cap. 12 testes qui- quadrados e testes...

Statistics for Managers Using Microsoft Excel, 5e © 2008 Prentice-Hall, Inc. Chap 12-1

Cap. 12 – Testes Qui-

Quadrados e Testes

Não-Paramétricos


Final de curso... tempo de recordar : )

Cap. 9 – Fundamentos de testes de hipóteses

Teste z para média com σ conhecido e teste t para σ desconhecido

Testes unicaudais

Teste z para proporções

Cap. 10 – Testes para duas amostras

Comparações de médias de duas populações independentes e populações relacionadas (testes z e t)

Comparações de proporções (teste z)

Teste F para a diferença entre duas variâncias

Cap. 11 – Análise da Variância

ANOVA de fator único – diferenças entre mais de duas médias aritméticas

Múltiplas comparações – o procedimento de Tukey-Kramer

Teste de Leven para a homogeneidade das variâncias

ANOVA de dois fatores – efeitos dos fatores e da interação


Objetivos do Cap. 12

Neste capítulo, você aprenderá:

Como e quando utilizar o teste qui-quadrado

para tabelas de contingência

Como utilizar o procedimento de Marascuilo

para determinar diferenças em pares, ao

avaliar mais de duas proporções

Como e quando utilizar o teste de McNemar

Como e quando utilizar testes não

paramétricos


Tabelas de Contingência

Tabelas de Contingência

Útil em situações envolvendo múltiplas proporções

Usada para classificar as observações de uma

amostra de acordo com duas ou mais características

Também conhecida como tabela de classificação

cruzada.


Exemplo de Tabela de

Contingência

“Destro ou canhoto” x Sexo

Habilidade: Canhoto x Destro

Sexo: Masculino x Feminino

2 categorias para cada variável, então a

tabela será 2 x 2

Suponha que examinemos uma amostra

de 300 estudantes



Contingência

Resultados da amostra organizados em uma tabela de contingência:

Canhoto x

Destro

Sexto

F M

Canhoto 12 24 36

Destro 108 156 264

120 180 300

120 Mulheres, 12 são

canhotas

180 Homens, 24 são

canhotos

Tamanho amostra = n = 300:



Contingência

Se H0 é verdadeira, então a proporção de mulheres canhotas

deveria ser a mesma que a proporção de homens canhotos.

As duas proporções acima deveriam ser iguais à proporção de

canhotos na população como um todo.

H0: π1 = π2 (Proporção de homens canhotos é igual à

proporção de mulheres canhotas)

H1: π1 ≠ π2 (As proporções não são iguais –

Ser canhoto ou destro não é independente

do sexo)


Estatística de Teste Qui-

Quadrado

onde:

fo = frequencia observada em uma célula particular

fe = frequência esperada para aquela célula se H0 é verdadeira

2 para o caso de tabelas 2 x 2 tem 1 grau de liberdade

células todas e

2

eo2

f

)f(fχ

A estatística de teste Qui-quadrado é:

Premissa: cada célula da tabela de contingência tem uma frequencia esperada de pelo menos 5


Regra de Decisão:

Se 2 > 2S, rejeita H0,

caso contrário, não

rejeita H0

A estatística de teste 2 segue aproximadamente uma

distribuição qui-quadrado com 1 grau de liberdade

2

2S

0

Rejeita H0Não

rejeita H0

Teste Qui-Quadrado para

diferença entre duas proporções


Calculando a proporção geral

estimada

Aqui:

A proporção geral de canhotos estimada na população é de 0.12, ou

seja, 12%

n

X

nn

XXp

21

21

12.0300

36

180120

2412p

A proporção geral é:

120 Mulheres, 12 são

canhotas

180 Homens, 24 são

canhotos


Encontrando as frequências

esperadas

Para obter a frequência esperada de mulheres canhotas, multiplique a proporção geral de canhotos pelo número total de mulheres

Para obter a frequência esperada de homens canhotos, multiplique a proporção geral de canhotos pelo número total de homens

Se as duas proporções são iguais, então

P(Canhotas | Mulheres) = P(Canhotos | Homens) = .12

i.e., esperaríamos que (.12)(120) = 14.4 mulheres canhotas

(.12)(180) = 21.6 homens canhotos


Frequências observadas x

esperadas

Canhoto x

Destro

Sexo

F M

CanhotoObservado = 12

Esperado = 14.4

Observado = 24

Esperado = 21.636

DestroObservado = 108

Esperado = 105.6

Observado = 156

Esperado = 158.4264

120 180 300




7576.04.158

)4.158156(

6.21

)6.2124(

6.105

)6.105108(

4.14

)4.1412(

)(

2222

células todas

22

e

eo

f

ff

A estatística de teste é:

Canhoto x

Destro

Sexo

F M

CanhotoObservado = 12

Esperado = 14.4

Observado = 24

Esperado = 21.636

DestroObservado = 108

Esperado = 105.6

Observado = 156

Esperado = 158.4264

120 180 300




Regra de decisão:

Se 2 > 3.841, rejeita H0, senão, não

rejeita H0

3.841 g.l. 1 com , 7576.0 é testede aestatísticA 22 S

Aqui,

2 = 0.7576 < 2S = 3.841,

então não rejeita H0 e conclui

que não há evidências

suficientes de que as duas

proporções sejam diferentes.

2

2S=3.841

0

=.05

Rejeita H0Não

rejeita H0


Teste 2 para diferenças entre

mais de duas proporções

O teste 2 pode ser extendido para o caso de mais de

duas populações independentes:

H0: π1 = π2 = … = πc

H1: Nem todos os πj são iguais (j = 1, 2, …, c)


Estatística de Teste Qui-

Quadrado

onde:

fo = frequência observada em uma das células de uma tabela

2 x c (2 linhas e c colunas)

fe = frequência esperada em uma célula se H0 é verdadeira

2 para a tabela 2 x c tem (2-1)(c-1) = c - 1 graus de liberdade

Premissa: cada célula da tabela de contingência tem frequência

esperada de pelo menos 1

cells all

22 )(

e

eo

f

ff


Calculando a Proporção Geral

Estimada

n

X

nnn

XXXp

c

c

...

...

21

21A proporção geral é:

As frequências esperadas em cada célula para as c

categorias são calculadas como no caso da tabela 2 x

2, e a regra de decisão é a mesma:

Regra de Decisão:


caso contrário, não

rejeita H0

Onde 2S é de uma

distribuição qui-quadrado

com c – 1 graus de

liberdade


Teste 2 com mais de duas

proporções: Exemplo

O compartilhamento de informações de pacientes é uma questão controversa na área de saúde. Uma pesquisa feita com 500 indivíduos perguntou se havia objeções ao compartilhamento de dados entre seguradoras, farmácias e médicos pesquisadores. Os resultados são resumidos na tabela seguinte:




Objeção ao

compartilha

mento?

Organização

Seguradoras Farmácias Médicos

Pesquisadores

Sim 410 295 335

Não 90 205 165




6933.0500500500

335295410

...

...

21

21

c

c

nnn

XXXp

A proporção

geral é:

Objeção ao

compartilhamento?

Organização


Pesquisadores

Sim fo = 410

fe = 346.667

fo = 295

fe = 346.667

fo = 335

fe = 346.667

Não fo = 90

fe = 153.333

fo = 205

fe = 153.333

fo = 165

fe = 153.333




Objeção?

Organização


Pesquisadores

Sim

Não

700.7

2

e

eo

f

ff

159.26

2

e

eo

f

ff

571.11

2

e

eo

f

ff 3926.0

2

e

eo

f

ff

409.17

2

e

eo

f

ff 888.0

2

e

eo

f

ff

1196.64)(

células as todas

22

e

eo

f

ffA estatística de teste

qui-quadrado é:




Regra de decisão:


caso contrário, não rejeita

H0

2S = 5.991 vem da

distribuição qui-quadrado

com dois graus de liberdade.

H0: π1 = π2 = π3

H1: Nem todos os πj são iguais (j = 1, 2, 3)

Conclusão: Como 64.1196 > 5.991, rejeita-se H0 e você conclui

que pelo menos uma das proporções de respondentes que fizeram

objeção ao compartilhamento de seus dados é diferente entre as

organizações.


O procedimento de Marascuilo

O procedimento de Marascuilo permite fazer

comparações entre todos os pares.

Primeiro, calcule as diferenças observadas pj -

pj’ entre todos os pares das c(c-1)/2 células.

Segundo, calcule o intervalo crítico

correspondente para o procedimento de

Marascuilo.



Intervalo crítico para o procedimento de Marascuilo :

/

// )1()1(CríticoIntervalo 2

j

jj

j

jj

Sn

pp

n

pp



Calcule um intervalo crítico para cada par de

comparações entre as proporções da amostra.

Compare cada um dos c(c - 1)/2 pares de

proporções na amostra com seu intervalo

crítico correspondente.

Declare a diferença entre proporções

significante se a diferença absoluta no par de

proporções |pj – pj’| for maior que o intervalo

crítico correspondente.



Exemplo

Objeção?

Organização


Pesquisadores

Sim 410

P1 = 0.82

295

P2 = 0.59

335

P3 = 0.67

Não 90 205 165



Exemplo

TABELA DE MARASCUILO

Proporções

Diferenças

Absolutas

Intervalo

Crítico

| Group 1 - Group 2 | 0.23 0.06831808

| Group 1 - Group 3 | 0.15 0.0664689

| Group 2 - Group 3 | 0.08 0.074485617

Conclusão: Como cada diferença absoluta é maior que

o intervalo crítico correspondente, você conclui que

cada proporção é significativamente diferente das

outras duas.


Teste de Independência 2

Semelhante ao teste 2 para igualdade entre mais de

duas proporções, mas extende o conceito a tabelas de

contingência com r linhas e c colunas

H0: As duas variáveis categóricas são independentes

(i.e., não há nenhuma relação entre elas)

H1: As duas variáveis categóricas são dependentes

(i.e., existe uma relação entre elas)


Teste de Independência 2

onde:

fo = frequência observada em uma célula particular da tabela r x c

fe = frequência esperada em uma célula se H0 é verdadeira

2 para uma tabela r x c tem (r-1)(c-1) graus de liberdade

Premissa: cada célula da tabela de contingência tem frequência esperada

de pelo menos 1

astodascélul e

eo

f

ff 22 )(

A estatística de teste Qui-Quadrado é:


Frequências Esperadas

Frequências esperadas em cada célula:

n

colunadatotallinhadatotal ef

Onde:

Total da linha = soma do total de frequências naquela linha

Total da coluna = soma do total de frequências naquela coluna

n = tamanho total da amostra


Regra de Decisão

A regra de decisão é:

Se 2 > 2S, rejeita-se H0,

caso contrário, não rejeita H0

Onde 2S vem da distribuição qui-quadrado

com (r – 1)(c – 1) graus de liberdade


Exemplo: Teste de

Independência O plano de refeições selecionado por 200 estudantes é mostrado abaixo:

Tipo Menu

No. de refeições por semana

Total20/sem. 10/sem. nenhuma

Saudável 24 32 14 70

Sofist. 22 26 12 60

Junior 10 14 6 30

Senior 14 16 10 40

Total 70 88 42 200


Exemplo: Teste de

Independência

A hipótese a ser testada é:

H0: No. de refeições e tipo do menu são independentes

(i.e., não há nenhuma relação entre eles)

H1: No. de refeições e tipo do menu são dependentes

(i.e., há relação entre eles)


Exemplo: Teste de

Independência

Tipo Menu

No. de refeições por semana

Total20/sm. 10/sm. 0

Saudável 24.5 30.8 14.7 70

Sofist. 21.0 26.4 12.6 60

Junior 10.5 13.2 6.3 30

Senior 14.0 17.6 8.4 40

Total 70 88 42 200

Frequências esperadas em cada

célula se H0 é verdadeira:

5.10200

7030

coluna x totallinha totalfe

n

Exemplo p/ uma célula:


Exemplo: Teste de

Independência

O valor da estatística de teste é:

709.04.8

)4.810(

8.30

)8.3032(

5.24

)5.2424(

)(

222

22

astodascélul e

eo

f

ff

2S = 12.592 para α = .05 sendo a distribuição com

(4 – 1)(3 – 1) = 6 graus de liberdade


Exemplo: Teste de

Independência

Regra de Decisão:

Se 2 > 12.592, rejeita H0, caso

contrário, não rejeita H0

12.592 g.l. 6 com , 709.0 é testede aestatísticA 22 S

Aqui,

2 = 0.709 < 2S = 12.592,

então não rejeita H0

Conclusão: não há evidências

suficientes de que haja relação

entre o no. de refeições e o tipo

do menu escolhido.

2

2S=12.592

0

=0.05

Rejeita H0Não

rejeita H0


Teste de McNemar

Usado para testar diferenças entre duas

proporções de amostras relacionadas (não

independentes)

A estatística de teste segue uma distribuição

normal


Teste de McNemar

Tabela de Contingência

Condição (Grupo) 1


Sim Não Totais

Sim A B A+B

Não C D C+D

Totais A+C B+D n

Onde A = número de elementos que responderam sim às condições 1 e 2

B = número de elementos que responderam sim à condição 1 e não a 2

C = número de elementos que responderam não à condição 1 e sim a 2

D = número de elementos que responderam não às condições 1 e 2

n = número total de elementos da amostra


Teste de McNemar


As proporções na amostra são:



Sim Não Totais

Sim A B A+B

Não C D C+D

Totais A+C B+D n

n

CAp

n

BAp

21


Teste de McNemar


As proporções na população são:

π1 = proporção da população que respondeu sim à condição 1

π2 = proporção da população que respondeu sim à condição 2



Sim Não Totais

Sim A B A+B

Não C D C+D

Totais A+C B+D n


Teste de McNemar


Para testar a hipótese:

H0: π1 = π2

H1: π1 ≠ π2

Use a estatística de teste:

CB

CBZ


Teste de McNemar

Exemplo

Suponha que você pesquisou 300 proprietários de casas

financiadas e perguntou se eles estariam interessados em

um refinanciamento. Em um esforço para gerar negócios o

banco responsável por estes financiamentos melhorou as

condições dos financiamentos e reduziu os custos de

conclusão dos mesmos. A amostra foi então novamente

pesquisada. Determine se as mudanças nos termos do

financiamento foram efetivas em gerar negócios para o

banco. Os dados são resumidos a seguir:


Teste de McNemar

Exemplo

Respostas antes

da mudança

Respostas após mudanças

Sim Não Totais

Sim 118 2 120

Não 22 158 180

Totais 140 160 300

Teste a hipótese (a um nível de significância igual a 0.05):

H0: π1 = π2: As mudanças não foram efetivas

H1: π1 diferente π2: As mudanças aumentaram o volume de

negócios


Teste de McNemar

Exemplo

Respostas

antes da

mudança

Respostas após mudanças

Sim Não Totais

Sim 118 2 120

Não 22 158 180

Totais 140 160 300

O valor crítico (.05 de

significância) é Z = -1.96


08.4222

222

CB

CBZ

Como Z = -4.08 < -1.96, você rejeita H0 e conclui que as

mudanças nos termos dos empréstimos aumentou

significativamente o volume de negócios (a um nível de

significância de 5%).


Teste da Soma das

Classificações de Wilcoxon

Testa as medianas de duas populações independentes

As populações não precisam ter distribuição normal

É um teste não paramétrico

Útil quando apenas dados ordinais estão disponíveis


Teste da Soma das

Classificações de Wilcoxon

Pode ser usado quando ambos n1 , n2 ≤ 10

Calcule as classificações para as amostras combinadas n1 + n2

Se os tamanhos de amostra forem desiguais, estabeleça n1 como a amostra de menor tamanho

O menor valor recebe classificação = 1, o maior valor classificação = n1 + n2

Para valores repetidos estabeleça a classificação como a média das classificações e atribua este valor às repetições

Some as classificações para cada amostra: T1 e T2

Obtenha a estatística de teste, T1 (da menor amostra)


Verificando as classificações

A soma das classificações deve satisfazer à fórmula

abaixo

Use-a para verificar a soma de T1 e T2

2

1)n(n21

TT

onde n = n1 + n2


Teste da soma das classificações de

Wilcoxon

Hipóteses e Decisão

H0: M1 = M2

H1: M1 ≠ M2

H0: M1 ≤ M2

H1: M1 > M2

H0: M1 ≥ M2

H1: M1 < M2

Teste bi-caudas Teste de cauda à esquerda Teste de cauda à direita

M1 = mediana da população 1; M2 = mediana da população 2

Rejeita

T1I T1S

RejeitaNão

RejeitaRejeita

T1I

Não Rejeita

T1S

RejeitaNão Rejeita

Estatística de teste = T1 (soma das classificações para a menor amostra)

Rejeita H0 se T1 ≤ T1I

ou se T1 ≥ T1S

Rejeita H0 se T1 ≤ T1I Rejeita H0 se T1 ≥ T1S


Teste da soma das classificações

de Wilcoxon

Exemplo com pequenas amostras Dados amostrais sobre a utilização da capacidade de

produção (% da capacidade) de duas fábricas são

coletados.

As medianas destes percentuais são as mesmas para

as duas fábricas?

Para a fábrica A, os percentuais são 71, 82, 77, 94,

88

Para a fábrica B, os percentuais são 85, 82, 92, 97

Teste a igualdade das medianas populacionais a um

nível de significância de 0.05



de Wilcoxon

Exemplo com pequenas amostrasCapacidade Rank

Fábrica A Fábrica B Fábrica A Fábrica B

71 1

77 2

82 3.5

82 3.5

85 5

88 6

92 7

94 8

97 9

Soma Classificações: 20.5 24.5

Repetições na

3a. e 4a.

posições



de Wilcoxon

Exemplo com pequenas amostras

Fábrica B tem a menor amostra, então a estatística

de teste é a soma das classificações na fábrica B:

T1 = 24.5

Os tamanhos de amostra são:

n1 = 4 (fábrica B)

n2 = 5 (fábrica A)

O nível de significância é α = .05



de Wilcoxon


n2

n1

One-

Tailed

Two-

Tailed4 5

4

5

.05 .10 12, 28 19, 36

.025 .05 11, 29 17, 38

.01 .02 10, 30 16, 39

.005 .01 --, -- 15, 40

6

Valores

críticos

inferior e

superior para

T1 na Tabela

E.8 no

Apêndice:

T1I = 11 e

T1S = 29



de Wilcoxon


H0: M1 = M2

H1: M1 ≠ M2

Teste Bi-caudal

Rejeita

T1I=11 T1S=29

RejeitaNão

Rejeita

Rejeita H0 se T1 ≤ T1I = 11

ou se T1 ≥ T1S = 29

= .05

n1 = 4 , n2 = 5 Estatística de teste (Soma das

classificações para a menor

amostra):

T1 = 24.5

Decisão:

Conclusão:

Não rejeitar a α = 0.05

Não há evidências suficientes para

afirmar que as medianas não são iguais.



de Wilcoxon

Aproximação pela Normal Para grandes amostras, a estatística de teste T1 tem

aproximadamente distribuição normal com média e desvio

padrão:

Use a aproximação normal se n1 ou n2 > 10

Defina n1 como a menor das duas amostras

2

)1n(nμ 1

T1

12

)1n(nnσ 21

T1



de Wilcoxon

Aproximação pela Normal A estatística de teste Z é:

Onde Z segue aproximadamente uma

distribuição normal padronizada

1

1

σ

μZ

1

T

TT



de Wilcoxon

Aproximação pela Normal

Usando o exemplo anterior:

Os tamanhos de amostra eram:

n1 = 4 (fábrica B)

n2 = 5 (fábrica A)

O nível de significância era α = .05

A estatística de teste era: T1 = 24.5



de Wilcoxon

Aproximação pela Normal


202

)19(4

2

)1n(nμ 1

T1

082.412

)19()5(4

12

)1(σ 21

1

nnnT

10.14.082

205.24

σ

μZ

1

11

T

TT

Z = 1.10 é menor que o valor crítico Z de 1.96 (for α = .05)

então você não rejeita H0 – não há evidências suficientes

para afirmar que as medianas são diferentes


Teste das Classificações de

Kruskal-Wallis

Testa a igualdade de mais do que duas medianas populacionais

Útil quando a premissa da normalidade necessária a utilização da ANOVA de fator único é violada

Premissas:

As amostras são aleatórias e independentes

A variável subjacente é contínua

Os dados podem ser classificados

As c populações têm a mesma variabilidade

As c populações têm o mesmo formato



Kruskal-Wallis

Obtenha as classificações para cada valor na

amostra combinada

Caso haja valores repetidos, atribua a eles a

média aritmética das classificações que

receberiam se não fossem idênticos

Some as classificações para cada um dos c

grupos

Calcule a estatística de teste H



Kruskal-Wallis

A estatística de teste H de Kruskal-Wallis:

(com c – 1 graus de liberdade)

)1(3)1(

12

1

2

nn

T

nnH

c

j j

j

onde:

n = no. total de valores nas amostras combinadas

c = no. de grupos

Tj = Soma das classificações na jth amostra

nj = Tamanho da jth amostra



Kruskal-Wallis

Regra de decisão

Rejeitar H0 se a estatística de teste H > 2

S

Caso contrário, não rejeita H0

Complete o teste comparando o valor calculado de H

com o valor crítico 2 da distribuição qui-quadrado com

c – 1 graus de liberdade

2

2S

0

Rejeita H0Não

rejeita H0



Kruskal-Wallis

Exemplo

Diferentes escritórios de uma mesma companhia têm quantidades de empregados diferentes?

Tamanho

(Chicago, C)

Tamanho

(Denver, D)

Tamanho

(Houston, H)

23

41

54

78

66

55

60

72

45

70

30

40

18

34

44



Kruskal-Wallis

Exemplo Diferentes escritórios de uma mesma companhia

têm quantidades de empregados diferentes?

Tamanho

(Chicago, C)Ranking

Tamanho

(Denver, D)Ranking

Tamanho

(Houston, H)Ranking

23

41

54

78

66

2

6

9

15

12

55

60

72

45

70

10

11

14

8

13

30

40

18

34

44

3

5

1

4

7

= 44 = 56 = 20



Kruskal-Wallis

Exemplo

A estatística H é:

72.6)115(35

20

5

56

5

44

)115(15

12

)1(3)1(

12

222

1

2

nn

T

nnH

c

j j

j

iguais todassão não aispopulacion medianas as :H

MedianaMedianaMediana :H

A

HDC0



Kruskal-Wallis

Exemplo

Como H = 6.72 > ,

rejeita H0

5.9912

S χ

Compare H = 6.72 com o valor crítico da distribuição qui-

quadrado com 3 – 1 = 2 graus de liberdade e = .05:

Há evidências de que as medianas dos nos. de

empregados nos escritórios regionais são

diferentes.

5.9912

S χ


Resumo do Capítulo

Desenvolvimento e aplicação do teste 2 para diferença entre duas proporções

Desenvolvimento e aplicação do teste 2 para diferenças entre proporções de mais de duas populações

Teste 2 para independência

Teste de McNemar para diferenças entre duas proporções em amostras relacionadas

Utilização do teste da soma das classificações de Wilcoxon para diferenças entre duas medianas populacionais

Pequenas amostras

Para amostras maiores a aproximação Z

Aplicação do teste H de Kruskal-Wallis para comparações entre medianas de múltiplas populações

Neste capítulo, nós vimos:

cap. 12 testes qui- quadrados e testes...

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