c2 limites por caminhos e definicao[1]

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20/10/2010 CDI-2: Limites de funes de duas variveis Tags: Funes de vrias variveis, Limites, Caminhos, Exemplos demonstrados, demonstrao, passo a passo, exerccios resolvidos, Clculo dois (2).

Livro: Clculo B - Mrian Buss Gonalves, Diva Marlia Flemming; Apostila do curso de CDI-2 UDESC 2010/2

Advertncia: Usa-se muitos smbolos de notao matemtica nesse estudo . Se tiver duvidas consulte os arquivos do site: (MAT) Notao Matemtica, e (CIG) O Alfabeto grego. No use esse artigo como fonte nica de estudos.

Exerccios resolvidos:

Prove pela definio:

1) limx, y` a

Q 1, 2b c 3x + 2yb c

= 7

2) limx, y` a

Q 1, 3b c 2x + 3yb c

= 11

3) limx, y` a

Q 0, 0b c 2xy

x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffff

= 0

Por caminhos e definio:

4) limx, y` a

Q 0, 0b c 2xy

2

x 2 + y2ffffffffffffffffffffff

Mostre pela proposio:

5) limx, y` a

Q 0, 0b c 2xy

2


= 0

Prove a inexistncia por caminhos:

6) limx, y` a

Q 0, 0b c 2xy


7) limx, y` a

Q 0, 2b c

x 2 y@ 2b c

x 4 + y@ 2b c2ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

Por caminhos e definio:

8) limx, y` a

Q 0, 0b c 3x

2 yx 2 + y2ffffffffffffffffffffff

Calcule se possvel:

9) limx, y` a

Q 0, 1b c

3x 4 y@ 1b c4

x 4 + y2@ 2y + 1b c3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

10) limx, y` a

Q 0, 0b c xy

2


Por caminhos, definio e pela proposio:

11) limx, y` a

Q 0, 0b c x

3 + y3


Calcule se possvel:

12) limx, y` a

Q 0, 0b c x

2 y2


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I ) Definio: Sejam f :AjR2QR e x0 , y0` a

um ponto de acumulao de A . Dizemos que o limite de f (x, y) quando (x,y) se aproxima de x0 , y0

` a um nmero real L se, para todo > 0 ,

existir um > 0 tal que f x,y` a@LLLL MMM< sempre que x,y` a 2 A e 0 < x,y` a@ x0 , y0` aLLL MMM< .

limx , y` a

Q x0 ,y0b c f x,y` a= L

II ) Definio resumida em smbolos:

limx , y` a

Q x0 ,y0b c f x,y` a= L se 8 > 0 9 > 0 | f x,y` a@LLLL MMM< s A q A x @ x0` a2@ y@ y0` a2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww< .

* s.q. = sempre que. Interpretao: O limite existe se, e somente se as condies da definio forem verificadas, quando isso ocorre dizemos que o limite esta provado.

III ) Observao: Para que o limite de uma funo de duas variveis exista, preciso que a funo tenda para L , independentemente do caminho considerado. Isto , a situao diferente do clculo 1, pois aqui existe uma infinidade de curvas (caminhos) das quais o ponto pode se aproximar de L. E essa a base do teorema que deve ser compreendido antes de comear a provar limites.

IV ) Teorema: Seja f uma funo de duas variveis definida numa bola aberta centrada em A x0 , y0` a

, exceto possivelmente em A x0 , y0` a

. Se f (x , y) tem limites diferentes quando (x, y) tende para x0 , y0

` a por caminhos diferentes ento o limite no existe.

limx , y` a

Q x0 ,y0b c f x,y` a 9+ no existe` a.

V ) Mdulo ou Valor absoluto: Na prova de limites as desigualdades sero fundamentais, se achar necessrio faa uma reviso de contedo. Uma propriedade que ser muito utilizada.

Desigualdade triangular: x + yLL MM xLL MM+ yLL MM Demonstrao:

x + yLL MM2

= x + y` a2

= x 2 + 2xy + y2 x 2 + 2 xyLL MM+ y2

xLL MM2 + 2 xyLL MM+ yLL MM2 = xLL MM+ yLL MMb c2

x + yLL MM xLL MM+ yLL MM

X^^^^^^^\^^^^^^^Z

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Agora a prova de limites de duas variveis. O raciocnio pode ser estendido para n variveis.

Exemplos:

1) Mostre pela definio que: lim

x, y` a

Q 1, 2b c 3x + 2yb c

= 7

Soluo: *Antes vamos esclarecer que: f x,y` a= 3x + 2y , L = 7 , x0 = 1 , y0 = 2 e de forma anloga ser feita para todos os seguintes. Quando o exerccio dado com o valor do limite, no esta pedindo o valor, somente a prova, ento no necessrio usar os caminhos. Agora a prova, isto , daqui para baixo necessrio fazer todo o procedimento do jeito que est, ou de mesma clareza.

Queremos mostrar que: lim

x, y` a

Q 1, 2b c 3x + 2yb c

= 7 se 8 > 0 9 > 0 | 3x + 2y@ 7LLL MMM< s A q A x @ 1` a2 + y@ 2b c2swwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

< A

Trabalhando a desigualdade que envolve : 3x + 2y@ 7LLL MMM= 3x @ 3 + 2y@ 4LLL MMM

= 3 x @ 1` a

+ 2 y@ 2b cLLLL MMMM 3 x @ 1` aLLL MMM+ 2 y@ 2b cLLLL MMMM

3 x @ 1LL MM+ 2 y@ 2LLL MMM

Pela propriedade de mdulo, podemos concluir que:

x @ 1LL MM x @ 1` a2 + y@ 2b c2s

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww<

y@ 2LLL MMM x @ 1` a2 + y@ 2b c2s

wwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww<

3x + 2y@ 7LLL MMM 3 x @ 1LL MM+ 2 y@ 2LLL MMM

< 3 + 2 = 5

Ento comparando as inequaes, podemos admitir:

3x + 2y@ 7LLL MMM< 53x + 2y@ 7LLL MMM<

X^^\^Z^

= 5[ = 5fff

Portando escolhendo = 5fff a definio de limite verificada.

Verificao do (opcional): 3x + 2y@ 7LLL MMM 3 x @ 1LL MM+ 2 y@ 2LLL MMM

< 3 + 2< 3 A 5

fff+ 2 A 5fff=

Logo, limx, y` a

Q 1, 2b c 3x + 2yb c

= 7

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2) Mostrar pela definio que: lim

x, y` a

Q 1, 3b c 2x + 3yb c

= 11

3) Mostre pela definio que: lim

x, y` a

Q 0, 0b c 2xy


= 0

Soluo:

Queremos mostrar que:

limx, y` a

Q 0, 0b c 2xy


= 0 se 8 > 0 9 > 0 | 2xyx 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffffLLLLLLL

MMMMMMM< s A q A x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

< A

Pelas propriedades de mdulo, conclumos que:

8 x, y` a

0, 0b c xLL MM x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

yLL MM x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

X^^^\^^^Z

Trabalhando a desigualdade que envolve :

2xyx 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffffLLLLLLL

MMMMMMM=2 xLL MMA yLL MMx 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffff 2 x

2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwA x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwx 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

2 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

Comparado as inequaes, podemos admitir:

2xyx 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffffLLLLLLL

MMMMMMM< 2 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

X^^^^^^^^\^^^^^^^^Z

= 2 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww [ 2fff= x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

<

= 2fff


Verificao do (opcional): 2xy

x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwfffffffffffffffffffffffffffffffLLLLLLL

MMMMMMM 2 A x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

< 2 A 2fff

=

Logo, limx, y` a

Q 0, 0b c 2xy


= 0

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4) Mostre pela definio que o limite existe: lim

x, y` a

Q 0, 0b c 2xy

2


Soluo:

Como no temos o valor ( L ) do limite, utilizando caminhos distintos vamos supor o limite e prova-lo. J que o enunciado diz que ele existe.

Seja o caminho C1 = x,y` a

2 R2 | x = 0R S (analogamente aos seguintes) ou informalmente

C1 :x = 0 . Ento o limite de duas variveis passa a um limite de uma varivel. Note que o caminho x = 0 o eixo y (a interpretao dos demais caminhos so feitas de forma anloga, sejam retas, curvas, parbolas e etc.).

lim0, yb c

Q 0, 0b c f 0, y

b c=

2xy2

x 2 + y2ffffffffffffffffffffffHJ IK= lim

yQ 0

2 A 0 A y2

02 + y2ffffffffffffffffffffffff

= 0 = L

C2 :y = 0 .

limx, 0b c

Q 0, 0b c f x, 0

b c=

2xy2

x 2 + y2ffffffffffffffffffffffHJ IK= lim

xQ 0

2x A02

x 2 + 02fffffffffffffffffffff

= 0 = L

C3 :y = kx .

limx, kxb c

Q 0, 0b c f x, kx

b c=

2xy2


=

2x kx` a2x 2 + kx` a2ffffffffffffffffffffffffffffff=

2x 3 k 2

x 2 1 + k 2b cfffffffffffffffffffffffffffffffff

HLLJIMMK= lim

xQ 0

2xk 2

1 + k 2ffffffffffffffffff

= 0 = L

C4 :y = kx2

limx, kx2b c

Q 0, 0b c f x, kx 2

b c=

2xy2


=

2x kx 2b c2

x 2 + kx 2b c2ffffffffffffffffffffffffffffffffff= 2x 5 k

2

x 2 1 + x 2 k 2b cfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

HLLLLJIMMMMK= limxQ 0 2x

3 k 2

1 + x 2 k 2fffffffffffffffffffffffffff

= 0 = L

Ento pelo resultado L do limite ser igual nos quatro caminhos, supomos que L = 0 e seguimos para a verificao atravs da definio.


limx, y` a

Q 0, 0b c 2xy

2


= 0 se 8 > 0 9 > 0 | 2xy2

x 2 + y2ffffffffffffffffffffffLLLLLL

MMMMMM< s A q A x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

< A

Trabalhando a desigualdade que envolve :

2xy2


MMMMMM= 2 xLL MMy2


Aqui podemos fazer as seguintes consideraes:

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y2 x 2 + y2

xLL MM x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

Ou tambm:

y2

x 2 + y2ffffffffffffffffffffff x 2 + y2


= 1 ; x,y` a

0,0b c

Substituindo:

2xy2


MMMMMM= 2 xLL MM y2


2 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww x 2 + y2b c

x 2 + y2ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

= 2 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

Comparando:

2xy2


MMMMMM< 2 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

X^^^^^\^^^^^^^Z


<

= 2fff


Logo, limx, y` a

Q 0, 0b c 2xy

2


= 0

VI ) Proposio: Se limx, y` a

Q x0 , y0b c f x,y` a= 0 e g(x, y) uma funo limitada numa bola aberta de

centro em x0 , y0` a

, ento: limx, y` a

Q x0 , y0b c f x,y` aA g x,y` a= 0

A prova foi omitida, e pode ser encontrada no livro Clculo B, pg 54/55.

Exemplo: 5) Utilizando a proposio mostre que o limite existe:

limx, y` a

Q 0, 0b c 2xy

2


= 0

Soluo 1:

Definindo f x,y` a= x ; g x,y` a= 2y2x 2 + y2ffffffffffffffffffffff

ento:

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limx, y` a

Q 0, 0b c f x,y` a= 0

Agora temos que mostrar que g(x,y) limitada 8 x,y` a 0,0b c :

g x,y` aLLL MMM= 2 y2


= 2 A y2


2 A x2 + y2


= 2

Logo g x,y` aLLL MMM 2 8 x,y` a 0,0b c , assim:

limx, y` a

Q 0, 0b c 2xy

2


= limx, y` a

Q 0, 0b c x A 2 y

2


=

limx, y` a

Q 0, 0b c x{~~~~~~ }~~~~~~y

L = 0

A 2y2

x 2 + y2ffffffffffffffffffffffz~~~ |~~~xLimitada

= 0

Soluo 2: Definindo f x,y` a= 2y ; g x,y` a= yx


ento:

limx, y` a

Q 0, 0b c f x,y` a= 0

Agora temos que mostrar que g(x,y) limitada. Aplicando substituio polar (coordenadas polares), lembrando que: sin2 x + cos2 x = 1

g r cos ,r sinb c

=

yxx 2 + y2ffffffffffffffffffffff

=r sin A r cos

r2 cos2 + r2 sin2 ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

=r2 A sin A cos

r2 cos2 + sin2 b cfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= sincos

Logo g r cos,r sinb cLLLL MMMM= sincosLL MM 1 8 x,y` a 0,0b c , assim:

limx, y` a

Q 0, 0b c 2xy

2


= limx, y` a

Q 0, 0b c2y A yx


=

limx, y` a

Q 0, 0b c2y{~~~~~~~~ }~~~~~~~~y

L = 0

Ayx

x 2 + y2ffffffffffffffffffffffz~~~ |~~~xLimitada

= 0

Quanto as propriedades: limx, y` a

Q 0, 0b c 2xy

2


se f x,y` a= 2y ; g x,y` a= yxx 2 + y2ffffffffffffffffffffff

ento:

limx, y` a

Q 0, 0b c 2xy

2


= limx, y` a

Q 0, 0b c f x,y` aA g x,y` a= lim

x, y` a

Q 0, 0b c f x,y` aA lim

x, y` a

Q 0, 0b cg x,y

` a= lim

x, y` a

Q 0, 0b c2y A lim

x, y` a

Q 0, 0b c yx


Quanto a substituio polar g r cos ,r sinb c

= sincos , e se: x,y` aQ 0,0b c ento x 2 + y2 = r2 logo r2Q 0 , rQ 0 , e o limite tambm muda com a substituio, vamos ver o que acontece:

limx, y` a

Q 0, 0b c 2xy

2


= limx, y` a

Q 0, 0b c f x,y` aA lim

r Q 0g r cos,r sinb c

= limx, y` a

Q 0, 0b c2y A lim

rQ 0sincos

=

limx, y` a

Q 0, 0b c2y{~~~~~~~~ }~~~~~~~~y

L = 0

A sincos = 0 A sincos = 0

E isto se aplica de forma anloga as outros limites.

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6) Prove a inexistncia por caminhos: lim

x, y` a

Q 0, 0b c 2xy


Soluo:

Utilizando caminhos distintos vamos supor um valor L do limite, e se existir apenas um valor , provaremos pela definio:

C1 :x = 0

lim0, yb c

Q 0, 0b c 2xy


=

2 A 0 A y02 + y2ffffffffffffffffffffff

= 0 = L1

HJ IK

C2 :y = 0

limx, 0b c

Q 0, 0b c 2 A x A 0


= 0 = L1F G

C3 :y = x

limx, x` a

Q 0, 0b c 2xx

x 2 + x 2ffffffffffffffffffffff

=2x 2

2x 2ffffffffff

= 1 = L2F G

Como L1 L2 , isto , por caminhos, conclumos que o limite no existe. Leia III e IV se no entender.

7) limx, y` a

Q 0, 2b c

x 2 y@ 2b c

x 4 + y@ 2b c2ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

Soluo:

C1 :x = 0

lim0, yb c

Q 0, 2b c

02 y@ 2b c

04 + y@ 2b c2ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= limyQ 2 0y2@ 4y + 4ffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 0 = L1

F G

C2 :y = kx + 2

limx, kx + 2b c

Q 0, 2b c

x 2 kx + 2@ 2` ax 4 + kx + 2@ 2` a2fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffHJ IK= lim

xQ 0

x 2 kx` ax 4 + kx` a2ffffffffffffffffffffffffffffff=

kx 3

x 2 x 2 + k 2b cffffffffffffffffffffffffffffffffffff= kx

x 2 + k 2ffffffffffffffffffffff

=0k 2fffffff

= 0 = L1

HLJIMK

C3 :y = kx2

+ 2

limx, kx2 + 2b c

Q 0, 2b c

x 2 kx 2 + 2@ 2b c

x 4 + kx 2 + 2@ 2b c2fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= limxQ 0

x 2 kx 2b c

x 4 + kx 2b c2ffffffffffffffffffffffffffffffffff= x 4 k

x 4 + k 2A x 4fffffffffffffffffffffffffffffffff

=x 4 k

x 4 1 + k 2b cfffffffffffffffffffffffffffffffff= k

1 + k 2ffffffffffffffffff

= L2

HLLLJIMMMK

Como L1 L2 , isto , por caminhos, conclumos que o limite no existe.

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8) Utilize caminhos e prove a existncia do limite: lim

x, y` a

Q 0, 0b c 3x


Soluo: Utilizando caminhos distintos vamos supor um valor L do limite, e se existir apenas um valor , provaremos pela definio:

C1 :y = kx

limx, kxb c

Q 0, 0b c 3x

2 kxx 2 + kx` a2ffffffffffffffffffffffffffffff= limxQ 0

3kx 3

x 2 1 + k 2b cfffffffffffffffffffffffffffffffff= 3kx

1 + k 2b cffffffffffffffffffffffff= 0 = L1

HLJIMK

C2 :y = kx2

limx, kx2b c

Q 0, 0b c 3x

2 kx 2

x 2 + kx 2b c2ffffffffffffffffffffffffffffffffff= limxQ 0 3kx

4

x 2 1 + k 2 x 2b cfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 3kx 2

1 + k 2 x 2fffffffffffffffffffffffffff

= 0 = L1

HLJIMK

Como o resultado L do limite igual nos dois caminhos, supomos que L = 0 e seguimos para a verificao atravs da definio.


limx, y` a

Q 0, 0b c 3x


= 0 se 8 > 0 9 > 0 | 3x2 y



< A

Vemos facilmente que, e pelas propriedades de mdulos:

8 x, y` a

0, 0b c x 2 x 2 + y2

yLL MM

= y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww< X^^\^Z^

Trabalhando a desigualdade que envolve : 3x 2 y


MMMMMM= 3x2 yLL MM


3 x 2 + y2b c

yLL MM

x 2 + y2ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

3 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

Comparando as desigualdades, podemos admitir que: 3x 2 y


MMMMMM 3 x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

X^^^^^\^^^^^^^Z


<

= 3fff


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9) Calcule se possvel:

limx, y` a

Q 0, 1b c

3x 4 y@ 1b c4

x 4 + y2@ 2y + 1b c3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff


C1 :y = kx + 1

limx, kx + 1b c

Q 0, 1b c

3x 4 kx + 1` a@ 1b c4x 4 + kx + 1` a2@ 2 kx + 1` a+ 1b c3ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

= limxQ 0

3x 4 k 4 x 4

x 4 + k 2 x 2 + 2kx + 1@ 2kx @ 2 + 1b c3ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

limxQ 0

3x 8 k 4

x 4 + k 2 x 2b c3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 3x 8 k

4

x 2 x 2 + k 2b cd e3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 3x

8 k 4

x 6b c

x 2 + k 2b c3ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 3x 2 k

4

x 2 + k 2b c3fffffffffffffffffffffffffffffff= 0k 2fffffff= 0 = L1

HLLLJIMMMK

C2 :y = kx2

+ 1

limx, kx + 1b c

Q 0, 1b c

3x 4 kx 2 + 1b c

@ 1d e4

x 4 + kx 2 + 1b c2

@ 2 kx 2 + 1b c

+ 1f g3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= limxQ 0 3x

4 k 4 x 8

x 4 + k 2 x 4 + 2kx 2 + 1@ 2kx 2@ 2 + 1b c3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

limxQ 0

3x12 k 4

x 4 + k 2 x 4b c3fffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 3x12 k

4

x 4 1 + k 2b cd e3ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 3x

12 k 4

x12 1 + k 2b c3fffffffffffffffffffffffffffffffffffff= 3k

4

1 + k 2b c3fffffffffffffffffffffffffff= L2

HLLLJIMMMK


10) limx, y` a

Q 0, 0b c xy

2



C1 :y = 0

limx, 0b c

Q 0, 0b c x0

2


= limxQ 0

0x 2 + 04fffffffffffffffffffff

= 0 = L1

C2 :y = kx

limx, kxb c

Q 0, 0b c

x kx` a2x 2 + kx` a4ffffffffffffffffffffffffffffff= limxQ 0

x 3 k 2

x 2 + k 4 x 4ffffffffffffffffffffffffffffff

=x 3 k 2

x 2 1 + k 4 x 2b cfffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= xk 2

1 + k 4 x 2fffffffffffffffffffffffffff

= 0 = L1

HLJIMK

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C3 :y = xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww lim

x, xpwwwwwwwwwwb cQ 0, 0b cx xpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c2

x 2 + xpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c4fffffffffffffffffffffffffffffffffff

= limxQ 0

x 2


=x 2

2x 2ffffffffff

=12fff

= L2F G


11) limx, y` a

Q 0, 0b c x

3 + y3



C1 :y = kx

limx, kxb c

Q 0, 0b c

x 3 + kx` a3x 2 + kx` a2ffffffffffffffffffffffffffffff= limxQ 0

x 3 + k 3 x 3

x 2 + k 2 x 2ffffffffffffffffffffffffffffff

=

x 3 1 + k 3b c

x 2 1 + k 2b cfffffffffffffffffffffffffffffffff= x + xk 3

1 + k 2fffffffffffffffffffffff

= 0 = L1

HLLJIMMK


x, xpwwwwwwwwwwb cQ 0, 0b cx 3 + xpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c3x 2 + xpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb c2fffffffffffffffffffffffffffffffffff

= limxQ 0

x 3 + x xpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwx 2 + xfffffffffffffffffffffffffffffffff

=

x x 2 + xpwwwwwwwwwwwwwwwwwwwb cx x + 1` afffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= x 2 + xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww

x + 1fffffffffffffffffffffffffff

= 0 = L1

HLJIMK



limx, y` a

Q 0, 0b c x

3 + y3


= 0 se 8 > 0 9 > 0 | x3 + y3



< A


x 2 x 2 + y2 e xLL MM

= x 2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww

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Comparando as desigualdades, podemos admitir:

x 3 + y3


MMMMMM < 2

X^^^^\^^^^Z

= 2 [ = 2fff


Tambm podemos resolver de outra maneira a partir deste ponto:

() Trabalhando a desigualdade que envolve :

x 3 + y3


MMMMMM= xLL MMx 2 + yLL MM y2

x 2 + y2ffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwx 2 + x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwy2

x 2 + y2fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff

=

x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww x 2 + y2b cx 2 + y2

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww<

Portando escolhendo = a definio de limite tambm verificada.

Agora vamos usar a proposio, aplicando as propriedades de limites:

limx, y` a

Q 0, 0b c x

3 + y3


=

xx 2 + yy2

x 2 + y2ffffffffffffffffffffffffffffff

=xx 2

x 2 + y2ffffffffffffffffffffff+ yy2

x 2 + y2ffffffffffffffffffffffHJ IK

= limx, y` a

Q 0, 0b c xx

2

x 2 + y2ffffffffffffffffffffff+ lim

x, y` a

Q 0, 0b c yy

2


=

limx, y` a

Q 0, 0b c x{~~~~~~ }~~~~~~y

L = 0

limx, y` a

Q 0, 0b c x

2


z~~~~~~~~~~~~~ |~~~~~~~~~~~~~xI+

limx, y` a

Q 0, 0b c y{~~~~~~ }~~~~~~y

L = 0

limx, y` a

Q 0, 0b c y

2


z~~~~~~~~~~~~~ |~~~~~~~~~~~~~xII

Queremos mostrar que as funes dos limites I [ f(x, y) ] e II [ g(x, y) ] , (isto estamos definindo as funes) so funes limitadas com (x, y) (0, 0) .

I ) x2



= 1 , assim: f x, y` aLLL MMM 1

II) y2



= 1 , assim: g x, y` aLLL MMM 1

Logo pela proposio fica provado que limx, y` a

Q 0, 0b c x

3 + y3


= 0 .

Tambm pode-se aplicar a substituio polar para a resoluo (siga o exemplo 5).

GUIDG.COM PG. 13

12) Calcule se possvel: lim

x, y` a

Q 0, 0b c x

2 y2




x, xpwwwwwwwwwwb cQ 0, 0b cx 2 xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww2

x 2 + xpwwwwwwwwwwwwwwwwwww2fffffffffffffffffffffffffffff

= limxQ 0

x 3

x 2 + xfffffffffffffffffff

=x 3

x x + 1` afffffffffffffffffffffffffff= x 2

x + 1ffffffffffffffff

= 0 = L1

HJ IK

C2 :y = x 2

limx, x2b c

Q 0, 0b c

x 2 x 2b c2

x 2 + x 2b c2ffffffffffffffffffffffffffffff= limxQ 0 x

6


=x 6

x 2 1 + x 2b cfffffffffffffffffffffffffffffffff= x 4

1 + x 2ffffffffffffffffff

= 0 = L1

HLJIMK



limx, y` a

Q 0, 0b c x

2 y2


= 0 se 8 > 0 9 > 0 | x2 y2



< A


x 2 x 2 + y2 e xLL MM= x 2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww<

y2 x 2 + y2 e yLL MM= y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww<

X^^^\^^^Z

Trabalhando a desigualdade que envolve , num dos mtodos possveis: x 2 y2


MMMMMM= xLL MM2 y2x 2 + y2ffffffffffffffffffffff x

LL MM2 y2 + x 2b cx 2 + y2

fffffffffffffffffffffffffffffffffffffffff= xLL MM2

x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwd e2

Agora comparamos as desigualdades: x 2 y2


MMMMMM x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwd e2

X^^^^^^^^\^^^^^^^^Z

= x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwd e2 [ pwwwwwwwwwwwwwwwww= x 2 + y2qwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwwww< [ = pwwwwwwwwwwwwwwwww

Portando escolhendo = pwwwwwwwwwwwwwwwww a definio de limite verificada.

c2 limites por caminhos e definicao[1]

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