no item (8.3), a partir dos perfis de resistência não-
drenada representativos do solo (Figura 8.12), pode-se obter coeficientes de atrito
laterais iniciais máximos em torno de 2, ou seja praticamente o dobro do valor máximo
calculado no item (8.3).
A Figura 8.63 mostra o modelo utilizando para a curva de reação do solo com acréscimo
no atrito lateral inicial, que será avaliado nas simulações numéricas feitas a seguir.
Figura 8.63 – Curva de reação lateral de uma seção transversal do duto com, pico reação lateral inicial.
Foram gerados alguns casos considerados representativos para avaliar o efeito de um
pico de reação inicial hipotético, baseado na expressão (8.25). São considerados
diferentes acréscimos no atrito lateral comparando com resultados obtidos no item
8.6.3.1.
403
O modelo analisado considera coeficientes de atrito laterais de µL1=0,75*1,05 e
µL2=0,50*1,05 mobilizados para um deslocamento de 10 mm, considerados como
valores representativos máximos para o enterramento médio do duto (8.3). O pico no
atrito lateral foi representado por um acréscimo no coeficiente de atrito lateral de
∆µL=0,75*1,05 com valores de deslocamento de mobilização de ∆d1=0,0 e 0,1 m e
∆d2=0,25 e 0,50 m.
A Figura 8.64 mostra a evolução do deslocamento lateral no ponto central da alça de
deformação, considerando ∆µL=0,75*1,05 e diferentes deslocamentos de mobilização
∆d1 e ∆d2. Observa-se que os deslocamentos no modelo com pico inicial de mobilização
do atrito lateral apresentam certa diferença em relação ao resultado do modelo “básico”
(plástico-perfeito), porém a instabilidade nos deslocamentos continua presente ao longo
dos ciclos de carregamento e descarregamento.
Figura 8.64 – Deslocamento lateral no ponto central da alça, considerando
diferentes acréscimos no atrito lateral devido ao pico de resistência inicial “breakout”
404
A Figura 8.65 mostra a evolução da deformação axial no ponto mais crítico da alça de
deformação, considerando ∆µL=0,75*1,05 e diferentes deslocamentos de mobilização
∆d1 e ∆d2. Observa-se neste caso uma grande diferença em relação ao resultado do
modelo “básico”, principalmente nos modelos com ∆d1=0 m, onde o pico inicial no
atrito lateral é mobilizado para o mesmo deslocamento (10 mm) do modelo “básico”
feito no item anterior. Já no modelo com ∆d1=0,10 m o resultado é bem semelhante ao
obtido no modelo “básico”, mostrando a alta sensibilidade da deformação axial à forma
como o acréscimo no atrito lateral inicial é mobilizado.
Figura 8.65 – Deformação axial no ponto crítico da alça, considerando
diferentes acréscimos no atrito lateral devido ao pico de resistência inicial “breakout”
Para entender melhor como o pico de atrito inicial afeta as deformações, é mostrado na
Figura 8.66 a deformada do duto para a condição de carregamento máximo no primeiro
ciclo. Pode-se verificar que de um modo geral as deformadas em todos os modelo são
bastante semelhantes, porém perto do final na alça secundária onde ocorrem os menores
deslocamentos laterais, que são mais afetados pelo pico no atrito lateral, a diferença é
mais significativa. Esta diferença na região de ancoragem do deslocamento lateral é
405
capaz de alterar ligeiramente a deformada da região com flambagem, modificando a
deformação axial máxima para um valor de quase o dobro da obtida com o modelo
“básico”.
Figura 8.66 – Deformada do duto ao da alça (décimo ciclo), considerando diferentes
acréscimos no atrito lateral devido ao pico de resistência inicial “breakout”
A Figura 8.67 mostra a evolução da tensão axial no ponto mais crítico da alça de
deformação, considerando ∆µL=0,75*1,05 e diferentes deslocamentos de mobilização
∆d1 e ∆d2. Neste caso a diferença máxima entre os modelos analisados situa-se em torno
de 10%, sendo bem menos sensível que a variação obtida para a deformação axial.
A Figura 8.68 mostra a evolução da reação lateral num ponto a 70 m do centro da alça
de deformação, considerando ∆µL=0,75*1,05 e ∆d1=0 e 0,10 m e ∆d2=0,5 m, podendo-
se visualizar o pico inicial na reação lateral do solo durante a análise numérica.
406
Figura 8.67 – Tensão axial no ponto crítico da alça, considerando diferentes acréscimos no atrito lateral devido ao pico de resistência inicial “breakout”.
Figura 8.68 – Reação lateral num ponto intermediário da alça a 70 m do centro,
considerando acréscimo no atrito lateral inicial de ∆µL=0,75*1,05 mobilizado em considerando ∆d1=0,0 e 0,1 m e ∆d2=0,50 m.
407
8.6.3.4 SIMULAÇÃO DA CONDIÇÃO DE PARADA TOTAL – SOLO COM VALA
Dando prosseguimento às simulações realizadas nos itens anteriores, será avaliado o
efeito da interação solo-duto com presença de valas no piso marinho, durante 10 ciclos
de carregamentos e descarregamentos completos.
Foi observado nos resultados obtidos no item 8.6.3.1, que a presença do atrito
“secundário” impõe um comportamento não estável nos deslocamentos da alça de
deformação durante os ciclos de aquecimento/pressurização e
desaquecimento/despressurização.
O comportamento real observado em dutos em operação (BOLTON et al., 2004,
CARR,2004f) mostra que a alça de deformação formada tende a se estabilizar em
poucos ciclos devido ao aumento da reação lateral do solo gerada pela vala formada no
piso marinho (Figura 8.69).
Figura 8.69 – Valas formadas no piso marinho. i) Seção transversal do
duto no ponto de deslocamento máximo da alça de deformação. ii) Seção transversal do duto num ponto intermediário da alça de deformação
408
Para avaliar o efeito de valas formadas no piso marinho sobre o comportamento
estrutural de dutos aquecidos, é proposto neste trabalho um modelo especial para tentar
representar a variação ao longo da alça do acréscimo na reação lateral. A Figura 8.69
mostra a seção transversal de uma alça de deformação em dois pontos do duto (Figura
8.70), com deslocamentos bem distintos. O acréscimo de reação lateral do solo ao longo
da alça de deformação é variável, sendo função da quantidade de solo deslocado durante
a ciclagem do duto. A avaliação do acréscimo de resistência é de difícil obtenção
devendo ser avaliada experimentalmente. Estudos realizados em argilas moles
(CARR,2004f) mostram que o acréscimo no atrito lateral pode alcançar valores de 3 a
10 vezes maiores que o atrito lateral calculado sem a presença da vala.
Figura 8.70 – Deformada do duto após alguns ciclos mostrando pontos com deslocamentos máximo e intermediário
A curva de reação lateral do solo geralmente utilizada para simular a interação solo-duto
aquecido, baseia-se no modelo de atrito de Coulomb (Capítulo 5). Foi visto nos itens
anteriores que a utilização deste modelo não representa adequadamente o
comportamento de dutos submarinos aquecidos durante carregamentos cíclicos de
409
temperatura e pressão. A curva de reação real do solo apresenta regiões bem distintas
para o comportamento solo-duto que devem ser considerados.
A Figura 8.71 mostra a curva de reação do solo no ponto de deslocamento máximo da
alça de deformação, podendo-se verificar a partir de certo ponto, um acréscimo no atrito
lateral devido à formação de vala sobre o piso marinho. A questão que se coloca é como
representar o acréscimo de reação lateral nos demais pontos da alça, visto que esta é
variável pois depende da amplitude do deslocamento e das propriedades de resistência
do solo.
Figura 8.71 – Curva de reação lateral da seção transversal do
duto com deslocamento máximo, considerando acréscimo de reação devido à formação de vala no piso marinho
Para representar o acréscimo na reação lateral, são propostos dois modelos extremos
para verificar o efeito de valas sobre o comportamento estrutural de dutos aquecidos.
No primeiro modelo de vala (MODELO 1) o acréscimo na reação lateral em pontos
intermediários da alça de deformação é proporcional à reação definida no ponto com
deslocamento máximo conforme mostrado na Figura 8.72. O modelo considera que a
vala só começará a ser mobilizada ao final do primeiro ciclo de
aquecimento/pressurização, sendo o deslocamento máximo de cada ponto da alça, o
ponto de partida para a mobilização do acréscimo de reação lateral fornecido pela vala,
410
resultando numa distribuição variável da reação lateral para cada ponto da alça de
deformação definida (Figura 8.72).
Figura 8.72 – Curva de reação lateral de uma seção transversal do duto com deslocamento intermediário, considerando acréscimo de reação devido à formação de vala no piso marinho proporcional à reação no ponto com deslocamento máximo total
da alça (MODELO 1).
No segundo modelo de vala (MODELO 2) o acréscimo na reação lateral (para uma
mesma variação no deslocamento) em todos os pontos da alça de deformação, é igual à
reação definida no ponto com deslocamento máximo total da alça conforme mostrado
na Figura 8.73. Neste modelo da mesma forma que o anterior a vala só começará a ser
mobilizada ao final do primeiro ciclo de aquecimento/pressurização, sendo o
deslocamento máximo de cada ponto da alça, o ponto de partida para a mobilização do
acréscimo de reação lateral fornecido pela vala (Figura 8.73).
411
Figura 8.73 – Curva de reação lateral de uma seção transversal do duto com
deslocamento intermediário, considerando acréscimo de reação lateral devido à formação de vala no piso marinho igual em todos os pontos da alça (MODELO 2)
Desta forma foram feitas algumas simulações para avaliar o efeito de valas submarinas.
São considerados diferentes acréscimos no atrito lateral e nos deslocamentos de
mobilização de vala, verificando-se seu efeito e comparando-se com resultados obtidos
nos modelos sem vala (8.6.3.1).
O modelo analisado utiliza coeficientes de atrito laterais de µL1=0,75*1,05 e
µL2=0,50*1,05, considerados como valores representativos máximos para o
enterramento médio do duto (item 8.3). Foram dados acréscimos no coeficiente de
atrito lateral de ∆µL=(0,50, 1,50 e 3,00)*1,05 para representar o efeito da vala, para
diferentes valores para o deslocamento de mobilização da vala de ∆d=0,25, 0,50 e 1,00
m. As variações mostradas foram testadas nos modelos 1 e 2 descritos acima.
As Figuras 8.74 e 8.75 mostram a evolução do deslocamento lateral no ponto central da
alça de deformação respectivamente para os modelos 1 e 2 de vala, considerando
acréscimos no coeficiente de atrito lateral de ∆µL=(0,75, 1,50 e 3,00)*1,05 para um
deslocamento de mobilização de 1 m (vala). Observa-se claramente o efeito
estabilizador da consideração do efeito da vala na evolução do deslocamento do duto.
Em poucos ciclos o deslocamento do duto praticamente se estabiliza, principalmente
para os modelos com ∆µL superiores á 0,75*1,05. Observa-se também como era de se
esperar que o modelo 2 tende a estabilizar os deslocamentos mais rapidamente com
412
valores menores, pois o acréscimo de reação lateral devido à vala é mobilizado mais
rapidamente que no modelo 1.
Figura 8.74 – Deslocamento lateral no ponto central da alça, considerando diferentes
acréscimos no atrito lateral devido à formação de vala mobilizado em 1 m(MODELO 1)
Figura – 8.75 – Deslocamento lateral no ponto central da alça, considerando diferentes
acréscimos no atrito lateral devido à formação de vala mobilizado em 1 m(MODELO 2)
413
As Figuras 8.76 e 8.77 mostram a evolução do deslocamento lateral no ponto central da
alça de deformação para os modelos 1 e 2 de vala respectivamente, considerando
acréscimo no coeficiente de atrito lateral de ∆µL=1,50*1,05 para deslocamentos de
mobilização de vala de 0,25 e 1 m. Observa-se que o deslocamento de mobilização
influencia somente a amplitude do deslocamento máximo, não alterando o processo de
estabilização dos deslocamentos.
Figura 8.76 – Deslocamento lateral no ponto central da alça, considerando
∆µL=1,50*1,05 e ∆d=0,25 e 1 m (MODELO 1).
414
Figura 8.77 – Deslocamento lateral no ponto central da alça, considerando
∆µL=1,50*1,05 e ∆d=0,25 e 1 m (MODELO 2)
A Figura 8.78 mostra a deformada do duto para a condição de carregamento máximo
nos ciclos 1, 5 e 10 para o modelo básico (µL1=0,75*1,05 e µL2=0,50*1,05). Conforme
mostrado anteriormente a desconsideração do acréscimo no atrito lateral devido à
formação da vala, gera um comportamento não estável, nos deslocamentos
desenvolvidos da alça de flambagem durante o processo cíclico de carregamento e
descarregamento.
As Figuras 8.79 e 8.80 mostram as deformadas do duto para a condição de
carregamento máximo nos ciclos 1, 5 e 10 para os modelos 1 e 2 de vala
respectivamente com ∆µL=1,50*1,05 e ∆d=1 m. Como verificado anteriormente em
poucos ciclos a deformada do duto se estabiliza, contrariamente ao caso mostrado na
Figura 8.78 sem a consideração do efeito da vala.
415
Figura 8.78 - Deformada do duto durante 10 ciclos para carregamento
máximo de ∆θ=60 oC e Pi=27.87 MPa, no modelo básico com
µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05.
Figura 8.79 – Deformada do duto durante 10 ciclos para carregamento
máximo de ∆θ=60 oC e Pi=27.87 MPa, considerando ∆µL=1,50*1,05 e ∆d=1 m
(MODELO 1).
416
Figura 8.80 - Deformada do duto durante 10 ciclos para carregamento
máximo de ∆θ=60 oC e Pi=27.87 MPa, considerando ∆µL=1,50*1,05 e ∆d=1 m
(MODELO 2).
Os resultados mostrados nas Figuras 8.78, 8.79 e 8.80 mostram uma grande
discrepância na deformada do duto após alguns ciclos de carregamento e
descarregamento, dependendo do modelo adotado para representar a interação solo-
duto. Este resultado mostra por exemplo que uma inspeção submarina de um duto em
operação, onde já tenham ocorrido vários ciclos de aquecimento/ pressurização e
desaquecimento/despressurização total ou parcial, deve representar adequadamente a
interação solo-duto para não se chegar a resultados completamente errados para as
deformações e variações de tensões existentes na alça de deformação.
Para mostrar o efeito do modelo de interação solo-duto nos resultados obtidos após
alguns ciclos de carregamento e descarregamento, suponhamos que após uma inspeção
submarina, foi obtida a deformada do duto analisado, para as condições máximas de
carregamento. Após várias simulações utilizando o modelo “básico” de interação solo-
duto, chegou-se à conclusão que os coeficientes de atrito laterais µL1=1,25*1,05 e
µL2=0,50*1,05, fornecem após alguns ciclos de carregamento e descarregamento, a
417
deformada do duto mais próxima da obtida através da inspeção submarina. Poderia-se
concluir que o duto encontra-se com deformações bem acima da máxima admissível
(Figura 8.52), devendo-se tomar alguma medida para garantir a operação dentro de
limites estabelecidos por norma.
Porém pode-se observar pelas Figuras 8.81 e 8.82, que mostram as deformadas do duto
para a condição de carregamento máximo no ciclo 10, que também poderiam ser obtidas
deformadas bem próximas à mencionada, utilizando-se os modelos 1 e 2 com vala,
porém com coeficientes de atrito do modelo básico bem menores (µL1=0,75*1,05 e
µL2=0,50*1,05), diminuindo consideravelmente as deformações máximas. Este
resultado se deve ao fato do acréscimo de reação imposta pela vala escavada pelo duto
gerar apenas uma estabilização nos deslocamentos do duto, praticamente não alterando
o estado de tensões e deformações existentes, que são função essencialmente do pico de
atrito lateral inicial (item 8.6.3.3) e do atrito residual primário µL1 (item 8.6.3.1).
Figura 8.81 - Deformada do duto no décimo ciclo para carregamento máximo de ∆θ=
60 oC e Pi=27.87 MPa, considerando ∆µL=(1,50 e 3,00)*1,05 e ∆d=1 m (MODELO 1),
comparada com deformadas utilizando modelo plástico-perfeito
418
Figura 8.82 - Deformada do duto no décimo ciclo para carregamento máximo de ∆θ=
60 oC e Pi=27.87 MPa, considerando ∆µL=(1,50 e 3,00)*1,05 e ∆d=1 m (MODELO 2),
comparada com deformadas utilizando modelo plástico-perfeito
Para visualizar o efeito dos modelos de vala simulados são mostrados nas Figuras 8.83 e
8.84 as reações laterais do solo contra o duto para a condição de carregamento máximo
no décimo ciclo, para os modelos “básico” e 1 e 2 de vala respectivamente com
∆µL=1,50*1,05 e ∆d=1 m, podendo-se visualizar claramente o acréscimo de reação
lateral nas alças principal e secundária, assim como a sua distribuição.
419
Figura 8.83 - Reação lateral no décimo ciclo para carregamento máximo de ∆θ=60 oC e
Pi=27.87 MPa, considerando ∆µL=0,75*1,05 e∆d=1 m nos modelos básico 1 e 2
Figura 8.84 - Reação lateral no décimo ciclo para carregamento máximo de ∆θ=60 oC e
Pi=27.87 MPa, considerando ∆µL=1,50*1,05 e ∆d=1 m (modelos básico e 1 e 2 de vala)
420
As Figuras 8.85 e 8.86 mostram a evolução da reação lateral nos pontos central e
intermediário (a 70 m do centro) da alça de deformação para os modelos 1 e 2 de vala
respectivamente, considerando ∆µL=1,50*1,05 e ∆d=1m. Observa-se que o acréscimo
na reação lateral devido à vala concentra-se mais na alça central no modelo 1, enquanto
no modelo 2 a distribuição é mais uniforme nas alças. Isto ocorre devido a forma como
o acréscimo de atrito lateral é mobilizado nos dois modelos com vala analisados
(Figuras 8.72 e 8.73).
Figura 8.85 – Reação lateral no ponto central da alça, considerando
∆µL=1,50*1,05 e ∆d=1 m, devido à formação de vala (modelos 1 e 2 de vala)
421
Figura 8.86 – Reação lateral num ponto intermediário da alça, considerando
∆µL=1,50*1,05 e ∆d=1 m (modelos 1 e 2 de vala).
A Figura 8.87 mostra a evolução da deformação axial no ponto mais crítico da alça de
deformação para o modelo “básico” (µL1=0,75*1,05 e µL2=0,50*1,05), e para o modelo
1 de vala com ∆µL=(0,75,1,50 e 3,00)*1,05 e ∆d=1m. Verifica-se que apesar das
deformadas do modelo considerando o efeito da vala serem completamente diferentes
da obtida no modelo “básico” após alguns ciclos (Figura 8.81), a deformação axial
máxima é praticamente a mesma sendo definida no primeiro ciclo de carregamento. O
resultado utilizando o modelo 2 de vala fornece os mesmos resultados e observações
feitas para o modelo 1 no tocante a deformação axial máxima desenvolvida.
As Figuras 8.88 e 8.89 mostram a evolução da tensão axial no ponto crítico da alça de
deformação para os modelos 1 e 2 de vala respectivamente, considerando
∆µL=1,50*1,05 e ∆d=1m. Observa-se que no modelo 1 com vala a relaxação das tensões
praticamente não se altera ao longo dos ciclos, quando comparada com o resultado do
modelo “básico” (µL1=0,75*1,05 e µL2=0,50*1,05). Já no modelo 2 de vala a relaxação
depende do acréscimo dado ao atrito lateral, podendo ser praticamente nula.
422
Figura 8.87 – Deformação axial no ponto crítico da alça, considerando
∆µL=(0,75,1,50 e 3,00)*1,05 e ∆d=1 m (modelo 1 de vala).
Figura 8.88 - Tensão axial no ponto crítico da alça durante 10 ciclos,
considerando ∆µL=(0,75,1,50 e 3,00)*1,05 e ∆d=1 m (modelo 1 de vala).
423
Figura 8.89 - Tensão axial no ponto crítico da alça durante 10 ciclos,
considerando ∆µL=(0,75,1,50 e 3,00)*1,05 e ∆d=1 m (modelo 2 de vala).
Para verificar o efeito do encruamento plástico do material foram realizadas algumas
simulações para diferentes valores de coeficiente de atrito lateral. No modelo com atrito
lateral “primário” igual a µL1=1,00*1,05, onde é esperada uma deformação mais
elevada, a malha foi discretizada de metro em metro foi refinada numa região de 200 m
em torno da região central da alça de deformação de 0,2 em 0,2 m para capturar as
concentrações de deformações mais elevadas.
As Figuras 8.90 e 8.91 mostram a evolução da deformação axial no ponto mais crítico
da alça de deformação considerando µL1=(0,75 e 1,00)*1,05 e µL2=0,50*1,05, para o
modelo 1 de vala com ∆µL=1,50*1,05 e ∆d=1m. Verifica-se que a consideração do
encruamento do material é bem mais significativa no modelo com atrito lateral
“primário” de 1,05 que apresenta deformações no modelo plástico perfeito acima de 1%
(Figura 8.91), ocasionando a plastificação de praticamente toda a seção transversal do
duto. Neste caso o encruamento do material foi ativado em vários pontos da seção
transversal reduzindo a deformação axial máxima à metade da obtida no modelo com
424
aço plástico-perfeito. No modelo com atrito lateral “primário” de 0,75*1,05 a diferença
entre os modelos plástico-prefeito e com encruamento foi bem menos significativa
(Figura 8.90) pelo fato do encruamento do material ser utilizado numa região bem
menor da seção transversal.
Figura 8.90 – Deformação axial no ponto crítico da alça para aço
plástico-perfeito e com encruamento, com µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL=1,50*1,05 e ∆d=1 m (modelo 1).
425
Figura 8.91 – Deformação axial no ponto crítico da alça para aço
plástico-perfeito e com encruamento, com µL1=1,00*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL=1,50*1,05 e ∆d=1 m (modelo 1).
As Figuras 8.92 e 8.93 mostram a evolução da tensão axial no ponto mais crítico da
alça de deformação. Neste caso o encruamento do material é bem menos significativo
nos dois casos analisados, fornecendo uma diferença máxima entre o resultado com
material plástico-perfeito e com encruamento em torno de 10% na simulação com atrito
lateral “primário” de 1,00*1,05.
426
Figura 8.92 – Tensão axial no ponto crítico da alça para aço plástico-perfeito
e com encruamento, com µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL=1,50*1,05 e ∆d=1 m (modelo 1).
Figura 8.93 – Tensão axial no ponto crítico da alça para aço plástico-perfeito
e com encruamento, com µL1=1,00*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL=1,50*1,05 e ∆d=1 m (modelo 1).
427
Os resultados obtidos para as deformações e tensões analisadas mostram a sensibilidade
da deformação axial, onde um incremento de 25% no atrito lateral gerou um aumento de
100% na deformação axial no modelo plástico perfeito. No modelo com encruamento a
diferença é bem menos significativa pois a deformação é redistribuída.
As Figuras 8.94 e 8.95 mostram a deformação e a deformada do duto ao longo do seu
eixo no décimo ciclo para a condição máxima de carregamento. Verifica-se que o pico
de deformação é extremamente localizado, enquanto no resto da alça os dois modelos
fornecem praticamente os mesmos valores de deformação (Figura 8.94). Observa-se
também que por ser a diferença na deformação máxima extremamente localizada, em
nada influência a deformada global do duto (Figura 8.95).
Figura 8.94 – Deformação axial ao longo da alça para aço plástico-perfeito e com encruamento para o carregamento máximo no décimo ciclo, com µL1=1,00*1,05 e
µL2 =0,50*1,05, para ∆µL=1,50*1,05 e ∆d=1 m (modelo 1).
428
Figura 8.95 – Deslocamento lateral ao longo da alça para aço plástico-perfeito e com
encruamento para o carregamento máximo no décimo ciclo, com µL1=1,00*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL=1,50*1,05 e ∆d=1 m (modelo 1).
Para finalizar a avaliação do efeito da interação solo-duto no comportamento estrutural
de dutos aquecidos sobre o piso marinho, foi incorporado ao modelo de vala o efeito do
pico no atrito lateral inicial avaliado no item (8.6.3.3), conforme pode ser visto na
Figura 8.96. O modelo de vala avaliado será o modelo 1, por ser considerado o mais
representativo.
Figura 8.96 - Curva de reação lateral da seção transversal do
duto com deslocamento máximo, considerando acréscimo de reação devido à formação de vala no piso marinho e pico de atrito inicial.
429
Os casos simulados consideram coeficientes de atrito laterais de µL1=(0,75 e 1,00)*1,05
e µL2=0,50*1,05, com acréscimos no coeficiente de atrito lateral de ∆µL1=0,75*1,05 e
∆µL2=1,50*1,05, para representar respectivamente os efeitos do pico inicial no atrito
lateral e da vala escavada sobre o piso marinho. Os deslocamentos de mobilização do
pico inicial no atrito e da vala são respectivamente de ∆d1=0 m/∆d2=0,5 m e ∆d3=0,5 m
(Figura 8.96) . Deste modo pretende-se avaliar o efeito conjunto destas variações no
coeficiente de atrito lateral feitas nos itens anteriores no comportamento estrutural do
trecho de duto analisado, para as mesmas condições de carregamentos já avaliados.
A Figura 8.97 mostra a evolução do deslocamento lateral no ponto central da alça de
deformação para os modelos “básico” (µL1=0,75*1,05 e µL2=0,50*1,05) com vala e pico
inicial de atrito + vala . Observa-se que a inserção do efeito do pico inicial de atrito no
modelo altera pouco a evolução dos deslocamentos em relação ao modelo somente com
vala, ocorrendo a estabilização dos deslocamentos da alça em pouco ciclos de
carregamento e descarregamento.
Figura 8.97 – Deslocamento lateral no centro da alça de deformação ao longo dos
ciclos, considerando modelos “básico” (µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05), com vala e pico atrito + vala (∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m /∆d2=0,5 m) (∆µL2=1,50*1,05 e ∆d3=1m).
430
As Figuras 8.98 e 8.99 mostram a evolução da deformação axial no ponto mais crítico
da alça de deformação nos modelos plástico perfeito e com encruamento considerando
µL1=(0,75 e 1,05)*1,05 e µL2=0,50*1,05 nos modelos com vala e vala + pico inicial no
atrito. Diferentemente dos deslocamentos, a deformação axial máxima praticamente
dobrou de valor considerando o pico inicial no atrito lateral nos modelos com material
do duto plástico-perfeito e com encruamento.
Figura 8.98 – Deformação axial no ponto crítico da alça para aço
plástico-perfeito e com encruamento, com µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m/∆d2=0,5 m e ∆µL2=1,50*1,05 e ∆d3=1 m (modelo 1).
431
Figura 8.99 – Deformação axial no ponto crítico da alça para aço
plástico-perfeito e com encruamento, com µL1=1,00*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m/∆d2=0,5 m e ∆µL2=1,50*1,05 e ∆d3=1 m (modelo 1).
Conforme mostrado anteriormente pequenas diferenças na alça de deformação podem
gerar grandes concentrações de deformações. As Figuras 8.100 e 8.101 mostram as
deformadas no primeiro e décimo ciclos para a condição máxima de carregamento nos
modelos com vala e pico inicial de atrito + vala. De um modo geral as deformadas são
bastante semelhantes, havendo apenas diferença no trecho final da alça secundária, onde
ocorrem os menores deslocamentos laterais, que são afetados pelo pico inicial no atrito
lateral. Esta diferença na região de ancoragem do deslocamento lateral é que causa a
diferença na deformação axial máxima que pode ser observada na Figura 8.102.
432
Figura 8.100 – Deslocamento lateral ao longo da alça para o carregamento máximo no primeiro ciclo, com µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m
/∆d2=0,5 m e ∆µL2=1,50*1,05 e ∆d3=1 m (modelo 1).
Figura 8.101 – Deslocamento lateral ao longo da alça para o carregamento máximo no décimo ciclo, com µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m
/∆d2=0,5 m e ∆µL2=1,50*1,05 e ∆d3=1 m (modelo 1).
433
Figura 8.102 – Deformação axial ao longo da alça para aço plástico-perfeito para o carregamento máximo no décimo ciclo, com µL1=1,00*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m/∆d2=0,5 m e ∆µL2=1,50*1,05 e ∆d3=1 m (modelo 1).
As Figuras 8.103 e 8.104 mostram a evolução da tensão axial no ponto mais crítico da
alça de deformação. Neste caso o efeito do pico inicial no coeficiente de atrito lateral é
bem menos significativo, fornecendo uma diferença máxima em torno de 10 a 20 %
entre os modelos com vala e pico de atrito + vala.
A Figura 8.105 mostra a evolução da reação lateral num ponto a 70 m do centro da alça
de deformação podendo-se visualizar claramente o efeito conjunto dos acréscimos do
pico inicial no atrito lateral e da vala na reação do solo.
434
Figura 8.103 – Tensão axial no ponto crítico da alça para aço
plástico-perfeito e com encruamento, com µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m/∆d2=0,5 m e ∆µL2=1,50*1,05 e ∆d3=1 m (modelo 1).
Figura 8.104 – Tensão axial no ponto crítico da alça para aço
plástico-perfeito e com encruamento, com µL1=1,00*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m/∆d2=0,5 m e ∆µL2=1,50*1,05 e ∆d3=1 m (modelo 1).
435
Figura 8.105 – Reação lateral num ponto intermediário da alça (70 m do centro),
comparando os modelos com vala e vala + pico inicial de atrito, com µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m/∆d2=0,5 m e ∆µL2=1,50*1,05 e
∆d3=1 m (modelo 1).
De um modo geral pode-se observar nos modelos analisados a importância da
modelagem termomecânica de dutos com altas temperaturas e pressões representando
todas as principais características da curva de reação lateral do solo, no comportamento
estrutural em dutos submarinos aquecidos.
O acréscimo de reação lateral do solo gerado por valas excavadas no piso marinho tende
a estabilizar a alça de deformação pós-flambagem do duto em poucos ciclos de
carregamento e descarregamento como observado neste item, em concordância com
resultados de inspeções submarinas já realizadas (CARR,2004g). Nos modelos
analisados as valas excavadas sobre o piso marinho não introduziram acréscimo
significativo nas tensões e deformações máximas no duto durante o processo cíclico de
carregamento e descarregamento.
436
Porém existem casos onde a formação de valas sobre o piso marinho, deve ser avaliada
com cuidado, pois podem gerar concentrações significativas de deformações, quando a
vala no piso marinho é formada com um par ∆P/∆θ significativamente diferente do
máximo previsto durante a sua vida operacional.
Para avaliar este efeito foram analisados dois casos com pico inicial no atrito lateral
mais efeito de vala sobre o piso marinho (Figura 8.96). O modelo considera a mesma
variação de pressão dos modelos anteriores, porém com duas variações de temperaturas
distintas. O objetivo desta análise é verificar para alguns ciclos de carregamento e
descarregamento (10 ciclos), o efeito estrutural de uma variação de temperatura (30 oC)
bem distinta da máxima operacional anormal de 80oC (tabela 8.4), e de uma variação de
temperatura (60oC) mais próxima da máxima operacional.
Os dois casos simulados consideram coeficientes de atrito laterais residuais iguais a
µL1=0,75*1,05 e µL2=0,50*1,05. Para representar o efeito do pico inicial no atrito lateral
foi utilizado o mesmo acréscimo avaliado anteriormente (∆µL1=0,75*1,05) com
deslocamento de mobilização de ∆d1=0 m/∆d2=0,5 m. e ∆d3=0,5 m (Figura 8.96). O
acréscimo no atrito lateral devido a vala foi considerado de duas formas, para a variação
de temperatura de 30oC foi utilizado ∆µL2=1,50*1,05, no caso com variação de
temperatura de 60oC, devido aos maiores deslocamentos desenvolvidos espera-se que a
vala forma e consequentemente o acréscimo no atrito sejam maiores, deste modo foi
adotado ∆µL2=3,00*1,05. O deslocamento de mobilização da vala nos dois casos foi
considerado igual a ∆d1=1 m.
O material do duto foi considerado plástico-perfeito nos resultados que serão mostrados
a seguir, sendo feita uma comparação final com um resultado considerando o
encruamento do aço (Figura 8.3).
A Figura 8.106 mostra a evolução do deslocamento lateral no ponto central da alça de
deformação para os com ∆θ=30oC e ∆θ=60oC. Observa-se que apesar dos
deslocamentos serem bem diferentes até o nono ciclo (devido a diferença de ∆θ nas
duas análises), no último ciclo com a mesma variação máxima de temperatura
(∆θ= 80oC) os deslocamentos finais são praticamente os mesmos.
437
Figura 8.106 – Deslocamento lateral no centro da alça de deformação ao longo dos
ciclos, considerando µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05, com pico atrito + vala (∆µL1=0,75*1,05 com ∆d1=0 m /∆d2=0,5 m e ∆µL2=(1,50 e 3,00)*1,05 com ∆d3=1m),
e variações de temperatura operacionais de 30 oC e 60 oC, com máxima de 80 oC.
As Figuras 8.107 e 8.108 mostram a evolução da deformação e tensão axiais no ponto
mais crítico da alça de deformação nas simulações com ∆θ=30oC e ∆θ=60oC
(∆θmax= 80oC). Observa-se que diferentemente do deslocamento, a deformação e
variação de tensão axiais máximas são bastante afetadas pelo histórico de carregamento.
Isto pode ser verificado na análise com ∆θ=30 oC, que apesar de ter um acréscimo no
atrito lateral menor ao da análise com ∆θ=60oC, desenvolve concentrações
principalmente de deformação bem mais elevadas. Tal fato ocorre pois o duto mobiliza
deslocamentos de solo mais extensos na região com coeficiente de atrito mais elevado
como pode ser visto na Figura 8.109.
438
Figura 8.107 – Deformação axial no ponto crítico da alça de deformação ao longo dos ciclos, considerando µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05, com pico atrito + vala
(∆µL1=0,75*1,05 com ∆d1=0 m /∆d2=0,5 m e ∆µL2=(1,50 e 3,00)*1,05 com ∆d3=1m), e variações de temperatura operacionais de 30 oC e 60 oC, com máxima de 80 oC.
Figura 8.108 – Tensão axial no ponto crítico da alça de deformação ao longo
dos ciclos, considerando µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05, com pico atrito + vala (∆µL1=0,75*1,05 com ∆d1=0 m /∆d2=0,5 m e ∆µL2=(1,50 e 3,00)*1,05 com ∆d3=1m),
e variações de temperatura operacionais de 30 oC e 60 oC, com máxima de 80 oC.
439
Figura 8.109 – Comparação do histórico de reação lateral no centro da alça, com µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m /∆d2=0,5 m,
para os modelos com ∆µL2=(1,50 e 3,00)*1,05 e ∆d3=1 m (modelo 1), e variações de temperatura operacionais de 30 oC e 60 oC, com máxima de 80 oC.
As Figuras 8.110 e 8.111 mostram as deformadas do duto ao longo de alguns ciclos
para a condição máxima de carregamento nas simulações com ∆θ=30oC e
∆θ=60oC.
A figura 8.112 mostra a configuração deformada do duto no ciclo final com ∆θmax=
80oC nas duas análises realizadas, podendo-se verificar que apesar da
deformação/tensão axial máxima serem bem diferentes (Figuras 8.107 e 8.108), a
configurações deformadas são bastante semelhantes obesrvando-se alguma diferença
apenas na alça secundária.
440
Figura 8.110 – Deslocamento lateral ao longo da alça para o carregamento máximo ao longo dos ciclos, com µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m /∆d2=0,5 m e ∆µL2=1,50*1,05 e ∆d3=1 m (modelo 1), considerando
variação de temperatura operacional de 30 oC, com máxima de 80 oC.
Figura 8.111 – Deslocamento lateral ao longo da alça para o carregamento máximo ao longo dos ciclos, com µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m /∆d2=0,5 m e ∆µL2=3,00*1,05 e ∆d3=1 m (modelo 1), considerando
variação de temperatura operacional de 60 oC, com máxima de 80 oC.
441
Figura 8.112 – Comparação do deslocamento lateral ao longo da alça para o carregamento máximo no décimo ciclo (∆θ=80 oC), com µL1=0,75*1,05 e
µL2 =0,50*1,05, para ∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m /∆d2=0,5 m, para os modelos com ∆µL2=(1,50 e 3,00)*1,05 e ∆d3=1 m (modelo 1), e variações de temperatura
operacionais de 30 oC e 60 oC.
A Figura 8.113 mostra a deformação axial ao longo do duto no ciclo final para a
condição máxima de carregamento nas simulações com ∆θ=30oC e ∆θ=60oC, podendo-
se verificar que de um modo geral a deformação axial é bastante semelhante ao longo da
alça de deformação, diferenciando-se apenas na região central onde ocorrem as maiores
concentrações de deformações (Figura 8.114).
A Figura 8.115 mostra a reação lateral desenvolvida ao longo do duto no ciclo final de
carregamento nas simulações com ∆θ=30oC e ∆θ=60oC, podendo-se observar a
distribuição da reação do solo.
442
Figura 8.113 – Comparação da deformação axial ao longo da alça para o carregamento
máximo no décimo ciclo (∆θ=80 oC), com µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m /∆d2=0,5 m, para os modelos com ∆µL2=(1,50 e 3,00)*1,05
e ∆d3=1 m (modelo 1), e variações de temperatura operacionais de 30 oC e 60 oC.
Figura 8.114 – Detalhe da deformação axial ao longo da alça para o carregamento máximo no décimo ciclo (∆θ=80 oC), com µL1=0,75*1,05 e µL2=0,50*1,05, para
∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m /∆d2=0,5 m, para os modelos com ∆µL2=(1,50 e 3,00)*1,05 e ∆d3=1 m (modelo 1), e variações de temperatura operacionais de 30 oC e 60 oC.
443
Figura 8.115 – Comparação da reação lateral ao longo da alça para o carregamento máximo no décimo ciclo (∆θ=80 oC), com µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para
∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m /∆d2=0,5 m, para os modelos com ∆µL2=(1,50 e 3,00)*1,05 e ∆d3=1 m (modelo 1), e variações de temperatura operacionais de 30 oC e 60 oC.
A título de comparação é mostrada na Figura 8.116 a deformação axial ao longo do duto
no ciclo final, para a condição máxima de carregamento nas simulações com ∆θ=30oC
(∆θmax=80oC), considerando modelos plástico-perfeito e com encruamento para o aço.
Observa-se que deformação axial é praticamente a mesma ao longo da alça de
deformação como era de se esperar, diferenciando-se apenas na região central devido ao
encruamento do aço (Figura 8.117).
444
Figura 8.116 – Comparação da deformação axial ao longo da alça para materiais
plástico-perfeito e com encruamento, para o carregamento máximo no décimo ciclo (∆θ=80 oC), com µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m /∆d2=0,5 m e ∆µL2=1,50*1,05 e ∆d3=1 m (modelo 1), e variação de temperatura
operacional de 30 oC.
Figura 8.117 – Detalhe da deformação axial ao longo da alça para materiais plástico-
perfeito e com encruamento, para o carregamento máximo no décimo ciclo (∆θ=80 oC), com µL1=0,75*1,05 e µL2 =0,50*1,05, para ∆µL1=0,75*1,05 e ∆d1=0 m /∆d2=0,5 m e ∆µL2=1,50*1,05 e ∆d3=1 m (modelo 1), e variação de temperatura operacional de 30 o.
445
As simulações realizadas com diferentes variações de temperatura durante a formação
da vala sobre o piso marinho, mostram a importância de não se operar um duto nos
ciclos iniciais de carregamento e decarregamentos com variações de temperatura e
pressão muito diferentes da máxima de projeto.
Os resultados mostraram também que variações de temperatura/pressão que não
mobilizem acréscimos no atrito lateral em grandes extensões de deslocamentos não
geram acréscimos significativos de tensões/deformações, não sendo críticos para a
integridade estrutural do duto.
446
8.7 FORMAS DE CONTROLE DA FLAMBAGEM TERMOMECÂNICA
Conforme foi visto no item 8.6 a flambagem termomecânica de dutos submarinos
apoiados sobre o piso marinho é comum sob elevadas pressões e temperaturas. Também
foi visto que a flambagem termomecânica deve ser controlada de alguma maneira para
não ocorrer uma sobrecarga em uma alça que concentre um comprimento de expansão
térmica superior ao máximo admissível.
As formas de controle da expansão térmica nas alças de deformações com flambagem
termomecânica concentram-se essencialmente em duas estratégias; limitação do
comprimento de expansão térmica (CET) e redução do coeficiente de atrito lateral.
Estas estratégias são possíveis através de modificações na geometria do duto durante o
seu lançamento, ou atuação de agentes externos sobre o duto.
A seguir serão abordados os principais aspectos das soluções para controlar a
flambagem termomecânica que estão sendo estudas atualmente pela indústria do
petróleo para dutos submarinos em águas profundas.
8.7.1 SERPENTEAMENTO “SNAKE-LAY”
Esta solução preconiza o lançamento do duto com uma configuração inicial em formato
de meias-ondas que se repetem, sendo as principais variáveis; a amplitude,
comprimento da onda e raio de curvatura mínimo, conforme mostrado na Figura 8.118.
O objetivo desta solução é permitir a flambagem termomecânica lateral do duto de
forma controlada na região próxima ao raio de curvatura mínimo de cada meia-onda,
limitando o comprimento de expansão térmica (CET) (CARR, 2004b, FREDERIKSEN
et al., 1998, PEEK, 2004).
447
Figura 8.118 – Vista em perspectiva de duto lançado com geometria “serpenteada”
As principais dificuldades da implementação prática desta solução estão na alta
dependência da interação solo-duto, no controle da geometria de lançamento e da
capacidade do barco de instalação fornecer o raio de curvatura mínimo. Estas variáveis
são de difícil controle podendo acarretar em variações significativas na geometria de
lançamento (CARR, 2004b).
448
8.7.2 INTERFERÊNCIAS VERTICAIS
Esta estratégia para controlar a flambagem termomecânica do duto tem o mesmo
objetivo que a anterior, ou seja, limitar o comprimento de expansão térmica de cada alça
de deformação, mudando apenas a forma deste controle. Nesta metodologia são
colocadas imperfeições verticais em locais pré-estabelecidos (Figura 8.119) de forma a
assegurar a flambagem de forma controlada em determinas locações da linha.
Figura 8.119 – Lançamento de duto com geometria
com interferências verticais
As imperfeições verticais podem ser obtidas através suportes podendo ser utilizados
outros dutos (NYSTRON et al.,2001, CARR, 2004b). O princípio desta solução é o de
ativar o mecanismo de flambagem termomecânica lateral através de imperfeições
verticais. Nesta solução o ponto de flambagem será função da imperfeição vertical
adotada e do atrito existente entre o duto e seu suporte.
Para a adoção desta solução o lançamento deve ser bem controlado de forma que o duto
repouse gentilmente sobre a região central do apoio.
449
Alguns limitantes desta solução, além da necessidade de controlar o lançamento,
consiste na possibilidade de ocorrência de vibração induzida por vórtice (VIV) na região
da imperfeição vertical, o que pode limitar a altura da imperfeição vertical.
Esta solução além de limitar o comprimento de expansão térmica elimina a interação
solo-duto na região suspensa, que é extremamente benéfico para as tensões e
deformações geradas.
8.7.3 FLUTUADORES PERMANENTES “DISTRIBUTED BUOYANCY”
Esta técnica consiste em utilizar estruturas que apliquem um empuxo na linha com o
objetivo de diminuir o atrito solo-duto e gerar imperfeições iniciais que iniciem um
processo de flambagem termomecânica lateral de forma controlada (Figura 8.120).
Figura 8.120 – Vista de duto com flutuador permanente.
450
A flambagem termomecânica será estimulada preferencialmente nas regiões onde foram
instalados flutuadores, pois a redução no coeficiente de atrito lateral reduz o esforço
axial efetivo para iniciar a flambagem, quando comparado ao necessário na região em
contato diretamente com o solo. Outro aspecto positivo desta solução é que o empuxo
do flutuador é dimensionado para a fase de operação do duto, como no lançamento em
geral o duto encontra-se vazio um pequeno comprimento ficará “suspenso” gerando
imperfeições iniciais que irão diminuir ainda mais o esforço axial efetivo necessário
para iniciar a flambagem nos flutuadores.
Para a adoção desta solução deve-se avaliar o método de lançamento utilizado, já que a
instalação dos flutuadores necessita de uma logística de armazenamento, tempo
necessário de fixação, possibilidade de danos no material entre outros aspectos.
Um limitante para a adoção desta solução esta na possibilidade de ocorrência de VIV na
região com atrito reduzido que pode gerar problemas de estabilidade, além do custo e
durabilidade das bóias para lâminas d´agua profundas.
Esta solução além de limitar o comprimento de expansão térmica como nas demais
vistas, reduz sensivelmente a interação solo-duto na região das bóias, diminuindo as
tensões e deformações em relação ao caso de flambagem diretamente sobre o piso
marinho.
451
8.7.3.1 SIMULAÇÃO DO COMPORTAMENTO DE DUTOS AQUECIDOS
UTILIZANDO SOLUÇÕES DE FLAMBAGEM CONTROLADA
As soluções mostradas para controlar o processo de flambagem termomecânica, são as
principais que estão sendo estudadas na atualidade. Outras soluções como a utilização
de “loops” de expansão, junção de dutos rígidos e flexíveis entre outras são alternativas
menos atraentes quando utilizadas em dutos longos devido ao grande número de
conexões a serem realizadas prejudicando a confiabilidade estrutural da linha como um
todo. A solução de controlar o processo de flambagem por meio do enterramento da
linha é inviável do ponto de vista técnico e econômico em lâminas d´agua profundas.
Conforme visto nas simulações de flambagem termomecânica do trecho de duto
analisado sobre o piso marinho, o comprimento de expansão térmica máximo (CET) é
inferior a 2000M. Para garantir que o duto não sofra flambagem com comprimentos
superiores a este, necessariamente deve-se utilizar alguma estratégia para induzir uma
flambagem controlada.
Será analisado neste item com os modelos implementados no AEEPECD o
comportamento estrutural das soluções utilizando interferências verticais e flutuadores
(bóias) para a seção do duto analisado como estudo de caso (Figura 8.1). Será analisado
de forma mais detalhada a solução utilizando flutuadores que permitem uma
confiabilidade maior na estratégia de formação de flambagens controladas
(CARR,2004g), através da redução do peso submerso do duto e consequentemente do
esforço axial critico de flambagem. Na solução com imperfeições verticais o atrito no
contato com o duto exige um esforço axial crítico de flambagem geralmente maior que
o necessário com a utilização de flutuadores.
Inicialmente será brevemente verificado o comportamento do trecho de duto analisado
(Figura 8.1), utilizando interferências verticais para o controle do processo de
flambagem termomecânica.
452
A Figura 8.121 mostra um modelo simulado no ABAQUS utilizando elementos de viga
tridimensionais (PIPE31), onde foram consideradas duas interferências verticais com
CET=2000 m, e uma imperfeição lateral entre elas. A interferência vertical possui altura
de 305 mm, representando um duto de 12”, com imperfeição lateral com fator de forma
de H/L=0,125 e 0,250%. A imperfeição lateral entre as interferências verticais possui
fator de forma igual a H/L=0,500%, para representar uma imperfeição inicial de
lançamento mais crítica.
Também foram gerados modelos no AEEPECD para verificar a possibilidade de utilizar
um modelo 2D na simulação com interferências verticais, onde existe um efeito
tridimensional gerado pelas imperfeições nos planos vertical e lateral.
Figura 8.121– Vista do modelo de elementos finitos 3D do ABAQUS utilizado para
simular flambagem termomecânica com interferências verticais.
No modelo do ABAQUS no primeiro passo de carga é aplicado o peso submerso do
duto, no segundo passo de carga são ativadas as interferências verticais que são
representadas por elementos de contato, prescrevendo-se um deslocamento vertical
correspondente à altura do duto. No terceiro e quarto passos de carga são aplicadas as
pressões interna e externa e variação de temperatura. O atrito entre o duto e a
interferência vertical também é representado através de um elemento de contato com
coeficiente de atrito igual a 0,1.
453
A Figura 8.122 mostra a deformada (amplificada 5x) do duto após a aplicação do peso
submerso e assentamento do duto sobre as interferências verticais. As Figuras 8.123 e
8.124 mostram as deformadas do duto (amplificada 5x) na região de uma interferência
vertical após a aplicação dos carregamentos de pressão e temperatura (∆θ=60 oC e
Pi=27.87 MPa), considerando imperfeições laterais de H/L=0,125 e 0,250% e atrito no
contato da interferência igual a 0,1, podendo-se observar que o duto sofreu flambagem
em modos diferentes. Tal fato é explicado pela concorrência existente entre as
imperfeições vertical e lateral e pela força gerada pelo atrito entre os dutos. A
determinação do ponto exato da instabilidade e a forma que o duto irá assumir é de
difícil previsão devido às incertezas existentes.
Figura 8.122– Detalhe na região de uma interferência vertical, mostrando deformada
(amplificada 5x) após assentamento do duto sobre interferência vertical (duto 12 pol).
454
Figura 8.123 – Detalhe na região de uma interferência vertical para imperfeição lateral
de H/L=0,25%, mostrando deformada (amplificada 5x) para a condição máxima de
carregamento (∆θ=60 oC e Pi=27.87 MPa).
Figura 8.124 – Detalhe na região de uma interferência vertical para imperfeição lateral
de H/L=0,125%, mostrando deformada (amplificada 5x) para a condição máxima de
carregamento (∆θ=60 oC e Pi=27.87 MPa).
455
O comportamento verificado nas simulações numéricas na configuração pós-flambagem
foi observado em dutos em operação utilizando interferências verticais no controle do
CET de cada alça de deformação, conforme pode ser visto nas Figuras 8.125 e 8.126,
onde o duto assume os modos 2 e 3, após a ocorrência da flambagem termomecânica.
Na Figura 8.127 pode-se verificar também um flambagem entre duas interferências
verticais, mostrando que existe a possibilidade de ocorrência de flambagens sobre o piso
marinho. A ocorrência de flambagem sobre o piso marinho deve ser considerada como
uma possibilidade real em estratégias de controle do CET, devido as incertezas e
variabilidade existentes nos cálculos.
Figura 8.125 – Deformada de duto submarino aquecido na região de uma
interferência vertical assumindo modo 1 de flambagem.
Figura 8.126 – Deformada de duto submarino aquecido na região de uma
interferência vertical assumindo modo 2 de flambagem.
456
Figura 8.127 – Deformada de duto submarino aquecido sobre o piso marinho
na região entre duas interferências verticais assumindo modo 3 de flambagem.
Outro fato interessante observado nas simulações numéricas realizadas é que apesar da
imperfeição vertical ser bem superior às possíveis imperfeições laterais existentes, a
flambagem ocorre no plano lateral, sendo semelhante a que ocorre quando o duto é
apoiado diretamente sobre o piso marinho. Em geral a flambagem de dutos apoiados
sobre o piso marinho ocorrem no plano lateral, pois as cargas críticas de flambagem são
bem inferiores à necessária para a ocorrência de uma flambagem vertical. Porém no
caso com interferências verticais a ocorrência do mesmo fenômeno parece improvável
devido à imperfeição vertical. Na realidade o processo de flambagem de dutos com
interferências verticais é um processo tridimensional, onde a flambagem poderá ocorrer
tanto no plano horizontal quanto vertical dependendo das imperfeições existentes e do
atrito existente na interferência. No dimensionamento utilizando interferências verticais
a altura da interferência e os atritos devem ser definidos para gerar a flambagem lateral,
caso contrário o duto iniciará a instabilidade na direção vertical e logo em seguida irá
flambar na direção horizontal devido à ausência de restrições, o que pode causar danos
ao duto durante o tombamento.
Na Figura 8.128 pode-se verificar o alívio da força de reação no contato entre os dutos
na região da interferência vertical, considerando diferentes alturas e coeficientes de
atrito, podendo-se observar claramente o ponto de flambagem lateral caracterizado pelo
fim no alívio na reação vertical no contato. De um modo geral para imperfeições
verticais da ordem do diâmetro do duto analisado a flambagem sempre ocorrerá no
plano horizontal. A altura máxima da interferência vertical é limitada na prática pela
457
corrente existente próxima ao piso marinho, que pode gerar vibrações exageradas no
duto (VIV).
Figura 8.128 – Alívio da reação vertical no contato entre o duto e a interferência vertical
durante a aplicação da pressão e temperatura, para diferentes coeficientes de atrito
(duto-duto) e altura da imperfeição vertical.
Como a flambagem utilizando interferências verticais ocorre no plano horizontal, será
utilizado o programa AEEPECD, comparando seus resultados com os obtidos no
modelo tridimensional do ABAQUS. Porém antes de mostrar os resultados das
comparações, é necessário mostrar que a região suspensa do duto possui comprimento
praticamente constante no plano vertical, independentemente dos movimentos ocorridos
no plano vertical.
Na Figura 8.129 são mostradas as deformadas do duto na direção vertical após o
assentamento sobre a interferência e para os carregamentos máximo de temperatura e
pressão, podendo-se observar que a região de contato com o solo se altera muito pouco.
458
Figura 8.129 – Deformadas do duto na direção vertical para imperfeições laterais de
H/L=0,125 e 0,250%, após o assentamento do duto e para o carregamento máximo
(∆θ=60 oC e Pi=27.87 MPa).
A simulação utilizando o AEEPECD foi feita retirando-se os elementos de solo na
região suspensa do duto, inserindo uma força de atrito no centro da imperfeição
correspondente ao peso submerso suspenso multiplicado pelo coeficiente de atrito entre
o duto e a interferência.
Na Figura 8.130 pode ser vista a deformada do duto na região de uma interferência para
o carregamento máximo de temperatura e pressão (∆θ=60 oC e Pi=27.87 MPa),
podendo-se verificar uma boa concordância entre os resultados do AEEPECD e
ABAQUS quando é utilizada a mesma imperfeição lateral inicial. Na Figura 8.130
também é mostrada a deformada do AEEPECD com atrito na interferência nulo.
Na Figura 8.131 pode ser vista a deformação axial ao longo do duto na região de uma
interferência para o carregamento máximo de temperatura e pressão (∆θ=60 oC e
Pi=27.87 MPa), verificando-se novamente uma boa concordância entre os resultados do
AEEPECD e ABAQUS quando é utilizada a mesma imperfeição lateral inicial.
459
Figura 8.130 – Deformadas do duto (ABAQUS e AEEPECD) considerando
H/L=0,250%, para o carregamento máximo (∆θ=60 oC e Pi=27.87 MPa),
mostrando região de contato do duto com o solo.
Figura 8.131 – Deformação ao longo do duto para os modelos do ABAQUS e
AEEPECD, considerando imperfeição lateral de H/L=0,250%, para o carregamento
máximo (∆θ=60 oC e Pi=27.87 MPa).
460
Apesar das comparações entre o AEEPECD e ABAQUS (modelo tridimensional)
fornecerem bons resultados para o carregamento máximo, a determinação do ponto de
flambagem deve ser feita utilizando um modelo tridimensional, já que a carga crítica de
flambagem é influenciada pelas imperfeições nos planos vertical e horizontal. Isto pode
ser visto na Figura 8.132, onde verifica-se que o ponto de início do processo de
flambagem nos modelos 3D (ABAQUS) e 2D (AEEPECD) são bem diferentes.
Figura 8.132 – Deslocamento do duto no ponto da interferência vertical, nos modelos
do ABAQUS (tridimensional) e AEEPECD, com atrito na interferência igual a 0,1.
Para controlar o processo de flambagem deve-se obter o comprimento de expansão
térmica máximo, para posicionar os flutuadores ou interferências verticais de forma
segura. Mesmo utilizando técnicas de controle do processo de flambagem o
espaçamento máximo, ainda será limitado por uma possível flambagem do duto sobre o
piso marinho entre os flutuadores (ou interferências verticais).
461
A Figura 8.133 mostra o esforço axial efetivo no trecho de duto analisado (Figura 8.1),
antes e após a flambagem utilizando flutuadores com CET=2000 m. Pode-se verificar
que caso ocorra uma flambagem não controlada entre as bóias o CET máximo será em
torno de 900 m, que pode ser obtida fazendo a combinação das cargas críticas de
flambagem e dos coeficientes de atritos lateral e axial (máximo, médio e mínimo).
Para o comprimento de expansão térmica de 900 m a flambagem do duto sobre o piso
marinho obedece aos estados limites de flambagem local e fadiga termomecânica para o
carregamento máximo (tabela 8.4). Olhando sobre este aspecto o espaçamento entre as
bóias poderia ser aumentado, porém caso alguma bóia falhe devido a ocorrência de uma
flambagem lateral ou vertical num vão-livre, o comprimento de expansão térmica seria
em torno de 2000m, que conforme visto nos itens anteriores esta acima do CET máximo
admissível dependendo das incertezas existentes na determinação da forma da curva de
reação lateral para a interação solo-duto.
Figura 8.133 – Distribuição de esforço axial efetivo antes e após flambagem, utilizando
flambagem controlada com bóias espaçadas a cada 2 km, e considerando uma
flambagem intermediária entre as bóias no solo.
462
A utilização de bóias para controlar a flambagem termomecânica é feita reduzindo-se o
peso submerso de um trecho do duto, utilizando materiais de baixa densidade para gerar
o empuxo requerido. A utilização de bóias gera um custo elevado pois são feitas de um
material especial para suportar a pressão externa em águas profundas. Deste modo o
comprimento e o empuxo necessário para controlar o processo de flambagem devem ser
otimizados para diminuir os custos envolvidos com esta solução.
Nas simulações realizadas foram avaliados diferentes comprimentos de bóias reduzindo
a reação lateral do solo máxima obtida no item (8.3). Foram avaliados os comprimentos
de 40 a 200 m para verificar o comportamento do duto reduzindo a reação do solo ao
longo de 10 ciclos de carregamento e descarregamento.
As Figuras 8.134 a 8.136 mostram a evolução da deformação axial no ponto crítico da
alça de deformação com flambagem lateral, para os diferentes comprimentos de bóias
analisados, reduzindo a reação máxima do solo em 80, 60 e 40% respectivamente. Pode-
se observar de um modo geral para os casos com redução de 80 e 60 % na reação
lateral, que quanto maior for o comprimento da bóia, menor é a deformação axial
máxima obtida. Para redução da reação máxima do solo de 40% a deformação axial não
apresenta ganhos significativos variando o comprimento da bóia (8.124).
463
Figura 8.134 – Deformação axial durante 10 ciclos com “shutdown” completo
(∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa), para µL1=1,00*1,05 e µL2=0,50*1,05 na região em
contato com o solo, e redução de 80% na reação lateral máxima nas bóias.
Figura 8.135 – Deformação axial durante 10 ciclos com “shutdown” completo
(∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa), para µL1=1,00*1,05 e µL2=0,50*1,05 na região em
contato com o solo, e redução de 60% na reação lateral máxima nas bóias.
464
Figura 8.136 – Deformação axial durante 10 ciclos com “shutdown” completo
(∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa), para µL1=1,00*1,05 e µL2=0,50*1,05 na região em
contato com o solo, e redução de 40% na reação lateral máxima nas bóias.
A deformação axial apresenta, à primeira vista, para alguns comprimentos de bóia
analisados um comportamento estranho, visto que aumentando o comprimento da bóia a
deformação aumenta, como pode ser verificado por exemplo para os comprimentos de
60 e 120 m na Figura 8.135 (redução de 60% na reação lateral). Tal comportamento
ocorre pois existe uma interação entre o comprimento de bóia utilizado e as alças de
deformação principal e secundária do modo de flambagem assumido pelo duto.
As Figuras 8.137 a 8.142 mostram a deformada do duto para o carregamento máximo de
temperatura e pressão (∆θ=60 oC e Pi=27.87 MPa), ao longo dos ciclos, para os
diferentes comprimentos de bóia analisados, considerando redução de 80% na reação
lateral máxima. Também são mostradas nas Figuras 8.137 a 8.142 as deformadas do
duto sobre o piso marinho para o atrito lateral máximo (1,05) no primeiro ciclo de
carregamento, podendo-se visualizar quando o comprimento da bóia abrange as
diferentes alças de deformação do duto, gerando o comportamento não linear verificado
para a deformação axial para alguns comprimentos de bóia.
465
Figura 8.137 – Deformada do duto durante 10 ciclos com parada completo
(∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa), para µL1=1,00*1,05 e µL2=0,50*1,05 na região em
contato com o solo, e bóia de 40 m com redução de 80% na reação lateral máxima.
Figura 8.138 – Deformada do duto durante 10 ciclos com parada completo
(∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa), para µL1=1,00*1,05 e µL2=0,50*1,05 na região em
contato com o solo, e bóia de 60 m com redução de 80% na reação lateral máxima.
466
Figura 8.139 – Deformada do duto durante 10 ciclos com parada completo
(∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa), para µL1=1,00*1,05 e µL2=0,50*1,05 na região em
contato com o solo, e bóia de 80 m com redução de 80% na reação lateral máxima.
Figura 8.140 – Deformada do duto durante 10 ciclos com parada completo
(∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa), para µL1=1,00*1,05 e µL2=0,50*1,05 na região em
contato com o solo, e bóia de 120 m com redução de 80% na reação lateral máxima.
467
Figura 8.141 – Deformada do duto durante 10 ciclos com parada completo
(∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa), para µL1=1,00*1,05 e µL2=0,50*1,05 na região em
contato com o solo, e bóia de 160 m com redução de 80% na reação lateral máxima.
Figura 8.142 – Deformada do duto durante 10 ciclos com parada completo
(∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa), para µL1=1,00*1,05 e µL2=0,50*1,05 na região em
contato com o solo, e bóia de 200 m com redução de 80% na reação lateral máxima.
468
As Figuras 8.143 a 8.145 mostram a evolução da tensão axial no ponto crítico da alça de
deformação com flambagem lateral, para os diferentes comprimentos de bóias
analisados, reduzindo a reação máxima do solo em 80, 60 e 40% respectivamente.
Figura 8.143 – Tensão axial durante 10 ciclos com “shutdown” completo
(∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa), para µL1=1,00*1,05 e µL2=0,50*1,05 na região em
contato com o solo, e redução de 80% na reação lateral máxima nas bóias.
469
Figura 8.144 – Tensão axial durante 10 ciclos com “shutdown” completo
(∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa), para µL1=1,00*1,05 e µL2=0,50*1,05 na região em
contato com o solo, e redução de 60% na reação lateral máxima nas bóias.
Figura 8.145 – Tensão axial durante 10 ciclos com “shutdown” completo
(∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa), para µL1=1,00*1,05 e µL2=0,50*1,05 na região em
contato com o solo, e redução de 40% na reação lateral máxima nas bóias.
470
Os resultados apresentados mostram que reduções de até 40% na reação lateral máxima
não fornecem ganhos significativos para a deformação e variação de tensão axial
máximas, variando os comprimentos das bóias. Para valores acima destes pode-se obter
um comprimento que minimize os esforços na alça de deformação.
As Figuras 8.146 e 8.147 mostram os estados limites de flambagem local
(despressurização) e fadiga, para os resultados obtidos reduzindo a reação lateral do
solo e variando o comprimento de bóia. Pode-se verificar que o estado limite de
flambagem local fica bem abaixo do limite para todos os casos analisados, porém o
comportamento mais uniforme só é obtido com a redução de 80% da reação lateral do
solo, onde a partir de um comprimento de bóia de 80 m, a redução da deformação axial
é mínima. Os aumentos verificados na deformação axial para alguns comprimentos de
bóias, devem-se a interação entre o comprimento da bóia e as alças de deformação
principal e secundária do duto sobre o solo, conforme explicado anteriormente.
Figura 8.146 – Check Unitário de deformação nos ciclos 1 e 10
(∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa).
471
Figura 8.147 – Check Unitário de fadiga nos ciclos 1 e 10
(∆θ=60 oC e ∆P=20,68 MPa).
Observando os resultados obtidos poder-se-ia concluir não ser necessário fornecer um
empuxo que reduza a reação lateral do solo acima de 40%, já que os estados limites de
flambagem local e fadiga passam com folga. Porém o empuxo e conseqüentemente a
redução na reação lateral do solo é geralmente definido pela confiabilidade desejada
para que a flambagem ocorra preferencialmente nas bóias e não sobre o piso marinho.
Em uma primeira avaliação a redução na reação lateral do solo pode ser considerada
proporcional à redução no peso submerso do duto, o que é na realidade uma hipótese
conservadora já que o aumento da área de contato gerada pela bóia reduz o
enterramento de forma mais acentuada e conseqüentemente a reação lateral.
A Figura 8.148 mostra a redução na reação lateral em função do empuxo fornecido (%
do peso submerso do duto) utilizando as expressões 8.9 e 8.25, para os diferentes perfis
de resistência não-drenada do solo, verificando-se que de um modo geral a redução na
reação lateral é maior que a redução do peso submerso gerada pelo empuxo. Para a
obtenção do empuxo requerido para reduzir a reação lateral do solo de forma mais
precisa, deve-se utilizar um modelo de elementos finitos, já que expressões analíticas
possuem grandes incertezas associadas.
472
Figura 8.148 – Redução na reação lateral do solo em função
do empuxo fornecido pela bóia.
Como foi observado nas Figuras 8.146 e 8.147, mesmo para a redução de 40% na
reação lateral do solo (peso submerso), os estados limites de flambagem local e fadiga
são obedecidos com relativa folga. Tal resultado permitiria inclusive aumentar o
comprimento de expansão térmica para valores superiores ao analisado (CET=2000 m),
sem comprometer a integridade estrutural do duto.
Porém a determinação do espaçamento entre os pontos preferenciais de flambagem
assim como o nível de redução na reação lateral do solo proporcionado pelo empuxo das
bóias, é função também do nível de confiabilidade que deve ser alcançado. Deste modo
a possibilidade de flambagens no piso marinho entre as bóias, ou mesmo a chance de
falha de flambagem em alguma bóia deve ser analisado para não comprometer a
performance da solução.
473
Para verificar o nível de confiabilidade das soluções de flambagem controlada, modelos
teóricos vêm sendo desenvolvidos. A análise de modelos de confiabilidade assim como
seu desenvolvimento foge ao objetivo deste trabalho, porém será avaliado de forma
simplificada o nível de confiabilidade da solução com bóias e interferências verticais.
Modelos de confiabilidade podem ser desenvolvidos a partir da determinação das
funções de estado limite que regem o fenômeno de flambagem em dutos aquecidos. A
flambagem irá ocorrer quando o esforço axial no duto for maior que o esforço limite
crítico, sendo dado pela seguinte expressão:
(8.26)
Para imperfeições verticais o esforço axial crítico de flambagem é dado por (CARR,
2004g,2004j):
critef NN ≥
Xk
EIWN
w
subcrit
φ∆= (8.27)
Para imperfeições laterais com comprimentos longos o esforço axial crítico de
flambagem é dado por:
RXWN subLcrit µ= (8.28)
Nas expressões acima:
é o peso submerso do duto subW
EI é o módulo de rigidez à flexão
∆ é a altura máxima da imperfeição vertical
é um parâmetro ajustado numéricamente
R é o raio de curvatura.
wkφ
Lµ é o coeficiente de atrito lateral.
X é a incerteza associada ao modelo
474
No cálculo dos modelos de confiabilidade foi utilizada a técnica de Monte-Carlo para a
geração das curvas de probabilidade de falha acumuladas. A tabela 8.11 mostra os
valores utilizados nos cálculos baseados em dados específicos de projeto de dutos
submarinos com características semelhantes ao avaliado neste capítulo (CARR, 2004 j).
Tabela 8.11 – Distribuição de probabilidades das variáveis básicas
utilizadas no modelo de confiabilidade
Variável Distribuição Média Cov
subW Normal 1,284 KN/m 0,75%
EI Normal Calculado 3,2%
∆ Normal 0,20 m 25%
wkφ Normal 0,061 0,2%
R Normal 1500 m 20%
Lµ Normal 1,05 10%
Utilizando as funções de estado limite e os dados da tabela 8.11, foi possível gerar as
curvas de probabilidade de flambagem para o duto sobre o piso marinho e bóia nas
direções vertical e horizontal.
Verifica-se que para um empuxo de 80% do peso submerso do duto a probabilidade de
ocorrência de flambagem nas bóias ocorre para esforços axiais significativamente
menores aos verificados para o duto sobre o piso marinho. A Figura 8.149 mostra para
os dados utilizados, que a probabilidade de flambagem (falha) na bóia é de praticamente
100%, enquanto é praticamente nula no piso marinho, quando se comparam os
resultados nas direções vertical e lateral.
475
Figura 8.149 – Probabilidade de flambagem em função do esforço axial efetivo
para duto sobre o piso marinho e com bóias (redução de 80% no peso submerso)
Nas Figuras 8.150 e 8.151 são mostrados respectivamente as curvas de probabilidade de
falha para empuxos de 60 e 40% do peso submerso respectivamente. Pode-se observar
que para uma redução de 60% no peso submerso, a probabilidade de falha no piso
marinho aumenta, já que o esforço axial correspondente a aproximadamente 100% de
probabilidade de flambagem na bóia, fornece uma probabilidade próxima a 10% de
flambagem sobre o piso marinho. Para uma redução de apenas 40% no peso submerso a
situação fica ainda mais desfavorável já que o esforço axial correspondente a
aproximadamente 100% de probabilidade de flambagem na bóia, fornece uma
probabilidade próxima a 50% de flambagem sobre o piso marinho.
As probabilidades de falha associadas às reduções de 60 e 40% do peso submerso do
duto obtidas não são aceitáveis. Em geral probabilidades de falha são limitadas a valores
inferiores a 10-4 nos códigos de dimensionamento para estados limites críticos, sendo
razoável adotar-se o mesmo critério em estudos de confiabilidade de dutos aquecidos,
como é o caso de flambagens sobre o piso marinho.
476
Figura 8.150 – Probabilidade de flambagem em função do esforço axial efetivo
para duto sobre o piso marinho e com bóias (redução de 60% no peso submerso).
Figura 8.151 – Probabilidade de flambagem em função do esforço axial efetivo
para duto sobre o piso marinho e com bóias (redução de 60% no peso submerso).
477
Desta forma, para obter-se uma probabilidade de falha no piso marinho inferior a 10-4 é
necessário reduzir o peso submerso do duto para algo em torno de 80%, para obter-se
elevados níveis de confiabilidade de flambagem nos flutuadores no caso analisado.
A Figura 8.152 mostra a probabilidade de flambagem nas bóias e piso marinho, para
uma redução de 80% no peso submerso porém reduzindo o coeficiente de atrito lateral
médio para 0,75. Observa-se uma redução dos esforços axiais de flambagem, porém
mantendo-se as proporções entre as curvas obtidas anteriormente (Figura 8.149), para
flambagem lateral, mantendo a conclusão obtida anteriormente. A Figura 8.152 como as
mostradas anteriormente, mostra que a flambagem ocorre mais facilmente no plano
horizontal visto que as cargas para a ocorrência de flambagem vertical são
sensivelmente maiores.
Figura 8.152 – Probabilidade de flambagem em função do esforço axial efetivo
para duto sobre o piso marinho e com bóias (redução de 80% no peso submerso e
redução do atrito lateral médio para 0,75).
478
De um modo geral, como pode ser observado, a redução no peso submerso do duto é
definido pelo nível confiabilidade a ser alcançado e não pelos estados limites críticos de
dimensionamento em dutos aquecidos. Os estados limites críticos definem o
espaçamento entre os pontos preferenciais de flambagem (CET) e no caso das bóias
permitem otimizar o comprimento necessário.
No caso de interferências verticais “sleepers”, o modelo de confiabilidade deve
considerar a tridimensionalidade do fenômeno de flambagem. Carr (2004j) desenvolveu
um modelo de confiabilidade de flambagem para imperfeições verticais que leva em
consideração o efeito tridimensional do fenômeno, através da expressão mostrada
abaixo.
XaNN
aaNN
aaNNV
L
V
LLcrit ⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= 3
2
2121 (8.29)
onde:
w
subV sk
EIWN
φ∆= e RsWN subLSL µ= (8.30)
com:
∆s - altura máxima da imperfeição vertical “sleeper”
Rs - raio de curvatura na região da imperfeição vertical.
LSµ - coeficiente de atrito lateral entre os dutos
As demais variáveis são as mesmas descritas para as equações (8.27) e (8.28). Os
parâmetros a1, a2 e a3 são valores ajustados que dependem de propriedades geométricas
da seção transversal do duto. No caso específico analisado neste capítulo (Carr,2004j)
assumem valores respectivamente de 2,0367; 2,5151 e 4,8581.
479
A tabela 8.12 mostra os valores adicionais necessários para os cálculos no modelo com
interferências verticais baseados em dados específicos de projeto de dutos submarinos
com características semelhantes ao avaliado neste capítulo (CARR, 2004 j).
Tabela 8.12 – Distribuição de probabilidades das variáveis básicas adicionais
utilizadas no modelo de confiabilidade de interferências verticais
Variável Distribuição Média Cov
∆s Normal 0,50 m 15%
Rs Normal 5000 m 20%
LSµ Normal 0,1 10%
Utilizando as funções de estado limite e os dados das tabelas 8.11 e 8.12, pode-se
comparar as curvas de probabilidade de flambagem para o duto sobre o piso marinho,
bóia e interferência vertical. A Figura 8.153 mostra que a interferência vertical possui
potencialidade de flambagem bem superior a verificada sobre o piso marinho, porém
ainda menor que na bóia (empuxo de 80% do peso submerso) para flambagem lateral.
De um modo geral as bóias com empuxos adequados possuem uma confiabilidade
maior, já que iniciam o processo de flambagem para cargas de compressão menores.
Outro fator que deve ser considerado na solução utilizando interferências verticais é o
controle do atrito entre os dutos, que deve ser o menor possível. Na Figura 8.153 foi
utilizado um valor igual a 0,1, caso o atrito seja igual a 0,2 a potencialidade de
flambagem nas regiões com interferências verticais diminui sensivelmente como pode
ser visto na Figura 8.154.
480
Figura 8.153 – Probabilidade de flambagem em função do esforço axial efetivo
para duto sobre o piso marinho e com bóias (redução de 80% no peso submerso) e
interferências verticais.
Figura 8.154 – Probabilidade de flambagem em função do esforço axial efetivo
para duto sobre o piso marinho e com bóias (redução de 80% no peso submerso) e
interferências verticais aumentando atrito para 0,2.
481
Conforme foi visto de forma bastante sucinta as soluções para controle de flambagem
termomecânica devem envolver análises do nível de confiabilidade requerida para o
caso específico em estudo. Os modelos empregados para avaliar o nível de
confiabilidade ainda estão sendo validados, sendo empregados em alguns projetos
(CARR,2004c,2004j), obtendo resultados satisfatórios.
482
9 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
O estudo do comportamento termomecânico de dutos submarinos submetidos à altas
temperaturas e pressões tem ganho uma grande importância na última década, devido a
necessidade de escoar óleo em distâncias e lâminas d´agua cada vez maiores.
Um dos principais objetivos deste trabalho foi estudar o comportamento estrutural de
dutos aquecidos frente aos estados limites de flambagem local de parede e fadiga
termomecânica. Confirmou-se que para viabilizar o dimensionamento de dutos
submarinos apoiados sobre o piso marinho com elevadas pressões e temperaturas deve-
se utilizar uma metodologia de dimensionamento baseada em deformações admissíveis.
O dimensionamento utilizando o critério tradicional baseado no dimensionamento por
tensões admissíveis ou esforços solicitantes leva a comprimentos de expansão térmica
máximos muito reduzidos conforme visto no capítulo 8.
Os modelos implementados no programa AEEPECD para considerar diferentes aspectos
da interação solo-duto vistos no capítulo 8, mostraram ser possível através da utilização
do dimensionamento por deformações admissíveis obter comprimentos de expansão
térmica (CET), que conjugados à técnicas de controle do processo de flambagem
viabilizam o dimensionamento de dutos submarinos mesmo para coeficientes de atritos
representativos de condições extremas.
Outro aspecto verificado nos modelos simulados foi a necessidade de representar a
interação solo-duto da forma mais realista possível visto que a deformação axial é uma
variável que possui grande sensibilidade quando a plasticidade do material é ativada. Na
realidade o comportamento de dutos aquecidos é regido por um mecanismo misto de
carga e deslocamento controlados. O deslocamento controlado é induzido pela expansão
térmica do duto, enquanto existe uma componente de carga controlada dada pela reação
lateral do solo (atrito lateral). O dimensionamento utilizando critério de deformações
pode ser utilizado em dutos aquecidos, porém utilizando um modelo de solo bem
representativo e com uma certa dose de conservadorismo (coeficientes de atrito
críticos), gerando grandes ganhos em relação à metodologia usual. A utilização do
483
critério de deformações admissíveis só é possível em dutos submarinos profundos
devido à baixa relação D/t, que permite o dimensionamento em regime plástico.
A simulação de dutos aquecidos é feita usualmente utilizando modelo plástico-perfeito
(Mohr-Coulomb) para representar a interação solo-duto. Foi visto no capítulo 8 que esta
forma de representar as reações desenvolvidas pelo solo, não é adequada para avaliar o
comportamento de dutos aquecidos submetidos à carregamentos cíclicos. A
consideração de pico iniciais de mobilização no atrito lateral, efeito de valas sobre o
piso marinho e o atrito lateral “secundário” devem ser inseridos no modelo para
representar adequadamente o comportamento termomecânico do duto.
As simulações utilizando modelos de interação solo-duto com valas mostraram que
estas praticamente não alteram as deformações e tensões máximas nas alças com
flambagem ao longo dos ciclos de carregamento e descarregamento para variações de
temperatura e pressão que não excedam significativamente as que geraram a vala,
fornecendo apenas estabilidade ao duto condizente com observações realizadas em
linhas em operação.
O principal problema associado às valas sobre o piso marinho reside na possibilidade
destas serem formadas com um determinado par temperatura/pressão,
significativamente diferente do máximo projetado para a linha. Isto poderia
sobrecarregar o duto numa condição extrema, caso o acréscimo de atrito lateral da vala
seja mobilizado envolvendo deslocamentos significativos.
A simulação do comportamento do duto para vários ciclos de carregamento e
descarregamento quando é utilizada a metodologia de deformações admissíveis é
fundamental, pois a condição mais crítica ocorre durante uma possível despressurização
da linha, conforme verificado no capítulo 8.
A consideração correta da pressão interna no desenvolvimento do processo de
flambagem em dutos submarinos é fundamental já que é uma parcela significativa do
esforço efetivo axial de compressão no duto. A contribuição da pressão interna tende a
se tornar cada vez mais significativa com o desenvolvimento de campos submarinos em
lâminas d´agua cada vez mais profundas.
484
A utilização das curvas de fadiga usuais (SN) permitem avaliar o estado limite de fadiga
em dutos aquecidos, mostrando que o número de ciclos máximos é relativamente baixo
(em torno de 1000 ciclos para as variações máximas de tensão num aço X65), o que
pode ser um grande problema em dutos aquecidos com número elevado de ciclos de
aquecimento e resfriamento. Outro problema que pode tornar a fadiga crítica é a
exposição do aço a ambientes agressivos (CO2 e H2S), onde algumas pesquisas ainda
incipientes mostraram redução na vida à fadiga de até 50 vezes em relação às curvas de
fadiga no ar.
A utilização de métodos para o controle de flambagem termomecânica mostrados,
permitem reduzir significativamente as deformações e tensões, proporcionando uma
alternativa viável para a redução do comprimento de expansão térmica (CET).
O principal problema das técnicas de controle de flambagem é garantir que não
ocorrerão flambagens intermediárias sobre o piso marinho ou que a flambagem falhe em
algum ponto pré-estabelecido. Desta forma a possibilidade de uma flambagem sobre o
piso marinho geralmente limita o espaçamento máximo entre os pontos de indução de
flambagem. Atualmente estão sendo desenvolvidos modelos de análise de
confiabilidade para avaliar os riscos envolvidos em cada técnica de flambagem
controlada para que seja possível avaliar os custos e riscos envolvidos em cada solução.
Alguns dos principais pontos que ainda necessitam de estudos para a avaliação do
comportamento estrutural de dutos submarinos aquecidos são:
- Validação dos modelos de controle de flambagem através da comparação de
resultados de projetos, com os verificados durante a operação do duto. Atualmente
existem poucas validações da performance destas soluções, para avaliar as incertezas
envolvidas nos modelos e variáveis envolvidas.
485
- Como as soluções utilizando flambagem controlada são muito recentes o seu
comportamento pode se melhor avaliado através de testes em escala reduzida.
- Montagem de uma base de dados com os principais fatores que influenciam o
início do processo de flambagem termomecânica, possibilitando o desenvolvimento de
modelos confiáveis de previsão de flambagem controlada (raio de curvatura, atritos
lateral e axial, incerteza do modelo, etc...). A montagem desta base de dados depende
muito de investimentos em inspeções submarinas do acompanhamento do
comportamento de linhas durante o início de operação e realização extensiva de testes
experimentais para a determinação das principais componentes das curvas de reação do
solo.
- Desenvolvimento de testes experimentais de interação solo-duto em escala
reduzida e real para dutos submetidos à carregamentos cíclicos com grandes
deslocamentos. Os testes têm como objetivo avaliar as principais características da
curva de reação do solo durante carregamentos cíclicos, sendo uma valiosa contribuição
para a utilização do critério de dimensionamento baseado em deformações admissíveis.
- O estado limite de fadiga em dutos aquecidos envolve ciclagem com grandes
variações de tensões (>SMYS), sendo necessário a determinação de curvas de fadiga
específicas de baixo ciclo, permitindo a obtenção de resultados mais representativos de
fadiga termomecânica. Pesquisas para a obtenção de curvas de fadiga em condições
extremas também são fundamentais, já que a flambagem termomecânica de dutos
geralmente envolve altas temperaturas, elevadas deformações e ambientes agressivos.
- As expressões existentes na literatura para a determinação da deformação axial
crítica fornecem resultados bem discrepantes entre si, devido a grande quantidade de
fatores envolvidos na detonação do processo de flambagem local de parede, sendo ainda
necessário um grande esforço tecnológico para considerar estes fatores numa única
expressão.
- O desenvolvimento do processo de flambagem termomecânica depende das
condições de contorno existentes, podendo ocorrer de forma abrupta. O estudo dos
efeitos dinâmicos envolvidos ao longo deste processo conjugado com a não-linearidade
486
física do material deve ser investigado, para verificar a possibilidade de possíveis picos
de deformações durante a flambagem.
- O efeito de deformações residuais no duto no início do processo de flambagem
termomecânico deve ser avaliado, já que métodos de lançamento como “reel” geram
deformações residuaiseelevadas na linha.
487
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500
ANEXO A (NOTAÇÃO UTILIZADA)
Na implementação do método dos elementos finitos, tensores de segunda ordem
simétricos são escritos como matriz coluna. A conversão da notação tensorial, incluído
tensores de ordem mais elevada para a notação matricial, é chamada de notação de
Voigt.
A conversão do tensor de tensões da notação tensorial para a matricial (Voigt) no caso
tridimensional é fornecida abaixo:
Tensorial (A.1)
ou:
Voigt (A.2)
A conversão do tensor de deformações da notação tensorial para a matricial (Voigt) no
caso tridimensional é fornecida da mesma forma que para o caso das tensões, conforme
abaixo:
(A.3)
ou:
(A.4)
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
σσσσσσσσσ
σσσσσσσσσ
σ
333231
232221
131211
2
{ } { }yzxzxyzzyyxxT σσσσσσσ =
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
εγγγεγγγε
εεεεεεεεε
εεεεεεεεε
ε5.05.0
5.05.05.05.0
333231
232221
131211
2
{ } { }yzxzxyzzyyxxT γγγεεεε =
501
O fator 2 presente na deformação cisalhante ( xyxy εγ 2= ), resulta da necessidade de
manter-se a equivalência de energia utilizando as notações tensorial ou matricial
(Voigt). É fácil verificar a equivalência para um incremento de energia interna de um
corpo sólido em ambas as notações, conforme mostrado abaixo:
[ ] [ ] { } { }σεσεσερ Tijij ddddW === 22
int : (A.5)
A notação matricial de Voigt é particularmente poderosa para a implementação no
método dos elementos finitos, na conversão de tensores de quarta ordem em matrizes de
segunda ordem. O caso da relação constitutiva linear elástica para o tensor de tensões, é
o caso mais importante envolvendo o tensor de quarta ordem.
A relação constitutiva entre o tensor de tensões e deformações em notação tensorial é
dada por:
ijklD
ijijklij D εσ = (A.6)
ou:
[ ] [ ] [ ]222 : εσ D= (A.7)
Utilizando a notação de Voigt (matricial), a relação constitutiva elástico linear tensão-
deformação é dada por:
{ } [ ]{ }εσ D= (A.8)
A matriz de constantes elásticas [ ]D , é fornecida abaixo para diferentes modelos
estruturais da mecânica do contínuo, assim como os vetores de tensão e deformação
utilizados na expressão (A.8).
502
Estado Plano de tensões:
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
2
100
0101
21 νν
ν
ν
ED (A.9)
Estado Plano de deformações:
[ ] ( )( )( )
( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−
−+
−=
ν
νν
νν
ν
νν
ν
12
2100
011
01
1
211
1ED (A.10)
Para os modelos de estado plano de tensão e deformação os vetores de tensão e
deformação utilizando a notação de Voigt, são dados por:
(A.11)
{ } { }xyyyxxT σσσσ =
{ } { }xyyyxxT εεεε =
503
Modelo axissimétrico:
[ ] ( )( )( )
( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
−−−
−−
−+
−=
1011
012
2100
101
1
10
11
211
1
ν
ν
ν
νν
νν
ν
ν
νν
ν
ν
ν
νν
νED (A.12)
Os vetores de tensão e deformação para o modelo axissimétrico utilizando a notação de
Voigt, é fornecido abaixo:
(A.13)
Modelo tridimensional:
{ } { }zzxyyyxxT σσσσσ =
{ } { }zzxyyyxxT εεεεε =
[ ] ( )( )( )
( )
( )
( )⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
−−
−−−
−−
−−
−+
−=
ν
νν
νν
νν
ν
ν
νν
ν
ν
νν
ν
ν
ν
νν
ν
12
2100000
012
210000
0012
21000
000111
0001
11
00011
1
211
1ED (A.14)
Os vetores de tensão e deformação utilizados em conjunto com a matriz de constantes
elásticas, são os mesmos definidos anteriormente em (A.2) e (A.4).
504
ANEXO B - CAMPOS DE DESLOCAMENTOS E DEFORMAÇÕES PARA ELEMENTO DE CONTÍNUO E CONTATO TRIDIMENSIONAIS
B.1 ELEMENTO DE CONTÍNUO TRIDIMENSIONAL
Da mesma forma feita para o elemento de contínuo bidimensional, pode-se obter as
expressões para o campo de deslocamentos e deformações para o elemento sólido
isoparamétrico tridimensional em função dos deslocamentos nodais.
Utilizando as funções de interpolação do elemento sólido 3D (Figura B.1), pode-se
campo de deslocamentos no domínio de cada elemento para problemas tridimensionais
em função dos valores nodais, que em notação matricial pode ser definida como
(COSTA,1984, BATHE,1996):
(B.1)
onde:
N – Número de Nós dos elementos sólidos tridimensionais (1 até 20)
- vetor de deslocamentos no domínio do elemento
{ } [ ]{ }
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
===
N
N
N
N
N
N
WVU
WVUWVU
wv
HHH
HHH
HHH
UHu
d
M2
2
2
1
1
1
21
21
21
00...000000...000000...0000
{ }d
505
[ ]H - Matriz de funções de interpolação do elemento
- vetor de deslocamentos nodais do elemento referido ao sistema global
{ }U
Figura B.1 - Elemento isoparamétrico tridimensional com número
de nós variando de 8 até 20
As funções de interpolação para o elemento sólido isoparamétrico tridimensional com
número de nós variando de 8 até 20 são fornecidas abaixo (COSTA,1984,
BATHE,1996).
( ) 21712911 ggggH ++−=
( ) 21810922 ggggH ++−=
( ) 219111033 ggggH ++−=
( ) 220121144 ggggH ++−=
( ) 217161355 ggggH ++−=
( ) 218141366 ggggH ++−=
( ) 219151477 ggggH ++−=
506
( ) 220161588 ggggH ++−=
jj gH = para j = 9, .. , 20
(B.2)
onde:
caso o nó i não seja incluído
)
0=ig
( ) ( ) ( iiii GGGg ζζηηξξ ,,,= (B.3)
( ) ( )ββββ iiG += 121, p 1ara ±=iβ
( ) ( )2121, βββ −=iG para 0=iβ (B.4)
Nas duas expressões acima ζηξβ ,,=
O tensor de deformação tridimensional está associado a uma matriz de transformação
linear (deslocamento versus deformação), conforme apresentado abaixo na forma
matricial.
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂∂∂∂∂∂∂
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
zu
xw
zv
yw
yu
xv
zwyvxu
xz
yz
xy
zz
yy
xx
γγγεεε
(B.5)
507
ou:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
zwywxwzvyvxvzuyuxu
xz
yz
xy
zz
yy
xx
001000100010100000000001010100000000000010000000000001
γγγεεε
(B.6)
ou:
{ } [ ]{ } zyxuA ,,=ε (B.7)
Em coordenadas naturais, o vetor de derivadas dos incrementos de deslocamentos é
dado por:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
zwywxwzvyvxvzuyuxu
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx
zyxzyxzyx
wwwvvvuuu
ζζζ
ηηη
ξξξ
ζζζ
ηηη
ξξξ
ζζζ
ηηη
ξξξ
ζηξζηξζηξ
,,,000000,,,000000,,,000000000,,,000000,,,000000,,,000000000,,,000000,,,000000,,,
(B.8)
508
ou:
{ } [ ]{ } zyxa uJu ,,,, =ζηξ (B.9)
Portanto:
{ } [ ] { } ζηξ ,,1
,, uJu azyx−= (B.10)
Onde:
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
N
WVU
WVUWVU
HHHHHHHHH
HHHHHHHHH
HHHHHHHHH
wwwvvvuuu
M2
2
2
1
1
1
,,2,1
,,2,1
,,2,1
,,2,1
,,2,1
,,2,1
,,2,1
,,2,1
,,2,1
00...000000...000000...0000
00...000000...000000...000000...000000...000000...0000
ζζζ
ηηη
ξξξ
ζζζ
ηηη
ξξξ
ζζζ
ηηη
ξξξ
ζηξζηξζηξ
(B.11)
ou:
{ } [ ]{ }UDHu =ζηξ ,, (B.12)
Utilizando (B.12) em (B.10), tem-se:
{ } [ ] [ ]{ }UDHJu azyx1
,,−= (B.13)
509
Nas expressões (B.8) e (B.11), foram utilizadas as relações:
; ;
; ;
(B.14)
onde:
- Funções de interpolação em coordenadas naturais;
- Coordenadas cartesianas dos pontos nodais do corpo sólido.
- deslocamentos dos pontos nodais do elemento.
Da primeira expressão de (B.14), tem-se:
; ;
para
∑=
=N
rrr XHx
1∑=
=N
rrrYHy
1
∑=
=N
rrr ZHz
1
∑=
=N
rrrUHu
1∑=
=N
rrrVHv
1∑=
=N
rrrWHw
1
rH
rX ; rY ; rZ
rU ; rV ; rW
∑=
=N
rrr XHx
1,, ββ ∑
=
=N
rrr YHy
1,, ββ ∑
=
=N
rrr ZHz
1,, ββ
ζηξβ ,,= (B.15)
510
{ }εA expressão final tensor de deformações para modelos tridimensionais é obtida
utilizando (B.13) em (B.7), resultando em:
{ } [ ][ ] [ ]{ }UDHJA a1−=ε (B.16)
ou:
{ } [ ]{ }UB=ε (B.17)
A notação utilizada para o tensor de deformações em modelos tridimensionais (B.17), é
semelhante à usada em modelos planos e axissimétricos. Desta forma na apresentação
das equações do método dos elementos os tensores de tensão e deformação serão feitas
numa forma genérica sem diferenciação para modelos bidimensionais ou
tridimensionais.
B.2 ELEMENTO DE INTERFACE TRIDIMENSIONAL
Da mesma forma ao feito para o elemento de interface bidimensional, o elemento de
interface tridimensional faz uso do sistema de coordenadas local, onde as tensões
normal e cisalhantes estão relacionadas aos deslocamentos relativos dos elementos
sólidos tridimensionais adjacentes. Deste modo para o caso tridimensional, tem-se de
forma semelhante ao mostrado para os elementos bidimensionais que.
{ } [ ]{ }csnsn
csn dC ∆=σ (B.18)
ou:
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
∆∆∆
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
n
s
s
n
s
s
cn
cs
cs
wvu
CC
C
2
1
2
1
2
1
000000
σσσ
(B.19)
511
Para obtenção dos deslocamentos nodais relativos para o elemento de interface no
sistema local, primeiramente é necessário obter os deslocamentos relativos entre as
superfícies topo e base do elemento de interface (Figura B.2) no sistema global. Deste
modo o deslocamento na superfície topo é dada por:
(B.20)
ou:
topo
NS
NS
NS
NS
NS
NStopo
WVU
WVUWVU
HHHHHH
HHH
wvu
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
M2
2
2
1
1
1
21
21
21
00...000000...0000
0...0000
{ } [ ]{ }topotopo UHd = (B.21)
Da mesma forma para os deslocamentos da superfície base do elemento de interface,
são dados por:
(B.22)
base
NS
NS
NS
NS
NS
NSbase
WVU
WVUWVU
HHHHHH
HHH
wvu
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
M2
2
2
1
1
1
21
21
21
00...000000...0000
0...0000
512
ou:
{ } [ ]{ }basebase UHd = (B.23)
Nas expressões (B.20) e (B.22) NS denota o número de nós das superfícies topo e base
do elemento de interface, sendo as funções de interpolação iguais ao do elemento sólido
bidimensional (Figura 3.1).
Utilizando (B.21) e (B.23), temos o deslocamento relativo entre as superfícies topo e
base do elemento de interface referidos ao sistema global, sendo dado por:
{ } { } { } [ ]{ }UHddd basetopoc ∆=−=∆ (B.24)
Figura B.2 – Nós do topo e base para o elemento de interface quadrático tridimensional
513
Com os deslocamentos nodais relativos referidos ao sistema global (xyz), deve-se obter
estes no sistema local (s1 s2 n) do elemento de interface (Figura B.2). Deste modo é
necessário obter vetores unitários no sistema local em cada ponto de integração do
elemento de interface. O vetor normal à superfície de contato é dado por:
{ }
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂
×
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
∂∂∂∂∂∂
=
ηξηξ
ηξηξ
ηξηξ
η
η
η
ξ
ξ
ξ
xyyx
zxxz
yzzy
z
y
x
z
y
x
Vn (B.25)
Sendo o vetor unitário na direção normal ao elemento de interface dado por:
{ } { }{ }n
n
VV
n = (B.26)
Os dois vetores unitários tangentes são dados por:
(B.27)
Para o caso em que o vetor normal à superfície de contato coincide com a direção x, o
vetor unitário é definido conforme mostrado abaixo.
(B.28)
{ } { } { } { }nnes x ×⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=×=001
1
{ }1s
{ } { } { } { }nnes y ×⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=×=010
1
514
O vetor tangente é definido pelo seguinte produto vetorial:
{ }2s
{ } { } { }12 sns ×= (B.29)
Para relacionar os deslocamentos das superfícies topo e base do elemento de interface
no sistema global com o sistema local, é necessário definir a matriz de rotação entre os
dois sistemas coordenados. A matriz de rotação é formada pelos co-senos diretores dos
eixos cartesianos locais em relação ao sistema cartesiano global.
Definindo:
[ ] { }{ }{ }[ ]nss 21=θ (B.30)
ou:
(B.31)
onde:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
332313
322212
312111
λλλλλλλλλ
θ
11λ , 12λ e 13λ são os co-senos diretores do eixo s1 em relação aos eixos x, y e z
21λ , 22λ e 23λ são os co-senos diretores do eixo s2 em relação aos eixos x, y e z
31λ , 32λ e 33λ são os co-senos diretores do eixo n em relação aos eixos x, y e z
Os deslocamentos nas direções normal e tangencial ao elemento de interface à
superfície de contato podem ser relacionados aos deslocamentos no sistema global da
seguinte forma utilizando (B.31).
(B.32)
[ ]⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
wvu
uuu
T
n
s
s
θ2
1
515
ou:
{ } [ ] { }cTcsn dd θ= (B.33)
Desta forma o deslocamento relativo entre as superfícies topo e base do elemento de
interface tridimensional, pode ser obtido através de (B.24) e (B.32), tem-se:
[ ] [ ]
base
T
topo
T
n
s
s
wvu
wvu
wvu
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
∆∆∆
θθ2
1
(B.34)
ou:
{ } [ ] { }cTcsn dd ∆=∆ θ (B.35)
assim:
{ } [ ] [ ]{ } { }( )basetopoTcsn UUHd −=∆ θ (B.36)
ou:
{ } [ ] [ ]{ }UHd Tcsn ∆=∆ θ (B.37)
O vetor de deslocamentos relativos entre as superfícies topo e base do elemento de
interface no sistema global é dado por:
516
{ } [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=∆
N
N
N
WVU
WVUWVU
IIII
U
M2
2
2
1
1
1
0000
(B.38)
ou:
{ } [ ]{ }UAU =∆ (B.39)
Em (B.38) e , são respectivamente a matriz identidade e nula de dimensão 8x8.
Utilizando (B.39) em (B.37) temos que:
[ ]I [ ]0
{ } [ ] [ ][ ]{ }UAHd Tcsn θ=∆ (B.40)
ou:
{ } [ ]{ }UBd Gcsn =∆ (B.41)
517
ANEXO C - FLUXOGRAMAS DE ALGORITMOS NUMÉRICOS
Neste anexo são apresentados os fluxogramas numéricos para a correção das tensões
devido á não-linearidade física nos elementos de contínuo e contato do AEEPECD.
C.1 FLUXOGRAMA PARA CORREÇÃO DO TENSOR DE TENSÕES PELA TEORIA DA PLASTICIDADE NO ELEMENTO DE CONTÍNUO
Para a implementação numérica, da correção pela teoria da plasticidade do incremento
de tensões no passo de carga (t+∆t) da iteração (k), a expressão (D.1) é modificada,
realizando a correção pela teoria da plasticidade diretamente sobre os incrementos de
tensões e não de deformações como mostrado anteriormente. Deste modo temos:
(D.1)
ou
{ } ( ) [ ] { }( ) { } { }( )ko
kkke D 11 δεδεεσ θ
∆−∆−∆=∆
{ } { } { } { } k
o
k
eδδ 11 σσσσ
θε∆+∆+∆←∆ (D.2)
onde:
; { } [ ]{ }( )kD εεσ ∆=∆ { } [ ]{ }θεθ
σ ∆−=∆ D ; { } [ ]{ }θεσ ∆−=∆ Do (D.3)
Deste modo o Fluxograma do processo iterativo de correção do estado de tensões pela
teoria da plasticidade de iteração (k) qualquer de um incremento de carga (t+∆t), é
mostrado abaixo, para um ponto de integração do meio contínuo.
518
519
Para cada ponto de integração dos elementos de contínuo
{ } { } )(ktto σσ 1−∆+←
{ } { } )(ktto εε 1−∆+←
{ } { }(k)tt εε ∆+← )(k
p
tt
po
1−∆+← εε
{ } rinicializa←∆θ
σ
{ } rinicializao←∆σ
{ } .0←∆θ
σ { } .0←∆
oσ
{ } { } { }oεεε −←∆ { } [ ]{ }εσ D ∆←∆ ε
{ } { } { } { } k
o
k
eδδ 11 σσσσ
θε∆+∆+∆←∆
{ } { } kc δ1
θθσσ ∆←∆
{ } { } k
oo
c δ1σσ ∆←∆
{ } { } { }eo σσσ ∆+←
{ }( )oo σff ←
{ }( )σff ←1
1
Condição
FALSO
VERDADEIRO
520
1
01 >f
( )oo fffr −−← 1
{ } { } { } { } { }( )oo σσσrσ ∆+∆+∆+←
θεσ
{ } { } { }εrεε o ∆+←
{ } { } { }θθθσσσ ∆+∆←∆ r
{ } { } { }ooor σσσ ∆+∆←∆
{ }( ) TOLf >σ
1=IPEL
2←IPEL
{ } { }σσ o ← { } { }εε o ←
{ } ( ){ }εrε ∆−←∆ 1
{ } ( ){ }εε σrσ ∆−←∆ 1
{ } ( ){ }θθσσ ∆−←∆ r1
{ } ( ){ }oo r σσ ∆−←∆ 1
{ }( )σffo ←
{ } { }εrε ∆←∆ { } { }εε σrσ ∆←∆
{ } { }θθσσ ∆←∆ r
{ } { }oor σσ ∆←∆
{ }( )σff ←1
{ } { }oσ σ← { } { }oεε ←
{ } .0←∆θ
σ
{ } .0←∆o
σ
{ }( ) 0<σf
1←IPEL
2 3 3
521
{ } { } { }εε −←∆ ε
{ } { } mεε ∆←δ
{ } [ ]{ }δεδσ ε D←
{ } { } { }( ) mc
θθθ σσδσ ∆−∆←
{ } { } { }( ) moo
co σσδσ ∆−∆←
{ } { }σσ ←)0(
pop εε ←)0(
[ ] [ ]{ }{ }{ }
{ } { } { } { } { } [ ] { } { } { }( )opmoii
iσ
Tpm
D
D
σσ
haaD
δσδσδσδσδσδσθεθε++−+++←
=
−
−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
)1()(
)1(
{ }{ }
{ } { } { }( )o
iσ
T
i
p
i
p h
aδσδσδσεε
θ−−+←
−
−
)1(
)1()(
{ }( ) TOLiσf >)(
{ } { }( ){ } { }( )
{ }
{ }{ } )(
)(
)(
i
i
T
i
aaa
fσ
σ
σδσ
−=
{ } { } { }δσσσ +←)()( ii
i = 1, m
32
{ } { }(i)(k)tt σσ ←∆+
)( i
p
(k)
p
tt εε ←∆+
522
C.2 FLUXOGRAMA CORREÇÃO DA TENSÃO NORMAL NO ELEMENTO DE INTERFACE O Fluxograma implementado no código do AEEPECD para atualização da tensão
normal no elemento de interface, utilizando leis constitutivas elastoplástica-perfeita e
multilinear (capítulo 5), é mostrado abaixo. Por simplicidade foi omitido o incremento
de carga t + ∆t.
t
nσ ← o
nσ
CUTOFF == 1
)(~ kpnV∆ ← )1( −
∆kp
nV
)max(knσ ←
← +
)1max( −knσ
)(~ k
nσ o
nσ ( )knC Vn∆ + ( )1−kp
nσ
t
nσ ← ξ
)0(nlnV∆ ← inicializar com gap
← inicializar IPELCN ← inicializar com 1
)0max(nσ
Para cada ponto de integração dos elementos de contato
Inicializações para todos os pontos de integração dos
elementos de contato
t
nσ ← 0.
3=IPELCN
523
0≠onσ
3&
0)(~
≠
≠∆
IPELCN
kpnV
)( kp
nV∆ ← 0. )( kp
nV∆ ← nConσ−
0)(
≤∆k
nV
0~ )(≤
knσ
Quadrante - 1 Quadrante - 4 Quadrantes – 3 e 2
( )kpnσ∆ ←
←
Armazena ←
Armazena ←
Armazena ←
( )knσ -
( )knσ~
( )kpnσ
( )1−kpnσ +
( )kpnσ∆
( )knσ
( )kp
nσ
( )kp
nV∆
524
Fluxograma para atualização da tensão normal nos quadrantes 1 e 5.
. . . . . . . . .
.
.
. tn
kn σσ ≥)(~
)(k
nσ ← ( ))(~)( kpnV
knVnC ∆−∆
IPEL ← 1
)(knσ ← 0.
IPEL ← 3 IPEL CN← 3
0~ )(≤
knσ
0)(
≤∆k
nV
)()( ~ kpn
kn VV ∆∆ >
)max()(~ kn
kn σσ <
)(knσ ←
IPEL ← 2
)max(k
nσ
)(knσ ← 0.
IPEL ← 3
IPELCN ← 3
)(knσ ←
IPEL ← 1
)(~ k
nσ
Quadrante - 1
Atualização de
para
Quadrante - 4
)max(k
nσ
)(
)max()(
~ kpn
nCkn
kn
V
V
∆
∆
>
− σ
)(kp
nV∆ ← nCkn
knV )max()(
σ−∆
)(k
nV∆
525
Fluxograma para atualização da tensão normal nos quadrantes 2 e 3.
Descrição das variáveis utilizadas nos fluxogramas para lei constitutiva na direção
normal ao contato:
CUTOFF Variável de controle para escolha do critério para a ruptura na direção
normal no ponto de integração do elemento de interface.
IPELCN Variável de controle para o contato na direção normal do ponto de
integração do elemento de interface. IPELCN=1 indica contato com comportamento
elástico, IPELCN=3 indica que a tensão normal excedeu alguma vez a tensão de ruptura
no contato ( ), rompendo o contato permanentemente, devendo-se zerar a tensão de
ruptura no contato.
.
.
.
.
.
.
.
0)(
≤∆k
nV
. )(knσ ← 0.
IPEL ← 3
)(knσ ←
IPEL ← 1
)(~ k
nσ
IPELCN =3
)(knσ ← 0.
IPEL ← 3
IPELCN ← 3
tn
kn σσ ≥
)(~
Quadrantes – 2 e 3
tnσ
IPEL Variável de controle para o contato na direção normal do ponto de inetgração
do elemento de interface semelhante a IPELCN, só que atualizada em cada abertura
(IPEL=3) e fechamento do contato (IPEL=1), para verificar se a tensão de cisalhamento
deve ser zerada caso o contato esteja aberto.
Tensão normal “linearizada” no ponto de integração do elemento de interface
no incremento (t+∆t) na iteração (k), desconsiderando a parcela referente a
“deformação” permanente na iteração (k).
)(~ knσ
)(~ kpnV∆ Deslocamento relativo permanente não recuperável no ponto de integração
do elemento de interface no incremento (t+∆t) na iteração (k-1).
Tensão normal atualizada no ponto de integração do elemento de interface no
incremento(t+∆t) na iteração (k).
)(knσ
)(kpnV∆ Deslocamento relativo permanente não recuperável no ponto de integração
do elemento de interface no incremento (t+∆t) atualizado na iteração (k).
Tensão normal geostática no ponto de integração do elemento de interface.
Tensão normal de ruptura por tração no ponto de integração do elemento de
interface.
Tensão normal máxima de compressão no ponto de integração do elemento
de interface atualizada para o deslocamento relativo
onσ
tnσ
)max(knσ
)(knV∆ seguindo a lei constitutiva
selecionada no incremento (t+∆t) para a iteração (k).
O fluxograma mostrado acima para a consideração da interação solo-duto não considera
o atrito desenvolvido durante o descarregamento do duto, conforme mostrado nas
Figuras 5.33 e 5.34.
526
527
C.3 FLUXOGRAMA CORREÇÃO DA TENSÃO TANGENCIAL NO ELEMENTO DE INTERFACE
O Fluxograma implementado no código do AEEPECD para atualização da tensão
tangencial no elemento de interface, é mostrado abaixo. Por simplicidade foi omitido o
incremento de carga t + ∆t.
)(~ k
sσ ← + o
sσ ( )ksUCs ∆ +
( )1−kpsσ
UPDATE = 1
IPEL== 3
Quadrante - 3
ICR = 1
ICR = 2
LEI NAO
DISPONIVEL
oBk
skres
s)max()(
σσ ←
UPP ← sCos
ks )
)max(( σσ − ; URP← XM UPP
UPN ← -UPP-2 sCosσ ; URN ← -URP-2 sC
osσ
Quadrante - 2 Quadrante - 1 Quadrante - 4
)max(k
sσ ← ( ) )(11 rr tgnnec φσσ
+−
nσ ← )( k
nσ
)max(k
sσ ← )(φσ tgnc +
nσ ← o
nσ
0)(≤∆
ksU
)( k
sσ ← 0.
0)(~ ≥
ksσ 0
)(~ ≤k
sσ
( )kpsσ∆ ←
←
Armazena ←
Armazena ←
( )ksσ -
( )ksσ~
( )kp
sσ ( )1−kp
sσ +( )kp
sσ∆
( )ksσ
( )kp
sσ
528
)(_)( kires
s
k
s σσ ←
)()( ~ k
s
k
s σσ ←
)(_)(~ kiress
ks σσ <
)()( ~ k
s
k
s σσ ←
)()( ~ k
s
k
s σσ ←
0)(~ ≤
ksσ
URNks
U ≤∆ )(UPNks
U ≤∆ )()()(~ kres
s
k
s σσ <
( )
))(
(*
*))()max((
)max()(_
UPNk
s
URPUPPkress
ks
k
s
kires
s
U −
−−+
+←
∆
σσ
σσ
)()( kres
s
k
s σσ −←)()( ~ k
s
k
s σσ ←
)()(~kres
sk
s σσ <
)()(~ kres
s
k
s σσ <
529
)(_)( kires
s
k
s σσ ← )()( ~ k
s
k
s σσ ←
)()(~ kres
s
k
s σσ −<
)()( ~ k
s
k
s σσ ←
URPk
sU ≤∆)(
UPPk
sU ≤∆)(
)()( ~ k
s
k
s σσ ←
)()(~kres
sk
s σσ <
0)(~ ≥
ksσ
)()( ~ k
s
k
s σσ ←
( )
))(
(*
*))()max((
)max()(_
UPPk
s
URPUPPkress
ks
k
s
kires
s
U −
−−+
+←
∆
σσ
σσ
)(_)(~ kiress
ks σσ <
)()( kres
s
k
s σσ ←
)()(~ kres
s
ks σσ <
Descrição das variáveis utilizadas nos fluxogramas para lei constitutiva na direção
tangencial ao contato:
IPEL Variável de controle para o contato na direção normal do ponto de integração
do elemento de interface atualizada em cada abertura (IPEL=3) e fechamento do contato
(IPEL=1), para verificar se a tensão de cisalhamento deve ser zerada caso o contato
esteja aberto.
)(~ k
sσ Tensão tangencial “linearizada” no ponto de integração do elemento de
interface no incremento (t+∆t) na iteração (k), desconsiderando a parcela referente a
“deformação” permanente na iteração (k).
Tensão tangencial atualizada no ponto de integração do elemento de interface
no incremento(t+∆t) na iteração (k).
)(ksσ
)(ksU∆ Deslocamento relativo na direção tangencial ao contato no ponto de
integração do elemento de interface no incremento (t+∆t) atualizado na iteração (k).
Tensão tangencial geostática no ponto de integração do elemento de interface.
Tensão tangencial máxima no ponto de integração do elemento de interface
atualizada para um determinado nível de tensão normal atuante no incremento (t+∆t)
para a iteração (k).
osσ
)max(ksσ
530
ANEXO D (APLICAÇÃO DE FORMULAÇÕES ANALÍTICAS NO ESTUDO DE FLAMBAGEM GLOBAL DE DUTOS AQUECIDOS)
D.1 INTRODUÇÃO
O estudo de metodologias analíticas a serem empregadas em dutos aquecidos, tem como
principal objetivo obter uma melhor compreensão dos fenômenos que induzem um
comportamento instável nestes, quando submetidos a gradientes de temperatura e
pressão. Embora considerem uma série de hipóteses simplificadoras, além de não
representarem de forma precisa as condições de contorno e as geometrias complexas
geralmente encontradas no campo, as formulações analíticas permitem estudos
paramétricos rápidos envolvendo as principais variáveis envolvidas, permitindo
verificar quais são os parâmetros mais importantes no processo de flambagem de dutos
aquecidos.
Como será visto a instabilidade estrutural em dutos aquecidos é ocasionada pelos
esforços normais de compressão, induzidos pela variação de temperatura e pressão
interna. O duto sofre compressão devido à restrição imposta pela reação longitudinal do
solo aos deslocamentos axiais gerados pelo processo de expansão térmica. Para que
ocorra esta restrição é necessário que duto tenha comprimento suficiente, permitindo
que a reação longitudinal do solo iguale o esforço normal devido a variação de
temperatura. Em geral nos métodos analíticos a alça de deformação pós-flambagem é
considerada isolada, e o duto com comprimento suficiente para que a ancoragem ocorra
pela reação longitudinal do solo. O trecho compreendido entre o centro da alça de
deformação e os pontos a sua direita e esquerda com deslocamento axial nulo, definem
o comprimento de expansão térmica (“feed-in”). Os esforços normais de compressão
podem causar um comportamento não-linear aumentando os deslocamentos transversais
ao eixo do duto, podendo ocorrer a situação limite, onde ocorra a flambagem global do
duto, podendo inclusive dependendo da relação De/t (diâmetro/espessura), levar a
flambagem local da parede. É importante ressaltar que a majoração dos deslocamentos e
tensões em uma alça de deformação é iniciada por imperfeições iniciais na geometria do
duto, que sempre existem, podendo ser causadas durante o processo de lançamento
531
deste e/ou por imperfeições do piso, que ocorrem principalmente no caso de dutos
submarinos.
O mecanismo de detonação da flambagem lateral ocorre quando o esforço normal de
compressão atinge um valor crítico gerando deslocamentos laterais num trecho do duto,
denominado de alça de deformação, permanecendo o restante do duto reto.
As formulações analíticas fornecem uma série de resultados preliminares, que podem
ser utilizadas na fase de projeto de dutos aquecidos, já que nesta fase as condicões de
projeto dadas pela geometria e enterramento do duto, podem ser definidas conforme a
necessidade do projetista, podendo mantê-las mais próximas das hipóteses
simplificadoras que são impostas aos modelos analíticos.
Na literatura técnica são encontrados vários modelos analíticos, que consideram as mais
variadas hipóteses simplificadoras. Num trabalho clássico desenvolvido originalmente
para a flambagem térmica de trilhos de trens, foi apresentado um modelo analítico
(KERR,1978) que permite obter a temperatura mínima de flambagem também
denominada de “safe temperature”, para vários modos de flambagem no plano
horizontal, que são compostas por diversas meias ondas em torno da configuração
original (Figura D.1). Posteriormente o modelo analítico desenvolvido por KERR
(1978), foi adaptado por HOBBS (1981,1984) para o estudo específico de flambagem
em dutos aquecidos. Nesta adaptação foi inserido o efeito da pressão interna, que pode
ser considerada como uma variação de temperatura equivalente.
Outros modelos analíticos para a flambagem de dutos aquecidos foram avaliados0,0,0,
inclusive modelos que consideram o efeito de imperfeições e tensões iniciais no cálculo
da temperatura mínima de flambagem. No entanto como a utilização de modelos
analíticos têm como objetivo apenas o estudo paramétrico das principais variáveis
envolvidas no processo de flambagem térmica de dutos aquecidos, o modelo
desenvolvidos por KERR (1978) e modificado por HOBBS (1981,1984), mostrou-se
mais adequado pela sua consistência e formato das equações obtidas, que permitem
visualizar de um modo simples os parâmetros mais relevantes.
532
As hipóteses simplificadoras do modelo de KERR (1978) e adaptado por HOBBS
(1981,1984) são: seção transversal do duto não sofre processo de ovalização ou
qualquer perda na espessura da parede durante o processo de flexão, aço com
comportamento elástico, configuração inicial sem imperfeição geométrica, configuração
inicial livre de tensões residuais ou de lançamento, equação de equilíbrio desenvolvida
para a configuração pós-flambagem, penetração do duto constante no solo, solo rígido
plástico, ancoragem do duto na direção axial realizada pelo atrito axial com o solo e
atrito axial com o solo desprezado no trecho da alça de deformação.
Como pode ser visto acima as hipóteses simplificadoras são várias, limitando bastante o
uso das equações do método analítico proposto por KERR (1978) para casos reais.
Também é importante ressaltar que em casos reais, geralmente são desenvolvidas mais
de uma alça de deformação. Para os dutos estudados que possuem kilometros de
extensão, a ancoragem é definida por um complexo processo de divisão dos esforços
térmicos entre as alças, diferente da hipótese de ancoragem de uma alça isolada
fornecida pelo atrito axial com o solo. Estas observações servem apenas para deixar
bem claro que, modelos analíticos são extremamente úteis para a compreensão do
processo de flambagem de dutos aquecidos, porém para serem utilizados em casos reais,
onde a hipóteses simplificadoras geralmente não são obedecidas, pode-se obter
resultados não condizentes com a realidade levando a conclusões erradas.
533
D.2 MÉTODO ANALÍTICO (KERR/HOBBS)
Conforme dito anteriormente, um duto aquecido pode sofrer uma flambagem lateral ou
vertical dependendo das condições de suporte do solo. Se o solo for capaz de conter o
duto para uma variação de temperatura, tanto lateralmente como verticalmente, este fica
submetido somente ao esforço normal de compressão devido a ancoragem
proporcionada pela reação longitudinal do solo, não sofrendo flexão. Porém se a
contenção lateral ou vertical, for vencida o esforço normal diminui no trecho fletido
(alça de deformação), devido a perda da restrição aos deslocamentos axiais, iniciando o
processo não-linear de flambagem.
O comportamento de dutos aquecidos é bem mais complexo, que o observado para o
caso tradicional de flambagem de colunas carregadas axialmente, já que estas possuem
condições de contorno onde os deslocamentos axial e transversal são nulos, definindo
de forma precisa o comprimento de flambagem. No caso de dutos aquecidos o
comprimento de flambagem e os pontos de ancoragem são incógnitas, devido à
interação com o solo, que responde de forma não-linear ao carregamento imposto pela
movimentação do duto.
O esforço normal efetivo de compressão (considerado positivo neste anexo) restringido
numa seção considerando a ação de uma variação de temperatura ∆θ e da pressão
interna pi, foi descrito no capítulo 7, sendo fornecido abaixo novamente:
(D.0)
A flambagem lateral ou vertical ocorre quando o esforço normal alcança um
determinado valor crítico Nc , para o qual os deslocamentos transversais ao eixo do duto
se iniciam de forma brusca, gerando um trecho fletido (alça de deformação). A
configuração deformada após a flambagem é denominada de modo de flambagem,
sendo constituída por uma ou mais meias ondas, conforme pode ser visto na Figura D.1
)21( νθα −+∆= iisoef ApEAN
oefN
534
535
abaixo, que mostra os modos 1 a 4 de flambagem. Pode ser observado que o modo 1 é
constituído por uma meia onda, o modo dois por duas meias ondas, e assim por diante.
O comprimento LBb B é o comprimento da meia onda considerada como mais significativa
(Figura 1), sendo uma das incógnitas das equações do método analítico analisado
HOBBSP
P(1981).
Figura D.1 – Deformada após flambagem mostrando os modos 1 até 4
A experiência obtida na análise de dutos aquecidos, em conjunto com a verificação de
mapeamentos realizados para os dutos do sistema PETROBRAS, mostra que os modos
de flambagem comumente encontrados são o modo 1 para alças de deformação no plano
vertical, e o modo 3 para alças de deformação no plano horizontal.
536
D.3 MÉTODO ANALÍTICO (KERR/HOBBS) – EQUAÇÕES PARA FLAMBAGEM VERTICAL (“UPHEAVAL BUCKLING”)
Conforme dito acima para a obtenção das equações para flambagem vertical, será
suposto que a configuração pós-flambagem do duto assuma o modo 1 (Figura D.1).
Embora comentários sobre as hipótese simplificadoras do método de KERR (1978)
adaptado por HOBBSP
P(1981,1984) já tenham sido feitas, algumas observações extras
importantes serão feitas.
Na obtenção das soluções analíticas para verificação de flambagem que serão mostradas
a seguir, é suposto que a reação máxima do solo devido à movimentação do duto é
mobilizada instantaneamente (modelo rígido plástico). Esta hipótese desconsidera o
efeito da forma (lei constitutiva) da curva força versus deslocamento, supondo que a
configuração pós-flambagem do duto é definida pela reação máxima do solo. Esta
hipótese foi estudada por MALTBY e CALLADINE (1995), que obtiveram uma relação
analítica mostrando que o esforço normal, que inicia o processo de flambagem
independe da lei constitutiva adotada, sendo diretamente dependente da reação máxima
desenvolvida pelo solo. Uma forma de compreender-se esta hipótese, decorre do fato
que a força máxima de reação do solo em todas a direções (axial, lateral e vertical), é
atingida para um deslocamento de pouco milímetros, enquanto a configuração do duto
após a flambagem geralmente possui deslocamentos da ordem de metros. Deste modo a
importância da força de reação máxima do solo é muito mais significativa, pois a sua
energia de deformação após a flambagem é significativamente maior que a
desenvolvida no trecho onde a curva força versus deslocamento ainda não alçançou seu
patamar.
A Figura D.2 - (i) mostra os esforços atuantes na configuração deformada segundo o
modo 1. Como pode ser observado na Figura D.2 – (ii), existe uma descontinuidade no
esforço axial na região de contato entre o duto e o solo, pois neste ponto existe uma
força vertical concentrada (WBs BLBb B/2) de reação ao peso próprio do duto. Para que ocorra o
equilíbrio utilizando a lei de atrito de Coloumb (FBaxiB=µBaxiBW Bs B), é necessário considerar
um esforço concentrado (µBaxiBW Bs BLBb B/2) na direção axial. O modelo utilizando a lei de
537
atrito de Coulomb é indicado para materiais arenosos com comportamento drenado,
onde a reação axial independe da área de contato solo-duto. Já o diagrama de esforço
axial mostrado na Figura D.2 – (iii) não possui a descontinuidade anterior, pois é
considerado que a reação axial do solo é função da área de contato solo-duto, sendo
mais indicado para materiais argilosos com comportamento não-drenado.
O duto é considerado antes da ocorrência da flambagem como estando perfeitamente
reto. A consideração do efeito causado pela presença de imperfeições iniciais (curvatura
inicial), pode ser inserida em modelos analíticos, sendo objeto de vários estudos
(KYRIAKIDES,1988, PENDERSEN,1985, MALTBY E CALLADINE,1995). A
consideração que o duto possui uma configuração inicial com uma curvatura não nula,
afeta a ocorrência da flambagem, podendo até evitá-la se esta imperfeição for
suficientemente elevada, induzindo no duto um comportamento não-linear porém sem a
ocorrência do salto de instabilidade (“snap-through”) característico de uma flambagem.
Figura D.2 – Esforços atuantes na configuração deformada do duto (i), e distribuição de
esforços axiais considerando materiais arenosos (ii) e argilosos (iii), para flambagem
vertical segundo o modo 1
538
Como pode ser observado na Figura D.2, na região fletida o único esforço atuante é o
peso submerso do duto W BsB, neste trecho é desprezado o atrito axial entre o duto e o solo.
O atrito axial na região fletida do duto pode ser desprezado, pois o comprimento LBb B é
muito inferior ao comprimento de ancoragem do duto na direção axial. No trecho fletido
caso o duto esteja completamente enterrado ou com uma cobertura de solo, deve-se
considerar o efeito da força de reação passiva vertical ascendente do solo (“uplift
reaction”), assim como do peso de solo. No modelo aqui considerado não é aconselhado
adicionar a reação passiva máxima vertical ascendente ao peso submerso do duto W BsB,
pois esta consideração é contra a segurança, já que ao movimentar-se verticalmente, o
duto pode romper as camadas de solo sobrejacentes aflorando na superfície do solo
(Figura D.3). Deste modo após a flambagem do duto, a força de reação vertical
ascendente no trecho de duto que aflorou torna-se praticamente nula, não podendo ser
considerada em modelos que só levam em conta a configuração final do duto. Para
considerar a perda de suporte vertical com a movimentação do duto é necessário
considerar os efeitos da curvatura inicial e da reação vertical ascendente em função do
deslocamento, como feito por PENDERSEN (1985). As Figuras D.3 e D.4 mostram
respectivamente a configuração fletida de um duto inicialmente com cobertura de solo
acima de sua geratriz superior com os esforços atuantes, e a curva reação vertical
ascendente versus deslocamento vertical associada.
Figura D.3 – Esforços atuantes na configuração deformada do duto, considerando
imperfeição inicial (δBi B) e variação da resistência vertical ascendente com o
deslocamento vertical
539
Figura D.4 – Curvas idealizadas de reação vertical ascendente para materiais argilosos e
arenosos em função do deslocamento vertical para dutos totalmente enterrados
Para a obtenção das equações para a flambagem vertical de um duto aquecido,
considerado como perfeitamente reto na sua configuração inicial, é necessário resolver a
equação diferencial de equilíbrio abaixoP
P(KERR,1978).
0=+′′+ sefiv WvNEIv (D.1)
ou
02 =+′′+ EIWvkv siv (D.2)
Onde v é o deslocamento transversal ao eixo do duto.
540
com:
EINk ef=2 (D.3)
Na equação (D.1) o único carregamento externo atuante sobre o duto é o seu peso
próprio, sendo desconsiderado o efeito do atrito axial no trecho fletido do duto. A
equação (D.1) é válida para dutos com enterramento até o nível da sua geratriz superior,
para enterramentos maiores é necessário considerar o efeito do peso de solo acima do
duto e a reação passiva vertical do soloP
Pcomo exposto anteriormente.
Em um duto inicialmente reto, o momento fletor é proporcional a curvatura, se for
considerada válida a hipótese de rotações moderadas |v’| < 0.1 , sendo dada por:
vEIM ′′= (D.4)
As condições de contorno a serem impostas, para se obter a solução de (D.1), são
(KERR,1978):
( ) max0 vv = (D.5)
( ) 02 =± bLv (D.6)
( ) 02 =±′ bLv (D.7)
( ) 02 =±′′ bLv (D.8)
A solução da equação (D.1) é dada por:
( ) ( ) ( ){ }2coscos281 22222 kLkxxkLkNEIWxv efs −−+= (D.9)
541
A solução acima obedece as condições de contorno (D.5) a (D.7). Para satisfazer a
condição de contorno (D.8), é necessário obter a solução de:
( ) 22tan bb kLkL = (D.10)
A expressão (D.10) possui múltiplas soluções, porém o valor da raiz correspondente ao
mínimo valor de NBef B, é dado por:
...9868.8=bkL (D.11)
Utilizando (D.11) em (D.3), obtém-se o esforço normal no trecho fletido do duto,
conforme mostrado abaixo:
.76.80 2b
bef L
EIN = (D.12)
É interessante observar a semelhança da expressão (D.12), com a expressão clássica
para cálculo da carga crítica de flambagem em colunas, dada abaixo:
22
flfl L
EIN π= (D.13)
Onde LBflB é o comprimento de flambagem, que depende das condições de contorno
impostas as extremidades da coluna. A Figura D.4 abaixo mostra um exemplo para o
caso de uma coluna considerando comprimento de flambagem LBflB = L/3.
542
Figura D.4 – Flambagem de coluna mostrando comprimento de flambagem
Se utilizarmos o valor do comprimento de flambagem da Figura D.4 (LBflB = L/3), na
equação (D.13), obtém-se:
.8.88 2LEIN fl ≅ (D.14)
Como pode ser observado acima o valor obtido através da fórmula clássica de
flambagem de colunas com LBflB = L/3, obteve um valor aproximadamente 10% maior
para o esforço normal no trecho fletido do duto que o obtido através da equação (D.12).
No caso da flambagem vertical ainda foi possível obter uma certa aproximação do
esforço normal no trecho fletido do duto, com a formulação clássica através da equação
543
(D.13). No caso de flambagem com geometrias diferentes do modo 1, esta aproximação
não é mais possível, devendo-se estudar caso a caso com as condições de contorno
impostas pelo solo ao redor do duto, que responde de forma não-linear a solicitação
imposta. Isto ocorre devido ao desconhecimento do comprimento do vão de flambagem
que é uma das incógnitas do problema, variando com o carregamento imposto. Estes
casos serão abordados mais à frente no estudo dos modos de flambagem de dutos no
plano horizontal.
Para obter-se os valores máximos para o deslocamento, momento fletor e rotação no
trecho fletido do duto, utiliza-se a equação (D.11) em (D.9), que após algumas
transformações resulta em (HOBBS,1981):
EILW
v bs4
3max 10408.2 −⋅= (D.15)
2
max 06938.0 bs LWM = (D.16)
.10657.83
3max EI
LWv bs−⋅=′ (D.17)
Com o momento fletor máximo (equação D.16) é possível calcular a tensão axial
máxima no trecho fletido do duto de forma elástica, podendo-se verificar se esta
ultrapassou a tensão de escoamento do material. Para levar em conta o efeito da pressão
interna, deve-se calcula a tensão de von Mises e comparar com a tensão de escoamento
do aço do duto.
A equação (D.17) permite verificar a validade da hipótese de rotações moderadas
( |v’| < 0.1 ), para a qual são válidas as equações mostradas acima.
Para a determinação da variação de temperatura para o qual ocorre a flambagem vertical
do duto, é necessário relacionar o esforço normal no trecho ancorado do duto a variação
de temperatura (equação D.0).
544
Para obter-se o esforço axial no trecho ancorado em função das variáveis relevantes ao
problema de flambagem em dutos aquecidos é necessário calcular o comprimento do
trecho fletido do duto (S), que é maior que o comprimento projetado no eixo axial
indeformado (L), conforme pode ser visto na Figura D.5.
Figura D.5 – Deformada após flambagem vertical, mostrando comprimento total e
projetado no trecho fletido do duto
Inicialmente será considerado um caso mais simples de ser analisado, que considera não
haver deslocamento axial nas vizinhanças do trecho fletido. Esta consideração pode ser
visualizada na Figura D.6 - (a), ou seja é considerado que o duto esta ancorado pelo solo
no trecho vizinho a alça de deformação formada pela flambagem vertical.
Assim a variação no comprimento do trecho fletido é dado por (HOBBS,1981) :
( ) ( )( )∫
−
=′=−=∆2
25.3
2322 6.755.0
L
Lbef
sNEIWdxvLSS (D.18)
Esta diferença no comprimento ocorre devido à diminuição do esforço axial no trecho
fletido do duto, sendo este trecho comprimido pelos trechos adjacentes a alça de
deformação. Cabe reforçar que a equação (D.18), é válida deste que seja obedecida a
hipótese de rotações moderadas, do mesmo modo que todas as equações obtidas
anteriormente.
545
Observando a Figura D.6 - (a), observa-se que o esforço axial que comprime o trecho
fletido do duto é dado pela diferença entre os esforços axiais no trecho ancorado e
fletido ( )bef
oef NN − .
Deste modo temos que:
( )s
bbef
oef
EALNN
S−
=∆ (D.19)
Utilizando (D.18) em (D.19), e rearranjando seus termos, obtém-se:
( )2
626100.16
EILEA
WNN bss
bef
oef
−⋅+= (D.20)
Onde o esforço axial efetivo no trecho fletido do duto ( befN ), é fornecido pela equação
(D.12). Assim a equação (D.20), pode ser apresentada de forma mais direta como:
( )2
626
2 100.1676.80EI
LEAW
LEIN bs
sb
oef
−⋅+= (D.21)
A equação (D.21) é útil para verificação do esforço axial em dutos curtos, tendo
aplicação em modelos reduzidos em laboratório, onde são testados dutos com
comprimentos reduzidos devido a problemas de espaço. Também pode-se verificar
através da equação (D.21) o caso limite de duto ancorado imediatamente após o trecho
fletido, como será feito mais adiante na aplicação da formulação analítica em casos
específicos de dutos reais.
A equação (D.21) pode ser generalizada para o caso em que a região vizinha ao trecho
fletido, sofre deslocamentos axiais até que o duto seja ancorado pelo atrito axial com o
solo. A Figura D.6 – (b) mostra o diagrama de esforço axial ao longo do duto para o
contato solo-duto seguindo a lei de atrito de Coulomb, para uma variação de
temperatura aplicada. Neste caso a variação do comprimento obtido anteriormente
546
(equação D.18) recebe a contribuição do deslocamento axial nas vizinhanças do trecho
fletido, sofrendo um aumento significativo. A variação do comprimento do trecho
fletido, como no caso anterior é proporcional à área em destaque na Figura D.6. Deste
modo o esforço axial no trecho ancorado do duto expresso no caso anterior pela equação
(D.21), pode ser generalizada para considerar o deslocamento axial no trecho vizinho a
alça de deformação vertical. Após uma série de manipulações com os termos da
equação resultante, temos que (HOBBS,1981):
( )
5.0
2
525
2 0.110391.65.076.80⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⋅+= −
EIFLEA
WLFLEIN
axi
bssbaxi
b
oef (D.22)
A equação (D.22), fornece o esforço axial no trecho ancorado do duto para solos
arenosos de forma mais genérica considerando o efeito do atrito axial com o solo, na
região vizinha ao trecho fletido, em função das principais variáveis envolvidas na
flambagem vertical segundo o modo 1.
Para solos argilosos Figura D.6 – (c) o diagrama de esforço axial ao longo do duto, para
uma variação de temperatura, não possui a descontinuidade considerada na obtenção da
equação (D.22). Deste modo após uma série de manipulações pode-se obter o esforço
axial no trecho ancorado(HOBBS,1981,1984).
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⋅+−+= − 0.110391.615.076.80 2
525
2 EIFLEA
WLFLEIN
axi
bssbaxi
b
oef (D.23)
547
Figura D.6 – Esforço axial ao longo do duto. Em (a) o trecho de duto em contato com o
solo é fixo a base não sendo permitido deslocamento axial. Em (b) e (c) nos trechos de
comprimento “a” ocorrem deslocamentos axiais até a ancoragem do duto pelo atrito no
contato solo-duto considerando materiais arenoso e argiloso respectivamente
Com as equações (D.22) e (D.23) é possível determinar a variação de temperatura
aplicado no duto, que leva a condição crítica de flambagem. Para tal é utilizada a
equação (D.0), que fornece o esforço axial em função da variação de temperatura.
αν
θs
iioef
EAApN )21( −−
=∆ (D.24)
No numerador da equação (D.24), utiliza-se a expressão (D.22) ou (D.23) para a
determinação da variação de temperatura mínima de flambagem (“safe temperature”).
Cabe observar que a equação (D.24) não fornece diretamente a variação de temperatura
mínima de flambagem, pois o comprimento do trecho fletido LBb B, é uma das incógnitas
do problema variando com a variação de temperatura aplicada. Deste modo é necessário
levantar a curva variação de temperatura versus comprimento de flambagem,
determinando a partir desta curva a variação de temperatura mínima para o qual o duto
548
considerado inicialmente como perfeitamente reto, sofre o processo de flambagem
vertical.
É de grande interesse prático calcular o comprimento do trecho reto com deslocamentos
axiais (a), adjacente a região fletida do duto (Figura D.2). O comprimento “a” é a
distância teórica no trecho reto do duto que não sofre flambagem, necessária para que o
duto seja ancorado unicamente pelo atrito axial no contato solo-duto. O comprimento de
duto necessário para que o solo restrinja os deslocamentos axiais, será definido ao longo
deste trabalho como comprimento de expansão térmica do duto (CET), sendo de
fundamental importância no estudo de dutos aquecidos. Um duto com uma única alça de
deformação isolada, é ancorado somente pelo atrito axial no contato solo-duto. Porém
em casos onde a distância entre duas alças de deformação, seja menor que o
comprimento necessário para que a ancoragem seja dada somente pelo atrito axial com
o solo, ocorre um complexo fenômeno de distribuição do esforço térmico entre as alças.
O comprimento teórico “a” , pode ser obtido diretamente através da compatibilização
entre os esforços axiais no trecho fletido e ancorado do duto, conforme pode ser visto na
Figura D.2, deste modo temos:
baxi
bef
oef LF
NNa 5.0−
−= (D.25)
axi
bef
oef
FNN
a−
= (D.26)
Na equação (D.25) é considerado que a força axial no contato solo-duto segue a lei de
Coulomb (material arenoso com comportamento drenado), enquanto na equação (D.26)
a reação axial é dada pelo produto da resistência não-drenada pela área de contato solo-
duto (material argiloso com comportamento não-drenado).
549
Para materiais arenosos (comportamento drenado):
saxiaxi WF µ= (D.27)
Para materiais argilosos (comportamento não-drenado):
latuaxi ASF = (D.28)
O comprimento de expansão térmico (CET) de uma alça vertical isolada, ancorada
somente pelo atrito axial com o solo (Figura D.6), é dado por :
bLaCET += 2 (D.29)
Cabe observar que a expressão (D.29), esta sujeita as hipóteses simplificadoras do
método analítico de KERR/HOBBS.
550
D.4 MÉTODO ANALÍTICO (KERR/HOBBS) – EQUAÇÕES PARA FLAMBAGEM LATERAL (“LATERAL BUCKLING/ SNAKING”)
A obtenção das equações para flambagem lateral é mais trabalhosa que o da flambagem
vertical, pois existem diferentes modos de flambagem possíveis para a configuração
fletida do duto (HOBBS,1981) conforme pode ser visto na Figura D.7. Como feito
anteriormente, alguns comentários extras sobre as hipóteses simplificadoras do método
analítico desenvolvido por KERR (1978) e adaptado por HOBBS (1981,1984) serão
feitos de forma mais detalhada. Entre os modos de flambagem mostrados na Figura D.7,
o de maior interesse prático é o modo 3, podendo também ocorrer uma situação que leve
a um dos demais modos, dependendo da imperfeição inicial imposta ao duto.
Figura D.7 – Deformada após flambagem mostrando os modos 1,2,3 e 4
Para o caso de flambagem lateral (serpenteamento ou “snaking”)
Na obtenção das fórmulas analíticas para verificação de flambagem horizontal são
válidas as mesmas observações realizadas para o caso da flambagem no plano vertical
feitas anteriormente. Deste modo a reação máxima do solo devido a movimentação do
duto é mobilizada instantaneamente, constituindo um modelo rígido plástico, ou seja o
efeito da forma da lei constitutiva da curva força versus deslocamento é desconsiderada.
A Figura D.8 mostra os esforços atuantes na configuração deformada do duto no plano
horizontal segundo o modo 3, e o esforço axial ao longo do seu eixo. O duto é
551
considerado perfeitamente reto antes da ocorrência da flambagem. A consideração do
efeito causado pela presença de imperfeições iniciais (curvatura inicial), pode ser
inserida em modelos analíticos .
Figura D.8 – Esforços atuantes na configuração deformada do duto, e distribuição de
esforços axiais para flambagem horizontal segundo o modo 3
Como pode ser observado na Figura D.8, na região fletida o único esforço atuante é o
esforço lateral FBlatB, neste trecho é desprezado o atrito axial entre o duto e o solo. O atrito
axial na região fletida do duto pode ser desprezado, pois seu comprimento (2LB2 B) é
sensivelmente inferior ao comprimento 2a que restringe o duto na direção axial (Figura
D.8), como será visto adiante.
A seguir serão mostrados os passos para a obtenção das equações para a flambagem
lateral de um duto aquecido segundo modo o 3. Os demais modos são obtidos de forma
semelhante (HOBBS,1981). A solução abordada neste trabalho foi proposta por KERR
(1978) para o problema de flambagem lateral de trilhos de trens, sendo posteriormente
adaptada por HOBBS para o problema de dutos aquecidos. A solução do problema é
obtida através de formulação variacional utilizando a teoria da elasticidade não-linear
para vigas. O duto na sua configuração deformada foi dividido em sete regiões, sendo
três na região fletida do duto (Figura D.9).
552
Figura D.9 – Regiões do duto utilizadas para obtenção das equações de equilíbrio do
modo 3 de flambagem lateral
Utilizando-se a simetria da configuração deformada do duto obtém-se as equações não-
lineares diferenciais de equilíbrio, em cada trecho do duto, utilizando a expressão do
esforço axial efetivo mostrada no capítulo 7:
para 10 Lx ≤≤
lats
iis Fv
EAAp
EAvEI −=′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−∆−−′′′′ 111
)21()(
νθαε (D.30)
0)21(
1 =′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−∆−
s
iis EA
ApEA
νθαε (D.31)
para 21 LxL ≤≤
lats
iis Fv
EAAp
EAvEI =′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡′⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−∆−−′′′′ 222
)21()(
νθαε (D.32)
0)21(
2 =′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−∆−
s
iis EA
ApEA
νθαε (D.33)
553
para 32 LxL ≤≤
axials
iis F
EAAp
EA −=′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−∆−
)21(3
νθαε (D.34)
Onde:
2
21
nnn vu ′+′=ε ; n = 1, 2, 3 (D.35)
Nas expressões acima o símbolo P
/ Prefere-se a diferenciação em relação a x.
As condições de contorno e de continuidade entre os trechos fletidos do duto, para
obter-se a solução do modo 3, são dadas por (KERR,1978):
0)0(1 =′v ; 0)0(1 =′′′v ; 0)0(1 =u (D.36)
)()( 1211 LvLv = ; )()( 1211 LvLv ′′=′′
)()( 1211 LvLv ′=′ ; )()( 1211 LvLv ′′′=′′′
)()( 1211 LuLu = ; )()( 1211 LuLu ′=′
0)( 11 =Lv ( portanto 0)( 12 =Lv )
(D.37)
554
0)( 22 =Lv ; 0)( 22 =′ Lv ; 0)( 22 =′′ Lv
)()( 2322 LuLu = ; )()( 2322 LuLu ′=′
(D.38)
0)( 33 =Lu ; 0)( 33 =′ Lu (D.39)
As condições de contorno e continuidade mostradas acima permitem determinar as
constantes de integração, e os comprimentos LB1 B, LB2 B e LB3B.
Integrando as equações de (D.31) e (D.33), temos que:
11)21(
NconstEA
ApEA
s
iis −==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−∆−
νθαε ; para 10 Lx ≤≤ (D.40)
22)21(
NconstEA
ApEA
s
iis −==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−∆−
νθαε ; para 21 LxL ≤≤ (D.41)
Observando as condições de continuidade para u’ e v’ em (D.37), temos:
befNNN == 21 (D.42)
No modelo admite-se que o esforço axial efetivo é constante em todo o trecho fletido do
duto, independentemente do modo de flambagem que é analisado.
555
O sinal negativo antes do esforço axial nas equações (D.40) e (D.41), se explica pois é
adotado nas deduções a seguir, que o esforço de compressão é considerado como
positivo, e dado pela expressão abaixo.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−∆−−=
s
iisef EA
ApEAxN
)21()(
νθαε ; (∆θ > 0 ; N > 0 – compressão)
(D.43)
Utilizando o resultado da expressão (D.42), e considerando que EI = const., as equações
(D.30) e (D.32) são reduzidas a equações diferenciais lineares com coeficientes
constantes, conforme mostrado abaixo.
latefiv FvNEIv −=′′+ 11 ; para 10 Lx ≤≤ (D.44)
latefiv FvNEIv +=′′+ 22 ; para 21 LxL ≤≤ (D.45)
ou:
EIFvkv lativ −=′′+ 1
21 ; para 10 Lx ≤≤ (D.46)
EIFvkEIv lativ +=′′+ 2
22 ; para 21 LxL ≤≤ (D.47)
onde v é o deslocamento transversal ao eixo do duto
com:
EINk ef=2 (D. 48)
As equações (D.46) e (D.47) são praticamente iguais a equação (D.2) para flambagem
vertical, sendo o peso substituído pela reação lateral máxima do solo. Para obter-se as
equações finais do método analítico para dutos aquecidos, considerando os diferentes
556
modos de flambagem, modificam-se as condições de contorno e continuidade dos
trechos de duto fletidos. A obtenção das equações para os demais modos não será
abordada aqui, sendo apresentado somente as equações finais. KERR (1978) em seu
trabalho clássico sobre flambagem de trilhos de trens aquecidos, trata em detalhe as
equações para cada modo de flambagem.
As soluções gerais das equações (D.46) e (D.47) são dadas por:
( ) ( ) ( ) 2243211 2
sincos xEIkF
AxAkxAkxAxv lat−+++= (D.49)
( ) ( ) ( ) 2287652 2
sincos xEIkF
AxAkxAkxAxv lat++++= (D.50)
Utilizando as condições de contorno e continuidade para v, conforme (D.36), (D.37) e
(D.38) as constantes de integração AB1 B a AB8 B , são obtidas:
( )( ))cos(
214
2
42
1 kLkLEI
LFA lat −= ψ ; 032 == AA
( )( ) ( ){ })cos()cos(4
2 112
142
42
4 kLkLkLkLEILF
A lat −−= ψ
( )ψ4
2
42
52
kLEILF
A lat= ; ( )
)sin(2
142
42
6 kLkLEI
LFA lat= ;
( ) 12
32
42
72
kLLkLEI
LFA lat−=
( )( )
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−+−−=4
)sin()sin()cos(2 2
2211224
2
42
8kL
kLkLkLkLkLkLEI
LFA lat ψ
(D.51)
557
Onde:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
2)sin()cos(
)sin(2
1122
2 kLkLkLkLkL
Lψ (D.52)
As constantes de integração AB1 B a AB8 B estão em função dos comprimentos LB1B e LB2 B. Para
obter-se uma relação entre os comprimentos das meias ondas características do trecho
fletido do duto (LB1 B e LB2 B), utilizam-se as condições de contorno 0)( 12 =Lv e
0)( 22 =′′ Lv em (D.50), obtendo-se:
( ) ( ) ( )( )
02
sincos 22
21
42
8171615 =++++kLEIkLLF
ALAkLAkLA lat
( ) ( )( )
0sincos 42
42
2625 =−+kLEI
LFkLAkLA lat
(D.53)
Nas expressões em (D.53) as constantes de integração foram definidas em (D.51). As
menores raízes kLB1B e kLB2 B, que satisfazem simultaneamente as duas expressões acima
foram obtidas iterativamente, resultando em:
918.21 =kL ; 551.72 =kL (D.54)
Utilizando os valores das raízes kLB1B e kLB2 B obtidas acima, nas constantes de integração
(D.51), e verificando que LB2 B=2.59LB1 B=1.295L (ver Figura D.9), obtêm-se as soluções das
equações (D.49) e (D.50). Para a meia onda mais significativa do modo 3, temos a
solução para os deslocamentos transversais ao eixo do duto, conforme mostrado abaixo:
558
( ) ( )EI
LFx
EIkF
kxEI
LFxv blatlatblat
432
2
43
1 10975.62
cos10375.3 −− ⋅+−⋅= (D.55)
Utilizando (D.48) na primeira expressão de (D.54), e lembrando que LB1 B=LBb B/2 (Figura
D.9), obtém-se o esforço normal no trecho fletido do duto em função do comprimento
da meia onda mais significativa, conforme mostrado abaixo:
.06.34 2b
bef L
EIN = (D.56)
Para obter-se os valores máximos para o deslocamento e momento fletor no trecho
fletido do duto (meia onda mais significativa ou central), utiliza-se a primeira equação
de (D.54) (lembrando que LB1 B=LBb B/2) em (D.55), que após algumas transformações
fornece:
EILF
v blat4
2max1 10032.1 −⋅= (D.57)
2max
1 1434.0 blat LFM = (D.58)
De (D.54) pode-se ainda definir a distância entre o trecho fletido e o ancorado somente
pelo atrito axial do solo (alça isolada), de um duto que sofre processo de flambagem
segundo o modo 3 (lembrando que LB2 B=2.59LB1 B=1.295L), do seguinte modo:
aLaLL +=+= 295.12exp (D.59)
onde o comprimento a, como será visto adiante é dado por:
axi
bef
oef
FNN
a−
= (D.60)
559
O comprimento total de duto afetado pela flambagem térmica do duto (CET) é o dobro
do comprimento dado pela equação (D.59), ou seja:
( ) aLaLCET b 259.22 2 +=+= (D.61)
A expressão (D.61) é de grande interesse prático permitindo obter uma boa estimativa
para o comprimento a ser adotado numa simulação de elementos finitos, para uma alça
isolada. Na equação (D.61) é considerado que a força axial é mobilizada
instantaneamente (modelo rígido plástico).
O objetivo final a ser alcançado com a formulação analítica analisada (KERR/HOBBS),
é possibilitar a determinação da variação de temperatura para o qual ocorre a
flambagem lateral do duto. Para tal é necessário relacionar o esforço normal efetivo no
trecho ancorado do duto com a variação de temperatura (equação D.0).
Deste modo será determinada uma expressão que relacione os esforços axiais nos
trechos fletido e ancorado do duto, através da compatibilização entre os deslocamentos
axiais nos diferentes trechos do duto. Assim utilizando as equações (D.40) e (D.41)
observando (D.42) na equação (D.35), temos:
( ) ( )xvEAN
EAAp
xus
bef
s
ii 211 2
1)21( ′−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+∆=′ ν
θα para 10 Lx ≤≤ (D.62)
( ) ( )xvEAN
EAAp
xus
bef
s
ii 222 2
1)21( ′−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+∆=′ ν
θα para 21 LxL ≤≤ (D.63)
560
Integrando (D.62) de 0 a x, utilizando a condição de contorno ( ) 001 =u , temos:
( ) dxvxEAN
EAAp
xux
s
bef
s
ii ∫ ′−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+∆=
0
211 2
1)21( νθα (D.64)
Integrando (D.63) de LB1 B a x, temos:
( ) ( ) ( ) dxvLxEAN
EAAp
Luxux
Ls
bef
s
ii ∫ ′−−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+∆+=
1
221122 2
1)21( νθα (D.65)
Onde a constante ( )12 Lu , é obtida da condição de continuidade ( ) ( )1211 LuLu = . Assim
através da equação (D.64), obtém-se:
( ) dxvLEAN
EAAp
LuL
s
bef
s
ii ∫ ′−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+∆=
1
0
21112 2
1)21( νθα (D.66)
Deste modo utilizando (D.66) em (D.65), chega-se a:
( ) dxvdxvxEAN
EAAp
xux
L
L
s
bef
s
ii ∫∫ ′−′−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+∆=
1
12
20
212 2
121)21( ν
θα (D.67)
Cabe observar que ( )xv1′ e ( )xv2′ , são conhecidos a partir das equações (D.49) e (D.50)
para a constantes de integração fornecidas em (D.51), utilizando os valores das raízes
kLB1 B e kLB2 B fornecidas em (D.54).
Utilizando a equação diferencial (D.34), e considerando que EABs B=const. e vB3B(x)=0,
obtém-se:
axis FxuEA −=′′ )(3 32 LxL ≤≤ (D.68)
561
A solução genérica de (D.68), é dada por:
( ) 21
2
3 2BxBx
EAF
xus
axi +−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= (D.69)
Considerando a condição de contorno ( ) 033 =Lu , tem-se:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= 31
23
2 2LB
EALF
Bs
axi (D.70)
Retornando o valor da constante de integração BB2 B, obtida em (D.70) na expressão
(D.69), chega-se a:
( ) ( ) ( )3123
23 2
LxBLxEAF
xus
axi −+−−= (D.71)
Para obter a constante de integração BB1 B, utiliza-se a condição de continuidade
)()( 2322 LuLu ′=′ e a condição de contorno 0)( 22 =′ Lv . Deste modo a partir das
equações (D.63) e (D.71), com as condições mostradas resulta:
s
axi
s
bef
s
ii
EAF
EAN
EAAp
B −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+∆=
)21(1
νθα (D.72)
De (D.72) em (D.71), obtém-se a expressão para o deslocamento axial do trecho de duto
reto, conforme mostrado abaixo:
( ) ( ) ( )xLEAN
EAAp
LaxEAF
xus
bef
s
ii
s
axi −⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+∆−−+= 323
)21(2
νθα (D.73)
562
Obtidas as expressões para os deslocamentos axiais em cada trecho do duto deformado
segundo o modo 3, pode-se relacionar os esforços axiais nos trechos fletidos e ancorado,
através da relação de continuidade )()( 2322 LuLu = . Deste modo a partir das equações
(D.67) e (D.73) com a condição de continuidade mostrada anteriormente, tem-se:
( )s
axiL
L
L
s
bef
s
ii
EAaF
dxvdxvaLEAN
EAAp
221
21)21( 2
22
0
212
2
1
1
=′−′−+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−+∆ ∫∫
νθα (D.74)
Para eliminar a variável a, da equação acima utiliza-se a condição de contorno
0)( 23 =′ Lu , através da equação (D.73) e lembrando que )21( νθα −+∆= iisoef ApEAN ,
obtendo-se:
bef
oefaxi NNaF −= (D.75)
A equação (D.75) acima fornece a condição de equilíbrio para a região reta do duto
submetida somente a deslocamentos axiais (Figura D.10).
Figura D.10 – Interpretação mecânica para a equação (D.75)
563
Utilizando a equação (D.75) em (D.74) obtém-se finalmente a expressão que relaciona
os esforços axiais nos trechos fletido e ancorado do duto, que após algumas
manipulações fornece.
( ) ( ) 022
1
12
20
212
2=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′+′−−+− ∫∫ dxvdxvFEANNFLNN
L
L
L
axisbef
oefaxi
bef
oef (D.76)
Resolvendo a equação (D.76), obtém-se:
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛′+′++−+= ∫∫ dxvdxv
FLEA
FLNNL
L
L
axi
saxi
bef
oef
2
1
12
20
212
22 11 (D.77)
As integrais que possuem os termos ( )xv1′ e ( )xv2′ , são calculadas a partir das equações
(D.49) e (D.50) para a constantes de integração fornecidas em (D.51), utilizando os
valores das raízes kLB1 B e kLB2B fornecidas em (D.54). Também é utilizado o fato que
LB2 B=2.59LB1 B=1.295L para o modo 3, resultando:
EILF
dxv blatL 7
4
0
21 10414.2
1−⋅=′∫
EILF
dxv blatL
L
752
2 10817.32
1
−⋅=′∫
(D.78)
Assim utilizando (D.78) em (D.77), e colocando a expressão final em termos do
comprimento da meia onda mais significativa (LBb B), tem-se:
564
( ) ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅++−+= −2
52410668.111295.1
EIFLFEA
FLNNaxi
blatsaxib
bef
oef (D.79)
Onde o esforço axial no trecho fletido do duto ( befN ), é fornecido pela equação (D.56)
A equação (D.79) é a expressão final para o modo 3 de flambagem lateral, permitindo
determinar a variação de temperatura aplicado no duto, que leva a condição crítica de
flambagem. Utilizando a expressão (D.0), obtém-se a seguinte expressão para a variação
de temperatura.
α
νθ
s
iioef
EAApN )21( −−
=∆ (D.80)
ou
( )α
ν
θs
iiaxi
blatsaxib
bef
EA
ApEIF
LFEAFLN )21(10668.111295.1 2
524 −−
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅++−+
=∆
−
(D.81)
A expressão (D.81) permite determinar a variação de temperatura mínima de
flambagem (“safe temperature”). Cabe observar que a equação (D.81) não fornece
diretamente o gradiente mínimo de flambagem, pois o comprimento do trecho fletido L,
é uma das incógnitas do problema variando com a variação de temperatura aplicado,
sendo necessário levantar a curva variação de temperatura versus comprimento de
flambagem, determinando a partir desta curva o gradiente mínimo para o qual o duto
considerado inicialmente como perfeitamente reto, sofre o processo de flambagem
lateral segundo o modo 3.
565
As expressões obtidas acima são para o modo 3 de flambagem, obtidas do trabalho
clássico para a determinação da temperatura de flambagem em trilhos de trens
desenvolvido por KERR (1978). Neste mesmo trabalho também foram tratados em
detalhes os modos 1,2 e 4 (Figura D.7). A seguir são fornecidos os resultados finais que
são obtidos seguindo o mesmo roteiro adotado para o modo 3, mudando-se apenas as
condições de contorno e continuidade para cada modo analisado.
Deste modo as principais equações obtidas para o modo 3, são apresentadas de uma
forma mais genérica para todos os demais modos, conforme mostrado abaixo:
.21b
bef L
EIkN = (D.82)
( ) ⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
++−+= 2
52
23 11EIF
LFEAkFLkNN
axi
blatsaxib
bef
oef (D.83)
EILF
kv blat4
4max= (D.84)
2
5max blat LFkM = (D.85)
( )aLkCET b += 62 (D.86)
Sendo o comprimento “a” fornecido pela expressão (D.75).
O acréscimo de temperatura ∆θ, para cada um dos modos de flambagem estudados por
KERR e HOBBS, necessário para levar o duto a flambagem térmica, é dado por :
566
( )α
ν
θs
iiaxi
blatsaxib
bef
EA
ApEIF
LFEAkFLkN )21(11 2
52
43 −−⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
++−+
=∆ (D.87)
A equação (D.87) é a forma mais genérica da equação (D.81), podendo ser aplicada
para os modos 1 a 4 de flambagem lateral.
O acréscimo de temperatura crítico que leva o duto a flambagem é função do
comprimento de flambagem da meia onda mais significativa (LBbB) assumida pela
configuração deformada, devendo ser obtido de forma iterativa.
Os fatores kB1 B, kB2 B, kB3 B, kB4 B, k B5B e kB6 B são constantes que dependem do modo de flambagem
assumido pelo duto, e são fornecidos na tabela D.1 abaixo.
Tabela D.1 – Constantes para os diferentes modos de flambagem
Modo k B1B k B2 B(10P
-5P) k B3B k B4 B(10P
-3P) k B5B k B6B
1 80.76 6.391 0.5 2.407 0.06938 0.5
2 39.48 17.430 1.0 5.532 0.1088 1.0
3 34.06 16.680 1.294 10.320 0.1434 1.294
4 28.20 21.440 1.608 10.470 0.1483 1.608
567
D.5 MÉTODO ANALÍTICO (KERR/HOBBS) – EQUAÇÕES PARA
FLAMBAGENS LATERAL E VERTICAL PARA DUTOS PRÓXIMOS À
RESTRIÇÕES
Nos itens 2.1 e 2.2 foram obtidas as expressões para determinação da temperatura
crítica de flambagem nos planos vertical e horizontal, considerando o duto com
enterramento constante restringido longitudinalmente somente pelo efeito da resistência
axial do solo.
Neste item serão consideradas duas variações importantes nas hipóteses de restrição
axial do solo (HOBBS,1989). Na primeira será analisado o caso, onde o duto repousa
sobre um solo com dois enterramentos distintos ao longo do seu comprimento, como
pode ser visto na Figura D.11. Na segunda será verificada a condição, onde o duto
encontra-se com suas extremidades fixas, sendo que esta restrição ocorre para um
comprimento menor, que o comprimento de ancoragem devido à reação axial do solo,
conforme mostrado na Figura D.12.
Figura D.11 – Esforço axial ao longo do duto (modo 3), considerando dois
enterramentos distintos ao longo do seu comprimento
568
Figura D.12 – Esforço axial ao longo do duto (modo 3), considerando as extremidades
fixas num comprimento menor que o de ancoragem devido à reação axial do solo
As duas variações descritas acima são de grande interesse prático, visto que um duto em
condições reais no campo apresenta enterramento variado ao longo do seu
comprimento, podendo existir também alças de deformações concorrentes que
redistribuem o comprimento de expansão térmica, fazendo este menor que o
comprimento de ancoragem dado pela resistência axial do solo.
A obtenção de equações analíticas que permitam a consideração de dois enterramentos
distintos e comprimentos de expansão térmica menores que os de ancoragem pelo solo,
são um avanço apresentado por (HOBBS,1989), em relação às equações obtidas nos
itens 2.1 e .2.2.
Serão apresentados a seguir as equações (HOBBS,1989) para o esforço axial ao longo
do duto, para as duas hipóteses descritas acima. As demais equações obtidas nos itens
2.1 e 2.2 são as mesmas (deslocamento, momento fletor, etD..) não sofrendo quaisquer
modificações.
569
Para a obtenção das equações de esforço axial ao longo do duto, para os modos de
flambagem laterais, considerando dois enterramentos diferenciados, obtém-se a partir da
Figura D.11, que:
2aFraFNN axiaxibef
oef ++= (D.88)
O deslocamento axial que o duto sofre, é dado por:
( )s
axiaxiaxi
EAaaFaFraFr
L5.05.0 2
22 ++
=∆ (D.89)
Eliminando aB2 B da equação (D.89), através de (D.88), e utilizando condições de
compatibilidadeP
0P, obtém-se:
( )[ ]
( )( ) ( )[ ]22
322
2
726
3
425.0
25.0
baxiaxiaxiblataxis
axibaxibef
oef
LkDFrFDFrEI
LFFrEAk
DFrLkDFNN
−−++
+−−+=
(D.90)
Onde:
D = CET
2236 kkk = (D.91)
A equação (D.91), fornece o esforço axial no trecho restringido do duto, considerando a
presença de dois enterramentos distintos ao longo do duto.
A obtenção do esforço axial oefN , para o caso com extremidades fixas (Figura D.12), é
feita de forma semelhante a feita para duto possuindo dois enterramentos distintos,
obtendo-se:
570
( )( )
DLkDF
DEILFEAk
NN baxiblatsBef
oef 4
2 23
2
726 −
++= (D.92)
As equações (D.90) e (D.92), são aplicáveis à flambagem lateral de dutos aquecidos.
Para a flambagem vertical em solos com argilosos com comportamento não-drenado,
basta trocar os termos em (D.90) e (D.92), correspondentes ao esforço lateral máximo
pelo peso submerso do duto.
Para o caso de solos com comportamento drenado, basta considerar a descontinuidade
no esforço axial na fronteira entre o trecho fletido e reto do duto (Figura D.6), gerado
pela utilização da lei de atrito de CoulomD. Deste modo seguindo-se os mesmos passos
utilizados na obtenção das equações para o esforço axial no caso da flambagem lateral,
obtém-se:
Para solos (com comportamento drenado) com dois enterramentos distintos:
( )( )
( ) ( )[ ]2222
726 25.05.0 baxiaxiaxi
bsaxisaxiaxi
bef
oef LDFrFDFr
EILWFrEAk
FrFDNN +−++−+=
(D.93)
Para solos (com comportamento drenado) com extremidades fixas:
( )( )
DDLF
DEILWEAk
NN baxibssbef
oef 4
22
2
726 −
−+= (D.94)