capitulo2(2)

CAPTULO 2

CINEMTICA DO PONTO MATERIAL

A cinemtica o ramo da Mecnica que estuda a descrio dos movimen-tos sem preocupao das causas que os induziram ou os podem alterar; a dinmica, que se debrua sobre as causas que induzem ou alteram um da-do estado de movimento, ser tratada em captulos posteriores. Para o es-tudo da cinemtica consideraremos sempre o movimento de um ponto ou partcula material, definido como um objecto dotado de massa, mas sufi-cientemente pequeno para que as suas dimenses possam ser despreza-das.

2.1. Posio, trajectria e deslocamento

A posio de uma partcula material define a sua localizao no espao relativamente a um dado sistema de coordenadas. uma grandeza vecto-rial que, em geral, depende do tempo, e representada pelo vector

( ).r r t= Em particular, num sistema de eixos cartesiano, o vector r escrito na seguinte forma geral:

( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k= + +

, (2.1)

onde x(t), y(t) e z(t) so funes do tempo e ,i

j

e k

so, recorde-se, os versores dos eixos Ox, Oy e Oz, respectivamente. Quer o vector r quer as coordenadas cartesianas x, y e z so expressos no SI em metros.

Ao descrever um determinado movimento, uma partcula ocupa uma sequncia de posies ao longo do tempo (vide figura 2.1). Esta sequn-cia de posies define uma curva matemtica a que se d o nome de tra-jectria. Conhecidas as posies da partcula em quaisquer dois instantes t1 e t2, define-se o vector deslocamento como a diferena entre os vecto-res posio nos instantes t1 e t2:

2 1r r r = . (2.2)

66 Mecnica Uma Introduo

O vector deslocamento afere a mudana de posio da partcula. Note-se, contudo, que a norma ou mdulo do vector deslocamento, em geral, no coincide com a distncia percorrida, que o comprimento medido ao longo da trajectria entre as posies inicial e final. Coincidiro apenas se o movimento for rectilneo e sem mudanas de sentido.

Figura 2.1. Representao do movimento de uma partcula material ao longo de uma determinada trajectria (linha a tracejado). O vector deslocamento r representado determinado pela diferena entre as posies P2 e P1.

1.2.1. Equaes paramtricas. Determinao da trajectria da partcula

Como acima se referiu, a trajectria de uma partcula material fica defini-da pela sequncia de posies por ela ocupadas no decurso do seu movi-mento. Esta sequncia de pontos define uma curva descrita por relaes matemticas entre as coordenadas da partcula, relaes estas que no en-volvem a varivel tempo8. Coloca-se ento a seguinte questo: conhecido o vector posio ( )r r t= como proceder para encontrar a curva matemti-ca que define a trajectria da partcula? fcil. Escrevem-se as equaes paramtricas do movimento, definidas por

( )( )( )

x x ty y tz z t

= = =

, (2.3)

e elimina-se a varivel t destas equaes. Em seguida, estabelecem-se as relaes entre coordenadas que definem a trajectria. Vejamos o seguinte

8 O leitor deve certamente recordar que no estudo da geometria analtica nunca utilizou a varivel

tempo para descrever, por exemplo, a equao de uma recta ou de uma circunferncia. As relaes que permitem descrever estas curvas so relaes apenas entre coordenadas espaciais.

O

P1 P2

1r

2r

0r

P0 r

Cinemtica do ponto material 67

exemplo:

Exemplo 2.1

Uma partcula descreve um movimento de tal modo que o seu vec-tor posio 2( ) 2 5 4r t t i j t k= + +

m. Determinar a equao da trajectria da partcula.

Resoluo:

As equaes paramtricas do movimento so as seguintes:

2

254

x tyz t

= = =

Eliminando t do sistema de equaes, resulta

2

5yz x=

=

donde se deduz que a trajectria da partcula uma parbola no plano y = 5, com vrtice no ponto de coordenadas (0,5,0).

2.2. Vector velocidade

A velocidade a grandeza fsica que mede a taxa de variao da posio de um objecto. Define-se velocidade mdia como o deslocamento por unidade de tempo, num dado intervalo de tempo finito t, isto ,

mrvt

=

. (2.4)

mv um vector com a mesma direco e sentido que o deslocamento .r Note-se que, excepto quanto o deslocamento o mesmo em intervalos de tempo iguais, mv

no a velocidade num dado instante t. A velocidade instantnea a verdadeira velocidade num determinado instante t dada por

0

( ) limt

r drv tt dt

= =

. (2.5)

x

z

y y = 5

z = x2


Tendo em conta a relao (2.5), a velocidade instantnea um vector tangente em cada ponto da trajectria da partcula, como decorre da defi-nio de derivada e ilustrado na figura 2.2. Quer a velocidade mdia quer a velocidade instantnea so expressas no SI em m s1.

Figura 2.2. Em cada ponto da trajectria o vector velocidade instantnea,

iv

, tangente trajectria. Entre os pontos P1 e P4 est indicado o vector deslocamento 14r

e a correspondente velocidade mdia 14mv .

Se a norma da velocidade for constante, ,v const= a taxa de vari-ao da posio no muda e o movimento diz-se uniforme. A velocidade instantnea tem, neste caso, valor (mdulo) igual ao da velocidade mdia, v = vm9. Se, alm disso, o vector velocidade for constante, ,v const=

no s a taxa de variao da posio como a direco e sentido do movimento no mudam. Neste caso o movimento diz-se rectilneo e uniforme: a tra-jectria uma linha recta, percorrida sempre no mesmo sentido.

2.3. Vector acelerao

Em geral, os movimentos no so uniformes. Para caracterizar os movi-mentos variados define-se uma grandeza denominada acelerao, que

9 No que se segue, utilizaremos frequentemente o smbolo de uma grandeza vectorial sem o sinal de

vector para representar o seu mdulo ou norma; por exemplo v v= o mdulo, norma ou valor da velocidade instantnea.

1r

4r

O

P1 P2

P3

P4

2v

4v

3v

14mv

2r

3r

14r

1v


mede a variao da velocidade no tempo, do mesmo modo que a veloci-dade mede a variao da posio no tempo. Define-se acelerao mdia como a variao de velocidade por unidade de tempo , num dado interva-lo de tempo finito t, como o vector

mvat

=

. (2.6)

ma , portanto, um vector com a mesma direco e sentido que a varia-

o de velocidade .v A acelerao instantnea dada por

2

20lim

t

v dv d rat dt dt

= = =

. (2.7)

A acelerao instantnea um vector tangente curva da velocidade instantnea; no , em geral, tangente trajectria10. Quer a acelerao mdia quer a acelerao instantnea so expressas no SI em m s2. O tipo mais simples de movimento no uniforme aquele em que a acelerao instantnea tem valor (norma) constante e igual ao da acelerao mdia, am = a. denominado movimento uniformemente variado.

2.4. Movimento rectilneo no espao unidimensional

Iniciaremos o estudo dos movimentos com os casos mais simples: os mo-vimentos rectilneos no espao unidimensional. Nestes casos, a direco do movimento no se altera e coincide com a direco do vector veloci-dade (mdia ou instantnea). Para facilitar, vamos admitir que a referida direco do movimento coincide com a direco do eixo dos xx. No ad-vm daqui qualquer perda de generalidade, uma vez que temos plena li-berdade de escolher o sistema de eixos que mais nos convier. Deste mo-do, os vectores posio, velocidade e acelerao podero ser escritos na forma ( ) ( ) ,r t x t i=

( ) ( )v t v t i=

e ( ) ( ) ,a t a t i=

respectivamente. Note-se que ao admitirmos que o movimento ocorre ao longo de um dos eixos cartesianos podemos escamotear o carcter vectorial das grandezas posi-o, velocidade e acelerao e ter apenas em conta o seu valor e sinal.

10 Quando a trajectria de uma partcula material rectilnea a acelerao tem sempre a

direco da trajectria. Apenas neste caso a acelerao tangente trajectria.


2.4.1. Movimento rectilneo e uniforme

Um movimento rectilneo diz-se rectilneo e uniforme se o valor da velo-cidade for constante (v = const.), o que implica que a acelerao seja nula (a =0) em qualquer instante. Admitamos que uma partcula que descreve um movimento rectilneo e uniforme (m.r.u.) se encontrava na posio x = x0 no instante t = t0. Pretende-se encontrar a expresso que permita calcular a posio da referida partcula em qualquer instante. Sabe-se que v = dx/dt, logo

0 0

( )x t t

x t

dx v dt dx v dt = = , (2.8)

obtendo-se por integrao de (2.8) a expresso

0 0( ) ( )x t x v t t= + , (2.9)

conhecida por lei dos espaos ou equao do movimento do movimento rectilneo e uniforme. a expresso (2.9) que permite determinar a posi-o da partcula em qualquer instante t que se considere. De notar que as constantes x0 e t0 so extremamente importantes, pois atravs delas que se introduzem as caractersticas especficas de cada movimento. No caso particular de t0 = 0, a lei dos espaos do m.r.u. assume a forma simplifi-cada

0( )x t x vt= + . (2.10)

Figura 2.3. Grficos associados ao movimento rectilneo e uniforme: a) lei dos espaos, x = x(t), para os casos v > 0 e v < 0; b) lei das velocidades, v = const., para os casos v > 0 e v < 0; c) lei das aceleraes, a = 0 em qualquer instante. Note-se que x, v e a so, respectivamente, as componentes segundo o eixo dos xx da posio, da velocidade e da acelerao.

t

v

v > 0

v < 0 t

a

a = 0

t

x

x0 v > 0

v < 0

(a) (b) (c)


Na figura 2.3 mostram-se os grficos x = x(t), v = v(t) e a = a(t) as-sociados ao m.r.u.. A partcula desloca-se no sentido positivo do eixo dos xx se v > 0, e no sentido negativo se v < 0. Em qualquer dos casos nunca haver inverso do sentido do movimento, na medida em que a velocida-de constante.

Exemplo 2.2

Uma partcula movimenta-se com velocidade constante de 4 m s1 segundo a direco e sentido positivo do eixo dos xx. a) Determinar a equao do movimento sabendo que no instante t = 0 a partcula se encontrava na posio x = 3 m. b) Calcular a posio da partcu-la no instante t = 4 s. c) Calcular a distncia percorrida pela part-cula entre os instantes t = 0 e t = 4 s.

Resoluo:

a) Como se conhece a posio da partcula em t = 0, a lei dos espa-os do movimento

( ) 0 3 4 .x t x vt t= + = +

b) ( 4) 3 4 4 19x t = = + = m.

c) ( 4) ( 0) 19 3 16x x t x t = = = = = m.

Exemplo 2.3

Uma partcula movimenta-se com velocidade constante de 2 m s1 segundo a direco e sentido positivo do eixo dos xx. a) Determinar a equao do movimento sabendo que no instante t = 1 s a partcu-la se encontrava na posio x = 4 m. b) Calcular a posio da part-cula no instante t = 0 s. c) Calcular a distncia d percorrida pela partcula entre os instantes t = 0 e t = 4 s.

Resoluo:

a) Como neste caso no se conhece a posio da partcula no ins-tante t = 0, a lei dos espaos do movimento calculada atravs da integrao da velocidade:

( ) ( )

( 1) 1 4 1

2 ,x t x tt t

x t t

dx v dt dx v dt dx dt= =

= = =


donde,

( ) 4 2( 1) ( ) 2 2x t t x t t = = + .

b) ( )0 2x t = = m (calculado directamente da lei dos espaos).

c) ( )4 10x t = = m; ( 4) ( 0) 10 2 8d x x t x t= = = = = = m.

2.4.2. Movimento rectilneo uniformemente variado

Consideremos agora o movimento rectilneo uniformemente variado (m.r.u.v.). Uma partcula que descreva um m.r.u.v. tem acelerao de norma constante no nula, a = const. 0. Pretende-se conhecer, em cada instante t, a posio e a velocidade de uma partcula animada deste mo-vimento. Admita-se ento que uma partcula descreve um m.r.u.v. de tal modo que no instante t = t0 se encontrava na posio x = x0 animada de velocidade v = v0. Comecemos por determinar a expresso que permite calcular a velocidade da partcula em qualquer instante. Sabe-se que a = dv/dt, logo

0 0

( )v t t

v t

dv a dt dv a dt = = , (2.11)

obtendo-se por integrao de (2.11) a expresso

( ) ( )0 0v t v a t t= + , (2.12)

conhecida por lei das velocidades do m.r.u.v. Esta a expresso permite o clculo da velocidade da partcula em qualquer instante t. No caso parti-cular de t0 = 0, a expresso (2.11) reduz-se forma simplificada

( ) 0v t v at= + . (2.13)

Pretende-se agora determinar a lei dos espaos do m.r.u.v.. Recor-dando que v = dx/dt e considerando a expresso da lei das velocidades (2.11), vem

[ ]0 0 0 0

( ) ( )

0 0( )x t x tt t

x t x t

dx v dt dx v dt dx v a t t dt = = = + , (2.14)

donde, integrando (2.14), se tem


( ) ( ) ( )20 0 0 012

x t x v t t a t t= + + , (2.15)

que a lei dos espaos do m.r.u.v.. No caso particular de t0 = 0, a expres-so (2.14) reduz-se forma

( ) 20 012

x t x v t a t= + + . (2.16)

A lei dos espaos do m.r.u.v. pode ser igualmente deduzida grafica-mente. Para este tipo de movimento, o grfico da velocidade em funo do tempo uma linha recta cuja ordenada na origem a velocidade inici-al, v0, e cujo declive a acelerao, a (vide figura 2.4). O deslocamento x = x(t) x0 simplesmente o integral da velocidade no tempo, isto , a rea delimitada por aquela linha recta e pelo eixo das abcissas. Como esta rea tem a forma de um trapzio, vem

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 00 0 02 2v v t v v a t t

x t x x t t t t+ + +

= = = , (2.17)

logo,

( ) ( ) ( )20 0 0 012

x t x v t t a t t= + + , (2.18)

que a lei dos espaos do movimento anteriormente obtida.

Figura 2.4. Representao grfica da lei das velocidades do movimento rectilneo uniformemente variado. A rea delimitada pela recta v(t) = v0 + a (t t0) e o eixo dos tempos iguala a o deslocamento x = x(t) x0.

v

v0

t

x

t0

( ) 0 0( )v t v a t t= +


Note-se que o movimento rectilneo e uniforme um caso particular de movimento rectilneo uniformemente variado em que a acelerao constante e igual a zero; nesse caso a figura delimitada pela curva da ve-locidade e pelo eixo dos tempos um rectngulo, como se pode verificar na figura 2.3 b).

Num m.r.u.v. o sentido do movimento fica definido exclusivamente pelo sentido (sinal) da velocidade. Contudo, para se diferenciar um movi-mento acelerado de um movimento retardado necessrio ter em conta os sinais relativos da velocidade e da acelerao. O movimento acelerado se a velocidade e a acelerao tiverem o mesmo sentido (sinal) e retardado se a velocidade e a acelerao tiverem sentidos (sinais) contrrios (vide es-quema da figura 2.5). Note-se ainda que uma partcula material que descre-va um m.r.u.v. pode inverter o sentido do movimento. Mas para o fazer ter forosamente que anular a sua velocidade. Encontra-se o instante em que ocorre a inverso do sentido de movimento igualando a zero a expresso que define a lei das velocidades do movimento da partcula.

Figura 2.5. Representao esquemtica de movimentos rectilneos acelerados e retardados. O sentido do movimento fica definido pelo sentido da velocidade. O movimento acelerado se v e a tiverem o mesmo sentido (sinal) e retardado se v e a tiverem sentidos (sinais) contrrios.

Podemos igualmente deduzir uma relao entre a velocidade e o des-locamento no movimento rectilneo uniformemente variado, eliminando o tempo entre as equaes (2.12) e (2.15):

x

v a

x

v a

x

v a

x

v a

Movimento acelerado, no sentido positivo

Movimento acelerado, no sentido negativo

Movimento retardado, no sentido positivo

Movimento retardado, no sentido negativo


( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

20 0 0 0

0 0

00

20 0

0 0

12

12

x t x v t t a t t

v t v a t t

v t vt t

av t v v t v

x t x v aa a

= + + = +

=

= +

, (2.19)

donde se obtm a relao

( )2 20 02v v a x x= + . (2.20)

A expresso (2.20) uma relao cinemtica importante porque permite relacionar o deslocamento x = x x0 com a velocidade e a acelerao, sem o envolvimento da varivel tempo.

Terminamos esta seco com uma observao importante: decorre da lei das velocidades (2.12) e da lei dos espaos do m.r.u.v. (2.15) que, para se determinar a velocidade v(t) e a posio x(t) num determinado instante t, necessrio conhecer a velocidade v0 e a posio x0 num de-terminado instante t0. Este instante t0 no tem de ser zero. O seu valor de-pende do problema concreto que se estiver a tratar.

Exemplo 2.4

Uma partcula movimenta-se com acelerao constante de 2 m s2 ao longo do eixo dos xx. Sabe-se que no instante t = 1 s a partcula se encontrava na posio x = 0 com velocidade v = 2 m s1. a) Determinar a lei das velocidades e a lei dos espaos do movimento. b) Calcular o instante em que a partcula inverte o sentido do mo-vimento, indicando quando se movimenta no sentido positivo do eixo e quando se movimenta no sentido negativo. c) Calcular o deslocamento x sofrido pela partcula no intervalo de tempo [0, 5] s. d) Determinar a distncia s percorrida pela partcula no mesmo intervalo de tempo referido na alnea anterior.

Resoluo:

a) A lei das velocidades do movimento calculada atravs da inte-grao da acelerao. Neste caso conhece-se a posio da part-


cula no instante t = 1 s e no no instante t = 0: ( ) ( )

( 1) 1 2 1

2 ,v t v tt t

v t t

dv a dt dv a dt dv dt= =

= = =

donde vem

( ) 2 2( 1) ( ) 4 2v t t v t t+ = = + .

A lei dos espaos determinada integrando a velocidade ( ) ( )

( 1) 1 0 1

( ) ( 4 2 ) ,x t x tt t

x t t

dx v dt dx v t dt dx t dt= =

= = = +

resultando

[ ] ( )2

21

1

( ) 4 2 3 42

tt tx t t x t t t

= + = +

.

b) O instante em que h inverso do sentido do movimento o ins-tante que verifica v(t) = 0, isto ,

( ) 4 2 0 2 s.v t t t= + = =

A partcula movimenta-se no sentido positivo do eixo dos xx (v > 0) para t > 2 s e no sentido negativo (v < 0) para t < 2 s.

c) x = x(t = 5) x(t = 0) = 8 3 = 5 m.

d) Como no intervalo de tempo considerado h inverso do sentido de movimento, a distncia percorrida pela partcula diferente da norma do deslocamento correspondente ao mesmo intervalo de tempo (calculado na alnea anterior). Nestes casos deveremos considerar dois intervalos de tempo: o primeiro entre o instante inicial e o instante em que ocorre a inverso do movimento e um segundo intervalo entre este ltimo instante e o instante de tem-po final. No presente caso, estes intervalos so [0, 2] s e [2, 5] s. Em seguida, calcula-se a distncia mediante a soma das normas dos deslocamentos correspondentes aos dois intervalos de tempo (as quais, neste caso unidimensional, coincidem com os respec-tivos mdulos):

( 2) ( 0) ( 5) ( 2)

( 1) 3 8 ( 1) 13 m.

s x t x t x t x t = = = + = = =

= + =


O raciocnio subjacente ao clculo efectuado encontra-se es-quematizado na seguinte figura:

2.5. Movimento rectilneo nos espaos bi e tridimensional

As leis do movimento rectilneo uniforme e do movimento rectilneo uni-formemente variado no espao unidimensional podem ser facilmente ge-neralizadas aos espaos bi- e tridimensionais, considerando agora explici-tamente os vectores posio, velocidade e acelerao e impondo as condies para que a trajectria da partcula seja uma linha recta

2.5.1. Movimento rectilneo uniforme

Num movimento rectilneo e uniforme a duas ou trs dimenses teremos 0a =

e por isso a lei das velocidades ser v const=

. Admitindo que no instante t0 a partcula se encontrava na posio definida pelo vector 0r

, a lei dos espaos ser

( ) ( )0 0r t r v t t= + , (2.21)

ou, no caso particular de t0 = 0

( ) 0r t r v t= + . (2.22)

Como neste caso a norma e a direco do vector velocidade so constantes, a trajectria de um movimento descrito pelas expresses (2.21) ou (2.22) ser sempre rectilnea.

2.5.2. Movimento rectilneo uniformemente variado

Num movimento rectilneo uniformemente variado em espaos bi- ou tri-dimensionais teremos .a const=

Admitindo que no instante t0 a partcula que descreve o movimento se encontrava na posio definida pelo vector

0r com velocidade 0v

, a lei das velocidades do movimento ser

1 0 3 8 x (m)

t = 0 t = 5 s t = 2 s


( ) ( )0 0v t v a t t= + , (2.23)

ou, no caso particular de t0 = 0

( ) 0v t v a t= + . (2.24)

A lei dos espaos ser

( ) ( ) ( )20 0 0 012

r t r v t t a t t= + + , (2.25)

expresso cuja forma se simplifica caso t0 = 0

( )

( )

( )

( )

20 0

2 20 0 0 0

20 0

12

1 12 2

12

x x

y y

z z

x t x v t a t

r t r v t a t y t y v t a t

z t z v t a t

= + += + + = + +

= + +

. (2.26)

Para que o movimento descrito pela expresses (2.23) e (2.25) ou (2.24) e (2.26) seja um movimento rectilneo uniformemente variado necessrio que os vectores 0v

e a sejam colineares. Caso contrrio, te-remos um movimento uniformemente variado, mas no rectilneo a tra-jectria ser curvilnea.

2.6. Movimento curvilneo

Um movimento diz-se curvilneo se a direco da velocidade variar ao longo do tempo. O movimento diz-se em duas dimenses se o vector ve-locidade permanecer sempre no mesmo plano, ou em trs dimenses, se no permanecer. Claro que em qualquer destes casos o carcter vectorial da posio, da velocidade e da acelerao no pode ser escamoteado. No-te-se, contudo, que um movimento em duas (ou trs) dimenses descrito por dois (ou trs) movimentos em uma dimenso, cada um segundo um dos eixos coordenados: diz-se que um movimento em duas (ou trs) di-menses a composio de dois (ou trs) movimentos em uma dimenso. Para estudar o movimento em duas (ou trs) dimenses basta-nos, ento, considerar separadamente os movimentos segundo os eixos dos xx, yy e zz como dois (ou trs) movimentos rectilneos (unidimensionais) inde-pendentes. Por exemplo, um movimento em que a velocidade seja igual a


( ) 2 4v t t i j= +

, (2.27)

claramente a composio de um movimento uniformemente acelerado segundo o eixo dos xx, e um movimento uniforme no sentido negativo do eixo dos yy, pelo que, se no instante inicial t0 = 0 a posio for

0 0 0( , ) (1,0)r x y= =

, a lei dos espaos vem

( ) ( )

( ) ( )

0

0

20

0

0

0

1 2 1

0 4 4

t t

x

t

t t

y

t

x t x v t dt t dt t

y t y v t dt dt t

= + = + = +

= + = + =

, (2.28)

isto ,

( ) ( )21 4r t t i t j= + + . (2.29)

Eliminando a varivel t do sistema (2.28) pode igualmente obter-se a equao cartesiana da trajectria,

2

116yx = + , (2.30)

que neste caso uma parbola. Veremos outros exemplos quando abor-darmos o movimento dos projcteis.

importante ter sempre presentes as seguintes propriedades do mo-vimento, qualquer que seja o espao dimensional em que ocorra:

i. O vector velocidade tangente trajectria em cada ponto. ii. O vector acelerao tangente curva da velocidade em cada

ponto (no trajectria). iii. Mesmo que, num dado movimento, o valor de v no mude, a sua

direco pode mudar, razo pela qual a acelerao a no ne-cessariamente nula. Por esta razo, o vector acelerao, tem, no caso mais geral, uma componente paralela e uma componente perpendicular ao vector velocidade11.

11 Qualquer vector pode ser escrito como a soma de dois vectores perpendiculares entre si.


Elaboremos um pouco mais sobre a terceira propriedade acima des-crita e para o efeito consideremos o esquema representado na figura 2.6. A componente de a paralela a v recebe o nome de acelerao tangenci-al e designa-se por .ta

A acelerao tangencial mede a variao no tem-po do valor da velocidade, sendo por isso o eu valor dada por

tdvadt

= , (2.31)

com v a norma da velocidade; at nula se o movimento for uniforme. A componente de a perpendicular a v chamada acelerao normal ou centrpeta e designa-se por .na

A acelerao normal a responsvel pela variao da direco da velocidade a valor constante. Verifica-se a rela-o vectorial

n ta a a= + , (2.32)

da qual decorre

2 2n ta a a= + . (2.33)

Figura 2.6. Representao de um movimento curvilneo. A circunferncia tangente trajectria no ponto P e centrada no ponto C define o raio de curvatura, , da trajectria no ponto P. O vector velocidade sempre tangente trajectria. O vector acelerao tem duas componentes: a componente tangencial (at) e a componente normal (an). A componente at tem a direco do vector velocidade e a componente an tem a direco de e aponta sempre no sentido PC

. Deste modo o vector acelerao aponta sempre para o lado cncavo da trajectria.

na

ta

a

v

P

C

trajectria


Se a acelerao normal no for nula, o movimento no pode, portan-to, ser rectilneo. Define-se o raio de curvatura da trajectria como

2

n

va

= . (2.34)

Note-se que pode variar no tempo, uma vez que nada obriga a que os valores de v ou da an sejam constantes; trata-se, portanto, de um raio de curvatura instantneo. No caso particular de ser constante no tempo, a trajectria da partcula circular.

A acelerao tangencial tem a mesma direco que a velocidade. Se, alm disso, tiver o mesmo sentido (sinal) que a velocidade, o movimento diz-se acelerado; se tiver sentido contrrio, o movimento diz-se retardado. A acelerao tangencial no afecta a direco da velocidade, apenas o seu valor. Logo, um movimento curvilneo pode ter acelerao tangencial nu-la (se for uniforme), mas a acelerao normal s nula se o movimento for rectilneo (mesmo no sendo uniforme). O facto de a acelerao ter, em geral, duas componentes, pode ser facil-mente deduzido tendo em conta que o vector velocidade sempre tangen-te trajectria, ou seja

tv vu= , (2.35)

com v a norma da velocidade e tu o versor da tangente trajectria. Co-

mo qualquer destas duas grandezas funo do tempo, a acelerao da-da por

( ) tt t ndudv dva t u v a a

dt dt dt= = = + = +

, (2.36)

Exemplo 2.5

Um ponto material percorre uma curva plana de tal modo que as suas coordenadas cartesianas so dadas pelo vector posio

2( ) 5 12r t t i t j= +

(SI). a) Determinar a equao da trajectria do ponto material; b) calcular os vectores velocidade e acelerao do ponto material; c) calcular as componentes normal e tangencial da acelerao do ponto material; d) calcular o raio de curvatura da tra-jectria no instante t = 2 s.

Resoluo:


a) As equaes paramtricas do movimento so: 25

12x ty t

=

=.

Eliminando t deste sistema, obtemos a equao da trajectria

1/2125

y x= .

b) 1( ) 10 12 msdv r t t i jdt

= = +

, 2( ) 10 ms .da v t idt

= =

c) Usando a relao (2.31) e tendo em considerao a expresso da velocidade anteriormente determinada, podemos calcular a com-ponente tangencial da acelerao:

2 2

2

2

2 2

1 200(10 ) 122 (10 ) 144

100 50 ms100 144 25 36

tdv d ta tdt dt t

t tt t

= = + = =+

= =+ +

.

Da alnea b) sabe-se que a norma da acelerao a = 10 m s2. Logo, atravs da expresso (2.33) podemos calcular a componen-te normal da acelerao:

22 2 2 2 2

2 2

(50 ) 3600100 ,25 36 25 36n t n t

ta a a a a at t

= + = = =+ +

donde,

22 2

3600 60 ms .25 36 25 36

na t t= =

+ +

d) Para determinarmos o raio da trajectria no instante t = 2 s usa-mos a expresso (2.34), calculando primeiro o quadrado da velo-cidade e a acelerao normal naquele mesmo instante:

( )2 2 2 2 22

2 (10 ) 12 544 m s ,t

v t t =

= = + =

( ) 22

2

602 5.145 ms .25 36

n

t

a tt

=

= = = +


Temos finalmente

( )2

2

5442 105.7 m.5.145n t

vta

=

= = = =

2.7. Movimento de projcteis

Um projctil um corpo ao qual comunicada uma velocidade inicial e que seguidamente abandonado num campo gravtico (vide figura 2.7). As equaes do movimento de um projctil podem obter-se a partir de

0x

y

aa g j

a g== =

, (2.37)

onde g = 9.8 m s2 a acelerao da gravidade da Terra (toma valores di-ferentes noutros corpos celestes). um facto experimental que a acelera-o da gravidade terrestre a mesma para todos os corpos e dirigida se-gundo a vertical, de cima para baixo (ou seja, aponta para o centro da Terra). Como a acelerao de um projctil constante, o seu movimento vai ser um movimento uniformemente variado. Deste modo aplicam-se as expresses (2.23) e (2.25), ou (2.24) e (2.26) caso t0 = 0, para se dedu-zirem a leis das velocidades e dos espaos do movimento de um projctil, respectivamente. A lei das velocidades , portanto,

( ) ( )0 0v t v a t t= + . (2.38)

A partir desta relao, considerando que a g j=

e que

0 0 0 0 0cos sinx yv v i v j v i v j = + = +

, (2.39)

podemos escrever a lei das velocidades do movimento na forma

( ) [ ]0 0 0cos sin ( )v t v i v g t t j = +

. (2.40)

A velocidade do projctil tem, pois, as seguintes componentes:

( )( ) ( ) ( )

0 0

0 0 0 0

cos

sinx x

y y

v t v v

v t v g t t v g t t

= =

= = . (2.41)

Reparar que a componente horizontal da velocidade no depende do tem-


po; constante e sempre igual v0x. A razo deste facto simples: aps o seu lanamento, o projctil fica submetido apenas acelerao gravtica e esta s tem componente segundo yy (direco da vertical do lugar). Logo s pode haver variao da componente vy da velocidade, como est expli-citamente indicado na segunda equao do sistema (2.41).

Figura 2.7. Representao de um movimento de um projctil lanado da posio (x0, y0) com velocidade inicial v0, formando um ngulo com a horizontal.

No que respeita lei dos espaos do movimento de um projctil, usando a expresso do vector posio para o movimento uniformemente variado

( ) ( ) ( )20 0 0 012

r t r v t t a t t= + + , (2.42)

obtemos

( ) ( ) ( )20 0 0 0 0 0 01( )2x y

r t x v t t i y v t t g t t j = + + +

. (2.43)

verificando-se que o vector que define a posio do projctil em cada ins-tante tem componentes

x0

y0

x

y

ymax

0v

0xv

0 yv

0xv v=

0x xv v=

v yv

0r

ymax

xmax


( ) ( )

( ) ( ) ( )

0 0 0

20 0 0 0

12

x

y

x t x v t t

y t y v t t g t t

= +

= +

, (2.44)

o que permite verificar que o movimento de um projctil uma composi-o de um movimento uniforme segundo o eixo dos xx e de um movi-mento uniformemente variado segundo o eixo dos yy.

Eliminando (t t0) entre as equaes (2.44), facilmente se obtm a equao da trajectria de um projctil12:

( ) ( )20 0 02 20

tan2 cos

gy y x x x xv

= + , (2.45)

que uma parbola. As equaes (2.41) e (2.45) permitem determinar vrios parmetros

de interesse relativos ao movimento dos projcteis, a saber:

i. Tempo de voo do projctil (tvoo): o tempo que decorre desde que o projctil inicia o seu movimento at se deter. Pode ser determi-nado, por exemplo, utilizando uma das equaes (2.44), se for conhecido o ponto onde o projctil termina o seu movimento.

ii. Alcance do projctil (xmax): a distncia percorrida na horizontal durante o tempo de voo. Determina-se substituindo o tempo de voo na primeira das equaes (2.44).

iii. Tempo de subida (tsub): o intervalo de tempo at ser atingido o ponto mais alto da trajectria. Como a velocidade sempre tan-gente trajectria, neste ponto anula-se a componente vertical da velocidade, logo tsub determina-se igualando a zero a segunda das equaes (2.41).

iv. Altura mxima atingida pelo projctil (ymax): o valor mximo de y atingido durante o movimento do projctil. Determina-se substi-tuindo o tempo de subida na segunda das equaes (2.44).

2.7.1. Movimento de um projctil lanado na horizontal

Como caso particular do movimento geral de projcteis, consideremos o

12 Exerccio: deduza a equao (2.45).


lanamento horizontal de uma partcula material representado esquemati-camente na figura 2.8.

Figura 2.8. Representao do movimento de um projctil lanado na horizontal de uma altura y0 com velocidade inicial v0.

Admitindo que o lanamento do projctil ocorre no instante t0 = 0, teremos, por aplicao das equaes (2.41), que as componentes da velo-cidade do projctil so

( )( )

0x

y

v t v

v t gt

=

= , (2.46)

deduzindo-se assim a lei das velocidades

( ) 0v t v i g t j=

. (2.47)

Por aplicao das relaes (2.44), as componentes do vector posio do projctil so

( )

( )

0

20

12

x t v t

y t y g t

=

=

, (2.48)

e portanto a lei das posies definida pelo vector

xmax

y

x

0xv v=

yv

v

y0 0v v i=

a g j=

(0,0)

a g j=


20 01( )2

r t v t i y g t j = +

. (2.49)

Eliminando o tempo do sistema de equaes (2.48) obtemos a equa-o da trajectria do projctil,

2

0 20

12

xy y gv

= , (2.50)

que uma parbola no plano Oxy. Podemos agora calcular alguns parmetros caractersticos do movi-

mento:

i. Tempo de voo do projctil (tvoo). calculado fazendo y(t) = 0 na segunda das equaes (2.48):

( ) 2 0021 0

2 vooyy t y g t tg

= = = . (2.51)

ii. Alcance do projctil (xmax). calculado substituindo o valor tvoo na componente x(t) definida pela primeira das equaes (2.48):

( ) 002

max vooyx x t vg

= = . (2.52)

iii. Velocidade de embate no solo (vsolo). Calcula-se substituindo o valor tvoo na expresso da velocidade (2.47):

0 0 02solo voov v i g t j v i y g j= =

. (2.53)

iv. ngulo de embate no solo (vsolo). o ngulo que o vector solov forma com a direco do eixo Ox. dado por:

, 0, 0

2arctan arctany solosolo

x solo

v y gv v

= = . (2.54)

2.7.2. Movimento de um projctil lanado obliquamente da origem

Consideremos agora o caso particular de um projctil lanado obliqua-mente da origem do referencial, conforme se representa na figura 2.9.


Figura 2.9. Representao de um movimento de um projctil lanado da origem do referencial com velocidade inicial v0, formando um ngulo com a horizontal.

Admitindo, para simplificar, que o lanamento do projctil ocorre no ins-tante t0 = 0, teremos, por aplicao das equaes (2.41), que as compo-nentes da velocidade do projctil so

( )( )

0 0

0 0

cos

sinx x

y y

v t v v

v t v g t v g t

= =

= = , (2.55)

donde se deduz que a lei das velocidades dada pelo vector

( ) 0 0cos ( sin )v t v i v g t j = +

. (2.56)

Notar, mais uma vez, que a componente vx da velocidade constante ao longo de toda a trajectria. Por aplicao das relaes (2.44), as compo-nentes do vector posio do projctil so

( )

( )

0 0

2 20 0

cos1 1sin2 2

x

y

x t v t v t

y t v t g t v t g t

= =

= =

, (2.57)

ficando a lei dos espaos do movimento definida pelo vector posio

(0,0) x

y

ymax

0v

0xv

0 yv

0xv v=

0x xv v=

v yv

ymax

xmax


( ) 20 01cos sin2

r t v t i v t gt j = +

. (2.58)

Tal como no caso anterior, podemos agora calcular alguns parme-tros caractersticos do movimento com base nas leis das velocidades e dos espaos acima deduzidas:

i. Tempo de voo do projctil (tvoo). calculado fazendo y(t) = 0 na segunda das equaes (2.57):

( ) 2 002 sin1sin 0

2 voovy t v t g t t

g

= = = . (2.59)

ii. Alcance do projctil (xmax). calculado substituindo o valor tvoo na componente x(t) definida pela primeira das equaes (2.57):

( )2 20 0(2sin cos ) sin 2

max voov vx x t

g g

= = = . (2.60)

Da expresso (2.60) podemos concluir que, uma vez fixada a ve-locidade de lanamento v0, o alcance de um projctil ser mximo quando = 45 e que se obtm alcances idnticos para ngulos complementares (exemplo: = 15 e = 75).

iii. Tempo de subida do projctil (tsub). calculado fazendo vy(t) = 0 na segunda das equaes (2.55):

( ) 00sinsin 0y sub

vv t v g t tg

= = = . (2.61)

Comparando as expresses (2.59) e (2.61) verifica-se que tvoo = 2tsub e, portanto, o tempo de descida igual ao tempo de su-bida.

iv. Altura mxima atingida (ymax). Calcula-se substituindo o valor tsub na expresso de y(t) definida pela segunda das equaes (2.57):

( )2 2

2 00

sin1 1sin2 2max sub sub sub

vy y t v t g tg

= = = . (2.62)

v. Velocidade de embate solo (vsolo). Calcula-se substituindo o valor tvoo na expresso da velocidade (2.56):


( ) 0 0 0 0cos ( sin ) cos sinvoo voov t v i v g t j v i v j = + =

. (2.63)

2.7.3. Movimento de um projctil lanado obliquamente de uma altura y0

Por ltimo, consideremos o caso geral de um projctil lanado obliqua-mente de um ponto situado altura inicial y0 e que termina o seu voo num ponto situado altura final yf. Note-se que se pode ter yf > y0 ou yf < y0. Esta a situao representada esquematicamente na figura 2.7. Se admitimos, como anteriormente, que o lanamento do projctil ocorre no instante t0 = 0 e tomarmos a abcissa do ponto de lanamento como a origem do eixo Ox, fcil verificar que as componentes da velocidade do projctil so dadas pelas equaes (2.56) e, portanto, a lei das velocidades do projctil dada pela expresso (2.55). Ou seja, a lei das velocidades exactamente a mesma que a obtida na seco 2.7.2. As componentes do vector posio resultam de aplicar as relaes (2.44):

( )

( )

0

20 0

cos1sin2

x t v t

y t y v t gt

=

= +

, (2.64)

conduzindo lei dos espaos

( ) 20 0 01cos sin2

r t v t i y v t gt j = + +

. (2.65)

Calculemos em seguida os parmetros caractersticos do movimento.

i. Tempo de voo do projctil (tvoo). calculado fazendo y(t) = yf na segunda das equaes (2.64):

( ) 20 0

2 20 00

1sin2

sin 2 ( )sin

f

fvoo

y t y v t gt y

v g y yvtg g

= + =

= +

. (2.66)

ii. Tempo de subida do projctil (tsub). calculado fazendo vy(t) = 0 em (2.55), o que d, novamente, a equao (2.61). Uma vez que o tempo de voo a soma do tempo de subida com o tempo de descida, tvoo = tsub + tdesc comparando as equaes (2.61) e (2.66), conclui-se que:


2 20 0sin 2 ( )f

desc

v g y yt

g

= . (2.67)

Neste caso, o tempo de subida no igual ao tempo de descida: s-lo- apenas se as alturas inicial e final forem iguais.

iii. Alcance do projctil (xmax). calculado substituindo o valor tvoo na componente x(t) definida pela primeira das equaes (2.64):

( )2

002 20

2 ( )sin 2 1 12 sin

fmax voo

g y yvx x tg v

= = +

. (2.68)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

20

30

40

50

60

70

80

90

y*

(graus)

Figura 2.10. ngulo de lanamento para o qual o alcance de um projctil mximo em funo da diferena de alturas final e inicial, em unidades adimensionais * 20 0( ) /fy g y y v = .

Da expresso (2.68) decorre que o ngulo de lanamento para o qual o alcance do projctil mximo j no necessariamente = 45: vai depender de yf y0, a diferena entre as alturas final e inicial. Para o determinar, igualamos a zero a derivada de xmax em ordem a ; o resultado o que se mostra na figura 2.10. O pro-blema no tem soluo se 2 20 0 sin /2 ,fy y v g > uma vez que, neste caso, a diferena entre as alturas final e inicial superior altura mxima atingida pelo projctil. O ngulo de lanamento que maximiza o alcance do projctil menor do que 45 se yf < y0 e maior do que 45 se yf > y0.


iv. Altura mxima atingida (ymax). Substituindo tsub dado por (2.61) na segunda das equaes (2.64), obtm-se

2 20

0sin1

2maxvy y

g

= + (2.69)

v. Velocidade de embate solo (vsolo). Calcula-se substituindo o valor tvoo dado por (2.66) na expresso da velocidade, equao (2.56), obtendo-se novamente a equao (2.63).

2.7.4.* Movimento de um projctil lanado por um ser humano

Os clculos do ngulo de lanamento para o qual o alcance de um projc-til mximo, efectuados nas seces 2.7.2 e 2.7.3, pressupem obvia-mente, que possvel comunicar ao projctil uma velocidade inicial de valor v0 seja qual for o ngulo . Isto verifica-se se o projctil for lanado por meios mecnicos, por exemplo uma bala disparada por um canho, mas no se o projctil for lanado por um ser humano, por exemplo num jogo de basquetebol ou de futebol. Neste caso, as limitaes da biomec-nica humana impem que v0 no seja independente de : mais fcil exercer foras na horizontal do que na vertical, logo possvel comunicar a um corpo maiores valores de v0 se o ngulo de lanamento for mais prximo de zero. Um modelo simples13 consiste em supor que, se for F0 a fora mdia que um ser humano pode exercer na direco horizontal, en-to a fora exercida segundo uma direco que faa um ngulo com a horizontal ser, aproximadamente, F = F0 c, onde c uma constante a determinar empiricamente. Durante o lanamento, a fora exercida pelo lanador muito superior s restantes foras que se exercem sobre o pro-jctil (peso e resistncia do ar), pelo que podemos desprez-las. Utilizan-do o teorema do trabalho-energia, que encontraremos no captulo 4, po-demos estimar a velocidade v0 a que um projctil de massa m acelerado a partir do repouso:

( )02

0 0

212

F c lFl mv v

m

= = (2.70)

13 Vide N. P. Linthorne e D. J. Everett, Release angle for attaining maximum distance in the soccer

throw-in, Sports Biomechanics 5, 243-260 (2006). Ver tambm N. P. Linthorne, A new angle on throwing, Physics World, June 2006, pp. 29-30.


onde l a distncia ao longo da qual o projctil acelerado ou seja, a distncia ao longo da qual a fora F exercida sobre o projctil14. Substi-tuindo a equao (2.70) na equao (2.68), podemos determinar o valor de para o qual o alcance mximo. Na figura 2.11 apresentamos resul-tados para o caso particular de um jogador de futebol que repe uma bola em campo, utilizando15 F0 = 46 N, c = 0.00768 N rad

1, l = 1.14 m, m = 0.43 kg e yf y0 = 2.3 m: o alcance mximo atingido para 30. Repare-se, porm, que estamos a considerar, simultaneamente, uma velo-cidade inicial que depende do ngulo de lanamento e alturas de partida e de chegada diferentes. Para isolarmos o efeito apenas de uma velocidade inicial que depende de , inclumos igualmente na figura 2.11 o resultado para yf y0 = 0; neste caso, o alcance mximo atingido para 35.

0 10 20 30 40 50 60 700

4

8

12

16

20

x max

(m)

(graus)

yf y0 = 2.3 m yf y0 = 0

Figura 2.11. Alcance de uma bola reposta em campo por um jogador de futebol, em funo do ngulo de lanamento, para dois valores da diferena entre as alturas final e inicial. Estes resultados sobrestimam ligeiramente a realidade, uma vez que desprezmos a resistncia do ar e o eventual movimento de rotao da bola.

14 Como veremos no captulo 4, o produto Fl o trabalho realizado pela fora F, o qual, supondo

que no existem outras foras a actuar sobre o projctil, igual variao da energia cintica do projctil.


Outros modelos e estudos indicam ngulos de lanamento ptimos entre 30 e 37 para diferentes tipos de projcteis (peso, dardo, etc.), e en-tre 20 e 25 para o salto em comprimento (em que o projctil o prprio ser humano)15.

2.8. Movimento circular

O movimento circular um caso particularmente importante de movi-mento curvilneo em que a trajectria uma circunferncia. Considere-mos a figura 2.12 que representa um ponto material descrevendo uma tra-jectria circular de raio R.

Figura 2.12. Representao de um movimento circular com trajectria de raio r R= .

Porque a trajectria da partcula circular, o vector posio tem norma constante e igual ao raio da trajectria, isto

r R= . (2.71)

A distncia percorrida pela partcula ao longo da trajectria, s(t), proporcional ao ngulo (t) varrido pelo vector posio da partcula, sen-do a constante de proporcionalidade o valor do raio da trajectria. Deste modo podemos escrever

( ) ( )s t R t= , (2.72)

15 Vide N. P. Linthorne, A new angle on throwing, Physics World, June 2006, pp. 29-30.

(t)

x

y

( )r t

( )v t

ru

tu

s(t)


com (t) expresso em radianos16. Notar que explicitmos propositada-mente a dependncia de s e de no tempo porque estamos a admitir que a partcula est em movimento e, por isso, aquelas duas grandezas so for-osamente dependentes da varivel t.

De acordo com o esquema da figura 2.12, o vector posio de part-cula que se encontra a descrever o movimento circular

( ) ( ) ( )cos sinr t R t i R t j = +

(2.73)

ou

( ) ( ) ( ) ( )cos sin rr t R t i t j Ru t = + =

, (2.74)

com

( ) ( ) ( )cos sinru t t i t j = +

, (2.75)

o vector unitrio17 com a direco e sentido do vector ,r dito versor ra-dial ou normal (vide figura 2.12). Note-se que ru

depende do tempo por-que a sua direco e sentido variam ao longo do movimento. Conhecido o vector posio, podemos calcular o vector velocidade deri-vando a expresso (2.73):

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

cos sin

sin cos

sin cos

d d dv t r t R t i R t jdt dt dt

d dR t i R t jdt dt

dR t i t jdt

= = + =

= + =

= +

. (2.76)

Nesta ltima expresso, o vector definido entre parnteses rectos coincide com o vector unitrio tu

tangente em cada ponto trajectria,

( ) ( ) ( )sin costu t t i t j = +

, (2.77)

16 Recordamos que por se verificar a expresso (2.72), entre o arco de circunferncia, s, e o ngulo ,

por ele subtendido que o radiano a medida natural dos ngulos planos. A expresso no vlida se for expresso em graus ou grados.

17 Exerccio: mostre que ru

tem norma 1 e colinear com o vector r .


e a grandeza

( ) ( )dt tdt

= , (2.78)

mede a variao instantnea do ngulo varrido pelo vector posio da partcula. A esta grandeza d-se o nome de velocidade ou frequncia an-gular, sendo expressa no SI em rad s1. Podemos, ento, escrever a ex-presso da velocidade na forma

( ) ( ) ( )tv t R t u t= . (2.79)

Note-se que, apesar de tu ser um vector unitrio, a sua direco e sentido

esto constantemente a mudar e por isso depende da varivel t. Mais, co-mo o vector velocidade sempre tangente trajectria (qualquer que seja a trajectria), verifica-se tambm que

( ) ( ) ( )tv t v t u t= , (2.80)

com v(t) a norma da velocidade. Logo, por comparao de (2.80) com (2.79), somos levados concluso que a norma do vector velocidade no movimento circular

( ) ( )v t R t= . (2.81)

Vejamos agora qual a expresso do vector acelerao no movimento circular. Para isso derivemos a expresso da velocidade (2.80),

( ) ( ) ( ) ( )

2

sin cos

cos sin

tt t

t

t t r

dud d da t v t R t u t R u Rdt dt dt dtd dR u R i jdt dtd d dR u R i j R u R udt dt dt

= = = + =

= + + =

= + =

. (2.82)

A grandeza

( ) ( )dt tdt

= , (2.83)

denominada acelerao angular; mede a variao instantnea da velo-


cidade angular e expressa no SI em rad s2. Podemos escrever a acelera-o (2.82) na forma

( ) 2t ra t R u R u = . (2.84)

Da expresso (2.84) podemos concluir que a acelerao tem duas componentes: uma componente tangencial, at, proporcional acelerao angular, e outra componente normal ou centrpeta18, an, proporcional ao quadrado da velocidade angular. Teremos

22

t

n

a Rva RR

=

= =

, (2.85)

onde tivemos em conta a relao (2.81) na segunda igualdade de an. As relaes (2.85) mostram que a acelerao s ter componente tangencial se 0, isto , se houver variao da velocidade angu-lar da partcula. E s haver variao da velocidade angular se houver variao da norma da velocidade ( = v / R). Por outro lado, a componente centrpeta da acelerao ser sempre no nula, na medida em que a velocidade diferente de zero19. A existncia de uma compo-nente centrpeta no nula da acelerao est associada ao facto de o vector ve-locidade estar permanentemente a mu-dar de direco e sentido. Notemos,

ainda, que uma acelerao centrpeta no nula, qualquer que seja o tipo de movimento circular, impe que o vector acelerao aponte sempre pa-ra o lado cncavo da trajectria. No esquema da figura 2.13 esto repre-sentadas as relaes vectoriais entre a acelerao e as respectivas compo-nentes tangencial e centrpeta.

18 Diz-se componente centrpeta da acelerao porque tem sentido contrrio a ru

, apontando, por isso, para o centro da trajectria.

19 Admitindo que a partcula se encontra em movimento, claro.

x

y ( )v t

ru

ta

na

a

Figura 2.13. Representao da ace-lerao e das respectivas componen-tes centrpeta (an) e tangencial (at) num movimento circular.


2.8.1. Movimento circular uniforme

Um movimento circular diz-se uniforme (m.c.u.) se o valor (norma) da velocidade da partcula que o descreve for constante; note-se, porm, que como o vector velocidade muda constantemente de direco, a partcula ter sempre acelerao normal ou centrpeta. O vector posio da partcu-la ser, obviamente, dado pela expresso (2.73), isto ,

( ) cos ( ) sin ( )r t R t i R t j = +

(2.86)

e o vector velocidade ser dado pela relao (2.79), que aqui repetimos:

( ) ( )tv t R u t= . (2.87)

Contudo, como neste caso a norma da velocidade constante, ser tam-bm constante a velocidade angular ( = v /R). Daqui resulta que a acele-rao angular, =d /dt, nula. Sendo = 0 teremos, por (2.85), que a componente tangencial da acelerao tambm nula:

0ta R= = . (2.88)

Deste modo, num m.c.u. o vector acelerao s tem componente centrpe-ta:

2

2n r r

va a R u uR

= = = , (2.89)

e por isso a acelerao num m.c.u. aponta sempre para o centro da trajec-tria (vide figura 2.14).

Figura 2.14. Representao dos vectores posio, velocidade e acelerao em dois pontos distintos da trajectria de um movimento circular uniforme.

1r

2r

1v

2v

y

x

1a

2a

P1 P2


Procuremos agora estabelecer as relaes entre as grandezas angula-res e num movimento circular uniforme. Para isso, vamos admitir que em t = 0 a partcula se encontrava na posio angular 0. Sabe-se que = d /dt, logo

0

( )

0

t t

d dt d dt

= = , (2.90)

obtendo-se, por ser = const.,

( ) 0t t = + , (2.91)

que a chamada lei dos ngulos do movimento circular uniforme. conveniente definir mais algumas grandezas relevantes para o es-

tudo do movimento circular uniforme. O perodo, T, define-se como o tempo que uma partcula descrevendo um m.c.u. demora a completar uma volta; a sua unidade no SI , evidentemente, o segundo. Uma vez que o ngulo varrido durante uma volta completa 2 e a distncia percorrida 2R (permetro da trajectria circular), tem-se que a velocidade da part-cula tem o valor

2 Rv

T

= , (2.92)

donde se deduz

2 2RT

v

= = . (2.93)

A frequncia, designada por f ou , mede o nmero de rotaes por unidade de tempo e simplesmente o inverso do perodo,

1fT

= , (2.94)

medindo-se no SI em s1 ou hertz (Hz). Usando as relaes (2.93) e (2.94) podemos estabelecer para o m.c.u. a seguinte relao entre a velocidade angular, o perodo e a frequncia:

2 2 fT

= = . (2.95)


2.8.2. Movimento circular uniformemente variado

Um movimento circular diz-se uniformemente variado (m.c.u.v.) se a acelerao angular for constante e no nula ( = const.). Neste caso no podemos definir um perodo (ou uma frequncia) uma vez que a partcula em movimento no demora sempre o mesmo intervalo de tempo a des-crever cada volta.

Procuremos encontrar as relaes entre as grandezas angulares , e num movimento circular uniformemente variado. Admitamos ento que uma partcula descreve um m.c.u.v. de tal forma que no instante t = 0 se encontrava na posio angular = 0 animada de velocidade angular = 0. Comecemos por determinar a expresso que permite calcular a velocidade angular da partcula em qualquer instante. Sabe-se que = d/dt, logo

0

( )

0

t t

d dt d dt

= = , (2.96)

obtendo-se (por ser = const.)

0( )t t = + , (2.97)

expresso esta conhecida por lei das velocidades angulares do m.c.u.v.. esta a relao que permite o clculo da velocidade angular da partcula em qualquer instante t.

Pretendemos em seguida determinar a posio angular da partcula em qualquer instante. Recordando que = d /dt e considerando a ex-presso da lei das velocidades (2.97), vem

0 0

( ) ( )

0

0 0

( )t tt t

d dt d dt d t dt

= = = + , (2.98)

donde se obtm

( ) 20 012

t t t = + + , (2.99)

que a lei dos ngulos do m.c.u.v.. esta a expresso que permite o cl-culo da posio angular da partcula em qualquer instante t. Os vectores posio, velocidade e acelerao, definidos por (2.73), (2.76) e (2.82),


respectivamente, so vlidos para o m.c.u.v., conjugadas, naturalmente, com a lei das velocidades angulares (2.97) e a lei dos ngulos (2.99) que regem este movimento.

Exemplo 2.6

Uma roda de bicicleta de 66 cm de dimetro montada num eixo ligado a um motor que a faz girar. Durante um intervalo de 10 s o motor fornece roda uma acelerao angular constante. Sabendo que a roda estava inicialmente em repouso e que ao fim de 10 s a velocidade linear de um ponto da sua periferia de 28.05 m s1, calcular: a) a velocidade angular da roda ao fim dos 10 s; b) a ace-lerao angular constante durante o mesmo intervalo de tempo; c) a acelerao tangencial de um ponto da periferia da roda; d) o nmero de rotaes realizadas pela roda durante os 10 s

Resoluo:

a) Por (2.81) resulta10

( ) 28.05 850.33t

v tR

=

= = = rad s1.

b) Trata-se de um movimento circular uniformemente acelerado ( constante). Deste modo, usando a lei das velocidades angu-lares (2.97) vem

0

10

( ) 85 0 8.510t

tt

=

= = = rad s2.

c) Usando a primeira das relaes (2.85) obtemos 8.5 0.33 2.8ta R= = = m s

2. d) Tendo em conta que 0 = 0 e que podemos escolher um ponto

de referncia na periferia da roda tal que 0 = 0, resulta da lei dos ngulos para o m.c.u.v. (2.99)

2 20 0

10

2

1 1( 10)2 2

1 8.5 10 425 rad.2

t

t t t t =

= = + + = =

= =

Como uma rotao corresponde a um ngulo varrido de 2 rad, o nmero de rotaes ao fim de 10 s 425/2 = 67.64 rotaes.


2.8.2.1. Semelhanas formais entre o m.r.u.v. e o m.c.u.v.

Como nota final sobre o movimento circular, gostaramos de realar a semelhana formal entre as grandezas lineares20 e as relaes entre elas existentes no movimento rectilneo uniformemente variado (m.r.u.v.) e as grandezas angulares e as relaes obtidas para o movimento circular uni-formemente variado (m.c.u.v.), e que se resumem na tabela 2.1.

Tabela 2.1. Semelhanas formais entre o m.r.u.v. e o m.c.u.v. Admitiu-se em todas as equaes do movimento que t0 = 0.

m.r.u.v m.c.u.v.

x (posio) (posio angular) v (velocidade) (velocidade angular) a (acelerao) (acelerao angular)

0( )v t v at= + (lei das velocidades) 0( )t t = + (lei das velocidades angulares)

20 0

1( )2

x t x v t at= + + (lei das posies) 20 01( )2

t t t = + + (lei das posies angulares)

Vemos, assim, que podemos obter as leis angulares do m.c.u.v. a partir das leis que regem o m.r.u.v., tendo em considerao a substituio de grandezas x , v e a . Obviamente que o mesmo princpio de equivalncia formal permite obter as leis angulares do m.c.u. a partir das leis do m.r.u., tendo apenas em conta que neste caso a = 0 e = 0.

2.9. Movimento harmnico simples

Vimos no pargrafo 2.8.1 que o movimento circular uniforme um mo-vimento do tipo peridico, no sentido em que a posio, velocidade e acelerao da partcula material em movimento se repetem a intervalos de tempo T iguais, ou seja,

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

r t r t T

v t v t T

a t a t T

= +

= +

= +

, (2.100)

20 As grandezas posio, velocidade e acelerao introduzidas nas seces 2.1, 2.2 e 2.3 so

chamadas lineares sempre que houver necessidade de as distinguir das grandezas posio, velocidade e acelerao angulares introduzidas nesta seco.


sendo, portanto, T o perodo do movimento. O movimento harmnico simples (m.h.s.) um movimento do tipo

peridico, que, como veremos, est estreitamente relacionado com o mo-vimento circular uniforme. Por definio, um m.h.s. um movimento no qual um ponto material, ou um corpo, oscila simetricamente em torno de um ponto central, realizando ciclos completos em intervalos de tempo iguais denominados perodo de oscilao, T. So exemplos de sistemas fsicos que podem ser descritos como realizando um m.h.s. o pndulo simples ou uma massa fixa a uma mola e colocada em oscilao sem atri-to por aco da fora elstica exercida pela mola sobre a massa (vide fi-gura 2.15)21. Ambos estes sistemas sero estudados em mais pormenor no Captulo 3.

Figura 2.15. Dois exemplos de sistemas fsicos cujo movimento, admitindo que no existe atrito, pode ser descrito como um m.h.s.: a) um pndulo simples; b) uma massa em oscilao sem atrito em torno do ponto x0 por aco da fora elstica de uma mola.

A posio de uma partcula material animada de m.h.s. num espao tridimensional dada por

( ) ( ) ( ) ( )r t x t i y t j z t k= + +

, (2.101)

onde

21 Nos exemplos referidos admitimos, de forma ideal, que no existe atrito. a condio para que o

movimento se perpetue ad aeternum sem a interveno de um agente exterior. Caso exista atrito (sistemas reais) os sistemas realizam um movimento oscilatrio amortecido, cuja amplitude tende para zero com o tempo.

(a)

x0 x0 A x0 + A

(b)


( ) ( )( ) ( )( ) ( )

0

0

0

sin

sin

sin

x x x

y y y

z z z

x t A t

y t A t

z t A t

= + = +

= +

. (2.102)

Note-se que poderamos ter descrito as funes peridicas, x(t), y(t) e z(t) usando a funo co-seno em vez da funo seno. Para efeito da des-crio matemtica de um m.h.s. totalmente indiferente usar uma ou ou-tra funo trigonomtrica na medida em que so duas funes peridicas com o mesmo perodo. Para simplificar a discusso, comecemos por ana-lisar o m.h.s. em uma dimenso, no qual a posio descrita pela relao

( ) ( )0sinx t A t = + , (2.103)

onde A representa a amplitude do movimento (valor mximo do afasta-mento da partcula relativamente sua posio de equilbrio em x = 0) e o argumento da funo seno, (t + 0), a fase do movimento. Nesta lti-ma, representa a velocidade ou frequncia angular22 do movimento e 0 a sua fase inicial. Em particular, 0 determina a posio da partcula em t = 0. Contudo, devemos notar que 0 fica subordinado apenas esco-lha da origem dos tempos, ou seja, depende do instante em que come-amos a estudar o movimento e da posio que a partcula ocupa nesse mesmo instante. Na figura 2.16 esto representados trs movimentos harmnicos simples com a mesma amplitude (A = 5 m), com a mesma frequncia angular ( = 2 rad s1) e trs fases iniciais diferentes: o movi-mento com 0 = 0 diz-se em fase com o eixo dos tempos, o movimento com 0 = / 4 diz-se em avano e o movimento com 0 = / 4 diz-se em atraso relativamente ao eixo dos tempos. Esta terminologia usada para qualquer valor de 0 maior ou menor que zero, respectivamente.

A velocidade da partcula calculada derivando a expresso (2.103),

( ) ( ) ( )0cosdv t x t A tdt

= = + , (2.104)

e a acelerao derivando a expresso da velocidade,

22 A grandeza usualmente denominada velocidade angular no mbito do estudo do movimento

circular e frequncia angular no quadro do estudo dos movimentos oscilatrios. Em qualquer dos casos trata-se da mesma grandeza, relacionando-se com a frequncia, f, e perodo, T, do movimento atravs da relao (2.92), = 2 / T = 2f.


( ) ( ) ( ) ( )2 20sinda t v t A t A x tdt

= = + = . (2.105)

Segue-se que a velocidade est avanada /2 relativamente posio, e a acelerao avanada /2 relativamente velocidade, logo relativamente posio (isto , a acelerao est em oposio de fase com a posio: quando uma mnima, a outra mxima, e vice-versa). Repara-se ainda que, de acordo com as expresses (2.104) e (2.105), respectivamente, o valor mximo da velocidade

maxv A= , (2.106)

e o valor mximo da acelerao

2maxa A= . (2.107)

-5-4-3-2-1012345

0 3/4/2

x (m

)

t (s)

x(t) = 5 sin(2t) x(t) = 5 sin(2t + /4) x(t) = 5 sin(2t /4)

/4

Figura 2.16. Representao de trs movimentos harmnicos simples com a mesma amplitude (A = 5 m), a mesma frequncia angular ( = 2 rad s1) e trs fases diferentes (0 = 0, /4 e /4).

Exemplo 2.7

Uma partcula descreve um movimento harmnico simples cuja posio definida pela equao ( ) 4sin ( /2)x t t = (SI). Calcu-lar: a) a expresso da velocidade e da acelerao do movimento em funo do tempo; b) a frequncia e o perodo do movimento; c) os instantes em que a partcula passa pela posio de equilbrio no


primeiro perodo do movimento; d) o valor da velocidade da part-cula no instante t = 1 s; e) os valores da velocidade e da acelerao mximas da partcula.

Resoluo:

a) Velocidade: ( ) ( ) 4 cos( /2)dv t x t tdt

= = m s1.

Acelerao: 2( ) ( ) 4 sin ( /2)da t v t tdt

= = m s2.

b) A relao entre a frequncia angular, o perodo e a frequncia do movimento dada pela expresso = 2 / T = 2f. Logo:

f = /2 = /2 = 1/2 s1 e T = 1 /f = 2 s.

c) Os instantes em que a partcula passa pela posio de equilbrio so definidos pela igualdade x(t) = 0. Temos, portanto, que re-solver a equao trigonomtrica

4sin( /2) 0 sin( /2) 0t t = =

cujas solues so definidas pelas igualdades:

/2 0t = /2t = t = 0.5 s t = 1.5 s

isto , a partcula passa pela posio de equilbrio, durante o primeiro perodo do movimento, nos instantes 0.5 s e 1.5 s.

d) ( 1) 4 cos( /2) 4 cos 0.2

v t = = = =

e) Velocidade mxima: vmax = A = 4 m s1 = 12.57 m s1.

Acelerao mxima: amax = A2 = 42 m s2 = 39.48 m s2.

2.9.1. Relao entre o m.h.s. e o movimento circular uniforme

Coloca-se agora a questo de saber qual a relao entre o m.h.s. e o movimento circular uniforme. De acordo com a figura 2.12, a posio de uma partcula animada de movimento circular uniforme de raio R dada pela equao (2.73). Tendo em considerao que num m.c.u. se verifica

( ) 0t t = + , (2.108)


podemos escrever que as componentes cartesianas do vector posio da partcula so

( ) ( )( ) ( )

0

0

cos ( ) cos

sin ( ) sin

x t R t R t

y t R t R t

= = +

= = +. (2.109)

Utilizando agora a igualdade trigonomtrica cos sin ( /2), = + a pri-meira das equaes (2.109) transforma-se em

( ) 0sin 2x t R t

= + +

, (2.110)

pelo que as coordenadas definidas por (2.109) se podem escrever na forma

( ) ( )( ) ( )

0

0

sin

sinx x x

y y y

x t A t

y t A t

= +

= +, (2.111)

com Ax = Ay = R, x = y = , 0x =0+/2 e 0y = 0 . Ou seja, as equa-es do movimento circular uniforme so as mesmas que as do m.h.s. em duas dimenses.

Duas notas importantes:

i. Um corpo animado de m.h.s., em geral, no descreve uma trajec-tria sinusoidal: o que varia sinusoidalmente com o tempo a sua distncia posio de equilbrio (bem como as suas velocidade e acelerao).

ii. Uma outra observao importante que, num m.h.s. em 1, 2 ou 3 dimenses, se tem sempre que a acelerao directamente pro-porcional posio:

( ) ( )2a t r t= , (2.112)

propriedade esta que se pode tomar como definio de movimen-to harmnico simples. Reparemos ainda que a relao (2.112) equivalente equao diferencial ordinria

( ) ( )2

22

d r t r tdt

= , (2.113)

na medida em que a acelerao a segunda derivada em ordem


ao tempo do vector posio. A relao (2.113) a equao dife-rencial que rege o comportamento de um oscilador harmnico. No caso unidimensional, a equao diferencial (2.113) escreve-se na forma simplificada

( ) ( )2

22

d x t x tdt

= , (2.114)

podendo mostrar-se facilmente que 0( ) sin ( )x t A t = + solu-o da equao diferencial (2.114).

2.9.2. Representao grfica de um m.h.s.

Como anteriormente se mostrou, o movimento circular uniforme resulta da conjugao de dois m.h.s. com a mesma amplitude (igual ao raio da trajectria circular), com a mesma frequncia angular (igual velocidade angular do m.c.u.) e desfasados de /2. Deste modo, um movimento har-mnico simples unidimensional pode ser interpretado como a projeco de um movimento circular uniforme sobre um dos eixos de coordenadas. Com base neste facto, a representao grfica manual de um m.h.s. pode ser feita, de uma maneira simples e rpida, executando os seguintes pas-sos:

i. Constri-se um sistema de eixos Otx e um crculo de referncia associado a esse sistema de eixos (vide figura 2.16);

ii. Divide-se o crculo em, pelo menos, oito partes (em 0 partes se 2 for um mltiplo inteiro de 0) e determina-se a posio inicial marcando o valor de 0;

iii. Marcam-se sobre o crculo as n posies (8, pelo menos) no sen-tido indicado pelo sinal de ;

iv. Marca-se no eixo dos tempos o perodo T; v. Divide-se o perodo no mesmo nmero de partes em que se divi-

diu o crculo; vi. Faz-se a correspondncia entre cada posio do crculo e a res-

pectiva posio no eixo dos tempos, comeando pela posio em t = 0;

vii. Unem-se os pontos encontrados obtendo-se, deste modo, a re-presentao do m.h.s. como projeco do m.c.u. sobre o eixo vertical (eixo dos xx).


Os passos acima descritos esto ilustrados na figura 2.16, que representa a construo do grfico da posio versus tempo do movimento harmnico simples definido pela lei das posies ( ) 2sin (2 /4)x t t = + (SI).

Figura 2.16. Construo da representao do movimento harmnico simples defi-nido pela expresso ( ) 2sin (2 /4)x t t = + (SI) a partir um crculo de referncia as-sociado ao sistema de eixos Otx.

2.10. Movimento relativo

Nos pargrafos anteriores analismos vrios tipos de movimentos, tendo como referncia um dado sistema de eixos fixo Oxyz. Dito de outro mo-do, estudmos os diferentes movimentos sempre em relao a um obser-vador imvel solidrio com um dado referencial fixo. Devemos notar que a escolha de um sistema de eixos fixo de referncia apenas uma questo de convenincia, sendo vantajoso escolher um sistema no qual a descri-o do movimento em estudo seja a mais simples possvel. Quando al-gum afirma que um automvel est em movimento f-lo, na maioria das vezes, porque observa a variao da posio do automvel em relao superfcie da Terra e aos objectos nela fixos (prdios, rvores, etc.). Claro que sabemos que a Terra no est em repouso, mas, para a maioria dos problemas com que lidamos no dia a dia, um sistema de eixos solidrio com a superfcie da Terra a melhor opo, desprezando-se neste caso o movimento do planeta. De facto, um observador solidrio com a superf-cie terrestre no d conta do movimento da Terra e, por isso, todo e qual-quer corpo fixo na superfcie da Terra estar em repouso para o referido observador. No est este livro em repouso para o leitor enquanto o estu-da sentado sua secretria? Existem, no entanto, outras situaes em que o sistema de referncia de eixos fixos mais adequado outro. Por exem-plo, quando se pretende descrever o movimento dos electres num tomo,

-5

0

5x (m)

7/83/45/8/23/8/4 /8 t (s)

0

1 2

3

4

5 6

7

8

x (m)


o sistema de referncia a escolher dever ser o sistema centrado no n-cleo atmico; j no caso da descrio do movimento dos planetas, o sis-tema de referncia mais adequado o que tem origem no Sol23. Note-se, contudo, que existem outras situaes em que necessrio descrever o movimento de um corpo em relao a um referencial que se encontre, ele prprio, tambm em movimento em relao a um outro referencial fixo. A descrio do movimento de um autocarro por um observador colocado dentro de um automvel em movimento diferente da descrio do mo-vimento do referido autocarro efectuada por um observador em repouso na beira da estrada. neste contexto que falamos de referenciais em mo-vimento relativo24.

Vejamos como tratar este assunto, focando a nossa ateno apenas em referenciais que tm movimento relativo de translao (no de rota-o)25. Para o fazer vamos considerar o esquema da figura 2.17, onde es-to representadas duas partculas, P1 e P2, em movimento e cujas posi-es em relao a um sistema de eixos fixo Oxyz (sistema de referncia) so, num dado instante, 1r

e 2r , respectivamente. Seleccionamos em se-

guida uma das partculas para origem de um referencial cujos eixos se mantm paralelos aos eixos do sistema de referncia, independentemente do movimento da partcula. Escolhendo, de modo aleatrio, a partcula P1 para origem do referido sistema, formamos o sistema de eixos Oxyz (sistema secundrio), com P1 O. Como o sistema de eixos secundrio no tem movimento de rotao, os dois sistemas de eixos tm o mesmo conjunto de versores { , , }i j k

. Admitamos ainda que, solidrios com as partculas P1 e P2, se encontram os observadores 1 e 2, respectivamente.

23 Recorde-se, por exemplo, que os astrnomos da antiguidade descreviam o movimento dos

planetas tendo como base um referencial geocntrico, obtendo, em consequncia, rbitas planetrias muito complicadas. A partir do momento em que o sistema heliocntrico (N. Coprnico, 1473-1543) foi aceite, o movimento dos planetas passou a ser estudado em relao ao referencial com origem no Sol, o que permitiu tornar a sua descrio muito mais simples (J. Kepler, 1571-1639).

24 Dever inferir-se do que anteriormente foi referido que, em boa verdade, todo e qualquer tipo de movimento um movimento relativo na medida em que no existem referenciais em repouso absoluto. No universo tudo se move em relao a tudo. A Terra move-se em relao ao Sol, o Sol move-se em relao ao centro da Via Lctea (galxia a que pertence o Sol), a Via Lctea move-se em relao s outras galxias, etc.. Repouso e movimento so, pois, conceitos relativos.

25 A descrio do movimento relativo entre referenciais em rotao mais complexa, estando o seu estudo fora do mbito deste livro. Contudo, o leitor que queira aprofundar o assunto poder consultar, por exemplo, A. P. French Newtonian Mechanics, W. W. Norton & Co., New York, 1971, pp. 519-524.


Figura 2.17. Posies das partculas P1 e P2, definidas em relao ao sistema de eixos fixos (sistema de referncia, Oxyz) e em relao ao sistema de eixos em movimento de translao centrado na partcula P1 (sistema secundrio, Oxyz). O vector 21r

define a posio da partcula P2 em relao posio da partcula P1. O vector simtrico a 21,r

12 21,r r= define a posio da partcula P1 em

relao posio da partcula P2.

De acordo com o esquema da figura 2.17, a posio da partcula P2 em relao posio da partcula P1 dada por (vector representado a cinzento na figura 2.17)

21 2 1r r r= . (2.115)

Note-se que como a escolha da partcula origem do sistema de eixos se-cundrio foi arbitrria, poderamos ter escolhido a partcula P2 para ori-gem do sistema Oxyz. Se tal tivesse ocorrido, seria imediato deduzir que a posio da partcula P1 em relao posio da partcula P2 o vector simtrico do definido pela relao (2.115), isto ,

12 1 2 21r r r r= = . (2.116)

Coloca-se agora a questo de saber qual a velocidade da partcula 2 em relao partcula 1, ou seja, qual a velocidade da partcula 2 medi-da pelo observador 1? A resposta simples. Basta derivar a expresso (2.115):

21 21 2 1 2 1( )d dv r r r v vdt dt

= = = . (2.117)

Para calcular a velocidade da partcula 1 medida pelo observador 2 temos

O x

y

z

P1

P2

1r

2r

21r

x

z

y O


apenas que derivar a expresso (2.116):

12 12 1 2 1 2( )d dv r r r v vdt dt

= = = , (2.118)

verificando-se, evidentemente,

12 21v v= , (2.119)

isto , o observadores 1 e 2 vm-se afastar um do outro com a mesma ve-locidade relativa mas em sentidos contrrios. Um exemplo clssico ilus-trativo deste fenmeno o de um comboio que passa numa gare a uma determinada velocidade, digamos 80 km h1. Um passageiro sentado na gare afirmar que o comboio se afasta a 80 km h1. Contudo, um passa-geiro no interior do comboio defender que a gare que se afasta do comboio com uma velocidade de 80 km h1.

E quanto s aceleraes relativas entre as duas partculas? Basta-nos derivar as expresses (2.117) e (2.118) para obtermos as aceleraes de P2 em relao a P1 e vice-versa, respectivamente. Assim,

21 21 2 1 2 1( )d da v v v a adt dt

= = = (2.120)

a acelerao da partcula P2 medida pelo observador 1 e

12 12 1 2 1 2( )d da v v v a adt dt

= = = . (2.121)

a acelerao da partcula P1 medida pelo observador 2, verificando-se que

12 21a a= . (2.122)

Sublinhemos que os resultados (2.118), (2.119), (2.121) e (2.122) s se verificam por que o sistema de eixos secundrio Oxyz no tem mo-vimento de rotao em relao ao sistema de eixos de referncia Oxyz.

Particularmente importante o caso em que uma das partculas, di-gamos P1, tem movimento rectilneo uniforme ( 1v const=

) em relao ao sistema Oxyz. Neste caso a acelerao da partcula P2 medida pelo obser-vador 1, solidrio com a partcula P1, coincide com a acelerao da part-cula P2 medida pelo observador solidrio com o sistema de eixos fixos Oxyz, 2a

. De facto, de (2.120) e supondo 1 ,v const=

resulta


21 21 2 1 2 1 2( )d d d da v v v v v adt dt dt dt

= = = = (2.123)

Nesta situao, o referencial da partcula 1 diz-se um referencial de inr-cia. Todo e qualquer referencial em repouso ou em movimento rectilneo uniforme um referencial de inrcia. A noo de referencial de inrcia de importncia fundamental, quer em Mecnica Clssica quer em Mec-nica Relativista. Voltaremos a abordar com mais pormenor a noo de re-ferencial de inrcia no ltimo captulo deste livro.

Exemplo 2.8

Um avio voa de Lisboa para o Porto (sentido sul-norte) veloci-dade de 900 km h1 relativamente ao ar. Se soprar um vento de les-te de 80 km h1, para onde deve o piloto apontar o nariz do avio para conseguir chegar ao destino?

Resoluo:

A velocidade do avio relativamente Terra, que a que interessa para que ele atinja o destino, tem de apontar de Lisboa para o Porto, ou seja, de sul pa-ra norte. Esta velocidade igual so-ma vectorial da velocidade do avio em relao ao ar com a velocidade do ar (vento) relativamente Terra (vide esquema ao lado):

/ / ar/avio Terra avio ar Terrav v v= +

Para o avio chegar ao destino, /avio Terrav tem de apontar de Lisboa

para o Porto (ou seja, de sul para norte). Por outro lado, o vento de leste, logo /ar Terrav

aponta de leste para oeste. Segue-se que / /avio Terra ar Terrav v

, logo 2 2 2

/ // avio Terra ar Terraavio arv v v= +

tomando / 900avio arv = km h1 e / 80ar Terrav = km h1, vamos obter / 896avio Terrav = km h1. A direco em que o piloto deve apontar o

nariz do avio a do vector /avio arv , que faz com a linha sul-norte

um ngulo arctan(80/896) 5 = = para o lado leste da linha.

Porto

Lisboa

/avio Terrav

/ar Terrav

/avio arv


PROBLEMAS

Movimento rectilneo

2.1. Uma partcula material move-se ao longo do eixo dos yy segundo a lei y(t) = 2t3 + 4t2 + 4 (SI). Determine o valor da velocidade mdia e da acelerao mdia do ponto material entre os instantes t = 1 s e t = 4 s.

2.2. Uma partcula material move-se ao longo do eixo dos xx segundo a lei: x(t) = 4t3 + 4t2 + 6 (SI). Calcule a posio, a velocidade e a acelerao da partcula no instante t = 2 s.

2.3. A posio de um ponto material que se desloca ao longo do eixo dos xx definida pela relao x(t) = t3 6t2 15t + 40 (SI). Determine:

a) O instante em que a velocidade se anula. b) A posio e a distncia percorrida pelo ponto material at ao ins-

tante em que v = 0. c) A acelerao do ponto material no instante em que v = 0. d) A distncia percorrida pelo ponto material entre os instantes t = 3

s e t = 8 s.

2.4. Considere a queda livre (v0 = 0) de um corpo sujeito acelerao da gravidade g. Tome como referencia o eixo dos yy orientado de baixo para cima e considere que o corpo lanado de uma altura h. Mostre que:

a) O tempo de queda ou tempo de voo do corpo 2 /voot h g= .

b) A velocidade de embate no solo ou velocidade final do corpo 2fv hg= .

2.5. Considere o lanamento vertical de um corpo sujeito acelerao da gravidade g. Tome como referencia o eixo dos yy orientado de baixo para cima e considere que o corpo lanado com velocidade inicial v0. Mostre que:

a) O tempo de subida do corpo at atingir a altura mxima 0 /subt v g= .

b) A altura mxima atingida pelo corpo 20 2h v / g= .

c) O tempo de voo (tempo total de subida e descida) do corpo 02 /voot v g= .

d) A velocidade de embate no solo ou velocidade final do corpo 0fv v= .


2.6. A acelerao de uma partcula material que se move ao longo do eixo dos xx definida em funo do tempo pela expresso a(t) = 36t 24t3 (SI). Sabendo que no instante t = 0 a partcula se encontrava em repouso na origem do referencial, determine:

a) A velocidade e a posio da partcula em funo do tempo. b) O afastamento mximo da partcula, relativamente origem, para

t > 0. c) O valor mximo da velocidade para t > 0. d) O valor da velocidade mdia da partcula no intervalo 0 < t < 2 s. e) O valor da acelerao mdia da partcula no mesmo intervalo.

2.7. Uma partcula material move-se ao longo do eixo dos xx de acordo com uma velocidade definida pela expresso v(t) = 2t3 + 2t2 + 2 (SI). Sa-bendo que x = 3 m quando t = 1 s, determine a posio da partcula quan-do t = 3 s e o valor da sua acelerao nesse mesmo instante.

2.8. Considere um ponto material que percorre uma trajectria rectilnea de acordo com a lei x(t) = 16t 6t2 (SI).

a) Estabelea a expresso geral que permite calcular o valor da velo-cidade mdia do ponto material para o intervalo de tempo

0 0( ).t t t t +

b) Calcule a velocidade do ponto material para t = 1 s. c) Determine os instantes em que o ponto material passa pela origem. d) Determine a posio do ponto material no instante em que a sua

velocidade se anula. e) Haver algum instante em que a acelerao do ponto material se

anule? Justifique.

2.9. A acelerao de uma partcula material com movimento rectilneo ao longo do eixo dos xx a(t) = 2 12t2 (SI). Sabendo que em t = 2 s se tem x = 48 m e v = 2 m s1, determine a posio e a velocidade da partcula em funo do tempo.

2.10. A acelerao de uma partcula material que se move ao longo do ei-xo dos xx definida, em funo da posio, pela expresso a(x) = 4x 2 (SI). Sabendo que em x = 0 a velocidade da partcula 2 m s1, determine a sua velocidade em funo da posio, v = v(x).

2.11. A acelerao de uma partcula material que se move ao longo do ei-xo dos xx dada, em funo da velocidade, pela expresso a(v) = kv2, onde k uma constante e v a velocidade. Sabe-se que em t = 0 se tem


x = x0 e v = v0. a) Estabelea as expresses da velocidade e do deslocamento como

funes do tempo. b) Obtenha a expresso da velocidade como funo de x.

2.12. A acelerao de um ponto material que se move ao longo do eixo dos xx definida, em funo do tempo, pela expresso a(t) = kt2.

a) Determine o valor da constante k sabendo que v = 9 m s1 quan-do t = 0 e que v = +9 m s1 quando t = 3 s.

b) Estabelea a equao do movimento do ponto material sabendo que x = 0 quando t = 3 s.

2.13. Considere um ponto material que se desloca com movimento recti-lneo ao longo do eixo dos xx. No instante t = 0 o ponto material encon-trava-se na origem dos eixos com velocidade de 3 m s1, no sentido posi-tivo do eixo dos xx. Nesse mesmo instante, comea a ser submetido a uma acelerao constante de 4 m s2, com sentido oposto ao da velocida-de.

a) Calcule a velocidade do ponto material depois de ter sido subme-tido referida acelerao durante 20 s.

b) Determine a distncia percorrida pelo ponto material durante os 20 s considerados na alnea anterior. Sugesto: verifique se h in-verso do sentido de movimento.

2.14. Uma partcula material percorre uma trajectria rectilnea ao longo do eixo dos xx com movimento uniformemente acelerado. Sabendo que no instante t0 = 0 a partcula se encontrava na origem do referencial e que nos instantes t1 e t2 as suas posies so x1 e x2, respectivamente, mostre que a acelerao da partcula

( )( )

2 1 1 2

1 2 2 1

2 x t x ta

t t t t

=

2.15. A acelerao de uma partcula material em funo da sua posio dada por a(x) = kx2 (SI), com k uma constante. A partcula material par-te do repouso em x = 30 cm e observa-se que a sua velocidade de 20 cm s1 quando x = 15 cm. Determine:

a) O valor de k. b) O valor da velocidade do ponto material quando x = 12 cm.

2.16. Uma partcula material, inicialmente na origem de um sistema de eixos cartesianos, descreve um movimento rectilneo ao longo do eixo


dos xx com velocidade varivel no tempo, de acordo com o seguinte gr-fico:

1 2 3 4 5 6

-2

-1

0

1

2

3

4

5

ED

C

B

v (m

s-1 )

At (s)

a) Classifique os movimentos da partcula correspondentes a cada

troo e calcule a acelerao de cada movimento. b) Determine, para cada troo, as expresses da velocidade e da po-

sio da partcula em funo do tempo. c) Calcule o espao percorrido pela partcula bem como a sua distn-

cia ao ponto de partida no instante t = 6 s.

Movimento curvilneo

2.17. O vector posio de uma partcula material dada por

( ) ( ) ( )2 22 1 2 1r t t i t j = + + +

(SI).

a) Determine a trajectria da partcula. b) Escreva as expresses analticas de v e de a e determine as res-

pectivas normas. c) Classifique o movimento da partcula, indicando os intervalos de

tempo em que acelerado e em que retardado. d) Calcule o espao percorrido pela partcula durante os primeiros 5 s.

2.18. Uma partcula material percorre uma curva plana de tal modo que as suas coordenadas cartesianas so x = 2t3 3t2 e y = t2 2t + 1 (SI). De-termine:

a) A expresso do vector velocidade da partcula em funo do tempo. b) O instante em que a sua velocidade se anula.


c) A expresso do vector acelerao da partcula em funo do tempo. d) O instante em que a acelerao paralela ao eixo dos yy. e) O instante em que a acelerao da partcula se anula.

2.19. Uma partcula material movimenta-se ao longo de uma trajectria curvilnea definida pelo vector posio 2 2( ) ( 1)r t t i t j= +

(SI). a) Estabelea a equao cartesiana da trajectria. b) Determine o instante em que a velocidade tem valor mnimo. c) Calcule as coordenadas da partcula no instante em que a sua ve-

locidade tem valor igual a 10 m s1. d) Calcule os valores das aceleraes tangencial e normal em funo

do tempo.

2.20. Uma partcula material percorre uma curva plana de tal modo que a sua velocidade ( ) 2 4( 1)v t i t j= +

(SI). Sabendo que em t = 0 a partcu-la se encontrava na posio (2, 1), determine:

a) A equao da trajectria da partcula. b) O instante em que a acelerao da partcula se reduz componen-

te centrpeta. c) O raio de curvatura da trajectria no instante calculado em b). d) O versor da tangente trajectria em cada instante. e) O versor da normal trajectria em cada instante.

2.21. A trajectria de uma partcula material descrita pelo vector posi-o 3( ) sin 2 cos2 ( / 2)r t t i t j t k= +

(SI). Escreva

capitulo2(2)

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