capítulo 5 comportamento de sistemas nÃo...

ADC/FCTUC/Cap51

Capítulo 5

COMPORTAMENTO DE

SISTEMAS NÃO LINEARES

ADC/FCTUC/Cap52

Indice

5.1 Sistemas Lineares• Equilibrio de sistemas lineares

5.2 Sistemas Não Lineares• Estabilidade Local

• Dependencia de condições iniciais

5.3 Linearização

5.4 Introdução ao Caos

ADC/FCTUC/Cap53

Indice




5.3 Linearização


ADC/FCTUC/Cap54

Estados equilibrio Sistemas Lineares

Pólos “estáveis” - SPE• Reais (op=1)• Complexos (op=2)

Limiar estabilidade (eixo imaginário)• Imaginários (op=3)

Pólos “instáveis” – SPD• reais (op=4)• Complexos (op=5)

ADC/FCTUC/Cap55

Pêndulo

ADC/FCTUC/Cap56

Espaço de fase / órbita

Órbita: espaço multidimensional, cujas coordenadas representam a “posição” de cada partícula do sistema.• Define um e um só estado do sistema.

Espaço de fase: não desenhamos apenas uma órbita em particular, mas o conjunto de todas as órbitas possíveis do sistema• Dependente do estado inicial

ADC/FCTUC/Cap57

Estados de equilíbrio de sistemas lineares

Nós

Nó estável (poço-sink, attractor):

Nó instável (fonte-source,

repelling)

ADC/FCTUC/Cap58


Focosx ' = y y ' = - 3 x + y + u

u = 0

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

x

y

x ' = v v ' = - (k x + d v)/m

m = 1d = 1

k = 3

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

x

v

Foco estável (poço-sink, atractor)

Foco instável (fonte-source, repelling):

ADC/FCTUC/Cap59


Centrox ' = y y ' = - 3 x + u

u = 0

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

x

y

ADC/FCTUC/Cap510


Ponto SelaQuase todas as órbitas na vizinhança de um ponto sela se aproximam até uma distância mínima, que varia de órbita para órbita, após o que se afastam cada vez mais. As excepções são apenas quatro órbitas, que no exemplo da figura correspondem às direcções 4 rectas

ADC/FCTUC/Cap511

Estados de equilíbrio de sistemas linearesx ' = - 2 x + uy ' = - 3 y + u

u = 0

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

x

y

x ' = 2 x + uy ' = 3 y + u

u = 0

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

x

y

x ' = y y ' = - 3 x + y + u

u = 0

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

x

y

x ' = y y ' = - 3 x + u

u = 0

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

x

y

x ' = v v ' = - (k x + d v)/m

m = 1d = 1

k = 3

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.5

0

0.5

1

x

v

x ' = A x + B y + uy ' = C x + D y + u

C = - 2u = 0

B = 2D = - 3

A = 2

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6

x

y

Nó estável (poço-sink, attractor): Foco estável (poço-sink, atractor)

Nó instável (fonte-source, repelling) Foco instável (fonte-source, repelling): Um centro

Ponto sela

ADC/FCTUC/Cap512

Pêndulo

Na imagem estão traçadas órbitas com diferentes cores que podem ser identificadas como 3 regimes distintos na dinâmica do pêndulo:

Não se considera atrito em qualquer dos três casos.

ADC/FCTUC/Cap513

Pêndulo

Órbitas verdes: Pêndulo libertado sem velociade inicial

As órbitas são fechadas (cada linha verde corresponde a uma dada altura inicial) identificando um movimento periódico.

ADC/FCTUC/Cap514

Pêndulo

Órbitas vermelhas: A energia inicial que écomunicada ao pêndulo é suficiente para que este consiga subir até à altura máxima, e continuar a girar a partir desse ponto.

Estas órbitas correspondem a círculos completos

A sua velocidade angular nunca se anula

ADC/FCTUC/Cap515

Pêndulo

Órbita azul: Regime limite de fronteira

O pêndulo é lançado exactamente com a energia necessária para poder chegar ao ponto de altura máxima, que atinge com velocidade nula..

ADC/FCTUC/Cap516

torsão, nulaK=0

suporte, sem atrito, B=0

L, comprimento

θposição angular m,

massa total

m.gm.g.L.senθ

θ ' = ω ω ' = - sin(θ) - D ω

D = 0

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

θ

ω

Pêndulo

ADC/FCTUC/Cap517

Indice




5.3 Linearização


ADC/FCTUC/Cap518

x ' = (x - 1 ) 2 - uy ' = (y - 2 ) 2 - u

u = 1

-2 -1 0 1 2 3 4

-1

0

1

2

3

4

5

x

y

•2

1 1 2

•2

2 2

( -1)

( - 2)

x x u y x

x x u

= − =

= −Exemplo com 4 singularidades

ADC/FCTUC/Cap519

x ' = (x - 1)2 - uy ' = (y - 2)2 - u

u = 1

-2 -1 0 1 2 3 4

-1

0

1

2

3

4

5

x

y

Estável ou instável ?

Estabilidade localDependencia condições iniciais

ADC/FCTUC/Cap520

presa ' = (a - b predador) presa predador ' = (p presa - c) predador

b = 0.01p = 0.005

a = 0.4c = 0.3

0 20 40 60 80 100 120

0

10

20

30

40

50

60

70

80

presa

pred

ador

Modelo de Lotka-Volterra

1 1 21

1 1 22

•

•

= −

= − +

x ax bx x

x cx px x

Incerteza nas condições iniciais …

ADC/FCTUC/Cap521

Indice




5.3 Linearização5.4 Introdução ao Caos

ADC/FCTUC/Cap522

Linearização em torno dos estados de equilíbrio

Série de Taylor

1 1 11 1

( ,...) ( , )

+ termos de ordem superior= =

∂ ∂+ ∆ = + ∆ + ∆

∂ ∂∑ ∑n m

i ii s i s k k

k kk k

f ff x x f x x u

x u

1 1 11 1

( ,...) g ( ,...)

+ termos de ordem superior= =

∂ ∂+ ∆ = + ∆ + ∆

∂ ∂∑ ∑n m

i ii s i s k k

k kk k

g gg x x x x u

x u

ADC/FCTUC/Cap523

1 1

1

1 ( , )

...

... ... ...

...S S

n

n n

n x u

f f

x x

A

f f

x x

∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

1 1

1

1 ( , )

...

... ... ...

...S S

m

n n

m x u

f f

u u

B

f f

u u

∂ ∂⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

1 1

1

1 ( , )

...

... ... ...

...S S

n

p p

n x u

g g

x x

C

g g

x x

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

1 1

1

1 ( , )

...

... ... ...

...S S

m

p p

m x u

g g

u u

D

g g

u u

⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

Definindo os Jacobianos

ADC/FCTUC/Cap524

( , ) ( , )

( ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

s s s s s s

s s s s s s

s s s s s s

x f x u y g x u

x x f x x u u y y g x x u u

x x f x u A x B u y y g x u C x D u

•

• •

• •

= =

+ ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ = + ∆ + ∆

+ ∆ = + ∆ + ∆ + ∆ = + ∆ + ∆

Substituindo na série de Taylor

•

x A x B u

y C x D u

∆ = ∆ + ∆∆ = ∆ + ∆

ADC/FCTUC/Cap525

•

1 1 2 1 2

•

2 2 1 2

- 2

( - )

x x x u y x x

x x x x

= + =

=

1 1

1s Sx u⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Exemplo

2 2 1

2 1

[1,1]

[1,1]

1 1 B=[-2]

2

[ ] D=[0]

⎡ ⎤= ⎢ ⎥− +⎣ ⎦

=

Ax x x

C x x

2 2

0s Sx u⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2 1

2

[2,0]

[2,0]1

1 1 B=[-2]

2

[ ] D=[

0]

⎡ ⎤= ⎢ ⎥− +⎣ ⎦

=

Ax x x

C x x

u=1

ADC/FCTUC/Cap526

1 1

1s Sx u⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1 B=[-2]

1 1

[1 1] D=[0]

A

C

⎡ ⎤= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

=

2 2

1s Sx u⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

1 1 B=[-2]

0 2

[2 1] D=[0]

A

C

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

=

eig(A) = [ -1.411.41]

eig(A) = [ 12 ]

ADC/FCTUC/Cap527

Os estados de equilíbrio são um pontos sela e um nó instável

x1 ' = x1 + x2 - 2 ux2 ' = x2 (x1 - x2)

u = 1

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x1

x2

Depende das condições iniciais!Alcançam que ponto de equilibrio?

ADC/FCTUC/Cap528

Indice




5.3 Linearização


ADC/FCTUC/Cap529

Definição de Caos

Existem, falsas noções sobre o caos, • a mais comum é a de que a teoria do caos é sobre

desordem

CAOS: • estudo de sistemas dinâmicos não-lineares.

ADC/FCTUC/Cap530

Definição de Caos

Teoria do caos: consiste no estudo de sistemas aparentemente estocásticos, que são na realidade determinísticos.

Determinístico no sentido que o estado num determinado isntante k pode ser determinado a partir do instante esatdo no isntante anterior (k-1)

Os sistemas caóticos os sistemas que apresentam um comportamento impredizível a longo prazo originado por um sistema não-linear dinâmico determinístico devido àdependência sensível das condições inicias.

ADC/FCTUC/Cap531

E.N. Lorenz em 1992 :

“Predictability: Does the Flap of a Butterfly’s Wings in Brazil set off a Tornado in Texas ?”

Caos !!!!...

ADC/FCTUC/Cap532

Bifurcações e caos

1 (1 ) [0,1]k k kx Ax x x+ = − ∈

ADC/FCTUC/Cap533

Bifurcações e caos

1 (1 ) [0,1]k k kx Ax x x+ = − ∈

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Geraçao

Pop

ulaç

ao

A=2,8

1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Geraçao

Pop

ulaç

ao

A=3

A=2,8 A=3

ADC/FCTUC/Cap534

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Geraçao

Pop

ulaç

ao

A=3,5

A=3,5

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Geraçao

Pop

ulaç

ao

A=3,3

A=3,3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Geraçao

Pop

ulaç

ao

A=3,55

A=3,55

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Geraçao

Pop

ulaç

ao

A=3,6

A=3,6

Período 2 Período 4

Período 8 Caos !!!

ADC/FCTUC/Cap535

Bifurcações

ADC/FCTUC/Cap536

ADC/FCTUC/Cap537

O delta de Feigenbaum

1

1

n nn

n n

A A

A Aδ −

+

−=

−

4,66920161...limn

nδ→∞

=

ADC/FCTUC/Cap538

• A representação de estado aplica-se de igual modo aos sistemas lineares e não lineares, variantes ou invariantes.

• No caso linear obtém-se uma representação matricial. As propriedades dinâmicas do sistema são dependentes dos valores próprios da matriz de estado, tal como são dependentes dos pólos da função de transferência na representação no domíniocomplexo

• Os sistemas não lineares podem ter zero, um ou vários estados de equilíbrio para a a mesma entrada. Alcançam um ou outro conforme as condições iniciais.

• Aproximando as funções de estado e de saída pela série de Taylornos pontos de equilíbrio, desprezando os termos de ordem superior à primeira, obtém-se um sistema linearizado.

Conclusão

capítulo 5 comportamento de sistemas nÃo...

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