CAPITULO.3- ELEMENTOS DE ANLISE COMBINATRIA

A Anlise Combinatria estuda o clculo da quantidade de agrupamentos distintos que podem ser formados com os elementos de um determinado conjunto. Voc deve ter sempre em mente que a Anlise Combinatria uma anlise quantitativa, ou seja, a finalidade dos problemas geralmente ser calcular a quantidade de grupamentos, e no propriamente listar esses grupamentos. Apenas eventualmente voc precisar listar esses agrupamentos. O desenvolvimento das frmulas ser baseado no Princpio Fundamental da Contagem, procurando entender perfeitamente o clculo e a formao dos diversos tipos de agrupamentos. Assim facilmente sero compreendidas as frmulas a serem utilizadas nas resolues dos problemas. O Princpio Fundamental da Contagem, permite a perfeita compreenso da matria, e das frmulas para a resoluo dos problemas.

Princpio fundamental da contagem

Uma tcnica de contagem: o princpio multiplicativo. Este princpio lida com situaes em que uma tarefa se divide em vrias etapas. Vamos comear por um exemplo. Uma pessoa mora em Vila Nova de Gaia e trabalha em Matosinhos. Ela vai trabalhar todos os dias usando apenas transporte pblico. Esta pessoa vai de Vila Nova de Gaia ao Centro do Porto apanhando o autocarro, comboio ou metro. Do Centro do Porto, pode ir de autocarro, combi ou elctrico. Levando em conta apenas estas possibilidades, de quantas maneiras ela poder ir de casa ao trabalho? Neste caso podemos contar facilmente todas as 9 possibilidades:

(a,a);(a,c);(a,e);(c,a);(c,c);(c,e);(m,a)(m,c);(m,e) Em geral, a soluo de problemas deste tipo baseia-se no princpio multiplicativo, tambm chamado de princpio fundamental da contagem. Suponha que existam N1 maneiras de se realizar uma tarefa T1 e N2 maneiras de se realizar uma tarefa T2. Ento h N1 N2 maneiras de se realizar a tarefa T1 seguida da tarefa T2.

Exemplo de aplicao:

Na discusso acima, T1 a tarefa de ir de Vila Nova de Gaia at ao Centro do Porto e N1 = 3 (h 3 possibilidades de se fazer isto). Da mesma forma, T2 a tarefa de ir do Centro do Porto a Matosinhos, e h N2 = 3 possibilidades de se realizar esta tarefa. No total, h:

N1 N2 = 33 = 9 possibilidades Exemplo de aplicao: Um aluno prepara-se para ingressar no ensino superior. Ele pode escolher entre 10 universidades. Se cada uma delas tiver 15 cursos, quantas possibilidades de cursos h para este aluno? Soluo: 10 15 = 150 Cursos diferentes. O princpio acima pode ser estendido para a situao em que temos vrias tarefas, o que chamado Princpio da Multiplicao Generalizado. Se uma tarefa T1 pode ser feita de N1 maneiras, uma tarefa T2 de N2 maneiras,.., uma tarefa Tk de Nk maneiras, ento o nmero de maneiras de realizar T1, T2,, Tk, em sequncia, N1 N2 . . .Nk. O ndice k no enunciado representa qualquer inteiro maior ou igual a 1. Ento, por exemplo, realizar 3 tarefas T1, T2 e T3 em seguida, pode ser feito de N1 N2 N3 maneiras. O Principio Fundamental da Contagem uma ferramenta de grande utilidade para a resoluo de problemas de Anlise Combinatria. Ressalte-se que esse princpio geral para todos os dois tipos de agrupamentos vistos acima (arranjos e combinaes), devendo-se apenas, no caso de combinaes, excluir os agrupamentos repetidos. Regra: o nmero total de modos de aco ou de escolha de um determinado acontecimento que ocorre em etapas igual ao produto das possibilidades de escolha ou ao de cada uma das etapas. Apliquemos esse princpio em cada tipo de agrupamento e, a seguir, obtemos a frmula respectiva.

PRINCPIO ADITIVO E MULTIPLICATIVO

Em anlise Combinatria h dois princpios fundamentais o Princpio Aditivo e o Princpio Multiplicativo ou Princpio Fundamental da Contagem Vejamos um exemplo de um problema em que se usa o princpio aditivo para resolv-lo. Numa escola foi feito um inqurito para saber quem prefere futebol ou vlei. O resultado foi o seguinte: 230 alunos gostam de futebol, 150 gostam de vlei e 80 alunos gostam dos dois desportos. Quantos alunos tm essa escola? Em princpio parecem ser 230 + 150 + 80 = 460 alunos. Entretanto, h que se observar que entre os alunos que gostam de futebol podem existir alunos que tambm gostam de vlei, portanto, o nmero de alunos que gostam somente de futebol 230 80 = 150. Da mesma maneira, o nmero de alunos que gostam somente de vlei 150 80 = 70. Sendo assim, o nmero de alunos da escola ser: Nmero de alunos que gostam s de futebol + nmero de alunos que gostam s de vlei + nmero de alunos que gostam de futebol e vlei, ou seja, 150 + 70 + 80 = 300 alunos. Isto porque, segundo o teorema: Sendo A e B conjuntos finitos, o nmero de elementos da unio de A e B dado por: n(AB) = n(A) + n(B) - n(AB); em que n() representa o nmero de elemento de um conjunto. Mas, existe outra situao, na qual os conjuntos so disjuntos, isto , no h elementos que pertencem aos dois conjuntos ao mesmo tempo. Se A e B so dois conjuntos disjuntos, sendo m o nmero de elementos de A e n o de elementos de B, ento o nmero de elementos do conjunto A U B m + n Exemplo: Em uma confeitaria existem 5 tipos de bolos - empada, coxinha, pastel, rissol e pastel de nata - e 3 tipos de sumos de uva, de laranja e abacaxi. Se Flvia vai lanchar e s pode comer um bolo e tomar um sumo, quantos so os possveis pedidos que ela pode fazer? Ora, ela pode escolher um entre os 5 salgados e um entre os 3 sucos, logo, ela poder fazer 8 tipos de pedidos Em concluso: Princpio multiplicativo Princpio Aditivo

Por exemplo: Eu tenho 2 camisas e 3 calas. Para formar um traje eu preciso de camisa E cala. A menos que eu queira sair meia despida, optando por uma camisa OU uma cala. Nesse caso eu pego as duas possibilidades e multiplico. Quando eu tenho o E eu multiplico. 2 x 3 = 6

Agora vamos analisar uma situao de OU. Por exemplo estou em um prdio e vou subir do primeiro para o segundo andar eu tenho 2 escadas rolantes, 3 elevadores. Eu quero saber de quantas maneiras possveis eu posso subir do 1 para o segundo andar. No posso pegar escada e elevador ao mesmo tempo! No d eu tenho que escolher um OU outro, no tem como usar os dois ao mesmo tempo. Tenho pois seis possibilidades, seis combinaes.

Ou eu vou por uma das 2 escadas ou um dos 3 elevadores, nesse caso eu vou somar as possibilidades Concluso: -Quando eu tenho o OU eu somo. -Quando eu tenho o E eu multiplico

Exemplo Um restaurante oferece 4 tipos de entrada, 10 pratos principais e 5 tipos de sobremesa. Se um cliente deste restaurante decide tentar uma refeio diferente a cada noite, quanto tempo levar para esgotar todas as possibilidades? 4 10 5 = 200 . Este cliente levaria 200 noites para esgotar todas as possibilidades deste restaurante. Exemplo: Num jogo de cara ou coroa, uma moeda lanada 3 vezes. Qual o nmero de resultados possveis? Soluo: Cada lanamento tem dois resultados possveis: cara ou coroa, que representaremos por C e Cr, respectivamente. Como foi lanada 3 vezes, h 222 = 8 resultados possveis. Numa notao por termos ordenados em que, por exemplo, (C,Cr,C) indica que os resultados dos 3 lanamentos foram, nesta ordem, cara, coroa e cara. Quantos resultados tm exactamente 2 caras? Inspeccionando os 8 resultados possveis, vemos que h 3 resultados com exatamente 2 caras.

Exemplo Alguns cadeados usam anis rotativos numricos, em vez de chave. Existe um nmero que deve ser seleccionado nos anis numricos para abrir o cadeado. Vamos chamar este nmero de chave numrica.

Suponha que um tal cadeado trabalha com nmeros de 5 dgitos (por exemplo, 23478 uma chave numrica possvel). Quantas possibilidades de chave numrica existem? Soluo: As chaves so nmeros de 5 dgitos. Para cada dgito, temos 10 possibilidades, que so os algarismos 0, 1, 2, 3, . . . , 9. Portanto, temos

10.10101010 = 105 = 100000 Possibilidades de chave. S por curiosidade, se esta pessoa conseguisse testar 5 chaves numricas por minuto, levaria 100000/5 = 20000 minutos, ou seja, 20000/60333 horas, para abrir o cadeado requer ento um mximo de 100000 tentativas. No entanto, provavelmente a pessoa acharia a chave correta antes de testar todas as chaves possveis. Exemplo As palavras de um certo cdigo so formadas por 2 letras e 2 algarismos, de tal forma que no h letras ou algarismos iguais. Assim, a palavra LY45 palavra deste cdigo, enquanto AA23 no palavra deste cdigo, pois repete a letra A. Quantas palavras existem neste cdigo? Tipos de Agrupamentos: Arranjos e Combinaes

Arranjos so agrupamentos que diferenciam entre si no s pela natureza dos elementos, como tambm pela ordem em que so colocados. Ou seja, dois agrupamentos com os mesmos elementos so considerados diferentes, se a ordem deles for diferente ( ab # ba ) . Exemplo: nmeros so arranjos, pois a ordem dos algarismos muda o grupamento. 37 73. Permutaes trata-se de um caso particular de arranjos, em que cada agrupamento formado por todos os elementos do conjunto dado. Exemplo 1: nmeros de cinco algarismos, sem repeti-los, formados com os algarismos mpares (que so cinco ). Exemplo 2 : anagramas formados com as letras de uma palavra, sem repeti-las ( em cada anagrama, entram todas as letras da palavra dada). Combinaes so agrupamentos que diferem entre si somente pela natureza de seus elementos, ou seja, dois agrupamentos com os mesmo elementos so iguais, mesmo que a ordem desses elementos seja diferente ( ab = ba ). Exemplo 1 : produtos de nmeros, sem repetio de algarismos, so combinaes, j que a ordem dos fatores no altera o produto. 3 x 7 = 7 x 3 .

Permutaes Simples Aplicando o princpio multiplicativo a vrios problemas de contagem, incluindo os problemas de permutaes, de arranjos, de permutaes com repetio e de combinaes. Cada um destes problemas apresenta um tipo de situao tpica e uma tcnica de soluo, derivada do princpio multiplicativo. Para entender o que permutao, vamos comear com um exemplo: Um pai quer tirar uma fotografia de seus 3 filhos, mas no consegue colocar os 3 meninos em ordem: todos querem ficar no meio e ningum quer ficar nos lados. O pai poderia obrig-los, mas como paciente e um educador moderno ele decide tirar uma foto de cada ordenao possvel dos 3 meninos. Quantas fotos o paciente pai dever tirar? Os meninos chamam-se Afonso (A), Joo (J) e Pedro (P). E fcil listar todas as ordenaes possveis. Elas so as seguintes:

AJP, APJ, JAP, JPA, PAJ e PJA So, portanto, 6 ordenaes possveis. Dado um conjunto de objectos distintos, uma permutao do conjunto uma ordenao dos elementos deste conjunto. No exemplo acima, o conjunto {A, J, P} possui 6 permutaes, que esto as listadas acima. Uma maneira de calcular quantas so as permutaes de um conjunto sem ter que lista-las usar o princpio multiplicativo. E se fossem 6 crianas, quantas fotos teriam que ser tiradas para que houvesse uma foto de cada ordenao possvel das crianas? Em outras palavras, quantas permutaes existem para um conjunto de 6 crianas? Vamos novamente representar as 6 posies possveis na foto por 6 espaos vazios: Para preencher a primeira posio temos 6 possibilidades. Uma vez escolhida a criana que vai ficar na primeira posio, restam 5 crianas. Para a segunda posio temos 5 possibilidades. Escolhida a criana da segunda posio, ficam 4 crianas para escolher a prxima posio, e assim por diante... O nmero de permutaes do conjunto de 6 crianas : 6 5 4 3 2 1 = 720 Seja A um conjunto com n elementos. Permutaes do conjunto A so agrupamentos em que cada elemento de A aparece uma s vez e onde apenas a ordem em que desses elementos aparece distingue os agrupamentos.

Com este mesmo raciocnio, podemos deduzir o nmero de permutaes de um conjunto de n elementos. Cada permutao uma ordenao deste conjunto. Temos n espaos vazios e queremos saber de quantas maneiras podemos preenche-los com os n elementos do conjunto. So n possibilidades para o primeiro espao vazio, n 1 possibilidades para o segundo, n 2 para o terceiro, e assim por diante at que, para o ultimo espao vazio, resta apenas uma possibilidade. Pelo princpio multiplicativo temos que o nmero total de permutaes de um conjunto de n elementos : n(n 1)(n 2) 3.2.1 . E interessante apresentar uma notao para o produto acima. Para qualquer inteiro positivo n, definimos n! que se l n fatorial, como o produto n! = n(n 1)(n 2) 3.2.1 . Definimos tambm: 0! = 1 . O valor que escolhemos para 0! Pode parecer um pouco arbitrrio, mas simplifica algumas frmulas que veremos adiante.

Exemplo 0! = 1 1! = 1 2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 4! = 4.3.2.1 = 24 5! = 5.4.3.2.1 = 120 . Note que: n! = n.(n 1)! = n.(n 1).(n 2)! = . . . = n(n1)(n 2) . . . (nr)!, para qualquer inteiro r com 1 r n. Quando temos factoriais no numerador e no denominador de uma fraco, podemos simplificar a expresso sem ter que calcular todos os factoriais, da seguinte forma: n!/ (n r)!=[n(n 1)(nr + 1)(nr)!]/(n r)! = n(n1)(n2) (nr +1) Vamos a mais uma notao. Chamaremos de P(n) ao nmero de permutaes de um conjunto de n elementos. Provamos o seguinte: O nmero de permutaes de um conjunto de n elementos e:

P(n) = n! Permutaes: Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre s pela ordem. As permutaes podem ser simples, com repetio ou circulares. Simples: So agrupamentos com todos os m elementos distintos. Exemplo: Qual o nmero de resultados possveis em uma corrida de carros, onde 6 deles competem e todos chegam ao final?

Soluo: Cada resultado possvel corresponde a uma permutao do conjunto de 6 carros. O nmero total de permutaes de um conjunto de 6 elementos : 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720, que o nmero de resultados possveis da corrida. Exemplo De quantas maneiras 10 livros distintos podem ser arrumados numa prateleira de uma estante ? Cada arrumao corresponde a uma ordenao, ou permutao do conjunto dos 10 livros. O nmero total de permutaes de um conjunto de 10 livros : 10! = 109876543.21 = 3628800 . Neste exemplo, o fato dos 10 livros serem distintos muito importante! Se alguns livros fossem idnticos, teramos um problema de contagem diferente, que ser abordado mais adiante.

Arranjos A cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo nmero de elementos, onde ao menos um deles ocorre mais de uma vez, tal que a diferena entre um agrupamento e outro se d pela mudana de posio entre seus elementos, damos o nome de permutao com elementos repetidos. Por exemplo, se temos um total de 10 elementos, os inteiros {1, 2, , 10}, uma permutao de trs elementos desse conjunto (2,3,1). Nesse caso, n = 10 e r = 3. Ento de quantas maneiras isso pode ser completamente feito? Para o primeiro membro de todas as permutaes possveis se escolhe um elemento de todos os n possveis. Uma vez j utilizado um dos n elementos, para o segundo membro da permutao h (n 1) elementos para escolher desse conjunto. O terceiro membro pode ser preenchido de (n 2) maneiras, devido ao uso dos que o

antecederam. Esse padro continua at que tenham sido utilizados os r membros na permutao. Isso significa que o ltimo membro pode ser preenchido de (n r + 1) maneiras. Em sntese, se encontra um total de n(n 1)(n 2) (n r + 1) permutaes diferentes dos r objetos, retirados do grupo dos n objetos. Se denotarmos esse nmero por P(n, r) e utilizar a notao factorial, pode-se escrever. Um arranjo de n elementos dispostos p a p, com p menor ou igual a n, uma escolha de p entre esses n objetos na qual a ordem importa. Sua frmula dada por A (n,p) = n! / (n - p)! As permutaes nada mais so do que casos particulares de arranjos onde n = p. Em muitos problemas devemos determinar o numero de maneiras de seleccionar r objectos em uma certa ordem dentro de um conjunto de n objectos distintos, onde n - r. Estes so chamados problemas de arranjo de n elementos, tomados r a r. Portanto, o nmero de arranjos de n elementos, tomados r a r, e o nmero de maneiras de seleccionara, em ordem, r elementos de um conjunto de n elementos. Devemos ressaltar que um problema de arranjo se a ordem em que os r elementos so seleccionados importante. Se a ordem no for importante, temos um outro tipo de problema, chamada combinao.

ARRANJOS com REPETIO

Sendo n elementos, e p o nmero de elementos a entrar em cada grupo, o nmero total de arranjos dado pela frmula:

Geral: An,p = n(n-1) (n-2) ... haver p fatores. No caso de poder haver elementos repetidos no mesmo agrupamento:

An,p = n n n. ... = np Esta frmula tambm decorre do Principio Fundamental da Contagem.

Para permutaes com elementos repetidos no conjunto principal: Pn ( r1, r 2, r 3 ) = N!/( r1!., r 2!., r 3!... rn! )

Exemplo: Possuo 4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola verde. Pretendo coloc-las em um tubo acrlico translcido e incolor, onde elas ficaro umas

sobre as outras na vertical. De quantas maneiras distintas eu poderei formar esta coluna de bolas? Neste caso de permutao com elementos repetidos temos um total de 10 bolas de quatro cores diferentes. Segundo a repetio das cores, devemos calcular P10(4, 3, 2):

Ento: Eu poderei formar esta coluna de bolas de 12600 maneiras diferentes. Exemplo: Dos nmeros distintos que so formados com todos os algarismos do nmero 333669, quantos desses so mpares? Neste exemplo, nmeros mpares sero aqueles terminados em 3 ou 9. No caso dos nmeros terminados em 3 devemos calcular P5(2, 2),pois um dos dgitos trs ser utilizado na ltima posio e dos 5 dgitos restantes, teremos 2 ocorrncias do prprio algarismo 3 e 2 ocorrncias do 6: Agora no caso dos nmeros terminados em 9 devemos calcular P5(3, 2), pois o dgito 9 ser utilizado na ltima posio e dos 5 dgitos que sobram, teremos 3 ocorrncias do 3 e 2 ocorrncias do dgito 6: Como temos 30 nmeros terminados em 3 e mais 10 terminados em 9, ento no total temos 40 nmeros mpares. Logo: os nmeros formados, 40 deles so mpares. Exemplo - Numa classe de 10 alunos, deve-se escolher um representante e seu suplente. De quantas maneiras isto pode ser feito? Soluo: Trata-se de seleccionar 2 dentro de uma turma com 10 alunos. A ordem importante, pois o primeiro ser o representante e o segundo ser suplente. Temos 10 possibilidades para a primeira posio. Uma vez feita a escolha, restam 9 alunos, que so as 9 possibilidades para a segunda posio. Portanto, so:10 9 = 90 possibilidades, para formao desta comisso. Seja A(n,r) o numero de arranjos de n elementos, tomados r a r. Em outras palavras, A(n, r) e o numero de maneiras de seleccionara, em ordem, r elementos em um conjunto de n elementos distintos. Em geral, se devemos seleccionar, em alguma ordem, r objectos de um conjunto de n objectos (n _ r) distintos, temos n maneiras de preencher a primeira posio, seguido de n1 maneiras de preencher a segunda posio,

seguido de n2 maneiras de preencher a terceira posio, e assim por diante.

Para a resima posio, teremos nr + 1 possibilidades de preenchimento. n n-1 n-2 (n-r+1)

Usando o princpio multiplicativo, temos: A(n, r) = n(n1)(n 2) . . . (nr + 1).

Podemos escrever este resultado de uma forma mais compacta usando a notao fatorial: n(n 1)(n 2)(nr + 1) = [n(n1)(n 2)(nr + 1)][(n r)(n r 1)...321] (n r)(n r 1)321=n!/(nr)!. Temos, portanto, a frmula:

A(n, r) =n!/(nr)! Exemplo - Em uma reunio de condomnio onde 10 moradores esto presentes, deve-se escolher, entre eles, um director, um subdirector, um secretrio e um tesoureiro. Este problema o de seleccionar, em ordem, 4 pessoas dentro de um conjunto de 10 pessoas. Este nmero :A(10, 4) =10!/(10 4)!=10!/6!=10.9.8.7.6!/6!= 10.9.8.7 = 5040 . H, portanto, 5040 possibilidades. Quando n = r, temos que o numero de arranjos de n elementos, tomados n a n, e o nmero de maneiras de seleccionar, em ordem, n elementos de um conjunto de n elementos. Logo, o nmero de maneiras de ordenar n elementos. Este o numero de permutaes de n elementos, que e P(n). Por esta observao, temos:

A(n, n) = P(n) . A(n, n) =n!/(nn)!=n!/0!=n/1= n!, como vimos P(n) = n!. Por outro lado, fazendo n = r na frmula de arranjo, tambm obtemos a frmula. Aqui fica claro porque e interessante definir 0! Como sendo igual a 1: isto faz com que a frmula A(n, r) = n! r! seja vlida para n = r. Poderamos, em princpio, ter definido o zero fatorial livremente, ou simplesmente no t-lo definido.

Permutao Circular

Ocorre quando obtemos grupos com m elementos distintos formando uma circunferncia de crculo.

Frmula: Pc(m) = (m-1)! Clculo para o exemplo: P(4)=3!=6 Permutaes circulares uma ferramenta intrinsecamente ligada a permutaes simples. Difere dessa pelo fato de os elementos em questo estarem dispostos em fila circular, isto , atravs de um crculo.

Observe o exemplo: De quantos modos podemos dispor as letras da palavra PRATO em um crculo em lugares equidistantes (as letras devero ter a mesma distancia entre elas)? Primeiro devemos imaginar um crculo e em seguida as letras da palavra em questo dispostas ao redor do crculo, ver figura

Se colocarmos o P no lugar de R, R no lugar de A, A no lugar de T, T no lugar de O e O no lugar de P, na verdade no criaremos uma nova fila circular, apesar de termos mudado todos os elementos de posio. O que ocorreu, de fato, foi apenas uma rotao entre os elementos, observe na 2 figura. Dessa forma, diferentemente do que acontece em uma fila linear, em uma fila circular a simples troca de posio dos elementos pode no formar uma nova fila. Como ocorreu acima. (O que fazer ento?) Para contornar essa situao devemos fixar um dos elementos de uma fila e em seguida permutar o restante de maneira idntica a uma fila comum. Observe na 3 figura acima. Com esse processo garantimos a no ocorrncia de simples rotaes e contamos todas as filas circulares com esses elementos. J que ao fixarmos um elemento, desmantelamos a fila circular e criamos outra que se comporta como uma fila linear. Finalmente, podemos dispor essas letras em uma fila circular de 4! maneiras. Uma vez que fixamos o P e permutamos os elementos restantes como se estivssemos formando uma fila comum. Note que 4! justamente (5 -1)! 5 a quantidade de elementos envolvidos na questo menos 1 que o elemento fixado ou travado, para garantir a contagem de todas as permutaes circulares.

Combinaes

As Combinaes de n elementos tomados p a p so escolhas no ordenadas desses elementos, calculadas por

C(n,p) = n! / p!(n-p)! Um exemplo clssico quando queremos formar uma comisso de 3 pessoas escolhidas entre 10 pessoas. Diferentemente do pdio do exemplo anterior, uma comisso formada por Joo, por Pedro e por Maria a mesma comisso formada por Maria, por Pedro e por Joo.

Por fim, fique com essa frase de impacto: Uma escolha ordenada significa escolher e colocar em ordem ou, matematicamente, A = C* P

Contudo, a observao acima mostra que a definio 0! = 1 til porque leva a uma harmonia da formula para A(n, r) com a formula para P(n). Uma permutao de um conjunto uma ordenao dos elementos deste conjunto. Vimos que h n! Permutaes de todos os n objectos de um conjunto.

Vimos tambm que o nmero de arranjos de n objectos distintos tomados r a r, denotado A(n, r), o nmero de maneiras de seleccionar, em ordem, r objetos em um conjunto de n objetos. No entanto, em muitas situaes estamos interessados em seleccionar r objetos em um conjunto de n objetos, sem nenhuma preocupao com a ordem. Este tipo de problema chamado de Combinao.

Exemplo

Um jogo de pquer utiliza as 52 cartas de um baralho. Cada mo e formada por 5 cartas. Quantas mos diferentes so possveis? Evidentemente esta pergunta assume grande importncia para jogadores de pquer, mas, mesmo no o sendo, vamos tentar entender o problema combinatrio envolvido.

Note que neste caso a ordem da seleco das cartas no e importante, pois as mesmas 5 cartas, independentemente da ordem, faro sempre o mesmo jogo. O problema pode ser formulado da seguinte maneira: dado um conjunto de 52 objetos, de quantas maneiras podemos seleccionar 5 objetos deste conjunto, sem levar em conta a ordem?

Exemplo

De quantas maneiras podemos seleccionar 3 objectos de um conjunto de 4 objetos distintos?

Soluo: Seja X = {a, b, c, d} um conjunto de 4 objetos distintos. Podemos escolher 3 objetos de 4 formas distintas: abc acd abd bcd Conclumos que C(4, 3) = 4. Observe que cada uma destas escolhas corresponde a subconjuntos diferentes de X. Desta forma, o conjunto X possui 4 subconjuntos com 3 elementos, que so: {a, b, c}, {a, c, d}, {a, b, d} e {b, c, d} . Assim, selecionar r objetos de um conjunto de n objetos o mesmo que escolher um subconjunto de r elementos de um conjunto de n elementos.

Noes bsicas de probabilidades.

Quando falamos de Probabilidades existem algumas definies que necessrio ter presente. Sobre essas definies desenvolve-se toda a teoria das Probabilidades. Alm destas, todos os conhecimentos na rea da Combinatria, podem ser aplicados no estudo das Probabilidades.

Vamos, ento, comear por estabelecer quando que devemos usar as Probabilidades. No sentido corrente do termo, dizemos: " provvel que amanh v ao cinema" ou "Tenho pouca probabilidade de ganhar o totoloto ".

Em ambos os casos estamos a fazer previses futuras sobre acontecimentos que, na realidade, no podemos prever. O que sabemos so, apenas, todas as hipteses possveis para esses acontecimentos, isto sabemos que podemos ou no ir ao cinema, que podemos acertar em todos os nmeros da chave do totoloto, em nenhum ou em alguns, mas no se tm nenhuma garantia sobre o que vai acontecer.

Estas situaes (experincias) dizemos que so aleatrias. Experincia Aleatria:

Dizemos que uma experincia aleatria se verificar trs propriedades:

Conhecemos todos os seus possveis resultados.

Cada vez que efectuada no se conhece antecipadamente qual dos resultados possveis vo ocorrer.

Pode ser repetida em condies anlogas.

Exemplo: O lanamento de um dado uma experincia aleatria, bem como o lanamento de uma moeda ao ar.

Outro conceito que devemos definir previamente o de Espao Amostral.

Espao Amostral:

o conjunto de todos os resultados elementares, mutuamente exclusivos e colectivamente exaustivos

Exemplo : O espao amostral do lanamento de um dado ser o conjunto formado por todas as faces, em que cada uma das faces um resultado elementar.

Outro exemplo o do lanamento simultneo de duas moedas. Os resultados possveis sero : sair duas caras, duas coroas ou uma cara e uma coroa.

Assim o conjunto { 2 caras; 2 coroas; 1 cara e 1 coroa } formado por 3 elementos o espao amostral da experincia aleatria. A qualquer subconjunto do Espao Amostral damos o nome de acontecimento.

Definio de frequncia de Probabilidade:

A Probabilidade de um acontecimento, associado a certa experincia aleatria, a frequncia relativa esperada desse acontecimento, ou seja : O quociente entre o nmero

de vezes que o acontecimento se realiza ao fim de n repeties da experincia e o nmero (n) de repeties.

Exemplo: Esta definio de probabilidade muitas vezes usada em experincias de interesse cientfico em que as probabilidades so calculadas a posteriori a partir das frequncias relativa, do acontecimento em estudo, num nmero de provas considervel.

Uma outra definio de Probabilidade dada pela Lei de Laplace, mas antes de a apresentarmos devemos estabelecer em que condies que a podem aplicar.

Nas situaes em que os vrios resultados elementares possveis so equiprovveis (tm todos a mesma probabilidade) podemos calcular a probabilidade de um acontecimento desse espao amostral atravs da Lei de Laplace.

Lei de Laplace :

A probabilidade de um acontecimento associado a uma certa experincia aleatria dada pelo quociente entre o nmero de casos favorveis ao acontecimento e o nmero de casos possveis.

Exemplo : A probabilidade de sair face cara quando se lana uma moedas ao ar ser 1/ 2 j que o espao amostral W = { cara ; coroa } e os resultados elementares so equiprovveis. , temos nmero de casos favorveis: 1- sair cara e nmero de casos possveis : 2 - cardinalidade de W

Nos problemas que requerem para a sua resoluo o uso desta regra muito til o uso da Combinatria, para calcular o nmero de casos possveis e favorveis, sempre que no prtico escrever em extenso o espao amostral.

Probabilidade condicionada. Dados os acontecimentos A e B de um Espao E, com probabilidade de B diferente de zero, define-se probabilidade condicionada de A, sabendo que ocorreu B e representa-se por P(A|B), como sendo:

Teorema de Bayes.

Acontecimentos independentes: Dois acontecimentos A e B so independentes se a ocorrncia de um no afecta a probabilidade do outro ocorrer.

Acontecimentos dependentes: Se dois acontecimentos A e B no so independentes dizem-se dependentes.

Exerccios: Um lote contm 10peas, sendo 7 boas (B) e 3 defeituosas (D). Retiramos duas peas, ao acaso e com reposio, para inspeco. Qual a probabilidade de se obter duas peas defeituosas?

A experincia de realizar a primeira retirada tem como espao amostral 1={D1,D2} e a segunda retirada tem como espao amostral 2={D2,B2}, em que Di significa que retiramos uma pea defeituosa na i-sima retirada e Bi significa que retiramos uma pea boa na i-sima retirada, para i=1,2.. Como as duas peas so retiradas ao acaso e com reposio, isto , aps retirarmos a primeira pea esta colocada novamente no lote para que possamos efectuar a segunda retirada, temos que

Associamos a experincia de retirar duas peas ao acaso e com reposio o seguinte espao amostral

Queremos encontrar a probabilidade de se obter duas peas defeituosas, ou seja, a probabilidade das peas na primeira retirada e na segunda retirada serem defeituosas. Assim, desde que a primeira e a segunda retirada sejam executadas de forma independente, temos que

Vamos examinar melhor a diferena entre extrair uma pea de um lote, ao acaso, com ou sem reposio. Como vimos neste exemplo, se a retirada for feita com reposio, ento

pois cada vez que extramos peas do lote, sempre existiro peas defeituosas e peas boas num total de . No entanto, se estivermos extraindo sem reposio, o resultado diferente. ainda verdade, naturalmente, que

mas as probabilidades de sair uma pea defeituosa ou de sair uma pea boa na segunda retirada no sero as mesmas. Para calcularmos essas probabilidades devemos conhecer a composio do lote no momento de se extrair a segunda pea. Por exemplo, para calcularmos a probabilidade de extrairmos uma pea defeituosa na segunda retirada, D2, temos que saber se ocorreu ou . Caso tenha ocorrido ,

e, se ocorreu B1,

Este exemplo nos mostra a necessidade de introduzirmos a definio de probabilidade condicional.

Exerccios de aplicao: Trs pessoas sero seleccionadas aleatoriamente de um grupo de dez estagirios administrativos. Os trs formaro uma comisso com trs cargos diferentes:

O primeiro ser nomeado coordenador, o segundo fiscal e terceiro secretrio. Metade do grupo so estudantes do ltimo ano de licenciatura, sem nenhuma experincia dentro da empresa. Os outro cinco so estagirios h um semestre, e j concorrem por uma vaga efectiva na empresa.

O espao de configuraes possveis para a formao do comit : H = [NNN;NNA;NAN;ANN;NAA;ANA;AAN; AAA] Onde a ordem representa os cargos (coordenador, fiscal, secretrio) e A indica um estagirio antigo, enquanto N um estagirio novo. Defina o evento A = [O coordenador um estagirio antigo], de modo que Ac = [O coordenador um estagirio novo]. Defina tambm os eventos B0, B1, B2 e B3, associados ao nmero de estagirios novos na comisso.

Para cada configurao, temos uma probabilidade associada:

Observando os pontos amostrais na tabela anterior (NNN, NNA, etc.), construmos uma tabela de distribuio conjunta de A e B.

a) Qual a probabilidade de que a comisso tenha pelo menos dois estagirios novos? O evento B2 B3. Note que uma unio disjunta, isto , B2 B3 = ; Ento P(B2 B3) = P(B2) + P(B3) = 18/36.

b) Qual a probabilidade de ter um coordenador antigo na comisso? P(A) = 18/36 = 1/2.

c) Qual a probabilidade de ter dois estagirios novos na comisso, e um deles ser o coordenador? A conjuno e" indica interseco de eventos. No caso, P(B2 Ac ), que a probabilidade conjunta, ou simplesmente P(B2 Ac ) =10/36

d) Qual a probabilidade de ter pelo menos um estagirio novo na comisso e um deles ser o coordenador? P(Ac [B1 B2 B3]) = P(Ac B1) + P(Ac B2) + P(Ac B3) = 18/36

e) Se sabemos que o coordenador um estagirio antigo, qual a probabilidade da comisso ter dois estagirios novos? Queremos P(B2/A). Pela definio de probabilidade condicional, P(B2/A) = P(B2 A)/P(A) = 5/36 /18/36 = 5/18

f) Se a comisso tem dois estagirios novos, qual a probabilidade de que o coordenador seja um estagirio antigo? Queremos agora P(A/B2). Novamente pela definio, P(A/B2)=P(B2 A)/P(B2) = 5/15

g) Se a comisso tem pelo menos dois estagirios novos, qual a probabilidade de que o coordenador seja um estagirio antigo? P(A/(B2 B3)) = P(A(B2B3)) /P(B2B3) = P(A\B2)+P(A\B3) P(B2)+P(B3) = 5=18

h) Se a comisso tem pelo menos um estagirio novo, qual a probabilidade de que o coordenador seja um estagirio novo? De modo semelhante ao item anterior, P(Ac /(B1 B2 B3g) = 18/33

Exerccios de aplicao: Uma companhia multinacional tem trs fbricas que produzem o mesmo tipo de produto. A fbrica I e responsvel por 30% do total produzido, a fbrica II produz 45% do total, e o restante vem da fbrica III. Cada uma das fbricas, no entanto, produz uma proporo de produtos que no atendem aos padres estabelecidos pelas normas internacionais. Tais produtos so considerados\defeituosos" e correspondem a 1%, 2% e 1;5%, respectivamente, dos totais produzidos por fbrica. No centro de distribuio, e feito o controle de qualidade da produo combinada das fbricas. Qual a probabilidade de encontrar um produto defeituoso durante a inspeco de qualidade? Seja o evento A = [Produto Defeituoso] e Fi = [Produto da Fabrica i]. Sabemos, pelo enunciado, que P(F1) = 0;3, P(F2) = 0;45 e P(F3) = 0;25. Alem disso, sabemos que P(A/F1) = 0;01, P(AF2) = 0;02 e P(AF3) = 0;015. Ento, pela lei da probabilidade total, P(A) = P(AF1)P(F1) + P(AF2)P(F2) + P(AF3)P(F3) = = 0;3 0;01 + 0;45 0;02 + 0;25 0;015 = 0;01575 Se durante a inspeco, encontramos um produto defeituoso, qual a probabilidade que ele tenha sido produzido na fbrica II? Aqui, aplicaremos o Teorema de Bayes usando o item anterior para encontrar P (A): P (F2/A) =P (A/F2)P (F2)/P(A)=(0;02 0;45)/0;01575 = 0;5714

Dois eventos so independentes quando a ocorrncia de um evento no influncia a ocorrncia do outro evento. Do ponto de vista probabilstico temos a seguinte definio: Definio: Dois eventos e so ditos independentes se