Proposta: 

Estrrutura paara os MMateriais didáticoos impresssos 

CEJAA – Ciênccias da NNaturezaa 

 

 

 

 

F

Iní

Mi

Fecha

Ane

ício

olo

mento

exos

• Títu• Elem• Para

• Seçõespecinstru

• SeçAindo

• O qMeg

ulomentos de oa início de c

ões para descíficos de coucionais (bo

ção de fechda + Bibliog

ue perguntgamente

Fundaçã

organizaçãoconversa... 

senvolvimenonteúdo + reoxes, image

amento da grafia + Res

tam por aí? 

Desenvolvim

ão CECIERJ / 

o prévia (ob(Seção inic

ntos dos tópespectivos ens, atividad

aula + Resuspostas das 

+ Caia na r

mento Instru

Consórcio C

bjetivos)ial)

picos elementos des)

umo + VejaAtividades

 s

rede + 

 

 

 

cional 

EDERJ 

Desen Funda

SEJ

Disc

Prof

Para

Verecont

Umanúm

Font

Em jcontform

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

A profissi

ciplina: Ma

fessor: Ra

a início de

emos a partagem.

a possibilidmero de pos

te: http://ww

jogos de ctarmos as

mações de

strucional

/ Consórcio CE

ional – No

atemática

aphael Alc

e conversa

rtir de exem

dade é usassibilidade

ww.spolti.c

artas podepossibilidasequência

EDERJ

ome da áre

caires

a...

mplos prát

armos o pris de um re

com.br/sof

emos usar ades de retas de carta

| 2 

ea: Matem

ticos como

ncípio mulesultado em

ftgol/image

permutaçõtiradas de s.

mática e suuas Tecnoologias

dos de o utilizar algguns méto

ltiplicativo m um dete

para contaerminado jo

armos o ogo.

es/softgol_montando007.gif 

ões e comdeterminad

binações pdas cartas

para s ou de

 

Desen Funda

Fontcont

N.D:

Obje

•

Seçã

Em o PrPrinc

Fonte

Comdevereali

Nessa poTemdecis

Vamcontpercprinc

Exemturmproferepresuplformposs

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

te: http://wwtent/upload

: Ilustraçã

etivos de a

Identificpermuta

ão 1: Com

nossa primrincípio Fucípio?

e: http://www

mo você semos mulzadas.

sa aula voostura que mos sempr

sões em c

mos mostratagem em cebemos ncípio funda

mplo 1: Oma da escessores desentante ente. Eles

ma aleatórsíveis p

strucional

/ Consórcio CE

ww.warlissds/2012/05

ão, favor fa

aprendiza

car e resoação com r

mbinação e

meira aula ndamental

w.sxc.hu/phot

sabe o Pritiplicar os

oltaremos adevemos te que nos

cada tarefa

ar alguns exemplos

nestes exeamental da

Os alunos cola ABC de sua tu

da turma resolvem

ia. Quantapara esc

EDERJ

son.com.br5/permutac

azer desen

agem

lver problerepetição.

e Arranjo

de introdul da Conta

to/1094969

incípio Mus números

a discutir stomar paras colocar a.

exemplos práticos.

emplos qua contagem

de uma dprecisam rma, um e o outrotomar esta

as possibcolher e

| 3 

r/wp-coes.png

nhos baseeados nass figuras a

emas que

ução da Aagem. Você

ultiplicativos de pos

sobre o pria resolver no lugar d

de comoAlém de m

ue a basem.

determinadeleger dopara ser

o para sera decisão ilidades sestes d

envolvam

nálise Comê lembra o

o nos diz ssibilidades

ncípio funexercíciosda pessoa

o podemosmostrar poe para as

da ois

o r deo

são

o is

m arranjo,

mbinatória o que diz e

que semps das tar

damental d de análise

a que tem

s aplicar aossíveis err

técnicas

acima.

combinaç

conhecemesse

pre refas a se

da contagee combinat

que toma

as técnicaros. É posutilizadas

ção e

mos

erem

em e tória. ar as

as de ssível

é o

 

Desen Funda

profe

Fonte

Reso

Parados taref

TAR(pod

TARescorepre

Tem

1TARE

Pelo

Logo

TARposs

TARpossesco

Pelo

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

essores, sa

e: http://www

olução:

a resolvermalunos q

fas a cump

REFA 1: dde escolher

REFA 2: dolher qualqesentante)

mos então

11TARE

   12

1 EFA

o Princípio

o são 132

Nescolhe

REFA 1: essibilidades

REFA 2: essibilidades olhidos)

o Princípio

strucional

/ Consórcio CE

abendo qu

w.sxc.hu/phot

mos esta que irão eprir.

decidir quar qualquer

ecidir quaquer um do)

12 FA

Multiplicat

possibilida

Fo

Resol

ovamente er os aluno

scolher o p(pode esc

scolher o s(pode esc

Multiplicat

EDERJ

ue esta turm

to/1171500

questão o scolher es

al professoum dos 12

al professoos 11 resta

tivo, temos

ades de es

Exealun

estãoturma t

poderá fa

onte: http://w

ução:

temos queos. Temos

primeiro acolh ualer q

segundo acolher qua

tivo temos

| 4 

ma possui

primeiro pstes profe

or será o2 professo

or será o antes, já qu

s: 12 11 = 1

scolhas de

emplo 2: Onos de suo na bibliotem 15 aluazer esta e

www.sxc.hu/p

e nos colocassim 2 ta

luno que vquer um d

aluno que vlquer um d

15 14 = 21

12 docent

asso é noessores. O

represenores)

suplente: ue 1 profe

132 possib

1 represen

O professora turma p

oteca da eunos, de

escolha?

photo/14087

car na posarefas a rea

vai à biblioos alunos)

vai à bibliodos 14 alun

10 possibil

tes?

s colocarmOs discent

ntante: 12

11 possibssor já foi

bilidades.

ntante e 1

r Euler prepara pegarscola. Sabquantas m

66

sição do pralizar.

oteca pega)

oteca peganos que ai

lidades.

mos na poses terão

s

possibilid

bilidades (

suplente.

cisa escol

escolhido

ição

ades

pode

duas

para

hr os livros

her 2

bendo quemaneiras E

s que e sua Euler

rofessor quue irá

ar os livross: 15

ar os livrosinda não fo

s: 14 oram

 

Desen Funda

eOpensque verd

Paraletra

1) A

2) A

3) A2

4) A

Anale dedepomesestado fapode

Entãimagcomobteposs

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

rro está esamos desser escolh

dade isto nã

a listar algua A seguida

A1 e A2

1 e A3

2 e A1

3 e A1

lisando a lepois o alois o alunomas, pois mos contaato de ter eria ser fei

ão como dginarmos co fizemos

emos acimsibilidades

strucional

/ Consórcio CE

Fo

Ucom

intuitiva e

em pensarsta forma hido um alão ocorre.

umas possa do seu n

ista vemosuno A2 e o A1. Nessos mesmo

ando cada colocado

ta com as

devemos recomo se t

s acima e ma temos

foi contad

EDERJ

No entanres

onte: http://w

ma dica:mum, pois a

e não pare

mos que estamos dluno e dep

sibilidadesúmero de

s que no pno tercei

se caso, teos alunos fpossibilidauma ordeescolhas 2

esolver estivéssemosdepois “fa210 pos

da duas v

| 5 

nto esta ressponder po

www.sxc.hu/p

Em proba forma coece ter falh

temos duadizendo qupois tem q

rimeiro ca

de escolhchamada,

sro caso e

emos que aforam escoade duas v

em na esco2) e 4).

ste problems que escazer um a

ssibilidadesvezes, ou

sposta estáor que? On

photo/107818

lemas de omo resolvha alguma.

as tarefas ue tem umue ser esc

a vamos dou seja, A

so escolhescolhemosa escolha olhidos (osvezes. E eolha dos a

ma? Uma colher um ajuste”. Ass, no entseja, este

á errada! Vnde está o

82

contagemvemos acim

Você sabe

a realizarma ordem e

colhido ou

denominar A1, A2, A3,

emos primes primeiro 1) e a esc

s alunos Aste erro ve

alunos. A m

forma de e depois

ssim, pelo anto cadaresultado

erro?

m este erma foi bas

r, pois qu

rro é t

em que 1°

ante

ando

tro, quand° tem do na

os alunos... até o A1

pela 15:

eiro o aluno aluno A

no A1

colha 3) sãA2 e

A1 e A2). Aem exatammesma an

ão as Assim mente nálise

resolvermescolher o

mos é

resultadoo

a uma deo é o dobr

utro que estas ro da

 

Desen Funda

quan

Logo

Ente

Exempega15 a

Fonte

http:/

 

Reso

Podeque alun15 1corre

1) A

2) A

3) A2

4) A2

5) A

6) A

Devepossum d

O mTere

1) A4

2) A4

3) A

4) A

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

ntidade qu

o, temos2

21

endeu? Vej

mplo 3: Oar os livrosalunos, de q

e: http://www

//www.sxc.h

olução:

emos resotemos 3 o e por f4 13 = 27eta. Vejam

1, A2 e A3

1, A3 e A2

2, A1 e A3

2, A3 e A1

3, A2 e A1

3, A1 e A2

emos notasibilidade qdos alunos

mesmo acoemos 6 cas

4, A5 e A6

4, A6 e A5

5, A4 e A6

5, A6 e A4

strucional

/ Consórcio CE

ue querem

105210

= , ou

jamos mai

O professors que estãquantas m

w.sxc.hu/phot

hu/photo/11

olver comotarefas e fim o últim730 possib

mos alguns

3

2

3

2

ar que esque é a doss não gera

ontece se fsos também

6

5

6

4

EDERJ

mos, assim

u seja, a re

s um exem

r Euler preo na biblio

maneiras Eu

to/1191195 

192915

o fizemos que iremo

mo aluno. bilidades, casos:

stes 6 cas alunos Auma nova

forem escom:

| 6 

m devemo

esposta fin

mplo.

ecisa escooteca da esuler poderá

no exempos escolhe

Temos amas sabe

asos na vA1, A2 e A3a possibilid

olhidos os

os dividir e

nal é que e

olher 3 aluscola. Sabá fazer est

plo anterioer primeiroassim, peloemos que

verdade s3, pois a orade.

alunos A4

este resul

existe 105 p

tado por

possibilida

unos de sbendo que ta escolha?

or. Supondo 1 aluno o Princípio

esta não

se resumerdem de es

4, A5 e A6

sua turma sua turma

?

dois.

ades.

para a tem

do inicialmdepois ma

mente

o Multiplico é a resp

ais 1 cativo posta

e a apenascolha de

as 1 cada

6, por exemmplo.

 

Desen Funda

5) A

6) A

Por mudpasstemo

Port

entã

E

Fonte

Pode

Vam

De 1

15

215⋅

15⋅

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

6, A5 e A4

6, A4 e A5

que se redando a osada é umos P3 = 3!

anto, deve

ão 455 pos

se fossem

e: http://www

emos cont

mos montar

15 alunos e

(15214 ⋅

=

!31314

=⋅

strucional

/ Consórcio CE

4

5

epetem seordem dosm caso de = 6.

emos divid

sibilidades

m 4 alunosTe

15 ⋅

w.sxc.hu/phot

tinuar aum

r uma tabe

escolher k

!2)115−

15(15 −⋅=

EDERJ

empre de três alunpermutaçã

dir o result

s de escolh

, o que tereríamos:

!4121314 ⋅⋅

to/1182264

entando, c

ela para en

alunos

!315()1 −⋅−

| 7 

6 em 6? nos escolhão simples

tado anteri

ha.

ríamos que

com 5 alun

ntender me

)2−

Isto ocorrhidos e iss, como s

ior por 6,

e fazer?

nos, com 6

elhor o que

e, pois esto como vão três ele

isto é, 6

273

e assim p

e está acon

Valor de k

1

2

3

stamos apvimos na ementos e

455630

= .Te

enas aula

então

e

por diante.

mos

ntecendo:

 

Desen Funda

15⋅

15

Maspode

Assi

15⋅

Subs

De 1

15

215⋅

15⋅

15⋅

1(

Devesó d

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

!411314 ⋅⋅

145 ⋅⋅ …

sabemos emos rees

m,

)115( ⋅−

stituindo (*

15 alunos e

15214

=

!31314

=⋅

!411314 ⋅⋅

!)!15

!15

kk =−

emos notaepende de

strucional

/ Consórcio CE

1512 ⋅=

(!

(15k

k−⋅

que 15! =crever ass

chega

)215( ⋅−

*) na última

escolher k

!2)115( −⋅

15(15 −⋅=

1512 ⋅=

15(!!15

k −=

ar agora nae K.

EDERJ

)115( ⋅−

))1−

= 15·(15-1)sim 15! =15

amos

(15−⋅…

a linha da t

alunos

!315()1 −⋅−

)115( ⋅−

)!k

a última lin

| 8 

!4()215( ⋅−

)·(15-2)·...·5·(15-1)·(1

a

))1(k =−−

tabela acim

)2−

!4()215( ⋅−

nha desta

)315( −

·[15-(k-1)]·5-2)·...·[15

c

15(!15k−

=

ma, temos

)315( −

tabela um

4

k

(15-k)·[15-5-(k-1)]·(15-

-(k+1)]·...·2-k)!

2·1, e

conclusão que

)!(*)

:

Valor de

1

2

3

4

k

ma fórmula

k

compactaa que

 

Desen Funda

Se rparaapenform2 e 3

C(n,(podelemé impossComde emaiode e

Box

CliquconhpossRafacomsaudrelacComdeteda aconanalmeio

Fim

Devepodeexem

Exemdispo

Solu

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

refizermos a 16, 17, 1nas os núm

ma geral, q3, utilizarem

k) lê-se code ser pessmentos distmportante, sibilidades

mbinação escolher uor e que aescolha dam

xe Multimíd

ue no linheça o áusibilidadesael e Julia posição de

dável, e cionados

m esse áuerminar o n

ocorrênciantecimentoisar uma s

o da anális

do boxe m

emos tomemos errarmplo a seg

mplo 4: Deondo de 4

ução:

strucional

/ Consórcio CE

os exemp8 e assim meros 15 puando estmos a seg

ombinaçãosoas, objettintos, sabou seja, mde escol

Simples. uma quanta ordem namos o nom

dia

k http://poudio visua!”,Nele voque conve

e um “pratoque utilizà análise

udio visualnúmero de a de umo (eventosituação dose combina

multimídia

ar cuidador a questãoguir.

e quantas homens e

EDERJ

plos 2 e 3por diante

pelos númivermos reuinte fórm

,( knC

o de n tomtos, lugareendo que

mudando aha. A estJá os probtidade de a escolha me de Arra

ortaldoprofal “Quatroocê conheersam sobo” conside

zam concecombinat

l você popossibilida

m determino), além o cotidianoatória.

a

o ao escolo com uma

maneiras e 4 mulhere

| 9 

3 substituine obteremoeros 16, 1

esolvendo ula:

(!)

nkn

k =

ados k a kes, coisas, a ordem d

a ordem da técnica blemas coelementosdos eleme

anjo Simpl

fessor.mec.o mil ecerá bre a rado eitos tória. derá ades nado

de o por

lher as tara escolha e

podemos fes?

ndo o númos a mesm7, 18 e asproblemas

)!!k

n−

k. Isto signetc) distint

das escolhaos elemende contag

mo o do es distintos entos gerales.

gov.br/fich

refas que equivocad

formal um

mero de alma tabela assim sucess como os

unos da tuacima trocssivamentes dos exem

nifica que dtos temos as destes ntos não ggem damo

exemplo 1 dentre um

a uma nova

aTecnica.ht

temos quea das tare

casal (hom

de n elemeque escolelementos

geramos nos o nomem que te

ma quantia possibili

tml?id=309

urma ando e. De mplos

entos her k s não novas e de emos dade dade

62 e

e realizar, fas. Vejam

pois mos o

mem e muulher)

 

Desen Funda

Pode

TAR

TARposs

Peloform

O erdas de M

1) H

2) H

3) M

4) M

Notehomescoou s

Logo

Mas

TARH2,

TARM2,

Peloesco

ExeSabemão

Soluem d

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

emos pens

REFA 1: es

REFA 2: essibilidades

o Princípio mar um cas

rro está na8 pessoas

M1, M2, M3

1 e M1

1 e M2

M1 e H1

M2 e H1

emos que mem H1 e aolha está seja, 32 2

o temos 16

poderíam

REFA 1: esH3 e H4)

REFA 2: esM3 e M4)

o Princípio olha de cas

emplo 5: Eendo que

o?

ução: Nestdeterminar

strucional

/ Consórcio CE

sar em dua

scolher 1 pe

scolher 1 .

Multiplicatsal, certo?

a escolha ds. Vamos c3 e M4. Va

os casosa mulher M

sendo cont= 16.

6 possibilid

os ter reso

scolher 1 h

scolher 1 m

Multiplicatsal.

Em uma nesta fest

te exemplr as tarefas

EDERJ

as tarefas.

essoa qua

pessoa do

tivo, temosErrado! Vo

das tarefaschamar deamos listar

1) e 3) sM1) e o mtada duas v

dades de e

olvido da s

homem den

mulher den

tivo, temos

festa, cadta tinha 20

o a dificus a serem

| 10 

alquer: 8 po

o sexo dife

s 8 4 = 32ocê sabe o

s, pois na 1e H1, H2, H

alguns ca

são iguaisesmo ocorvezes, tem

escolha de

eguinte fo

ntre os qu

tre as qua

s 4 4 = 16

da pessoa0 pessoas

uldade estexecutada

ossibilidade

erente da

. Logo, temonde está o

1ª tarefa esH3 e H4 osos possív

s, pois formrre nos ca

mos que div

casal.

rma, temos

atro home

tro mulher

6. Logo tem

a cumprim, foram da

tá as

es.

escolhida na tarefa

mos 32 poo erro?

scolhemoss homens veis:

mam o masos 2) e 4vidir o resu

s duas tare

ens: 4 poss

res: 4 poss

mos 16 po

mentou todados quan

ossibilidade

s qualquer e as mulh

esmo cas4). Assim, ultado por

efas.

sibilidades

sibilidades

ossibilidade

das as ountos aperto

1: 4

es de

uma heres

al (o cada dois,

(H1,

(M1,

es de

utras. os de

 

Desen Funda

pelaestrasegumãopalaparaassimletrapessaperque nossdispocomgerade mcaso

Font

TARimpo

2(TARC

Usan

2(C

Logo

ExemInstitprofetrabano Epodepess

a) qesco

b) ne

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

pessoa qatégia é uintes: P1,o então é nvra “letra”

a representm sucessiv

as, represesoa P1 aprtou a mãocada aper

sa tarefa éondo de binação, te

amos um nmão. Comoo de combi

e: http://ww

REFA: Escoorta, ou sej

)2,20REFA

ndo

 !22

)2,20 =

o, nesta fe

mplo 6: tuição dessores dalham no EEnsino Méemos formsoas de mo

quaisquer olhidos

enhum me

strucional

/ Consórcio CE

que precisutilizarmos, P2, ..., Pnecessário

para reprtar 1 apertvamente. entando d

pertou a mo da pessorto de mãoé determin20 letrasemos que

novo apertoo P1P20 éinação sim

ww.sxc.hu/p

olher 2 peja, não ger

a

20!18!20=

sta teve 19

Em ue ensinode MatemEnsino Suédio. De mar uma odo que:

uns dos

embro seja

EDERJ

sa contar s letras p

P20. Comoque enten

resentar P1to de mão,Um aperto

duas pessmão da pesoa P10. Eno pode sernar de qua. Escolheverificar s

o de mão oé o mesmo

mples.

hoto/13962

essoas denra uma nov

fórmula

!182!18190

⋅⋅⋅

90 apertos

ma deteo trabalhmática, dperior e o quantas m

comissão

10 poss

do Ensino

| 11 

o númeropara repreo temos qundamos co1, P2,.., P depois pa

o de mão oas. Por ssoa P20, ntão fazenr contado aantas manr 2 objetoe quando ou se contio aperto d

243

ntre 20, emva contage

de

190=

s de mão.

erminada ham 10 estes 4 restante

maneiras o de 3

sam ser

o Superior

o de apeesentar asue contar omo usar a20 como s

ara represefica definidexemplo, P1P10 sigdo esta anao escolheneiras podos de 20alteramos inuamos ce mão de

m que a oem.

co

rtos de ms pessoaso número as letras (esendo “letrentar 2 apedo quando

P1P20 sgnifica quenálise podeermos duademos esc caracteria ordem d

contando o P20P1 en

mão. Uma s, usemosde aperto

estou usanras” difereertos de mo usamos significa que a pessoemos perc

as letras. Ecolher 2 leza arranjodas duas l mesmo antão este é

ordem nest

ombinação

ta escolha

, te

boa s as

os de ndo a ntes)

mão e duas ue a a P1

ceber Então etras, o ou etras perto é um

a não

emos

 

Desen Funda

c) ha

d) pe

e) no

Font

Solu

a) Te

TAR

Novacomsejacomrespassimcom

1(C

Logo

b) Npodepara

TAR

Da m

6(C

Logo

c) NalunComestaprof

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

aja exatam

elo menos

o máximo

e:http://www

ução:

emos uma

REFA: esc

amente ebinação, t, se escoissão difer

posta é nãom temos binação.

 !310

)3,0 =

o, temos 1

Nossa tareemos escoa escolher.

REFA: esco

mesma for

3 !3!6

)3,6 =

o, temos 2

Neste itemos acabam

mo temos q comissão

fessores d

strucional

/ Consórcio CE

mente 1 pro

um seja d

dois sejam

w.sxc.hu/ph

a única tare

olher 3 de

este exemtemos entãolhermos orente da co. É a mes

um caso

610

!7!0 ⋅=

20 comiss

efa continolher profe

olher 3 den

ma do item

656

!3 ⋅⋅⋅

=

0 comissõ

temos qm errando que escolho será fodo Ensino

EDERJ

ofessor do

do Ensino S

m do Ensin

hoto/102744

efa para fo

ntre 10 pro

mplo caraão que veos professcomissão fsma comiso de com

!76!789=

⋅⋅⋅

ões possív

nua sendossores do

ntre os 6 pr

m a, temos

2!3!34=

⋅

es possíve

ue dar atea questão

her exatamormada po Médio. N

| 12 

Ensino Su

Superior

o Médio

47

rmar a com

ofessores p

cteriza umerificar se sores Joãformada pssão, isto smbinação.

120=

veis.

o escolherEnsino Su

rofessores

um caso d

0

eis.

enção à po por não mente 1 pror 1 profeeste caso

uperior na c

missão.

para forma

m problema ordem é

ão, Claytoor Alessansignifica qUsaremo

r 3 profesuperior, as

s do Ensino

de combin

palavra “eprestarem

rofessor dessor do temos dua

comissão

ar uma com

ma de aé ou não n e Alessndra, Clayue a ordems assim

ssores, nossim temos

o Médio.

ação:

xatamentem atenção o Ensino

Ensino as tarefas a

missão.

arranjo ouimportantesandra é yton e Joãm não impa fórmula

u de e, ou uma o? A

porta, a de

o entanto s 6 profess

não sores

e”, pois alnesta palSuperior eSuperior a realizar.

guns avra. então

e 2

 

Desen Funda

TARno E

TARno E

Paracom

TAC

Cabnecepossprofe

Pelo

4(C

Logo

d) Pmen

I) 1 p

II) 2

III) 3

ParaEnsitemo

Usar

I) C(

II) C

III) C

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

REFA 1: esEnsino Sup

REFA 2: esEnsino Méd

a resolverbinação pe

  )1,4(1 AREFA

C

e aqui umessariamensíveis e istessores po

o Princípio

3 !1!4

)1,4 =

o temos 60

Para que tenos) 1 profe

professor E

professore

3 professor

a todos os ino Superios uma ún

remos o P

(4,1) (6,2C

(4,2) C(6,1

C(4,3) = 4

strucional

/ Consórcio CE

scolher 1 pperior.

scolher 2 pdio.

rmos cadaelo mesmo

)2,6(TAREFAC

ma observnte usar coto pode seodem ser e

Multiplicat

!31!34

!3 ⋅⋅

=

0 comissõe

enhamos pessor do E

Ensino Sup

es de Ensi

res de Ens

dois primior e escoica tarefa q

rincípio Mu

) = 4 5 = 1

1) = 6 6 = 3

EDERJ

professor d

professores

a uma dao motivo do

2 A

vação: parombinaçãoer feito deescolhidos

tivo, temos

4= e 6(C

es possíve

pelo menoEnsino supe

perior e 2 d

no Superio

sino Superi

eiros casoolher profeque é esco

ultiplicativo

60

36

| 13 

o Ensino S

s do Ensin

as tarefasos itens a e

ra resolveo, pois tem 4 maneir.

s C(4,1) C(

!26

)2,6 =

is.

os (devemoerior as po

do Ensino

or e 1 do E

ior

os temos 2essor(es) dolher três p

o nos dois

Superior de

o Médio de

s temos qe b.

rmos a tamos que es

as já que

(6,2) = 4 15

256

!4!6

⋅⋅

=

os ter cuidossibilidade

Médio

Ensino Méd

2 tarefas: edo Ensinoprofessores

primeiros c

entre os 4 que trabalham

entre os 6 que trabalham

que usar a fórmulaa da

arefa 1 nãscolher 1 p

qualquer

ão precisaessoa denum dos qu

amos ntre 4 uatro

5   60, poi

15!4!45=

⋅

dado com es são:

dio

escolher pro Médio. Js do Ensin

casos:

s

pelo a palavra

rofessor(esJá no casono Superio

s) do o III) r.

 

Desen Funda

Composs

Logo

Podeprofeformtomaprofe

O nobteEnsi120

e) Psegu

I) 2 d

II) 1

III) 3

Masposs

Exemorgaestasepafísicacolodiscidisci6 livrde quandentMate

Font

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

mo podemosibilidades

o, são poss

emos resoessor do E

mar comissar todas asessor do E

úmero totemos 120 ino Médio – 20 = 100

Para termouintes caso

do Ensino

do Ensino

3 professor

estes cassíveis.

mplo 7: Uaniza melnte de sua

arar os liva e químcará neniplina juntoiplina. Sabros de FísiMatemáti

ntos modotre os 21, 1emática.

e: http://ww

strucional

/ Consórcio CE

os ter qualq, ou seja, 6

síveis 100

olver este iEnsino Susão com ns comissõ

Ensino Sup

tal de comcomissõesé C(6,3) =0.

os no máxos:

Médio e 1

o Médio e 2

res de Ens

sos são os

Um estudahor seus a casa. Pvros de mmica, ou hum livroo com livrbendo que ica, 7 de Qica, deteos ele pod10 livros na

ww.sxc.hu/p

EDERJ

quer um do60 + 36 + 4

comissõe

tem de ouperior entãenhum proes possíve

perior (3 pr

missões ps. E o nú 120, calcu

imo dois p

professor

2 professor

sino Superi

s mesmos

ante desejalivros na

ara isto vamatemática

seja, nãoo de umaro de outra

ele possuQuímica e 8ermine dede arrumaa estante,

hoto/77441

| 14 

os três cas4 = 100 po

s.

utra maneirão a únicaofessor doeis e retiraofessores

possíveis fúmero de ulado no it

professore

Ensino Su

res de Ens

ior

do item an

a a ai a, o a a ui 8 e

ar sendo 3 liv

5

sos então dossibilidade

ra: como tea escolha o Ensino Sar as que ndo Ensino

foi calculacomissões

tem b). Log

s do Ensin

uperior

sino Super

nterior. Log

vros de Fís

devemos ses.

somar toda

em que terque não p

Superior, enão aprese

o Médio).

ado no ites com 3 pgo o total d

no Médio

rior

go temos

sica, 3 de Q

r pelo menpode ocorentão podeentam nen

em a) em professorede comissõ

analisemo

100 comis

as as

nos 1 rrer é emos nhum

que es do ões é

os os

ssões

Química e 4 de

 

Desen Funda

Soluagorlivros

TARcoloserá

Tare

Na tcara

Na t

SUB

SUB

SUB

Todadecidordeestao meao massim

SU

Tem

TAR

Peloa 25milhõ

Outr

TARcoloserá

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

ução: este ra. Primeiros na estan

REFA 1: escará os liv

á a próxima

efa 2: esco

tarefa 1 teacteriza per

arefa 2 tem

BTAREFA

BTAREFA 2

BTAREFA 3

as as trêdirmos qu

em na escnte, ou sejesmo que mudarmos m temos u

456BTAREFA

⋅⋅

mos assim:

1  

61 REFA

o Princípio 54.016.000ões!

ra solução

REFA 1: escará os liv

á a próxima

strucional

/ Consórcio CE

é um exemo passo é

nte. As tare

scolher a ovros de maa disciplina

olher qual li

emos que trmutação e

mos três su

1: colocar

2: colocar

3: colocar

ês subtareual técnicacolha dos ja, colocarcolocar osa ordem d

um caso de

7SUBT  1 A

210120TAREF⋅

Multiplicat0 !!! É isso

possível é

scolher a ovros de maa disciplina

EDERJ

mplo que ese coloca

efas que el

ordem dasatemática oa até a últim

ivro será c

trocar a ore como sã

ubtarefas:

3 livros de

3 livros de

4 livros de

efas carac de contalivros est

r os livros ds livros F3dos livros e arranjo. T

567TAREFA

⋅⋅

168002 FA

⋅

tivo o totalo mesmo,

é realizarm

ordem dasatemática oa até a últim

| 15 

envolve vár na posiçãe terá que

s disciplinaou de físicma escolha

colocado na

rdem das o três disc

e Física na

e Química

e Matemáti

cterizam oagem usar amos mudde Física F F2 F1 neobtemos u

Temos ass

78SUBT  

2⋅

l de arrumo número

mos as segu

s disciplinaou de físicma escolha

árias técnicão do estu

e realizar sã

as na estaca ou de qa.

a estante p

disciplinasciplinas tem

estante, d

na estante

ca na esta

ou arranjodevemos

dando a aF1 F2 F3 nsta ordemuma nova

sim:

5673 TAREFA

⋅⋅

ações poso de possi

uintes tare

as na estaca ou de qa.

cas que já udante queão:

estudamoe irá arruma

s até ar os

nte, ou seuímica e d

eja, se primdepois ver

meiro qual

para cada disciplina.

s, ou seja,mos P3 = 3

permutar3! = 6.

, isto

dentre 6.

e, dentre 7.

ante, dentre

o ou comverificar s

arrumaçãonesta orde? A respoarrumaçã

3

ssíveis na bilidades é

efas:

nte, ou seuímica e d

.

e 8.

mbinação se mudan

o dos livrom na estasta é não,o na estan

para do a

os na nte é pois nte e

estante é é mais de

igual e 250

eja, se primdepois ver

meiro qual

 

Desen Funda

TARcaso

TARPor lo na

Assi

TAR

Ou s

TAR

Peloa 25

Seráagortarefapre

Atividisppode

AtiviEle tofereesco

Ativiaperquan

Ativireali

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

REFA 2: eso o objetivo

REFA 3: esexemplo da estante?

m, teremo

  6

1 REFAC

seja,

2T

  6

1 REFA

o Princípio 54.016.000

á que ficarara resolvefas a se

endidas.

dade 1: Nutando as e ser defin

dade 2: Ptem que esece 10 saolha?

dade 3: Erto de mãntas pesso

dade 4: Dzar um sa

strucional

/ Consórcio CE

scolher os o é soment

scolher a odos 4 livros

Para isto

os:

)3,6(TAR⋅CC

73520 TAREFA

⋅⋅

Multiplicat, o mesmo

am bem enr estas prem realiz

uma semifmedalhasido o pódio

edro decidscolher 2 sabores dife

Em uma reão. Sabenoas estava

Dona Gertrque. No e

EDERJ

livros de cte escolhe

ordem que s de Matemprecisamo

8()3,7(2 REFA⋅C

66TARE  

02

⋅⋅

tivo o totalo valor enc

ntendidas róximas azadas pa

final de ums de ouro, po?

diu reunir osabores deerentes. D

eunião caddo que nm nesta re

rudes esquntanto ela

| 16 

cada discipr os livros

cada livro mática escos permuta

3!TAR  )4,8 ⋅

423 FA

l de arrumcontrado an

as técnicaatividades ara só de

m campeonprata e bro

os colegase tortas pare quantas

da pessoa o total fo

eunião?

ueceu a susabe que

plina que irsem se pr

ocupará dcolhido em ar estes livr

4!3!3 REFA

⋅⋅

ações posnteriormen

s de contasempre v

epois tent

nato de baonze. De q

s para comra servir ems maneiras

cumprimeram dado

ua senha os algaris

rão para a reocupar co

estante. Nom a orde

Neste m.

dentro de cque ordem

ros.

cada discipm devo co

plina. locá-

ssíveis na nte.

estante é igual

agem e seuvendo quatar aplica

us usos? Tl(is) é(sãor as técn

Tente o) as nicas

squete, 4 quantas for

seleções ermas difere

estão entes

memorar sm sua fests Pedro po

seu aniversta. A confeode fazer

sário. itaria esta

entou as os 105 ape

outras comertos de

m um mão,

bancária dsmos são d

de 4 dígitodistintos, q

os ao que o

 

Desen Funda

1° arealiperm

Ativprofialun

Sem

a) o

b) o

Ativisand

I) um

II) uorég

III) ualmô

IV) u

V) epime

VI) maio

Dete

a) o

b) o ele maio

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

lgarismo nze o saqu

mitir para a

vidade 5: Uissional paos com o p

m considera

número m

número m

dade 6: Eduíche esc

m dentre os

um dentre gano; três q

um dentreôndegas.

um dentre

escolher trentão; pep

dois dentonese.

ermine:

número de

número dnão gostaonese.

strucional

/ Consórcio CE

não era núue, determia realização

Uma turmaara que noparaninfo.

ar a ordem

mínimo de f

máximo de

Em uma decolhendo:

s dois tama

os cinco queijos; int

os 6 rec

os três tipo

rês dentreino

tre os qua

e sanduích

e sanduícha de pão d

EDERJ

úmero par ine o númo desta tra

a de 40 foro dia da f

m dos três n

fotos que o

fotos que o

eterminada

anhos: 15

tipos de tegral avei

heios: pre

os de queij

e os cinco

atro molh

hes distinto

hes distintde três qu

| 17 

e o últimoero máxim

ansação ba

rmandos dformatura,

na foto, de

o fotógrafo

o fotógrafo

a lanchone

cm ou 30

pão: italiaa e mel.

esunto; pei

jo: suíço, p

o tipos de

os: mosta

os que pod

os que umueijos; não

o é nove. Pmo de tentaancária.

de uma Unfotografas

termine:

pode tirar

o pode tirar

ete os clie

cm

ano branc

ito de per

prato; ched

vegetais:

arda e me

dem ser mo

m cliente poo gosta de

Para que dativas que

dona Gertre o banco

rudes deve

niversidadesse somen

e contratounte um pa

u um ar de

r.

r.

entes podeem montar um

co; integraal; parmesão e

ru; rosbife;; frango; aatum;

ddar.

alface; toomate; cebola;

el; barbeccue; mostaarda;

ontados

ode montae atum; e

ar sabendonão gost

o que ta de

 

Desen Funda

Seçã

VimoposiNo ealguesta

Exem

Solupermletrase tr

I) A1

II) A

III) A

IV) A

Deveque posipermCommesquanaparletratrocaformanagencodivid

2 !21P

De mrepeque

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

ão 2: Perm

os na aulação de obentanto, tem destes pergunta

mplo 8: Qu

ução: Se mutação sia A se reperocar a pos

T1EM2A2T

1T1EM1A2T

A1T2EM2A2

A1T2EM1A2

emos notaé ATEMAção de ou

mutação simo podemo

mo anagrantas vezesrecem duaas entre si ar a posiçã

mar um mesgramas forontrando udir este re

24!10

!3 !210

=

maneira geetindo k vese repete

strucional

/ Consórcio CE

mutação c

a anterior qbjetos distinem problemrepetidos.vamos a u

uantos são

não tivéimples, noete três vesição das l

T2ICA3 M1

T2ICA3 M2

T1ICA3 M1

2T1ICA3 M2

ar que todoATICAM, isutro “T” nmples estos determama? Paras podemosas vezes te a letra A

ão do A ensmo anagrrmados. Pum númeroesultado p

15120!=

eral se temezes, outroz vezes, e

EDERJ

com repeti

que todo pntos entre mas que e Qual técn

um exempl

o os anagra

éssemos o entanto aezes. Vejametras. Para

2

os os 4 casto ocorreunão gera uaremos coinar o núma isto deves alterar a temos por

A se repetentre si. Istorama de A

Portanto aoo 24 vezepor 24. Te

00 .

mos permuo se repetinentão

| 18 

ição

problema dsi isto car

envolvem tnica de coo.

amas da p

letras reas letras Mmos algunsa isto usem

asos acimau porque tum novo ontando ummero de veemos tomaposição dartanto 2! =e três vezeo nos dá u

ATEMATICo usarmoses maior demos entã

utação de ndo w vez

de contageracteriza utroca de pontagem ut

alavra MA

petidas rM e T se rs exemplo

mos M1A1T

a representrocar a poanagrama

m mesmo ezes que

ar o exempas letras re= 2 manees então teum total de

CAM, o mess a permutdo que o ão que o

n elementzes e assim

em que enuma permuosição de tilizar? Par

nvolve trocutação sim

objetos sra respond

ca de mples.

endo der a

ATEMÁTICA

resolveríamrepetem d

os de palavT1EM2A2T2

ntam o mesosição de

a. Assim, anagramaestaremos

plo dado acepetidas. Airas de troemos 3! = e 2 2 6 = 2smo ocorretação simpcorreto. A

o total de

tos com umm por dian

A?

mos utilizduas vezesvras obtidaICA3

ando s e a as ao

smo anagrum “T” cose usarm

a várias ves contandocima e verAs letras Mocarmos e6 maneira

24 maneiraerá com oples estare

Assim deveanagrama

rama om a os a ezes. o um rificar M e T estas as de as de utros emos emos as é

m elementnte até o ú

to se último

 

Desen Funda

,P wkn

Esta

Exemgrupque creshomman

Solu

Parahouvmulhmais

I) M1

II) M

III) M

IV) H

V) H

VI) H

Vejapossante

PodeI) nãM2Msendumarepe

I) MM

II) M

III) M

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

!,...,

kzw

⋅=

a fórmula s

mplo 9: Upo com seu

eles ficascente de

mem e neneiras distin

ução:

a resolvermvesse apeher mais bs alto. Assi

1M2H1H2

M1H1M2H2

M1H1H2M2

H1H2M1M

H1M1H2M2

H1M1M2H

a os casosibilidadeses do H1.

eríamos teão podem

M1H1H2 ndo “o mesa única veetição. Pen

MHH

MHMH

MHHM

strucional

/ Consórcio CE

!...!!

zwn

⋅⋅

se estende

Uma pequeus 10 funcissem em f

altura entnhuma mntas esta f

mos esta qenas dois baixa e M2im teríamo

2

2

2

2

2

os acima , pois o M

er resolvidomos trocar

ão é posssmo caso” z, isto é a

nsando des

EDERJ

para quan

ena empreionários, sefila, sendotre si e o

mulher temila pode se

questão, phomens e

2 a mais aos seis pos

até se cM2 nunca p

o este proba posiçã

sível, ou pde M1M2

a mesma sta forma t

| 19 

ntidades m

esa resolvendo 6 mu que as m

os homensm a mesmer formada

primeiro vae duas multa, H1 o h

ssibilidades

convencer pode vir an

blema percão de M1 poderia tam2H1H2, ascoisa queeríamos os

maiores de

veu desenvulheres e 4mulheres ds tambémma altura, a.

amos resolulheres. Vhomem mas:

que realntes do M

cebendo qcom a d

mbém imassim estare pensarms seguinte

elementoss repetidoss.

volver um4 homens. deveriam f. Sabendo

determin

a dinâmicPara isto p

ficar em oro que nenne de qua

ca de pediu rdem nhum antas

lver para oVamos chaais baixo e

o caso emamar de Me H2 o ho

m que M1 a mem

mente ó 1 e o H2 n

existem enunca pod

estas de vir

ue, por exdo M2, ouaginar M2Mríamos con

mos em pes casos:

xemplo no u seja, o M1H1H2 cntando apermutação

caso caso

como enas com

 

Desen Funda

IV) H

V) H

VI) H

Destpode

fica

Agor

mulh

Logo

verd

a) Q

b) Q

Solu

a) Ateremse aportaseja

TAR

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

HHMM

HMHM

HMMH

ta forma neríamos us

 !242,2

4 =P

ra já tem

heres e 4 h

o, a fila pod

dadeiro e s

Quantas seq

Quantas seq

ução:

As sequêncmos que rea segundaanto temos,

T 

21 REFA

strucional

/ Consórcio CE

ão haveriasar a fórmu

6!2!4= .

os condiç

homens en

de ser form

im múltipla

quências d

quências a

cias de resealizar sãoa questão s 20 tarefa

22 TAREFA

EDERJ

a necessidula para pe

ções de r

ntão temos

mada de 2

a escolha.

de resposta

apresentam

postas sãoo: primeiro

será V oas e cada

TARE ... 

2

| 20 

ade de listermutação

resolver o

s 416,4

10 =P

10 maneira

ExcocaV falinf

Fo

Esqu

as são pos

m doze res

o formadas, se a primu F e asstarefa tem

220 EFA

tar todas eo com repe

nosso e

410

!6 !4!10

⋅=

as diferent

xemplo 1omposta deada uma dcaso seja lsa a queformações

nte: http://w

sta figura nuestão, po

ssíveis?

spostas V e

s pelas letmeira questsim por dm 2 possib

estas possetição que

sibilidades,neste exe

pois mplo

xemplo, ccomo temoos 6

1237890=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

tes.

10: Uma e 20 queseve ser reverdadeirastão. Comresponda

www.sxc.hu/ph

não está deois não é

e oito resp

ras V e F, tão será V iante até

bilidades d

210= .

avaliaçãstões, em espondida a e F casom base ne:

o é que com

o seja estas

hoto/388725

e acordo cé de fals

om a so e

postas F?

as tarefasou F, sega questão

de resposta

s que undo o 20, a, ou

 

Desen Funda

Pelo

Logo

Imagquan

b) Pa secom

,1220P

Logo

Ativi

a) se

b) qu

c) qu

d) qu

e) qu

AtiviCDsiguaiguaarrum

a) se

b) sa

Res

•

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

o Princípio

o temos 1.

gine você ndo estuda

ara sabermequência V repetição

8 !12!208, =

o temos 12

dade 7: Q

em restriçã

ue começa

ue termina

ue começa

ue começa

dade 8: Us nas pratis) do Miltois) do Chmar estes

em restriçã

abendo qu

umindo

Arranjo distintosordem é

strucional

/ Consórcio CE

Multiplicat

048.576 po

chutar todar probabil

mos quantVVVVVVVV, usando a

120!8

⋅=

25.970 seq

uantos são

ão

am com a l

m com a le

am com a l

am com a l

ma funcioneleiras. Non Nascimico BuarquCDs na pr

ão

e os CDs d

e combinas dentre né importan

EDERJ

tivo temos:

ossibilidad

das as 20 idade que

tas sequênVVVVVFFFa fórmula, t

5678171819⋅⋅⋅⋅⋅

quências p

o os anagr

letra C

etra A

letra C e te

letra C ou

nária de uma primeira

mento, 5 CDue. De qurimeira pra

de cada ca

ação são n elementte e o segu

| 21 

: 220 = 1.04

des de seq

questões isto é qua

ncias tem 1FFFFFF, otemos:

234515167⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

ossíveis.

ramas da p

erminam co

terminam

m loja de Ca prateleiraDs (todos

uantas formateleira:

antor deve

caracterizaos distintoundo quan

48.576

uências!

e gabaritase imposs

12V’s e 8Fou seja é

11314

=⋅

palavra CO

om a letra

com a letra

CDs foi ena ela deveiguais) do

mas difere

em perman

ados pela os (n > pndo não é.

ar esta proível aconte

ova! Você ecer.

verá

F’s teremosum caso d

s que permde permut

mutar tação

970.125=

OMBINATÓ

A

a A

carregadae arrumarGonzagui

entes a fun

necer junto

escolha d). O prim

0

ÓRIA:

a de arrumar 4 Cds (tinha e 6 (tncionária

ar os todos todos pode

s.

de p elemeeiro quan

entos do a

 

Desen Funda

•

•

Veja

Para

•

Bibl

Boye

Eves

Iezzciên

MorgCom

Res

Ativi

Ativi

Ativi

Ativi

Ativi

Ativi

Ativi

Ativi

nvolvimento Ins

ação CECIERJ

Fórmula

Fórmula

,...,,P wkn

a Ainda

a saciar su

http://ww

problem

iografia c

er C. B., H

s H., Introd

i, G., Dolcecia e aplica

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/ Consórcio CE

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b) 126.

EDERJ

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| 23 

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Desen Funda

 

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strucional

/ Consórcio CE

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EDERJ

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| 24 

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