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1-11 TC026 – Resistência dos Materiais I

Capitulo 4

ESTADO TRIPLO DE TENSÕES

4.1 Estado de tensões

No ponto genérico de um corpo carregado, para cada plano que o contém, define-se um vetor tensão. Como o ponto contém uma família de planos, tem-se também uma família de vetores tensão nesse ponto. A esta família de vetores tensão, dá-se o nome de ESTADO DE TENSÃO NO PONTO.

O estado de tensões no ponto, fica perfeitamente definido, conhecendo-se as tensões em 3 planos que passam pelo ponto.

4.2 Tensões normais e deformações específicas no ponto genérico

Considerando apenas xσ agindo:

E

xx

σε =, ;

E

xzy

σνεε −== ,,

Considerando apenas yσ agindo:

E

y

y

σε =,, ;

E

y

zx

σνεε −== ,,,,

Considerando apenas zσ agindo:

E

zz

σε =,,, ;

E

zyx

σνεε −== ,,,,,,

Com o princípio superposição dos efeitos, resulta:

B

x

y

z

O=B

dz

dx

dz

σx

σx

σy

σy

σz

σz


( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]yxzzzzz

zxyyyyy

zyxxxxx

E

E

E

σσνσεεεε

σσνσεεεε

σσνσεεεε

+−=++=

+−=++=

+−=++=

1

1

1

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

Onde E = módulo de elasticidade longitudinal

ν = coeficiente de Poisson

4.3 Tensões tangenciais e distorções angulares no ponto genérico

Considerando apenas as tensões tangenciais xyτ e yxτ agindo no

paralelepípedo elementar:

x

y

z

τxy

τxy

τyx

τyx dx

dy

y

x

τyx

τyx

τxy

τxyxyγ

π+

2

xyγπ

−2

O=BO=B

x

y

z

O=B

dz

dx

dz

τxy

τyx

τxz

τyz

τzy

τzx


Aplicando a condição de equilíbrio ∑M0 =0, resulta:

0...... =− dydzdxdxdzdy yxxy ττ

Donde: yxxy ττ =

E, por analogia: zyyz ττ = e xzzx ττ =

Estas relações são conhecidas como TEOREMA DE CAUCHY ou TEOREMA DAS TENSÕES RECÍPROCAS e pode ser enunciado como:

“As tensões tangenciais sobre dois planos ortogonais são recíprocas”, isto é:

Existindo tensões tangenciais τ sobre um plano, existirão tensões tangenciais τ , também no plano ortogonal ao primeiro, de modo que seus sentidos se aproximam ou se afastam da aresta comum aos dois planos.

Este teorema é conseqüência das condições de equilíbrio.

A Lei de Hooke aplicada às tensões de cisalhamento e distorções angulares, resulta:

G

xy

xy

τγ = ;

G

yz

yz

τγ = e

G

zxzx

τγ =

4.4 Lei de Hooke generalizada

Considerando o princípio da superposição dos efeitos, pode-se combinar as tensões normais estudadas em 4.2 com as tensões tangenciais do item 4.3, resultando:

( )[ ]zyxx σσσε ν

E

1+−=

( )[ ]zxyy σσσε ν

E

1+−=

( )[ ]yxzz σσσεE

1+−=

G

xy

xy

τγ =

G

yz

yz

τγ =

G

zxzx

τγ =


ESTADO HIDROSTÁTICO

pzyx === σσσ

Assim: εεεε ===zyx

( )νε ppE

21

−=

( )

pE

νε

21−= ou considerando :

m

1=ν

pEm

m

.

2−=ε

4.5 Planos e tensões principais

Todo estado de tensões apresenta três planos nos quais as tensões tangenciais são nulas, restando apenas tensões normais Iσ , IIσ e IIIσ .

Estes planos são conhecidos como PLANOS PRINCIPAIS e as tensões que lhes correspondem, denominam-se TENSÕES PRINCIPAIS.

I

II

III

O=B

σIσI

σII

σII

σIII

σIII


4.6 Deformação do paralelepípedo infinitamente pequeno (dilatação cúbica)

O volume do prisma, antes de qualquer solicitação é: V0 = dx.dy.dz

Ao ser solicitado por forças normais às faces do prisma, teremos:

dzdy

N xx

.=σ ;

dzdx

N y

y.

=σ e dydx

N zz

.=σ

Estamos supondo que as tensões sejam de tração.

Qualquer que seja o estado de tensões, teremos deformações nas três direções.

Após as deformações, o volume do prisma será:

( ) ( )( )zyx dλdz dλdy dλdxV +++=

+

+

+=

dz

dλ1dz

dy

dλ1dy

dx

dλ1dxV zyx

sendo x

x

dx

dε

λ= ; y

x

dy

dε

λ= ;

zz

dz

dε

λ=

( ) ( )( )xxx ε1 ε1 ε1 dzdy dx V +++=

A variação de volume do prisma é: 0VVV −=∆

x

y

z

dz

dx

dz

Nx Nx

Ny

Ny

Nz

Nz

O=B


Portanto:

( )( )( ) dzdy dx ε1 ε1 ε1 dzdy dx ∆V xxx −+++=

A dilatação cúbica é a relação: 0V

Ve

∆=

( )( )( )

dzdy dx

dzdy dx ε1 ε1 ε1 dzdy dx

V

∆Ve xxx

0

−+++==

( )( )( ) 1ε1 ε1 ε1 xxx −+++=e

11 −+++++++=zyxzyzxyxzyx

e εεεεεεεεεεεε

Abandonando os infinitésimos de segunda ordem, teremos finalmente:

zyxe εεε ++=

“A dilatação cúbica é a soma das deformações específicas nas três direções, qualquer que seja o estado elástico”.

4.7 Dilatação cúbica no estado elástico triplo

Considerando todas as forças de tração, teremos as tensões xσ , yσ e zσ positivas.

Da Lei de Hooke generalizada (item 4.4) temos:

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]yxzz

zxyy

zyxx

E

E

E

σσνσε

σσνσε

σσνσε

+−=

+−=

+−=

1

1

1

Substituindo esses valores de xε , yε e zε , na expressão da dilatação cúbica,

teremos:

( ) ( ) ( )[ ]yxzzxyzyxzyxE

e σσνσσσνσσσνσεεε +−++−++−=++=1

( )[ ]zyxzyxE

e σσσνσσσ ++−++= 21


( )zyx

Ee σσσ

ν++

−=

21

Ou em função de m:

( )zyxEm

me σσσ ++

−=

.

2

Para corpos incompressíveis (líquidos), temos e=0. Assim:

( ) 021

=++−

=zyx

Ee σσσ

ν

Se 0≠++ zyx σσσ

Então 021 =− ν

2

1=ν ou 2=m

4.8 Tensões ideais – Critério de Saint Venant

Em 4.4 foi visto que:

( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]yxzz

zxyy

zyxx

E

E

E

σσνσε

σσνσε

σσνσε

+−=

+−=

+−=

1

1

1

Se multiplicarmos as deformações pelo módulo de elasticidade longitudinal, teremos:

( )( )

( )yxzziz

zxyyiy

zyxxix

E

E

E

σσνσσε

σσνσσε

σσνσσε

+−==

+−==

+−==

,

,

,

As tensões ideais ou tensões de comparação ( xi ,σ , yi ,σ e zi ,σ ) , são

empregadas no Critério de Resistência de Saint Venant, que consiste em:


ctzi

ctyi

ctxi

ou

ou

ou

σσσ

σσσ

σσσ

≤

≤

≤

,

,

,

Este critério é aplicado com mais exatidão aos materiais frágeis e no estado duplo de tensão. Todavia, este critério não dá bons resultados ao compará-los com os obtidos em ensaios em laboratório.

As tensões xσ , yσ e zσ , são tensões normais principais, temos então:

IIIz

IIy

Ix

σσ

σσ

σσ

=

=

=

e

( )

( )

( )IIIIIIIIIi

IIIIIIIIi

IIIIIIIi

σσνσσ

σσνσσ

σσνσσ

+−=

+−=

+−=

,

,

,

4.9 Decomposição do estado de tensão

Podemos decompor um estado geral de tensão em dois estados. Um chamado de estado de tensão de mudança de volume ou “hidrostático” e outro de estado de tensão de mudança de forma.

Considerando um estado triplo de tensão principal 1σ , 2σ e 3σ , podemos fazer:

,

3

,

2

,

11

σσ

σσ

σσ

+=

+=

+=

p

p

p

z

y (1)

σ1σ1

σ2

σ2

σ3

σ'1 σ'1

σ'2

σ'2

σ'3

p

p

p

p

p

Mudança de volume(hidrostático)

Mudança de Forma


No estado de mudança de forma, temos: ( ) 021 ,

3

,

2

,

1 =++−

= σσσν

Ee portanto:

0,

3

,

2

,

1 =++ σσσ (2)

Somando membro a membro, as equações (1) e considerando (2), resulta:

pp 33 ,

3

,

2

,

1321 =+++=++ σσσσσσ

3

321σσσ ++

=p (3)

De (1), temos:

p

p

p

−=

−=

−=

3

,

3

2

,

2

1

,

1

σσ

σσ

σσ

Substituindo o valor de p, dado por (3):

3

2

3

2

3

2

213,

3

312,

2

321,

1

σσσσ

σσσσ

σσσσ

−−=

−−=

−−=

(4)


1- Um cilindro reto de base circular suporta em toda a sua face lateral, uma pressão p=500kgf/cm2 e segundo o

seu eixo longitudinal atua a força de compressão P. Qual é a intensidade da força P, sabendo que o cilindro

não sofre variação de comprimento? Adotar m=4 e E =2x106kgf/cm2

SEÇAO TRANSVERSAL

Resposta: P =2010,62 kgf

p p

P

P

3,2cm

p3,2cm

2- Uma barra de seção quadrada de 10mm de lado e comprimento de 100mm, é solicitada por um estado de

tensões em suas faces como mostra a figura. Conhecendo-se o valor da tensão na direção x, e sbendo-se

que as deformações nas direções x, y e z são iguais, calcular:

a- As tensões nas direções y e z;

b- O valor das deformações

RESPOSTAS

σz

σx

σx

σy

σyσz

10mm

10mm

100mm

σx = 200MPaν = 0,3E = 72GPa

Dados

σy = σz = 307,46MPa

λx=λy = λz = 0,02mm

3- Uma chapa quadrada perfeitamente ajustada entre duas paredes rígidas é solicitada pela força P = 9,0tf,conforme a figura. Calcular a variação da espessura da chapa, sendo m=3 e E = 1000 tf/cm2

RESPOSTA

PP

PP

100cm

100c

m

10cm

xz

y

∆e = 4x10-5cm


4- Um paralelepípedo com as dimensões indicadas, é mergulhado em um tanque de óleo, como mostra a figura

Calcular os valores das forças P1, P2 e P3, sabendo que ocorre apenas uma variação de volume igual a3,858cm3. Considerar m =4 e E =2,1x106 kgf/cm2.

RESPOSTA

P1 = 180000kgf

P2 = 108000kgf

P3 = 180000kgf

P3

P2

P1

Nível Óleo

0,3 m

0,3 m

0,5 m

5- Um instrumento para investigações nas profundezas do oceano, está imerso a uma profundidade H =6000m

e suspenso por um cabo AB até a superficíe dágua, conforme mostra a figura. O peso do instrumento naágua (peso aparente) é P =1,0tf. O peso específico da água é 1 tf/m3 e o peso específico aparente do mate-rial do cabo é γ=0,5 tf/m3. Calcular o menor diâmetro do cabo, de modo a satisfazer as condições de segu-

rança, adotando o critério de Saint-Venant.

DADOS DO CABO DE AÇOσt = 5000kgf/cm2

σc = 4500kgf/cm2

m = 3

RESPOSTA : dmin = 3,57cm

N. A.

H =

600

0m

A

B

P

diâmetro = d

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