Choque central - no instante do contato as velocidades são normais às superfícies de contato; caso contrário o choque é denominado oblíquo.

1. Choque central de duas esferas - cujos centros se deslocam sobre a mesma reta:

a) Notação - va e vb = velocidades no início do choque; v'a e v'b = velocidades no fim do choque; ma e mb = massas das esferas; e = coeficiente de restituição.

b) Coeficiente de restituição -  0 e 1

2. Choque perfeitamente elástico - características:

a) e = 1, logo, Vrel.,aproximação = - Vrel.,afastamento

b) Qfinal = Qinicial (a quantidade de movimento do sistema se conserva)c) Ecin.,final = Ecin.,inicial (a energia cinética do sistema se conserva)d) Existem as fases de deformação e de restituiçãoe) equacionamento (fixar inicialmente o eixo de movimento para referência de sinais):

    (1) ma.va+ mb.vb = ma.v'a + mb.v'b

    (2)     (v'a - v'b) = - (va - vb)

 3. Choque parcialmente elástico - características:

a) 0 < e < 1b) Qfinal = Qinicial (a quantidade de movimento do sistema se conserva)c) Ecin.,final < Ecin.,inicial (parte da energia cinética se converte em outras formas de energia, notadamente, calor e som)d) Perda de energia no processo:

e) Existem as fases de deformação e de restituiçãof) Equacionamento:

    (1) ma.va+ mb.vb = ma.v'a + mb.v'b

    (2)    e. (v'a - v'b) = - (va - vb)

4. Choque inelástico, anelástico ou plástico - características:

a) e = 0b) Qfinal = Qinicial (a quantidade de movimento do sistema se conserva)c) Ecin.,final < Ecin.,inicial (não há conservação de energia cinética)d) Perda de energia no processo:

e) Só existe a fase de deformaçãof) Os corpos movem-se juntos após o choque (ficam "grudados")

5. Choque contra apoio fixo - (mb >> ma)

v'b = vb = 0   .......   e = v'a/va

Aplicação: Determinação de e entre duas substâncias.

6. Choque na queda livre sobre placa rígida -

7. Pêndulo balístico -

Sólido real é sempre ligeiramente deformável. Em átomos e moléculas, sem modificação de estrutura, a deformação é perfeitamente elástica; o mesmo se admite em sólidos macroscópicos em caso ideal. Em corpos reais toda deformação é, ao menos em parte, permanente.

Quando dois sólidos tendem a ocupar simultaneamente a mesma região de espaço, dá-se entre eles urna interação breve e intensa chamada colisão ou choque. O processo é brevíssimo, as velocidades variam bruscamente (quase-descontinuidade) em percursos exíguos (quase no mesmo lugar).

Os corpos colidentes exercem mutuamente forças de duração desprezível e impulso considerável; são forças impulsivas. O impulso de uma força impulsiva é chamado percussão. Na breve duração de uma colisão, o impulso de forças não impulsivas (ditas aqui, forças contínuas) pode ser desprezado.Considera-se como sistema o par de corpos colidentes, logo as forças impulsivas são internas e as forças externas são contínuas. O impulso externo é nulo ou desprezível, por isso o sistema é considerado isolado. No sistema de corpos colidentes, verifica-se a Conservação do Momento Linear.

Durante a colisão o deslocamento do sistema é desprezível e o trabalho externo, se não for nulo, é desprezível. Se o sistema sofrer variação de energia cinética, é devido ao trabalho interno. Na maioria dos casos o trabalho interno é negativo; em valor absoluto, ele mede a energia mecânica dissipada. Se a colisão liberar energia potencial interna (por exemplo, energia química) o trabalho interno é positivo.

Os centros de massa dos móveis colidentes se avizinham na fase de deformação, se distanciam na fase de recuperação; se não houver recuperação, eles mantêm a menor separação.

Na região de contato, os corpos colidentes admitem um plano tangente comum chamado plano de contato; a normal a ele é chamada linha de colisão. Se os centros de massa dos corpos colidentes pertencerem ambos à linha de colisão, o choque é dito central; se não, tem-se choque excêntrico. A colisão entre esferas homogêneas é sempre central.

Colisão excêntrica (G1 fora da LC) eoblíqua (u2 não paralela à LC)

Experimento - Segure uma folha de papel entre duas esferas de rolamento. Quando as duas esferas são lançadas uma contra a outra, é gerado calor no ponto de contato, e pode-se perceber queimaduras em um buraco no papel.

Parte da energia cinética é transformada em calor. Preste bastante atenção para sentir o cheiro de papel queimado.

Se as velocidades dos móveis forem ambas paralelas à linha de colisão, tem-se choque direto; se não, tem-se choque oblíquo. Seja como for a colisão, central ou excêntrica, direta ou oblíqua, no sistema dos corpos colidentes o impulso externo é nulo, o trabalho externo é nulo:

   Iext =0,   portanto, 

    Qantes = Qapós    ...(1)

Wext = 0,  portanto, 

(Ecin) = Wint      ... (2)

As massas dos moveis sejam m1 e m2; suas velocidades sejam u1 e u2 antes da colisão, v1 e v2 após. O momento linear do sistema se conserva, logo a velocidade do centro de massa se conserva:

m1.u1 + m2.u2 = m1.v1 + m2.v2 = (m1 + m2).vG ... (3)

Examinaremos somente colisões centrais (diretas ou oblíquas).

Colisão central e direta(u1 > u2)

Colisão central oblíqua( e não ambos nulos)

Em colisão oblíqua:

a) admitiremos que as velocidades dos centros de massa, e a linha de colisão, sejam coplanares;

b) desprezaremos atrito entre os móveis, logo a linha de colisão é a linha de ação comum das forças de interação impulsivas que os móveis exercem mutuamente;

c) quanto às velocidades, as componentes segundo a linha de colisão variam, mas as componentes normais à linha de colisão se conservam (conseqüência da propriedade b).

Adotemos a linha de colisão como eixo de abscissas.

Antes:  u1 = u1x.i +u1y.j                           u2 = u2x.i + u2y.j    ... (4)

Depois: v1 = v1x.i + v1y.j                            v2 = v2x.i + v2y.j     ... (5)

Já temos: u1y = v1y e u2y = v2y  -- propriedade (c)    . ... (6)

A velocidade de aproximação dos moveis é (u1x - u2x), a velocidade de afastamento é (v2x - v1x). Chama-se "coeficiente de restituição" do par de materiais que constituem os móveis o quociente da velocidade de afastamento pela velocidade de aproximação:

e = (v2x - v1x)/(u2x - u1x) ... (7)

O coeficiente de restituição depende essencialmente dos materiais dos móveis. Demonstra-se que ele equivale à relação entre o impulso escalar que um dos móveis recebe na recuperação, pelo impulso que ele recebe na deformação:  e = Irec./Idef.

 

Material eMolécula em molécula,sem variação de estrutura.

1

Vidro em vidro 0,93 a 0,95

Marfim em marfim 0,88 a 0,89

Aço em aço 0,50 a 0,80

Chumbo em chumbo 0,12 a 0,18

Argila em argila (úmidas) 0

Pelo coeficiente de restituição, as colisões se classificam conforme o quadro seguinte:

ColisãoCoeficiente

de restituição

anelásticamole

elásticaexplosiva

e = 00 < e < 1

e = 11 < e

Nos corpos colidentes realiza-se trabalho interno resistente na fase de deformação, trabalho interno motor na eventual fase de recuperação. Finda a deformação, a energia cinética do sistema é mínima no processo; sobrevindo recuperação, a energia cinética aumenta outra vez.

Em colisão perfeitamente elástica o trabalho interno é realizado só por forças conservativas, as mesmas na deformação como na recuperação; do início ao fim do processo, a soma desses trabalhos é nula. Na deformação o sistema perde energia cinética e armazena energia potencial elástica; na recuperação o sistema converte a mesma energia potencial em energia cinética.

Em colisão perfeitamente elástica a energia cinética antes da interação é igual à energia cinética após.

Em colisão mole (ou parcialmente elástica) ou totalmente inelástica, intervém dissipação de energia mecânica; a recuperação é só parcial, ou nula. A energia mecânica dissipada equivale à energia não mecânica que surge; via de regra, surge energia térmica.

Colisão explosiva só ocorre em sistema contendo energia mecanizável que a interação libera: mola tensa que se dispara, rompimento de recipiente contendo gás comprimido, espoleta que deflagra explosão etc.

Em colisão central direta as velocidades são colineares com a linha de colisão (eixo Ox). São elas u1 e u2 antes, v1 e v2 após o choque. Verifica-se a Conservação do Momento Linear do sistema:

m1.u1 + m2.u2 = m1.v1 + m2.v2 = (m1 + m2).vG ... (8)

A velocidade do centro de massa é

vG = (m1.u1 + m2.u2)/(m1 + m2) ... (9)

O coeficiente de restituição é

e = (v2 - v1)/(u2 - u1) ... (10)

Tendo-se em vista a equação (9), as equações (8) e (10) fornecem:

v1 = vG + e.m2.(u2 - u1)/(m1 + m2)v2 = vG + e.m1.(u1 - u2)/(m1 + m2)        ... (11)

Em conseqüência da colisão, a energia cinética do sistema sofre o incremento  (Ecin) = (Ecin)após - (Ecin)antes; esta grandeza é chamada "Q" do processo. Resulta:

Q = (Ecin) = (e2 - 1).(1/2).(m1.m2).(u1 - u2)2/(m1 + m2) ... (12)

Em colisão anelástica (e = 0) é Q = - |Q|; a energia |Q| é dissipada, e é máxima em igualdade das demais condições (materiais, massas e velocidades).Em colisão elástica (e = 1) é Q = 0: a energia cinética do sistema após a colisão é igual àquela antes da colisão, isto é:

(1/2).m1.u21+ (1/2).m2.u2

2 = (1/2).m1.v21 + (1/2).m2.v2

2 ... (13)

Neste caso pode-se prescindir do coeficiente de restituição; v1 e v2 resultam das equações (8) e (13):

v1 = vG + m2.(u2 - u1)/(m1 + m2)v2 = vG + m1.(u1 - u2)/(m1 + m2)     ... (14)

Em colisão explosiva (e > 1) é Q = +|Q| =/= 0: a energia cinética do sistema aumenta à custa de energia interna.

Exemplos: Tiro de fuzil em carga de dinamite. Nêutron penetrando em núcleo que se fissiona. Ciclo de Bethe-Weizsacker, que libera a energia irradiada pelo Sol.

Em colisão central oblíqua aplicam-se, segundo Oy, as equações (6). Segundo Ox, aplicam-se as equações 8, 9, 10 e 11.

Caso particular interessante é o da colisão de uma esfera homogênea com uma parede lisa, rígida e indeslocável.

Colisão em parede fixa

A parede equivale a corpo estacionário tendo inércia infinita. Nas equações precedentes, a massa da parede é concebida como variável que tende ao infinito.Com a notação da ilustração acima, resultam:

v1x=- e.u1x

v1y =u1y ...(15)tg = (1/e).tg

    v = u.cos.(e2 + tg2)1/2

Se a colisão for elástica, (e = 1), resultam = , u = v. Em colisão anelástica (e = 0) resultam = /2, v = u.sen; após a colisão, a esfera percussora desliza ao longo da parede (que foi considerada lisa).

É apresentada a seguir uma avaliação teórica do impacto entre a frente de um automóvel e a traseira de um caminhão equipado com pára-choque rígido.

O equacionamento aqui apresentado foi baseado inteiramente no trabalho de RECHNITZER [1].

O impacto entre dois veículos pode ser descrito matematicamente pelo emprego das leis do movimento e das leis físicas que governam o impacto.

Impacto centrado

Cálculo das forças em impactos caminhão-automóvel:

Considerações:

os veículos estão se movimentando na mesma linha reta; o impacto é essencialmente plástico, com os veículos não sofrendo

deslocamento lateral; após o impacto os veículos permanecem em contato com uma massa

combinada (m1 + m2) e uma velocidade v3, seguindo na mesma linha reta.

Definição das variáveis:

s = deformação total do automóvel (m) m1 = massa do caminhão (kg) m2 = massa do automóvel (kg) v1 = velocidade do caminhão antes do impacto (m/s) v2 = velocidade do automóvel antes do impacto (m/s) v3 = velocidade pós impacto dos veículos (m/s) va = velocidade de aproximação dos veículos = v1 + v2 (m/s) F = força média agindo nos dois veículos no impacto (N) E = energia cinética (J)

Pela conservação da quantidade de movimento, tem-se:

m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2) v3                                       (1)

v3 = (m1 v1 + m2 v2)/ (m1 + m2)                             (2)

A energia cinética dos dois veículos antes do impacto é:

E0 = 0.5(m1 v12 + m2 v2

2)                                      (3)

Após o impacto, a energia cinética dos veículos será:

E1 = 0.5(m1 + m2)v32                                                       (4)

A perda de energia no impacto é dada por:

           (5)

Substituindo a velocidade relativa de aproximação entre os veículos va=(v1+v2):

                          (6)

(energia perdida durante a colisão)

Cálculo da força média F agindo entre os veículos para uma dada deformação s.

O trabalho realizado pela força F (F.s) é igual à energia perdida no impacto:

Fs = D E = E1 – E2                                                           (7)

                                           (8)

Substituindo-se (8) em (6):

                                               (9)

(Força média agindo entre os dois veículos)

A equação (9) mostra que a força média de impacto é função não somente da massa do caminhão, mas também da massa do automóvel, da velocidade relativa entre os veículos e da deformação do automóvel (considerando-se pára-choque rígido).

Para verificar a influência da massa do caminhão na força agindo entre os veículos durante a colisão, vamos considerar três tipos de automóveis com massas diferentes ("pequeno", "médio" e "grande"). Para cada tipo consideraremos um modelo nacional e outro estrangeiro. Os dados referentes aos veículos nacionais foram fornecidos por uma das montadoras instaladas no Brasil. Os dados referentes aos automóveis estrangeiros foram obtidos no site da NHTSA (National Highway Traffic Safety Administration) dos Estados Unidos da América [2].

A tabela I apresenta os dados utilizados nos cálculos (dados obtidos em impacto centrado contra barreira rígida):

Tabela I – Dados obtidos em impactos contra barreira rígida, utilizados no cálculo da força média desenvolvida no impacto.

Veículo massa (kg) deformação (m)velocidade de impacto (m/s)

Dahiatsu Charade 1.015 0,3861

13,33

(48 km/h)

Chevrolet Beretta 1.442 0,5105

Buick Century 1.749 0,587

Nacional pequeno 1.100 0,511

13,89

(50 km/h)

Nacional médio 1.350 0,497

Nacional grande 1.750 0,816

A tabela II a seguir mostra a variação da força média no impacto em função da massa do caminhão, para os seis automóveis considerados:

Tabela II – Forças médias desenvolvidas no impacto em função da massa do caminhão.

Massa do caminhão

3.500 kg 5.000 kg 10.000 kg 20.000 kg 40.000 kg

Dahiatsu Charade

181 kN 194 kN 212 kN 222 kN 228 kN

Chevrolet Beretta

178 kN 195 kN 220 kN 234 kN 243 kN

Buick Century

177 kN 196 kN 225 kN 244 kN 254 kN

Nacional pequeno

158 kN 170 kN 187 kN 197 kN 202 kN

Nacional médio

189 kN 206 kN 231 kN 245 kN 253 kN

Nacional grande

138 kN 153 kN 176 kN 190 kN 198 kN

A tabela II mostra que a força média desenvolvida no impacto não varia consideravelmente com a massa do caminhão. No pior caso (Buick Century), um aumento de cerca de 1.000% na massa do caminhão produz um aumento de apenas 43,5% na força. A tabela mostra também pequena influência da massa do automóvel. Na verdade, este fato é resultado da maior deformação que apresentam os veículos maiores. O mesmo não se aplica a veículos do tipo "van", que possuem massa elevada mas provavelmente apresentam uma rigidez frontal muito maior que outros automóveis de massa equivalente.

Os valores apresentados na tabela referem-se às forças dinâmicas médias desenvolvidas durante o impacto. Essas forças são maiores do que as cargas estáticas necessárias para produzir a mesma deformação, em virtude do encruamento sofrido pelo material. BEERMANN [3] calculou experimentalmente a relação entre as forças dinâmicas e quase-estáticas necessárias para deformar estruturas semelhantes à estrutura frontal dos automóveis e, dentro do intervalo de 30 a 50 km/h, obteve valores entra 1,30 e 1,56 (com um valor médio de 1,40). Dividindo-se os valores da tabela II por este fator (1,40), obtém-se as cargas estáticas correspondentes às cargas dinâmicas calculadas. Estas cargas estáticas estão indicadas na tabela III.

Tabela III – Cargas estáticas equivalentes às forças médias desenvolvidas no impacto listadas na tabela II.

Massa do caminhão

3.500 kg 5.000 kg 10.000 kg 20.000 kg 40.000 kg

Dahiatsu Charade

129 kN 139 kN 151 kN 159 kN 163 kN

Chevrolet Beretta

127 kN 139 kN 157 kN 167 kN 174 kN

Buick Century

126 kN 140 kN 161 kN 174 kN 181 kN

Nacional pequeno

113 kN 121 kN 134 kN 141 kN 144 kN

Nacional médio

135 kN 147 kN 165 kN 175 kN 181 kN

Nacional grande

99 kN 109 kN 126 kN 136 kN 141 kN

Média 122 kN 133 kN 149 kN 159 kN 164 kN

De acordo com os cálculos apresentados acima, um pára-choque traseiro de

caminhão capaz de suportar o impacto a 50 km/h de um hipotético veículo médio deveria ser dimensionado para resistir às seguintes cargas estáticas na direção das longarinas do caminhão (P2):

Tabela IV – Resistência do pára-choque na direção das longarinas do caminhão necessária para resistir a um impacto a 50 km/h.

Massa do caminhão < 5 ton. 5-10 ton. 10-20 ton. 20-40 ton.

Resistência estática do pára-choque na direção da longarina do caminhão (P2)

133 kN 149 kN 159 kN 164 kN

Impacto em offset

Infelizmente não foram obtidos até o momento dados que permitam uma estimativa das forças em caso de colisão em offset. Neste tipo de impacto as forças tenderiam a ser ligeiramente menores, pois além de impulsionar o caminhão para a frente, o automóvel tenderia a adquirir um movimento de rotação. O cálculo da força de acordo com a metodologia apresentada acima exigiria o conhecimento do momento de inércia dos automóveis, valor este difícil de se obter. Também não foi possível obter dados de crash tests centrados e em offset que tenham sido realizados com o mesmo veículo e à mesma velocidade, dados estes que permitiriam uma comparação entre as forças geradas em cada caso.

Os dados disponíveis referem-se a testes de pára-choques realizados por RECHNITZER et al. [4] e MARIOLANI et al. [5]. Ambos projetaram e construiram pára-choques baseados nas cargas estáticas recomendadas por BEERMANN [3], ou seja, 150 kN na direção das longarinas (P2) e 100 kN no centro (P3) e próximo às extremidades dos pára-choques (P1), e ambos os projetos foram bem sucedidos em crash tests.

O pára-choque de Rechnitzer et al., instalado em um caminhão com massa de 10.000 kg, foi capaz de resistir aos impactos em offset e centralizado de automóveis com massa de 1.420 kg a 50 km/h, e o pára-choque de Mariolani et al. resistiu ao impacto em offset de um veículo com massa de 1.200 kg a 50 km/h.

Os resultados desses testes permitem supor que uma relação de 3:2 entre as resistencia estática na direção das longarinas e a no centro e extremidades do pára-choque é satisfatória.

Baseado na Tabela IV, esta relação (3:2) permite construir a seguinte tabela (pára-choque capaz de resistir a um hipotético automóvel MÉDIO a 50 km/h:

Tabela V – Sugestão dos valores de resistência estática do pára-choque.

Massa do caminhão < 5 ton. 5-10 ton. 10-20 ton. 20-40 ton.

Resistência estática próximo às extremidades

(P1)90 kN 100 kN 105 kN 110 kN

Resistência estática na direção da longarina (P2)

135 kN 150 kN 160 kN 165 kN

Resistência estática no centro do pára-choque (P3)

90 kN 100 kN 105 kN 110 kN

Referências

1. RECHNITZER, G. – "Design Principles for Underride Guards and Crash Test Results". Notes for SAE Heavy Vehicle Underride Protection TOPTEC, April 15-16 1997, Palm Springs, USA.

2. NHTSA (National Highway Traffic Safety Administration) Vehicle Crash Test Database. URL: http://www-nrd.nhtsa.dot.gov/database/nrd-11/veh_db.html

3. BEERMANN, H.J. – "Behaviour of Passenger Cars on Impact with Underride Guards". Int. J. of Vehicle Design, vol. 5, nos. 1/2, pp. 86-103, 1984.

4. RECHNITZER, G.; SCOTT, G. & MURRAY, N.W. – "The Reduction of Injuries to Car Occupants in Rear End Impacts with Heavy Vehicles". SAE Paper 933123. 37th Stapp Car Crash Conference Proceedings, San Antonio, Texas, USA, November 8-10, 1993.

5. MARIOLANI, J.R.L.; ARRUDA, A.C.F; SANTOS, P.S.P; MAZARIN, J.C. & STELLUTE, J.C. – "Design and Test of an Articulated Rear Guard Able to Prevent Car Underride". SAE Paper 973106. VI International Mobility Technology Conference and Exhibit, São Paulo, Brasil, October 27-29, 1997.