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1

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Terceira Edição

Ferdinand P. Beer

E. Russell Johnston, Jr.

John T. DeWolf

Apontamentos teóricos:

J. Walt Oler

Texas Tech University

CAPÍTULO

© 2002 The McGraw-Hill Companies, Inc. Todos os direitos reservados.

3 Torção


MECÂNICA DOS MATERIAIST

erceiraE

dição

Beer • Johnston • DeWolf

3 - 2

Torção

Cargas Torsionais em Veios Circulares

Momento Torsor Resultante devido às

Tensões Internas

Componentes Tangenciais da Tensão

segundo o Eixo

Deformações de Veios

Distorção

Tensões no Domínio Elástico

Tensões Normais

Modos Torsionais de Falha

Problema Resolvido 3.1

Ângulo de Torção no Domínio Elástico

Veios Estaticamente Indeterminados


Dimensionamento de Veios de

Transmissão

Concentração de Tensões

Torção de Barras Não Circulares

Veios Ocos de Paredes Finas

Exemplo 3.10

2



Terceira

Ed

ição


3 - 3

Cargas Torsionais em Veios Circulares

• Estamos interessados nas tensões e deformações de veios circularessujeitos a momentos torsores

• O gerador cria um momentoequivalente mas oposto T’

• O veio transmite este momento torsorao gerador

• A turbina exerce um momento torsorT sobre o veio



erceiraE

dição


3 - 4

Momento Torsor Resultante devido às Tensões Internas

( )T dF dAρ ρ τ= =∫ ∫

• A resultante das tensões tangenciais internas é o momento torsor interno, equivalente e oposto ao aplicado,

• Ainda que o momento torsor resultante dastensões tangenciais seja conhecido, a distribuição de tensões não o é.

• Ao contrário do que se verifica relativamente àtensão normal devida a cargas axiais, não se podeassumir que a distribuição da tensão tangencialdevida a um momento flector seja uniforme.

• A distribuição de tensões tangenciais é estaticamente indeterminada, pelo que é necessário considerar as deformações.

3



Terceira

Ed

ição


3 - 5

Componentes Tangenciais da Tensão segundo o Eixo

• Um momento torsor aplicado ao veioprovoca tensões tangenciais nas faces perpendiculares ao seu eixo longitudinal.

• A existência de componentes tangenciais de tensão segundo o eixo demonstra-se considerando um veio feito de tiras orientadassegundo o eixo (axiais).

As tiras deslizam em relação umas às outrasquando se aplicam momentos torsoresequivalentes mas de sentido oposto àsextremidades do veio.

• As condições de equilíbrio são satisfeitas com a existência de tensões equivalentes nas faces dos dois planos contendo o eixo do veio.



erceiraE

dição


3 - 6

• A partir de observações, verifica-se que o ângulo de torção do veio é proporcional aomomento torsor e ao comprimento do veio.

T

L

φ

φ

∝∝

Deformações de Veios

• Quando sujeita a torção, toda e qualquer secçãotransversal dum veio circular permanece planae não distorcida.

• Já as secções transversais de veios não-circulares (não-axissimétricos) distorcem-se quando sujeitas à torção.

• As secções transversais de veios circularestanto ocos como maciços permanecem planas e indistorcidas porque estes são axissimétricos.

4



Terceira

Ed

ição


3 - 7

Distorção

• Considere-se uma secção interior de um veio. Com a aplicação de uma carga torsional, um elemento do cilindro interior deforma-se num paralelepípedo oblíquo.

• A distorção é proporcional ao ângulo de torção e aoraio

max max and c

L c

φ ργ γ γ= =

or LL

ρφγ ρφ γ= =

• Então

• Já que as extremidades do elementopermanecem planas, a distorção é igual aoângulo de torção do elemento.



erceiraE

dição


3 - 8

Tensões no Domínio Elástico

2max maxT dA dA Jc c

τ τρτ ρ= = =∫ ∫

• Recordando que a soma dos momentos devidosà distribuição das tensões internas é igual aomomento torsor no veio nessa secção,

412J cπ=

( )4 412 12J c cπ= −

max e Tc T

J J

ρτ τ= =

• Os resultados são conhecidos como as fórmulas da torção elástica,

• Multiplicando a equação anterior pelomódulo de distorção,

maxG Gc

ργ γ=

maxc

ρτ τ=

Da Lei de Hooke, Gτ γ= , e

A tensão tangencial varia linearmente com a posição radial na secção.

5



Terceira

Ed

ição


3 - 9

Tensões Normais• Os elementos com faces paralelas e

perpendiculares ao eixo do veio estão apenassujeitos a tensões tangenciais. Para outrasorientações podem-se encontrar tensõesnormais ou tangenciais ou uma combinaçãodas duas.

( )

o

max 0 max 0

max 0max45

0

2 cos45 2

2

2

F A A

AF

A A

τ τ

τσ τ

= =

= = =

• Considere um elemento a 45o com o eixo do veio,

• O elemento a está em corte puro.

• Note-se que todas as tensões para os elementosa e c têm a mesma magnitude

• O elemento c está sujeito a tensão normal de tracção em duas faces e a tensão normal de compressão nas outras duas.



erceiraE

dição


3 - 10

Modos Torsionais de Falha

• Os materiais dúcteis colapsam, de forma geral, ao corte. Os materiaisfrágeis resistem melhor ao corte do que à tensão normal.

• Quando sujeito a torção, um provetede material dúctil parte-se ao longodum plano de corte máximo, i.e., um plano perpendicular ao eixo do veio.

• Quando sujeito a torção, um provetede material frágil quebra ao longo de planos perpendiculares à direcçãoem que a tensão normal é máxima, i.e., ao longo de superfíciesinclinadas de 45o em relação ao eixodo veio.

6



Terceira

Ed

ição


3 - 11

O veio BC é oco com diâmetros interior e exterior de respectivamente 90 mm e 120 mm. Os veios AB e CD são maciços e de diâmetro d. Para o carregamentorepresentado, determine (a) a tensãotangencial máxima e mínima no veio BC, (b) o diâmetro d dos veios AB e CDcompatível com a tensão tangencialadmissível de 65 MPa para estes veios.


RESOLUÇÃO:

• Trace secções cortando os veiosAB e BC e faça uma análise de equilíbrio estático para encontraros carregamentos de torção

• Considerando a tensão tangencialadmissível e os momentos torsoresaplicados, inverta a fórmula datorção elástica para determinar o diâmetro d dos veios AB e CD.

• Aplique as fórmulas da torçãoelástica para calcular as tensõestangenciais mínima e máxima no veio BC



erceiraE

dição


3 - 12

RESOLUÇÃO:

• Trace secções cortando os veios AB e BC e faça uma análise de equilíbrio estático para encontrar os carregamentos de torção

( )0 6kN m

6kN m

x AB

AB CD

M T

T T

= = ⋅ −

= ⋅ =∑ ( ) ( )0 6kN m 14kN m

20kN m

x BC

BC

M T

T

= = ⋅ + ⋅ −

= ⋅∑

7



Terceira

Ed

ição


3 - 13

• Aplique as fórmulas da torção elástica para calcular as tensões tangenciais max. e min. em BC

( ) ( ) ( )4 44 42 1

6 4

0.060 0.0452 2

13.92 10 m

J c cπ π

−

= − = −

= ×

( )( )2max 2 6 4

20kN m 0.060m

13.92 10 m86.2MPa

BCT c

Jτ τ −

⋅= = =

×=

min 1 min

max 2

min

45mm

86.2MPa 60mm

64.7MPa

c

c

τ τ

τ

τ

= =

=max

min

86.2MPa

64.7MPa

τ

τ

=

=

• Considerando a tensão tangencial admissível e os momentos torsoresaplicados, determinar o diâmetro d

max 4 32 2

3

6kN m65

38.9 10 m

Tc TcMPa

J c c

c

π πτ

−

⋅= = =

= ×

2 77.8mmd c= =




erceiraE

dição


3 - 14

Ângulo de Torção no Domínio Elástico• Recordando que o ângulo de torção e a distorção

máxima estão relacionados,

max

c

L

φγ =

• No domínio elástico, a distorção e tensãotangencial estão relacionadas pela Lei de Hooke,

maxmax

Tc

G JG

τγ = =

• Igualando as expressões da distorção máxima e resolvendo em relação ao ângulo de torção,

TL

JGφ=

• Se houver variação ao longo do comprimento do veio do carregamento torsional ou da secçãotransversal, o ângulo de torção obtém-se do somatório das rotações dos segmentos do veio

i i

i i i

T L

J Gφ=∑

8



Terceira

Ed

ição


3 - 15

• Dadas as dimensões do veio e o momento torsoraplicado, gostaríamos de determinar as reacçõestorsoras em A e B.

Veios Estaticamente Indeterminados

• De uma análise de corpo livre do veio,

o que não é suficiente para determinar os momentostorsores nas extremidades: problema estat. indeter.

90lb ftA BT T+ = ⋅

1 2

2 1

90lb ftA A

L JT T

L J+ = ⋅

• Substituindo na equação de equilíbrio original,

1 2 1 21 2

1 2 2 1

0A BB A

T L T L L JT T

J G J G L Jφ φ φ= + = − = =

• Divida o veio em dois componentes que têmde ter deformações compatíveis,



erceiraE

dição


3 - 16


Dois veios maciços de aço estãoligados por rodas dentadas. Sabendoque para cada veio G = 11.2 x 106 psi e que a tensão tangencial admissível é 8 ksi, determine (a) o maior momentotorsor T0 que pode ser aplicado àextremidade do veio AB, (b) o ângulode rotação correspondente daextremidade A do veio AB.

RESOLUÇÃO:

• Aplique uma análise de equilíbrioestático aos dois veios para encontrara relação entre TCD e T0

• Determine o ângulo de torção paracada veio e a rotação angular total daextremidade A

• Determine o momento torsoradmissível em cada um dos veios –escolha o menor

• Aplique uma análise cinemática pararelacionar as rotações angulares dasrodas dentadas

9



Terceira

Ed

ição


3 - 17

RESOLUÇÃO:

• Aplique uma análise de equilíbrioestático aos dois veios para encontrara relação entre TCD e T0

( )( )

0

0

0 0.875in.

0 2.45in.

2.8

B

C CD

CD

M F T

M F T

T T

= = −

= = −

=

∑∑

• Aplique uma análise cinemática para relacionar as rotações angulares das rodas dentadas

2.45in.

0.875in.

2.8

B B C C

CB C C

B

B C

r r

r

r

φ φ

φ φ φ

φ φ

=

= =

=




erceiraE

dição


3 - 18

• Determine o momento torsoradmissível em cada um dos veios –escolha o menor

( )( )

( )( )

0max 4

2

0

0max 4

2

0

0.375in.8000

0.375in.

663lb in.

2.8 0.5in.8000

0.5in.

561lb in.

AB

AB

CD

CD

TT cpsi

J

T

TT cpsi

J

T

π

π

τ

τ

= =

= ⋅

= =

= ⋅0 561lb inT = ⋅

• Determine o ângulo de torção para cada veio e a rotação angular total da extremidade A

( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )

( )

/ 4 62

o

/ 4 62

o

o o

o o/

561lb in. 24 .

0.375in. 11.2 10 psi

0.387 rad 2.22

2.8 561lb in. 24 .

0.5in. 11.2 10 psi

0.514rad 2.95

2.8 2.8 2.95 8.26

8.26 2.22

ABA B

AB

CDC D

CD

B C

A B A B

inT L

J G

inT L

J G

π

π

φ

φ

φ φ

φ φ φ

⋅= =

×

= =

⋅= =

×

= =

= = =

= + = + o10.48Aφ =


10



Terceira

Ed

ição


3 - 19

Dimensionamento de Veios de Transmissão

• As principais especificações do desempenho de veios de transmissão são:

- potência- velocidade

• Determine o momento torsor aplicadoao veio para a potência e a velocidadeespecificadas,

2

2

P T fT

P PT

f

ω π

ω π

= =

= =

• Determine o momento de inércia polar da secção transversal que permite quenão se exceda a tensão tangencialadmissível,

( )

( ) ( )

max

3

max

4 42 1

2 2 max

veios maciços2

veios ocos2

Tc

J

J Tc

c

J Tc c

c c

τ

π

τ

π

τ

=

= =

= − =

• O projectista deve seleccionar o material do veio e a secçãotransversal que se adequem àsespecificações de desempenhosem ultrapassar a tensãotangencial admissível.



erceiraE

dição


3 - 20

Concentração de Tensões

• A derivação da fórmula da torção,

foi feita assumindo um veio circular de secção transversal uniforme carregadopor placas rígidas nas extremidades.

max

Tc

Jτ =

max

TcKJ

τ =

• Os factores de concentração de tensõesderivados numérica ou experimental-mente aplicam-se como

• O uso de acoplamentos de flange, rodasdentadas e polias ligadas aos veios atravésde chavetas em rasgos, e de descontinuidades da secção podem causar a concentração das tensões

11



Terceira

Ed

ição


3 - 21

Torção de Barras Não Circulares

• Para valores elevados de a/b, a tensãotangencial máxima e o ângulo de torçãopara outras geometrias de secção abertassão os mesmos que para uma barrarectangular.

max 2 31 2

T TL

c ab c ab Gτ φ= =

• Para secções rectangulares uniformes,

• As fórmulas de torção apresentadasanteriormente são válidas para veioscirculares ou axissimétricos

• As secções transversais planares de veiosnão-circulares não permanecem planas e a distribuição de tensão e distorção nãovaria linearmente



erceiraE

dição


3 - 22

Veios Ocos de Paredes Finas• Somando as forças na direcção de x em AB,

a tensão tangencial varia na razão inversa daespessura

( ) ( )0

fluxo de corte

x A A B B

A A B B

F t x t x

t t t q

τ τ

τ τ τ

= = ∆ − ∆

= = = = ∑

( ) ( )0

0

2

2 2

2

dM pdF p t ds q pds qdA

T dM qdA qA

T

tA

τ

τ

= = = =

= = =

=

∫ ∫� �

• O momento torsor no veio obtém-se do integral dos momentos devido à tensãotangencial

24

TL ds

A G tφ= ∫�

• Ângulo de torção (do Capítulo 11)

12



Terceira

Ed

ição


3 - 23

Exemplo 3.10

O tubo de alumínio extrudido de secçãorectangular tem um carregamento de torçãode 24 kip-in. Determine a tensão tangencialem cada uma das quatro paredes para (a) espessura de parede uniforme de 0.160 in. E espessura de parede de (b) 0.120 in. em AB e CD e 0.200 in. em CD e BD.

RESOLUÇÃO:

• Determine o fluxo de corte através dasparedes do tubo

• Determine a tensão tangencialcorrespondente para cada espessura de parede



erceiraE

dição


3 - 24

RESOLUÇÃO:

• Determine o fluxo de corte através das paredes do tubo

( )( )

( )

2

2

3.84in. 2.34in. 8.986in.

24kip-in. kip1.335

2 in.2 8.986in.

A

Tq

A

= =

= = =

• Determine a tensão tangencial correspondente para cada espessura de parede

com espessura de parede uniforme, 1.335kip in.

0.160in.

q

tτ = =

8.34ksiτ =

com espessura de parede variável

1.335kip in.

0.120in.AB ACτ τ= =

1.335kip in.

0.200in.BD CDτ τ= =

11.13ksiAB BCτ τ= =

6.68ksiBC CDτ τ= =

Exemplo 3.10

capÍtulo materiais - base de dados

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