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CAIQUE FERREIRA BORGES
ANÁLISE DE MÉTODOS INDIRETOS PARA
DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE
PERMEABILIDADE DE SOLOS ARENOSOS
NATAL-RN
2020
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Caique Ferreira Borges
Análise de métodos indiretos para determinação do Coeficiente de Permeabilidade de Solos
Arenosos
Trabalho de Conclusão de Curso na modalidade
Monografia, submetido ao Departamento de
Engenharia Civil da Universidade Federal do Rio
Grande do Norte como parte dos requisitos
necessários para obtenção do Título de Bacharel em
Engenharia Civil.
Orientador: Prof. Dr. Fagner Alexandre Nunes
de França
Natal-RN
2020
Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRN
Sistema de Bibliotecas - SISBI
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Central Zila Mamede
Borges, Caique Ferreira.
Análise de métodos indiretos para determinação do Coeficiente de Permeabilidade de Solos Arenosos / Caique Ferreira Borges. -
2020.
18f.: il.
Artigo (Graduação) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Tecnologia, Bacharelado em Engenharia Civil,
Natal, 2020.
Orientador: Dr. Fagner Alexandre Nunes de França.
1. Condutividade hidráulica - Artigo. 2. Índice de vazios -
Artigo. 3. Fórmula de Hazen - Artigo. I. França, Fagner Alexandre
Nunes de. II. Título.
RN/UF/BCZM CDU 624
Elaborado por Raimundo Muniz de Oliveira - CRB-15/429
Caique Ferreira Borges
Análise de Métodos Indiretos para determinação do Coeficiente de Permeabilidade de
Solos Arenosos
Trabalho de conclusão de curso na
modalidade Artigo Científico, submetido ao
Departamento de Engenharia Civil da
Universidade Federal do Rio Grande do Norte
como parte dos requisitos necessários para
obtenção do título de Bacharel em Engenharia
Civil.
___________________________________________________
Prof. Dr. Fagner Alexandre Nunes de França – Orientador
___________________________________________________
Prof. Dr. Moacir Guilhermino da Silva – Examinador interno
___________________________________________________
Eng. Me. Marcio Avelino de Medeiros – Examinador externo
Natal-RN
2020
RESUMO
O solo apresenta vazios, preenchidos por ar ou água, os quais a água percola entre eles
e a facilidade dessa percolação é chamada de permeabilidade do solo. O presente trabalho
verifica a correlação entre características físicas do solo arenoso com sua permeabilidade, mais
especificamente a granulometria e os vazios. Dessa forma, através de pesquisas bibliográficas,
foi criado um banco de dados de características do solo para ser analisado graficamente o
comportamento da condutividade hidráulica. Baseando-se nas fórmulas empíricas de Allen
Hazen, de Taylor e de Casagrande buscou-se o aproveitamento das mesmas para encontrar uma
equação que leve em consideração a variação do índice de vazios e do diâmetro efetivo dos
solos arenosos.
Palavras-chave: Condutividade hidráulica, Índice de vazios, Granulometria, Fórmula de Hazen.
ABSTRACT
The soil presents voids, filled with air or water, which water percolates between them
and the ease of this percolation is called soil permeability. The present research work verifies
the correlation between physical characteristics of the sandy soil with its permeability, more
specifically the granulometry and voids. Thus, through bibliographic research, a database of
soil characteristics was created to be graphically analyzed the behavior of the hydraulic
conductivity. Based on the empirical formulas of Allen Hazen, Taylor and Casagrande, it was
sought to use them to find an equation that takes into account the variation of the void ratios
and the effective diameter of sandy soils.
Keywords: Hydraulic conductivity, Void ratios, Granulometry, Hazen’s Equation.
3
1 INTRODUÇÃO
Conforme Pinto (2006), a água, com muita frequência, ocupa a maior parte dos vazios
do solo e desloca-se no seu interior conforme as diferenças potenciais entre esses vazios. Dessa
forma, a permeabilidade se caracteriza pela facilidade desse deslocamento da água no solo.
Para a determinação da permeabilidade do solo é possível utilizar três maneiras
diferentes: métodos experimentais, métodos de campo e métodos indiretos. Esse trabalho visa
estudar os métodos indiretos, os quais são bastante utilizados na atualidade para solos arenosos.
A utilização desses métodos indiretos para a determinação da permeabilidade de solos arenosos
é necessária quando não há a disponibilidade de ensaios diretos no solo de estudo ou até quando
é uma obra de grande extensão que necessitaria de muitos ensaios. É fundamental a análise das
formas utilizadas atualmente, bem como a busca por outras maneiras de aproximação para
possibilitar essa simplificação empregada. Rose e Smith (1957) abordam a importância do
método simplificado para determinação da permeabilidade ainda na década de 50.
Devido à recente e rápida evolução dos recursos hídricos subterrâneos nos
últimos anos, existe uma necessidade crescente de um método simplificado
para determinar a permeabilidade e o bom rendimento de uma formação de
areia e cascalho quando apenas a curva granulométrica da formação está
disponível (ROSE; SMITH, 1957, p. 2)
O inglês Allen Hazen desenvolveu uma fórmula empírica para estimar a permeabilidade
das areias saturadas no século XIX. Trata-se de um método indireto que tem como parâmetro
de cálculo o diâmetro efetivo do solo, o qual é obtido através da curva granulométrica. Essa
curva é feita por meio do ensaio de determinação da composição granulométrica, conforme a
Norma NBR 7217 (1987).
Interligado com a permeabilidade estão as fórmulas desenvolvidas por Taylor e
Casagrande, as quais são utilizadas para estimar o valor da condutividade hidráulica (também
chamada de coeficiente de permeabilidade) através da utilização do índice de vazios e de
condutividade hidráulica conhecida para o mesmo solo arenoso.
Esse trabalho, utilizando de dados obtidos experimentalmente por pesquisadores do
Brasil, visa utilizar as fórmulas de Hazen, Taylor e Casagrande para definir uma equação em
que seja possível determinar, com boa precisão, o coeficiente de permeabilidade de um solo
4
arenoso através do índice de vazios e diâmetro efetivo das partículas. Com tal equação, foi
possível verificar a precisão, com os dados disponíveis, através da comparação.
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.1 PERMEABILIDADE
Conforme Caputo (1988), a permeabilidade é a propriedade que significa o quanto o
solo permite o escoamento da água através dele mesmo, sendo o grau de permeabilidade do
solo expresso numericamente pelo “coeficiente de permeabilidade”.
Na determinação do coeficiente de permeabilidade (ou condutividade hidráulica) é
considerado que o fluxo de água no solo acontece conforme a lei experimental de Darcy,
engenheiro francês que estabeleceu essa lei em 1856, a qual mostra que a velocidade de
percolação é diretamente proporcional ao gradiente hidráulico, conforme a fórmula a seguir:
𝑄 = 𝑘𝑖𝐴
Em que:
𝑄= Vazão;
𝐴= Área do Permeâmetro;
𝑖 = ℎ/𝐿: Gradiente Hidráulico.
Como mostrado, o Gradiente Hidráulico é a perda de carga por comprimento da amostra.
Sendo 𝐿 a Altura da amostra e ℎ a Carga Hidráulica. Tais elementos são exibidos na figura a
seguir:
Fonte: adaptado de CAPUTO (1988).
Figura 1 – Exemplos de elementos que compões a lei de Darcy.
5
2.1.1 DETERMINAÇÃO DE PERMEABILIDADE PARA SOLOS ARENOSOS
Para determinar a permeabilidade de um solo granular (arenoso) existem os métodos
diretos, os quais são divididos em ensaios laboratoriais e ensaios de campo, e métodos indiretos,
os quais se utilizam de outros parâmetros para estimar a permeabilidade do solo. Para solos
granulares, os procedimentos se resumem a seguir:
a) Ensaio do Permeâmetro de carga constante
Conforme Das (2006), na instalação típica do laboratório para esse ensaio de
permeabilidade, o fornecimento de água na entrada é estabelecido para que a diferença de carga
entre entrada e saída mantenha-se constante durante todo o tempo do ensaio. No momento em
que uma vazão constante for estabelecida, a água será coletada em um recipiente graduado por
um determinado tempo pré-estabelecido.
O volume total de água coletado pode ser expresso por:
𝑄 = 𝐴 (𝑘ℎ
𝐿) 𝑡 => 𝑘 =
𝑄𝐿
𝐴ℎ𝑡
Em que 𝑄= volume de água coletado e 𝑡= tempo de coleta de água
O arranjo típico desse ensaio é mostrado na Figura 2:
Figura 2 – Arranjo do ensaio de
permeâmetro de carga constante
Fonte: PINTO (2006)
6
b) Ensaios de campo
Conforme a ABGE (2013), o ensaio para definir a condutividade hidráulica in situ
através dos furos de sondagens consiste na medida de vazão, representada pelo volume de água
absorvido ou retirado, durante um determinado tempo, em função da aplicação de diferenciais
de pressão induzida por colunas d’água, resultante da injeção ou da retirada de água do furo.
Em virtude dos parâmetros envolvidos, Pinto (2006) afirma que os ensaios de campo
são menos precisos que os de laboratório. Todavia, eles têm a vantagem de ensaiar o solo em
situação real, enquanto os ensaios laboratoriais, muitas vezes, são realizados com amostras não
tão bem representativas do solo.
Um dos ensaios mais utilizados em campo é o do Permeâmetro de Guelph. Tal ensaio,
consiste de um permeâmetro de carga constante que permite determinar o coeficiente de
permeabilidade saturado (SANTOS, 2004). Como tem facilidade de uso e de cálculo da
condutividade hidráulica saturada, se tornou muito útil em diversos tipos de obras de solo.
c) Métodos indiretos
Os métodos indiretos visam estimar o coeficiente de permeabilidade através de outros
atributos do solo arenoso como temperatura, granulometria e índice de vazios. Dentre esses
métodos estão a fórmula empírica de Hazen, Equação de Taylor e Equação de Casagrande.
2.2 GRANULOMETRIA
A Análise Granulométrica, segundo Pinto (2006), é utilizada para identificação dos
solos a partir das partículas que os constituem, utilizando dos diâmetros destas partículas como
parâmetro. Para solos arenosos, é indicado o peneiramento, já que as partículas de areia não
têm boa ligação química umas com as outras, diferentemente de partículas argilosas.
Essa Análise Granulométrica verifica a distribuição relativa ao peso do material de
acordo com os diâmetros das partículas, ou seja, relativa ao material retido em peneiras
graduadas. Essa verificação se traduz em uma representação gráfica através da curva
granulométrica que percorre os pontos no gráfico, na qual a porcentagem de material retido está
em escala aritmética e o diâmetro das partículas em escala logarítmica.
7
Para a análise da fórmula empírica de Hazen, tem-se como parâmetro mais importante
da curva granulométrica, o diâmetro efetivo 𝐷𝑒𝑓 = 𝐷10, que significa o diâmetro no qual 10%
de todo o peso do material tem partículas menores que ele.
A Figura 3 nos mostra um exemplo de curva granulométrica com os parâmetros 𝐷10 e
𝐷60 exibidos.
Figura 3 – 𝐷10 e 𝐷60 da curva
granulométrica.
Fonte: CAPUTO (1988).
2.3 FÓRMULA EMPÍRICA DE HAZEN
Como forma de estimar a permeabilidade indiretamente, a fórmula de Hazen é o método
mais frequente em literaturas e o mais utilizado na determinação de permeabilidade do solo
(Onur, 2014). Tal fórmula é empregada principalmente para areias fofas e uniformes, conforme
o cálculo:
𝑘 = 𝐶(𝐷10)²
Em que 𝑘 está em centímetros por segundo (𝑐𝑚/𝑠), e 𝐷10 dado em centímetros (𝑐𝑚).
Como referência para valores de 𝐶, Terzaghi et al (1996) mostra que pode variar de 50
a 200.
8
2.4 EQUAÇÃO DE TAYLOR
Conforme Pinto (2006), a equação de Taylor se baseia na percepção de quanto mais fofo
o estado do solo, maior será a permeabilidade do mesmo. Taylor correlacionou, através de uma
equação matemática, a condutividade hidráulica com o índice de vazios do solo. Dessa forma,
quando se conhece um 𝑘 para um certo 𝑒 pode-se calcular o 𝑘 para outro 𝑒 conhecido por meio
da proporção:
𝑘1
𝑘2=
𝑒13
(1 + 𝑒1)
𝑒23
(1 + 𝑒2)
Sendo 𝑘1 e 𝑘2 as condutividades hidráulicas expressas em centímetros por segundo
(𝑐𝑚/𝑠) e 𝑒1 e 𝑒2 os índices de vazios adimensionais.
Tal equação funciona bem para solo arenoso. Assim sendo, tem a capacidade de
diminuir o número de ensaios de permeabilidade para o mesmo solo, pois só necessita de um
único 𝑘1 conhecido.
2.5 EQUAÇÃO DE CASAGRANDE
A equação de Casagrande tem a mesma função da Equação de Taylor, se aproveitando
da observação que quanto mais fofo o solo, mais permeável ele é. A diferença está no fato de
que Casagrande determina o coeficiente de permeabilidade será utilizado, o qual é o 𝑘0,85 que
significa o 𝑘 para o 𝑒 = 0,85. Caputo (1988) mostra que a influência do índice de vazios na
permeabilidade, segundo Casagrande, é expressa pela equação:
𝑘 = 1,4 × 𝑘0,85 × 𝑒²
Sendo 𝑒 adimensional além de 𝑘 e 𝑘0,85 expresso em centímetros por segundo (𝑐𝑚/𝑠).
3 MATERIAIS E MÉTODOS
Por meio de pesquisas nos anais do Congresso Brasileiro de Mecânica dos Solos e
Engenharia Geotécnica (COBRAMSEG), do período de 2002 a 2018, foi buscado artigos de
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estudo que tenham o ensaio da curva granulométrica, condutividade hidráulica e índice de
vazios do material. Dessa forma, foi formado um banco de dados para fazer análises e trabalhos
gráficos. O resumo dos trabalhos analisados e do tipo de ensaio de permeabilidade usado está
no Quadro 1.
Quadro 1 – Tipos de ensaios de permeabilidade por artigo analisado.
Autor Tipo do Ensaio de Permeabilidade
(BENETTI; CONSOLI, 2016) Permeâmetro de carga constante
(SILVA; SANTOS, 2016) Permeâmetro de carga constante
(ROSA; SANTOS, 2016) Permeâmetro de carga constante
(COUTO; SANTOS, 2016) Permeâmetro de carga constante
(FERREIRA et al, 2008) Permeâmetro de carga constante
(FREITAS NETO et al, 2006) Permeâmetro de carga constante
(OLIVEIRA; RIBEIRO, 2006) Permeâmetro de carga constante
(SANTOS, 2004) Permeâmetro de carga constante
(HEINECK et al, 2002) Permeâmetro de Guelph
(SANTOS JR; SILVA; SILVA, 2002) Permeâmetro de carga constante
(MARTINS et al, 2002) Não informado
Fonte: AUTORIA PRÓPRIA
Através do site MYCURVEFIT (2020), foi feito um gráfico de dispersão dos pontos
obtidos por Condutividade hidráulica do solo versus Diâmetro efetivo ao quadrado, em que o
eixo das ordenadas está em centímetros por segundo e o eixo das abscissas em centímetros ao
quadrado. Junto a isso, foi definido uma faixa de índice de vazios variando entre 0,80 a 0,90,
de modo a poder simplificar todos índices de vazios do gráfico assumindo que são iguais a 0,85.
Após o gráfico pronto, foi feito uma linha de tendência dos pontos, para assim determinar o
Coeficiente 𝐶 da fórmula empírica de Hazen para quando o índice de vazios for 0,85.
Na sequência, disposto do valor do coeficiente 𝐶 para quando o 𝑒 = 0,85 e do 𝐷10 do
solo, utilizou-se da fórmula de Hazen afim de ter uma estimativa inicial para a condutividade
hidráulica. Depois dessa estimativa inicial, foi aplicado as equações de Casagrande e de Taylor
que utilizam do índice de vazios para refinar a estimativa feita inicialmente.
Dessa forma, foi comparado os métodos através do erro, que é calculado por:
𝑒𝑟𝑟𝑜 =𝑘𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
𝑘𝑟𝑒𝑎𝑙
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Portanto, quanto mais próximo de 1,00 o erro estiver, mais preciso o resultado será. Foi
considerado um erro aceitável até o limite superior de 10,00 e limite inferior de 0,1. Quanto
mais erros o método indireto tiver, menos eficaz ele é.
4 RESULTADOS E DISCUSSÃO
O Gráfico 1 foi feito através do método de dispersão, utilizando a condutividade
hidráulica obtida do ensaio de permeabilidade versus o diâmetro efetivo, obtido da curva
granulométrica, ao quadrado. É considerado que o índice de vazios é constante e igual a 0,85
para todos pontos desse gráfico.
Gráfico 1 – Condutividade hidráulica (𝑘) versus Diâmetro Efetivo ao
quadrado (𝐷10²).
Fonte: AUTORIA PRÓPRIA.
A linha de tendência obtida através do Gráfico 1, representa a equação de Hazen, tendo
o coeficiente 𝐶 ≅ 188. Logo, a fórmula de Hazen para estimar a condutividade hidráulica de
um solo com índice de vazios igual a 0,85 será:
𝑘ℎ𝑎𝑧𝑒𝑛 = 188 ∙ 𝐷102 (Equação 1)
A Tabela 1 tem os dados das amostras que estão representadas nesse Gráfico 1 e também
elucida todos os índices de vazios dessas amostras, os quais variam entre 0,80 e 0,90, de modo
a permitir considerar que todos sejam igual a 0,85:
0,00E+00
5,00E-03
1,00E-02
1,50E-02
2,00E-02
2,50E-02
1,00E-05 3,00E-05 5,00E-05 7,00E-05 9,00E-05 1,10E-04
k (c
m/s
)
D10² (cm²)
k vs D10²
y = 187,9295x
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Tabela 1 – Dados das amostras usadas afim de definir o Coeficiente da fórmula
de Hazen para e = 0,85.
Amostra e (real) e (considerado) D10(cm) D10² (cm²) k (cm/s)
01 0,80 0,85 0,0061 3,72E-05 2,79E-03
02 0,80 0,85 0,0050 2,50E-05 3,00E-03
03 0,80 0,85 0,0058 3,36E-05 1,05E-02
04 0,82 0,85 0,0060 3,60E-05 4,60E-03
05 0,82 0,85 0,0060 3,60E-05 7,73E-03
06 0,82 0,85 0,0058 3,36E-05 6,62E-03
07 0,82 0,85 0,0065 4,23E-05 1,04E-02
08 0,83 0,85 0,0057 3,25E-05 8,50E-03
09 0,83 0,85 0,0065 4,23E-05 1,20E-02
10 0,84 0,85 0,0040 1,60E-05 2,10E-03
11 0,85 0,85 0,0071 5,04E-05 3,70E-03
12 0,88 0,85 0,0050 2,50E-05 1,84E-04
13 0,89 0,85 0,0108 1,17E-04 2,35E-02
14 0,90 0,85 0,0101 1,02E-04 1,89E-02 Fonte: AUTORIA PRÓPRIA
Tanto a equação de Casagrande quanto a de Taylor serão aplicadas a partir do resultado
da Equação 1. Dessa forma a Equação de Taylor ficará:
Equação 2 – Dedução da fórmula baseada na Equação de Taylor e Hazen
𝑘1
𝑘2=
𝑒13
(1 + 𝑒1)
𝑒23
(1 + 𝑒2)
=>188𝐷10
2
𝑘2=
0,853
(1 + 0,85)
𝑒23
(1 + 𝑒2)
=> 𝑘2 = 𝑘𝑇𝑎𝑦𝑙𝑜𝑟 = 566,334𝐷102
𝑒3
(1 + 𝑒)
Com o mesmo procedimento, tem-se essa equação para Casagrande:
Equação 3 – Dedução da fórmula baseada na Equação de Casagrande e Hazen.
𝑘𝐶𝑎𝑠𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 = 1,4 ∙ 𝑘0,85 ∙ 𝑒2 => 𝑘 = 1,4 ∙ 188𝐷102 ∙ 𝑒2 => 𝑘 = 263,2𝐷10
2 ∙ 𝑒2
Dessa forma, observa-se que as três equações terão resultados diferentes e a Tabela 2
demonstra os resultados obtidos. Com ela podemos averiguar qual o método mais eficaz através
dos erros calculados. Tem-se o 𝑘𝐻𝑎𝑧𝑒𝑛 calculado conforme a Equação 1, o 𝑘𝑇𝑎𝑦𝑙𝑜𝑟 obtido de
acordo com Equação 2 e o 𝑘𝐶𝑎𝑠𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒 estimado segundo a Equação 3.
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Tabela 2 – Resultados das estimativas obtidas pelas equações de Hazen, Taylor e Casagrande.
Autor Nº e D10(cm) k (cm/s) C 𝑘𝐻𝑎𝑧𝑒𝑛
(cm/s) Erro
𝑘𝑇𝑎𝑦𝑙𝑜𝑟
(cm/s) Erro
𝑘𝐶𝑎𝑠𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
(cm/s) Erro
(BENETTI; CONSOLI, 2016) 01 0,60 0,00032 3,47E-05 188 1,93E-05 0,55 7,92E-06 0,23 9,79E-06 0,28
(BENETTI; CONSOLI, 2016) 02 0,51 0,00032 4,82E-06 188 1,93E-05 3,99 5,08E-06 1,05 6,99E-06 1,45
(BENETTI; CONSOLI, 2016) 03 0,70 0,00032 9,07E-05 188 1,93E-05 0,21 1,18E-05 0,13 1,33E-05 0,15
(BENETTI; CONSOLI, 2016) 04 0,60 0,00032 2,73E-05 188 1,93E-05 0,71 7,74E-06 0,28 9,62E-06 0,35
(BENETTI; CONSOLI, 2016) 05 0,50 0,00032 6,86E-06 188 1,93E-05 2,81 4,87E-06 0,71 6,78E-06 0,99
(BENETTI; CONSOLI, 2016) 06 0,74 0,00032 1,25E-04 188 1,93E-05 0,15 1,35E-05 0,11 1,48E-05 0,12
(BENETTI; CONSOLI, 2016) 07 0,59 0,00032 2,17E-05 188 1,93E-05 0,89 7,57E-06 0,35 9,46E-06 0,44
(BENETTI; CONSOLI, 2016) 08 0,50 0,00032 3,38E-06 188 1,93E-05 5,70 4,87E-06 1,44 6,78E-06 2,01
(SILVA; SANTOS, 2016) 09 0,93 0,01010 1,41E-02 188 1,92E-02 1,36 2,41E-02 1,71 2,32E-02 1,65
(SILVA; SANTOS, 2016) 10 0,90 0,01010 1,89E-02 188 1,92E-02 1,01 2,22E-02 1,17 2,18E-02 1,15
(SILVA; SANTOS, 2016) 11 0,89 0,01080 2,35E-02 188 2,19E-02 0,93 2,46E-02 1,05 2,43E-02 1,03
(SILVA; SANTOS, 2016) 12 0,66 0,01010 3,83E-03 188 1,92E-02 5,01 1,00E-02 2,61 1,17E-02 3,05
(SILVA; SANTOS, 2016) 13 0,62 0,01010 1,53E-03 188 1,92E-02 12,53 8,50E-03 5,55 1,03E-02 6,74
(SILVA; SANTOS, 2016) 14 0,84 0,01080 9,44E-03 188 2,19E-02 2,32 2,13E-02 2,25 2,17E-02 2,29
(SILVA; SANTOS, 2016) 15 0,49 0,01010 3,06E-04 188 1,92E-02 62,67 4,56E-03 14,91 6,45E-03 21,07
(ROSA; SANTOS, 2016) 16 1,52 0,00500 3,07E-02 188 4,70E-03 0,15 1,98E-02 0,64 1,52E-02 0,50
(ROSA; SANTOS, 2016) 17 1,24 0,00500 8,18E-03 188 4,70E-03 0,57 1,20E-02 1,47 1,01E-02 1,23
(ROSA; SANTOS, 2016) 18 1,03 0,00500 1,81E-03 188 4,70E-03 2,60 7,57E-03 4,19 6,94E-03 3,84
(COUTO; SANTOS, 2016) 19 1,05 0,01000 7,99E-02 188 1,88E-02 0,24 3,20E-02 0,40 2,90E-02 0,36
(COUTO; SANTOS, 2016) 20 0,73 0,01000 1,03E-03 188 1,88E-02 18,25 1,27E-02 12,36 1,40E-02 13,62
(COUTO; SANTOS, 2016) 21 1,01 0,00850 1,96E-01 188 1,36E-02 0,07 2,10E-02 0,11 1,94E-02 0,10
(COUTO; SANTOS, 2016) 22 0,58 0,00850 1,14E-03 188 1,36E-02 11,91 5,05E-03 4,43 6,40E-03 5,61
(COUTO; SANTOS, 2016) 23 1,17 0,00610 6,66E-02 188 7,00E-03 0,11 1,56E-02 0,23 1,34E-02 0,20
(COUTO; SANTOS, 2016) 24 0,80 0,00610 2,79E-03 188 7,00E-03 2,51 5,99E-03 2,15 6,27E-03 2,25
(COUTO; SANTOS, 2016) 25 0,61 0,00150 1,48E-03 188 4,23E-04 0,29 1,80E-04 0,12 2,20E-04 0,15
13
(Continua) Tabela 2 – Resultados das estimativas obtidas pelas equações de Hazen, Taylor e Casagrande.
Autor Nº e D10(cm) k (cm/s) C 𝑘𝐻𝑎𝑧𝑒𝑛
(cm/s) Erro
𝑘𝑇𝑎𝑦𝑙𝑜𝑟
(cm/s) Erro
𝑘𝐶𝑎𝑠𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
(cm/s) Erro
(FERREIRA et al, 2008) 26 0,85 0,00710 3,70E-03 188 9,48E-03 2,56 9,60E-03 2,59 9,68E-03 2,62
(FREITAS NETO et al, 2006) 27 0,97 0,01500 8,90E-02 188 4,23E-02 0,48 5,90E-02 0,66 5,57E-02 0,63
(FREITAS NETO et al, 2006) 28 0,95 0,01400 9,72E-02 188 3,68E-02 0,38 4,88E-02 0,50 4,66E-02 0,48
(FREITAS NETO et al, 2006) 29 0,99 0,01600 7,56E-02 188 4,81E-02 0,64 7,07E-02 0,94 6,60E-02 0,87
(FREITAS NETO et al, 2006) 30 0,51 0,01500 1,23E-02 188 4,23E-02 3,44 1,12E-02 0,91 1,54E-02 1,25
(FREITAS NETO et al, 2006) 31 0,53 0,01400 1,18E-02 188 3,68E-02 3,12 1,08E-02 0,92 1,45E-02 1,23
(FREITAS NETO et al, 2006) 32 0,57 0,01600 1,34E-02 188 4,81E-02 3,59 1,71E-02 1,28 2,19E-02 1,63
(OLIVEIRA; RIBEIRO, 2006) 33 0,53 0,00600 2,60E-03 188 6,77E-03 2,60 1,98E-03 0,76 2,66E-03 1,02
(OLIVEIRA; RIBEIRO, 2006) 34 0,53 0,00500 1,20E-03 188 4,70E-03 3,92 1,38E-03 1,15 1,85E-03 1,54
(OLIVEIRA; RIBEIRO, 2006) 35 0,54 0,00400 6,30E-04 188 3,01E-03 4,77 9,27E-04 1,47 1,23E-03 1,95
(OLIVEIRA; RIBEIRO, 2006) 36 0,82 0,00600 4,60E-03 188 6,77E-03 1,47 6,18E-03 1,34 6,37E-03 1,39
(OLIVEIRA; RIBEIRO, 2006) 37 0,80 0,00500 3,00E-03 188 4,70E-03 1,57 4,03E-03 1,34 4,21E-03 1,40
(OLIVEIRA; RIBEIRO, 2006) 38 0,84 0,00400 2,10E-03 188 3,01E-03 1,43 2,92E-03 1,39 2,97E-03 1,41
(SANTOS, 2004) 39 0,79 0,00500 6,97E-03 188 4,70E-03 0,67 3,90E-03 0,56 4,11E-03 0,59
(SANTOS, 2004) 40 0,82 0,00600 7,73E-03 188 6,77E-03 0,88 6,18E-03 0,80 6,37E-03 0,82
(SANTOS, 2004) 41 0,82 0,00580 6,62E-03 188 6,32E-03 0,96 5,77E-03 0,87 5,95E-03 0,90
(SANTOS, 2004) 42 0,80 0,00580 1,05E-02 188 6,32E-03 0,60 5,42E-03 0,52 5,67E-03 0,54
(SANTOS, 2004) 43 0,83 0,00570 8,50E-03 188 6,11E-03 0,72 5,75E-03 0,68 5,89E-03 0,69
(SANTOS, 2004) 44 0,83 0,00650 1,20E-02 188 7,94E-03 0,66 7,48E-03 0,62 7,66E-03 0,64
(SANTOS, 2004) 45 0,82 0,00650 1,04E-02 188 7,94E-03 0,76 7,25E-03 0,70 7,48E-03 0,72
(HEINECK et al, 2002) 46 1,31 0,00105 1,78E-04 188 2,07E-04 1,16 6,08E-04 3,41 4,98E-04 2,80
(HEINECK et al, 2002) 47 1,33 0,00105 1,68E-04 188 2,07E-04 1,23 6,30E-04 3,75 5,13E-04 3,06
(HEINECK et al, 2002) 48 1,28 0,00105 7,34E-05 188 2,07E-04 2,82 5,74E-04 7,82 4,75E-04 6,48
(HEINECK et al, 2002) 49 1,15 0,00042 5,67E-05 188 3,32E-05 0,58 7,07E-05 1,25 6,14E-05 1,08
(HEINECK et al, 2002) 50 1,16 0,00042 4,25E-05 188 3,32E-05 0,78 7,22E-05 1,70 6,25E-05 1,47
14
(Conclusão) Tabela 2 – Resultados das estimativas obtidas pelas equações de Hazen, Taylor e Casagrande.
Autor Nº e D10(cm) k (cm/s) C 𝑘𝐻𝑎𝑧𝑒𝑛
(cm/s) Erro
𝑘𝑇𝑎𝑦𝑙𝑜𝑟
(cm/s) Erro
𝑘𝐶𝑎𝑠𝑎𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒
(cm/s) Erro
(HEINECK et al, 2002) 51 1,17 0,00042 2,16E-05 188 3,32E-05 1,54 7,37E-05 3,41 6,36E-05 2,94
(HEINECK et al, 2002) 52 1,13 0,00042 1,29E-05 188 3,32E-05 2,57 6,77E-05 5,25 5,93E-05 4,60
(HEINECK et al, 2002) 53 1,19 0,00042 1,12E-05 188 3,32E-05 2,96 7,69E-05 6,86 6,57E-05 5,87
(SANTOS JR; SILVA; SILVA, 2002) 54 0,98 0,03000 9,27E-02 188 1,69E-01 1,83 2,42E-01 2,61 2,27E-01 2,45
(SANTOS JR; SILVA; SILVA, 2002) 55 0,93 0,01600 8,60E-02 188 4,81E-02 0,56 6,04E-02 0,70 5,83E-02 0,68
(SANTOS JR; SILVA; SILVA, 2002) 56 0,61 0,03000 1,67E-02 188 1,69E-01 10,13 7,19E-02 4,30 8,81E-02 5,28
(SANTOS JR; SILVA; SILVA, 2002) 57 0,53 0,01600 1,88E-02 188 4,81E-02 2,56 1,41E-02 0,75 1,89E-02 1,01
(MARTINS et al, 2002) 58 0,70 0,00050 1,00E-05 188 4,70E-05 4,70 2,86E-05 2,86 3,22E-05 3,22
Quantidade de erros não aceitáveis 6 2 3
Erro médio 3,56 2,14 2,31
Desvio Padrão 8,58 2,79 3,38 Fonte: AUTORIA PRÓPIA
15
Como visto na Tabela 2, o erro médio das três fórmulas está próximo de 1,00, tendo
Taylor e Casagrande se aproximado mais ainda, evidenciando o refino que trazem à estimativa.
Já em consideração ao desvio padrão, a equação de Hazen não foi satisfatória, enquanto as
demais tiveram bom desempenho, com desvio padrão abaixo de 3,50. É visto que a equação
baseada na fórmula de Taylor obteve melhores resultados nos dois critérios, principalmente no
desvio padrão que ficou próximo ao erro médio.
Destrinchando os dados, é visto que os ensaios de número 13, 21, 24 e 56 são bons
exemplos de como as equações de Taylor e Casagrande podem corrigir maiores erros da
Fórmula de Hazen, já que nessas quatro amostras, o erro se tornou aceitável com a utilização
dessas equações. Observando os ensaios 15 e 20, nota-se que também houve uma boa melhora
da estimativa com o uso das demais equações, mesmo que não tenham resultado um erro
aceitável. Apesar disso, verifica-se que em 25 casos houve melhor estimativa pelo método de
Hazen, porém as diferenças para os métodos de Taylor e Casagrande não ficaram tão grandes
nesses casos.
O coeficiente 𝐶 da equação de Hazen, o qual foi obtido graficamente, gerou uma boa
determinação da condutividade hidráulica para quando índice de vazios for igual a 0,85, mesmo
com alguns erros não aceitáveis. Percebe-se que as equações conseguem uma excelente
estimativa em comparação aos dados reais, principalmente quando utiliza-se a equação de
Hazen junto com a de Taylor, a qual só obteve 2 erros não aceitáveis e teve bons valores de erro
médio e desvio padrão. Todavia, Casagrande também propôs uma equação que funciona bem e
aproxima bastante o cálculo do coeficiente de permeabilidade real.
5 CONCLUSÃO
Com o objetivo de analisar o melhor método indireto de estimar a condutividade
hidráulica do solo granular, o presente trabalho analisou as fórmulas empíricas de Hazen,
Taylor e Casagrande. A proposta do trabalho é definir um coeficiente empírico 𝐶 da equação
de Hazen para quando o índice de vazios fosse igual a 0,85 e assim poder utilizar esses valores
nas fórmulas de Taylor e Casagrande.
Foi encontrado, graficamente, o coeficiente 𝐶 igual a 188, que está congruente com o
que é dito na literatura, conforme Terzaghi et al (1996). Utilizando o coeficiente encontrado e
16
o índice de vazios igual a 0,85, percebeu-se que a Fórmula de Hazen atingiu uma boa estimativa
para a condutividade hidráulica, porém as equações de Taylor e Casagrande refinam a
estimativa aproximando os valores do real. Em resultados concretos, percebe-se que a fórmula
de Hazen obteve 89,7% de boas estimativas para a condutividade hidráulica, enquanto Taylor
conseguiu 96,6% e Casagrande atingiu 94,8%. Logo, a fórmula baseada na equação de Taylor
obteve resultados ligeiramente melhores que Casagrande, mas é perceptível que qualquer uma
das duas podem ser usadas com boa precisão. O trabalho deixa uma janela de possibilidades
para um estudo mais detalhado do valor do coeficiente 𝐶 que tenha outros índices de vazios
como referência, para analisar qual teria melhor taxa de acerto.
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