cap. 6 – escoamento de fluidos incompressíveis e invíscidos 6.1 - equações de euler 6.2 -...
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Cap. 6 – Escoamento de fluidos incompressíveis e invíscidos
6.1 - Equações de Euler
6.2 - Equações de Euler em coordenadas de linha de corrente
6.3 – Equação de Bernoulli
6.4 – Relação entre equação da energia e a equação de Bernoulli
6.5 – Equação de Bernoulli para escoamento não permanente
6.6 – Escoamento irrotacional
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6.1 – Equação da quantidade de movimento para escoamento sem atrito
Equações de Euler :
z
uw
y
uv
x
uu
t
u
x
pgx
z
vw
y
vv
x
vu
t
v
y
pgy
z
ww
y
wv
x
wu
t
w
z
pgz
pgDt
VD
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Se a coordenada z for orientada verticalmente:
kz
zgkgg
k00kz
zj
y
zi
x
zzzgrad
pgDt
VD
pzgDt
VD
p
zgDt
VD
V.Vt
V
Dt
VDpzg
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r
V
z
VV
V
r
V
r
VV
t
Va
r
p1g
2r
zrr
rr
rr
r
VV
z
VV
V
r
V
r
VV
t
Va
p
r
1g r
zr
z
VV
V
r
V
r
VV
t
Va
z
p1g z
zzz
rz
zz
Em coordenadas cilíndricas, as três componentes da equação de Euler são:
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6.2 – Equações de Euler em coordenadas de linha de corrente
)t,s(VV
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dxdndsadxdndssengdxdn2
ds
s
ppdxdn
2
ds
s
pp s
sasengs
p
szsen
sas
zg
s
p1
)t,s(VV ss
s
VV
t
V
Dt
DVa s
sss
s
s
VV
t
V
s
zg
s
p1
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Para escoamento permanente, e desprezando forças de massa:
s
VV
t
V
s
zg
s
p1
0
s
VV
s
p1
Para obter a equação de Euler na direção normal às linhas de corrente:
dsdxdnadsdxdncosgdxds2
dn
n
ppdxds
2
dn
n
pp n
nacosgn
p
nzcos nan
zg
n
p1
R
Va
2
n R
V
n
zg
n
p1 2
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6.3 – Equação de Bernoulli – A integração da Equação de Euler ao longo de uma linha de corrente
6.3.1. - Dedução com o uso de coordenadas de linha de corrente:
0s
VV
s
zg
s
p1
Se uma partícula fluida mover-se de uma distância ds:
dVdss
V
dzdss
z
dpdss
p
variação de pressão ao longo de s
variação de elevação ao longo de s
variação de velocidade ao longo de s
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0s
VV
s
zg
s
p1
0dVVdzg
dp
ctedVVdzgdp
(ao longo de s)
Para massa específica constante (escoamento incompressível) :
cte2
Vzg
p 2
Restrições: (1) Escoamento permanente(2) Escoamento incompressível(3) Escoamento sem atrito(4) Escoamento ao longo de uma linha de corrente
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6.3.2 - Dedução com o uso de coordenadas retangulares
V.Vz
Vw
y
Vv
x
Vu
Dt
VDpzg
(Regime permanente)
sd
(Distância ao longo de uma linha de corrente)
sd).V.V(sd.p)/1(sd.zg
)kdzjdyidx.(kz
pj
y
pi
x
p1sd.
p
dp
dzz
pdy
y
pdx
x
p1sd.
p
kdzjdyidxsd
Sendo tem-se:
gdz)kdzjdyidx).(kg(sd).zg(
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sd).V.V(sd.p)/1(sd.zg
fica :0dV
2
1dpgdz 2
VV)V.V(2
1V.V
Expressão obtido no
cálculo vetorial:
V
sd
E, uma vez que é paralelo a , 0VV
sd.V2
1sd.)V.V(
2
1sd.V.V 2
)kdzjdyidx.(kz
Vj
y
Vi
x
V
2
1sd.V
2
1 2222
2222
2 dV2
1dz
z
Vdy
y
Vdx
x
V
2
1sd.V
2
1
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6.3.3. – Definições de pressões estática, de estagnação e dinâmica
cte2
Vzg
p 2
2
Vzg
p
2
Vzg
p 20
00
2
0Vzz 00
0
2
Vpp
2
0
2
Vp
2
d
Pressão de estagnação :(Escoamento incompressível)
Pressão dinâmica :
)pp(
2V 0
Pressão de estagnação = Pressão estática + Pressão dinâmica
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Medição de pressão estática
Tomada de pressão na parede
Pequenos orifícios
Sonda de pressão no escoamento
Medição de pressão de estagnação
Tubo de Pitot
Medição de simultânea de pressão estática e pressão de estagnação
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Um tubo de Pitot inserido em um escoamento conforme mostrado.
O fluido é ar, e o líquido manométrico é mercúrio.
Problema exemplo:
Determinar: A velocidade do escoamento
cte2
Vzg
p 2
2
Vpp 20
ar
0 )pp(2V
h)(pp arHg0 hg)dd(pp O2HarHg0
O2Har
O2HarHg
d
hg)dd(2V
]s/m[6,80hg1d
d2V
ar
Hg
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cte2
Vzg
p 2
2
Vp
2
Vp 222
211
21 zz
2
V
2
Vpp 21
22atm1
2
2
122
22
21
22atm1
V
V1
2
V
V
V1
2
Vpp
2211 VAVAMassa.C.E 1221 A/AV/V
2
1
222ar
atm1 A
A1
2
Vpp
22
atm1 1,0
02,01
2
50x23,1pp
]m/N[476.1pp 2atm1
Determinar: p1 - patm
6.3.4 - Aplicações
Bocal (com ar)
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Determinar: (a) velocidade da água na saida (jato livre)(b) pressão no ponto A do escoamento
Sifão (com água)
2
Vgz
p
2
Vgz
p 22
22
21
11
atm21 ppp 0V1
2
V)zz(g
22
21 )]7(0[g2V2
]s/m[7,117x8,9x2V2
2
Vgz
p0
2
Vgz
p 2A
AA
21
11
2A2A VVAAMassa.C.E
2
Vzg
p0
22
AA
]kPa[4,78p relA 7xgzg
pA
A
0z1
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A avião voa a 150 km/h em uma altitude de 1000 m. Determine a pressão de estagnação na borda de ataque da asa. Em um certo ponto da asa (B) a velocidade relativa do ar à asa é 60 m/s. Calcule a pressão neste ponto.
2
Vp
2
Vp
2
Vp 2B
B
B2A
A
A20
0
0
]m/kg[11,123,1x9075,0 30
BA0
]kPa[85,893,101x887,0p0
]s/m[66,41]h/km[150V0
2
0p
2
Vp
A
A20
0
0
2
Vpp
20
00A
]kPa[81,902
66,4111,1850.89p
2
A
2
Vpp
2B
0AB
]kPa[8,882
6011,1813.90p
2
A
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6.4 – Relação entre a equação da energia e a equação de Bernoulli
Ad.Vp
et
dVeWWWQ
SC
VCoutros.cise
0WWW outros.cise Fazendo :
Ad.Vp
eQSC
Considerando regime permanente :
Ad.Vp
eAd.Vp
eQ21
Para um tubo de corrente:
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2222
222
221111
12
111 AV
p
2
VgzuAV
p
2
VgzuQ
mAVAVMassa.C.E 222111
mp
2
Vgzum
p
2
VgzuQ
2
222
221
12
111
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mp
2
Vgzum
p
2
VgzuQ
2
222
221
12
111
1
12
111
2
222
22
p
2
Vgzu
p
2
Vgzu
m
Q
m
Quu
p
2
Vgz
p
2
Vgz 12
2
222
21
12
11
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m
Quu
p
2
Vgz
p
2
Vgz 12
2
222
21
12
11
0quu 12 Processos reversíveis (isoentrópico) ideais:
0quu 12 Processos irreversíveis reais:
2
222
21
12
11
p
2
Vgz
p
2
Vgz Escoamento ideal sem perdas
(eq. de Bernoulli)
kg
J
massa
perdasp
2
Vgz
p
2
Vgz
2
222
21
12
11
Escoamento real
kg
Jq
m
Q
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2
2
2
222
21
12
11 s
mou
kg
Jp
2
Vgz
p
2
Vgz Eq. de Bernoulli
g
mHp
g2
Vz
p
g2
Vz
2
222
21
12
11
H
p
g2
V
z2
altura de carga devido a pressão estática local
altura de carga devido a elevação (ou cota)
altura de carga devido a pressão dinâmica
altura de carga total do escoamento
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Conceito de linha de energia e linha piezométrica
linha piezométrica:
representa a soma das alturas de carga de pressão estática
e de elevação.
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6.5 - Equação de Bernoulli para escoamento não permanente
Dt
VDpzg
sd.Dt
VDsd.
psd.zg
dst
Vds
s
VVds
Dt
DVsd.
Dt
VD sss
s
dst
VdVV
dpgdz s
ss
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6.6 – Escoamento irrotacional
Escoamento irrotacional é aquele onde os elementos fluidos não sofrem rotação
0kji zyx
0V0V2
1
0y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w
Coordenadas cilíndricas:
0V
r
rV
r
V
z
V
z
VV
r
1 rzrz
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6.6.2 – Potencial de Velocidade
Pode-se formular uma relação chamada função potencial, , para um campo de velocidade irrotacional. Usa-se a identidade vetorial fundamental abaixo, onde é uma função escalar:
0)grad(rotacional
V
Define-se função potencial , cujo gradiente é o campo de velocidade vezes menos um:
zw
yv
xu
Em coordenadas cilíndricas :
zV
r
1V
rV zr
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6.6.3 – Função Corrente e Potencial de VelocidadeEscoamento bidimensional, incompressível e invíscido :
Função corrente:x
vy
u
yv
xu
Potencial de velocidade:
0y
u
x
v
Condição de
irrotacionalidade:
0yx 2
2
2
2
0yx 2
2
2
2
0y
v
x
u
Conservação da
massa:
0yx 2
2
2
2
0yx 2
2
2
2
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Anteriormente mostrou-se que a função corrente é constante na linha de corrente:
0dyy
dxx
A inclinação de uma linha de corrente (uma linha de constante) é dada por: u
v
u
v
y/
x/
x
y
Ao longo de uma linha de constante, d = 0 :
0dyy
dxx
d
A inclinação de uma linha potencial (uma linha de constante) é dada por: v
u
y/
x/
x
y
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Exemplo: Considere o campo de escoamento dado pela função corrente expressa ao lado. Mostre que o escoamento é irrotacional e determine o potencial de velocidade para este escoamento.
)s3a(
ayax1
22
ax2x
)ayax(
xv
ay2y
)ayax(
yu
22
22
Componentes u e v do escoamento:
Se o escoamento é irrotacional z = 0.Condição de irrotacionalidade: 0a2a2
y
)ay2(
x
)ax2(
0y
u
x
v
escoamento é irrotacional
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yv
xu
Definição de Potencial de velocidade:
ax2vay2u Componentes u e v do escoamento:
x6y
y6x
yax2
xay2
)x(fxy6e)y(fxy6
como f(y) e f(x) devem ser iguais f(x)=f(y)=cte:
cxy6
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6.6.4 – Escoamentos planos elementares
0vUu
=0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada
UyUx
Escoamento Uniforme:
0Vr2
qVr
=0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada
2
qrln
2
q
Escoamento tipo Fonte (a partir da origem):
A origem é um ponto singularq é a vazão em volume por unidade de profundidade
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0Vr2
qVr
=0 (circulação igual a zero) em torno de qualquer curva fechada
2
qrln
2
q
Escoamento tipo Sorvedouro (na direção da origem):
A origem é um ponto singularq é a vazão em volume por unidade de profundidade
0Vr2
KV r
rln2
K
2
K
Vórtice irrotacional (anti-horário centro na origem):
A origem é um ponto singularK é a intensidade do vórtice