Cursos de Engenharias e Tecnologias Prof. Lus Humberto Miquelino - Clculo Diferencial e Integral II Problemas de otimizaoProcedimentos para resolver problemas de mximos e mnimos em aplicaes. Passo 1: Ler o Problema quantas vezes for necessria. Passo 2: Faa uma figura apropriada e identifique as quantidades relevantes ao problema. Passo 3: Obtenha uma frmula para a quantidade a ser maximizada ou minimizada. Passo 4: Usando as condies dadas no problema para eliminar varivel. Passo 5: Encontre o intervalo de valores possveis para essa varivel a partir das restries fsicas do problema. Passo 6: Se aplicvel, use as tcnicas de derivao para obter o mximo ou o mnimo. Exemplo 1: Devemos projetar um jardim de rea retangular e protegido por uma cerca. Qual a maior rea possvel de tal jardim se dispusermos de apenas 100 m lineares de cerca? Soluo: variveis, expresse a quantidade a ser maximizada ou minimizada como funo de uma Assim o problema ficou reduzido a encontrar o valor (ou valores) de x em [0, 50] para os quais A mxima. Como A um polinmio em x, contnua em [0, 50] e o mximo ocorre ou nos extremos desse intervalo ou em um ponto estacionrio.

A = x(50 x) A = 50 x x 2Como estamos trabalhando com um comprimento, x no pode ser negativo e, como os dois lados de comprimento x no podem ter um comprimento que ultrapasse o permetro de 100 m. ento a varivel x deve satisfazer: 0 x 50 .

A = 50 x x 2 dA = 50 2 x dxIgualando a derivada primeira a zero, obtemos:

50 2 x = 0 x = 25Assim, o mximo ocorre em um dos pontos:

x = 0,

x = 25,

x = 50

Substituindo estes valores, encontramos;

A(0) = 0m

x y x y

A(25) = 625m A(50) = 0mPodemos notar que a rea mxima de 625 m, quando x = 25 m.

Sejam: x = comprimento do retngulo (m) y = largura do retngulo (m) A = rea do retngulo (m) Ento a rea deste retngulo dada por: A = x y Como o permetro do retngulo de 100 m, as variveis x e y esto relacionadas pela equao;

Desta forma, resulta que y = 25 m, de modo que o retngulo de permetro 100 m com maior rea um quadrado com lados medindo 25 m de comprimento.

2 x + 2 y = 100 2 y = 100 2 x y = 50 xSubstituindo o valor de y na equao da rea teremos:

1

Cursos de Engenharias e Tecnologias Prof. Lus Humberto Miquelino - Clculo Diferencial e Integral IIExemplo 2: Um fazendeiro tem 2.400 ps de cerca e quer cercar um campo retangular que est na margem de um rio preto. Ele no precisa de cerca ao longo do rio. Quais so as dimenses do campo que tem maior rea? Exemplo 3: 3) Suponha que o valor da Tenso eltrica Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da cartolina e dobrando-se perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que permite construir uma caixa de volume mximo. (Desprezar a espessura da cartolina). 2) Um pasto retangular em uma fazenda ser cercado nos quatro lados e em seguida divido em duas partes atravs de uma cerca colocada paralelamente a um dos lados. A rea total do pasto 1.500.000 m . Determine as dimenses da rea de pastagem de modo que o comprimento total da cerca seja mnimo.2

V

em um

circuito de corrente alternada varie com o tempo

t

em horas, medido a partir de 12h00min, de acordo com a expresso abaixo:

V (t )

t3 5t2 = + 6t + 15 3 2

, onde os valores de

tenso so medidos em volt. Determine os valores mximo e mnimo absolutos da tenso eltrica no intervalo entre 12h00min e 17h00min e indique o horrio que ocorreram os valores mximo e mnimo. 4) Uma rea retangular em uma fazenda ser cercada por um lado com uma cerca de trs fios, e nos outros lados por uma cerca eltrica com um fio. Com 800 m de fio disposio, determine quais as dimenses da maior rea que poder ser cercada e calcule o valor dessa rea. 5) Um tanque cilndrico tem dimenses tais que sua altura 6,0 m menos o raio da base. Deseja-se construir este tanque de modo que suas dimenses proporcionem o mximo volume possvel. Responda:

ATIVIDADES DE FIXAO1) Com uma longa folha retangular de metal, de comprimento 3 metros e largura 30 cm, deseja-se construir uma calha que ser utilizada na reforma do telhado de uma escola. Para formar a calha sero realizadas dobras nas laterais da folha, conforme mostra a figura ao lado. Determine qual deve ser a dimenso da dobra para que a capacidade volumtrica da calha seja mxima.

a) Quais devem ser as dimenses (altura e raio da base) deste tanque? b) Qual o mximo volume deste tanque? Sendo dado o volume do cilindro:

V = R2 h

Adote, para simplificaes de clculo,

= 3,0

2

Cursos de Engenharias e Tecnologias Prof. Lus Humberto Miquelino - Clculo Diferencial e Integral II6) A partir de uma folha de papelo quadrada de lado 30 cm deseja-se construir uma caixa sem tampa. Para construir a caixa sero recortados quatro quadrados nos cantos desta folha, conforme mostra a figura, dobrando-se a folha nas linhas tracejadas para formar as laterais da caixa. Encontre o valor da dimenso x deste quadrado de modo que o volume da caixa seja mximo. b) a) Voc recomendaria ao industrial uma expanso na capacidade de produo da fbrica? Justifique sua resposta. Quantas unidades a fbrica deve fabricar e vender diariamente para otimizar seus lucros e qual o mximo lucro que a fbrica obtm com esta quantidade produzida. 10) Em uma pesquisa laboratorial, um bioqumico

30 cm x x 30 cm x x

observa a variao no nmero de bactrias em um meio de cultura. Ele ento adiciona um bactericida neste meio s 09h00min tempo a populao de

(t = 0 ) .

Durante algum continuou

bactrias

x x x x

crescendo e em seguida passou a diminuir. A funo que relaciona o nmero de bactrias

(B )

que existem no meio e o tempo (t ) , medido em 7) 8) 9) Achar dois nmero positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior possvel. Determine o nmero real positivo cuja diferena entre ele e seu quadrado seja mxima. Uma indstria qumica vende cido sulfrico a granel num valor de R$100,00 cada galo. O custo total de produo, em reais para um dia servio, pode ser calculado pela funo seguinte onde representa a quantidade de gales produzidos. horas, dada a seguir:

B = t 3 + 9t 2 + 1000Determine em que horrio a populao de bactrias atingiu seu valor mximo e calcule tambm a quantidade mxima de bactrias no meio de cultura. 11) Sero construdas seis jaulas em um zoolgico para receber novos animais, conforme representado na figura abaixo. Para realizar esta obra o zoolgico dispe de 300 m de gradeado. Determine as dimenses x e y que proporcionam a maximizao da rea cercada.

n

C( n) = 100.000 + 50 n + 0,0025 n 2 .Como engenheiro, voc ento contratado para fazer uma consultoria no setor de produo desta empresa, com o objetivo de se maximizar o LUCRO. Para esse trabalho voc fez um levantamento da capacidade de produo da empresa, e verificou que atualmente podem ser produzidos, no mximo, 7.000 gales por dia. Verificando a demanda do mercado consumidor voc adotou, para seus clculos, que toda produo diria de cido sulfrico seja vendida pelo departamento de marketing. Ao final da consultoria, seu relatrio deveria questes: responder ao empresrio as seguintes

3

Cursos de Engenharias e Tecnologias Prof. Lus Humberto Miquelino - Clculo Diferencial e Integral IIREFERENCIAL: 1) 2) A dobra deve possuir 7,5 cm. As medidas da rea devem ser 1.500 m por 1.000 m, com a menor dimenso no lado paralelo cerca que divide a rea. 3) O mnimo valor ocorre ao meio dia, com 15 volts, e o mximo ocorre as 17:00 com 24,2 volts. 4) As dimenses do retngulo so 100 m no lado paralelo cerca de trs fios por 200 m no lado perpendicular a esse cerca, resultando numa rea total de 20.000 m . 5) a) b) 6) 7) tanque deve possuir A folha deve possuir raio de 4,0 m e altura de 2,0 m; o volume mximo do tanque 96 m . O recorte deve ter 5,0 cm. Os nmeros so 35 e 35.3 2

8) 9)

O nmero

1 . 2

a) A produo da empresa deve ser expandida para 10.000 gales por dia, pois essa quantidade produzida proporciona um lucro mximo para a empresa. b) O lucro mximo da empresa de R$150.000,00

10) O nmero mximo de bactrias 1108 ocorrendo s 15h00min.

11) As dimenses devem ser x=50 m e y=37,5 m.

4