cap6 efeitos realimentacao-erros

Capítulo 6‐ Efeitos Realimentaçãoe Erros

Cap 6 – Efeitos da Realimentação e Erros em Regime Permanente

Maria Isabel RibeiroAntónio PascoalMaio de 2008

Transparências de apoio às aulas teóricas

Todos os direitos reservadosEstas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

CONTROLO2º semestre – 2007/2008


Objectivo e Sumário

Enunciar os requisitos de um sistema de controlo

Apresentar e discutir os principais efeitos da realimentação

Especificações no projecto de controladores

Erros em regime estacionário

• Com retroacção unitária

• Sem retroacção unitária

Referênciaso Cap.4 (Secções 4.1 e 4.2) da referência principal

o Notas de Eduardo Morgado


Sistemas de Controlo

Um sistema moderno de controlo

• avalia as condições de operação do sistema• compara‐as com o comportamento desejado• calcula acções correctivas com base num modelo do sistema• actua no sistema para implementar essas acções correctivas

Sistema

Sensoriamento / Percepção

ComputaçãoActuação

Sistema SensoresActuadores

Computador A/DD/A

Relógio

Saída

Entrada de referência

RuídoPerturbações externasRuído

Controlador

Processo

Sistema de controlo implementado em computador


Sistemas de Controlo: Nomenclatura

Transdutor de entrada Controlador Processo

++

++

Entrada de Referência Variável

Controlada

Perturbação Perturbação

Transdutor de saída ou

sensor

+_

ErroActuador

+

+

Sinal de comando

Ruído nos sensores

Cadeia de retroacção

G(s)_

K(s)

dy

n

r e u

Controlador Sistema a controlar

++

+

+

+


Objectivos Gerais de Um Sistema de Controlo

• Um bom seguimento do sinal de referência

– a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto possível dos valores desejados expressos pela referência, ou seja, o erro deve ser pequeno

• Uma boa rejeição dos efeitos das perturbações, incluindo ruído

• Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de perturbações

• Estabilidade

• Pequena sensibilidade à variação de parâmetros

• Robustez de estabilidade

– Relativamente à variação de parâmetros

– Relativamente a incertezas no modelo do processo no qual se baseou o projecto de controlador

• Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordem por ummodelo mais simples de 2ª ordem

REQUISITOS USUAIS

E. MorgadoControlo, 1998


Sistemas de Controlo: Efeitos da realimentação

os sistemas de controlo em cadeia fechada reduzem o efeitoo de perturbações externas ao sistema, incluindo ruído nos

sensoreso de variações dos parâmetros do sistema devidas ao

envelhecimento, tolerâncias de fabrico ou efeitos de carga

A resposta transitória é modificada com a introdução de realimentação, mas as condições de estabilidade podem serafectadasOs sistemas em cadeia fechada são estáveis

Quando bem projectados

Especificações de controlo modos de expressar os requisitos

Resposta transitóriaEstabilidadeErros em Regime Estacionário....




– a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto possível dos valores desejados expressos pela referência, ou seja o erro deve ser pequeno



• Estabilidade






REQUISITOS USUAIS


•Mais à frente será quantificada aestabilidade relativa.

•Para sistemas estáveis, importa saber quão estável é?





• Uma boa rejeição dos efeitos das perturbações, incluindo ruído• Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de perturbações

• Estabilidade






REQUISITOS USUAIS



Efeitos da Realimentação: Rejeição de Perturbações

• Rejeição de perturbações– Perturbações externas na cadeia de acção

R(s) Y(s)

W(s)

G(s)K ++

R(s) Y(s)

W(s)

G(s)K ++

+

_

cadeia aberta)s(W)s(G)s(R)s(KG)s(Y +=

sistema linearprincípio da sobreposição

0)s(R0)s(W)s(Y)s(Y)s(Y

==+=

princípio da sobreposição)s(W

)s(KG1)s(G)s(R

)s(KG1)s(KG)s(Y

++

+=

Não há possibilidade de atenuar o efeito deW sobre Y

A saída é tanto menos afectada por W quanto maior for o ganho K

cadeia fechada




R(s) Y(s)

W(s)

K ++

+

_cadeia fechada

K=2

K=15K=30

a análise da rejeição de perturbações pode fazer-se também no domínio da frequência

)as(sa+

K=8

perturbação

Saída y(t) dosistema em cadeia fechada sem perturbação

Saída y(t) dosistema em cadeia fechadaquando existe a perturbaçãoindicada




R(s) Y(s)

d

K+

++

_

cadeia fechada1)(s

1+

1K =

4K =

)t(u 20)t(r =

)5t(u 5)t(d −=

referência

Um aumento do ganho do controlador diminui o efeito da perturbação

K1K20+

temperatura desejada

perturbação



• Rejeição de perturbações– Perturbações externas na cadeia de acção +– Ruído nos sensores

R(s) Y(s)

W(s)

K ++

+

_

cadeia fechada

)s(G

N(s)+

+

ruído nos sensores

)s(N)s(KG1

)s(KG)s(W)s(KG1

)s(G)s(R)s(KG1

)s(KG)s(Y+

−+

++

=

Como é a rejeição das perturbações para uma frequência s=jw?

E(s)



• Rejeição de perturbações– Perturbações externas na cadeia de acção +– Ruído nos sensores

)s(N)s(KG1

)s(KG)s(W)s(KG1

)s(G)s(R)s(KG1

)s(KG)s(Y+

−+

++

=

Como é a rejeição das perturbações para uma frequência s=jw?

• Para uma frequência w• Boa rejeição da perturbação W aumentar |KG(jw)|• Bom seguimento da referência r (erro pequeno) aumentar |KG(jw)|• Boa rejeição do ruído diminuir |KG(jw)|

• O ruído apresenta habitualmente componentes espectrais de mais alta frequência do que as do sinal de referência

• Estratégia de Controlo• Baixas Frequências |KG(jw)| >> 1

• Altas Frequências (banda do ruído) |KG(jw) <<1

• Frequências intermédias – as condições a impor ao ganho estão relacionadas com a estabilidade em cadeia fechada.

Banda de frequência associada normalmente ao sinal dereferência e às perturbações exteriores que são sinaisrelativamente lentos







• Estabilidade






REQUISITOS USUAIS



Efeitos da Realimentação

• Sensibilidade à variação de parâmetros– De que modo variações de parâmetros em G(s) afectam a função de

transferência em cadeia fechada ?

R(s) Y(s)G(s)K

+

_ )s(KG1)s(KG

)s(R)s(Y)s(M

+==

Sensibilidade de M(s) relativamente a G(s)

MG

dGdM

GdG

MdM

SMG ==

( )( ) ( )

( ))s(KG1)s(KG1

1MG.

)s(KG1K)s(KGK)s(KG1S 22

MG +

+=

+−+

=

)s(KG11SM

G +=

Quanto maior for |KG(jw)| menos sensível se torna a função de transferência em cadeia fechada a variações de

parâmetros no sistema a controlar, G(s)

FT emcadeia fechada




– a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto possível dos valores desejados expressos pela referência, ou seja o erro deveser pequeno



• Estabilidade


• Robustez de estabilidade – Relativamente à variação de parâmetros


• Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordempor um modelo mais simples de 2ª ordem

REQUISITOS USUAIS



Erro em Regime Estacionário: exemplo

Exemplo motivador

sistema de controlo detemperatura de uma sala

)s(Gc )s(Pcr +

_

f.t. da salaf.t. do controlador


temperaturaeerro

Dynamical Systems and Automatic ControlJ.L. Martins de Carvalho

A ‐ Controlador Proporcional

K)s(Gc =

K1K20+


1s1)s(P+

=

K120ess +

= erro em regime estacionário

)t(u 20)t(r =

Sem perturbação



Exemplo motivador


K)s(Gc = controlador P ( proporcional )

1K =

2K =

5K =

sse

sse sse

o erro em regime estacionário diminui com oaumento do ganho do controlador

Como levar o erro para zero ?



Exemplo motivador



B ‐ Controlador Integral

sKI

cr +_ temperatura

e

sK)s(G I

c =

1s1P(s)+

=)t(u 20)t(r =

m

∫ σσ=t

oI d)(eK)t(m

)t(e K)t(m I=&

Em regime estacionário

tetanconsmss = 0)(m =∞& 0ess =

0e Se ss > 0)t(m >& ↑)t(m ↑∞)(c ↓−= crecontradição

O erro em regime estacionário constante



Exemplo motivador



B ‐ Controlador Integral

sKI

cr +_ temperatura

perturbação

e

sK)s(G I

c =

1s1P(s)+

=)t(u 20)t(r =

m

sem perturbação com perturbação

++



Exemplo motivador



Controlador Proporcional e Controlador Integral

)t(u 20)t(r =

)s(Gc )s(Pcr +

_

e

sK)s(G I

c =

m

K)s(Gc = controlador proporcional

controlador integral contribuiu com um pólo na origem na cadeia de acção

1KK I == 3KK I ==

com controlador Pcom controlador P

com controlador Icom controlador I

Com o controlador Integral

• O erro em regimeestacionário é nulo

• ... Mas o sistema torna‐se mais lento

• ... E o transitório émais oscilatório

1s1)s(P+

=



Exemplo motivador



Controlador Proporcional Integral (PI)

1s1)s(P+

=1K )s(Pcr +

_e m

s/K2

+

+

sKK)s(G 2

1c +=controlador

proporcional

integral (PI)s

KsK)s(G 21c

+=

1 pólo na origem e 1 zero

3K1 =

5K2 =

5K3K

2

1

=

=com controlador I

com controlador PI

com controlador P

)t(u 20)t(r =


Erro em Regime Estacionário: Definição

• ERRO = diferença entre a entrada de referência, r(t), e a saída, c(t).

Retroacção unitária

• ERRO em regime estacionário

)t(c)t(r)t(e −=

)t(e limetss ∞→

=

R(s) C(s)G(s)+

_

E(s)

sinal de erro

)s(E)s(G)s(R)s(C)s(R)s(E −=−=

)s(R)s(G1

1)s(E+

=

R(s) C(s)Gc(s)

+

_

E(s)P(s)

Análise vai ser feita apenas parasistemas estáveis

para retroacção unitária


Erro em Regime Estacionário: DesignaçãoSinais deTeste

Erro de ACELERAÇÃO

Erro de POSIÇÃO

Erro de VELOCIDADE

R(s) C(s)G(s)+

_

E(s)

posição

sistema de controlo de posição

designação

habitu

aldo

erro

correspo

ndente

r(t)=rampa

r(t)=parábola

variação linear da posição

pretende‐se que o sistemaapresente umavelocidade constante

variação linear da velocidade

pretende‐se que o sistemaapresente umaaceleração constante

Justificação para a designação


Erro Estático de Posição

)s(R)s(G1

1)s(E+

=

entrada escalão

)t(u)t(r =s1)s(R =

)s(sElim)t(elime0stss →∞→

==

Por aplicação do Teor. Valor Final

)s(Glim11

)s(G11lime

0s0sss

→→ +

=+

=

ganho de baixa frequência da f.t. em cadeia aberta

erro estático de posição

Valor pararetroacção unitária

G(s) ( FT cadeia aberta) com pelo menos um pólo na origem

)s(Glim0s→

∞=→

)s(Glim0s

• Se finito, o erro não é nulo• Para que o erro seja nulo

)s(GlimK0sp →

=

coeficiente de erro estático de posição

pss K1

1e+

=

O sistema em cadeia fechada deve ser, pelo menos, de tipo 1


Tipo de um Sistema

• m zeros• n pólos• N pólos na origem

R(s) C(s)G(s)+

_

E(s)

)ps)...(ps)(ps(s)zs)...(zs)(zs(K)s(GNn21

Nm21

−++++++

=

O sistema em cadeia fechada é de tipo N

O tipo de um sistema (em

cadeia fechada)

número de pólos na origem da

função de transferência em

cadeia aberta (ganho de malha)

=

FT em cadeia aberta


Erro Estático de Posição

pss K1

1e+

=

Sistema de tipo 0

Sistema de tipo N≥1

.constKp =

∞=pK 0)(ep =∞

pp K1

1)(e+

=∞

entrada escalão erro estático de posição



Erro Estático de velocidade

)s(R)s(G1

1)s(E+

=

)t(tu)t(r =

2s1)s(R =


==Por aplicação do Teor. Valor Final

)s(sGlim1

s1

)s(G11slim)(e

0s

20sv

→→

=+

=∞

)s(sGlimK0sv →

=

coeficiente de erro estático de velocidade

vv K

1)(e =∞

Sistema de tipo 0 0Kv = ∞=∞)(ev

Sistema de tipo 1 constKv =v

v K1)(e =∞

Sistema de tipo N≥2 ∞=vK 0)(ev =∞


entrada rampa erro estático de velocidade


Erro Estático de aceleração

)s(R)s(G1

1)s(E+

= )s(sElim)t(elime0stss →∞→

==Por aplicação do Teor. Valor Final


entrada parábola erro estático de aceleração

)t(ut21)t(r 2=

3s1)s(R = )s(Gslim

1s1

)s(G11slim)(e 2

0s

30sa

→→

=+

=∞

)s(GslimK 2

0sa →=

coeficiente de erro estático de aceleração

aa K

1)(e =∞

Sistema de tipo 0, 1 0Ka = ∞=∞)(ea

Sistema de tipo 2 constKa =a

a K1)(e =∞

Sistema de tipo N≥3 ∞=aK 0)(ea =∞


Erros em Regime Estacionário: resumo

R(s) C(s)G(s)+

_

E(s)


==

escalão rampa parábola

pK11+

0

0 0

vK1

aK1

∞ ∞

∞

entrada

tipo dosistema

0

1

2

1s1)s(G+

=)1s(s

1)s(G+

=)1s(s

5.0s)s(G 2 ++

=

Resposta do sistema em cadeia fechadaTipo 0 Tipo 1 Tipo 2


Especificações

O valor do erro em regime estacionário é usado, correntemente, como especificação de controlo

R(s) C(s)+

_

E(s))8s)(7s)(6s(s

)5s(K+++

+

exemplo

Requisito

Determinar o valor de K por forma a que o erro estático de velocidade seja de 10%

1.0K1)(e

vv ==∞

8x7x6K5)s(sGlim10K

0sv ===→

672K =

Usando o critério de Routh‐Hurwitz pode confirmar‐se que, para este valor de K, osistema em cadeia fechada é estável


Erro com retroacção não unitária

Retroacção não unitária

)s(R)s(H)s(G1

)s(G)s(R)s(C)s(R)s(E+

−=−=

R(s) C(s)G(s)

+

_

Ea(s)

H(s)

não é o sinal de erro e(t)=r(t)‐c(t)

)s(R)s(H)s(G1

)s(G)s(H)s(G1)s(E+

−+=

R(s) C(s)G(s)+

_

Ea(s)

H(s) ‐1

+

_

sinal de erro

R(s) C(s)+

_

E (s)

)s(G)s(H)s(G1)s(G−+

)s(Ge

A análise do valor estacionário do erro para este sistema (sem retroacção unitária)

pode ser feita, com a metodologia derivada antes, para este outro que tem retroacção unitária

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