capítulo 4
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Difusão em estado estacionári sem reação químicaTRANSCRIPT
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONASFACULDADE DE TECNOLOGIA
CURSO DE ENGENHARIA QUÍMICAFTQ023 – FENÔMENOS DE TRANSPORTE III
DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃO QUÍMICA
DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃO QUÍMICA
Prof. Nazareno Braga
Manaus, 2015.
CAPÍTULO 4
ÍNDICE
4. DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃOQUÍMICA
4.1 Difusão através de um gás estagnado4.2 Difusão pseudo-estacionária através de um gás estagnado4.3 Contra-difusão equimolar4.4 Difusão com variação de área
2Prof. Nazareno Braga
4. DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃO QUÍMICA
Equação da continuidade mássica de um soluto A
Considerando o volume de controle (∆x∆y∆z) através do qual uma mistura, incluindo o componente A, está escoando.
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4. DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃO QUÍMICA
Equação da continuidade mássica de um soluto A
Balanço material:
Massa de A transferida através da superfície de controle (área) ∆y∆z
Em termos de fluxo:
Taxa líquida mássica do componente A:
Direção x �
Direção y �
Direção z �
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Taxa de massa queentra no volume de
controle
Taxa de massa quesai do volume de
controle
Taxa de produção/consumo de
massa no volume de controle
Taxa de acúmulo de massa no volume
de controle
_ + =
ρAvA,x∆y∆z
nA,x∆y∆z
nA,x x+∆x∆y∆z− nA,x x
∆y∆z
nA,y y+∆y∆x∆z− nA,y y
∆x∆z
nA,z z+∆z∆x∆y− nA,z z
∆x∆y
4. DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃO QUÍMICA
Equação da continuidade mássica de um soluto A
Taxa de acúmulo de A no volume de controle:
Produção de A dentro do volume de controle devido à uma reação química, para umataxa rA (massa de A/volume.tempo):
Substituindo cada termo na equação de balanço:
Dividindo pelo volume ∆x∆y∆z e cancelando os termos:
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∂ρA
∂t∆x∆y∆z
rA∆x∆y∆z
−[nA,x x+∆x∆y∆z− nA,x x
∆y∆z+ nA,y y+∆y∆x∆z− nA,y y
∆x∆z+
nA,z z+∆z∆x∆y− nA,z z
∆x∆y]+ rA∆x∆y∆z=∂ρA
∂t∆x∆y∆z
nA,x x+∆x− nA,x x
∆x+
nA,y y+∆y− nA,y y
∆y+
nA,z z+∆z− nA,z z
∆z− rA = −
∂ρA
∂t
4. DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃO QUÍMICA
Equação da continuidade mássica de um soluto A
Aplicando o limite para ∆x, ∆y e ∆z tender a zero:
Coordenadas retangulares:
Coordenadas cilíndricas:
Coordenadas esféricas:
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∂ρA
∂t+
∂nA,x
∂x+
∂nA,y
∂y+
∂nA,z
∂z= rA
∂ρA
∂t= −
∂nA,x
∂x+
∂nA,y
∂y+
∂nA,z
∂z
+ rA
∂ρA
∂t= −
r∇⋅
rnA + rA
∂ρA
∂t= −
∂nA,x
∂x+
∂nA,y
∂y+
∂nA,z
∂z
+ rA
∂ρA
∂t= −
1
r
∂ rnA,r( )∂r
+1
rsenθ
∂nA,θ
∂θ+
∂nA,z
∂z
+ rA
∂ρA
∂t= −
1
r 2
∂ r 2nA,r( )∂r
+1
rsenθ
∂ senθnA,θ( )∂θ
+1
rsenθ
∂nA,φ
∂φ
+ rA
4. DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃO QUÍMICA
Equação da continuidade molar de um soluto A
Dividindo a equação da continuidade mássica pela massa molecular do soluto MA.
Coordenadas retangulares:
Coordenadas cilíndricas:
Coordenadas esféricas:
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∂CA
∂t= −
r∇⋅
rNA + RA
∂CA
∂t= −
∂NA,x
∂x+
∂NA,y
∂y+
∂NA,z
∂z
+ RA
∂CA
∂t= −
1
r
∂ rNA,r( )∂r
+1
rsenθ
∂NA,θ
∂θ+
∂NA,z
∂z
+ RA
∂CA
∂t= −
1
r 2
∂ r 2NA,r( )∂r
+1
rsenθ
∂ senθNA,θ( )∂θ
+1
rsenθ
∂NA,φ
∂φ
+ RA
4. DIFUSÃO EM REGIME PERMANENTE SEM REAÇÃO QUÍMICA
Equação da continuidade do soluto A em termos da lei da difusão
Fluxo molar de A:
Escrevendo na forma vetorial:
Substituindo na eq. da continuidade:
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∂CA
∂t= −
r∇⋅
rNA + RA
NA = JA
* +CAv*
M
rNA = −DAB
r∇CA +CA
rv*
M
∂CA
∂t= −
r∇⋅ −DAB
r∇CA +CA
rv*
M
+ RA
∂CA
∂t+r∇[CA
rv*
M ] =r∇⋅ DAB
r∇CA
+ RA
∂ρA
∂t+r∇[ρA
rvM ] =
r∇⋅ DAB
r∇ρA
+ rA
acúmulo convecção difusão reação
4.1. DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM GÁS ESTAGNADO
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• Mistura binária: A – B• Gás estagnado: NBz=0• P e T constantes
Equação do fluxo total de A:
Equação do fluxo total de A através de um gás estagnado:
Balanço de massa (molar) no estado estacionáriodo elemento A que atravessa o volume S∆z:
Dividindo por S∆z e fazendo ∆z � 0
NAz = −CDAB
dxA
dz+
CA
CNAz + NBz( )
NAz = −CDAB
dxA
dz+ xA NAz( )
NAz = −CDAB
1− xA( )dxA
dz
SNAz z− SNAz z+∆z
= 0
−dNAz
dz= 0
4.1. DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM GÁS ESTAGNADO
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Substituindo a eq. do fluxo de A:
Simplificando, C e DAB=cte
Integrando:
Integrando novamente:
Aplicando as condicões de contorno:
C.C.1: z=z1, xA=xA1C.C.2: z=z2, xA=xA2
−d
dz−
CDAB
1− xA( )dxA
dz
= 0
−dNAz
dz= 0
d
dz
1
1− xA( )dxA
dz
= 0
1
1− xA( )dxA
dz
= C1
− ln 1− xA( ) = C1z+C
2
1− xA
1− xA1
=
1− xA2
1− xA1
z−z1
z2−z1
4.1. DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM GÁS ESTAGNADO
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Taxa de transferência de massa na interface L-G ou taxa de evaporação
NAz z=z1
= −CDAB
1− xA1( )dxA
dz z=z1
= 0
4.1. DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM GÁS ESTAGNADO
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Exercício: Escreva a equação da continuidade molar de A já na forma simplificada e as condições decontorno para a seguinte situação.
Um certo gás se difunde numa película estagnada de ar seco de 0,5 cm de profundidadeem um capilar que contém um certo ácido. Ao atingi-lo o gás é absorvidoinstantaneamente. A concentração do gás na boca do recipiente é 0,25% em mols.
Hipóteses:
4.1. DIFUSÃO ATRAVÉS DE UM GÁS ESTAGNADO
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Difusão de uma gotícula esférica
• Balanço de massa em estado estacionário:
T= cte, C e DAB=cte
Taxa molar de A através da superfície esférica
d
drr 2NAr( ) = 0
r1
r2
d
drr 2 CDAB
1− xA
dxA
dr
= 0
1− xA
1− xA1
=
1− xA2
1− xA1
1/r1( )− 1/r( )1/r1( )− 1/r2( )
WA = 4πr 2
1NAr
r=r1=
4πCDAB
1/ r1−1/ r
2( )ln
1− xA2
1− xA1
Gota de líquido A
Filme gasoso
4.2. DIFUSÃO PSEUDO-ESTACIONÁRIA ATRAVÉS DE UM GÁS ESTAGNADO
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Caso: difusão de vapor d’água em um tubo estreito
• Nível de líquido cai lentamente
• Assumindo estado pseudo-estacionário
Encontrar equação para tF para que o nível cai do ponto z0 em t=0 para zF a t=tF.
z = f (t) �
Nível variando:
Igualando as eqs.:
NA =DABP
RT z2
− z1( )
lnP− pA2
P− pA1
NA =DABP
RTzln
P− pA2
P− pA1
NA =ρA
MA
dz
dt
ρAdz
MAdt=
DABP
RTzln
P− pA2
P− pA1
⇒
ρA
MA
zdzz0
zF
∫ =DABP
RTln
P− pA2
P− pA1
dt
0
tF
∫ ⇒ tF =ρA z2
F − z2
0( ) RT
2MADABPlnP− pA2
P− pA1
4.3 CONTRA-DIFUSÃO EQUIMOLAR
Na contra-difusão equimolar temos:
• Regime permanente• Sem reação química• Ca = f (z)
Condições de contorno:Z=z1 � Ca=Ca1Z=z2 � Ca=Ca2
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NAz = −NBz
A B
NA = −CDAB
dxA
dz+
CA
CNA + NB( )
NA = −DAB
dCA
dz
−dNAz
dz= 0 −
d
dz−DAB
dCA
dz
= 0
d2CA
dz2= 0 CA −CA1
CA2− CA1
=z− z
1
z2
− z1
4.4 DIFUSÃO COM VARIAÇÃO DE ÁREA
Casos em que a A transversal pela qual a difusão ocorre varia.
Definimos:
NA em kmol/s.No estado estacionário é constante, mas não , pois a A irá variar.
P/ r2 >>> r1:
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NA =NA
A
NANA
NA =NA
4π r 2
NA = −CDAB
1− xA
dxA
dr= −
DAB
RT
dpA
1−pA
P
dr
NA
4πr 2= −
DAB
RT
dpA
1−pA
P
dr
⇒NA
4π
1
r 2dr
r1
r 2
∫ = −DAB
RT
dpA
1−pA
P
pA1
pA2
∫ ⇒NA
4π
1
r1−
1
r2
=
DABP
RTln
P− pA2
P− pA1
⇒ NA = 4πr1( )DABP
RTln
P− pA2
P− pA1
⇒ NA =
NA
4π r 2
1
=
4π r1( )DABP
RTln
P− pA2
P− pA1
4π r 2
1