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O CAMPO DOS NÚMEROS REAIS Capítulos IV, V e VI do livro Conceitos fundamentais da Matemática Bento de Jesus Caraça

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O CAMPO DOS NÚMEROS REAIS

Capítulos IV, V e VI do livroConceitos fundamentais da Matemática

Bento de Jesus Caraça

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Aula passada...

● Números Naturais: 1, 2, 3, …

● Números Inteiros: 0, 1, 2, 3, …

● Relações Biunívocas

● Conjuntos

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● Conjunto de pontos de uma reta é um conjunto infinito.

● Conjunto de pontos de uma reta tem a mesma quantidade que o conjunto dos números naturais?

● Quantidade de números pares =

Quantidade de números naturais

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● Operações com números inteiros

● Números: medir e contar

● O problema da medida (unidade)

● Criação de um novo campo numérico

● Números: fracionários ou racionais

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● Números inteiros são englobados neste novo campo numérico

● “Uma generalização passa sempre por um ponto fraco de uma construção.”

● Crítica do problema da medida

● Segmentos Incomensuráveis

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● Conservar tudo e criar novos números, um novo campo numérico, mais geral que o campo dos racionais, que possa resolver a equação:

x2=2● Números racionais: necessidade prática.

● Números irracionais: compatibilidade lógica.

● Insuficiência do campo numérico racional para traduzir relações geométricas.

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● Estudar as propriedades do campo racional e os da reta, comparando-as

● Campo numérico racional R

● Conjunto dos pontos de uma reta P

● Existe uma correspondência biunívoca entre eles?

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● Entender qual é o fato que nega a biunivocidade

● Características do conjunto P, da reta

1) infinidade

2) ordenação

3) densidade (entre dois pontos de uma reta existem infinitos pontos na mesma reta).

4) continuidade

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● Características do conjunto R, dos racionais

1) infinidade - ok

2) ordenação - ok

3) continuidade - ??

4) densidade – ok

● Observe que o conjunto dos números naturais ou inteiros não é denso.

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● O problema da continuidade é o dos mais importantes da ciência e dos que mais têm sido estudados e debatidos em todos os tempos.

● Continuidade: variação que se faz por gradações insensíveis.

● Exemplo: movimento de um automóvel sobre uma estrada

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● Linha reta: imagem ideal da continuidade

● 1872, Richard Dedekind, Continuidade e números irracionais.

● O conceito de corte na reta P.

● Axioma ou Postulado de Dedekind-Cantor:

“Todo corte da reta é produzido por um (e só um) ponto da reta”

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● Um corte em R: A: todos os números racionais menores ou iguais a 5. No outro, B, todos os números racionais maiores ou iguais a 5.

1) 5 é um número racional que separa as duas classes;

2) qualquer número racional estará em alguma das partes;

3) todo número racional em A é menor que todo número racional em B

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● Todo corte em R provém de um número racional?

● A = todo número racional x tal que x2<2● B = todo número racional x tal que x2≥2

● Há um corte, mas não há elemento de separação!

● R não é contínuo

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● O conjunto R não satisfaz o axioma da continuidade de Dedekind-Cantor.

● Chamamos de número real ao elemento de separação de duas classes num corte qualquer na reta.

● Se existe um número racional a separar as duas classes, tal número real coincidirá com o racional. Se não existe tal número, o número real será chamado de irracional.

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● Número racional: impossibilidade de divisão.

● Número irracional: segmentos incomensuráveis

● Número real: não-existência geral de um elemento de separação de duas classes

● Para se definir um número real, são necessárias duas infinidades de números: racionais e irracionais.

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● Há mais racionais que naturais?

Não: a mesma quantidade.

● Números naturais: tipo do enumerável

● Números reais: tipo do contínuo.

● Números racionais: tipo do enumerável

● Números irracionais: tipo do contínuo

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● Hipótese do Contínuo

● A hipótese do continuum é uma conjectura proposta por Georg Cantor. Esta conjectura consiste no seguinte:

“Não existe nenhum conjunto com mais elementos do que o conjunto dos números inteiros e menos elementos do que o conjunto dos números reais”

● Esta hipótese foi o número um dos 23 Problemas de Hilbert apresentados na conferência do Congresso Internacional de Matemática de 1900, o que levou a que fosse estudada profundamente durante o século XX.

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● Nem verdadeira nem falsa! Cantor acreditava que a conjectura era verdadeira. No entanto:

Esse problema foi provado ser independente de ZFC (isto é, não pode ser provado nem refutado utilizando os axiomas

usuais de teoria dos conjuntos).

A consistência da hipótese do contínuo só foi mostrada em 1940 por Kurt Gödel, e a consistência da negação da

hipótese do contínuo foi provada em 1964 por Paul Cohen.

ZFC: E. Zermelo e A. Fraenkel foram os responsáveis pela formalização axiomática dos conjuntos, que, em sua

homenagem, ficou conhecida como sistema ZFC. A letra C vem do inglês choice, uma referência ao Axioma da Escolha.

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Números relativos ou negativos

● As grandezas podem ser tomadas em dois sentidos.

● Calendário, escala do tempo: onde tudo começa?

● Nascimento de Cristo.

● Sócrates morreu em 399 a.C.

● Galileu nasceu em 1564 d.C.

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● Um carro parte de Campinas com velocidade de 100km/h. Após 30 minutos, onde ele está?

● Depende do sentido! Orientação.

● Impõe-se a criação de um novo campo numérico!

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● Reta orientada com origem.

● Valor absoluto de um número: sua distância à origem

● a<b: se a está a direita de b na reta real.

● Operações com números negativos.

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● Soma;

● Subtração;

● Multiplicação;

● Divisão;

● Potenciação;

● Radiciação ?

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● √2 não pertence aos racionais, mas pertence aos reais

● Solução da equação x2=2

● √-1 pertence a qual conjunto?

● Solução da equação x2=-1

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● Criação de um novo campo numérico...

● Campo ou conjunto dos números complexos...

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Um pouco de história...

● Teoria da Ciência.

● Não é qualquer local e sob quaisquer condições que pode esperar-se o aparecimento de esboços científicos.

● Luta diária pelo sustento, abrigo, proteção.

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● S. Taylor:

“Civilização deve permitir a todos viver a alguns pensar”

● Condições: colônias gregas do litoral da Ásia Menor, VII a VI a.C.

● Comércio: florescimento econômico.

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● As preocupações fundamentais:

Qual é a estrutura do universo?

Como ele foi criado?

Como se movem os astros e por quê?

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● As respostas jônicas.

● Colônias jônicas da Ásia Menor – Mileto

● Thales de Mileto (624 a 548 a.C.)

● A água é a resposta para tudo.

● Tudo é água.

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● Anaxímenes de Mileto

● O ar é a resposta para tudo.

● Cidade de Éfeso: 530 a.C.

● Heráclito: Existência de uma substância primordial de transformação: fogo.

● Quatro elementos: terra, água, ar, fogo

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● A resposta Pitagórica

● Pitágoras de Samos: 580 a 504 a.C.

● Exerceu larga influência na Grécia através de uma seita com objetivos místicos e científicos.

● A Escola Pitagórica.

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● Explicação para tudo: número.

“Todas as coisas têm um número; e nada se pode compreender sem o número.”

● A compreensão do universo consiste no estabelecimento de relações entre números e leis matemáticas.

● Ordenação matemática do Cosmo.

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● Contribuições da Escola Pitagórica

● Teorema de Pitágoras: a mais brilhante aquisição da Escola Pitagórica.

● Relações entre a matemática e a música. Harmonia musical.

● O erro: tudo é número.

● Mônadas

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● Segmentos Incomensuráveis: a morte da Escola Pitagórica.

● Tentativa de esconder o caso.

● O próprio Teorema de Pitágoras destruiu a Escola Pitagórica.

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● Nova escola filosófica: escola de Elea

● Velia: cidade da costa ocidental. Sul da Itália. ● 6 a.C.

● Parmênides

● Separou-se da Escola Pitagórica.

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● Razão e Experiência;

● Teoria e Prática;

● Idealismo e Materialismo.

● O que aconteceu depois?

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● Século V a.C.

● Intensa atividade política e militar

● Atenas: grande metrópole da arte, filosofia, ciência.

● Imperialismo ateniense.

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● Desejos de hegemonia sobre a península

● Preocupações com o homem, indivíduo.

● Razão do Estado.

● O clima de Atenas foi mortal para o desenvolvimento da ciência clássica.

● Degradação do número com relação à geometria.

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● Exclusão do conceito quantitativo do infinito.

● Matemática grega torna-se cada vez mais finitista.

● Hibernação

● 20 séculos depois...

● Renascimento.

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