Caixeiro viajante com seleção de hotéis

TSPSH

• Dado um conjunto H de hotéis e um conjunto C de clientes o TSPSH é definido em um grafo completo G = (V, A) onde V = H C e A = {(i,j)| i, j V, i j}.

• Cada cliente demanda um serviço ou um tempo de visita i (com i = 0 , i H).

• O tempo cij necessário para viajar de um vértice i para um j, é conhecido para todos os pares de vértices.

Definições

• Entende-se por viagem, todo subtour que começa em um hotel disponível, visita clientes e termina também em um hotel.

• Tour é a soma de todas as viagens, sendo que deve começar em um hotel inicial e terminar nesse mesmo hotel.

Objetivo

• O primeiro objetivo é minimizar o número de viagens conectadas que são necessárias para visitar todos os clientes. Em segundo, minimizar o tempo total de viagem do tour.

Restrições

• Existe um hotel inicial i=0 , de onde o tour deve começar e terminar. Nada impede que esse hotel seja utilizado como hotel intermediário durante o tour.

• Cada viagem deve começar e terminar em um hotel disponível.

• O tempo total de uma viagem não deve exceder um tempo limite L.

Restrições

• Uma viagem deve começar exatamente do hotel onde a viagem anterior parou.

• O tempo total de uma viagem não deve exceder um tempo limite L.

• Não há limite de visitas a um hotel específico.

Modelo Matemático

• Dado xijd uma variável binária que assume valor 1

se, em uma viagem d a visita a um cliente ou a um hotel i é seguida por uma visita a um hotel ou cliente j , e valor 0 caso contrário.

• Assuma também a variável binária yd que assume valor 1 se em um dia pelo menos um cliente foi visitado. Será 0 se em um dia d não for requerida nenhuma viagem do dia d.

• Por último D representa o número máximo de viagens que pode ter a solução.

Função objetivo

• Min• Minimizar o número de viagens e o tempo total

do tour.• M é um número suficientemente grande, para

que é multiplicado na função objetivo, para que soluções com menor número de viagens sejam sempre melhores do que aquelas com maior número.

M σ 𝑦𝐷𝑑=1 d + σ ( σ 𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗 )ሺ𝑖,𝑗ሻ∈𝐴𝐷𝑑=1

Sujeito a :

• 1 A restrição número 1 diz que cada cliente é visitado uma única vez durante todo o tour.

• 2 Restrição 2 garante a conectividade de cada viagem.

• 3 • 4

Restrições 3 e 4 dizem que toda viagem deve começar e terminar em um hotel.

σ σ 𝑥𝑖𝑗𝑑𝑖∈𝑉𝐷𝑑=1 = 1 ,𝑗 ∈𝐶

σ 𝑥𝑖𝑗𝑑𝑖∈𝑉 = σ 𝑥𝑗𝑖𝑑𝑖∈𝑉 ,𝑗 ∈𝐶 ,𝑑= 1,2,3…𝐷

σ σ 𝑥ℎ𝑗𝑑𝑗∈𝐶ℎ∈𝐻 = 𝑦𝑑 , d=1,2,3...D σ σ 𝑥𝑖ℎ𝑑𝑖∈𝐶ℎ∈𝐻 = 𝑦𝑑 , d=1,2,3...D

Sujeito a :

• (5)Restrição 5 impõe a máxima duração de cada viagem.

• 6

• (7) Restrições 6 e 7 dizem que o tour deve começar e terminar no hotel 0.

σ (𝑐𝑖𝑗+ 𝜏𝑖)(𝑖,𝑗)∈𝐴 𝑥𝑖𝑗𝑑 ≤ 𝐿 , d=1,2,...D

𝑥0𝑗 = 11𝑗∈𝑉/{0}

σ 𝑥𝑖0 1𝑖∈𝑉/{0} ≥ 𝑦𝑑 - 𝑦𝑑−1 , d=1,2, ..., D-1

Sujeito a :

• (8 )

• (9)

Restrições 8 e 9 dizem que se uma viagem termina em um hotel, a próxima deve começar no mesmo hotel.

σ 𝑥𝑖ℎ 𝑑𝑖∈𝑉 + 𝑦𝑑 ≥ σ 𝑥ℎ𝑖 𝑑+1𝑖∈𝑉 + 𝑦𝑑+1

h∈𝐻,𝑑= 1,….,𝐷

1− 𝑦𝑑+1 ≥ σ 𝑥𝑖ℎ 𝑑𝑖∈𝑉 − σ 𝑥ℎ𝑖 𝑑+1𝑖∈𝑉

h∈𝐻,𝑑= 1,….,𝐷

Sujeito a :

• (10)

Restrição 10 diz que uma viagem é marcada como iniciada, se pelo menos um cliente foi visitado em um dia d.

• (11) Restrição 11 afirma que as viagens ocorrem em dias

consecutivos. Começando no dia 1.

𝑥𝑖𝑗𝑑 ≤ 𝑦𝑑, (i,j)∈𝐴 , d=1,....,D

𝑦𝑑 ≥ 𝑦𝑑+1 , d=1,...., D-1

Sujeito a :

• (12)

Restrição 12 é para eliminação de sobtours, visto que uma solução viável do TSPSH pode conter ciclos começando e terminando no mesmo hotel.

(13) (14)

13 e 15 definem o domínio das variáveis de decisão.

σ σ 𝑥𝑖𝑗𝑑𝑗∈𝜅−{𝑖}𝑖∈𝜅 ≤ |𝜅| -1, 𝜅⊂ 𝐶 ,2 ≤ 𝜅 ≤ ȁ(𝐶ȁ(−1,𝑑= 1,….,𝐷

𝑥𝑖𝑗 𝑑 ∈ሼ0,1ሽ, ሺ𝑖,𝑗ሻ∈𝐴,𝑑= 1,….,𝐷 𝑦 𝑑 ∈ሼ0,1ሽ, 𝑑= 1,….,𝐷