capitulo_1_-_principios_gerais

1Universidade Federal de So Joo Del-ReiCurso de Engenharia Mecnica

ELEMENTOS DE MQUINAS I

Prof. Alexandre Carlos Eduardo

So Joo Del Rei, 2012.

Email: [email protected]

2Captulo 1 Princpios Gerais

1.1 Introduo1.2 Lei de Hooke Mdulo de Elasticidade1.3 Diagrama Tenso-Deformao Pontos Importantes1.4 Mdulo de Elasticidade Transversal Coeficiente de Poisson

SUMRIO

1.5 Tenses que atuam nas Peas1.5.1 Trao1.5.2 Compresso1.5.3 Cisalhamento Simples1.5.4 Flexo1.5.5 Tenses de Cisalhamento na Flexo

1.6 Deformaes1.6.1 Flexo1.6.2 ngulos de Deformao por Toro-Distoro

1.7 Tenses Combinadas Critrios de Resistncia1.8 Exerccios Resolvidos

3Captulo 2 Tenses Admissveis Fatores de Segurana

2.1 Tenses Admissveis2.2 Fator de Segurana2.3 Exerccios Resolvidos

4Captulo 3 Concentrao de Tenses

3.1 Introduo3.2 Fatores de Concentrao de Tenso3.3 Indice de Sensibilidade3.4 Introduo dos Fatores de Concentrao de Tenses nos Clculos3.5 Tabelas e Diagramas de Kt , Kf e q 3.6 Fator de Concentrao de Tenses para Vida Finita3.7 Exerccios Resolvidos

5Captulo 4 Cargas Variveis - Fadiga

4.1 Cargas Variveis4.2 Fadiga4.3 Fatores que Influenciam o Limite de Resistncia Fadiga4.4 Aplicao do n ao Caso de uma Carga Varivel Qualquer

4.4.1 Equaes de Soderberg e de Goodman4.4.2 Diagrama de Smith

4.5 Resistncia Fadiga para Vida Limitada4.6 Exerccios Resolvidos

6Captulo 5 Elementos de Juno -Parafusos

5.1 Introduo5.2 Fora Inicial - Montagem5.2.1 Clculo das Constantes Elsticas5.3 Carga Total no Parafuso5.4 Tenso Inicial - Montagem5.5 Conjugado de Aperto Montagem5.6 Clculo dos Parafusos

5.6.1 Fadiga e Concentrao de Tenses5.6.2 Esforo Combinado de Trao e

Cisalhamento5.7 Materiais para Parafusos5.8 Exerccios Resolvidos

7Captulo 6 Molas

6.1 Generalidades6.2 Formulrio

6.2.1 Bsico6.2.2 Molas de Peso Mnimo, Volume Mnimo

e Comprimento Mnimo6.2.3 Molas Sujeitas a Cargas Variveis6.2.4 Molas Duplas Concntricas

6.3 Materiais6.3.1 Padronizao do Dimetro do Fio

6.4 Exerccios Resolvidos

8Captulo 7 Eixos e rvores

7.1 Introduo7.2 Projeto de um Eixo7.3 Projeto de uma rvore

7.3.1 Esforo simples de Toro7.3.2 Esforos combinados de Toro e Flexo7.3.3 Esforos combinados de Toro, Flexo e Carga Axial7.3.4 Esforos Variveis

7.4 Rigidez7.5 Afastamento entre Mancais7.6 Velocidades Crticas7.7 Carga de Flexo Produzidas pela Transmisso de Potncia7.8 Materiais7.9 Padronizao7.10 Exerccios Resolvidos

9Captulo 8 Chavetas e Estrias

8.1 Chavetas8.1.1 Chavetas Planas8.1.2 Chavetas Woodruff8.1.3 Outros Tipos de Chavetas8.1.4 Fixao de Chavetas

8.2 Estrias8.2.1 Estrias com Perfil de Lados Paralelos8.2.2 Estrias com Perfil Evolventais8.2.3 Serrilhados Evolventais

8.4 Exerccios Resolvidos

10

Critrio de Avaliao

Provas e Trabalho

- Formulrios em Anexo;

AV1 XX/XX/2012 (30 pts) AV2 XX/XX/2012 (30 pts) AV3 XX/XX/2012 (30 pts) TP XX/XX/2012 (10 pts) Sem Consulta e Individual!!!

11

Bibliografia

12

CapCaptulo 1 tulo 1 PrincPrincpios Geraispios Gerais1.1 Introdu1.1 Introduo: Conceitos Bo: Conceitos Bsicossicos

Conjuntos de elementos que compe as mquinas. A base de clculos e dimensionamentos baseia-se nas teorias de Resistncia e Resistncia e Propriedades dos Materiais.Propriedades dos Materiais.

13

CapCaptulo 1 tulo 1 PrincPrincpios Geraispios Gerais1.1 Introdu1.1 Introduo: o: Propriedades dos MateriaisPropriedades dos Materiais

O nmero de materiais cresceu muito nas ltimas dcadas e a tendncia de se proliferarem mais num futuro prximo

Desenvolvimento e aperfeioamento dos mtodos de extrao de materiais da natureza Modificao de materiais naturais Combinao de materiais conhecidos para a formao de novos materiais

14

Entre 40000 e 80000 diferentes, contando as variantes

de tratamento trmico e composiode cada material

QUANTOS MATERIAIS DIFERENTES EXISTEM ?

COMO ESCOLHER ??


15

Metlicos Cermicos Polimricos Compsitos

CobreFerro fundidoLigas de ao

PorcelanaVidrosTijolos

RefratriosLouas

PolietilenoEpxi

Fenlicos

Grafite-epxiCarbeto de Cobalto e

Tungstnio


16

Quais os critrios que um engenheiro deve adotar para selecionar um material entre tantos outros?

Em primeiro lugarprimeiro lugar, o engenheiro deve caracterizar quais as condies de operao que ser submetido o referido material e levantar as propriedades requeridas para tal aplicao, saber como esses valores foram determinados e quais as limitaes e restries quanto ao uso dos mesmos.


17

A segunda considerao na escolha do material refere-se ao levantamento sobre o tipo de degradao que o material sofrer em servio.

Por exemplo, elevadas temperaturas e ambientes corrosivos diminuem consideravelmente a resistncia mecnica.

Quais os critrios que um engenheiro deve adotar para selecionar um material entre tantos outros?


18

Finalmente, a considerao talvez mais convincente provavelmente a econmica:

Qual o custo do produto acabado??? Um material pode reunir um conjunto ideal de propriedades, porm com custo elevadssimo.


19

Propriedades Mecnicas

Resistncia Mecnica DurabilidadeTenacidadeConformabilidade Rigidez

Compresso Trao Flexo Cisalhamento Fluncia Tenso de Ruptura

% Alongamento

% Reduo de rea

Mdulo de Elasticidade Mdulo de flexo Mdulo de Cisalhamento

Resistnciaao Impacto Sensibilidade ao entalhe Fator de Concentraode tenso

Resistncia ao Desgaste Resistncia a Fadiga Dureza


21

TENSES MDIAS DOS MATERIAIS

_

22

_


23

Entenda o problema; Identifique os dados; Identifique as incgnitas e formule a estratgia de soluo; Estabelea todas as hipteses e decises; Analise o problema; Avalie sua soluo; Apresente sua soluo.

CapCaptulo 1 tulo 1 PrincPrincpios Geraispios Gerais1.1 Introdu1.1 Introduo: o: Passos para SoluPassos para Soluo de Problemaso de Problemas

24

CapCaptulo 1 tulo 1 PrincPrincpios Geraispios Gerais1.1 Introdu1.1 Introduo: o: HipHipteses Simplificadorasteses Simplificadoras

Continuidade do material Homogeneidade e isotropia do material Pequenas deformaes Elasticidade perfeita dos materiais Relao linear entre as foras e os deslocamentos Princpio da sobreposio

25

= fora/unidade de rea Tenso Normal ou cisalhante = Newton/m2

1 Pascal (Pa) = 1 Newton/m2 1kPa (kilo Pascal) = 103 Newton/m2 1MPa (Mega Pascal) = 106 Newton/m2 1GPa (Giga Pascal) = 109 Newton/m2 1 psi = 6,895 x 103 Pa ( libra fora por polegada quadrada) 1 Pa = 145,04 x 10 6 psi

KsiPsiinlbPsi 110

111 32 ==

CapCaptulo 1 tulo 1 PrincPrincpios Geraispios Gerais1.1 Introdu1.1 Introduo: o: Sistema de UnidadesSistema de Unidades

26

CapCaptulo 1 tulo 1 PrincPrincpios Geraispios Gerais1.2 An1.2 Anlise de Tenses e Deformalise de Tenses e Deformaes: Equiles: Equilbriobrio

27

CapCaptulo 1 tulo 1 PrincPrincpios Geraispios Gerais1.2 An1.2 Anlise de Tenses e Deformalise de Tenses e Deformaeses

28

Tenso Normal perpendicular a seo transversal, (sigma).

Tenso de Cisalhamento paralela a seotransversal, (tau).

Indica a direopositiva da tenso de cisalhamento

xy

Indica o eixo que perpendicular a face

Devido a condio de equilibrio

xy = yx

zy = yz

zx = xz


29

a) Em geral, pode ter 6 tenses independentes (3 normal e 3 de cisalhamento) atuando num ponto.

b) Muitos problemas prticos de engenharia envolvem apenas trs tenses independentes -chamado de Tenses planas

b) Estado de Tensopara tenso planapode ser representada por um elemento 2D.

Elemento Bi-dimensional


30


31


32

Distribuio de Tenso em um disco sob compresso


33

Distribuio de Tenso um par de engrenagem de dentes retos


34

Distribuio de Tenso parafuso-junta


35

1.2.11.2.1 TensoTenso devidodevido aoao CarregamentoCarregamento AxialAxialTrao e Compresso

1.2.2 1.2.2 TensoTenso devidodevido a a ForForaa CisalhamentoCisalhamentoExemplos

1.2.3 1.2.3 TensoTenso devidodevido a a FlexoFlexoTrao/Compresso/ & Toro

1.2.4Tenso 1.2.4Tenso devidodevido a a TorTorooTenso de Cisalhamento


36

Conveno de Sinal > 0 Trao < 0 Compresso

AF

=

1.2.11.2.1 TensoTenso devidodevido aoao CarregamentoCarregamento AxialAxialTrao e Compresso

37

Lei de Lei de HookeHooke MMdulo de Elasticidade: dulo de Elasticidade:

A tenso resultante da aplicao de uma fora em um material diretamente proporcional sua deformao"

onde: : tenso : deformaoE : modulo de elasticidade

E= (1)

CapCaptulo 1 tulo 1 PrincPrincpios Geraispios Gerais1.2.1 Tenso Devido ao Carregamento Axial1.2.1 Tenso Devido ao Carregamento Axial

38

Diferentes tipos de um mesmo material tm o mesmo Mdulo de Elasticidade, pois o coeficiente angular do trecho reto do diagrama tenso x deformao

sempre o mesmo. Diagrama x x para diferentes tipos de ao:



39

PONTO V - Instante em que o corpo se rompe.

PONTO IV - LIMITE DE RESISTNCIA ou TENSO DE RUPTURA -maior tenso que o corpo pode suportar

PONTO III - LIMITE DE ESCOAMENTO - caracteriza a perda da propriedade elstica do material.

PONTO II - LIMITE DE ELASTICIDADE - elasticidade a propriedade do material de o corpo retornar ao seu tamanho inicial assim que a fora deixa de agir sobre o mesmo.

PONTO I - LIMITE DE PROPORCIONALIDADE (lei de HOOKE) - as deformaes so proporcionais s tenses.



40



41

Seja a barra em duas condies,a) Sem fora externab) Com fora externa

A fora P, atuando na barra, provoca uma deformao (alongamento )

Essa deformao dividida pelo comprimento, pode determinar a deformao especfica longitudinal

AP

= (2)

[%] 001xLL

L

==

(3)

Lei de Lei de HookeHooke MMdulo de Elasticidade: dulo de Elasticidade: CapCaptulo 1 tulo 1 PrincPrincpios Geraispios Gerais1.2.1 Tenso Devido ao Carregamento Axial:1.2.1 Tenso Devido ao Carregamento Axial:

42

Combinando (1) e (2):

Subst. (3) em (4):

Com variaes de carga, seo transversal ou propriedades do material,

=i ii

iiEALP

AEP

EE === (4)

AEPL

= (5)

Lei de Lei de HookeHooke MMdulo de Elasticidade: dulo de Elasticidade: CapCaptulo 1 tulo 1 PrincPrincpios Geraispios Gerais1.2.1 Tenso Devido ao Carregamento Axial:1.2.1 Tenso Devido ao Carregamento Axial:

43

Teste de Tenso x DeformaTeste de Tenso x DeformaooCapCaptulo 1 tulo 1 PrincPrincpios Geraispios Gerais1.2.1 Tenso Devido ao Carregamento Axial:1.2.1 Tenso Devido ao Carregamento Axial:

Mquina de ensaio

44

Teste de Tenso x DeformaTeste de Tenso x DeformaooCapCaptulo 1 tulo 1 PrincPrincpios Geraispios Gerais1.2.1 Tenso Devido ao Carregamento Axial:1.2.1 Tenso Devido ao Carregamento Axial:

45

Materiais frgeis:- Resistncia do material controlada pela resistncia trao;- Deformao principalmente elstica;- O mecanismo de falha material devido fratura frgil;- Ele normalmente tem resistncia pequena;- Exemplos: de concreto, ferro fundido, cermica etc

Materiais dcteis:- Resistncia do material controlada pela fora de cisalhamento;- A deformao inelstica;- O mecanismo de falha material fratura dctil;- Tem geralmente elevada tenacidade, ou seja, capaz de absorver o impacto;- Exemplos: aos liga, cobre, alumnios e vrias ligas, etc

46

Diagrama tenso-deformao para uma liga tpica de alumnio1. Tenso mxima de trao2. Limite de escoamento 3. Tenso limite de proporcionalidade 4.Ruptura 5. Deformao "offset" (tipicamente 0,002).

Materiais FrMateriais Frgeis e Dgeis e Dcteiscteis

47

Diagrama tenso-deformao para um material frgil1. Tenso mxima de trao2. Ruptura.

Materiais FrMateriais Frgeis e Dgeis e Dcteiscteis

48

Exemplo 1: Uma barra de aluminio de possui uma seo transversal quadrada com 60 mm de lado, o seu comprimento e de 0,8m. A carga axial aplicada na barra e de 30 kN. Determine o seu alongamento. Eal = 70 MPa.

(a) Fora normal: F = 30 kN = 30000 N(b) Comprimento inicial da barra: L = 0.8m = 800mm(c) rea de seo quadrada: A = (a)2 = (60)2 = 3600mm2

(d) Alongamento ( )( )( )( ) mmxxAE

PL 23 1052,910703600

80030000

===

49

Exemplo 2: A viga rgida est apoiada por um pino em A e pelos arames BD e CE. Se a deformao normal admissvel mxima em cada arame for max = 0,002 mm/mm, qual ser o deslocamento vertical mximo provocado pela carga P nos arames?

50

Por semelhana de tringulo:

CBp 537

==

Mas,

6mm0,002 x 3000 x maxDB === LB

L

=

( ) mmBp 14637

37

===

mm80,002 x 4000 x maxBc === LC

( ) mmCp 2,11857

57

===

51

Analisando:

mmL

CC 14 PODE NO 0025,04000

10pmax

BC

=>===

!!SIM! 0016,03000

8,4max

DB

52

Determinar a deformao de uma barra de seo circular sob os respectivos carregamentos.

in. 618.0 in. 07.1

psi1029 6

==

=

dD

E

EXEMPLO 3:

53

SOLUO: Dividir a barra em 3 partes:

221

21

in 9.0

in. 12

==

==

AA

LL2

3

3

in 3.0

in. 16

=

=

A

L

Aplicando o DCL em cadacomponente para determinaras foras internas

lb1030

lb1015

lb1060

33

32

31

=

=

=

P

P

P

54

221

21

in 9.0

in. 12

==

==

AA

LL

23

3

in 3.0

in. 16

=

=

A

L

Determinao da deflexo total

( ) ( ) ( )in.109.75

3.0161030

9.0121015

9.0121060

10291

1

3

333

6

333

2

22

1

11

=

+

+

=

++==

ALP

ALP

ALP

EEALP

i ii

ii

in. 109.75 3=

55

Determinar a deformao total de A em relao a D. Area = 20 mm2. Material ao com E = 200 GPa = 200 x 109 Pa:

= 100 mm = 150 mm = 200 mm

AEPL

DA =/

AELP

AELP

AELP CDCDBCBCABAB

DA ++=/

EXEMPLO 4:

57

AELP

AELP

AELP CDCDBCBCABAB

DA ++=/

AEmN

AEmN

AEmN

DA)2)(.000,7()15)(.000,3()1)(.000,5(

/

+

+=

mmmxxAEDA

338.01038.3)10200)(00002(.350,1350,1 4

9/ ==

=

=

58

A barra rgida BDE suspensa pelas duas barras flexveis AB eCD. A barra AB fabricada de alumnio (E = 70 GPa) e a rea desua seo transversal de 500 mm2

A barra CD fabricada de ao (E = 200 GPa) e a rea de suaseo transversal de 600 mm2. Determine os deslocamentos verticais dos pontos B, D e E.

EXEMPLO 5:

59

Deslocamento de B:

( )( )( )( )m10514

Pa1070m10500m3.0N1060

6

926-

3

=

=

=

AEPL

B

= mm 514.0BDeslocamento de D:

( )( )( )( )m10300

Pa10200m10600m4.0N1090

6

926-

3

=

=

=

AEPL

D

= mm 300.0D

DCL: Barra BDE

( )

( )compressoF

F

tensoFF

M

AB

AB

CD

CD

B

kN60m2.0m4.0kN300

0M kN90

m2.0m6.0kN3000

D

=

=

=

+=

+=

=

SOLUO:

60

Deslocamento de D:

( )

mm 7.73

mm 200mm 0.300mm 514.0

=

=

=

x

x

x

HDBH

DDBB

= mm 928.1E

( )

mm 928.1mm 7.73

mm7.73400mm 300.0

=

+=

=

E

E

HDHE

DDEE

61

Analisando uma barra submetida apenas as foras axiais, pede-se para determinar as tenses normais atuantes e os

deslocamentos longitudinais. Dados: E = 10.000 KN/cm e rea de seo transversal= 25cm

EXEMPLO 6:

62

01050 =++RHA = 0xF kNRHA 60=

CORTE I (0 X 3)

060 = kNN kNN 60=

63

CORTE II (3 X 4)

06050 =+N kNN 10=

DIAGRAMA DO ESFORDIAGRAMA DO ESFORO NORMALO NORMAL

64

TENSESTENSESTRECHO AB

22 /4,225

60cmkN

cm

kNAN

===

O valor positivo indica que o elemento se encontra sob trao.

TRECHO BC


22 /4,025

10cmkN

cm

kNAN

===

65

DESLOCAMENTOS LONGITUDINAISDESLOCAMENTOS LONGITUDINAIS

TRECHO AB

cmAElNl 072,0

25.10000300.60

.

.

===

TRECHO BC

cmAElNl 004,0

25.10000100.10

.

.

===

66

DESLOCAMENTO LONGITUDINAL TOTAL ACDESLOCAMENTO LONGITUDINAL TOTAL AC

cmlll BCABMx 076,0004,0072,0 =+=+=

67

Observe a figura abaixo, analisando as tenses atuantes nas sees da barra e determine os deslocamentos longitudinais. Dados: E=12.000KN/cm

EXEMPLO 7:

68

ESFORESFOROS SOLICITANTESOS SOLICITANTES

CORTE I AB (0 X 2)

015 = kNNkNN 15=

69

CORTE II BD (2 X 4)

01015 =+N kNN 5=

CORTE III DE (2 X 4)

01030 =+N

kNN 20=

70

DIAGRAMA DE ESFORDIAGRAMA DE ESFORO O NORMALNORMAL

71

TENSESTENSESTRECHO AB

22 /5,26

15cmkN

cm

kNAN

===

O valor positivo indica que o elemento est sob trao.

TRECHO BC


22 /83,06

5cmkN

cm

kNAN

===

72

TRECHO CD


22 /25,14

5cmkN

cm

kNAN

===

TRECHO DE


22 /54

20cmkN

cm

kNAN

===

73

DESLOCAMENTOS LONGITUDINAISDESLOCAMENTOS LONGITUDINAIS

TRECHO AB

cmAElNl 04166,0

6.12000200.15

.

.

===

TRECHO BC

cmAElNl 00694,0

6.12000100.5

.

.

===

TRECHO CD

cmAElNl 0104,0

4.12000100.5

.

.

===

74

TRECHO DE

cmAElNl 0833,0

4.12000200.20

.

.

===

DESLOCAMENTO LONGITUDINAL TOTALDESLOCAMENTO LONGITUDINAL TOTAL

DECDBCAB lllll +++= max

cml 142,00833,00104,000694,004166,0max =+++=

75

Uma haste metlica foi constituda de dois materiais distintos colocados em srie. A haste de cobre est embutida dentro de uma capa de alumnio, estancadas por uma chapa metlica que est comprimindo os elementos com uma fora de 30KN, conforme figura abaixo. Pede-se para determinar as tenses atuantes nos dois materiais.

DADOS:R1=6cm R2=8cmEAl=18.000 KN/cmECu=15.000 KN/cm

EXEMPLO 8:

76

ANANLISE DA ESTRUTURALISE DA ESTRUTURA

30=+ CuAl PP

Como as barras esto sendo comprimidas pela chapa, logo podemos afirmar que o deslocamento da barra de alumnio ser igual ao deslocamento da barra de cobre.

CuAl ll =

77

Desenvolvendo a expresso temos:

1,113.15000500.

88.18000500.

.

.

.

. CuAl

CuCu

Cu

AlAl

Al PPAELP

AELP

==

95,2.16,3. CuAl PP =

AlAl

Cu PPP 072,1

95,216,3.

==

Substituindo na equao PAl+PCu=30KN, obtemos:

kNPAl 48,14= kNPCu 54,15=

78

TENSESTENSES

Uma vez determinado a fora normal distribuda em cada elemento das barras podemos obter as tenses.

ALUMNIO

22 /164,088

48,14cmkN

cm

kNAN

Al ===

COBRE

22 /134,01,113

54,15cmkN

cm

kNAN

Cu ===

79

Exerccio 1:

Determinar A/D

80

Determinar C

Exerccio 2:

81

O coeficiente de Poisson, , mede a deformao transversal (em relao direo longitudinal de aplicao da carga) de um material homogneo e isotrpico. A relao estabelecida entre deformaes ortogonais .

Coeficiente de PoissonCoeficiente de PoissonCapCaptulo 1 tulo 1 PrincPrincpios Geraispios Gerais1.2.1 Tenso Devido ao Carregamento Axial:1.2.1 Tenso Devido ao Carregamento Axial:

82

O coeficiente de Poisson definido como:

x

z

x

y

===

axial deformaolateral deformao (6)


83

L

-

= L

metais: ~ 0.33

ceramicas: ~ 0.25polimeros: ~ 0.40


84

Uma tenso de trao aplicada ao longo de um eixocilndrico de bronze de dimetro 10mm. Determinar o valor da carga necessria para produzir umamudana de dimetro de 2.5 x 10-3 mm. Considerar = 0.34, E = 97 GPa.

EXEMPLO 9:

85

43

0

105.210

105.2 x,direo na deformao

=

=

= x

mm

mmx

dd

x

44

1035.734.0105.2

z, direo na deformao

=

== xx

v

xz

( )( ) MPaMPaxxEz 3.7110971035.7 34 ===

( ) NmxmNxdAF 56002

1010/103.712

326

20

0 =

=

==

pipi

86

Uma barra de material homogneo e isotrpico tem 500mm de comprimento e 16 mm de dimetro. Sob a ao da carga axial de 12kN, o seu comprimento aumenta de 300m e seu dimetro se reduz de 2,4m. Determinar o coeficiente de Poisson do material.

EXEMPLO 10:

87

Consideramos o eixo x coincidente com o eixo da barra para escrevermos ento:

0006,0500

3,0===

mm

mm

Lx

x

00015,0160024,0

===

mm

mm

dy

y

25,00006,000015,0

=

==

x

yv

88

Uma barra de ao A-36 submetido a uma fora axial de 80 kN. Determine a mudana no comprimento e nas dimenses depois da aplicao da carga. O material tem comportamento elstico.

EXEMPLO 11:

89

SOLUO:

Tenso Normal

( )( )( ) PaxA

Pz

63

1016m 0.05m 0.1

N 1080===

Deformao na direo z

( )( ) mmmmxEzz /1080Pa 10200

Pa 1016 69

6

===

Alongamento da barra na direo axial

( )( ) mxLzzz 120m 1.51080 6 ===

90

SOLUO:

Deformaes x e y

Deformao na direo z

( )( ) mmmmxEzz /1080Pa 10200

Pa 1016 69

6

===

Mudanas nas dimenses da seo transversal

( )( )( )( ) mxL

mxL

yyy

xxx

.281m 0.05106.25 2.56m 0.1106.25

6

6

===

===

( ) mxzyx 6.25108032.0 6 ====

91

1. Uma barra de ao de alta resistncia usada em um grande guindaste tem dimetro d = 2,25 in. O ao tem mdulo de elasticidade E = 29x106 psi e coeficiente de Poisson = 0,30. Por causa de exigncias de remoo, o dimetro da barra limitado a 2,251 in quando a barra comprimida por foras axiais. Qual a maior carga de compresso Pmx que permitida?Resp. P = 171 kip

EXERCCIOS:

2. Uma barra prismtica de seo transversal circular carregada por foras de trao P. A barra tem comprimento L = 3,0m e dimetro d = 30mm. Ela feita de um material cujo mdulo de elasticidade E=73 GPa e = 1/3. Se a barra sofrer um alongamento de 7,0 mm, qual a diminuio no dimetro d? Qual a magnitude da carga P?Resp. d = 0,0233mm P = 120 kN

3. Um fio de ao de alta resistncia (3,0 mm de dimetro) sofre um estiramento de 37,1mm quando 15m desse fio so estirados por uma fora de 3,5 kN.

(a) Qual o mdulo de elasticidade E do ao? (b) (b) Se o dimetro do fio diminui em 0,0022mm, qual o coeficiente de Poisson?Resp. a) E = 200 GPa b) = 0,3

92

Tabela Contribuio da Deformao devido a Tenso_____________________________________________________

Tenso Deformao Deformao Deformaodireo x direo y direo z

z

y

x

Ev

Ev

E

zx

yx

xx

=

=

=

Ev

E

Ev

zy

yy

xy

=

=

=

E

Ev

Ev

zz

yz

xz

=

=

=

Lei de Lei de HookeHooke GeneralizadaGeneralizadaCapCaptulo 1 tulo 1 PrincPrincpios Geraispios Gerais1.2.1 An1.2.1 Anlise de Tenso e Deformalise de Tenso e Deformao: o:

93

Por superposio das componentes de deformao nasdirees x, y, e z, a deformao ao longo de cada eixo pode serescrita como:

z

x

y

x

y

z ( )[ ]zyxx vE +=1

( )[ ]xzyy vE +=1

( )[ ]yxzz vE +=1

(7a)

(7b)

(7c)


94

( )zzyyxxxxxx EE

+++

=

1

( )( )zzyyxxxx E +=1

A Eq. (7a.b.c) pode ser expressa em termos de notao tensorial:

Exemplo, se i = j = x,

ijkkijij EE += 1 (8)


95

Estado Plano de Tenso (3 = 0): Placa fina carregada no plano da mesma; Tubo de parede fina, carregado por presso interna onde no h tenso

normal na superfcie livre.

Analisando a Eq. 7, z = 3 = 0.

Lei de Lei de HookeHooke Generalizada: Casos EspeciaisGeneralizada: Casos EspeciaisCapCaptulo 1 tulo 1 PrincPrincpios Geraispios Gerais1.2.1 An1.2.1 Anlise de Tenso e Deformalise de Tenso e Deformao: o:

[ ][ ]

[ ]213322

211

1

1

1

+=

=

=

vE

vE

vE

(9)

96

1

2

211

E

=+

Deixando (7b) em funo de y e subst. em (7a)

( )[ ]

( )[ ] ( )EEE

EE

22

1

1211

111

1

=

+=

(10)

[ ]

[ ]1222

2121

1

1

+

=

+

=

E

E

(11)


97

Estado Plano de Deformao (3 = 0):Ocorre quando uma das dimenses da pea ou componente maior

do que as outras.


98

Estado Plano de Deformao (3 = 0):

Das Eqs. 7,

Isso mostra que existe uma tenso ao longo do eixo z, mesmo que a deformao seja zero.

( )[ ] 01 2133 =+= E (12)

[ ]213 += (13)


99

Substitutindo a Eqs. (11) em (7):

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]

0

111

111

3

122

2

212

1

=

+=

+=

E

E(14)


100

Uma amostra de material submetida a uma tenso de compressoz confinada, de modo que ela no pode se deformar na direo y, mas a deformao permitida na direo x. Assumir que o material isotrpico e tem comportamento linear-elstico. Determine os seguintes termos de z e a constante elstica do material:(a) Tenso que se desenvolve na direo y;(b) Deformao que se desenvolve na direo y.(b) Deformao na direo z.(c) Deformao na direo x;

EXEMPLO 12:

101

Utilizando a Eq.(7), Das informaes do problema: y = 0, x = 0. z varivel conhecida.

( )[ ]zy

zyy E

=

+== 010

(a) Tenso na direo y:

SOLUSOLUO:O:

(b) Tenso na direo z,

( )[ ]

zz

zzz

E

E

21

01

=

+=

( )[ ]yxzz vE +=1 (7c)

102

( )[ ] ( ) zxzzx EE

+

=+=1

01

(c) Deformao na direo x.

( )[ ]zyxx vE +=1 (7a)

103

Uma fora de 12 kN aplicada na parte superior e inferior de um cubo (20 mm lado), E = 60 GPa, = 0.3. Determinar

(i) a fora exercida pelas paredes, (ii) yy

z y

12kN

x

(i) xx = 0, yy = 0 e zz= -12103 N/(2010-3 m)2 = 3107 Paxx = (xx- yy- v zz) /E0 = [xx- 0 0.3(- 3107)]/60109

xx = -9106 Pa (compresso)Fora = Axx = (2010-3 m)2(-9106 Pa) = -3.6 103 N

(ii) yy = (yy- zz- xx) /E= [0 0.3(- 3107) 0.3(- 9106)]/60109 = 1.9510-4

EXEMPLO 13:

104

Uma chapa de alumnio de espessura de t = 3/4 in, tem um furocentral de d = 9 in. As foras agindo no plano da placa causamtenses normais x = 12 ksi e z = 20 ksi. Para E = 10x106 psi and = 1/3, determine a mudana no (a):

a) Comprimento do dimetro AB, b) Comprimento de dimetro CD, c) Espessura da placa, d) volume da placa.

EXEMPLO 14:

105

SOLUO: Aplicando a lei de Hooke generalizada, determina-se as trs

componentes da deformao normal.

( ) ( )

in./in.10600.1

in./in.10067.1

in./in.10533.0

ksi20310ksi12

psi10101

3

3

3

6

+=

+=

=

+=

+=

=

+=

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

106

Componentes da deformao

( )( )in.9in./in.10533.0 3+== dxAB

( )( )in.9in./in.10600.1 3+== dzDC

( )( )in.75.0in./in.10067.1 3== tyt

in.108.4 3+=AB

in.104.14 3+=DC

in.10800.0 3=t

Mudana no volume

( ) 33333

in75.0151510067.1

/inin10067.1

==

=++=

eVV

e zyx

3in187.0+=V

107

Um bloco rectangular de um material comum mdulo de distoro G = 620 MPa colado a duas placas rgidas horizontais. A placa inferior fixa, enquanto a placa superior submetida a uma fora horizontal P. Sabendo que a placa superior se desloca 1 mm sob ao da fora, determine: a) a distoro mdia no material; b) a fora P que atua na placa superior.

200 mm60 mm

50 mm

EXEMPLO 15:

108

radmm50

mmxyxyxy 020.0

1tan ==

xyxy G =

kNAP xy 8,14860*200*4,12 ===

1 mm

50 mmSoluSoluo:o:

a) Distoro mdia no material

b) Fora P atuante na placa superior

MPaG xyxy 4,1202,0*620 ===

109

Considere o elemento ilustrado na figura. a) No estado sem tenso atuante, a deformao do cubotem valor unitrio; b) Sob estado de tenses x, y e z , a deformao num paraleleppedo retangular de volume

)1)(1)(1( zyxV +++=

zyxV +++=1

Uma vez que as deformaes x, y e z so muitos menores que a unidade, e seus produtos sero ainda menores e podem ser omitidos na expresso. Logo,

MMdulo de Elasticidade Transversaldulo de Elasticidade TransversalCapCaptulo 1 tulo 1 PrincPrincpios Geraispios Gerais1.2.1 An1.2.1 Anlise de Tenso e Deformalise de Tenso e Deformao: o:

110

Denotando por e e a mudana no volume do nossoelemento,

111 +++== zyxV V

ou

zyxV ++= (15)

( )E

v

Ezyxzyx

V

++

++=

2

Substituindo (7) em (8):

( ) ( )zyxV Ev

++

=

21 (16)

onde (9) representa a dilatao (variao especfica no volume)

CapCaptulo 1 tulo 1 PrincPrincpios Geraispios Gerais1.2.1 An1.2.1 Anlise de Tenso e Deformalise de Tenso e Deformao: o: MMdulo de Elasticidade Transversaldulo de Elasticidade Transversal

111

Para um elemento submetido a uma pressouniforme hidrosttica,

Substituindo (17) em (16):

( ) ( )zyxV Ev

++

=

21

3zyx

m

++= (17)

( )mV E

v 321= (18)

Vm K = (19) Onde K = MDULO DE ELASTICIDADE VOLUMTRICO


112

( )+= 12EG (20)

Mdulo de elasticidade transversal ou Mdulo transversal representado pela letra G, pode ser definido em funo do mdulo de elasticidade (E) e do coeficiente de Poisson ().

O mdulo de elasticidade transversal de qualquer material menor que a metade, mas maior que um tero do mdulo de elasticidade desse material. G = 80GPa um valor tipico para um ao.


113

Gv

E 2 1

=

+

nn

nn

-

nn

-

nn

ProvarProvar: Gv

E 21 =+

( )

( )( )E

v

G

Ev

Ev

E

Ev

E

vEE

vE

nnnn

nnnnnnnn

nnnnnn

yyxxyyxx

xx

+=

+=+=

=

==

12

1

1

nnxx

zz

nnyyxx

=

=

==

0

( )[ ]zyxx vE +=1 (7)


114

A constante de proporcionalidade G o mdulo de elasticidadeem cisalhamento, ou mdulo de rigidez. Valores de G so usualmente determinado atravs de teste de toro. Tabela abaixo:


115

EXEMPLO 15:

Um corpo de prova de alumnio tem dimetrodo = 25 mm e comprimento til Lo = 250 mm. Se a fora de 165 kN alonga o comprimento til em

1,20 mm. Determine o mdulo de elasticidade e a contrao do

dimetro. Considere o mdulo de elasticidade transversal

Galum = 26 GPa e tenso de escoamentoe = 440 MPa

116

Mdulo de Elasticidade.

Soluo:

( )( )

MPa 36,13025,0

4

101652

3

=

==

m

NAP

pi

- Deformao mdia: mm/mm 0,0048mm 250mm 1,20

===

L

- Tenso mdia aplicada:

A tenso aplicada menor que a tenso de escoamento do material

e

capitulo_1_-_principios_gerais

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