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F-107 CAP. V Mauro M.G. de Carvalho

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CAPÍTULO V

FLUIDOS

Hidrostática

Pressão: É a razão entre a força normal a uma superfície e a área sob ela

Unidade: u(P)= u(F)/u(A) = N/m2 = Pascal (Pa)

Existem outras unidades: Torr, atm, bar, mm de Hg, kgf/cm2, pound/sq.inch (psi) etc. Todas são usadas até hoje. A

tabela 1 dá os fatores de conversão entre as vátias unidades. A unidade torr não está na tabela porqie é igual ao mmHg.

Tabela1:Fatores de conversão de unidades de pressão

Pa(N/m2) mmHg Bar Psi(lb/in2) atm

1 Pa(N/m2) 1 7,5x10-3 1x10-5 1,45x10-4 9,87x10-6

1 mmHg 1,33x102 1 1,33x10-3 1,93x10-2 1,32x10-3

1 Bar 1x105 750 1 14,5 0,987

1 Psi (lb/in2) 6,89x103 51,71 6,89x10-2 1 6,8x10-2

1 atm 1,013X105 760 1,013 14,7 1

Princípio de Pascal: A pressão aplicada a um fluido confinado se transmite integralmente a todos os pontos do fluido.

Fig. 1: Um acréscimo DP na pressão se transmite a todos os pontos do fluido

Sistemas hidráulicos:

1F1A

2A2F

2A

2F

1A

1F

2A

2F2P

1A

1F1P

Portanto, se A2>A1 então F2>F1

Fig. 2 : Sistema hidráulico

Aplic. 1: Na figura acima os cilindros 1 e 2 têm raios de 2,0 cm 20,0 cm respectivamente. Determine a força que deve

ser feita no cilindro 1 para equilibrar um peso de 4,0 ton no cilindro 2. R:4000N

Aplic. 2: O êmbolo de uma seringa tem 2,0 cm de diâmetro. Que força deve ser exercida sobre ele para injetar um

remédio numa veia cuja pressão é 10,0 mm de Hg. R: 2,3x10-5 N

P1

P2

P

P1+P

P2+ P

F1 F2


110

Pressão devido a uma coluna de fluido.

No fundo da coluna a força será : F = mg = V.g, onde = m/V é a densidade do fluido

A pressão será; P = F/A = .V.g /A= A.h/A, onde A é a área da base do tubo.

Portanto: P = .h.g

Fig. 3: Cilindro contendo um fluido.

Observe que em todos os casos abaixo a pressão no fundo dos recipientes é a mesma:

Fig. 4: Paradoxo hidrostático. A pressão no fundo dos recipientes é a mesma.

Aplic. 3: Avalie a pressão no fundo de um copo d’água ao nível do mar.

Dado: 1atm = 1,0 x 105 Pa R: 1,01atm

Aplic. 4: Determine em atmosferas a pressão no fundo de um lago de 10m de profundidade. R: 2 atm

Aplic. 5: Com um conta-gotas mantém-se uma coluna de 3,0 cm de altura de um líquido de densidade 0,5g/cm3

Determine e pressão no interior do conta-gotas. R: 0,998atm

Aplic. 6: Uma pessoa pode conseguir uma pressão de 0,8 atm sugando um tubo. Se um tubo tem uma extremidade

imersa num refrigerante, a que altura acima do refrigerante (basicamente água) pode uma pessoa conseguir tomá-lo

sugando a outra extremidade do tubo? R: 2 m

Pressão total e pressão manométrica : A pressão medida por um manômetro tipo bourdon é a pressão manométrica:

Pabs = Pman + Patm

Onde: Pabs – Pressão absoluta

Pman – Pressão manométrica

Pressão atmosférica

Fig. 5: Manómetro de bourdon

h

h


111

Empuxo

Princípio de Arquimedes: Qualquer objeto imerso num fluido sofre uma força de baixo para cima igual ao peso de

fluido deslocado

E = F1 – F2 = P1.A – P2.A = f.h.A.g = fVig

Ou seja: E = Vi g

Fig. 7: Um cilindro dentro de um fluido

Aplic. 7: Uma pedra de densidade 2,7x103 kg/m3 pesa 80 kg. Determine seu peso aparente quando dentro d’água. R: 29,6 kg

Aplic. 8: A densidade do gelo é a 0oC é 0,917 g/cm3 e da água a 0oC é 0,970 g/cm3. Determine a fração do volume e

gelo que fica imersa quando um bloco de gelo flutua na água. R: 95%

Aplic. 9: Uma esfera oca de ferro ( = 7,8 g/cm3) tem raios R1 e R2 (R1>R2). Para que essa esfera flutue em água com metade do seu volume imerso, qual deve ser a relação entre R1 e R2 ? R: R1/R2 = 1,4

Tabela2: Densidade de alguns materiais

Sólidos em g/cm3 ou 10

3 kg/m

3

Alumínio 2,70

Latão 8,44

Cobre 8,8

Ouro 19,3

Ferro 7,8

Chumbo 11,3

Prata 10,1

Vidro 2.6

Granito 2,7

Madeira 0.3 – 0,9

Gelo(0oc) 0,917

Osso 1,7

Líquidos

Água (4oC) 1,000

Plasma sanguíneo 1,03

Sangue 1,05

Água do mar 1,025

Mercúrio 13,6

Álcool etílico 0,79

Glicerina 1,26

Azeite 0,92

Gases

Ar 1,29x10-3

Oxigênio 1,43x10-3

Metano 0,72x10-3

Vapor d´água(100oC) 0,60x10-3

F1

F2

h


112

Dinâmica dos fluidos

Fluxo: O fluxo de um gás é a quantidade de um fluido que passa através (e perpendicularmente) a uma de

terminada área. Se v é a velocidade do fluido e A a área considerada, então : = Av

Unidade: m3/s, cm

3/s, l/s etc

Tipos de fluxo

Fluxo turbulento

Fluxo laminar

Existe também o fluxo molecular

Aplic. Importante : Capela de Fluxo Laminar


113

Relação entre fluxo e diferença de pressão;

P1<P2

P = R

onde R é a Impedância ou Resistência à passagem do fluido pelo tubo e é dada pela lei de Poiseuille:

4πr

8ηηR

onde:

viscosidade do fluido L - comprimento do tubo

r – raio da seção reta do tubo

Unidade de R: u(R) =u(P)/u() = Pa.s/m3 no SI

Também usado: torr.s/l

Unidade de : u(h) = u(R).u4 (r)/u(r) = Pa.s = N.s/m2 no SI Também muito usada: Poise: 1 Poise = 1dyn.s/cm2 = 0,1 Pa.s

É comum o uso de Poise/cm3 para a medida da resistência.

Observe que uma pequena variação em r, faz R variar fortemente. O controle da pressão sanguínea se dá pela variação

do diâmetro dos vasos sanguíneos (vasoconstrição e vasodilatação)

Tabela2: Algumas viscosidades:

Fluido Temperatura (oC) (Pa.s)

Sangue 36 4,00 x 10-3

Acetona 25 3,16 x 10-3

Óleo leve 16 1,13 x 10-1

38 3,4 x 10-2

Água

0 1,79 x 10-3

20 1,00 x 10-3

37 0,69 x 10-3

100 2,82 x 10-5

Ar

0 1,71 x 10-5

18 1,83 x 10-5

40 1,90 x 10-5

Duas observações: 1) A viscosidade não depende da pressão do fluido (exceto para pressões extremamente altas);

2) A viscosidade diminui com a temperatura no líquidos e aumenta com a temperatura nos gases

Coeficiente de viscosidade não é viscosidade. É a razão entre a viscosidade e o fluxo (a unidade é o Stokes). Não

usaremos este conceito

F1 P1

Patm F2

P2 Patm


114

Distribuição deda velocidade de um fluido num tubo

baixa viscosidade alta viscosidade

Nas paredes do tubo a velocidade é zero.

Aplic. 10: A velocidade média do sangue num vaso de 3,0mm de diâmetro é 2,0 cm/s.. Determine a diferença de

pressão nas extremidades do vaso que tem 20,0 cm de comprimento. R: 2,7x10-2mmHg

Aplic. 11: Se o vaso no problema anterior se contrai e passa a ter 2,0 mm de diâmetro, qual será a diferença de pressão

na suas extremidades? R:13,7x10-2mmHg

Aplic. 12: (a) Considere um tubo de comprimento L e área da seção reta A. Determine sua área lateral.

(b) Qual a área lateral de total de N tubos iguais ao do item anterior? E qual a área total da seção dos tubos?

(c) Considere um tubo de comprimento L e área da seção reta NA. Calcule sua área lateral. Compare essa área com a do

item (b).Compare também as vazões para a mesma diferença de pressão nos dois casos. Porque você acha que o corpo

humano (e os mamíferos, em geral) usa os capilares?

R: A razão entre as áreas laterais é N1/2, sendo a dos N tubos maior.


115

Aparelho circulatório

(sob o aspecto da dinâmica de fluidos

As duas figuras a seguir foram retiradas de Urone,Paul Peter, Physics – with health science applications, John

Wiley & sons,Inc 1986


116

2


117

Equação de Bernoulli

Para um fluido passando em um tubo, tem-se:

Para um tubo horizontal:

Observe que quanto maior a velocidade de escoamento, menor a pressão do fluido!

(lembre que = A.v)

Aplic. 13: Calcule a diferença de pressão num tubo vertical imerso em ar sendo v1e v2 as velocidades do ar na parte superior e inferior do tubo respectivamente.

Borrifadores (bombas de inseticida, pistola de pintura etc)

Trompa d’água

Tubo de Venturi

A1

y1

A2

y2 v1

v2

2222

2111 v

2

1gypv

2

1gyp

222

211 v

2

1pv

2

1p


118

Aplic. 14: Um cilindro de 5,0 cm de diâmetro tem um êmbolo de 30,0 cm de curso de um lado e ,do outro lado, um

orifício de 1,0 mm de diâmetro. Uma pessoa consegue fazer o êmbolo percorrer os 30 cm em 5,0 s. Determine a

velocidade média do ar que passa pelo orifício. R: 150m/s

Aplic. 15: No problema anterior, considere um tubo de pequeno diâmetro com uma extremidade sob o orifício do

cilindro. Este tubo tem sua outra extremidade mergulhada em água sob pressão atmosférica. Determine a que altura a

água pode subir no tubo. R:

1,5 m

Aplic. 16: Num tubo de Venturi, a área da maior seção é A1 e da menor seção é A2. No lugar dos manômetro mostrados

na figura dada acima, existem dois tubos de vidro verticais. Um líquido percorre o tubo e sobe a alturas diferentes onde

a área da seção é A1 e A2. A diferença de alturas entre as duas colunas é h.

a) Desenhe o tubo de Venturi com os tubos de vidro e as colunas de líquido.

b) Mostre que:

1A

A

gh2v

22

21

1

, onde v1 é a velocidade do líquido onde a seção é A1

Tensão Superficial

Grampo flutuando na água devido à tensão superficial.

Tensão superficial ()

Unidade: N/m

30 cm

orifício

h

F

L

F


119

Origem

Tensão superficial de alguns líquidos

Considerações importantes:

1. está ligado a propriedades moleculares do líquido. Depende, portanto do material;

2. O fator 2 que multiplica vem da existência de duas superfícies. No caso de uma única superfície, não tem o fator 2.

Força de sustentação de um mosquito.

A força total na perna do mosquito é:

FT = 2rcos

Aplic. 17: Um mosquito pousado numa poça d’água faz uma

depressão na superfície de ângulo 15o e raio de 1mm em cada pata.

Determine a massa do mosquito.

(temperatura da água:20oC)

R: 0,26 g

Líquido Tensão superficial

(N/m)

Plasma

sanguíneo 0,073

Sangue 0,058

Etanol 0,023

Mercúrio 0,436

Água

0oC

20oC

100oC

0,076

0,072

0,059

Água com

sabão 0,037

Força total não nula

Força total nula

superfície

r

F F


120

Relação entre pressão, raio e tensão superficial numa bolha

Se pi e pe são as pressões interna e externa respectivamente, temos:

Fi= R2 pi

Fe= R2 pe

FT= 4R

Logo, no equilíbrio: Fe + FT = Fi

ou seja: R

4pp ei

Observe que quanto maior o raio menor a diferença entre as pressões interna e externa.

Os alvéolos pulmonares tem substâncias no seu interior que diminuem a tensão superficial de suas paredes (surfatantes) facilitando a respiração. A deficiência dessas substâncias causam dificuldade de respirar.

LÍQUIDO EM CONTATO COM UMA SUPERFÍCIE

Fa – força de adesão

Fc – Força de coesão

MOLHA

Fa > Fc

Fa < Fc

NÃO MOLHA

Fa = 0

= 180o

R

Fa

Fc

F

Fa

Fc

F

NÃO MOLHA


121

CAPILARIDADE

FT = mg

2rcos = Vg

2rcos =r2hg

gr

cos2h

Observe que a altura que o líquido atinge é inversamente proporcional ao raio do capilar.

Fa

Fc F

FT

h

r


122

Exercícios

1) Um recipiente contendo um gás, é munido de um manômetro de mercúrio (Hg = 13,6 g/cm3). Quando a pressão externa é a atmosférica, a coluna de mercúrio tem uma altura de 14,7 cm, sendo mais alta no lado

ligado ao recipiente conforme mostra a figura (despreze o diâmetro do tubo de mercúrio).

a) Qual a pressão absoluta no interior do recipiente? R:

613mmHg

b) O recipiente é colocado numa câmara de vácuo onde a pressão é 10-4 Torr (pode ser desprezada em relação à

pressão dentro do recipiente). Calcule sua altura coluna de mercúrio nestas condições. R: 613mmhg

2) Um bloco de madeira de densidade 0,7 g/cm3 flutua na água (H20 = 1,0 g/cm3). Qual a porcentagem do volume

total do bloco fica submersa? R: 70%

3) Um copo cilíndrico de latão tem 20,0 cm de altura , raio externo de 10,0 cm e fundo de espessura desprezível..

Colocado na água, o copo flutua com 12,0 cm submerso. Qual seu raio interno? (latão = 8,44 g/cm3) R: 9,6 cm

4) Para um adulto em repouso, a velocidade média do sangue na aorta é v = 33 cm/s. O raio médio da aorta é r =

0,90 cm. Portanto o fluxo sangüíneo é:

(a) Q = cm3/s

Da aorta, o sangue vai para as artérias, daí vai para as artérias menores (arteríolas) e daí para os capilares. A cada

estágio a área da seção transversal dos vasos diminui. A área transversal total de todas as artérias maiores é de 20 cm2. O sangue que flui através dessas artérias vem todo da aorta. Assim, a velocidade média do sangue nas artérias é:

(b) va = cm/s

Então o sangue flui mais (c)…………….(lentamente/rapidamente) nas artérias que na aorta.

A área total das seções transversais de todos os capilares é 2,5x103 cm2. Logo, a velocidade média do sangue nos

capilares é de:

14,7 cm

10-4 torr


123

(d) vc = cm/s

e o fluxo através de cada um deles é (o raio médio de um capilar é 2 m): Q = cm3/s (e)

Se o comprimento de um capilar é de 1,0 mm e sua viscosidade 0,004 Pa.s, a diferença de pressão entre suas

extremidades é de:

(f) p1 – p2 = mmHg

A pressão sangüínea no início da aorta é da ordem de 120 mmHg. A aorta tem um diâmetro grande, de tal forma que a queda de pressão entre suas extremidades é de 35 mmHg. Quando o sangue entra nas artérias, a pressão sangüínea é

então 85 mmHg. Como esses vasos têm diâmetros menores, a queda de pressão através deles é da ordem de 50 mmHg.

Portanto, a pressão é de 35 mmHg quando o sangue chega às arteríolas. Destes vasos o sangue passa para os capilares

(leito capilar) de onde saem com pressão de 15mmHg. Você deve (ou deveria) estar se perguntando por que, sendo os

capilares mais finos que as artérias, a queda de pressão é menor (tem que ser menor do que 20 mmHg!). A razão é que

existem tantos capilares, que o fluxo sangüíneo através deles é muito pequeno como você pode ver no item (d) deste

exercício. No total, a queda de pressão do sangue neste percurso é de cerca de 105 mmHg.

Considerando o fluxo do sangue na aorta calculado no item 1, a resistência total de todo o sistema circulatório é de:

(g) R = Poise/cm3

Se esta resistência aumenta, a pressão também aumenta para manter o fluxo sangüíneo causando a hipertensão. Como a

resistência de um vaso é inversamente proporcional à 4a potência do seu diâmetro, pequenas variações deste podem

causar grandes variações de pressão. Claro que esta variação é negativa (hipotensão) quando os vasos são dilatados

(vasodilatação).

A potência média P que o coração gasta para manter a circulação pode ser facilmente calculada. Sabemos que P = F.v.

Se a pressão do sangue na saída do coração é p (p = 100 mmHg) e a área da seção reta da aorta é A, então a força sobre

a massa sangüínea é p.A. Expressando v em função de Q e A, temos que:

(h) P =

Utilizando os valores encontrados neste texto, o cálculo de P nos dá 1,1 W. Esta é a potência mecânica dissipada pelo coração. Claro que ele também dissipa também energia térmica (3,4 W).

R: a) 84; b) 4,2, c) lentamente; d) 3,4x10-2; e) 4,3x10-9;

f) 20mmHg;

g) 1,7x103; h) p.Q

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