cap17

ELETROMAGNETISMO II 153

A formulao completa das equaes de Maxwell s ser possvel quando estudarmos os campos eletromagnticos variveis no tempo. Por enquanto, vamos fazer uma abordagem inicial destas equaes, apenas para campos invariantes no tempo. Este captulo tem por objetivo resgatar os conceitos apresentados at o momento e formul-los de uma forma mais concisa, de modo que permita uma melhor compreenso dos fenmenos j estudados. Em seguida formularemos as equaes de Poisson e de Laplace, deduzidas a partir das equaes de Maxwell.

17 EQUAES DE MAXWELL, POTENCIAL MAGNTICO E EQUAES DE CAMPO 17.1 AS QUATRO EQUAES DE MAXWELL PARA CAMPOS ELTRICOS E MAGNTICOS

ESTACIONRIOS Como pudemos observar em todo o desenvolvimento deste curso, as leis bsicas do eletromagnetismo foram formuladas por cientistas do sculo XIX, a partir da observao de fenmenos eltricos e magnticos, complementadas por pesquisas experimentais. Com o auxlio das tcnicas empregadas em clculo diferencial e integral, essas equaes receberam uma apresentao formal, mais elegante e sofisticada. Esse trabalho devido a James Clerk Maxwell, cientista ingls que deu origem a um famoso grupo de equaes conhecido por Equaes de Maxwell. As equaes de Maxwell podem ser escritas tanto na forma integral, como na forma diferencial. Na verdade, o grupo de equaes de Maxwell, na sua forma integral, nada mais do que a expresso de leis e conceitos j conhecidos e estudados de campos eltricos e magnticos. Na forma integral, para campos invariantes no tempo, j conhecemos as expresses:

(C)dvSdD.vs = rr (17.1)

0LdE

L= rr (17.2)

)A(SdJLdH

SL = rrrr (17.3)

0SdBS

= rr (17.4) A equao (17.1) a lei de Gauss para a eletrosttica, mostrando que o fluxo total que atravessa uma superfcie fechada corresponde carga eltrica lquida por ela envolvida. Em seguida, a equao (17.2) mostra que a integral de linha do campo eltrico esttico sobre um caminho fechado nula, numa clara aluso lei de Kirchhoff para as malhas em circuitos eltricos em corrente contnua. Em seguida a equao (17.3) expressa a lei circuital de Ampre onde a integral de linha do campo magntico esttico sobre um caminho fechado corresponde corrente eltrica enlaada por este percurso. Finalmente, a equao (17.4) mostra que o fluxo total do campo magntico sobre uma superfcie fechada nulo e demonstrado a inexistncia de cargas magnticas isolada. A simples aplicao dos teoremas de Stokes e da Divergncia permite que as equaes de Maxwell sejam expressas na sua forma diferencial ou pontual. Assim, pela ordem:

= Dr (17.5)

0E= r (17.6)

UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino


)m/A(JH 2

rr = (17.7)

0B= r (17.8) Utilizando as identidades e relaes vetoriais j vistas (gradiente, divergente, rotacional, teorema da divergncia, teorema de Stokes), qualquer dos conjuntos de equaes pode ser obtido, a partir do outro. A interpretao fsica dada para as equaes (17.1) e (17.5) a de que podem existir cargas eltricas isoladas e que o fluxo eltrico total que atravessa uma superfcie fechada igual carga total (lquida) por ela envolvida. A segunda dupla, ou seja, as equaes (17.2) e (17.6), nos dizem que o campo eltrico estacionrio de natureza conservativa. As equaes (17.3) e (17.7) da terceira dupla informam que a corrente total que atravessa uma superfcie aberta igual integrao do vetor intensidade de campo magntico ao longo do contorno (caminho fechado) que envolve essa superfcie. Passando ao limite, quando essa superfcie aberta tende a zero, a circulao do vetor intensidade de campo magntico nos fornece a densidade e a direo da corrente eltrica naquele ponto. Por fim, a quarta dupla, formada pelas equaes (17.4) e (17.8), de uma forma elegante mostra que no possvel a existncia de plos magnticos isolados; eles sempre ocorrem aos pares. A estas equaes adicionamos as expresses relacionando o vetor densidade de campo eltrico, D

r

com o vetor intensidade de campo eltrico, Er

e o vetor densidade de campo magntico, Br

com o vetor intensidade de campo magntico, H

r. So as chamadas de relaes constitutivas, definidas por:

)m/C(ED 2

rr = (17.9)

)m/Wb(HB 2rr = (17.10)

Onde a permissividade eltrica do meio e a permeabilidade magntica do meio. O conjunto formado pelas equaes de Maxwell, mais essas duas ltimas relaes, constituem o cerne da teoria eletromagntica. Deve-se salientar que as equaes aqui apresentadas referem-se a campos eletrostticos e magnetostticos (no variantes com o tempo). Veremos mais tarde as equaes de Maxwell tambm formuladas matematicamente para englobar campos eltricos e magnticos variantes no tempo. 17.2 O VETOR POTENCIAL MAGNTICO Sabemos que as linhas de fora do campo magntico so fechadas em si mesmas. Desta forma, o fluxo magntico resultante que atravessa uma superfcie fechada ser sempre nulo, ou seja, o numero de linhas de campo que entram na superfcie igual ao numero de linhas que dela saem. Matematicamente:

0B= r (17.11) Por outro lado, existe uma propriedade do clculo vetorial que garante que o divergente do rotacional de qualquer funo vetorial igual a zero. Matematicamente:

0)A( = r (17.12)



Uma vez que tanto a equao 17.11 como a equao 17.12 so verdadeiras em qualquer circunstncia, podemos escrever:

ABrr = (17.13)

Vamos definir a funo A

r como o vetor potencial magntico, expressa em Wb/m no Sistema

Internacional de Unidades. O vetor potencial magntico uma funo matemtica sem nenhum significado fsico (pois, ao contrrio da eletrosttica, no existem cargas magnticas isoladas). A sua definio provm do clculo vetorial, que afirma que o divergente do rotacional de qualquer funo vetorial nulo. possvel encontrar expresses matemticas para o vetor potencial magntico em termos de uma integral envolvendo corrente (ou densidade de corrente), elementos diferenciais de comprimento (ou de superfcie, ou de volume) e as distncias dessas distribuies a pontos onde se deseja calcular o valor de A

r, como a equao 17.14, por exemplo.

= RLIdA 40

rr (17.14)

Essa expresso pode ser obtida a partir da lei de Biot-Savart, mas de uso bastante limitado em casos voltados prticos, com solues analticas bastante complexas e at mesmo impossveis. Entretanto, o conceito do vetor potencial magntico ser utilizado para formular as equaes de campo que servem como ponto de partida para o clculo de campos eltricos e magnticos por mtodos numrico-computacionais. 17.3 EQUAES DE POISSON E DE LAPLACE 17.3.1 Para a Magnetosttica A lei de Ampre para campos eletromagnticos estticos na sua forma pontual informa que:

JHrr = (17.15)

ou ainda pela relao constitutiva da equao (17.10):

JBrr =

(17.16)

A definio do vetor potencial magntico em (17.13) faz com que a expresso acima fique:

J)A1(rr = (17.17)

Consideremos que o nosso problema tenha um comportamento bidimensional, ou seja, o potencial magntico s possui a componente na direo z e s varia nas direes x e y, ou seja, Ax = Ay = 0 e

0zAz = . Isso pode ser ilustrado pela figura 17.1.



AzBx

By

x

y

B

Figura 17.1 Campo magntico com comportamento bidimensional. Consideremos ainda que o vetor densidade de corrente J

r, neste caso, s possui a componente em

relao ao eixo z deste sistema cartesiano de coordenadas. Desenvolvendo os rotacionais da equao (17.19) com essas simplificaes em mente chegaremos expresso:

J

yA

yxA

x=

+

(17.18)

em que a relutividade, ou seja, o inverso da permeabilidade magntica do meio. Se o meio no for linear, ter dependncia sobre a induo magntica B e vice-versa. A equao (17.18) uma equao diferencial no linear, mais conhecida como funo Quase-Poisson (ou equao de Poisson no linear). Se a relao entre B e H for linear, pode ser isolado na equao (17.18), recaindo na equao de Poisson, dada abaixo.

JJ

yA

yxA

x==

+

(17.19)

Se o meio for desprovido de correntes, a equao (17.19) se reduzir equao de Laplace onde:

0

yA

xA

2

2

2

2=

+ (17.20)

A soluo da equao (17.18) permite o conhecimento do campo magntico em qualquer ponto de um circuito magntico no linear, como o caso de mquinas eltricas e transformadores. Entretanto esta equao no possui uma soluo analtica conhecida. Por essa razo, a nica maneira de determinar o campo magntico por recursos atravs de mtodos numricos. As equaes (17.19) e (17.20), se aplicadas em meios homogneos e regulares permitem obter solues analticas, porm extremamente complexas. Caso os meios no forem homogneos, ou as condies de contorno no forem simples, tambm no possvel obter solues analticas para as mesmas. 17.3.1.1 Soluo da Equao de Poisson Pelo Mtodo dos Elementos Finitos O apndice A apresenta o programa FEMM, para clculo de campos eletromagnticos, baseado no Mtodo dos Elementos Finitos. Texto extrado do relatrio de iniciao cientfica da aluna Thais Marques.



17.3.2 Para a Eletrosttica A obteno da Equao de Poisson para a eletrosttica extremamente simples. A partir da forma pontual da lei de Gauss:

= Dr (17.21)

Sabendo que

EDrr = (17.22)

e sabendo tambm que o campo eltrico E

r determinado pelo gradiente negativo dos potenciais

eltricos, tem-se que:

VE =r (17.23) Substituindo (17.23) e (17.22) em (17.21) vem:

= )V( (17.24) Ou ainda, considerando a isotropia do meio ( constante):

= V2 (17.25)

Essa a equao de Poisson para a eletrosttica, vlida para uma regio onde a permissividade eltrica do meio constante. Expandindo-a em coordenadas cartesianas temos:

=

++

= 22

2

2

2

22

zV

yV

xVV (17.26)

Se o meio no possuir cargas livres, ou seja, se for igual a zero, a equao (17.26) recair na equao de Laplace abaixo:

0

zV

yV

xVV 2

2

2

2

2

22 =

++

= (17.27) Note que a operao chamada de Laplaciano de V, traduzindo o divergente do gradiente da funo potencial escalar V. Em coordenadas cilndricas a expresso para a equao de Laplace :

V2

0

zVV

r1

rVr

rr1V 2

2

2

2

22 =

++

= (17.28)

Em coordenadas esfricas o laplaciano de V :

0V

senr1Vsen

senr1

rVr

rr1V 2

2

2222

22 =

+

+

= (17.29)

Tendo em vista que a equao de Poisson considera as caractersticas condutivas e dieltricas do meio, a equao de Laplace um caso particular para um meio desprovido de cargas eltricas livres.



17.4 EXEMPLOS DE SOLUO ANALTICA DA EQUAO DE LAPLACE PARA CAMPOS ELETROSTTICOS As equaes de campo obtidas na seo anterior so equaes diferenciais onde as solues analticas s so possveis para problemas particulares, muito simples. Os meios devem ser homogneos e lineares, bem como a geometria de tratamento bastante simples. Nesta seo apresentaremos uma maneira para se obter a soluo analtica da equao de Laplace em uma e duas dimenses. Solues para casos onde a equao de Laplace s apresenta derivadas em relao a uma direo so apresentadas nos dois exemplos a seguir. Exemplo 17.1 Considere um capacitor de placas paralelas, de rea 100 cm2 e distncia entre as placas 0.01 m. Sabe-se que a placa inferior est no potencial zero e a placa superior no potencial 100 V. Utilizando a equao de Laplace, determine a distribuio de potencial entre as placas, desprezando o espraiamento das linhas de fora do campo eltrico estabelecido. Soluo: O problema pede na verdade o campo eltrico estabelecido entre as placas. Neste caso, podemos desconsiderar o efeito das bordas ou o espraiamento das linhas de campo visto que a distncia entre as placas planas muito menor do que a rea delas. Assim o nosso problema recai no clssico capacitor de placas planas paralelas e infinitas, representado pela figura 17.2. No h variao do potencial nas direes y e x, mas apenas na direo z. Portanto a equao de Laplace se reduz a:

0dz

Vd2

2=

z1

z

y

V = 0

V = 100 V

Figura 17.2 - Capacitor de placas paralelas. Pelo fato da segunda derivada de V em relao a z ser zero, a primeira derivada deve ser igual a uma constante. Desta forma:

1CdzdV =

ou:

dzCdV 1= Integrando, temos:

= dzCdV 1

21 CzCV +=



As constantes C1 e C2 so determinadas em funo das condies de contorno impostas para o problema. Neste caso, podemos definir:

0V0z == e volts100Vm01,0z == Portanto:

0CC00 22 =+=

10000CC01,0100 11 == Tendo os valores de C1 e C2 na equao da soluo temos para a funo potencial:

)V(z10V 4= O campo eltrico entre as placas ser ento determinado pelo gradiente dos potenciais onde

VE =r . Assim,

z4 a10E =r

Sendo, portanto, constante de mdulo igual a V/d, como era de se esperar. Exemplo 17.2 Calcule a distribuio da funo potencial eletrosttico na regio interna entre dois planos radiais, isolados por um gap infinitesimal, conforme ilustrado na figura 17.3.

Figura 17.3 Dois planos radiais infinitos com ngulo interior

Soluo: Para essa configurao, as superfcies equipotenciais so planos radiais ( 0zVrV == ), com interseco eletricamente isolada no eixo z. A equao de Laplace em coordenadas cilndricas se reduz a:

01 22

22 ==

Vr

V

Excluindo r = 0, teremos:

0V22

=



O que d como soluo

BAV += As condies de contorno permitem obter as constantes A e B: Para = 0, V = 0 B = 0. Para = , V = V0 V0 = A A = V0/. Portanto:

= 0VV (volts)

Para o caso bidimensional, seja a equao de Laplace escrita em funo de x e y:

0

yV

xV

2

2

2

2=

+ (17.30)

Esta uma equao diferencial a derivadas parciais de segunda ordem (possui derivadas de segunda ordem) e primeiro grau (no possui potncias alm da primeira). A equao (17.26) a maneira mais geral de se expressar a variao do potencial eletrosttico V em relao posio (x,y,z), no sendo especfica a nenhum problema em particular. Em outras palavras, para se resolver um problema em eletrosttica utilizando esta equao de um modo particular para cada caso, deve-se conhecer as condies de contorno do problema. Vamos resolver a equao (17.30), caso particular da equao (17.26), utilizando o mtodo da separao de variveis, onde assumimos que V pode ser expresso como o produto de duas funes F e G tal que: )y(G)x(F)y,x(V = (17.31) onde F funo apenas de x e G funo apenas de y. Tomando esta expresso do potencial e aplicando-a na equao (17.30), temos: ( ) ( ) ( ) ( ) 0

dyyGdxF

dxxFdyG 2

2

2

2=+ (17.32)

Dividindo esta equao por F(x) G(y),

( )( )

( )( ) 0

dyyGd

yG1

dxxFd

xF1

2

2

2

2=+ (17.33)

Tendo em vista que a soma destes dois termos resulta numa constante e que o primeiro termo independente de y e o segundo de x, cada qual ser uma constante. Ento, podemos escrever:

( )( ) 22

2a

dxxFd

xF1 = (17.34)

ou: ( ) ( )xFa

dxxFd 2

2

2= (17.35)



e, similarmente: ( ) ( )yGa

dyyGd 2

2

2= (17.36)

O problema agora consiste em achar a soluo para cada varivel separadamente (da o nome separao de variveis). A expresso dada em (17.35) mostra uma equao diferencial ordinria de 2 ordem e homognea cuja soluo geral obtida pelas razes do correspondente polinmio caracterstico. Desta forma, a soluo geral para a equao (17.35) : ( ) ax2ax1 eAeAxF += (17.37) ou, de maneira equivalente: ( ) ( ) ( )axsenhCaxcoshCxF 21 += (17.38) onde C1 e C2 so constantes arbitrrias, obtidas a partir das condies de contorno do problema especfico. De maneira semelhante, a soluo geral apresentada para a equao (17.36) : ( ) jay4jay3 eAeAyG += (17.39) ou ainda, ( ) ( ) ( )aysenCaycosCyG 43 += (17.40) Qualquer termo em (17.37) uma soluo e a soma deles tambm uma soluo. Para verificar isso, basta substituir o valor de F da equao (17.38) na equao (17.35). Desta forma, a soluo geral da equao (17.31) fica:

( ) )eAeA()eAeA(y,xV jay4jay3ax2ax1 ++= (17.41) ou ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]aysenCaycosCaxsenhCaxcoshCy,xV 4321 ++= (17.42) As constantes A1, A2, A3 e A4, ou C1, C2, C3 e C4 sero determinadas em funo das condies de contorno do problema especfico em estudo. Exemplo 17.3 Calcule a distribuio da funo potencial eletrosttico na regio interna da calha retangular, conforme mostrada na figura 17.4.



Soluo:

d

c

z

V = 0

V =V0

V = 0

V = 0 x

Figura 17.4 Calha retangular (topo isolado). Este problema recai no caso onde os potenciais so como um produto de funes independentes onde V = F(z) G(x), cuja soluo geral j foi por ns discutida anteriormente. Podemos ento dizer que o potencial uma funo de x e de z sob a forma: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]axsenCaxcosCazsenhCazcoshCV 4321 ++=

As condies de contorno para este problema especfico implicam em:

V = 0 em x = 0, V = 0 em x = c, V = 0 em z = 0, V = V0 em z = d, As condies V = 0 em x = 0 e em z = 0 anulam os termos com C2 e C4, sendo requerido ento que as constantes C1 e C3 sejam nulas para que V seja igual a zero. Por outro lado, a condio V = 0 em x = c, leva-nos a concluir que a = n/c, onde n um nmero inteiro. Tendo C1 e C3 nulos a expresso geral contm apenas o produto C2C4 que substitudo por C faz com que a expresso para o potencial torne-se:

= xc

nsenzc

nsenhCV

Como n pode ser qualquer nmero inteiro, a expresso para V deve ser escrita na forma de uma srie infinita em que:

=

=1n

n xcnsenz

cnsenhCV

Para a condio V = V0 em z = d, teremos ento:

=

=1n

n0 xcnsend

cnsenhCV

O produto formado pelos dois primeiros termos resulta numa constante e a expresso acima pode ser assim escrita:

=

=1n

n0 xcnsenbV

Cada constante bn pode ser determinada como um coeficiente de uma srie de Fourier em seno (funo mpar) para f(x) = V0 constante com 0 < x < c. Desta forma,



dxxc

nsencV2dxx

cnsen)x(f

c2b

c

00

c

0n = =

= mparn

nV4

parn0b 0n

Da :

imparn/pd

cnsenh

1nV4C 0n

=

A funo potencial ser ento:

= imparn0 x

cnsen

dc

nsenh

zc

nsenh

nV4V

17.5 SOLUO DA EQUAO DE LAPLACE POR ITERAES NUMRICAS Na seo anterior apresentamos uma soluo exata para a equao de Laplace em um problema extremamente simples, para efeitos prticos. Apesar da simplicidade da configurao analisada, a soluo analtica j se mostrou bastante complexa. Configuraes mais complexas tornam a soluo analtica extremamente difcil, e, na maioria dos casos, impossvel. por essa razo que a soluo de problemas envolvendo as equaes de Poisson e Laplace, na maioria dos casos prticos, s possvel com o uso de mtodos numricos. Mtodos numricos permitem uma soluo aproximada para o problema, de acordo com uma tolerncia pr-estabelecida. Para ilustrar a utilizao dos mtodos numricos, nesta seo vamos apresentar um mtodo bastante primitivo para a soluo numrica da equao de Laplace. Este mtodo serviu como ponto de partida para a formulao do mtodo das diferenas finitas, que em sua formulao no domnio do tempo, FDTD (Finite Difference Time Domain), largamente utilizado na soluo de problemas envolvendo campos eletromagnticos variveis no tempo. Para simplificar, a variao na direo z no existe e isso reduz o nosso problema a um domnio de campo bidimensional onde:

0

yV

xV

2

2

2

2=

+ (17.43)

O primeiro termo na equao 17.43 a derivada parcial segunda de V em relao a x, isto , a taxa de variao em relao a x da taxa de variao de V em relao a x. Idem para o 2 termo, em relao a y. Vamos reescrever a equao 17.43 da seguinte maneira:

yy

V

xx

V

=

(17.44)

Considere agora uma distribuio bidimensional de potenciais em torno de um ponto P, como mostrado na figura 17.5. Seja o potencial no ponto P igual a V0, e os potenciais nos quatro pontos em torno dele iguais a V1, V2 V3 e V4, conforme mostrado. Vamos agora substituir as derivadas na equao 17.46 por diferenas do tipo (VP - V1)/x (neste caso especfico, esta a inclinao da curva de V entre os pontos P e 1). A diferena das inclinaes, dividida pela distncia incremental x aproximadamente igual a 2V/x2. A equao de Laplace pode agora ser reescrita como:



yyVV

yVV

xxVV

xVV 4PP31PP2

(17.45)

P

VP

4

2 1

3

V1 V2

V4

V3

y x x

y

figura 17.5 - Construo para encontrar o potencial em P.

Considerando x = y, teremos a seguinte simplificao geomtrica:

0V4VVVV P4321 +++ (17.46) ou:

)VVVV(

41V 4321P +++ (17.47)

Se conhecermos o potencial nos pontos 1, 2, 3 e 4, podemos calcular o potencial no ponto P de acordo com a equao 17.47. Em outras palavras, o significado fsico da equao de Laplace que o potencial em um ponto simplesmente a mdia dos potenciais dos quatro pontos que o circundam, a uma mesma distncia. Exemplo 17.4 Pela configurao mostrada na figura 17.6, a placa superior est a um potencial de 40 V e isolada. O perfil em forma de U est no potencial zero. Calcular a distribuio de potenciais para esta configurao, utilizando o mtodo de soluo repetitiva da equao de Laplace. Soluo:

Gap Gap

No centro do quadrado o valor de V ser

40 V

Fig 17.6 - Configurao do exemplo 17.4

0 0

0



)V(104

00040 =+++ O potencial no gap ser a mdia aritmtica entre o potencial na placa superior e o potencial nulo:

V202

040 =+

20 V

0 0

40 V

0

10 V

20 V

Fig 17.7 - 1 clculo do potencial O valor do potencial no centro dos novos quadrados ser:

)V(5,174

0012040 =+++

)V(5,24

00100 =+++ Refinando e calculando novamente, os potenciais nos quadrados internos teremos:

V5,74

05,25,1710 =+++ , V25,214

105,175,1740 =+++ , V75,34

1005,25.2 =+++

20

20

0

40 V

0 0 10 V

2.5

17.5 17.5

2.5

20 V 20 V

17.5 17.5

2.5

40

0 0

21.3

0

10 V

2.5

7.5 7.5

3.8

0 0 0 0

0

0

0

0

0 0

40 40



Fig. 17.8 - 2 clculo do potencial Fig. 17.9 - 3 clculo do potencial

Os clculos de potenciais podem prosseguir indefinidamente. quanto maior for o nmero de potenciais calculados por esse processo, maior ser a preciso. Finalmente, a figura 17.10 apresenta um grfico com o mapeamento dos potenciais eletrostticos. Cada linha representa um valor de potencial (30, 20, 15, 10, 5 e 2,5 V)

Fig. 17.10 - Mapeamento dos potenciais eletrostticos Neste captulo apresentamos exemplos com problemas resolvidos tanto pela soluo analtica da equao de Laplace como tambm pela soluo numrica. A soluo analtica das equaes de Laplace e de Poisson se restringe a casos onde a geometria bastante simples e por isso ela no muito utilizada. A soluo numrica dessas equaes bastante comum e mtodos bastante avanados j foram desenvolvidos. Apesar de termos realizados exemplos de eletrosttica, o mesmo procedimento realizado no caso de campos magnticos, onde as complexidades de geometria e as no linearidades em meios magnticos impem algumas dificuldades adicionais. A resoluo geral das equaes de Poisson ou de Laplace implica num conjunto de equaes onde cada problema tem definida a sua soluo particular em funo das condies de contorno impostas para cada caso. Chamamos tambm a ateno para a existncia de valores intermedirios onde os potenciais determinados estaro entre os valores mximo e mnimo impostos pelas condies de fronteira ou de contorno. Literatura Adicional Sobre o Assunto: Eletromagnetismo, J. A. Edminister, captulo 8. (Disponvel na Biblioteca).

Eletromagnetismo, J. D. Krauss, Captulo 7. (Disponvel na Biblioteca).

Eletromagnetismo, W. H. Hayt Jr, Captulo 7. (Disponvel na Biblioteca).

0

0

0

0

3.8

17.5 17.5

2.5

0 0

20 40 40

7.5

0 0

40 20

7.5

21.3

2.5

10 V 0

0

0

0

0



EXERCCIOS 1) - Calcule a distribuio da funo potencial eletrosttico na regio entre dois cones condutores,

conforme ilustrado na figura 17.11. Em 1 o potencial vale V0, e em 2 o potencial vale 0. Os vrtices dos cones so isolados em r = 0. Em seguida calcule o potencial para = 20, e o valor de para o qual V = 50 V.

figura 17.11 figura do problema 1

2) Em coordenadas esfrica V = 865 V em 4 = 50 cm e a intensidade de campo eltrico vale

748,2r V/m em r = 85 cm. Determine a localizao da referencia de tenso se a funo potencial depende apenas de r.

3) Dado o campo potencial = cosdrV),r(V 0 , mostre que este satisfaz a equao de Laplace se a

regio for dada em coordenadas cilndricas. Por outro lado, mostre tambm que a mesma funo potencial no se aplica se a regio for expressa em coordenadas esfricas e desprovida de cargas livres.

4) - Quatro placas de 20 cm de largura formam um quadrado, conforme indicado na figura 3. se as

placas so isoladas entre si, e esto submetidas aos potenciais indicados, encontre o valor do potencial nos pontos a e b, indicados na figura.

5 cm

40 V 20 V

30 V

10 V

a

15 cm10 cm

5 cm

b

gap = 1 mm

figura 17.11 - figura do problema 1 5)- Encontre o valor do potencial V nos pontos P1 e P2 da configurao figura 17.2.



P2 9 cm

3 cm

9 cm

3 cm P1

V = 100

V = 0

Figura 17.12 figura do problema 5

6) Encontre uma expresso para V0 na figura 17.13, em funo de V1, V2, V3 e V4, sabendo

que h1, h2, h3 e h4 so diferentes entre si.

P

V0

4

2 1

3

V1 V2

V4

V3

h2 h1

h4

h3


7) Estime o potencial no ponto A da figura 17.14, com 1 V de resoluo.


8) Estime o potencial eletrosttico nos sete pontos demarcados da figura 17.15 usando uma grande com h = 1 cm. Em seguida refaa os clculos com h = 0.5 cm


Apndice A O PROGRAMA FEMM

A.1.1 - CARACTERSTICAS GERAIS DO PROGRAMA

A modelagem e simulao das grandezas eltricas e magnticas foi feita utilizando-

se o software FEMM (Finite Elements Method Magnetics) verso 4.2, que calcula campos

eletromagnticos em uma formulao bidimensional, utilizando o mtodo dos elementos

finitos. O programa est disponvel para download em http://femm.berlios.de.

O mtodo dos elementos finitos pode ser utilizado na soluo de equaes

diferenciais que no possuem solues analticas como o caso do presente trabalho,

pois campos eletromagnticos em meios no homogneos so descritos pela equao de

Poisson no linear, e pela equao de difuso. A idia principal consiste em segmentar o

domnio em um grande nmero de pequenas regies (neste caso, tringulos), onde o

problema apresenta uma variao mais homognea. As equaes diferenciais so

substitudas por outro tipo de equao (neste caso, funcionais de energia), que podem ser

discretizadas atravs do uso de tcnicas prprias do mtodo, resultando em gigantescos

sistemas de equaes algbricas que podem ser resolvidas por tcnicas de soluo de

sistemas matriciais esparsos.

Atravs do processo de discretizao formado um problema de lgebra linear com

milhares de variveis, como mostra a figura 4, isso seria impossvel de resolver sem o

auxlio de processadores os quais atravs de algoritmos so capazes de resolver o

problema em pouco tempo.

Figura A1: Variveis de entrada e sada de um software de simulao por elementos finitos para

materiais magnticos.

O FEMM dividido em trs partes:

Interactive Shell interface mltipla com pr e ps-processamento para os diversos

tipos de problema. Serve para definir as propriedades dos materiais a serem utilizados e

condies de contorno. Utiliza uma interface CAD (Computer Aided Designed).

Triangle.exe subdivide a regio a ser analisada em um nmero grande de tringulos.

Solvers So algoritmos para soluo de problemas magnticos e eletrostticos. Cada solver utiliza os dados configurados que descrevem o problema para resolver

as equaes diferenciais de Maxwell obtendo os valores de campo desejado.

A seo Interactive Shell do FEMM dividida em outras subsees: problemas

magnticos, eletrostticos, fluxo de corrente e de fluxo de calor para pr e ps-

processador.

O pr-processador utilizado para desenhar as geometrias do problema, definio

de materiais e definio das condies de contorno. Um novo objeto do pr-processador

pode ser criado selecionando-se File|New no menu principal e ento escolhendo-se o

tipo de problema desejado.

A edio da geometria do problema normalmente consiste de quatro tarefas:

Insero dos pontos, linhas e segmentos de arcos que iro formar o desenho.

Conectar os pontos com as linhas ou segmentos de arco.

Adicionar os marcadores Block Label em cada seo do desenho para definir as

propriedades do material e definir o tamanho da malha a ser criada em cada seo.

Especificar os problemas de contorno nas extremidades exteriores da geometria.

No ps-processador a funcionalidade do FEMM visualizar as solues geradas

pelo solucionador fkern. Uma janela de ps-processador de problema magntico,

eletrosttico, fluxo de calor ou de corrente pode ser aberta tambm ao carregar uma

anlise anterior atravs do menu principal em File|Open, ou clicando no cone na

janela do pr-processador para visualizar a soluo gerada. Problemas magnticos tem

arquivos de dados armazenados com o prefixo .ans, eletrostticos com o prefixo .res e de

fluxo de calor ou de corrente .anh.

A1.1.1 - Pr-processador

Inicialmente, para que o software possa realizar a simulao desejada, deve-se

introduzir todos os dados do problema.

Como mostra a figura 5, deve-se definir o tipo de simetria (planar ou axial), a

unidade de comprimento, freqncia, profundidade, preciso e ngulo interno em cada

elemento.

Figura A2 Definio das caractersticas do problema

Aps a definio dessas caractersticas bsicas, passa-se edio da geometria do

problema. A insero de pontos, linhas e segmentos de arco feita utilizando-se cones

ilustrados na figura 6.

Figura A3 Menu de edio do FEMM

A insero de pontos pode ser feita clicando-se a tecla esquerda do mouse sobre a

posio desejada, ou por meio de uma janela que ativada atravs da tecla Tab,

conforme ilustrado na figura 7.

Figura A4 Entrada de um ponto

Aps a insero de pontos, a definio de segmentos de reta e arcos feita de

forma bastante simples.

A figura 8 apresenta uma geometria completa de um problema simples, definido por

uma bobina solenoidal, no espao livre, com condio de contorno tipo ABC (Absorbing

Boundary Condition).

Figura A5 Geometria de um problema simples

Ainda na fase de pr-processamento, com a geometria definida, devem ser

adicionados na biblioteca do programa os materiais a serem utilizados (figura 9) e editar

suas propriedades (figura 10).

Figura A6 Biblioteca de materiais

Figura A7 Definio das caractersticas de um novo material Ferro puro

Aps a insero da geometria e definio das propriedades dos materiais,

possvel definir o tipo de cada regio (bloco). Isso ilustrado pela figura 11, que define

como sendo um condutor AWG o constituinte da regio apresentada. A definio das

propriedades desse bloco feita atravs de uma janela, conforme tambm ilustrado.

Figura A8 Propriedades de um material

Aps o desenho da geometria e definio dos tipos de materiais em cada bloco,

deve-se, finalmente, definir os tipos de condies de contorno. Isso ilustrado pela figura

12, que indica como sendo Absorbing Boundary Condition o tipo de condio de

contorno para o arco selecionado.

Figura A9 Definio das condies de contorno

Com todas as entradas necessrias definidas possvel gerar a malha com os

elementos finitos. Esta a etapa em que ocorre o processo de discretizao.

Na discretizao ilustrada foi gerada uma malha com 10442 ns (figura 13).

Figura A10 Discretizao da geometria em elementos triangulares de primeira ordem

A1.1.2 - Processador Na fase de processamento, aps o pr-processamento (definio de parmetros,

geometrias e condies de fronteira) o sistema de equaes gerado e resolvido atravs

dos mtodos numricos j citados.

Esta etapa pode ser acompanhada atravs da janela que aparece no programa. A

figura 14 mostra a soluo do problema harmnico de 10442 ns, 20461 elementos e

preciso de 10-8. O sistema de equaes foi resolvido pelo mtodo dos gradientes

conjugados, com um tempo de processamento abaixo de 1 segundo.

Figura A11 Execuo dos clculos

A1.1.3 - Ps-Processador

Nesta etapa, possvel extrair e visualizar as solues geradas, dentre outras

maneiras, atravs de grficos de linhas de fluxo (figura 15a), mapas de densidades de

fluxo (figura 15b) e curvas com valores de campo (figura 16). Os resultados podem

tambm ser exportados para arquivos de texto, atravs da linguagem LUA, a ser descrita

mais adiante.

Figura A12 - Grficos de linhas de fluxo; 15b mapa de densidade de fluxo

Figura 1 Curva com valores de campo

Cap17_A.pdf Soluo:

apendice_cap17.pdf

cap17

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