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UNIFACS - Cursos de Engenharia

Disciplina: Cálculo I

Semestre: 2014.2

1ª Lista de Exercícios (visualização e cálculo de limites finitos)

As questões 1 e 2 exploram a visualização do limite e da continuidade de funções através dos gráficos.

1) a) Dados os gráficos das funções f, g, h abaixo, determine:

i) os limites laterais de f, g, h no ponto xo=1 ii) Os valores f(1), g(1) e h(1)

b) Com os dados obtidos acima, diga se essas funções f, g, h têm limite no ponto xo=1.

c) Essas funções são contínuas no ponto xo=1? Justifique suas respostas.

Função y=f(x)

Função y=g(x)

Função y=h(x)

2) Dado o gráfico da função f abaixo, determine o que se pede, justificando suas respostas.

)1(f

)x(f mil

)x(f mil

1 x

1 x

f tem limite em xo=-1?

f é contínua nesse ponto?

)1(f

)x(f mil

)x(f mil

1 x

1 x

f tem limite em xo=1?

f é contínua nesse ponto?

As questões 3 e 4 são semelhantes às duas anteriores, só que agora os gráficos das funções não são dados.

Temos que obter os gráficos das funções para depois fazer a visualização dos limites.

3) a) Esboce o gráfico das funções abaixo e calcule os limites laterais nos pontos onde estas funções mudam

de sentenças:

a)

2 x se ; 5x-

2 x se ; 3

2x se ; 1-x

f(x)

2

b)

2 x se ; 5x-

2 x se ; 4

2x se ; 1-x

g(x)

2

c)

1x se ; 2x-

1x 1- se ; ;x

1- x se ; 2

-1x se ; 2x

h(x)2

b) Verifique se as funções f e g são contínuas no ponto xo=2. Justifique suas respostas.

c) Verifique se a função h é contínua nos pontos x=-1 e x=1. Justifique suas respostas.

x

y

x

y

x

y

x

y

2

4) Esboce o gráfico da função

1 xse 1; x

1

1 xse ;1

1 x 0 se ; 2x

0x2 se ; x

2 x se ; 2

)x(f

2

e determine:

a) )x(f lim2 x

; )x(f lim2 x

; f (– 2); b) )x(f lim

0 x

; )x(f lim0 x

; f (0);

c) )x(f lim1 x

; )x(f lim1 x

; f (1) d) verifique se a função acima é contínua nos pontos estudados.

5) Esboce o gráfico das funções abaixo. Calcule os limites laterais em cada um dos casos, nos pontos onde estas funções mudam de sentenças.

a)

1 xse ; 1x

1 xse ;x f(x)

2

b)

0 xse ;1x

0 xse ;1x f(x)

2

c)

1 xse ; 1x

1 xse ;1

1 x se ;1x-

f(x)

2

d)

5 x 1 se ;1x

1 x se ;2

1 x1 se ; 1x

1 x se ; 1x

)f(x

2

e)

1 x se ;

x

1

1 xse ; 2

f(x)

x

f)

0 x se ;)ln(x

0 xse ;2

0 xse ;x

f(x)

6) Esboce o gráfico das funções abaixo e verifique se elas são contínuas no ponto xo = 0.

a)

0 x se ; 2

0 xse ; 2

0 xse ; 2

f(x)

x

x

b)

0 xse ; 1x-

0 xse ; 2

0 xse ;e

f(x)

2

x

Obs: 1) O número e≅2,718 é muito importante em Cálculo e aparece em muitas aplicações;

2) A notação ln(x) significa que a base desse logaritmo é o número e≅2,718. Resumindo: ln(x) = loge(x)

7) Determine as constantes a e b de modo que

2x se ;ax3

2x se ;4bx

2x se ;4-2x

4x

xf

2

seja contínua no ponto x=2.

8) a) Considere a função

3 xse ;3x3

3 x se ; 3n

3 x se ; 1mx

)x(f

2

. Determine as constantes m, n de modo que:

a1) Exista xf lim3x

a2) f seja contínua em x=–3

b) Determine as constantes reais a e b de modo que f seja contínua no ponto xo, em cada caso a seguir:

b1) 1x 1x se ;2x

1x se ;2ax3xf o

2

b2) 2x

2x se ;bx

2x se ;ax

2x se ;3x3

xf o

2

3

As questões 9, 10, 11 se referem ao cálculo de limites por métodos algébricos, sem uso de figuras.

9) Calcule os seguintes limites indeterminados: (método da fatoração)

a)3x4x

2x3x lim

2

2

1x

b)

x2x

8x2 lim

2

2

2x

c)

4x

8x lim

2

3

2x

d)

18x3x

27x lim

2

3

3x

10) Calcule os seguintes limites envolvendo raízes: (multiplicação e divisão pelo conjugado)

a)3x

18x2lim

9x

b)

2x

16xlim

2

4x

c)

1x

25xlim

1x

d) 4x

31x4lim

22x

e)

22x

31x5lim

2x

11) Calcule os seguintes limites:

a) x2x

4x lim

2

2

2x

b)

1x

1x2x lim

3

2

1x

c)

4t4t3

4t lim

2

2

2t

d) 1

limx

1x3x2

2xx4x323

23

e)

x

16)x4(lim

2

0x

f)

3x8x

9x6xlim

3

3

3x

g) 1x8

2x3x2 lim

3

2

21x

h)

2x

8x lim

3

2x

i) 3

2

2

2x 2x5x3

4x lim

j) 2x

16xlim

2

4x

k)

x

2 2xlim

0x

l)

1x

1x lim

1x

Respostas:

4)

4)x(f lim e 2)x(f lim2 x2 x

⟹ o limite não existe nesse

ponto

0)x(f lim)x(f lim0 x0 x

e f(0)=0 ⟹ o limite existe nesse

ponto e além disso a função é contínua (nesse ponto)

2)x(f lim)x(f lim1 x1 x

, f(1)=1 ⟹ o limite existe nesse ponto

mas a função não é contínua (nesse ponto)

5) a) b) c)

a) 1)x(flim

1x

, 2)x(flim1x

b), 1)x(flim0x

1)x(flim0x

c) 0)x(flim1x

, 0)x(flim1x

x

y

-3 -2 -1 1 2 3 4

-3

-2

-1

1

2

3

4

x

y

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2

-4

-3

-2

-1

1

2

3

x

y

-8 -6 -4 -2 2

-4

-2

2

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2

1

2

-1

4

d) e) f)

d) )x(flim2)x(flim1x1x

, )x(flim0)x(flim1x1x

e) 2)x(flim1x

, 1)x(flim1x

,

f) 0)x(flim0x

,

)x(flim0x

, não existe.

6)

a) b)

a) 1)(lim

0

xfx

, 1)(lim0

xfx

, 1)(lim0

xfx

e f(0) = 2 (f é descontínua em x = 0)

b) 0)(lim0

xfx

,

)(lim0

xfx

, não existe )(lim0

xfx

e f(0) = 2 (f é descontínua em x = 0)

c) ...78281,2)(lim0

exfx

,

)(lim0

xfx

, não existe )(lim0

xfx

e f(0) = e

(f é descontínua em x = 0)

7) a = -4 b = 3

8) a) (a1) m = 9

13 e n qualquer (a2) m =

9

13 e n = 4 b) (b1) a = – 1 (b2) a =

2

3 e b = – 1

9) a) 1/2 b) 4 c) 3 d) 3 10) a) 12 b) 32 c) ¼ d)1/6 e) 10/3

11) a) 2 b) 0; c) 1/2 d) 5/3 e) 8 f) 21/19 g) 5/6

h) 12 i) 3 7/4 ; j) 32; k) 4/2 ; l) 1/2

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2 3

-4

-2

2

x

y

-3 -2 -1 1 2 3

-2

-1

1

2

x

y

-4 -3 -2 -1 1 2

-2

2

1