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MATEMÁTICA BÁSICAProf. Dudan

Transcrição | Aula 03

C E F

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Matemática Básica

AULA 3

Eu trouxe uma questão muito legal, alguém aqui assistiu ontem, quarta feira “a hora da matemática?” a Hora da Matemática é um programinha que eu tenho toda quarta à noite no youtube da casa, e eu trago as duvidas que os alunos me trazem por e-mail. Às vezes o aluno me manta por whats e eu parei de responder pelo whats porque, além de atrapalhar minha correria do dia a dia, eu tenho que parar, achar um papel, achar uma caneta, resolver a questão, tirar uma foto e mandar para o aluno... isso estava criando conflitos dentro da minha casa, porque, direto eu estava em uma festa, num casamento, numa formatura, e alguém me mandava uma questão as 3 da manhã bêbado e eu parava o que eu estava fazendo e ia resolver a questão, porque eu não consigo deixar para depois. Se eu deixar pra depois eu vou esquecer, e o aluno vai se sentir preterido, ai as vezes eu estava em uma formatura, parava o garçom, vem aqui me traz uma caneta, um guardanapo, resolvia a questão, tirava foto e mandava pro aluno, e a Graça indignada, então ela limitou meu uso de internet por dia pra resolver essas coisa... (...)

Com isso eu criei esse canal muito legal, e eu vou até deixar o e-mail aqui pra quem quiser tirar dúvidas, claro que o pessoal do presencial não precisa porque eu estou aqui a disposição de vocês sempre! Mas a galera da Casa, de casa do EAD, é só mandar um e-mail pra [email protected], dizem as más línguas que é o melhor programa semanal da tv brasileira... É um programinha legal, eu sempre trago três, quatro questões bem interessantes com dúvida do aluno, as vezes o aluno escreve sobre a vida dele e eu vou lá e falo sobre o aluno né, (...)

E ai, ontem eu resolvi essa questão e já que ninguém viu, a gente vai resolver agora, muito legal. A questão caiu na prova do INSS em 2016, vou colocar ela no quadro pra vocês darem uma olhadinha, ela é assim:

A analise é se o item é certo ou se o item é errado. E vamos começar a aula de hoje com essa questão tá, depois a gente vai falar de MMC, MDC, tirar duvida dos livros, falar de frações é uma aula que vai valer muito a pena pra quem veio, pra quem não veio, vai poder ver de casa depois vai valer muito a pena.

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Questão CESPE 2016 sobre conjuntos numéricos.

Qual é o principal ponto dessa questão tá... Duas são as informações mais importantes dessa questão. Primeira é quando ele afirma que são conjuntos quaisquer (...) então se liga: primeiro que aquela informação que são conjuntos quaisquer ela é fundamental. E segunda informação fundamental é que AeB estão contidos em C, ou seja, dentro de C. Sem essas duas informações vocês não matam a questão. Tudo bem? Como é que eu faria? Eu faria o seguinte: ao invés de fazer bolinha pra cá, bolinha pra lá, eu faria os conjuntos.

Primeiramente o conjunto C que é o mais amplo, como pode ser um conjunto qualquer, esse é um conjunto qualquer. C= {1 ,2, 3, 4, 5}. Como A e B devem estar contidos em C, a gente falou sobre isso nas ultimas aulas, o A, deve ser construído com elementos de C, e o B deve ser construído também com elementos de C. até aqui alguma dúvida? O que eu fiz, discorda do texto? Não! Ele fala que A, B e C são conjuntos quaisquer e são, e que A e B estão contidos em C, ou seja, os elementos que formam A e B são exclusivamente elementos do conjunto C. feito isso, eu vou trazer essa informação pra cá só pra ficar mais fácil de resolver, me empolguei com o espaço. Essa é nossa hipótese número 1, com essa hipótese, eu vou explicar depois porque é que tem outras hipóteses, eu jogo esses valores lá, na estrutura que ele nos deu lá em cima, e a gente vai calculando um por um e a gente vê se é certo ou errado o item.

C = { 1, 2, 3, 4, 5}

A = { 1, 2}

B = {3, 5}

Primeiro: o que é C \ A gente? Não é a complementação de A quando comparado a C? Nós falamos em aula, que na aula passada eu falei de novo e trouxe mais uma questão pra reforçar isso hoje, porque isso seria a questão mais difícil da banca CESPE sobre teoria de conjuntos... Então, o que que o A, teria que ganhar para ficar igual ao C? {3, 4 e 5} não é isso? Todo mundo concorda comigo que seria isso, 3, 4 e 5 complementar de A se tornar C, ou C – A, como você quiser tá. A ideia é a mesma. Você quiser trocar essa barrinha pra trás \ por isso daqui -, é a mesma coisa. Então a ideia é essa. (mas a questão original tinha barrinha!) intersecção. O que é a união de A e B? é juntar o que o A e B tem juntos, se tiver algo repetido não dê bola pra isso, não precisa repetir, o que é comum. Então a união é 1, 2, 3 e 5. E ele fala que isso é igual a intersecção de B e C, como B está contido em C em texto, a intersecção é o próprio B, que é o que eles têm em comum {3, 5} a intersecção aqui, de fato é 3 e 5, que é igual ao 3 e 5, ou seja, aqui o item é verdadeiro. Se você fizesse isso, marcaria como certo. Só que tem um problema, um pequeno problema! Porque você não pode dizer que há uma intersecção entre A e B? há alguma informação no texto que indica que A e B são conjuntos distintos? Não! Com elementos distintos entre si? Não! Caso eu coloque na hipótese 2 tá, o C se mantém o mesmo. Caso eu coloque um elemento de intersecção entre eles, será que se mantem igual? Será que muda alguma coisa? Vamos descobrir agora! Fazendo agora o mesmo esqueminha com um novo conjunto A, que ganhou um elemento 3 pra ter algo em comum com o B.

C\A é o que o A teria que ganhar pra virar o C, 4 e 5. Intersecção de A união B, junta tudo sem repetir, 1, 2, 3 e 5. Que é igual a intersecção de B com C que é igual a 3 e 5. A intersecção do que aparece aqui, é só o elemento 5. É igual ao 3 e 5? É diferente! Então, se eu fiz uma hipótese e deu e fiz outra e não deu, eu não posso dizer que pra quaisquer produtos B e C, sempre aquilo vai ser um equilíbrio. Não é pra quaisquer! Aconteceria desde que, não houvesse intersecção entre A e B, mas como ele me deu a liberdade de usar qualquer conjunto, com

CEF (Superação) – Matemática Básica – Prof. Dudan


intersecção, sem ou eu até poderia usar o mesmo conjunto para os dois... o A e o B poderiam ser a mesma coisa com total intersecção eu percebo então, que o item é errado! Tudo bem? Alguma duvida no que eu fiz? Questão difícil? Sim! Bem difícil! Porque vocês tentam resolver ela pelo diagrama, não está errado, pelo diagrama eu faria assim olha, esse é o C, esse é o A e esse é o B, hipótese 1, não há intersecção! A hipótese 2, deveria haver uma intersecção! E ai, pelo desenho fica muito mais difícil... o ideal seria eu criar os próprios conjuntos, como eu fiz... ele te deu a liberdade, bota números ali e vai trabalhar. Porque, pelo desenho, tem que ver o que é C\A, pintou. O que é o A união B, pintou. Cara, vai dar muito mais trabalho que porque, pelo desenho é quase impossível de resolver. Ou muito mais trabalhoso, porque tu vai ter que desenhar várias vezes com todos aqueles movimentos lá pra ver se é a mesma região ou não. Cara como ele deu a liberdade de criar conjuntos quaisquer, essa é uma deixa da banca, se vira usa um exemplo e resolver a questão.

(...)

Porque que deu polêmica, porque faltou alguma palavra no texto mais forte do tipo “sempre” ou a história do “pode” da possibilidade, que a banca CESPE costuma a usar pra diferenciar algo que é sempre assim ou que pode ser sempre. Mas eu não acho que a questão esteja errada por causa disso. Eu acho que o que as pessoas não se deram conta é que ele fala quando ele fala em conjuntos quaisquer. O que ele tá dizendo olha, “sempre vai dar isso” porque se ele fala em conjunto qualquer, é a mesma coisa de eu falar aqui... “qualquer aluno gosta de matemática...” igual ao dia do analógico, qualquer aluno não todos, sem exceção. Então se ele fala em quaisquer conjuntos A, B e C então pra todas as hipóteses possíveis, aquela estrutura vai ser igual, vai ser um equilíbrio, o que não acontece quando houver intersecção. (...)

Vamos embora pra próxima então. O que a gente vai fazer agora, vamos pro livro alguém tem alguma duvida no módulo 2 do livro quando a gente falou de operações básicas, potências e radicais? Alguma questão que conseguiram fazer em casa e está com dúvidas? A hora é agora, porque se não falar eu vou passar batido! (...)

MMC e MDC

Normalmente o problema do aluno “não sei quando é um e quando é outro” Perfeito! Como é que eu vou diferenciar um do outro? Isso está no módulo 2 bem no finalzinho dele. O jeito que você NÃO vai usar pra diferenciar um do outro é se ligando na palavre “mínimo” contido no texto (mínimo múltiplo comum) ou “máximo” no texto. Não é esse o nosso elemento definitivo ou decisivo pra decidir se é MMC ou MDC. Esqueçam de ficar procurando o máximo e o mínimo pra ficar se orientar por eles porque tem pegadinhas tá.


A gente vai definir se for um ou se for outro, e hoje eu liberei uma questão pra colocar no site da casa, uma lista bem legal, que vai usar essa ideia aqui. Muito bacana, depois vocês olham tá. Acho até que vão postar hoje ou vão postar amanhã. A ideia principal aqui é entender que MMC é um mínimo de menor, pequeno, múltiplo... E MDC é o máximo divisor...

Múltiplo = tabuada.

Divisor = é aquele grupinho que corta o número corretamente.

O que vai te orientar na questão pra saber se é MMC ou MDC, são questões muito tradicionais, e a CESPE cobrou isso na prova do BNB do ano passado é a ideia de: Multiplicidade no MMC, muito comum em questões que envolvem projeção de tempo. Sabe aquelas questões básicas: “minha vó toma três remédios... um de duas em duas horas, outro de três em três e outro de cinco em cinco. Ao meio dia ela tomou os três juntos, em qual horário ela vai tomar os três ao mesmo tempo?”

O que é o MMC? Pois, se a minha vó Laís tomou o remédio:

A: de 2 em 2h

B: de 3 em 3h

C: de 5 em 5h

Se eu criar aqui uma timeline igual tem no facebook de vocês, o remédio A vai ser o azulzinho, na hora 0 eu tomo o remédio A, depois na hora: 2, 4, 6, 8 ,10 , 12, 14 e assim vai a partir da hora zero que ela tomou os três não importa se ao meio dia e 8 ou às 11:57h, não importa. O que importa é o momento zero, o timeline zero... o remedinho B de três em três, tomou aqui... tomou aqui.... tomou aqui... tomou aqui de novo... e assim vai. E o remedinho C de cinco em cinco... vai aqui... vai aqui... vai aqui... e assim vai... se eu for fazer essa questão manualmente eu vou ter que projetar essa questão aqui até encontrar os três juntos no mesmo ponto. O que seria legal se eu estivesse na oitava série porque minha prova ia ficar bem bonitinha, mas no concurso público você não deve fazer assim. Porque você pode perder um tempão achando esse próximo momento, tudo bem?

Então pra achar esse próximo momento o que a gente tem que entender, quem são os múltiplos de 2, os múltiplos de três, os múltiplos de cinco, o que eu busco? É um múltiplo comum. Qual deles? O menor!

Todos aqui futuros funcionários da Caixa Econômica, se Deus quiser. Vocês vão ganhar um salário não vão? Se Deus quiser também. Vai ser um salário mínimo? Não! Só existe o salário mínimo no Brasil? Não! Então o que é o mínimo, é um adjetivo que se refere ao substantivo



salário dando qualidade a ele. Então, ele só qualifica o tipo de salário, ele é o mínimo, o menor possível. Então, quando a gente fala em MMC, o mínimo múltiplo comum, ele é dos múltiplo, o menor! Lembrem disso!

Então, pra achar isso aqui. “não vamos fazer esse desenho ai bonitinho, porque a gente não está a passeio na hora da prova!” ninguém aqui está indo pra prova pra fazer pique nique, eu espero! (...)

Então, pra fazer a faturação do MMC, o que é faturar, é quebrar os números em pedaços menores. Você vai fatorar no MMC, o que der pra fatorar. Sempre tentando usar por fatores de conversão os fatores primos. Qual é o primeiro número primo que a gente tem? Antes eu explicava o que era um número primo, hoje em dia eu explico quando vejo que é necessário...

Normalmente o aluno fala que números primos é aquele dividido por 1 e por ele mesmo, aprenderam isso no colégio né... Vai lá e pega o dinheiro de volta, está errado. Porque o correto é: primo é exatamente o número que tem 2 divisores. O 1 e ele mesmo. Alias, dois divisores distintos. Não é só ter um e ele mesmo, não! Ele deve ter dois divisores somente e eles devem ser diferentes. Porque se alguém aqui acha que o número 1 é primo, isso se pegar a regra né, o um é divisível por um... é... por ele mesmo, é... então é primo, não! Porque o um só tem um divisor, tem que ter dois, só dois e um diferente do outro.

Então vamos começar pelo dois, porque tem alguém que é par então vai por dois.

2 por 2 dá um, ninguém mais foi pro dois problema deles, não tem problema no MMC, agora vai por três...

Ai o 3 por 3 dá um e sobrou só o cinco que não dá por três, agora vai pro cinco... Perfeito! 2 x 3 = 6, 6 x 5 = 30. Em 30 e 30 horas, minha avó deveria tomar os três remédios juntos.

Então vamos supor que hoje, dia 11 de abril, as doze horas e quinze minutos, minha vó tomou os três juntos. Qual é o próximo momento em que ela tomará os três remédios juntos...

Primeiro: se o ciclo é de 30 em 30 horas e isso indica um ciclo, é no dia seguinte. O dia tem 24 horas no planeta Terra. Já seria teoricamente dia 12 de abril. Se eu adicionar 24 horas eu vou certinho pra meio dia e quinze de amanhã, mas, não são 24 horas são 30 horas falta adicionar as outras 6. Se eu para no meio dia e quinze de amanhã que são 24 horas e somar mais 6, isso vai ser feito as dezoito horas e quinze minutos do dia seguinte.

Então, se isso cai na prova a banca CESPE vai lá e fala o seguinte: o próximo momento em que a avó do Dudan, a dona Laís vai tomar os três remédios juntos será anterior as 14h do dia 12 de abril, certo ou errado? Errado! Porque não é posterior as 14h e sim posterior as 14h. Só que dentro disso, eu tenho uma coisinha pra explicar pra vocês, que é aonde a banca pode


complicar. Vocês entendem a diferença entre “a próxima vez que minha avó vai tomar remédio juntos e um outro momento em que minha avó vai tomar remédios juntos?” percebem isso? Vou dar um exemplo mais fácil.

“próxima aula do Zambeli, uma outra aula do Zambeli.” Percebem a diferença? Então, o que que acontece, a gente tem que entender a diferença, agora, essa é uma propriedade que está no livro de vocês, que esse trinta ele é quem? Ele é o menor dos múltiplos comuns. Então o 2 ,3 e 5, tem como múltiplos comuns o 30, e todos os múltiplos de 30. Então em todos esses valores, em todos esses momentos nós teríamos esses remédios tomados juntos. Porque? Porque o MMC ele é só o menor múltiplo comum. Mas não é o único. Tá, mas quem são os outros múltiplos comuns? São os próprios múltiplos de 30. Vocês entendem que o ciclo é de 30 em 30? 30 horas + 30 horas dá quanto? Mais 30? É igual a uma PA, pra quem gosta de matemática, tudo bem? Então em todos esse momentos aqui, a partir do momento zero, eu teria esses remédios tomados juntos.

Então as bancas pararam por um momento de cobrar o próximo. E falam em um outro qualquer. Então vamos ver se é certo ou errado eu falar pra vocês que dia 5 de abril, eu tomaria o remédio (vamos ver se vai dar certo ou errado, 15 de abril...) as 14:15h, certo ou errado?

Não tá errado porque o MMC é 30 e o próximo dia é hoje? Não, não está errado por isso. Eu tenho que ver se está errado agora projetando 30 horas pra frente, até chegar no dia 15. Esse é o próximo momento, mas não é o único porque minha avó segue tomando os remédios. Então vão ter vários outros momentos que ela vai tomar. E o ciclo dessa tomada de remédio é de 30 em 30 horas. Entendem quando eu falo sobe ciclo, ciclo menstrual... ciclo da lua... ciclo de carnô (isso é química já) então dia 13 será que vai tomar? Não, porque, se passar 24 horas pro dia 13, vai passar da meia noite, então o próximo dia é dia 14 de abril a 0:15h, todo mundo entendeu o porque meia noite e quinze? Passa 24 horas mais 6 passa pra meia noite e quinze do dia seguinte. E o próximo seria dia 15 de abril, 24 horas dá meia noite mais 6, 6:15 da manhã, por isso o item está certo ou está errado quando eu afirmar que ela vai tomar uma outra data possível dia 15 de abril as 14:15? Estaria errado! Porque ela não vai tomar as 14:15h vai tomar as 06:15h depois só no dia seguinte, porque o ciclo é de 30h, ou seja mais de um dia, é de 30 horas tá.

Então o que vocês tem que saber sobre MMC três coisas:

Primeiro: você vai calcular ele em 99% dos casos em questões que envolvem projeção de tempo. Que seja o tempo de vir aqui na casa do Concurseiro, por exemplo: “Dudan vem dar aula de quatro em quatro dias, o Zamba vem de dois em dois, a Tati vem de seis em seis, a gente se encontrou juntos hoje batemos um rango aqui na PUC, comemos pra caramba, quando é que nós vamos nos encontrar de novo?” mesma história. Eu venho de quatro em quatro, Zamba de dois em dois e Tati de seis em seis, é a mesma ideia.

A, tem três pessoas de nós correndo em volta de uma pista circular, eu dou uma volta a cada trinta segundos, tu dá uma volta a cada 40, e a Michele dá uma volta a cada 60, a gente sai junto, em quanto tempo a gente vai se encontrar de novo? Também projeção de tempo. Se eu dou uma volta de 20 em 20, a cada 20 segundos eu fecho o tempo, eu dou uma volta na linha de chegada. Então todas as coisas que envolvem projeção de tempo, pessoas que querem algo comum lá na frente, é MMC, detalhe os múltiplos são infinitos os múltiplos de 2 não param nunca, de três não param nunca os de cinco também não vão parar, é uma lista infinita. Por isso é uma projeção de tempo. Primeiro ponto que vocês tem que entender.



Segundo: não se prendam a ideia de mínimo no texto, se prendam a ideia de multiplicidade. Projeção de tempo é claro, uma tabuada. Fatorem o que der pra fatorar. Fatore o que der, até aqui dar um, um e um. É a hora que dá game over.

(...)

Ele pode limitar esse tempo sim, eu nunca vi questão com esse padrão. Ele limitar. Porque o que eles não querem é que você faça conta até chegar lá. Normalmente quando é questão de múltipla escolha, o que eles fazem quando é múltipla escolha, o CESPE tem questão de múltipla escolha, ele dá a questão e fala: uma outra provável data ou encontro é em tal dia, e lança cinco datas. A gente vai ter que testar uma por uma pra ver qual delas cabe no ciclo certinho. O que não pode é limitar e dizer olha minha avó toma remédio por 20 dias é isso que tu quer dizer? (...) vai ter que ir até lá, mas é claro que eles não querem que a gente perca tempo dez, quinze vezes, mas as questões de lógicas, envolvem trabalhar com calendário, entendeu, e eles podem trazer um ciclo de dias. E lá o ciclo deu e lá o ciclo deu 15 dias tudo bem? 13 dias de ciclo hoje é dia 11 de abril é comum ter que fazer. 24 de abril... ai tem que ver nos dedinhos da mão quantos dias tem abril, vocês sabem fazer assim? Aprendemos no colégio néh... tem que ir na mão até lá, pelo menos é o que eu faço. Tem que ir jogando de treze em treze e normalmente um vai bater. Não vai fazer uma coisa muito longa, (...)

Eu até botei uma desse tipo nas questões de MMC e MDC (...)

Como essa matéria era pra ter sido estudada na aula passada e a gente acabou mudando de assunto, a questão de MMC e MDC estão na aula 2. Então não vão estar na aula três, na aula três só vai ter frações. Mas tem essa questão. Tem uma CESPE com o mesmo padrão. A gente tem que dar uma olhada. A história da folga, trabalha quatro e folga um, teu ciclo é de cinco em cinco dias. Traz porque com prazo maior tem um macete que a gente usa pra projetar um calendário já com a resposta na mão, mas depende muito da questão. Tem muitas questões que envolvem números de calendários que envolvem macetes diferentes. Então, não tem uma maneira única de trabalhar com elas tá.

Terceiro e último item que vocês tem que lembrar que esse é o menor dos múltiplos, mas não é o único. Os múltiplos dele também são múltiplos comuns. Mas ele é o menor, o caçulinha da lista. A gente tem que saber diferenciar um próximo encontro de um futuro possível encontro. Que vai ser mais difícil obviamente, mas a gente tem que resolver a questão na hora da prova.

MDC

O MDC muda tudo, não é porque é grande, porque é máximo, maior não. A ideia do MDC é a quebra, a divisão em pedaços menores ou em grupos menores.

Imagina a situação seguinte: O Professor Rafa Zolo que é mão aberta, ganha bem trouxe 164 bombons, 72 latinhas de refri e ....


AULA 03 – PARTE 02

... Imagina a situação seguinte: O Professor Rafa Zolo que é mão aberta, ganha bem trouxe 164 bombons, 72 latinhas de refri e 80 sacolinhas de amendoim pra distribuir para os alunos da casa. Então um dia ele passou em uma venda lá e comprou 164 bombonzinho, 72 latinhas de refri e 80 sacolinhas de amendoim, torrada essas coisas ai.

Ele quer... E vocês tem que tomar muito cuidado, questões de MDC tem duas possibilidades, tomem cuidado! (...)

Cara, ele pode te cobrar duas coisas aqui, e o texto vai te orientar para o que ele está pedindo. Ele pode te pedir:

Pra dividir as guloseimas em grupos ou melhor em pacotes com os três tipos de comida;

Pra dividir as guloseimas em pacotes cada um com um tipo apenas

A opção A é ele pegar esses pacotinhos e dividir um pouco de bombom, um pouco de refrigerante e um pouco de salgadinho. A outra opção é separar as comidas entre si em pacotes menores, os bombons entre si em pacotes menores e os amendoins entre si em pacotes menores, não misturar o lanche. Isso no texto vai estar bem claro se ele quer misturar os objetos e manter separados.

Porque tem duas opções, porque quando eu fizer o calculo do MDC entre esses dois valores, vocês vão se surpreender com duas uma coisa. Primeiro vai por dois o MDC, diferente do MMC, tem que ir todo mundo pelo mesmo cara, se não for, ninguém está autorizado ele ir. Como todo mundo aqui é par, vai por dois. 82, 36, 40, vai por 2 de novo. 41, 18 e 20. Ai ferrou porque 41 é número primo e não tem outro divisor além do 41. (...)

Agora por 2 vai dar 42, 18 e 21. Ai agora não vai por 2, lembram da regra de divisibilidade do três que vimos na aula passada aquela história das somas dos algarismo, aqui dá 6, aqui dá 9 e aqui dá 3, todos são então tu vai dividir todos por três. Então 14, 6 e 7. Infelizmente não vai todos por 7 porque o 6, tranca. Por dois só vai o seis e o catorze, o sete tranca. Por três, só vai o seis e os outros trancam, então acabou parou, já era.

Atenção agora tá, porque o processo de MDC vai ser o mesmo pra essa e pra esta questão pras duas variações que ela pode ter. uma resposta é 2x4x3 = 12. E a outra resposta são esses números aqui apresentados. Se nós pegarmos a questão do tipo A, (vou pegar a tipo A primeiro depois eu faço a tipo B) o que acontece ele quer dividir em pacotes as guloseimas e quer que os pacotes tenham os três tipos de comida. Só que ai vem um detalhe principal, ele pode pedir que todos os pacotes venham completinhos todos os pacotes com a mesma quantidade de cada item.

Então cada pacote tem que ter, a mesma quantidade de bombons em cada pacote, como eu vou brindar vocês, tu não pode abrir um pacote com 10 bombons e tu com 15 porque vai dar briga. Então em cada pacotinho de presente tem que ter sempre a mesma quantidade de bombons, de refri e de salgadinho entre si. Então a primeira interpretação que seria essa, me diz que: os 168 bombons vão ser divididos em 2 pacotinhos com 14 bombons. E nesses mesmo 12 pacotinhos vai ter 6 latinhas de refri em cada pacotinho e em cada um dos 12 pacotinhos aqueles 84 pacotinhos de amendoim, vão estar divididos em 7 pacotinhos. Tudo bem gente?



Ele pode perguntar quantos pacotinhos você vai usar 12. pode perguntar quantos itens vai ter por pacotinho, ai vocês vão ter que somar esses itens aqui e vão perceber que tem 27 itens no pacotinho. Imagina que cada pacotinho vai ter 14 bombons, 6 latinhas de refri que já são 20 e 7 pacotinhos de amendoim, 27. Então tanto isso quanto isto pode ser a resposta pra tua questão. Então ele pode perguntar: quantos pacotinhos você vai criar: 12! Ele pode perguntar quantos itens tem por pacotes 27 seria a soma desses três itens aqui.

E ai o que a banca faz pra tornar ela tão legal, sabe o que ela faz aqui? Sabe o que ela coloca no texto? “Certo dia o professor Ravazolo estava indo pra sua aula da superação Caixa Econômica Federal, quando passou numa venda e comprou 168 bombons, 72 latas de refrigerante light e 84 pacotinhos de amendoim. E decidiu presentear seus alunos com essas guloseimas. Decidiu também que ele iria dividir as guloseimas em pacotes, todos eles com a mesma quantidade de itens. Isso significa que cada pacote vai ter que ter em cada um o mesmo número de refrigerantes por pacote, o mesmo número de salgadinhos e o mesmo número de bombons, ok?

Querendo minimizar o uso de pacotes o que acontece? Quando a questão bota no texto que ele queria minimizar o uso de pacotes, muitos concorrentes de vocês olham pra palavra mínimo e associam a: mínimo múltiplo comum. E ele perdeu a questão por esse detalhe.

Então primeiro de novo, eu já repeti isso três vezes. Não se prendam a essas questões entre uma e outra pelas palavras máximo e mínimo no texto. É uma cilada Bino. Porque, tanto ele pode colocar o mínimo de sacolas quanto o máximo de guloseimas em cada sacola. Percebem que é causa e efeito que quanto mais eu colocar guloseimas na sacola menos sacola eu uso? Eu poderia colocar um item por sacola não poderia? Eu ia usar 300 sacolas, mas quando eu minimizo a sacola por consequência, eu maximizo o número de itens dentro da sacola. Quanto mais itens eu colocar, menos sacolas eu uso. Percebem essa lógica? Olha o Zaffari, (...) você vai no mercado, quanto mais itens colocar dentro da sacola, menos sacolas você vai usar. Então o texto pode vir “máximo de itens na sacola”, mas também pode vir “mínimo de sacolas utilizadas” e é a mesma coisa. O fato de vir a palavra mínimo no texto, não te diz pra fazer MMC.

Está claro isso gente? Isso já aconteceu muito pra pegar quem está desatento. Se ele quiser saber quantas sacolas eu vou usar, são 12. Se ele quiser saber quantos itens de cada um vai ter por sacola, estão aqui as respostas. Tudo bem na interpretação A que são a mais comum?


Interpretação B:

Vou fazer verbalmente. Na B o que é muito raro mais acontece, o Ravazolo quer pegar aqueles presentinhos, aquelas guloseimas, e botar em cada sacola só um tipo de elemento, então uma sacola vai ter só bombom, outra sacola vai ter só refrigerante e outra sacola vai ter só amendoim. Não vai misturar. Mas ele também quer, minimizar o uso de sacolas. Ele quer colocar sempre em cada sacola o numero de elementos geral, todos sacola vai ter que ter x elementos dentro deles, não importa se o elemento é uma balinha, um bombom, é um refrigerante ou um amendoim. Ai, qual é a interpretação? 14 sacolas vão ter 12 bombons, só bombom, cada um com 12 bombons lacrado. 6 sacolas vão ter 12 refrigerantes, e as outras 7 sacolas com 12 amendoinzinhos! Então vai ter sacola só com refrigerante, só com amendoim, só com bombom, não vai misturar. Tudo bem? Aí inverte a brincadeira. É mais raro, mais também pode acontecer. E é texto que vai te dizer se ele quer colocar na sacola um item de cada tipo e cada um com a sua quantidade sempre constante sempre 14 bombons na sacola, sempre 6 refris, sempre 7 amendoinzinhos... ou se ele quer separar as sacolinhas só com um item, só com refrigerante, só com amendoim, só com bombom... ai a interpretação é ao contrário, apesar da resolução ser a mesma.

E nas duas resoluções, esses dois valores podem ser a resposta da sua questão. Porque na resolução B, botando um item de cada, eu vou ter 12 itens por sacola perceberam? Na anterior, na A, eram 12 sacolas, agora inverteu. Cada sacola vai ter 12 itens, vão ser 14 sacolas ou 14 grupinhos com 12 bombons, na outra fileira, 6 grupinhos com 12 refris, na outra fileira são 7 grupinhos com 12 amendoinzinhos. Ai vai ter 27 sacolas com 12 itens por sacola, o contrario que era no item A. e isso é a interpretação de vocês que vai definir. A questão deixa bem clara a ideia se ele quer no mesmo pacote itens do mesmo tipo ou se ele quer misturar.

(...)

O MDC sempre envolve uma questão que você vai pegar alguma coisa e fragmentar em grupos menores. Aqui o Ravazolo não pegou um monte de coisa, um monte de guloseimas e não queria montar em pacotinhos menores? Isso é dividir. Você tá pegando algo bem grande e montando um kit com grupos menores. Como é que o nome da operação que você usa quando você tem um grupo muito grande e transforma ele em grupos menores? É a divisão! Divisão te lembra: divisor.

Um exemplo muito comum de prova é que tu acabou uma obra na tua casa, ai sobrou vários tipos de madeiras diferentes e tu quer fazer uns pedacinhos de madeira de tamanho padrão, e menor número possível, o que tu vai fazer, tu vai, cortar. O que é cortar, é dividir e dividir lembra divisor. Tudo bem?

O MMC é projeção do tempo, vai embora... E o MDC é pegar algo e fragmentar. Ai quando você fragmenta você divide e quando você divide você fala em divisor.

Vou colocar no quadro, o pessoal de casa vai acompanhar as questões do livro, vocês vão fazer agora as questões do livro sozinhos, e a gente vai corrigir daqui a pouquinho. Qual o ponto principal, vocês identificarem o que é MMC e MDC, porque na hora da prova eu não vou estar lá pra saber o que está acontecendo. E o mais importante, é tentar entender o porquê ela é desse assunto. O que me leva a olhar pra uma questão e ficar na duvida se ela é MMC ou MDC, as vezes a pessoa nem percebe que é esse o assunto, tá? Então o pessoal de casa vai pausar a maquina agora, quem tem o material baixado, vai pegar as questões e começar a fazer, e eu já volto na próxima tela com as questões no quadro pra gente resolver.



Então no livro de vocês qual é a página? É isso? Tem uma questão aqui que fala o seguinte olha:

Em uma árvore de natal, três luzes piscam com frequências diferentes. A primeira pisca a cada quatro segundos, a segunda pisca a cada seis, e a terceira a cada dez segundos. Se num dado instante elas piscam juntas, após quanto tempo voltaram a piscar juntas? Gente, questão clássica de MMC. E é muito fácil perceber isso, porque de novo envolve projeção de tempo. Pensa na lâmpada A, piscando em quatro em quatro segundos, piscou, mais quatro segundos... mais quatro.... mais quatro.... mais quatro... eternamente. A outra vai de seis em seis e a outra vai de dez em dez... então o momento em que vai nos levar a definir se é MMC é o momento em que ela diz que querem que pisquem ao mesmo tempo, que dá origem e dá ênfase ao comum, é uma questão de projeção de tempo, ou seja, de múltiplos e ele quer saber qual o primeiro momento que elas vão piscar juntas. Que seria nosso mínimo tá. Alguma dúvida de vocês em relação porque é MMC? Bem tranquila! E vou dizer uma coisa pra vocês elas não vão ser na prova questões que vão ludibriar vocês. É escancarado o que é MMC, muito simples entender que é. É a ideia de projeção de tempo tá. Vai lá....

Primeiro corta por 2, vai no que der tá, vai dar 2, 3 e 5, vai por 2 de novo até finalizar, MMC é radical, não tem frescura. Depois vai por três, dando um, um e cinco. E por último vai por cinco, fechando a conta e passando a régua. Fecha em um, um e um que é aonde termino o MMC. Esse produto aqui 2 x 2 x 3 x 5 que dá 60, indica que 60 segundos, é o ciclo deles. Ou seja, a cada minuto piscado as três luzinhas piscam juntas. 60 segundo é o gabarito na alternativa C.

(...)

Mas se você olhar as questões e você vai ver na banca CESPE as questões, não é diferente disso não. o que eles podem complicar, é o de MDC. MMC não complica, não tem como complicar. O máximo que podem complicar é em vez de pedir o próximo, pedir um futuro momento e ai, é de 60 em 60 é saber que é de minuto fechado, ai tu mata a questão.

Questão 4, fala que uma indústria tem retalhos de tecidos, ai o gerente pensou: já que sobrou uma peça de 156cm, e uma outra peça de 234cm, porque a gente não pega essas peças e corta elas? Gente cortar é o que, não é dividir? É divisão. Ele quer cortar as peças em partes iguais que é o comum, só cuidem disso aqui olha, porque ele pode tirar essa frase aqui, muitos vão se orientar e vão se pendurar no maior comprimento possível com a ideia de máximo. Eu vou tirar ela depois, e quando eu tirar vocês vão perceber que muitos de vocês vão perder a questão.


Ela é uma questão de MDC, não porque aparece máximo, maior possível, coisa nenhuma... é porque aparece a ideia de dividir. A gente vai faturar o que der, vai por 2, 78. 117, cuidem sabe o porquê vocês tem que cuidar...

Eles podem complicar sim a questão de MMC sabe como, colocando dois números que daqui a pouco dividindo por 2 e por 3, ele trava e você não percebe que ele vai ser divisível ou por 13 ou por 11 ou por 17, que são primos mais altos. Tu vai ver que por 2 não vai, por 3 não vai, por 5 não vai, ai ele trava no número mais alto, vocês não podem desistir. MMC tem que ir até o final. Em MDC isso é mais comum acontecer.

Então, se liguem! Eles podem complicar as questões colocando números altos, números primos. 11, 13,17 ou até 19 como já vi em prova esses 4 tá.

(Mas é melhor começar por eles então?) – Rick, não é melhor começar com eles não, porque quando você começa pelo número mais baixo, você já vai fragmentando, fica mais fácil. Você já vai lá lapidando o número. Começa pelo 2, 3, 5, 7... ai depois vai 11, 13, 17 e 19 no máximo.

Agora vai por 3, mais porque vai por três Dudan? Porque aqui, aqui a soma deu 15 e aqui a soma deu 9. Ambos múltiplos de 3. Aqui vai sobrar o 26 e aqui o 39, e esse é o caso que falei pra vocês, porque agora muita gente acha que acabou aqui, porque o 26 e 39 estão na tabuada do 13, e se ambos dão por 13, aqui vai dar 2 e aqui vai dar 3. O que significa então? E o que nós temos aqui pra fechar a questão.

O que tu tem que entender é que tu vai pegar esses dois pedaços de tecido que sobraram, é cortar ambos com um tamanho comum, ou seja, tu vai criar pedaços de tecidos todos iguais, de um comprimento, pode mudar até a estampa, mas o comprimento é igual.

E vocês tem que entender que esses dois pedaços o pedaço de 156 cm ele vai virar dois pedaços de 78cm, que é esse resultado aqui. E o outro pedaço de 234cm vai virar 3 retalhos de 73. Tudo bem? Primeiro ponto que a gente tem que ter muito cuidado, ele pode perguntar duas coisas:

Primeiro: pode perguntar o tamanho de cada novo retalho, qual seria? 78 cm

Segundo: ele pode perguntar quantos novos retalhos se foram obtidos, quantos novos retalhos? 5.

Ele pode complicar ainda mais a vida de vocês. Quantos cortes foram feitos nos tecidos? É lógica pura. Pra você dividir o tecido em dois pedaços só vai um corte no meio, um corte no tecido e outros dois no outro, três cortes. Pega o tecido gigante pra dividir ao meio um corte. Pega o outro tecido maior pra tu dividir ao meio faz três cortes. Então o número de cortes é sempre um menor do total de tecidos que você tem ou de pedaços que você obteve. Faz um teste em casa pega uma barre de chocolate que é quebrada ao meio, dá uma porrada no meio dela num corte só. Quer cortar em cinco pedaços, faz quatro cortes.

Então ele poderia pedir o tamanho do novo corte, 78 cm. Ele poderia pedir quantos novos pedaços foram obtidos 5. E ele poderia pedir quantos cortes foram feitos ao todo no total foram feitos 3 cortes.

(...)



Só que agora eu vou trazer pra vocês uma outra coisa que é pior ainda tá. Ele poderia de maneira cruel no texto tirar aqui “em partes iguais de maior comprimento possível” e botar: “o gerente de produção ao ser informado das medidas deu a ordem para que o funcionário cortasse o pano em partes iguais, dando o menor número de cortes possível ou mínimo de cortes possível.

Gente, quando é que ele vai obter o mínimo de cortes, quando ele maximizar o tamanho do corte. Eu não poderia pegar os dois pedaços e fazer um monte de cortezinho pequenininho? De tirinhas assim, de retalhos minúsculos de 1 cm? Eu poderia! Eu iria cansar de tanto fazer corte. Mas quando eu maximizo é pra cortar menos. Entendam a causa e o efeito de que há no MDC. Então se ele troca ali por maior comprimento possível ou tamanho máximo, muita gente vai se orientar pelo comprimento máximo (nossa, falou que é máximo... é MDC), ele poderia trocar por mínimo de cortes, e o mínimo de cortes é consequência do corte ser máximo, é a mesma questão não vai mudar nada. (...)

Então ali ele perguntou a quantidade de retalhos: 5 e o tamanho deles 78, B de Brasil.

QUESTÃO 5:

Um escritório comprou os seguintes itens: 140 marca textos, 120 corretivos e 148 blocos de rascunhos e dividiu em pacotinhos, cada um contendo um só tipo de material (falei que tinha essa distinção no texto) porem cada um com a mesma quantidade de itens e na maior quantidade possível. Isso é irrelevante não poderia vir no texto pra não induzir vocês a pensar que é MDC por conta dele tá, ou poderia dizer que é a menor quantidade de pacotes é a mesma coisa porque você vai usar menos pacotes quando fizer um agrupamento bem grande o maior possível tá. Eu vou trocar isso aqui por menor pacote que é a mesma coisa, não se iludem.

Então é uma questão de MDC bem rilex entre 140, 120 e 148, perfeito. Vai por 2... 60, 70 e 74 todo mundo é par vai por 2 de novo... 30, 45 e 37, não é isso? É isso ai e acabou neh, porque 37 é primo, MDC vai até aonde der. Parou aqui, o que temos que entender então que vamos pegar os 140 marcadores de texto e vamos montar 35 grupos com. vamos pegar os 120 corretivos em 30 grupos com 4 corretivos cada pacote. E os 148 blocos de anotação em 37 pacotinhos com 4 blocos de rascunho. O que ele quer saber é o seguinte: sabemos que todos os itens foram utilizados o total de pacotinhos feitos. O total de pacotinhos feitos é sempre essa soma aqui, vai soar vai dar 90, 102 pacotinhos, letra B. ele poderia perguntar nessa mesma questão quantos itens tem no pacotinho 4.


Aí vem outra pergunta o cara comprou esse mesmo material e quer esse material em pacotinhos. Cada tendo todos os itens, como se fosse um kit escolar, mas cada item tendo a sua quantidade peculiar, ou seja, em cada kit, vai ter sempre o mesmo numero de bloco de notas, mas por exemplo, se tiver 10 blocos de notas não precisa ter 10 corretivos. Mas os corretivos precisam sempre ter a mesma quantidade cada pacote. Então ele falou que agora ele vai botar tudo em pacotinhos, mas cada pacotinho tem que ter os três itens, cada item uma quantidade individual. Sua própria. O que vai acontecer?

A gente vai formar, 4 pacotes. Cada pacote com 30 itens do corretivo, 35 marcadores de texto e 37 blocos de notas. Perceberam a mudança de postura de questão em MDC a interpretação é fundamental. Num primeiro momento sendo cada pacotinho de um item único, é o que ele fez, dividiu em vários pacotinhos com 4 de cada item.

No segundo momento, o pacote tendo de tudo um pouco, mais cada item na sua quantidade específica, você inverte. Você vai fazer pouco pacote com muitos itens dentro. Maximizando a quantidade de itens e diminuindo a quantidade de pacotes que você tem que usar.

(...)

QUESTÃO 6:

Para a confecção de sacolas serão utilizados dois rolos de fio de nylon de medidas bem grandes. Normalmente gente, questão de MMC também tem esse tipo de perfil, é com número pequeno pra pegar os múltiplos e o MDC é com números grandes pra quebrar em pedaços menores, normalmente tem essa ideia. Então tu vai dividi-los, já ta ai escancarada a ideia de divisor em pedaços iguais. E do maior tamanho possível não precisava vir no texto, poderia ser trocado sem nenhum tipo de mudança de comportamento da questão por com o menor número de cortes possível ou mínimo de cortes possíveis seria ainda a mesma questão.

Então pra fechar, é uma questão de MDC entre 450 e 756, ambos pares então vamos por 2 (lembrando Rick que não precisa ir até um, um não... MDC nunca vai até um, um, um nunca...) vai dar 225 e 378 por 2 só vai o segundo então não dá porque tem que faturar os dois juntos no MDC.

No MMC, fatora todo mundo e vai fatorando, no MDC, tem que fatorar tudo junto tá. Mas vai por três, porque aqui a soma da 9 dos algarismos e aqui dá 18, ambos múltiplos de três. Ai chegaremos a 75 e 126. Vão por 3 de novo ambos aqui da 12 e aqui dá 9. Dividindo ambos por três vai resultar em 25 e 42 ai encerrou ai porque não existe um múltiplo compatível entre 25 e 42.



O que a gente tem que entender, esse valor que é aqui 2 x 3 = 6 x 3 = a 18 pode ser a pergunta, ou melhor, a resposta da pergunta da questão e aqui também pode ser a resposta da pergunta da questão. O que a gente tem que entender que só nessa questão o que ocorreu, é que como ele quer dividir os fios de nylon, ou pedaços de nylon do mesmo tamanho, tem 18cm, então os 450 cm que você tinha, vão ser cortadinhos em 25 pedaços de 18 cm. E os outros 756 cm vão ser cortados em 42 pedaços de 18 cm. O que ele quer é quantos pedaços serão obtidos é só somar esses dois valores e achar 67 pedaços de 18 cm. Tem isso ai, é a letra C né.

(...)

O MDC nunca fica em um e um porque eu vou fatorar, aliás, eu não vou dizer que nunca fica porque se você fizer um MDC de números iguais vai dar um e um, mas nunca vai cair isso na prova de dois números iguais.

Então, MDC nunca vai parar de um e um em questão de prova. Já o MMC tem que parar em um e um. MMC tu fatora pelo que der até acabar, o MDC você fatora todo mundo se não der pra faturar um deles aquele numero não pode ser usado.

A diferença entre um e outro na execução é essa, um tu vai até o um, um e um e outro tu vai até acabar. Mas a diferença crucial deles é que um tu vai trabalhar com multiplicidade o MMC e o outro com divisibilidade o MDC. Um corta e o outro projeta.

Sempre vai ter uma ideia no texto de dividir e a outra de criar múltiplos, projeções futuras como tabuadas.

Fechado isso então gente, a gente vai para o módulo de frações que é o próximo módulo tá. Não é, o modulo três? Eu vou falar livremente de frações no quadro, como tudo que está no livro, mas não vou usar os exemplos do livro não pra gente ganhar um pouco de tempo tá. Então se atentem porque eu vou colocar no quadro está no livro, de repente com outros exemplos, mas não faz diferença nenhuma pra vocês, tentem entender tá.

Frações tem sido um assunto muito cobrado em prova. Tanto é que eu gravei isso ontem né as 25 questões de frações da banca CESPE foi bem tranquila achar 25 questões da banca CESPE de frações. Sendo que, pra operações básicas eu tive que incluir: operações básicas, potência, radical,

E até alguns assuntos que não foram dados em aula pra nas questões poder abordar, entendam que algumas questões gente, isso também é um recado pro pessoal de casa. As questões que vocês tiverem dificuldades em fazer, não me xinguem porque eu não dei aquilo em aula,


porque essas questões também servem pra isso. Pra trazer uma coisa ou outra mais especifica, que em aula eu não tenho condições de falar. E se eu tiver que falar de tudo isso eu vou ter que precisar de 15 aulas e não as 6 que me deram. Então umas entrelinhas eu deixei pras questões.

Por exemplo. Produto notável, tem questão com produto notável. E na questão eu explico como é que faz. Porque isso, porque primeiro. O que eu vou falar, tudo isso foi visto no segundo grau, vocês já deviam saber. Mas eu sei que vocês não sabem. Ou que não lembram. Então eu trago isso de volta, mas se eu for fazer tudo isso em aula e abordar como é no segundo grau, imagina no segundo grau você passa três anos pra aprender essa matéria toda, eu teria que dar isso em um mês de aula...




Então algumas coisas eu dei na questão, olha aqui é assim, então não desanimem. “eu fui fazer o simulado lá das 25, acertei só 15 o Dudan é um merda de um professor”, não, não é isso é que umas eu justamente não trabalhei em aula nas questões eu tive mais tempo, ai é offline e cada um aceite como quiser. E usem esse simulado como termômetro tá. Pra perceber como é que vocês estão sem a minha ajuda e depois com a minha ajuda.

FRAÇÕES:

Eu tive muitas dificuldades em achar assuntos de questões básicas que a gente viu em aula, então tive que pegar algumas que tinham uns assuntos mais paralelos, mais ai na questão mesmo a gente tá uma olhada sobre isso.

Primeira coisa que eu faço quando a gente fala de frações em aula, live, videoaula, em qualquer lugar. É que aquele conceito de frações lá do colégio em dividir o chocolatinho em pedaços e come-los, é a melhor definição da vida de frações. (...)

Então aqui eu dividi o chocolate em 2,4,6, 8 partes tá então o meu denominador que é em quantas partes eu dividi é 8. Eu vou lá e pego três dessas oito, então três oitavos, indica exatamente essa ideia de oito pedaços eu vou lá e como três.

Eu também posso falar de uma pizza, dividida talvez em três fatias iguais e pegar uma dessas três fatias, então isso aqui vai se referir em um terço. É claro que eu sei que todo mundo entende isso aqui claramente. Mas tem um ponto inicial em frações que muitos têm dificuldades, que é a ideia de complementação. Isso normalmente CESPE e FCC cobram quando no texto eles falam, por exemplo:

Certo dia Dudan pegou lá, uma certa quantidade de questões e de manhã resolveu, um quinto delas. De tarde, resolveu dois terços do restante. (esse do restante, mata metade pra mais dos candidatos). Primeiro, uma fração gente, ela normalmente vem multiplicada por alguém. Esse um terço das questões, esse “das” é vezes. Os dois terços do restante, o “do” também é vezes. Normalmente na fração não vem sozinha. Porque, porque meio é 0,5 entre zero e um, é uma coisa mínima.

Agora metade do salário do Ravazolo que ganha em euro, é mais do que um, é muito dinheiro. (...)

O que é importante aqui gente, é a gente entender que se eu gastar três oitavos de um salário da caixa, restam outros cinco oitavos do salário da caixa. Essa ideia é fundamental. Se eu for lá e comer um terço da pizza, sobram os outros dois terços da pizza. Então quando a gente falar em complementação, que é quando a palavra restante vem na questão é essa ideia que ele quer, que você entenda que quando tu consome uma parte, sobra o total do restante. E esse restante, é uma parcela do mesmo objeto. Então, a gente vai ter que condicionar vocês muito a pensar. Que se eu como três oitavos de um chocolate, o que me sobra gente? Se eu como três oitavos do chocolate o que me sobra, cinco oitavos do chocolate tem que ir até o final, tem que ir final. Porque de novo isso? Porque, cinco oitavos é um número sozinho. Ele tem que vir referido a alguém.


Você quer ver um exemplo bem tosco, mas que clareia a ideia de vocês? A porcentagem uma matéria que a gente vai ver no futuro, é uma fração especial. Tu viu que aumentou 30%. Então, a porcentagem por ser uma fração, ela tem que vir associada a alguém, e essa associação se faz por um produto, uma multiplicação.

Então se vocês não mentalizarem isso agora enquanto a gente tá falando de objetos, nas questões vocês não vão entender. Então vamos de novo. Se eu consumir, um terço da pizza, o que vai sobrar? Dois terços da pizza. Esse “da pizza” é fundamental vocês mentalizarem isso. Que usando uma parte de algo, descobrir o quanto sobrou de algo, da mesma coisa. Na hora que a gente for colocar isso em pratica vocês vão ver como vai ficar mais fácil.

Aí, depois vem a parte de adição e subtração, até aí no livro ele compara na verdade. Eu vou fazer isso também. Comparações entre frações tá. Nós temos três situações e eu fiz uma questão da banca CESPE hoje, muito legal sobre isso, vai estar lá nas 25 questões pra vocês resolverem, pra mim foi a mais difícil porque ele dava um valor, dividido por outro e queria saber entre as alternativas, se estava entre meio e um terço, entre um terço e um quarto, maior que meio, menor que um quinto, como é que eu vou saber se tá maior que um terço ou menor que um quarto, se ele é igual um quinto, ou menor que um quinto... Uma das maneiras é você dividir o número, fazer a divisão no braço e ver o decimal que sobrou o quanto ele vai, ai tu tem que ter muito conhecimento em matemática pra tu conseguir localizar. Mas por exemplo:

Situação A:

Se as frações tem o mesmo denominador tá, se as frações tem o mesmo denominador tá gente, agradeça a Deus. É a maneira mais legal e simples de comparar as frações. Por exemplo: três quintos e dois quintos, alguém tem alguma duvida de qual é maior? Em ambas tu dividiu a pizza em cinco fatias. Comeu três aqui e duas aqui, em qual você comeu mais? Sigo nesse sentido: três quintos é maior que dois quintos.

Situação B:

Podem ter o mesmo numerador, que é bem a questão de hoje que eu fiz, dá pra se resolver por esse caminho. Quem é maior um quinto ou um terço? Pensa comigo: aqui tu dividiu a pizza em cinco fatias e comeu uma. Pode pensar assim. Aqui tu dividiu a pizza em três fatias e comeu uma. Tu não comeu uma em cada? Mais aonde você comeu mais? Aonde você fez divisão em menos fatias, maximizando o tamanho da fatia, então essa fatia, é maior que essa. E é fácil ver isso.

Compra uma pizza e divide em 30 fatias, um pedacinho de pizza que não passa nem no pedaço do dente. Agora pega uma pizza e divide em cinco fatias, a mesma pizza. (...) Então quando tiver o mesmo numerador, peguem a fração que tiver o menor denominador. Ela vai ser a maior fração naquele momento. Tudo bem até ai.

Quando tiver maior embaixo tu pega o de cima, e quando tiver o maior em cima, tu pega o de baixo. É ideia ao contrário, tá. Até ai tudo bem? E ai pra dizer que eu não to roubando: cinco oitavos. Quatro nonos, em cima menor que embaixo. Gente, neste caso, como é que eu comparo essas duas frações, a gente tem duas maneiras tá. Quem fez a prova do Banrisul, lembra que teve uma questão que era praticamente isso, de comparar as frações.

Primeira opção é você dividir. Divide 4 por 9 e 5 por 8 e vê qual dá a maior resposta. Há Dudan, mas eu não sei dividir, não, mas você sabe você estava aqui a aula passada e eu ensinei isso



em aula. Eu perdi quase uma hora e meia explicando como é que soma, como é que divide, lembram (...) uma opção é essa que eu acho muito boa.

Mas você não quer dividir, quer realmente comparar numa boa, você tem que trazer as duas frações para o chamado: MMC. E eu vou dar uma dica que eu não dei até agora. Só vale pra quem não está no celular.

(...)

Primeira dica, se liga: 8 é número primo? Não porque tem vários divisores. 9 é número primo, também não! é divisível por 1, pelo 3 e pelo 9. Eles são primos entre si? Sim! Uma coisa é ser primo, nada haver com ser primos entre si. O que são primos entre si, são números que tem, como divisores comuns, somente o um. Quais são os divisores de oito gente só pra eu colocar aqui a listinha. 1, 2, 4 e 8 concordam? E do nove é 1, 3 e 9 concordam? Quem é o único divisor que aparece que está nas duas listas? Mas Dudan, como é que eu descubro se são primos entre si, tem que fazer essa lista? Não!

Pra gente descobrir se esses dois números são primos entre si, cata ele em forma de fração, dá pra simplificar a fração? O que é simplificar a fração, que também é um assunto que a gente vai falar hoje. É dividir o de cima e o de baixo pelo mesmo número. Pra aliviar a fração, ficar uma coisa mais simples. Quando você bota um número em forma de fração e eles não simplificam, eles são chamados de primos entre si. Aonde eu quero chegar.

Se você perceber que dois caras são primos entre si, é regra! O MMC deles é o próprio produto entre eles, você nem precisa fazer o cálculo, não precisa nem quebrar ali o 9 e o 8 até o final porque o MMC, vai ser 8 x 9 = 72. Então a gente vai ter que reescrever essas duas frações. Tipo o caso A. ambas no mesmo denominador. E pra fazer isso gente o que eu faço é trabalhar com proporção, porque a fração ela cria uma proporção entre o numerador e o denominador. Então quando eu trago as duas frações originais para o mesmo denominador, pra facilitar isso aqui, pra enxergar facilmente. Só que quando eu faço isso, a gente tem que pegar um novo denominador, e dividir pelo antigo, dá 9. E a resposta, eu multiplico pelo numerador que dá 45. 72 dividido por 9 dá 8, vezes 4, 32. E ai você perceba facilmente quem é a fração maior.

Detalhe que é nas entrelinhas, mas tem muita gente que não entende: essa fração é igual a essa. Essa aqui se você dividir ambos por 9, divide por 9 o 45, divide por 9 o 72, então essas duas frações são proporcionais. Só que essa daqui tá mais cheinha, tem mais números. Essa daqui também. Divide ambas por oito aqui, então essa fração é igual a essa, essa é igual a essa... Eu só redesenhei as duas num mesmo denominador pra poder enxergar de forma clara quem é o maior. Tudo bem? (...)


A ideia é a seguinte: uma opção que você tem, é fatorar. Tu entende que o 72 é o MMC? Então a opção que todo mundo vai fazer é fatorar o 8 e o 9, e torrar alguns minutos valiosos na hora da prova, fatorando dois números que você deveria entender que são dois números primos entre si. E eu falei agora a pouco se, se eles são primos entre si, eu mostrei como é que você verifica isso, o MMC deles é justamente o seu produto. 4, 8, 24 e 72.

Em vez de fazer tudo isso aqui e perder meu tempo, quando eu percebo que dois caras são primos entre si, eu já tenho que saber que o MMC entre eles, são o próprio produto entre os dois.

O que são números primos entre si, são aqueles que apresentam um único divisor em comum, o um. Porque se houvesse qualquer divisor comum, quando eu jogasse na forma de fração, eu conseguiria simplificar a fração. Porque simplificar a fração é dividir o de cima e o de baixo pelo mesmo número para simplificar, tudo bem gente? Então da pra ver quem é maior ali o conjunto da esquerda. (...)

São dois conceitos que por mais que usem a mesma palavra, ser primo entre si não tem nada haver uma coisa com a outra. Eu posso ter dois números que são primos, mas não são primos entre si. Não, isso não pode acontecer! Mas eu posso ter um numero que é primo e o outro não é. Que são primos entre si. Então ser primos é uma coisa, é uma característica do número. Eu sou um número primo porque, porque eu tenho só dois divisores diferentes, o um e eu mesmo. Agora nós somos primos entre si, porque, independente se nós somos primos ou não, não tem nada a ver, se eu e você formarmos uma fração, a fração não se mexe. E ai se tornam primos entre si. (...)

Não, não, eu acabei de explicar! A relação de ser primos entre si não está vinculado na relação em ser primos. (...)

Uma coisa é quando a fração já vem com denominadores iguais, ai você compara de maneira bem fácil. Eu to num exemplo em que as frações não são iguais nem embaixo nem em cima. Porque se é igual embaixo, é visual. Se é igual em cima, tem que pensar. Se não é igual nem embaixo e nem em cima, tem que calcular. Ai ou você divide e vê quem é o maior, ou você traz para o mesmo denominador. Quando eu trago as frações para o mesmo denominador, eu permito enxergar quem é maior. Porque eu dividi a minha pizza em 72 pedaços em ambas aqui eu comi 45 e aqui eu comi 32. Então fica bem claro que eu comi mais aqui. (...)



Não muda nada, só que aqui vai ser o mesmo valor. Mas não é porque é ambas, esquece a história do primo, como nessas frações não tem o mesmo numerador e nem o mesmo denominador, que são aqueles dois casos ali, você precisa trazê-las para o mesmo denominador, pra então poder comparar. Independente se é primo, se não é primo... Sendo diferente em cima e embaixo, tem que trazer para o mesmo denominador. Eu só vou usar esse método se ele já vier no mesmo denominador ai é fácil. Eu só enxergo. Aqui eu transformo elas para o mesmo denominador para enxergar, mas não tem nenhum vinculo entre ser primo ou ser primo não se preocupa. O máximo que vai acontecer é você perceber que os números são primos entre si e ao invés de gastar todo o seu tempo nessa maravilha aqui, você vai lá e multiplica um pelo outro e ganha tempo em relação ao seu concorrente, tá. (...)

Duas dicas que raramente vocês vão chegar a ouvir de outro professor, na internet ou algo assim, (...)

Quem aqui já conhece o método da borboleta que eu ensino em aula? O método da borboleta se aplica a uma coisa, na verdade não se aplica, se explica. Vocês passaram a vida inteira no colégio aprendendo que pra somar frações tem que fazer o MMC né? Mentira, não precisa!

Qualquer fração que a gente pegar, vou pegar aqui outro exemplo (...)

Qualquer duas frações que vocês querem comparar sem perder muito tempo, só multiplica os dois denominadores sendo eles primos entre si ou não. a diferença não vai ser nenhuma. A gente poderia ter passado a vida inteira imune e livre dessa ideia de fazer MMC de juntar a fração. Porque se vocês multiplicam os valores debaixo, vocês vão criar uma fração proporcional. Que no final você vai simplificar e volta pro denominador mínimo comum. Quem já usou o método borboleta comigo sabe que é assim. Pelo método da borboleta que a gente vai ver daqui a pouco você soma duas frações, multiplicando os denominadores, sem nenhum tipo de preocupação. (...)

É muito comum questões assim e o que eu faço?

Sendo eles primos entre si ou não e aqui são, eu faço isso aqui, aqui embaixo. Eu nem calculo o valor, sabe o porquê? Porque se eu calcular esse valor aqui que é 105, o MMC dos três, são todos eles primos entre si. Não simplifica essa fração, não simplifica essa e nem essa. Eu vou ter toda hora que dividir o 105, pelo denominador original e dividir pelo de cima. Se eu deixar nesse formato e pasmem no que eu vou dizer pra vocês, é chocante, vai mudar a vida de vocês de agora em diante.

Isso aqui é 105, só que em vez de eu escrever isso aqui em 105, eu escrevi no que a gente chama de forma fatorada. É o 105 quebrado, em fatores primos. Só que pra vocês isso aqui gera um estranheza absurda, é como se isso aqui fosse uma coisa de outro planeta. É a mesma coisa se ao invés de eu falar “me dá ai, uma nota de dez reais eu falasse, me dá ai duas notas de cinco reais”. 2 5 dá 10. Percebem?

Então ao invés de fazer a conta, chegar no MMC que é 105, pegar agora 105 e dividir por três, multiplica por 2, o que eu faço, eu coloco aqui embaixo o produto dos três. Quando eu dividir, isso por isso, o três some. Quanto é 5 x 7 = 35 vezes o numerador original que é 2 = 70, tudo bem? Esse número é igual a esse. Se a gente simplificar 70 por 105, vai dar certinho dois terços. Quer ver?


70 por 105, vai por 5 primeiramente em cima e embaixo isso é simplificar, vai dar 14 por 21. Vai por 7 agora em cima e embaixo vai dar dois terços. É a mesma fração eu só to redesenhando ela com um outro formato.

Agora eu pego isso aqui e divido por 5, sobra os dois extremos. Quanto é 3 x 7 = 21 x 1 = 21. Agora pega isso daqui e divide por 7, sobra 3 x 5 que é 15 que multiplicado por 4 vai dar 60. Ai a gente tem como somar e comparar as frações. Isso ai tem caído muito em prova.




Agora no final eu posso somar e simplifico, aqui eu não posso cortar individualmente porque tem soma e se você for somar as frações no caso. Agora se você só estiver comparando elas, essa é a maior. Essa é a intermediaria e essa obviamente é a menor que tem menos... Menor numerador.

Então evitem muito esse confronto, porque a maioria de vocês vai chegar aqui e jogar o MMC aqui do lado e não precisa, a gente sabe que são primos entre si, achar o MMC 105, vai trazer o 105 pra dividir e multiplicar... vai trazer o 105 pra dividir e multiplicar... vai trazer o 105 pra dividir e multiplicar... Não precisa! Deixa aqui embaixo o produto entre eles e divide no olho. O que sobrou tu multiplica pelo denominador e forma as novas frações que tem entre eles a mesma representatividade. Essa fração é isso, essa fração é isso e essa fração é exatamente igual a quatro sétimos. (...)

Essa regra só se aplica se for números entre si? No colégio se diz que sim, pra enganar os alunos, mas na verdade, não! Porque é igual ao método da borboleta, não precisa. Tu pode botar aqui sempre os mesmos valores, não tem problema. Ainda mais quando é uma questão de soma de frações. Se ta somando as frações, e quer usar o método do MMC e não da borboleta, você pode botar direto aqui os três valores de denominador independente se são primos entre si ou não. não dá errado. Quer ver, vamos pegar aqui um exemplo mais simples.

Olha o que vamos fazer aqui gente, eu vou pegar esse outro exemplo aqui dois terços e cinco nonos e vou resolver ele de três maneiras diferentes: primeira maneira pelo MMC, segunda pelo MMC fake e terceiro pela borboleta pra quem não conhece o método da borboleta tá.

Primeiro jeito, pelo MMC:

Ai vou ter que fazer o MMC entre 3 e 9 e qual é o MMC, vai lá e fatora, cabeça... por 3, um e 3. Por três um e um, acabou. Três vezes três dá nove. Ai que lindo. Ai você traz as duas frações, pra denominador 9. 9 por 3 dá 3 x 2 dá 6. Observe aqui que essas frações são a mesma coisa só que em formatos diferentes. 9 por 9 dá um vezes 5 dá 5, obviamente cinco nonos é cinco nonos, mantenho o denominador e somo os numeradores, tranquilo em relação a primeira maneira de fazer? Essa é a maneira que ensinaram no colégio. (...)

Número 2, seria o MMC falcatrua e vale sempre Dudan? Sempre vai valer. O que eu faço:

O MMC eu nem calculo eu só multiplico 3 x 9 dá 27. 27 dividido por 3 dá 9, vezes 2 dá 18. 27 por 9 dá 3, vezes 5 dá 15. 18 + 15 = 33 sobre 27. Dá uma simplificadinha por 3 em cima e embaixo por tanto dá 11 por 9.


Deu a mesma resposta, deu, eu me preocupei, tem alguma ruga na minha testa de ter feito o MMC? Nenhuma e nem precisa. Resumindo, não precisa fazer MMC. Não me pergunte o porquê que não foi ensinado antes pra vocês.

E ai vem a terceira maneira que é a mais legal de todas. Método da Borboleta. Não foi eu que inventei isso eu aprendi na internet não me lembro quem foi, (...)

Primeiro: só funciona com duas frações (mentira funciona com mais) mas não posso ensinar ainda. Já estou desenvolvendo o método da borboleta psicodélica pra mais frações, pra três, mas, é mais adiante eu ainda to desenvolvendo uma maneira fácil de ensinar vocês. De duas em duas por enquanto

Segundo: provavelmente vai ter que simplificar no final, o que não é sofrimento demais pra gente. Como é que funciona? Chuta o balde e multiplica os dois denominadores, independente se são primos ou não. estão nem ai, ou primos entre si. E depois pega o primeiro numerador considerado na fração e multiplica pelo segundo denominador. + 2 x 9 dá +18. Depois você pega e multiplica o segundo numerador com o sinal que está e multiplica pelo primeiro denominador. 5 x 3 = +15. Deu a mesma resposta, simplificou e gabaritou.

E hoje em dia eu não vou mentir pra vocês eu uso tanto o MMC, quanto o MMC fake quanto o método borboleta. Eu como treino todo dia, vivo disso, eu sei em que momento cada um vale a pena. Eu sei em que momento um vai ser mais rápido que o outro, então eu já bato o olho e “opa”, aqui vai efeito borboleta, opa aqui vai MMC, aqui vou multiplicar os dois e aqui vai dar na mesma, minto! Hoje em dia eu to na borboleta e no MMC normal, o fake eu não uso, o fake, ele é meio termo. Ele multiplica aqui embaixo como se fosse borboleta, mas você tem que dividir e voltar como se fosse MMC normal. Então ele é um meio termo, então eu não acho que vale a pena. Eu iria por aqui, ou pelo MMC se você souber trabalhar com ele.

(...)

Normalmente eu uso aquele método ali quando são três denominadores. Quando é que isso tem acontecido muito, que é mais a cara do FCC do que CESPE. Questão de divisão proporcional, quando eu tenho que dividir proporcionalmente três frações e a gente tem que trabalhar pras três. Mas ai é o pseudo MMC como eu ensino a gente vai ver isso nas próximas aulas. Eu vou trazer uma questão assim.

Eu já vi isso duas vezes em prova, que no meio da questão tinha que fazer MMC de 7, 11 e 13. Se você multiplicar o 7, 11 e o 13 que é o MMC deles, a gente vai criar um baita número, a gente vai ter q dividir e multiplicar em cima, não faz isso. Deixa indicado 7 vezes 11 vezes 13... e faz no olho como eu fiz.



Outra borboleta aqui pra gente fechar, pra gente seguir, cinco sétimos menos dois nonos tá. E vou dizer mais, se for assim a prova, estejam atentos e joguem o numero negativo pra lá. Não troquei o sinal de ninguém só joguei isso pra lá pra poder ficar mais legal a brincadeira tá. Multiplique entre si os dois sem um tipo de multiplicação e preconceito, primeiro numerador sinal da fração que é positivo, pelo segundo denominador, vai dar +14. E ai o segundo numerador com o sinal da fração com o primeiro denominador, vai dar -45. O resultado: – 31 sobre sessenta e três, e não dá pra simplificar. (...)

Aqui não altera. Aqui é só pra evitar de vocês esquecerem o sinal de menos e esquecer ele. Aqui dá pra fazer na mesma. (...)

Multiplicação de Frações

Multiplicação de frações não te estressem por nada, vou ser bem realista, eu simplificaria só depois. Multiplicar frações é: multiplica em cima e em cima, embaixo e embaixo, e olha e vê se dá pra simplificar, se der deu, se não der, não deu e a vida segue e todo mundo fica feliz.

Não tem que fazer MMC, não tem que fazer borboleta, multiplicar fração é uma barbada tá.

DIVISÃO:

Agora divisão, ai estejam atentos! Porque a divisão de fração gera em vocês um desconforto tão grande que eu não entendo o porquê. Porque a regra que a gente vai usar ali é mesma que a gente usa todos os dias. A regra é clara está no livro de vocês. Dividir por um número, é multiplicar pelo seu inverso. Dividir a sua idade por 2, é a mesma coisa que multiplicar a sua idade pelo inverso de 2. Que é meio.


Então, dividir por um número é multiplicar pelo seu inverso. Tá claro isso pra vocês? Concordam que 26 sobre 2 é a metade de 26? Então aqui, dividir por um número, é a mesma coisa que pegar os dois terços e dividir pelo seu inverso. Então você mantem a primeira e inverte a segunda. Essa é a regra e não pode sofrer com isso não pode sofrer. 2 x 7 = 14, 3 x 5 = 15, resposta definitiva e finalizada.

(...)

O mais difícil é somar e subtrair que com a borboleta agora, não é difícil, resumindo... (...)

POTÊNCIA E RADICAL:

Que é aonde a matéria fica um pouco mais crespa, e eu sei que vocês tem muita dificuldade em potências e radicais, isso cai muito pouco em prova, mas tem que saber pelo menos as propriedades básicas. Como nós já falamos na aula passada, como eu expliquei muito nas questões que vocês vão fazer depois da aula, as questões adicionais da aula 2 e da aula 3, então, por exemplo:

Uma fração dois terços, toda é ao quadrado, é bem simples, eleva o dois ao quadrado, eleva o três ao quadrado e vai dar quatro nonos, tchau pra ti. O mesmo jeito, uma raiz quadrada de quatro nonos, você tira a raiz do de cima individual, tira a raiz do debaixo, que por ventura são raízes exatas, e chega a dois terços. Então, radical e potência como fração, não é nada difícil.

Mas a gente tem que entender uma coisinha só: (façam esse exemplo aqui em vermelho por gentileza, o pessoal de casa também, pausem a maquina e volte pra eu corrigir)

(...)



Se você fez isso aqui, parabéns! Acabou de fazer merda. Porque, porque o primeiro ímpeto, quando você enxergar uma fração, primeiro, é simplifica-la. Olhando pra uma fração, não opera, não faz borboleta, não multiplica, primeiro olha pra ela e pergunta “você pode ser simplificada?” posso! Você pode dividir o de cima e o debaixo por três, dando um quarto o que vai ser muito mais facilmente elevado ao cubo do que quando era antes. Vai te dar muito menos trabalho, vai te dar um ao cubo, quatro ao cubo e um sobre 64 e fechou a conta tá. Não que esteja errado o outro jeito, mas olha o trabalho que você tem pra elevar 12 ao cubo. Depois simplificar, não precisa tá.

(...)

E o último item que eu vou falar agora pra fechar, já juntando a aula 2 com a aula 3, encerrando esses assuntos é o seguinte: todo número tem a liberdade de estar no numerador e ir pro denominador e ao contrário, ou seja ela pode mudar de lugar na fração pagando um imposto por essa movimentação. Que imposto é esse, é a mudança de sinal do seu expoente.

Então se tem uma questão que tem isso por exemplo, olha, aquele 2 – 3 ali em cima está te incomodando, você tem a liberdade se você quiser de movimentar ele pra baixo, e ele vai vir multiplicando o três que já estava por ali, apenas mudando o sinal do seu expoente. Isso é algo muito legal.

Ai eu explico isso quando eu tiver uma fração elevada ao número negativo, eu giro a fração, esse desce, o debaixo sobe, e você muda o sinal do expoente é a mesma ideia tá. Que como aqui, os dois estão ao menos 2, esse vai descer como dois ao quadrado e esse vai subir como três ao quadrado, e os dois ficam ao quadrado de maneira coletiva tá. Tanto pode girar a fração mudando o sinal do expoente, quanto pode subir e descer também trocando o sinal do seu expoente, não importa qual o sinal, trocou esse é o imposto que você paga pra se movimentar, tudo bem? Tranquilos?

cef - amazon s3...pra isso, não precisa repetir, o que é comum. então a união é 1, 2, 3 e 5. e...

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