Cardinalidade de Conjuntos: Conjuntos finitos, infinitos, enumeráveis e não-enumeráveis

Ana Maria Luz F. AmaralMatemática Discreta 2011.2

George Cantor (1845-1918)

Matemático alemão George Cantor (1845-1918) é oinventor da moderna Teoria dos Conjuntos e doschamados Números Transfinitos. Através do seu hoje famoso Método da Diagonal pode-se demonstrar um fato até então impensável: que existem infinitos maiores do que outros!

Os conceitos matemáticos inovadores propostos por Cantor enfrentaram uma resistência significativa por parte da comunidade matemática da época. Os matemáticos modernos, por seu lado, aceitam plenamente o trabalho desenvolvido por Cantor na sua teoria dos conjuntos, reconhecendo-a como uma mudança de paradigma da maior importância.

•“Deus criou os números naturais. O resto é obra dos homens.” Leopold Kronecker (1823-1891)•“ A teoria dos conjuntos de Cantor é uma moléstia, uma doença perversa, da qual algum dia, os matemáticos estarão curados.” Henri Poincaré(1854-1912)•“Ninguém nos expulsará do paraíso que Georg Cantor abriu para nós” David Hilbert (1862-1943)

Sumário

Cardinalidade de Conjuntos: Conjuntos finitos e infinitos Conjuntos enumeráveis e não-

enumeráveis (Hotel de Hilbert e Método da Diagonal de Cantor)

Cardinalidade de ConjuntosScheinerman: “ O número de elementos em um conjunto A se denota

por |A|. A cardinalidade de A nada mais é do que o número de objetos no conjunto.

Diz-se que o conjunto é finito se sua cardinalidade é um inteiro. Em caso contrário, dizemos que o conjunto é infinito”

Exemplos: Se A={1,2,3}, |A|=3

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Conjuntos finitos e infinitosP. Menezes:Cardinalidade é definida usando funções bijetoras.A cardinalidade de um conjunto A é: Finita: se existe uma bijeção entre A e o conjunto

{1,2,3,..., n} para algum n pertencente aos Naturais: |A|=n.

Infinita: se existe uma bijeção entre A e um subconjunto próprio de A.

Portanto, um conjunto A é um: conjunto finito (possui cardinalidade finita) se for

possível representá-lo por extensão Conjunto infinito se for possível retirar alguns elementos

de A e, mesmo assim, estabelecer uma bijeção com A.

Ex: O conj. dos Naturais é infinito

Conjuntos enumeráveis e não- enumeráveisUm conjunto A é dito: Enumerável: quando é finito ou quando existe uma

bijeção f: N →A. Neste caso f chama-se enumeração dos elementos de A. Escrevendo-se f(1)=a1, f(2)=a2,..., f(n)=an,... Tem-se então A={a1,a2,...,an,...}

Não-enumerável: caso contrário

Conjuntos enumeráveis e não- enumeráveis

Exemplo: Hotel de Hilbert

Veremos um vídeo que mostra o gerente do Hotel Hilbert, que possui infinitos quartos, tratando o problema de acomodar novos hóspedes quando o hotel já tem infinitos hóspedes. Cada hóspede em um quarto.

Observe que o gerente fala que o hotel está lotado, no sentido de que há infinitos hóspedes, mas não no sentido de que não caiba mais hóspedes.

Hotel de Hilbert: vídeo da Equipe M3 da UNICAMP (aproxidamente 10 min).

Exemplo: Hotel de HilbertNum primeiro momento um novo hóspede chega e gostaria de se

acomodar no hotel. Se o hotel tivesse apenas um número finito de quartos, então é claro que o requerimento não poderia ser cumprido, mas como o hotel possui um número infinito de quartos então se movermos o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 para o quarto 3 e assim por diante, movendo o hóspede do quarto N para o quarto N+1, podemos acomodar o novo hóspede no quarto 1, que agora está vago. Por um argumento análogo é possível alocar um número infinito (enumerável) de novos clientes (um ônibus com infinitos passageiros): apenas mova o hóspede do quarto 1 para o quarto 2, o hóspede do quarto 2 para o quarto 4, e em geral do quarto N para o quarto 2N, assim todos os quartos de número ímpar estarão livres para os novos hóspedes.

Então, um desafio ainda maior se apresenta ao gerente do HotelHilbert: acomodar os passageiros de uma excursão com infinitosônibus cada um com infinitos passageiros. O gerente resolve esteproblema realocando seus hóspedes - desta vez, um hóspede queesteja no quarto n deverá se mudar para o quarto 2n . O gerente

dispõede infinitas vagas novamente. Depois, o gerente associa a cada ônibusum número primo diferente de dois. Então, ele acomoda ospassageiros segundo a seguinte regra: o passageiro que está nacadeira n do ônibus p ocupará o quarto de número pn

Exemplo: Hotel de Hilbert

Exemplo: Hotel de Hilbert

Se chegasse um grupo infinito de hóspedes ao Hotel de Hilbert, contendo um novo hóspede para cada numero real, o gerente poderia hospedá-los?

Não, a seguir veremos o por quê? Observe que em todas as situações acima

sempre conseguimos enumerar a quantidade de hóspedes e os quartos do Hotel, ou seja, é possível construir uma bijeção entre N e a quantidade de hóspedes e uma bijeção entre N o número de quartos

Um conjunto “maior” que o dos números Naturais

Para comparar a “quantidade” de elementos de dois conjuntos

infinitos, devemos verificar se existe alguma função bijetora entre eles.

Caso exista, dizemos que estes conjuntos têm a mesma cardinalidade.

Até agora, o conjunto N dos números naturais foi o único que

abordamos, porém existem outros conjuntos infinitos queconhecemos, como o conjunto R, dos números reais, e

que diferem significativamente do conjunto dos números naturais. De fato, o conjunto dos números reais possui uma cardinalidade maior do que a dos números naturais e, portanto é “maior” do que ele.

Método da diagonal de Cantor

Quando se tinha conjuntos infinitos enumeráveis de hóspedes para se hospedar no Hotel de Hilbert, sempre se conseguia reorganizar os hóspedes, mas no momento que você tem uma quantidade infinita não-enumerável (números Reais) surge um problema, afinal existem infinitos “maiores” que outros.

Veremos a seguir um vídeo que mostra a conversa do matemático George Cantor com seu amigo Lukas Zweig (lingüista). Cantor muito animado com sua nova descoberta explica ao amigo o seu hoje famoso Método da Diagonal para demonstrar que o conjunto dos números Reais é não enumerável. O vídeo apresenta o argumento de Cantor como uma aplicação do método de prova de teoremas em matemática chamado Método de Redução ao Absurdo inventado pelos antigos matemáticos gregos.

Os infinitos de Cantor: vídeo da Equipe M3 da UNICAMP (aproxidamente 14 min).

No caso do Hotel de Hilbert...

No caso do Hotel de Hilbert...

O conjunto dos números Reais é não-enumerável

Como Cantor disse no vídeo: Dois conjuntos tem a mesma cardinalidade se é possível construir uma bijeção entre eles.

P. Menezes chama estes conjuntos de equipotentes e mostra (Teorema 7.5) que é possível construir uma bijeção entre R e

S={x pertencente a R;0<x<1}, isto é, O conjunto R é não-enumerável.

Exercício: Mostre que o conjunto dos Irracionais é não-enumarável

Exercícos Exercícios de 7.1 a 7.9 do Paulo B.

Menezes, Matemática Discreta para Computação e Informática, 2a. edição, Sagra Luzzatto / Instituto de Informática da UFRGS, Porto Alegre, 2006.

Exercícios Seção 3.1 do 75 ao 84 do J.L. Gersting, Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. 5ª edição, LTC Editora, Rio de Janeiro (2001).

Referências Paulo B. Menezes, Matemática Discreta para Computação e

Informática, 2a. edição, Sagra Luzzatto / Instituto de Informática da UFRGS, Porto Alegre, 2006. Capítulo 7.

J.L. Gersting, Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. 5ª edição, LTC Editora, Rio de Janeiro (2001). P. 139-142

E. R. Scheinerman, Matemática Discreta, Thomson, São Paulo, 2006. p.50

Renata de Freitas, Petrucio Viana. Hotel de Hilbert. Disponível em: http://www.uff.br/grupodelogica/hotel_hilbert_slides.pdf

Hotel de Hilbert, vídeo da Equipe M3 da UNICAMP (aproxidamente 10 min). Disponível em: http://youtu.be/pjOVHzy_DVU

Os infinitos de Cantor, vídeo da Equipe M3 da UNICAMP (aproxidamente 14 min). Disponível em: http://m3.ime.unicamp.br/portal/Midias/Videos/VideosM3Matematica/MatematicanaEscola/InfinitosdeCantor/