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UNIFACS - Cursos de Engenharia

Disciplina: Cálculo I

Semestre: 2014.1

1ª Lista de Exercícios (visualização e cálculo de limites finitos)

As questões 1 e 2 exploram a visualização do limite e da continuidade de funções através dos gráficos.

1) a) Dados os gráficos das funções f, g, h abaixo, determine:

i) os limites laterais de f, g, h no ponto xo=1 ii) Os valores f(1), g(1) e h(1)

b) Com os dados obtidos acima, diga se essas funções f, g, h têm limite no ponto xo=1.

c) Essas funções são contínuas no ponto xo=1? Justifique suas respostas.

x

y

Função y=f(x)

x

y

Função y=g(x)

x

y

Função y=h(x)

2) Dado o gráfico da função f abaixo, determine o que se pede, justificando suas respostas.

{l i mx→−1− f ( x )= ¿ {¿ {l i mx→−1+

f (x )= ¿ {¿ ¿¿¿

f tem limite em xo=-1?

f é contínua nesse ponto?

{l i mx→1− f ( x )=¿ {¿ {l i mx→1+

f ( x )= ¿ {¿ ¿¿¿

f tem limite em xo=1?

f é contínua nesse ponto?

x

y

As questões 3 e 4 são semelhantes às duas anteriores, só que agora os gráficos das funções não são dados.

Temos que obter os gráficos das funções para depois fazer a visualização dos limites.

3) a) Esboce o gráfico das funções abaixo e calcule os limites laterais nos pontos onde estas funções mudam de sentenças:

a)f ( x )=¿ {x2 -1 ; se x<2 ¿ {3 ; se x= 2¿ ¿¿¿

b)g( x )=¿ {x2 -1 ; se x<2¿ {4 ; se x= 2¿ ¿¿¿

c)h( x )=¿ {x+2 ; se x<-1 ¿ {2 ; se x= -1 ¿ {x2 ; ; se -1< x<1¿ ¿¿¿

b) Verifique se as funções f e g são contínuas no ponto xo=2. Justifique suas respostas.

c) Verifique se a função h é contínua nos pontos x=-1 e x=1. Justifique suas respostas.

2

4) Esboce o gráfico da função

f ( x )=¿ {2 ; se x <−2¿ {x2 ; se −2≤x<0 ¿ {2x ; se 0 ≤ x < 1 ¿ {1 ; se x=1¿ ¿¿¿ e determine:

a)

limx→−2−

f ( x )

;

limx→−2+

f ( x )

; f (– 2); b)

limx→0−

f ( x )

;

limx→0+

f ( x )

; f (0);

c)

limx→1−

f ( x )

;

limx→1+

f ( x )

; f (1) d) verifique se a função acima é contínua nos pontos estudados.

5) Esboce o gráfico das funções abaixo. Calcule os limites laterais em cada um dos casos, nos pontos onde estas funções mudam de sentenças.

a) f ( x )=¿ {x2 ; se x≤1¿ ¿¿¿

b) f ( x )=¿ {−x2+1 ; se x< 0¿ ¿¿¿

c)

f ( x )=¿ {-x+1 ; se x < 1 ¿ {1 ; se x=1 ¿ ¿¿¿d)

f (x )=¿ {x2+1 ; se x<−1 ¿ {−x+1 ; se −1≤ x<1 ¿ {2 ; se x = 1 ¿¿¿¿

e) f ( x )=¿ {2x ; se x<1 ¿ ¿¿¿

f) f ( x )=¿ {√−x ; se x< 0 ¿ {2 ; se x=0¿ ¿¿¿

6) Esboce o gráfico das funções abaixo e verifique se elas são contínuas no ponto xo = 0.

a) f ( x )=¿ {2x ; se x<0 ¿ {2 ; se x=0¿ ¿¿¿

b) f ( x )=¿ {ex ; se x<0 ¿ {2 ; se x=0 ¿¿¿¿

Obs: 1) O número e≅2,718 é muito importante em Cálculo e aparece em muitas aplicações; 2) A notação ln(x) significa que a base desse logaritmo é o número e≅2,718. Resumindo: ln(x) = loge(x)

7) Determine as constantes a e b de modo que

f ( x )=¿{ x2−42x-4

; se x<2 ¿ {bx−4 ; se x=2 ¿¿¿¿ seja contínua no ponto x=2.

8) a) Considere a função f ( x )=¿ {mx2+1 ; se x <−3 ¿ {−3n ; se x =−3 ¿ ¿¿¿

. Determine as constantes m, n de modo que:

a1) Exista limx→−3

f ( x ) a2) f seja contínua em x=–3

b) Determine as constantes reais a e b de modo que f seja contínua no ponto xo, em cada caso a seguir:

3

b1) f ( x )=¿ {3ax2+2 ; se x<1 ¿ ¿¿¿

b2)

f ( x )=¿ {3 x−3 ; se x>2¿ {ax ; se x=2¿ ¿¿¿As questões 9, 10, 11 se referem ao cálculo de limites por métodos algébricos, sem uso de figuras.

9) Calcule os seguintes limites indeterminados: (método da fatoração)

a)

limx→1

x2−3 x+2x2−4 x+3 b)

limx→2

2 x2−8x2−2x c)

limx→2

x3−8x2−4 d)

limx→3

x3−27

x2+3 x−18

10) Calcule os seguintes limites envolvendo raízes: (multiplicação e divisão pelo conjugado)

a)limx→9

2 x−18

√x−3 b)limx→4

x2−16√x−2

c)

limx→−1

√ x+5−2x+1

d) limx→ 2

√4 x+1−3x2−4

e)

limx→2

√5 x−1−3√x+2−2

11) Calcule os seguintes limites:

a) limx→2

x2−4x2−2x b)

limx→1

x2−2 x+1x3−1 c)

limt→2

t2−4

3 t2−4 t−4

d) limx→1

3x3−4 x2−x+22 x3−3x2+1 e)

limx→0

(4+x )2−16x f)

limx→3

x3−6 x−9x3−8x−3

g) limx→1/2

2 x2+3 x−28 x3−1 h)

limx→2

x3−8x−2

i) limx→−2

3√ x2−4

3 x2+5 x−2

j) limx→4

x2−16√x−2

k)

limx→0

√x+2 −√2x l)

limx→1

√x−1x−1

Respostas:

4)

x

y

- 3 - 2 - 1 1 2 3 4

- 3

- 2

- 1

1

2

3

4

limx→−2−

f ( x )=2 e limx→−2+

f ( x )=4 ⟹ o limite não existe nesse ponto

limx→−0−

f ( x )= limx→−0+

f ( x )=0 e f(0)=0 ⟹ o limite existe nesse

ponto e além disso a função é contínua (nesse ponto)

limx→−1−

f ( x )= limx→−1+

f ( x )=2, f(1)=1 ⟹ o limite existe nesse ponto

mas a função não é contínua (nesse ponto)

5) a) b) c)

4

x

y

- 8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 1 2

- 4

- 3

- 2

- 1

1

2

3

x

y

- 8 - 6 - 4 - 2 2

- 4

- 2

2

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2

1

2

-1

a)

limx → 1−

f ( x )=1,

limx → 1+

f ( x )=2 b),

limx → 0−

f ( x )=1

limx → 0+

f ( x )=1 c)

limx → 1−

f ( x )=0,

limx → 1+

f ( x )=0

d) e) f)

x

y

- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3

- 4

- 2

2

d)

limx →−1−

f (x )=2= limx → −1+

f (x )

,

limx → 1−

f ( x )=0= limx → 1+

f ( x )

e)

limx → 1−

f ( x )=2

,

limx → 1+

f ( x )=1

,

f) limx → 0−

f ( x )=0,

limx → 0+

f ( x )=−∞, não existe.

6)

a) b)

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2

-2

2

1

a)

limx → 0−

f ( x )=1,

limx → 0+

f ( x )=1,

limx → 0

f ( x )=1 e f(0) = 2 (f é descontínua em x = 0)

b)

limx → 0−

f ( x )=0,

limx → 0+

f ( x )=+∞, não existe

limx → 0

f ( x ) e f(0) = 2 (f é descontínua em x = 0)

c)

limx → 0−

f ( x )=e=2 ,78281 .. .,

limx → 0+

f ( x )=− ∞, não existe

limx → 0

f ( x ) e f(0) = e

(f é descontínua em x = 0)

7) a = -4 b = 3

8) a) (a1) m =

−139 e n qualquer (a2) m =

−139 e n = 4 b) (b1) a = – 1 (b2) a =

32 e b = – 1

5

9) a) 1/2 b) 4 c) 3 d) 3

10) a) 12 b) 32 c) ¼ d)1/6 e) 10/3

11) a) 2 b) 0; c) 1/2 d) 5/3 e) 8 f) 21/19 g) 5/6

h) 12 i) 3√4 /7 ; j) 32; k) √2/4 ; l) 1/2