36

Capítulo 3. Mecânica do Dano Aplicada a Problemas Compressivos

Muitos autores já verificaram que o modelo original de Lemaitre [LEMAITRE, 1985]

é apropriado para prever a evolução do dano com precisão para caminhos de deformação

simples, contudo refinamentos são sem dúvida necessários para produzir um modelo capaz de

ser aplicado a problemas que envolvem caminhos de deformação complexos. Uma possível

melhoria é a introdução do efeito dos fechamentos dos vazios para processos com dominância

de tensões compressivas.

Uma abordagem semelhante foi utilizada por Andrade Pires et al. [PIRES, 2003] e

Andrade Pires et al. [PIRES, 2004], já apresentada no Capítulo 2, na aplicação da mecânica

do dano em problemas compressivos utilizando a equação introduzida por Lemaitre

[LEMAITRE, 1985]. Este modelo considera o modelo de Lemaitre [LEMAITRE, 1985]

melhorado pelo efeito do fechamento dos vazios, através da decomposição do tensor tensão

em componentes trativas e compressivas, σσσσ = σσσσ + + σσσσ -, com a inclusão do parâmetro redutor

h. É observado que Andrade Pires et al. [PIRES, 2003] utiliza o modelo rígido-plástico

enquanto que Andrade Pires et al. [PIRES, 2004] adota o modelo elasto-plástico com

integração explícita. Neste trabalho é utilizado o modelo elasto-plástico com integração

implícita.

Este capítulo apresenta a determinação de uma equação para taxa de liberação de

energia do dano mais completa, que leva em conta o produto da tensão hidrostática para

tensões compressivas pela tensão hidrostática para tensões trativas, não contemplado pelo

modelo utilizado por Andrade Pires et al. [PIRES, 2003] e Andrade Pires et al. [PIRES,

2004]. Na Seção 3.2, é apresentado o esquema de integração para materiais danificados

segundo o método do preditor elástico/corretor plástico utilizando o modelo de Lemaitre

[LEMAITRE, 1985] e implementado no programa HYPLAS [SOUZA NETO, 2003]. Por fim,

um exemplo numérico é apresentado com o intuito de comparar as equações determinadas

neste capítulo com a equação utilizada por Andrade Pires et al. [PIRES, 2003] e Andrade

Pires et al. [PIRES, 2004].

3.1 Modelo de Lemaitre Melhorado

Partindo-se da equação (2.27) e lembrando que 2σ):3(σσeq = e [ ] 3σTrσH = ,

rescreve-se a taxa de liberação de energia de dano como

37

( )( ) ( )

[ ]( )2

22Tr

D1E2

ν:

D1E2

ν1Y σσσσσσσσσσσσ

−−

−

+=− (3.1)

onde σ é o tensor tensão principal. Utilizando a decomposição trativa/compressiva do tensor

tensão principal, −+ += σσσ , sendo que +σ e −

σ contêm as componentes trativas e

compressivas do tensor tensão principal respectivamente, pode-se escrever

( ) ( ) −−++−+−+ +=++= σσσσσσσσσσ :::: (3.2)

e

[ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]( ) =+=+= −+−+ 222TrTrTrTr σσσσσ

[ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]−+−+ ++= σσσσ TrTrTrTr22

2

(3.3)

Substituindo (3.2) e (3.3) em (3.1),

( )( ) ( )

[ ]( ) +−

−−

+=− +++ 2

22Tr

D1E2

ν:

D1E2

ν1Y σσσσσσσσσσσσ

( )( ) ( )

[ ]( )( )

[ ] [ ]−+−−−

−−

−−

−

++ σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ TrTr

DETr

D1E2:

D1E2

ν12

2

22 1

νν

(3.4)

ou seja,

( ) ( )( )

[ ] [ ]−+−+

−−−+−=− σσ TrTr

D1EYYY

2

ν (3.5)

onde ( )+− Y e ( )−− Y correspondem às parcelas devidas unicamente às componentes positiva

(trativa) e negativa (compressiva) do tensor tensão principal. Nota-se pela Equação (3.5) que a

decomposição aditiva entre as componentes positiva e negativa do tensor tensão principal não

implica na decomposição aditiva da taxa de liberação de energia de deformação de dano.

Rearranjando a Equação (3.4), tem-se

38

( )( ) ( )

[ ]( )

+

−−

−

−

+=−

+++2

D1

Tr

E2

ν

D1:

D1E2

ν1Y

σσσ

( )

( ) ( )[ ]

( )[ ]

( )[ ]

( )

−

−−

−−

−

−

++

−+−−−

D1

Tr

D1

Tr

ED1

Tr

E2D1:

D1E

ν12

σσσσσ νν

2

(3.6)

Para considerar o efeito de fechamento dos vazios é definido um parâmetro

experimental, h, tal que 0 ≤ h ≤ 1, o que é aplicado sobre os termos relativos às componentes

compressivas do tensor tensão principal e sobre os valores correspondentes da variável de

dano, ou seja,

( )hD1

~

−=

−− σσσσ

σσσσ . (3.7)

Assim, a Equação (3.6) é rescrita como

( )( ) ( )

[ ]( ) +−

−−

+=− +++ 2

22 1212

1σσσ Tr

DE:

DEY

νν

( )( ) ( )

[ ]( ) −−

−−

++ −−− 2

22 1212

1σσσ Tr

hDEh:

hDEh

νν

( )( )

[ ] [ ]−+

−−− σσ TrTr

hDDEh /

1121 ν

(3.8)

Uma característica importante das equações (3.8) e (3.10) é o fato de que para h = 1 os

resultados são idênticos àqueles obtidos pela equação original (2.34). Ressalta-se que a

equação utilizada por Andrade Pires et al. [PIRES, 2003] e Andrade Pires et al. [PIRES,

2004] não contempla o último termo de (3.8), sendo expressa por

( )( ) ( )

[ ]( )

[ ]( )

−+

−−

−+

−

+=−

−+−−++ 22

22 112112

1

hD

Trh

D

Tr

EhD

:h

D

:

EY

σσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσσ νν (3.9)

39

3.2. Esquema de Integração Numérica para Materiais Danificados

Nesta seção é descrita a implementação numérica do modelo de Lemaitre melhorado

apresentado na Seção 3.1 no programa de elementos finitos HYPLAS [SOUZA NETO, 2003].

Deve-se salientar que esta implementação não altera o modelo de solução do problema para as

não linearidades geométricas, mas somente o modelo do material. Destaca-se também que

este modelo não considera o encruamento cinemático.

A solução de um problema elasto-plástico deve introduzir as leis da evolução da

elasto-plasticidade e uma lei que rege a evolução da variável de dano

pTe εεεεεεεεεεεε &&& −=

σε

∂

∂=

ψγ&&

p

qq

∂

∂=

ψγ&&

YD

∂

∂−=

ψγ&&

(3.10)

onde ψ é o potencial de dissipação, decomposto como ψ = ψp + ψd , ou seja, potencial de

dissipação plástico e potencial de dissipação do dano, eε& é a taxa de deformação elástica, Tεεεε&

é a taxa de deformação total, pε& é a taxa de deformação plástica, q& representa o crescimento

radial de superfície de escoamento, γ& é o parâmetro de consistência e Y é a taxa de liberação

de energia de dano. Para o modelo de Lemaitre [LEMAITRE, 1985],

( )( )

1s

dpr

Y

1sD1

rψψψ

+

−

+−+=+= φ (3.11)

onde r e s são parâmetros materiais e φ é função de escoamento, dada por

( )( )q

D

σY +−

−≤ 01

σφeq

(3.12)

Logo,

40

pTe εεεεεεεεεεεε &&& −=

( ) s

s

σε

2

3

D1

γψγp

−=

∂

∂=

&&&

( ) pεD1γq

ψγq &&&& −==

∂

∂=

( )

s

r

Y

DYD

−

−=

∂

∂−=

1

γψγ

&&&

(3.13)

Onde as seguintes condições devem ser satisfeitas:

0γ ≥& , 0≤φ e 0γ =φ&

Uma vez assumida a decomposição aditiva de (3.13a), têm-se as tensões governadas

pela equação constitutiva elástica

( )D1−=σσσσ C ( )D1: e −=εεεε C ( )pT: εεεεεεεε − (3.14)

onde C é o módulo de elasticidade. Souza Neto [SOUZA NETO, 1994] mostra que a

decomposição aditiva é válida para este caso.

Em termos das tensões desviadoras e volumétricas, apresentadas pelas Eq. (2.24a) e

(2.24b), tem-se

( ) ( ) IeIsσ ve

H εK3D1G2D1 −+−=+= σ , (3.15)

onde G é o módulo de cisalhamento e K é o módulo de compressibilidade.

No contexto dos elementos finitos a nível dos pontos de Gauss, a integração numérica

das Equações (3.13) é obtida pelo método de Euler implícito, considerando-se a evolução do

estado do material em um intervalo de tempo [tn, tn+1], ou seja,

41

( ) s

sε

2

3

D1

γp

−=

&&

( )∫ ∫+ +

−=

1n

n

1n

n

t

t

t

t

pdt

D1

γ

2

3dt

s

sε

&&

( )( )

( )∆t

D1

γ

2

3θ1∆t

D1

γ

2

3θ

n

n

n

n

1n

1n

1n

1nt

t

p 1n

n

−−+

−=

+

+

+

++

s

s

s

sε

&&

(3.16)

onde 10 ≤≤ θ . Para o método implícito θ = 1 e fazendo 1n1n γ∆tγ ++ =&

( ) 1n

1n

1n

1npn

pn

pn

D1

γ

2

3

+

+

+

+++ −

=−=s

sεεε∆ 11 (3.17)

Analogamente, tem-se

1nn1n γqq ++ += (3.18)

( )

s1n

1n

1nn1n

r

Y

D1

γDD

−

−+= +

+

++ (3.19)

e para as tensões desviadora e hidrostática

( ) ( ) ( )p1n1n1n

e1n1n1n G2D1G2D1 ++++++ −−=−= eees (3.20)

( )1nv1n1nH Kε3D1σ +++ −= (3.21)

O algoritmo de integração numérica é baseado na metodologia do preditor

elástico/corretor plástico, apresentado no Quadro 3.1. Na etapa do preditor elástico, é

assumido que todo o incremento de deformação é elástico, ou seja, a deformação plástica e o

dano trial são iguais ao do passo anterior, como a seguir.

42

pn

trialp1n ee =+

nvtrial

nv εε =+1

ntrial

1n qq =+

ntrial

1n DD =+

(3.22)

Adicionalmente,

( ) triale1nn

trial1n G2D1 ++ −= es

trial1n

trial1neq

2

3σ ++ = s

( ) trialnvn

trialnH KD 11 31 ++ −= εσ

(3.23)

e das Equações (3.12), (3.22) e (3.23), a função de escoamento é

( )( )n0Y

n

trial1neqtrial

1n qσD1

+−−

=+

+

σφ (3.24)

Se 0trial

1n ≤+φ , o incremento é totalmente elástico e as variáveis em tn+1 são tomadas

como trial1n1n )()( ++ ⋅=⋅ . Nos casos onde 0

trial1n >+φ , a etapa do corretor plástico é requerido.

Onde, nesta etapa, os valores γn+1 e Dn+1 devem ser obtidos pela solução das equações

( )0

r

Y

D1

γDD

s1n

1n

1nn1n =

−

−−− +

+

++ (3.25)

( )( )

( )0

D1

γG3qσ

D1

σ

1n

1nnY

n

trialeq

=−

−+−− +

+0 (3.26)

onde (3.25) é obtido da Equação (3.19) e (3.26) é obtida de Equação (3.20) e (3.24). Estas

equações foram propostas por Vaz Jr e Owen [VAZ JR., 2001] no contexto da predição de

fratura em processo de corte de metais.

43

No entanto, Souza Neto [SOUZA NETO, 2002] apresenta a solução para γn+1 através

de uma equação, tornando o algoritmo computacionalmente mais eficiente. Para isso, define-

se inicialmente a integridade do material como

D1ω −≡ , (3.27)

E, com (3.27), pode-se escrever

1nYn

trialeq

1n1n1n

σD1

σ

γG3D1ω

+

+++

−−

≡−≡ (3.28)

Da mesma forma para a Equação. (3.26) tem-se

( ) 0r

Y

ω

γωωγF

s1n

1n

1nn1n1n =

−+−≡ +

+

+++ (3.29)

Substituindo a Eq. (3.28) em (3.29), tem-se por fim, a equação para a solução em γn+1 como

( )s

1n

2

2

1nYn

trialeq

1nYn

trialeq

n

1nr

Y

G9

σD1

σ

G3

σD1

σD1

γ

−

−

−−

−

−−

= +

++

+ (3.30)

Uma vez calculado o Dn+1 e γn+1, calcula-se as tensões e as deformações com

( )( )

−−−=

++

++++

1ntrial

1neq

1n1n

triale1n1n

D1σ

Gγ3D1G2 es (3.31)

( ) trial1nv1n1nH Kε3D1σ +++ −=

Isσ 1nH1n1n σ +++ +=

(3.32)

(3.33)

44

( )

( )Ieε

trial1nv

ntrial

1neq

1n1ntriale1n

e1n ε

D1σ

D1Gγ31 +

+

++++ +

−

−−= (3.35)

É importante salientar que no presente trabalho a definição original de (-Yn+1) é

substituída pelas Equações (3.8) e (3.09), que incluem o efeito do fechamento dos vazios.

3.3 Exemplo Numérico

Esta seção apresenta dois exemplos numéricos realizados [VAZ JR., 2005] que

ilustram o uso das Equações (3.8) propostas na Seção 3.1 em comparação com a equação

(3.9) utilizada por Andrade Pires et al. [PIRES, 2003] e Andrade Pires et al. [PIRES, 2004].

O material utilizado foi o aço baixo carbono, sendo suas propriedades e os parâmetros

materiais do modelo de dano utilizados na análise são apresentados na Tabela 3.1.

Tabela 3.1 Propriedades do aço baixo carbono e parâmetros do modelo de dano [VAZ

JR., 2005].

Descrição Símbolo Valor

Módulo de Young E 200000 MPa

Densidade ρ 7860 kg/m³

Tensão de escoamento σY ( ) 2620025120722 ,P, ε+ MPa

Módulo de Poisson ν 0,3

Parâmetro de dano r 0,1 MPa

Parâmetro de dano s 1,0

O primeiro exemplo trata da comparação direta das Equações (3.8) e (3.9),

apresentada na Figura 3.1 pelas curvas da evolução da variável de dano e tensão equivalente

de von Mises em função da deformação plástica equivalente. O exemplo considera a evolução

dos parâmetros para apenas um ponto de Gauss e representa um estado de tensão trativa com

componentes positivas e negativas da tensão principal para h = 1.

45

Quadro 3.1 Algoritmo preditor elástico/corretor plástico para o modelo de Lemaitre

[LEMAITRE, 1985] e proposto por Souza Neto [SOUZA NETO, 2003].

(i) Preditor elástico. Dado ∆e, ∆εv e as variáveis de estado em tn, calcular o estado elástico

trial.

n

en

triale1n

∆eee +=+ e

nvnv

triale

1nv ∆εεε +=+

n

trial1n qq =+

n

trial1n DD =+

( ) ( ) Ieσtrial

nvntriale

1nntrial

1n KDG2D1 131 +++ −+−= ε

(ii) Verificação da condição de consistência plástica.

SE [ ] 0qσD1

σn0Y

n

trial1neqtrial

1n ≤+−−

=+

+φ

ENTÃO (Estado elástico)

trial1n1n )()( ++ ⋅=⋅ e FIM

SENÃO (Estado plástico)

(iii) Corretor plástico. Resolver a equação para γn+1 usando o método de Newton-Raphson.

( )s

1n

2

2

1nYn

trialeq

1nYn

trialeq

n

1nr

Y

G9

σD1

σ

G3

σD1

σD1

γ

−

−

−−

−

−−

= +

++

+

(iv) Estado final. Atualizar tensões e deformações plásticas e calcular o indicador de fratura.

( )

( )Ieε

trial1nv

ntrial

1neq

1n1ntriale1n

e1n ε

D1σ

D1Gγ31 +

+

++++ +

−

−−=

1nn1n γqq ++ +=

( )

s1n

1n

1nn1n

r

Y

D1

γDD

−

−+= +

+

++

( )( )

( ) Ieσtrial

1nv1n

1ntrial

1neq

1n1n

triale1n1n Kε3D1

D1σ

Gγ3D1G2 ++

++

++++ −+

−−−=

( ) p1n1nH

p1n

pn

p1n

∆ε...,σ,εfII ++++ += (Convencional)

ou

( )( )n1n1npn

p1n

DDYfII −−+= +++ (Dano)

FIM

FIM

46

(a) Tensão equivalente de von Mises. (b) Variável de dano.

Figura 3.1. Comparação das Equações (3.8) e (3.9) [VAZ JR., 2005].

Nota-se na Figura 3.1(a) uma diferença na evolução da tensão equivalente de von

Mises para os casos onde (-Y) foi calculado pelas Equações (3.8) e (3.9). Esta diferença é

devida ao fato de que a Equação (3.9) não contempla o último termo da Equação (3.8), ou

seja,

( ) ( ) ( )( )[ ] [ ]−+

−−−−=− σσσσσσσσ TrTr

hD1D1E

νhYY 2/1

3..Eq3.8.Eq 9 (3.36)

O outro exemplo apresenta a simulação da compressão de um cilindro que embora

pareça simples, apresenta todas as características de uma típica operação de forjamento. A

altura e o raio do cilindro são H = 30 mm e R0 = 10 mm respectivamente. O deslocamento

total é de U = 6,5 mm aplicado na face superior. Devido à simetria do cilindro, somente um

quarto é modelado, no qual uma malha quadrilateral estruturada foi usada. É assumido contato

rígido na interface entre a matriz e o corpo de prova, tendo sido prescritos os deslocamentos

nodais da face superior do cilindro de modo que o deslocamento relativo matriz - corpo de

prova corresponda a um coeficiente de atrito de Coulomb µ = 0,2. Este modelo pode ser visto

na Figura 3.2.

A diferença percentual da evolução do dano ao longo do raio do cilindro para as

Equações (3.8) e (3.9) é apresentada na Figura 3.3. As simulações mostram que as diferenças

diminuem com o aumento da compressão, ou seja, as menores diferenças são associadas a

grandes estados de dano. A Figura 3.4 apresenta o valor da variável de dano para U = 6,5 mm,

47

sendo o valor máximo localizado no equador do cilindro, o que é confirmado pela literatura e

será demonstrado experimentalmente no capítulo 4.

Figura 3.2. Geometria utilizada no exemplo numérico [VAZ JR., 2005].

(a) Linha de simetria. (b) Diferença percentual.

Figura 3.3. Diferença percentual entre as Equações (3.8) e (3.9): Diferença na linha de

simetria R-R' para diferentes valores de U e distribuição das diferenças percentuais

para uma compressão U = 6,5 mm [VAZ JR., 2005].

R R’

48

Figura 3.4. Variável de dano para U = 6,5 mm [VAZ JR., 2005].

3.4. Conclusão

A mecânica do dano contínuo tem tido grande aceitação como metodologia para a

predição de fratura dúctil pelo fato de modelar o histórico de tensão-deformação da

degradação do material.

Desta forma, o modelo de Lemaitre foi melhorado com o efeito do fechamento dos

vazios, através do desenvolvimento de uma nova equação para a taxa de liberação de energia

do dano, com o objetivo de aplicá-lo em análises com estados de tensões complexos.

Ressalta-se que o modelo semelhante encontrado na literatura não contempla todos os termos

que estão presentes nesta nova equação.

A solução acoplada das leis da evolução da elasto-plasticidade com lei da evolução do

dano assegura uma apropriada descrição do fenômeno envolvido. No entanto, a

implementação numérica requer um algoritmo bem elaborado, como o apresentado nesta

seção. A fim de se obter um sistema de integração numérica computacionalmente mais

eficiente utilizou-se o modelo do preditor elástico/corretor plástico com uma equação e o

esquema iterativo de Newton-Raphson foi adotado pela sua conhecida eficiência [SOUZA

NETO, 2002].

Nos exemplos numéricos pode-se notar alguma diferença entre a nova equação e a

equação utilizada por Andrade Pires et al. [PIRES, 2003] e Andrade Pires et al. [PIRES,

2004], além disso verifica-se o correto resultado de início da fratura para problemas

compressivos, neste caso, no equador do cilindro que é confirmado pela literatura e que será

demostrado experimentalmente no Capítulo 4.