capítulo 9 modelos para a previsão do k 524 - transfmassa/eng 524_… · molecular de fick....

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Transf. de Massa - ENG 524

Pro

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Alb

uq

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qu

e, E

ng

. Qu

ímic

a IF

BA

Transferência de Massa – ENG 524

Capítulo 9 – Modelos para aprevisão do km

Prof. Édler Lins de Albuquerque 1


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Teorias para Previsão de km

2

✓ Teoria do Filme

✓ Teoria da Camada Limite

✓ Teoria da Penetração

✓ Modelo ou Teoria da Renovação de Superfície

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Teoria do Filme

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✓ Baseia-se na evidência experimental de que emescoamentos turbulentos, junto a uma interface, desenvolve-se sempre uma resistência adicional ao transporte demomentum, calor e de massa;

✓ Foi um marco histórico no estudo dos fenômenos detransporte que permitiu a estruturação dos primeiros modelosde previsão dos Coeficientes de Transferência;

✓ As espessuras das resistências para o transporte demomentum, calor e massa dependerão de N. adimensionaistais como Re, Nu, Sh, Sc etc.


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Teoria do Filme

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✓Premissas básicas:✓ As resistências ao transporte de momentum, calor e massaestão localizadas essencialmente em camadas adjacentes ainterfaces, com espessuras supostamente constantes (M, H,D).✓ Nas camadas, o transporte ocorre em nível molecular e osfluxos são descritos pelas Leis da Viscosidade de Newton, daCondução de Calor de Fourier e da Primeira Lei da DifusãoMolecular de Fick.

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Teoria do Filme

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Transporte ocorre em nível molecular

0AbA

D

ABAAB0A

a

0b

H

0

b

M

0

CCD

dy

dCDJ :Difusão da Fick de Lei 1

TTk

dy

dTkq :Fourier de Condução da Lei

vdy

dv :eviscosidad da Newton de Lei


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Teoria do Filme

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A partir de definições para o fator de atrito e para os coeficientesde transferência de calor e massa, tem-se:

0AbAm0AbA

D

AB0A

0b0b

H

0

2

bfb

M

0

CCkCCD

J

TThTTk

q

2

vCv

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Teoria do Filme

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D

ABm

0AbAm0AbA

D

AB0A

Dk

CCkCCD

J

Admite-se que aregião onde ocorre ofenômeno é um filmeestagnado cujaespessura D é cte. ecujo fluxo é governadopela difusão do soluto,

km DAB/D.

km ~ DAB


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Teoria do Filme

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Rearranjando as expressões anteriores, tem-se:

DAB

m

D

ABm

HH

M

f

M

f

MbMb

f

LSh

D

Lk

L

LDk

LNu

k

hL

L

Lkh

LRe

2

CL

Re

1

2

C

L

L

vv2

C

DHM

f LSh ;

LNu ;

LRe

2

C

O conhecimento de M,T e D possibilitaestimar os valores de Cf,h e km!!!

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Teoria do Filme

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Na prática, a informação sobre M, H e D é muitoescassa e difícil de se conseguir, de forma que, em muitassituações admite-se que tais espessuras são aprox. iguais,ou seja, M= H = D . Assim:

Sh Nu Re2

Cf

A equação anterior expressa uma analogia entre osprocessos de fenômeno de transporte (momentum, calor e

massa). Embora seja válida somente se M= H = D , suaaplicação pode ser de grande utilidade prática.


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Teoria da Camada Limite

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• Como mostrado na figura abaixo, na passagem de um fluxode fluido na superfície de um corpo, desenvolve-se umaCamada Limite Hidrodinâmica de espessura M(x) evelocidade vx(y) devido ao efeito do atrito viscoso.• O escoamento é divido em duas regiões:

✓ A camada limite, onde v varia rapidamente de zero a v∞;✓ A região de escoamento livre (bulk), onde vx = v∞.

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Desenvolvimento de uma Camada Limite Dinâmica deespessura M(x) e velocidade vx(y) no escoamento sobre umaplaca plana parada.

A espessura da camada limite varia com x !!


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Desenvolvimento de uma Camada Limite Mássica deespessura D(x) e concentração CA(y) no escoamento sobreuma placa plana parada, com dimensões W e L.


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Desenvolvimento de uma Camada Limite Dinâmica deespessura M(x) e velocidade vx(y) no escoamento em umatubulação (escoamento laminar ou turbulento).


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Desenvolvimento de uma Camada Limite Mássica deespessura D(x) e concentração CA(y) no escoamento em umatubulação (escoamento laminar ou turbulento).

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Desenvolvimento de uma Camada Limite Mássica deespessura D(x) e concentração CA(y) no escoamento sobreuma placa plana parada, com dimensões W e L.



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Teoria da Camada Limite Laminar

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Sendo as taxas de transferência de massa da interface para oseio do fluido forem pequenas, então podem ser assumidasas seguintes hipóteses:• O perfil de velocidades é aproximadamente linear:

• Perfil de concentrações é aproximadamente linear:

• A razão entre as camadas limite hidrodinâmica e mássica éuma função restrita do número de Schmidt (Sc):

)x(

y

v

)y(v

M

x

)x(

y

CC

C)y(C

D0AA

0AA

)Sc()x(

)x(

M

D

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Consideremos o balanço de massa para o componente A novolume de controle mostrado na figura a seguir. Nele,identifica-se os seguintes fluxos:• Três fluxos de entrada de A: NAe1 através da área D(x)W, NAe2 através da área dA, e JA0 através da área xW;• Um fluxo de saída de A: NAs1 através da área D(x+x)W.


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Contabilizando-se as taxas:• Fluxos de entrada de A: NAe1

através da área D(x)W, NAe2

através da área dA, e JA0 através daárea xW;• Fluxo de saída de A: NAs1 atravésda área D(x+x)W.

O somatório de todas as taxas deve ser nulo:NAe1D(x)W + NAe2dA + JA0xW - NAs1 D(x+x)W = 0

NAe1 – fluxo convectivo de entrada de A em x = CAvx

NAs1 – fluxo convectivo de saída de A em x+x = CAvx

NAe2 – fluxo de A na fronteira da camada limite = CA∞vJA0 – fluxo difusivo de A pela superf. sólida (em y = 0) = -DAB(dCA/dy).

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NAe1D(x)W + NAe2dA + JA0xW - NAs1 D(x+x)W = 0NAe1 – fluxo convectivo de entrada de A em x = CAvx

NAs1 – fluxo convectivo de saída de A em x+x = CAvx

NAe2 – fluxo de A na fronteira da camada limite = CA∞vJA0 – fluxo difusivo de A pela superf. sólida (em y = 0) = -DAB(dCA/dy).

Escrevendo-se a equação acima na forma integral para ointervalo de valores considerado, tem-se:

0

0

0

000

A

xx

x y

AABA

)xx(

)x(

xA

)xx(

xAA

xx

x y

AABA

)x(

xA

dxdy

dCDWdAnvCdyvCW

dyvCWdxdy

dCDWdAnvCdyvCW

D

D

DD


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)Sc(v

xD12)x(

x)x(D12

)Sc(v

dx))x((d )x(D6

)Sc(v

)x(

D))x((

dx

d

6

)Sc(v

ABD

2

D

AB

x

0

)x(

0

DD

AB

D

ABD

D

Uma análise semelhante para a camada limite dinâmica (momentum) leva a:

v

x12)x(M

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21

3/1

2/12/1AB

M

D

AB

M

D

M

ABD

Sc)Sc(

)Sc(Sc)Sc(

D)Sc(

)x(

)x(

x12

v

)Sc(v

xD12)Sc(

)x(

)x(

v

x12)x(

)Sc(v

xD12)x(


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Considerando que quando baixas taxas de transferência demassa são observadas, o fluxo total na interface sólido-fluidopode ser aproximado pelo fluxo difusivo JA0, encontra-se parao coeficiente de transferência de massa a seguinte relação:

x12

ScvDk

x12

ScvD

xD12

ScvD

)Sc(v

xD12

D

)x(

Dk

CCk)x(

CCD

dy

dCDJ

3/12/1

ABm

3/12/1

AB

AB

3/1

AB

AB

AB

D

ABm

A0Am

D

0AAAB

0y

AAB0A

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23

Agrupando em números adimensionais:

3/12/1xx

3/12/1x

AB

m

3/2xAB

AB

3/1AB

AB

3/1

ABm

ScRe3,0Sh 12

1ScRe

D

xk

12

ScRe

x

D

D12

Scxv

x

D

xD12

ScvDk

O valor de km médio para toda a superfície W x L, fica:

3/12/1LL

3/12/1L

AB3/12/1L

ABm

W

0 AB

3/1

AB

W

0

L

0

2/1

AB

3/1

AB

W

0

L

0

m

W

0

L

0

W

0

L

0

m

m

ScRe6,0ShScReL

D6,0ScRe

3

1

L

Dk

WL

dzD3

LScv

DWL

dzdxxD12

ScvD

WL

dzdxk

dxdz

dxdzk

k

Expressões válidas em regime laminar (Re < 5 x 105)!!!! Por quê???

km ~ DAB2/3

<km > ~ DAB2/3


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24

3/12/1LL

3/12/1xx

ScRe 6,0Sh

ScRe 3,0Sh

Expressões finais para a Camada Limite Laminar:

Expressões válidas em regime laminar (Re < 5 x 105)!!!!

km ~ DAB2/3

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Desenvolvimento de uma Camada Limite Mássica deespessura D(x) e concentração CA(y) no escoamento em umatubulação (escoamento laminar ou turbulento).


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Teoria da Camada Limite Turbulenta

26

Seguindo o escoamento além da camada limite laminar, eapós a região de transição (8 x 104 < Rex < 5 x 105), observa-seo desenvolvimento de uma camada limite turbulenta.

Nesta, admite-se as seguintes hipóteses:• O perfil de velocidades é dado por:

• Perfil de concentrações é dado por:

7/1

M

x

)x(

y

v

)y(v

7/1

D0AA

0AA

)x(

y

CC

C)y(C

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Teoria da Camada Limite Turbulenta

27

Após procedimentos muito similares aos realizados para acamada limite laminar, obtém-se para a Camada LimiteTurbulenta as seguintes expressões:

ScRe 0365,0D

LkSh

ScRe 0292,0D

xkSh

3/18,0L

AB

mL

3/18,0x

AB

mx

Expressões válidas em regime Turbulento (Re > 5 x 105)!!!!

km ~ DAB2/3


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28

Uma análise similar para a Convecção Natural fornece aseguinte relação:

Correlações obtidas para o escoamento externo em torno deobjetos:

4/1Sc GrSh

Objeto Correlação

Esfera Sh – 2 = 0,6 (Gr Sc)1/4

Cilindro vertical Sh = 0,59 (Gr Sc)1/4

Placa Sh = 0,54 (Gr Sc)1/4

Cilindro horizontal Sh = 0,525 (Gr Sc)1/4

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Teoria da Penetração

29

✓ Proposta em 1965 por Higbie para prever as taxas detransferência de massa nas operações de absorção gasosa eextração líquido-líquido;

✓ Propõe que bolsões de fluido reversam-se entrando em contatocom as interfaces de troca de matéria, de forma gerar coeficientesde transferência de massa dependentes do tempo de contatodestes bolsões com as interfaces (eventos transientes);

✓ O transporte de massa é assumido como em regime transientee descrito pela 2ª Lei de Fick;

✓ Válida em situações de OPUs nas quais o tempo de contatoentre as fases está de acordo com tempos característicos dedifusão em estado transiente.


Pro

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BA


30

✓ Estudo de Caso: Coluna de Oxigenação

Este sistema pode sermodelado por um processodifusivo unidirecional, emregime transiente, semocorrência de reaçãoquímica e com T e Pconstantes. Assim, vale a 2ªLei de Fick:

AA

0AA

AA

2

A

2

ABA

CCz 0,t:3.C.C

CC0z 0,t:2.C.C

CC0t :1.C.C

z

CD

t

C

tD4

zerfc

CC

CC

AB0AA

0AA

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BA


31


A partir da solução obtida, épossível calcular o fluxomolar de transferência deoxigênio através dainterface gás-líquido:

tD4

zerf1

CC

CC

AB0AA

0AA

tD4

zerf

dz

dCCD

z

CDJ

AB

A0AAB

0z

AAB0zAz


Pro

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BA


32


t

Dk

:setem,CCkJ que vez Uma

CCt

De

2

tD4

1CCDJ

:setem,due2

)z(erf Como

tD4

zerf

dz

dCCD

z

CDJ

ABm

A0Am0zAz

A0AAB

0z

z

AB

A0AAB0zAz

z

0

u

AB

A0AAB

0z

AAB0zAz

2

2

<km> ~ (DAB)1/2 . Alémdisso, km varia com otempo (regimetransiente).

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BA


33

✓ Estudo de Caso: Coluna de OxigenaçãoPensando em termos médios, tem-se: tD tempo médio derenovação da interface gás-líquido.

D

ABm

A0A

D

ABt

0

t

0 0zAz

0zAz

A0Am0zAz

t

D2k

CCt

D2

dt

dtJJ

CCkJ

D

D

km ~ (DAB)1/2 . Alémdisso, km varia com otempo (regimetransiente).

Esta equação possui verificação experimental para a água e bolhas com 0,3<dp< 0,5cm.


Pro

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BA

Teoria/Modelo da Renovação de Superfície

34

✓Considera-se que não há um único tempotD de renovação da interface (tempo decontato entre as bolhas e o líquido), massim uma distribuição (t) de tempos decontato de 0 a .

✓ A fração de elementos de fluido quepossuem tempos de contato com o gásentre t e t + dt, pode ser representada por(t) dt, com:

0

1 dt )t(

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BA


35

✓ Considerando-se que a distribuição (t) é do tipo: (t)=se-st,com s sendo uma constante.

sDk

CCsDdtseCCt

Ddt)t(JJ

CCkJ

ABm

A0AAB

t

0

stA0A

ABt

0 0zAz0zAz

A0Am0zAz

DD

<km> ~ (DAB)1/2


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BA


36

✓ Comparando-se a Teoria da Penetração e a Teoria daRenovação de Superfície, tem-se:

tt

4

D

D

ABm

D

ABm

Det

4 )t(

t

4 s

e) Superfícide Renovação da (Teoria sDk

)Penetração da (Teoria t

Dk

2

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BA

FIM !!!

37


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BA


38

00

A

xx

x y

AABA

)xx(

)x(

xA dxdy

dCDWdAnvCdyvCW

D

D

Escrevendo-se, de forma similar o balanço para a conservaçãoda massa total, tem-se a equação abaixo:

Multiplicando-se esta última expressão por (CA∞/) ediminuindo-se da primeira, obtém-se:

0

A

)xx(

)x(

x dAnvdyvWD

D

xx

x 0y

AAB

)xx(

)x(

xAA dxdy

dCDdyvCC

D

D

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Pro

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a IF

BA


39

Dividindo-se ambos os lados por x e tomando-se o limitequando x 0, encontra-se:

0y

AAB

)x(

0

xAA

xx

x 0y

AAB

0x

)xx(

)x(

xAA

0x

dy

dCDdyvCC

dx

d

x

dxdy

dCD

Limx

dyvCC

Lim

D

D

D

xx

x 0y

AAB

)xx(

)x(

xAA dxdy

dCDdyvCC

D

D


Pro

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a IF

BA


40

Levando-se em consideração as suposições levadas a cabo nateoria da camada limite, chega-se a:

0y

AAB

)x(

0

xAAdy

dCDdyvCC

dx

d D

)x(

y

v

)y(v

M

x

)x(

y

CC

C)y(C

D0AA

0AA

)Sc()x(

)x(

M

D

)x(

0 DD

0AA

)x(

0 MD

0AA0AA

)x(

0

xAA

D

DD

dy)x(

y

)x(

y1

dx

dCC)Sc(v

dy)x(

yv

)x(

yCCCC

dx

ddyvCC

dx

d

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Pro

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