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O papel das tarefas no desenvolvimento de estratgias de clculo

mental com nmeros racionais

Renata Carvalho Unidade de Investigao do Instituto de Educao, Universidade de Lisboa

Joo Pedro da Ponte Instituto de Educao, Universidade de Lisboa

Resumo. Este captulo apresenta quatro princpios para a construo de tarefas que visam contribuir para o desenvolvimento de estratgias de clculo mental e clarificao dos erros dos alunos no trabalho com nmeros racionais. O nosso objetivo refletir acerca da adequao de tarefas de clculo mental com nmeros racionais, elaboradas segundo estes princpios, luz das estratgias e erros revelados pelos alunos. Os resultados mostram que as tarefas usadas contriburam para o aparecimento de estratgias de clculo mental cada vez mais flexveis e concetuais, reforando a importncia da definio de princpios orientadores que nos permita focar no objetivo para o qual foram construdas.

Introduo

No Programa de Matemtica (ME, 2007), a aprendizagem dos nmeros

racionais, inicia-se no 1. ciclo, primeiro com a representao fracionria e

posteriormente com a decimal, recorrendo igualmente a outras representaes

(pictrica, reta numrica, grelha 10x10, simblica) e nmeros de referncia. D-se

nfase ao desenvolvendo de estratgias de clculo mental e escrito, incluindo a

realizao de algoritmos com a representao decimal. No 5. e 6. ano, os alunos

passam a trabalhar com novas representaes dos nmeros racionais (percentagem,

numeral misto) e as quatro operaes bsicas. O programa considera que o clculo

mental e escrito deve continuar a ser desenvolvido uma vez que contribui para o

desenvolvimento de sentido de nmero e de operao, o que constitui um objetivo

transversal a todo o ensino bsico.

Tendo em conta estas orientaes curriculares e a importncia que diversos

autores (e.g., Bourdenet, 2007; Heirdsfield, 2011; Taton, 1969; Threlfall, 2002)

atribuem ao desenvolvimento do clculo mental nos alunos, investigmos as estratgias

que usam os alunos quando calculam mentalmente com nmeros racionais e os erros e

dificuldades que evidenciam. Esta investigao foi feita no quadro de uma experincia

de ensino realizada no 6. ano centrada em tarefas de clculo mental com nmeros

racionais envolvendo as quatro operaes e a discusso de estratgias e erros dos

2

alunos. Procurmos saber, em especial, como evoluem as estratgias e os erros ao longo

da experincia. Neste captulo descrevemos os princpios que estiveram na base da

construo das tarefas e refletimos acerca da adequao destas tarefas de clculo mental

com nmeros racionais, elaboradas segundo estes princpios, luz das estratgias e

erros revelados pelos alunos. Em termos epistemolgicos, assumimos que o

conhecimento dos alunos se desenvolve atravs da atividade matemtica que ocorre em

momentos de trabalho individual e coletivo e, muito em especial, em momentos de

reflexo acerca dessa mesma atividade.

Design de tarefas: Princpios orientadores

O desenvolvimento de estratgias de clculo mental nos alunos deve ser

sistemtico e intencional (Taton, 1969) o que requer a criao de tarefas que promovam

o desenvolvimento de capacidades de clculo com compreenso, tanto com nmeros

naturais como com nmeros racionais. Na nossa perspetiva, as tarefas so o ponto de

partida para a atividade matemtica dos alunos e a sua realizao na sala de aula deve

ser sistemtica, promover a reflexo e ser objeto de discusso e partilha. A criao das

tarefas para a experincia de ensino seguiu cinco princpios que consideramos

importantes para promover o desenvolvimento do clculo mental, relacionados com os

contextos, as representaes dos nmeros racionais, as estratgias e erros dos alunos, o

nvel cognitivo das tarefas e as interaes sociais, principalmente nos momentos de

discusso coletiva.

Princpio 1 Usar contextos que possam ajudar os alunos a dar significado aos

nmeros. Na perspetiva de Bell (1993) os contextos e os conceitos que os alunos

devero trabalhar so aspetos importantes na construo das tarefas. Segundo o autor,

um conhecimento estruturado, por norma, est relacionado com o contexto em que foi

aprendido, sendo difcil para o aluno transpor esse conhecimento para novas situaes.

Tambm Galen, Feijs, Figueiredo, Gravemeijer, Herpen, Keijzer, (2008) e Rathouz (2011)

consideram que os contextos podem ajudar os alunos a dar significado aos nmeros.

Para perceber como os contextos podem promover ou dificultar o clculo mental dos

alunos, crimos dois tipos de tarefas envolvendo nmeros racionais: exerccios em

termos matemticos e problemas em situaes contextualizadas.

Princpio2 Usar diversas representaes de um nmero racional. Nas vrias

tarefas os alunos tm a oportunidade de trabalhar com nmeros racionais em diferentes

3

representaes (decimal, frao e percentagem) estando a representao usada em cada

tarefa de acordo com o tpico que a professora est a trabalhar. No momento em que se

estudam volumes usa-se sobretudo a representao decimal, no estudo das relaes e

regularidades usa-se a representao em frao e na organizao e tratamento de dados

usam-se as trs representaes. Esta opo ir permitir aos alunos o desenvolvimento do

clculo mental de forma integrada com a aprendizagem dos nmeros racionais

prolongada no tempo e estabelecendo relaes entre diferentes tpicos matemticos. As

diversas representaes vo surgindo repetidamente e, por vezes, em simultneo ao

longo da experincia. O uso de diferentes representaes dos nmeros racionais permite

aos alunos estabelecerem equivalncias (Caney & Watson, 2003) bem como relaes

entre estas representaes e as imagens mentais que possuem acerca dos conceitos

matemticos (Swan, 2008).

Princpio 3 Na construo de tarefas que visem levar os alunos desenvolver as

suas estratgias e clarificar os seus erros, ter em conta a investigao sobre o clculo

mental e os nmeros racionais. No domnio do clculo mental Heirdsfield (2011)

considera que existem quatro elementos fundamentais que esto na base do

desenvolvimento de estratgias dos alunos: (i) conhecer a numerao e compreender a

grandeza e valor dos nmeros, (ii) o efeito das operaes sobre os nmeros, (iii) ter

capacidade para fazer estimativas para verificar a razoabilidade do resultado, e (iv)

conhecer um conjunto de factos numricos que permita calcular rapidamente e com

preciso. No domnio dos nmeros racionais e tendo em conta a perspetiva de vrios

autores (e.g., Behr, Post & Wachsmuth, 1986; Galen et al., 2008; Lamon, 2006;

Rathouz, 2011), para alm das decises relativas aos contextos e representaes j

referidas, privilegimos o uso de nmeros de referncia. Tendo em ateno o que

referem Empson, Levi e Carpenter (2010), tambm considermos os conhecimentos

prvios dos alunos relativos aos nmeros racionais, incluindo as operaes estudadas no

5. e 6. ano importantes para o desenvolvimento de estratgias. Segundo os autores,

cada estratgia surge em funo da compreenso que cada a criana tem acerca dos

nmeros e operaes e das relaes numricas que lhe so familiares e que usa para

estabelecer novas relaes e efetuar o clculo. Os autores denominam de pensamento

relacional esta rede de relaes que os alunos estabelecem. Relativamente s estratgias

de clculo mental com nmeros racionais, Caney e Watson (2003) realam a

importncia de perceber a relao entre diferentes representaes de um nmero

racional para desenvolver o clculo mental com estes nmeros. Num estudo realizado

4

com alunos do 3. ao 10. ano, identificaram onze estratgias por eles usadas. Numa

primeira fase, estes comeam por usar formas mentais de algoritmos escritos e imagens

mentais pictricas, passando depois para estratgias relacionadas com conhecimentos

que j possuem do trabalho com nmeros naturais (como o trabalho da esquerda para a

direita ou com partes de um segundo nmero), estabelecem ligaes, recorrem a

adies e a multiplicaes sucessivas e utilizam factos conhecidos e regras

memorizadas. As estratgias dos alunos no clculo com nmeros naturais so uma

referncia importante para o desenvolvimento das novas estratgias com nmeros

racionais. Numa fase mais avanada, as estratgias dos alunos envolvem o sentido de

nmero e de operao, potenciando a utilizao de representaes equivalentes, o uso

de diferentes representaes de um nmero racional e a transio entre operaes

inversas. As autoras caracterizam as estratgias dos alunos de instrumentais, se estes

aplicam factos e regras memorizadas, ou conceptuais, se usam o conhecimento dos

nmeros e das operaes.

Princpio 4 Usar tarefas com diferentes nveis de exigncia cognitiva. Tarefas

com caractersticas diferentes podem levar os alunos a desenvolverem nveis de

raciocnio diferentes (Henningsen & Stein, 1997). As tarefas permitem o uso de

diferentes representaes dos nmeros racionais e o desenvolvimento de diferentes

estratgias e formas de comunicao matemtica, uma vez que os alunos tm de

explicar e justificar os seus raciocnios e ser crticos face s explicaes dos colegas.

Para a criao das tarefas, considermos: (i) os nveis de desenvolvimento de

clculo mental (Callingham & Watson, 2004) dos alunos em cada representao dos

nmeros racionais; (ii) as possveis estratgias de clculo mental dos alunos em cada

exerccio ou problema propostos; e (iii) os erros e as dificuldades que podem surgir no

clculo mental realizado em cada exerccio ou problema. Assim, tivemos em ateno

que, num nvel mais bsico de clculo mental os alunos devem reconhecer metades na

forma de 1/2 pelo que as primeiras tarefas proporcionam trabalho neste sentido. Num

nvel mais desenvolvido, devem ser capazes de usar estruturas de base (isto ,

conhecimentos baseados em nmeros de referncia) para calcular com nmeros menos

familiares ou fraes com denominadores diferentes, sendo propostas tarefas que

gradualmente vo apelando ao uso, por exemplo, de teros ou sextos. Tendo em ateno

as estratgias de clculo mental com nmeros racionais referidas por Caney e Watson

(2003), construmos tarefas que potenciam o uso e desenvolvimento de estratgias como

o recurso a equivalncias, mudana de representao ou a propriedades das operaes.

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Algumas tarefas permitem aos alunos operar facilmente, mas outras requerem o recurso

a relaes numricas. Para promover este tipo de atividade matemtica, usmos

fundamentalmente: nmeros de referncia tais como 1/4, 0,5 ou 75%; mltiplos;

nmeros racionais na representao decimal com uma ou duas casas decimais para

facilitar a equivalncia entre fraes decimais e percentagens; diferentes representaes

de um nmero racional na mesma tarefa; expresses equivalentes que permitam o uso

de propriedades das operaes e relaes numricas; e problemas que os alunos podem

resolver com expresses semelhantes s que previamente foram discutidas na aula. Por

exemplo, para calcular 1/2+1/2 os alunos apenas tm de usar factos numricos

conhecidos (duas metades formam a unidade). Esta uma tarefa de nvel cognitivo

reduzido. Mas, para calcular ?0,5=30, os alunos tm de relacionar nmeros, mudar de

representao ou usar propriedades das operaes, o que confere tarefa um nvel

cognitivo mais elevado.

Em todas as representaes dos nmeros racionais os alunos cometem erros

(e.g., Lamon, 2006; Parker & Leinhardt 1995; Rathouz, 2011). Por exemplo, na adio

e subtrao na representao fracionria operam incorretamente com numeradores e

denominadores, na representao decimal operam ignorando o valor posicional dos

algarismos e na representao em percentagem operam com os nmeros ignorando o

sinal %. McIntsoh (2006) considera que os alunos cometem fundamentalmente dois

tipos de erros: (i) concetuais e (ii) processuais. Na sua perspetiva, um erro concetual

surge quando o aluno no compreende a natureza dos nmeros ou a operao envolvida

enquanto num erro processual o aluno sabe que estratgia usar mas comete erros de

clculo ao p-la em prtica.

Neste sentido crimos tarefas que pudessem proporcionar o aparecimento de

certos erros para que estes pudessem ser discutidos e clarificados no momento da

discusso coletiva. Assim, na adio e subtrao de nmeros racionais representados

por fraes existem situaes em que os denominadores so diferentes, na representao

decimal surgem operaes envolvendo nmeros com dcimas e centsimas e na

representao em percentagem selecionmos nmeros que permitiam obter um

resultado correto seguindo uma estratgia errada (e.g., para calcular 20% de 25, em que

o clculo de 25-20 d o mesmo resultado que 0,2 25). Para ns, era importante

perceber as estratgias e erros dos alunos e discutir estas situaes na sala de aula para

esclarecer concees erradas acerca dos nmeros e das operaes com nmeros

racionais.

6

Modo de trabalho na sala de aula

No que respeita realizao das tarefas na sala de aula, consideramos que as

interaes sociais, principalmente as que se verificam durante as discusses coletivas,

so fundamentais para a aprendizagem da Matemtica pois potenciam a reflexo dos

alunos. Neste sentido, o professor deve: (i) criar um ambiente de sala de aula onde os

alunos se sintam vontade para falar das suas estratgias; (ii) escutar atentamente as

suas explicaes acerca dos seus mtodos de clculo pessoais; (iii) ser capaz de

identificar estratgias particulares dos alunos e reforar positivamente o seu uso; (iv)

valorizar o conhecimento sobre os nmeros e a capacidade dos alunos para executarem

estratgias eficientes; e (v) assegurar que os alunos passam por experincias suficientes

que lhes permitem desenvolver progressivamente estratgias cada vez mais sofisticadas

(Thompson, 2009). Este tipo de ambiente de aprendizagem promove a interao

aluno(s)/professor e aluno(s)/alunos(s) permitindo aos alunos discutirem os seus erros e

comunicarem matematicamente, contribuindo assim para a melhoria da sua linguagem

matemtica. Quando surgem erros por parte dos alunos, estes devem ser discutidos na

sala de aula ajudando sua clarificao (Bell, 1993). A discusso de tarefas na sala de

aula fundamental uma vez que permite aos alunos partilharem como pensam quando

calculam mentalmente e apresentarem os seus argumentos e justificaes que sero

validados pelos seus pares, sendo o professor um elemento indispensvel na gesto

desta discusso.

Metodologia de investigao

Este estudo segue uma abordagem qualitativa e interpretativa (Bogdan & Biklen,

1994) com design de experincia de ensino (Cobb, Confrey, diSessa, Lehere, &

Schauble, 2003). Participam uma professora e uma turma do 6. ano com 20 alunos que

j trabalhou os nmeros racionais em vrias representaes (decimal, frao,

percentagem) e a primeira autora no papel de investigadora. Esta foi a primeira

experincia de clculo mental dos alunos com nmeros racionais.

A recolha de dados decorreu entre fevereiro e maio de 2012, atravs de

observao direta das aulas com tarefas de clculo mental, reunies de preparao e

reflexo com a professora e entrevistas finais a alguns alunos, selecionados de acordo

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com os erros e dificuldades manifestadas ao longo da experincia de ensino. As aulas

foram udio e vdeo-gravadas para posterior anlise e reflexo acerca dos momentos de

discusso coletiva. Para a anlise de dados foram ouvidas as gravaes udio das

reunies de reflexo com a professora com o objetivo de perceber se o trabalho

realizado na experincia de ensino potenciado nas restantes aulas de Matemtica e

como que a professora vai percecionando o desempenho e a evoluo dos alunos no

que respeita a estratgias e erros. Foram tambm visionados os episdios da aula para

identificar as estratgias de clculo mental que os alunos referem nos momentos de

discusso, os erros que cometem e como evoluem ao longo da experincia de ensino.

Finalmente, aps a concluso da experincia de ensino, foram realizadas entrevistas

para perceber se os alunos continuam a cometer o mesmo tipo de erros que cometeram

ao longo da experincia ou se houve aprendizagem. As categorias de anlise so

baseadas no estudo de Caney e Watson (2003), tendo presente a perspetiva de autores

como Callingham e Watson (2004), Galen et al. (2008), Lamon (2006) e Empson e

Carpenter (2010).

A experincia de ensino

A experincia de ensino foi elaborada pela investigadora (primeira autora) e

discutida quinzenalmente com a professora. A conduo da aula, incluindo os

momentos de discusso, da responsabilidade da professora, intervindo a investigadora

pontualmente para esclarecer aspetos relacionados com a comunicao de estratgias

dos alunos. A experincia composta por dez tarefas de clculo mental, sete em

contextos matemticos, duas com problemas e uma tarefa mista, projetadas na sala de

aula, semanalmente, usando um Powerpoint temporizado. As tarefas temporizadas

foram encaradas como uma forma de desafiar os alunos a calcularem mentalmente com

destreza. As estratgias que os alunos constroem individualmente no tempo estipulado

so importantes mas to ou mais importantes so as estratgias que constroem

coletivamente na turma, atravs da discusso e partilha.

Cada tarefa constituda por duas partes e tem uma durao prevista de 15

minutos. Os alunos tm 15 segundos para resolver cada exerccio e 20 segundos para

resolver cada problema, individualmente, e anotar o resultado numa folha de papel,

seguindo-se um momento de discusso. Na primeira parte das tarefas em contexto

matemtico os alunos tm que escrever o resultado de uma expresso numrica e na

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segunda parte indicar o nmero que torna a igualdade verdadeira. Nos problemas apenas

tm de escrever o resultado, podendo tambm registar clculos intermdios.

Em termos gerais, as tarefas foram criadas com o objetivo de promoverem o

desenvolvimento de estratgias de clculo mental e conduzir superao dos erros dos

alunos e tambm de rever e consolidar o trabalho com nmeros racionais de referncia.

Toda a experincia de ensino foi pensada em articulao com o trabalho da professora

com os alunos e, por isso, como j referido, em cada aula, a representao do nmero

racional usada estava de acordo com o tpico que a professora estava a trabalhar.

Na experincia de ensino, no momento em que a professora estava a trabalhar

relaes e regularidades, os alunos foram desafiados primeiro a adicionar e a subtrair

mentalmente nmeros racionais representados por fraes e depois a multiplicar e

dividir fraes. De seguida, enquanto trabalhavam volumes, realizaram clculo mental

com nmeros racionais nas representaes fracionria e decimal com as quatro

operaes, tanto em contexto matemtico como na resoluo de problemas, adicionaram

e subtraram decimais, multiplicaram e dividiram decimais e resolveram problemas com

a representao fracionria e decimal. Enquanto trabalhavam estatstica, realizaram

clculo mental com a representao em percentagem, depois a multiplicao de

nmeros racionais usando as trs representaes e, posteriormente, usaram as quatro

operaes bsicas e as trs representaes dos nmeros racionais. Por fim, resolveram

problemas usando as trs representaes e contextos relacionados com os tpicos

trabalhados enquanto decorria a experincia de ensino.

A ttulo de exemplo, explicamos de seguida os aspetos que considermos

importantes na construo de trs das dez tarefas que os alunos resolverem na

experincia de ensino.

Pensa rpido!

Qual o valor exato?

)

+

)

)

+

)

)

+

)

+?= 1 )?

=

)

+?= 1 )

?=

)

+?=

Figura 1. Primeira tarefa de clculo mental da experincia de ensino

9

A primeira tarefa de clculo mental (figura 1) envolve adio e subtrao de

nmeros racionais na representao fracionria e foi realizada pelos alunos no momento

em que a professora tinha iniciado o trabalho com sequncias e regularidades, por

considerarmos que a representao fracionria uma das mais usadas neste tpico.

Nesta tarefa foram usados nmeros de referncia, como 1/2, 1/4 e 3/4 (Galen et

al., 2008) e, essencialmente, apelmos ao trabalho com metades, uma vez que

reconhecer e operar com metades na forma de frao uma capacidade bsica de

clculo mental com nmeros racionais nesta representao (Callingham & Watson,

2004). Inicimos com as operaes adio e subtrao por serem as primeiras que os

alunos realizam com fraes. Os clculos a realizar envolvem nmeros racionais na

representao em frao com o mesmo denominador ou com denominadores mltiplos

um do outro para permitir facilmente o recurso a equivalncias.

Em termos de estratgias, espervamos que os alunos recorressem a imagens

mentais pictricas de fraes de referncia para operar, a que se associa o conceito de

frao como uma relao parte-todo, incluso das representaes simblicas em

contextos com significado para estes (se a 3/4 de hora retiro 1/4 de hora, fica), ao uso

mental dos algoritmos e ao uso de factos conhecidos (e.g., duas metades constituem

uma unidade). Relativamente aos erros, prevamos que os alunos operassem com

numeradores e denominadores como se fossem nmeros naturais, um erro frequente,

calculassem erradamente fraes equivalentes ou que manifestassem dificuldades na

relao parte-todo ao imaginar mentalmente a representao pictrica das fraes

envolvidas.

A quinta tarefa (figura 2), em contexto matemtico, envolve multiplicao e

diviso de nmeros racionais na representao decimal, tendo sido realizada no

momento em que os alunos estavam a abordar o tpico volumes. Tendo em conta os

nveis de desenvolvimento de clculo mental de Callingham e Watson (2004), foram

usados numerais decimais equivalentes a representaes de referncia, como 1/2, 1/4 e

1/5; multiplicao de dois decimais com o mesmo nmero de casas decimais ou

diferentes; diviso por 0,5 e diviso de decimais quando os dgitos so mltiplos.

Espervamos que os alunos, tendo em conta o trabalho realizado no 1. ciclo

com nmeros racionais na representao decimal e o trabalho realizado nas primeiras

tarefas da experincia de ensino, tivessem estratgias baseadas em regras memorizadas

como a multiplicao por potncias de 10, o uso de factos conhecidos para a

reconstruo da unidade (e.g., 0,254=1), a mudana de representao de decimal para

10

frao, o uso de equivalncias, a decomposio, a compensao e as propriedades das

operaes. No que se refere a erros, espervamos que os alunos comparassem

erradamente dois nmeros racionais na representao decimal; escrevessem o produto

ou quociente no considerando corretamente o valor posicional dos algarismos; ou

estabelecessem equivalncias erradas entre representaes de um nmero racional e

manifestassem dificuldades no sentido de operao multiplicao e diviso de decimais.

Pensa rpido!

Qual o valor exato?

a)0,25 4 b)12,2 0,5 c)0,6 0,30 d)0,14 0,2 e)4,2 0,2

f)? 0,5 = 30 g)2,1 ?= 8,4 h)? 0,4 = 0,16 i)0,82 ?= 1,64 J)25,5 ?= 5,1

Figura 2. Quinta tarefa de clculo mental da experincia de ensino.

Na ltima tarefa da experincia de ensino (figura 3) de que, por questes de

espao, apenas apresentamos a primeira parte, o contexto dos problemas relaciona-se

com tpicos matemticos que a professora trabalhou na aula de Matemtica ao longo da

realizao da experincia de ensino (nomeadamente, Estatstica, medida, comparao de

nmeros racionais e percentagem). Foram criados problemas que pudessem originar

expresses semelhantes s discutidas ao longo da experincia de ensino (por exemplo,,

em a) os alunos teriam de formar a unidade partindo de 0,40 e em d) podem usar 10%

como valor de referncia para efetuar o clculo). Como estes problemas envolvem as

trs representaes dos nmeros racionais, espervamos que os alunos usassem algumas

das estratgias que j referimos anteriormente, mas que deixassem de cometer alguns

dos erros manifestados e, como a adio e subtrao de numeradores e denominadores

na adio de nmeros racionais na representao fracionria, ou a adio/subtrao de

nmeros racionais na representao percentagem com outros valores (e.g., para calcular

20% de 25, calcular 25-20). Espervamos que os alunos continuassem, a ter

dificuldades na interpretao do problema e na escolha da operao correta para o

resolver. Estes so aspetos da aplicao do conhecimento e destreza com nmeros e

operaes em situaes de clculo que McIntosh, Reys e Reys (1992) destacam como

importantes para a aquisio do sentido de nmero, e onde os alunos manifestam

dificuldades.

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Pensa rpido!

Qual o valor exato?

) Lanou-se uma moeda ao ar 20 vezes e registaram-se os valores numa tabela de

frequncias relativas. Se face Euro corresponder 0,40 de frequncia relativa, qual a

frequncia relativa da face nacional?

) A av da Sofia vai-lhe fazer uma saia. De uma pea de tecido com 8,16. retirou

. Que poro de tecido usou?

) A me da Catarina fez um bolo de chocolate. Ao almoo a Catarina comeu

e o

pai

.Ambos comeram mais ou menos de metade do bolo de chocolate?

)Uma camisola custa 25. O Vasco comprou-a com 20% de desconto. Calcula o

valor do desconto.

Figura 3- ltima tarefa de clculo mental da experincia de ensino.

As tarefas de clculo mental e as estratgias dos alunos

As tarefas da experincia de ensino pretendem promover o desenvolvimento de

estratgias de clculo mental dos alunos e perceber e clarificar os erros destes no

trabalho com nmeros racionais, tendo sido elaboradas tendo por base um conjunto de

princpios orientadores. As tabelas de 1 a 4 apresentam exemplos de questes que

constam das tarefas da experincia de ensino e algumas das estratgias dos alunos para

resolver essas questes, bem como alguns dos erros revelados nas estratgias que

partilharam na discusso coletiva. De seguida, analisamos as estratgias e erros que se

evidenciaram na realizao das tarefas de clculo mental refletindo acerca da adequao

dos princpios definidos para a sua construo.

Contextos. O recurso a dois tipos de contextos (exerccios e problemas) nas

tarefas de clculo mental com nmeros racionais fez-nos perceber que, nos problemas,

os alunos usam mais estratgias concetuais do que instrumentais ou uma combinao

destas duas (tabela 2). Assim, Mrcia, Beatriz e Letcia usam estratgias concetuais

baseadas na mudana de representao e em equivalncias, enquanto Mafalda recorre a

uma equivalncia e depois aplica a regra do algoritmo da multiplicao de fraes

usando uma combinao de estratgias instrumentais e concetuais. Nos exerccios

(tabela 1), os alunos comeam por usar estratgias instrumentais aplicando regras

12

memorizadas, como fizeram Diogo e Ins, mas, a partir da tarefa 3, quando surgem duas

representaes diferentes (frao e decimal) em simultneo, comeam a surgir

estratgias mais concetuais baseadas na mudana de representao.

Tabela 1. Estratgias dos alunos em tarefas com exerccios.

Tarefa Questo Resposta dos alunos Estratgia Frao

1

+

=__ Transformei o meio em 2/4 depois

3-2, 1 (Diogo) Regra do algoritmo de adio de fraes

2 1

4 __ =

1

2

Como eu sei que 1/2x1/2 d 1/4 pus logo (Ins)

Facto numrico conhecido Relao numrica

Decimal

4 0,7+__=1 Eu vi logo, para dar 1 era 7+3, que d 10. Tirei o zero e vi logo que era 0,3 (Tiago)

Mudana de representao

5 12,2:0,5=__

Eu sabia que transformei logo o 0,5 em 1/2 e depois como sabia que sempre que dividir por 1/2 era sempre vezes 2, ento fiz assim (Mrcia)

Mudana de representao Mudana de operao

Percentagem

6 75% de 80 Eu fiz 80:4 que d 20 e fiz 80-20 que d 60 (Daniela)

Mudana de operao Relao parte-todo

7 10% de __=5

10% pode representar-se por 10/100, ento eu vi que, como 5 metade de 10, o resultado que faltava tinha que ser metade de 100 e para ser equivalente a 5 tinha de ser metade de 100 (Diogo)

Equivalncias

Vrias representaes

3 1

5 0,25 = __

Deu-me 1/20 pq eu transformei 25 centsimas num quarto. 5x4 20 como denominador, 1x1 1 como numerador. Fica 1/20(Beatriz)

Mudana de representao

8 0,210 Fiz 20% de 10 que 2 (Joo) Mudana de representao

A utilizao de exerccios e problemas nas tarefas de clculo mental tinha como

objetivo diversificar contextos e permitir aos alunos o estabelecimento de relaes entre

a manipulao simblica dos nmeros racionais e situaes que pudessem ser

modeladas por essa manipulao simblica. Por isso, surgem estrategicamente trs

tarefas com problemas aps cada duas/trs tarefas com exerccios. Mrcia (tabela 2)

refere que: Eu fiz...da conta e) [0,74:1/4=3] quando estavamos a fazer, eu lembrei-me

13

que os 12/4 eram equivalente a 3, mostrando que uma expresso realizada

anteriormente foi importante para estabelecer equivalncias num problema da tarefa 3.

Tabela 2. Estratgias dos alunos em tarefas com problemas.

Tarefa Problema Resposta dos alunos Estratgia

Vrias representaes

3 Quatro livros de banda desenhada custam 12,8. Qual o preo de cada livro?

Eu fiz... da conta e) [0,74:1/4=3] quando estavamos a fazer, eu lembrei-me que os 12/4 eram equivalente a 3. Ento fui ver que na tabuada o 4 qual que dava 12 e era o 3 e depois fui ver... e depois o outro j fiz...dividi 8 por 4 e deu 2 e fiz 3,2 (Mrcia)

Equivalncias Opera da esquerda para direita

3

Para fazer refresco de laranja

necessrio

de concentrado

por cada

0 de gua.

Que quantidade de

concentrado se deve usar

para 1, 23 de gua?

Eu fiz, um meio, meio litro x 3 para dar um e meio. Depois fiz 3 sobre 1 vezes 1/10 que 1/10 x 3/1. (Mafalda)

Equivalncias Regra do algoritmo de multiplicao de fraes

6

Uma tina tem de capacidade 22,5 l de gua. Quantos baldes de

1

43so

necessrios para encher por

completo a tina?

Deu-me 45 baldes. Bastou-me multiplicar 22,5 por 2 e deu-me logo 45 baldes. Porque para dar uma unidade temos de somar 0,5 duas vezes, por isso multipliquei por 2 (Beatriz)

Mudana de representao Equivalncias

10

Uma camisola custa 25. O Vasco comprou-a com 20% de desconto. Calcula o valor do desconto.

5. 20% transformei em 20 centsimas. 20 centsimas 1/5, ento fiz 25 x1/5 que o mesmo que dividir por 5, que me deu 5(Letcia)

Mudana de representao

No entanto, em alguns problemas, os alunos manifestaram dificuldades em

associar uma expresso j conhecida (1-0,40) que, segundo a professora, tinha sido

realizada numa aula relativamente prxima da aula de clculo mental no clculo de

frequncias relativas em organizao e tratamento de dados. Por exemplo, no problema

Lanou-se uma moeda ao ar 20 vezes e registaram-se os valores numa tabela de

frequncias relativas. Se face Euro corresponder 0,40 de frequncia relativa, qual a

frequncia relativa da outra face? apenas 4 dos 20 alunos conseguiram resolver

corretamente o problema. Os restantes alunos manifestaram dificuldades em

14

compreender a situao apresentada e em estabelecer relaes com situaes que j

conheciam e estavam a trabalhar em organizao e tratamento de dados.

Consideramos que o uso de dois contextos foi til para ajudar os alunos a

perceberem que importante relacionarem conhecimentos que possuem acerca dos

nmeros e suas operaes tanto em tarefas de contexto matemtico como de problemas,

quer nas sesses de clculo mental quer nas restantes aulas de Matemtica.

Diferentes representaes de um nmero racional. Uma das estratgias mais

usadas pelos alunos foi a mudana de representao, uma estratgia reconhecidamente

importante no clculo mental com nmeros racionais (Caney & Watson, 2003). No

clculo mental com fraes, numa fase inicial, os alunos usaram sobretudo estratgias

instrumentais aplicando regras memorizadas, como fizeram Diogo e Ins (tabela 1). A

partir da tarefa 3, onde surgem as representaes decimal e fracionria em simultneo,

os alunos comeam a usar mais a mudana de representao. Na tabela 1, as estratgias

dos alunos mostram-nos que: Tiago prefere adicionar nmeros racionais na

representao decimal, mudando a representao e considerando o decimal referente a

10/100; Mrcia usa em vez de 0,5; Daniela, para calcular 75%, em vez de multiplicar

por 0,75, divide por 4, mostrando saber que falta a 75% para ter o todo; Beatriz, na

multiplicao de uma frao por um decimal, usa em vez de 0,25; e Joo, para

calcular 0,2 de 10, calcula 20%.

Na tabela 2, as estratgias de clculo mental dos alunos em problemas

envolvendo vrias representaes mostram igualmente o uso da mudana de

representao. Beatriz pensa em como sendo 0,5 e Letcia calcula 20% multiplicando

por 1/5. Os alunos usaram mais a mudana de representao de decimal ou percentagem

para frao principalmente quando a operao envolvida a multiplicao ou diviso de

nmeros racionais.

Estratgias de clculo mental e aspetos da aprendizagem dos nmeros

racionais. Para promoverem o desenvolvimento de estratgias de clculo mental, as

tarefas devem incentivar o uso dessas mesmas estratgias por parte dos alunos, como,

por exemplo, a mudana de representao, o recurso a equivalncias e relaes

numricas ou a construo de estratgias atravs de discusses coletivas.

Relativamente a aspetos da aprendizagem dos nmeros racionais, o uso de

nmeros de referncia facilita a construo das estratgias referidas anteriormente, bem

como nmeros mltiplos de nmeros de referncia. O conhecimento acerca dos

possveis erros dos alunos igualmente importante para que o professor os possa

15

identificar, discutir e clarificar. Para tal, as tarefas devem potenciar o aparecimento

desses erros caso a aprendizagem dos alunos acerca dos nmeros racionais seja pouco

consistente. Nas tabelas 3 e 4 apresentamos algumas das estratgias erradas dos alunos

para operar com nmeros racionais.

A primeira tarefa envolve fraes que representam metade ou equivalente, uma

vez que operar com metades um nvel bsico de clculo mental (Callingham &

Watson, 2004). Inicialmente, os alunos recorreram regra do algoritmo, como fez

Diogo (tabela 1), mas, posteriormente, reconhecem fraes equivalentes a metade e

usam este conhecimento como um facto numrico conhecido abandonando a aplicao

da regra memorizada.

Privilegimos o uso de nmeros de referncia (e.g., tarefas 2, 3 e 6 da tabela 1)

potenciando assim a mudana de representao, a estratgia mais usada pelos alunos no

clculo mental e contribuindo para a compreenso das quantidades representadas pelos

nmeros racionais. Na representao decimal usmos apenas dcimas e centsimas para

facilitar a mudana de representao para percentagem.

Para potenciar o uso de equivalncias, usmos nmeros mltiplos de 5 e 10 ou

nmeros racionais na representao decimal que, caso fossem operados como nmeros

naturais pudessem ser pares ou divisveis por 5 (e.g., tarefa 8 da tabela 1 e tarefa 3 da

tabela 2). disto exemplo a estratgia de Diogo (tarefa 7 da tabela 1), que analisa a

relao entre a percentagem e o valor correspondente 5/10% e percebe que 5 metade

de 10, logo a relao ?/100 teria de se manter para que as razes fossem equivalentes.

Tambm Beatriz (tarefa 7 da tabela 2), para resolver o problema, baseia-se na

equivalncia: se para ter a unidade necessita de 0,52, para ter o nmero total de baldes,

necessita de 22,52.

Na diviso de fraes, para promover o uso de outras estratgias para alm da

regra de inverte e multiplica propusemos a diviso de duas fraes em que os

denominadores so iguais ou um mltiplo do outro (tarefa 2 tabela 3). Incentivmos o

desenvolvimento de relaes numricas, recorrendo, em tarefas diferentes ou na mesma

tarefa em momentos diferentes, a operaes onde se verificam relaes numricas. Por

exemplo colocmos na tarefa 1 a questo

e na mesma tarefa, na segunda parte, a

questo

+ __ =

. Na tabela 1, para resolver a questo

__ =

da tarefa 2, Ins

refere que: Como sei que

d

pus logo

revelando compreender e usar a relao

entre a diviso e a multiplicao para calcular o valor em falta na diviso.

16

Tabela 3. Erros dos alunos em tarefas com exerccios.

Tarefa Questo Resposta dos alunos Erro

Frao

1 1

2+2

4

A mim deu-me 3/4. Deixei o 4 em baixo e somei os numeradores (Toms) Eu apliquei a lei do corte e depois deu-me 2/4 (Gabriel)

Opera com numeradores e mantem denominadores Aplica uma regra memorizada para a multiplicao de fraes

2 4

62

6

A mim deu-me 2/6. Como os numeradores... os denominadores eram iguais fiz s 4:2 (Daniela)

Aplica diviso as regras do algoritmo de adio de fraes

Decimal

4 __-4,3=0,5 Deu-me 3 unidades e oito dcimas.() Ao 3 tirei 8 (Lus)

Aplica uma propriedade da operao (o aditivo igual soma do subtrativo com o resto) mas apenas na parte decimal.

5 0,60,30 A mim deu-me 18 dcimas () Eu fiz logo 63 que d 18, ento juntei o zero e depois pus a vrgula (Letcia)

Opera com decimais mas no considera o valor posicional dos algarismos

Percentagem

7 90% de 30 Deu-me 3. Fiz 90:3 que me deu 30 (David)

Tenta encontrar uma relao entre os nmeros que visualiza esquecendo que a percentagem atua como um operador

Vrias representaes

3 2,4 1

2

Deu-me 1,2. Ento fiz 2,4 a dividir por um meio. Primeiro dividi o 2 por 1/2 que me deu 1 e depois dividir 4 por 1/2 e deu-me um... e pus 1,2... deu-me 2 (Mrcia)

Usa a diviso por como sendo equivalente a dividir por 2.

Nas operaes com nmeros racionais representeados por fraes frequente os

alunos operarem com numeradores e denominadores como se fossem nmeros naturais,

ignorando a significado de uma frao. Para verificar a existncia deste erro, ou a

aplicao desadequada de regras memorizadas numa dada operao, as tarefas

contemplam, por exemplo, a adio/subtrao de fraes com denominadores diferentes

(tarefa 1, tabela 3) ou a diviso de fraes com o mesmo denominador (tarefa 2, tabela

3). Assim, Toms adicionou os numeradores, escolhendo o maior denominador para a

frao resultante, Gabriel aplicou na adio de fraes uma regra que usa na

17

multiplicao de uma frao pela sua inversa e Daniela aplicou um procedimento na

diviso de fraes semelhante ao da adio, operando com os numeradores e mantendo

os denominadores uma vez que estes eram iguais.

Nas operaes com nmeros racionais na representao decimal, um erro

frequente dos alunos operar sem considerarem o valor posicional dos algarismos como

fez Letcia (tarefa 5 da tabela 3) ou cometer erros na aplicao das propriedades das

operaes como fez Lus, que aplica uma propriedade da subtrao, mas s a aplica

parte decimal subtraindo a parte inteira. Na realidade, Lus adiciona a parte decimal e

subtrai a parte decimal quando no existe valor a transportar. Nas quatro operaes, mas

principalmente na multiplicao e diviso, alguns dos erros poderiam ser eliminados

caso os alunos revelassem sentido de operao e sentido crtico perante o resultado. No

caso de Mrcia (tarefa 3, da tabela 3), a aluna verbaliza que deve dividir por um meio

mas o que faz na realidade dividir por 2. Caso tivesse sentido de operao perceberia

que o resultado obtido no era possvel uma vez que ao dividir por um nmero racional

o quociente no diminui, ao contrrio do que acontece quando se divide por um nmero

natural.

Tabela 4. Erros dos alunos em tarefas com problemas.

Tarefa Problema Resposta dos alunos Erro

Vrias representaes

3

O Joo desenhou, numa folha de papel, a distncia de sua casa escola atravs de um segmento de 1,5 cm. Sabendo que a escala que

usou foi de 1:2000, qual a

distncia real de casa

escola?

A mim deu-me 1500.Mas esta eu acho que... se 1 2000 e se ns queriamos um meio[1,5]... um e meio fiz 2000 menos... eu n sei explicar. Que dava 1500 (Ins)

Erro de procedimento em que confunde 1,5 com 1500.

6 A Rita construiu um cubo em que a rea da base era 0,36 m2.

Qual a medida do lado?

Deu-me 9 centsimas porque um cubo e 36 a dividir por 4 que era 9 (Tiago)

Estratgia baseada no permetro quando o conceito envolvido era rea.

No clculo de percentagem um erro comum operar com os valores dados no

exerccio ou problema ignorando o significado do sinal de %, como fez David (tarefa 7

da tabela 3). O aluno assume que o resultado 3 pois tentou encontrar um valor que

18

operado com 90 desse 30. No clculo de 5% de __ = 3, a maioria dos alunos responde

15, pois multiplica 3 por 5. Este tipo de erros reala a necessidade de continuar a

desenvolver nos alunos o sentido crtico e a capacidade de estimar e avaliar a

razoabilidade de um resultado, sendo a discusso na sala de aula fundamental para

atingir este objetivo.

Nos problemas, a interpretao do enunciado fundamental para que o aluno

consiga seguir uma estratgia que o conduza ao resultado certo. A incluso de pequenos

problemas teve o objetivo de reforar a importncia da interpretao e de contextualizar

expresses iguais ou semelhantes s utilizadas nos exerccios. Os erros dos alunos nos

problemas revelam no s dificuldades de interpretao, como foi o caso de Ins (tarefa

3 da tabela 4), que possivelmente associou 1,5 a 1500, mas tambm erros concetuais

como Tiago que revelou alguma confuso entre o conceito envolvido no problema

(rea) e o conceito que revelou usar na sua resposta (permetro)

Nvel cognitivo das tarefas. Propor exerccios (tabela 1) e problemas (tabela 2)

de clculo mental envolve desafios diferentes para os alunos. Num exerccio a operao

j est explicita e s necessrio efetuar o clculo, enquanto um problema requer uma

interpretao da situao e escolha da operao adequada sua resoluo. Como

exerccios propusemos expresses que os alunos devem calcular e indicar o resultado

(e.g., tarefas 1, 3, 5, 6 e 8 da tabela 1), mas tambm expresses onde devem calcular o

valor em falta dado um determinado resultado (e.g., tarefas 2, 4 e 7 da tabela 1).

de notar que tarefas com nveis cognitivos diferentes requerem por parte dos

alunos raciocnios e estratgias com nveis de exigncias diferentes. Para calcular

+

,

Diogo (tarefa 1 da tabela 1), apenas teve de aplicar uma regra conhecida, mas para

calcular 10% de __=5 (tarefa 7 da tabela 1) o mesmo aluno teve de recorrer a

equivalncias.

No mbito das percentagens, seguindo Parker e Leinhardt (1995), propusemos

trs tipos de exerccios: a aplicao de uma percentagem (e.g., 75% de 80) que envolve

a multiplicao de um nmero natural por um decimal ou uma estratgia mais complexa

envolvendo a relao parte-todo e a mudana de representao, como fez Daniela

(tabela 1), ou a mudana de representao, como fez Letcia (tabela 2); o clculo do

valor sobre o qual aplicamos uma percentagem (e.g., 10% de __=5) que levou Diogo

(tabela 1) a usar equivalncias; e o clculo da percentagem aplicada a um valor (e.g.,

__% de 30=0,3) que permitiu a Joo mostrar algum pensamento algbrico ao

19

generalizar um procedimento que envolve a multiplicao de nmeros racionais:

assim, 10% de 30 3 e 10% de 3 0.3. 10% de 10% 1% () 10% de 10% de 30. A

stora no diz metade de metade !. Este aluno mostra uma estratgia intuitiva, com

um argumento baseado num facto que conhece metade de metade em que aplica

um operador a outro operador.

Consideramos que a opo por tarefas de nveis cognitivos diferentes foi bem-

sucedida, dada a variedade de estratgias que proporcionou. De forma crescente os

alunos foram partilhando estratgias mais complexas comeando pela aplicao de

regras memorizadas e terminado em raciocnios que envolvem pensamento algbrico.

Concluso

A anlise da adequao das tarefas de clculo mental com nmeros racionais,

luz das estratgias e erros revelados pelos alunos, reforou a nossa convico de que a

construo de tarefas deve basear-se em princpios orientadores alinhados com o

objetivo pretendido. O nosso objetivo era promover o desenvolvimento de estratgias de

clculo mental e clarificao de erros dos alunos no trabalho com nmeros racionais, e

o momento de fazer o balano sobre os quatro princpios considerados para a criao

das tarefas.

O uso de dois contextos diferentes (exerccios e problemas) mostrou que nos

problemas os alunos usam mais estratgias concetuais do que instrumentais e que nos

exerccios os alunos comeam por usar estratgias instrumentais evoluindo para

estratgias concetuais. Estes dois contextos complementam-se e ajudam os alunos a

compreender como que as representaes simblicas dos nmeros racionais e suas

operaes podem modelar situaes do dia-a-dia, contribuindo para a construo do

sentido de nmero e de operao dos alunos. Esta complementaridade revela-se

portanto adequada, podendo ser reforado o uso de problemas com o intuito de

melhorar a capacidade de interpretao, onde os alunos mostraram muitas dificuldades,

e a relao entre conhecimentos que os alunos possuem sobre nmeros e operaes

tanto em contextos matemticos como em problemas.

O uso gradual e sistemtico de diferentes representaes dos nmeros racionais

ao longo da experincia de ensino fez emergir a mudana de representao como uma

estratgia potente no clculo mental com nmeros racionais e promoveu a evoluo de

estratgias instrumentais para estratgias mais concetuais. A mudana da representao

20

decimal para frao e de percentagem para frao foi uma das estratgias mais usadas

pelos alunos. Considerar o uso de diferentes representaes como um princpio

orientador na construo das tarefas permitiu aos alunos desenvolverem flexibilidade no

uso das representaes fracionria, decimal e percentagem qualquer que fosse a

operao a realizar.

Assumir o contributo da investigao sobre o clculo mental e os nmeros

racionais como princpio orientador para a construo das tarefas, reforou a eficcia e

adequao dos outros trs princpios. O uso de nmeros de referncia apoiou a mudana

de representao enquanto estratgia de clculo mental com nmeros racionais, o uso de

nmeros mltiplos de nmeros de referncia, de operaes diferentes onde se verificam

relaes numricas e tarefas de nveis cognitivos diferentes potenciou o recurso a

equivalncias e relaes numricas. O conhecimento dos erros comuns dos alunos no

trabalho com nmeros racionais em cada uma das representaes fez-nos prever o

aparecimento desses erros para que pudessem ser discutidos e clarificados.

A variao do nvel cognitivo das tarefas permite aos alunos desenvolverem

estratgias pessoais cada vez mais complexas. Alunos que usam estratgias

instrumentais no clculo do resultado de uma expresso, ao ser-lhe apresentada uma

expresso em que tm de calcular um valor em falta que torna a igualdade verdadeira

usam estratgias concetuais. Alguns alunos, neste ltimo tipo de tarefa, revelam aspetos

notveis de pensamento algbrico reforando a tese de que tarefas com caractersticas

diferentes podem levar os alunos a desenvolverem modos de raciocnio diferentes

(Henningsen & Stein, 1997).

Como reflexo final, consideramos que os princpios orientadores seguidos na

construo das tarefas revelaram-se adequados e que as tarefas contriburam para

desenvolver as estratgias de clculo mental dos alunos e para detetar e discutir os seus

erros. Diferentes contextos fizeram emergir estratgias diferentes, diferentes

representaes permitiram aos alunos ser flexveis nas suas estratgias e o uso de tarefas

com nveis cognitivos diferentes e contemplando aspetos da aprendizagem do clculo

mental e dos nmeros racionais promoveram o aparecimento de estratgias cada vez

mais concetuais ao longo da experincia de ensino. Gradualmente, os alunos foram

usando estratgias cada vez mais diversificadas e flexveis e reduzindo o nmero de

erros cometidos. Desenvolver o clculo mental dos alunos de forma intencional e

integrada com tarefas pensadas com um propsito especfico, como apresentmos,

21

permite rever e consolidar aprendizagens relacionadas com nmeros e operaes e

tambm com lgebra, Geometria e Estatstica.

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22

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