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Matemtica
Anos Finais do Ensino Fundamental
Formao Continuada Caderno 3
Ao de Fortalecimentoda Aprendizagem
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GERENTE DE POLTICAS EDUCACIONAISDE EDUCAO INFANTIL E ENSINO FUNDAMENTALShirley Malta
CHEFE DE UNIDADE DE ENSINOFUNDAMENTAL ANOS FINAISRosinete Feitosa
ESPECIALISTAS EM MATEMTICAANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTALDeuzimar Machado BarrosoJaelson Dantas de AlmeidaMaria Snia Leito Melo VieiraVilma Bezerra da Silva
ENDEREO:Avenida Afonso Olindense, 1513
Vrzea | Recife-PE, CEP 50.810-000Fone: (81) 3183-8200 | Ouvidoria: 0800-2868668
www.educacao.pe.gov.brUma produo da Superintendncia de
Comunicao da Secretaria de Educao
GOVERNADOR DE PERNAMBUCO
Paulo Henrique Saraiva Cmara
SECRETRIO DE EDUCAO
Frederico da Costa Amancio
SECRETRIO EXECUTIVO DECOORDENAO
Severino Jos de Andrade Jnior
SECRETRIA EXECUTIVA DEDESENVOLVIMENTO DA EDUCAO
Ana Coelho Vieira Selva
SECRETRIO EXECUTIVO DEEDUCAO PROFISSIONAL
Paulo Fernando de Vasconcelos Dutra
SECRETRIO EXECUTIVO DE GESTO
Ednaldo Alves de Moura Jnior
SECRETRIO EXECUTIVO DEGESTO DA REDE
Joo Carlos de Cintra Charamba
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SUMRIO
Introduo
1.As Gerncias Regionais de Educao no SAEPE 20131.1.Descritores X Percentuais alcanados pelas 17 Regionais Estaduais
1.2.Descritores com percentual de acerto At 25%
2.Organizao dos blocos de contedos segundo os Parmetros naSala de Aula
3.Orientaes para o Ensino Geometria
3.1.Contedos e expectativas de aprendizagens relacionadas com osdescritores com percentuais de acerto de at 25%
3.2.Orientaes para o ensino segundo os Parmetros na Sala de AulaSugesto de atividades
3.3.Exerccios
4.Orientaes para o Ensino lgebra e Funes
4.1.Contedos e expectativas de aprendizagens relacionadas com osdescritores com percentuais de acerto de at 25%
4.2.Orientaes para o ensino segundo os Parmetros na Sala de Aula
4.3.Sugesto de atividades
4.4.Exerccios
5.Orientaes para o Ensino Grandezas e Medidas
5.1.Contedos e expectativas de aprendizagens relacionadas com osdescritores com percentuais de acerto de at 25%
5.2.Orientaes para o ensino segundo os Parmetros na Sala de Aula
5.3.Sugesto de atividades
5.4.Exerccios
6.Orientaes para o Ensino Nmeros e Operaes
6.1.Contedos e expectativas de aprendizagens relacionadas com osdescritores com percentuais de acerto de at 25%
6.2.Orientaes para o ensino segundo os Parmetros na Sala de AulaSugesto de atividades
6.3.Exerccios
7.Referncias.8.Anexos
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INTRODUO
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intensa presso que a sociedade vemtravando nos ltimos anos pela
melhoria da qualidade da educaodesenvolvida no nosso pas determinou aconstruo e a implementao de polticas deavaliao educacional nas diferentes esferasdo governo. Assim surgiram as avaliaes emlarga escala, tambm denominadas deavaliaes externas, em nosso estado,desenvolvidas por meio do SAEB Sistema deAvaliao da Educao Bsica (nacional) eSAEPE Sistema de Avaliao Educacional de
PE.As avaliaes externas, geralmente em largaescala, tm objetivos e procedimentosdiferenciados das avaliaes realizadas pelosprofessores nas salas de aula. Os resultadospor elas apontados devem ser objetos dereflexo para a reorientao da poltica deensino por parte dos gestores do sistema e daprtica pedaggica por parte de gestoresescolares, coordenadores pedaggicos eprofessores. O envolvimento efetivo de todosos atores participantes desse processo essencial para que a melhoria dos resultadosseja alcanada.
Convm destacar que mesmo antes daimplantao dos sistemas de avaliao emlarga escala em nosso pas, o processo deavaliao j era algo bastante presente nocotidiano da escola: tradicionalmente, os
professores aferem o aprendizado dos seusalunos atravs de diversos instrumentos(observaes, registros, provas etc.) eindicam o que precisa ser feito para que elestenham condies de avanar no sistemaescolar.
Hoje, em nossa prtica, precisamos refletirsobre dois resultados: o da avaliao interna,realizada pelo professor e o da avaliaoexterna, realizada pelo sistema de ensino. Essa
reflexo deve subsidiar a busca pela articula-o entre as competncias e habilidades
definidas nas matrizes das avaliaes externase as expectativas de aprendizagem definidasno currculo do estado.
Ressaltamos a importncia de que sejamevitadas aes pedaggicas que visem oatendimento especfico (preparao) apenaspara uma ou outra avaliao. O trabalhopedaggico escolar que objetiva a preparaodo estudante para a vida, para sua atuaocidad no mundo em que vive deve sintonizar osdois resultados observados qualificando-osainda mais para poder agir sobre eles. Espera-se que o trabalho pedaggico escolar, ao serrealizado tendo como foco a construo deaprendizagens significativas pelo estudante,tenha como consequncia a elevao dosndices dos resultados apresentados pelosestudantes nas avaliaes internas e externas.
A avaliao s vezes vista com reserva na
comunidade de professores de matemtica emvirtude da possibilidade de os resultados sereminterpretados como indicadores do fracasso doprocesso de ensino e aprendizagem. Noentanto, mudanas positivas esto sendoobservadas como resultados da prticapedaggica desenvolvida a partir dos estudosda Educao Matemtica.
Neste documento as sugestes propostasbuscam articular as discusses apresentadasnos principais documentos oficiais vigentes, eem particular, a articulao entre os descritoresdas matrizes de avaliao externa e asexpectativas de aprendizagem do Currculo deMatemtica dos Anos Finais do EnsinoFundamental. Temos a clareza de que os bonsresultados no surgiram imediatamente, masque as decises tomadas a partir de seuconhecimento so determinantes para alcan-los.
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01 - RECIFE NORTE
02 - RECIFE SUL
03 - METROPOLITANA NORTE04 - METROPOLITANA SUL
05 - MATA NORTE (Nazar da Mata)
06 - MATA CENTRO (Vitria de Santo Anto)
07 - MATA SUL (Palmares)
08 - LITORAL SUL (Barreiros)
09 - VALE DO CAPIBARIBE (Limoeiro)
(Caruaru)10 - AGRESTE CENTRO NORTE
(Garanhuns)11 - AGRESTE MERIDIONAL
(Arcoverde)12 - SERTO DO MOXOT
(Afogados da Ingazeira)13 - SERTO DO ALTO PAJE
(Floresta)14 - SERTO DO SUBMDIO SO FRANCISCO
(Petrolina)15 - SERTO DO MDIO SO FRANCISCO
(Salgueiro)16 - SERTO CENTRAL
(Araripina)17 - SERTO DO ARARIPE Formao
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GERNCIAS REGIONAIS DE EDUCAOSAEPE 2013
GERNCIASREGIO
NAISDEEDUCAO
01
05
0204
03
0807
06
09
10
11
12
13
14
16
15
17
SERTO DO PAJE
SERTO CENTRAL
ARARIPE
SERTO SO FRANCISCO
ITAPARICA
SERTO DO MOXOT
AGRESTE MERIDIONAL
AGRESTE SETENTRIONAL
AGRESTE CENTRAL
MATA SUL
MATA NORTE
REGIO DE DESENVOLVIMENTO
METROPOLITANA
REGIO DE DESENVOLVIMENTO
REGIO DE DESENVOLVIMENTO
REGIO DE DESENVOLVIMENTO
REGIO DE DESENVOLVIMENTO
REGIO DE DESENVOLVIMENTO
REGIO DE DESENVOLVIMENTO
REGIO DE DESENVOLVIMENTO
REGIO DE DESENVOLVIMENTO
REGIO DE DESENVOLVIMENTO
REGIO DE DESENVOLVIMENTO
*Fronteiras das regies de desenvolvimento marcadas em preto
MAPA DE PERNAMBUCO
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1.1.DESCRITORES X PERCENTUAIS ALCANADOSPELAS 17 REGIONAIS ESTADUAIS
8
GERNCIAS REGIONAIS DE EDUCAO PE / RESULTADO AVALIAO SAEPE -2013 MATEMTICA 9 ANO
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11
12
13
14
15
1617
PERCENTUAL DE ACERTO (%)
I-GEOMETRIA
D 01 73,1
74,8
69,8
71,3
73,6
76,2
78,2
65,7
79,5
75,4
78,5
76,3
79,6
79,2
79,3
81,3
79,4
D 02 67,7
71,2
63,8
65,0
68,5
73,8
72,3
65,6
73,3
72,4
72,1
73,8
76,9
75,9
75,1
76,9
74,8
D 03 31,7
30,3
26,6
27,2
28,1
31,6
31,0
29,1
32.3
30,5
31,2
30,5
33,8
30,5
31,9
34,2
32,1
D 04 78,0
79,8
74,1
76,3
77,5
83,8
79,7
75,7
84,3
82,0
85,8
84,9
83,0
81,5
83,9
78,9
82,4
D 05 45,9
45,2
41,2
43,2
42,4
46,9
47,3
39,9
49,5
46,7
51,5
48,4
52,8
45,5
50,1
51,4
48,5
D 06 34,0
36,7
31,1
31,1
31,0
37,0
36,0
31,3
40,5
35,2
38,7
39,1
41,2
31,3
39,2
38,8
40,3
D 07 26,1
27,2
25,4
25,2
27,6
28,9
29,5
29,0
29,7
26,6
29,1
30,4
31,7
27,9
31,4
33,1
29,4
D 08 21,2
20,5
20,2
18,6
19,4
18,9
23,9
18,6
20,0
19,7
21,2
18,9
21,2
20,2
18,9
21,6
20,8
D 09 27,1
27,8
23,1
23,9
24,0
26,1
29,1
25,1
30,9
27,1
26,4
27,3
33,1
24,0
28,9
28,2
26,4
D 10 28,7
29,1
27,0
26,6
27,5
30,5
35,8
27,5
32,3
28,5
31,5
30,8
32,4
33,5
32,6
36,0
33,3
D 11 40,8
41,6
38,8
37,2
39,9
42,1
46,7
39,4
43,4
41,0
44.8
42,0
44,4
43,1
43,5
45,5
41,9
II-GRANDEZA E MEDIDAS
D 12 40,5
44,1
39,5
38,6
42,7
46,6
47,9
40,7
47,3
44,5
42,8
46,3
48,5
46,7
48,1
49,5
47,5
D 13 28,0
30,2
26,3
26,8
29,0
30,3
34,9
34,0
34,0
30,1
32,8
34,1
37,8
33,4
34,7
38,4
38,2
D 14 27,1
27,6
24,9
25,4
25,8
25,7
28,1
28,0
28,1
27,5
27,9
26,7
28,1
27.0
27,9
32,8
28,9
D 15 48,9
48,6
43,6
45,3
42,6
49,8
46,3
40,9
48,2
50,0
50,5
48,2
53,4
47,7
51,2
53,5
48,5
III-
NUMEROS E OPERAES
D 16 61,8
64,7
56,4
59,1
55,2
63,6
59,8
51,8
68,2
62,0
64,9
63,5
66,7
65,1
69,8
70,0
63,8
D 17 69,3
70,8
64,7
66,6
69,2
73,9
69,5
66,1
73,1
70,9
74,2
71,2
74,6
73.0
74,2
77,4
74,1
D 18 58,5
58,0
55,8
54,4
56,8
59,4
59,6
57,9
57,8
62,0
62,7
58,6
59,7
58,7
60,5
58,9
61,7
D 19 81,3
81,9
76,6
77,8
80,4
84,4
84,5
80,9
85,8
84,0
88,3
83,8
85,6
88,8
84,5
86,4
86,7
D 20 31,0
32,0
25,8
28,1
26,2
28,8
26,6
23,8
30,1
28,3
30,3
28,7
30,9
29,5
32,0
32,7
26,7
D 21 28,9
28,8
25,5
26,2
27,1
27,9
30,3
30,4
34,0
27,6
30,1
30,6
35,1
26,0
34,5
38,3
34,9
D 22 59,1
59,8
55,2
55,0
60,6
65,9
64,7
58,1
66,6
61,6
64,9
64.4
71,4
67,6
68,7
69,7
65,1
D 23 42,6
43,9
40,1
40,9
40,9
44,8
46,8
40,8
50,4
43,8
49,3
45,1
47,9
40,4
49,6
48,5
49,9
D 24 53,9
55,7
51,0
53,4
56,9
58,7
60,2
51,5
60,9
55,5
59,2
58,2
58,5
63,6
64,7
64,4
60,5
D 25 29,2
32,3
28,3
28,6
30,2
31,7
32,8
33,8
32,1
30,9
32,8
34,4
32,9
31,4
35,5
37,7
34,4
D 26 63,9
64,4
58,7
61,2
63,1
68,8
70,2
61,7
68,8
66,7
66,7
66.2
66,2
68,8
70,4
70,6
69,8
D 27 59,4
60,8
55,1
57,1
55,8
62,0
56,2
55,5
59,6
64,0
63,4
61,5
63,4
61,9
63,7
66,7
61,8
D 28 36,2
37,0
32,7
33,6
32,4
37,4
36,4
32,8
40,8
39,6
40,7
38,4
41,1
37,9
38,9
40,6
37,7
IV-
ALGEBRA E FUNES
D 29 43,7
45,9
40,7
41,0
43,7
45,2
45,6
40,7
46,5
44,1
44,8
45,7
44,6
43,8
49,6
48,6
44,1
D 30 35,1
35,9
33,9
34,1
34,7
35,7
35,8
34,1
34,1
35,2
37,6
33,7
39,1
36,0
38,7
36,9
34,9
D 31 29,4
29,0
27,6
29,2
29,6
30,1
32,9
29,6
29,6
29,2
33,3
31,2
26,9
29,3
30,0
27,2
30,7
D 32 32,4
32,0
32,1
31,5
31,3
33,2
33,2
30,9
35,1
30,4
34,2
31,4
33,2
29,7
32,7
33,5
34,9
D 33 26,6
26,8
26,3
25,9
25,0
24,7
23,4
23,4
28,4
23,6
26,0
24,4
26,7
23,9
27,2
26,7
25,8
D 34 38,8
39,9
36,3
35,3
38,4
40,6
41,5
39,6
41,0
38,9
43,2
42,1
43,2
39,8
43,6
41,3
43,8
V-ESTATISTICA , PROBABILIDADE E COMBINATORIA
D35 36,1
37,2
30,9
31,9
33,6
38,7
35,0
28,7
48,5
37,1
40,1
39,5
45,1
41,9
45,4
50,2
42,1
D 36 40,5
38,9
36,5
37,8
38,5
41,9
43,9
37,3
44,9
39,9
42,9
41,8
46,0
41,3
46,0
45,2
43,4
D 37 41,6
43,9
38,5
38,2
37,1
42,4
42,6
35,7
43,2
44,2
41,8
40,6
42,1
43,4
43,8
46,6
39,8
D 38 79,8
79,6
73,9
75,5
77,4
82,6
79,3
73,6
81,9
82,2
84,4
81,5
83,1
81,8
85,7
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QUADRO
02
01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17
DESCRITORES
COM
PE
RCENTUAIS
AT25%
D
08
21,2
20,5
20,2
18,6
19,4
18,9
23,9
18,6
20 19,7 21,2 18,9 21,2 20,2 18,9 21,6 20,8
D 09
23,1
23,9
24,0
24,0
D 14
24,9
D 20
23,8
D 31 23,4 24,4
D 33 25,0 24,7 23,4 23,6 23,9
DESCRITOR BLOCO DE CONTEDOS
D 08Resolver problema utilizando propriedades dos polgonos (soma de seus ngulos internos, nmero de diagonais, clculo da medida de cadangulo interno nos polgonos regulares)
GEOMETRIAD 09 Resolver problema utilizando relaes mtricas no tringulo retnguloD 14 Resolver problema envolvendo noes de volume. GRANDEZAS E MEDIDASD 20 Resolver problema com nmeros inteiros envolvendo as operaes (adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao). NUMEROS E OPERAESD 31 Identificar a equao do 2 grau que expressa um problema.
LGEBRA E FUNESD 33 Identificar a expresso algbrica que expressa uma regularidade observada em sequncias de nmeros ou figuras (padres).
PERCENTUAL DE ACERTO AVALIAO EXTERNA SAEPE 2013 (%)
GERNCIAS REGIONAIS DE EDUCAO PE
1.2. DESCRITORES COM PERCENTUAL DE ACERTO AT 25%
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2. ORGANIZAO DOS EIXOS OU BLOCOS DE CONTEDOSSEGUNDO OS PARMETROS NA SALA DE AULA
Nos Parmetros na Sala de Aula PSA Matemtica, Ensino Fundamental e Mdio os conceitosmatemticos aparecem divididos em cinco blocos de contedos: Geometria, Estatstica eProbabilidade, lgebra e Funes, Grandezas e Medidas e Nmeros e Operaes que correspon-dem aos 05 Eixos apresentados no Currculo de Matemtica do Estado de Pernambuco. Paraassegurar a articulao entre os dois documentos, no PSA os blocos de contedos so subdivi-didos em tpicos, nos quais as expectativas de aprendizagem foram agrupadas.
Ratificamos que essa diviso, seja em eixos, ou blocos de contedos tem funomeramente didt ica e a articulao, entre os contedos desses eixos ou blocos , deve serbuscada e expl icitada ao logo de todo o processo de ensino para que o estudante , compre-endendo a arti culao existente, possa escolher, de acordo com a situao, as fer ramen-tas matemt icas mais apropriadas reso luo dos problemas que lhes foram apresen ta-dos.
3. ORIENTAES PARA O ENSINO GEOMETRIA
De acordo com SAEPE 2013 no Bloco Geometria os descritores D8 - Resolver problemautilizando propriedades dos polgonos (soma de seus ngulos internos, nmero de diagona-is, clculo da medida de cada ngulo interno nos polgonos regulares) eD9 - Resolverproblema utilizando relaes mtricas no tringulo retnguloapresentaram percentuais deacerto inferiores a 25%. O resultado da avaliao explicitou grande dificuldade dos estudantespara resoluo de problemas que envolvem as propriedades dos polgonos - descritor D8 - comas 17 regionais obtendo percentuais de acerto inferiores a 25% para esse descritor enquantoque, para o D9 esse nmero foi reduzido a 4 regionais (Quadro 2).
A anlise do trabalho que foi desenvolvido ao longo do processo de ensino e aprendizagem paraa construo dos conceitos relacionados a esses descritores um excelente ponto de partidapara replanejamento das aes pedaggicas que devero ser promovidas objetivando a supera-o do resultado observado em 2013.
O estudo dos documentos oficiais para melhor compreenso da articulaes que podem ser
estabelecidas entre as matrizes das avaliaes externas (descritores) e o currculo deMatemtica para o Ensino Fundamental (expectativas de aprendizagem) so essenciais naorganizao e planejamento das atividades de ensino.
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3.1. Contedos e expectativas de aprendizagens relacionadas com osdescritores com percentuais de acerto de at 25%
Resolver problema utilizando propriedades dos polgonos (soma de seus ngulosinternos, nmero de diagonais, clculo da medida de cada ngulo interno nos
polgonos regulares)
D8
EIXO/BLOCO - GEOMETRIA
Figuras planas poligonais
Polgonos regulares e no regulares
Classificao dos polgonos quantoao nmero de lados
Classificao dos tringulos quanto medida dos lados e dos ngulos.
Classificao dos quadrilterosquanto suas propriedadesespecficas.
Classificao dos quadrilterosquanto suas propriedadesespecficas.
Condio de existncia de umtringulo.
Soma dos ngulos internos de umtringulo.
Determinao do nmero dediagonais de um polgono.
Polgonos semelhantes.
Diferenciar polgonos de no polgonos.
Classificar polgonos como regulares ou no regulares.
Reconhecer e nomear polgonos considerando o nmero de lados(tringulo, quadriltero, pentgono, hexgono, octgono, etc.).
Classificar tringulos quanto as medidas dos lados (escaleno,equiltero e issceles ) e dos ngulo (acutngulo, retngulo eobtusngulo).
Conhecer as propriedades dos quadrilteros e utiliz-las paraclassifica-los.
Conhecer as propriedades dos quadrilteros e utiliz-las paraclassifica-los.
Reconhecer a condio de existncia de um tringulo quanto medida dos lados.
Reconhecer que a soma dos ngulos internos de um triangulo mede180 e utilizar esse conhecimento para resolver e elaborarproblemas.
Determinar sem o uso de formulas o nmero de diagonais de umpolgono.
Reconhecer polgonos semelhantes.
ANO BIM CONTEDO EXPECTATIVA DE APRENDIZAGEM
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Resolver problema utilizando relaes mtricas no tringulo retnguloD9
EIXO/BLOCO - GEOMETRIA
ANO BIM CONTEDO EXPECTATIVA DE APRENDIZAGEM
Classificao dos tringulos quantoa medida dos lados e dos ngulos
Condio de existncia de umtringulo
Semelhana e congruncia detringulos
Semelhana de tringulos
Relaes mtricas no trianguloretngulo
Classificar tringulos quanto s medidas dos lados (escaleno,equiltero e issceles) e dos ngulos (acutngulo, retngulo eobtusngulo).
Reconhecer a condio de existncia do triangulo quanto medidados lados.
Resolver e elaborar problemas que envolvam semelhana econgruncia de tringulos.
Reconhecer as condies necessrias e suficientes para se obtertringulos semelhantes.
Utilizar a semelhana de tringulos para estabelecer as relaesmtricas no triangulo retngulo (inclusive o teorema de Pitgoras) eaplic-las para resolver e elaborar problemas.
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As orientaes pedaggicas constantes dos Parmetros em Sala de Aula e, mais estreitamenteligadas aos descritores D08 e D09, foram condensadas no quadro abaixo no intuito de otimizar apesquisa e facilitar o trabalho do professor na construo de atividades e/ou sequncia deatividades que possam articular as expectativas de aprendizagem do currculo aos descritores.Essa articulao, buscada continuamente, possibilitar ampliar a construo de significados quequalificam a aprendizagem, e dessa forma, o sucesso nos exames, tanto internos quanto externos,poder ser alcanado por todos.
3.2. Orientaes para o ensino segundo os Parmetros na Sala de Aula
A - FIGURAS GEOMETRICAS
GEOMETRIA
importante retomar os contedos abordados nos anos anteriores para conhecer asaprendizagens que o estudante j possui. Utilizar embalagens ou caixas de papelode diferentes formatos. O trabalho com as figuras geomtricas planas deve virassociado ao trabalho com as figuras geomtricas espaciais por meio da planificaodos slidos, desmontando as embalagens e nomeando as partes que a compem.Comparar uma figura espacial com uma plana permite estabelecer diferenas entreelas. importante nomear as figuras geomtricas, para facilitar a expresso dasideias. Associar nomes das figuras a termos de outras reas de conhecimento, como,por exemplo: tringulo e trisslaba; pentgono e pentacampeo, polgono epolisslaba etc. auxilia a percepo de que tringulos, quadrilteros, pentgonos,
hexgonos, dentre outras figuras planas, so classificados como polgonos erecebem nomes especficos, de acordo com o nmero de lados (ou de vrtices) quepossuem. Atividades de contorno e recorte das figuras da planificao so importan-tes para o trabalho com as figuras geomtricas planas. A observao de caractersti-cas comuns nos polgonos pode ajudar o estudante a diferenciar polgonos de nopolgonos. O teatro de figuras geomtricas, onde cada estudante ou grupo deestudantes considera uma figura geomtrica plana como personagem e expe parao pblico quem o seu personagem, descrevendo suas propriedades e caracters-ticas por meio de um pequeno texto ilustrado uma atividade que pode articular oconhecimento matemtico aos componentes curriculares de Lngua Portuguesa e
Artes. Com a internet, jogos interativos e vdeos que abordam questes sobre figurasgeomtricas em situaes diversas podem ser explorados. Recomenda-se ampliar ouso da rgua, que exige um treino na manipulao ajudando o estudante a desenvol-ver destreza no manuseio desse instrumento (pg. 32 e 33).
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B - SEMELHANA E CONGRUNCIA
GEOMETRIA
importante retomar as noes que os estudantes trazem sobre semelhana e congrunciade figuras planas, por meio da proposio de problemas. (...)
O professor pode propor situaes em que o estudante construa tringulos semelhantes aum dado tringulo. As relaes mtricas no tringulo retngulo devem ser abordadas apartir do estudo de semelhana. Por exemplo, o estudante pode construir tringulosretngulos semelhantes e verificar relaes mtricas entre seus lados. Recomenda-se que oTeorema de Pitgoras seja apresentado ao estudante como uma decorrncia dessasrelaes. O estudante deve ser levado a perceber algumas das aplicaes desse teorema emsituaes reais, e o professor pode explorar a recproca do Teorema de Pitgoras, ou seja, seos trs lados de um tringulo satisfazem relao pitagrica, ento esse tringulo retngulo. Recomenda-se, ainda, a articulao entre o estudo de semelhana de tringuloscom o de construo de tringulos e com o estudo de suas propriedades. importante que oestudante perceba algumas das aplicaes do Teorema de Pitgoras, articulando o estudodas relaes mtricas no tringulo retngulo com suas vivncias cotidianas. Propostasenvolvendo o uso de escalas podem ser feitas, de modo articulado, Geografia (pg. 43).
E - PROPRIEDADES E RELAES
GEOMETRIA
O trabalho com quadrilteros pode ser iniciado com a observao de obras artsticas oumosaicos. Nele o estudante poder ser levado a reproduzir os quadrilteros e identificarcaractersticas comuns nessas figuras, em especial, os chamados quadrilteros especiais.
em relao medida dos ngulos, relaes de paralelismo e perpendicularismo dos lados esuas medidas, suas diagonais, dentre outras. fundamental levar o estudante a observar e aperceber, ele mesmo, tais caractersticas, para, em seguida, conduzi-lo a sistematizaessem formalismos desnecessrios. O manuseio de caixas no formato de prismas, planifica-es e construo, por montagem, de prismas ajuda na percepo dos diferentes formatosde quadriltero existentes nesses materiais. As figuras planas devem ser apresentadas aoestudante em diferentes posies e no apenas naquela em que um dos lados esteja naposio horizontal em relao margem do papel. O professor pode sugerir ao estudanteque represente outros polgonos e desenhe suas diagonais. Com isso, ele poder ser levadoa perceber que polgonos com o mesmo nmero de lados possuem sempre um mesmonmero de diagonais (trabalhando com polgonos convexos).
A representao dessas quantidades em uma tabela auxilia o estudante a perceberregularidades em relao a esse aspecto. O estudo dos ngulos dos tringulos pode serrealizado conduzindo o estudante a perceber empiricamente a Lei Angular de Tales. Paraisso, uma sugesto interessante solicitar ao estudante que desenhe um tringulo qualquer.Em seguida, com o auxlio de uma tesoura, sugerir que ele recorte os ngulos e cole-os,juntando seus vrtices sobre um ponto. Facilmente, ele perceber que a soma dos ngulosequivale a 180. Essa relao poder ser utilizada, pelos estudantes, para estabelecer a somados ngulos internos de outros polgonos, dividindo-os em vrios tringulos. O estudoenvolvendo relaes entre ngulos de polgonos poder ser estendido, no sentido de levar oestudante a perceber relaes entre o ngulo interno e o ngulo externo dessas figuras.Dando continuidade, ele dever ser levado a perceber relaes entre os ngulos de duas retasconcorrentes (ngulos opostos pelo vrtice, suplementares ou complementares). Nainternet, h sites interessantes que o estudante pode pesquisar. O GeoGebra tambm podeser um excelente recurso ao processo de aprendizagem (pgs. 60 e 61).
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3.3- Sugestes de Atividades
(GESTAR II)ATIVIDADE 01
MASAICOS E LADRILHAMENTO
um padro persaweb: Tilings from historial sources
Voc j viu alguns trabalhos feitos com pedaosde azulejos e pisos chamados de mosaicos?Veja um exemplo:
QUESTO 01
No final desta unidade h um modelo de figuras (anexoI), e voc dever fazer o que sugerimosa seguir:
1 . Tire a folha e recorte o interior das figuras geomtricas.
2 . Pegue uma cartolina ou folha de papel colorido e marque com a figura desejada.
3 . Recorte as figuras e resolva as situaes propostas a seguir.
Na criao de mosaicos existeuma tcnica que chamadade ladrilhamento, em que
os polgonos so colocadosem torno de um nico ponto.
Normalmente, o ladrilhamento est
presente nos pisos, assentamentode azulejos, etc. Num mosaico feitopelo ladrilhamento as formas
geomtricas precisam se encaixarou fechar. Veja o exemplo:
AAA3 - Matemtica nas FormasGeomtricas e na Ecologia
QUESTO 02Observe as construes acima: os ngulos dos polgonos juntos em um mesmo ponto devemsomar quantos graus?
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Impossvel. No temcomo ladrilhar um piso
exclusivamente com pentgonos,porque no possvel fechar.
Seu Joaquim, meu pai memandou escolher um piso bem legall pra casa. Ento gostaria que eletivesse a forma de um pentgono.
O que acha? Uhh... cinco lados!
QUESTO 03
Conforme a conversa entre os dois personagens, responda: por que os pisos no tm formatopentagonal?
QUESTO 04
Do que voc estudou at aqui, existe alguma explicao geomtrica para que os pisos eazulejos tenham o formato de retngulos ou quadrados? Qual?
(GESTAR II)ATIVIDADE 02
NGULOS DOS POLGONOSVamos analisar nesta
atividade os ngulos internosde outros polgonos.
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QUESTO 01
Recorte os tringulos do anexo II. Arrume os tringulos justapondo-os e construa outrospolgonos tais como: paralelogramos, trapzios, pentgonos e outros. depois verifique os seusngulos internos. escreva os polgonos que voc encontrou e a soma dos ngulos internos:
QUESTO 02
Imagine que um fabricante quer fazer uma tela de arame toda formada por polgonos regulares.
Ele est interessado no seguinte: em qual tela pode gastar menos arame e obter maiorquantidade de tela? Em outras palavras: usando a mesma quantidade de arame, qual polgonotem maior rea?
Tomando um mesmo pedao de arame com comprimento a, ele construiu um tringulo de lado
a/3; um quadrado de lado a/4e um hexgono de lado a/6. Depois calculou a rea de cada um everificou que a maior rea era obtida no hexgono. Esse um resultado conhecido dosmatemticos h bastante tempo. Voc saberia calcul-las?
Ilustrao 6 - Eric Weinssteins world of Mathematics. Tesselation
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3.4- Exerccios
Resolver problema utilizando propriedades dos polgonos (soma de seus ngulosinternos, nmero de diagonais, clculo da medida de cada ngulo interno nospolgonos regulares)
D8
QUESTO 01
Cristina desenhou quatro polgonos regulares e anotou dentro deles o valor da soma de seusngulos internos.
1.080900720540
Qual a medida de cada ngulo interno do hexgono regular?
(A) 60 (B) 108 (C) 120 (D) 135
QUESTO 02
Carla desenhou um polgono regular de oito lados.
Qual a soma dos ngulos internos do octgono regular?
(A) 1080. (B) 900. (C) 720. (D) 540.
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QUESTO 03
(SPAECE). Lucas desenhou uma figura formada por dois hexgonos. Veja o que ele desenhou.
Nessa figura, a soma das medidas dos ngulos e :
A) 60 B) 120 C) 240 D) 720
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QUESTO 04
(GAVE). A figura seguinte composta por dois quadrados e um tringulo equiltero.
O valor do ngulo :
A) 50 B) 90 C) 120 D) 180
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QUESTO 05
(GAVE). O slido representado na figura faz lembrar uma bola de futebol.
O nome dos polgonos das faces deste slido que esto visveis na figura so:
A) Quadrilteros e hexgonosB) Hexgonos e pentgonosC) Pentgonos e tringulosD) Tringulos e octgonos
QUESTO 06
Todos os polgonos abaixo foram montados com tringulos. Dessa forma, aquele cuja soma dasmedidas dos ngulos internos igual a 540 :
A) B)
C) D)
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QUESTO 07
Com quatro tringulos iguais ao da figura abaixo, Gustavo montou um losango.
A soma das medidas dos ngulos internos do losango de Gustavo :
30
60
A) 720 (B) 360 (C) 240 (D) 180
Resolver problema utilizando relaes mtricas no tringulo retnguloD9
QUESTO 06
(SARESP, 2005). A altura de uma rvore 7 m. Ser fixada uma escada a 1 m de sua base para queum homem possa podar os seus galhos. Qual o menor comprimento que esta escada dever ter?
(A) 2 2 m (B) 4 2 m (C) 5 2 m (D) 7 2 m1m
7m
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QUESTO 07
(EVALUACIONEDUCATIVA). Observe a figura abaixo que representa uma escada apoiada em umaparede que forma um ngulo reto com o solo. O topo da escada est a 7 m de altura, e seu p estafastado da parede 2 m.
A escada mede, aproximadamente:
A) 5 m B) 6,7 m C) 7,3 m D) 9 m
Parede
Solo
QUESTO 08
O porto de entrada casa do Sr. Antnio tem 6m de comprimento e 4,5m de altura.
Diante disso, o comprimento da trave de madeira que se estende do ponto A at o ponto C :
A) 12,5m B) 17,5m C) 15m D) 2,5m
A
D
B
C
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QUESTO 09
Em um recente vendaval, um poste de luz quebrou-se 4m a distncia do solo. A parte do posteacima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo a uma distncia de 3m dabase do mesmo.
Logo, a parte que inclinou at o solo :
A) 4m B) 5m C) 7m D) 8m
4m
3m
QUESTO 10
(OBMEP). Uma formiga est no ponto Ada malha mostrada na figura.
A malha formada por retngulos de 3 cm de largura por 4 cm de comprimento. A formiga s podecaminhar sobre os lados ou sobre as diagonais dos retngulos. Qual a menor distncia que aformiga deve percorrer para ir de Aat B?
B
A
3
4
A) 12 cm B) 14 cm C) 15 cm
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4. ORIENTAES PARA O ENSINO LGEBRA E FUNES
Os resultados do SAEPE 2013 evidenciaram, no Bloco lgebra e Funes, dificuldades deaprendizagem relacionadas aos descritores D31- Identificar a equao do 2 grau que expressa um
problema e D33 - Identificar a expresso algbrica que expressa uma regularidade observada emsequncias de nmeros ou figuras (padres), com maior expressividade para o D33, embora emproporo bem menor do que a observada nos descritores do Bloco Geometria.
Entre as expectativas de aprendizagem estabelecidas no Currculo de Matemtica dos Anos Finaisdo Ensino Fundamental e articuladas de forma mais direta a estes descritores destaca-se:
Descrever, completar e elaborar uma sequncia numrica ou formada por figuras- 6 Ano, 1Bimestre;
Resolver e elaborar problemas envolvendo equaes de segundo grau, fazendo uso dasrepresentaes simblicas 8 Ano, 3 Bimestre.
Tendo em vista que as expectativas de aprendizagem definidas representam o mnimo estabelecidopara o currculo do Ensino Fundamental sugerimos a ampliao destas expectativas na perspectivade garantir uma melhor sistematizao e consolidao pelos estudantes dos conceitos a elainerentes de forma a assegurar-lhes o desenvolvimento de habilidades e competnciasnecessrias para obter xito no apenas nas avaliaes externas, mas nas situaes e na resoluode problemas da vida real.
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4.1. Contedos e expectativas de aprendizagens relacionadas com osdescritores com percentuais de acerto de at 25%
Identificar a equao do 2 grau que expressa um problemaD31
BLOCO LGEBRA E FUNES
Igualdade matemtica-clculo devalores desconhecidos.
Resoluo de equao do 2 grau.
Produtos notveis.
Resoluo de situaes problemas equao de 2 grau.
Determinar um elemento desconhecido em uma igualdade (porexemplo: determinar os nmeros que elevados ao quadradoresultam 16).
Resolver equao do 2 grau incompleta do tipo ax+b=c (porexemplo: x +3 = 7 ou 2x=8).
Desenvolver produtos notveis dos tipos (xy) , (x+y)(x-y) e(x+a)(x+b).
Resolver e elaborar problemas envolvendo equaes de segundograu, fazendo uso das representaes simblicas.
ANO BIM CONTEDO EXPECTATIVA DE APRENDIZAGEM
8
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1
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4Grau e razes de uma equao.
Reconhecer que o grau de uma equao determina o nmero derazes da equao.
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Identificar a expresso algbrica que expressa uma regularidade observadaem sequncias de nmeros ou figuras (padres).D33
BLOCO LGEBRA E FUNES
Determinao de regularidades emsequncias.
Descrever, completar e elaborar uma sequncia numrica ouformada por figuras.
ANO BIM CONTEDO EXPECTATIVA DE APRENDIZAGEM
6 1
Fatorao de polinmios.
Equao de 2 grau - fatorao depolinmios.
Relacionar os produtos notveis aos casos de fatorao x 2xy+y= ( xy) ,x-y= (x+y)(x-y) e x +Sx +P= (x+a)(x+b) (com S=a+b eP=a .b ).
Resolver equaes de segundo grau por meio da fatorao depolinmios, (por exemplo: x-4=0, sendo fatorado em (x+2)(x-2)=0e tendo como razes 2 e -2 ou x+4x+4=0 sendo fatorado em(x+2)=0 e tendo como raiz dupla -2).
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As orientaes pedaggicas constantes dos Parmetros em Sala de Aula e, mais estreitamenteligadas aos descritores D31 e D33, foram condensadas no quadro abaixo no intuito de otimizar apesquisa e facilitar o trabalho do professor na construo de atividades e/ou sequncia deatividades que possam articular as expectativas de aprendizagem do currculo aos descritores.Essa articulao, buscada continuamente, possibilitar ampliar a construo de significados quequalificam a aprendizagem, e dessa forma, o sucesso nos exames, tanto internos quanto externos,poder ser alcanado por todos.
4.2. Orientaes para o ensino segundo os Parmetros na Sala de Aula
A- REGULARIDADES
LGEBRA E FUNES
Nos anos finais, o trabalho com sequncias deve ser retomado e ampliado. Nestemomento, o estudante j deve ser capaz de explicitar (com suas palavras ou
simbolicamente) a regra de formao de uma sequncia ou mesmo de construirsequncias, a partir de uma regra de formao. Tambm importante que oestudante crie sequncias, para que seu colega descubra a regra de formao. Otrabalho com a determinao de elementos ausentes (posicionados no incio, nomeio ou no final) em uma sequncia tambm deve ser retomado e ampliado. Oprofessor pode propor atividades que envolvem a percepo de regularidadesgeomtricas (os desenhos de Maurits Escher, os mosaicos, as faixas decorativas,dentre outros), estimulando o reconhecimento de caractersticas repetitivas nassequncias de figuras. O uso de papel quadriculado pode ajudar o estudante a criarsequncias de figuras. Na internet, h sites que trazem propostas de jogos
envolvendo sequncias numricas, em que o estudante levado a descobrir oselementos ausentes, completando a sequncia (pg. 107).
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E - EQUAES, INEQUAES E SISTEMAS
LGEBRA E FUNES
Recomenda-se que o trabalho com equaes seja fortemente articulado com asaprendizagens anteriores, para que o estudante perceba a retomada e a ampliao desuas aprendizagens. Esse estudo tambm deve estar intimamente relacionado converso da linguagem materna para a linguagem matemtica, e vice-versa (pg.120).
O estudante deve ser levado a resolver questes que envolvam a determinao de umelemento desconhecido de uma igualdade. Por exemplo: (a) determinar o nmeroque multiplicado por 12 resulta 144 ou (b) determinar os nmeros que elevados aoquadrado resultam 16 (pg. 121). Em proposta como a primeira, o estudante poderperceber que h uma nica soluo; no segundo exemplo, ele perceber que h duassolues que satisfazem o problema. Mais frente, o professor poder chamar aateno do estudante para a relao entre o nmero de razes de uma equao e ograu da mesma (por exemplo:12x =144 tem apenas uma soluo; 16=x2 tem duassolues. Recomendam-se propostas que envolvam a associao das solues,com soluo de equaes do 2 grau, recomendam-se propostas do tipo ax+b=c(por exemplo: x+ 3 = 7 ou 2x= 8). No 9 ano o trabalho com equaes do 2 grauincompletas precisa ser retomado. Partindo de equaes do tipo ax+b=c, oprofessor pode sugerir atividades que envolvam solucionar equaes do 2 grau pormeio da fatorao de polinmios. Em especial, equaes do tipo (x+2)=9 devem serpropostas, levando o estudante a refletir sobre que nmero(s) elevado(s) aoquadrado resulta(m) 9?. Ao tentar resolver esse questionamento, ele serconduzido a perceber que tanto -3 como +3 elevados ao quadrado resultam em 9,ento (x+2)=3 ou (x+2)=-3. Dessa forma, alm de retomar propriedades numricas, aequao se reduz a uma equao de 1 grau, que pode ser facilmente resolvida. Asequaes de 2 grau (completas) devem ser resolvidas pela fatorao. Portanto,recomenda-se que, neste momento, apenas equaes facilmente fatorveis sejampropostas. A recomendao a de que apenas equaes incompletas desses tipossejam propostas ao estudante. A chamada frmula de Bhaskara ser apresentada aoestudante em outra fase de sua escolaridade (pg. 121 e 122).
B - PROBLEMAS LGEBRICOS
LGEBRA E FUNES
Partindo das situaes propostas no estudo de equaes, o professor deverconduzir o estudante a resolver problemas fazendo uso das representaes
simblicas. O estudante deve ser levado tanto a resolver como a elaborar (ou criar)problemas, apresentando-os a seus colegas de classe. (...) O trabalho com resoluode problemas deve estar apoiado em situaes cotidianas do estudante e deve estararticulado ao estudo das propriedades da equivalncia entre igualdades e de suaspropriedades (pg. 110).
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F - CLCULO LGEBRICO
LGEBRA E FUNES
O estudante deve ser levado a estabelecer relaes entre os produtos algbricos e asoperaes aritmticas. Retomando as ideias de produtos notveis, o estudante deve
lidar com produtos do tipo (x+a)(x+b), por exemplo: (x+7)(x+2) = x+9x+14. Oprofessor poder alertar para a relao entre o resultado do produto (x+a)(x+b), emque a e b so nmeros e a expresso [x+(a+b)x+(ab)] ou [x + Sx + P]. No EnsinoMdio, quando o estudante for estudar equaes de 2 grau, esses conhecimentossero retomados e ampliados. O trabalho com fatorao deve ser proposto de modoarticulado aos produtos notveis, de modo a levar o estudante a compreender asrelaes entre eles. O trabalho com produtos algbricos deve ser intimamentearticulado com propriedades operatrias aritmticas e com a geometria, em especial,envolvendo interpretao geomtrica dos produtos notveis (pg. 127).
Parmetros na Sala de Aula Matemtica Ensino Fundamental e Mdio
y-102
4=0
(0;2)
2x+
4x-16=
0
(4;-5)
(3;6)
y-4y+
3=0
x-2x-3=
0
(4;-2)
(0;-2)
x-121
=0
2x-2
x-4=
0
(1;-3)
9y-8
1=0
(0;18/25)
x-2x=
0
(2;-2)
4.3. SUGESTO DE ATIVIDADES
Atividade 01 - Domin
Vamos fornecer um jogo de domin em que cada uma de suas peas possui uma equao de 2grau e as razes de outra equao:
O jogo composto por 28 peas, cada pea contm uma equao de 2 grau e as razes de outra;
Duplas (ou trios) jogaro contra duplas (ou trios);
Sero distribudas 7 peas para cada dupla;
A dupla que vai iniciar vai ser a dupla que vencer no par ou impar.A primeira pea a ser jogada ser escolhida aleatoriamente, a dupla seguinte ir procurar entre suaspeas a equao que tem como resposta as razes da pea que foi jogada ou as razes da equaoque est nesta pea. Se caso no tenham uma pea para jogar, compra se no mximo 2 peas, ese nenhuma delas for a que se procura, a dupla passar a vez, e assim sucessivamente at que se decontinuidade a jogada.
A dupla que terminar suas peas, primeiro, ser a dupla vencedora.
As vinte e oito peas so as seguintes:
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(4;1)
(2;6)
-y+9y
-18=
0
(0;1)
x-2
5=0
x+2x-24
=0
(-3;3)
-y+7y
-10=
0
(2;-4)
2x+4x-6=
0
(5;-5)
2x-7
2=0
(0;-3)
x-x
=0
(32;
-32)
x-11x
+24=
0
(0;5)
y-16=
0
(2;5)
x-2x-8=
0
(1;-2)
x-4=0
(3;1)
2x+6x
=0
(11;
-11)
25y-5y
=0
(3;8)
3y-6
y-45
=0
(3;-1)
-2y+16
y-24
=0
9y-1
8y=0
(6;-6)
(-4;4)
(4)
x+x
-20=
0
(4;-6)
(5;-3)
2y-1
0y+3
=0
2y-1
8y=0
y+8y+
16=0
Atividade 02- Completando quadrados (construo)
Desenha-se um quadrado no quadro de lados iguais 6 unidades. Qual a rea deste quadrado?
36 ou 6 6 = 36. Mas posso escrever em forma de potncia, sim 6 6 = 62= 36. Mas ento 6representa a rea de um quadrado, sim representa, e 7, tambm, e x, tambm. Vamos pedir queos alunos desenhem um quadrado com rea 36 cmem uma folha.
Vamos escrever no quadro (6)=36, que os alunos sabem ser a rea do quadrado que desenharam.Em seguida escreveremos (4 + 2) 2 =, e perguntaremos o resultado, (2 + 4)=(6)=36. Mas ento:(4+2) tambm representa a rea de um quadrado? No responderemos esta pergunta.Recordaremos com os alunos que (a + b)= a+ 2ab + b. Posso escrever (4 + 2)=42 + 2 4 2 + 2= 36, logo os alunos verificaro que sim. Pediremos para os alunos desenhar dois quadrados comlados 4 cm e 2 cm respectivamente e dois retngulos com lados iguais a 4 cm e 2 cm. Em seguida
que recortem estes quadrilteros, tentem coloca los dentro do quadrado que desenharamanteriormente. Esperamos que, com nosso auxlio os alunos conseguissem montar o seguinteesquema:
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4 2
4 2
4
2
4
2
4(2)
4(2)
4
2
Figura 01
Assim podemos concluir que (4 + 2) tambm pode ser compreendida como a rea de umquadrado.
Mas e (a + b)= a+ 2ab + b, tambm pode se interpretada como a rea de um quadrado? Seconseguirmos organizar um esquema como na figura 1 para essa expresso teremos nossaresposta. Explicaremos que ae b podem ser interpretados como reas de dois quadrados delados a e b respectivamente, e 2ab, pode ser interpretado como a rea de dois retngulos de lados ae b. em seguida montaremos no quadro a representao geomtrica de (a + b):
a b
a b
a
b
a
b
ab
ab
a
b
Figura 02
Com essa representao geomtrica podemos concluir que (a + b) representa a rea de umquadrado. Assim temos que a expresso a+ 2ab + b um trinmio quadrado perfeito. A partir
disso, explicaremos que toda expresso que se apresenta na forma a
+ 2ab + b
pode serrepresentada geometricamente como no esquema da figura 2, e pode ser escrita na forma (a + b).Chamamos a+ 2ab + bde trinmio quadrado perfeito e (a + b)de forma fatorada do trinmioquadrado perfeito.
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4.4. Exerccios
Identificar a equao do 2 grau que expressa um problemaD31
Resolver problema que envolva equao do 2 grauD33
QUESTO 01
(SARESP 2005). Em uma sala retangular deve-se colocar um tapete de medidas 2m 3m, de modoque se mantenha a mesma distncia em relao s paredes, como indicado no desenho abaixo:
x
x
x
x
2
3
Sabendo que a rea dessa sala 12 m, o valor x de ser:
A) 0,5 m B) 0,75 m C) 0,80 m D) 0,05 m
QUESTO 02
Uma galeria vai organizar um concurso de pintura e faz as seguintes exigncias:
1) A rea de cada quadro deve ser 600 cm;
2) Os quadros precisam ser retangulares e a largura de cada um deve ter 10 cm a mais que a altura.
Qual deve ser a altura dos quadros?
A) 10 cm B) 15 cm C) 20 cm D) 25 cm
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QUESTO 03
Perguntando sobre sua idade, Juliana respondeu:
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O quadrado de minha idade
menos o seu quntuplo igual a 104.
Equacionando o problema, obtemos a seguinte equao do 2 grau,x-5x=104. A idade de Juliana :
A)12 anos B)13 anos C)14 anos D) 8 anos
QUESTO 04
A equao 3x - 2x + 4 = 0 possui:
A) uma raiz nula, pois o discriminante negativo.B) duas razes reais e iguais, pois o discriminante zero.C) duas razes no reais, pois o discriminante negativo.D) duas razes reais e diferentes, pois o discriminante positivo.
QUESTO 05
Paulo est fazendo uma pesquisa. Das equaes abaixo, qual delas atende questo de Paulo?
Preciso de uma equaocujas razes sejam 5 e -3...
A) x - 8x + 15 = 0
B) x + 8x - 15 = 0
C) x- 2x- 15=0
D) x + 2x 14=0
DICA:
= b - 4ac
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5. ORIENTAES PARA O ENSINO GRANDEZAS E MEDIDAS
Conforme resultados do SAEPE 2013 no Bloco Grandezas e Medidas o descritor D14 Resolverproblema envolvendo noes de volume apresentou percentuais de acerto inferiores a 25%.
Observou-se o baixo desempenho dos estudantes com relao resoluo de problemas queenvolvem noes de volume (Quadro 2).
importante uma reflexo e um replanejamento das aes pedaggicas, com base nos resultadosobtidos pelos estudantes visando dessa forma suprir lacunas de aprendizagens em torno desteconceito.
Com base nos referenciais curriculares do Estado de Pernambuco, para melhor compreenso dasarticulaes que podem ser estabelecidas entre os descritores das matrizes das avaliaesexternas e as expectativas de aprendizagem previstas no currculo de Matemtica do EnsinoFundamental, apresentamos em seguida expectativas de aprendizagens e orientaes didticaspara contribuir na organizao e planejamento das atividades de ensino, relacionadas ao conceitode volume.
5.1. Contedos e expectativas de aprendizagens relacionadas aos descritorescom percentuais de acerto de at 25%
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Resolver problema envolvendo noes de volumeD14
EIXO/BLOCO GRANDEZAS E MEDIDAS
Grandeza volume. Compreender a noo de volume e suas unidades de medidas.
ANO BIM CONTEDO EXPECTATIVA DE APRENDIZAGEM
6 1
4
Identificao de unidade de medidade uma grandeza.
Reconhecer as grandezas: comprimento, rea, massa, capacidade,volume e temperatura e selecionar o tipo de unidade de medidapara medir cada uma delas.
Identificao de instrumento demedida de uma grandeza.
Identificar o instrumento adequado para medir uma grandeza(comprimento, massa, temperatura, tempo).
Clculo do volume de prismasretangulares.
Resolver problemas envolvendo o calculo da medida do volumede prismas retangulares sem utilizao de formulas.
7
Sistema de medidas padro.
1
Conhecer os diferentes sistemas de medidas padro.
Medio e instrumentosde medidas.
Utilizar instrumentos de medidas para realizar medies(rgua, escalmetro, transferidor, esquadros, trena, relgio,cronometro, balana e termmetro).
4 Clculo do volume de prismasretangulares.Resolver problemas envolvendo o calculo da medida do volumede prismas retangulares sem utilizao de formulas.
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Sistemas de medidas conversode unidades.
Usar e converter, dentro de um mesmo sistema de medio asunidades apropriadas para medir diferentes grandezas.
Grandeza capacidade.Associar o litro ao decmetro cbico e reconhecer que 1000 litroscorrespondem ao metro cbico.
Volume de um prisma.Compreender que o volume de um prisma pode ser obtido pelo
produto da medida da rea de sua base pela medida de sua altura.
Calculo do volume de um prisma. Resolver e elaborar problemas envolvendo o clculo da medida dovolume do prisma.
1
3
8
Grandeza capacidade.Associar o litro ao decmetro cbico e reconhecer que 1000 litroscorrespondem ao metro cbico.
Sistemas de medidas conversode unidades.
Usar e converter, dentro de um mesmo sistema de medio asunidades apropriadas para medir diferentes grandezas.
19
5.2. Orientaes para o ensino segundo os Parmetros na Sala de Aula
A NOES DE GRANDEZA
GRANDEZAS E MEDIDAS
O reconhecimento de algumas grandezas e os instrumentos adequados para asrespectivas medies devem ser trabalhados, a partir de situaes presentes nasprticas sociais do estudante. importante que o estudante diferencie objeto,grandeza e medida dessa grandeza. Por exemplo, o objeto melo possui umagrandeza inerente a ele, a massa, e essa grandeza massa pode ser medida, obtendo-se um nmero real associado a uma unidade de medida (3 kg). Rgua, fita mtrica,
metro de carpinteiro, termmetro, balana so alguns dos instrumentos a que oestudante dever ter acesso e, com eles, experimentar e fazer medies. Tambmdever ser levado a compreender o metro como medida padro de comprimento, oquilograma como medida padro de massa (peso), por exemplo. Pesquisasenvolvendo a histria das medies podem ser propostas sites e vdeos na internete livros podem ser utilizados como fonte de pesquisa. O estudante pode ser levado apesquisar hbitos de medies das pessoas (familiares, amigos, profissionais dediferentes reas de atuao, por exemplo), ampliando ainda mais seus conhecimen-tos sobre as medidas e seus usos. As prticas sociais do cotidiano do estudantedevero ser consideradas, no trabalho com grandezas e medidas. Recomenda-se,
tambm, a articulao com aspectos da Histria da Matemtica.
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B GRANDEZAS GEOMTRICAS
GRANDEZAS E MEDIDAS
Retomando-se o trabalho com medidas de volume, o estudante deve ser incentivadoa formular e a resolver problemas envolvendo o clculo da medida do volume de
prismas retangulares (sem utilizao de frmulas). Tambm deve ser levado acompreender a noo de volume e suas unidades de medida. O trabalho comgrandezas geomtricas deve ser intimamente articulado com o estudo da Geometria.O professor pode fazer uso de recursos disponveis (caixas, cubinhos), paraevidenciar ao estudante que o clculo de volume est associado a camadas decubinhos, tomados como unidade de medida de volume. A partir dessa ideia, oestudante deve ser levado a perceber que o clculo da medida do volume de umprisma reto pode ser feito multiplicando-se a medida da rea da base pela altura doprisma. Com relao determinao da medida do volume de prismas, o estudantedeve ser levado a compreender que tal medida pode ser calculada pela multiplicao
da medida da rea da base pela sua altura. Aqui, importante, tambm, que oestudante tenha clareza de que 1 metro cbico equivale a 1000 litros. Por exemplo,uma caixa cbica com arestas medindo 1 metro comporta 1000 litros de gua (ou1000 litros de arroz). O trabalho com grandezas geomtricas deve ser fortementearticulado com geometria. Os problemas propostos devem partir de contextos queenvolvem as prticas sociais do estudante.
5.3. SUGESTES DE ATIVIDADES
Atividade- Mos obra
Professor, nesta atividade os alunos devem testar sozinhos seus conhecimentos, preenchendo osespaos em branco dos exerccios com o resultado do clculo do volume de cubos e do volumeresultante do agrupamento de blocos retangulares. O objetivo tambm melhorar a noo espacialda turma.
Talvez o grupo sinta dificuldades em observar e concluir como sero os 5 e 6 cubos destasequncia. Na lousa digital, projete a atividade e converse com a turma inteira, para que percebam opadro de aumentar 1 cm em cada aresta de um cubo para o outro. Com isso, os alunos deveroperceber que o Cubo 5 ter 5 cm em cada aresta e o Cubo 6 ter 6 cm em cada uma de suas arestas.
No item e, espera-se que os alunos concluam que mais fcil calcular o volume do cubomultiplicando o comprimento, a largura e a altura do cubo.
1) Observe a sequncia de cubos formada por cubinhos de 1 cm de aresta:
Cubo 1 Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4
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Responda:
a)Quanto mede a aresta de cada cubo?
Cubo 1 = .........cm Cubo 3 = ...........cm
Cubo 2 = .........cm Cubo 4 = ...........cm
b)Qual o volume de cada cubo da figura?
Cubo 1 = .........cm Cubo 3 = .........cm
Cubo 2 =.........cm Cubo 4 = .........cm
c)Imagine o quinto cubo desta sequncia. Qual ser a medida de sua aresta? Determine ovolume desse cubo:
Aresta = ...........cm
d)E o sexto cubo, quantos centmetros cbicos ter?
Volume = ........... cm
5.4. Exerccios
Resolver problema envolvendo noes de volumeD14
QUESTO 01
(Prova Brasil). Uma caixa dgua, com a forma de um paraleleppedo, mede 2m decomprimento por 3 m de largura e 1,5 m de altura. A figura abaixo ilustra essa caixa.
O volume da caixa dgua, em m, :
A) 6,5 B) 6,0 C) 9,0 D) 7,5
2m
3m
1,5m
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QUESTO 02
Marcelo brincando com seu jogo de montagem construiu os blocos abaixo.
Considerando cada cubo como 1cm,o volume da figura 1 e 2, respectivamente, :
A) 14 cm e 15 cm B) 10 cm e 10 cm C) 15 cm e 15 cm D) 12 cm e 13 cm
figura 1 figura 2
QUESTO 03
(GAVE). Com cubinhos de madeira de 1 cm3 de volume, a Ana construiu os seguintes slidos.
(A) (B) (C) (D)
Dos quatro slidos que a Ana construiu, assinala aquele que um paraleleppedo com 24 cm3 devolume.
(A) slido A (B) slido B (C) slido C (D) slido D
Slido A
Slido B
Slido C Slido D
QUESTO 04
(SARESP, 2007). Lus quer construir uma mureta com blocos de 20 cm x 10 cm x 8 cm.Observe a figura com as indicaes da forma e da extenso da mureta e calcule o nmero deblocos necessrios para a realizao do servio com os blocos na posio indicada(observao: leve em considerao nos seus clculos tambm os blocos que j esto indicadosna figura).
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A) 80 blocos B) 140 blocos C) 160 blocos D) 180 blocos
Dimensesdo tijolo
8cm
10cm20cm
Forma e extenso da mureta
2m
QUESTO 05
(Supletivo 2011). Cada quadradinho que compe as faces do cubo mgico da figura abaixo mede 1cm. Qual o volume desse cubo?
A) 1cm
B) 9 cm
C) 18 cm
D) 27 cm
QUESTO 06
A carroceria de um caminho-ba, como o da figura abaixo, tem 3 m de largura, 6 m decomprimento e 4 m de altura.
Qual a capacidade da carroceria deste caminho?
A) 13 mB) 22 mC) 27 mD) 72 m
3m
6m
4m
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QUESTO 07 - Milton vai preparar uma vitamina de leite com banana. Precisa de 250 mililitros deleite e uma banana para fazer um copo de vitamina. Para que Milton prepare 8 copos de vitamina,ele precisar de quantos litros de leite?
A) 02 B) 04 C) 06 D) 08
6. ORIENTAES PARA O ENSINO NMEROS E OPERAES
Com relao ao Bloco Nmeros e Operaes, o descritor D20 - Resolver problema com nmerosinteiros envolvendo as operaes (adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao),apresentou percentuais de acerto inferiores a 25% na avaliao do SAEPE 2013, realizada pelosalunos do 9 ano do Ensino Fundamental.
Este bloco de contedos quando trabalhado articulado a contedos dos demais blocos deconhecimento matemtico, bem como em situaes do contextualizada, favorece uma maiorcompreenso por parte dos estudantes. importante uma reflexo e um replanejamento das aespedaggicas, com base nos resultados obtidos pelos estudantes visando dessa forma suprirlacunas de aprendizagens em torno deste conceito.
Apresentamos em seguida expectativas de aprendizagens e orientaes didticas, presentes nosreferenciais curriculares do Estado de Pernambuco, para os anos finais do Ensino fundamental,que podem contribuir na organizao e planejamento das atividades de ensino, relacionadas resoluo de problemas com nmeros inteiros envolvendo as operaes.
6.1. Contedos e expectativas de aprendizagens relacionadas aos descritorescom percentuais de acerto de at 25%
Resolver problema com nmeros inteiros envolvendo as operaes(adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao).D20
BLOCO NMEROS E OPERAES
Nmero inteiro negativo. Compreender conceitualmente nmeros negativos.
ANO BIM CONTEDO EXPECTATIVA DE APRENDIZAGEM
7 2
Comparao e ordenao denmeros inteiros relativos.
Ordenar nmeros inteiros (negativos e positivos).
Nmero inteiro relativo e posiona reta numrica.
Associar nmeros inteiros (negativos e positivos) a pontosna reta numrica e vice-versa.
Simtrico de um nmerointeiro relativo.
Compreender a ideia de simtrico e de valor absoluto (mdulo)de um nmero na reta numrica.
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Adio e subtrao de nmerosinteiros relativos.
Resolver e elaborar problemas envolvendo adio e subtraode nmeros inteiros ( negativos e positivos).
7
4
MMC e MDC de nmeros inteiros.Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias demnimo mltiplo comum e de Maximo divisor comum.
Expresses aritmticas com vriasoperaes e sinais de associao.
Resolver e elaborar uma expresso aritmtica envolvendo vriasoperaes (respeitando a ordem das operaes) e sinais deassociao (parnteses, colchetes e chaves).
Simtrico de um nmerointeiro relativo.
Compreender e efetuar clculos com potenciasde expoentes inteiros.
3
8
1
2 Simtrico ou valor absoluto deum nmero.Compreender ideia de simtrico e de valor absoluto (mdulo)de um nmero na reta numrica.
Expresses aritmticas com vriasoperaes e sinais de associao.
Resolver e elaborar uma expresso aritmtica envolvendo vriasoperaes (respeitando a ordem das operaes) e sinais deassociao ( parntese , colchetes e chaves).
3
4Problema envolvendo as operaesadio, subtrao, multiplicao,diviso, radiciao e potenciao.
Resolver e elaborar problemas que envolvem diferentesoperaes (adio, subtrao, multiplicao, diviso,potenciao e radiciao).
9
Simtrico ou valor absolutode um nmero.
Compreender ideia de simtrico e de valor absoluto(mdulo) de um nmero na reta numrica.
1
MMC e MDC de nmeros inteiros.Resolver e elaborar problemas que envolvam as ideias de
mnimo mltiplo comum e de Maximo divisor comum.
2Problema envolvendo as operaesadio, subtrao, multiplicao,diviso , radiciao e potenciao.
Resolver e elaborar problemas que envolvem diferentesoperaes (adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciaoe radiciao).
As orientaes pedaggicas constantes dos Parmetros em Sala de Aula e, mais estreitamenteligadas ao descritor D20 - Resolver problema com nmeros inteiros envolvendo as operaes(adio, subtrao, multiplicao, diviso, potenciao) foram transcritas resumidamente noquadro abaixo.
6.2. Orientaes de acordo com a organizao de contedos de matemtica emtpicos segundo os Parmetros na Sala de Aula
A NMEROS
05- NMEROS E OPERAES
O trabalho com nmeros negativos pode ser proposto, a partir de situaes prticasenvolvendo temperaturas, linha do tempo ou saldos bancrios, por exemplo. fundamental levar o estudante a compreender, conceitualmente, esse tipo de
nmero. Na internet, h sites interessantes onde o estudante poder pesquisar ahistria dos nmeros menores que zero e algumas de suas aplicaes. H, ainda,diversos sites com jogos e desafios interessantes.
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B-RELAES DE ORDEM
Inicialmente, o trabalho com ordenao de nmeros inteiros positivos e racionaispositivos deve ser retomado, para que o estudante tenha a oportunidade de reversuas aprendizagens. Na sequncia, o professor pode estender o trabalho, envolven-do os nmeros inteiros negativos. importante que a ordenao de nmeros inteiros
negativos seja proposta de forma articulada ao estudo dos significados dos nmerosinteiros. O trabalho com a reta numrica ajuda bastante e possibilita ao estudantedeterminar a posio exata ou aproximada de nmeros na reta e perceber a simetriaem relao ao zero. recomendvel que nmeros simtricos sejam vistos comoaqueles que possuem a mesma distncia em relao ao zero, na reta numrica;apresentar nmeros simtricos como aqueles de sinais opostos cria concepesincorretas, por parte do estudante, que, mais tarde, se transformaro em obstculosa novas aprendizagens.
C- OPERAES
A calculadora deve ser sempre uma aliada do estudante na resoluo de expressesenvolvendo sinais de operaes e sinais de associao. Ao informar para acalculadora o que deve ser feito, o estudante compreende as regras operatrias(ordem das operaes e dos sinais de operao). Nesse trabalho, importante que oestudante aprenda a usar os recursos da calculadora, como, por exemplo, amemria.
6.3. Sugestes de atividades
ATIVIDADE 01Jogo do vai e vem: adio e subtrao de nmeros inteiros.Fonte: http://portaldoprofessor.mec.gov.br
Durao das atividades.2 a 3 horas/aulas (50 minutos)
Conhecimentos prvios trabalhados pelo professor com o aluno. Reconhecer nmeros inteiros e sua sequncia; Determinar o mdulo e o oposto de nmeros inteiros.
Recursos materiais. Papel carto ou cartolina (tabuleiro do jogo); Folhas sulfites coloridas e brancas; Rgua; Tesoura; Pinceis coloridos;
Dados com as faces numeradas de 1 a 7; Dados com as faces identificadas com sinais de + e ; Tampinhas coloridas ou objetos para representarem os jogadores.
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Professor, o tabuleiro e as peas do jogo podem ser preparados previamente ou voc pode sugerirque os alunos construam seus prprios materiais. A construo do jogo pelos alunos pode ajud-los na elaborao, reconhecimento e compreenso do conceito de reta numrica dos nmerosinteiros.
Comentrio:Caso o professor faa opo por este caminho metodolgico, recomenda-se reservarum nmero maior de aulas para a execuo das atividades propostas. Para a construo do jogo oupara jogar, o professor pode dividir a turma em grupos de dois, trs ou quatro componentes.Defende-se que a dinmica das atividades pode ser comprometida, caso uma equipe tenha mais de4 integrantes por permitir que membros fiquem ociosos por um tempo longo.
CONFECO DO JOGO:
As folhas sulfites coloridas so recortadas em pequenos retngulos. Nesses cartes devem ser
escritos uma sequncia numrica de nmeros inteiros positivos e outra de negativos. Recomenda-se confeccionar um retngulo maior para representar o nmero zero e, ainda, identifica-lo com apalavra Largada, pois ser o ponto de incio (partida) do jogo. Este retngulo ser o primeiro a serfixado no tabuleiro (papel carto ou cartolina). Os retngulos recortados e numerados constituiroa trilha do jogo. Essa trilha ser montada no tabuleiro.
Comentrio: Na confeco do jogo pelos alunos, a construo do tabuleiro torna-se umaoportunidade para o professor resgatar os princpios de identificao dos nmeros inteiros emuma reta numrica.
Ao construir o tabuleiro, no necessrio que a trilha siga em linha reta, no entanto, os nmerosdevem obedecer a uma sequncia numrica. O final das trilhas, tanto dos nmeros positivosquanto dos negativos, deve ser identificado como pontos de Chegada do jogo. Para isso, podem-se confeccionar retngulos usando folhas sulfites coloridas.
Quando da construo do jogo, pode ser oportuno que o professor questione os alunos quanto aosentido dos nmeros negativos ou, por exemplo:
Qual maior 7 ou 6?
Para um nmero negativo verdade que quanto maior o seu mdulo menor o seu valornumrico? O que significa o mdulo de um nmero?
Qual o nmero oposto de 5? O que significa perguntar ou localizar o oposto (simtrico) de um nmero?
Com essas perguntas, espera-se um resgate dos conceitos dos nmeros inteiros, como porexemplo: oposto ou simtrico de um nmero, mdulo de um nmero inteiro.
A figura a seguir uma sugesto de estruturao da trilha do tabuleiro, mas outras formas podemser construdas.
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Figura 1:Sugesto de estruturao do tabuleiro.
prudente lembrar que quanto maior a sequncia, maior o tempo gasto com a atividade do jogo,porm maiores sero as possibilidades de diversificar as jogadas e as situaes vivenciadas.
Aconselha-se, antes de iniciar o jogo, que o professor solicite aos alunos a construo de umquadro com 5 colunas e vrias linhas em folhas sulfites brancas A4. importante que se deixeespao para que novas linhas sejam includas no quadro, pois essas linhas sero usadas para queos alunos registrem as jogadas de cada rodada. Outra observao a ser feita na construo doquadro que a 5 coluna seja maior e inicialmente deixada em branco para futura formalizao dasoperaes.
Quadro 1:Exemplo de quadro para registro das jogadas.
Nmero darodada
Valor numricoda posio em
que estou
Nmerosorteado
Valor numricoda posio em
que parei
Antes de iniciar o jogo, todos os jogadores devem registrar na primeira linha da coluna Nmero darodada como sendo a 1 e na coluna Valor numrico da posio em que estou, o valor zero, poistodos os jogadores iniciaro da posio Largada, que no jogo representada pelo valor zero,conforme explicado anteriormente (quadro1).
Dessa forma, todos tero as seguintes informaes no seu quadro para a primeira rodada:
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Quadro 1:Exemplo de quadro para registro das jogadas.
Nmero darodada
Valor numricoda posio em
que estou
Nmerosorteado
Valor numricoda posio em
que parei
1 0
Cada integrante da equipe escolhe uma tampinha de cor diferente para se identificar no jogo. Emseguida, o grupo deve definir a ordem de cada jogador a realizar sua jogada. Conforme orientam osParmetros Curriculares Nacionais (PCN), ao lidarem com situaes de jogos com regras, os
alunos conseguem perceber que as combinaes so definidas pelos prprios jogadores e que spodem jogar em funo da jogada do outro. Esse aspecto torna-se importante por permitir que osalunos conquistem um desenvolvimento cognitivo, emocional, moral e social, alm de umestmulo para ampliao do seu raciocnio lgico (BRASIL, 1997).
Para a formalizao posterior das operaes, aconselha-se que o professor oriente os jogadores aregistrarem todos os passos da jogada conforme identificado em cada coluna do quadro. Emseguida, o professor disponibiliza um dado com as faces numeradas e outro, com as facesidentificadas com os sinais positivo ( + ) e negativo ( ) para cada grupo. Os dois dados devero serlanados por cada jogador simultaneamente, conforme podem ser visualizados na imagem a
seguir.
Figura 2:Detalhe dos dados e das tampinhas que representam os jogadores.
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Pondera-se que necessrio esclarecer aos jogadores que cada pea deve ser movida de acordocom a quantidade de casas sorteadas no dado numrico. Alm disso, quando o valor sorteadocorresponder ao sinal positivo ( + ), o jogador deve mover a sua pea para a direita, ou seja, naordem crescente. Caso o sinal sorteado seja o negativo ( ), a pea deve ser movida para aesquerda, ou seja, na ordem decrescente dos nmeros.
Assim, supondo que a imagem anterior representa a primeira jogada, tem-se sorteado o sinal + e onmero 7. O jogador, ento, deve mover a pea que o representa 7 casas para a direita e registrar asua jogada, que ficar registrada da seguinte forma:
Quadro 1:Exemplo de quadro para registro das jogadas.
Nmero darodada
Valor numricoda posio em
que estou
Nmerosorteado
Valor numricoda posio em
que parei
1 0
2 +7
+7 +7
Porm, se na segunda rodada, este jogador sortear o sinal negativo () e o valor 6, este devermover a sua pea 6 casas numricas para a esquerda e, novamente, dever registrar a sua jogadaque se configurar da seguinte forma:
Quadro 1:Exemplo de quadro para registro das jogadas.
E assim, sucessivamente, at que um dos jogadores alcance a Chegada da trilha do tabuleiro.Pode-se tambm dar continuidade ao jogo at que todas as posies dos jogadores do grupo sedefinam.
Comentrio:O professor pode, tambm, sugerir uma competio entre os grupos ou entre salasna forma de campeonato. Para isso, os vencedores de cada grupo devem formar grupos para
novas partidas e, assim, at restarem dois jogadores para fazerem uma partida final. Nesse caso, aconselhvel reservar um maior nmero de aulas, caso se opte por essa metodologia de aplicaodo jogo.
Nmero darodada
Valor numricoda posio em
que estou
Nmerosorteado
Valor numricoda posio em
que parei
1 0
2 +7
+7 +7
-6 +1
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Comentrio:O jogo proposto pode ser utilizado para reforar o conhecimento do aluno acerca daadio dos nmeros inteiros, mas tambm pode ser o disparador, para se introduzir essaoperao.
Com o registro das jogadas, cada jogador ter um quadro prprio correspondente s suas prpriasjogadas. Aconselha-se que essas informaes sejam usadas para formalizao da adio com osnmeros inteiros. No caso do jogo ser um elemento disparador, importante que o professorescolha exemplos que possam garantir a maior diversidade possvel de situaes vivenciadaspelos alunos nessa fase. Por isso, aconselha-se que as situaes em que os alunos tiveram queefetuar operaes, mesmo que sem perceberem: (+) + (+), () + (), (+) + (), () + (+) sejamsocializadas para que os alunos percebam o que acontece com os resultados e a partir da,estabeleam a regra da adio com os nmeros inteiros, considerando os sinais iguais oudiferentes.
Comentrio: Durante a realizao dos jogos, aconselha-se ao professor ficar atento s jogadas dosalunos. Para isso, torna-se importante que o docente circule pelo ambiente buscando garantir essemomento.
prudente lembrar que antes de socializar os exemplos, o professor deve instigar os alunospedindo para analisem os seus quadros e que tirem individualmente, suas concluses. Espera-seque os discentes percebam que a soma do valor registrado na coluna Valor numrico da posioem que estou com o Nmero sorteado igual ao valor da coluna Valor numrico da posio emque parei. Aps esse momento, sugere-se que o professor solicite aos alunos que registrem naltima coluna, at ento em branco, a inscrio Formalizando. Em seguida, devem serregistradas as operaes efetuadas durante a realizao do jogo quando do sorteio de cada valorem cada rodada por cada integrante do grupo.
Lembra-se que outra concluso importante a ser alcanada pelos alunos so as regras de sinaisdas operaes de adio e subtrao com nmeros inteiros. Assim, quando os sinais sodiferentes, o resultado a subtrao dos valores absolutos com a conservao do sinal do valor domaior mdulo. E quando os sinais so iguais, o resultado a soma dos valores absolutos e seusinal conservado.
ENRIQUEA SUA AULA
Os quadros de valores podem ser registrados, posteriormente, usando um software de planilhasde clculos como, por exemplo, o Excel do Office do Windows. Como o quadro simulado a seguir:
Quadro 1:Exemplo de quadro para registro das jogadas.
Nmero da rodadaValor numrico da
posio em que estou Nmero sorteadoValor numrico da
posio em que parei1 0 4 42 4 -6 -23 -2 5 3
4 3 -7 -45 -4 -5 -96 -9 4 -5
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Sugere-se aos professores que, ao utilizarem os softwares de planilhas de clculos, os alunospodem ser desafiados a elaborarem e criarem frmulas para a coluna Valor numrico da posioem que parei que apresente o resultado das operaes com os valores a serem lanados na colunaNmero sorteado. Para isso, o professor deve ter certo domnio do software quanto suaformatao e configurao.
Adverte-se, ainda, apesar de ser um apoio no processo de ensino e aprendizagem das operaescom nmeros inteiros, os alunos podem apresentar dificuldades, uma vez que, o software citado,no apresenta a opo de subtrao, apenas da soma.
Comentrio:Algumas configuraes so necessrias para que o software aceite o trabalho comnmeros negativos:
1. Nas trs colunas: Valor numrico da posio em que parei, Nmero sorteado eValor numrico da posio em que parei, as clulas em que os valores sero lanadosdevem ser selecionados e o operador deve dar um clique com o boto direito do mouse eescolher a opo Formatar clulas.
2. Na opo Nmero, zerar o nmero de casas decimais e na coluna Categorias,selecionar a opo Nmero e, ainda, na caixa Nmeros negativos, deve-se escolheruma das opes com sinal de negativo.
3. Aps registrar os nmeros na coluna Valor numrico da posio em que parei deve-se digitar a frmula de clculo da adio entre esses valores. Para isso, preciso digitar osinal de igual (=) e depois a soma entre a referncia da clula da coluna Valor numricoda posio em que estou e a referncia da clula da coluna Nmero sorteado. Porexemplo, se os valores a serem adicionados forem lanados nas clulas B3 e C3,respectivamente, a frmula ser: =B3+C3, conforme destacado na ilustrao a seguir,onde est representada a digitao da frmula referente clula D3 (Figura 3).
Figura 3:Exemplo de frmula a ser digitada pelo aluno.
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Outra configurao possvel, na coluna Valor numrico da posio em que estou, defini-la paraapresentar o valor da clula da linha superior, na coluna identificada como: Valor numrico daposio em que parei. Para isso, na clula em que se deseja que o valor aparea, deve-se colocar osinal de igual e a referncia da linha e coluna do valor desejado, por exemplo, para a segundarodada, digitar na segunda clula numrica da segunda coluna, conforme destacado na ilustrao aseguir (Figura 4).
Figura 4: Exemplo de definio valor coluna Valor numrico da posio em que estou.
Esta atividade foi extrada da aula Jogo do vai e vem: adio e subtrao de nmeros inteiros doprofessor derson de Oliveira Passos - Uberlndia/MG. Disponvel no Portal do Professor/MEC.Acessado em 15/07/2013. Todas as informaes contidas nela so de responsabilidade do autor.
ATIVIDADE 02- Estudo Dirigido
Uma estratgia interessante seria propor aos alunos um estudo dirigido adaptado da obra NAME,Miguel Assis. Tempo de matemtica: 6 srie. So Paulo: Editora do Brasil S/A, 1996.
A atividade simples e em outras ocasies o professor pode adapt-la com outros materiais, comopor exemplo, bolas de gude.
A atividade permite aos alunos que operem intuitivamente com os nmeros inteiros.
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Sr. Joaquim tem numa prateleira, vrios potes de bala. Em todos eles deveria haver a mesmaquantidade de balas: 150. Ele descobriu, no entanto, que isso no acontecia: em alguns sobravambalas, em outros faltavam.
Resolveu, ento, colocar rtulos nos potes, indicando quantas faltavam para completar 150 balasou quantas sobravam.
-10 +20 -15 +8 -38
2 3 4 5 61
Neste momento, leve os alunos a refletirem sobre o nmero de balas que h em cada pote. Emseguida, explore intuitivamente o significado dos rtulos, questionando os alunos sobre outrosvalores.
A seguir, solicite aos alunos que tentem resolver as questes abaixo, escrevendo suasrespostas por extenso.
1-Qual o possvel significado do rtulo 10 ?2-Qual o possvel significado do rtulo +20 ?3-Qual o possvel significado do rtulo sem nada?
Dando continuidade ao trabalho, explore o significado dos sinais. Para isso, traga outrosexemplos de situaes em que aparecem os sinais negativos e positivos.
O Sr. Joaquim usou os sinais para indicar que faltavam balas e para indicar que sobravambalas, alm das 150 que o pote deveria conter. Ento:
1-Para que foi usado o sinal - (menos)?2-Para que foi usado o sinal + (mais)?
Chegou o momento de explorar os clculos simples. aqui que o aluno comea a operarintuitivamente com os nmeros inteiros. Explore questes como:
1-Em que pote h mais balas?2-Em que pote h menos balas?3-Quantas balas h em cada pote?
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Pote 1 2 3 4 5 6
Nmero de balas
Agora formalize as operaes com nmeros inteiros, sem indicar que operao especfica o aluno
estar realizando:O Sr. Joaquim colocou ou retirou algumas balas em alguns potes e registrou:
Chegou o momento de consolidar a atividade. Para isso, questione aos alunos:1-Algum pote ficou com 150 balas?2-Quais os potes que ficaram com mais de 150 balas?
3-Quais os potes que ficaram com menos de 150 balas?Reflita com os alunos sobre os nmeros inteiros. Para isso, questione:
Que tipo de nmero pertence ao conjunto dos nmer os inteiros? Cite exemplos. Como podemos decidir se um nmero inteiro maior ou menor que outro nmero inteiro? Como representar os nmeros inteiros numa reta numrica? Existe alguma relao entre o conjunto dos nmeros naturais e o conjunto dos nmerosinteiros?
Em quais situaes so necessrios os nmeros inteiros negativos?
1)Recursos ComplementaresEm http://rived.mec.gov.br/site_objeto_lis.phpvoc encontra uma ativida