MEC 228 - Mecnica I

Cap 2 - Esttica das

Partculas (parte 1)

Livro texto: Mecnica Vetorial para Engenheiros Esttica (Beer e Johnston)

Prof : Angela Marquez

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Introduo

Mecnica - um ramo das cincias fsicas que trata do

estado de repouso ou movimento dos corpos sob a ao de foras. Em geral dividido em 3 reas: mecnica dos corpos rgidos, mecnica dos corpos deformveis e mecnica dos fluidos.

- Nessa disciplina estudaremos a mecnica dos corpos rgidos, que essencial para o projeto e a anlise de membros estruturais, componentes mecnicos ou dispositivos eltricos encontrados na engenharia.

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Introduo

Mecnica dos Corpos Rgidos Divide-se em duas reas:

Esttica Trata do equilbrio dos corpos que esto em

repouso ou em velocidade constante. Dinmica

Preocupa-se com o movimento acelerado dos corpos.

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Conceitos teis Quantidades Bsicas Comprimento

usado para localizar a posio de um ponto no espao e assim descrever o tamanho de um sistema fsico.

Espao Regio geomtrica ocupada por corpos cujas

posies so descritas por medidas lineares e angulares em relao a um sistema de coordenadas. Um ponto definido no espao por 3 coordenadas (x, y, z).

Tempo Medida da sucesso de eventos. Alm da posio no

espao, o instante em que ocorre cada evento deve ser conhecido.

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Conceitos teis

Quantidades Bsicas Massa

a medida da quantidade de matria que usada para comparar a ao de um corpo com a do outro.

Fora Representa a ao (puxo ou empurro) de um corpo

sobre o outro. Esta ao pode ser por contato ou a distncia (foras gravitacionais, foras eletromagnticas). A fora uma grandeza vetorial sendo, ento, representada por seu mdulo, direo e sentido.

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Conceitos teis

Modelos Partcula (ponto material)

Poro da matria que pode ser considerada como ocupando um nico ponto no espao (a sua forma e dimenso no so consideradas)

Corpo Rgido uma combinao de um grande nmero de

partculas que ocupam posies fixas relativamente umas s outras. O corpo se desloca como um todo, no h movimento relativo entre as partculas, portanto no h deformao. Ou seja, no se deforma sob ao de uma carga.

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Leis de Newton

Primeira lei

Uma partcula originalmente em repouso ou movendo-se

em linha reta, com velocidade constante, tende a

permanecer nesse estado, desde que no seja

submetida a uma fora em desequilbrio.

Segunda lei

Uma partcula sob ao de uma fora em desequilbrio F

sofre uma acelerao a que possui a mesma direo da

fora e intensidade diretamente proporcional a fora.

Terceira lei

As foras mtuas de ao e reao entre duas partculas

so iguais, opostas e colineares. 7

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Leis de Newton

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F= ma

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Sistemas de Unidade

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Prefixos

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Vetores de fora escalares e vetores Escalar: qualquer quantidade fsica positiva ou negativa que pode

ser completamente especificada por sua intensidade. Exemplos de

quantidades escalares incluem comprimento, tempo e massa.

Vetor: qualquer quantidade fsica que requer uma intensidade e uma direo para sua descrio. Exemplos de vetores encontrados

na esttica so fora, posio e momento. O vetor representado

por uma seta. O comprimento da seta representa a intensidade do

vetor e o ngulo entre o vetor e um eixo fixo determina a direo de

sua linha de ao. A ponta da seta indica o sentido da direo do

vetor.

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Angela Marquez

Operaes com vetores

Adio

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Angela Marquez

Operaes com vetores

Adio

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Angela Marquez

Operaes com vetores

Subtrao

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Angela Marquez

Adio vetorial de foras

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Angela Marquez

Determinao da componente

de uma fora

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Adio de vrias foras

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Pontos importantes

Escalar um nmero positivo ou negativo.

Vetor uma quantidade que possui intensidade,

direo e sentido.

A multiplicao ou diviso de um vetor por um

escalar muda a intensidade do vetor. O sentido

dele mudar se o escalar for negativo.

O problema da soma de duas foras pode ser

resolvido usando a lei do paralelogramo ou a

trigonometria.

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angela marquez 19

) cos

sen

0

sen

cos

tg

tg

Reviso de trigonometria

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angela marquez 20

Arcos Notveis

30 150

210 330

45 135

225 315

60 120

240 300

cos

sen

0

tg

90

180

270

0/360

Angela Marquez

angela marquez 21

arco 0 30 45 60 90 180 270 360

rad 06

4

3

2

3

22

seno 02

1

2

2

2

31 0 - 1 0

cosseno 12

3

2

2

2

10 - 1 0 1

tangente

cos

sen 03

31

3- - - 0 - - - 0

Tabela de Entes

Trigonomtricos ...

Angela Marquez

angela marquez 22

Relaes Trigonomtricas no

Tringulo Retngulo

Ente

Trigonomtrico Relao no Tringulo Retngulo

Seno de

Cosseno de

Tangente de

HI

COsen

HI

CAcos

CA

COtg

)

Hipotenusa

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Lei dos Senos

Seja um tringulo ABC qualquer

temos :

Csen

c

Bsen

b

Asen

a

) ( ^

A

^

C

^

B

A B

C

a

c

b

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Lei dos Cossenos

Seja um tringulo ABC qualquer

temos :

Ccosba2bac

ouBcosca2cab

ouAcoscb2cba

222

222

222

) ( ^

A

^

C

^

B

A B

C

a

c

b

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Lei dos Cossenos

Curiosidade : Quando um dos ngulos do tringulo

reto, por exemplo, = 90, temos :

90coscb2cba 222

Sabe-se que cos 90 = 0, logo ...

0cb2cba 222

Temos, portanto ... 222 cba Teorema de Pitgoras

Angela Marquez

Reviso de geometria e

trigonometria

Os ngulos na Figura a seguir so iguais

entre a transversal e as duas linhas paralelas.

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Angela Marquez

Reviso de geometria e

trigonometria

Para uma linha e sua normal, os ngulos na

Figura a seguir so iguais.

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Angela Marquez

Identidades trigonomtricas

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Angela Marquez

29

P-1 ngulos opostos

congruentes

P-2 lados opostos

congruentes

P-3 as diagonais dividem-se

ao meio ( ponto mdio )

M

Propriedade dos

Paralelogramos

+ = 180

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30

P-4 todo paralelogramo que tem

diagonais congruentes

retngulo

P-5 todo paralelogramo que tem

diagonais perpendiculares

losango

P-6 todo quadrado retngulo e

tambm losango e portanto suas

diagonais so congruentes e

perpendiculares

Propriedade dos

Paralelogramos

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Exemplo 1

O gancho da figura est sujeito a duas foras

F1 e F2. Determine a intensidade e a direo

da fora resultante.

31

Angela Marquez

Soluo

32

Angela Marquez

Exemplo 2 Decomponha a fora horizontal de 600N da figura a

seguir nas componentes que atuam ao longo dos eixos

u e v. determine as intensidades dessas componentes.

33

Angela Marquez

Soluo

34

Angela Marquez

Exemplo 3

Determine a intensidade da fora componente F e a

intensidade da fora resultante se Fr estiver direcionada

ao longo do eixo y positivo.

35

Angela Marquez

Soluo

36

Angela Marquez

Exerccio

37

Angela Marquez

Soluo

38

Angela Marquez

Soluo

39

Angela Marquez

Exerccios

40

Angela Marquez

Exerccios

41

Angela Marquez

Adio de um sistema de

foras coplanares

42

Quando uma fora decomposta em duas componentes ao

longo dos eixos x e y, as componentes so, ento, chamadas de

componentes retangulares.

notao escalar.

notao de vetor cartesiano.

Angela Marquez

Adio de um sistema de

foras coplanares

43

Notao escalar

Como essas componentes formam um tringulo retngulo, suas

intensidades podem ser determinadas por:

Angela Marquez

Adio de um sistema de

foras coplanares

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No entanto,

Como esse tringulo e o tringulo maior sombreado so semelhantes, o comprimento proporcional dos lados fornece:

e e

Angela Marquez

Adio de um sistema de

foras coplanares

Tambm possvel representar as

componentes x e y de uma fora em termos de

vetores cartesianos unitrios i e j.

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Angela Marquez

Adio de um sistema de

foras coplanares

46

Como a intensidade de cada componente de F sempre uma

quantidade positiva, representada pelos escalares (positivos) Fx e

Fy, ento, podemos expressar F como um vetor cartesiano.

Notao vetorial cartesiana

Angela Marquez

Resultante de foras

coplanares

47

Qualquer um dos dois mtodos descritos pode ser

usado para determinar a resultante de vrias foras

coplanares. Por exemplo:

Angela Marquez

Resultante de foras coplanares

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Usando a notao vetorial cartesiana, cada fora representada como um vetor cartesiano, ou seja,

F1 = F1xi + F1yj

F2 = F2xi + F2yj

F3 = F3xi F3yj

O vetor resultante , portanto,

FR = F1 + F2 + F3

= F1xi + F1yj F2xi + F2yj + F3xi F3yj

= (F1x F2x + F3x) i + (F1y + F2y F3y) j

= (FRx) i + (FR y) j

Angela Marquez

Resultante de foras coplanares

Se for usada a notao escalar, temos ento

( + ) FRx = F1x F2x + F3x

(+ ) FRy = F1y + F2y F3y

As componentes da fora resultante de qualquer nmero de

foras coplanares podem ser representadas simbolicamente

pela soma algbrica das componentes x e y de todas as foras,

ou seja,

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Angela Marquez

Resultante de foras

coplanares

Uma vez que estas componentes so determinadas,

elas podem ser esquematizadas ao longo dos eixos x e

y com seus sentidos de direo apropriados, e a fora

resultante pode ser determinada pela adio vetorial.

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Angela Marquez

Resultante de foras coplanares

51

Pelo esquema, a intensidade de FR determinada pelo teorema de

Pitgoras, ou seja,

Alm disso, o ngulo , que especifica a direo da fora

resultante, determinado atravs da trigonometria:

Angela Marquez

Pontos importantes

A resultante de vrias foras coplanares pode ser

determinada facilmente se for estabelecido um sistema

de coordenadas x e y e as foras forem decompostas ao

longo dos eixos.

A direo de cada fora especificada pelo ngulo que

sua linha de ao forma com um dos eixos, ou por um

tringulo da inclinao.

A orientao dos eixos x e y arbitrria e sua direo

positiva pode ser especificada pelos vetores cartesianos

unitrios i e j.

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Angela Marquez

Pontos importantes

As componentes x e y da fora resultante so

simplesmente a soma algbrica das componentes de

todas as foras coplanares.

A intensidade da fora resultante determinada pelo

teorema de Pitgoras e, quando as componentes so

esquematizadas nos eixos x e y, a direo

determinada por meio da trigonometria.

53

Angela Marquez

Exemplo 1

Calcule os componentes vertical e horizontal da fora F

de 800 N de intensidade, exercida no parafuso A,

conforme mostrado na figura.

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Angela Marquez

Exemplo 2

Um homem puxa uma corda com a fora de 300 N,

amarrada a um edifcio. Quais so os componentes Fx e

Fy da fora exercida pela corda no ponto A?

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Angela Marquez

Exemplo 3

A ponta de uma

lana O est

submetida a trs

foras

concorrentes.

Determine a

intensidade e a

direo da fora

resultante.

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Angela Marquez

Soluo

57

Angela Marquez

Soluo (cont)

58

Angela Marquez

Exerccio 2.13

Para o suporte tipo gancho, determine, usando

trigonometria a intensidade e a direo da menor fora

P para a qual a resultante R das duas foras aplicadas

no suporte horizontal, e a correspondente intensidade

de R.

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Angela Marquez

60

Equilbrio de uma Partcula

-Quando a resultante de todas as foras que atuam sobre uma partcula zero, esta est em equilbrio.

-Uma partcula submetida ao de duas foras estar em equilbrio quando essas duas foras tiverem a mesma intensidade, a mesma direo e sentidos opostos, sendo nesse caso a resultante das duas foras zero.

100 N

100 N

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Equilbrio de uma Partcula

Para exprimir algebricamente as condies necessrias de equilbrio de uma partcula usamos:

R = F = 0 Decompondo cada fora F em

componentes retangulares temos:

( Fxi + Fyj ) = 0 , ou

( Fx ) i + ( Fy ) j = 0

Condio necessria e suficiente para o equilbrio da partcula.

Fx =0 e Fy= 0,

F4 = 1800 N

F2 = 779,4 N

F3 = 900 N

F1 = 1350 N

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Angela Marquez

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Primeira Lei de Newton

Se a fora resultante que atua sobre uma partcula tem intensidade igual a zero, essa partcula permanece em repouso ou se move em movimento retilneo uniforme.

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Problemas que Envolvem o Equilbrio de uma Partcula Diagrama de Corpo Livre

Grande nmero de problemas que envolvem estruturas reais pode ser reduzidos efetivamente, a problemas referentes ao equilbrio de uma partcula.

Isto feito escolhendo-se uma partcula conveniente e esquematizando-se um diagrama separado, mostrando todas as foras que sobre ele so exercidas. Este diagrama chamado DIAGRAMA DE CORPO LIVRE.

Angela Marquez

Diagrama de Corpo Livre

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O diagrama de corpo livre representa um

esboo da partcula que mostra todas as

foras que atuam sobre ela.

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Exemplo 1

Tem-se um caixote de 75kg que estava em 2 prdios e est agora sendo colocado sobre um caminho. O caixote suportado por um cabo vertical, unido no ponto A a duas cordas que passam por roldanas fixadas nos prdios em B e C. Deseja-se determinar a trao nas 2 cordas AB e AC.

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Soluo

Diagrama de Corpo Livre

Triangulo de

Foras

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Exerccio

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Molas

Quando se utilizar uma mola elstica, o comprimento da mola

variar em proporo direta com a fora que atua sobre ela.

A equao da fora atuante na mola

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Exemplo de Diagrama de

Corpo Livre - Mola

A esfera da figura tem massa de 6Kg e est

apoiada como mostrado. Desenhe o

diagrama de corpo livre da esfera, da corda

CE e do n em C.

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Exemplo de Diagrama de

Corpo Livre - Esfera

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Angela Marquez

Exemplo de Diagrama de

Corpo Livre - CE

72

Angela Marquez

Exemplo de Diagrama de

Corpo Livre - C

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Angela Marquez

Exerccio

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