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FEUP - 2000 Raimundo Delgado & António Arêde 1
Dinâmica de EstruturasDinâmica de Estruturas
Licenciatura em Engenharia Civil
RAIMUNDO DELGADO RAIMUNDO DELGADO ANTÓNIO ARÊDE ANTÓNIO ARÊDE
FEUP FEUP –– DEC DEC -- EstruturasEstruturas
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1. INTRODUÇÃO À DINÂMICA DE ESTRUTURAS1. INTRODUÇÃO À DINÂMICA DE ESTRUTURAS1. INTRODUÇÃO À DINÂMICA DE ESTRUTURAS
1.1 INTRODUÇÃO
Acção Dinâmica: Varia a grandeza, direcção e ponto de aplicação com o tempo.
Resposta Dinâmica: Tensões, deslocamentos, velocidades e acelerações que também variam com o tempo
Tipos de Análise
DETERMINÍSTICA - a lei de variação da acção com o tempo é conhecida
ESTOCÁSTICA – a acção não é completamente conhecida, mas pode ser definida em termos estatísticos
x1(t)
x2(t)
xn(t)
t1
t(s)
t(s)
t(s)
Acelerograma
-150
-100
-50
0
50
100
150
0 2 4 6 8 10 12 14 16
t (s)
a (c
m/s
2)
P
t(s)
Os problemas dinâmicos diferem dos estáticos porque:
a solicitação varia com o tempo
ocorrem forças de inércia devidas à aceleração
PPEstático Dinâmico
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1.2 MODELOS DE ANÁLISE
EXPERIMENTAL (modelo físico experimental)
ANALÍTICA (modelo matemático)
Análise de uma estrutura:
Sistema Físico Real Solução Matemática
Fidedigna
Modelo
Matemático
Designação simbólica para sistema idealizado que inclui todas as hipóteses simplificativas
Tipos de Modelos Matemáticos
MODELOS CONTÍNUOS MODELOS DISCRETOS
z (t)12z (t)
3z (t)
Deformada totalmente conhecida
Deformada conhecida em alguns pontos
z(x,t)
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Redução de Problemas Contínuos a um Sistema com 1 Grau de Liberdade
z
z
Este tipo de problema pode ser descrito pelo seguinte modelo esquemático:
A formulação do problema conduzirá a um sistema de equações diferenciais, cuja resolução permite a obtenção da resposta.
1.3 ÂMBITO DO CURSO
SISTEMAS COM 1 GRAU DE LIBERDADE
Modelos matemáticos de sistemas de 1 g.l.
Vibrações livres com e sem amortecimento
Resposta a solicitações periódicas
Resposta a uma solicitação dinâmica qualquer
Análise vibratória pelo método de Rayleigh
Resposta a solicitações sísmicas
k
c mF(t)
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SISTEMAS COM N GRAUS DE LIBERDADE
Modelos matemáticos de sistemas com vários g.l.
Vibrações livres sem amortecimento.
Frequências e modos de vibração
Resposta a uma acção dinâmica qualquer.
Método da sobreposição modal
Resposta a solicitações sísmicas
ANÁLISE DINÂMICA DE ESTRUTURAS DE EDIFÍCIOS E PONTES
Aspectos regulamentares da acção sísmica.
Análise através de espectros de resposta
Distribuição de acções horizontais em edifícios.
Análise plana simplificada
Análise tridimensional
1.4 BIBLIOGRAFIA
DYNAMICS OF STRUCTURES
Ray W. Clough and Joseph Penzien
McGraw-Hill, 2nd Ed., 1993
STRUCTURAL DYNAMICS. Theory and Computation
Mario Paz
Chapman & Hall, 4th Ed., 1997
STRUCTURAL DYNAMICS. An Introduction to Computer Methods
Roy R. Craig Jr.
John Willey & Sons, 1981
DYNAMICS OF STRUCTURES. Theory and Applications to Earthquake Engineering
Anil K. Chopra
Prentice Hall, International Edition, 1995
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2.1 CARACTERIZAÇÃO DE UM SISTEMA COM UM GRAU DE
LIBERDADE
As características da mola são descritas pela relação entre a força F e o deslocamento y da extremidade da mola.
(1) Comportamento LINEARykF =
(2) Comportamento NÃO - LINEARdyykdF )(=
F
(1)
y
(2)
2. MODELOS MATEMÁTICOS DOS SISTEMAS COMUM GRAU DE LIBERDADE
2. MODELOS MATEMÁTICOS DOS SISTEMAS COM2. MODELOS MATEMÁTICOS DOS SISTEMAS COMUM GRAU DE LIBERDADEUM GRAU DE LIBERDADE
No domínio elástico a mola “é um armazém de energia” !!
dyFdW =
2
00 21 DkdyykdyFW
DD=== ∫∫
Energia de deformação
Essa energia pode ser dissipada por mecanismos de amortecimento. O modelo normalmente utilizado para caracterizar o amortecimento é o de AMORTECEDOR VISCOSO LINEAR, em que a força de amortecimento fa é dada por:
vcfa =velocidade
coeficiente de amortecimento
F
F
yDdy
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Aplicando a 2ª Lei de NEWTON, a equação de movimento de uma partícula escreve-se:
aceleração relativa medida em relação a um referencial inercial
aF m=∑
massa da partícula
Para os problemas de dinâmica de estruturas é útil introduzir o conceito de força d’Alembert ou de força de inércia:
af mi −=
que não é mais do que a força fictícia em conjunto com a qual o sistema fica em equilíbrio. Obtém-se assim a EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO DINÂMICO:
0Ff =+∑i
Força de inércia e Momento das forças de inércia:
f(t)
yu(t)
k
c m
2.2 FORMULAÇÃO DAS EQUAÇÕES DE MOVIMENTO2.2.1 Aplicação das Leis de Newton a um sistema discreto
Considere-se o eixo y e o deslocamento uem relação a esse eixo.
As forças actuantes sobre o corpo devem estar em equilíbrio.
0tffff eai =+−−− )(
)(tfukucum =++ &&&
Equação Fundamental da Dinâmica de Estruturas
f =-mai
a
b
c
G
ma
IGα
ma
αya
xa
y
x
α+=α )(12
22 cbmIG
fi f(t)
fe
af
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Exemplo: Derivar a equação do movimento para pequenos deslocamentos do seguinte corpo rígido.
0MO =∑
0IsenlPM O =θ−θ−− θ&&
Mas
θ=+= θθ kMlmII GO e 2
0senlPklmIG =θ+θ+θ+ θ&&)( 2∴
2.2.2 Aplicação do Princípio dos Trabalhos Virtuais
Esta formulação tem particular interesse quando se aplica a um conjunto de corpos rígidos ligados entre si.
P.T.V. : Para um qualquer deslocamento virtual do sistema, o trabalho virtual das forças reais mais o das forças de inércia deve ser nulo.
0WWifreaisf =δ+δ .
Exemplo: Seja o seguinte corpo rígido.
A coordenada generalizada que caracteriza a configuração do corpo é θ. Assim, no deslocamento virtual δθ o trabalho virtual das forças reais e das de inércia é:
δθ−δθ−=δ lflfW epr 43
δθδθδ lMlfW Gifi−−=
2
0WWifr =δ+δ
l
G
kθ
θθ
MθO
fntf
P
G
m untm u
l
l/2 l/2
P
p
Pδθθ MG
if
f e
pf
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Mas
12
e 2
; ; 2
2
θ=θ=θ=θ== &&&&&& lmIMlmflkflpf GGieP
donde
0lmllmllkllp =δθθ+δθθ+δθθ+δθ &&&&12224
32
2
83
3
22
2 lPlklm −=θ+θ&&∴
2.3 ASSOCIAÇÃO DE CORPOS EM SISTEMAS DE UM GRAU DE
LIBERDADE GENERALIZADO
Podem ser de dois tipos:
Sistemas em que a deformação elástica está concentrada em elementos de mola
Sistemas com elasticidade distribuída e em que as deformações podem ser contínuasatravés de toda a estrutura
2.3.1 Sistemas com Deformação Elástica Concentrada em Elementos de Mola
uluv
lu
uv δ=δ⇒=
δδ 2
2
02
402
22
2 =−+−⇔=δ−δ+δ−δ umluNukfuumvNufuf e
&&&&
fulNkum =
−+∴ 4
2&&
Obs: Neste caso a força axial de compressão reduz a rigidez do sistema
l
G
12
2lmIG =
fm m
NG 21G
k
vδ
uδu /2
u/2u/2
/2u
l/2 l/2
δ δu
2δv
uδ
u
m u/2m u/2
uδ
δv
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2.3.2 Sistemas com Elasticidade Distribuída
Consideram-se estruturas contínuas mas em que a deformada é de determinado tipo.
Caracteriza-se a deformada da estrutura num instante t, por um parâmetro (coordenada generalizada) que multiplica a função de forma que se admitiu para a deformada.
)()(),( xtutxu ψ=
função de forma
coordenada generalizada ou deslocamento generalizado
Exemplo: Barra encastrada, solicitada axialmente na extremidade.
lxtutxu )(),( =
O Princípio dos Trabalhos Virtuais permite escrever:
intfir WWW δ=δ+δ
Trabalho de deformação interna
O campo dos deslocamentos virtuais é caracterizado por δu e portanto
ulxxu δ=δ )(
( ) uPluPWr δ=δ=δ
( ) ( )∫ δρ−=δl
fi dxxutxuAW0
,&& maslxtutxu )(),( &&&& =
donde
( ) ( ) ( ) utulAdxxutulAdxu
lxtu
lxAW
ll
fi δρ−=δρ−=δρ−=δ ∫∫ &&&&&&30
220
Assim:
PA
x
ρ u(x,t) u(t)
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∫ δεσ=δVint dVW
( ) ( )tulEtu
ldxdudxAdV =σ==ε= ;1;mas
ulδ=δε 1
donde
( ) ( ) ( ) utulAEAdxtu
ltu
lEW
l
int δ=δ=δ ∫01
Finalmente
( ) ( ) PtulAEtulA =+ρ
&&3
Um sistema de flexibilidade distribuída, e que é caracterizado apenas por um parâmetro (a coordenada generalizada u(t)) conduz a uma equação de equilíbrio dinâmico idêntica à obtida para um sistema discreto mais simples.
Para o caso geral em que )()(),( xtutxu ψ=
( ) ( ) ( ) **** ftuktuctum =++ &&&
em que
massa generalizada( ) ( )∫ ψ=l
dxxxmm0
2*
( ) ( )∫ ψ=l
dxxxcc0
2* amortecimento generalizado
∫
ψ=
l a dxdxdAEk
0
2*
∫
ψ=
l f dxdxd
IEk0
2
2
2*
rigidez generalizada (axial, flexão)
( ) ( )∫ ψ=l
dxxtxpf0
* , força generalizada