159

Capítulo 11

Interação de fótons com a matéria

versão 2008.2

Uma onda eletromagnética carrega consigo momento e energia.

Como a onda se propaga com velocidade c, a relação entre energia e momento para uma onda eletromagnética plana é E=cp. Quando a onda eletromagnética é emitida, absorvida ou espalhada, tanto a energia quanto o momento são compartilhados com as partículas responsáveis pelo processo. Então, enquanto analisando qualquer processo no qual radiação eletromagnética interage com partículas carregadas, devemos aplicar as leis de conservação e energia e momento. O problema surge quando consideramos a interação de uma onda eletromagnética com um elétron livre. Se, por exemplo, um elétron absorve uma energia E da onda, ele deve também absorver um momento p=E/c. Mas se supormos que o elétron livre está inicialmente em repouso no referencial do laboratório, a energia absorvida transforma-se em energia cinética do elétron. Mas a energia cinética de um elétron é relacionada com seu momento por

2242 cmpcmK oo −+=

onde mo é a massa de repouso do elétron. Mas esta relação é incompatível com p=E/c e E=K, de acordo com as leis de conservação de energia e momento. Assim, concluímos que um elétron livre não pode interagir com uma onda eletromagnética sem violar os princípios de conservação de energia e momento. No caso de um elétron ligado a um átomo, molécula ou sólido, a energia e o momento absorvidos são compartilhados tanto pelo elétron quanto pelo átomo, molécula ou sólido. Mas como o átomo, molécula ou sólido possuem uma massa muito maior do que a massa do elétron, a energia de recuo do átomo, molécula ou sólido é tão pequena que não é levada em conta.

Embora um grande número de interações são conhecidos para fótons com a matéria, os mais importantes são : efeito fotoelétrico, espalhamento Compton, Thomson, Rayleigh, interação foto-nuclear e produção de pares. O Espalhamento Rayleigh e elástico, o fóton e meramente redirecionado para um angulo θ sem perda de energia. As interações foto-nucleares são importantes apenas para energias acima de alguns MeV, onde são responsáveis por problemas de proteção radiológica através da produção

160

(γ,n) de nêutrons. A importância relativa do efeito Compton, do efeito fotoelétrico, e da produção de pares, depende da energia do fóton e do numero atômico Z do meio absorvedor. Estes processos levam a uma transferência de energia total ou parcial para a matéria. Uma diferença entre fótons e partículas carregadas é que Raios-x e gama são muito mais penetrantes na matéria do que as últimas. Outra diferença é que o feixe de fótons não é degradado em energia conforme atravessa a matéria. Somente atenuado em intensidade. Os fótons ou desaparecem totalmente ou são espalhados para ângulos significativos. Este comportamento destoa completamente da interação de partículas carregadas, que são freadas lentamente através de uma interação contínua com os átomos absorvedores. A atenuação sofrida por um feixe de fótons segue um decaimento exponencial com respeito à espessura

I=Ioexp(-µx) Onde Io é intensidade do feixe incidente; x a espessura do absorvedor; µ o coeficiente de absorção. O coeficiente de absorção é a grandeza que característica do material absorvedor e é diretamente relacionada com a seção de choque de interação. Efeito fotoelétrico

No processo de absorção por efeito fotoelétrico, um fóton é totalmente absorvido por um átomo. No seu lugar, um fotoelétron rápido é ejetado do átomo. A interação acontece com o átomo como um todo e não pode ocorrer com elétrons livres, uma vez que um elétron livre não pode absorver um fóton sem o momento não seja conservado. A energia do fotoelétron (Ee) é dada por:

Ee = hν - Eb

Onde Eb é a energia de ligação do elétron e hν é a energia do fóton. Para raios gama com energias acima de algumas dezenas de keV, o fotoelétron leva consigo a maioria do energia do fóton. A interação também cria um íon no material absorvedor com uma vacância em uma de suas camadas. Em geral, esta vacância é rapidamente preenchida com a captura de um elétron livre do meio e/ou por rearranjo de outros elétrons do átomo. Então, um ou mais fótons de raio-X podem ser produzidos. Na maioria dos casos, os fótons de raio-X são re-absorvidos pelo meio, embora sua possível emissão possa vir a influenciar a resposta dos detetores de radiação. Outro efeito possível é a emissão de um elétron Auger. O efeito fotoelétrico é a interação dominante para fótons (UV, raio-X ou gamma) de baixa energia. O

161

processo é mais significativo para absorvedores com alto número atômico Z. Não há uma expressão analítica simples para a probabilidade de absorção por efeito fotoelétrico para toda a faixa de energia Eγ e Z, mas uma aproximação é dada por

5,3γE

ZP

n

fe ∝

onde o expoente n varia entre 4 e 5. Esta forte dependência do efeito fotoelétrico com o número atômico do material é a razão principal para o uso de matérias de alto Z (como o chumbo) em blindagens. Detetores de raios gama também utilizam materiais com alto Z.

A figura abaixo mostra o coeficiente de absorção total, mas também a contribuição parcial de cada processo específico, para do NaI em função da energia do fóton incidente. Conforme pode ser visto pela figura, o coeficiente de absorção cai rapidamente com a energia do fóton, mas aumenta rapidamente nas proximidades de uma camada interna. Logo após este ponto, o coeficiente de absorção volta a cair rapidamente. No caso não relativístico e energias acima da camada K (supõe-se que apenas elétrons da camada K contribuem), a aproximação de Born prevê que a seção de choque para o efeito fotoelétrico

2/7254 24

=

hv

mcZ ofe σασ por átomo

onde 2252

10651,63

8cm

reo

−×==π

σ é a seção de choque de espalhamento

Thomson, e α é a constante de estrutura fina α=1/137.

Fig. 1– Efeito fotoelétrico em um átomo livre. Se o elétron da camada K é ejetado pelo fóton incidente, outro elétron de um nível de maior energia

162

pode preencher a vacância, resultando na emissão de um fóton com uma energia igual à diferença de energia entre os dois níveis envolvidos.

Fig. 2 – coeficiente de absorção por densidade para NaI em função da energia do fóton para os diversas interações. Fonte programa XmuDat. Espalhamento Rayleigh

O espalhamento Rayleigh é elástico. O modelo de espalhamento Rayleigh, proposto inicialmente por Lord Rayleigh em 1871, é aplicável quando o raio do alvo é muito menor do que o comprimento de onda do fóton incidente, o que implica que a energia transferida durante o processo é muito pequena. Par a maioria dos raios-X e raios gama de baixa energia, O processo de espalhamento Rayleigh é o modo predominante de espalhamento elástico. A seção de choque para este processo é inversamente proporcional a λ4 da radiação incidente e pode ser escrita como

2

2

246

1

12

3

8

+−

=m

mna mRayleigh λ

ππσ

Onde a é o raio da partícula alvo, m=ns/nm é a razão do índice de refração da partícula alvo (ns) em realação ao índice de refração do meio (nm) .

100

101

102

103

104

105

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

104

105

µµ µµ/

ρρ ρρ(cm2/g)

Energia (keV)

NaI

total

fotoelétrico

Rayleigh

Compton

pares

163

Espalhamento Compton

No espalhamento Compton, a interação acontece entre o fóton incidente e o elétron no material absorvedor. Na faixa de energia dos raios gama, o espalhamento Compton é o mecanismo dominante (veja Fig. 1). A interpretação mais comum para o efeito Compton (encontrada em vários textos) é que o fóton incidente transfere parte de sua energia para o elétron (supostamente em repouso), também chamado de elétron de recuo. O fóton é então espalhado em um ângulo θ com respeito a sua direção inicial. Devido ao fato que todos os ângulos de espalhamento são possíveis, a energia transferida para o elétron pode variar de zero até uma fração significativa da fóton incidente. A expressão que relaciona a energia transferida e o ângulo de espalhamento pode ser obtida aplicando simultaneamente a conservação de energia e momento.

φθ coscos eo ppp += ϕθ senppsen e−=0

Como o elétron está inicialmente em repouso, a sua energia total é moc2 .

Após o espalhamento, o elétron adquire momentum e de acordo com a relatividade especial, sua energia é dada por

4222 cmpE oee += Aplicando a conservação da energia

eoo EEcmE +=+ 2 Resultando em

( )θcos112

−+=

cm

E

EE

o

o

o

onde moc2 é a energia de repouso do elétron (511 keV). Para ângulo

pequenos, a energia transferida também é muito pequena.

164

A energia do elétron de recuo é dada por

( )

( )

−

+

−

=θ

θ

cos11

cos1

2

2

cm

E

cm

E

EE

o

o

o

o

oe

Dois casos extremos podem ser identificados: a) θ≈ 0. Neste caso, as equações para as energias do fóton e do elétron

predizem que E≈Eo e Ee ≈ 0. b) Colisão frontal θ≈ π. Neste extremo, o fóton incidente é retro-

espalhado para a sua direção incidente, enquanto que o elétron recua na direção do fóton incidente (espalhamento para ângulo zero). Este extremo representa a máxima energia que pode ser transferida ao elétron em uma interação Compton. Neste caso as energias finais do fóton e do elétron ficam

221

)(

cm

E

EE

o

o

+== πθ p/ o fóton

e

+=

2

2

21

2

cm

E

cm

E

EE

o

o

o

o

oe p/ o elétron

Para um dada energia do fóton incidente, a distribuição de energias do

elétron tem uma forma geral mostrada na figura abaixo

165

O “gap” entre o a energia máxima do elétron de recuo e a energia do fóton incidente é dada por

221)(

cmE

EEEE

o

eC

+==−= πθ

No limite hv>>moc

2 , esta diferença de energia tende a um valor constante

256.02

2

==cm

E oC MeV

A análise anterior supõe que o elétron está livre (não ligado). De fato, a energia de ligação do elétron influencia o contínuo Compton. Estes efeitos são mais notados para energias do fóton baixas, onde aparece um arredondamento do pico próximo ao extremo superior, além do aparecimento de uma queda mais gradual, ao invés de abrupta , do espectro de energias do elétron. A distribuição angular dos gammas espalhados é descrito pela fórmula de Klein-Nishina

( )( )

( ) ( )[ ]

−++

−+

+

−+=

Ω θαθ

θαθ

θα

σ

cos11cos1

cos11

2

cos1

cos11

12

2222

2oZr

d

d

onde α=E/moc2 e ro é o raio clássico do elétron.

Integrando a equação acima encontramos

dNdN//dEdEee

EEee

θ=0

θ=ππππ

Contínuo Compton

Eo

Borda Compton

dNdN//dEdEee

EEee

θ=0

θ=ππππ

Contínuo Compton

Eo

Borda Compton

EC

166

( ) ( ) ( )( )

+

+−++

+−+++

=22

2

21

3121ln

2

121ln

1

21

1212

αα

αα

ααα

αα

απσ oC r

Fig. _ Distribuição angular de Compton.

Produção de Pares Produção de pares é o processo que resulta na conversão de um fóton em um par elétron-pósitron. Como o fóton não possui massa, enquanto ambos o pósitron e o elétron possuem, dizemos que este processo converte energia em massa de acordo com a relação E = mc2. Este processo é o inverso da aniquilação de pósitrons, onde massa é convertida em energia. No entanto, há uma diferença operacional entre os dois processos: a produção de pares acontece na presença de um material enquanto que a aniquilação não requer esta condição. Isto se deve à necessidade de um terceiro corpo para a conservação de momentum. O processo na vizinhança de um núcleo pode ser representado como

*XeeX ++→+ +−γ Onde X e X* representam o estado fundamental e estado excitado do núcleo, respectivamente.

167

Como a energia é convertida em duas partículas que possuem massas discretas, deve haver um limiar para que este processo ocorra. Ou seja, o fóton deve ter, pelo menos, uma energia equivalente à soma das massas das duas partículas:

Emin ≥ 2moc

2

Emin ≥ 1,022 MeV

O limiar verdadeiro de energia para a produção de pares na vizinhança de um núcleo d massa mnucl é dado por

nucl

oo

m

cmcmE

22

min

22 +≥

A seção de choque para a produção de pares pode ser escrita como

23/1

222

54

1183ln

9

74 cm

ZZropar

−

= ασ

A produção de pares também ocorre nas vizinhanças de partículas leves, como elétrons. Este processo é geralmente conhecido como produção de tripleto. Relação entre o coeficiente de absorção e a seção de choque

Se multiplicarmos a seção de choque de atenuação de fótons (σ, em cm2 ) pelo densidade de átomos (N, em cm-3), obtemos a probabilidade por unidade de comprimento pra uma interação

µ=Nσ =σ(Naρ/A)

168

onde Na é o número de Avogrado, ρ a densidade do material, A o peso molecular. Para misturas compostas, o coeficiente de absorção pode ser calculado usando a regra de Bragg (regra da aditividade)

∑=n n

n

nwρµ

ρµ

onde wn é o peso relativo de cada elemento no material Os fótons podem também ser caracterizados pelo seu livre caminho

médio λ

µλ

µ

µ

1

0

0 ==

∫

∫∞

−

∞−

dxe

dxxe

x

x

O efeito Auger

Nem todos os átomos ionizados em camada interna retornam ao

estado fundamental emitindo raios-X. Por conta disto, o rendimento quântica (quantum yield) é freqüentemente menor que a unidade. O rendimento quântico é definido como

η = (número de átomos emitindo raios-X)/(numero de átomos

ionizados em camada interna)

Assim e possível que os átomos retornem ao seu estado fundamental sem emitir radiação. A probabilidade para este processo não radioativo, que compete com a emissão de raios-X, decresce com o aumento do numero atômico do elemento. Para átomos leves, o processo não radioativo domina sobre o radioativo. A volta ao estado fundamental no processo não radioativo é realizado pelo efeito Auger. Apos a remoção de um elétron de camada interna, o excesso de energia pode ser liberado na forma de raios-X ou pela emissão de um elétron de camada mais externa . O efeito Auger é similar a um efeito fotoelétrico interno. Se um elétron cai para um nível mais baixo de energia e um outro é ejetado, a interação Coulombiana entre os dois é a responsável pelo processo. O efeito Auger esta representado na figura abaixo. Um elétron da camada K é ionizado deixando uma vacância. Um elétron externo cai para a camada K, preenchendo a vacância. A energia liberada neste decaimento é usada para liberar um outro elétron externo (elétron Auger). Como resultado

169

temos um átomo duplamente ionizado (existe a possibilidade de efeito Auger resultando em íon multiplamente carregados).

Fig. 5 – Um elétron Auger é emitido pelo excesso de energia quando um elétron externo cai para um nível de energia mais baixo

Auger normal Decaimento radioativo

ou

Auger normal Decaimento radioativo

ou

170

Fig. – A eficiência quântica para a emissão de raios-X (decaimento radioativo) em função do numero atômico.

0 20 40 60 800.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

Auger + Coster-Kronig

radioativo

ηηηη

Z

171

Exercícios: 1 – O coeficiente de absorção total para fótons de 5 MeV em chumbo é cerca de 0,04 cm2/gm. Se a densidade do chumbo é 11,3 gm/cm3, qual a meia espessura (espessura para qual o feixe cai a 50 %) do cobre para estas raios gama? Qual a espessura do cobre necessária para reduzir a intensidade para 6 % do valor inicial? (1gm é o mesmo que 1 grama) 2 – Qual a seção de choque que corresponde a um coeficiente de absorção de 0.45 cm-1 pra fótons em chumbo? R: 13.7 b (1b – 1 barn = 10

-24 cm

2)

3 – Aplicando a conservação de momento e energia, obtenha a relação entre a energia final do fóton e o ângulo de espalhamento no espalhamento Compton 4 – Calcule a energia de recuo do elétron no espalhamento Compton em função da energia e ângulo do fóton espalhado. 5- A borda de absorção L1 do tungstênio ocorre em 1,02 Å. Suponha que um fóton Kα é absorvido por um dos elétrons 2s através do efeito Auger. Determine a velocidade do fotoelétron liberado. 6 – (Provao 2002) Na figura abaixo é mostrado um arranjo experimental para estudar a absorção de radiação E por diferentes materiais. Sal de KC", que é disponível comercialmente, é colocado numa pequena caixa cilíndrica, em cima de uma folha fina do material a ser estudado. Abaixo da folha é colocada uma fotomultiplicadora e todo o sistema é blindado em chumbo.

172

Como em potássio natural há uma abundância relativa de 0,0118% de K 40 , que sofre decaimento E, o sal de cloreto de potássio é fracamente radiativo. A experiência consiste em medir a taxa de contagens dN/dt (número de pulsos contados por unidade de tempo), em função da espessura x da folha. Como a absorção

depende da densidade do material, é usual expressar aespessura da folha em kg/m2. No gráfico, em que a escala vertical é logarítmica e a horizontal é linear, é mostrado o resultado obtido para dN/dt, em função de x. Sabendo que a absorção de radiação pela matéria leva ao decaimento do número de partículas que atravessam uma distância x dentro do meio, de acordo com a equação N(x) N0e–Px, o coeficiente de

absorção P para o alumínio, em unidades de m2/kg, é, aproximadamente,

a) 0,10 b) 0,20 c) 0,50 d) 1,0 e) 2,0

173

7 – A tabela abaixo corresponde a um conjunto de medidas da intensidade de um feixe de fótons de 5 MeV transmitido em folhas de chumbo de espessuras conhecidas para a determinação do coeficiente de absorção. Cada medida foi tomada durante um tempo de aquisição igual a 10 min. A área total corresponde ao número de fótons transmitidos + contagens de fundo. a)Considerando que a contagem de fundo foi 10 contagens/minuto, complete a tabela

Espessura (mm) Área total incerteza Área liquida Incerteza

0 10100 3,0 8800 6,0 7700 9,0 6700 12,0 5900 15,0 5200

b) Faça um gráfico da intensidade (número de fótons medidos) versus espessura em papel mono-log e determine o coeficiente de absorção µ em cm-1.

174

c) Se um feixe de 1020 fótons incide perpendicularmente em uma folha de chumbo de 12,0 mm de espessura (a densidade do chumbo é ρ = 11,3 g/cm2) e se o coeficiente de absorção total em cm2/g de fótons de 5 MeV em chumbo é total(soma de todos os processos): 4,24 × 10-2 cm2/g; fotoelétrico: 1,26 × 10-3 cm2/g ; criação de pares: 2,1 × 10-2 cm2/g ; Compton : 1,98 × 10-2 cm2/g e Rayleigh: 8,72 × 10-5 cm2/g, calcule quantas interações de cada tipo (fotoelétrico, ; criação de pares, Compton, e Rayleigh) ocorrem no chumbo. d) Supondo que cada interação no item anterior resulta em um fóton primário sendo removido do feixe, quanta energia é removida por cada tipo de interação ? 8) Raios-X passam através de folhas de alumínio, cada uma de 4 × 10-3 m de espessura. Um Contador Geiger registra 8 × 103, 4,7 × 103, 2,8 × 103, 1.65 × 103 e 9,7 × 102 eventos por min quando os raios atravessam 0, 1, 2, 3, e 4 folhas, respectivamente. Calcule o coeficiente de absorção do alumínio. 9) Raios gama com energias de 0,05, 0,3 e 1 MeV, mas com intensidades iguais, são absorvidos por chumbo. Os coeficientes de absorção do chumbo para estas energias são 8 × 103, 5 × 102 e 78 m-1.

a) calcule a espessura de chumbo necessária para reduzir a intensidade de cada feixe a 1/10 de seu valor original.

b) Qual a relação entre a intensidade total (para cada energia do feixe) a uma profundidade de 5 mm em relação a intensidade incidente total?

10) A espessura de meia-absorcao de um material (x1/2) e definida como a espessura para absorver 50 % da intensidade de um feixe de fótons incidente. Quantas espessuras de meia-absorcao são necessárias para atenuar um feixe de raios-X a a)1/16, b) 1/20, c)1/200, da intensidade do feixe incidente? Respostas 1- 2- 13.7 b (1b – 1 barn = 10

-24 cm

2)

6- letra d)

175

Referencias:

1 – W. R. Leo, Techniques for Nuclear and Particle Physics Experiments 2- Knoll 3 –A. Das e Th. Ferbel, Introductionto Nuclear and Particle Physics Prática 1

Espectroscopia gamma de diversas fontes Objetivo: familiarizar o aluno com o analisador multi-canal utilizado para a análise de altura de pulsos em conjunção com o detetor Si(Li) e diversas fontes radioativas. Prática 2 Absorção de raios gama por cobre

176

Prática 3

Espalhamento Compton

Io I(x)

x241Am

cobre

Detetor Si(Li)

chumbo

x

I(x)

Io I(x)

x241Am

cobre

Detetor Si(Li)

chumbo

x

I(x)

241Am

Detetor Si(Li)

chumbo

alvo θ

241Am

Detetor Si(Li)

chumbochumbo

alvo θ