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Capítulo – IV

ESTÁTICA DE FLUIDOS OU FLUIDOESTÁTICA

RESUMO

Neste capítulo serão vistas as noções básicas de equilíbrio de um fluido e qual é a

sua condição de repouso ou de movimento uniforme, o Teorema de Pascal e de Stevin. As

equações deduzidas neste capítulo serão úteis para o calculo de manômetro, barreiras

submersas, determinação do centro de pressão de corpos submersos, equilíbrio de

embarcações e corpos flutuantes. Elas também fornecerão subsídios técnicos para os cálculos

que se seguirão nos capítulos posteriores.

Palavras Chave: Gradiente de pressão, manômetros, equilíbrio, empuxo, centro de pressão

PACS números:

4. 1 – Objetivos do capítulo

i) Saber definir o gradiente de uma grandeza escalar, ii) entender o significado

físico e geométrico do operador gradiente, iii) saber escrever a equação básica do equilíbrio

para um fluido estático, iv) entender o principio de Pascal e reconhecer a equação de Stevin

aplicando-a a problemas em fluidostática, v) aplicar a equação de Stevin a problemas

envolvendo variação de pressão com a altitude, manômetros de pressão, empuxo, forças sobre

superfícies planas e curvas, equilíbrio de corpos submersos e flutuantes, distinguir os difertens

tipos de manômetros e de leitura de pressão.

4. 2 - Introdução

Consideremos um fluido em repouso ou em movimento retilíneo uniforme. Nosso

objetivo inicial é obter uma equação que nos permita determinar o campo de pressões no

interior da massa fluida. Para tanto, escolhemos um elemento diferencial de massa, dm, de

arestas dx, dy e dz, como mostra a Figura - 4. 1.

Figura - 4. 1. Elemento diferencial de volume de um fluido sob forças e pressão em todas as faces.

4.1.1- Gradiente de uma grandeza ou de um campo escalar

Vamos agora estudar um novo operador diferencial, o gradiente de uma grandeza.

Seu significado físico e suas diferentes representações nos diversos sistemas de coordenadas

conforme se encontra no Apêndices. Chamamos de gradiente ao operador diferencial que

relaciona campos vetoriais e escalares. Como conceito geométrico o gradiente de um escalar

transforma essse escalar em um vetor. Basicamente o gradiente é uma operação de derivada

na direção de máxima variação do campo escalar determinando um campo vetorial.

Uma forma específica de gradiente, muito útil na Mecânica dos Fluidos, é o

gradiente de pressão, que relaciona campos vetoriais e escalares de tal maneira que passamos

de uma distribuição de pressão, ∇P, (força superficial) para um campo vetorial f (força

volumétrica). Esta relação pode ser tomada como base a Figura - 4. 1. Para isso vamos agora

calcular a força superficial sobre as faces do cubo da Figura - 4. 1.

Usando-se uma expansão em Série de Taylor até a primeira ordem, a pressão nas

faces do cubo da Figura - 4. 1 pode ser calculado da seguinte forma:

A pressão na face frontal, de área ∆y∆z, do cubo

)( xxxP

PP FF −∂∂+= (4. 1)

ou

xxP

PPF ∆∂∂+=

21

(4. 2)

A pressão na face traseira, de área ∆y∆z, do cubo

)( xxxP

PP TT −∂∂+= (4. 3)

ou

xxP

PPT ∆∂∂+=

21

(4. 4)

A pressão na face esquerda, de área ∆x∆z do cubo, é dada por:

)( yyyP

PP LL −∂∂+= (4. 5)

ou

yyP

PPL ∆∂∂−=

21

(4. 6)

A pressão na face direita, de área ∆x∆z, do cubo

)( yyyP

PP RR −∂∂+= (4. 7)

ou

yyP

PPR ∆∂∂+=

21 (4. 8)

A pressão na face superior, de área ∆x∆y, do cubo

)( zzzP

PP SS −∂∂+= (4. 9)

ou

zzP

PPS ∆∂∂−=

21

(4. 10)

A pressão na face inferior, de área ∆x∆y, do cubo

)( zzZP

PP II −∂∂+= (4. 11)

ou

zyP

PPI ∆∂∂+=

21

(4. 12)

Calculado a força superficial resultante ao longo das três direções ortogonais

temos que:

zyPPyxPPzxPPF TFISRLS ∆∆−+∆∆−+∆∆−= )()()( (4. 13)

Substituindo as equações (4. 6), (4. 8), (4. 10), (4. 12), (4. 2), (4. 4) em (4. 13) temos:

kzyxzP

jzyxyP

izyxxP

FSˆ)(ˆ)(ˆ)( ∆∆∆

∂∂−∆∆∆

∂∂−∆∆∆

∂∂−=

(4. 14)

Logo

VkzP

jyP

ixP

FS ∆

∂∂+

∂∂+

∂∂−= ˆ)(ˆ)(ˆ)(

(4. 15)

Definindo-se o gradiente de p como sendo a força superficial por unidade de

volume, em um ponto:

kzP

jyP

ixP

p ˆˆˆ∂∂+

∂∂+

∂∂≡∇ (4. 16)

A equação (4. 15) fica:

VPFS ∆−∇=

(4. 17)

Será mostrado posteriormente que toda vez que houver um gradiente de uma

determinada grandeza intensiva, que não se anula, ocorre um fluxo da sua grandeza extensiva

correspondente.

4.1.2 – Derivada direcional e o significado físico do Vetor gradiente

Considere a derivada direcional do campo escalar, dada pela função P(x, y, z),

conforme mostra a Figura - 4. 2.

Figura - 4. 2. Derivada direcional na direção r e gradiente de um campo escalar

Esta derivada do campo escalar P na direção de um vetor r

é dado por:

rnPdrdP ˆ.ˆ∇−= (4. 18)

Como rn ˆ.ˆcos =θ temos:

θcosPdrdP ∇−= (4. 19)

sndo que 1cos ≤θ temos:

PdrdP ∇≤ (4. 20)

Portanto o módulo do gradiente corresponde está na direção de máxima variação

da derivada direcional, ou máxima variação do campo escalar.

4.1.3 - Equilíbrio de forças em um fluido estático - Teorema de Stevin-Pascal

Como só existem duas naturezas de forças que podem atuar sobre um fluido, isto é

as volumétricas e superficiais, logo para que haja um equilíbrio mecânico em um fluido

estático, as somatória das forcas volumétricas deve ser igual a somatória das forças

superficiais. Portanto, para que o fluido esteja em equilíbrio (repouso ou em movimento

uniforme) a somatória das forças superficiais deve ser igual a resultante das forças

volumétricas, temos que:

0=+ SV FF

(4. 21)

Substituindo (4. 17) em (4. 21) temos:

0=∆∇− VPFV

(4. 22)

Definindo a densidade volumétrica de força como sendo:

dVFd

f V

≡ (4. 23)

portanto no limite onde ∆V → 0 , temos que

0=∇− Pf

(4. 24)

Esta equação significa que, para um corpo, toda força aplicada na superfície (força

superficial), no caso de um fluido em equilíbrio, se transmite para o seu interior, isto é, para o

volume e vice-versa. Esta é uma equação muito geral utilizada em outros ramos da mecânica,

tais como, a mecânica da fratura a elastostática dos sólidos, etc.

4. 3 - Equações básicas da fluidoestática

A partir da conclusão geral da equação (4. 24) vamos calcular a variação de

pressão em um fluido devido a sua profundidade.

4.2.1 - Variação de pressão para um fluido em repouso

Vamos considerar o equilíbrio de forças presente em um fluido em repouso ou em

movimento uniforme. Portanto, para o caso de pressão apenas na direção vertical e f = ρg

temos que:

zP

P∂∂=∇ (4. 25)

Logo substituindo (4. 25) em (4. 24) temos:

0=∂∂−

zP

gρ (4. 26)

integrando entre dois pontos de pressão diferentes temos:

)( 1212 zzgPP −=− ρ (4. 27)

Para P1 = Pa (pressão atmosférica) com nível de energia potencial gravitacional

zero a nível do mar tem-se z1 = 0 e z2 = h. Portanto

ghPP a ρ+= (4. 28)

Esta equação é conhecida como equação de Stevin e será muito útil para resolver problemas

de equilíbrio de pressão e de corpos submersos.

4. 4 – Variação da pressão com a elevação (altitude) para um fluido estático compressível.

Voltando a equação diferencial (4. 26), relacionado pressão, peso específico

elevação, devemos admitir agora que γ = ρg é uma variável e é passível de efeitos de

compressibilidade. Devemos nos restringir ao gás perfeito (ou ideal), que é válido para o ar ou

a maioria de seus componentes para grandes faixas de temperatura e pressão. A equação de

estado, contendo v, ajuda-nos a avaliar a necessária variação funcional do peso específico, γ,

porque 1/v e γ são relacionadas por suas definições, que são respectivamente, a massa e o peso

de um corpo por unidade de volume do corpo. Assim, usando a unidade de massa

conveniente, temos para uma massa unitária que:

γ=gv1

(4. 29)

Se fosse usado a outra unidade para massa (por exemplo, lbm), a relação acima ficaria

γ=og

gv1

(4. 30)

e, como g e go podem ser considerados com os mesmos valores numéricos na maioria das

aplicações práticas de fluidos, freqüentemente achamos a relação 1/v = γ empregada em tais

circunstâncias. Devemos formular nossos resultados em termos de slugs (ou kgm) e fazer as

conversões apropriadas quando necessário durante a solução dos problemas.

Devemos calcular agora a relação entre pressão e elevação para dois casos, a

saber, o fluido isotérmico (temperatura constante) e o caso em que a temperatura do fluido

varia linearmente com a elevação. Estes ocorrem em certas regiões de nossa atmosfera.

Caso - 1. Gás perfeito isotérmico.

Para esse caso, a equação de estado PV = nRT indica que o produto PV é

constante. Assim, em qualquer posição no fluido podemos dizer,

cteVPPV == 11 (4. 31)

Onde cte é uma constante e o índice 1 indica dados conhecidos. Resolvendo para v na equação

cteg

Pg

P ==1

11 γγ

(4. 32)

Devemos admitir que a faixa de elevação é tão pequena que g pode ser considerado constante.

Assim

Cg

ctePP ===1

1

γγ (4. 33)

Usando a relação acima, podemos exprimir a equação diferencial básica (4. 26) da seguinte

forma:

CP

dzdP −= (4. 34)

Separando as variáveis e integrando de P1 a P e de z1 a z, temos:

−=z

z

P

P Cdz

PdP

1

2

1

(4. 35)

Efetuando a integração obtemos:

z

z

P

P Cz

P1

1ln −= (4. 36)

Substituindo os limites, a equação fica

)(1

ln 11

zzCP

P −−= (4. 37)

Da equação (4. 33), temos que P1/γ1 = C, e resolvendo para P, obtemos

−−= )(exp 1

11 zz

PPP

γ (4. 38)

Isso nos fornece a relação desejada entre elevação e pressão em termos das condições

conhecidas P1, γ1, na elevação z1. Se a referência (z = 0) é colocada na posição dos dados

fornecidos, então z1, na equação acima, pode ser considerada nula.

Caso – 2. A temperatura varia linearmente com a elevação.

A variação de temperatura para esse caso é dada por:

KzTT += 1 (4. 39)

Onde T1 é a temperatura na referência (z = 0) e K é uma constante. A fim de podermos

separar as variáveis da equação (4. 28), devemos resolver para γ da equação de estado e, além

disso, determinar dz pela equação (4. 39). Esses resultados são

RTPg=γ (4. 40)

e

KdT

dz = (4. 41)

Substituindo na equação (4. 28), obtemos, após reordenar os termos,

TdT

KRg

PdP −= (4. 42)

Para integrar essa equação, devemos conhecer como g varia com a temperatura ou com a

pressão, para este problema. Entretanto, devemos admitir outra vez que g seja constante.

Assim, integrando da referência (z = 0), onde P1, T1, etc. são conhecidas, temos:

KRg

TT

TT

KRg

PP /

11

1

lnlnln

== (4. 43)

Resolvendo para P e substituindo a temperatura T por T1 + Kz, encontramos para expressão

final.

KRg

KzTT

PP/

1

11

+= (4. 44)

Onde se deve observar que T1, deve ser em graus absolutos.

Ao concluir esta secção sobre fluidos compressíveis estáticos, devemos ressaltar

que se conhecemos a forma pela qual o peso específico varia, podemos usualmente separar as

variáveis na equação básica (4. 28) e integrá-la para obter uma equação algébrica entre

pressão e elevação.

4. 5 - Manometria

Na secção anterior, estudamos as leis de variação das pressões. Agora veremos a

Manometria, isto é, a medida das pressões.

4.3.1 - Atmosfera normal

De acordo com a experiência de Torricelli o valor da pressão atmosférica ao nível

do mar é:

mmHgcmkgfmkgfPa 760/033,1/10328 22 === (4. 45)

Esta atmosfera física ou atmosfera normal que equilibra uma coluna de mercúrio

com 760 mm de altura.

4.3.2 - Atmosfera técnica (metros de coluna de água MCA)

Para simplificar, é costume adotar

22 /1/000.10 cmkgfmkgfPa == (4. 46)

Que é chamada de atmosfera técnica

Se, em vez de mercúrio, Torricelli tivesse usado a água (γ = 1000 kgf/m3), o valor

da atmosfera técnica corresponderia a 10mca (10 metros de coluna de água):

mmHgAmca

cmkgfmkgfatmP

n

a

736968,010

/1/000.101 22

======

(4. 47)

4.3.3 - Atmosfera local

A pressão atmosférica diminui quando a altitude aumenta: a coluna de mercúrio

desce, aproximadamente 1mm para cada 15m de aumento de altitude. Para um ponto a 900m

de altitude, a atmosfera local será, de 900/15 = 60mmHg, logo

22 /951,0/513.9)60,076,0.(13590 cmkgfmkgfPa ==−= (4. 48)

Portanto, para uma altura qualquer tem-se:

)15

76,0(altitude

gP ma −= ρ (4. 49)

onde ρm é a densidade do mercúrio ou do liquido barométrico, g é aceleração da gravidade

local.

4.3.4 - Pressão efetiva e pressão absoluta

Na medição das pressões em diferentes pontos de um fluido em repouso, como os

pontos A e B mostrados na Figura - 4. 3, toma-se Pa (pressão atmosférica) como referência

ou origem das medidas. Cada uma das medições será a pressão efetiva no ponto.

Figura - 4. 3. Pressão em diferentes pontos de um fluido em repouso.

Essa pressão efetiva pode ser: positiva, quando for superior a Pa e negativa

quando for inferior a Pa (vácuo parcial), nula, quando for igual a Pa.

A pressão efetiva é igual a pressão manométrica. A pressão em um ponto também

pode ser medida a partir do zero absoluto (vácuo perfeito ou total) obtendo-se a pressão

absoluta que é sempre positiva. Para os pontos citados acima têm-se:

efAaA PPP += (4. 50)

e

efBaB PPP += (4. 51)

4.3.5 - Definições

i) Manômetro: é um instrumento usado para medir a pressão efetiva

ii) Vacuômetro: é um manômetro que indica as pressões efetivas negativas,

positivas e nulas

iii) Piezômetro: é a mais simples forma de um manômetro, mede somente

pressões em um líquido.

iv) Barômetro: mede o valor absoluto de pressão atmosférica.

v) Altímetro: é um barômetro construído especialmente para medir a altitude,

esses podem ser encontrados no painel de aeronaves medindo a altitude em relação ao nível

do mar.

4.3.6 - Classificação dos manômetros

Os manômetros se classificam em manômetro de líquidos e manômetros

metálicos.

i) Manômetros de líquidos: esses manômetros são tubos recurvados contendo

líquidos manométricos, conforme mostra a Figura - 4. 4.

Figura - 4. 4. Manômetro líquidos a) com uma extremidade em contato com a atmosfera b) com as duas extremidades em contato com a atmosfera.

ii) Manômetros metálicos: são aqueles que medem a pressão do fluido por meio

da deformação de um tubo metálico recurvado ou de um diafragma que cobre o recipiente

hermético do metal.

4.3.7 – Tipos de manômetros

i) Manômetro diferencial: é o manômetro de líquido utilizado para medir a

diferença de pressão entre dois pontos

ii) Micromanômetro: é o manômetro utilizado para medir pressões muito

pequenas, quando torna-se dificil e impreciso a leitura das alturas manométricas em tubos

verticais. Para uma melhor leitura, inclina-se o tubo manométrico sob um ângulo α com a

horizontal.

4. 6 – Forças sobre superfícies planas submersas

Vamos agora estudar as forças hidrostáticas que atuam sobre uma superfície plana

submersa em um fluido incompressível estático. O objetivo desta parte é calcular e força

hidrostática resultante para que seja possível estimar a resistência mecânica de uma barreira

submersa. Como é estático não há tensão de cisalhamento, logo a força deve ser normal à

superfície.

Considere a Figura - 4. 5, onde a pressão, P, em uma altura, h, qualquer é dada

por:

ghPP a ρ+= (4. 52)

Figura - 4. 5. Forças sobre um placa plana submersa a uma altura hc do centro de massa.

Se quisermos calcular a força resultante sobre a placa, desprezando-se a pressão

atmosférica, esta é dada por:

=== dAgdAPdAF γρ (4. 53)

Como uma altura, h, qualquer é dada por:

θsenyh = (4. 54)

Logo, teremos que:

θsencc yh = (4. 55)

Onde θ é o ângulo de inclinação da placa submersa.

A força resultante, FR, é dada a partir da substituição de (4. 54) em (4. 53), onde:

== dAydAgyFR θγθρ sensen (4. 56)

Sabendo que dAyAyc = , temos:

AyF cR θγ sen= (4. 57)

Usando (4. 55) em (4. 57) ficamos com:

ApAhF ccR == γ (4. 58)

O centro de pressão da placa submersa poderá ser em um ponto diferente do

centro de massa e, por isso, um torque poderá se desenvolver sobre esta placa tentando girá-la

em torno de sua posição de equilíbrio. Portanto, vamos calcular o torque resultante sobre a

placa da seguinte forma:

´yFT R= (4. 59)

Por outro lado, o torque é dado pela composição de todos os elementos de força sobre a placa

integrada sobre toda sua área, ou seja:

xxI

yR dAyyAhyFT === 2

sensen´ θγγ

θ

(4. 60)

Logo

R

xx

F

Iy

θγ sen´= (4. 61)


AyI

yc

xx=´ (4. 62)

Sabemos pelo teorema dos eixos paralelos que:

2cxx AyII += εε (4. 63)


AyAy

AyI

yc

c

c

2

´ += εε (4. 64)

Onde a coordenada do centro de pressão é dada por:

AyI

yyc

cεε+=´ (4. 65)

Observe que:

cyy ≥´ (4. 66)

Quando será que y´ = yc ?. Resposta quando Iεε = Ixx, ou seja, quando yc = 0, logo

observe a Figura - 4. 6.

Figura - 4. 6. Centro de pressão coincidente com o centro de massa do corpo.

4. 7 – Forças sobre superfícies curvas submersas

Para barreiras curvas a força resultante será dada por:

== ydAydAFR θγθγ sensen (4. 67)

Para barreiras nos três eixos cartesianos temos:

kFjFiFF RzRyRxRˆˆˆ ++= (4. 68)

Mas o gradiente de pressão só possui componente z, ou seja:

zP

P∂∂=∇ (4. 69)

E para barreiras curvas temos:

Figura - 4. 7. Forças de pressão sobre barreiras curvas submersas.

4. 8 – Empuxo em corpos submersos

A partir da equação de Stevin vamos considerar a resultante das forças sobre um

corpo de geometria qualquer, tomando um elemento cilíndrico de área, dA, conforme mostra a

Figura - 4. 8.

Figura - 4. 8. Corpo de geometria qualquer submerso é um fluido estático de densidade , ρ.

12 dFdFdFR −= (4. 70)

Onde

dApdApdFR 12 −= (4. 71)

Usando a equação de Stevin dada em (4. 28) temos:

dAghPdAghPdF AaR )()( 12 ρρ +−+= (4. 72)

Logo

dAhhgdFR )( 12 −= ρ (4. 73)

Mas h = h2 –h1, é a altura do cilindro elementar inscrito no corpo de volume total, V, logo

ghdAdFR ρ= (4. 74)

Integrado sobre todo o volume do corpo temos:

dAhgdFR = ρ (4. 75)

Portanto

= dVgFR ρ (4. 76)

Ou simplesmente

gVFR ρ= (4. 77)

Observe que ρ é a densidade do fluido e V é o volume deslocado pelo corpo

submerso. Portanto, o empuxo sobre um corpo de geometria qualquer é proporcional ao seu

volume,V, que corresponde ao volume deslocado do fluido, que foi substituído pela presença

do corpo. Este princípio é chamado de Principio de Arquimedes, pois foi ele que descobriu ao

utilizar o calculo para resolver o problema da coroa de Hirão na Grécia Antiga.

4. 9 – Equilíbrio de corpos flutuantes

Vamos agora estudar uma parte da mecânica dos fluidos que possui grande

aplicação a Engenharia Naval. Se um corpo está imerso ou flutua em um líquido, a força que

nele atua denomina-se “empuxo de flutuação”.

4. 10 – Exercícios

1) Escreva a equação básica da Estática dos Fluidos e dê o significado de cada termo e da

equação como um todo.

2) A partir da equação básica da estática dos Fluidos desenvolva-a e encontre a Lei de Stevin

P = Pa + ρgh.

3) Defina as condições de pressão e temperatura para a atmosfera padrão.

4) Diga qual é a diferença entre pressão absoluta e manométrica.

5) Um bloco de ferro com 5Kg está pendurado em um dinamômetro e é imerso em um líquido

de densidade desconhecida. A escala do dinamômetro indica um peso aparente de 6,16N.

Qual é a densidade do líquido.

Solução

A resultante das forças em um corpo, imerso em um fluido, é dado pelo peso

aparente, Pap, que nada mais é do que a subtração do peso do corpo, P, pelo empuxo, E.

EPPap −= , (4. 78)

Explicitando os termos em termos da massa do corpo, mc, da aceleração da gravidade, g, da

densidade do líquido, ρliq, e do volume do corpo, Vc, temos:

cliqcap gVgmP ρ−= (4. 79)

Logo a densidade do líquido é dada por:

c

apcliq gV

Pgm )( −=ρ (4. 80)

Observe que é um ótimo método para determinar a densidade de um fluido.

Capítulo – V

FUNDAMENTOS DA ANÁLISE DIFERENCIAL E INTEGRAL DO MOVIMENTO E DO

ESCOAMENTO DOS FLUIDOS

RESUMO

Neste capítulo serão vistas as noções básicas de dinâmica dos fluidos, ou seja,

estudaremos o que significa volume de controle e as equações de conservação de massa e

energia para um fluido em movimento. Deduziremos alguns teoremas fundamentais que serão

úteis para o cálculo fluxos e processos com fluidos não viscosos e incompressíveis.

Palavras Chave:

PACS números:

5. 1 – Objetivos do capítulo

i) Entender o escoamento de fluidos

ii) Conhecer as leis básicas que regem o movimento e o escoamento de fluidos

iii) Aprender a usar o conceito de volume e superfície de controle no cálculo de escoamento

de fluidos

iv) Aprender a expressar matematicamente a derivada material de uma função qualquer

v) Saber fazer uso da equação da continuidade nos cálculos de escoamento de fluidos

vi) Saber expressar matematicamente e aplicar a condição de incompressibilidade nos

cálculos de escoamento de fluidos.

5. 2 – A segunda lei de Newton para fluidos

Consideremos uma partícula fluida em movimento causada por uma força. Na

mecânica a segunda lei de Newton é dada por:

dtpd

F ii

= (5. 1)

Ou, de uma forma mais simples para uma massa constante temos:

dtvd

mF iii

= . (5. 2)

Definindo um elemento de força resultante, sobre o fluido, como sendo:

dtvd

dmFd

= . (5. 3)

Em termos de um elemento de massa, dm, qualquer e a partir da definição de densidade, ρ ≡

dm/dV, podemos escrever a seguinte equação:

dVdm ρ= . (5. 4)


dtvd

dVFd

ρ= (5. 5)

Como a aceleração dtvd

a

= podemos definir a densidade volumétrica de forças como sendo

dada por:

dVaFd

ρ= (5. 6)

Mas a força resultante pode ser escrita a partir da soma das forças superficiais e volumétricas

como:

FFF SV

=+ (5. 7)

E de acordo com Erro! A origem da referência não foi encontrada. e Erro! A origem da

referência não foi encontrada. ou (4. 17)

dVPfdVFd .∇−=

(5. 8)

Logo (5. 6) fica

dVadVPfdVρ=∇− . (5. 9)

Portanto:

aPfρ=∇− (5. 10)

Esta equação representa a deslocamento de um fluido sujeito apenas a pressão, ou

seja, forças na direção normal da superfície do fluido. Uma equação mais completa que

envolve forças tangenciais será vista posteriormente, onde será também incluída a lei da

viscosidade de Newton.

5. 3 – Movimento de fluidos como corpos rígidos

Um cilindro contendo um líquido encontra-se girando como um corpo rígido com

velocidade angular, ω, ao redor do seu eixo. Determine a forma da superfície de pressão

formada no fluido deformado.

Figura - 5. 1. Rotação de um cilindro contendo um fluido (líquido) que se comporta como um corpo rígido.

A única força que age sobre o corpo é a devido a ação da gravidade, ou seja:

gf

ρ= (5. 11)

A pressão que gera a deformação no cilindro de fluido deve ser dependente das

seguintes coordenadas:

),,( zrPP θ= (5. 12)

Mas como a deformação é isotrópica devemos reduzir a

),( zrPP = (5. 13)

Neste caso temos que:

dzzP

drrP

dP∂∂+

∂∂= (5. 14)

e o gradiente em coordenadas cilíndricas é dado por:

zzP

zP

rr

rP

P ˆˆ1ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ θ (5. 15)

Logo, a equação (4. 24) pode ser reescrita como:

aPf

ρ=∇− (5. 16)

ou de forma explicita

zazzP

zg z ˆˆˆ ρρ =∂∂− (5. 17)

Sabemos pela deformação da curva que a altura z deve ser uma função apenas do raio, ou seja,

z = z(r), a qual deve ser calculada da seguinte forma:

dVadmadF rrr ρ== (5. 18)

Como ac = v2/R = w2R, temos que:

rwr

vrara centripetar

22

)()( === (5. 19)

dzddrrrdFr θρω .....2−= (5. 20)

dzddrrd

dzPdr

dzddr

rdr

rP

Pdzddr

rdr

rP

PdFr

...)2

sen(.2

)2

(2

)2

(2

22 θρωθ

θθ

−=+

+

∂∂+−−

∂∂−=

(5. 21)

dzddrrdzddrrP

rdFr ... 22 θρωθ −=

∂∂−= (5. 22)

rrP 2ρω=

∂∂

(5. 23)

Como

gzP ρ= (5. 24)

Temos que:

gdzdP ρ= (5. 25)

Logo a equação (5. 14) poder ser escrita como:

gdzrdrwdP ρρ −= 2 (5. 26)

Integrando temos

dzgdrrwdPz

z

r

r

P

P −=111

2 ρρ (5. 27)

Logo

)()(2 1

21

22

1 zzgrrw

PP −−−=− ρρ (5. 28)

Mas, P = P1 = Patm, r1 = 0, e z1 = h1, logo

)(2

0 12

2

hzgrw −−= ρρ (5. 29)

Portanto,

22

1 2)( r

gw

hrz += (5. 30)

Uma vez sabendo como varia a altura z com o raio precisamos fazer ainda as

seguintes considerações geométricas:

ohRV 2π= (5. 31)

Mas também temos que:

==zR

dzrdrdVV00

2π (5. 32)

Logo

drgr

hrdrrrzVR R

+==

0 0

22

1 22)(2

ωππ (5. 33)

Ou

+=

gR

RhV4

422

1ωπ (5. 34)

Igualando (5. 31) com(5. 34) temos:

+=

gR

RhhR o 4

422

12 ωππ (5. 35)

Logo

gR

hh o 4)( 2

1ω−= (5. 36)


−−=22

21

2)(

)(Rr

gR

hrz oω

(5. 37)

Donde tiramos as seguintes conclusões:

i) A forma do perfil do fluido é uma parábola

ii) Para um referencial não-inercial como o referencial em rotação do problema acima o

volume do fluido se deforma.

iii) Existe um perfil geométrico visível formado pela deformação do fluido.

5. 4 - Métodos de análise de escoamento dos fluidos.

Dependendo se estamos utilizando um sistema ou um volume de controle existem

dois métodos básico de análise dos fluidos.

5.3.1 - Sistema e volume de controle

Em termodinâmica chamávamos de sistema de interesse àquilo que queríamos

estudar e o resto de vizinhança ou sistema externo.

Figura - 5. 2. Diferença entre sistema e volume de controle para a descrição matemática dos fluidos.

Nesse sistema tínhamos as variáveis extensivas (U = energia, V = volume, S =

entropia, N = número de partículas) são ditas extensivas porque dependem do tamanho do

sistema.

Variáveis intensivas (T = temperatura, P = pressão e µ = potencial químico) são

aquelas que não dependem do tamanho do sistema.

Cada grandeza extensiva possui a sua intensiva correspondente:

S, U → T; V → P; N → µ

Classificamos os tipos de sistema como:

Sistema isolado: é aquele sistema que não troca calor e nem massa com o meio

externo ou ambiente.

Sistema fechado: é aquele que não troca massa com o meio externo ou ambiente

Sistema aberto: é aquele que troca calor e massa com o meio externo

Volume de controle: é um volume arbitrário do espaço através do qual o fluido

escoa.

Superfície de controle: é o contorno do volume de controle, que pode ser real ou

imaginário e pode estar em repouso ou em movimento.

5. 5 - Forma integral e diferencial das equações básicas para sistemas e volume de controle

Existem dois métodos de análise de escoamento de fluidos, o primeiro é o método

diferencial devido a Lagrange e o outro é o método integral devido a Euler. Estes métodos

possibilitam estudar os fluidos sob o ponto de vista puntual e espacial (ou volumétrico)

respectivamente, conforme veremos a seguir.

5.4.1 - Método diferencial versus método integral

Um fluido pode ser descrito na forma integral e na forma diferencial

Método de Análise Diferencial de Lagrange: estuda o comportamento do fluido a

partir de um ponto considerando que um conjunto infinito destes pontos descreverá todo o

corpo do fluido, por meio de equações diferenciais.

0. =∂∂+∇

tJ

ρ (5. 38)

Método de Análise Integral de Euler: estuda o comportamento do fluido em um

volume extenso considerando que este é resultado das contribuições de cada ponto do fluido,

por meio de equações integrais.

0. =∂∂+ dVt

dAJS

ρ (5. 39)

5.4.2 – Relação entre os métodos descritivos de Euler e de Lagrange

A relação entre estes dois formalismos matemáticos pode ser estabelecida da

seguinte forma:

Para Euler o fluido atravessa o volume de controle por isso as equações são do

ponto de vista estático.

Para Lagrange o observador acompanha o movimento do fluido ponto a ponto.

Figura - 5. 3. Método descritivo do movimento dos fluidos. a) Euler b) Lagrange

5. 6 – Campo de velocidades

Para se caracterizar o escoamento de um fluido é necessário conhecer a

velocidade e a posição de cada partícula deste fluido. Tomando-se como base as equações de

movimento de uma única partícula, podemos perceber a dificuldade que a caracterização de

um escoamento representa.

Figura - 5. 4. Comparação entre o campo de velocidades de: a) uma partícula b) um sistema de partículas c) um corpo sólido d) um corpo fluido.

Considerando-se o caso de um sistema de partículas discretas que se movem no

espaço, cada uma com uma velocidade vi independente uma das outras, suas velocidades

podem ser descritas pelas seguintes equações escalares:

)(

)(

)(

th

tg

tf

izi

iyi

ixi

=

==

v

vv

(5. 40)

Observe que a identificação de uma partícula é facilitada pelo uso de um índice, i.

Entretanto, em um sistema deformável, tal como um fluido, há um número infinito de

partículas que se movem simultaneamente. A descrição matemática dos movimentos

individuais de cada partícula é impossível de ser realizada, a menos que se encontre uma

forma alternativa de simplificar a descrição pelo uso de coordenadas espaciais, que retratem o

compromisso que o conjunto delas tem com o movimento do todo, como acontece na

descrição do movimento das partículas que compõem um sólido (Figura - 5. 4c), quando se

utiliza a trajetória do centro de massa de um corpo para descrever o seu movimento. No caso

de fluidos, o uso de coordenadas espaciais ajudam a diminuir o número de equações

necessárias para se descrever o movimento das partículas, facilitando a sua identificação em

um escoamento. Desta forma, a velocidade de todas as partículas de um escoamento pode ser

expressa como:

ktzyxhjtzyxgitzyxftzyx ˆ),,,(ˆ),,,(ˆ),,,(),,,( ++=v (5. 41)

assim o emprego de coordenadas espaciais resolve o problema da descrição matemática,

substituindo o índice “ï” do sistema de partículas, estudadas na mecânica, por funções espaço-

temporais, do tipo:

),,.(

),,,(

),,,(

tzyxh

tzyxg

tzyxf

z

y

x

=

==

v

vv

(5. 42)

É preciso perceber que na maioria das vezes o movimento de cada partícula estará

comprometido com o movimento da sua vizinha descrevendo assim um comportamento de

um conjunto infinito delas. Estes comportamentos podem ser classificados, quanto as suas

características espaço-temporais em, linhas de emissão, trajetória, filetes e linhas de corrente,

conforme veremos a seguir.

Portanto, um campo de velocidades é definido como sendo aquele em que ocorre

uma distribuição contínua de pontos no espaço cada um deles caracterizado por uma

velocidade, de tal forma que esta pode ser escrita como funções das coordenadas (x, y, z, e t)

da seguinte forma:

ktzyxvjtzyxvitzyxvtzyx zyxˆ),,,(ˆ),,,(ˆ),,,(),,,( ++=v (5. 43)

Tal campo determina o regime de escoamento de um fluido. E de acordo com

dependência temporal de suas grandezas podemos ter dois tipos de regimes de escoamento, o

escoamento não-permanente (ou não-estacionário) e o escoamento permanente (ou

estacionário).

5. 7 – Características físicas de um fluido

As principais características físicas de um fluido em escoamento são definidas

como:

5.6.1 – Linhas de emissão

É o número de partículas fluidas, próximas, em um campo de escoamento,

assinaladas em um determinado instante, cujas observações subseqüentes desta linha podem

fornecer informações a respeito do campo de escoamento.

Como exemplo, consideremos a Figura - 5. 5.

Figura - 5. 5. Linhas de emissão para diferentes tempos de observação em um regime não-permanente (ou não-estacionário) onde v = v(x,y,z,t).

Observe que o enfoque da linha de emissão está sobre o instante em que o fluido

foi observado, ou seja, cada linha de emissão representa uma fotografia instantânea do

escoamento. Observe também que neste caso a trajetória das partículas é descrita por uma

função, s, dada por:

),,,( tzyxss = (5. 44)

5.6.2 – Trajetórias

É a linha traçada por uma partícula em movimento no interior de um fluido.

Observe que o enfoque do conceito de trajetória está sobre uma determinada partícula do

fluido, tanto na Figura - 5. 5 como na Figura - 5. 7 as trajetórias se confundem com as linha de

emissão descrita nesta figura.

Figura - 5. 6. Trajetória de uma partícula fluida no intervalo de tempo, ∆t = tn – to.

Observe a partir da Figura - 5. 6 que se a trajetória de uma partícula, como um

todo, mudar de lugar (posição) com o tempo, o conjunto dessas trajetórias descritas por um

determinado número de partículas todas assinaladas nesse intervalo de tempo determina uma

linha de emissão. Contudo, se as linhas de emissão não variam com o tempo, isto é, não

mudam de lugar, podemos utilizar um outro conceito chamado de filete.

5.6.3 – Filetes

É a linha que une todos as partículas que passam por um determinado ponto fixo

do espaço, após um curto intervalo de tempo.

Figura - 5. 7. Filetes para diferentes pontos fixos no espaço em um regime permanente (estacionário) onde v = v(x,y,z).

Como exemplo, consideremos a Figura - 5. 7. Observe que o enfoque do filete

está sobre um determinado ponto fixo no espaço (ou seja, cada filete representa uma raia na

qual as partículas fluem de forma análoga a uma corrida de equipes de atletas, onde cada

equipe veste uma cor determinada e corre na sua raia correspondente, conforme mostra a

Figura - 5. 8.

a) b)

Figura - 5. 8. Equipes de corredores colorido correndo em raias coloridas; a) fluxo laminar b) fluxo turbulento.

Se cada equipe permanecer na sua raia (filete) temos um escoamento permanente

(laminar). Se uma equipe cruzar de uma raia (filete) para a raia (filete) de outra equipe temos

um escoamento não-permanente (ou turbulento). Se alguém tira uma foto da corrida cada

equipe determina uma linha de emissão. Se observarmos um corredor em particular

descreveremos uma trajetória.

Além das linhas de emissão,trajetórias e filetes, é preciso também caracterizar o

aspecto geométrico do campo de velocidades no fluido, através do que chamamos de linha de

corrente.

5.6.4 – Linhas de corrente

É a linha formada, em um dado instante, pelo conjunto de vetores tangentes à

direção do fluxo em todos os pontos. Estas linhas são traçadas, em um campo de escoamento,

de modo que, em um dado instante, são tangentes a direção do fluxo em todos os pontos do

campo, conforme mostra a Figura - 5. 9.

Figura - 5. 9. Linhas de corrente em um escoamento de um fluido.

Como as linhas de corrente são tangentes a cada ponto, então elas estão no sentido

do vetor velocidade, onde:

kzjyixr ˆˆˆ ++= (5. 45)

logo

kdtdz

jdtdy

idtdx

dtrd

v ˆˆˆ ++==

(5. 46)

Portanto

kzyxvjzyxvitzyxvv zyxˆ),,(ˆ),,(ˆ),,,( ++= (5. 47)

Um campo de velocidades é também classificado quanto ao seu comportamento

no tempo como:

5.6.5 - Regime não-permanente (ou não-estacionário) e permanente (ou estacionário)

É o regime de escoamento de um fluido cuja descrição matemática de suas

grandezas não variam com o tempo.

),,(),,,( zyxtzyx ηηηη =→= (5. 48)

Figura - 5. 10. Características físicas de um fluido para; a) regime não-permanente; b) regime permanente.

Neste caso a trajetória para um regime não-permanente é dada por:

),,,( tzyxrr = (5. 49)

e para um regime permanente é dado por:

),,( zyxrr = (5. 50)

No caso da velocidade temos que:

),,,( tzyxvv = (5. 51)

para o caso não-permanente e

),,( zyxvv = (5. 52)

para o caso permanente. No regime permanente, linha de emissão, trajetória e filete se

confundem.

Mudando-se o referencial (sistema de coordenadas) é possível escrever um campo

não-permanente como um campo permanente através de uma transformação de coordenadas,

conforme mostra a Figura - 5. 11.

Figura - 5. 11. a) Transformação de coordenadas para mudança de regime não-permanente para permanente; a) Fluido inicialmente parado e torpedo em movimento, v(xo.yo) = v(t); b) Fluido em movimento e torpedo parado, v(εo, ηo) = vo = cte.

No regime permanente temos que:

0=∂∂

tη

(5. 53)

Onde η é uma propriedade qualquer do fluido, por exemplo, a densidade que é um escalar:

),,(0 zyxout

ρρρ ==∂∂

(5. 54)

Ou a velocidade que é um vetor:

),,(0 zyxvvoutv

==∂∂

(5. 55)

5.5.2 - Tipos de escoamento de fluidos

Quanto aos graus de liberdade para descrição matemática de um escoamento

existem três tipos, a saber:

Escoamento unidimensional: é o escoamento de um fluido cuja descrição

matemática pode ser feita com um mínimo de três coordenadas independentes

Figura - 5. 12. Escoamento unidimensional

Escoamento bidimensional: é o escoamento de um fluido cuja descrição

matemática pode ser feita com um mínimo de duas coordenadas independentes.

Figura - 5. 13. Escoamento bidimensional

Escoamento tridimensional: é o escoamento de um fluido cuja descrição

matemática pode ser feita com um mínimo de três coordenadas independentes.

5. 8 – Leis básicas da mecânica dos meios contínuos para sistemas e volumes de controle

5.7.1 - Conservação da massa e a derivada material

A quantificação da massa de um fluido deve levar em conta o volume na qual esta

massa se encontra sob controle. Normalmente ao se deslocar de um ponto a outro um fluido

pode sofrer variação de volume, mas a massa total permanece constante. Contudo, em relação

a uma região delimitada do espaço, denominada volume de controle, esta massa pode está

variando e por isso torna-se necessário equacioná-la de forma a saber quanta massa atravessa

(chega e sai) por unidade de tempo, conforme mostra a Figura - 5. 14. Logo, de uma forma

geral, se M = M(x,y,z,t) temos:

tM

tz

zM

ty

yM

tx

xM

dtzyxdM

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=),,(

(5. 56)

ou

tM

vz

Mv

yM

vx

Mdt

dMzyx ∂

∂+∂

∂+∂

∂+∂

∂= (5. 57)

Simplificando temos:

Local

Transpote tM

Mvdt

dM∂

∂+∇= . (5. 58)

Figura - 5. 14. Volume e superfície de controle na qual atravessa uma massa fluida, dm = ρdV, em um intervalo infinitesimal de tempo, dt, com velocidade, v.

De forma análoga, vamos considerar a derivada material de qualquer grandeza

generalizada, denominada, MX, como sendo dada por:

tM

Mvdt

dM XX

X

∂∂

+∇= .

(5. 59)

Definido-se a grandeza MX como sendo da por meio de uma densidade generalizada, ρX,

temos:

=V

XX dVM ρ (5. 60)

A equação (5. 59) torna-se:

∂∂+∇=

XX VXX

VX dV

tMvdV

dtd ρρ .

(5. 61)

Esta expressão é absolutamente geral para as grandezas MX = Q (calor), q (carga

elétrica), C (concentração), p (momento), etc e suas respectivas densidades, ρX, de, calor,

carga elétrica, concentração, momento, etc.

5. 7.2 – O fluxo de generalizado, JX, através de uma superfície

Vamos a partir de agora definir o fluxo generalizado, JX, das grandezas

generalizadas, MX, consideradas anteriormente, como sendo:

dtdX

AJ X

1= (5. 62)

Desde que dX/dt é uma derivada material para as grandezas X = Q (calor), q

(carga elétrica), C (concentração), p (momento), etc. O fluxos correspondentes podem ser

definidos como JX = JQ (fluxo de calor), Jq (fluxo de corrente elétrica), Jρ (fluxo de massa), Jp

(fluxo de momento = pressão + tensão tangencial), etc, dados respectivamente pelas lei de

Fourier, Ohm, Fick, Newton, etc.

Portanto, a partir da equação (5. 58) temos:

).(1

tX

XvA

J X ∂∂+∇≡

(5. 63)

Reescrevendo o primeiro termo do lado direito da equação acima temos:

xX

vX

AXv

Aρ

ρ∇

∂∂=∇ .

1).(

1 (5. 64)

Logo

tX

vX

AJ x

XX ∂

∂+∇∂∂= ρρ

.1

(5. 65)

Chamando de kX a constante de acoplamento dada por:

vX

Ak

XX

ρ∂∂−= 1

(5. 66)

Ficamos com:

tX

kJ xXX ∂∂+∇−= ρ (5. 67)

Para uma grandeza X que não varia explicitamente no tempo, temos que 0=∂∂ tX , ficamos

finalmente com:

xXX kJ ρ∇−= (5. 68)

Observe que, para as grandezas ρX = T (temperatura), φ (potencial elétrico), C

(concentração), v (velocidade), etc, correspondem aos fluxos JX = JQ (fluxo de calor), Jq

(fluxo de corrente elétrica), Jρ (fluxo de massa), Jp (fluxo de momento = pressão + tensão

tangencial), etc, dados respectivamente pelas lei de Fourier, Ohm, Fick, Newton, etc. Onde

em cada caso temos kX = -k (condutividade térmica), -σ (condutividade elétrica), -D

(coeficiente de difusão), µ (coeficiente de viscosidade), etc.

5. 7.3 – Teorema de Gauss para o fluxo de massa

Retornando a derivada material dada em (5. 58) podemos escrever a versão

integral desta equação. Para realizarmos este cálculo devemos considerar o fato que sendo ρ =

dm/dV, logo:

=V

dVM ρ (5. 69)

Tomando o primeiro termo do lado direito de (5. 58) temos:

vdVMvV

.. ∇=∇ ρ (5. 70)

Passando o operador gradiente para dentro da integral, temos:

dVvvdVvMvVV

).()(. ∇+∇=∇=∇ ρρρ (5. 71)

Mas dV = dxdydz, logo:

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

V

dxdydzvx

vx

vx

Mv )]()()([. ρρρ (5. 72)

Então

dxdzvdxdzvdydzvMvV

)()()(. ρρρ ∂+∂+∂=∇ (5. 73)

Logo

dxdyvdxdzvdydzvMvS

ρρρ ++=∇ . (5. 74)

Ou

zyS

x dAvdAvdAvMv ρρρ ++=∇ . (5. 75)

Portanto

=∇S

AdvMv

.. ρ (5. 76)

Por outro lado, tomando o segundo termo do lado direito de (5. 58) temos que a taxa de

variação temporal de massa é:

∂∂=

∂∂=

∂∂

VV

dVt

dVtt

M ρρ (5. 77)

Substituindo de volta (5. 76) e (5. 77) em (5. 58) temos que:

∂∂+=

VS

dVt

Advdt

dM ρρ

. (5. 78)

Chamando de vJ

ρ= ao fluxo de massa que atravessa a superfície do volume de controle

temos o seguinte resultado geral:

∂∂+=

VS

dVt

AdJdt

dM ρ. (5. 79)

Para o caso em que a massa total se conserva, ou quando o volume de controle não envolve a

fonte de massa, temos que dM/dt = 0, logo

0. =∂∂+

VS

dVt

AdJρ

(5. 80)

Esta equação diz que quando a massa é constante, o que o fluxo de massa que

atravessa a superfície é igual a variação de massa no seu volume de controle.

Figura - 5. 15. Volume e superfície de controle nos quais atravessam um fluxo, J, de massa fluida compressível, em um intervalo infinitesimal de tempo, dt, com velocidade, v.

5. 7.4 – Teorema da divergência

Vamos agora definir, assim como o gradiente, um novo operador diferencial que

ajudará muito na solução de problemas de fluxo de massa e energia. No apêndice se encontra

a interpretação física deste operador. Na verdade ele determina qual é a fonte do campo, isto,

se o volume de controle inclui essa fonte nos cálculos. Portanto, a partir de (5. 76) vamos

tomar a derivada em relação ao volume desta grandeza de tal forma que:

)intensivagrandeza(.).(

=∇

S

AdvdVd

dVMvd

ρ (5. 81)

A qual chamaremos de divergente da grandeza escalar φ(x,y,z,t) definida por:

)vazão(.. =∇≡S

AdvMv ρφ (5. 82)

Como

)fluxo(vJ

ρ= (5. 83)

Logo φ(x,y,z,t) pode ser escrito como:

≡S

AdJ

.φ (5. 84)

Podemos chamar de divergente de J

a equação:

dVd

VJ

V

φφ =∆∆≡∇

→∆ 0lim.

(5. 85)

logo

=∇S

AdJdVd

J

.. (5. 86)

Do qual podemos escolher o volume do cálculo do divergente coincidente com o volume de

controle da área utilizada no cálculo da vazão, e escrever:

).(. =∇SV

AdJddVJ

(5. 87)

Ou integrado no volume temos:

=∇SV

AdJdVJ

.. (5. 88)

Desde que a superfície de controle, S, contenha o volume de controle, V.

Este teorema , de uma forma geral, relaciona integral de volume com a integral de

superfície.

5. 7.5 – Tensor das tensões generalizado descrito como fluxo de momento

Observe da equação Erro! A origem da referência não foi encontrada. e Erro!

A origem da referência não foi encontrada. que o fluxo de momento pode ser escrito como

uma parte normal e outra tangencial, onde a normal é chamada de pressão e a tangencial é

chamada de tensão de cisalhamento, todas as duas são devidas a Newton, ou seja,

ijiip dtpd

AJ

+=≡ 1

(5. 89)

Portanto, a força superficial, SF

, pode ser escrita como:

=S

pS AdJF

. (5. 90)

Usando o teorema da divergência teremos:

dVJFV

pS ∇=

. (5. 91)

Logo, a densidade volumétrica de força superficial, Sf

, é dada por:

dVJdVd

dVFd

fV

SS ∇=≡

. (5. 92)

Portanto,

pS Jf

.∇≡ . (5. 93)

Apesar deste ser um resultado aplicado para forças superficiais ele também á válido para

forças volumétricas e para qualquer um dos fluxos definidos anteriormente.

Sendo o fluxo pJ

dado pela identidade (5. 89), podemos escrever:

ijiiSf .. ∇+∇=

(5. 94)

como sempre o divergente reduz a ordem do tensor, transformando uma matriz em um vetor,

por exemplo, observe que, como Sf

, é um vetor, necessariamente, as grandezas ii e

ij devem fazer parte de uma matriz completa, ou seja, de acordo com Erro! A origem da

referência não foi encontrada. temos:

][][][ I P−= , (5. 95)

No caso, esta matriz corresponde ao tensor das tensões dada em Erro! A origem da

referência não foi encontrada., onde:

].[∇=Sf

(5. 96)

Esta equação será muito útil para se deduzir a equação de Navier–Stokes para um

fluido viscoso. Mas, por enquanto estamos tratando com fluidos sem viscosidade. Neste caso

as componentes tangenciais da matriz dada em Erro! A origem da referência não foi

encontrada. são nulas e a matriz é dada apenas em termos de Erro! A origem da referência

não foi encontrada., Erro! A origem da referência não foi encontrada. e Erro! A origem

da referência não foi encontrada. logo:

−−

−≡−

P

P

P

P

000000

][I (5. 97)

Logo,

PP −∇=−∇=∇ ][.].[ I (5. 98)

Observe que somente neste caso um divergente é igual a um gradiente, por esta razão a

equação (5. 10) fica

af

ρ=∇+ ].[ (5. 99)

Esta equação é uma passo a mais na generalização da equação (5. 10). Ela

representa a 2a Lei de Newton para os fluidos e será, de agora em diante, cada vez mais

acrescentado termos até se chegar a equação final de Navier-Stokes onde o comportamento de

um fluido com viscosidade e compressibilidade será considerado completamente.

5. 7.6 – Equação da continuidade

Vejamos agora a utilidade do teorema da divergência para transformar a equação

integral dada em (5. 79) em uma equação diferencial. Portanto substituindo (5. 88) em (5. 79)

temos que:

∂∂+∇=

VS

dVt

dVJdt

dM ρ. (5. 100)

Tomando-se os mesmo volume de controle tanto para o divergente como para o

fluxo temos que:

tJ

dtdM

dVd

∂∂+∇= ρ

.)( (5. 101)

Ou trocando a ordem das derivadas totais temos:

dtd

tJ

ρρ =∂∂+∇. (5. 102)

Considerando o caso em que a massa total se conserva (dρ/dt = 0) temos:

≠∂∂

=∂∂

=∂∂+∇

)elcompressívescoamento(0t

)ívelincompressescoamento(00.

ρ

ρρ tt

J (5. 103)

Esta equação diz a mesma coisa que a equação (5. 80), porém em uma linguagem

diferencial, ou seja, quando a massa é constante, o que variação volumétrica do fluxo de

massa que atravessa a superfície é igual a variação temporal da massa no seu volume de

controle. Esta equação decide se o escoamento é incompressível ou não.

Para a situação de fluxo generalizado, XJ

, temos:

0)(

. =∂

∂+∇t

J XX

ρ (5. 104)

Explicitando, JX, temos:

0)(

).( =∂

∂+∇t

v XX

ρρ (5. 105)

Usando a identidade diferencial temos:

XXX vvv ρρρ ∇+∇=∇ .).().(

(5. 106)

Logo

0)(

.).( =∂

∂+∇+∇t

vv XXX

ρρρ (5. 107)

Esta equação explicita a equação da continuidade em termos da densidade

generalizada, ρX, e da velocidade, v

.

5. 9 – Movimento de um elemento fluido

Antes de formular os efeitos de forças no movimento de fluidos (dinâmica)

consideremos o movimento (cinemática) de um elemento fluido no campo de escoamento. Por

conveniência seguiremos um elemento infinitesimal de identidade constante (massa) como na

figura 5. 4. Como o elemento infinitesimal de massa, dm, se move em um campo de

escoamento muitas coisas podem acontecer. Talvez, a mais óbvia de todas é que o elemento

desloca-se. Ele sofre um deslocamento linear do ponto x, y, z ao outro diferente x1, y1,z1. O

elemento pode também girar. A orientação do elemento como indicada na fig.5.4 na qual seus

lados são paralelos aos eixos coordenados, x,y,z, pode variar como resultado de uma rotação

pura ao redor de um (ou de todos três) eixos x,y,z. Além disto o elemento pode deformar-se. A

deformação pode ser de duas maneiras: deformação linear e deformação angular. A

deformação linear envolve variação da forma sem mudança na orientação do elemento: é a

deformação na qual as faces, que originalmente perpendiculares não mais o são. Em geral, um

elemento fluido pode sofrer certa combinação de translação, com rotação, e deformação linear

com angular durante seu movimento. Estas quatro componentes do movimento dos fluidos

estão ilustradas na Figura - 5. 16 para movimentos no plano xy. Para os escoamentos

tridimensionais, movimentos similares das partículas podem ser representados.nos planos yz e

xz. No caso de movimento de translação pura, o elemento fluido mantém sua forma não há

deformação. Assim não surgem tensões tangenciais nos movimentos de translação ou rotação

puros (lembremo-nos do Capítulo - 3 no qual vimos que, nos fluídos Newtonianos, as tensões

tangenciais são proporcionais à deformação angular).

Figura - 5. 16. Representação esquemática dos componentes dos movimentos dos fluidos. a) translação pura a) rotação pura c) deformação angular ou tangencial d) deformação linear ou normal.

5. 10 – Aceleração de uma partícula fluida em um campo de velocidades

Lembremo-nos primeiramente de que estamos tratando com um elemento de

massa constante, dm. Como discutimos na Seção - 1.5.3, podemos obter a equação do

movimento de uma partícula pela aplicação da segunda lei de Newton a esta partícula. A

desvantagem do método é que seria necessária uma equação para cada partícula. Assim, o

registro de tantas partículas seria problemático.

Descrição mais geral da aceleração pode ser obtida considerando-se a partícula

movendo-se em um campo de velocidade. A hipótese básica do contínuo, em Mecânica dos

Fluidos, conduziu-nos à do campo de escoamento de um fluido no qual as propriedades deste

campo são definitivas por funções contínuas das coordenadas, no espaço e no tempo.

Em particular, o campo de velocidades é dado por V = V (x, y,z ,t). A descrição do

campo é sobremaneira útil porque as informações para o fluxo todo são fornecidas por uma

única equação.

Então o problema consiste em obter a descrição das propriedades do fluido no

campo, e deduzir uma expressão para a aceleração das partículas fluidas à medidas que se

movimentam nesse campo. Enunciando de maneira simples o problema consiste em:

Dado o campo de velocidades, V = V(x, y, z, t), determinar a aceleração da

partícula a

.

De uma forma geral, se ),,( zyxaa = logo temos:

tv

ktz

zv

jty

yv

itx

xv

dtzyxvd

a∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂==

ˆˆˆ),,(

(5. 108)

ou

tv

vzv

vyv

vxv

dtvd

zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

(5. 109)

Onde:

it

vtz

zv

ty

yv

tx

xv

a xxxxx

ˆ

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

(5. 110)

e

jt

v

tz

z

v

ty

y

v

tx

x

va yyyy

yˆ

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂

= (5. 111)

e

kt

vtz

zv

ty

yv

tx

xv

a zzzzz

ˆ

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

(5. 112)

Simplificando temos:

tv

vvdtvd

a∂∂+∇==

).( (5. 113)

5. 11 – A condição de incompressibilidade e compressibilidade de um fluido

Podemos analisar a condição de incompressibilidade ou compressibilidade a partir

da variação infinitesimal do volume do fluido, dada por:

zyxV ..= (5. 114)

onde

zxyyxzxyzV ∆+∆+∆≅∆ (5. 115)

Dividindo (5. 115) por (5. 114) temos:

zz

yy

xx

VV ∆+∆+∆≅∆

(5. 116)

Tomando o limite para intervalos infinitesimais, ou seja, 0,, →∆∆∆∆ tezyx , a

taxa de variação volumétrica é dada por:

tz

xyty

xztx

yzdtdV

Q∂∂+

∂∂+

∂∂=≡ (5. 117)

Considerando que:

dtrd

AddtdV

d

.)( = (5. 118)

Então a equação (5. 117) fica:

tz

Aty

Atx

AdtdV

Q zyx ∂∂+

∂∂+

∂∂=≡ (5. 119)

Logo, a partir de (5. 118) uma forma geral temos que:

=≡S

AdvdtdV

Q

. (5. 120)

Integrada sobre a superfície, S, do fluido que varia com a deformação do volume.

Portanto, durante a deformação linear (na direção normal a superfície), a forma de

um elemento fluido, descrita pelos ângulos de seu vértices (Figura - 5. 16), permanece

invariável porque todos os ângulos retos continuam retos (veja a Figura - 5. 16d). O elemento

variará de comprimento na direção x somente se xvx ∂∂ / for diferente de zero.

Analogamente, a variação do tamanho y requer que o valor de yv y ∂∂ / seja diferente de zero

e a variação da dimensão z exige que zvz ∂∂ / seja também não nulo. Estas quantidades

representam as componentes das tensões longitudinais (ou normais) nas direções x, y, e z

respectivamente. As variações dos comprimentos dos lados podem produzir variações de

volume do fluido. Logo, a taxa de dilatação do volume por unidade de volume pode ser

escrita como:

tz

yty

ytx

xdtdV

dVd

dVdQ

∂∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

∂=

= 111 (5. 121)

Reescrevendo em termos das componentes do vetor velocidade temos:

zv

y

v

xv

dtdV

dVd

dVdQ zyx

∂∂+

∂∂

+∂∂=

= (5. 122)

Para o escoamento de fluido incompressível a taxa de dilatação volumétrica é

nula.

0=

=dtdV

dVd

dVdQ

(5. 123)

Observe que a expressão (5. 122) é exatamente o divergente da velocidade do fluido, ou seja:

zv

y

v

xv

v zyx

∂∂+

∂∂

+∂∂=∇

. (5. 124)

A partir da equação (5. 103), no caso particular de fluxo de massa, podemos

escrever que se um fluido é incompressível, temos:

constante=ρ (5. 125)

Logo

0=∂∂

tρ

(5. 126)

Portanto

0. =∇ J (5. 127)

Mas de (5. 83) temos que:

0).( =∇ vρ (5. 128)

ou

0. =∇+∇ ρρ vv

(5. 129)

Usando (5. 125) em (5. 129) temos que 0=∇ρ , finalmente:

0. =∇ v

(5. 130)

Esta é a condição essencial para um escoamento incompressível, como já avia

sido mencionada acima.

5. 12 – Problemas

1. Qual é a diferença entre grandezas extensivas e intensivas?

Capítulo – VI

ESCOAMENTO DE FLUIDOS INCOMPRESSÍVEIS SEM VISCOSIDADE

RESUMO

Neste capítulo será visto as noções básicas de escoamento de fluidos

incompressíveis sem viscosidade. As equações básicas desenvolvidas neste capítulo serão

úteis para as generalizações que serão feitas nos capítulos posteriores.

Palavras Chave: Teorema de Bernoulli; equação de Laplace; conservação da energia

PACS números:

6. 1 - Introdução

Nós vimos no capítulo anterior os conceitos gerais que serão aplicados a partir

deste ponto em diante para se resolver problemas de escoamento em fluidos. Neste capítulo

trataremos especificamente do caso de fluidos incompressíveis, que são na sua maioria os

líquidos em situações onde a sua viscosidade pode ser desprezada. Nós vimos no capítulo

anterior a conservação da massa que corresponde a lei da inércia (1a Lei de Newton) da

Mecânica das Partículas agora na sua versão aplicada a fluidos, da qual decorreu o teorema da

divergência e equação da continuidade. Agora passaremos a estabelecer a 2a lei de Newton na

sua versão aplicada a fluidos como é mostrado a seguir.

(6. 1)

6. 2 - Equações da quantidade de movimento:

aPfρ=∇− (6. 2)


tv

vvPf∂∂+∇=∇−

ρρ ).( (6. 3)

Para um fluido incompressível temos que:

0. =∇ v

(6. 4)

Usando a condição de incompressibilidade dada em (5. 130) em (5. 113) temos

que:

tv

dtvd

a∂∂==

(6. 5)

Substituindo (6. 5) na equação (5. 10) temos:

tv

Pf∂∂=∇−

ρ (6. 6)

A expressão (6. 6) acima corresponde a equação de um fluido acelerado como um

corpo rígido sem nenhum efeito de compressibilidade ou variação no volume.

6. 3 - A conservação do momento linear

aPfρ=∇− (6. 7)


tv

vvPf∂∂+∇=∇−

ρρ ).( (6. 8)

A partir da condição de regime permanente temos:

0=∂∂

tv

(6. 9)

logo

vvPf

).( ∇=∇− ρ (6. 10)

Usando a seguinte identidade vetorial

)].([21

).( vvvv ∇=∇ (6. 11)

Substituindo a identidade vetorial (6. 11) em (6. 10) a equação (6. 3) fica:

)].([2

vvPf∇=∇− ρ

(6. 12)

Esta equação descreve o movimento de um fluido sem viscosidade onde se

considera apenas a condições de pressão, sua energia potencial devida a força de massa e a

sua energia cinética, dado pelo termo )].([2

vv∇ρ

.

6. 4 - Fluxo estacionário – Teorema de Bernoulli

Considere um fluxo de um fluido não viscoso em escoamento permanente dado

pela seguinte equação diferencial:

aPf

ρ=∇− (6. 13)

cuja forca de massa, f, é igual a ação do campo gravitacional, g, sobre a massa fluida, isto é:

gf

ρ= (6. 14)

e a partir de (5. 113) a aceleração generalizada é dada por:

tv

vvdtvd

a∂∂+∇==

).( (6. 15)

Substituindo (6. 14) e (6. 15) na equação (6. 13) temos:

tv

vvPg∂∂+∇=∇−

ρρρ ).( (6. 16)

Considerando a seguinte identidade diferencial vetorial nós temos

).(21

)().( vvvvvv ∇+××∇=∇ (6. 17)

Logo, substituindo (6. 17) na equação (6. 16) ficamos com:

tv

vvvvPf∂∂+∇+××∇=∇−

ρρ )].(21

)[( (6. 18)

Chamando de vorticidade a grandeza

v×∇=Ω , (6. 19)

a qual é perpendicular ao plano que contém o campo de velocidades, temos:

tv

vvvPf∂∂+∇+×Ω=∇−

ρρ )].(21

[ (6. 20)

Multiplicando toda a equação de movimento do fluido pelo produto escalar de v

, temos:

]).(21

.[).(tv

vvvvPfv∂∂+∇+×Ω=∇−

ρ (6. 21)

Observe que o produto vetorial de v×Ω é um vetor que está no próprio plano das

velocidades. Reescrevendo (6. 21) temos:

].[)].(21

.[tv

vvvvPfv∂∂+×Ω=∇−∇−

ρρ . (6. 22)

Considerando o caso em que o produto escalar entre a vorticidade, ΩΩΩΩ, e a

velocidade, v

, é nula, porque são perpendiculares, vv ⊥×Ω ,ou seja, uma rotação pura,

temos:

0).( =×Ω vv

, (6. 23)

então:

tv

vvvPfv∂∂=∇−∇−

.)].(

21

.[ ρρ . (6. 24)

Considerando o fato de que o campo gravitacional é proveniente de um gradiente de um

potencial, gz=ϕ , logo para ϕρ∇−=f temos:

tv

vvvPv∂∂=−−−∇

.)].(

21

[. ρρρϕ . (6. 25)

Logo dividindo tudo por v

temos:

tv

vvP∂∂=−−−∇

ρρρϕ )].(21

[ (6. 26)

Ou

tv

vvP∂∂=++∇−

ρρρϕ )].(21

[ (6. 27)

Como

rnfdrdf ˆ.ˆ.∇= (6. 28)

Ou

θcos.fdrdf ∇= (6. 29)

Todo o termo do lado esquerdo de (6. 26) pode ser escrito como uma integral em r, ficando da

seguinte forma:

drtv

rndrvvP∂∂=++−

ρρρϕ ˆ.ˆ)].(21

[ (6. 30)

Supondo que 0/ =∂∂ tv

, ou seja, o escoamento é permanente,

0)].(21

[ =++ drvvPρρϕ (6. 31)

Necessariamente devemos ter:

constantevvP =++ ).(21 ρρϕ . (6. 32)

Essa é a equação de Bernoulli para uma linha de corrente em um escoamento permanente de

um fluido incompressível. Observe que ela é a solução das equações (6. 13) e (6. 16) desde

que se considere válida a condição (6. 23).

6. 5 – Fluxos irrotacionais e a equação de Laplace

Partindo da condição de fluxo irrotacional dada por:

0=×∇=Ω v

, (6. 33)

Podemos usar a identidade diferencial vetorial em que o rotacional de qualquer gradiente é

sempre nulo, ou seja;

0[] =∇×∇ , (6. 34)

e supor que para a condição dada em (6. 33) podemos escrever que a velocidade v provém de

um gradiente de um potencial de velocidade dado por:

ψ∇=v

, (6. 35)

Logo, retornando (6. 35) em (6. 33) teremos necessariamente que:

0)( =∇×∇ ψ , (6. 36)

Considerando o caso de um fluido incompressível em que:

0. =∇ v

, (6. 37)

a partir de (6. 35) temos que:

0).( =∇∇ ψ , (6. 38)

ou simplesmente

02 =∇ ψ , (6. 39)

a qual é a equação de Laplace para linhas de corrente de um fluido incompressível.

6. 6 – Primeira lei da termodinâmica para um fluxo estacionário

A primeira lei da Termodinâmica é o enunciado da conservação da energia.

Lembremo-nos de que a formulação da primeira lei é:

UWQ =− , (6. 40)

Tomando a derivada temporal temos:

dtdU

dtdW

dtdQ =− , (6. 41)

Onde a energia interna do sistema é dada por:

== dmdmdU

dUU , (6. 42)

Considerando que

dmdU

e = , (6. 43)

e dm = eρdV temos:

= dVeU ρ , (6. 44)

Sendo e dado pela equação de Bernoulli temos:

2

21

vPe ρρϕρ ++= , (6. 45)

ou ainda

2

21

vP

e ++= ϕρ

, (6. 46)

Onde

= gdzϕ , (6. 47)

Logo

gz=ϕ , (6. 48)

Portanto

2

21

vgzP

e ++=ρ

, (6. 49)

Na equação (6. 41) a quantidade de calor, dQ/dt, transmitida é positiva, quando o

calor é adicionado ao sistema pelo meio ambiente, e o trabalho, dW/dt, é positivo, quando

efetuado pelo sistema sobre o ambiente que o cerca.

Da equação da continuidade temos que:

dVet

Advedt

dU

VCSC ∂

∂+= ρρ

. , (6. 50)

Ao deduzirmos a equação ( ) o sistema e o volume de controle coincidem no

instante de tempo t = 0, e então.

ControledeVolumeSistema dtdW

dtdQ

dtdW

dtdQ

−=

− , (6. 51)

Logo

dVet

Advedt

dWdtdQ

VCSC ∂

∂+=− ρρ

. , (6. 52)

Substituindo e temos:

++∂∂+

++=

=−

VCSC

dVvgzP

tAdvvgz

Pdt

dWdtdQ

ρρ

ρρ

22

21

.21

(6. 53)

Ou

++∂∂+

++=

=−

VCSC

dVvgzPt

AdvvgzP

dtdW

dtdQ

22

21

.21 ρρρρ

(6. 54)

Esta equação serve para calcular as taxa temporais de calor e trabalho durante o

escoamento de um fluido ideal (sem viscosidade), incompressível.

6. 7 – Segunda lei da termodinâmica para um fluxo estacionário

A segunda Lei da termodinâmica é dada pela desigualdade de Clausius, ou seja:

0≤ TdQ

(6. 55)

Considerando o caso em que a taxa de calor liberada ou absorvida pelo sistema pode ser

escrita como:

SistemadtdS

dtdQ

T

≤1 (6. 56)

Onde

dmdmdS

dSS == (6. 57)

Considerando que:

dmdS

s = (6. 58)

e dm = ρdV temos:

= dVsS ρ (6. 59)

Considerando o caso em que:

dVst

AdvsdtdS

VCSCSistema ∂

∂+=

ρρ

. , (6. 60)

Substituindo a equação (6. 56) temos:

dVst

AdvsdtdQ

T VCSC ∂

∂+≤ ρρ

.1

, (6. 61)

Considerando que o sistema e o volume de controle coincidem no instante t = 0, temos que:

dAAdtdQ

TdtdQ

TdtdQ

T SCVCSistema=

=

111 (6. 62)

Logo

∂∂+≤

VCSCSC

dVst

AdvsdAAdtdQ

Tρρ

.

1 (6. 63)

Na equação (6. 63) o termo dtdQ

A1

representa o fluxo de calor por unidade de

área para o interior do volume de controle através do elemento de área, dA. Para avaliar o

termo:

dAAdtdQ

TSC

1 (6. 64)

O fluxo de calor local dtdQ

AJ

1= , e a temperatura local, T, precisam ser conhecidas para

cada elemento de área da superfície de controle. Lembrando que da lei de Fourier temos:

TkJQ ∇−= (6. 65)

Temos a partir de (6. 63) que:

∂∂+≤

∇−VCSCSC

dVst

AdvsdATT

k ρρ

. (6. 66)

Capítulo – VII

ESCOAMENTO DE FLUIDOS COMPRESSÍVEIS SEM VISCOSIDADE

RESUMO

Neste capítulo será visto as noções básicas de escoamento de fluidos

compressíveis em condições onde sua viscosidade é desprezível.

Palavras Chave:

PACS números:

7. 1 - Introdução

(7. 1)

Figura - 7. 1.

7. 2 – Fluido invíscido compressível irrotacional em regime permanente

Se o fluido é compressível temos que:

0. ≠∇ v

(7. 2)

Logo, usando a condição de compressibilidade dada em (5. 130) em (5. 113) temos que:

tv

vvdtvd

a∂∂+∇==

).(ρ (7. 3)


tv

vvPf∂∂+∇=∇−

ρρ ).( (7. 4)

A partir da condição de regime permanente temos:

0=∂∂

tv

(7. 5)

logo

vvPf

).( ∇=∇− ρ (7. 6)

7. 3 – Teorema do Transporte de Reynolds

Para derivar as equações que governam o escoamento de um fluido compressível,

nós precisamos considerar integrais de qualquer função de posição e tempo ),( trXρ sobre

um volume de fluido. Este volume se moverá com o fluido mas consiste das mesmas

partículas fluidas. Tal volume é chamado de um volume material e será denotado por VX(t).

Consideremos a expressão:

dVtrtMtV

XX

X

),()()(

= ρ (7. 7)

A qual define a função de t. O teorema de transporte de Reynolds’s nos diz como calcular a

derivada de )(tM X em relação ao tempo.

dVtrdtd

dttdM

tVX

X

X

),()(

)(

= ρ (7. 8)

Note que por causa do volume V(t) variar com o tempo e mover-se com o fluido, não é

possível tomar a derivada sob o sinal de integração, Contudo, é necessário usar a derivada

material de )(tM X . Portanto o teorema pode ser escrito como:

dVt

vdVtrdtd

tV

XX

tVX

X

∂∂+∇=

)()(

).(),(ρρρ

(7. 9)

Onde v é a velocidade da partícula fluida.

Aplicando o teorema da divergência a equação (7. 9) nós obtemos a seguinte

forma equivalente do teorema de transporte:

∂∂+=

)()()(

.),(tV

X

tSX

tVX

XXX

dVt

dAnvdVtrdtd ρρρ

(7. 10)

Onde SX(t) é a superfície de VX(t) e n é o vetor unitário normal dirigido para fóra de SX(t).

Fisicamente, a equação (7. 10) estabelece que a taxa de variação da integral de

),( trXρ é igual a integral da taxa de variação de ),( trX

ρ sobre uma região fixada mais a

resultante do fluxo de através da superfície SX(t). O resultado pemanece para qualquer função

escalar, vetorial ou tensorial.

7. 4 - Equações da quantidade de movimento:

A conservação do momento requer que a taxa de variação do momento de uma

partícula fluida no tempo em um volume material, VX(t) dever ser igual a soma das forças

externas que atuam sobre VX(t).

= exttV

X FdVtrdtd

X

),(

)(

ρ (7. 11)

As forças externas que atuam sobre VX incluem ambas as forças de massa (devido a

gravidade) e as de superfície (devido as tensões). A força de massa total, f, é dada por:

dVgtrdtd

FtV

V

),()(= ρ (7. 12)

Onde g

é a força total por unidade de massa. Usualmente g

é devido a efeitos

gravitacionais.

A força superficial devido as tensões que atuam sobre o elemento dA, do contorno

da superficie de V(t) é dada por:

nT ˆ].[=

(7. 13)

Onde T

é o vetor tensão. A força de tensão total, FS, portanto dada por:

dATFtS

S =)(

(7. 14)

ou

dAnFtS

S =)(

ˆ].[

(7. 15)

Onde S(t) é a superfície de contorno de V(t), σ é o tensor das tensões e n é o vetor normal

unitário apontado na direção de S(t). Aplicando o teorema da divergência nós obtemos:

dVFtV

S ∇=)(

).(

(7. 16)

A partir das equações (7. 12) e (7. 16) a força externa total é dada por:

SVext FFF

+= (7. 17)

Ou

dVdVgtrFtVtV

ext ∇+=)()(

).(),(

ρ (7. 18)

Substituindo este resultado em (7. 11)

dVdVgtrdVtrdtd

tVtVtVX

X

∇+=)()()(

).(),(),( ρρ (7. 19)

Aplicando o teorema do transporte de Reynolds na equação acima nós obtemos:

dVdVgtrdVtv

vvtVtVtVX

∇+=

∂∂+∇

)()()(

).(),()(

).(

ρρρ (7. 20)

Desde que V(t) é arbitrário, nós temos depois de rearranjado os termos que:

tv

vvgtr∂

∂=∇−∇+ )().(.),(

ρρρ (7. 21)

Esta equação é chamada de equação do momento.

7. 5 – Equações da Conservação da Energia

A energia total de um fluido em um volume material V(t) é dada pela soma de

suas energias cinéticas e internas. Se u é a energia interna por unidade de volume, a energia

total é portanto dada por:

dVudVvdVuvdt

dU

tVtVtVX

+=

+=)(

2

)()(

2

21

21 ρρρ (7. 22)

A primeira lei da termodinâmica estabelece que o aumento na energia interna total

de um volume material V(t), com contorno S(t) é igual ao trabalho sobre o volume menos o

calor perdido através de S(t).

A taxa temporal de trabalho realizado sobre um volume material por forças

externas é devido a ambas as forcas de superfície (ou contato) e de volume (ou de massa).

A taxa temporal de trabalho realizado por forças de superfície é dada por:

dAnvdATvdt

dW

tStS

S

XX

)ˆ]..[().()()(

== (7. 23)

Onde nós temos usado a definição de vetor tensão T. Usando o teorema da divergência, a

equação acima pode ser escrita como uma integral de volume, isto é:

dVvdATvdt

dW

tStS

S

XX

]).[.().()()(

∇== (7. 24)

Nós consideraremos somente forças de massa devido a gravidade. Denotando a aceleração

devido a gravidade por g, a taxa de trabalho realizado sobre o volume material pelas forças

gravitacionais é dado por:

dVvgdt

dW

tV

g

X

=)(

).(ρ (7. 25)

A taxa total do trabalho realizado sobre o volume material devido a ambas, tensão

e forcas gravitacionais é, portanto a soma das equações (7. 24) e (7. 25).

∇+=)()(

]).[.().(tVtV XX

dVvdVvgdt

dW

ρ (7. 26)

Considere agora o fluxo de calor através da superfície S(t). Seja QJ

o fluxo de

calor em um ponto sobre S(t). A taxa de calor perdido a partir de S(t) é dado por:

dVJdAnJdtdQ

QtVtS

Q

XX

).()ˆ.()()(

∇== (7. 27)

Onde novamente, nós temos usado o teorema da divergência para transformar a integral da

superfície em uma integral de volume.

Equacionando a soma das equações (7. 24), (7. 25) e (7. 26) para a taxa de

aumento total na energia dadas, usando-se a equação (7. 22).

dVJdVvgudVdtd

dVvdtd

tVQ

tVtVtV XXXX

∇−=+)()()(

2

)(

).().(21 ρρρ (7. 28)

Neste ponto é importante considerar o significado físico da equação (7. 28). Por

conveniência cada expressão na equação (7. 28) foi rotulada. Os significados físicos dos

termos são:

i) A taxa de variação da energia cinética do volume material

ii) A taxa de variação da energia interna do volume material

iii) A taxa de trabalho realizado sobre o fluido dentro do volume material pelas forças

viscosas.

iv) A taxa de trabalho realizado sobre o fluido dentro do volume material pelas forças

gravitacionais.

v) A perda de calor a partir do fluido dentro do volume material devido a condução

através da superfície S(t).

Pode-se mostrar que a taxa de variação da energia cinética é dada por:

dVvdVvdVvgdVvdtd

tVtVtVtV XXXX

∇+∇−=)()()(

2

)(

]).[.(])[:]([).(21

ρρ

(7. 29)

Substituindo este resultado na equação (7. 28) nós obtemos:

dVJdVvudVdtd

tVQ

tVtV XXX

∇−∇=)()()(

.])[:]([

ρ (7. 30)

Aplicando a teorema de transporte de Reynolds temos:

dVJdVvdVvuut tV

QtVtV XXX

∇−∇=

∇+∂∂

)()()(

.])[:]([).()(

ρρ (7. 31)

Como V(t) é uma região arbitrária nós temos:

QJvvuut

.])[:]([).()( ∇−∇=∇+

∂∂

ρρ (7. 32)

Expandindo a expressão (7. 32) e usando a definição de derivada material dada

em (5. 87) nós temos:

).().()().()( uvvuut

vuut

ρρρρρ ∇+∇+∂∂=∇+

∂∂ (7. 33)

).()().()( vuudtd

vuut

∇+=∇+∂∂ ρρρρ (7. 34)

).().()( vudtd

udtdu

vuut

∇++=∇+∂∂ ρρρρρ (7. 35)

Usando da equação da continuidade o fato de que:

0=dtdρ (7. 36)

Temos:

).().()( vudtdu

vuut

∇+=∇+∂∂ ρρρρ (7. 37)

Usando a equação acima em (7. 32) nós obtemos:

QJvvudtdu

.])[:]([).( ∇−∇=∇+ ρρ (7. 38)

7. 6 – Relação entre a energia específica e a temperatura

7. 7 – Equações da conservação da energia em termos da temperatura

7. 8 – Equações para o potencial velocidade

Capítulo – VIII

ESCOAMENTO DE FLUIDOS INCOMPRESSÍVEIS COM VISCOSIDADE

RESUMO

Neste capítulo será visto as noções básicas de escoamento com viscosidade.

Descobriremos que, conhecendo-se a lei de viscosidade de um fluido, é possível calcular o

seu campo de velocidades quando este atravessa um determinado volume de controle

conhecido, e vice-versa. A partir da determinação do campo de velocidades todas as demais

propriedades de um fluido podem ser conhecidas através dos cálculos que se seguirão nos

capítulos posteriores

Palavras Chave:

PACS números:

8. 1 – Objetivos do Capítulo

8. 2 – Introdução

Se o produto escalar de dois vetores perpendiculares se anulam, portanto devemos

necessariamente ter que eles são perpendiculares. Contudo, existe o caso em que,

necessariamente:

8. 3 – Características físicas de um escoamento viscoso

Considere o caso prático de movimento de um fluido ao redor de uma asa delgada

ou do casco de um navio. Tal escoamento pode ser grosseiramente representado pelo

escoamento sobre uma placa plana conforme mostra a Figura - 8. 1.

Figura - 8. 1. Escoamento laminar de um fluido viscoso incompressível sobre uma placa plana semi-infinita.

Estamos interessados em obter uma figura qualitativa da distribuição de

velocidades em várias secções transversais ao longo da placa. Duas destas secções são

denotadas por x1, x2, consideremos inicialmente a secção x1.

Digitar o texto do Livro do Fox

Da condição de não-deslizamento sabemos que a velocidade do fluido no ponto A

deve ser nula. E quanto aos demais pontos? Será possível determinar qualitativamente as suas

velocidades? Consideremos então a seguinte questão:

Se a placa influencia no escoamento e o fluido é viscoso deve certamente haver

uma distribuição de velocidades desde o ponto A colado com a placa até um ponto D afastado

infinitamente da placa. Porque a placa estacionária dá origem a um certo esforço de

retardamento tangencial sobre o escoamento. Ela desacelera o fluido a medida que ele se

aproxima da placa, de tal forma que, no limite do ponto D tendendo a infinito a velocidade é

uniforme, porque o fluido escoa sem de pender da placa. Se a pressão variar ao longo de x

como é o caso, veremos que o perfil de velocidades tende a mudar de forma ao longo de x.

Pois,

2

21

vPdinâmica ρ= (8. 1)

Portanto, parece razoável supor que a velocidade varia suave e monotonicamente ao longo do

eixo y. Desde y = 0 até y = B. Desta forma, o perfil de velocidades fica determinado. Logo em

um ponto intermediário, tal como o ponto C, entre os pontos A e B a velocidade vc deve ser do

tipo:

BCA vvv ≤≤ (8. 2)

Destas características do perfil de velocidades concluímos pela Lei da Viscosidade de Newton

que as tensões tangenciais, ou de cisalhamento, estão presentes desde os pontos 0 ≤ y ≤ yB.

Contudo, para valores de y > yB o gradiente de velocidade é nulo, portanto, nesta região não

há tensões tangenciais.

E quanto ao que acontece na abscissa x2? Será exatamente igual ao traçado para a

secção de abscissa x1? Vemos pela Figura - 8. 1que não! Pelo menos não foi traçado do

mesmo modo! Mesmo que seja qualitativamente igual, não é exatamente o mesmo que

acontece neste ponto. Logo, devemos supor que a placa influencia regiões maiores do campo

de escoamento à medida que caminhamos no sentido do fluxo. Portanto, deve existir também

um campo de tensões tangenciais opostas a direção x (negativo) responsável pelo freiamento

do fluido, atuando como uma força retardadora tanto na direção de y positivo como na

direção de x negativo. Portanto, os pontos em que a placa deixa influenciar o escoamento nas

coordenadas x1 e x2 são diferentes, ou seja, yB’ ≥ yB e vC < vC’. Pensando-se me todos os

pontos intermediários entre x1 e x2 e os anteriores desde x = 0 e os posteriores para x ≥ x2 e

cada um deles com uma posição y, diferente na qual a placa deixa de afetar o escoamento do

fluido, como sendo diferentes. Logo podemos definir o que denominamos de camada limite.

8.2.1 - Camada limite

De acordo com o parágrafo anterior, chamamos de camada limite ao conjunto dos

pontos que formam o contorno ou fronteira geométrica que delimita duas regiões do fluido, a

região afetada daquela não-afetada por uma superfície submersa sobre a qual um fluido escoa.

Portanto, fora da camada limite o gradiente de velocidades é nulo, desse modo as

tensões tangenciais são nulas e o fluido escoa com velocidade uniforme (a resultante das

forças tangenciais são nulas e o fluido escoa por inércia). Nesta região podemos aplicar a

teoria do escoamento de fluidos não viscosos vista até o Capitulo - VI, para analisar seus

movimentos.

Figura - 8. 2. Camada limite em um escoamento laminar de um fluido viscoso incompressível sobre uma placa plana semi-infinita.

Lembrando que a linha de corrente é tangente ao vetor velocidade em cada ponto

do escoamento e não pode haver escoamento através da linha de corrente, podemos perguntar:

Será que ocorre fluxo através da camada limite? Ou seja, será que ela é uma linha de

corrente?

Figura - 8. 3. Linhas de corrente através de uma camada limite.

Como a camada limite intercepta regiões de velocidades diferentes, ela não é uma

linha de corrente, porque existe velocidade ou fluxo através dela, especificamente para seu

interior.

Para uma dada velocidade v∞ a espessura da camada em y dependerá das

propriedades do fluido em x. Como a tensão tangencial é proporcional a viscosidade, é de se

esperar que a espessura da camada limite dependerá da viscosidade do fluido. A expressão

para o cálculo da espessura da camada limite e de sua taxa de aumento será deduzida

posteriormente.

Figura - 8. 4. Escoamento simétrico e anti-simétrico para um fluido invíscido e viscoso respectivamente.

Considere a Figura - 8. 4

8.2.2 – Ponto de estagnação

É o ponto no qual o campo de velocidades se anula

8.2.3 – Ponto de descolamento

É o ponto a partir do qual a camada limite descola da superfície do corpo imerso em um fluido.

8.2.4 – Arrasto

É a resultante das tensões tangenciais na direção do escoamento. Todos os corpos

que se deslocam no seio de um fluido viscoso (real) sofrem arraste.

8.2.5 - Esteira

É a região de baixa pressão deficiente de quantidade de movimento atrás de um

corpo imerso em um fluido. Sabemos que quanto maior for a esteira maior será o arraste.

Figura - 8. 5. Escoamento de um fluido viscoso com camada limite, ponto de descolamento, ponto de estagnação e esteira.

8. 4 – A deformação de fluidos

A deformação angular de um elemento fluido envolve variações do ângulo entre

duas linhas perpendiculares deste elemento. Referindo-se a Figura - 8. 6, vemos que a

deformação angular do elemento fluido é a diminuição do ângulo entre as linhas oa e ob, ou

seja,

Figura - 8. 6. Deformação angular de um elemento fluido em campo de escoamento bidimensional.

cuja deformação total é dada por:

dtd

dtd

dtd βαγ +=− . (8. 3)

Então

tx

tdtd

tt ∆∆∂=

∆∆=

→∆→∆

/limlim

00

ηαα. (8. 4)

Como

txx

v y ∆∆∂∂

=∆η , (8. 5)

temos:

x

v

t

xtxxv

dtd yy

t ∂∂

=∆

∆∆∆∂∂=

→∆

/)/(lim

0

α. (8. 6)

Logo,

x

v

dtd y

∂∂

=α (8. 7)

e

ty

tdtd

tt ∆∆∂=

∆∆=

→∆→∆

/limlim

00

ζββ (8. 8)

Como

tyyvx ∆∆

∂∂−=∆ζ (8. 9)

Temos:

yv

tytyyv

dtd xx

t ∂∂−=

∆∆∆∆∂∂−=

→∆

/)/(lim

0

β (8. 10)

Logo,

yv

dtd x

∂∂=β

(8. 11)

Conseqüentemente, a deformação angular no plano xy é:

yv

x

v

dtd

dtd

dtd xy

∂∂+

∂∂

=+=− βαγ (8. 12)

A tensão tangencial é relacionada com a deformação angular através da

viscosidade do fluido (Lei de Hooke para o fluido). No escoamento viscoso (em que estão

presentes os gradientes de velocidade) é altamente improvável que xv y ∂∂ / seja igual e

oposto a yvx ∂∂ / no campo de escoamento (por exemplo, consideremos o escomento dentro

da camada limite). A presença de forças de viscosidade significa que o escoamento é

rotacional.

8. 5 – Lei da viscosidade de Newton para um fluido incompressível

Agora que estamos de posse da equação de movimento de um fluido dada em ()

que já inclui termos de compressibilidade, só falta agora incluir o termo de viscosidade. Mas

nós sabemos que a lei de Newton dada em Erro! A origem da referência não foi

encontrada. por:

∂∂+

∂∂

=yv

x

v xyxy µτ (8. 13)

Observe que a partir de (8. 12) temos

dt

d xyxy

γµτ = (8. 14)

Naturalmente a Lei de Newton escrita dessa forma possui sua interpretação em termos da Lei

de Hooke generalizada para envolver o caso de deformação em fluidos ao invés de sólidos,

onde o tensor gradiente de velocidade é substituído pelo tensor taxa de deformação. Agora só

nos resta escrever a equação (8. 13) e (8. 14) em termos na notação vetorial, ou seja:

)( ∇+∇= vvxyµτ (8. 15)

Portanto,

)](.[ ∇+∇∇= vvfvisc

µ (8. 16)

8. 6 – A força viscosa de Newton

Conforme vimos a densidade volumétrica de força, viscf

é dado pelo divergente

do campo de tensão. Logo, no caso da força viscosa temos:

xyviscf τ.∇=

(8. 17)

8. 7 – A equivalência entre a Lei de Newton e a Lei de Hooke para a viscosidade

8. 8 – Tensor taxa de deformação

O movimento geral de um fluido envolve translação, deformação e rotação. A

translação de um ponto em um fluido é definida por seu vetor velocidade,v

A deformação e a

rotação de um fluido de pende do tensor gradiente de velocidade v∇ .

Nós trataremos agora com a taxa na qual os fluidos se deformam. Esta é

caracterizada pelo tensor das deformações, , definido como:

∇+∇= vv

(8. 18)

onde ∇v

é o transposto da matriz v∇ .

Usando-se coordenadas cartesianas, , pode ser escrito como uma matriz de suas

componentes:

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

∂∂

+∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂

=

zv

z

v

yv

zv

xv

yv

z

v

y

v

x

v

yv

xv

zv

yv

x

v

xv

zyzxz

zyyyx

zxxyx

2

2

2

(8. 19)

Este tensor descreve a taxa na qual o material muda de forma. Como o tensor das

tensões, ele é também simétrico, ou seja:

j

i

i

j

i

j

j

i

xv

x

v

x

v

xv

∂∂+

∂∂

=∂∂

+∂∂

(8. 20)

8. 9 – Rotação de um fluido viscoso

A rotação, w

, de uma partícula fluida é definida pela velocidade angular média

de duas linhas mutuamente perpendiculares que se cortam no centro da partícula.

Figura - 8. 7. Rotação de uma partícula em torno de um ponto.

A rotação é uma grandeza vetorial. Uma partícula movendo-se em um campo de

escoamento tridimensional, geral, pode girar em torno de três eixos coordenados.

kwjwiww zyxˆˆˆ ++= (8. 21)

Em que wx é a rotação em torno do eixo x, wy é a rotação em torno do eixo y, wz é a rotação

em torno do eixo z. O sentido positivo da rotação é dado pela regra da mão direita.

Figura - 8. 8. Rotação em torno dos três eixos cartesianos, cujo sentido é dado pela regra da mão direita.

Para obtermos a expressão matemática da rotação nos fluidos, consideremos o

movimento de um elemento fluido no plano xy. As componentes da velocidades no campo de

escoamento são dada por vx(x, y) e vy(x, y). A rotação do elemento de um fluido em tal campo

de escoamento é ilustrada pela Figura - 8. 9.

Figura - 8. 9. Rotação de um elemento fluido em um campo de escoamento bidimensional.

As duas linhas mutuamente perpendiculares ao e ob (se as velocidades nos pontos

a e b forem diferentes da velocidade em o) giram para posições indicadas na figura, no

intervalo de tempo ∆t.

Consideremos, inicialmente, a rotação da linha oa de comprimento ∆x. A rotação

desta linha é devida à variação da componente da velocidade segundo o eixo dos y. Se esta

componente, y, da velocidade, no ponto O, for designada por voy, a componente de velocidade

no ponto a, segundo o eixo y, pode ser assim escrita, usando o desenvolvimento em série de

Taylor, da seguinte forma:

xx

vvv y

oyy ∆∂∂

+= (8. 22)

A velocidade angular da linha oa é dada por:

tx

tw

ttoa ∆

∆∂=∆∆=

→∆→∆

/limlim

00

ηα. (8. 23)

Como

txx

v y ∆∆∂∂

=∆η , (8. 24)

temos:

x

v

t

xtxxvw yy

toa ∂

∂=

∆∆∆∆∂∂

=→∆

/)/(lim

0 (8. 25)

A rotação da linha ob de comprimento ∆y é devida à variação da componente da

velocidade segundo o eixo dos x. Se esta componente, x da velocidade, no ponto O, for

designada por vxo, a componente de velocidade no ponto b, segundo o eixo x, pode ser assim

escrita, usando o desenvolvimento em série de Taylor, da seguinte forma:

yyv

vv xxox ∆

∂∂+= (8. 26)

A velocidade angular da linha oa é dada por:

ty

tw

ttob ∆

∆∂=∆∆=

→∆→∆

/limlim

00

ζβ (8. 27)

Como

tyyvx ∆∆

∂∂−=∆ζ (8. 28)

Temos:

yv

tytyyv

w xx

toa ∂

∂−=∆

∆∆∆∂∂−=→∆

/)/(lim

0 (8. 29)

(o sinal negativo é aplicado para dar valor positivo a wob. De acordo com a nossa convenção, a

rotação em sentido anti-horário é positiva).

A rotação do elemento fluido em torno do eixo z é a velocidade angular média das

duas linhas mutuamente perpendiculares oa e ob, do elemento, no plano xy, é:

)(21

yv

x

vw xy

z ∂∂−

∂∂

= (8. 30)

Considerando a rotação das duas linhas perpendiculares nos planos yz e xz,

podemos mostrar que:

)(21

z

v

yv

w yzx ∂

∂−

∂∂= (8. 31)

e

)(21

xv

zv

w zxy ∂

∂−∂∂= (8. 32)

Então de acordo com (8. 21) temos:

kyv

x

vj

xv

zv

iz

v

yv

w

kwjwiww

xyzxyz

zyx

ˆˆˆ21

ˆˆˆ

∂∂−

∂∂

+

∂∂−

∂∂+

∂∂

−∂∂=

=++=

(8. 33)

Verificamos que o termo entre colchetes é o rotacional de v×∇ . Então usando a nptação

vetorial, podemos escrever:

vw ×∇=

21

(8. 34)

Sob que condições devemos esperar que determinado escoamento seja

irrotacional?

A partícula fluida, movendo-se, sem rotação, em um campo de escoamento, não

pode desenvolver rotação sob a ação de forças de massa ou de forças de superfícies normais a

ela (pressões). O desenvolvimento de rotação em uma partícula fluida, inicialmente sem

rotação, requer a ação de tensão tangencial na superfície desta partícula. Como a tensão

tangencial é proporcional a deformação angular, segue-se que a partícula, inicialmente sem

rotação, não desenvolverá rotação sem que haja deformação angular simultaneamente. A

tensão tangencial está relacionada com a deformação angular pela viscosidade. A presença de

forças de viscosidade significa que o escoamento é rotacional(1).

A condição de irrotacionalidade, só pode ser uma hipótese válida para aquelas

regiões do escoamento nas quais as forças de viscosidade são desprezíveis(2). (Esta região

existe, por exemplo, fóra da camada limite do escoamento sobre uma superfície sólida). O

fator ½ pode ser eliminado da equação (8. 33) definindo-se a entidade denominada vórtice,

, que vale o dobro da rotação.

vw ×∇== 2 (8. 35)

Onde

1 2

zzr

rr

ˆˆ1ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ θ

θ (8. 36)

O vórtice, em coordenadas cilíndricas, tem por expressão.

zv

rrv

rrv

zv

rz

vvr

v rzrz ˆ)(1ˆˆ1

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂=×∇

θθ

θθθ

(8. 37)

8. 10 – A equação de movimento de um fluido viscoso

A força resultante pode ser escrita a partir da soma das forças superficiais e

volumétricas como:

dVfdVPfdVFd vis+∇−= .

(8. 38)

Logo (5. 6) fica

dVadVfdVPfdV viscρ=+∇− . (8. 39)

Portanto:

afPf viscρ=+∇− (8. 40)

Esta equação representa a deslocamento de um fluido sujeito apenas tanto a

pressão, ou seja, forças na direção normal da superfície do fluido, como a forças tangenciais

onde se inclui a lei da viscosidade de Newton dada em Erro! A origem da referência não foi

encontrada..

Usando o fato de que:

tv

vvdtvd

a∂∂+∇==

).( (8. 41)

isto é, substituindo (5. 113) em (8. 40) temos:

∂∂+∇=+∇−

tv

vvfPf visc

).(ρ (8. 42)

8. 11 – A equação de movimento de um fluido viscoso incompressível

Considerando que a força viscosa é dada por:

τ.∇=viscf (8. 43)

Onde τ é dado a partir da Lei de Newton para a viscosidade, ou seja,

v∇= µτ (8. 44)

Logo

).( vfvisc∇∇= µ (8. 45)

Ou pela identidade temos:

vvv 2).( ∇+∇∇=∇∇ µµµ (8. 46)


∂∂+∇=∇+∇∇+∇−

tv

vvvvPf

).(2 ρµµ (8. 47)

Considerando que a viscosidade do fluido é constante, ou seja, 0=∇µ , temos:

tv

vvPf∂∂=∇+∇∇+∇−

ρµµ 2 (8. 48)

8. 12 – Circulação, rotacional e vorticidade

A vorticidade é a medida da rotação de um elemento fluido em movimento em um

campo de escoamento. A circulação, , é definida pela integral da componente tangencial da

velocidade em trono de uma linha curva fechada, fixa, do escoamento.

=ΓC

sdv

. (8. 49)

Em que sd

é o vetor elementar, de módulo ds, tangente à curva. O sentido positivo

corresponde ao sentido anti-horário de integração ao longo da curva. A relação entre

circulaçào e vórtice pode ser obtida pelo elemento fluido da Figura - 8. 10. As variações de

velocidade ai mostradas concordam com as usadas para determinar a expressão da rotação dos

fluidos.

Figura - 8. 10. Componentes da velocidade nos limites de um elemento fluido.

Para a curva fechada Oacb temos:

yvxyyv

vyxx

vvxvd y

xx

yyx ∆−∆

∆∂∂+−∆

∆

∂∂

++∆=Γ (8. 50)

donde

yxyv

x

vd xy ∆∆

∂∂−

∂∂

=Γ (8. 51)

Logo

yxwd z ∆∆=Γ 2 (8. 52)

Então

dAvdAwsdvzz

C ×∇===Γ )(2.

(8. 53)

A equação (8. 53) é o enunciado do Teorema de Stokes para escoamento bi-

dimensional. Assim, a circulação ao longo de um contorno fechado é a soma da vorticidade

no seu interior.

8. 13 – Teorema de Stokes

Vamos agora definir, assim como o divergente, um outro operador diferencial que

nos ajudará muito na solução de problemas de fluxos de massa e energia em direções

tangenciais a superfície. Portanto, a partir de ( ) vamos tomar a derivada em relação a

superfície da componente tangencial do fluxo de massa dado por:

×−=×∇

S

AdvdVd

dVvMd

ρ)( (8. 54)

A qual chamaremos de rotacional da grandeza escalar φτ(x,y,z,t) definida por:

×−=×∇≡S

AdvvM ρφτ (8. 55)

Como

vJ

ρ= (8. 56)

Logo φτ(x,y,z,t) pode ser escrito como:

×−≡S

AdJ

τφ (8. 57)

Podemos chamar de rotacional de J

a equação:

dVd

VJ

V

ττ φφ =∆∆≡×∇

→∆ 0lim

(8. 58)

logo

×−=×∇S

AdJdVd

J

(8. 59)

Do qual podemos escrever:

)()( ×=×∇S

AdJddVJ

(8. 60)

Ou integrado no volume temos:

×−=×∇SV

AdJdVJ

(8. 61)

Este teorema, de uma forma geral, relaciona integral de volume com a integral de

superfície.

8. 14 - Fluxo estacionário – Teorema de Bernoulli

A partir de (5. 113) nós temos a seguinte identidade vetorial

).(21

)().( vvvvvv ∇+××∇=∇ (8. 62)

Logo a equação (6. 6) fica:

tv

vvvvPf∂∂+∇+××∇=∇−

ρρ )].(21

)[( (8. 63)

Chamando de vorticidade a grandeza

v×∇=Ω , (8. 64)

a qual é perpendicular ao plano que contém o campo de velocidades, temos:

tv

vvvPf∂∂+∇+×Ω=∇−

ρρ )].(21

[ (8. 65)

Aplicando o produto escalar de v

temos:

]).(21

.[).(tv

vvvvPfv∂∂+∇+×Ω=∇−

ρ (8. 66)

Observe que o produto vetorial de v×Ω é um vetor que está no próprio plano das

velocidade. Reescrevendo (6. 21) temos:

].[)].(21

.[tv

vvvvPfv∂∂+×Ω=∇−∇−

ρρ . (8. 67)

Considerando o caso em que o produto escalar entre a vorticidade, ΩΩΩΩ, e a

velocidade, v

, é nula, porque são perpendiculares, ou seja,

0).( =×Ω vv

, (8. 68)

então:

tv

vvvPfv∂∂=∇−∇−

.)].(

21

.[ ρρ . (8. 69)

Para ϕρ∇−=f temos:

tv

vvvPv∂∂=−−−∇

.)].(

21

[. ρρρϕ . (8. 70)

Logo dividindo tudo por v

temos:

tv

vvP∂∂=−−−∇

ρρρϕ )].(21

[ (8. 71)

Supondo que 0/ =∂∂ tv

, ou seja, o escoamento é permanente,

0)].(21

[ =−−−∇ vvPρρϕ (8. 72)

Necessariamente devemos ter:

constantevvP =++ ).(21 ρρϕ . (8. 73)

Essa é a equação de Bernoulli para uma linha de corrente em um escoamento permanente de

um fluido incompressível.

8. 15 – Campo rotacional de velocidades

A partir da equação

tv

vvfPf visc ∂∂+∇=+∇−

ρρ ).( (8. 74)

Substituindo a identidade vetorial dada em temos:

tv

vvvfPf visc ∂∂+∇+×Ω=+∇−

ρρ )].(21

[ (8. 75)

(8. 76)

Capítulo – IX

ESCOAMENTO DE FLUIDOS COMPRESSÍVEIS COM VISCOSIDADE

RESUMO

Neste capítulo será visto as noções básicas de escoamento compressível com

viscosidade, onde será deduzida a equação de Navier-Stokes, que consiste em uma

generalização da 2a Lei de Newton para fluidos. Neste capítulo faremos a devidas

generalizações da Lei da Viscosidade de Newton para as situações de fluidos newtonianos e

não-newtonianos.

Palavras Chave: Fluidos não-newtonianos;

PACS números:

9. 1 – Introdução

Neste capítulo será visto as noções básicas de escoamento compressível com

viscosidade. Esta é a condição mais geral possível para o escoamento de um fluido. A

equação mais importante a ser deduzida nesta parte é a equação de Navier-Stokes, que

consiste em uma generalização da 2a Lei de Newton para fluidos

(9. 1)

Se o fluido é compressível temos que:

0. ≠∇ v

(9. 2)

Logo, usando a condição de compressibilidade dada em (5. 130) em (5. 113) temos que:

tv

vvdtvd

a∂∂+∇==

).(ρ (9. 3)


tv

vvPff visc ∂∂+∇=∇−+

ρρ ).( (9. 4)

Logo a equação (7. 4) fica:

tv

vvPff visc ∂∂+∇=∇−+

ρρ ).( (9. 5)

9. 2 – A força viscosa de Navier-Stokes

Considerando a equação (5. 89) em (5. 88) podemos escrever

=∇S

pV

p AdJdVJ

.. (9. 6)

Sabendo que =S

pvisc AdJF

. corresponde a uma força viscosa generalizada, temos:

dVJFV

pvisc ∇=

. . (9. 7)

Derivando a equação (9. 7) em relação ao volume, ficamos com:

dVJdVd

dVFd

Vp

visc ∇=

. . (9. 8)

Ou

pvisc J

dVFd

.∇= . (9. 9)

Logo de forma análoga a densidade volumétrica de forcas definida em Erro! A origem da

referência não foi encontrada. e (4. 23) podemos escrever:

pvisc Jf

.∇= . (9. 10)

É preciso lembrar, a partir de (5. 89), para que viscf

seja um vetor é preciso que, de uma

forma geral, pJ

seja uma matriz, isto é, ijpJ S≡

. Logo, acrescentando um termo de força

viscosa a equação (5. 10) temos:

aPff visc

ρ=∇−+ . (9. 11)

onde

aPf ijρ=∇−∇+ S. . (9. 12)

Esta equação amplia o conceito de 2a Lei de Newton para os fluidos a partir da

equação (5. 10). Porém, nos resta agora identificar como é o campo de velocidades em um

fluido devido a um campo de tensão. Para isto vamos considerar a analogia entre a

deformação limitada de um sólido e a deformação contínua de um fluido, ou seja uma Lei de

Hooke que seja válida para os fluidos, a partir da lei de Hooke para sólidos elásticos, como

veremos a seguir.

9. 3 – A lei da viscosidade de Navier-Stokes para um fluido incompressível desenvolvida a partir da Lei de Hooke.

Desenvolveremos a segunda parte da lei de Stokes para a viscosidade

considerando inicialmente a ação de um corpo elástico isotrópico. Como nós já havíamos dito,

um fluido pode ser considerado como um sólido que se deforma continuamente, onde é válida

a Lei da Viscosidade de Newton de forma análoga a Lei de Hooke. Esta lei pode ser escrita,

na sua forma generalizada, para um corpo isotrópico da seguinte forma:

Considere um corpo em sua forma primitiva não deformada como mostrado pela

linha cheia na Figura - 9. 1. O corpo em sua geometria deformada está mostrado pela linha

interrompida.

Figura - 9. 1. Corpo deformado mostrando o ponto a deslocado após a deformação local s.

Um elemento a desloca-se para a posição a’, por uma velocidade v

. Usando

componentes paralelas a uma referência convenientes x, y, z temos S

.

kjiS ˆˆˆ ζηξ ++=

. (9. 13)

Onde ζηξ e,, , para dada deformação são funções das coordenadas de posição primitiva x, y,

z dos elementos do corpo. Podemos então definir deformações normais da seguinte maneira:

xxx ∂∂= ξε , (9. 14)

yyy ∂∂= ηε , (9. 15)

zzz ∂∂= ζε . (9. 16)

Da resistência dos materiais, sabemos que as tensões e deformações normais estão

relacionadas com pequenas deformações pela Lei de Hooke da seguinte maneira:

)]([1

zzyyxxxx vE

σσσε +−= , (9. 17)

)]([1

zzxxyyyy vE

σσσε +−= , (9. 18)

)]([1

zzxxzzzz vE

σσσε +−= . (9. 19)

Onde E é o módulo elástico de Young e v é o coeficiente de Poisson. Recordamos que o

módulo de cisalhamento, G, é relacionado com E e v, pela seguinte relação

)1(2 vE

G+

= . (9. 20)

Para chegar a lei da viscosidade de Stokes, obtemos as tensões normais em termos

dos deslocamentos. Para fazê-lo, somamos as equações (9. 17) a (9. 19) e coletamos os termos

da seguinte forma:

][21

zzyyxxzzyyxx Ev σσσεεε ++−=++ . (9. 21)

Observando as definições de (9. 13) a (9. 16) pode-se verificar que o primeiro

membro da equação (9. 21) é o divergente de S, ou ∇∇∇∇.S, logo reordenando (9. 21), obtemos:

S.21

∇−

=++v

Ezzyyxx σσσ . (9. 22)

Resolvendo a equação (9. 17) para σxx, temos:

)]( zzyyxxxx vE σσεσ ++= , (9. 23)

Somando e subtraindo vσxx no segundo membro da equação acima e substituindo εxx por

∂ξ/∂x, obtemos:

xxzzyyxxxx vvx

E σσσσξσ −+++∂∂= )( , (9. 24)

Empregando a equação (9. 22) para substituir a soma das tensões normais, podemos reordenar

a equação acima da seguinte forma:

S.21

)1( ∇−

+∂∂=+

vvE

xEvxx

ξσ , (9. 25)

Dividindo por (1 + v) e observando a equação (9. 22) junto com a definição de σ , dada por:

( )zzyyxx σσσσ ++=31

. (9. 26)

A partir de (9. 22) temos que:

S.)21(3

1 ∇−

=v

Eσ , (9. 27)

Logo podemos escrever a equação (9. 25) na forma:

σξσ +∇−

−∇−+

+∂∂

+= SS .

)21(31

.)21)(1()1( v

Evv

vExv

Exx , (9. 28)

Onde os últimos termos são adicionais, cuja soma é zero. Logo, pondo em evidência os

termos semelhantes

σξσ +∇−

−+

+∂∂

+= S.

)21(31

)1()1( vE

vv

xvE

xx , (9. 29)

e combinado os coeficientes do termo ∇.S, obtemos:

σξσ +∇−

+−+

∂∂

+= S.

)21()1(312

)1( vE

vv

xvE

xx , (9. 30)

Ou

σξσ +∇+

−∂∂

+= S.

)1(31

)1( vE

xvE

xx , (9. 31)

Substituído agora )1/( vE + por 2G, dado de acordo com (9. 20), obtemos:

σξσ +∇−∂∂= S.

32

2 Gx

Gxx , (9. 32)

Coletando os termos e exprimindo as equações correspondentes para outros componentes de

tensão, obtemos as relações desejadas de tensão-deslocamento, ou seja:

σξσ +∇−∂∂= S.

32

2 Gx

Gxx , (9. 33)

e

σξσ +∇−∂∂= S.

32

2 Gy

Gyy , (9. 34)

e

σξσ +∇−∂∂= S.

32

2 Gz

Gzz , (9. 35)

9. 4 – O campo de tensão de Navier-Stokes

Considere um fluido com propriedades isotrópicas sujeito a uma tensão qualquer

em uma direção genérica. De acordo com Poisson, para cada tensão aplicada na direção

normal, σii, (onde i = 1, 2, 3) , de um total de três deformações possíveis, εii, εjj, εkk, cada uma

das tensões, σxx, σyy, σzz, é responsável por duas deformações nas direções perpendiculares, εjj,

εkk e apenas uma deformação, εii, na direção da tensão normal, conforme mostra a Figura - 9.

2, ou seja:

S.32

2 ∇−∂∂= G

xGxx

ξσ , (9. 36)

De acordo coma lei de Hooke para fluidos temos:

∇−= ])[.(32

][][ IS v

µ (9. 37)

Como o tensor taxa de deformação é idêntico ao tensor gradiente de velocidades,

isto é, v

∇= , para obter a Lei de Stokes, basta substituir o módulo de cisalhamento pelo

coeficiente de viscosidade, µ, e as componentes de deslocamento pelas componentes de

velocidade. Assim, ficamos com:

σµσ +

∇−∂∂= v.

32

2xvx

xx , (9. 38)

e

σµσ +

∇−

∂∂

= v.32

2y

vyyy , (9. 39)

e

σµσ +

∇−∂∂= v.

32

2zvz

zz , (9. 40)

Ou de uma forma geral temos para i = j que:

σµσ +

∇−

∂∂= v.

32

2j

iji x

v, (9. 41)

e

∂∂

−∂∂=

i

j

j

iij x

v

xv

2µτ , (9. 42)

Figura - 9. 2. Componentes das deformações de um fluido para cada tensão normal aplicada na superfície.

De forma análoga a deformação em um sólido, podemos considerar para cada uma

das três deformação normais, εii, εjj, εkk, proveniente de cada tensão normal incidente, σii,

(onde i = 1, 2, 3), como sendo uma componente de velocidade, vii, vjj, vkk. Logo, trocando G

por µ, ξ por vi e S por v, na linguagem de fluidos temos:

∇−

∂∂= ])[.(

32

][ IS vxv

y

x µ (9. 43)

Desta forma, podemos escrever:

)].(32

[ vv ∇−∇= µS (9. 44)

Desta forma, para uma direção genérica, v

, da velocidade de um fluido nós

podemos considerar que para qualquer vetor tensão aplicada a um fluido o campo de

velocidades, este pode ser decomposto em três direções principais, onde duas delas são

responsáveis pela viscosidade devido as duas componentes de cisalhamento e uma apenas

responsável pela direção normal devido a uma componente de pressão, conforme mostra a

Figura - 9. 3.

Portanto, como força é dada pelo divergente do campo de tensão temos:

)].(32

[. 2 vvfvisc ∇−∇=∇= µS (9. 45)

Esta é a lei de força viscosa que deve ser acrescentada a equação de movimento

(2a Lei de Newton) do fluido.

Figura - 9. 3. Componentes das velocidades de um fluido sujeito a duas tensões cisalhantes e uma normal

9. 5 - A lei da viscosidade de Navier-Stokes para um fluido compressível

Para um fluido incompressível, o tensor das tensões tangenciais em três

dimensões, de acordo com a Lei da Viscosidade de Newton, para i ≠ j, pode ser definido

como sendo:

)(j

i

i

jij x

vx

v

∂∂+

∂∂

= µτ . (9. 46)

e para i = j temos:

= ∂

∂−∂∂

=3

1

2i i

i

j

jjj x

vx

vλµσ . (9. 47)

Em notação tensorial temos:

vx

v

j

jjj

.2 ∇−

∂∂

= λµσ . (9. 48)

Como

][][ ijjjijS += . (9. 49)

Substituindo (9. 48) e (9. 46) em (9. 49) temos:

vxv

x

vS ij

j

i

i

jij

.)( ∇−

∂∂+

∂∂

= λδµ . (9. 50)

Onde λ = 2/3µ. Logo, para um fluido compressível, o tensor das tensões tangenciais em três

dimensões, de acordo com a Lei da Viscosidade de Newton, pode ser definido como sendo:

∇−

∂∂+

∂∂

= vxv

x

vS ij

j

i

i

jij

.

32

)( δµ . (9. 51)

A densidade volumétrica de força viscosa pode ser definida como o divergente

deste tensor dado por:

∂∂−

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

=∇ ===

3

1

3

1

3

1

)(.i i

i

j

i

i

j

j jj j

ijij x

vxv

x

v

xx

SS λµ . (9. 52)

A densidade volumétrica de força viscosa pode ser definida como o divergente

deste tensor dado por:

∇−

∂∂+

∂∂

∂∂=

∂∂

=∇ ==

vxv

x

v

xx

SS ij

j

i

i

j

j jj j

ijij

.

32

)(.3

1

3

1

δµ (9. 53)

cujo resultado é:

)].(32

[. 2 vvfvisc ∇∇−∇=∇= µS . (9. 54)

9. 6 – A equação de movimento de Navier-Stokes para um fluido viscoso compressível

A partir de (8. 40) e (9. 52) temos:

aPfρ=∇+∇− S. (9. 55)


avvPf ρµ =∇∇−∇+∇− )].(

32

[ 2 (9. 56)


tv

vvdtvd

a∂∂+∇==

).( (9. 57)

Usando (5. 113) em (9. 56) e substituindo temos:

∂∂+∇=∇∇−∇+∇−

tv

vvvvPf

).()].(

32

[ 2 ρµ (9. 58)

Figura - 9. 4. Interpretação dos termos da equação de Navier-Stokes para um fluido.

9. 7 – Fluidos newtonianos e não-newtonianos

Para se tratar com fluidos é necessário ter uma relação entre o tensor de

viscosidade [ττττ] e a taxa do tensor das deformações ][ tal relação é chamada de equação

cosntitutiva (ou equação de consistência)

Uma classe de fluido para a qual a equação de consistência tem uma simples

forma particular é aquela de fluidos Newtonianos. Esta classe possui a seguinte equação de

consistência.

])[.(32

][][ I vd

∇

−−= µµµ (9. 59)

onde, µ é a viscosidade e µd é a viscosidade dilatacional, muito comum em materiais

viscoelásticos.

A viscosidade dilatacional é zero para simples gases. Também para fluxos

incompressíveis, nós temos, 0. =∇ v

, e da equação (9. 59) nós vemos que neste caso a

viscosidade dilatacional não tem efeito. Desde que a viscosidade dilatacional não tem efeito

para estes dois extremos: um gás altamente compressível e um fluido incompressível; nós

supomos que seu efeito é desprezível para um polímero fundido e portanto ignoramos no que

segue:

A equação de consistência para fluidos Newtonianos então torna-se:

])[.(32

][][ I v

∇−= µµ (9. 60)

Colocando o coeficiente de viscosidade em evidência podemos escrever:

∇−= ])[.(32

][][ I v

µ (9. 61)

ou simplesmente

]'[][ µ= (9. 62)

onde ]'[ é chamado de tensor de taxa de defomação deviatório, e é definido como:

∇−= ])[.(32

][]'[ I v

(9. 63)

Para um fluido incompressível (veja secção ) o tensor da taxa de deformação deviatório é

igual ao tensor da taxa de deformação. Neste caso a equação (9. 61) torna-se:

][][ µ= (9. 64)

A equação (9. 64) mostra que para um fluido Newtoniano incompressível, o tensor das

tensões viscosa é linearmente relacionado ao tensor da taxa de deformação. Note que para tais

fluidos a viscosidade é constante a uma dada temperatura. Contudo, a viscosidade pode variar

com a temperatura.

9. 8 – Os coeficientes de viscosidade generalizados

Fluidos para os quais a equação (9. 64) não é válida são chamados de não-

newtonianos. Polímeros fundidos são não-newtonianos. Além do mais eles exibem efeitos

viscoelásticos. Podemos modificar a equação (9. 61) e escrevê-la na forma newtoniana, como

segue:

])[(][ µ= (9. 65)

Escrita desta forma a viscosidade aparente )(µ torna-se uma função da deformação, ou

seja, )(µµ = , também chamada de função viscosidade. No que segue nós simplificaremos

chamando esta simplesmente de viscosidade.

9. 9 - A lei da viscosidade generalizada

A equação (9. 65) define uma classe de fluidos chamada de fluidos newtonianos

generalizados. Estes tipos de fluidos são úteis para o modelamento de fluxo de polímeros em

situações dominadas por forças tangenciais. Exemplos incluem fluxos em tubos e entre placa

planas. Claramente este é o que nós necessitamos para o modelamento no processo de

moldagem por injeção.

Substituindo a equação (9. 65) em Erro! A origem da referência não foi

encontrada. nós obtemos a seguinte relação, válida para um fluido newtoniano generalizado

compressível:

][][][ IS P−= , (9. 66)

Ou

][]')[(][ IS P−= µ , (9. 67)

Logo

][])[.)((32

]')[(][ IIS Pv −∇−= µµ , (9. 68)

Para o caso incompressível, é também possível usar o conceito de um fluido

newtoniano generalizado. Nós simplesmente substituímos a taxa deviatória do tensor das

deformações pela taxa do tensor das deformações para obter:

][][][ IS P−= , (9. 69)

Ou

][])[(][ IS P−= µ , (9. 70)

9. 10 - A força viscosa generalizada de Newton-Navier-Stokes em termos do rotacional de velocidades

Aplicando o produto vetorial do rotacional de ambos os lados temos:

tv

vvvfPf visc ∂∂×∇+∇+×Ω×∇=+∇−×∇

ρρ )].(21

[)( (9. 71)

E reescrevendo temos:

tv

vvvfPf visc ∂×∇∂+∇+×Ω×∇=+∇−×∇ )(

)].(21

[)(

ρρ (9. 72)

Como v×∇=Ω ficamos com:

tvvvfPf visc ∂

Ω∂+∇×∇+×Ω×∇=×∇+∇×∇−×∇ ρρρ ).(21

(9. 73)

Lembrando que 0][ =∇×∇ temos:

][t

vff visc ∂Ω∂+×Ω×∇=×∇+×∇ ρ (9. 74)

Logo para ϕρ∇−=f temos:

0=∇×∇−=×∇ ϕρf (9. 75)

Portanto:

][t

vfvisc ∂Ω∂+×Ω×∇=×∇ ρ (9. 76)

Sabendo que

v×∇=Ω , (9. 77)

temos que:

tv

vfvisc ∂∂+×Ω=

ρρ . (9. 78)

Mas

).(21

).( vvvvvvv ∇−∇=××∇=×Ω , (9. 79)

Logo

tv

vvvvfvisc ∂∂+∇−∇=

ρρρ ).(2

).( . (9. 80)

9. 11 - A equação para o movimento generalizada para um fluido viscoso compressível

A partir de (8. 40) e (9. 52) temos:

tv

Pf∂

∂=∇+∇− )(.

ρS (9. 81)


tv

vvPf d ∂∂=∇−∇−∇∇+∇− )(

)].)(32

[().(

ρµµµ (9. 82)


tv

vvdtvd

a∂∂+∇==

).( (9. 83)

E substituindo temos:

∂∂+∇+

∂∂+∇=∇−∇−∇∇+∇−

tv

vv

vt

vvvvPf d

).(

)..()].)(32

[().(

ρ

ρρµµµ (9. 84)

Esta é uma equação geral capaz de descrever o escoamento de fluidos

compressíveis e viscosos.

9. 12 – Fluxo rotacional não-permanente com viscosidade

Capítulo –X

ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA

RESUMO

Neste capítulo será visto as noções básicas de análise dimensional e semelhança

aplicada a problema de fluidos. Mostraremos a origem das diferentes relaçoes adimensionias

úteis no cálculo de problemas de escala em fluidos.

Palavras Chave:

PACS números:

10. 1 –Introdução

(10. 1)

Apêndices

A 1 - Tabela de Conversão de Unidades

A 2 - Momento Linear e Centro de Massa

A 3 - Momento Angular e Momento de Inércia

A 4 – Expansão em Série de Taylor

A 5 - Análise de Fluxos e Gradientes

A 6 - Operadores diferenciais

Vejamos agora os principais operadores diferenciais estudado neste curso e suas

respectivas interpretações físicas.

Operador Representação Interpretação

Gradiente ( v∇ )

(transforma escalar em

vetor)

zzv

yyv

xxv

v ˆˆˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

É um operador diferencial que

calcula a máxima variação de

um campo escalar, apontando

nesta direção.

Divergente ( v.∇ )

(transforma vetor em

escalar)

zv

y

v

xv

v zyx

∂∂+

∂∂

+∂∂=∇

. É um operador diferencial que

calcula a fonte do campo

vetorial, se o volume contiver

a fonte deste campo o

divergente é zero.

Rotacional ( v×∇ )

(transforma vetor em vetor)

∂∂

∂∂

∂∂

zyx vvvzyx

kji ˆˆˆ

É um operador diferencial

sobre o contorno do volume

de controle que calcula o

efeito da rotação do,campo e

suas consequências físicas

sobre este.

A 7 - Operadores diferenciais em Coordenadas Cartesianas

A7.1 - Gradiente

zzv

yyv

xxv

v ˆˆˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ (A7. 1)

A7.2 - Divergente

zv

y

v

xv

v zyx

∂∂+

∂∂

+∂∂=∇

. (A7. 2)

A7.3 - Rotacional

zyv

x

vy

xv

zv

xz

v

yv

v xyzxyz ˆˆˆ

∂∂−

∂∂

+

∂∂−

∂∂+

∂∂

−∂∂=×∇

(A7. 3)

A 8 - Operadores diferenciais em Coordenadas Cilíndricas

A8.1 - Gradiente

zzvv

rr

rv

v z ˆˆ1ˆ∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ θ

θ (A8. 1)

A8.2 - Divergente

zvv

rrrv

rv zr

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

θθ1)(1

.

(A8. 2)

A8.3 - Rotacional

zv

rrv

rrv

zv

rz

vvr

v rzrz ˆ)(1ˆˆ1

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂+

∂∂−

∂∂=×∇

θθ

θθθ

(A8. 3)

A 9 - Operadores diferenciais em Coordenadas Esféricas

A9.1 - Gradiente

ϕϕθ

θθ

ˆsen1ˆ1ˆ

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇ v

rv

rr

rv

v (A9. 1)

A9.2 - Divergente

ϕθθθ

θϕθ

∂∂

+∂

∂+∂

∂=∇v

rv

rrvr

rv r

sen1)sen(

sen1)(1

.2

2

(A9. 2)

A9.3 - Rotacional

ϕθ

θϕθϕθ

θθ

θ

ϕθϕ

ˆ)(1

ˆ)(

sen11ˆ

)sen(

sen1

∂∂−

∂∂+

∂∂

−∂∂+

∂∂−

∂∂

=×∇

r

r

vr

rvr

r

rvvr

rvv

rv

(A9. 3)

A 10 - Teoremas Diferenciais e Integrais da Mecânica dos Meios Contínuos

∂∂+=

VSV

dVt

AdJdVdtd ρρ

. (A10. 1)

=∇SV

AdJdVJ

.. (A10. 2)

×−=×∇SV

AdJdVJ

(A10. 3)

A 11 - Formulário Geral da Mecânica dos Fluidos

A 12 - A segunda lei de Newton para fluidos

Na mecânica as segunda lei de Newton é dada por:

dtpd

FR

= (A12. 1)

Onde

)( vmdpd = (A12. 2)

Ou

dmvvmdpd += (A12. 3)

Para os fluidos podemos escrever a equação do momento linear vmp = em

termos de um elemento de massa dm qualquer, a partir da definição de densidade, ρ ≡ dm/dV,

da seguinte forma:

ρρ VddVdm += . (A12. 4)

Retornando (A12. 4) em (A12. 3) temos:

vmdvVddVpd ++= )( ρρ (A12. 5)

Definindo a densidade volumétrica de momento linear J

como sendo:

dVpd

J

≡ (A12. 6)

Logo de (A12. 5) temos:

vdVdm

dmpd

J

ρ== (A12. 7)

Agora substituindo (A12. 5) em (5. 1) temos:

dtvd

mvdtd

VdtdV

dtpd

FR

++== )(

ρρ (A12. 8)

Bibliografia - Fox, R. W.; McDonald, A. T., Introdução à mecânica dos fluidos, Editora Guanabara-

Koogan, 4ª Edição.

- Irwin Shames, Mecânica dos Fluidos, vol. I e II, Ed. Edgar Blücher

- Peter Kennedy, Flow analysis of Injection Molds, Carl Hanser Verlag, New York 1995.

- Richard Feymann, Lectures on Physics, Vol. I, II and III, Cap. 38, 39, 40, 41.,

- Incopera, P. I. DeWitt, D. P. Fundamentos de transferência de calor e de massa, Editora

LTC, 4ª Edição, 1998

capítulo – iv · arestas dx, dy e dz, como mostra a figura - 4. 1. figura - 4. 1. elemento...

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