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F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho 124 CAPÍTULO VI ELETRICIDADE Carga Elétrica Fig. 1: Experiência que demonstra a existência de dois tipos de carga A experiência demonstra a existência de dois tipos de cargas que, convencionalmente chamou-se de positiva e negativa. As características principais das forças entre cargas são: 1) A força pode ser de atração ou repulsão; 2) A força entre duas cargas está na linha que as une; 3) A força que duas ou mais carga exercem sobre uma carga q é a soma vetorial das forças que cada uma das cargas exerceria sobre q se não existissem as outras (Princípio da Superposição). 4) Vale a lei da ação e reação entre duas cargas paradas. Lei de Coulomb O módulo da força entre duas cargas é: 2 r 2 q 1 q K F ATRAI ATRAI REPELE REPELE RESULTADO PARCIAL DA EXPERIÊNCIA ATRAÇÃO ! CONTATO NÃO HÁ FORÇA

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F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho

124

CAPÍTULO VI

ELETRICIDADE

Carga Elétrica

Fig. 1: Experiência que demonstra a existência de dois tipos de carga

A experiência demonstra a existência de dois tipos de cargas que, convencionalmente chamou-se de positiva e negativa.

As características principais das forças entre cargas são:

1) A força pode ser de atração ou repulsão;

2) A força entre duas cargas está na linha que as une;

3) A força que duas ou mais carga exercem sobre uma carga q é a soma vetorial das forças que cada uma das

cargas exerceria sobre q se não existissem as outras (Princípio da Superposição).

4) Vale a lei da ação e reação entre duas cargas paradas.

Lei de Coulomb

O módulo da força entre duas cargas é:

2r

2q

1q

KF

ATRAI

ATRAIREPELE

REPELE

RESULTADO PARCIAL DA EXPERIÊNCIA

ATRAÇÃO !

CONTATO NÃO HÁ FORÇA

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Onde K = 9x109 u(SI), q1 e q2 são as cargas em Coulomb (C) e r a distância entre as cargas. O valor de K está ligado ao

meio e pode ser expresso como: K=1/(4o) , onde o é a permissividade elétrica do meio (8,85x10-12 u(SI) no vácuo).

(a) (b)

Fig. 2: Atração e repulsão entre cargas e força (azul) na carga C (positiva) usando o princípio da superposição.

Aplic. 1: Calcule a força sobre a carga q1= 2,0C nas figuras abaixo:

3,0C 3,0C -2,0C

3,0C

3,0m 3,0C q1

1,5m

1,0m 3,0m

3,0C

1,0m 3,0m

a)

c)

b)

d)

3,0C

3,0C

q1

q1

q1 q1

-3,0C

3,0C

q1

e) f)

3m

3m

3m

3m

3m

3m

+ -

+ +

+

- C

+

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Campo Elétrico: Dizemos que numa região do espaço existe um campo elétrico, quando sobre qualquer carga

elétrica nessa região atua uma força elétrica.

Intensidade de Campo elétrico: A intensidade de campo elétrico é definida como: E = F/q

A unidade de E é o N/C ou V/m.

Pela própria definição, a intensidade de campo elétrico, doravante chamada simplesmente do campo elétrico, é uma

grandeza vetorial.

Aplic. 3: Calcular o campo elétrico num ponto A distante r de uma carga q positiva. Faça uma figura para mostrar o

vetor Campo Elétrico. Repita o exercício para uma carga q negativa.

Aplic. 4: O campo elétrico numa certa região é dado por E = 100 i (V/m). Calcule o trabalho para deslocar uma carga

de 2 C (a) de (1,0) a (5,3); (b) de (3,1) a (0,0).

Aplic. 5: Na figura abaixo identificar os pontos onde o campo é mais intenso, onde ele é menos intenso e onde ele é

zero.

Diferença de Potencial (ddp): Def: VA-VB = VAB = WAB /q onde WAB é o trabalho realizado pela força elétrica

sobre a carga q para desloca-la de A até B.

Unidade de VAB é o Volt

Essa definição só é possível porque o campo elétrico é conservativo.

Aplic. 6: Mostre que o campo elétrico também pode ser medido em V/m.

Aplic.7: Na Aplicação 4, calcular a ddp A(1,0) e B(5,3) e entre C(3,1) e D(0,0).

Aplic. 8: Pode-se demonstrar que o campo entre duas placas é uniforme (exceto nas bordas) e dado, neste caso, por

/o, onde é a densidade de carga das placas (carga por unidade de área) e o é a permissividade elétrica do meio (no

vácuo(e no ar o = 8,85x10-12 u(SI)). Duas placas metálicas iguais de 25cm2 são colocadas faca-a-face a uma distância de 1cm. Uma ddp de 100 V é aplicada entre as placas. Qual o campo elétrico entre elas? Qual a carga em cada placa?

Aplic. 9: Um elétron é acelerado entre dois pontos entre os quais a ddp é 1000V. Considerando que inicialmente sua velocidade era de 10m/s, calcule sua velocidade final. A massa do elétron é 9,1x10-31 kg.

Propriedades específicas dos condutores O campo eletrostático dentro de um condutor é zero.

O potencial elétrico dentro de um condutor é constante, logo a ddp entre dois pontos no seu interior é zero.

Capacitores: São armazenadores de energia.

Símbolo:

As cargas nas placas dos capacitores são sempre iguais e de sinais opostos. O campo elétrico no seu interior é : E = /

onde é a permissividade do meio. A razão k = o é chamada constante dielétrica do meio.

Capacitância: A capacitância de um capacitor é definida por: C = Q/V

Onde Q é a carga na placa positiva do capacitor e V a diferença de potencial entre suas placas.

A unidade de C é o Farad (F).

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Aplic. 10: Calcule a capacitância de uma capacitor de capacitor cujas placas têm área A , distam d entre si e tem um

dielétrico de constante k entre as palcas..

Aplic. 11: Aplica-se uma tensão de 100V num capacitor de 20F. Qual a carga no Capacitor.

Aplic. 12: Quando um capacitor está carregado, a energia nele armazenada é dada por U= CV2/2. Calcule a energia

armazenada no capacitor do exercício acima.

Aplic. 13: Considere um capacitor carregado e duas lâmpadas, uma de 20W e outra de 100W. Ao se ligar a lâmpada de

100W no capacitor, ela acende e apaga logo depois. Explique o porquê desse comportamento. O que aconteceria se a

lâmpada ligada fosse a de 20W?

Corrente elétrica i = dq/dt ou, no caso em que i é constante , i = q/t

Unidade: A unidade de i é Coulomb/segundo que é chamada Ampère (A).

Para haver corrente é necessário haver:

1) Cargas livres (ou quase).

2) Um Campo elétrico (ou, o que vem a ser a mesma coisa, uma ddp).

Resistência eletrica : É a resistência que um condutor opõe à passagem de corrente elétrica. É dada pela razão entre a ddp e a corrente no condutor. R = V/i (volt/Ampère)

A unidade de R é o Ohm ()

Lei de Ohm: É constante a resistência de um condutor, ou seja, se aumentamos a ddp nos terminais de um condutor,

a corrente também aumenta de modo que V/i se mantem constante.

A resistência elétrica de um material é diretamente proporcional a seu comprimento (L) e às suas características

intrínsecas e inversamente proporcional à área de sua seção reta (A).

A

LρR

é a resistividade do material e é medido em Ohm-m ou Ohm-cm. O inverso da resistividade é a condutividade que é medida em Ohm-1-cm-1 .

Resistor : É um elemento passivo cuja função é dissipar energia elétrica. Símbolo:

Aplic. 14: Determine a ddp num resistor de 100k percorrido por uma corrente de 1mA

Aplic. 15: Calcule a ddp nos resistores da figura abaixo one VAB = 120V.

Gerador: É um elemento que transforma algum tipo de energia em energia elétrica. Símbolo

Força Eletromotriz (FEM): É a energia por unidade de carga que um gerador fornece às cargas. E = W/q

A unidade de FEM é o Volt.

Os geradores têm uma resistência interna que dissipa parte da energia que é obtida da sua fonte de energia. A potência

útil de um gerador é, portanto: Pu = Pf - Pp, onde Pu é a potência útil que um gerador pode fornecer, Pf é a potência

fornecida pelo sua fonte de energia (química, mecânica, solar etc) e Pp é a energia dissipada no gerador (internamente).

Energia e potência elétrica Se V é a ddp entre dois pontos, então, pela própria definição de V , W = qV., mas sendo q = it, temos:

W = V.i t

- +

A B

2 8

F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho

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Evidentemente, a potência será: P = Vi

Aplic. 16: Num gerador a ddp entre seu terminal positivo e negativo é 10V quando a corrente é 10A. Qual sua potência

útil.

Aplic. 17: Mostre que a potência dissipada numa resistência pode ser dada por : P = Vi = Ri2 = V2/R

Aplic. 18: Se a resistência interna da bateria da aplicação 16 é 0,20, qual sua FEM?

Aplic. 19: Qual a resistência de uma lâmpada de 60W-120V?

Aplic. 20: Qual a corrente num chuveiro elétrico de 2200W-220V?

Aplic. 21: Se você tem que escolher entre um chuveiro elétrico de 2200W-120V e outro de 2200W-220V, qual

escolheria (após o curso de F-107, claro!).

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Magnetismo

Existem dois pólos - norte e sul - que não podem existir separadamente. A divisão de um imã gera outros imãs sempre

com os dois pólos

Figura 3 – Imãs divididos continuam imãs com dois pólos

O magnetismo pode estar naturalmente presente em materiais tipo magnetita e ferro. Mas ele pode ser obtido através de

corrente elétrica o que gera um grande número de aplicações.

A passagem de uma corrente elétrica num fio faz aparecer um campo magnético perpendicular ao fio. Isso pode ser

constatado pelo movimento de uma agulha magnética colocada sobre o fio, conforme mostra afigura ao lado.

Figura 4 - Desvio da agulha magnética devido à corrente no

fio.

O fio também sofre ação do campo

magnético como pode ser constatado

com a experiência mostrada na figura

Figura 5 – O condutor sobe quando é

colocado num campo magnético

demonstrando que aparece uma forçca

na corrente devido ao campo magnético

N S

S

S

N

N

N

N

N

S

D

S

D

S

D

S

D

N

D

Sem corrente

i

F

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Figura 6 – O imã em movimento faz aparecer uma corrente na espira circular.

Força sobre carga em campo magnético

Características:

1. Força magnética só se manifesta em cargas em movimento;

2. A força magnética é perpendicular à velocidade da carga e ao campo magnético (ou

seja, ao plano formado por v e B). Portanto, a força magnética não muda o módulo da

velocidade ou, em outras palavras, não muda a energia cinética da carga.

3. O módulo da força magnética vale F= qvBsenPortanto, se a velocidade tem a mesma direção do campo, a força magnética é nula.

Matematicamente podemos escrever: F = q(vxB). O sinal "x" aqui significa produto

vetorial.

Figura 7 – Os três vetores v,B e F.

Regra da mão direita:

Esta é uma regra útil para determinar a direção

de um dos três vetores (v, B ou F) conhecendo

os outros dois.

Figura 8 – A posição da mão direita representando v B e F

Num plano, se uma força é sempre normal à velocidade o movimento é circular uniforme. Portanto, se uma partícula

carregada entra numa região de campo magnético uniforme e perpendicular a sua velocidade, seu movimento será

circular e uniforme. Vejamos algumas propriedades desse movimento.

N S v

V

B

F

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Partícula carregada em campo magnético uniforme

A força que faz a partícula girar é a força centrípeta que, no caso é a força magnética

Fc = FM

onde Fc = m v2/R e FM = qvB sen90o , logo:

mv2/R = qvB

R = mv/qB

Observe que mv é o momento da partícula, ou seja, p = mv. Logo,

podemos escrever:

R = p/qB

Se expressarmos a energia cinética da partícula em função do

momento, o raio da trajetória poderá ser dado em função da energia

cinética e da massa da partícula. Isto é muito útil para os

espectrômetros de massa com campo magnético (ver exercício 6 da

lista 4).

Figura 9 – Trajetória de uma partícula carregada

(no caso, positiva) num campo magnético uniforme.

Uma importante característica do movimento da partícula é o seu período. Por definição, o período T é o tempo

necessário para a partícula completar uma volta:, portanto, como sua velocidade escalar é v, temos: vT = 2R , ou seja,

v = 2R/T. Substituindo esta expressão para v na primeira equação para R, temos :

T = 2m/qB

ou ainda, lembrando que =2/T

= qB/m

que é chamada frequência ciclotrônica.

Com tantas "fórmulas" para decorar, sua lista de impropérios para o velho mestre já deve ter se esgotado. Acalme-se!

Mais vale acender uma vela do que maldizer a escuridão! Na verdade, essas deduções são tão simples que podem irritar

qualquer ser ligeiramente pensante. Tente! Se você está na Unicamp você é mais que ligeiramente pensante!

Força sobre um fio que conduz uma corrente i.

A corrente num fio é o deslocamento de cargas. O sentido convencional da corrente é o de cargas positivas deslocando-

se. Logo é de se esperar que um fio sofra ação de campo magnético se estiver conduzindo corrente.

Vamos considerar que num intervalo de tempo t as

cargas dentro do fio se deslocam de uma distância L

muito pequena. Nesse caso:

v = L/t

i = q/t

ou

q = it

A força sobre a carga q é:

F =qBvsenit.B.(L/t).sen, onde B é o

campo magnético no fio e o ângulo entre B e o fio.

Assim:

F = iBLsen

(não precisa decorar!)

Figura 10 – Fio num campo magnético

R

F

v

L

i

B

F

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Campo devido a uma fio.

O campo magnético em torno de um fio retilíneo, infinito (mas nem tanto!) e conduzindo uma corrente i é dado por:

2ππ

io

μB , onde o é a permeabilidade magnética do vácuo

(ar) e vale: o = 4 x 10-7 u(SI). (Não precisa decorar!)

A direção do campo é perpendicular ao fio e o sentido é o do

fechamento da mão direita que tem o polegar apontando no

mesmo sentido da corrente (isto precisa saber!), conforme

mostra a figura 12.

Figura 11 – Campo devido a um fio

Figura 12 - Regra da mão direita para campo de um fio

Aplic. 22: Dois fios paralelos e distantes d entre si, conduzem correntes iguais a i1 e i2. Determine a força por unidade

de comprimento entre eles:

a) no caso das correntes terem o mesmo sentido.

b) no caso das correntes terem sentidos opostos i

i

r

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Campos magnéticos importantes.(não precisa decorar as equações!)

Fluxo de campo uniforme através de uma superfície plana: É o produto da componente do campo na direção normal

à superfície pela área da superfície.

= B.A.cos

Lei de Faraday

A força eletromotriz induzida num circuito fechado é numericamente igual ao valor absoluto da taxa de variação de

fluxo magnético no circuito.

dt

dφE

A corrente induzida é tal que cria um campo oposto à variação do fluxo.

Aplic. 23: Determine a força eletromotriz induzida numa espira quadrada de 2cm de lado quando o campo magnético

uniforme e perpendicular a seu plano varia de acordo com a equação:

a) B(t) = 2t

b) B(t) = 2t – t2

Aplic. 24: No exercício anterior, representar o sentido da corrente.

i

B

Campo no centro de uma espira

B= oi/2R

Campo no interior de um solenóide. É aproximadamente

uniforme e vale: B = oni, onde n é o número de espiras por

unidade de comprimento.

i

i B

B

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Aplic. 25: Considere uma espira quadrado de lado a girando num campo magnético uniforme B com velocidade angular

constante , conforme a figura. a) Determine o fluxo através da espira.

b) Se a resistência da espira é R, determine a corrente que a percorre. Faça um gráfico da corrente em função do tempo.

Exercícios

1) Qual a massa de um grupo de prótons cuja carga total é 1C? Qual a carga total de 1kg de prótons?

dado: mp = 1,67x10-27 kg

R: 1,04x10-8 kg; 0,96x108 C

2) A massa de um elétron é 9,1x10-31 kg e a do próton 1,67x10-27 kg. A constante de gravitação universal vale 6,67x10-

11 u(SI). calcule a razão entre as forças de atração gravitacional e elétrica entre um próton e um elétron.

3) Calcule a força sobre uma carga de 10-10 C nos pontos A e B da figura ao lado.

R: 0,176 N e 1,8 N

4) O campo elétrico num determinado ponto vale 300V/cm na direção e sentido do eixo X. Qual a força que atuaria

numa carga de –2mC colocada no ponto considerado.

R: 60 N na direção x e sentido –x

5) A Figura abaixo representa um campo elétrico, através de linhas de força, e quatro pontos .

a) Em qual dos pontos o campo elétrico é mais intenso?

b) Em qual dos pontos o campo é horizontal?

c) Em qual dos pontos o campo pode ser considerado uniforme?

d) Desenhe o vetor força para uma carga positiva colocada em D;

e) Idem para uma carga negativa colocada em B.

R: a) C; b) A e C; c) A

eixo de

rotação

A B

C

D

0,5m

-4 C

4 C

A

B

1,0m

1,0m

2,5m

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6) Considere os pontos A e B do campo elétrico uniforme de 1000V/m representado abaixo.

a) Qual a força elétrica que atua numa carga de 20 C em A? E em B? b) Qual o trabalho da força elétrica para deslocar a carga de A até B? E de B até A?

c) Onde a energia potencial da carga é maior, em A ou em B?

d) Onde o potencial é maior, em A ou em B?

e) Responda aos itens a e b considerando uma carga de –20C. f) Determine a diferença de potencial entre A e B

g) Determine a diferença de potencial ente B e B’.

h) Desenhe uma equipotencial que passe por A e outra que passe por B.

R: a) 2,0x10-2N no sentido das linhas de força; b)1,0 x10-2J c) -1,0x10-2J; d) 2,0x10-2N no sentido oposto ao das linhas

de força; Os mesmos com os sinais invertidos; f) 500V; g) zero

7) Considere um sólido qualquer (uma batata, por exemplo) carregado com carga q positiva. Qual o campo para pontos

a uma distância r do sólido, r sendo muito maior que a maior dimensão do sólido.

R: É o mesmo que o de uma carga pontual q no lugar do sólido.

8) Num tubo de raios catódicos, um elétron é acelerado, a partir do repouso, por uma diferença de potencial de 16kV.

Qual a energia cinética final do elétron? Qual sua velocidade?

Dado: me = 9,1 x 10-31 kg R: 16keV; 7,5x107m/s

9) Resolva o problema anterior para uma partícula . A partícula é o núcleo de um átomo de He. Dados: mp ≈ mn = 1,67 x 10-27 kg

R: 1,24x106 m/s

10) Duas placas metálicas de 10x10 cm2 são colocadas face-a-face e ligadas numa fonte de tensão fixa de 500V. Se à

distância entre as placas é 10cm, qual o campo elétrico entre elas? Qual a carga em cada placa?

R: 5000V/m – 4,4x10-4 C

11) Experiência de Millikan -A massa m de uma gotícula de óleo pode ser facilmente calculada conhecendo seu

diâmetro e a densidade do óleo . Suponha que uma gotícula. carregada com N elétrons (o que também não é difícil se

fazer em laboratório) entra, por cima, numa região entre

duas placas paralelas, horizontais e submetidas a uma ddp V que pode ser variada. Um operador (em geral, aluno)

observa, através de uma luneta, as gotículas passarem e

tenta, até conseguir, parar uma. Conhecendo a massa m da

gotícula, a distância d entre as placas, a ddp V aplicada e a

aceleração local da gravidade qual a carga da gotícula?

Como, com muitas repetições desta medida pode-se chegar

ao valor da carga do elétron?

R: q = mdg/V

A

B

0,50 m

d

. .

.

. .

.

.

.

. pulverizador

ionizador

Fonte de tensão variável

Olho do aluno

lâmpada

B'

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12) Nos trechos de circuitos abaixo, calcular :

a) A corrente em cada resistor;

b) A ddp em cada resistor;

c) A ddp entre A e C

d) A potência dissipada em cada resistor

R: a) 3A (6) , 6A(3) e 9A (8); b) 18V (6 e 3e 72V; c) 90V; d) 54W (6), 108W (3) e 648W (8)

13) Na figura, cada lado do hexágono é um fio de resistência 1,0 e C é um capacitor de

20 F.

a) Uma tensão de 15 V é aplicada entre A e D. Calcule a corrente em cada fio; b) Nas mesmas condições, determine a carga no capacitor;

c) Nas mesmas condições, determine a ddp ente B e C;

R: a) 5,0A; b) 3,0x102C; c) 5,0 V

14) No circuito , r1 e r2 são as resistências internas do voltímetro e do

amperímetro respectivamente. Calcular a corrente e a tensão em R (R= 8) considerando:

a) S1 aberta e S2 na posição 1; R: 1 A

b) S1 fechada e S2 na posição1; R: 10(8+r1)/(10r1+16)

c) S1 aberta e S2 na posição 2; R: 10/(10+r2)

d) Em que condições r1 teria pouca influência no circuito? R: r1>>8

e) Em que condições r2 teria pouca influência no circuito? R: r2<<8

15) Uma partícula (2 prótons + 2 nêutrons) com energia de 1,0MeV penetra num campo magnético uniforme de

2000G. A velocidade da partícula é perpendicular ao campo. (a) Determine o raio do círculo descrito pela partícula; R: 0,72m

(b) Determine o tempo para a partícula descrever meia volta. R: 6,5x10-7s

16) Um feixe de elétrons de 10keV penetra numa região de campo magnético uniforme perpendicular a esta folha. A

trajetória do feixe é mostrada abaixo. Determine:

(a) O(s) sentido(s) do(s) campo(s); R: Entrando na folha no 1o arco e saindo no segundo

(b) O(s) módulo(s) do(s) campo(s); R: 200G

17) Um anel no plano desta folha e 1,0cm2 de área tem uma resistência de 10. Um campo magnético, uniforme e perpendicular à folha, é ligado e cresce, saindo da folha, até o valor de 4000G segundo a equação B(t) = 1000t (B em

Gauss e t em segundos).

(a) Indique o sentido da corrente no anel; R: Horário

(b) Determine a corrente em função do tempo. R: 1A

B C

I=9A

3 6

8

A

B C

E

D

F

C

R

r2 2

1

r = 2

E = 10V

A

V

r1

S1

S2

3,4cm

3,4cm

F-107 CAP.VI Mauro M.G. de Carvalho

137

18) No problema anterior, o campo é desligado e diminui linearmente segundo a equação B(t) =

4000 – 100t (B em Gauss e t em segundos). (a) Indique o sentido da corrente no anel; R: Anti-horário

(b) Determine a corrente em função do tempo enquanto o campo diminui. R : i = 100mA

(constante)

19) Na figura abaixo, calcule a força (módulo, direção e sentido) na espira de 40x60 cm2 percorrida por uma corrente

de 100mA. O módulo de B é 0,5T. R: 2x10 –2 N

20) Acelerado por uma ddp V, um feixe de ions positivos de massa m penetra num campo magnético uniforme B

conforme mostra a figura abaixo. Os ions têm carga +e (ionização simples). (a) Determine D. (b) Determine D para

ions de ionização dupla. Considere íons de H , C e N, todos com carga +e. Para um campo magnético de 0,5T, e ddp

V = 10kV, calcule D para os três casos.

R: (a) 21

me

2V

B

2D (b)

21

me

V

BD

2

(c)DH= 5,0 cm; DC = 17,4 cm; DN = 18,7 cm

40 cm

60 cm

D Canhão de íons